Medidas de posición
1. Rango y primera idea de variabilidad [amplitud total]
Objetivo
Comprender el rango o amplitud total como una primera medida de dispersión, calcularlo correctamente e interpretarlo para comparar qué tan extendidos o concentrados están distintos conjuntos de datos.
Ya aprendimos a organizar datos en tablas, representarlos con gráficos y calcular medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda.
Ahora aparece una pregunta nueva: aunque dos grupos tengan un centro parecido, ¿están igual de dispersos?
Para comenzar a responder esa idea, estudiaremos una medida muy simple: el rango.
El rango mide la distancia entre el valor mayor y el valor menor de un conjunto de datos.
\[ \text{Rango}=\text{valor máximo}-\text{valor mínimo} \]
Esta medida entrega una primera idea de variabilidad: mientras mayor sea el rango, más separados están, en general, los datos extremos.
- Identifica el dato menor.
- Identifica el dato mayor.
- Resta: máximo menos mínimo.
- Interpreta el resultado en contexto.
No es necesario sumar todos los datos ni calcular promedios para obtener el rango.
No confundas el rango con:
- la cantidad de datos,
- el dato mayor por sí solo,
- la diferencia entre datos consecutivos.
El rango siempre se calcula así:
\[ \text{máximo}-\text{mínimo} \]
Ejemplo 1: mismo centro, distinta variabilidad
Considera los siguientes dos grupos:
| Grupo | Datos |
|---|---|
| A | \(4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6\) |
| B | \(1,\ 5,\ 5,\ 5,\ 9\) |
En ambos grupos, la media es \(5\) y la mediana también es \(5\).
Sin embargo, observemos el rango:
Grupo A:
\[ \text{mínimo}=4,\qquad \text{máximo}=6 \]
\[ \text{Rango}=6-4=2 \]
Grupo B:
\[ \text{mínimo}=1,\qquad \text{máximo}=9 \]
\[ \text{Rango}=9-1=8 \]
Aunque ambos grupos tienen el mismo centro, el Grupo B presenta mayor variabilidad, porque sus datos extremos están mucho más separados.
Para comparar rápidamente la amplitud total de ambos grupos, representamos sus rangos en un gráfico de barras.
El gráfico confirma que el rango del Grupo B es mucho mayor que el del Grupo A.
Ejemplo 2: rango en contexto
Las temperaturas máximas registradas durante cinco días fueron:
\[ 18,\ 22,\ 21,\ 20,\ 25 \]
Buscamos el valor menor y el valor mayor:
\[ \text{mínimo}=18,\qquad \text{máximo}=25 \]
Entonces:
\[ \text{Rango}=25-18=7 \]
Interpretación: entre la temperatura más baja y la más alta hubo una diferencia de \(7\) grados.
Ejemplo 3: el rango no cuenta toda la historia
Observa estos dos conjuntos:
| Conjunto | Datos |
|---|---|
| C | \(2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 6\) |
| D | \(2,\ 2,\ 4,\ 6,\ 6\) |
En ambos casos:
\[ \text{mínimo}=2,\qquad \text{máximo}=6,\qquad \text{rango}=6-2=4 \]
Los dos conjuntos tienen el mismo rango, pero no están distribuidos exactamente de la misma manera.
Esto muestra que el rango es una medida útil como primera aproximación, pero no describe por completo el comportamiento de todos los datos.
El rango permite una lectura inicial de la dispersión:
- si el rango es pequeño, los extremos están relativamente cerca;
- si el rango es grande, los extremos están más separados.
Por eso sirve como una primera idea de variabilidad, especialmente cuando recién comenzamos a comparar conjuntos de datos.
El rango solo utiliza dos datos: el menor y el mayor.
Por eso, si aparece un valor extremo muy alejado, el rango puede cambiar mucho, aunque la mayoría de los datos siga parecida.
Más adelante veremos medidas que describen la dispersión con mayor detalle.
