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vectores

Sitio: MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso: Geometía 3d
Libro: vectores
Imprimido por: Invitado
Día: lunes, 25 de mayo de 2026, 00:35

Tabla de contenidos

1. Vectores para comprender la Geometría 3D

Vectores para comprender la Geometría 3D

Objetivo de la página

  • Comprender qué es un vector y reconocerlo como una herramienta para representar desplazamientos, direcciones, sentidos y magnitudes.

¿Qué es un vector?

Un vector es un objeto matemático que permite representar un desplazamiento. Para describirlo correctamente no basta con indicar cuánto mide: también importa hacia dónde va y en qué sentido se recorre.

En geometría, un vector suele representarse mediante una flecha. El punto donde comienza la flecha se llama origen y el punto donde termina se llama extremo.

Elementos de un vector

Un vector se caracteriza por tres elementos principales:

  • Módulo: corresponde a la longitud del vector.
  • Dirección: corresponde a la recta o inclinación sobre la que se ubica.
  • Sentido: corresponde hacia dónde apunta la flecha.

Ejemplo 1: un desplazamiento representado por un vector

Observa los puntos \(A\) y \(B\). El vector \(\overrightarrow{AB}\) representa el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).

La flecha no solo muestra que hay una distancia entre \(A\) y \(B\), sino también que el movimiento parte en \(A\) y termina en \(B\).

Por eso escribimos:

\[ \overrightarrow{AB} \]

y se lee: “vector desde \(A\) hasta \(B\)”.

Atención

No es lo mismo \(\overrightarrow{AB}\) que \(\overrightarrow{BA}\).

Ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero tienen sentidos opuestos.

Ejemplo 2: sentido del vector

Si una persona se desplaza desde \(P\) hasta \(Q\), el vector que representa ese movimiento es \(\overrightarrow{PQ}\).

En cambio, si se desplaza desde \(Q\) hasta \(P\), el vector es \(\overrightarrow{QP}\).

Aunque ambos desplazamientos ocurren entre los mismos puntos, no representan el mismo vector:

\[ \overrightarrow{PQ}\neq \overrightarrow{QP} \]

El orden de las letras importa, porque indica el sentido del desplazamiento.

Idea clave

Un vector no describe solamente una posición. Describe un cambio de posición.

Por eso será útil más adelante para estudiar movimientos, traslaciones, distancias y objetos en el espacio tridimensional.

Ejercicio 1

Observa los puntos \(A\) y \(B\). Explica con tus palabras qué representa el vector \(\overrightarrow{AB}\).

Ejercicio 2

¿Por qué los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) no representan el mismo desplazamiento?

Ejercicio 3

Un dron se mueve desde un punto inicial \(I\) hasta un punto final \(F\). Luego vuelve desde \(F\) hasta \(I\). Escribe los dos vectores que representan estos desplazamientos e indica qué diferencia hay entre ellos.

2. Vectores para comprender la Geometría 3D

Objetivo de la página

  • Distinguir entre punto y vector, reconociendo que un punto representa una ubicación y un vector representa un desplazamiento.

Puntos y vectores no son lo mismo

En geometría analítica usamos coordenadas para ubicar puntos y también para describir vectores. Esto puede producir una confusión inicial, porque ambos pueden escribirse con pares ordenados.

Por ejemplo, \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) se parecen en la escritura, pero no significan lo mismo.

Diferencia fundamental

Objeto Qué representa Ejemplo
Punto Una ubicación fija en el plano o en el espacio. \(A=(3,2)\)
Vector Un desplazamiento con módulo, dirección y sentido. \(\vec{v}=(3,2)\)

Ejemplo 1: el punto \(A=(3,2)\)

El punto \(A=(3,2)\) indica una posición: desde el origen \(O=(0,0)\), se avanza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(A\).

Cuando un vector comienza en el origen y termina en un punto, se llama vector posición de ese punto.

En este caso:

\[ \overrightarrow{OA}=(3,2) \]

El vector \(\overrightarrow{OA}\) ayuda a describir la posición de \(A\), pero el punto \(A\) y el vector \(\overrightarrow{OA}\) no son exactamente el mismo objeto matemático.

Ejemplo 2: el vector \(\vec{v}=(3,2)\)

El vector \(\vec{v}=(3,2)\) no describe necesariamente una ubicación fija. Describe un desplazamiento: avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Por eso, el mismo desplazamiento puede comenzar en distintos puntos.

Por ejemplo, si \(C=(1,0)\) y \(D=(4,2)\), el desplazamiento desde \(C\) hasta \(D\) también consiste en avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Entonces:

\[ \overrightarrow{CD}=(3,2) \]

Así, \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{CD}\) representan el mismo desplazamiento, aunque estén dibujados en lugares distintos.

Idea clave

Un punto responde a la pregunta: ¿dónde está?

Un vector responde a la pregunta: ¿cuánto y hacia dónde se desplaza?

Error frecuente

No conviene decir que \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) son lo mismo solo porque tienen los mismos números.

El punto \(A\) es una ubicación. El vector \(\vec{v}\) es un desplazamiento.

Ejercicio 1

Indica si cada expresión representa un punto o un vector:

  1. \(P=(5,1)\)
  2. \(\vec{u}=(-2,4)\)
  3. \(B=(0,-3)\)
  4. \(\overrightarrow{MN}\)

Ejercicio 2

Explica la diferencia entre \(A=(4,2)\) y \(\vec{v}=(4,2)\).

