Medidas de posición
6. Resumen de cinco números [mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\), máximo]
Objetivo de la página
Construir e interpretar el resumen de cinco números de un conjunto de datos, reconociendo su utilidad para sintetizar la posición y la dispersión mediante el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo.
Ya estudiamos el rango, los cuartiles, los deciles y los percentiles.
Ahora reuniremos parte de esas ideas en una síntesis muy útil: el resumen de cinco números.
Esta herramienta permite describir rápidamente cómo se distribuyen los datos sin escribir todo el conjunto completo.
Es una forma breve de resumir un conjunto de datos ordenados usando estos cinco valores:
- Mínimo: el menor dato.
- \(Q_1\): primer cuartil.
- Mediana: valor central del conjunto.
- \(Q_3\): tercer cuartil.
- Máximo: el mayor dato.
Se suele escribir así:
\[ (\text{mínimo},\ Q_1,\ \text{mediana},\ Q_3,\ \text{máximo}) \]
- Ordena los datos de menor a mayor.
- Identifica el mínimo y el máximo.
- Calcula la mediana.
- Calcula \(Q_1\) y \(Q_3\) con el mismo criterio usado en las páginas anteriores.
- Escribe los cinco valores en orden.
Así se obtiene una descripción rápida del centro y de la dispersión del conjunto.
El resumen de cinco números no incluye la media aritmética.
Está formado solo por:
\[ \text{mínimo},\ Q_1,\ \text{mediana},\ Q_3,\ \text{máximo} \]
Ejemplo 1: construir el resumen de cinco números
Considera el conjunto:
\[ 12,\ 7,\ 15,\ 10,\ 8,\ 18,\ 11,\ 9,\ 14 \]
Paso 1: ordenar
\[ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 14,\ 15,\ 18 \]
Paso 2: identificar mínimo y máximo
\[ \text{mínimo}=7,\qquad \text{máximo}=18 \]
Paso 3: calcular la mediana
Como hay \(9\) datos, el valor central es el quinto:
\[ \text{mediana}=11 \]
Paso 4: calcular \(Q_1\) y \(Q_3\)
Mitad inferior: \(\{7,8,9,10\}\)
Mitad superior: \(\{12,14,15,18\}\)
\[ Q_1=\frac{8+9}{2}=8{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{14+15}{2}=14{,}5 \]
Resumen de cinco números:
\[ (7,\ 8{,}5,\ 11,\ 14{,}5,\ 18) \]
Ejemplo 2: otro caso con cantidad par de datos
Ahora consideremos:
\[ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 18 \]
Los datos ya están ordenados.
Mínimo y máximo
\[ \text{mínimo}=5,\qquad \text{máximo}=18 \]
Mediana
Como hay \(8\) datos, la mediana es el promedio entre el cuarto y el quinto:
\[ \text{mediana}=\frac{9+11}{2}=10 \]
Cuartiles
Mitad inferior: \(\{5,6,8,9\}\)
Mitad superior: \(\{11,13,15,18\}\)
\[ Q_1=\frac{6+8}{2}=7 \]
\[ Q_3=\frac{13+15}{2}=14 \]
Resumen de cinco números:
\[ (5,\ 7,\ 10,\ 14,\ 18) \]
Ejemplo 3: interpretación del resumen
Supongamos que el resumen de cinco números de un grupo es:
\[ (420,\ 480,\ 530,\ 610,\ 700) \]
Esto significa que:
- el puntaje mínimo fue \(420\),
- aproximadamente el \(25\%\) de los puntajes queda en o bajo \(480\),
- aproximadamente el \(50\%\) de los puntajes queda en o bajo \(530\),
- aproximadamente el \(75\%\) de los puntajes queda en o bajo \(610\),
- el puntaje máximo fue \(700\).
Así, sin mirar todos los datos uno por uno, ya tenemos una visión general del comportamiento del grupo.
Ejemplo 4: apoyo visual hacia el boxplot
El resumen de cinco números sirve directamente para construir un gráfico de caja.
Si tomamos el resumen:
\[ (7,\ 8{,}5,\ 11,\ 14{,}5,\ 18) \]
podemos representarlo visualmente así:
En la siguiente página veremos cómo se construye e interpreta esa representación paso a paso.
