Libro de las funciones Inversas
8. Consolidación y ejercitación de la unidad
Objetivo de aprendizaje
- Integrar los contenidos de la unidad sobre relaciones, funciones y función inversa, aplicándolos en ejercicios de análisis, clasificación, representación y resolución.
- Relacionar par ordenado, producto cartesiano y relación.
- Identificar dominio, recorrido, imagen y preimagen.
- Reconocer funciones, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Decidir cuándo una función tiene inversa.
- Aplicar la inversa en casos lineales y analizar el caso cuadrático.
Mirar la unidad como un todo
Durante esta unidad hemos visto que una misma idea puede aparecer de varias formas: como pares ordenados, como diagrama sagital, como tabla, como gráfico o como regla algebraica.
Consolidar significa poder pasar de una representación a otra y decidir con fundamento qué propiedades cumple una relación o una función.
Resumen de ideas clave
- Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
- Una función asigna a cada elemento del dominio una única imagen.
- Una función es inyectiva si no repite imágenes.
- Una función es sobreyectiva si su imagen coincide con el codominio.
- Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
- Una función tiene inversa cuando es biyectiva.
- Los gráficos de una función y su inversa son simétricos respecto de \(y=x\).
Estrategia para resolver ejercicios mixtos
- Primero identifica qué tipo de objeto estás estudiando: relación o función.
- Luego revisa si aparecen dominio, codominio, imagen o recorrido.
- Después clasifica: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna.
- Solo si preguntan por inversa, verifica antes si la función es biyectiva.
Ejercicio 1: producto cartesiano y relación
Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{a,b\}\).
a) Escribe \(A\times B\).
b) Escribe una relación \(R\) entre \(A\) y \(B\) que tenga exactamente 3 pares ordenados.
a) El producto cartesiano se obtiene combinando cada elemento de \(A\) con cada elemento de \(B\):
\[ A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
b) Una relación posible es:
\[ R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\} \]
Hay muchas respuestas correctas, siempre que los pares pertenezcan a \(A\times B\) y sean exactamente tres.
Ejercicio 2: dominio, recorrido, imagen y preimagen
Sea la relación
\[ R=\{(1,c),(2,a),(2,b),(4,c)\} \]
Determina:
a) \(\mathrm{Dom}(R)\)
b) \(\mathrm{Rec}(R)\)
c) \(\mathrm{Im}(2)\)
d) \(\mathrm{Preim}(c)\)
a) El dominio está formado por las primeras componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Dom}(R)=\{1,2,4\} \]
b) El recorrido está formado por las segundas componentes que aparecen:
\[ \mathrm{Rec}(R)=\{a,b,c\} \]
c) Para hallar \(\mathrm{Im}(2)\), buscamos los pares que comienzan con \(2\):
\[ (2,a)\quad \text{y}\quad (2,b) \]
Entonces:
\[ \mathrm{Im}(2)=\{a,b\} \]
d) Para hallar \(\mathrm{Preim}(c)\), buscamos los pares cuya segunda componente es \(c\):
\[ (1,c)\quad \text{y}\quad (4,c) \]
Entonces:
\[ \mathrm{Preim}(c)=\{1,4\} \]
Ejercicio 3: decidir si una relación es función
Determina si la relación
\[ S=\{(x,2),(x,4),(y,4),(z,6)\} \]
es una función. Justifica.
No es función.
Para que una relación sea función, cada elemento del dominio debe tener una única imagen.
En este caso, el elemento \(x\) aparece con dos imágenes distintas:
\[ x\to 2 \quad \text{y} \quad x\to 4 \]
Eso contradice la condición de unicidad que debe cumplir una función.
Ejercicio 4: clasificación en un diagrama sagital
Observa el siguiente diagrama y clasifica la función como inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de ellas.
La función es sobreyectiva, pero no inyectiva.
Es sobreyectiva porque todos los elementos del codominio \(\{a,b,c\}\) reciben al menos una flecha.
No es inyectiva porque \(3\) y \(4\) tienen la misma imagen \(c\):
\[ f(3)=c \quad \text{y} \quad f(4)=c \]
Como no es inyectiva, no es biyectiva.
Ejercicio 5: codominio e imagen
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{m,n,p,q\}\) y
\[ f=\{(1,m),(2,p),(3,p)\} \]
Determina:
a) el codominio,
b) la imagen,
c) si la función es sobreyectiva.
a) El codominio es el conjunto de llegada:
\[ B=\{m,n,p,q\} \]
b) La imagen está formada por los valores que aparecen como salida:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{m,p\} \]
c) No es sobreyectiva, porque la imagen no coincide con el codominio:
\[ \{m,p\}\neq \{m,n,p,q\} \]
Los elementos \(n\) y \(q\) no reciben flecha.
