Módulo, Conjugado y Distancia

2. Conjugado y Distancia entre Números Complejos

Conjugado y Distancia entre Números Complejos

Repaso: Conjugado

El *conjugado* de un número complejo \( z = a + bi \) se denota por \( \bar{z} \) (o a veces z*) y se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria:

\[ \bar{z} = a - bi \]

Geométricamente, el conjugado es una *reflexión* del número complejo original con respecto al eje real en el plano complejo.

Propiedades del Conjugado

El conjugado tiene varias propiedades importantes:

El conjugado del conjugado es el número original: \( \overline{(\bar{z})} = z \)
La suma de un número complejo y su conjugado es un número real: \( z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a \) (el doble de la parte real).
La diferencia entre un número complejo y su conjugado es un número imaginario puro: \( z - \bar{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi \) (el doble de la parte imaginaria multiplicada por *i*).
El producto de un número complejo y su conjugado es un número real y no negativo: \( z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2 \) (esto lo vimos en la página anterior).
El conjugado de una suma es la suma de los conjugados: \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
El conjugado de una resta es la resta de los conjugados: \( \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} \)
El conjugado de un producto es el producto de los conjugados: \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \)
El conjugado de un cociente es el cociente de los conjugados: \( \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \) (siempre que \( z_2 \neq 0 \)).

Ejemplos:

Si z = 2 + 3i, entonces \(\bar{z}\)= 2-3i, \( \overline{(\bar{z})} = 2 + 3i = z \)
Si z = 2 + 3i, entonces \(z + \bar{z} = (2+3i) + (2-3i)= 4\)

Distancia entre Números Complejos

La distancia entre dos números complejos \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \) en el plano complejo se calcula como el *módulo de su diferencia*:

\[ \text{Distancia}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| = |(a + bi) - (c + di)| = |(a - c) + (b - d)i| = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2} \]

Esta fórmula es análoga a la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

(En Moodle, insertar una imagen que muestre dos números complejos en el plano, el segmento que los une, y la expresión \( |z_1 - z_2| \) para representar la distancia).

Ejemplo: Calcula la distancia entre z₁ = 1 + i y z₂ = 4 + 5i.

\( z_1 - z_2 = (1 + i) - (4 + 5i) = (1 - 4) + (1 - 5)i = -3 - 4i \)
\( |z_1 - z_2| = |-3 - 4i| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

La distancia entre los dos números complejos es 5.

Ejercicios

Ejercicio 1: Encuentra el conjugado de cada número complejo:

\( 5 + 2i \)
\( -3 - i \)
\( 4i \)
\( -6 \)
\( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \)

Ejercicio 2: Verifica que \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \) para los siguientes números complejos:

\( z = 2 + i \)
\( z = -3 + 4i \)
\( z = 1 - i \)

Ejercicio 3: Calcula la distancia entre los siguientes pares de números complejos:

\( z_1 = 1 + 2i \), \( z_2 = 4 + 6i \)
\( z_1 = -2 + i \), \( z_2 = 3 - 4i \)
\( z_1 = 5i \), \( z_2 = -2i \)

Ejercicio 4: Demuestra que el conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. Es decir, si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), demuestra que \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \).