1. Experimento aleatorio y espacio muestral

Experimento aleatorio y espacio muestral

Objetivo de aprendizaje

Reconocer experimentos aleatorios y determinar su espacio muestral, distinguiendo qué resultado se está observando en cada situación.

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una acción o situación cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarla, aunque sí se pueden conocer sus resultados posibles.

Por ejemplo, lanzar una moneda, lanzar un dado, extraer una tarjeta de una caja o escoger una persona al azar son experimentos aleatorios.

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar con \(S\) o \(\Omega\).

Si el experimento es lanzar una moneda y observar su resultado, entonces:

\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]

La cantidad de elementos del espacio muestral se puede representar como \(|S|\).

Atención

El espacio muestral depende de qué se observa en el experimento.

Por ejemplo, al lanzar un dado se puede observar el número exacto, si el número es par o impar, si es mayor que \(4\), o si es múltiplo de \(3\). Cada forma de observar produce un espacio muestral distinto.

Ejemplo 1: un mismo experimento, distintos espacios muestrales

Experimento: lanzar un dado común.

Si se observa el número exacto obtenido, entonces:

\[ S_1=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Pero si se observa solo si el resultado es par o impar, entonces:

\[ S_2=\{\text{par},\text{impar}\} \]

El experimento físico es el mismo, pero cambia el espacio muestral porque cambia lo que se está registrando.

Ejemplo 2: lanzar dos monedas

Experimento: lanzar dos monedas y registrar los resultados en orden.

Escribimos cada resultado como un par:

\[ (\text{resultado de la primera moneda},\text{resultado de la segunda moneda}) \]

Entonces:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

Observa que \((\text{cara},\text{sello})\) y \((\text{sello},\text{cara})\) son resultados distintos si importa el orden.

Ejemplo 3: formar un código

Se forma un código de dos caracteres. El primer carácter debe ser una letra de \(\{A,B,C\}\) y el segundo debe ser un número de \(\{1,2\}\).

El espacio muestral es:

\[ S=\{A1,A2,B1,B2,C1,C2\} \]

Como hay \(3\) opciones para la letra y \(2\) opciones para el número, se tienen:

\[ |S|=3\cdot 2=6 \]

Ejemplo 4: cuando el orden cambia el resultado

En un grupo formado por Ana, Bruno y Camila se eligen dos personas.

Si se elige una presidencia y una secretaría, el orden importa, porque no es lo mismo que Ana sea presidenta y Bruno secretario, a que Bruno sea presidente y Ana secretaria.

En ese caso:

\[ S_1=\{(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B)\} \]

Pero si solo se elige un equipo de dos personas, sin cargos, el orden no importa:

\[ S_2=\{\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}\} \]

Por eso es fundamental leer con precisión qué resultado se está observando.

Estrategia para determinar el espacio muestral

Identifica el experimento aleatorio.
Determina exactamente qué se observa o registra como resultado.
Decide si el orden importa o no importa.
Anota todos los resultados posibles sin repetir ni omitir casos.
Cuando el listado sea muy largo, describe el espacio muestral mediante una regla clara y calcula \(|S|\).

Error común

Un error frecuente es escribir como espacio muestral los objetos disponibles, sin considerar qué se está preguntando.

Por ejemplo, si se elige una persona y se registra si usa lentes o no usa lentes, el espacio muestral no es la lista de estudiantes del curso, sino:

\[ S=\{\text{usa lentes},\text{no usa lentes}\} \]

Ejercicios

Ejercicio 1

Indica si cada situación corresponde a un experimento aleatorio o a una situación determinista.

Situación	Clasificación
Lanzar una moneda y observar el resultado.
Calcular \(8+5\).
Extraer una tarjeta al azar de una caja.
Medir cuántos lados tiene un triángulo.

Una situación es aleatoria cuando no se puede saber con certeza el resultado antes de realizarla.

Situación	Clasificación	Justificación
Lanzar una moneda y observar el resultado.	Experimento aleatorio	No se sabe con certeza si saldrá cara o sello.
Calcular \(8+5\).	Situación determinista	Siempre da \(13\).
Extraer una tarjeta al azar de una caja.	Experimento aleatorio	No se sabe con certeza qué tarjeta será extraída.
Medir cuántos lados tiene un triángulo.	Situación determinista	Todo triángulo tiene exactamente \(3\) lados.

Ejercicio 2

Se lanza un dado común y se observa si el número obtenido es menor que \(3\), igual a \(3\) o mayor que \(3\). Determina el espacio muestral.

Ejercicio 3

Se lanzan dos dados comunes.

Determina la cantidad de resultados posibles si se registra el resultado de cada dado en orden.
Determina el espacio muestral si solo se registra la suma obtenida.

Ejercicio 4

Se forma un código de dos caracteres. El primero debe ser una letra de \(\{M,N,P\}\) y el segundo debe ser un número de \(\{1,2,3,4\}\). Determina el espacio muestral y su cantidad de elementos.

Ejercicio 5

De un grupo formado por Ana, Bruno, Camila y Diego se eligen dos estudiantes para representar al curso, sin cargos distintos. Escribe el espacio muestral.

Ejercicio 6

Una estudiante dice que, al lanzar dos monedas y registrar los resultados en orden, el espacio muestral es:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

¿Está correcto? Justifica tu respuesta y escribe el espacio muestral correcto.

Problemas tipo PAES

Problema 1

Se lanzan dos dados comunes y se registra solamente la suma de los números obtenidos. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?

A) \(\{1,2,3,4,5,6\}\)

B) \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)

C) \(\{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,6)\}\)

D) \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)

Problema 2

Se elige al azar un número del conjunto \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) y se registra si es primo y si es par. Cada respuesta puede ser “sí” o “no”. ¿Cuál es el espacio muestral correcto?

A) \(\{\text{primo},\text{par}\}\)

B) \(\{(\text{sí},\text{sí}),(\text{sí},\text{no}),(\text{no},\text{sí}),(\text{no},\text{no})\}\)

C) \(\{2,3,5,7\}\)

D) \(\{2,4,6,8\}\)

Problema 3

En un taller hay \(5\) estudiantes. Se elige una persona para coordinar y otra distinta para registrar los acuerdos. ¿Cuántos resultados posibles tiene el espacio muestral?

A) \(10\)

B) \(15\)

C) \(20\)

D) \(25\)

Problema 4

Una caja contiene tarjetas con las letras \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). Se extraen dos tarjetas sin reposición y se registra el orden en que aparecen. ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa parte de la estructura correcta del espacio muestral?

A) \(\{AA,AB,AC,AD,\ldots\}\)

B) \(\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}\)

C) \(\{AB,AC,AD,BA,BC,BD,\ldots\}\)

D) \(\{A,B,C,D\}\)

Problema 5

Se lanza una moneda tres veces y se registra solamente la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a esta forma de observar el experimento?

A) \(\{0,1,2,3\}\)

B) \(\{1,2,3\}\)

C) \(\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{cara},\text{sello}),\ldots\}\)

D) \(\{\text{cara},\text{sello}\}\)

2. Eventos y tipos de eventos

Eventos y tipos de eventos

Objetivo de aprendizaje

Identificar eventos asociados a un experimento aleatorio y clasificarlos como simples, compuestos, seguros o imposibles según su relación con el espacio muestral.

Evento

Un evento es un conjunto de resultados del espacio muestral que cumplen una determinada condición.

Si \(S\) es el espacio muestral, entonces un evento \(A\) debe estar formado solo por resultados que pertenezcan a \(S\). Es decir:

\[ A\subseteq S \]

Tipos de eventos

Tipo de evento	Característica	Forma general
Evento simple	Tiene exactamente un resultado.	\(\|A\|=1\)
Evento compuesto	Tiene dos o más resultados, pero no necesariamente todos.	\(\|A\|\geq 2\)
Evento seguro	Contiene todos los resultados del espacio muestral.	\(A=S\)
Evento imposible	No contiene resultados del espacio muestral.	\(A=\varnothing\)

Atención

La clasificación de un evento depende del espacio muestral. Una misma frase puede representar eventos distintos si cambia lo que se está observando.

Por eso, antes de clasificar un evento, siempre conviene escribir o reconocer primero el espacio muestral \(S\).

Ejemplo 1: elegir una ficha numerada

Una caja contiene fichas numeradas con los siguientes valores:

\[ S=\{2,5,7,11,14,18,21,25\} \]

Se extrae una ficha al azar y se observa su número.

Consideremos los eventos:

\(A\): obtener un número primo.
\(B\): obtener un múltiplo de \(7\).
\(C\): obtener un número positivo.
\(D\): obtener un número menor que \(0\).

Entonces:

\[ A=\{2,5,7,11\} \]

\[ B=\{7,14,21\} \]

\[ C=\{2,5,7,11,14,18,21,25\}=S \]

\[ D=\varnothing \]

Por lo tanto, \(A\) y \(B\) son eventos compuestos, \(C\) es un evento seguro y \(D\) es un evento imposible.

Ejemplo 2: una ruleta de colores

Una ruleta tiene sectores de colores distintos. Al girarla se observa el color donde se detiene la flecha.

El espacio muestral es:

\[ S=\{\text{rojo},\text{azul},\text{verde},\text{amarillo},\text{morado}\} \]

Sea \(A\) el evento “obtener un color que contenga la letra \(r\) en su nombre”.

Revisamos los colores:

rojo contiene \(r\),
verde contiene \(r\),
amarillo contiene \(r\),
morado contiene \(r\),
azul no contiene \(r\).

Entonces:

\[ A=\{\text{rojo},\text{verde},\text{amarillo},\text{morado}\} \]

Como \(A\) tiene cuatro resultados, es un evento compuesto.

Ejemplo 3: elegir una colación

En un kiosco se elige al azar una colación de la siguiente lista:

\[ S=\{\text{yogur},\text{barra de cereal},\text{fruta},\text{sándwich},\text{jugo},\text{galleta}\} \]

Sea \(B\) el evento “elegir una bebida”. En esta lista, la única bebida es el jugo.

Por lo tanto:

\[ B=\{\text{jugo}\} \]

Como contiene exactamente un resultado, \(B\) es un evento simple.

Ejemplo 4: evento definido en un espacio muestral de pares

Un estudiante debe escoger una actividad y un horario. Las actividades disponibles son teatro \(T\), robótica \(R\) y debate \(D\). Los horarios disponibles son mañana \(M\) y tarde \(T_a\).