Ejercicio 1
Calcula el rango del siguiente conjunto de datos:
\[ 7,\ 10,\ 8,\ 12,\ 9,\ 11 \]
Primero identificamos los extremos:
\[ \text{mínimo}=7,\qquad \text{máximo}=12 \]
Entonces:
\[ \text{Rango}=12-7=5 \]
Respuesta: el rango es \(5\).
Ejercicio 2
Dos cursos obtuvieron los siguientes puntajes en una actividad:
| Curso | Puntajes |
|---|---|
| 1°A | \(5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\) |
| 1°B | \(2,\ 6,\ 6,\ 6,\ 10\) |
a) Calcula el rango de cada curso.
b) Indica cuál presenta mayor variabilidad según el rango.
Curso 1°A:
\[ \text{mínimo}=5,\qquad \text{máximo}=7 \]
\[ \text{Rango}=7-5=2 \]
Curso 1°B:
\[ \text{mínimo}=2,\qquad \text{máximo}=10 \]
\[ \text{Rango}=10-2=8 \]
Como \(8>2\), el curso 1°B presenta mayor variabilidad según el rango.
Conclusión: los puntajes de 1°B están más extendidos entre su valor mínimo y su valor máximo.
Ejercicio 3
Las cantidades de minutos que un grupo de estudiantes tardó en resolver una tarea fueron:
\[ 14,\ 16,\ 18,\ 17,\ 15,\ 19 \]
Calcula el rango e interpreta su significado en el contexto del problema.
Identificamos los extremos:
\[ \text{mínimo}=14,\qquad \text{máximo}=19 \]
Luego calculamos:
\[ \text{Rango}=19-14=5 \]
Interpretación: entre el estudiante que tardó menos y el que tardó más hubo una diferencia de \(5\) minutos.
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica brevemente.
- Si un conjunto tiene rango \(0\), entonces todos sus datos son iguales.
- Para calcular el rango, se suman todos los datos y se divide por la cantidad de datos.
- Un conjunto con mayor rango siempre tiene una media mayor.
1. Verdadera.
Si el rango es \(0\), entonces:
\[ \text{máximo}-\text{mínimo}=0 \]
Eso solo ocurre cuando el máximo y el mínimo coinciden, es decir, cuando todos los datos son iguales.
2. Falsa.
Esa descripción corresponde a la media aritmética. El rango se obtiene restando:
\[ \text{máximo}-\text{mínimo} \]
3. Falsa.
El rango informa sobre la dispersión de los extremos, no sobre el valor promedio. Un conjunto puede tener rango mayor y, aun así, tener la misma media o incluso una media menor.
Ejercicio 5
Observa estos dos conjuntos:
\[ A=\{4,4,5,5,6\} \]
\[ B=\{4,4,5,5,20\} \]
a) Calcula el rango de cada conjunto.
b) Explica qué efecto produce el valor \(20\) en el conjunto \(B\).
Conjunto A:
\[ \text{mínimo}=4,\qquad \text{máximo}=6 \]
\[ \text{Rango}=6-4=2 \]
Conjunto B:
\[ \text{mínimo}=4,\qquad \text{máximo}=20 \]
\[ \text{Rango}=20-4=16 \]
El valor \(20\) actúa como un dato extremo que aumenta mucho el rango.
Conclusión: aunque varios datos de ambos conjuntos son parecidos, en \(B\) aparece un valor muy alejado que hace crecer considerablemente la amplitud total.
Ticket de salida
- ¿Qué mide el rango?
- ¿Cómo se calcula?
- Si dos conjuntos tienen la misma media, ¿pueden tener distinto rango?
- El rango mide la distancia entre el dato mayor y el dato menor de un conjunto.
- Se calcula restando: \[ \text{máximo}-\text{mínimo} \]
- Sí. Dos conjuntos pueden tener la misma media y, sin embargo, distinta variabilidad. El rango ayuda a detectar esa diferencia inicial.
- El rango también se llama amplitud total.
- Se calcula como máximo menos mínimo.
- Entrega una primera idea de dispersión.
- Un rango mayor suele indicar mayor separación entre los datos extremos.
- El rango es útil, pero no describe por completo cómo se distribuyen todos los datos.