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Libro Números Enteros

14. Jerarquía de Operaciones y Paréntesis

Jerarquía de operaciones

Cuando una expresión matemática tiene varias operaciones, como suma, resta, multiplicación, división o potencias, es necesario seguir un orden específico para resolverla correctamente.

Este orden se conoce como jerarquía de operaciones.

Orden de las operaciones

Para resolver una operación combinada, se sigue este orden:

  1. Paréntesis: primero se resuelven las operaciones dentro de paréntesis \(( )\), corchetes \([ ]\) o llaves \(\{ \}\), desde el más interno hacia el más externo.
  2. Potencias: luego se calculan las potencias y raíces, si aparecen.
  3. Multiplicación y división: después se resuelven multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
  4. Adición y sustracción: finalmente se resuelven sumas y restas, de izquierda a derecha.

Recordatorio: PAPOMUDAS

Una forma útil de recordar el orden es con la palabra PAPOMUDAS:

PAréntesis, POtencias, MUltiplicación y División, Adición y Sustracción.

Recuerda que multiplicación y división tienen la misma prioridad, por eso se resuelven de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con la adición y la sustracción.

Ejemplos Guiados

Ejemplo 1: sin paréntesis

Resolvamos:

\[ 5+3\cdot 2^2-6\div 3 \]

Paso 1: Potencias.

\[ 2^2=4 \]

Entonces:

\[ 5+3\cdot 4-6\div 3 \]

Paso 2: Multiplicación y división, de izquierda a derecha.

\[ 3\cdot 4=12,\qquad 6\div 3=2 \]

Entonces:

\[ 5+12-2 \]

Paso 3: Suma y resta, de izquierda a derecha.

\[ 5+12=17 \]

\[ 17-2=15 \]

Resultado final:

\[ 15 \]

Ejemplo 2: con paréntesis

Resolvamos:

\[ (5+3)\cdot(2^2-6)\div 2 \]

Paso 1: Resolver los paréntesis.

\[ 5+3=8 \]

\[ 2^2-6=4-6=-2 \]

Entonces:

\[ 8\cdot(-2)\div 2 \]

Paso 2: Multiplicación y división, de izquierda a derecha.

\[ 8\cdot(-2)=-16 \]

\[ -16\div 2=-8 \]

Resultado final:

\[ -8 \]

Ejemplo 3: con paréntesis anidados

Resolvamos:

\[ 10-[3+(4-2)\cdot 5] \]

Paso 1: Resolver el paréntesis más interno.

\[ 4-2=2 \]

Entonces:

\[ 10-[3+2\cdot 5] \]

Paso 2: Resolver dentro del corchete respetando la jerarquía.

\[ 2\cdot 5=10 \]

\[ 3+10=13 \]

Entonces:

\[ 10-13=-3 \]

Resultado final:

\[ -3 \]

Ejercicios de Práctica Numérica

Jerarquía de operaciones con números

  1. \(7+3\cdot4-5\)
  2. \(10-2\cdot3+4\)
  3. \((-2)^3+4\cdot5-2\)
  4. \(6\div2+3\cdot4-1\)
  5. \(15-3\cdot2^2+1\)
  6. \((7+3)\cdot2-5\)
  7. \(10-(2\cdot3)+4\)
  8. \((-2)^3+(4\cdot5-2)\)
  9. \((6\div2+3)\cdot4-1\)
  10. \(15-(3\cdot2^2)+1\)
  11. \(5\cdot[3+(2-1)\cdot4]\)
  12. \(12\div[8-(2+1)\cdot2]\)
  13. \((-3)^2+[4-(5-2)\cdot3]\)
  14. \([8-(6\div3+1)]\cdot2\)
  15. \(20-[(3+2)\cdot4-10]\)

Desafío Algebraico: Jerarquía de Operaciones con Variables

Jerarquía en expresiones algebraicas

Las mismas reglas de jerarquía se aplican a expresiones con variables.

El objetivo es seguir el orden correcto, expandir cuando corresponda y luego simplificar términos semejantes.

Ejemplo 1: \(5x+2(x^2-4x)-3x^2\)

Primero aplicamos la ley distributiva:

\[ 5x+2(x^2-4x)-3x^2=5x+2x^2-8x-3x^2 \]

Agrupamos términos semejantes:

\[ (2x^2-3x^2)+(5x-8x) \]

Simplificamos:

\[ -x^2-3x \]

Resultado final:

\[ -x^2-3x \]

Ejemplo 2: \(3[a-(2a+1)]+7\)

Primero eliminamos el paréntesis interno distribuyendo el signo negativo:

\[ 3[a-2a-1]+7 \]

Simplificamos dentro del corchete:

\[ 3[-a-1]+7 \]

Aplicamos la ley distributiva:

\[ -3a-3+7 \]

Simplificamos:

\[ -3a+4 \]

Resultado final:

\[ -3a+4 \]

Desafío final: combinando propiedades y operaciones

Usa la jerarquía de operaciones, las propiedades de las potencias y la simplificación de términos semejantes.

  1. \(5(x+3)+2x\)
  2. \(4a+3(a-2)\)
  3. \(8y-2(3y+4)\)
  4. \(x(x+6)-x^2\)
  5. \(3m(m-2)+6m\)
  6. \(-4b(2-b)+5b^2\)
  7. \((2x^2\cdot3x)+4(x^3-2x)\)
  8. \(10p^2-(p\cdot5p)+3p\)
  9. \(2[3(x+5)-x]\)
  10. \(a[4a-(a+2)]+5a\)
  11. \(-3[b^2-2(b^2+b)]\)
  12. \(x^2+2[x(x-3)-(x^2-6x)]\)

Problemas de Aplicación

Problemas contextualizados

  1. Un camión transporta 25 cajas de manzanas de 30 kg cada una y 10 sacos de papas de 50 kg cada uno. Si descarga 5 cajas de manzanas y 3 sacos de papas, ¿cuántos kilogramos de carga le quedan?
  2. En un torneo, un jugador con 200 puntos gana 3 partidas, recibiendo 150 puntos por cada una, y luego pierde 2 partidas, perdiendo 80 puntos por cada una. ¿Cuál es su puntaje final?
  3. Una tienda tiene una oferta: “Compre 2 camisas a $25 cada una y la tercera a mitad de precio”. Si un cliente compra 5 camisas, ¿cuánto paga?
  4. Un restaurante ofrece un menú con 4 entradas, 5 platos principales y 3 postres. ¿Cuántas combinaciones diferentes de menú se pueden formar?
  5. Un automovilista conduce 3 horas a 80 km/h, se detiene 30 minutos y luego conduce 2 horas más a 70 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?