Funcion cuadratica
18. Planteo de funciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Traducir situaciones dadas en lenguaje verbal a expresiones algebraicas cuadráticas, identificando la variable, la magnitud que depende de ella y la función que modela la situación.
Plantear una función cuadrática significa construir una expresión algebraica de la forma
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
a partir de una situación descrita con palabras.
En esta página el foco está en pasar del contexto al modelo.
- Definir qué representa la variable.
- Identificar qué magnitud depende de esa variable.
- Escribir esa magnitud en función de la variable.
- Desarrollar y simplificar, si es necesario.
- Verificar si el resultado tiene forma cuadrática.
Muchas funciones cuadráticas aparecen al multiplicar dos expresiones lineales, por ejemplo:
\[ x(x+3), \qquad x(10-x), \qquad (x-2)(x+5) \]
Al desarrollar esas expresiones, aparece un término con \(x^2\), y por eso se obtiene una función cuadrática.
No basta con reconocer que “hay una función cuadrática”. En un problema de planteo hay que dejar claro:
- qué representa \(x\);
- qué representa la función;
- por qué la expresión construida modela la situación.
Desarrollo conceptual
Una función cuadrática aparece con frecuencia en situaciones como:
- áreas de figuras;
- trayectorias o alturas;
- ganancias o ingresos simplificados;
- productos entre cantidades que dependen de la misma variable.
En esta página nos concentraremos en construir el modelo, más que en analizarlo completamente.
Ejemplo 1: área de un rectángulo
Un rectángulo tiene base \(x\) metros y altura \(x+3\) metros.
Queremos expresar su área en función de \(x\).
Sabemos que:
\[ \text{área}=\text{base}\cdot\text{altura} \]
Entonces:
\[ A(x)=x(x+3) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=x^2+3x \]
Por lo tanto, la función que modela el área es:
\[ A(x)=x^2+3x \]
Ejemplo 2: área con perímetro fijo
Un rectángulo tiene perímetro 20 metros. Si uno de sus lados mide \(x\) metros, entonces el otro lado mide \(10-x\) metros.
Queremos expresar el área en función de \(x\).
Entonces:
\[ A(x)=x(10-x) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=10x-x^2 \]
Ordenando:
\[ A(x)=-x^2+10x \]
Por lo tanto, la función que modela el área es:
\[ A(x)=-x^2+10x \]
Ejemplo 3: altura de un objeto
La altura de un objeto lanzado verticalmente se modela con una función cuadrática. Supongamos que al tiempo \(t\) segundos su altura está dada por:
\[ h(t)=-(t)^2+6t+2 \]
Aquí:
- \(t\) representa el tiempo en segundos;
- \(h(t)\) representa la altura en metros.
Entonces, el planteo del modelo es:
\[ h(t)=-t^2+6t+2 \]
La variable es el tiempo y la función representa la altura.
Ejercicios
Ejercicio 1
La base de un rectángulo mide \(x\) cm y su altura mide \(x+5\) cm.
Plantee una función cuadrática que represente su área.
La variable es \(x\), que representa la base del rectángulo.
La altura es \(x+5\).
Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando base por altura, se obtiene:
\[ A(x)=x(x+5) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=x^2+5x \]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[ A(x)=x^2+5x \]
Ejercicio 2
Un rectángulo tiene perímetro 24 m. Si uno de sus lados mide \(x\) metros, entonces el otro mide \(12-x\) metros.
Plantee una función cuadrática que represente el área del rectángulo.
La variable es \(x\), que representa uno de los lados del rectángulo.
El otro lado es \(12-x\).
Entonces, el área se modela por:
\[ A(x)=x(12-x) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=12x-x^2 \]
Ordenamos:
\[ A(x)=-x^2+12x \]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[ A(x)=-x^2+12x \]
Ejercicio 3
El largo de un rectángulo mide \(x+4\) cm y el ancho mide \(x-1\) cm.
Plantee una función cuadrática que represente su área.
La variable es \(x\).
El área del rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho:
\[ A(x)=(x+4)(x-1) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=x^2-x+4x-4 \]
\[ A(x)=x^2+3x-4 \]
Por lo tanto, la función cuadrática pedida es:
\[ A(x)=x^2+3x-4 \]
Ejercicio 4
La altura de una pelota, en metros, se modela con la expresión:
\[ h(t)=-t^2+8t+1 \]
Indique qué representa la variable y qué representa la función.
En este modelo, la variable es \(t\).
\(t\) representa el tiempo transcurrido, medido en segundos.
La función es \(h(t)\).
\(h(t)\) representa la altura de la pelota, medida en metros.
Por lo tanto, el planteo se interpreta así:
- \(t\): tiempo en segundos;
- \(h(t)\): altura en metros.
Ejercicio 5
La ganancia de una microempresa, en miles de pesos, está dada por:
\[ G(x)=-x^2+9x-8 \]
Indique qué podría representar la variable \(x\) y qué representa la función \(G(x)\).
Una interpretación posible es la siguiente:
- \(x\) representa la cantidad de lotes producidos o vendidos;
- \(G(x)\) representa la ganancia obtenida, en miles de pesos.
Entonces, el modelo se puede leer como una función que entrega la ganancia según la cantidad producida o vendida.
No siempre el contexto fija una única interpretación exacta de \(x\), pero sí debe quedar claro que \(x\) es la variable independiente y \(G(x)\) la ganancia.
Ejercicio 6
Plantee una función cuadrática que represente el área de un rectángulo cuya base mide \(x+2\) cm y cuya altura mide \(x+7\) cm.
El área del rectángulo se calcula multiplicando base por altura:
\[ A(x)=(x+2)(x+7) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=x^2+7x+2x+14 \]
\[ A(x)=x^2+9x+14 \]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[ A(x)=x^2+9x+14 \]
Ejercicio 7
Un rectángulo tiene ancho \(x\) cm y largo \(15-x\) cm.
Plantee la función cuadrática que representa su área e indique qué representa la variable y qué representa la función.
La variable es \(x\), que representa el ancho del rectángulo.
Entonces, el largo es \(15-x\).
El área se calcula multiplicando ancho por largo:
\[ A(x)=x(15-x) \]
Desarrollamos:
\[ A(x)=15x-x^2 \]
Ordenamos:
\[ A(x)=-x^2+15x \]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[ A(x)=-x^2+15x \]
Interpretación:
- \(x\): ancho del rectángulo, en cm;
- \(A(x)\): área del rectángulo, en cm².