Libro Decimales racionales
2. Comparación y orden de números decimales
Introducción
Una vez que entendemos qué son los números decimales, el siguiente paso es aprender a compararlos para determinar cuál es mayor, menor o si son iguales. Esta es una habilidad fundamental con muchas aplicaciones prácticas.
Aplicación en la vida real: comparando precios
Saber ordenar decimales es esencial para la vida diaria. Por ejemplo, si un producto cuesta $2.450,50 y otro cuesta $2.490,90, saber comparar cantidades te ayuda a identificar la opción más económica al instante.
1. Magnitud vs. orden: la clave está en la recta numérica
“Mayor que” no es lo mismo que “más grande”
En esta guía usaremos la expresión “más grande” para referirnos a un número con mayor valor absoluto, es decir, a un número que está más lejos del cero.
En cambio, los símbolos > y < indican orden en la recta numérica. Un número es mayor que otro si está más a la derecha.
Ejemplo clave: comparemos \(-10\) y \(-2\).
- \(-10\) es “más grande” en valor absoluto, porque \(|-10|=10\).
- \(-2\) tiene menor valor absoluto, porque \(|-2|=2\).
- Pero en la recta numérica, \(-2\) está a la derecha de \(-10\).
- Por lo tanto, \(-2\) es mayor que \(-10\): \(-2>-10\).
2. Procedimiento para comparar decimales
Del procedimiento al cálculo mental
El siguiente procedimiento sirve como guía para comparar decimales sin cometer errores, especialmente cuando aparecen números negativos.
Con la práctica, estos pasos se vuelven más rápidos y pueden aplicarse mentalmente.
Procedimiento universal para comparar decimales
- Comparar los signos.
Un número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo. El cero queda entre los negativos y los positivos.
- Si los signos son iguales, comparar los valores absolutos.
Se comparan los números ignorando temporalmente el signo: primero la parte entera, luego los décimos, centésimos, milésimos, etc.
- Aplicar la regla de orden.
- Si ambos números son positivos, el de mayor valor absoluto es el mayor.
- Si ambos números son negativos, el número “más grande”, es decir, el de mayor valor absoluto, es el menor.
Tip clave para comparar decimales
Para comparar decimales, puedes agregar ceros a la derecha hasta que ambos números tengan la misma cantidad de cifras decimales.
Por ejemplo, para comparar \(7{,}2\) y \(7{,}195\), escribimos \(7{,}2\) como \(7{,}200\). Entonces es más claro que:
\[7{,}200>7{,}195\]
3. Ejemplos resueltos paso a paso
Caso 1: signos distintos
Comparar: \(2{,}9\) y \(-5{,}1\)
Paso 1: los signos son distintos: \(2{,}9\) es positivo y \(-5{,}1\) es negativo.
Conclusión: todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Respuesta:
\[2{,}9>-5{,}1\]
Caso 2: signos iguales positivos
Comparar: \(7{,}2\) y \(7{,}195\)
- Signos: ambos números son positivos.
- Comparación decimal: igualamos cifras decimales: \(7{,}2=7{,}200\).
- Comparamos \(7{,}200\) y \(7{,}195\). Como \(200>195\) en la parte decimal, se cumple que \(7{,}200>7{,}195\).
- Orden: como ambos son positivos, el número de mayor valor absoluto es el mayor.
Respuesta:
\[7{,}2>7{,}195\]
Recordatorio clave para los negativos
Al comparar números negativos, el número “más grande” o de mayor valor absoluto queda más lejos del cero hacia la izquierda.
Por eso, entre números negativos, el que tiene mayor valor absoluto es el menor.
Por ejemplo, \(-10\) es “más grande” en valor absoluto que \(-2\), pero está más a la izquierda en la recta numérica. Por eso:
\[-10<-2\]
Caso 3: signos iguales negativos
Comparar: \(-4{,}6\) y \(-4{,}58\)
- Signos: ambos números son negativos.
- Valores absolutos: comparamos \(4{,}6\) y \(4{,}58\).
- Igualamos cifras decimales: \(4{,}6=4{,}60\).
- Como \(4{,}60>4{,}58\), entonces \(-4{,}6\) es “más grande” en valor absoluto.
- Orden: como ambos son negativos, el número de mayor valor absoluto es el menor.
Respuesta:
\[-4{,}6<-4{,}58\]
Caso 4: ordenar varios decimales positivos
Ordenar de menor a mayor: \(1{,}25\), \(1{,}2\) y \(1{,}205\)
Como todos son positivos, podemos comparar directamente sus cifras decimales.
Igualamos a tres cifras decimales:
\[1{,}25=1{,}250 \qquad 1{,}2=1{,}200 \qquad 1{,}205=1{,}205\]
Ahora comparamos:
\[1{,}200<1{,}205<1{,}250\]
Respuesta:
\[1{,}2<1{,}205<1{,}25\]
4. Ejercicios
Ejercicio 1: comparar decimales positivos
Compara \(3{,}45\) y \(3{,}5\) usando \( < \), \( > \) o \( = \).
Ambos números son positivos, así que comparamos directamente sus cifras decimales.
