Funcion cuadratica
12. Ceros de una función cuadrática por trinomio factorizable
Objetivo de aprendizaje
Determinar los ceros de funciones cuadráticas que se pueden resolver factorizando un trinomio como multiplicación de binomios, interpretándolos como intersecciones con el eje \(x\).
En esta página veremos funciones cuadráticas cuyos ceros se pueden encontrar transformando un trinomio en un producto de binomios.
Trabajaremos con expresiones como:
\[ x^2+bx+c \qquad \text{y también algunos casos como} \qquad ax^2+bx+c \]
Para encontrar los ceros, primero planteamos:
\[ f(x)=0 \]
Luego factorizamos el trinomio y aplicamos la propiedad del producto nulo:
\[ A\cdot B=0 \qquad \Longrightarrow \qquad A=0 \text{ o } B=0 \]
En el caso más simple, si la ecuación es
\[ x^2+bx+c=0 \]
buscamos dos números que:
- sumen \(b\);
- multipliquen \(c\).
Esos números permiten escribir el trinomio como producto de dos binomios.
No todo trinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente con números enteros.
En esta página trabajaremos solo con casos donde la factorización sí resulta directa. Cuando no sea así, se usará la fórmula cuadrática.
Recuerdo breve
Si:
\[ x^2+bx+c=0 \]
y existen números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m+n=b \qquad \text{y} \qquad mn=c \]
entonces:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n) \]
Sea:
\[ (x-m)(x-n)=0 \]
Entonces, \(m\) y \(n\) son soluciones de la ecuación.
Al desarrollar, se obtiene:
\[ x^2-(m+n)x+mn=0 \]
Comparando con
\[ x^2+bx+c=0 \]
se concluye que:
\[ m+n=-b \]
\[ mn=c \]
Si un producto vale 0, al menos uno de sus factores debe valer 0:
\[ A\cdot B=0 \qquad \Longrightarrow \qquad A=0 \text{ o } B=0 \]
Ejemplo 1: trinomio simple
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
Planteamos:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(-5\) y multipliquen \(6\).
Esos números son \(-2\) y \(-3\).
Entonces:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-2=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Por lo tanto:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Ejemplo 2: trinomio simple con signos distintos
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-x-12 \]
Planteamos:
\[ x^2-x-12=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(-1\) y multipliquen \(-12\).
Esos números son \(-4\) y \(3\).
Entonces:
\[ x^2-x-12=(x-4)(x+3) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-4=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Por lo tanto:
\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Ejemplo 3: trinomio con coeficiente principal distinto de 1
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=2x^2-5x-3 \]
Planteamos:
\[ 2x^2-5x-3=0 \]
Factorizamos:
\[ 2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x+1=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Entonces:
\[ x=-\frac{1}{2} \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac12\) y \(3\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2+7x+12 \]
Planteamos:
\[ x^2+7x+12=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(7\) y multipliquen \(12\).
Esos números son \(3\) y \(4\).
Entonces:
\[ x^2+7x+12=(x+3)(x+4) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x+3=0 \qquad \text{o} \qquad x+4=0 \]
Entonces:
\[ x=-3 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-9x+20 \]
Planteamos:
\[ x^2-9x+20=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(-9\) y multipliquen \(20\).
Esos números son \(-4\) y \(-5\).
Entonces:
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-4=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]
Entonces:
\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Ejercicio 3
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2+x-20 \]
Planteamos:
\[ x^2+x-20=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(1\) y multipliquen \(-20\).
Esos números son \(5\) y \(-4\).
Entonces:
\[ x^2+x-20=(x+5)(x-4) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x+5=0 \qquad \text{o} \qquad x-4=0 \]
Entonces:
\[ x=-5 \qquad \text{y} \qquad x=4 \]
Ejercicio 4
La función está escrita en otro orden. Encuentra sus ceros:
\[ f(x)=6-5x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
Planteamos:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Buscamos dos números que sumen \(-5\) y multipliquen \(6\).
Esos números son \(-2\) y \(-3\).
Entonces:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-2=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Entonces:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Ejercicio 5
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=2x^2+x-3 \]
Planteamos:
\[ 2x^2+x-3=0 \]
Factorizamos:
\[ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x+3=0 \qquad \text{o} \qquad x-1=0 \]
Entonces:
\[ x=-\frac{3}{2} \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Ejercicio 6
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=3x^2-2x-8 \]
Planteamos:
\[ 3x^2-2x-8=0 \]
Factorizamos:
\[ 3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 3x+4=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]
Entonces:
\[ x=-\frac{4}{3} \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Ejercicio 7
Encuentra los ceros de la función e interpreta el resultado en la gráfica:
\[ f(x)=2x^2-7x+3 \]
Planteamos:
\[ 2x^2-7x+3=0 \]
Factorizamos:
\[ 2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3) \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x-1=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Entonces:
\[ x=\frac{1}{2} \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
La parábola corta al eje \(x\) en los puntos:
\[ \left(\frac{1}{2},0\right) \qquad \text{y} \qquad (3,0) \]