El espacio muestral es:

\[ S=\{(T,M),(T,T_a),(R,M),(R,T_a),(D,M),(D,T_a)\} \]

Sea \(E\) el evento “escoger robótica o escoger horario de tarde”.

Los resultados que cumplen la condición son:

\[ E=\{(R,M),(R,T_a),(T,T_a),(D,T_a)\} \]

El resultado \((R,T_a)\) no se repite, aunque cumple ambas condiciones.

Como \(E\) tiene cuatro resultados, es un evento compuesto.

Estrategia para clasificar eventos

Identifica el espacio muestral \(S\).
Traduce la condición del evento a resultados concretos.
Escribe el evento como conjunto.
Compara el evento con \(S\): si es vacío, es imposible; si coincide con \(S\), es seguro.
Si no es seguro ni imposible, cuenta sus resultados: uno significa simple; dos o más significa compuesto.

Error común

No basta con mirar cuántas palabras tiene la condición del evento. Lo importante es cuántos resultados del espacio muestral cumplen esa condición.

Por ejemplo, “obtener una figura geométrica con cuatro lados” puede sonar como una sola condición, pero podría incluir varios resultados: cuadrado, rectángulo, rombo o trapecio, dependiendo del espacio muestral.

Ejercicios

Ejercicio 1

Se elige al azar un número del conjunto:

\[ S=\{4,6,9,10,12,15,20,27\} \]

Determina cada evento y clasifícalo como simple, compuesto, seguro o imposible.

\(A\): obtener un múltiplo de \(5\).
\(B\): obtener un número cuadrado perfecto.
\(C\): obtener un número menor que \(30\).
\(D\): obtener un número primo.

Ejercicio 2

En una aplicación de música se selecciona al azar una lista de reproducción entre las siguientes:

\[ S=\{\text{rock},\text{pop},\text{jazz},\text{clásica},\text{cueca},\text{reguetón},\text{electrónica}\} \]

Sea \(M\) el evento “seleccionar una lista cuyo nombre tiene exactamente cuatro letras”. Determina \(M\) y clasifícalo.

Ejercicio 3

Una persona elige al azar un medio de transporte para llegar a una actividad. Las opciones son:

\[ S=\{\text{metro},\text{bus},\text{bicicleta},\text{auto},\text{caminata}\} \]

Determina y clasifica los eventos:

\(A\): elegir un medio motorizado.
\(B\): elegir caminata.
\(C\): elegir un medio disponible.
\(D\): elegir avión.

Ejercicio 4

Se escoge al azar una pieza de un set de figuras. El espacio muestral según forma y color es:

\[ S=\{(\text{círculo},\text{rojo}),(\text{círculo},\text{azul}),(\text{triángulo},\text{rojo}),(\text{cuadrado},\text{verde}),(\text{hexágono},\text{azul})\} \]

Sea \(A\) el evento “la pieza es azul o tiene cuatro lados”. Determina \(A\) y clasifícalo.

Ejercicio 5

Un restaurante ofrece al azar una promoción formada por un plato principal y una bebida. Los platos son pasta \(P\), ensalada \(E\) y sopa \(S\). Las bebidas son agua \(A\) y limonada \(L\).

El espacio muestral es:

\[ S=\{(P,A),(P,L),(E,A),(E,L),(S,A),(S,L)\} \]

Sea \(B\) el evento “la promoción incluye agua y no incluye sopa”. Determina \(B\) y clasifícalo.

Ejercicio 6

Una estudiante afirma: “Si un evento está descrito con una sola condición, entonces siempre es simple”. Analiza si la afirmación es correcta usando el siguiente espacio muestral:

\[ S=\{12,16,18,21,24,30,35\} \]

Considera el evento \(A\): “obtener un número divisible por \(6\)”.

Problemas tipo PAES

Problema 1

Se elige al azar una comuna de la lista:

\[ S=\{\text{Concepción},\text{Temuco},\text{Valdivia},\text{Osorno},\text{Talca},\text{Curicó}\} \]

Sea \(A\) el evento “elegir una comuna cuyo nombre termina en vocal”. ¿Cuál es \(A\) y qué tipo de evento es?

A) \(A=\{\text{Temuco},\text{Valdivia},\text{Osorno},\text{Talca},\text{Curicó}\}\), evento compuesto.

B) \(A=\{\text{Concepción},\text{Curicó}\}\), evento compuesto.

C) \(A=\{\text{Talca}\}\), evento simple.

D) \(A=S\), evento seguro.

Problema 2

Se escoge al azar un número del conjunto:

\[ S=\{8,13,17,22,26,31,34\} \]

¿Cuál de los siguientes eventos es imposible?

A) Obtener un número impar.

B) Obtener un número mayor que \(30\).

C) Obtener un múltiplo de \(3\).

D) Obtener un número par menor que \(10\).

Problema 3

Una biblioteca selecciona al azar un libro de una repisa con las siguientes categorías:

\[ S=\{\text{novela},\text{poesía},\text{ensayo},\text{cuento},\text{crónica},\text{biografía}\} \]

¿Cuál de los siguientes eventos es seguro?

A) Seleccionar un texto escrito en prosa.

B) Seleccionar una categoría literaria o informativa de la repisa.

C) Seleccionar poesía.

D) Seleccionar una categoría cuyo nombre tenga más de ocho letras.

Problema 4

Se elige al azar un par \((x,y)\) del siguiente espacio muestral:

\[ S=\{(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(3,2),(3,5)\} \]

Sea \(E\) el evento “la suma de las coordenadas es \(7\)”. ¿Cuál es \(E\) y qué tipo de evento es?

A) \(E=\{(2,5)\}\), evento simple.

B) \(E=\{(1,5),(2,5),(3,5)\}\), evento compuesto.

C) \(E=\{(2,5),(3,5)\}\), evento compuesto.

D) \(E=\varnothing\), evento imposible.

Problema 5

En una actividad se elige al azar una tarjeta con una de las siguientes instrucciones:

\[ S=\{\text{dibujar},\text{explicar},\text{comparar},\text{calcular},\text{argumentar}\} \]

Sea \(A\) el evento “la instrucción contiene la letra \(a\)”. ¿Qué tipo de evento es \(A\)?

A) Simple, porque la condición es una sola.

B) Compuesto, porque varios resultados cumplen la condición.

C) Seguro, porque todas las instrucciones contienen la letra \(a\).

D) Imposible, porque ninguna instrucción contiene la letra \(a\).

3. Probabilidad clásica: regla de Laplace

Objetivo de aprendizaje

Calcular probabilidades en experimentos con resultados equiprobables usando la regla de Laplace, identificando correctamente los casos favorables y los casos posibles.

Probabilidad clásica

La probabilidad clásica se usa cuando todos los resultados del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Por ejemplo, si se escoge al azar un número de una lista y todos los números tienen la misma posibilidad de ser elegidos, se puede aplicar la regla de Laplace.

Regla de Laplace

Si todos los resultados del espacio muestral son equiprobables, entonces la probabilidad de un evento \(A\) se calcula como:

\[ P(A)=\frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}} \]

También se puede escribir como:

\[ P(A)=\frac{|A|}{|S|} \]

donde \(|A|\) es la cantidad de resultados del evento y \(|S|\) es la cantidad de resultados del espacio muestral.

Atención

La regla de Laplace solo se aplica directamente cuando los casos posibles son igualmente probables.

No basta con contar resultados: primero hay que verificar que cada resultado tenga la misma posibilidad de ocurrir.

Ejemplo 1: credenciales numeradas

En una actividad se entrega al azar una credencial numerada del \(1\) al \(18\). ¿Cuál es la probabilidad de recibir una credencial con número múltiplo de \(6\)?

El espacio muestral tiene \(18\) resultados posibles:

\[ S=\{1,2,3,\ldots,18\} \]

Los múltiplos de \(6\) entre \(1\) y \(18\) son:

\[ 6,\;12,\;18 \]

Entonces, hay \(3\) casos favorables y \(18\) casos posibles.

Aplicando la regla de Laplace:

\[ P=\frac{3}{18}=\frac{1}{6} \]

La probabilidad de recibir una credencial con número múltiplo de \(6\) es \(\frac{1}{6}\).

Ejemplo 2: selección de una entrada

Para una presentación se imprimen \(40\) entradas numeradas del \(1\) al \(40\). Se escoge una entrada al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número termine en \(0\)?

Hay \(40\) casos posibles.

Los números del \(1\) al \(40\) que terminan en \(0\) son:

\[ 10,\;20,\;30,\;40 \]

Por lo tanto, hay \(4\) casos favorables.

\[ P=\frac{4}{40}=\frac{1}{10} \]

La probabilidad pedida es \(\frac{1}{10}\), es decir, \(0{,}1\) o \(10\%\).

Ejemplo 3: elegir una persona de un grupo

En un taller hay \(28\) participantes. De ellos, \(9\) eligieron fotografía, \(7\) eligieron programación, \(5\) eligieron ilustración y \(7\) eligieron edición de video. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido programación?

Como se elige una persona entre \(28\), hay \(28\) casos posibles.

Los casos favorables son las \(7\) personas que eligieron programación.

Entonces:

\[ P(\text{programación})=\frac{7}{28}=\frac{1}{4} \]

La probabilidad es \(\frac{1}{4}\), equivalente a \(25\%\).

Ejemplo 4: combinaciones equiprobables

Una plataforma permite crear una insignia eligiendo un fondo y un símbolo. Hay \(4\) fondos posibles y \(3\) símbolos posibles. Todas las combinaciones son igualmente probables.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una insignia con fondo azul y cualquier símbolo?

La cantidad total de combinaciones es:

\[ 4\cdot 3=12 \]

Si el fondo debe ser azul, el símbolo puede ser cualquiera de los \(3\) disponibles. Entonces hay \(3\) casos favorables.

\[ P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]

La probabilidad de obtener una insignia con fondo azul es \(\frac{1}{4}\).

Estrategia para aplicar la regla de Laplace

Verifica que los resultados sean equiprobables.
Determina la cantidad total de casos posibles.
Determina cuántos casos cumplen la condición del evento.
Forma la fracción \(\frac{\text{favorables}}{\text{posibles}}\).
Simplifica la fracción si es posible.
Interpreta el resultado en el contexto del problema.

Error común

No confundas casos favorables con casos posibles.

Los casos posibles son todos los resultados que pueden ocurrir. Los casos favorables son solo los que cumplen la condición preguntada.