Ejercicio 3

Un vector indica avanzar 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Da dos ejemplos distintos de desplazamientos que representen ese mismo vector.

3. Vectores para comprender la Geometría 3D

Objetivo de la página

  • Representar vectores en el plano cartesiano mediante sus componentes horizontal y vertical.

Vectores en 2D

En el plano cartesiano, un vector se puede describir usando dos componentes.

Si un vector se escribe como:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

entonces \(a\) indica el desplazamiento horizontal y \(b\) indica el desplazamiento vertical.

Componentes de un vector en el plano

Para un vector \(\vec{v}=(a,b)\):

  • La primera componente, \(a\), indica cuánto se avanza hacia la derecha o hacia la izquierda.
  • La segunda componente, \(b\), indica cuánto se avanza hacia arriba o hacia abajo.

Si \(a>0\), el desplazamiento horizontal es hacia la derecha. Si \(a<0\), es hacia la izquierda.

Si \(b>0\), el desplazamiento vertical es hacia arriba. Si \(b<0\), es hacia abajo.

Ejemplo 1: el vector \(\vec{v}=(4,3)\)

El vector \(\vec{v}=(4,3)\) indica un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.

Desde el origen \(O=(0,0)\), el vector llega al punto \(A=(4,3)\).

Su primera componente es \(4\), porque se avanza 4 unidades hacia la derecha.

Su segunda componente es \(3\), porque se avanza 3 unidades hacia arriba.

Por lo tanto:

\[ \vec{v}=(4,3) \]

Idea clave

Las componentes de un vector indican cómo se descompone el desplazamiento en dos movimientos más simples: uno horizontal y otro vertical.

Por eso, el vector \((4,3)\) puede entenderse como “avanzar 4 y subir 3”.

Ejemplo 2: interpretación de signos

Consideremos algunos vectores:

Vector Interpretación horizontal Interpretación vertical
\(\vec{u}=(5,2)\) 5 unidades hacia la derecha 2 unidades hacia arriba
\(\vec{v}=(-3,4)\) 3 unidades hacia la izquierda 4 unidades hacia arriba
\(\vec{w}=(2,-5)\) 2 unidades hacia la derecha 5 unidades hacia abajo
\(\vec{z}=(-4,-1)\) 4 unidades hacia la izquierda 1 unidad hacia abajo

El signo de cada componente indica el sentido del desplazamiento respecto de los ejes coordenados.

Error frecuente

No confundas las componentes de un vector con las coordenadas de un punto.

En \(A=(4,3)\), los números indican una ubicación. En \(\vec{v}=(4,3)\), los números indican un desplazamiento.

Ejercicio 1

Describe con palabras el desplazamiento representado por cada vector:

  1. \(\vec{a}=(6,2)\)
  2. \(\vec{b}=(-4,3)\)
  3. \(\vec{c}=(5,-1)\)
  4. \(\vec{d}=(-2,-7)\)

Ejercicio 2

Escribe el vector que representa cada desplazamiento:

  1. Avanzar 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.
  2. Avanzar 6 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
  3. Avanzar 4 unidades hacia la derecha y 7 unidades hacia abajo.
  4. Avanzar 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

Ejercicio 3

Un estudiante afirma que el vector \(\vec{v}=(-5,4)\) significa “retroceder 5 unidades y bajar 4 unidades”. ¿Es correcta su interpretación? Justifica.

Ejercicio 4: dibujar vectores desde el origen

Dibuja en el plano cartesiano los siguientes vectores, todos comenzando en el origen \(O=(0,0)\):

  1. \(\overrightarrow{OU}=(3,2)\)
  2. \(\overrightarrow{OV}=(-4,1)\)
  3. \(\overrightarrow{OW}=(2,-3)\)
  4. \(\overrightarrow{OZ}=(-1,-4)\)

Ejercicio 5: coordenadas de vectores centrados en el origen

Observa los vectores dibujados desde el origen. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).

Para continuar

Hasta ahora hemos representado vectores desde el origen. En la siguiente página estudiaremos cómo calcular las coordenadas de un vector cuando comienza en cualquier punto del plano.

4. Vector entre dos puntos

Objetivo de la página

  • Calcular las coordenadas de un vector a partir de su punto inicial y su punto final en el plano cartesiano.

Vector entre dos puntos

Cuando un vector comienza en un punto \(A\) y termina en un punto \(B\), se escribe:

\[ \overrightarrow{AB} \]

El orden de las letras es importante: la primera letra indica el punto inicial y la segunda letra indica el punto final.

Fórmula del vector entre dos puntos

Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Es decir, se resta:

\[ \text{punto final}-\text{punto inicial} \]

Ejemplo 1: calcular \(\overrightarrow{AB}\)

Sean los puntos:

\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]

El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\).

Aplicamos la fórmula:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Reemplazamos:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]

Por lo tanto:

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]

Esto significa que, desde \(A\), se avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(B\).

Ejemplo 2: comparar \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)

Usando los mismos puntos:

\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]

Ya calculamos que:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]

Ahora calculemos el vector contrario:

\[ \overrightarrow{BA}=(1-5,\;2-4)=(-4,-2) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]

Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Error frecuente

No se debe calcular \(\overrightarrow{AB}\) como \(A-B\).

