Libro Números Naturales
13. Propiedades de las Potencias
Introducción
Las potencias tienen propiedades que permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.
1. Producto de potencias de igual base
Regla
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]
Ejemplo
\[ 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]
Ejercicios
- \(3^2 \times 3^4\)
- \(5^3 \times 5^1\)
- \(10^2 \times 10^5\)
- \(2^6 \times 2^0\)
- \(7^2 \times 7^3 \times 7^1\)
- Si \(2^3 \times 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \(a^4 \times a^2 = 64\) y \(a>0\), ¿cuánto vale \(a\)?
- \[ 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4}=3^6=729 \]
- \[ 5^3 \times 5^1 = 5^{3+1}=5^4=625 \]
- \[ 10^2 \times 10^5 = 10^{2+5}=10^7=10.000.000 \]
- \[ 2^6 \times 2^0 = 2^{6+0}=2^6=64 \]
- \[ 7^2 \times 7^3 \times 7^1 = 7^{2+3+1}=7^6=117.649 \]
- Como las bases son iguales, se suman los exponentes: \[ 2^3 \times 2^x=2^{3+x} \] Entonces: \[ 3+x=7 \] Por lo tanto: \[ x=4 \]
- Primero simplificamos: \[ a^4 \times a^2=a^{4+2}=a^6 \] Entonces: \[ a^6=64 \] Como \(64=2^6\) y \(a>0\), se obtiene: \[ a=2 \]
Problemas
- Un tipo de bacteria duplica su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de \(4\) horas? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
- Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? Expresa la respuesta como una potencia de \(3\).
- Si se sabe que \(5^x \times 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base \(5\) por sí misma en total?
- Después de \(4\) horas, la población se multiplica por \(2^4\): \[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4}=2^7 \] Habrá \(2^7\) bacterias.
- El total de canicas es: \[ 3^2 \times 3^3 = 3^{2+3}=3^5 \] Juan tiene \(3^5\) canicas.
- La expresión queda: \[ 5^x \times 5^3=5^{x+3} \] Como: \[ 5^{x+3}=5^7 \] entonces: \[ x+3=7 \] En total, la base \(5\) se multiplicó por sí misma \(7\) veces.
2. Cociente de potencias de igual base
Regla
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad \text{si } a\neq 0 \]
Ejemplo
\[ 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2}=5^2=25 \]
Ejercicios
- \(2^5 \div 2^3\)
- \(7^6 \div 7^2\)
- \(10^8 \div 10^4\)
- \(3^4 \div 3^4\)
- \(6^5 \div 6^1\)
- Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \(a^5 \div a^x = a^2\), y se sabe que \(a^5 = 32\), ¿cuánto valen \(a\) y \(x\)?
- \[ 2^5 \div 2^3 = 2^{5-3}=2^2=4 \]
- \[ 7^6 \div 7^2 = 7^{6-2}=7^4=2401 \]
- \[ 10^8 \div 10^4 = 10^{8-4}=10^4=10.000 \]
- \[ 3^4 \div 3^4 = 3^{4-4}=3^0=1 \]
- \[ 6^5 \div 6^1 = 6^{5-1}=6^4=1296 \]
- \[ 3^x \div 3^2 = 3^{x-2} \] Como \(3^{x-2}=3^3\), entonces: \[ x-2=3 \] Por lo tanto: \[ x=5 \]
- Primero: \[ a^5=32=2^5 \] Entonces: \[ a=2 \] Además: \[ a^5 \div a^x=a^{5-x} \] Como \(a^{5-x}=a^2\), se cumple: \[ 5-x=2 \] Por lo tanto: \[ x=3 \]
Problemas
- Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego se reduce a \(2^2\), ¿en qué factor disminuyó la población? Expresa la respuesta como una potencia de \(2\).
- Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) m². Si se divide en parcelas de \(10^2\) m², ¿cuántas parcelas se obtendrán?
- Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
- El factor de disminución se calcula dividiendo: \[ 2^6 \div 2^2 = 2^{6-2}=2^4 \] Disminuyó en un factor de \(2^4\).
- La cantidad de parcelas es: \[ 10^6 \div 10^2 = 10^{6-2}=10^4 \] Se obtienen \(10^4\) parcelas.
- \[ 7^5 \div 7^x=7^{5-x} \] Como \(7^{5-x}=7^2\), entonces: \[ 5-x=2 \] Por lo tanto: \[ x=3 \]
3. Potencia de una potencia
Regla
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
\[ (a^m)^n = a^{m\cdot n} \]
Ejemplo
\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot 3}=3^6=729 \]
Ejercicios
- \((2^3)^2\)
- \((5^2)^4\)
- \((10^1)^5\)
- \((4^3)^0\)
- \((7^2)^3\)
- Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \((a^2)^x = 81\) y \(a=3\), ¿cuánto vale \(x\)?
- \[ (2^3)^2 = 2^{3\cdot 2}=2^6=64 \]
- \[ (5^2)^4 = 5^{2\cdot 4}=5^8=390.625 \]
- \[ (10^1)^5 = 10^{1\cdot 5}=10^5=100.000 \]
- \[ (4^3)^0 = 4^{3\cdot 0}=4^0=1 \]
- \[ (7^2)^3 = 7^{2\cdot 3}=7^6=117.649 \]
- \[ (2^x)^4=2^{4x} \] Como \(2^{4x}=2^8\), entonces: \[ 4x=8 \] Por lo tanto: \[ x=2 \]
- \[ (3^2)^x=3^{2x} \] Como \(81=3^4\), entonces: \[ 3^{2x}=3^4 \] Por lo tanto: \[ 2x=4 \] y: \[ x=2 \]
Problemas
- Un cubo está formado por \(5^3\) cubitos en cada arista. ¿Cuántos cubitos tiene en total? Expresa la respuesta como una potencia de \(5\).
- Un terreno cuadrado tiene un lado que mide \(3^4\) metros. ¿Cuál es su área? Expresa la respuesta como una potencia de \(3\).
- Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
- El volumen de un cubo se calcula elevando la arista al cubo: \[ (5^3)^3=5^{3\cdot 3}=5^9 \] Tiene \(5^9\) cubitos.
- El área es lado por lado: \[ (3^4)^2=3^{4\cdot 2}=3^8 \] El área es \(3^8\) m².
- \[ (3^x)^4=3^{4x} \] Como \(3^{4x}=3^{12}\), entonces: \[ 4x=12 \] Por lo tanto: \[ x=3 \]
4. Potencias de exponente 0 y 1
Reglas de exponentes especiales
- Exponente \(0\): cualquier número distinto de \(0\) elevado a \(0\) es igual a \(1\). \[ a^0=1 \quad \text{si } a\neq 0 \]
- Exponente \(1\): cualquier número elevado a \(1\) es igual a sí mismo. \[ a^1=a \]
Ejemplos
\[ 8^0=1 \]
\[ 6^1=6 \]
Ejercicios y problemas
- Resuelve: \(150^0\)
- Resuelve: \((25 \times 4)^1\)
- Simplifica: \((2^3 \times 5^2)^0\)
- Si \(x^1=19\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Si \(a^x=1\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Un objeto tiene una masa de \((2^5)^1\) kilogramos. ¿Cuál es su masa?
- Resuelve: \((100 \div 25)^1\)
- ¿Cuál es el resultado de \((7^3 \div 7^3)^0\)?
- \[ 150^0=1 \] porque la base es distinta de \(0\).
- \[ (25 \times 4)^1=100^1=100 \]
- Como la base \(2^3 \times 5^2\) es distinta de \(0\), entonces: \[ (2^3 \times 5^2)^0=1 \]
- Como \(x^1=x\), entonces: \[ x=19 \]
- Para \(a>0\) y \(a\neq 1\), se cumple: \[ a^0=1 \] Por lo tanto: \[ x=0 \]
- \[ (2^5)^1=2^5=32 \] Su masa es \(32\) kilogramos.