Ejercicios

Ejercicio 1

En una tómbola hay \(30\) boletos numerados del \(1\) al \(30\). Se extrae un boleto al azar. Calcula la probabilidad de que el número sea múltiplo de \(4\).

Ejercicio 2

En un concurso se elige al azar una pregunta de un banco con \(50\) preguntas. De ellas, \(18\) son de álgebra, \(12\) de geometría, \(10\) de estadística y \(10\) de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la pregunta elegida sea de estadística?

Ejercicio 3

Se elige al azar un número entero entre \(20\) y \(45\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un número divisible por \(5\)?

Ejercicio 4

Una caja contiene \(6\) lápices negros, \(5\) lápices azules, \(4\) lápices rojos y \(3\) lápices verdes. Se extrae un lápiz al azar. Calcula la probabilidad de extraer un lápiz que no sea verde.

Ejercicio 5

Para armar una credencial digital se elige un marco entre \(5\) opciones y un ícono entre \(4\) opciones. Todas las combinaciones son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que la credencial tenga un marco específico y un ícono específico?

Ejercicio 6

En una fila de asientos numerados del \(101\) al \(128\), se asigna un asiento al azar. Calcula la probabilidad de que el número asignado sea impar y mayor que \(115\).

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una lista hay \(36\) códigos numerados del \(1\) al \(36\). Se selecciona uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un código que sea múltiplo de \(6\) o múltiplo de \(9\)?

A) \(\frac{5}{36}\)

B) \(\frac{8}{36}\)

C) \(\frac{9}{36}\)

D) \(\frac{10}{36}\)

Problema 2

Una tienda sortea un cupón entre \(24\) compras del día. De esas compras, \(9\) fueron pagadas en efectivo, \(8\) con tarjeta de débito, \(5\) con tarjeta de crédito y \(2\) con transferencia. Si todas las compras tienen la misma posibilidad de ser sorteadas, ¿cuál es la probabilidad de que el cupón corresponda a una compra pagada con tarjeta?

A) \(\frac{8}{24}\)

B) \(\frac{13}{24}\)

C) \(\frac{15}{24}\)

D) \(\frac{16}{24}\)

Problema 3

Para diseñar una portada se elige al azar una plantilla entre \(6\) opciones y una tipografía entre \(5\) opciones. Todas las combinaciones son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una plantilla específica, sin importar la tipografía?

A) \(\frac{1}{30}\)

B) \(\frac{5}{30}\)

C) \(\frac{6}{30}\)

D) \(\frac{11}{30}\)

Problema 4

Se elige al azar un número entero desde \(50\) hasta \(80\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un número que termine en \(2\) o en \(7\)?

A) \(\frac{5}{31}\)

B) \(\frac{6}{31}\)

C) \(\frac{7}{31}\)

D) \(\frac{8}{31}\)

Problema 5

En una caja hay \(7\) conectores USB-C, \(4\) conectores HDMI, \(6\) adaptadores de audio y \(3\) cables de red. Se extrae un objeto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un conector, considerando como conectores solo los USB-C y HDMI?

A) \(\frac{7}{20}\)

B) \(\frac{11}{20}\)

C) \(\frac{13}{20}\)

D) \(\frac{17}{20}\)

4. Complemento de un evento

Objetivo de aprendizaje

Comprender el complemento de un evento y usarlo estratégicamente para calcular probabilidades de manera directa o indirecta.

¿Qué es el complemento de un evento?

Si \(A\) es un evento dentro de un espacio muestral \(S\), el complemento de \(A\) es el evento formado por todos los resultados de \(S\) que no pertenecen a \(A\).

Se representa como \(A^c\) y se lee “complemento de \(A\)” o “no ocurre \(A\)”.

Definición

Si \(A\subseteq S\), entonces:

\[ A^c=\{x\in S: x\notin A\} \]

En palabras: \(A^c\) contiene todos los resultados del espacio muestral que quedan fuera del evento \(A\).

Probabilidad del complemento

Como un evento y su complemento cubren todo el espacio muestral sin repetirse, se cumple:

\[ P(A)+P(A^c)=1 \]

Por lo tanto:

\[ P(A^c)=1-P(A) \]

Atención

El complemento siempre depende del espacio muestral. No basta con decir “lo contrario” de manera informal: hay que mirar cuáles resultados posibles quedan fuera de \(A\).

Ejemplo 1: seleccionar una etiqueta

Una impresora genera etiquetas numeradas del \(1\) al \(15\). Se selecciona una etiqueta al azar.

Sea \(A\) el evento “obtener un número menor que \(6\)”.

El espacio muestral es:

\[ S=\{1,2,3,\ldots,15\} \]

El evento \(A\) es:

\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]

Entonces, el complemento de \(A\) está formado por los números que no son menores que \(6\):

\[ A^c=\{6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} \]

En este caso:

\[ P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3} \]

Por lo tanto:

\[ P(A^c)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]

Ejemplo 2: usar el complemento para evitar contar muchos casos

En una bandeja hay \(32\) sensores. De ellos, \(5\) presentan falla. Se escoge un sensor al azar.

¿Cuál es la probabilidad de escoger un sensor que no presente falla?

Sea \(F\) el evento “el sensor presenta falla”. Entonces:

\[ P(F)=\frac{5}{32} \]

El evento “el sensor no presenta falla” es \(F^c\).

Usamos el complemento:

\[ P(F^c)=1-P(F) \]

\[ P(F^c)=1-\frac{5}{32}=\frac{27}{32} \]

La probabilidad de escoger un sensor sin falla es \(\frac{27}{32}\).

Ejemplo 3: evento “al menos uno”

En una revisión de \(20\) formularios, se sabe que \(3\) tienen al menos un dato incompleto. Se elige un formulario al azar.

Sea \(A\) el evento “el formulario tiene al menos un dato incompleto”.

Entonces:

\[ P(A)=\frac{3}{20} \]

El complemento de “tener al menos un dato incompleto” es “no tener ningún dato incompleto”.

Por lo tanto:

\[ P(A^c)=1-\frac{3}{20}=\frac{17}{20} \]

La probabilidad de escoger un formulario completo es \(\frac{17}{20}\).

Ejemplo 4: complemento en un conjunto definido por condiciones

Se elige al azar un número del conjunto:

\[ S=\{14,15,18,20,21,24,25,27,30,32\} \]

Sea \(M\) el evento “obtener un múltiplo de \(3\)”.

Los múltiplos de \(3\) en \(S\) son:

\[ M=\{15,18,21,24,27,30\} \]

Entonces, el complemento es:

\[ M^c=\{14,20,25,32\} \]

Así:

\[ P(M^c)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]

También se podía calcular usando:

\[ P(M^c)=1-P(M)=1-\frac{6}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]

Uso estratégico del complemento

Conviene usar el complemento cuando el evento pedido es más difícil de contar que su contrario.

Algunas frases que suelen indicar uso del complemento son:

“no ocurre”,
“ninguno”,
“al menos uno”,
“distinto de”,
“que no sea”.

Error común

El complemento de “al menos uno” no es “al menos dos”.

El complemento de “al menos uno” es “ninguno”.

Por ejemplo, si \(A\) es “recibir al menos una notificación”, entonces \(A^c\) es “no recibir ninguna notificación”.

Ejercicios

Ejercicio 1

Se elige al azar un número del conjunto:

\[ S=\{31,32,33,34,35,36,37,38,39,40\} \]

Sea \(A\) el evento “obtener un número mayor que \(36\)”. Determina \(A\), \(A^c\), \(P(A)\) y \(P(A^c)\).

Ejercicio 2

Una bolsa contiene \(11\) fichas blancas, \(8\) fichas negras y \(6\) fichas grises. Se extrae una ficha al azar. Calcula la probabilidad de que la ficha no sea negra.

Ejercicio 3

En una plataforma educativa hay \(48\) actividades publicadas. De ellas, \(9\) están marcadas como pendientes de revisión. Se selecciona una actividad al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté pendiente de revisión?

Ejercicio 4

Se elige al azar una clave de dos caracteres. El primer carácter puede ser \(L\), \(M\), \(N\) o \(P\), y el segundo puede ser \(4\), \(5\) o \(6\). Todas las claves son igualmente probables. Calcula la probabilidad de que la clave no comience con \(M\).

Ejercicio 5

Una revisión técnica clasifica \(60\) dispositivos. Se sabe que \(44\) aprobaron todas las pruebas. Se elige un dispositivo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya fallado al menos una prueba?

Ejercicio 6

En una base de datos hay \(90\) registros. Al seleccionar uno al azar, la probabilidad de que tenga un error de formato es \(\frac{2}{15}\). ¿Cuál es la probabilidad de que el registro no tenga error de formato? ¿Cuántos registros no tienen ese error?

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una caja hay \(18\) tarjetas de contenido, \(7\) tarjetas de portada y \(5\) tarjetas de instrucciones. Se extrae una tarjeta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta extraída no sea de portada?

A) \(\frac{7}{30}\)

B) \(\frac{18}{30}\)

C) \(\frac{23}{30}\)

D) \(\frac{25}{30}\)

Problema 2

Se elige al azar un número entero desde \(200\) hasta \(230\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número no sea múltiplo de \(5\)?

A) \(\frac{6}{31}\)

B) \(\frac{7}{31}\)

C) \(\frac{24}{31}\)

D) \(\frac{25}{31}\)

Problema 3

En un sistema de turnos, la probabilidad de que una solicitud sea respondida en menos de \(24\) horas es \(\frac{17}{20}\). ¿Cuál es la probabilidad de que una solicitud no sea respondida en menos de \(24\) horas?

A) \(\frac{3}{20}\)

B) \(\frac{17}{20}\)

C) \(\frac{20}{17}\)

D) \(\frac{37}{20}\)

Problema 4

Una contraseña temporal se forma con una letra de \(\{R,S,T,U,V\}\) seguida de un número de \(\{1,2,3,4\}\). Todas las contraseñas son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que la contraseña no termine en \(4\)?

A) \(\frac{1}{4}\)

B) \(\frac{3}{4}\)

C) \(\frac{4}{5}\)

D) \(\frac{19}{20}\)

Problema 5

En una revisión de \(72\) archivos, \(63\) no presentan inconsistencias. Se selecciona un archivo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que presente al menos una inconsistencia?