Lo correcto es:

\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]

porque el vector comienza en \(A\) y termina en \(B\).

Idea clave

Para calcular un vector entre dos puntos, piensa en el cambio que ocurre desde el punto inicial hasta el punto final.

Primero compara las coordenadas \(x\), luego compara las coordenadas \(y\).

Ejercicio 1

Calcula las coordenadas de cada vector:

  1. \(A=(2,1)\), \(B=(6,4)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. \(C=(-3,2)\), \(D=(1,5)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
  3. \(E=(4,-1)\), \(F=(7,-5)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
  4. \(G=(-2,-4)\), \(H=(-6,3)\). Calcula \(\overrightarrow{GH}\).

Ejercicio 2

Observa los vectores dibujados. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\) y \(\overrightarrow{GH}\).

Ejercicio 3

Para cada par de puntos, calcula ambos vectores: \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\).

  1. \(A=(1,1)\), \(B=(4,5)\)
  2. \(A=(-2,3)\), \(B=(2,-1)\)
  3. \(A=(5,-4)\), \(B=(-1,-2)\)

Ejercicio 4

Un vector comienza en el punto \(P=(2,-1)\) y termina en el punto \(Q=(7,3)\).

  1. Calcula \(\overrightarrow{PQ}\).
  2. Explica qué significa el resultado obtenido.

Ejercicio 5

Un estudiante calcula el vector desde \(A=(3,2)\) hasta \(B=(8,6)\) de la siguiente manera:

\[ \overrightarrow{AB}=(3-8,\;2-6)=(-5,-4) \]

¿El procedimiento es correcto? Justifica y corrige si es necesario.

5. Módulo de un vector

Objetivo de la página

  • Calcular e interpretar el módulo de un vector en el plano cartesiano, usando sus componentes y el teorema de Pitágoras.

Módulo de un vector

El módulo de un vector corresponde a su longitud.

Si un vector representa un desplazamiento, entonces su módulo indica cuántas unidades mide ese desplazamiento.

El módulo de un vector \(\vec{v}\) se escribe:

\[ |\vec{v}| \]

Fórmula del módulo en 2D

Si un vector tiene coordenadas:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

entonces su módulo se calcula mediante:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]

Esta fórmula se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por las componentes horizontal y vertical del vector.

Ejemplo 1: módulo de \(\overrightarrow{OA}\)

Observa el vector \(\overrightarrow{OA}\), donde \(O=(0,0)\) y \(A=(4,3)\).

Como \(\overrightarrow{OA}=(4,3)\), su módulo es:

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2} \]

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{16+9} \]

\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{25}=5 \]

Por lo tanto, el vector mide \(5\) unidades.

Idea clave

El módulo no depende del sentido del vector, sino de su longitud.

Por ejemplo, \((4,3)\) y \((-4,-3)\) tienen el mismo módulo, porque ambos forman un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(4\) y \(3\).

Ejemplo 2: módulo de un vector entre dos puntos

Sean los puntos:

\[ A=(1,1) \qquad B=(5,4) \]

Primero calculamos el vector:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-1)=(4,3) \]

Luego calculamos su módulo:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]

Entonces, la distancia desde \(A\) hasta \(B\) es \(5\) unidades.

Módulo de un vector entre dos puntos

Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]

Por lo tanto:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Error frecuente

No se calcula el módulo sumando directamente las componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{v}=(4,3)\), no corresponde hacer:

\[ |\vec{v}|=4+3=7 \]

Lo correcto es usar:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]

Ejercicio 1

Calcula el módulo de cada vector:

  1. \(\vec{u}=(6,8)\)
  2. \(\vec{v}=(5,12)\)
  3. \(\vec{w}=(-3,4)\)
  4. \(\vec{z}=(-8,-6)\)

Ejercicio 2

Observa los vectores dibujados desde el origen. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).

Ejercicio 3

Calcula el módulo de cada vector entre dos puntos:

  1. \(A=(1,2)\), \(B=(4,6)\). Calcula \(|\overrightarrow{AB}|\).
  2. \(C=(-2,1)\), \(D=(4,9)\). Calcula \(|\overrightarrow{CD}|\).
  3. \(E=(3,-1)\), \(F=(-1,2)\). Calcula \(|\overrightarrow{EF}|\).
  4. \(G=(-5,-2)\), \(H=(-1,-5)\). Calcula \(|\overrightarrow{GH}|\).

Ejercicio 4

Observa los vectores del plano cartesiano. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) y \(\overrightarrow{EF}\).

Ejercicio 5

Un estudiante afirma que los vectores \(\vec{u}=(6,8)\) y \(\vec{v}=(-6,-8)\) tienen distinto módulo porque apuntan en sentidos opuestos.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

6. Dirección de un vector en el plano

Objetivo de aprendizaje

  • Determinar e interpretar la dirección de un vector en el plano cartesiano usando sus componentes, su módulo y un ángulo de inclinación.

Idea inicial

En las páginas anteriores se estudió que un vector puede describir un desplazamiento mediante sus componentes.

Por ejemplo, el vector

\[ \vec{v}=(3,4) \]

indica avanzar \(3\) unidades en dirección horizontal y \(4\) unidades en dirección vertical.

