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vectores

Sitio: MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso: Geometía 3d
Libro: vectores
Imprimido por: Invitado
Día: sábado, 25 de julio de 2026, 18:42

Tabla de contenidos

1. sdfg

¿Qué es un vector?

Objetivo de la página

  • Comprender qué es un vector y reconocerlo como una herramienta para representar desplazamientos, direcciones, sentidos y magnitudes.

Idea inicial

Un vector es un objeto matemático que permite representar un desplazamiento. Para describirlo correctamente no basta con indicar cuánto mide: también importa hacia dónde va y en qué sentido se recorre.

En geometría, un vector suele representarse mediante una flecha. El punto donde comienza la flecha se llama origen y el punto donde termina se llama extremo.

Elementos de un vector

Un vector se caracteriza por tres elementos principales:

  • Módulo: corresponde a la longitud del vector.
  • Dirección: corresponde a la recta o inclinación sobre la que se ubica.
  • Sentido: corresponde hacia dónde apunta la flecha.

Ejemplo 1: un desplazamiento representado por un vector

Observa los puntos \(A\) y \(B\). El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).

La flecha no solo muestra que hay una distancia entre \(A\) y \(B\), sino también que el movimiento parte en \(A\) y termina en \(B\).

Por eso escribimos:

\[ \overrightarrow{AB} \]

y se lee: “vector desde \(A\) hasta \(B\)”.

Atención

No es lo mismo \(\overrightarrow{AB}\) que \(\overrightarrow{BA}\).

Ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero tienen sentidos opuestos.

Ejemplo 2: sentido del vector

Si una persona se desplaza desde \(P\) hasta \(Q\), el vector que representa ese movimiento es:

\[ \overrightarrow{PQ} \]

En cambio, si se desplaza desde \(Q\) hasta \(P\), el vector es:

\[ \overrightarrow{QP} \]

Aunque ambos desplazamientos ocurren entre los mismos puntos, no representan el mismo vector:

\[ \overrightarrow{PQ}\neq \overrightarrow{QP} \]

El orden de las letras importa, porque indica el sentido del desplazamiento.

Idea clave

Un vector no describe solamente una posición. Describe un cambio de posición.

Por eso será útil más adelante para estudiar movimientos, traslaciones, distancias y objetos en el espacio tridimensional.

Ejercicio 1: reconocer el desplazamiento

Observa los puntos \(A\) y \(B\). Explica con tus palabras qué representa el vector \(\overrightarrow{AB}\).

Ejercicio 2: comparar sentidos

Completa la comparación entre los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\).

Aspecto Comparación
Módulo ¿Tienen la misma longitud?
Dirección ¿Están sobre la misma recta o inclinación?
Sentido ¿Apuntan hacia el mismo lado?

Ejercicio 3: construir un ejemplo

Dibuja en tu cuaderno dos vectores que tengan el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Luego nómbralos usando dos pares de puntos, por ejemplo \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{QP}\).

Ejercicio 4: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma:

“\(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) son el mismo vector, porque usan los mismos puntos”.

¿Es correcta su afirmación? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 5: interpretar una situación

Un dron se mueve desde un punto inicial \(I\) hasta un punto final \(F\). Luego vuelve desde \(F\) hasta \(I\).

  1. Escribe el vector que representa el viaje de ida.
  2. Escribe el vector que representa el viaje de vuelta.
  3. Indica qué tienen en común y en qué se diferencian ambos vectores.

2. Vectores para comprender la Geometría 3D

Puntos y vectores: ubicación y desplazamiento

Objetivo de la página

  • Distinguir entre punto y vector, reconociendo que un punto representa una ubicación y un vector representa un desplazamiento.

Puntos y vectores no son lo mismo

En geometría analítica usamos coordenadas para ubicar puntos y también para describir vectores. Esto puede producir una confusión inicial, porque ambos pueden escribirse con pares ordenados.

Por ejemplo, \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) se parecen en la escritura, pero no significan lo mismo.

Diferencia fundamental

Objeto Qué representa Ejemplo
Punto Una ubicación fija en el plano o en el espacio. \(A=(3,2)\)
Vector Un desplazamiento con módulo, dirección y sentido. \(\vec{v}=(3,2)\)

Ejemplo 1: el punto \(A=(3,2)\)

El punto \(A=(3,2)\) indica una posición: desde el origen \(O=(0,0)\), se avanza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(A\).

Cuando un vector comienza en el origen y termina en un punto, se llama vector posición de ese punto.

En este caso:

\[ \overrightarrow{OA}=(3,2) \]

El vector \(\overrightarrow{OA}\) ayuda a describir la posición de \(A\), pero el punto \(A\) y el vector \(\overrightarrow{OA}\) no son exactamente el mismo objeto matemático.

Ejemplo 2: el vector \(\vec{v}=(3,2)\)

El vector \(\vec{v}=(3,2)\) no describe necesariamente una ubicación fija. Describe un desplazamiento: avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Por eso, el mismo desplazamiento puede comenzar en distintos puntos.

Por ejemplo, si \(C=(1,0)\) y \(D=(4,2)\), el desplazamiento desde \(C\) hasta \(D\) también consiste en avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Entonces:

\[ \overrightarrow{CD}=(3,2) \]

Así, \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{CD}\) representan el mismo desplazamiento, aunque estén dibujados en lugares distintos.

Idea clave

Un punto responde a la pregunta:

\[ \text{¿dónde está?} \]

Un vector responde a la pregunta:

\[ \text{¿cuánto y hacia dónde se desplaza?} \]

Error frecuente

No conviene decir que \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) son lo mismo solo porque tienen los mismos números.

El punto \(A\) es una ubicación. El vector \(\vec{v}\) es un desplazamiento.

Ejercicio 1: reconocer punto o vector

Indica si cada expresión representa un punto o un vector:

  1. \(P=(5,1)\)
  2. \(\vec{u}=(-2,4)\)
  3. \(B=(0,-3)\)
  4. \(\overrightarrow{MN}\)

Ejercicio 2: interpretar el mismo par ordenado

Explica la diferencia entre \(A=(4,2)\) y \(\vec{v}=(4,2)\).

Ejercicio 3: completar el extremo de un desplazamiento

El vector \(\vec{v}=(2,3)\) comienza en el punto \(C=(1,1)\). Si al aplicar el desplazamiento se llega al punto \(D\), ¿cuáles son las coordenadas de \(D\)?

Ejercicio 4: encontrar un punto inicial

Un vector \(\vec{w}=(3,-2)\) lleva desde un punto \(P\) hasta el punto \(Q=(7,1)\).

Halla las coordenadas del punto inicial \(P\).

Ejercicio 5: construir dos desplazamientos equivalentes

Un vector indica avanzar 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.

Da dos ejemplos distintos de desplazamientos que representen ese mismo vector.

Ejercicio 6: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma:

“Como \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) tienen los mismos números, entonces son exactamente lo mismo”.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Ejercicio 7: completar una igualdad

Completa los valores de \(a\) y \(b\) para que el desplazamiento desde \(M=(2,1)\) hasta \(N=(a,b)\) sea equivalente al vector \(\vec{v}=(4,3)\).

Luego calcula:

\[ a+b \]

3. Vectores para comprender la Geometría 3D

Componentes de un vector en el plano

Objetivo de la página

  • Representar vectores en el plano cartesiano mediante sus componentes horizontal y vertical.

Vectores en 2D

En el plano cartesiano, un vector se puede describir usando dos componentes.

Si un vector se escribe como:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

entonces \(a\) indica el desplazamiento horizontal y \(b\) indica el desplazamiento vertical.

Componentes de un vector en el plano

Para un vector \(\vec{v}=(a,b)\):

  • La primera componente, \(a\), indica cuánto se avanza hacia la derecha o hacia la izquierda.
  • La segunda componente, \(b\), indica cuánto se avanza hacia arriba o hacia abajo.

Si \(a>0\), el desplazamiento horizontal es hacia la derecha. Si \(a<0\), es hacia la izquierda.

Si \(b>0\), el desplazamiento vertical es hacia arriba. Si \(b<0\), es hacia abajo.

Ejemplo 1: el vector \(\vec{v}=(4,3)\)

El vector \(\vec{v}=(4,3)\) indica un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.

Desde el origen \(O=(0,0)\), el vector llega al punto \(A=(4,3)\).

Su primera componente es \(4\), porque se avanza 4 unidades hacia la derecha.

Su segunda componente es \(3\), porque se avanza 3 unidades hacia arriba.

Por lo tanto:

\[ \vec{v}=(4,3) \]

Idea clave

Las componentes de un vector indican cómo se descompone el desplazamiento en dos movimientos más simples: uno horizontal y otro vertical.

Por eso, el vector \((4,3)\) puede entenderse como “avanzar 4 y subir 3”.

Ejemplo 2: interpretación de signos

Consideremos algunos vectores:

Vector Interpretación horizontal Interpretación vertical
\(\vec{u}=(5,2)\) 5 unidades hacia la derecha 2 unidades hacia arriba
\(\vec{v}=(-3,4)\) 3 unidades hacia la izquierda 4 unidades hacia arriba
\(\vec{w}=(2,-5)\) 2 unidades hacia la derecha 5 unidades hacia abajo
\(\vec{z}=(-4,-1)\) 4 unidades hacia la izquierda 1 unidad hacia abajo

El signo de cada componente indica el sentido del desplazamiento respecto de los ejes coordenados.

Error frecuente

No confundas las componentes de un vector con las coordenadas de un punto.

En \(A=(4,3)\), los números indican una ubicación. En \(\vec{v}=(4,3)\), los números indican un desplazamiento.

Ejercicio 1: interpretar componentes

Describe con palabras el desplazamiento representado por cada vector:

  1. \(\vec{a}=(6,2)\)
  2. \(\vec{b}=(-4,3)\)
  3. \(\vec{c}=(5,-1)\)
  4. \(\vec{d}=(-2,-7)\)

Ejercicio 2: escribir el vector desde una descripción

Escribe el vector que representa cada desplazamiento:

  1. Avanzar 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.
  2. Avanzar 6 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
  3. Avanzar 4 unidades hacia la derecha y 7 unidades hacia abajo.
  4. Avanzar 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

Ejercicio 3: completar componentes desconocidas

Completa los valores de \(a\) y \(b\) en cada caso:

  1. Si \(\vec{u}=(a,4)\) representa 3 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba, ¿cuál es el valor de \(a\)?
  2. Si \(\vec{v}=(5,b)\) representa 5 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo, ¿cuál es el valor de \(b\)?
  3. Si \(\vec{w}=(a,b)\) representa 6 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo, calcula \(a+b\).

Ejercicio 4: igualdad de componentes

Si dos vectores tienen las mismas componentes, entonces representan el mismo desplazamiento.

Completa los valores de \(x\) e \(y\) para que se cumpla:

\[ (x,-3)=(4,y) \]

Luego calcula:

\[ x+y \]

Ejercicio 5: dibujar vectores desde el origen

Dibuja en el plano cartesiano los siguientes vectores, todos comenzando en el origen \(O=(0,0)\):

  1. \(\overrightarrow{OU}=(3,2)\)
  2. \(\overrightarrow{OV}=(-4,1)\)
  3. \(\overrightarrow{OW}=(2,-3)\)
  4. \(\overrightarrow{OZ}=(-1,-4)\)

Ejercicio 6: leer vectores desde un gráfico

Observa los vectores dibujados desde el origen. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).

Ejercicio 7: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que el vector \(\vec{v}=(-5,4)\) significa:

“Retroceder 5 unidades y bajar 4 unidades”.

¿Es correcta su interpretación? Justifica.

Para continuar

Hasta ahora hemos representado vectores desde el origen. En la siguiente página estudiaremos cómo calcular las coordenadas de un vector cuando comienza en cualquier punto del plano.

4. Vector entre dos puntos

Vector entre dos puntos

Objetivo de la página

  • Calcular las coordenadas de un vector a partir de su punto inicial y su punto final en el plano cartesiano.

Vector entre dos puntos

Cuando un vector comienza en un punto \(A\) y termina en un punto \(B\), se escribe:

\[ \overrightarrow{AB} \]

El orden de las letras es importante: la primera letra indica el punto inicial y la segunda letra indica el punto final.

Fórmula del vector entre dos puntos

Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Es decir, se resta:

\[ \text{punto final}-\text{punto inicial} \]

Ejemplo 1: calcular \(\overrightarrow{AB}\)

Sean los puntos:

\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]

El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\).

Aplicamos la fórmula:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Reemplazamos:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]

Por lo tanto:

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]

Esto significa que, desde \(A\), se avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(B\).

Ejemplo 2: comparar \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)

Usando los mismos puntos:

\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]

Ya calculamos que:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]

Ahora calculemos el vector contrario:

\[ \overrightarrow{BA}=(1-5,\;2-4)=(-4,-2) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]

Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Error frecuente

No se debe calcular \(\overrightarrow{AB}\) como \(A-B\).

Lo correcto es:

\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]

porque el vector comienza en \(A\) y termina en \(B\).

Idea clave

Para calcular un vector entre dos puntos, piensa en el cambio que ocurre desde el punto inicial hasta el punto final.

Primero compara las coordenadas \(x\), luego compara las coordenadas \(y\).

En resumen:

\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]

Ejercicio 1: calcular vectores entre puntos

Calcula las coordenadas de cada vector:

  1. \(A=(2,1)\), \(B=(6,4)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. \(C=(-3,2)\), \(D=(1,5)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
  3. \(E=(4,-1)\), \(F=(7,-5)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).

Ejercicio 2: leer vectores desde un gráfico

Observa los vectores dibujados. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\) y \(\overrightarrow{GH}\).

Ejercicio 3: comparar un vector con su opuesto

Sean los puntos:

\[ A=(-2,3) \qquad B=(2,-1) \]

  1. Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calcula \(\overrightarrow{BA}\).
  3. Explica qué relación hay entre ambos vectores.

Ejercicio 4: hallar el punto final

Un vector comienza en el punto \(P=(2,-1)\) y tiene coordenadas:

\[ \overrightarrow{PQ}=(5,4) \]

Halla las coordenadas del punto final \(Q\).

Ejercicio 5: hallar el punto inicial

Se sabe que:

\[ \overrightarrow{AB}=(-3,4) \]

y que el punto final es:

\[ B=(1,6) \]

Halla las coordenadas del punto inicial \(A\).

Ejercicio 6: coordenadas desconocidas

Sean los puntos:

\[ A=(a,2) \qquad B=(5,b) \]

Si:

\[ \overrightarrow{AB}=(3,-4) \]

halla los valores de \(a\) y \(b\). Luego calcula:

\[ a+b \]

Ejercicio 7: corregir un error frecuente

Un estudiante calcula el vector desde \(A=(3,2)\) hasta \(B=(8,6)\) de la siguiente manera:

\[ \overrightarrow{AB}=(3-8,\;2-6)=(-5,-4) \]

¿El procedimiento es correcto? Justifica y corrige si es necesario.

Para continuar

Ahora que sabemos calcular vectores entre dos puntos, podemos estudiar su longitud o módulo, es decir, cuánto mide el desplazamiento.

5. Módulo de un vector

Módulo de un vector

Objetivo de la página

  • Calcular e interpretar el módulo de un vector en el plano cartesiano, usando sus componentes y el teorema de Pitágoras.

¿Qué es el módulo de un vector?

El módulo de un vector corresponde a su longitud.

Si un vector representa un desplazamiento, entonces su módulo indica cuántas unidades mide ese desplazamiento.

El módulo de un vector \(\vec{v}\) se escribe:

\[ |\vec{v}| \]

Fórmula del módulo en 2D

Si un vector tiene coordenadas:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

entonces su módulo se calcula mediante:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]

Esta fórmula se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por las componentes horizontal y vertical del vector.

Ejemplo 1: módulo de \(\overrightarrow{OA}\)

Observa el vector \(\overrightarrow{OA}\), donde \(O=(0,0)\) y \(A=(4,3)\).

Como \(\overrightarrow{OA}=(4,3)\), su módulo es:

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2} \]

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{16+9} \]

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{25}=5 \]

Por lo tanto, el vector mide \(5\) unidades.

Idea clave

El módulo no depende del sentido del vector, sino de su longitud.

Por ejemplo, \((4,3)\) y \((-4,-3)\) tienen el mismo módulo, porque ambos forman un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(4\) y \(3\).

Ejemplo 2: módulo de un vector entre dos puntos

Sean los puntos:

\[ A=(1,1) \qquad B=(5,4) \]

Primero calculamos el vector:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-1)=(4,3) \]

Luego calculamos su módulo:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]

Entonces, la distancia desde \(A\) hasta \(B\) es \(5\) unidades.

Módulo de un vector entre dos puntos

Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Por lo tanto:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Error frecuente

No se calcula el módulo sumando directamente las componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{v}=(4,3)\), no corresponde hacer:

\[ |\vec{v}|=4+3=7 \]

Lo correcto es usar:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]

Ejercicio 1: calcular módulos

Calcula el módulo de cada vector:

  1. \(\vec{u}=(6,8)\)
  2. \(\vec{v}=(5,12)\)
  3. \(\vec{w}=(-3,4)\)

Ejercicio 2: leer desde un gráfico

Observa los vectores dibujados desde el origen. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).