A) \(\frac{1}{8}\)

B) \(\frac{7}{8}\)

C) \(\frac{8}{9}\)

D) \(\frac{9}{63}\)

5. Unión de eventos: el “o” inclusivo

Objetivo de aprendizaje

Comprender la unión de eventos y calcular probabilidades asociadas al “o” inclusivo, evitando contar dos veces los resultados comunes.

Unión de eventos

La unión de dos eventos \(A\) y \(B\) está formada por todos los resultados que pertenecen a \(A\), a \(B\), o a ambos eventos a la vez.

Se representa como:

\[ A\cup B \]

y se lee “\(A\) unión \(B\)”.

Definición

Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:

\[ A\cup B=\{x\in S: x\in A \text{ o } x\in B\} \]

La palabra “o” se usa en sentido inclusivo: basta con que el resultado pertenezca a uno de los eventos, pero también se incluye si pertenece a ambos.

Ejemplo 1: muestras de laboratorio

En un laboratorio se selecciona al azar una muestra del conjunto:

\[ S=\{M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,M8,M9,M10\} \]

Se definen los eventos:

\(A\): la muestra presenta temperatura elevada.
\(B\): la muestra presenta pH fuera de rango.

Los eventos son:

\[ A=\{M2,M5,M6,M9\} \]

\[ B=\{M1,M5,M8,M9\} \]

La unión \(A\cup B\) contiene las muestras que presentan temperatura elevada, pH fuera de rango, o ambas condiciones:

\[ A\cup B=\{M1,M2,M5,M6,M8,M9\} \]

Como hay \(6\) casos favorables de un total de \(10\), se tiene:

\[ P(A\cup B)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]

Regla de la unión

Cuando dos eventos pueden tener resultados en común, se cumple:

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

La resta aparece porque los resultados que están en ambos eventos se cuentan dos veces al sumar \(P(A)+P(B)\).

Atención

En probabilidad, “\(A\) o \(B\)” normalmente significa “\(A\), \(B\), o ambos”.

Por eso, si una persona cumple las dos condiciones, sí pertenece a \(A\cup B\).

Ejemplo 2: actividades de una feria escolar

En una feria escolar participaron \(40\) estudiantes. De ellos, \(17\) se inscribieron en el desafío de cálculo mental, \(14\) se inscribieron en la charla de astronomía y \(6\) participaron en ambas actividades.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en el desafío de cálculo mental o en la charla de astronomía?

Sea:

\(A\): participar en cálculo mental.
\(B\): participar en astronomía.

Se pide \(P(A\cup B)\).

Aplicamos la regla de la unión:

\[ P(A\cup B)=\frac{17+14-6}{40} \]

\[ P(A\cup B)=\frac{25}{40}=\frac{5}{8} \]

La probabilidad es \(\frac{5}{8}\).

Ejemplo 3: eventos sin resultados comunes

Una plataforma selecciona al azar una receta de un banco de \(54\) recetas. Hay \(20\) recetas saladas, \(16\) recetas dulces y \(18\) recetas de bebidas.

Se define:

\(A\): seleccionar una receta salada.
\(B\): seleccionar una receta dulce.

Como una receta no puede ser salada y dulce al mismo tiempo en esta clasificación, no hay resultados comunes entre \(A\) y \(B\):

\[ A\cap B=\varnothing \]

Entonces:

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

\[ P(A\cup B)=\frac{20}{54}+\frac{16}{54}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3} \]

La probabilidad de seleccionar una receta salada o dulce es \(\frac{2}{3}\).

Ejemplo 4: detectar doble conteo

En un concurso de fotografía se revisan \(30\) trabajos. \(12\) usan técnica en blanco y negro, \(11\) usan formato panorámico y \(4\) usan ambas características.

Una estudiante calcula:

\[ \frac{12+11}{30}=\frac{23}{30} \]

El cálculo no es correcto, porque los \(4\) trabajos que usan ambas características fueron contados dos veces.

La cantidad correcta de trabajos que usan blanco y negro o formato panorámico es:

\[ 12+11-4=19 \]

Por lo tanto:

\[ P=\frac{19}{30} \]

Estrategia para resolver problemas de unión

Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
Determina qué significa \(A\cup B\) en el contexto.
Revisa si existen resultados que pertenecen a ambos eventos.
Si hay resultados comunes, réstalos una vez para evitar doble conteo.
Calcula la probabilidad dividiendo casos favorables por casos posibles.

Ejercicios

Ejercicio 1

En una revisión de prototipos se tiene el espacio muestral:

\[ S=\{P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12\} \]

Sea \(A=\{P2,P4,P7,P9,P12\}\) el evento “requiere ajuste de diseño” y \(B=\{P1,P4,P8,P9,P10\}\) el evento “requiere ajuste de material”.

Determina \(A\cup B\) y calcula \(P(A\cup B)\).

Ejercicio 2

En una encuesta a \(52\) estudiantes, \(21\) declararon participar en un club científico, \(18\) declararon participar en un taller artístico y \(7\) declararon participar en ambas actividades.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que participe en el club científico o en el taller artístico?

Ejercicio 3

En una colección de \(45\) afiches, \(16\) tienen ilustración digital, \(13\) tienen texto manuscrito y \(5\) tienen ambas características.

Una persona afirma que la probabilidad de elegir un afiche con ilustración digital o texto manuscrito es \(\frac{29}{45}\). ¿Es correcta la afirmación? Justifica.

Ejercicio 4

Una tienda virtual revisa \(80\) publicaciones. \(26\) tienen fotografías nuevas, \(31\) tienen descripción actualizada y \(12\) tienen ambas mejoras.

Calcula la probabilidad de seleccionar una publicación que tenga fotografías nuevas o descripción actualizada.

Ejercicio 5

En una selección de \(38\) plantas de invernadero, \(15\) presentan floración temprana, \(9\) presentan hojas variegadas y ninguna planta presenta ambas características.

¿Cuál es la probabilidad de elegir una planta con floración temprana o con hojas variegadas?

Ejercicio 6

En un registro de \(70\) postulaciones, \(28\) incluyen portafolio, \(34\) incluyen carta de recomendación y \(18\) no incluyen ninguno de esos dos documentos.

Calcula la probabilidad de seleccionar una postulación que incluya portafolio o carta de recomendación.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En un festival de cortometrajes se revisan \(64\) obras. \(22\) fueron grabadas en exteriores, \(19\) usan música original y \(8\) cumplen ambas condiciones. Si se elige una obra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido grabada en exteriores o use música original?

A) \(\frac{33}{64}\)

B) \(\frac{41}{64}\)

C) \(\frac{49}{64}\)

D) \(\frac{8}{64}\)

Problema 2

En una aplicación, \(120\) usuarios configuraron su perfil durante una semana. \(48\) activaron modo oscuro, \(57\) activaron recordatorios y \(23\) activaron ambas opciones. ¿Cuántos usuarios activaron modo oscuro o recordatorios?

A) \(82\)

B) \(105\)

C) \(128\)

D) \(23\)

Problema 3

En una encuesta a \(95\) visitantes de una exposición, \(37\) indicaron interés por escultura, \(29\) indicaron interés por fotografía y \(44\) no indicaron interés por ninguna de esas dos áreas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un visitante que haya indicado interés por escultura o fotografía?

A) \(\frac{44}{95}\)

B) \(\frac{51}{95}\)

C) \(\frac{66}{95}\)

D) \(\frac{73}{95}\)

Problema 4

En una colección de \(72\) infografías, \(25\) usan íconos, \(33\) usan mapas y \(11\) usan tanto íconos como mapas. Una estudiante calcula \(25+33=58\) y concluye que hay \(58\) infografías con íconos o mapas. ¿Cuál es el error?

A) Debió sumar también las \(11\) infografías que tienen ambas características.

B) Debió restar las \(11\) infografías que tienen ambas características.

C) Debió calcular \(72-25-33\).

D) No hay error; el cálculo es correcto.

Problema 5

En un catálogo de \(90\) productos, \(36\) tienen envío rápido, \(27\) tienen descuento activo y \(18\) tienen ambas características. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto elegido al azar tenga envío rápido o descuento activo?

A) \(\frac{45}{90}\)

B) \(\frac{54}{90}\)

C) \(\frac{63}{90}\)

D) \(\frac{81}{90}\)

6. Intersección de eventos: el “y”

Objetivo de aprendizaje

Comprender la intersección de eventos y calcular probabilidades asociadas a resultados que cumplen dos condiciones simultáneamente.

Intersección de eventos

La intersección de dos eventos \(A\) y \(B\) está formada por los resultados que pertenecen a \(A\) y también pertenecen a \(B\).

Se representa como:

\[ A\cap B \]

y se lee “\(A\) intersección \(B\)”.

Definición

Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:

\[ A\cap B=\{x\in S: x\in A \text{ y } x\in B\} \]

La palabra “y” indica que ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo.

Atención

No confundas unión con intersección.

La unión \(A\cup B\) contiene los resultados que cumplen al menos una de las condiciones. En cambio, la intersección \(A\cap B\) contiene solo los resultados que cumplen ambas condiciones simultáneamente.

Ejemplo 1: control de envases

En una revisión se selecciona al azar un envase del conjunto:

\[ S=\{E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,E8,E9,E10,E11,E12\} \]

Se definen los eventos:

\(A\): el envase tiene tapa dañada.
\(B\): el envase tiene etiqueta borrosa.

Los eventos son:

\[ A=\{E2,E4,E7,E10,E11\} \]

\[ B=\{E1,E4,E8,E10,E12\} \]

La intersección \(A\cap B\) contiene los envases que tienen tapa dañada y etiqueta borrosa:

\[ A\cap B=\{E4,E10\} \]

Como hay \(2\) casos favorables de un total de \(12\), entonces:

\[ P(A\cap B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \]

Probabilidad de una intersección

Cuando todos los resultados del espacio muestral son equiprobables:

\[ P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|S|} \]

Es decir, se cuentan los resultados que cumplen ambas condiciones y se divide por el total de resultados posibles.

Ejemplo 2: asistencia a dos instancias

En una capacitación participaron \(96\) personas. De ellas, \(41\) asistieron al módulo de comunicación, \(38\) asistieron al módulo de liderazgo y \(17\) asistieron a ambos módulos.

Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido al módulo de comunicación y al módulo de liderazgo?

Sea:

\(C\): asistir al módulo de comunicación.
\(L\): asistir al módulo de liderazgo.

La frase “comunicación y liderazgo” corresponde a la intersección \(C\cap L\).

