Los números naturales
8. Criterios de Divisibilidad: ¡Atajos Matemáticos!
¿Qué son los criterios de divisibilidad?
¿Alguna vez te has preguntado si un número se puede dividir por otro de forma exacta sin tener que hacer la división completa? Los criterios de divisibilidad son reglas o “atajos” que nos permiten saberlo solo con observar las cifras de un número.
Criterios fundamentales
- Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6 u 8).
- Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
- Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es un múltiplo de 4.
- Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
- Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Criterios compuestos
- Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 si cumple al mismo tiempo los criterios de 2 y de 3. Es decir, debe ser par y la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3.
Criterios más elaborados
- Divisibilidad por 7: separa la última cifra, multiplícala por 2 y resta este resultado del número que quedó. Si el resultado es 0 o un múltiplo de 7, el número original es divisible por 7.
Ejemplo: para 343, se calcula \(34-(3\cdot 2)=28\). Como 28 es múltiplo de 7, entonces 343 también lo es. - Divisibilidad por 8: un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de 8.
- Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
- Divisibilidad por 11: suma las cifras de posiciones impares por un lado y las de posiciones pares por otro. Luego resta ambos resultados. Si la diferencia es 0 o un múltiplo de 11, el número es divisible por 11.
Ejemplo: para 918.082, las posiciones impares suman \(9+8+8=25\) y las pares suman \(1+0+2=3\). Como \(25-3=22\) y 22 es múltiplo de 11, entonces 918.082 es divisible por 11.
¡Pon a prueba tus conocimientos!
Ejercicio
Indica por cuáles de estos números \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\) son divisibles las siguientes cantidades.
- 234
- 840
- 495
- 1.372
- 7.040
- 2.915
- 3.333
- 6.182
- 9.009
- 12.321
- 45.678
- 55.440
Aplicamos en cada caso los criterios correspondientes: última cifra, suma de cifras, últimas dos o tres cifras, y en algunos casos verificación con 7 u 11.
| Número | Es divisible por | Justificación |
|---|---|---|
| 234 | 2, 3, 6, 9 | Termina en 4, entonces es divisible por 2. La suma \(2+3+4=9\), por eso es divisible por 3 y por 9. Como es divisible por 2 y por 3, también lo es por 6. |
| 840 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 | Termina en 0, así que es divisible por 2, 5 y 10. La suma \(8+4+0=12\), por lo que es divisible por 3; entonces también por 6. Sus dos últimas cifras son 40, divisible por 4. Sus tres últimas cifras son 840, divisible por 8. Además, \(840=7\cdot 120\). |
| 495 | 3, 5, 9, 11 | Termina en 5, entonces es divisible por 5. La suma \(4+9+5=18\), así que es divisible por 3 y por 9. Para 11, \((4+5)-9=0\), por lo que también es divisible por 11. |
| 1.372 | 2, 4, 7 | Termina en 2, así que es divisible por 2. Las dos últimas cifras son 72, que es múltiplo de 4. Además, \(1372=7\cdot 196\). |
| 7.040 | 2, 4, 5, 8, 10, 11 | Termina en 0, entonces es divisible por 2, 5 y 10. Las dos últimas cifras son 40, divisible por 4. Las tres últimas cifras son 040, es decir, 40, que es divisible por 8. Para 11, \((7+4)-(0+0)=11\), por eso también cumple ese criterio. |
| 2.915 | 5, 11 | Termina en 5, así que es divisible por 5. Para 11, \((2+1)-(9+5)=-11\), que es múltiplo de 11. |
| 3.333 | 3, 11 | La suma \(3+3+3+3=12\), por eso es divisible por 3. Para 11, \((3+3)-(3+3)=0\), así que también es divisible por 11. |
| 6.182 | 2, 11 | Termina en 2, entonces es divisible por 2. Para 11, \((6+8)-(1+2)=11\), que es múltiplo de 11. |
| 9.009 | 3, 7, 9, 11 | La suma \(9+0+0+9=18\), así que es divisible por 3 y por 9. Además, \(9009=7\cdot 1287\). Para 11, \((9+0)-(0+9)=0\), por lo que también es divisible por 11. |
| 12.321 | 3, 9 | La suma \(1+2+3+2+1=9\), así que es divisible por 3 y por 9. |
| 45.678 | 2, 3, 6 | Termina en 8, por eso es divisible por 2. La suma \(4+5+6+7+8=30\), que es múltiplo de 3. Entonces también es divisible por 6. |
| 55.440 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | Termina en 0, por eso es divisible por 2, 5 y 10. La suma \(5+5+4+4+0=18\), así que es divisible por 3 y por 9; entonces también por 6. Sus dos últimas cifras son 40, divisible por 4. Sus tres últimas cifras son 440, divisible por 8. Además, \(55.440=7\cdot 7920\) y para 11, \((5+4+0)-(5+4)=0\). |
¿Por qué funcionan estos criterios?
Los criterios de divisibilidad no son magia. Se basan en las propiedades de nuestro sistema de numeración decimal, es decir, en que trabajamos en base 10. Investigar la demostración de cada criterio puede ser un desafío matemático muy interesante.