Además de sus componentes y su módulo, un vector también tiene una dirección, que puede representarse mediante el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.

Dirección de un vector

Si un vector del plano se escribe como

\[ \vec{v}=(a,b), \]

entonces su dirección puede relacionarse con el ángulo \(\theta\) que forma con el eje \(x\) positivo.

Cuando \(a>0\), se puede usar la razón trigonométrica:

\[ \tan(\theta)=\frac{b}{a} \]

Esta relación aparece porque las componentes \(a\) y \(b\) forman un triángulo rectángulo con el vector.

Ejemplo 1: dirección del vector \(\vec{v}=(3,4)\)

Consideremos el vector:

\[ \vec{v}=(3,4) \]

Su componente horizontal es \(3\) y su componente vertical es \(4\).

El módulo del vector es:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2} \]

\[ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

Para encontrar su dirección, usamos:

\[ \tan(\theta)=\frac{4}{3} \]

Por lo tanto, el ángulo \(\theta\) es aproximadamente:

\[ \theta \approx 53{,}1^\circ \]

Esto significa que el vector \(\vec{v}\) apunta formando un ángulo aproximado de \(53{,}1^\circ\) con el eje \(x\) positivo.

Lectura geométrica

El vector \((3,4)\) no solo indica cuánto se avanza en cada eje. También permite reconocer:

  • su módulo: \(5\) unidades,
  • su sentido: hacia la derecha y hacia arriba,
  • su dirección: inclinada respecto del eje \(x\) positivo.

Ejemplo 2: comparar dos vectores con igual dirección

Consideremos los vectores:

\[ \vec{u}=(2,1) \qquad \vec{w}=(4,2) \]

Observamos que:

\[ \vec{w}=2\vec{u} \]

porque:

\[ 2(2,1)=(4,2) \]

Entonces, \(\vec{u}\) y \(\vec{w}\) tienen la misma dirección y el mismo sentido, pero distinto módulo.

Calculamos sus módulos:

\[ |\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \]

\[ |\vec{w}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \]

El vector \(\vec{w}\) mide el doble que \(\vec{u}\), pero apunta hacia la misma dirección.

Vectores con la misma dirección

Dos vectores tienen la misma dirección si uno se puede obtener multiplicando el otro por un número real distinto de cero.

Si

\[ \vec{u}=k\vec{v}, \]

entonces \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores paralelos.

  • Si \(k>0\), tienen el mismo sentido.
  • Si \(k<0\), tienen sentidos opuestos.

Ejemplo 3: misma dirección, sentidos opuestos

Consideremos los vectores:

\[ \vec{a}=(3,-6) \qquad \vec{b}=(-1,2) \]

Podemos escribir:

\[ \vec{a}=-3\vec{b} \]

ya que:

\[ -3(-1,2)=(3,-6) \]

Como el número multiplicador es negativo, los vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

Error frecuente

No basta con mirar si las componentes tienen números parecidos.

Por ejemplo, los vectores

\[ (2,3) \qquad (4,5) \]

no tienen la misma dirección, porque no existe un mismo número \(k\) que multiplique ambas componentes de \((2,3)\) para obtener \((4,5)\).

En cambio:

\[ (4,6)=2(2,3) \]

sí tiene la misma dirección que \((2,3)\).

Ejercicio 1

Calcula el módulo del vector \(\vec{v}=(6,8)\) y determina aproximadamente el ángulo que forma con el eje \(x\) positivo.

Ejercicio 2

Determina si los vectores \(\vec{u}=(3,5)\) y \(\vec{w}=(6,10)\) tienen la misma dirección. Justifica.

Ejercicio 3

Determina si los vectores \(\vec{a}=(-2,4)\) y \(\vec{b}=(1,-2)\) tienen la misma dirección. Indica si tienen el mismo sentido o sentidos opuestos.

Ejercicio 4

Un estudiante afirma que los vectores \((2,4)\) y \((3,6)\) tienen la misma dirección porque ambos tienen componentes positivas. ¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Para continuar

La dirección de un vector permite comparar desplazamientos que apuntan hacia una misma línea, aunque tengan distinta longitud. En la siguiente página se puede profundizar en el vector unitario, que conserva la dirección y el sentido de un vector, pero tiene módulo \(1\).

7. Operaciones con vectores

Objetivo de la página

  • Operar vectores en el plano mediante suma, resta y multiplicación por escalar, interpretando cada operación como un desplazamiento.

Operaciones con vectores

Como un vector representa un desplazamiento, operar vectores permite combinar, comparar o modificar desplazamientos.

En esta página trabajaremos tres operaciones básicas:

  • suma de vectores,
  • resta de vectores,
  • multiplicación de un vector por un escalar.

Operatoria básica en coordenadas

Si \(\vec{u}=(a,b)\) y \(\vec{v}=(c,d)\), entonces:

\[ \vec{u}+\vec{v}=(a+c,\;b+d) \]

\[ \vec{u}-\vec{v}=(a-c,\;b-d) \]

Si \(k\) es un número real, entonces:

\[ k\vec{u}=(ka,\;kb) \]

Ejemplo 1: suma de vectores con el método punta-cola

Observa los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BC}\). Al recorrer primero \(\overrightarrow{AB}\) y luego \(\overrightarrow{BC}\), se obtiene directamente el desplazamiento \(\overrightarrow{AC}\).

