Medidas de posición
4. Percentiles [uso en resultados estandarizados]
Objetivo de la página
Comprender qué son los percentiles, calcular su posición en datos ordenados e interpretar su significado en contextos como puntajes estandarizados, comparaciones de rendimiento y lectura de ubicación relativa.
En la página anterior vimos que los deciles dividen los datos ordenados en diez partes.
Ahora daremos un paso todavía más fino: los percentiles dividen el conjunto en 100 partes.
Por eso son especialmente útiles cuando interesa describir con mayor precisión la posición relativa de una persona o de un resultado dentro de un grupo.
Los percentiles son medidas de posición que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes.
Se representan como \(P_1,\ P_2,\ P_3,\ \dots,\ P_{99}\).
Su interpretación básica es:
- \(P_{25}\): deja aproximadamente el 25\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(P_{50}\): deja aproximadamente el 50\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(P_{80}\): deja aproximadamente el 80\% de los datos en o bajo ese valor.
- \(P_{90}\): deja aproximadamente el 90\% de los datos en o bajo ese valor.
- Ordena los datos de menor a mayor.
- Elige el percentil que quieres calcular.
- Calcula su posición con la fórmula: \[ \text{Pos}(P_k)=\frac{k(n+1)}{100} \] donde \(k\) es el número del percentil y \(n\) es la cantidad de datos.
- Si la posición es entera, el percentil coincide con ese dato ordenado.
- Si la posición no es entera, el percentil queda entre dos datos consecutivos y se interpola linealmente.
Estar en el percentil \(85\) no significa obtener 85 puntos ni responder correctamente el 85\% de una prueba.
Significa que el resultado se ubica por sobre muchos otros, de modo que aproximadamente el 85\% del grupo queda en o bajo ese valor.
Ejemplo 1: cálculo de percentiles con posiciones enteras
Considera los siguientes puntajes, ya ordenados:
\[ 380,\ 400,\ 420,\ 440,\ 460,\ 480,\ 500,\ 520,\ 540,\ 560,\ 580,\ 600,\ 620,\ 640,\ 660,\ 680,\ 700,\ 720,\ 740 \]
Hay \(n=19\) datos. Entonces:
\[ n+1=20 \]
Cálculo de \(P_{25}\)
\[ \text{Pos}(P_{25})=\frac{25\cdot 20}{100}=5 \]
El quinto dato es \(460\), por lo tanto:
\[ P_{25}=460 \]
Cálculo de \(P_{50}\)
\[ \text{Pos}(P_{50})=\frac{50\cdot 20}{100}=10 \]
El décimo dato es \(560\), por lo tanto:
\[ P_{50}=560 \]
Cálculo de \(P_{75}\)
\[ \text{Pos}(P_{75})=\frac{75\cdot 20}{100}=15 \]
El dato número \(15\) es \(660\), por lo tanto:
\[ P_{75}=660 \]
Resultado:
\[ P_{25}=460,\qquad P_{50}=560,\qquad P_{75}=660 \]
Ejemplo 2: cálculo de un percentil con posición decimal
Considera el conjunto ordenado:
\[ 10,\ 12,\ 15,\ 18,\ 20,\ 22,\ 25,\ 27,\ 30,\ 34 \]
Calcularemos \(P_{30}\).
Como hay \(n=10\) datos:
\[ \text{Pos}(P_{30})=\frac{30(10+1)}{100}=\frac{330}{100}=3{,}3 \]
La posición \(3{,}3\) queda entre el tercer y el cuarto dato:
\[ x_3=15,\qquad x_4=18 \]
La diferencia entre ambos es:
\[ 18-15=3 \]
Entonces:
\[ P_{30}=15+0{,}3\cdot 3=15+0{,}9=15{,}9 \]
Resultado:
\[ P_{30}=15{,}9 \]
Interpretación: aproximadamente el 30\% de los datos queda en o bajo \(15{,}9\).
Ejemplo 3: interpretación en resultados estandarizados
Un informe señala que una estudiante quedó en el percentil 85 de un examen.
¿Qué significa?
