Medidas de posición
3. Deciles [ubicación porcentual, lectura contextual]
Objetivo de la página
Comprender qué son los deciles, calcular su ubicación en un conjunto de datos ordenados e interpretar su significado como medidas de posición porcentual en distintos contextos.
En la página anterior vimos que los cuartiles dividen un conjunto ordenado en cuatro partes.
Ahora avanzaremos a una división más fina: los deciles dividen los datos ordenados en diez partes.
Esto permite describir con más detalle la posición relativa de un valor dentro del conjunto.
Los deciles son medidas de posición que dividen un conjunto de datos ordenados en diez partes.
Se nombran como \(D_1, D_2, D_3, \dots, D_9\).
Su interpretación básica es:
- \(D_1\): deja aproximadamente el 10\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(D_2\): deja aproximadamente el 20\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(D_5\): deja aproximadamente el 50\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(D_9\): deja aproximadamente el 90\% de los datos en o bajo ese valor.
Por eso, los deciles permiten ubicar un valor según su posición porcentual dentro del conjunto.
- Ordena los datos de menor a mayor.
- Elige el decil que quieres calcular.
- Calcula su posición con la fórmula: \[ P_{D_k}=\frac{k(n+1)}{10} \] donde \(k\) es el número del decil y \(n\) es la cantidad de datos.
- Si la posición es entera, el decil coincide con ese dato ordenado.
- Si la posición no es entera, el decil queda entre dos datos consecutivos y se interpola linealmente.
- Los deciles solo tienen sentido cuando los datos están ordenados.
- No hay que confundir \(D_5\) con “el quinto dato”. \(D_5\) significa quinto decil, es decir, el valor que deja aproximadamente al 50\% de los datos en o bajo él.
Ejemplo 1: cálculo de deciles con posición entera
Considera los siguientes puntajes, ya ordenados:
\[ 40,\ 45,\ 50,\ 55,\ 60,\ 62,\ 64,\ 66,\ 68,\ 70,\ 72,\ 74,\ 76,\ 78,\ 80,\ 82,\ 84,\ 86,\ 90 \]
Hay \(n=19\) datos. Entonces:
\[ n+1=20 \]
Cálculo de \(D_2\)
\[ P_{D_2}=\frac{2(20)}{10}=4 \]
El cuarto dato es \(55\), por lo tanto:
\[ D_2=55 \]
Cálculo de \(D_5\)
\[ P_{D_5}=\frac{5(20)}{10}=10 \]
El décimo dato es \(70\), por lo tanto:
\[ D_5=70 \]
Cálculo de \(D_8\)
\[ P_{D_8}=\frac{8(20)}{10}=16 \]
El dato número \(16\) es \(82\), por lo tanto:
\[ D_8=82 \]
Interpretación:
- \(D_2=55\) deja aproximadamente al \(20\%\) de los puntajes en o bajo \(55\).
- \(D_5=70\) deja aproximadamente al \(50\%\) de los puntajes en o bajo \(70\).
- \(D_8=82\) deja aproximadamente al \(80\%\) de los puntajes en o bajo \(82\).
Ejemplo 2: cálculo de un decil con posición decimal
Considera el conjunto ordenado:
\[ 5,\ 8,\ 10,\ 12,\ 15,\ 18,\ 20,\ 24,\ 27,\ 30 \]
Hay \(n=10\) datos. Calcularemos \(D_3\).
\[ P_{D_3}=\frac{3(10+1)}{10}=\frac{33}{10}=3{,}3 \]
La posición \(3{,}3\) está entre el tercer y el cuarto dato:
\[ x_3=10,\qquad x_4=12 \]
Eso significa que \(D_3\) está un \(0{,}3\) del camino entre \(10\) y \(12\).
La diferencia entre ambos valores es:
\[ 12-10=2 \]
Entonces:
\[ D_3=10+0{,}3\cdot 2=10+0{,}6=10{,}6 \]
Resultado:
\[ D_3=10{,}6 \]
Interpretación: aproximadamente el 30\% de los datos queda en o bajo \(10{,}6\).
Ejemplo 3: apoyo visual con ojiva y frecuencia acumulada 4000
Como ya trabajamos la frecuencia acumulada, también podemos interpretar deciles con una ojiva.