Calculamos:

\[ \overrightarrow{AB}=(3-0,\;1-0)=(3,1) \]

\[ \overrightarrow{BC}=(5-3,\;4-1)=(2,3) \]

Entonces:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3,1)+(2,3)=(5,4) \]

Pero también:

\[ \overrightarrow{AC}=(5-0,\;4-0)=(5,4) \]

Por lo tanto:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

Idea clave

Sumar vectores significa realizar un desplazamiento y luego otro.

Geométricamente, esto se puede representar colocando la cola del segundo vector en la punta del primero.

Ejemplo 2: multiplicación por escalar

Consideremos el vector \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\).

Como \(\overrightarrow{OA}=(2,1)\), entonces:

\[ 2\overrightarrow{OA}=2(2,1)=(4,2) \]

Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OB}\).

Además:

\[ -\overrightarrow{OA}=-(2,1)=(-2,-1) \]

Este vector corresponde a \(\overrightarrow{OC}\).

Multiplicar por un escalar positivo mantiene el sentido. Multiplicar por un escalar negativo invierte el sentido.

Error frecuente

Al multiplicar un vector por un escalar, se multiplican todas sus componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{u}=(-3,4)\), entonces:

\[ 2\vec{u}=2(-3,4)=(-6,8) \]

No corresponde multiplicar solo una componente.

Usar un vector como desplazamiento

Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) comienza en un punto \(P=(x_P,y_P)\), entonces el punto final \(Q\) se obtiene sumando componente a componente:

\[ Q=(x_P+a,\;y_P+b) \]

Esto significa que el vector actúa como una instrucción de movimiento desde el punto inicial.

Ejemplo 3: determinar el punto final de un desplazamiento

Un vector de coordenadas \((3,2)\) comienza en \(P=(1,1)\). Determinemos el punto donde termina.

Sumamos el vector al punto inicial:

\[ Q=(1+3,\;1+2)=(4,3) \]

Entonces el vector termina en \(Q=(4,3)\).

En este caso:

\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]

Determinar el punto inicial

Si un vector \(\vec{v}=(a,b)\) termina en un punto \(Q=(x_Q,y_Q)\), entonces el punto inicial \(P\) se obtiene restando el vector al punto final:

\[ P=(x_Q-a,\;y_Q-b) \]

Esto permite reconstruir desde dónde comenzó el desplazamiento.

Ejemplo 4: determinar el punto inicial de un desplazamiento

Un vector de coordenadas \((3,2)\) termina en \(Q=(7,5)\). Determinemos el punto donde comenzó.

Restamos el vector al punto final:

\[ P=(7-3,\;5-2)=(4,3) \]

Entonces el vector comenzó en \(P=(4,3)\).

En este caso:

\[ \overrightarrow{PQ}=(3,2) \]

Ejercicio 1

Calcula las siguientes sumas y restas de vectores:

  1. \((3,2)+(4,1)\)
  2. \((-5,3)+(2,-7)\)
  3. \((8,-2)-(3,5)\)
  4. \((-4,-6)-(-1,2)\)

Ejercicio 2

Observa la figura. Calcula \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) y verifica que coincide con \(\overrightarrow{AC}\).

Ejercicio 3

Calcula:

  1. Si \(\vec{u}=(4,-2)\), calcula \(3\vec{u}\).
  2. Si \(\vec{v}=(-6,9)\), calcula \(\frac{1}{3}\vec{v}\).
  3. Si \(\vec{w}=(5,1)\), calcula \(-2\vec{w}\).
  4. Si \(\vec{z}=(-8,-4)\), calcula \(-\frac{1}{2}\vec{z}\).

Ejercicio 4

Un vector comienza en el punto indicado y tiene las coordenadas dadas. Determina el punto donde termina.

  1. Comienza en \(A=(2,1)\) y tiene coordenadas \((3,4)\).
  2. Comienza en \(B=(-1,5)\) y tiene coordenadas \((4,-2)\).
  3. Comienza en \(C=(6,-3)\) y tiene coordenadas \((-5,1)\).
  4. Comienza en \(D=(-4,-2)\) y tiene coordenadas \((-2,-3)\).

Ejercicio 5

Un vector tiene las coordenadas dadas y termina en el punto indicado. Determina el punto donde comenzó.

  1. \(\vec{v}=(3,2)\) termina en \(Q=(7,5)\).
  2. \(\vec{u}=(-4,1)\) termina en \(R=(2,6)\).
  3. \(\vec{w}=(5,-3)\) termina en \(S=(8,-1)\).
  4. \(\vec{z}=(-2,-6)\) termina en \(T=(-5,-4)\).

Ejercicio 6

Un estudiante afirma que si \(\vec{u}=(3,-5)\), entonces \(2\vec{u}=(6,-5)\), porque solo debe duplicarse la primera componente.

¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.

8. Vector unitario en el plano

Objetivo de aprendizaje

  • Determinar e interpretar el vector unitario asociado a un vector no nulo, reconociendo que conserva su dirección y sentido, pero tiene módulo \(1\).

Idea inicial

En la página anterior se estudió que un vector puede describirse mediante sus componentes, su módulo y su dirección.

Ahora estudiaremos un vector especial: el vector unitario.