- \[ (100 \div 25)^1=4^1=4 \]
- Primero: \[ 7^3 \div 7^3=7^{3-3}=7^0=1 \] Luego: \[ 1^0=1 \]
5. Potencia de un producto
Regla
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]
Ejemplo
\[ (2 \times 3)^2=2^2 \times 3^2=4 \times 9=36 \]
Ejercicios
- \((4 \times 5)^2\)
- \((2 \times 10)^3\)
- \((3 \times 3)^2\)
- \((6 \times 1)^4\)
- \((5 \times 2)^3\)
- Si \((2x)^3=1000\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Simplifica la expresión \((4 \times 2)^2 \div 2^4\) y luego resuelve.
- \[ (4 \times 5)^2=4^2 \times 5^2=16 \times 25=400 \]
- \[ (2 \times 10)^3=2^3 \times 10^3=8 \times 1000=8000 \]
- \[ (3 \times 3)^2=3^2 \times 3^2=9 \times 9=81 \]
- \[ (6 \times 1)^4=6^4 \times 1^4=1296 \times 1=1296 \]
- \[ (5 \times 2)^3=5^3 \times 2^3=125 \times 8=1000 \]
- Como: \[ (2x)^3=1000=10^3 \] entonces: \[ 2x=10 \] Por lo tanto: \[ x=5 \]
- Primero: \[ (4 \times 2)^2=8^2=64 \] Además: \[ 2^4=16 \] Entonces: \[ 64 \div 16=4 \]
Problemas
- Un cuadrado grande tiene un lado que mide \(2 \times 5\) cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? Exprésala usando la propiedad.
- Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^3\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? Exprésala como la potencia de un producto.
- Si \((2x)^3=64\), ¿cuánto vale \(x\)?
- El lado mide: \[ 2 \times 5=10 \] El área es: \[ (2 \times 5)^2=2^2 \times 5^2=4 \times 25=100 \] El área es \(100\text{ cm}^2\).
- El área es: \[ 2^3 \times 5^3=(2 \times 5)^3=10^3 \] El área es \(10^3\text{ m}^2\).
- Como: \[ (2x)^3=64=4^3 \] entonces: \[ 2x=4 \] Por lo tanto: \[ x=2 \]
6. Potencia de un cociente
Regla
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \quad \text{si } b\neq 0 \]
Ejemplo
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^2=\frac{6^2}{3^2}=\frac{36}{9}=4 \]
Ejercicios
- \((8 \div 2)^3\)
- \((10 \div 5)^2\)
- \((9 \div 3)^4\)
- \((15 \div 3)^3\)
- \(\left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}\right)^2\)
- Si \((x \div 3)^2=4\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?
- Si \((12 \div x)^2=9\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?
- \[ (8 \div 2)^3=\left(\frac{8}{2}\right)^3=\frac{8^3}{2^3}=\frac{512}{8}=64 \]
- \[ (10 \div 5)^2=\left(\frac{10}{5}\right)^2=\frac{10^2}{5^2}=\frac{100}{25}=4 \]
- \[ (9 \div 3)^4=\left(\frac{9}{3}\right)^4=\frac{9^4}{3^4}=\frac{6561}{81}=81 \]
- \[ (15 \div 3)^3=\left(\frac{15}{3}\right)^3=\frac{15^3}{3^3}=\frac{3375}{27}=125 \]
- Primero: \[ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}=2 \] Entonces: \[ \left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}\right)^2=2^2=4 \]
- \[ (x \div 3)^2=4 \] significa: \[ \left(\frac{x}{3}\right)^2=4 \] Entonces: \[ \frac{x}{3}=2 \quad \text{o} \quad \frac{x}{3}=-2 \] Por lo tanto: \[ x=6 \quad \text{o} \quad x=-6 \]
- \[ (12 \div x)^2=9 \] significa: \[ \left(\frac{12}{x}\right)^2=9 \] Entonces: \[ \frac{12}{x}=3 \quad \text{o} \quad \frac{12}{x}=-3 \] Por lo tanto: \[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-4 \] con \(x\neq 0\).
