Medidas de posición
7. Boxplot I [construcción paso a paso]
Objetivo de la página
Construir un boxplot o gráfico de caja a partir del resumen de cinco números, identificando correctamente sus elementos básicos: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\) y máximo.
En la página anterior construimos el resumen de cinco números.
Ahora usaremos esa información para dibujar una representación visual muy importante: el boxplot.
En esta página nos enfocaremos en cómo se construye. La interpretación más profunda del gráfico la trabajaremos después.
El boxplot, también llamado gráfico de caja o diagrama de cajón, es una representación visual construida a partir de cinco valores:
\[ \text{mínimo},\quad Q_1,\quad \text{mediana},\quad Q_3,\quad \text{máximo} \]
Estos cinco valores resumen cómo se distribuyen los datos y permiten observar, de un vistazo, su posición y dispersión.
- Ordena los datos.
- Calcula el mínimo, \(Q_1\), la mediana, \(Q_3\) y el máximo.
- Dibuja una recta horizontal con una escala adecuada.
- Marca sobre la recta los cinco valores del resumen.
- Dibuja una caja desde \(Q_1\) hasta \(Q_3\).
- Traza una línea vertical en la mediana.
- Dibuja los segmentos exteriores desde el mínimo hasta \(Q_1\) y desde \(Q_3\) hasta el máximo.
- Construir el boxplot sin ordenar antes los datos.
- Confundir la mediana con la media.
- Ubicar mal \(Q_1\) o \(Q_3\).
- Dibujar la caja desde el mínimo hasta el máximo. Eso es incorrecto.
La caja siempre va desde \(Q_1\) hasta \(Q_3\).
Ejemplo 1: desde los datos al resumen de cinco números
Considera el conjunto:
\[ 12,\ 7,\ 15,\ 10,\ 8,\ 18,\ 11,\ 9,\ 14 \]
Paso 1: ordenar
\[ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 14,\ 15,\ 18 \]
Paso 2: mínimo y máximo
\[ \text{mínimo}=7,\qquad \text{máximo}=18 \]
Paso 3: mediana
Como hay \(9\) datos, el valor central es el quinto:
\[ \text{mediana}=11 \]
Paso 4: cuartiles
Mitad inferior: \(\{7,8,9,10\}\)
Mitad superior: \(\{12,14,15,18\}\)
\[ Q_1=\frac{8+9}{2}=8{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{14+15}{2}=14{,}5 \]
Resumen de cinco números:
\[ (7,\ 8{,}5,\ 11,\ 14{,}5,\ 18) \]
Ejemplo 2: desde el resumen al boxplot
Usaremos ahora el resumen obtenido:
\[ (7,\ 8{,}5,\ 11,\ 14{,}5,\ 18) \]
| Elemento | Valor |
|---|---|
| Mínimo | \(7\) |
| \(Q_1\) | \(8{,}5\) |
| Mediana | \(11\) |
| \(Q_3\) | \(14{,}5\) |
| Máximo | \(18\) |
Construcción conceptual:
- Se marca el mínimo en \(7\).
- Se marca \(Q_1\) en \(8{,}5\).
- Se marca la mediana en \(11\).
- Se marca \(Q_3\) en \(14{,}5\).
- Se marca el máximo en \(18\).
- Se dibuja la caja desde \(8{,}5\) hasta \(14{,}5\).
- Se dibuja la línea interior de la mediana en \(11\).
- Se unen el mínimo con \(Q_1\) y \(Q_3\) con el máximo.
En este boxplot, la caja representa el tramo entre \(Q_1\) y \(Q_3\), mientras que la línea interior corresponde a la mediana.
Ejemplo 3: segundo ejemplo de construcción
Considera ahora los datos ordenados:
\[ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13 \]
Mínimo y máximo
\[ \text{mínimo}=4,\qquad \text{máximo}=13 \]
Mediana
\[ \text{mediana}=\frac{7+8}{2}=7{,}5 \]
Cuartiles
Mitad inferior: \(\{4,5,6,6,7\}\)
Mitad superior: \(\{8,9,10,11,13\}\)
\[ Q_1=6,\qquad Q_3=10 \]
Resumen de cinco números:
\[ (4,\ 6,\ 7{,}5,\ 10,\ 13) \]
Con esos cinco valores ya se puede construir el boxplot correspondiente.
| Elemento | Ubicación en el gráfico | Significado |
|---|---|---|
| Mínimo | Extremo izquierdo | Menor dato del conjunto |
| \(Q_1\) | Borde izquierdo de la caja | Deja aproximadamente el 25% de los datos en o bajo ese valor |
| Mediana | Línea dentro de la caja | Valor central del conjunto |
| \(Q_3\) | Borde derecho de la caja | Deja aproximadamente el 75% de los datos en o bajo ese valor |
| Máximo | Extremo derecho | Mayor dato del conjunto |
El boxplot no se construye directamente “a ojo” desde los datos sueltos.
Primero se obtiene el resumen de cinco números y recién después se dibuja el gráfico.
Por eso, si el resumen está mal calculado, el boxplot también quedará mal construido.
Ejercicio 1
Construye el resumen de cinco números del conjunto:
\[ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12,\ 13,\ 15 \]
Luego indica con esos valores cómo se ubicaría el boxplot.
Los datos ya están ordenados.
\[ \text{mínimo}=5,\qquad \text{máximo}=15 \]
Como hay \(7\) datos, la mediana es el cuarto valor:
\[ \text{mediana}=10 \]
Mitad inferior: \(\{5,7,8\}\)
Mitad superior: \(\{12,13,15\}\)
\[ Q_1=7,\qquad Q_3=13 \]
Resumen de cinco números:
\[ (5,\ 7,\ 10,\ 13,\ 15) \]
Entonces, en el boxplot:
- la caja va desde \(7\) hasta \(13\),
- la línea interior va en \(10\),
- los extremos quedan en \(5\) y \(15\).
Ejercicio 2
Construye el resumen de cinco números del conjunto ordenado:
\[ 2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 11,\ 13 \]
Luego escribe desde qué valor hasta qué valor se dibuja la caja.
\[ \text{mínimo}=2,\qquad \text{máximo}=13 \]
Como hay \(8\) datos, la mediana es:
\[ \text{mediana}=\frac{7+8}{2}=7{,}5 \]
Mitad inferior: \(\{2,4,5,7\}\)
Mitad superior: \(\{8,9,11,13\}\)
\[ Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5 \]
\[ Q_3=\frac{9+11}{2}=10 \]
Resumen de cinco números:
\[ (2,\ 4{,}5,\ 7{,}5,\ 10,\ 13) \]
La caja se dibuja desde \(Q_1=4{,}5\) hasta \(Q_3=10\).
Ejercicio 3
El resumen de cinco números de un conjunto es:
\[ (6,\ 9,\ 12,\ 16,\ 20) \]
Indica:
- dónde comienza y termina la caja,
- dónde se ubica la mediana,
- cuáles son los extremos del gráfico.
Como el resumen es:
\[ (6,\ 9,\ 12,\ 16,\ 20) \]
- la caja comienza en \(9\) y termina en \(16\),
- la mediana se ubica en \(12\),
- los extremos del gráfico son \(6\) y \(20\).
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- La caja de un boxplot va desde el mínimo hasta el máximo.
- La línea interior de la caja representa la mediana.
- Para construir un boxplot se necesita el resumen de cinco números.
1. Falsa.
La caja no va desde el mínimo hasta el máximo, sino desde \(Q_1\) hasta \(Q_3\).
2. Verdadera.
La línea interior de la caja representa la mediana.
3. Verdadera.
El boxplot se construye a partir del mínimo, \(Q_1\), la mediana, \(Q_3\) y el máximo.
Ejercicio 5
Completa los espacios usando las palabras: mínimo, \(Q_1\), mediana, \(Q_3\), máximo.
- El borde izquierdo de la caja corresponde a __________.
- El borde derecho de la caja corresponde a __________.
- La línea interior corresponde a la __________.
- Los extremos exteriores corresponden al __________ y al __________.
- El borde izquierdo de la caja corresponde a \(Q_1\).
- El borde derecho de la caja corresponde a \(Q_3\).
- La línea interior corresponde a la mediana.
- Los extremos exteriores corresponden al mínimo y al máximo.
Ticket de salida
- ¿Con qué cinco valores se construye un boxplot?
- ¿Entre qué dos valores se dibuja la caja?
- ¿Qué valor representa la línea interior del boxplot?
- Se construye con el mínimo, \(Q_1\), la mediana, \(Q_3\) y el máximo.
- La caja se dibuja entre \(Q_1\) y \(Q_3\).
- La línea interior representa la mediana.
- El boxplot se construye a partir del resumen de cinco números.
- La caja va desde \(Q_1\) hasta \(Q_3\).
- La línea interior representa la mediana.
- Los extremos representan el mínimo y el máximo.
- En la siguiente página nos concentraremos en interpretar lo que muestra un boxplot.