Como \(17\) personas asistieron a ambos módulos:

\[ P(C\cap L)=\frac{17}{96} \]

Ejemplo 3: intersección vacía

En una exposición se elige al azar una obra. Las obras están clasificadas por técnica única: grabado, acuarela, óleo o collage.

Sea:

\(A\): la obra es acuarela.
\(B\): la obra es óleo.

Como cada obra tiene una sola técnica en esta clasificación, una obra no puede ser acuarela y óleo al mismo tiempo.

Por lo tanto:

\[ A\cap B=\varnothing \]

La intersección es vacía y su probabilidad es:

\[ P(A\cap B)=0 \]

Ejemplo 4: calcular la intersección desde la unión

En un proceso de postulación hay \(120\) formularios. \(54\) tienen certificado adjunto, \(49\) tienen carta de respaldo y \(78\) tienen certificado adjunto o carta de respaldo.

¿Cuántos formularios tienen ambos documentos?

Sea:

\(A\): tener certificado adjunto.
\(B\): tener carta de respaldo.

Usamos la relación:

\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]

Reemplazamos los datos:

\[ 78=54+49-|A\cap B| \]

\[ 78=103-|A\cap B| \]

\[ |A\cap B|=103-78=25 \]

Por lo tanto, \(25\) formularios tienen ambos documentos.

Estrategia para resolver problemas de intersección

Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
Traduce la palabra “y” como cumplimiento simultáneo de ambas condiciones.
Cuenta solo los resultados que pertenecen a ambos eventos.
Si se entrega la unión, usa la relación \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
Calcula la probabilidad dividiendo los casos de la intersección por el total de casos posibles.

Error común

Al calcular \(A\cap B\), no se deben sumar los elementos de \(A\) y de \(B\). Eso corresponde a una unión si se corrige el doble conteo.

Para la intersección, se cuentan solamente los resultados comunes a ambos eventos.

Ejercicios

Ejercicio 1

En una revisión de equipos se tiene:

\[ S=\{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8,Q9,Q10,Q11,Q12,Q13,Q14\} \]

Sea \(A=\{Q2,Q5,Q6,Q9,Q13\}\) el evento “requiere mantención” y \(B=\{Q1,Q5,Q7,Q9,Q10,Q13\}\) el evento “requiere calibración”.

Determina \(A\cap B\) y calcula \(P(A\cap B)\).

Ejercicio 2

En una competencia de debate participaron \(68\) estudiantes. \(26\) defendieron postura afirmativa, \(31\) usaron evidencia estadística y \(14\) defendieron postura afirmativa usando evidencia estadística.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya defendido postura afirmativa y usado evidencia estadística?

Ejercicio 3

La siguiente tabla muestra la clasificación de \(80\) solicitudes según si llegaron completas o incompletas y si fueron enviadas dentro o fuera de plazo.

	Dentro de plazo	Fuera de plazo	Total
Completas	34	11	45
Incompletas	18	17	35
Total	52	28	80

Si se selecciona una solicitud al azar, calcula la probabilidad de que esté completa y haya sido enviada dentro de plazo.

Ejercicio 4

En una colección de \(58\) piezas gráficas, \(22\) usan tipografía serif, \(27\) usan una paleta monocromática y \(13\) usan ambas características.

Una persona afirma que la probabilidad de escoger una pieza que use tipografía serif y paleta monocromática es \(\frac{22+27}{58}\). ¿Es correcta la afirmación? Justifica.

Ejercicio 5

En un registro de \(75\) becas, \(32\) postulantes cumplen el requisito académico, \(41\) cumplen el requisito socioeconómico y \(55\) cumplen al menos uno de esos dos requisitos.

¿Cuántos postulantes cumplen ambos requisitos? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un postulante que cumpla ambos requisitos?

Ejercicio 6

En una lista de \(64\) proyectos, \(29\) tienen presupuesto aprobado, \(24\) tienen equipo asignado y \(19\) no tienen presupuesto aprobado ni equipo asignado.

Calcula cuántos proyectos tienen presupuesto aprobado y equipo asignado.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una revisión de \(84\) informes, \(33\) incluyen gráficos, \(28\) incluyen conclusiones cuantitativas y \(15\) incluyen ambas características. Si se elige un informe al azar, ¿cuál es la probabilidad de que incluya gráficos y conclusiones cuantitativas?

A) \(\frac{15}{84}\)

B) \(\frac{46}{84}\)

C) \(\frac{61}{84}\)

D) \(\frac{33}{84}\)

Problema 2

Se elige al azar un producto del siguiente espacio muestral:

\[ S=\{(P,1),(P,2),(P,3),(Q,1),(Q,2),(Q,3),(R,1),(R,2),(R,3)\} \]

Sea \(A\) el evento “la letra es \(Q\)” y \(B\) el evento “el número es mayor que \(1\)”. ¿Cuál es \(A\cap B\)?

A) \(\{(Q,1),(Q,2),(Q,3)\}\)

B) \(\{(P,2),(P,3),(Q,2),(Q,3),(R,2),(R,3)\}\)

C) \(\{(Q,2),(Q,3)\}\)

D) \(\{(Q,1)\}\)

Problema 3

En una encuesta a \(110\) personas, \(46\) usan bicicleta al menos una vez por semana, \(39\) usan transporte público al menos una vez por semana y \(62\) usan bicicleta o transporte público al menos una vez por semana. ¿Cuántas personas usan ambos medios al menos una vez por semana?

A) \(15\)

B) \(23\)

C) \(31\)

D) \(85\)

Problema 4

En un registro de \(100\) cursos inscritos, \(44\) tienen cupos completos, \(36\) tienen lista de espera y \(57\) tienen cupos completos o lista de espera. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un curso que tenga cupos completos y lista de espera?

A) \(\frac{21}{100}\)

B) \(\frac{23}{100}\)

C) \(\frac{57}{100}\)

D) \(\frac{80}{100}\)

Problema 5

En una revisión de \(88\) carpetas, \(11\) tienen firma del apoderado y comprobante adjunto. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una carpeta que no tenga ambas condiciones simultáneamente?

A) \(\frac{11}{88}\)

B) \(\frac{22}{88}\)

C) \(\frac{77}{88}\)

D) \(\frac{88}{77}\)

7. Problemas de unión e intersección

Objetivo de aprendizaje

Resolver problemas de probabilidad que involucran unión e intersección de eventos, usando tablas, diagramas y relaciones entre cantidades.

Unión e intersección en problemas

En muchos problemas aparecen dos eventos relacionados. Para resolverlos correctamente, es necesario distinguir entre:

\(A\cup B\): ocurre \(A\), ocurre \(B\), o ocurren ambos.
\(A\cap B\): ocurren \(A\) y \(B\) simultáneamente.

La dificultad principal está en no contar dos veces los casos que pertenecen a ambos eventos.

Relaciones útiles

Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:

\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]

De esta relación también se obtiene:

\[ |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B| \]

Además:

\[ \text{solo }A=|A|-|A\cap B| \]

\[ \text{solo }B=|B|-|A\cap B| \]

\[ \text{ninguno}=|S|-|A\cup B| \]

Cómo interpretar frases frecuentes

Frase del problema	Interpretación
“\(A\) o \(B\)”	\(A\cup B\)
“\(A\) y \(B\)”	\(A\cap B\)
“Al menos uno de los dos”	\(A\cup B\)
“Ninguno de los dos”	\((A\cup B)^c\)
“Solo \(A\)”	\(A\setminus B\)
“Solo \(B\)”	\(B\setminus A\)

Ejemplo 1: organización en un diagrama

En una muestra de \(60\) estudiantes, \(28\) leen noticias científicas, \(24\) escuchan pódcast de divulgación y \(10\) hacen ambas actividades.

Si se elige un estudiante al azar, calculemos la probabilidad de que realice al menos una de esas dos actividades.

Sea:

\(A\): leer noticias científicas.
\(B\): escuchar pódcast de divulgación.

La intersección ya está dada:

\[ |A\cap B|=10 \]

Entonces:

\[ |A\cup B|=28+24-10=42 \]

Por lo tanto:

\[ P(A\cup B)=\frac{42}{60}=\frac{7}{10} \]

La probabilidad de que realice al menos una de las dos actividades es \(\frac{7}{10}\).

Ejemplo 2: encontrar la intersección desde la unión

En un centro cultural hay \(85\) inscripciones. \(37\) personas se inscribieron en cerámica, \(29\) en grabado y \(51\) en cerámica o grabado.

¿Cuántas personas se inscribieron en ambas actividades?

Sea:

\(C\): inscripción en cerámica.
\(G\): inscripción en grabado.

Se sabe que:

\[ |C|=37,\qquad |G|=29,\qquad |C\cup G|=51 \]

Usamos:

\[ |C\cap G|=|C|+|G|-|C\cup G| \]

\[ |C\cap G|=37+29-51=15 \]

Por lo tanto, \(15\) personas se inscribieron en ambas actividades.

Ejemplo 3: usar una tabla de doble entrada

La siguiente tabla clasifica \(100\) piezas arqueológicas según si fueron catalogadas digitalmente y si requieren restauración.

	Requiere restauración	No requiere restauración	Total
Catalogada digitalmente	18	42	60
No catalogada digitalmente	12	28	40
Total	30	70	100

Si se elige una pieza al azar, calculemos la probabilidad de que esté catalogada digitalmente o requiera restauración.

Sea:

\(A\): estar catalogada digitalmente.
\(B\): requerir restauración.

De la tabla:

\[ |A|=60,\qquad |B|=30,\qquad |A\cap B|=18 \]

Entonces:

\[ |A\cup B|=60+30-18=72 \]

Por lo tanto:

\[ P(A\cup B)=\frac{72}{100}=\frac{18}{25} \]

Ejemplo 4: “ninguno” como complemento de la unión

En una revisión de \(140\) archivos históricos, \(58\) tienen registro fotográfico, \(46\) tienen transcripción completa y \(22\) tienen ambos elementos.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un archivo que no tenga registro fotográfico ni transcripción completa?

Sea:

\(F\): tener registro fotográfico.
\(T\): tener transcripción completa.

Primero calculamos la unión:

\[ |F\cup T|=58+46-22=82 \]

Los archivos que no tienen ninguno de los dos elementos son:

\[ 140-82=58 \]

Por lo tanto:

\[ P((F\cup T)^c)=\frac{58}{140}=\frac{29}{70} \]

Error común

Cuando un problema pregunta por “ninguno de los dos”, no se calcula \(A\cap B\).