Un vector unitario es un vector que tiene módulo \(1\). Sirve para indicar una dirección y un sentido sin importar la longitud original del vector.

Definición de vector unitario

Sea \(\vec{v}\) un vector distinto del vector cero. El vector unitario asociado a \(\vec{v}\) se define como:

\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]

Esto significa que cada componente del vector se divide por su módulo.

Si \(\vec{v}=(a,b)\), entonces:

\[ \hat{v}=\left(\frac{a}{|\vec{v}|},\frac{b}{|\vec{v}|}\right) \]

Atención

El vector cero \(\vec{0}=(0,0)\) no tiene vector unitario asociado.

Esto ocurre porque su módulo es \(0\), y no se puede dividir por cero:

\[ \frac{\vec{0}}{|\vec{0}|}=\frac{(0,0)}{0} \]

Ejemplo 1: vector unitario asociado a \(\vec{v}=(3,4)\)

Consideremos el vector:

\[ \vec{v}=(3,4) \]

Primero calculamos su módulo:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2} \]

\[ |\vec{v}|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

Luego dividimos cada componente por el módulo:

\[ \hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Por lo tanto, el vector unitario asociado a \(\vec{v}\) es:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Este vector tiene la misma dirección y el mismo sentido que \(\vec{v}\), pero su módulo es \(1\).

Ejemplo 2: comprobar que el vector obtenido es unitario

En el ejemplo anterior se obtuvo:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Para comprobar que es unitario, calculamos su módulo:

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} \]

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} \]

\[ |\hat{v}|=\sqrt{\frac{25}{25}}=\sqrt{1}=1 \]

Por lo tanto, efectivamente \(\hat{v}\) es un vector unitario.

Interpretación geométrica

Calcular un vector unitario no cambia la dirección ni el sentido del vector original.

Lo que cambia es su módulo: el nuevo vector queda con longitud \(1\).

Por eso, el vector unitario permite representar solo la dirección y el sentido de un desplazamiento.

Ejemplo 3: vector unitario con componentes negativas

Consideremos el vector:

\[ \vec{u}=(-5,12) \]

Calculamos su módulo:

\[ |\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2} \]

\[ |\vec{u}|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]

Dividimos cada componente por \(13\):

\[ \hat{u}=\left(\frac{-5}{13},\frac{12}{13}\right) \]

Entonces:

\[ \hat{u}=\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right) \]

Este vector unitario apunta hacia la izquierda y hacia arriba, igual que el vector original.

Procedimiento

  1. Identifica las componentes del vector \(\vec{v}=(a,b)\).
  2. Calcula su módulo usando \( |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \).
  3. Divide cada componente por el módulo.
  4. Verifica, si es necesario, que el módulo del vector obtenido sea \(1\).

Error frecuente

No se debe dividir el vector por la suma de sus componentes.

Por ejemplo, si \(\vec{v}=(3,4)\), no corresponde hacer:

\[ \left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right) \]

Lo correcto es dividir por el módulo:

\[ |\vec{v}|=5 \]

Entonces:

\[ \hat{v}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \]

Ejercicio 1

Calcula el vector unitario asociado a \(\vec{v}=(6,8)\).

Ejercicio 2

Calcula el vector unitario asociado a \(\vec{u}=(-12,5)\).

Ejercicio 3

Verifica si el vector \(\vec{a}=\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right)\) es unitario.

Ejercicio 4

Un estudiante afirma que el vector unitario asociado a \(\vec{w}=(4,3)\) es \(\left(\frac{4}{7},\frac{3}{7}\right)\), porque \(4+3=7\). ¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige si es necesario.

Ejercicio 5

Explica por qué el vector \(\vec{0}=(0,0)\) no tiene vector unitario asociado.

Para continuar

El vector unitario permite separar la dirección de la longitud. En la siguiente página se puede estudiar cómo reconocer perpendicularidad entre vectores usando una herramienta algebraica llamada producto punto.

9. Producto punto y perpendicularidad entre vectores

Objetivo de aprendizaje

  • Calcular el producto punto entre dos vectores del plano e interpretarlo como una herramienta para reconocer perpendicularidad.

Idea inicial

En las páginas anteriores se estudió que los vectores tienen componentes, módulo, dirección y sentido.

Ahora veremos una operación entre dos vectores llamada producto punto. Esta operación entrega un número y permite reconocer si dos vectores son perpendiculares.

Producto punto en el plano

Si

\[ \vec{u}=(a,b) \qquad \vec{v}=(c,d), \]

entonces el producto punto entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define como:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd \]

Es decir, se multiplican las componentes correspondientes y luego se suman los resultados.

Ejemplo 1: calcular un producto punto

Sean los vectores:

\[ \vec{u}=(2,5) \qquad \vec{v}=(3,-1) \]

Calculamos:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+5\cdot(-1) \]

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=6-5=1 \]

Por lo tanto:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1 \]

El resultado del producto punto es un número, no un vector.

Criterio de perpendicularidad

Dos vectores no nulos son perpendiculares si su producto punto es igual a cero.

\[ \vec{u}\perp\vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Este criterio permite verificar perpendicularidad usando solo las componentes de los vectores.

