Números naturales
12. Subconjuntos Notables de los Números Naturales
Introducción
En esta página, exploraremos algunos subconjuntos de los números naturales que forman sucesiones especiales y permiten reconocer distintos patrones.
Tipos de Sucesiones Especiales
1. Basadas en la divisibilidad
Números pares e impares
Esta distinción surge de la divisibilidad por 2. Los números pares se pueden dividir exactamente en dos partes iguales, mientras que los impares dejan residuo 1 al dividirse por 2.
- Sucesión de pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
- Sucesión de impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
Números primos
Los números primos son aquellos números naturales mayores que 1 que tienen exactamente dos divisores positivos: 1 y el mismo número.
- Sucesión de primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
2. Basadas en la geometría (números figurados)
Números cuadrados y triangulares
Estos números surgen de la relación entre aritmética y geometría, al representar cantidades mediante figuras.
- Sucesión de cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Se obtiene elevando al cuadrado cada número natural: \(1^2, 2^2, 3^2, \dots\). - Sucesión de triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
Se obtiene sumando los primeros números naturales: \(1,\ 1+2,\ 1+2+3,\dots\).
3. Basadas en la naturaleza y recursión
La sucesión de Fibonacci
En esta sucesión, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Aunque nació a partir de un problema matemático, también aparece en distintos patrones de la naturaleza.
- Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
¡Pon a prueba tus conocimientos!
Ejercicio 1
¿Cuáles son los primeros 10 números pares?
Los números pares aumentan de 2 en 2 y son divisibles por 2.
Por lo tanto, los primeros 10 números pares son:
\(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20\).
Ejercicio 2
¿Cuál es el décimo número cuadrado?
Los números cuadrados se obtienen elevando al cuadrado cada número natural.
El décimo número cuadrado es:
\[10^2=100\]
Entonces, el décimo número cuadrado es 100.
Ejercicio 3
Encuentra los primeros 5 números triangulares.
Los números triangulares se forman sumando sucesivamente los números naturales:
\[ 1,\quad 1+2=3,\quad 1+2+3=6,\quad 1+2+3+4=10,\quad 1+2+3+4+5=15 \]
Por lo tanto, los primeros 5 números triangulares son:
\(1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15\).
Ejercicio 4
¿Es 19 un número primo? ¿Por qué?
Sí, 19 es un número primo.
Para comprobarlo, revisamos si tiene divisores naturales distintos de 1 y 19:
- No es divisible por 2 porque es impar.
- No es divisible por 3 porque \(1+9=10\), y 10 no es múltiplo de 3.
- No es divisible por 4 porque 19 no termina en un número par ni en 00, 04, 08, etc.
Por eso, sus únicos divisores positivos son 1 y 19.
Ejercicio 5
¿Cuáles son los siguientes tres números en la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...?
En la sucesión de Fibonacci, cada término es la suma de los dos anteriores.
\[ 5+8=13,\qquad 8+13=21,\qquad 13+21=34 \]
Entonces, los siguientes tres números son:
\(13,\ 21,\ 34\).
Ejercicio 6
Si el quinto número triangular es 15, ¿cuál es el sexto?
Los números triangulares se obtienen sumando el siguiente número natural al triangular anterior.
Si el quinto número triangular es 15, entonces el sexto se obtiene sumando 6:
\[ 15+6=21 \]
Por lo tanto, el sexto número triangular es 21.
Ejercicio 7
¿Es 100 un número cuadrado? ¿Por qué?
Sí, 100 es un número cuadrado.
Un número cuadrado es el resultado de multiplicar un número natural por sí mismo.
\[ 10^2=10\cdot 10=100 \]
Como 100 se puede escribir como el cuadrado de 10, entonces sí es un número cuadrado.
Ejercicio 8
Investiga: ¿Qué son los números pentagonales? Escribe los primeros 5.
Los números pentagonales son números figurados que representan puntos distribuidos en forma de pentágono.
Se pueden calcular con la fórmula:
\[ P_n=\frac{n(3n-1)}{2} \]
Calculamos los primeros cinco:
\[ P_1=\frac{1(3\cdot1-1)}{2}=1,\qquad P_2=\frac{2(3\cdot2-1)}{2}=5, \]
\[ P_3=\frac{3(3\cdot3-1)}{2}=12,\qquad P_4=\frac{4(3\cdot4-1)}{2}=22,\qquad P_5=\frac{5(3\cdot5-1)}{2}=35 \]
Por lo tanto, los primeros 5 números pentagonales son:
\(1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35\).
A seguir explorando
Existen muchos otros subconjuntos interesantes de los números naturales, como los números perfectos, abundantes, deficientes, felices y capicúas.