Introducción a los Números Complejo

2. Representación Gráfica de Números Complejos

Representación Gráfica de Números Complejos

El Plano Complejo (Plano de Argand)

Así como representamos los números reales en una recta numérica, podemos representar los números complejos en un *plano*, llamado el plano complejo o plano de Argand.

El plano complejo tiene:

Un eje horizontal llamado eje real (Re).
Un eje vertical llamado eje imaginario (Im).

Un número complejo z = a + bi se representa como un *punto* en este plano, donde:

La coordenada horizontal (en el eje real) es la parte real, *a*.
La coordenada vertical (en el eje imaginario) es la parte imaginaria, *b*.

Por lo tanto, el número complejo a + bi se representa por el punto (a, b) en el plano complejo.

Ejemplo:

El número complejo 3 + 2i se representa por el punto (3, 2).
El número complejo -1 - i se representa por el punto (-1, -1).
El número real 4 (que es 4 + 0i) se representa por el punto (4, 0) (en el eje real).
El número imaginario puro 5i (que es 0 + 5i) se representa por el punto (0, 5) (en el eje imaginario).

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo, con los ejes etiquetados, y algunos puntos de ejemplo representados).

Números Complejos como Vectores

También podemos representar un número complejo como un *vector* que parte del origen (0, 0) y termina en el punto (a, b) que representa al número complejo.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo mostrando la representación de un número complejo como punto y como vector).

Esta representación como vector es útil para visualizar la suma y la resta de números complejos, como veremos más adelante.

Ejemplos

Ejemplo 1: Representa en el plano complejo los siguientes números: 2 + 3i, -1 + 2i, -3 - i, 4, -2i

(En Moodle, aquí insertarías una imagen del plano complejo con estos puntos marcados. Para el código HTML, solo describiremos la ubicación):

2 + 3i: Punto (2, 3)
-1 + 2i: Punto (-1, 2)
-3 - i: Punto (-3, -1)
4: Punto (4, 0) (en el eje real)
-2i: Punto (0, -2) (en el eje imaginario)

Ejercicios

Ejercicio 1: Representa gráficamente en el plano complejo los siguientes números:

z = 1 + i
z = -2 + 3i
z = 3 - 2i
z = -1 - i
z = 4
z = -3i
z = 0

Ejercicio 2: Escribe el número complejo representado por cada punto en el plano complejo (descripción verbal, ya que no podemos dibujar en HTML 3.2):

Punto A: (2, -1)
Punto B: (-3, 4)
Punto C: (0, 3)
Punto D: (-2, 0)
Punto E: (1/2, 5/2)
Punto F: (-√2, -√3)

Ejercicio 3:

Representa el número complejo z = 2 + i en el plano complejo, tanto como punto como vector.
Representa el número complejo w = -1 + 3i en el mismo plano complejo, como punto y vector.
Dibuja el vector que resulta de sumar gráficamente los vectores que representan a *z* y *w*. ¿Qué número complejo representa este vector resultante?

Ejercicio 4: Representa en el plano complejo los siguientes números complejos, y también sus *conjugados*:

\( z = 3 + 2i \)
\( z = -1 - 4i \)
\( z = 5i \)
\( z = -2 \)

Ejercicio 5: Si un número complejo *z* se representa por el punto (a, b) en el plano complejo, ¿qué punto representa a su conjugado, \(\bar{z}\)?

(a, b)
(-a, b)
(a, -b)
(-a, -b)
(b, a)

Ejercicio 6: ¿Qué característica tiene la representación en el plano complejo de un número *imaginario puro*?

Está sobre el eje real.
Está sobre el eje imaginario.
Está en el origen.
Está a la misma distancia del eje real que del eje imaginario.
No se puede representar.

Ejercicio 7: Si representas un número complejo *z* como un vector en el plano complejo, ¿qué representa geométricamente el vector que va desde el origen hasta el punto que representa a -z?

El conjugado de z.
El inverso aditivo de z.
El inverso multiplicativo de z.
El módulo de z.
Un vector perpendicular a z.