Ejercicio 3: módulo de un vector entre dos puntos

Calcula el módulo de cada vector entre dos puntos:

  1. \(A=(1,2)\), \(B=(4,6)\). Calcula \(|\overrightarrow{AB}|\).
  2. \(C=(-2,1)\), \(D=(4,9)\). Calcula \(|\overrightarrow{CD}|\).
  3. \(E=(3,-1)\), \(F=(-1,2)\). Calcula \(|\overrightarrow{EF}|\).

Ejercicio 4: hallar una componente desconocida

Sea el vector:

\[ \vec{v}=(x,3) \]

Si su módulo es \(5\), halla los posibles valores de \(x\).

Ejercicio 5: hallar un punto usando el módulo

Sean los puntos:

\[ A=(1,2) \qquad B=(a,6) \]

Si:

\[ |\overrightarrow{AB}|=5 \]

halla los posibles valores de \(a\).

Ejercicio 6: comparar módulos

Sin dibujar, determina cuáles de los siguientes vectores tienen el mismo módulo que \(\vec{u}=(6,8)\):

  1. \(\vec{a}=(-6,-8)\)
  2. \(\vec{b}=(8,6)\)
  3. \(\vec{c}=(-8,6)\)
  4. \(\vec{d}=(10,0)\)

Ejercicio 7: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma:

“El módulo de \(\vec{v}=(4,3)\) es \(7\), porque \(4+3=7\)”.

¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige el procedimiento.

Para continuar

Ahora que sabemos calcular la longitud de un vector, podemos estudiar su dirección, es decir, el ángulo o inclinación que forma respecto del eje horizontal.

6. Dirección de un vector en el plano

Dirección de un vector en el plano

Objetivo de aprendizaje

  • Determinar e interpretar la dirección de un vector en el plano cartesiano usando sus componentes y tangentes conocidas.

Idea inicial

Un vector del plano puede describir un desplazamiento mediante sus componentes.

Por ejemplo, el vector:

\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]

indica avanzar \(2\) unidades en dirección horizontal y \(2\sqrt{3}\) unidades en dirección vertical.

Además de sus componentes y su módulo, un vector también tiene una dirección, que puede representarse mediante el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.

Dirección de un vector

Si un vector del plano se escribe como:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

entonces su dirección puede relacionarse con el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) positivo.

Cuando \(a\neq 0\), usamos la razón tangente:

\[ \tan(\alpha)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]

En un vector \((a,b)\), esto se escribe como:

\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]

En el primer cuadrante, el ángulo de referencia \(\alpha\) coincide con la dirección \(\theta\).

Tangentes conocidas

En esta página trabajaremos principalmente con ángulos notables:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ \tan(45^\circ)=1 \]

\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

También consideraremos el caso vertical:

\[ 90^\circ \]

En ese caso no se calcula la tangente usando \(\frac{b}{a}\), porque la componente horizontal es \(0\).

Ejemplo 1: dirección de un vector usando tangente conocida

Consideremos el vector:

\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]

La componente horizontal es \(2\) y la componente vertical es \(2\sqrt{3}\).

Usamos la razón tangente:

\[ \tan(\alpha)=\frac{CO}{CA} \]

En este caso:

\[ \tan(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{2} \]

Simplificando:

\[ \tan(\alpha)=\sqrt{3} \]

Como sabemos que:

\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

Entonces:

\[ \alpha=60^\circ \]

Por lo tanto, el vector \(\vec{v}=(2,2\sqrt{3})\) forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Lectura importante

No es necesario que el vector sea exactamente \((1,\sqrt{3})\) para formar un ángulo de \(60^\circ\).

Por ejemplo:

\[ (2,2\sqrt{3})=2(1,\sqrt{3}) \]

Como es un múltiplo positivo de \((1,\sqrt{3})\), tiene la misma dirección y el mismo sentido.

Lo importante es que al calcular la razón:

\[ \frac{b}{a} \]

obtengamos una tangente conocida.

Ejemplo 2: dirección de \(45^\circ\)

Consideremos el vector:

\[ \vec{u}=(3,3) \]

Calculamos:

\[ \tan(\alpha)=\frac{3}{3}=1 \]

Como:

\[ \tan(45^\circ)=1 \]

Entonces:

\[ \alpha=45^\circ \]

Por lo tanto, el vector \((3,3)\) forma un ángulo de \(45^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Ejemplo 3: dirección de \(30^\circ\)

Consideremos el vector:

\[ \vec{w}=(4\sqrt{3},4) \]

Calculamos:

\[ \tan(\alpha)=\frac{4}{4\sqrt{3}} \]

Simplificando:

\[ \tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Como:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Entonces:

\[ \alpha=30^\circ \]

Por lo tanto, el vector \((4\sqrt{3},4)\) forma un ángulo de \(30^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Vectores con la misma dirección

Dos vectores tienen la misma línea de dirección si uno se puede obtener multiplicando el otro por un número real distinto de cero.

Si:

\[ \vec{u}=k\vec{v} \]

entonces \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores paralelos.

  • Si \(k>0\), tienen la misma dirección y el mismo sentido.
  • Si \(k<0\), tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Por ejemplo:

\[ (6,6\sqrt{3})=3(2,2\sqrt{3}) \]

Ambos vectores tienen dirección de \(60^\circ\), porque son múltiplos positivos.

Dirección en otros cuadrantes

Cuando un vector no está en el primer cuadrante, podemos usar un ángulo de referencia.

El ángulo de referencia se calcula usando los valores positivos de las componentes:

\[ \tan(\alpha)=\frac{|b|}{|a|} \]

Luego se ajusta según el cuadrante donde está el vector.

Cuadrante Signos de \((a,b)\) Dirección
I \((+,+)\) \(\theta=\alpha\)
II \((-,+)\) \(\theta=180^\circ-\alpha\)
III \((-,-)\) \(\theta=180^\circ+\alpha\)
IV \((+,-)\) \(\theta=360^\circ-\alpha\)

Ejemplo 4: dirección en el segundo cuadrante

Consideremos el vector:

\[ \vec{r}=(-2,2) \]

Este vector está en el segundo cuadrante, porque su componente horizontal es negativa y su componente vertical es positiva.

Primero calculamos el ángulo de referencia:

\[ \tan(\alpha)=\frac{|2|}{|-2|} \]

\[ \tan(\alpha)=\frac{2}{2}=1 \]

Como:

\[ \tan(45^\circ)=1 \]

Entonces:

\[ \alpha=45^\circ \]

Como el vector está en el segundo cuadrante:

\[ \theta=180^\circ-45^\circ \]

\[ \theta=135^\circ \]

Por lo tanto, el vector \((-2,2)\) forma un ángulo de \(135^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Error frecuente

No se debe invertir la razón.

Para un vector \((a,b)\), la tangente del ángulo se calcula como:

\[ \tan(\alpha)=\frac{b}{a} \]

Es decir:

\[ \tan(\alpha)=\frac{\text{componente vertical}}{\text{componente horizontal}} \]

Por ejemplo, para \((2,2\sqrt{3})\):

\[ \tan(\alpha)=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \]

Entonces el ángulo es \(60^\circ\), no \(30^\circ\).

Ejercicio 1: calcular dirección en el primer cuadrante

Determina el ángulo que forma cada vector con el eje \(x\) positivo:

  1. \(\vec{a}=(3,3\sqrt{3})\)
  2. \(\vec{b}=(5,5)\)
  3. \(\vec{c}=(6\sqrt{3},6)\)

Ejercicio 2: hallar una componente desconocida

El vector:

\[ \vec{v}=(2,b) \]

forma un ángulo de \(60^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Halla el valor de \(b\).

Ejercicio 3: construir un vector con una dirección dada

Escribe un vector distinto de \((1,\sqrt{3})\) que tenga dirección de \(60^\circ\) y el mismo sentido.

Ejercicio 4: dirección en otros cuadrantes

Determina el ángulo que forma cada vector con el eje \(x\) positivo:

  1. \(\vec{u}=(-5,-5)\)
  2. \(\vec{w}=(6\sqrt{3},-6)\)
  3. \(\vec{r}=(-4,4\sqrt{3})\)

Ejercicio 5: completar usando el cuadrante

Un vector está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia \(30^\circ\).

Si su componente vertical es \(2\), entonces el vector tiene la forma:

\[ \vec{v}=(a,2) \]

Halla el valor de \(a\) y determina su dirección \(\theta\).

Ejercicio 6: comparar dirección y sentido

Determina si los vectores:

\[ \vec{p}=(2,2\sqrt{3}) \]

y

\[ \vec{q}=(-6,-6\sqrt{3}) \]

tienen la misma línea de dirección, el mismo sentido o sentidos opuestos. Justifica.