Esta vez usaremos una frecuencia acumulada total de 4000. Así, cada decil se lee buscando el acumulado correspondiente:
\[ D_1\rightarrow 400,\quad D_3\rightarrow 1200,\quad D_5\rightarrow 2000,\quad D_7\rightarrow 2800,\quad D_9\rightarrow 3600 \]
| Intervalo | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
|---|---|---|
| \([300,400)\) | 400 | 400 |
| \([400,500)\) | 800 | 1200 |
| \([500,600)\) | 1200 | 2400 |
| \([600,700)\) | 800 | 3200 |
| \([700,800]\) | 800 | 4000 |
Lectura de \(D_3\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(30\%\) de \(4000\):
\[ 0{,}30\cdot 4000=1200 \]
En la ojiva, el acumulado \(1200\) se alcanza en:
\[ D_3=500 \]
Lectura aproximada de \(D_7\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(70\%\) de \(4000\):
\[ 0{,}70\cdot 4000=2800 \]
Ese valor cae entre \(2400\) y \(3200\), por lo que se ubica dentro del tramo \([600,700)\).
Como \(2800\) está justo a la mitad entre \(2400\) y \(3200\), una estimación razonable es:
\[ D_7\approx 650 \]
Lectura aproximada de \(D_9\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(90\%\) de \(4000\):
\[ 0{,}90\cdot 4000=3600 \]
Ese valor cae entre \(3200\) y \(4000\), dentro del tramo \([700,800]\).
Como también queda a la mitad de ese tramo acumulado, una estimación razonable es:
\[ D_9\approx 750 \]
Desde esta ojiva sí podemos estimar qué valor deja acumulado un cierto porcentaje del total.
Pero no podemos concluir, solo con la ojiva, cuáles son todos los puntajes individuales ni cuántas veces se repite exactamente cada valor.
Ejemplo 4: lectura contextual de un decil
Los tiempos, en minutos, de un grupo ordenado de participantes fueron:
\[ 12,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22,\ 23,\ 24,\ 26,\ 28,\ 30,\ 32,\ 34,\ 36,\ 38 \]
Hay \(19\) datos, por lo que:
\[ n+1=20 \]
Calculemos \(D_7\):
\[ P_{D_7}=\frac{7(20)}{10}=14 \]
El dato número \(14\) es \(28\). Entonces:
\[ D_7=28 \]
Interpretación contextual: aproximadamente el 70\% del grupo tardó \(28\) minutos o menos, y aproximadamente el 30\% tardó más de \(28\) minutos.
Lectura más cuidadosa: decir que una persona quedó sobre \(D_7\) no significa que “rindió exactamente 70\%”, sino que se ubica por encima del valor que deja aproximadamente al 70\% del grupo en o bajo él.
| Decil | Porcentaje aproximado | Lectura |
|---|---|---|
| \(D_1\) | 10% | Deja aproximadamente al 10% de los datos en o bajo ese valor |
| \(D_3\) | 30% | Deja aproximadamente al 30% de los datos en o bajo ese valor |
| \(D_5\) | 50% | Deja aproximadamente al 50% de los datos en o bajo ese valor |
| \(D_7\) | 70% | Deja aproximadamente al 70% de los datos en o bajo ese valor |
| \(D_9\) | 90% | Deja aproximadamente al 90% de los datos en o bajo ese valor |
El decil \(D_5\) se asocia con el 50\% de los datos, por lo que se relaciona directamente con la idea de mediana.
Así como \(Q_2\) coincide con la mediana, \(D_5\) también representa una posición central del conjunto.
Ejercicio 1
Los siguientes datos están ordenados:
\[ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 30,\ 32,\ 34,\ 36,\ 38,\ 40,\ 42 \]
Calcula \(D_2\) y \(D_8\).
Hay \(19\) datos, entonces:
\[ n+1=20 \]
Para \(D_2\):
\[ P_{D_2}=\frac{2(20)}{10}=4 \]
El cuarto dato es \(12\). Por lo tanto:
\[ D_2=12 \]
Para \(D_8\):
\[ P_{D_8}=\frac{8(20)}{10}=16 \]
El dato número \(16\) es \(36\). Por lo tanto:
\[ D_8=36 \]
Ejercicio 2
Calcula \(D_4\) del conjunto ordenado:
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19,\ 21 \]
Hay \(n=10\) datos.
