funciones Inversas
1. Par ordenado, producto cartesiano y relaciones
Objetivo de aprendizaje
Reconocer el significado de un par ordenado, construir productos cartesianos y describir relaciones entre conjuntos por extensión y mediante diagramas sagitales, identificando dominio, recorrido, imágenes y preimágenes.
- Comprender qué es un par ordenado y por qué el orden importa.
- Construir el producto cartesiano de dos conjuntos finitos.
- Describir una relación por extensión.
- Representar y leer relaciones mediante diagramas sagitales.
- Identificar dominio, recorrido, imágenes y preimágenes de una relación.
En muchos contextos necesitamos vincular elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, se puede relacionar el conjunto de estudiantes con el conjunto de talleres, el conjunto de países con el de capitales o el conjunto de números con el de sus cuadrados.
Para describir esas asociaciones con claridad, usaremos pares ordenados, producto cartesiano y diagramas sagitales.
Un par ordenado es una expresión de la forma \((a,b)\).
El primer elemento ocupa la primera posición y el segundo elemento ocupa la segunda posición.
Por eso, en general:
\[ (a,b)\neq (b,a) \]
Dos pares ordenados son iguales solo si coinciden en el mismo orden:
\[ (a,b)=(c,d)\iff a=c \text{ y } b=d \]
Ejemplo 1: interpretar pares ordenados
Consideremos el par ordenado \((2,5)\).
Su primera componente es \(2\) y su segunda componente es \(5\).
En cambio, \((5,2)\) representa otro par distinto, porque cambió el orden.
Por eso:
\[ (2,5)\neq (5,2) \]
En un par ordenado, el orden no se puede cambiar libremente. La primera componente y la segunda componente cumplen roles distintos.
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos, su producto cartesiano es:
\[ A\times B=\{(a,b)\mid a\in A \text{ y } b\in B\} \]
En palabras simples, \(A\times B\) es el conjunto de todas las combinaciones posibles donde el primer elemento sale de \(A\) y el segundo sale de \(B\).
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos finitos, entonces:
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B| \]
Ejemplo 2: construir un producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
Entonces:
\[ A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\} \]
Cada par tiene primera componente en \(A\) y segunda componente en \(B\).
Además, como \(A\) tiene 2 elementos y \(B\) tiene 3 elementos, resulta:
\[ |A\times B|=2\cdot 3=6 \]
Una relación entre dos conjuntos \(A\) y \(B\) es cualquier subconjunto de \(A\times B\).
Eso significa que una relación puede contener algunos pares ordenados del producto cartesiano, no necesariamente todos.
Cuando una relación se escribe listando todos sus pares, decimos que está escrita por extensión.
Ejemplo 3: relación escrita por extensión
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b,c\}\).
La relación
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
está escrita por extensión, porque aparecen todos sus pares ordenados uno a uno.
Como cada par pertenece a \(A times B\), entonces \(R\) es una relación entre \(A\) y \(B\).
Sea \(R\) una relación entre \(A\) y \(B\).
- Dominio: conjunto de las primeras componentes que aparecen en la relación.
- Recorrido: conjunto de las segundas componentes que aparecen en la relación.
- Imagen de un elemento \(x\): conjunto de elementos con los que \(x\) está relacionado.
- Preimagen de un elemento \(y\): conjunto de elementos que se relacionan con \(y\).
Por ejemplo, si
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(3,c)\} \]
entonces:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
\[ \mathrm{Im}(1)=\{a,c\} \]
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,3\} \]
Ejemplo 4: leer una relación desde un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama sagital:
La relación escrita por extensión es:
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(4,c)\} \]
De aquí se obtiene:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
\[ \mathrm{Im}(1)=\{a,c\} \]
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,4\} \]
Ejemplo 5: pasar de extensión a diagrama sagital
Sea la relación
\[ S=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
con \(A=\{x,y,z\}\) y \(B=\{2,4,6\}\).
Para representarla en un diagrama sagital, se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(x\) a \(2\),
- de \(x\) a \(4\),
- de \(y\) a \(4\),
- de \(z\) a \(6\).
- No confundir \((a,b)\) con \((b,a)\).
- No confundir \(A\times B\) con \(B\times A\).
- No creer que una relación debe contener todos los pares del producto cartesiano.
- No confundir recorrido con el segundo conjunto completo.
- No olvidar que una imagen o una preimagen pueden tener varios elementos.
Ejercicio 1: distinguir pares ordenados
Explica por qué \((3,7)\) y \((7,3)\) no representan el mismo par ordenado.
En un par ordenado, el orden importa.
En \((3,7)\), la primera componente es \(3\) y la segunda es \(7\).
En \((7,3)\), la primera componente es \(7\) y la segunda es \(3\).