Ejercicio 7: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que el vector:

\[ \vec{v}=(2,2\sqrt{3}) \]

forma un ángulo de \(30^\circ\), porque hizo:

\[ \tan(\alpha)=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \]

¿Es correcto su procedimiento? Justifica y corrige.

Para continuar

La dirección de un vector puede reconocerse usando la razón entre su componente vertical y su componente horizontal.

Cuando esa razón corresponde a una tangente conocida, podemos determinar el ángulo sin usar calculadora.

Además, los múltiplos escalares positivos conservan dirección y sentido, mientras que los múltiplos negativos conservan la misma línea de dirección, pero cambian el sentido.

7. Operaciones con vectores

Operaciones con vectores en el plano

Objetivo de la página

  • Operar vectores en el plano mediante suma, resta y multiplicación por escalar, interpretando cada operación como un desplazamiento.

Operaciones con vectores

Como un vector representa un desplazamiento, operar vectores permite combinar, comparar o modificar desplazamientos.

En esta página trabajaremos tres operaciones básicas:

  • suma de vectores,
  • resta de vectores,
  • multiplicación de un vector por un escalar.

Operatoria básica en coordenadas

Si \(\vec{u}=(a,b)\) y \(\vec{v}=(c,d)\), entonces:

\[ \vec{u}+\vec{v}=(a+c,\;b+d) \]

\[ \vec{u}-\vec{v}=(a-c,\;b-d) \]

Si \(k\) es un número real, entonces:

\[ k\vec{u}=(ka,\;kb) \]

Ejemplo 1: suma de vectores con el método punta-cola

Observa los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BC}\). Al recorrer primero \(\overrightarrow{AB}\) y luego \(\overrightarrow{BC}\), se obtiene directamente el desplazamiento \(\overrightarrow{AC}\).

Calculamos:

\[ \overrightarrow{AB}=(3-0,\;1-0)=(3,1) \]

\[ \overrightarrow{BC}=(5-3,\;4-1)=(2,3) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3,1)+(2,3)=(5,4) \]

Pero también:

\[ \overrightarrow{AC}=(5-0,\;4-0)=(5,4) \]

Por lo tanto, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Idea clave

Sumar vectores significa realizar un desplazamiento y luego otro.

Geométricamente, esto se puede representar colocando la cola del segundo vector en la punta del primero.

Ejemplo 2: multiplicación por escalar

Consideremos el vector \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\).

Como \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\), entonces:

\[ 2\overrightarrow{OA}=2(2,1)=(4,2) \]

Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OB}\).

Además:

\[ -\overrightarrow{OA}=-(2,1)=(-2,-1) \]

Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OC}\).

Multiplicar por un escalar positivo mantiene el sentido. Multiplicar por un escalar negativo invierte el sentido.

Error frecuente

Al multiplicar un vector por un escalar, se multiplican todas sus componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{u}=(-3,4)\), entonces:

\[ 2\vec{u}=2(-3,4)=(-6,8) \]

No corresponde multiplicar solo una componente.

Usar un vector como desplazamiento

Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) comienza en un punto \(P=(x_P,y_P)\), entonces el punto final \(Q\) se obtiene sumando componente a componente:

\[ Q=(x_P+a,\;y_P+b) \]

Esto significa que el vector actúa como una instrucción de movimiento desde el punto inicial.

Ejemplo 3: determinar el punto final de un desplazamiento

Un vector de coordenadas \((3,2)\) comienza en \(P=(1,1)\). Determinemos el punto donde termina.

Sumamos el vector al punto inicial:

\[ Q=(1+3,\;1+2)=(4,3) \]

Entonces el vector termina en \(Q=(4,3)\).

En este caso:

\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]

Determinar el punto inicial

Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) termina en un punto \(Q=(x_Q,y_Q)\), entonces el punto inicial \(P\) se obtiene restando el vector al punto final:

\[ P=(x_Q-a,\;y_Q-b) \]

Esto permite reconstruir desde dónde comenzó el desplazamiento.

Ejemplo 4: determinar el punto inicial de un desplazamiento

Un vector de coordenadas \((3,2)\) termina en \(Q=(7,5)\). Determinemos el punto donde comenzó.

Restamos el vector al punto final:

\[ P=(7-3,\;5-2)=(4,3) \]

Entonces el vector comenzó en \(P=(4,3)\).

En este caso:

\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]

Ejercicio 1: operar componente a componente

Calcula las siguientes sumas y restas de vectores:

  1. \((3,2)+(4,1)\)
  2. \((-5,3)+(2,-7)\)
  3. \((8,-2)-(3,5)\)
  4. \((-4,-6)-(-1,2)\)

Ejercicio 2: verificar una suma en el plano

Observa la figura. Calcula \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) y verifica que coincide con \(\overrightarrow{AC}\).

Ejercicio 3: multiplicar por un escalar

Calcula:

  1. Si \(\vec{u}=(4,-2)\), calcula \(3\vec{u}\).
  2. Si \(\vec{v}=(-6,9)\), calcula \(\frac{1}{3}\vec{v}\).
  3. Si \(\vec{w}=(5,1)\), calcula \(-2\vec{w}\).
  4. Si \(\vec{z}=(-8,-4)\), calcula \(-\frac{1}{2}\vec{z}\).

Ejercicio 4: igualdad de vectores con incógnitas

Determina los valores de \(a\) y \(b\) para que se cumpla:

\[ (a,3)+(2,b)=(6,-3) \]

Luego calcula:

\[ a+b \]

Ejercicio 5: combinación de operaciones

Resuelve la siguiente igualdad vectorial:

\[ 2(x,1)+(3,y)=(11,8) \]

Halla el valor de:

\[ x+y \]

Ejercicio 6: punto final de un desplazamiento

Un vector comienza en el punto \(P=(-2,5)\) y tiene coordenadas:

\[ \vec{v}=(6,-3) \]

Determina el punto final \(Q\).

Ejercicio 7: punto inicial de un desplazamiento

Un vector \(\vec{w}=(-4,7)\) termina en el punto \(T=(3,10)\).

Determina el punto donde comenzó.

Ejercicio 8: escalar desconocido

Determina el valor de \(k\) para que se cumpla:

\[ k(2,-3)=(8,-12) \]

Ejercicio 9: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que si \(\vec{u}=(3,-5)\), entonces:

\[ 2\vec{u}=(6,-5) \]

porque solo debe duplicarse la primera componente.

¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.

Para continuar

Las operaciones con vectores permiten resolver desplazamientos, reconstruir puntos y plantear igualdades con componentes desconocidas.

En la siguiente parte podremos usar estas operaciones para trabajar con vectores unitarios, productos punto y relaciones entre vectores.

8. Vector unitario en el plano

Vector unitario

Objetivo de aprendizaje

  • Determinar e interpretar el vector unitario asociado a un vector no nulo, reconociendo que conserva su dirección y sentido, pero tiene módulo \(1\).

Idea inicial

En las páginas anteriores se estudió que un vector puede describirse mediante sus componentes, su módulo y su dirección.

Ahora estudiaremos un vector especial: el vector unitario.

Un vector unitario es un vector que tiene módulo \(1\). Sirve para indicar una dirección y un sentido sin importar la longitud original del vector.

Definición de vector unitario

Sea \(\vec{v}\) un vector distinto del vector cero. El vector unitario asociado a \(\vec{v}\) se define como:

\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]

Esto significa que cada componente del vector se divide por su módulo.

Si \(\vec{v}=(a,b)\), entonces:

\[ \hat{v}=\left(\frac{a}{|\vec{v}|},\frac{b}{|\vec{v}|}\right) \]

Atención

El vector cero \(\vec{0}=(0,0)\) no tiene vector unitario asociado.

Esto ocurre porque su módulo es \(0\), y no se puede dividir por cero:

\[ \frac{\vec{0}}{|\vec{0}|}=\frac{(0,0)}{0} \]

Además, el vector cero no determina una dirección específica.

Ejemplo 1: vector unitario asociado a \(\vec{v}=(3,4)\)

Consideremos el vector:

\[ \vec{v}=(3,4) \]

Primero calculamos su módulo:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2} \]

\[ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

Luego dividimos cada componente por el módulo:

\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Por lo tanto, el vector unitario asociado a \(\vec{v}\) es \(\hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\).

Este vector tiene la misma dirección y el mismo sentido que \(\vec{v}\), pero su módulo es \(1\).

Ejemplo 2: comprobar que el vector obtenido es unitario

En el ejemplo anterior se obtuvo:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Para comprobar que es unitario, calculamos su módulo:

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} \]

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} \]

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{25}{25}}=\sqrt{1}=1 \]

Por lo tanto, efectivamente \(\hat{v}\) es un vector unitario.