“Ninguno de los dos” significa estar fuera de \(A\cup B\), es decir, corresponde al complemento de la unión.

Ejercicios

Ejercicio 1

En una observación de \(75\) aves, \(32\) fueron vistas cerca del río, \(27\) fueron vistas en árboles altos y \(11\) fueron vistas en ambas zonas. Si se elige una observación al azar, calcula:

la cantidad de aves vistas cerca del río o en árboles altos;
la probabilidad de que haya sido vista cerca del río o en árboles altos;
la cantidad de aves que no fueron vistas en ninguna de esas dos zonas.

Ejercicio 2

En un registro de \(92\) recetas saludables, \(39\) incluyen legumbres, \(34\) incluyen frutos secos y \(57\) incluyen legumbres o frutos secos. ¿Cuántas recetas incluyen ambos ingredientes? ¿Cuál es la probabilidad de elegir una receta que incluya ambos?

Ejercicio 3

La siguiente tabla clasifica \(120\) envíos según si llegaron con seguimiento activo y si llegaron antes de la fecha estimada.

	Antes de la fecha estimada	No antes de la fecha estimada	Total
Con seguimiento activo	44	26	70
Sin seguimiento activo	18	32	50
Total	62	58	120

Si se selecciona un envío al azar, calcula la probabilidad de que tenga seguimiento activo o haya llegado antes de la fecha estimada.

Ejercicio 4

En una colección de \(110\) fotografías antiguas, \(47\) están restauradas, \(36\) están fechadas correctamente y \(15\) están restauradas y fechadas correctamente. Calcula:

la cantidad de fotografías que están restauradas o fechadas correctamente;
la cantidad de fotografías que solo están restauradas;
la cantidad de fotografías que solo están fechadas correctamente;
la probabilidad de elegir una fotografía que no cumpla ninguna de esas condiciones.

Ejercicio 5

En un banco de \(150\) preguntas, \(64\) requieren interpretar un gráfico, \(53\) requieren realizar un cálculo algebraico y \(41\) no requieren ninguna de esas dos habilidades. ¿Cuántas preguntas requieren ambas habilidades?

Ejercicio 6

En una muestra de \(96\) semillas, \(40\) germinaron antes de una semana, \(35\) alcanzaron más de \(12\) cm al finalizar el experimento y \(18\) cumplieron ambas condiciones.

Una persona afirma que \(40+35=75\) semillas germinaron antes de una semana o alcanzaron más de \(12\) cm. ¿Es correcta su afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una muestra de \(180\) viviendas, \(82\) tienen paneles solares, \(76\) tienen sistema de recolección de agua lluvia y \(48\) tienen ambos sistemas. Si se elige una vivienda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga paneles solares o sistema de recolección de agua lluvia?

A) \(\frac{110}{180}\)

B) \(\frac{158}{180}\)

C) \(\frac{206}{180}\)

D) \(\frac{48}{180}\)

Problema 2

En una muestra de \(135\) pacientes, \(58\) recibieron atención kinésica, \(49\) recibieron orientación nutricional y \(78\) recibieron al menos una de esas dos atenciones. ¿Cuántos pacientes recibieron ambas atenciones?

A) \(21\)

B) \(29\)

C) \(51\)

D) \(107\)

Problema 3

La siguiente tabla resume \(200\) postulaciones a un fondo de investigación.

	Con carta institucional	Sin carta institucional	Total
Con presupuesto detallado	74	36	110
Sin presupuesto detallado	28	62	90
Total	102	98	200

Si se elige una postulación al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga presupuesto detallado o carta institucional?

A) \(\frac{74}{200}\)

B) \(\frac{138}{200}\)

C) \(\frac{172}{200}\)

D) \(\frac{212}{200}\)

Problema 4

En un registro de \(240\) vehículos eléctricos, \(96\) tienen carga rápida, \(118\) tienen autonomía mayor a \(400\) km y \(72\) tienen ambas características. ¿Cuántos vehículos no tienen carga rápida ni autonomía mayor a \(400\) km?

A) \(26\)

B) \(72\)

C) \(98\)

D) \(194\)

Problema 5

En una muestra de \(160\) parcelas, \(67\) tienen riego tecnificado, \(54\) tienen sensores de humedad y \(18\) tienen ambas tecnologías. Si se selecciona una parcela al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga solo riego tecnificado?

A) \(\frac{18}{160}\)

B) \(\frac{49}{160}\)

C) \(\frac{67}{160}\)

D) \(\frac{103}{160}\)

8. Probabilidad condicional: cambio del universo de referencia

Objetivo de aprendizaje

Comprender la probabilidad condicional como un cambio del universo de referencia y calcularla usando tablas, conjuntos y datos contextualizados.

¿Qué significa condicionar?

En probabilidad, condicionar significa calcular una probabilidad sabiendo que cierta información ya ocurrió o ya se conoce.

Por ejemplo, no es lo mismo preguntar “¿cuál es la probabilidad de que una persona haya comprado catálogo?” que preguntar “¿cuál es la probabilidad de que una persona haya comprado catálogo, sabiendo que participó en una visita guiada?”.

En el segundo caso, el universo de referencia ya no es todo el grupo, sino solo quienes participaron en la visita guiada.

Probabilidad condicional

Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral y \(P(B)>0\), la probabilidad de que ocurra \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\) se escribe:

\[ P(A\mid B) \]

y se calcula como:

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Cuando se trabaja con cantidades de casos equiprobables:

\[ P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|} \]

Atención

En \(P(A\mid B)\), el evento que aparece después de la barra vertical, \(B\), es la condición. Por eso, el denominador corresponde a los casos de \(B\), no al total original.

La frase “sabiendo que ocurrió \(B\)” indica que el universo de referencia se reduce a \(B\).

Ejemplo 1: visita guiada en un museo

En un museo se registraron \(90\) visitantes según si participaron en visita guiada y si compraron catálogo.

	Compró catálogo	No compró catálogo	Total
Visita guiada	18	22	40
Visita libre	12	38	50
Total	30	60	90

Si se elige un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado catálogo, sabiendo que participó en visita guiada?

La condición es “participó en visita guiada”. Por lo tanto, el universo de referencia tiene \(40\) visitantes.

Dentro de esos \(40\), compraron catálogo \(18\).

Entonces:

\[ P(\text{compró catálogo}\mid \text{visita guiada})=\frac{18}{40}=\frac{9}{20} \]

Ejemplo 2: modalidad y horario de inscripción

En una inscripción a cursos breves se registró la modalidad y el horario elegido por \(64\) personas.

	Horario diurno	Horario vespertino	Total
Presencial	19	17	36
En línea	11	17	28
Total	30	34	64

Calculemos la probabilidad de que una persona haya elegido horario vespertino, sabiendo que eligió modalidad en línea.

La condición es “modalidad en línea”, por lo que el denominador es \(28\).

De esas \(28\) personas, \(17\) eligieron horario vespertino.

\[ P(\text{vespertino}\mid \text{en línea})=\frac{17}{28} \]

Ejemplo 3: usando eventos y conjuntos

En una revisión de \(18\) piezas de un taller, se definen los eventos:

\(A\): la pieza tiene recubrimiento especial.
\(B\): la pieza supera la prueba de flexibilidad.

Se sabe que:

\[ A=\{p_1,p_3,p_4,p_7,p_9,p_{12},p_{15},p_{18}\} \]

\[ B=\{p_2,p_3,p_7,p_{10},p_{12},p_{14},p_{18}\} \]

Calculemos \(P(B\mid A)\), es decir, la probabilidad de que la pieza supere la prueba de flexibilidad sabiendo que tiene recubrimiento especial.

Primero encontramos la intersección:

\[ A\cap B=\{p_3,p_7,p_{12},p_{18}\} \]

Como \(|A|=8\) y \(|A\cap B|=4\), entonces:

\[ P(B\mid A)=\frac{|A\cap B|}{|A|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]

Ejemplo 4: el orden de la condición importa

Una plataforma registró \(120\) recursos según su formato y si requieren subtítulos.

	Requiere subtítulos	No requiere subtítulos	Total
Video tutorial	36	24	60
Infografía	18	42	60
Total	54	66	120

Sea \(V\) el evento “ser video tutorial” y \(S\) el evento “requiere subtítulos”.

Calculemos primero \(P(V\mid S)\):

\[ P(V\mid S)=\frac{36}{54}=\frac{2}{3} \]

Ahora calculemos \(P(S\mid V)\):

\[ P(S\mid V)=\frac{36}{60}=\frac{3}{5} \]

Los resultados no son iguales, porque en cada caso cambia la condición y, por lo tanto, cambia el universo de referencia.

Estrategia para resolver probabilidades condicionales

Identifica qué evento está después de la barra vertical o después de la frase “sabiendo que”.
Usa ese evento como nuevo universo de referencia.
Cuenta cuántos casos dentro de ese universo cumplen la condición pedida.
Forma la fracción: \[ \frac{\text{casos que cumplen ambas condiciones}}{\text{casos que cumplen la condición dada}} \]
Simplifica si es posible e interpreta el resultado.

Error común

Un error frecuente es dividir por el total original del problema.

Si se pregunta \(P(A\mid B)\), el denominador debe ser \(|B|\), no \(|S|\). Solo se mira el grupo donde \(B\) ya ocurrió.

Ejercicios

Ejercicio 1

En un taller de robótica se clasificaron \(70\) piezas según si están programadas y si requieren sensor adicional.

	Programada	No programada	Total
Requiere sensor	24	16	40
No requiere sensor	18	12	30
Total	42	28	70

Si se selecciona una pieza al azar, calcula la probabilidad de que esté programada, sabiendo que requiere sensor adicional.

Ejercicio 2

Una plataforma de lectura registró \(96\) cuentas según el tipo de plan y si activaron lectura sin conexión.

	Activó lectura sin conexión	No la activó	Total
Plan mensual	22	34	56
Plan anual	28	12	40
Total	50	46	96

Calcula \(P(\text{activó lectura sin conexión}\mid \text{plan anual})\).

Ejercicio 3

En una muestra de \(84\) plantas nativas se registró si pertenecen a zona costera o interior y si florecieron durante el periodo observado.

	Floreció	No floreció	Total
Zona costera	30	18	48
Zona interior	21	15	36
Total	51	33	84

Calcula:

la probabilidad de que una planta haya florecido, sabiendo que pertenece a zona costera;
la probabilidad de que una planta pertenezca a zona costera, sabiendo que floreció.

