Libro Números Enteros
13. Ley Distributiva y Factor Común
Ley distributiva y factor común
En esta lección trabajaremos dos conceptos relacionados: la ley distributiva, que permite expandir expresiones, y el factor común, que permite escribir una suma o resta como una multiplicación.
Parte 1: La Ley Distributiva (Expandir)
Procedimiento para aplicar la ley distributiva
La ley distributiva indica que, para multiplicar un término por una suma o resta, se debe multiplicar ese término por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.
Fórmulas:
- \[ a(b+c)=ab+ac \]
- \[ a(b-c)=ab-ac \]
Ejemplos Numéricos
Ejemplo 1: \(3(4+5)\)
- Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ 3\cdot4=12 \]
- Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ 3\cdot5=15 \]
- Sumamos los resultados: \[ 12+15=27 \]
Comprobación:
\[ 3(4+5)=3\cdot9=27 \]
Ejemplo 2: \(-2(6-3)\)
- Multiplicamos el término de afuera por el primero: \[ (-2)\cdot6=-12 \]
- Multiplicamos el término de afuera por el segundo: \[ (-2)\cdot(-3)=6 \]
- Sumamos los resultados: \[ -12+6=-6 \]
Comprobación:
\[ -2(6-3)=-2\cdot3=-6 \]
Ejemplos Algebraicos
Ejemplo 3: \(2(x+y)\)
- Multiplicamos \(2\) por \(x\): \[ 2\cdot x=2x \]
- Multiplicamos \(2\) por \(y\): \[ 2\cdot y=2y \]
Resultado:
\[ 2(x+y)=2x+2y \]
Ejemplo 4: \(-5(a-3b)\)
- Multiplicamos \(-5\) por \(a\): \[ (-5)\cdot a=-5a \]
- Multiplicamos \(-5\) por \(-3b\): \[ (-5)\cdot(-3b)=15b \]
Resultado:
\[ -5(a-3b)=-5a+15b \]
Ejemplo 5: \(x(y-z)\)
- Multiplicamos \(x\) por \(y\): \[ x\cdot y=xy \]
- Multiplicamos \(x\) por \(-z\): \[ x\cdot(-z)=-xz \]
Resultado:
\[ x(y-z)=xy-xz \]
Práctica: aplicando la ley distributiva
- \(5(6+2)\)
- \(-3(8-4)\)
- \(7(2-5)\)
- \(-4(-3-6)\)
- \(6(x+3)\)
- \(4(y-5)\)
- \(-2(a+8)\)
- \(-5(b-2)\)
- \(8(-m-3)\)
- \(-1(p-7)\)
- \(a(x+y)\)
- \(x(y-z)\)
- \(-b(c+d)\)
- \(m(-n+p)\)
- \(2x(3a-4b)\)
- \(-3c(2m+5n)\)
- \(x(x+5)\)
- \(a(3-a)\)
- \(-y(y+2)\)
- \(3m(m^2+2m)\)
- \(-2p^2(p-4)\)
- \(4(a+b-c)\)
- \(-2(x-y+z)\)
- \(a(x+y-z)\)
- \(3x(x^2+2x-1)\)
- \(-5y^2(y-3y^2+1)\)
- \(2x(3a-2b+c)\)
- \(-mn(m^2-n^2-mn)\)
- \(x^2(3x+2x^2+4)\)
- \((a+b-c)(-3)\)
- \(5(6+2)=5\cdot6+5\cdot2=30+10=40\)
- \(-3(8-4)=(-3)\cdot8+(-3)\cdot(-4)=-24+12=-12\)
- \(7(2-5)=7\cdot2+7\cdot(-5)=14-35=-21\)
- \(-4(-3-6)=(-4)(-3)+(-4)(-6)=12+24=36\)
- \(6(x+3)=6x+18\)
- \(4(y-5)=4y-20\)
- \(-2(a+8)=-2a-16\)
- \(-5(b-2)=-5b+10\)
- \(8(-m-3)=-8m-24\)
- \(-1(p-7)=-p+7\)
- \(a(x+y)=ax+ay\)
- \(x(y-z)=xy-xz\)
- \(-b(c+d)=-bc-bd\)
- \(m(-n+p)=-mn+mp\)
- \(2x(3a-4b)=6ax-8bx\)
- \(-3c(2m+5n)=-6cm-15cn\)
- \(x(x+5)=x^2+5x\)
- \(a(3-a)=3a-a^2\)
- \(-y(y+2)=-y^2-2y\)
- \(3m(m^2+2m)=3m^3+6m^2\)
- \(-2p^2(p-4)=-2p^3+8p^2\)
- \(4(a+b-c)=4a+4b-4c\)
- \(-2(x-y+z)=-2x+2y-2z\)
- \(a(x+y-z)=ax+ay-az\)
- \(3x(x^2+2x-1)=3x^3+6x^2-3x\)
- \(-5y^2(y-3y^2+1)=-5y^3+15y^4-5y^2\)
- \(2x(3a-2b+c)=6ax-4bx+2cx\)
- \(-mn(m^2-n^2-mn)=-m^3n+mn^3+m^2n^2\)
- \(x^2(3x+2x^2+4)=3x^3+2x^4+4x^2\)
- \((a+b-c)(-3)=-3a-3b+3c\)
Conectando las ideas: la factorización como proceso inverso
La ley distributiva permite expandir una expresión. La factorización hace el proceso inverso: busca un factor que se repite y lo escribe fuera de un paréntesis.