Significa que su resultado es igual o superior al de gran parte del grupo, de modo que aproximadamente el 85\% de los puntajes queda en o bajo el suyo.
Equivalentemente, aproximadamente el 15\% del grupo obtuvo un resultado mayor.
No significa que haya obtenido exactamente \(85\) puntos ni que haya respondido bien el \(85\%\) de la prueba.
El percentil permite ubicar un resultado dentro del grupo, pero no describe por sí solo la dificultad de la prueba ni la distancia exacta entre un puntaje y otro.
Ejemplo 4: apoyo visual con ojiva y frecuencia acumulada 500
Como ya trabajamos la frecuencia acumulada, podemos usar una ojiva para interpretar percentiles de manera visual.
Esta vez usaremos una frecuencia acumulada total de 500. Así, los percentiles se leen buscando el acumulado correspondiente:
\[ P_{25}\rightarrow 125,\qquad P_{50}\rightarrow 250,\qquad P_{85}\rightarrow 425 \]
| Intervalo | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
|---|---|---|
| \([300,400)\) | 50 | 50 |
| \([400,500)\) | 75 | 125 |
| \([500,600)\) | 125 | 250 |
| \([600,700)\) | 125 | 375 |
| \([700,800]\) | 125 | 500 |
Lectura de \(P_{25}\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(25\%\) de \(500\):
\[ 0{,}25\cdot 500=125 \]
En la ojiva, el acumulado \(125\) se alcanza en:
\[ P_{25}=500 \]
Lectura de \(P_{50}\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(50\%\) de \(500\):
\[ 0{,}50\cdot 500=250 \]
En la ojiva, el acumulado \(250\) se alcanza en:
\[ P_{50}=600 \]
Lectura aproximada de \(P_{85}\)
Buscamos el acumulado correspondiente al \(85\%\) de \(500\):
\[ 0{,}85\cdot 500=425 \]
Ese valor cae entre \(375\) y \(500\), por lo que se ubica dentro del tramo \([700,800]\).
Como \(425\) está \(50\) unidades sobre \(375\), y el tramo acumulado total es de \(125\), se ubica a:
\[ \frac{50}{125}=0{,}4 \]
del intervalo. Entonces una lectura aproximada es:
\[ P_{85}\approx 700+0{,}4\cdot 100=740 \]
Desde esta ojiva sí podemos estimar qué valor deja acumulado un cierto porcentaje del total.
Pero no podemos concluir, solo con la ojiva, cuáles son todos los puntajes individuales, cuál es la media exacta ni cuánto se separan exactamente unos datos de otros.
| Medida | Equivalencia | Interpretación |
|---|---|---|
| \(P_{25}\) | \(Q_1\) | Deja aproximadamente el 25% de los datos en o bajo ese valor |
| \(P_{50}\) | Mediana, \(Q_2\) | Deja aproximadamente el 50% de los datos en o bajo ese valor |
| \(P_{75}\) | \(Q_3\) | Deja aproximadamente el 75% de los datos en o bajo ese valor |
Los percentiles se usan cuando interesa comparar un resultado con el resto de un grupo.
Por eso aparecen con frecuencia en contextos como puntajes estandarizados, evaluaciones, crecimiento, salud, encuestas y análisis de rendimiento.
Ejercicio 1
Calcula \(P_{25}\), \(P_{50}\) y \(P_{75}\) del conjunto ordenado:
\[ 100,\ 120,\ 140,\ 160,\ 180,\ 200,\ 220,\ 240,\ 260,\ 280,\ 300,\ 320,\ 340,\ 360,\ 380,\ 400,\ 420,\ 440,\ 460 \]
Hay \(19\) datos, entonces:
\[ n+1=20 \]
Para \(P_{25}\):
\[ \text{Pos}(P_{25})=\frac{25\cdot 20}{100}=5 \]
El quinto dato es \(180\). Entonces:
\[ P_{25}=180 \]
Para \(P_{50}\):
\[ \text{Pos}(P_{50})=\frac{50\cdot 20}{100}=10 \]
El décimo dato es \(280\). Entonces:
\[ P_{50}=280 \]
Para \(P_{75}\):
\[ \text{Pos}(P_{75})=\frac{75\cdot 20}{100}=15 \]
El dato número \(15\) es \(380\). Entonces:
\[ P_{75}=380 \]
Ejercicio 2
Calcula \(P_{40}\) del conjunto ordenado:
\[ 6,\ 9,\ 11,\ 14,\ 18,\ 21,\ 25,\ 28,\ 31,\ 35 \]
Hay \(n=10\) datos.
