Libro Números Enteros
12. Simplificación de Términos Semejantes (Adición y Sustracción)
¿Qué son los términos semejantes?
Los términos semejantes son aquellos que tienen exactamente la misma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
Por ejemplo, si pensamos en frutas, podemos juntar manzanas con manzanas, pero no manzanas con peras. En álgebra ocurre algo parecido: solo podemos sumar o restar términos que sean del mismo tipo.
- \(7x\) y \(-2x\) son semejantes.
- \(4a^2b\) y \(a^2b\) son semejantes.
- \(5x\) y \(5y\) no son semejantes, porque tienen distinta letra.
- \(8m^2\) y \(3m^3\) no son semejantes, porque tienen la misma letra, pero distinto exponente.
Procedimiento para simplificar expresiones
- Identifica y agrupa los términos semejantes.
- Suma o resta los coeficientes de cada grupo, aplicando las reglas de los signos.
- Mantén la parte literal exactamente igual.
Práctica Inicial: Habilidades Fundamentales
1. Identificando términos semejantes
En la siguiente lista, agrupa los términos que son semejantes entre sí:
\[ 5x,\quad -3y^2,\quad 4xy,\quad -x,\quad 6xy,\quad 2x^2,\quad y^2,\quad -8x^2 \]
Los grupos de términos semejantes son:
- Grupo \(x\): \(5x,\ -x\)
- Grupo \(y^2\): \(-3y^2,\ y^2\)
- Grupo \(xy\): \(4xy,\ 6xy\)
- Grupo \(x^2\): \(2x^2,\ -8x^2\)
2. Sumando y restando pares semejantes
- \(7a+4a\)
- \(10b-3b\)
- \(-8m-2m\)
- \(-5x+12x\)
- \(9p-15p\)
- \(-4z+(-3z)\)
- \(15c-25c\)
- \(-y+8y\)
- \(6a^2+3a^2\)
- \(12b^3-5b^3\)
- \(-9x^2y-3x^2y\)
- \(-7mn^3+15mn^3\)
- \(20p^4-25p^4\)
- \(-ab+(-5ab)\)
- \(18x^2y^2-9x^2y^2\)
- \(-3c^5+3c^5\)
- \(15mn+(-8mn)\)
- \(-11p^2q-5p^2q\)
- \(x^3y-10x^3y\)
- \(25a^3b^2+15a^3b^2\)
- \(7a+4a=(7+4)a=11a\)
- \(10b-3b=(10-3)b=7b\)
- \(-8m-2m=(-8-2)m=-10m\)
- \(-5x+12x=(-5+12)x=7x\)
- \(9p-15p=(9-15)p=-6p\)
- \(-4z+(-3z)=(-4-3)z=-7z\)
- \(15c-25c=(15-25)c=-10c\)
- \(-y+8y=(-1+8)y=7y\)
- \(6a^2+3a^2=(6+3)a^2=9a^2\)
- \(12b^3-5b^3=(12-5)b^3=7b^3\)
- \(-9x^2y-3x^2y=(-9-3)x^2y=-12x^2y\)
- \(-7mn^3+15mn^3=(-7+15)mn^3=8mn^3\)
- \(20p^4-25p^4=(20-25)p^4=-5p^4\)
- \(-ab+(-5ab)=(-1-5)ab=-6ab\)
- \(18x^2y^2-9x^2y^2=(18-9)x^2y^2=9x^2y^2\)
- \(-3c^5+3c^5=(-3+3)c^5=0\)
- \(15mn+(-8mn)=(15-8)mn=7mn\)
- \(-11p^2q-5p^2q=(-11-5)p^2q=-16p^2q\)
- \(x^3y-10x^3y=(1-10)x^3y=-9x^3y\)
- \(25a^3b^2+15a^3b^2=(25+15)a^3b^2=40a^3b^2\)
Ejemplos Guiados: Expresiones Completas
Ejemplo 1: \(3x-5y+2x+7y\)
Identificamos y agrupamos términos semejantes:
\[ (3x+2x)+(-5y+7y) \]
Operamos los coeficientes de cada grupo:
\[ (3+2)x+(-5+7)y \]
Entonces:
\[ 5x+2y \]
Cuidado con los paréntesis y el signo negativo
Cuando hay un signo de resta delante de un paréntesis, ese signo cambia el signo de todos los términos que están dentro.