Ejercicio 4

Se elige al azar una reserva de cancha. De \(112\) reservas, \(46\) fueron para fútbol, \(32\) fueron en horario nocturno y \(18\) fueron reservas de fútbol en horario nocturno.

Calcula la probabilidad de que una reserva sea de fútbol, sabiendo que fue en horario nocturno.

Ejercicio 5

En un conjunto de \(20\) rutas de senderismo, se definen los eventos:

\(A\): la ruta tiene mirador.
\(B\): la ruta tiene dificultad alta.

Se sabe que:

\[ A=\{r_2,r_4,r_5,r_8,r_{11},r_{14},r_{16},r_{19}\} \]

\[ B=\{r_1,r_4,r_8,r_{10},r_{11},r_{17},r_{19},r_{20}\} \]

Calcula \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\).

Ejercicio 6

Una estudiante afirma: “Si en un grupo de \(150\) personas, \(64\) hablan francés, \(58\) hablan alemán y \(22\) hablan ambos idiomas, entonces la probabilidad de que una persona hable francés sabiendo que habla alemán es \(\frac{22}{150}\)”.

¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En un seminario se registraron \(130\) asistentes según si asistieron en línea o presencialmente y si recibieron material digital.

	Recibió material digital	No recibió material digital	Total
Presencial	44	26	70
En línea	38	22	60
Total	82	48	130

Si se elige un asistente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido material digital, sabiendo que asistió en línea?

A) \(\frac{38}{130}\)

B) \(\frac{38}{60}\)

C) \(\frac{82}{130}\)

D) \(\frac{60}{130}\)

Problema 2

En \(180\) solicitudes de trámite, \(72\) usan firma electrónica, \(65\) tienen documento de respaldo y \(40\) usan firma electrónica y tienen documento de respaldo.

Si se sabe que una solicitud tiene documento de respaldo, ¿cuál es la probabilidad de que use firma electrónica?

A) \(\frac{40}{180}\)

B) \(\frac{72}{65}\)

C) \(\frac{40}{65}\)

D) \(\frac{112}{180}\)

Problema 3

Una editorial clasificó \(80\) revistas según si son científicas y si están escritas en inglés.

	En inglés	No en inglés	Total
Científica	21	14	35
No científica	9	36	45
Total	30	50	80

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la probabilidad de que una revista esté en inglés, sabiendo que es científica?

A) \(\frac{21}{80}\)

B) \(\frac{21}{35}\)

C) \(\frac{30}{80}\)

D) \(\frac{35}{80}\)

Problema 4

Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:

\[ P(A\cap B)=0{,}18 \]

\[ P(B)=0{,}45 \]

¿Cuál es el valor de \(P(A\mid B)\)?

A) \(0{,}27\)

B) \(0{,}40\)

C) \(0{,}63\)

D) \(2{,}50\)

Problema 5

En un registro de \(150\) instalaciones culturales, \(80\) tienen acceso universal, \(90\) abren los fines de semana y \(52\) tienen acceso universal y abren los fines de semana.

Si se sabe que una instalación abre los fines de semana, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga acceso universal?

A) \(\frac{38}{90}\)

B) \(\frac{52}{90}\)

C) \(\frac{70}{150}\)

D) \(\frac{98}{150}\)

9. Probabilidad condicional en problemas contextualizados

Objetivo de aprendizaje

Resolver problemas contextualizados de probabilidad condicional, identificando correctamente la condición, el nuevo universo de referencia y los casos favorables dentro de ese universo.

Recordatorio: cambiar el universo de referencia

Cuando se calcula una probabilidad condicional, no se trabaja con todo el espacio muestral original, sino con el grupo que cumple la condición dada.

Por ejemplo, si se pregunta “¿cuál es la probabilidad de que un pedido haya llegado atrasado, sabiendo que fue enviado por despacho express?”, entonces solo se consideran los pedidos enviados por despacho express.

Fórmula de probabilidad condicional

Si \(P(B)>0\), entonces:

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Si se trabaja con cantidades de casos:

\[ P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|} \]

El denominador corresponde siempre al evento que aparece después de la barra vertical.

Atención

No es lo mismo \(P(A\mid B)\) que \(P(B\mid A)\). En ambos casos aparece la misma intersección \(A\cap B\), pero cambia el denominador.

Por eso, antes de calcular, identifica cuidadosamente qué información se sabe de antemano.

Ejemplo 1: pedidos express y atraso

Una empresa registró \(150\) pedidos según el tipo de despacho y si llegaron dentro del plazo.

	Llegó dentro del plazo	Llegó atrasado	Total
Despacho express	48	12	60
Despacho estándar	63	27	90
Total	111	39	150

Calculemos la probabilidad de que un pedido haya llegado atrasado, sabiendo que fue enviado por despacho express.

La condición es “despacho express”, por lo que el universo de referencia tiene \(60\) pedidos.

Dentro de esos \(60\), llegaron atrasados \(12\).

\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express})=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]

La probabilidad es \(\frac{1}{5}\), equivalente a \(20\%\).

Ejemplo 2: comparar dos condicionales

Con la misma tabla anterior, comparemos:

\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express}) \]

y

\[ P(\text{express}\mid \text{atrasado}) \]

Ya calculamos:

\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express})=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]

Ahora la condición es “atrasado”. Hay \(39\) pedidos atrasados en total, y de ellos \(12\) fueron express.

\[ P(\text{express}\mid \text{atrasado})=\frac{12}{39}=\frac{4}{13} \]

Los resultados son distintos porque el universo de referencia cambia.

Ejemplo 3: calcular desde datos de unión e intersección

En una revisión de \(200\) bicicletas públicas, \(82\) tenían luces operativas, \(74\) tenían frenos ajustados y \(51\) tenían ambas condiciones.

Si se sabe que una bicicleta tiene frenos ajustados, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga luces operativas?

Sea:

\(L\): tener luces operativas.
\(F\): tener frenos ajustados.

Se pide:

\[ P(L\mid F) \]

La condición es \(F\), por lo tanto el denominador es \(|F|=74\).

La intersección es \(|L\cap F|=51\).

\[ P(L\mid F)=\frac{51}{74} \]

La probabilidad de que tenga luces operativas, sabiendo que tiene frenos ajustados, es \(\frac{51}{74}\).

Ejemplo 4: probabilidad condicional con porcentajes

En una comunidad de usuarios de una aplicación, el \(40\%\) usa autenticación de dos pasos. Además, el \(28\%\) usa autenticación de dos pasos y también tiene activadas las notificaciones de seguridad.

Si se sabe que un usuario usa autenticación de dos pasos, ¿cuál es la probabilidad de que tenga activadas las notificaciones de seguridad?

Sea:

\(A\): usar autenticación de dos pasos.
\(N\): tener activadas las notificaciones de seguridad.

Se pide \(P(N\mid A)\).

Usamos:

\[ P(N\mid A)=\frac{P(N\cap A)}{P(A)} \]

Reemplazamos:

\[ P(N\mid A)=\frac{0{,}28}{0{,}40}=0{,}70 \]

La probabilidad es \(0{,}70\), es decir, \(70\%\).

Ejemplo 5: extracción sin reposición

Una caja contiene \(5\) piezas rojas y \(4\) piezas negras. Se extraen dos piezas sin reposición.

Si se sabe que la primera pieza extraída fue roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea roja?

Al inicio hay \(5\) piezas rojas y \(4\) negras, es decir, \(9\) piezas en total.

Pero ya se sabe que la primera fue roja. Entonces, para la segunda extracción quedan:

\(4\) piezas rojas;
\(4\) piezas negras;
\(8\) piezas en total.

Por lo tanto:

\[ P(\text{segunda roja}\mid \text{primera roja})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]

Estrategia para problemas contextualizados

Subraya la frase “sabiendo que”, “dado que” o “si se sabe que”.
Identifica el evento que queda como condición.
Usa ese evento como denominador.
Cuenta, dentro de ese grupo, cuántos casos cumplen lo pedido.
Escribe la fracción y simplifica si corresponde.

Error común

En problemas con tablas, no siempre se divide por el total general. Si la pregunta dice “sabiendo que pertenece a cierto grupo”, el denominador debe ser el total de ese grupo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una cafetería registró \(180\) ventas según el tipo de bebida y si se pidió con endulzante.

	Con endulzante	Sin endulzante	Total
Café	46	54	100
Té	32	48	80
Total	78	102	180

Si se elige una venta al azar, calcula la probabilidad de que haya sido café, sabiendo que fue una bebida con endulzante.

Ejercicio 2

En un registro de \(140\) bicicletas arrendadas, \(62\) fueron eléctricas, \(58\) se usaron por más de una hora y \(35\) fueron eléctricas y se usaron por más de una hora.

Calcula la probabilidad de que una bicicleta haya sido usada por más de una hora, sabiendo que era eléctrica.

Ejercicio 3

Una biblioteca móvil clasificó \(125\) préstamos según si fueron libros impresos o audiolibros, y según si fueron renovados.

	Renovado	No renovado	Total
Libro impreso	28	52	80
Audiolibro	21	24	45
Total	49	76	125

Calcula:

\(P(\text{renovado}\mid \text{audiolibro})\);
\(P(\text{audiolibro}\mid \text{renovado})\).

Ejercicio 4

En una fábrica de baldosas, el \(35\%\) de las piezas pasa por pulido adicional. Además, el \(21\%\) de todas las piezas pasa por pulido adicional y luego es etiquetada como premium.

Si se sabe que una pieza pasó por pulido adicional, ¿cuál es la probabilidad de que sea etiquetada como premium?

Ejercicio 5

Una caja contiene \(7\) tarjetas verdes y \(5\) tarjetas naranjas. Se extraen dos tarjetas sin reposición.

Calcula la probabilidad de que la segunda tarjeta sea naranja, sabiendo que la primera fue verde.

Ejercicio 6

Una persona afirma: “Si el \(24\%\) de los documentos son urgentes y el \(15\%\) son urgentes y confidenciales, entonces la probabilidad de que un documento sea confidencial sabiendo que es urgente es \(15\%\)”.

¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Problemas tipo PAES

Problema 1

Un centro deportivo registró \(210\) inscripciones según si correspondían a clases grupales o entrenamiento personalizado, y según si fueron pagadas en línea.

	Pago en línea	Pago presencial	Total
Clase grupal	72	48	120
Entrenamiento personalizado	63	27	90
Total	135	75	210

Si se sabe que una inscripción fue pagada en línea, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a entrenamiento personalizado?

