Libro Números Naturales
11. Subconjuntos Notables de los Números Naturales
Introducción
En esta página exploraremos algunos subconjuntos de los números naturales que forman sucesiones especiales y permiten reconocer distintos patrones.
Tipos de Sucesiones Especiales
1. Basadas en la divisibilidad
Números pares e impares
Esta distinción surge de la divisibilidad por \(2\). Los números pares son divisibles por \(2\), mientras que los impares dejan residuo \(1\) al dividirse por \(2\).
- Sucesión de pares en \(\mathbb{N}\): \(0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\dots\)
- Sucesión de pares positivos: \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\dots\)
- Sucesión de impares: \(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\dots\)
Números primos
Los números primos son aquellos números naturales mayores que \(1\) que tienen exactamente dos divisores positivos: \(1\) y el mismo número.
- Sucesión de primos: \(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\dots\)
2. Basadas en la geometría: números figurados
Números cuadrados y triangulares
Estos números surgen de la relación entre aritmética y geometría, al representar cantidades mediante figuras.
- Sucesión de cuadrados: \(1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\dots\)
Se obtiene elevando al cuadrado cada número natural positivo: \(1^2,\ 2^2,\ 3^2,\dots\). - Sucesión de triangulares: \(1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\dots\)
Se obtiene sumando los primeros números naturales positivos: \(1,\ 1+2,\ 1+2+3,\dots\).
Fórmulas útiles
El \(n\)-ésimo número cuadrado se calcula como:
El \(n\)-ésimo número triangular se calcula como:
3. Basadas en la naturaleza y recursión
La sucesión de Fibonacci
En esta sucesión, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Aunque nació a partir de un problema matemático, también aparece en distintos patrones de la naturaleza.
- Sucesión de Fibonacci: \(1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots\)
¡Pon a prueba tus conocimientos!
Ejercicio 1
¿Cuáles son los primeros \(10\) números pares positivos?
Los números pares positivos aumentan de \(2\) en \(2\) y son divisibles por \(2\).
Por lo tanto, los primeros \(10\) números pares positivos son:
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20 \]
Si se consideran los números pares en \(\mathbb{N}\) con \(0\) incluido, la sucesión comienza en \(0\).
Ejercicio 2
¿Cuál es el décimo número cuadrado?
Los números cuadrados se obtienen elevando al cuadrado cada número natural positivo.
El décimo número cuadrado es:
\[ 10^2=100 \]
Entonces, el décimo número cuadrado es \(\boxed{100}\).
Ejercicio 3
Encuentra los primeros \(5\) números triangulares.
Los números triangulares se forman sumando sucesivamente los números naturales positivos:
\[ 1,\quad 1+2=3,\quad 1+2+3=6,\quad 1+2+3+4=10,\quad 1+2+3+4+5=15 \]
Por lo tanto, los primeros \(5\) números triangulares son:
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15 \]
Ejercicio 4
¿Es \(19\) un número primo? ¿Por qué?
Sí, \(19\) es un número primo.
Para comprobarlo, basta revisar si es divisible por los números primos menores o iguales que \(\sqrt{19}\).
Como:
\[ \sqrt{19}\approx 4{,}36 \]
solo necesitamos revisar divisibilidad por \(2\) y por \(3\):
- No es divisible por \(2\), porque \(19\) es impar.
- No es divisible por \(3\), porque \(1+9=10\), y \(10\) no es múltiplo de \(3\).
Por lo tanto, sus únicos divisores positivos son \(1\) y \(19\). Entonces \(19\) es primo.
Ejercicio 5
¿Cuáles son los siguientes tres números en la sucesión de Fibonacci?
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\dots \]
En la sucesión de Fibonacci, cada término es la suma de los dos anteriores.
\[ 5+8=13 \]
\[ 8+13=21 \]
\[ 13+21=34 \]
Entonces, los siguientes tres números son:
\[ 13,\ 21,\ 34 \]
Ejercicio 6
Si el quinto número triangular es \(15\), ¿cuál es el sexto?
Los números triangulares se obtienen sumando el siguiente número natural positivo al triangular anterior.
Si el quinto número triangular es \(15\), entonces el sexto se obtiene sumando \(6\):
\[ 15+6=21 \]
Por lo tanto, el sexto número triangular es \(\boxed{21}\).
Ejercicio 7
¿Es \(100\) un número cuadrado? ¿Por qué?
Sí, \(100\) es un número cuadrado.
Un número cuadrado es el resultado de multiplicar un número natural por sí mismo.
\[ 10^2=10\cdot 10=100 \]
Como \(100\) se puede escribir como el cuadrado de \(10\), entonces sí es un número cuadrado.
Ejercicio 8
Investiga: ¿qué son los números pentagonales? Escribe los primeros \(5\).
Los números pentagonales son números figurados que representan puntos distribuidos en forma de pentágono.
Se pueden calcular con la fórmula:
\[ P_n=\frac{n(3n-1)}{2} \]
Calculamos los primeros cinco:
\[ P_1=\frac{1(3\cdot1-1)}{2}=1 \]
\[ P_2=\frac{2(3\cdot2-1)}{2}=5 \]
\[ P_3=\frac{3(3\cdot3-1)}{2}=12 \]
\[ P_4=\frac{4(3\cdot4-1)}{2}=22 \]
\[ P_5=\frac{5(3\cdot5-1)}{2}=35 \]
Por lo tanto, los primeros \(5\) números pentagonales son:
\[ 1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35 \]
A seguir explorando
Existen muchos otros subconjuntos interesantes de los números naturales, como los números perfectos, abundantes, deficientes, felices y capicúas.