Problemas
- Si tienes \((10 \div 2)^2\) caramelos y quieres repartirlos entre \(5\) niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
- Un tanque contiene \((8 \div 4)^5\) litros de agua. Si se extrae la mitad, ¿cuántos litros quedan en el tanque? Expresa la solución usando potencias.
- Si \((x \div 2)^3=27\), ¿cuánto vale \(x\)?
- \[ (10 \div 2)^2=5^2=25 \] Al repartir \(25\) caramelos entre \(5\) niños: \[ 25 \div 5=5 \] A cada niño le tocan \(5\) caramelos.
- \[ (8 \div 4)^5=2^5=32 \] La mitad es: \[ 32 \div 2=16=2^4 \] Quedan \(2^4\) litros.
- \[ (x \div 2)^3=27=3^3 \] Entonces: \[ x \div 2=3 \] Por lo tanto: \[ x=6 \]
Tabla resumen de propiedades
Aquí tienes un resumen de las reglas trabajadas.
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Producto de potencias de igual base | \(a^m \times a^n=a^{m+n}\) |
| Cociente de potencias de igual base | \(a^m \div a^n=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) |
| Potencia de un producto | \((a \times b)^n=a^n \times b^n\) |
| Potencia de un cociente | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), con \(b\neq 0\) |
| Exponente cero | \(a^0=1\), con \(a\neq 0\) |
| Exponente uno | \(a^1=a\) |
Práctica final: ejercicios mixtos
Ahora a sintetizar
En los siguientes ejercicios, las propiedades están mezcladas. El desafío es identificar qué regla o combinación de reglas se necesita usar para encontrar la solución.
Ejercicios mixtos
- Resuelve: \(5^3 \times 5^2\)
- Resuelve: \(10^9 \div 10^7\)
- Resuelve: \((2^4)^3\)
- Resuelve: \(47^0\)
- Resuelve: \((3 \times 5)^2\)
- Encuentra el valor de \(x\): \(3^x \times 3^5=3^8\)
- Resuelve: \(7^5 \div 7^5\)
- Encuentra el valor de \(a\): \(a^3=64\)
- Resuelve: \(\left(\frac{10}{2}\right)^3\)
- Resuelve: \(19^1\)
- Simplifica: \((b^5)^4\)
- Encuentra el valor de \(y\): \(8^y \div 8^2=8^3\)
- Resuelve: \(2^3 \times 2^5 \times 2^1\)
- Resuelve: \((5^2 \times 3^4)^0\)
- Si \((a^3)^x=125\) y \(a=5\), ¿cuánto vale \(x\)?
- Resuelve: \((2^2 \times 3)^2\)
- Resuelve: \(\frac{5^6}{5^4}\)
- Encuentra el valor de \(n\): \((10^n)^2=10^6\)
- Si \((3x)^2=81\), ¿cuáles son los valores reales de \(x\)?
- Resuelve: \((2^5 \div 2^2)^3\)
- Resuelve: \(\frac{(3^2)^3}{3^4}\)
- Encuentra los valores reales de \(b\): \(b^2=144\)
- Simplifica: \((x^3 \times x^5) \div x^2\), con \(x\neq 0\)
- Resuelve: \((4^5 \times 4^2)^1\)
- Resuelve: \(\frac{10^4 \times 10^3}{10^5}\)
- Encuentra los valores reales de \(z\): \((z \div 4)^2=9\)
- Simplifica: \(\frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5}\), con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\)
- Resuelve: \(\frac{6^5}{2^5 \times 3^5}\)
- Encuentra el valor de \(x\): \(5^{x-1}=25\)
- Un cultivo tiene \(10^2\) bacterias. Si su población se multiplica por \(10^2\) cada hora, ¿cuántas bacterias habrá después de \(2\) horas?