Por ejemplo:
\[ 4(x+y)=4x+4y \]
Distribuir va desde \(4(x+y)\) hacia \(4x+4y\). Factorizar va desde \(4x+4y\) hacia \(4(x+y)\).
Parte 2: Factor Común (Factorizar)
¿Qué es factorizar?
Factorizar es reescribir una suma o resta como una multiplicación.
Para ello, buscamos el factor común, que es el factor que se repite en todos los términos de la expresión.
Procedimiento para encontrar el factor común
- Para los coeficientes: encuentra el máximo común divisor de los números.
- Para la parte literal: busca las letras que se repiten en todos los términos y escoge la que tenga el menor exponente.
- Arma el factor común: junta el factor numérico y la parte literal común.
- Divide y escribe el paréntesis: dentro del paréntesis coloca el resultado de dividir cada término original por el factor común.
Ejemplos Guiados de Factorización
Ejemplo 1: factorizar \(5x-10y\)
El MCD entre \(5\) y \(10\) es \(5\). No hay letras que se repitan en ambos términos.
Factor común:
\[ 5 \]
Dividimos cada término por \(5\):
\[ 5x\div5=x,\qquad -10y\div5=-2y \]
Resultado:
\[ 5x-10y=5(x-2y) \]
Ejemplo 2: factorizar \(-3a-6b\)
El MCD entre \(3\) y \(6\) es \(3\). Como el primer término es negativo, conviene extraer \(-3\).
Factor común:
\[ -3 \]
Dividimos:
\[ -3a\div(-3)=a,\qquad -6b\div(-3)=2b \]
Resultado:
\[ -3a-6b=-3(a+2b) \]
Ejemplo 3: factorizar \(x^2+xy\)
La letra que se repite en ambos términos es \(x\). El menor exponente de \(x\) es \(1\).
Factor común:
\[ x \]
Dividimos:
\[ x^2\div x=x,\qquad xy\div x=y \]
Resultado:
\[ x^2+xy=x(x+y) \]
Ejemplo 4: factorizar \(2a^2+4a\)
Para los coeficientes \(2\) y \(4\), el MCD es \(2\).
En la parte literal, la letra \(a\) se repite y el menor exponente es \(a^1\).
Factor común:
\[ 2a \]
Dividimos:
- \(2a^2\div2a=a\)
- \(4a\div2a=2\)
Resultado:
\[ 2a^2+4a=2a(a+2) \]
Práctica: encontrando el factor común
- \(8x+12y\)
- \(9a-6\)
- \(-5m-10n\)
- \(14p+21q\)
- \(xy+xz\)
- \(ab-ac\)
- \(m^2+mn\)
- \(p^3-p^2\)
- \(6x^2+3x\)
- \(10y^3-15y^2\)
- \(-8a^2b+4ab^2\)
- \(9m^2n-12mn^2\)
- \(16p^3q^2+24p^2q^3\)
- \(-25x^4y+15x^2y^3\)
- \(10a-15b+20c\)
- \(9x^2-6x+3\)
- \(-8m^3-12m^2-4m\)
- \(14a^2b-21ab^2+7ab\)
- \(18x^3y^2-27x^2y^3+9x^2y^2\)
- \(-10m^4n^2-20m^3n^3-5m^2n^4\)
- \(8x+12y=4(2x+3y)\)
- \(9a-6=3(3a-2)\)
- \(-5m-10n=-5(m+2n)\)
- \(14p+21q=7(2p+3q)\)
- \(xy+xz=x(y+z)\)
- \(ab-ac=a(b-c)\)
- \(m^2+mn=m(m+n)\)
- \(p^3-p^2=p^2(p-1)\)
- \(6x^2+3x=3x(2x+1)\)
- \(10y^3-15y^2=5y^2(2y-3)\)
- \(-8a^2b+4ab^2=-4ab(2a-b)\)
- \(9m^2n-12mn^2=3mn(3m-4n)\)
- \(16p^3q^2+24p^2q^3=8p^2q^2(2p+3q)\)
- \(-25x^4y+15x^2y^3=-5x^2y(5x^2-3y^2)\)
- \(10a-15b+20c=5(2a-3b+4c)\)
- \(9x^2-6x+3=3(3x^2-2x+1)\)
- \(-8m^3-12m^2-4m=-4m(2m^2+3m+1)\)
- \(14a^2b-21ab^2+7ab=7ab(2a-3b+1)\)
- \(18x^3y^2-27x^2y^3+9x^2y^2=9x^2y^2(2x-3y+1)\)
- \(-10m^4n^2-20m^3n^3-5m^2n^4=-5m^2n^2(2m^2+4mn+n^2)\)
Estrategia: expandir y simplificar en dos pasos
- Expandir: usa la ley distributiva para eliminar paréntesis.