Interpretación geométrica

Calcular un vector unitario no cambia la dirección ni el sentido del vector original.

Lo que cambia es su módulo: el nuevo vector queda con longitud \(1\).

Por eso, el vector unitario permite representar solo la dirección y el sentido de un desplazamiento.

Ejemplo 3: vector unitario con componentes negativas

Consideremos el vector:

\[ \vec{u}=(-5,12) \]

Calculamos su módulo:

\[ |\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2} \]

\[ |\vec{u}|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]

Dividimos cada componente por \(13\):

\[ \hat{u}=\left(\frac{-5}{13},\frac{12}{13}\right) \]

Entonces:

\[ \hat{u}=\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right) \]

Este vector unitario apunta hacia la izquierda y hacia arriba, igual que el vector original.

Procedimiento

  1. Identifica las componentes del vector \(\vec{v}=(a,b)\).
  2. Calcula su módulo usando \( |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \).
  3. Divide cada componente por el módulo.
  4. Verifica, si es necesario, que el módulo del vector obtenido sea \(1\).

Error frecuente

No se debe dividir el vector por la suma de sus componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{v}=(3,4)\), no corresponde hacer:

\[ \left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right) \]

Lo correcto es dividir por el módulo:

\[ |\vec{v}|=5 \]

Entonces:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Ejercicio 1: calcular un vector unitario

Calcula el vector unitario asociado a:

\[ \vec{v}=(6,8) \]

Ejercicio 2: vector unitario con signos

Calcula el vector unitario asociado a:

\[ \vec{u}=(-12,5) \]

Luego indica hacia qué cuadrante apunta.

Ejercicio 3: verificar si un vector es unitario

Verifica si el vector:

\[ \vec{a}=\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right) \]

es unitario.

Ejercicio 4: completar un vector usando su unitario

El vector \(\vec{v}=(x,8)\) tiene asociado el vector unitario:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Halla el valor de \(x\).

Ejercicio 5: reconstruir un vector desde su módulo y unitario

Un vector tiene módulo \(10\) y su vector unitario asociado es:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) \]

Determina el vector \(\vec{v}\).

Ejercicio 6: construir un vector unitario con dirección dada

Construye un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que:

\[ \vec{w}=(5,12) \]

Ejercicio 7: analizar el vector cero

Explica por qué el vector:

\[ \vec{0}=(0,0) \]

no tiene vector unitario asociado.

Ejercicio 8: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que el vector unitario asociado a:

\[ \vec{w}=(4,3) \]

es:

\[ \left(\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right) \]

porque \(4+3=7\).

¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.

Para continuar

El vector unitario permite separar la dirección de la longitud.

En la siguiente página se puede estudiar cómo reconocer perpendicularidad entre vectores usando una herramienta algebraica llamada producto punto.

9. Producto punto y perpendicularidad entre vectores

Producto punto y perpendicularidad

Objetivo de aprendizaje

  • Calcular el producto punto entre dos vectores del plano e interpretarlo como una herramienta para reconocer perpendicularidad.

Idea inicial

En las páginas anteriores se estudió que los vectores tienen componentes, módulo, dirección y sentido.

Ahora veremos una operación entre dos vectores llamada producto punto. Esta operación entrega un número y permite reconocer si dos vectores son perpendiculares.

Producto punto en el plano

Si:

\[ \vec{u}=(a,b) \qquad \vec{v}=(c,d) \]

entonces el producto punto entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define como:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]

Es decir, se multiplican las componentes correspondientes y luego se suman los resultados.

Ejemplo 1: calcular un producto punto

Sean los vectores:

\[ \vec{u}=(2,5) \qquad \vec{v}=(3,-1) \]

Calculamos:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+5\cdot(-1) \]

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=6-5=1 \]

Por lo tanto, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1\).

El resultado del producto punto es un número, no un vector.

Criterio de perpendicularidad

Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto punto es igual a cero.

\[ \vec{u}\perp\vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Este criterio permite verificar perpendicularidad usando solo las componentes de los vectores.

Ejemplo 2: vectores perpendiculares

Sean los vectores:

\[ \vec{a}=(3,2) \qquad \vec{b}=(2,-3) \]

Calculamos el producto punto:

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot2+2\cdot(-3) \]

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=6-6=0 \]

Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares:

\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]

Ejemplo 3: vectores que no son perpendiculares

Sean los vectores:

\[ \vec{p}=(4,1) \qquad \vec{q}=(2,3) \]

Calculamos:

\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=4\cdot2+1\cdot3 \]

\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=8+3=11 \]

Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.

Relación con el ángulo entre vectores

El producto punto también se relaciona con el ángulo \(\theta\) que forman dos vectores:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta) \]

Si dos vectores son perpendiculares, entonces forman un ángulo de \(90^\circ\).

Como:

\[ \cos(90^\circ)=0 \]

se obtiene:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Por eso el producto punto igual a cero permite reconocer perpendicularidad.

Ejemplo 4: encontrar un valor para que dos vectores sean perpendiculares

Determina el valor de \(k\) para que los vectores:

\[ \vec{u}=(k,4) \qquad \vec{v}=(2,-3) \]

sean perpendiculares.

Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Calculamos:

\[ (k,4)\cdot(2,-3)=2k+4(-3) \]

\[ 2k-12=0 \]

Resolviendo:

\[ 2k=12 \]

\[ k=6 \]

Por lo tanto, si \(k=6\), los vectores son perpendiculares.

Error frecuente

No confundas el producto punto con la multiplicación por escalar.

La multiplicación por escalar produce un vector:

\[ 3(2,5)=(6,15) \]

En cambio, el producto punto entre dos vectores produce un número:

\[ (2,5)\cdot(3,-1)=1 \]

Procedimiento

  1. Identifica las componentes de ambos vectores.
  2. Multiplica las primeras componentes entre sí.
  3. Multiplica las segundas componentes entre sí.
  4. Suma ambos productos.
  5. Si el resultado es \(0\), los vectores son perpendiculares.

Ejercicio 1: calcular producto punto

Calcula el producto punto entre los vectores:

\[ \vec{u}=(5,-2) \qquad \vec{v}=(3,4) \]

Ejercicio 2: verificar perpendicularidad

Determina si los vectores:

\[ \vec{a}=(4,3) \qquad \vec{b}=(6,-8) \]

son perpendiculares.

Ejercicio 3: reconocer cuando no hay perpendicularidad

Determina si los vectores:

\[ \vec{p}=(-1,7) \qquad \vec{q}=(3,2) \]

son perpendiculares.

Ejercicio 4: hallar una componente desconocida

Encuentra el valor de \(k\) para que los vectores:

\[ \vec{u}=(3,k) \qquad \vec{v}=(4,-6) \]

sean perpendiculares.

Ejercicio 5: producto punto con resultado dado

Determina el valor de \(a\) para que se cumpla:

\[ (a,3)\cdot(2,-5)=-11 \]

Ejercicio 6: construir un vector perpendicular

Construye un vector no nulo que sea perpendicular a:

\[ \vec{u}=(3,4) \]

Luego verifica tu respuesta usando producto punto.

Ejercicio 7: producto punto entre vectores definidos por puntos

Sean los puntos:

\[ A=(1,2),\quad B=(5,4),\quad C=(3,1),\quad D=(1,5) \]

Determina si los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son perpendiculares.

Ejercicio 8: corregir una interpretación

Un estudiante afirma que los vectores \((2,6)\) y \((3,-1)\) son perpendiculares porque una componente es positiva y la otra es negativa.

¿Es correcta su justificación? Justifica y corrige si es necesario.

Ejercicio 9: distinguir resultado escalar y vectorial

Un estudiante escribe:

\[ (2,5)\cdot(3,-1)=(6,-5) \]

¿Es correcto? Justifica y corrige.

Para continuar

El producto punto permite estudiar perpendicularidad en el plano y también será útil más adelante para analizar relaciones entre vectores en el espacio.

La idea clave es:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\perp\vec{v} \]

siempre que los vectores sean no nulos.

10. Del plano al espacio

Vectores en 3D

Objetivo de la página

  • Comprender cómo se representan vectores en 3D mediante tres componentes y relacionarlos con vectores en 2D.

Del plano al espacio

En 2D, un vector se representa mediante dos componentes:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

La primera componente indica el desplazamiento en el eje \(x\), y la segunda componente indica el desplazamiento en el eje \(y\).