Ejemplo 2: vectores perpendiculares

Sean los vectores:

\[ \vec{a}=(3,2) \qquad \vec{b}=(2,-3) \]

Calculamos el producto punto:

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot2+2\cdot(-3) \]

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=6-6=0 \]

Como el producto punto es \(0\), los vectores son perpendiculares:

\[ \vec{a}\perp\vec{b} \]

Ejemplo 3: vectores que no son perpendiculares

Sean los vectores:

\[ \vec{p}=(4,1) \qquad \vec{q}=(2,3) \]

Calculamos:

\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=4\cdot2+1\cdot3 \]

\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=8+3=11 \]

Como el producto punto no es \(0\), los vectores no son perpendiculares.

Relación con el ángulo entre vectores

El producto punto también se relaciona con el ángulo \(\theta\) que forman dos vectores:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\theta) \]

Si dos vectores son perpendiculares, entonces forman un ángulo de \(90^\circ\).

Como

\[ \cos(90^\circ)=0, \]

se obtiene:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Por eso el producto punto igual a cero permite reconocer perpendicularidad.

Ejemplo 4: encontrar un valor para que dos vectores sean perpendiculares

Determina el valor de \(k\) para que los vectores

\[ \vec{u}=(k,4) \qquad \vec{v}=(2,-3) \]

sean perpendiculares.

Para que sean perpendiculares, debe cumplirse:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \]

Calculamos:

\[ (k,4)\cdot(2,-3)=2k+4(-3) \]

\[ 2k-12=0 \]

Resolviendo:

\[ 2k=12 \]

\[ k=6 \]

Por lo tanto, si \(k=6\), los vectores son perpendiculares.

Error frecuente

No confundas el producto punto con la multiplicación por escalar.

La multiplicación por escalar produce un vector:

\[ 3(2,5)=(6,15) \]

En cambio, el producto punto entre dos vectores produce un número:

\[ (2,5)\cdot(3,-1)=1 \]

Procedimiento

  1. Identifica las componentes de ambos vectores.
  2. Multiplica las primeras componentes entre sí.
  3. Multiplica las segundas componentes entre sí.
  4. Suma ambos productos.
  5. Si el resultado es \(0\), los vectores son perpendiculares.

Ejercicio 1

Calcula el producto punto entre los vectores \(\vec{u}=(5,-2)\) y \(\vec{v}=(3,4)\).

Ejercicio 2

Determina si los vectores \(\vec{a}=(4,3)\) y \(\vec{b}=(6,-8)\) son perpendiculares.

Ejercicio 3

Determina si los vectores \(\vec{p}=(-1,7)\) y \(\vec{q}=(3,2)\) son perpendiculares.

Ejercicio 4

Encuentra el valor de \(k\) para que los vectores \(\vec{u}=(3,k)\) y \(\vec{v}=(4,-6)\) sean perpendiculares.

Ejercicio 5

Un estudiante afirma que los vectores \((2,6)\) y \((3,-1)\) son perpendiculares porque una componente es positiva y la otra es negativa. ¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Para continuar

El producto punto permite estudiar perpendicularidad en el plano y también será útil más adelante para analizar relaciones entre vectores en el espacio.

10. Del plano al espacio

Objetivo de la página

  • Comprender cómo se representan vectores en 3D mediante tres componentes y relacionarlos con vectores en 2D.

Del plano al espacio

En 2D, un vector se representa mediante dos componentes:

\[ \vec{v}=(a,b) \]

La primera componente indica el desplazamiento en el eje \(x\), y la segunda componente indica el desplazamiento en el eje \(y\).

En 3D aparece una tercera dirección, asociada al eje \(z\). Por eso, un vector en el espacio se representa mediante tres componentes:

\[ \vec{v}=(a,b,c) \]

Componentes de un vector en 3D

Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:

  • \(a\) representa el desplazamiento en el eje \(x\).
  • \(b\) representa el desplazamiento en el eje \(y\).
  • \(c\) representa el desplazamiento en el eje \(z\).

La lógica es la misma que en 2D, pero ahora se incorpora una tercera componente.

Ejemplo 1: interpretar el vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\)

Consideremos el vector:

\[ \overrightarrow{OP}=(4,2,3) \]

Este vector representa un desplazamiento desde el origen \(O=(0,0,0)\) hasta el punto \(P=(4,2,3)\).

El vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\) indica que, desde el origen, se avanza:

  • 4 unidades en la dirección del eje \(x\),
  • 2 unidades en la dirección del eje \(y\),
  • 3 unidades en la dirección del eje \(z\).

Por lo tanto, el punto final del desplazamiento es:

\[ P=(4,2,3) \]

Idea clave

Un vector en 3D conserva la misma idea de desplazamiento que un vector en 2D.

La diferencia es que ahora el desplazamiento puede ocurrir en tres direcciones independientes: \(x\), \(y\) y \(z\).

Ejemplo 2: comparación entre 2D y 3D

Tipo de vector Forma Interpretación
Vector en 2D \((3,5)\) 3 unidades en \(x\) y 5 unidades en \(y\).
Vector en 3D \((3,5,2)\) 3 unidades en \(x\), 5 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).

El vector en 3D necesita una tercera componente porque describe desplazamientos en el espacio, no solo en el plano.