Ejercicio 6: lectura desde una tabla
La función está dada por la tabla:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Determina si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
Una función es inyectiva si no repite imágenes.
En la tabla, la imagen \(1\) se repite, ya que:
\[ f(-1)=1 \qquad \text{y} \qquad f(1)=1 \]
Como \(-1\neq 1\), dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen. Por lo tanto, no es inyectiva.
Ejercicio 7: gráfico y criterio de la recta horizontal
Observa el gráfico de \(y=x^2\) y decide si la función es inyectiva.
No es inyectiva.
La recta horizontal \(y=4\) corta al gráfico en dos puntos, uno con \(x=-2\) y otro con \(x=2\).
Eso significa que:
\[ f(-2)=4 \quad \text{y} \quad f(2)=4 \]
Como dos valores distintos tienen la misma imagen, la función repite imágenes y no es inyectiva.
Ejercicio 8: decidir si puede tener inversa
Sea \(g:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\) y
\[ g=\{(1,b),(2,a),(3,c)\} \]
Determina si puede tener función inversa y justifica.
Sí puede tener función inversa.
La función es inyectiva porque no repite imágenes:
\[ b,\ a,\ c \]
La función también es sobreyectiva porque su imagen coincide con el codominio:
\[ \mathrm{Im}(g)=\{a,b,c\}=B \]
Por lo tanto, \(g\) es biyectiva y puede tener inversa.
Ejercicio 9: construir una inversa por extensión
Sea \(h=\{(-1,2),(0,3),(1,4)\}\). Escribe \(h^{-1}\).
La inversa se obtiene intercambiando las posiciones de cada par ordenado:
\[ (-1,2)\to(2,-1) \]
\[ (0,3)\to(3,0) \]
\[ (1,4)\to(4,1) \]
Entonces:
\[ h^{-1}=\{(2,-1),(3,0),(4,1)\} \]
Ejercicio 10: inversa de una función lineal
Halla la inversa de \(f(x)=2x-5\).
Partimos con:
\[ y=2x-5 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=2y-5 \]
Despejamos:
\[ x+5=2y \]
\[ y=\frac{x+5}{2} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2} \]
Ejercicio 11: composición para verificar una inversa
Sea \(f(x)=3x+1\) y \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}\). Verifica que \(f^{-1}(f(x))=x\).
Calculamos:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x+1) \]
Como \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{3}\), reemplazamos \(x\) por \(3x+1\):
\[ f^{-1}(3x+1)=\frac{(3x+1)-1}{3} \]
\[ =\frac{3x}{3}=x \]
Por lo tanto:
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
Ejercicio 12: caso cuadrático
Explica por qué \(f(x)=x^2\) no tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\).
No tiene inversa como función en todo \(\mathbb{R}\) porque no es inyectiva.
Por ejemplo:
\[ f(2)=2^2=4 \]
\[ f(-2)=(-2)^2=4 \]
Dos valores distintos del dominio tienen la misma imagen:
\[ 2\neq -2,\qquad f(2)=f(-2) \]
Por eso no se puede deshacer de manera única.
Ejercicio 13: restricción de dominio
Si \(f(x)=x^2\) con restricción \(x\ge 0\), escribe su inversa.
Partimos con:
\[ y=x^2 \qquad \text{con } x\ge 0 \]
Intercambiamos \(x\) e \(y\):
\[ x=y^2 \]
Despejamos con la raíz principal:
\[ y=\sqrt{x} \]
Entonces:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x} \]
Ejercicio 14: síntesis final de la unidad
Sea \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,4,6,8\}\) y regla \(f(x)=2x\).
Determina:
a) la función por extensión,
b) si es inyectiva,
c) si es sobreyectiva,
d) si es biyectiva,
e) su inversa por extensión.
a) Calculamos las imágenes:
\[ f(1)=2,\quad f(2)=4,\quad f(3)=6,\quad f(4)=8 \]
La función por extensión es:
\[ f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
b) Es inyectiva porque no repite imágenes.
c) Es sobreyectiva porque su imagen es:
\[ \mathrm{Im}(f)=\{2,4,6,8\} \]
y coincide con el codominio \(B\).
d) Como es inyectiva y sobreyectiva, entonces es biyectiva.
e) Su inversa por extensión se obtiene invirtiendo cada par:
\[ f^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\} \]
Cierre de la unidad
En esta página de consolidación reunimos las ideas centrales de la unidad: relaciones, funciones, clasificación de funciones e inversa.
El objetivo final es que puedas reconocer estas ideas en diferentes representaciones y justificar cada respuesta con claridad matemática.