En 3D aparece una tercera dirección, asociada al eje \(z\). Por eso, un vector en el espacio se representa mediante tres componentes:

\[ \vec{v}=(a,b,c) \]

Componentes de un vector en 3D

Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:

  • \(a\) representa el desplazamiento en el eje \(x\).
  • \(b\) representa el desplazamiento en el eje \(y\).
  • \(c\) representa el desplazamiento en el eje \(z\).

La lógica es la misma que en 2D, pero ahora se incorpora una tercera componente.

Ejemplo 1: interpretar el vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\)

Consideremos el vector:

\[ \overrightarrow{OP}=(4,2,3) \]

Este vector representa un desplazamiento desde el origen \(O=(0,0,0)\) hasta el punto \(P=(4,2,3)\).

El vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\) indica que, desde el origen, se avanza:

  • 4 unidades en la dirección del eje \(x\),
  • 2 unidades en la dirección del eje \(y\),
  • 3 unidades en la dirección del eje \(z\).

Por lo tanto, el punto final del desplazamiento es:

\[ P=(4,2,3) \]

Idea clave

Un vector en 3D conserva la misma idea de desplazamiento que un vector en 2D.

La diferencia es que ahora el desplazamiento puede ocurrir en tres direcciones independientes: \(x\), \(y\) y \(z\).

Ejemplo 2: comparación entre 2D y 3D

Tipo de vector Forma Interpretación
Vector en 2D \((3,5)\) 3 unidades en \(x\) y 5 unidades en \(y\).
Vector en 3D \((3,5,2)\) 3 unidades en \(x\), 5 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).

El vector en 3D necesita una tercera componente porque describe desplazamientos en el espacio, no solo en el plano.

Ejemplo 3: vector entre dos puntos en 3D

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,4,8) \]

Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), restamos punto final menos punto inicial, componente a componente:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2,\;8-3) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2,5) \]

Esto significa que para ir desde \(A\) hasta \(B\), el desplazamiento cambia 4 unidades en \(x\), 2 unidades en \(y\) y 5 unidades en \(z\).

Vector entre dos puntos en 3D

Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]

Es la misma regla usada en 2D, pero agregando la resta de la tercera componente.

Error frecuente

No olvides la tercera componente al trabajar en 3D.

Por ejemplo, si \(A=(1,2,3)\) y \(B=(5,4,8)\), no basta con calcular:

\[ (5-1,\;4-2) \]

También se debe considerar:

\[ 8-3 \]

Ejercicio 1: interpretar componentes en 3D

Interpreta con palabras cada vector en 3D:

  1. \(\vec{u}=(3,2,5)\)
  2. \(\vec{v}=(-4,1,6)\)
  3. \(\vec{w}=(2,-3,-1)\)
  4. \(\vec{z}=(-5,-2,4)\)

Ejercicio 2: escribir vectores desde una descripción

Escribe el vector en 3D que representa cada desplazamiento:

  1. Avanzar 4 unidades en \(x\), 3 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).
  2. Avanzar 5 unidades en sentido negativo de \(x\), 1 unidad en \(y\) y 6 unidades en \(z\).
  3. Avanzar 2 unidades en \(x\), 4 unidades en sentido negativo de \(y\) y 3 unidades en sentido negativo de \(z\).

Ejercicio 3: calcular vectores entre puntos en 3D

Calcula las coordenadas de cada vector en 3D:

  1. \(A=(1,2,3)\), \(B=(4,6,8)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. \(C=(-2,1,5)\), \(D=(3,4,2)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
  3. \(E=(5,-1,0)\), \(F=(2,3,-4)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).

Ejercicio 4: hallar el punto final en 3D

Un vector comienza en el punto:

\[ P=(2,-1,4) \]

y tiene coordenadas:

\[ \vec{v}=(3,5,-2) \]

Determina el punto final \(Q\).

Ejercicio 5: hallar el punto inicial en 3D

Un vector:

\[ \vec{w}=(-4,3,6) \]

termina en el punto:

\[ T=(1,7,10) \]

Determina el punto donde comenzó.

Ejercicio 6: coordenadas desconocidas

Sean los puntos:

\[ A=(a,2,3) \qquad B=(5,b,10) \]

Si:

\[ \overrightarrow{AB}=(3,-4,7) \]

halla los valores de \(a\) y \(b\). Luego calcula:

\[ a+b \]

Ejercicio 7: igualdad de vectores en 3D

Determina los valores de \(x\), \(y\) y \(z\) para que se cumpla:

\[ (x,2,1)+(3,y,-4)=(5,-1,z) \]

Luego calcula:

\[ x+y+z \]

Ejercicio 8: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que para calcular un vector en 3D basta con restar las coordenadas \(x\) e \(y\), porque el eje \(z\) solo sirve para dibujar profundidad.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Para continuar

En 3D se mantiene la misma lógica que en 2D: los vectores representan desplazamientos, se calculan componente a componente y pueden tener datos desconocidos.

La diferencia es que ahora cada vector tiene tres componentes:

\[ (x,y,z) \]

11. Distancia y desplazamiento en el espacio

Distancia y desplazamiento en 3D

Objetivo de la página

  • Calcular e interpretar la distancia y el desplazamiento entre puntos del espacio usando vectores en 3D.

Distancia y desplazamiento en el espacio

En 3D, un vector puede representar el desplazamiento desde un punto inicial hasta un punto final.

Si el vector es:

\[ \vec{v}=(a,b,c) \]

entonces sus componentes indican cuánto cambia la posición en los ejes \(x\), \(y\) y \(z\).

La distancia recorrida en línea recta corresponde al módulo de ese vector.

Módulo de un vector en 3D

Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]

Esta fórmula extiende la idea del módulo en 2D, agregando la tercera componente.

Ejemplo 1: desplazamiento en una caja 3D

La siguiente figura representa un desplazamiento en el espacio. El vector \(\overrightarrow{OP}\) tiene componentes:

\[ \overrightarrow{OP}=(4,4,2) \]

Para calcular la distancia real en el espacio usamos las componentes del vector:

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{4^2+4^2+2^2} \]

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{16+16+4} \]

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{36}=6 \]

Por lo tanto, la distancia desde \(O\) hasta \(P\) es \(6\) unidades.

Distancia entre dos puntos en 3D

Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]

La distancia entre \(A\) y \(B\) es el módulo de ese vector:

\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \]

Ejemplo 2: distancia entre dos puntos del espacio

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,5,15) \]

Primero calculamos el vector:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;15-3) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]

Luego calculamos su módulo:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2+12^2} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+144} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]

Por lo tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.

Idea clave

El vector \(\overrightarrow{AB}\) describe el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).

La distancia entre \(A\) y \(B\) corresponde a la longitud de ese desplazamiento:

\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]

Desplazamiento versus distancia

Concepto Tipo de resultado Ejemplo
Desplazamiento Vector \(\overrightarrow{AB}=(4,3,12)\)
Distancia Número no negativo \(d(A,B)=13\)

Error frecuente

No confundas desplazamiento con distancia.

El desplazamiento es un vector, por ejemplo:

\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]

La distancia es un número positivo o cero:

\[ |\overrightarrow{AB}|=13 \]

Ejercicio 1: calcular módulos en 3D

Calcula el módulo de cada vector en 3D:

  1. \(\vec{u}=(2,3,6)\)
  2. \(\vec{v}=(-4,0,3)\)
  3. \(\vec{w}=(1,-2,2)\)

Ejercicio 2: desplazamiento y distancia entre puntos

Calcula \(\overrightarrow{AB}\) y luego la distancia entre los puntos:

  1. \(A=(1,2,0)\), \(B=(5,5,0)\)
  2. \(A=(-1,2,1)\), \(B=(2,6,13)\)
  3. \(A=(4,-2,5)\), \(B=(0,1,5)\)

Ejercicio 3: interpretar una situación

Un desplazamiento en el espacio tiene componentes \(6\) en \(x\), \(2\) en \(y\) y \(3\) en \(z\).

  1. Escribe el vector que representa el desplazamiento.
  2. Calcula la distancia recorrida en línea recta.
  3. Explica por qué el vector y la distancia no son el mismo tipo de objeto.

Ejercicio 4: hallar una componente desconocida

Sea el vector:

\[ \vec{v}=(x,2,6) \]

Si su módulo es \(7\), halla los posibles valores de \(x\).

Ejercicio 5: hallar una coordenada faltante

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(a,5,15) \]

Si la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\), halla los posibles valores de \(a\).

Ejercicio 6: comparar desplazamientos opuestos

Si:

\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]

  1. Escribe \(\overrightarrow{BA}\).
  2. Calcula \( |\overrightarrow{AB}| \).
  3. Calcula \( |\overrightarrow{BA}| \).
  4. Explica qué tienen en común y en qué se diferencian.