\[ P_{D_4}=\frac{4(10+1)}{10}=\frac{44}{10}=4{,}4 \]
La posición \(4{,}4\) está entre el cuarto y el quinto dato:
\[ x_4=9,\qquad x_5=11 \]
La diferencia es:
\[ 11-9=2 \]
Entonces:
\[ D_4=9+0{,}4\cdot 2=9+0{,}8=9{,}8 \]
Respuesta:
\[ D_4=9{,}8 \]
Ejercicio 3
Los siguientes puntajes ordenados corresponden a un grupo de estudiantes:
\[ 410,\ 430,\ 450,\ 470,\ 490,\ 510,\ 530,\ 550,\ 570,\ 590,\ 610,\ 630,\ 650,\ 670,\ 690,\ 710,\ 730,\ 750,\ 770 \]
a) Calcula \(D_7\).
b) Interpreta su significado en el contexto del problema.
c) Explica qué no puede concluirse solo con saber el valor de \(D_7\).
Hay \(19\) datos, por lo tanto:
\[ n+1=20 \]
\[ P_{D_7}=\frac{7(20)}{10}=14 \]
El dato número \(14\) es \(670\). Entonces:
\[ D_7=670 \]
Interpretación: aproximadamente el 70\% de los estudiantes obtuvo un puntaje igual o inferior a \(670\), y aproximadamente el 30\% obtuvo un puntaje mayor.
Lo que no puede concluirse solo con \(D_7\): no se puede saber la media exacta del grupo, ni todos los puntajes individuales, ni cuánto se separan entre sí los datos por encima o por debajo de \(670\).
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- \(D_5\) se relaciona con el 50% de los datos.
- \(D_9\) deja aproximadamente al 90% de los datos en o bajo ese valor.
- Los deciles pueden calcularse sin ordenar los datos.
- Si una persona está sobre \(D_8\), entonces necesariamente tiene el valor máximo del conjunto.
1. Verdadera.
\(D_5\) se asocia al 50% de los datos, por lo que se relaciona con una posición central del conjunto.
2. Verdadera.
El noveno decil deja aproximadamente al 90% de los datos en o bajo ese valor.
3. Falsa.
Los deciles son medidas de posición, por lo tanto se calculan sobre datos ordenados.
4. Falsa.
Estar sobre \(D_8\) significa ubicarse en el tramo superior del conjunto, pero no implica necesariamente tener el valor máximo.
Ejercicio 5
En una ojiva con frecuencia acumulada total \(4000\), se observa que el nivel acumulado \(1600\) se alcanza cerca de \(540\) y el nivel acumulado \(3200\) cerca de \(700\).
a) Estima \(D_4\) y \(D_8\).
b) Interpreta \(D_8\).
c) Indica una afirmación que sí puede concluirse desde esa ojiva y una que no puede concluirse directamente.
a) Estimación:
Como:
\[ 0{,}40\cdot 4000=1600 \]
y
\[ 0{,}80\cdot 4000=3200 \]
entonces:
\[ D_4\approx 540,\qquad D_8\approx 700 \]
b) Interpretación de \(D_8\): aproximadamente el 80\% de los datos queda en o bajo \(700\).
c) Una afirmación que sí puede concluirse: el valor que deja acumulado el 80% del grupo se ubica aproximadamente en \(700\).
Una afirmación que no puede concluirse directamente: no puede afirmarse cuál es la media exacta del grupo ni cuáles son todos los valores individuales.
Ticket de salida
- ¿Qué porcentaje aproximado de los datos queda en o bajo \(D_3\)?
- ¿Qué representa \(D_5\)?
- Escribe una conclusión breve y bien justificada usando \(D_7\).
- En o bajo \(D_3\) queda aproximadamente el 30\% de los datos.
- \(D_5\) representa la posición que deja aproximadamente al 50\% de los datos en o bajo ese valor.
- Una posible respuesta es: “Si un resultado está por encima de \(D_7\), entonces se ubica por sobre el valor que deja aproximadamente al 70\% del grupo en o bajo él”.
- Los deciles dividen un conjunto ordenado en diez partes.
- \(D_k\) deja aproximadamente al \(10k\%\) de los datos en o bajo ese valor.
- \(D_5\) se relaciona con la posición central del conjunto.
- Los deciles ayudan a interpretar ubicación porcentual en contextos reales.
- La ojiva puede servir como apoyo visual para leer deciles, pero no reemplaza por completo el análisis del contexto ni describe todos los datos individuales.