Números Complejos: Selección Múltiple (Introducción)
Ejercicios de Selección Múltiple: Introducción a los Números Complejos
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Ejercicio 1: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones *no* tiene solución en el conjunto de los números reales?
- \( x + 5 = 0 \)
- \( 2x - 1 = 7 \)
- \( x^2 = 9 \)
- \( x^2 = -4 \)
- \( \sqrt{x} = 2 \)
Respuesta correcta: d) \( x^2 = -4 \)
Explicación: El cuadrado de un número real nunca es negativo.
Ejercicio 2: ¿Cuál es la definición de la unidad imaginaria, *i*?
- \( i = -1 \)
- \( i = 1 \)
- \( i = \sqrt{-1} \)
- \( i = -\sqrt{-1} \)
- \( i = \sqrt{1} \)
Respuesta correcta: c) \( i = \sqrt{-1} \)
Ejercicio 3: ¿Cuál es el valor de \( i^2 \)?
- 1
- -1
- i
- -i
- 0
Respuesta correcta: b) -1
Explicación: Si \( i = \sqrt{-1} \), entonces \( i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1 \).
Ejercicio 4: Simplifica: \( i^3 \)
- 1
- -1
- i
- -i
- 0
Respuesta correcta: d) -i
Explicación: \( i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \)
Ejercicio 5: Simplifica: \( i^4 \)
- 1
- -1
- i
- -i
- 0
Respuesta correcta: a) 1
Explicación: \( i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \)
Ejercicio 6: ¿Cuál es la forma binomial del número complejo con parte real 3 y parte imaginaria -5?
- -5 + 3i
- 3 - 5i
- 5 - 3i
- -3 - 5i
- 3 + 5i
Respuesta correcta: b) 3 - 5i
Explicación: La forma binomial es a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Ejercicio 7: ¿Cuál es la parte imaginaria del número complejo z = -2 + √3i ?
- -2
- 2
- √3
- -√3
- i
Respuesta correcta: c) √3
Explicación: En la forma a + bi, b es la parte imaginaria (el coeficiente de *i*, no *i* en sí mismo).
Ejercicio 8: ¿Cuál de los siguientes números complejos es un número *real*?
- 2 + 2i
- -3i
- √5
- 1 - √2i
- i2 + 2i
Respuesta correcta: c) √5
Explicación: Un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.
Ejercicio 9: ¿Cuál de los siguientes números complejos es un *imaginario puro*?
- -1
- 1 + i
- -6i
- √2 - i
- i2
Respuesta correcta: c) -6i
Explicación: Un número imaginario puro tiene parte real igual a cero (de la forma bi, donde b es un número real distinto de cero).
Ejercicio 10: Si z1 = 2 - i y z2 = -3 + 4i, ¿para qué valores de *x* e *y* se cumple que x*z1 + y*z2=0?
- x = 0, y = 0
- x = 2, y = -3
- x = -1, y = 4
- No existen tales valores.
- x e y pueden tomar cualquier valor
Respuesta correcta: a) x = 0, y = 0
Desarrollo:
x(2-i) + y(-3+4i) = 0
2x-ix-3y+4iy= (2x-3y)+(-x+4y)i = 0
Para que un complejo sea 0, tanto la parte real como la imaginaria deben ser 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene x = 0, y = 0.
Ejercicio 11: Simplifica: \( i^{37} \)
- 1
- -1
- i
- -i
- 0
Respuesta correcta: c) i
Desarrollo: 37 ÷ 4 = 9, resto 1. Por lo tanto, \( i^{37} = i^1 = i \).
Ejercicio 12: Simplifica: \( i^{-12} \)
- 1
- -1
- i
- -i
- 0
Respuesta correcta: a) 1
Desarrollo: \( i^{-12} = \frac{1}{i^{12}} \). Como 12 es múltiplo de 4, \( i^{12} = 1 \). Por lo tanto, \( \frac{1}{i^{12}} = \frac{1}{1} = 1 \).
Ejercicio 13: Si \( (a + bi) + (3 - 2i) = 1 + i \), ¿cuáles son los valores de *a* y *b*?
- a = -2, b = 3
- a = 2, b = -3
- a = 4, b = -1
- a = -2, b = -3
- a = 4, b = 3
Respuesta correcta: a) a = -2, b = 3
Desarrollo: (a + 3) + (b - 2)i = 1 + i. Igualando partes reales e imaginarias: a + 3 = 1 => a = -2, y b - 2 = 1 => b = 3.
Ejercicio 14: Simplifica \( \sqrt{-16} \)
- 4
- -4
- 4i
- -4i
- No se puede simplificar.
Respuesta correcta: c) 4i
Desarrollo: \( \sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = 4i \)
Ejercicio 15: Simplifica \( \sqrt{-8} \)
- \( 2\sqrt{2} \)
- \( -2\sqrt{2} \)
- \( 2i\sqrt{2} \)
- \( -2i\sqrt{2} \)
- No se puede simplificar.
Respuesta correcta: c) \( 2i\sqrt{2} \)
Desarrollo: \( \sqrt{-8} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{4 \cdot 2} \cdot i = 2\sqrt{2}i \)