Clases
1. 17 de abril
Área y volumen de ortoedros
Objetivo de aprendizaje
Calcular el área de superficie y el volumen de ortoedros y cubos, aplicando correctamente las fórmulas y relacionando sus medidas con situaciones geométricas y cotidianas.
Un ortoedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son rectángulos. Sus tres dimensiones principales son largo, ancho y altura.
Si llamamos \(a\), \(b\) y \(h\) a sus dimensiones, entonces cada cara aparece en pares iguales.
Área de superficie de un ortoedro
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Volumen de un ortoedro
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
Volumen de un cubo de arista \(a\)
\[ V=a^3 \]
Área de superficie de un cubo de arista \(a\)
\[ S=6a^2 \]
Para calcular la superficie de un ortoedro, se suman las áreas de sus 6 caras. Como las caras opuestas son iguales, basta calcular tres productos y multiplicarlos por 2.
No confundas superficie con volumen.
La superficie se mide en unidades cuadradas, por ejemplo \(m^2\).
El volumen se mide en unidades cúbicas, por ejemplo \(m^3\).
Ejemplo 1: superficie de un ortoedro
Si un ortoedro tiene dimensiones \(4\,m\), \(5\,m\) y \(15\,m\), su superficie es:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(4\cdot 5)+2(4\cdot 15)+2(5\cdot 15) \]
\[ S=40+120+150=310 \]
Por lo tanto, la superficie es:
\[ 310\,m^2 \]
Ejemplo 2: volumen de un ortoedro
Ejercicio 1
Calcula la superficie de un ortoedro de dimensiones \(4\,m\), \(5\,m\) y \(15\,m\).
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Con \(a=4\), \(b=5\) y \(h=15\):
\[ S=2(4\cdot 5)+2(4\cdot 15)+2(5\cdot 15) \]
\[ S=2(20)+2(60)+2(75) \]
\[ S=40+120+150 \]
\[ S=310 \]
Respuesta:
\[ 310\,m^2 \]
Ejercicio 2
Calcula la superficie de un ortoedro de dimensiones \(3\,m\), \(3\,m\) y \(10\,m\).
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Sustituimos los datos:
\[ S=2(3\cdot 3)+2(3\cdot 10)+2(3\cdot 10) \]
\[ S=2(9)+2(30)+2(30) \]
\[ S=18+60+60 \]
\[ S=138 \]
Respuesta:
\[ 138\,m^2 \]
Ejercicio 3
En un ortoedro se sabe que \(AD=2BA\), \(BC=3BA\) y \(BA=7\). Calcula su superficie.
Primero determinamos las dimensiones.
Como \(BA=7\), entonces:
\[ AD=2\cdot BA=2\cdot 7=14 \]
\[ BC=3\cdot BA=3\cdot 7=21 \]
Por lo tanto, las tres dimensiones son \(7\), \(14\) y \(21\).
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(14\cdot 7)+2(14\cdot 21)+2(7\cdot 21) \]
\[ S=2(98)+2(294)+2(147) \]
\[ S=196+588+294 \]
\[ S=1078 \]
Respuesta:
\[ 1078 \]
Si las medidas están en metros, la superficie es:
\[ 1078\,m^2 \]
Ejercicio 4
La base de un ortoedro es un cuadrado de lado \(8\,m\). Si la superficie es \(608\,m^2\), ¿qué altura tiene?
Como la base es un cuadrado de lado \(8\,m\), entonces:
\[ a=b=8 \]
Usamos la fórmula de superficie:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Sustituimos:
\[ 608=2(8\cdot 8)+2(8\cdot h)+2(8\cdot h) \]
\[ 608=128+16h+16h \]
\[ 608=128+32h \]
Restamos 128 en ambos lados:
\[ 480=32h \]
Despejamos \(h\):
\[ h=\frac{480}{32}=15 \]
Respuesta:
\[ 15\,m \]
Ejercicio 5
Ejercicio 6
La superficie de un ortoedro es \(440\,m^2\). La base es un cuadrado de arista \(10\,m\). ¿Qué volumen tiene el ortoedro?
Como la base es un cuadrado de lado \(10\), entonces:
\[ a=b=10 \]
La fórmula de superficie queda:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ 440=2(10\cdot 10)+2(10\cdot h)+2(10\cdot h) \]
\[ 440=200+20h+20h \]
\[ 440=200+40h \]
\[ 240=40h \]
\[ h=6 \]
Ahora calculamos el volumen:
\[ V=a\cdot b\cdot h \]
\[ V=10\cdot 10\cdot 6 \]
\[ V=600 \]
Respuesta:
\[ 600\,m^3 \]
Ejercicio 7
Para pintar las paredes, el piso y el techo de un lugar con forma de ortoedro de dimensiones \(5\times 10\times 7\,m\), se usan tarros con capacidad para \(25\,m^2\). ¿Cuántos tarros se necesitan?
Como se pintan paredes, piso y techo, se debe calcular la superficie total del ortoedro:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
\[ S=2(5\cdot 10)+2(5\cdot 7)+2(10\cdot 7) \]
\[ S=2(50)+2(35)+2(70) \]
\[ S=100+70+140 \]
\[ S=310 \]
Cada tarro cubre \(25\,m^2\), por lo tanto:
\[ \frac{310}{25}=12{,}4 \]
No se pueden comprar \(12{,}4\) tarros, así que se redondea hacia arriba.
Respuesta:
\[ 13 \text{ tarros} \]
Ejercicio 8
Si duplico las dimensiones de una caja, ¿qué pasa con su superficie?
a) Queda igual
b) Se duplica
c) Se cuadruplica
d) Se multiplica 8 veces
Supongamos que las dimensiones originales son \(a\), \(b\) y \(h\).
Entonces su superficie es:
\[ S=2ab+2ah+2bh \]
Si duplicamos todas las dimensiones, obtenemos \(2a\), \(2b\) y \(2h\).
La nueva superficie será:
\[ S'=2(2a\cdot 2b)+2(2a\cdot 2h)+2(2b\cdot 2h) \]
\[ S'=2(4ab)+2(4ah)+2(4bh) \]
\[ S'=4(2ab+2ah+2bh) \]
\[ S'=4S \]
Por lo tanto, la superficie se multiplica por 4.
Respuesta correcta: c) Se cuadruplica.
Estos cálculos se usan en situaciones reales como pintar una sala, forrar una caja, construir recipientes o estimar capacidad de almacenamiento.