\[ \text{Pos}(P_{40})=\frac{40(10+1)}{100}=\frac{440}{100}=4{,}4 \]
La posición \(4{,}4\) está entre el cuarto y el quinto dato:
\[ x_4=14,\qquad x_5=18 \]
La diferencia es:
\[ 18-14=4 \]
Entonces:
\[ P_{40}=14+0{,}4\cdot 4=14+1{,}6=15{,}6 \]
Respuesta:
\[ P_{40}=15{,}6 \]
Ejercicio 3
En un informe se indica que un estudiante quedó en el percentil 92 de una evaluación.
a) Explica qué significa esa información.
b) Explica qué no significa.
a) Sí significa: que aproximadamente el 92\% de los puntajes del grupo quedó en o bajo el resultado de ese estudiante.
Equivalentemente, aproximadamente el 8\% del grupo obtuvo un puntaje mayor.
b) No significa: que haya obtenido exactamente \(92\) puntos ni que haya respondido correctamente el \(92\%\) de la prueba.
Ejercicio 4
En una ojiva con frecuencia acumulada total \(500\), el nivel acumulado \(300\) se alcanza aproximadamente en el puntaje \(640\).
a) ¿Qué percentil representa ese valor?
b) ¿Qué interpretación corresponde a esa lectura?
c) Indica una conclusión que no puede hacerse solo con esa información.
a) Como:
\[ \frac{300}{500}=0{,}60 \]
ese valor representa el percentil 60:
\[ P_{60}\approx 640 \]
b) Significa que aproximadamente el 60\% de los puntajes está en o bajo \(640\), y aproximadamente el 40\% está por sobre ese valor.
c) No puede concluirse cuál es la media exacta del grupo ni cuáles son todos los puntajes individuales.
Ejercicio 5
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.
- \(P_{50}\) se relaciona con la mediana.
- Los percentiles pueden calcularse sin ordenar los datos.
- Si una persona está en el percentil 30, entonces aproximadamente el 30% del grupo queda en o bajo su resultado.
- Conocer el percentil de una persona basta para saber la diferencia exacta entre su puntaje y el de otra persona.
1. Verdadera.
\(P_{50}\) deja aproximadamente al 50% de los datos en o bajo ese valor, por lo que se relaciona con la mediana.
2. Falsa.
Los percentiles son medidas de posición, por lo tanto se calculan sobre datos ordenados.
3. Verdadera.
Esa es precisamente la interpretación básica de \(P_{30}\): deja aproximadamente al 30% de los datos en o bajo ese valor.
4. Falsa.
El percentil ubica una posición relativa dentro del grupo, pero no entrega por sí solo la diferencia exacta entre puntajes.
Ticket de salida
- ¿Qué representa el percentil \(50\)?
- ¿Qué significa estar en el percentil \(85\)?
- Escribe una conclusión breve y bien justificada usando \(P_{75}\).
- Representa el valor que deja aproximadamente al 50% de los datos en o bajo él; se relaciona con la mediana.
- Significa que aproximadamente el 85% del grupo queda en o bajo ese resultado.
- Una posible respuesta es: “Si un resultado está por sobre \(P_{75}\), entonces se ubica en el tramo superior del grupo, por encima del valor que deja aproximadamente al 75\% de los datos en o bajo él”.
- Los percentiles dividen un conjunto ordenado en 100 partes.
- \(P_k\) deja aproximadamente al \(k\%\) de los datos en o bajo ese valor.
- \(P_{50}\) se relaciona con la mediana.
- Los percentiles son muy útiles para interpretar resultados estandarizados.
- La ojiva puede servir como apoyo visual para leer percentiles, pero no reemplaza por completo el análisis del contexto ni describe todos los datos individuales.