Ejercicio 7: corregir un error frecuente

Un estudiante afirma que si:

\[ \overrightarrow{AB}=(-3,4,-12) \]

entonces la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(-13\), porque una de las componentes es negativa.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Para continuar

En 3D, el desplazamiento se representa mediante un vector de tres componentes.

La distancia corresponde al módulo de ese vector:

\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]

Por eso, un desplazamiento puede tener componentes negativas, pero la distancia siempre será un número no negativo.

12. Resumen unidad

Resumen: operaciones con vectores en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\)

Objetivo

  • Reconocer y aplicar propiedades básicas de vectores escritos como pares ordenados o ternas ordenadas.

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales cuando sus componentes correspondientes son iguales.

En \(\mathbb{R}^2\):

\[ (a,b)=(c,d) \Longleftrightarrow a=c \text{ y } b=d \]

En \(\mathbb{R}^3\):

\[ (a,b,c)=(d,e,f) \Longleftrightarrow a=d,\ b=e \text{ y } c=f \]

Esta propiedad permite resolver ejercicios con componentes desconocidas.

Operaciones principales en \(\mathbb{R}^2\)

Propiedad Regla Ejemplo
Suma \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) \((2,3)+(4,5)=(6,8)\)
Resta \((a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)\) \((2,3)-(4,5)=(-2,-2)\)
Multiplicación por escalar \(k(a,b)=(ka,kb)\) \(6(3,4)=(18,24)\)
División por escalar \(\dfrac{(a,b)}{k}=\left(\dfrac{a}{k},\dfrac{b}{k}\right)\), con \(k\neq 0\) \(\dfrac{(6,8)}{2}=(3,4)\)
Vector opuesto \(-(a,b)=(-a,-b)\) \(-(-2,5)=(2,-5)\)

¿Y en \(\mathbb{R}^3\)?

Las operaciones funcionan igual que en \(\mathbb{R}^2\), pero agregando la tercera componente.

\[ (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,\ b+e,\ c+f) \]

\[ (a,b,c)-(d,e,f)=(a-d,\ b-e,\ c-f) \]

\[ k(a,b,c)=(ka,\ kb,\ kc) \]

Por ejemplo:

\[ 2(3,-1,4)=(6,-2,8) \]

Norma o tamaño de un vector

Dimensión Vector Norma
\(\mathbb{R}^2\) \(\vec{v}=(a,b)\) \(\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\mathbb{R}^3\) \(\vec{v}=(a,b,c)\) \(\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Ejemplo: norma en \(\mathbb{R}^3\)

Para \(\vec{v}=(2,-3,6)\):

\[ \|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2} \]

\[ \|\vec{v}\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 \]

Por lo tanto, el tamaño del vector \((2,-3,6)\) es \(7\).

Vector unitario

El vector unitario en la dirección de \(\vec{v}\) se obtiene dividiendo el vector por su norma:

\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} \]

Esto solo se puede hacer si \(\vec{v}\neq \vec{0}\), porque el vector cero tiene norma \(0\).

Ejemplo: convertir \((6,8)\) en vector unitario

Primero calculamos su norma:

\[ \|(6,8)\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

Luego dividimos cada componente por \(10\):

\[ \frac{(6,8)}{10} = \left(\frac{6}{10},\frac{8}{10}\right) = \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Producto punto

Dimensión Regla
\(\mathbb{R}^2\) \((a,b)\cdot(c,d)=ac+bd\)
\(\mathbb{R}^3\) \((a,b,c)\cdot(d,e,f)=ad+be+cf\)

Además, para vectores no nulos:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Longleftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v} \]

Es decir, el producto punto es cero si y solo si los vectores son ortogonales.

Ejemplo: producto punto

\[ (3,2)\cdot(4,5)=3\cdot4+2\cdot5=12+10=22 \]

Como el producto punto no es cero, estos vectores no son ortogonales.

Ejemplo: vectores ortogonales

\[ (2,3)\cdot(3,-2)=2\cdot3+3\cdot(-2)=6-6=0 \]

Como el producto punto es cero, los vectores \((2,3)\) y \((3,-2)\) son ortogonales.

Vector entre dos puntos

Dimensión Puntos Vector
\(\mathbb{R}^2\) \(A=(x_1,y_1)\), \(B=(x_2,y_2)\) \(\overrightarrow{AB}=B-A=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)\)
\(\mathbb{R}^3\) \(A=(x_1,y_1,z_1)\), \(B=(x_2,y_2,z_2)\) \(\overrightarrow{AB}=B-A=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1)\)

Distancia entre dos puntos

Dimensión Fórmula
\(\mathbb{R}^2\) \[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]
\(\mathbb{R}^3\) \[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \]

Ejemplo: distancia en \(\mathbb{R}^3\)

Sean \(A=(1,2,-1)\) y \(B=(4,6,1)\). Entonces:

\[ d(A,B)=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(1-(-1))^2} \]

\[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2+2^2} = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29} \]

La distancia entre los puntos es \(\sqrt{29}\).

Chequeo rápido

Calcula:

  1. \((5,-1)+(2,4)\)
  2. \(3(-2,6)\)
  3. \((1,3)\cdot(4,-2)\)
  4. Determina si \((4,1)\) y \((1,-4)\) son ortogonales.
  5. Calcula la norma de \((1,2,2)\).
  6. Calcula la distancia entre \(A=(0,-1,3)\) y \(B=(2,2,9)\).
  7. Si \((x,3)+(2,y)=(6,-3)\), calcula \(x+y\).
  8. Si \((a,2,1)+(3,b,-4)=(5,-1,c)\), calcula \(a+b+c\).

Errores comunes

  • En la suma y resta, se trabaja componente a componente.
  • Dos vectores son iguales solo si sus componentes correspondientes son iguales.
  • En el producto punto, el resultado es un número, no un vector.
  • Producto punto igual a cero indica ortogonalidad solo cuando ambos vectores son no nulos.
  • Para formar un vector unitario, primero se debe calcular la norma.
  • El vector cero no tiene vector unitario asociado.
  • En \(\mathbb{R}^3\), no olvides incluir la tercera componente.

13. prueba de ensayo

 
Instrucciones generales
  • Marca una sola alternativa por pregunta.
  • Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
  • Usa notación vectorial, coordenadas y operatoria algebraica cuando sea necesario.
  • Para vectores entre puntos, considera siempre: punto final menos punto inicial.
  • Cuando corresponda, deja las raíces en forma exacta.
  • Calculadora básica permitida.

¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor a un vector?

  • Una ubicación fija en el plano o en el espacio.
  • Un número que indica solamente una longitud.
  • Un desplazamiento con módulo, dirección y sentido.
  • Una recta sin origen ni extremo definidos.

El punto \(P=(3,2)\) y el vector \(\vec{v}=(3,2)\) se escriben de forma parecida. ¿Cuál es la diferencia correcta?

  •  \(P\) representa una ubicación y \(\vec{v}\) representa un desplazamiento.
  •  \(P\) representa un desplazamiento y \(\vec{v}\) representa una ubicación.
  • Ambos representan exactamente el mismo objeto matemático.
  • Ninguno puede representarse con coordenadas.

Respecto de los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) , ¿cuál afirmación es correcta?

  • Tienen distinto módulo, distinta dirección y el mismo sentido.
  • Tienen el mismo módulo, pero no tienen dirección.
  • Son siempre el mismo vector, porque usan los mismos puntos.
  • Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos.

Sean \(A=(-2,5)\) y \(B=(4,1)\) . ¿Cuál es el vector \(\overrightarrow{AB}\) ?

  •  \((-6,4)\) 
  •  \((6,-4)\) 
  •  \((2,6)\) 
  •  \((4,-6)\) 

Un desplazamiento comienza en \(P=(1,-3)\) y está dado por \(\vec{v}=(-4,6)\) . ¿Cuál es el punto final \(Q\) ?

  •  \((5,-9)\) 
  •  \((-3,3)\) 
  •  \((-4,6)\) 
  •  \((3,-3)\) 

¿Cuál es el módulo del vector \(\vec{u}=(-5,12)\) ?

  •  \(17\) 
  •  \(\sqrt{119}\) 
  •  \(7\) 
  •  \(13\) 

El vector \(\vec{v}=(4,-2)\) puede interpretarse como un desplazamiento que:

  • avanza \(4\) unidades hacia la derecha y \(2\) hacia abajo.
  • avanza \(4\) unidades hacia la izquierda y \(2\) hacia arriba.
  • avanza \(4\) unidades hacia la derecha y \(2\) hacia arriba.
  • avanza \(2\) unidades hacia la derecha y \(4\) hacia abajo.

Si \(\vec{a}=(3,-1)\) y \(\vec{b}=(-4,5)\) , ¿cuál es el resultado de \(2\vec{a}+\vec{b}\) ?

