Libro Números Naturales
7. Criterios de Divisibilidad: ¡Atajos Matemáticos!
¿Qué son los criterios de divisibilidad?
¿Alguna vez te has preguntado si un número se puede dividir por otro de forma exacta sin tener que hacer la división completa? Los criterios de divisibilidad son reglas o “atajos” que nos permiten saberlo solo con observar las cifras de un número.
Criterios fundamentales
- Un número es divisible por 2 si su última cifra es par: \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) u \(8\).
- Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de \(3\).
- Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es un múltiplo de \(4\).
- Un número es divisible por 5 si termina en \(0\) o en \(5\).
- Un número es divisible por 10 si termina en \(0\).
Criterios compuestos
- Divisibilidad por 6: un número es divisible por \(6\) si cumple al mismo tiempo los criterios de \(2\) y de \(3\). Es decir, debe ser par y la suma de sus cifras debe ser múltiplo de \(3\).
Criterios más elaborados
- Divisibilidad por 7: separa la última cifra, multiplícala por \(2\) y resta este resultado del número que quedó. Si el resultado es \(0\) o un múltiplo de \(7\), el número original es divisible por \(7\). Este proceso puede repetirse si el número sigue siendo grande.
- Divisibilidad por 8: un número es divisible por \(8\) si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de \(8\).
- Divisibilidad por 9: un número es divisible por \(9\) si la suma de sus cifras es un múltiplo de \(9\).
- Divisibilidad por 11: suma las cifras de posiciones impares por un lado y las de posiciones pares por otro. Luego resta ambos resultados. Si la diferencia es \(0\) o un múltiplo de \(11\), el número es divisible por \(11\).
Ejemplo 1: divisibilidad por 7
Verifiquemos si \(343\) es divisible por \(7\).
Separamos la última cifra, que es \(3\), y trabajamos con el número que quedó, \(34\):
\[ 34-(3\cdot 2)=34-6=28 \]
Como \(28\) es múltiplo de \(7\), entonces \(343\) también es divisible por \(7\).
Ejemplo 2: divisibilidad por 11
Verifiquemos si \(918.082\) es divisible por \(11\).
Sumamos las cifras de posiciones impares y las de posiciones pares:
\[ 9+8+8=25 \]
\[ 1+0+2=3 \]
Luego restamos:
\[ 25-3=22 \]
Como \(22\) es múltiplo de \(11\), entonces \(918.082\) es divisible por \(11\).
¡Pon a prueba tus conocimientos!
Ejercicio: criterios de divisibilidad
Indica por cuáles de estos números son divisibles las siguientes cantidades:
\[ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11 \]
| Cantidad | Cantidad | Cantidad | Cantidad |
|---|---|---|---|
| \(234\) | \(840\) | \(495\) | \(1.372\) |
| \(7.040\) | \(2.915\) | \(3.333\) | \(6.182\) |
| \(9.009\) | \(12.321\) | \(45.678\) | \(55.440\) |
Aplicamos los criterios correspondientes: última cifra, suma de cifras, últimas dos o tres cifras, y en algunos casos verificación con \(7\) u \(11\).
| Número | Es divisible por | Justificación |
|---|---|---|
| \(234\) | \(2,\ 3,\ 6,\ 9\) | Termina en \(4\), entonces es divisible por \(2\). Además, \(2+3+4=9\), por lo tanto es divisible por \(3\) y por \(9\). Como es divisible por \(2\) y por \(3\), también es divisible por \(6\). |
| \(840\) | \(2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10\) | Termina en \(0\), así que es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). Además, \(8+4+0=12\), por lo que es divisible por \(3\), y también por \(6\). Sus dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Sus tres últimas cifras son \(840\), divisible por \(8\). Además, \(840=7\cdot 120\). |
| \(495\) | \(3,\ 5,\ 9,\ 11\) | Termina en \(5\), entonces es divisible por \(5\). Además, \(4+9+5=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\). Para \(11\), \((4+5)-9=0\), por lo que también es divisible por \(11\). |
| \(1.372\) | \(2,\ 4,\ 7\) | Termina en \(2\), así que es divisible por \(2\). Las dos últimas cifras son \(72\), que es múltiplo de \(4\). Además, \(1.372=7\cdot 196\). |
| \(7.040\) | \(2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10,\ 11\) | Termina en \(0\), entonces es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). Las dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Las tres últimas cifras son \(040\), es decir, \(40\), que es divisible por \(8\). Para \(11\), \((7+4)-(0+0)=11\), por eso también cumple ese criterio. |
| \(2.915\) | \(5,\ 11\) | Termina en \(5\), así que es divisible por \(5\). Para \(11\), \((2+1)-(9+5)=-11\), que es múltiplo de \(11\). |
| \(3.333\) | \(3,\ 11\) | La suma de sus cifras es \(3+3+3+3=12\), por eso es divisible por \(3\). Para \(11\), \((3+3)-(3+3)=0\), así que también es divisible por \(11\). |
| \(6.182\) | \(2,\ 11\) | Termina en \(2\), entonces es divisible por \(2\). Para \(11\), \((6+8)-(1+2)=11\), que es múltiplo de \(11\). |
| \(9.009\) | \(3,\ 7,\ 9,\ 11\) | La suma de sus cifras es \(9+0+0+9=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\). Además, \(9.009=7\cdot 1287\). Para \(11\), \((9+0)-(0+9)=0\), por lo que también es divisible por \(11\). |
| \(12.321\) | \(3,\ 9\) | La suma de sus cifras es \(1+2+3+2+1=9\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\). |
| \(45.678\) | \(2,\ 3,\ 6\) | Termina en \(8\), por eso es divisible por \(2\). La suma de sus cifras es \(4+5+6+7+8=30\), que es múltiplo de \(3\). Entonces también es divisible por \(6\). |
| \(55.440\) | \(2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11\) | Termina en \(0\), por eso es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). La suma de sus cifras es \(5+5+4+4+0=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\); entonces también por \(6\). Sus dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Sus tres últimas cifras son \(440\), divisible por \(8\). Además, \(55.440=7\cdot 7920\), y para \(11\), \((5+4+0)-(5+4)=0\). |
¿Por qué funcionan estos criterios?
Los criterios de divisibilidad no son magia. Se basan en las propiedades de nuestro sistema de numeración decimal, es decir, en que trabajamos en base \(10\). Investigar la demostración de cada criterio puede ser un desafío matemático muy interesante.