Como cambiaron las posiciones, los pares son distintos.
\[ (3,7)\neq (7,3) \]
Ejercicio 2: pertenencia al producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{m,n,p\}\). Determina cuáles de los siguientes pares pertenecen a \(A\times B\):
\[ (1,m),\quad (m,1),\quad (2,p),\quad (2,2) \]
Un par pertenece a \(A\times B\) si su primera componente está en \(A\) y su segunda componente está en \(B\).
\((1,m)\): sí pertenece.
\((m,1)\): no pertenece.
\((2,p)\): sí pertenece.
\((2,2)\): no pertenece, porque \(2\notin B\).
Entonces, los pares que pertenecen a \(A\times B\) son:
\[ (1,m)\quad \text{y}\quad (2,p) \]
Ejercicio 3: construir un producto cartesiano
Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{x,y,z\}\). Escribe \(A\times B\).
Se combinan todos los elementos de \(A\) con todos los de \(B\):
\[ A\times B=\{(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)\} \]
Ejercicio 4: cantidad de pares ordenados
Si \(A=\{a,b,c,d\}\) y \(B=\{1,2,3\}\), ¿cuántos elementos tiene \(A\times B\)?
\(A\) tiene 4 elementos y \(B\) tiene 3 elementos.
Entonces:
\[ |A\times B|=4\cdot 3=12 \]
El producto cartesiano tiene 12 pares ordenados.
Ejercicio 5: relación por extensión
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{2,3,4,5\}\). Escribe por extensión la relación \(R\) dada por la condición “el segundo número es uno más que el primero”.
La condición es \(y=x+1\).
Probamos con cada elemento de \(A\):
si \(x=1\), aparece \((1,2)\);
si \(x=2\), aparece \((2,3)\);
si \(x=3\), aparece \((3,4)\).
Por lo tanto:
\[ R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\} \]
Ejercicio 6: dominio y recorrido
Sea
\[ R=\{(1,a),(1,c),(2,b),(4,c)\} \]
Determina el dominio y el recorrido de \(R\).
El dominio se obtiene con las primeras componentes:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
El recorrido se obtiene con las segundas componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
Ejercicio 7: imágenes y preimágenes
Sea
\[ R=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Im}(x)\)
b) \(\mathrm{Im}(y)\)
c) \(\mathrm{Preim}(4)\)
d) \(\mathrm{Preim}(6)\)
Se revisan los pares ordenados de la relación.
\[ \mathrm{Im}(x)=\{2,4\} \]
\[ \mathrm{Im}(y)=\{4\} \]
\[ \mathrm{Preim}(4)=\{x,y\} \]
\[ \mathrm{Preim}(6)=\{z\} \]
Ejercicio 8: de diagrama sagital a extensión
Escribe por extensión la relación representada en el siguiente diagrama. Luego determina su dominio y su recorrido.
Un par ordenado por cada flecha:
\[ R=\{(1,b),(2,a),(2,c),(3,c)\} \]
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,3\} \]
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
Ejercicio 9: de extensión a diagrama sagital
Representa en un diagrama sagital la relación
\[ S=\{(p,1),(p,3),(q,2),(r,3)\} \]
con \(A=\{p,q,r\}\) y \(B=\{1,2,3\}\).
Se dibuja una flecha por cada par ordenado:
- de \(p\) a \(1\),
- de \(p\) a \(3\),
- de \(q\) a \(2\),
- de \(r\) a \(3\).
Ejercicio 10: síntesis contextual
Sea el conjunto \(A=\{\text{Ana},\text{Bruno},\text{Carla}\}\) y el conjunto \(B=\{\text{Teatro},\text{Música},\text{Ajedrez}\}\).
La relación \(R\) indica “participa en” y está dada por:
\[ R=\{(\text{Ana},\text{Teatro}),(\text{Ana},\text{Música}),(\text{Bruno},\text{Ajedrez})\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Dom}(R)\)
b) \(\mathrm{Rec}(R)\)
c) \(\mathrm{Im}(\text{Ana})\)
d) \(\mathrm{Preim}(\text{Ajedrez})\)
El dominio son las primeras componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{\text{Ana},\text{Bruno}\} \]
El recorrido son las segundas componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{\text{Teatro},\text{Música},\text{Ajedrez}\} \]
La imagen de Ana es:
\[ \mathrm{Im}(\text{Ana})=\{\text{Teatro},\text{Música}\} \]
La preimagen de Ajedrez es:
\[ \mathrm{Preim}(\text{Ajedrez})=\{\text{Bruno}\} \]
En esta página estudiamos cómo se construyen pares ordenados, cómo se forma el producto cartesiano y cómo se describen relaciones por extensión y mediante diagramas sagitales.
También aprendimos a identificar dominio, recorrido, imágenes y preimágenes dentro de una relación.