Aplicaciones y Conexiones

2. Números Complejos y Circuitos de CA

Números Complejos y Circuitos de Corriente Alterna (CA)

Introducción

Los números complejos son una herramienta *esencial* en el análisis de circuitos de corriente alterna (CA). A diferencia de la corriente continua (CC), donde la corriente y el voltaje son constantes, en la CA varían sinusoidalmente con el tiempo. Esta variación hace que el análisis sea más complejo, y los números complejos nos ayudan a simplificarlo.

Conceptos Básicos (Simplificados)

Impedancia (Z): Es la "resistencia" total que un circuito de CA ofrece al paso de la corriente. Es un número *complejo*.
- Parte Real: Resistencia (R).
- Parte Imaginaria: Reactancia (X).
- \( Z = R + jX \) ("j" es la unidad imaginaria en ingeniería eléctrica).
Componentes Pasivos:
- Resistencia (R): Z = R
- Inductor (L): Z = jωL (ω es la frecuencia angular)
- Capacitor (C): Z = 1/(jωC) = -j/(ωC)

Cálculo de Impedancias

Serie: \( Z_{total} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n \) (suma directa)
Paralelo: \( \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + ... + \frac{1}{Z_n} \)

Ejemplo 1: Resistencia e Inductor en Serie

R = 100 Ω, L = 0.5 H, ω = 100 rad/s

Z_R = 100 Ω

Z_L = jωL = j * 100 * 0.5 = 50j Ω

Z_total = Z_R + Z_L = 100 + 50j Ω

Ejemplo 2: Resistencia y Capacitor en Serie

R = 200 Ω, C = 10 μF (microfaradios), ω = 1000 rad/s

Z_R = 200 Ω

Z_C = -j/(ωC) = -j / (1000 * 10 * 10^-6) = -j / 0.01 = -100j Ω

Z_total = Z_R + Z_C = 200 - 100j Ω

Ejemplo 3: Resistencia e Inductor en Paralelo

R = 100 Ω, L = 0.5 H, ω = 100 rad/s

Z_R = 100 Ω

Z_L = jωL = j * 100 * 0.5 = 50j Ω

\( \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50j} \)

Para sumar las fracciones, necesitamos un denominador común. Multiplicamos la segunda fracción por -j/-j:

\( \frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{100} - \frac{j}{50} \)

Encontramos un denominador común:

\(\frac{1}{Z_{total}} = \frac{1 - 2j}{100} \)

Invertimos para obtener Z_total:

\(Z_{total} = \frac{100}{1 - 2j}\)

Multiplicamos por el conjugado para obtener la forma binomial:

\( \frac{100}{1 - 2j} = \frac{100}{1 - 2j} * \frac{1+2j}{1+2j} =\frac{100+200j}{5} = 20 + 40j \)

Ejercicios

Ejercicio 1: Un circuito en serie tiene una resistencia de R = 50 Ω y un inductor con impedancia j30 Ω. Calcula la impedancia total del circuito.

Ejercicio 2:Un circuito en serie tiene una resistencia de R = 200 Ω y un capacitor con impedancia -j50 Ω. Calcula la impedancia total.

Ejercicio 3: Dos impedancias, Z₁ = 100 Ω y Z₂ = 200j Ω, están conectadas en paralelo. Calcula la impedancia total (aproximada).

Ejercicio 4: Representa en el plano de Gauss, Z1= 20+40j, y Z2= -60-10j, y la resultante de sumarlas.