Ejemplo 3: vector entre dos puntos en 3D

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,4,8) \]

Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), restamos punto final menos punto inicial, componente a componente:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2,\;8-3) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4,2,5) \]

Esto significa que para ir desde \(A\) hasta \(B\), el desplazamiento cambia 4 unidades en \(x\), 2 unidades en \(y\) y 5 unidades en \(z\).

Vector entre dos puntos en 3D

Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]

Es la misma regla usada en 2D, pero agregando la resta de la tercera componente.

Error frecuente

No olvides la tercera componente al trabajar en 3D.

Por ejemplo, si \(A=(1,2,3)\) y \(B=(5,4,8)\), no basta con calcular:

\[ (5-1,\;4-2) \]

También se debe considerar:

\[ 8-3 \]

Ejercicio 1

Interpreta con palabras cada vector en 3D:

  1. \(\vec{u}=(3,2,5)\)
  2. \(\vec{v}=(-4,1,6)\)
  3. \(\vec{w}=(2,-3,-1)\)
  4. \(\vec{z}=(-5,-2,4)\)

Ejercicio 2

Escribe el vector en 3D que representa cada desplazamiento:

  1. Avanzar 4 unidades en \(x\), 3 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).
  2. Avanzar 5 unidades en sentido negativo de \(x\), 1 unidad en \(y\) y 6 unidades en \(z\).
  3. Avanzar 2 unidades en \(x\), 4 unidades en sentido negativo de \(y\) y 3 unidades en sentido negativo de \(z\).
  4. Avanzar 1 unidad en sentido negativo de \(x\), 2 unidades en sentido negativo de \(y\) y 5 unidades en \(z\).

Ejercicio 3

Calcula las coordenadas de cada vector en 3D:

  1. \(A=(1,2,3)\), \(B=(4,6,8)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
  2. \(C=(-2,1,5)\), \(D=(3,4,2)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
  3. \(E=(5,-1,0)\), \(F=(2,3,-4)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
  4. \(G=(-3,-2,6)\), \(H=(-7,1,10)\). Calcula \(\overrightarrow{GH}\).

Ejercicio 4

Un estudiante afirma que para calcular un vector en 3D basta con restar las coordenadas \(x\) e \(y\), porque el eje \(z\) solo sirve para dibujar profundidad.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

11. Distancia y desplazamiento en el espacio

Objetivo de la página

  • Calcular e interpretar la distancia y el desplazamiento entre puntos del espacio usando vectores en 3D.

Distancia y desplazamiento en el espacio

En 3D, un vector puede representar el desplazamiento desde un punto inicial hasta un punto final.

Si el vector es:

\[ \vec{v}=(a,b,c) \]

entonces sus componentes indican cuánto cambia la posición en los ejes \(x\), \(y\) y \(z\).

La distancia recorrida en línea recta corresponde al módulo de ese vector.

Módulo de un vector en 3D

Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:

\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]

Esta fórmula extiende la idea del módulo en 2D, agregando la tercera componente.

Ejemplo 1: desplazamiento en una caja 3D

La siguiente figura representa un desplazamiento en el espacio. El vector \(\overrightarrow{OP}\) tiene componentes:

\[ \overrightarrow{OP}=(4,4,2) \]

Para calcular la distancia real en el espacio usamos las componentes del vector:

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{4^2+4^2+2^2} \]

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{16+16+4} \]

\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{36}=6 \]

Por lo tanto, la distancia desde \(O\) hasta \(P\) es \(6\) unidades.

Distancia entre dos puntos en 3D

Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]

La distancia entre \(A\) y \(B\) es el módulo de ese vector:

\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \]

Ejemplo 2: distancia entre dos puntos del espacio

Sean los puntos:

\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,5,15) \]

Primero calculamos el vector:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;15-3) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]

Luego calculamos su módulo:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2+12^2} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+144} \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]

Por lo tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.

Idea clave

El vector \(\overrightarrow{AB}\) describe el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).

La distancia entre \(A\) y \(B\) corresponde a la longitud de ese desplazamiento:

\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]

Error frecuente

No confundas desplazamiento con distancia.

El desplazamiento es un vector, por ejemplo:

\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]

La distancia es un número positivo:

\[ |\overrightarrow{AB}|=13 \]

Ejercicio 1

Calcula el módulo de cada vector en 3D:

  1. \(\vec{u}=(2,3,6)\)
  2. \(\vec{v}=(-4,0,3)\)
  3. \(\vec{w}=(1,-2,2)\)
  4. \(\vec{z}=(-6,-2,-3)\)

Ejercicio 2

Calcula \(\overrightarrow{AB}\) y luego la distancia entre los puntos:

  1. \(A=(1,2,0)\), \(B=(5,5,0)\)
  2. \(A=(-1,2,1)\), \(B=(2,6,13)\)
  3. \(A=(4,-2,5)\), \(B=(0,1,5)\)
  4. \(A=(-3,-1,2)\), \(B=(-1,1,4)\)

Ejercicio 3

Un desplazamiento en el espacio tiene componentes \(6\) en \(x\), \(2\) en \(y\) y \(3\) en \(z\).

  1. Escribe el vector que representa el desplazamiento.
  2. Calcula la distancia recorrida en línea recta.

Ejercicio 4

Un estudiante afirma que si \(\overrightarrow{AB}=(-3,4,-12)\), entonces la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(-13\), porque una de las componentes es negativa.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.