El resumen de cinco números permite:
- describir un conjunto de datos de forma breve,
- ubicar el centro mediante la mediana,
- observar cómo se reparten los datos usando \(Q_1\) y \(Q_3\),
- identificar la amplitud general a partir del mínimo y el máximo.
| Elemento | Qué representa |
|---|---|
| Mínimo | El menor dato del conjunto |
| \(Q_1\) | El valor bajo el cual queda aproximadamente el 25% de los datos |
| Mediana | El valor central; aproximadamente el 50% de los datos queda en o bajo él |
| \(Q_3\) | El valor bajo el cual queda aproximadamente el 75% de los datos |
| Máximo | El mayor dato del conjunto |
Ejercicio 1
Construye el resumen de cinco números del conjunto:
\[ 4,\ 7,\ 9,\ 10,\ 12,\ 14,\ 18 \]
Los datos ya están ordenados.
\[ \text{mínimo}=4,\qquad \text{máximo}=18 \]
Como hay \(7\) datos, la mediana es el cuarto valor:
\[ \text{mediana}=10 \]
Mitad inferior: \(\{4,7,9\}\)
Mitad superior: \(\{12,14,18\}\)
\[ Q_1=7,\qquad Q_3=14 \]
Resumen de cinco números:
\[ (4,\ 7,\ 10,\ 14,\ 18) \]
Ejercicio 2
Construye el resumen de cinco números del conjunto ordenado:
\[ 3,\ 5,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 17 \]
\[ \text{mínimo}=3,\qquad \text{máximo}=17 \]
Como hay \(8\) datos, la mediana es:
\[ \text{mediana}=\frac{8+10}{2}=9 \]
Mitad inferior: \(\{3,5,6,8\}\)
Mitad superior: \(\{10,12,14,17\}\)
\[ Q_1=\frac{5+6}{2}=5{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{12+14}{2}=13 \]
Resumen de cinco números:
\[ (3,\ 5{,}5,\ 9,\ 13,\ 17) \]
Ejercicio 3
El resumen de cinco números de un grupo de puntajes es:
\[ (380,\ 450,\ 520,\ 610,\ 740) \]
Interpreta el significado de \(450\), \(520\) y \(610\).
En ese resumen:
- \(450\) corresponde a \(Q_1\), así que aproximadamente el \(25\%\) de los puntajes queda en o bajo ese valor.
- \(520\) corresponde a la mediana, así que aproximadamente el \(50\%\) de los puntajes queda en o bajo ese valor.
- \(610\) corresponde a \(Q_3\), así que aproximadamente el \(75\%\) de los puntajes queda en o bajo ese valor.
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- El resumen de cinco números incluye la media aritmética.
- La mediana forma parte del resumen de cinco números.
- \(Q_1\) y \(Q_3\) forman parte del resumen de cinco números.
1. Falsa.
La media no forma parte del resumen de cinco números.
2. Verdadera.
La mediana es uno de los cinco valores del resumen.
3. Verdadera.
El primer y el tercer cuartil son parte fundamental del resumen.
Ejercicio 5
Dos conjuntos tienen estos resúmenes de cinco números:
| Conjunto | Resumen de cinco números |
|---|---|
| A | \((5,\ 8,\ 10,\ 13,\ 16)\) |
| B | \((5,\ 7,\ 10,\ 15,\ 16)\) |
Explica una diferencia importante entre ambos.
Ambos conjuntos tienen el mismo mínimo, la misma mediana y el mismo máximo:
\[ 5,\qquad 10,\qquad 16 \]
Pero cambian los cuartiles:
\[ Q_1(A)=8,\quad Q_3(A)=13 \]
\[ Q_1(B)=7,\quad Q_3(B)=15 \]
Eso sugiere que en el conjunto B la parte central está más extendida que en el conjunto A.
Ticket de salida
- ¿Cuáles son los cinco valores que forman este resumen?
- ¿Por qué se relaciona directamente con los cuartiles?
- ¿Para qué servirá este resumen en la página siguiente?
- Lo forman el mínimo, \(Q_1\), la mediana, \(Q_3\) y el máximo.
- Porque incluye \(Q_1\), la mediana y \(Q_3\), que son medidas de posición basadas en cuartiles.
- Servirá para construir e interpretar el boxplot o gráfico de caja.
- El resumen de cinco números sintetiza un conjunto con solo cinco valores.
- Se construye con: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo.
- No incluye la media aritmética.
- Permite describir centro y dispersión de manera breve.
- Es la base directa para construir el gráfico de caja.