- Simplificar: agrupa y reduce términos semejantes.
Desafío: expandir y simplificar
Aplica la estrategia de dos pasos para resolver las siguientes expresiones.
- \(4(x-3y)+2(x+5y)\)
- \(3a(2b+c)-2(3ab+4ac)\)
- \(-5(2m-n)+4(-m+3n)\)
- \(2(3p-q)-(5p+2q)+4(p-3q)\)
- \(x(y+2)-y(x-3)\)
- \(a(a+b)-b(a+b)\)
- \(5(x^2-2x)+3x(x-1)\)
- \(-3(a+2b)+4b(a-1)-2(b-a)\)
- \(2[x-3(y-x)]\)
- \(3a-\{2b+[5a-(4b-a)]\}\)
- \(2x^2-[x^2-\{y-(3x^2-y)\}]\)
- \(m-(2m+[-(m-n)+(2n-m)])\)
-
\[ 4(x-3y)+2(x+5y)=4x-12y+2x+10y \]
\[ =6x-2y \]
-
\[ 3a(2b+c)-2(3ab+4ac)=6ab+3ac-6ab-8ac \]
\[ =-5ac \]
-
\[ -5(2m-n)+4(-m+3n)=-10m+5n-4m+12n \]
\[ =-14m+17n \]
-
\[ 2(3p-q)-(5p+2q)+4(p-3q) \]
\[ =6p-2q-5p-2q+4p-12q \]
\[ =5p-16q \]
-
\[ x(y+2)-y(x-3)=xy+2x-xy+3y \]
\[ =2x+3y \]
-
\[ a(a+b)-b(a+b)=a^2+ab-ab-b^2 \]
\[ =a^2-b^2 \]
-
\[ 5(x^2-2x)+3x(x-1)=5x^2-10x+3x^2-3x \]
\[ =8x^2-13x \]
-
\[ -3(a+2b)+4b(a-1)-2(b-a) \]
\[ =-3a-6b+4ab-4b-2b+2a \]
\[ =4ab-a-12b \]
-
Primero resolvemos el paréntesis interior:
\[ x-3(y-x)=x-3y+3x=4x-3y \]
Luego:
\[ 2[4x-3y]=8x-6y \]
-
\[ 5a-(4b-a)=5a-4b+a=6a-4b \]
\[ 2b+[6a-4b]=6a-2b \]
\[ 3a-\{6a-2b\}=3a-6a+2b=-3a+2b \]
-
\[ y-(3x^2-y)=y-3x^2+y=2y-3x^2 \]
\[ x^2-\{2y-3x^2\}=x^2-2y+3x^2=4x^2-2y \]
\[ 2x^2-[4x^2-2y]=2x^2-4x^2+2y=-2x^2+2y \]
-
\[ -(m-n)+(2n-m)=-m+n+2n-m=-2m+3n \]
\[ 2m+[-2m+3n]=3n \]
\[ m-(3n)=m-3n \]
Estrategia avanzada: factorizar para simplificar
A veces conviene factorizar antes de expandir. Esto permite ver una parte común y reducir la expresión con más orden.
Por ejemplo:
\[ 3x+3y-x-y \]
Agrupamos:
\[ (3x+3y)-(x+y) \]
Factorizamos cada grupo:
\[ 3(x+y)-1(x+y) \]
Como \((x+y)\) es común:
\[ 2(x+y)=2x+2y \]
Desafío final: factorizar para simplificar
Usa la estrategia de factorizar primero para simplificar las siguientes expresiones.
- \(3(a+b)+5(a+b)\)
- \(7(x-y)-4(x-y)\)
- \(6(m+n)-(m+n)\)
- \(2(p-q)-8(p-q)\)
- \(2x+2y+5x+5y\)
- \(8a-8b-3a+3b\)
- \(5m+10n-(m+2n)\)
- \(3x(a+1)-5(a+1)\)
-
\[ 3(a+b)+5(a+b)=(3+5)(a+b)=8(a+b) \]
Si se expande:
\[ 8(a+b)=8a+8b \]
-
\[ 7(x-y)-4(x-y)=(7-4)(x-y)=3(x-y) \]
\[ 3(x-y)=3x-3y \]
-
\[ 6(m+n)-(m+n)=(6-1)(m+n)=5(m+n) \]
\[ 5(m+n)=5m+5n \]
-
\[ 2(p-q)-8(p-q)=(2-8)(p-q)=-6(p-q) \]
\[ -6(p-q)=-6p+6q \]
-
\[ 2x+2y+5x+5y=2(x+y)+5(x+y) \]
\[ =7(x+y)=7x+7y \]
-
\[ 8a-8b-3a+3b=8(a-b)-3(a-b) \]
\[ =5(a-b)=5a-5b \]
-
\[ 5m+10n-(m+2n)=5(m+2n)-1(m+2n) \]
\[ =4(m+2n)=4m+8n \]
-
\[ 3x(a+1)-5(a+1) \]
El factor común es \((a+1)\):
\[ 3x(a+1)-5(a+1)=(3x-5)(a+1) \]
Este resultado queda factorizado como producto de dos binomios.