Por ejemplo:
\[ -(5m+2n)=-5m-2n \]
Ejemplo 2: \(8m-3n-(5m+2n)\)
Eliminamos el paréntesis distribuyendo el signo negativo:
\[ 8m-3n-5m-2n \]
Agrupamos términos semejantes:
\[ (8m-5m)+(-3n-2n) \]
Operamos los coeficientes:
\[ (8-5)m+(-3-2)n \]
Resultado final:
\[ 3m-5n \]
Práctica Final: Expresiones Algebraicas
Simplifica las siguientes expresiones
- \(5a+3a-2a+7a\)
- \(10x-4x-8x+3x\)
- \(-9m+4p-6p+3m\)
- \(-p-7p+4q-2q\)
- \(6c-5c+8d+2d-3c\)
- \(4x-2y-3x+5y\)
- \(-7a+5b-8a+4a-3b\)
- \(9xy-3x+4xy-2x-5\)
- \(5a+3b-(2a-7b)\)
- \(-9x^2+4x-6+3x^2-2x\)
- \(10mn-4m^2n+8mn-5m^2n\)
- \(6a^2b^2-4ab+8a^2b^2+2ab-3\)
- \(-7a+5b-8c+4a-3b+5c\)
- \((5x-3y)+(2x+8y)\)
- \(10a-(4b+6a)-3b\)
- \(5a+3a-2a+7a=(5+3-2+7)a=13a\)
- \(10x-4x-8x+3x=(10-4-8+3)x=x\)
- \(-9m+4p-6p+3m=(-9+3)m+(4-6)p=-6m-2p\)
- \(-p-7p+4q-2q=(-1-7)p+(4-2)q=-8p+2q\)
- \(6c-5c+8d+2d-3c=(6-5-3)c+(8+2)d=-2c+10d\)
- \(4x-2y-3x+5y=(4-3)x+(-2+5)y=x+3y\)
- \(-7a+5b-8a+4a-3b=(-7-8+4)a+(5-3)b=-11a+2b\)
- \(9xy-3x+4xy-2x-5=(9+4)xy+(-3-2)x-5=13xy-5x-5\)
- \(5a+3b-(2a-7b)=5a+3b-2a+7b=3a+10b\)
- \(-9x^2+4x-6+3x^2-2x=(-9+3)x^2+(4-2)x-6=-6x^2+2x-6\)
- \(10mn-4m^2n+8mn-5m^2n=(10+8)mn+(-4-5)m^2n=18mn-9m^2n\)
- \(6a^2b^2-4ab+8a^2b^2+2ab-3=14a^2b^2-2ab-3\)
- \(-7a+5b-8c+4a-3b+5c=-3a+2b-3c\)
- \((5x-3y)+(2x+8y)=5x-3y+2x+8y=7x+5y\)
- \(10a-(4b+6a)-3b=10a-4b-6a-3b=4a-7b\)
Práctica Final: Expresiones con Paréntesis
Simplifica las siguientes expresiones. Recuerda eliminar los paréntesis primero, prestando atención a los signos negativos.
- \((3x+2y)+(5x-y)\)
- \((7a-4b)-(3a+2b)\)
- \((-m+2n)+(3m-3n)\)
- \((a^2+b^2)-(2a^2-b^2)\)
- \(-(p-q)+(p+q)\)
- \(-(x^2+3y)-(5y-x^2)\)
- \(10m+(5n-8m)-2n\)
- \(8p-(4q-6p)+3q\)
- \(x^2+(3x-x^2)+5x\)
- \(ab-(2ab+4a)-3a\)
- \(15a-2b-(10a+3b)\)
- \(-y^2+(x^2-y^2)-(x^2)\)
- \((a^2-3ab)-(b^2+2ab)+(a^2-b^2)\)
- \(-(x+y)+(2x-3y)-(x-5y)\)
- \(5a-[6b-(3a+2b)]\)
- \(x^2-(y^2-[2x^2-(y^2+x^2)])\)
-
\[ (3x+2y)+(5x-y)=3x+2y+5x-y \]
\[ =8x+y \]
-
\[ (7a-4b)-(3a+2b)=7a-4b-3a-2b \]
\[ =4a-6b \]
-
\[ (-m+2n)+(3m-3n)=-m+2n+3m-3n \]
\[ =2m-n \]
-
\[ (a^2+b^2)-(2a^2-b^2)=a^2+b^2-2a^2+b^2 \]
\[ =-a^2+2b^2 \]
-
\[ -(p-q)+(p+q)=-p+q+p+q \]
\[ =2q \]
-
\[ -(x^2+3y)-(5y-x^2)=-x^2-3y-5y+x^2 \]
\[ =-8y \]
-
\[ 10m+(5n-8m)-2n=10m+5n-8m-2n \]
\[ =2m+3n \]
-
\[ 8p-(4q-6p)+3q=8p-4q+6p+3q \]
\[ =14p-q \]
-
\[ x^2+(3x-x^2)+5x=x^2+3x-x^2+5x \]
\[ =8x \]
-
\[ ab-(2ab+4a)-3a=ab-2ab-4a-3a \]
\[ =-ab-7a \]
-
\[ 15a-2b-(10a+3b)=15a-2b-10a-3b \]
\[ =5a-5b \]
-
\[ -y^2+(x^2-y^2)-(x^2)=-y^2+x^2-y^2-x^2 \]
\[ =-2y^2 \]
-
\[ (a^2-3ab)-(b^2+2ab)+(a^2-b^2) \]
\[ =a^2-3ab-b^2-2ab+a^2-b^2 \]
\[ =2a^2-5ab-2b^2 \]
-
\[ -(x+y)+(2x-3y)-(x-5y) \]
\[ =-x-y+2x-3y-x+5y \]
\[ =y \]
-
\[ 5a-[6b-(3a+2b)] \]
Primero resolvemos el paréntesis interno:
\[ 6b-(3a+2b)=6b-3a-2b=4b-3a \]
Entonces:
\[ 5a-[4b-3a]=5a-4b+3a=8a-4b \]
-
\[ x^2-(y^2-[2x^2-(y^2+x^2)]) \]
Primero:
\[ 2x^2-(y^2+x^2)=2x^2-y^2-x^2=x^2-y^2 \]
Luego:
\[ y^2-[x^2-y^2]=y^2-x^2+y^2=2y^2-x^2 \]
Finalmente:
\[ x^2-(2y^2-x^2)=x^2-2y^2+x^2=2x^2-2y^2 \]