  •  \((-1,4)\) 
  •  \((6,-2)\) 
  •  \((2,3)\) 
  •  \((10,-7)\) 

¿Cuál es el vector unitario asociado a \(\vec{v}=(8,15)\) ?

  •  \(\left(\frac{8}{23},\frac{15}{23}\right)\) 
  •  \((17,17)\) 
  •  \(\left(\frac{15}{17},\frac{8}{17}\right)\) 
  •  \(\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right)\) 

¿Por qué el vector \(\vec{0}=(0,0)\) no tiene vector unitario asociado?

  • Porque su módulo es \(0\) y no determina una dirección específica.
  • Porque sus componentes son iguales.
  • Porque tiene módulo \(1\) .
  • Porque todo vector con componentes positivas tiene vector unitario.

Calcula el producto punto \((2,-5)\cdot(3,4)\) .

  •  \(26\) 
  •  \((6,-20)\) 
  •  \(-14\) 
  •  \(14\) 

¿Cuál de los siguientes pares de vectores es perpendicular?

  •  \((2,1)\) y \((3,4)\) 
  •  \((6,4)\) y \((-2,3)\) 
  •  \((5,-1)\) y \((1,2)\) 
  •  \((4,3)\) y \((1,1)\) 

Determina el valor de \(k\) para que los vectores \((3,k)\) y \((4,-6)\) sean perpendiculares.

  •  \(-2\) 
  •  \(6\) 
  •  \(-6\) 
  •  \(2\) 

El vector \(\vec{w}=(-5,2,7)\) representa un desplazamiento en el espacio. ¿Cuál interpretación es correcta?

  • Avanza \(5\) en \(x\) , \(2\) en \(y\) y \(7\) en \(z\) .
  • Avanza \(5\) en sentido negativo de \(x\) , \(2\) en sentido negativo de \(y\) y \(7\) en \(z\) .
  • Avanza \(5\) en sentido negativo de \(x\) , \(2\) en \(y\) y \(7\) en \(z\) .
  • Avanza \(7\) en \(x\) , \(2\) en \(y\) y \(5\) en sentido negativo de \(z\) .

Sean \(A=(1,-2,4)\) y \(B=(5,3,-1)\) . ¿Cuál es el vector \(\overrightarrow{AB}\) ?

  •  \((4,5,-5)\) 
  •  \((6,1,3)\) 
  •  \((-4,-5,5)\) 
  •  \((4,1,-3)\) 

Un desplazamiento en 3D comienza en \(P=(-3,2,5)\) y está dado por \(\vec{v}=(6,-4,1)\) . ¿Cuál es el punto final?

  •  \((-9,6,4)\) 
  •  \((6,-4,1)\) 
  •  \((-3,-2,6)\) 
  •  \((3,-2,6)\) 

¿Cuál es el módulo del vector \(\vec{u}=(2,-3,6)\) ?

  •  \(\sqrt{13}\) 
  •  \(7\) 
  •  \(11\) 
  •  \(\sqrt{61}\) 

Sean \(A=(1,2,0)\) y \(B=(5,5,0)\) . ¿Cuál es la distancia entre \(A\) y \(B\) ?

  •  \(5\) 
  •  \(4\) 
  •  \(3\) 
  •  \(\sqrt{34}\) 

Un estudiante afirma: “Si \(\overrightarrow{AB}=(-3,4,-12)\) , entonces la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(-13\) , porque una componente es negativa”. ¿Cuál corrección es adecuada?

  • Es correcto, porque una distancia puede ser negativa.
  • La distancia es \(-19\) , porque se suman las componentes.
  • La distancia es \(13\) , porque corresponde al módulo del vector.
  • La distancia es \(3\) , porque solo se considera la primera componente.

Sea \(\vec{v}=(x,2,6)\) . Si \(|\vec{v}|=7\) , ¿cuáles son los posibles valores de \(x\) ?

  •  \(x=7\) 
  •  \(x=9\) o \(x=-9\) 
  •  \(x=1\) o \(x=-1\) 
  •  \(x=3\) o \(x=-3\) 

Un dron se mueve desde \(A=(2,-1,3)\) hasta \(B=(6,2,9)\) , y luego vuelve desde \(B\) hasta \(A\) . ¿Cuál afirmación es correcta?

  •  \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\) , porque usan los mismos puntos.
  •  \(\overrightarrow{AB}=(4,3,6)\) , \(\overrightarrow{BA}=(-4,-3,-6)\) , y ambos tienen el mismo módulo.
  •  \(\overrightarrow{AB}=(-4,-3,-6)\) y \(\overrightarrow{BA}=(4,3,6)\) .
  • La distancia de ida es distinta a la distancia de vuelta.

14. pauta

Pauta de evaluación: Evaluación de vectores en el plano y el espacio v1

Datos generales de corrección
  • Curso: 4° medio diferenciado.
  • Unidad: Vectores para Geometría 3D.
  • Tiempo: 80 minutos.
  • Total de preguntas: 21.
  • Puntaje por pregunta: 2 puntos.
  • Puntaje total: 42 puntos.
  • Porcentaje de aprobación: 60%.
  • Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Criterio de corrección

Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asigna 2 punto(s) por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.

Distribución de habilidades evaluadas

Habilidad Preguntas
Reconocer e interpretar vectores como desplazamientos en el plano y en el espacio. 1, 2, 3, 7, 14
Calcular vectores entre puntos y puntos finales mediante suma de coordenadas. 4, 5, 15, 16, 21
Calcular módulo, vector unitario y distancia entre puntos. 6, 9, 10, 17, 18, 19, 20
Operar vectores y aplicar producto punto, perpendicularidad y condiciones algebraicas. 8, 11, 12, 13

Desarrollo de respuestas correctas

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: Un vector representa un desplazamiento que posee módulo, dirección y sentido.

Pregunta 2

Alternativa correcta: A

Justificación: El punto \(P=(3,2)\) representa una ubicación, mientras que \(\vec{v}=(3,2)\) representa un desplazamiento.

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) tienen igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos.

Pregunta 4

Alternativa correcta: B

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(4-(-2),1-5)=(6,-4)\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: El punto final es \(Q=P+\vec{v}=(1,-3)+(-4,6)=(-3,3)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: D

Justificación: \(|\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector \((4,-2)\) indica avanzar \(4\) unidades hacia la derecha y \(2\) hacia abajo.

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: \(2\vec{a}+\vec{b}=2(3,-1)+(-4,5)=(6,-2)+(-4,5)=(2,3)\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: D

Justificación: \(|\vec{v}|=\sqrt{8^2+15^2}=17\), por lo tanto el vector unitario es \(\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right)\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector cero tiene módulo \(0\) y no determina una dirección específica, por eso no tiene vector unitario asociado.

Pregunta 11

Alternativa correcta: C

Justificación: \((2,-5)\cdot(3,4)=2\cdot3+(-5)\cdot4=6-20=-14\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: B

Justificación: Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es \(0\). En la alternativa B, \((6,4)\cdot(-2,3)=-12+12=0\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: D

Justificación: Para que sean perpendiculares: \((3,k)\cdot(4,-6)=0\). Entonces \(12-6k=0\), de donde \(k=2\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: El vector \((-5,2,7)\) indica avanzar \(5\) en sentido negativo de \(x\), \(2\) en \(y\) y \(7\) en \(z\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: A

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(5-1,3-(-2),-1-4)=(4,5,-5)\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: El punto final es \(P+\vec{v}=(-3,2,5)+(6,-4,1)=(3,-2,6)\).

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: \(|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=(5-1,5-2,0-0)=(4,3,0)\), por lo tanto \(d(A,B)=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5\).

Pregunta 19

Alternativa correcta: C

Justificación: La distancia no puede ser negativa. Si \(\overrightarrow{AB}=(-3,4,-12)\), entonces \(d(A,B)=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13\).

Pregunta 20

Alternativa correcta: D

Justificación: Si \(\vec{v}=(x,2,6)\) y \(|\vec{v}|=7\), entonces \(x^2+2^2+6^2=7^2\). Así, \(x^2+40=49\), por lo tanto \(x^2=9\) y \(x=3\) o \(x=-3\).

Pregunta 21

Alternativa correcta: B

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(4,3,6)\) y \(\overrightarrow{BA}=A-B=(-4,-3,-6)\). Son vectores opuestos y ambos tienen el mismo módulo.

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) D, 7) A, 8) C, 9) D, 10) A, 11) C, 12) B, 13) D, 14) C, 15) A, 16) D, 17) B, 18) A, 19) C, 20) D, 21) B.

Conteo de alternativas correctas

Alternativa Cantidad
A 5
B 5
C 5
D 6

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