- \[ 5^3 \times 5^2=5^{3+2}=5^5=3125 \]
- \[ 10^9 \div 10^7=10^{9-7}=10^2=100 \]
- \[ (2^4)^3=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4096 \]
- \[ 47^0=1 \] porque la base es distinta de \(0\).
- \[ (3 \times 5)^2=3^2 \times 5^2=9 \times 25=225 \]
- \[ 3^x \times 3^5=3^{x+5} \] Como \(3^{x+5}=3^8\), entonces \(x+5=8\). Por lo tanto, \(x=3\).
- \[ 7^5 \div 7^5=7^{5-5}=7^0=1 \]
- \[ a^3=64=4^3 \] Por lo tanto: \[ a=4 \]
- \[ \left(\frac{10}{2}\right)^3=5^3=125 \]
- \[ 19^1=19 \]
- \[ (b^5)^4=b^{5\cdot 4}=b^{20} \]
- \[ 8^y \div 8^2=8^{y-2} \] Como \(8^{y-2}=8^3\), entonces \(y-2=3\). Por lo tanto, \(y=5\).
- \[ 2^3 \times 2^5 \times 2^1=2^{3+5+1}=2^9=512 \]
- \[ (5^2 \times 3^4)^0=1 \] porque la base es distinta de \(0\).
- Como \(a=5\), entonces: \[ (a^3)^x=(5^3)^x=5^{3x} \] Además: \[ 125=5^3 \] Por lo tanto: \[ 3x=3 \] y: \[ x=1 \]
- \[ (2^2 \times 3)^2=(4 \times 3)^2=12^2=144 \]
- \[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25 \]
- \[ (10^n)^2=10^{2n} \] Como \(10^{2n}=10^6\), entonces \(2n=6\). Por lo tanto, \(n=3\).
- \[ (3x)^2=81 \] implica: \[ 3x=9 \quad \text{o} \quad 3x=-9 \] Por lo tanto: \[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-3 \]
- \[ (2^5 \div 2^2)^3=(2^{5-2})^3=(2^3)^3=2^9=512 \]
- \[ \frac{(3^2)^3}{3^4}=\frac{3^{2\cdot 3}}{3^4}=\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9 \]
- \[ b^2=144 \] implica: \[ b=12 \quad \text{o} \quad b=-12 \]
- \[ (x^3 \times x^5) \div x^2=x^{3+5} \div x^2=x^{8-2}=x^6 \]
- \[ (4^5 \times 4^2)^1=(4^{5+2})^1=(4^7)^1=4^7=16.384 \]
- \[ \frac{10^4 \times 10^3}{10^5}=\frac{10^{4+3}}{10^5}=10^{7-5}=10^2=100 \]
- \[ (z \div 4)^2=9 \] implica: \[ \frac{z}{4}=3 \quad \text{o} \quad \frac{z}{4}=-3 \] Por lo tanto: \[ z=12 \quad \text{o} \quad z=-12 \]
- \[ \frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5} = \frac{a^6 \times b^8}{a^6 \times b^5} = a^{6-6}b^{8-5}=b^3 \]
- \[ \frac{6^5}{2^5 \times 3^5} = \frac{6^5}{(2 \times 3)^5} = \frac{6^5}{6^5}=1 \]
- Como: \[ 25=5^2 \] entonces: \[ 5^{x-1}=5^2 \] Por lo tanto: \[ x-1=2 \] y: \[ x=3 \]
- Después de \(2\) horas se multiplica por \((10^2)^2\). Entonces: \[ 10^2 \times (10^2)^2=10^2 \times 10^4=10^6 \] Habrá \(10^6\) bacterias.