Igualamos las cifras decimales:
\[3{,}45 \qquad 3{,}5=3{,}50\]
Como \(45<50\) en la parte decimal, entonces \(3{,}45\) es menor que \(3{,}5\).
\[3{,}45<3{,}5\]
Ejercicio 2: comparar signos distintos
Compara \(-2{,}1\) y \(0{,}5\) usando \( < \), \( > \) o \( = \).
El número \(-2{,}1\) es negativo y \(0{,}5\) es positivo.
Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.
\[-2{,}1<0{,}5\]
Ejercicio 3: comparar decimales negativos
Compara \(-0{,}03\) y \(-0{,}3\) usando \( < \), \( > \) o \( = \).
Ambos números son negativos. Entonces comparamos sus valores absolutos y recordamos que, entre negativos, el número “más grande” en valor absoluto es el menor.
Igualamos cifras decimales:
\[-0{,}03 \qquad -0{,}3=-0{,}30\]
Como \(0{,}30>0{,}03\), el número \(-0{,}3\) tiene mayor valor absoluto.
Pero como ambos son negativos, el de mayor valor absoluto es menor. Por lo tanto:
\[-0{,}03>-0{,}3\]
Ejercicio 4: igualdad con ceros a la derecha
Compara \(-7{,}20\) y \(-7{,}2\) usando \( < \), \( > \) o \( = \).
El cero a la derecha de la parte decimal no cambia el valor del número.
\[-7{,}20=-7{,}2\]
Ambos representan el mismo punto en la recta numérica.
\[-7{,}20=-7{,}2\]
Ejercicio 5: ordenar de menor a mayor
Ordena de menor a mayor los siguientes números:
\[4{,}06 \qquad 4{,}6 \qquad 4{,}006 \qquad 4{,}060\]
Todos los números son positivos, por lo tanto podemos ordenar comparando sus cifras decimales.
Igualamos a tres cifras decimales:
\[4{,}06=4{,}060 \qquad 4{,}6=4{,}600 \qquad 4{,}006=4{,}006 \qquad 4{,}060=4{,}060\]
Ahora ordenamos:
\[4{,}006<4{,}060=4{,}06<4{,}600\]
Un orden correcto es: \(4{,}006\), \(4{,}06\), \(4{,}060\), \(4{,}6\), considerando que \(4{,}06\) y \(4{,}060\) son iguales.
Ejercicio 6: carrera
Carrera: Ana demoró \(11{,}3\) segundos y Beatriz demoró \(11{,}28\) segundos. ¿Quién fue más rápida?
En una carrera, es más rápida quien tiene el menor tiempo.
Igualamos cifras decimales:
\[11{,}3=11{,}30\]
Comparamos \(11{,}30\) y \(11{,}28\):
\[11{,}28<11{,}30\]
Beatriz fue más rápida, porque \(11{,}28\) segundos es menor que \(11{,}3\) segundos.
Ejercicio 7: temperaturas bajo cero
Temperatura: En una ciudad la temperatura fue \(-3{,}8^\circ\text{C}\) y en otra fue \(-3{,}75^\circ\text{C}\). ¿Dónde hizo más frío?
Hace más frío donde la temperatura es menor.
Igualamos cifras decimales:
\[-3{,}8=-3{,}80\]
Comparamos los valores absolutos: \(3{,}80>3{,}75\). Entonces \(-3{,}8\) es “más grande” en valor absoluto.
Como ambos números son negativos, el de mayor valor absoluto es menor:
\[-3{,}80<-3{,}75\]
Hizo más frío donde la temperatura fue \(-3{,}8^\circ\text{C}\).
Ejercicio 8: comparación de precios
Precios: La marca A cuesta $1.490,50 y la marca B cuesta $1.490,09. ¿Cuál marca es más barata?
Para saber cuál es más barata, buscamos el precio menor.
La parte entera es la misma: \(1.490\). Entonces comparamos la parte decimal:
\[0{,}50 \qquad 0{,}09\]
Como \(0{,}09<0{,}50\), se cumple que:
\[1.490{,}09<1.490{,}50\]
La marca B es más barata.
Ejercicio 9: puntuación de gimnasia
Puntuación de gimnasia: Un gimnasta recibe dos puntuaciones de los jueces: \(9{,}85\) y \(9{,}9\). ¿Cuál es la puntuación más alta?
Buscamos la puntuación mayor.
Igualamos cifras decimales:
\[9{,}9=9{,}90\]
Comparamos \(9{,}85\) y \(9{,}90\):
\[9{,}90>9{,}85\]
La puntuación más alta es \(9{,}9\).
Ejercicio 10: ordenar medidas
Ordenando medidas: Un carpintero debe ordenar tres listones de madera del más corto al más largo. Sus medidas son \(1{,}25\) m, \(1{,}2\) m y \(1{,}205\) m. ¿Cuál es el orden correcto?
Como todas las medidas son positivas, comparamos directamente sus cifras decimales.
Igualamos las medidas a tres cifras decimales:
\[1{,}25=1{,}250 \qquad 1{,}2=1{,}200 \qquad 1{,}205=1{,}205\]
Ordenamos de menor a mayor:
\[1{,}200<1{,}205<1{,}250\]
El orden correcto es: \(1{,}2\) m, \(1{,}205\) m, \(1{,}25\) m.