A) \(\frac{63}{210}\)

B) \(\frac{63}{135}\)

C) \(\frac{90}{210}\)

D) \(\frac{135}{210}\)

Problema 2

En una colección de \(160\) mapas, \(68\) son topográficos, \(74\) están digitalizados y \(42\) son topográficos y están digitalizados. Si se elige un mapa digitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que sea topográfico?

A) \(\frac{42}{160}\)

B) \(\frac{42}{74}\)

C) \(\frac{68}{160}\)

D) \(\frac{68}{74}\)

Problema 3

En una muestra de productos agrícolas, el \(55\%\) cumple norma de empaque y el \(33\%\) cumple norma de empaque y además tiene certificación orgánica.

Si se sabe que un producto cumple norma de empaque, ¿cuál es la probabilidad de que tenga certificación orgánica?

A) \(0{,}22\)

B) \(0{,}33\)

C) \(0{,}60\)

D) \(0{,}88\)

Problema 4

En una urna hay \(9\) fichas azules y \(6\) fichas blancas. Se extraen dos fichas sin reposición. Si se sabe que la primera ficha extraída fue azul, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca?

A) \(\frac{6}{15}\)

B) \(\frac{6}{14}\)

C) \(\frac{9}{14}\)

D) \(\frac{5}{14}\)

Problema 5

Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que \(P(A\mid B)=\frac{5}{9}\) y \(P(B)=\frac{3}{10}\). ¿Cuál es \(P(A\cap B)\)?

A) \(\frac{1}{6}\)

B) \(\frac{5}{19}\)

C) \(\frac{8}{19}\)

D) \(\frac{5}{27}\)

10. Independencia de eventos

Objetivo de aprendizaje

Determinar si dos eventos son independientes, usando probabilidades condicionales, productos de probabilidades y tablas de datos, distinguiendo independencia de incompatibilidad.

¿Qué significa que dos eventos sean independientes?

Dos eventos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.

Es decir, si conocer que ocurrió \(B\) no cambia la probabilidad de \(A\), entonces \(A\) y \(B\) son independientes.

Definición mediante probabilidad condicional

Si \(P(B)>0\), los eventos \(A\) y \(B\) son independientes cuando:

\[ P(A\mid B)=P(A) \]

También, si \(P(A)>0\), puede verificarse con:

\[ P(B\mid A)=P(B) \]

Criterio del producto

Una forma muy usada para verificar independencia es:

\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]

Si esta igualdad se cumple, los eventos son independientes. Si no se cumple, no son independientes.

Independencia no es lo mismo que incompatibilidad

Dos eventos son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir:

\[ A\cap B=\varnothing \]

En cambio, dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro.

Si \(P(A)>0\) y \(P(B)>0\), dos eventos incompatibles no pueden ser independientes, porque \(P(A\cap B)=0\), pero \(P(A)\cdot P(B)>0\).

Ejemplo 1: eventos independientes en una tabla

Se revisaron \(120\) sensores según si tenían batería alta y si presentaban señal estable.

	Señal estable	Señal inestable	Total
Batería alta	30	18	48
Batería baja o media	45	27	72
Total	75	45	120

Sea:

\(A\): el sensor tiene batería alta.
\(B\): el sensor presenta señal estable.

Calculamos primero \(P(A)\):

\[ P(A)=\frac{48}{120}=\frac{2}{5} \]

Ahora calculamos \(P(A\mid B)\). Como la condición es \(B\), el denominador es \(75\):

\[ P(A\mid B)=\frac{30}{75}=\frac{2}{5} \]

Como:

\[ P(A\mid B)=P(A) \]

los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.

Ejemplo 2: eventos que no son independientes

Una plataforma revisó \(150\) recursos digitales según si estaban adaptados para celular y si tenían guía descargable.

Se sabe que:

\(60\) recursos estaban adaptados para celular;
\(75\) recursos tenían guía descargable;
\(38\) recursos estaban adaptados para celular y tenían guía descargable.

Sea:

\(A\): recurso adaptado para celular.
\(B\): recurso con guía descargable.

Calculamos:

\[ P(A)=\frac{60}{150}=\frac{2}{5} \]

y:

\[ P(A\mid B)=\frac{38}{75} \]

Como:

\[ \frac{38}{75}\neq \frac{2}{5} \]

los eventos no son independientes.

Ejemplo 3: usar el criterio del producto

Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:

\[ P(A)=0{,}35,\qquad P(B)=0{,}60,\qquad P(A\cap B)=0{,}21 \]

Verificamos si se cumple:

\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]

Calculamos:

\[ P(A)\cdot P(B)=0{,}35\cdot 0{,}60=0{,}21 \]

Como coincide con \(P(A\cap B)\), los eventos \(A\) y \(B\) son independientes.

Ejemplo 4: eventos incompatibles pero no independientes

En una biblioteca se elige al azar un recurso. Cada recurso está clasificado en una sola categoría: revista, libro, folleto o informe.

Sea:

\(A\): elegir una revista.
\(B\): elegir un libro.

Un mismo recurso no puede ser revista y libro al mismo tiempo. Entonces:

\[ A\cap B=\varnothing \]

Por lo tanto, \(A\) y \(B\) son incompatibles.

Pero si hay revistas y también hay libros en la biblioteca, entonces \(P(A)>0\) y \(P(B)>0\). En ese caso:

\[ P(A\cap B)=0 \]

mientras que:

\[ P(A)\cdot P(B)>0 \]

Como no se cumple el criterio del producto, los eventos no son independientes.

Estrategia para verificar independencia

Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
Calcula \(P(A)\), \(P(B)\) y \(P(A\cap B)\), o bien una probabilidad condicional.
Compara \(P(A\mid B)\) con \(P(A)\), o usa \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
Si la igualdad se cumple, los eventos son independientes.
Si la igualdad no se cumple, los eventos no son independientes.

Error común

Decir que dos eventos son independientes porque “son distintos” es incorrecto.

Dos eventos pueden ser distintos y aun así influirse probabilísticamente. La independencia se decide comparando probabilidades, no solo leyendo los nombres de los eventos.

Ejercicios

Ejercicio 1

Se revisaron \(180\) componentes acústicos según si pasaron una prueba de frecuencia y si tenían carcasa reforzada.

	Carcasa reforzada	Carcasa estándar	Total
Pasó prueba de frecuencia	30	42	72
No pasó prueba de frecuencia	45	63	108
Total	75	105	180

Determina si los eventos \(A\): “pasar la prueba de frecuencia” y \(B\): “tener carcasa reforzada” son independientes.

Ejercicio 2

Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que:

\[ P(A)=\frac{3}{8},\qquad P(B)=\frac{5}{12},\qquad P(A\cap B)=\frac{5}{32} \]

Determina si \(A\) y \(B\) son independientes.

Ejercicio 3

Se registraron \(100\) reservas de salas según si requerían proyector y si fueron solicitadas para la tarde.

	Horario tarde	Horario mañana	Total
Requiere proyector	30	15	45
No requiere proyector	20	35	55
Total	50	50	100

Determina si los eventos \(A\): “requiere proyector” y \(B\): “fue solicitada para la tarde” son independientes.

Ejercicio 4

En un conjunto de \(12\) rutas turísticas se definen los eventos:

\[ A=\{r_1,r_4,r_6,r_9\} \]

\[ B=\{r_2,r_3,r_7,r_{11}\} \]

Determina si \(A\) y \(B\) son incompatibles, independientes, ambas cosas o ninguna de las dos.

Ejercicio 5

En una revisión de \(240\) paquetes, \(90\) tienen etiqueta QR y \(128\) tienen embalaje reciclable. Si los eventos \(A\): “tener etiqueta QR” y \(B\): “tener embalaje reciclable” son independientes, calcula cuántos paquetes tienen ambas características.

Ejercicio 6

Un contenedor tiene \(4\) placas doradas y \(6\) placas plateadas. Se extraen dos placas.

Si la extracción es con reposición, determina si los eventos “la primera placa es dorada” y “la segunda placa es dorada” son independientes.
Si la extracción es sin reposición, determina si esos eventos son independientes.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una revisión de \(200\) dispositivos de medición, \(80\) tenían firmware actualizado, \(70\) tenían conexión satelital y \(28\) tenían ambas características.

Sea \(A\): “tener firmware actualizado” y \(B\): “tener conexión satelital”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) \(A\) y \(B\) son independientes.

B) \(A\) y \(B\) son incompatibles.

C) \(A\) y \(B\) no son independientes porque \(28\neq 80\).

D) \(A\) y \(B\) son independientes solo si \(80+70=200\).

Problema 2

Para dos eventos independientes \(A\) y \(B\), se sabe que:

\[ P(A)=0{,}55,\qquad P(B)=0{,}20 \]

¿Cuál es \(P(A\cap B)\)?

A) \(0{,}11\)

B) \(0{,}35\)

C) \(0{,}75\)

D) \(0{,}55\)

Problema 3

Dos eventos \(A\) y \(B\) son incompatibles. Además:

\[ P(A)=0{,}30,\qquad P(B)=0{,}40 \]

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) Son independientes porque no ocurren al mismo tiempo.

B) No son independientes, porque \(P(A\cap B)=0\) y \(P(A)\cdot P(B)=0{,}12\).

C) Son independientes porque \(P(A)+P(B)<1\).

D) No se puede decidir porque falta conocer el espacio muestral.

Problema 4

En un registro de \(150\) contratos, \(60\) fueron firmados digitalmente, \(90\) tuvieron revisión jurídica y \(45\) fueron firmados digitalmente y tuvieron revisión jurídica.

Sea \(A\): “contrato firmado digitalmente” y \(B\): “contrato con revisión jurídica”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones permite concluir correctamente si \(A\) y \(B\) son independientes?

A) Son independientes porque \(P(A\mid B)=\frac{45}{90}\) y \(P(A)=\frac{60}{150}\), y ambos valores son iguales.

B) No son independientes porque \(P(A\mid B)=\frac{45}{90}\) y \(P(A)=\frac{60}{150}\), y esos valores son distintos.

C) Son independientes porque \(45\) contratos cumplen ambas condiciones.

D) No son independientes porque \(60+90>150\).

Problema 5

En un registro de \(320\) invernaderos, \(128\) usan control automático de temperatura y \(200\) usan monitoreo remoto de humedad.

Si los eventos \(A\): “usar control automático de temperatura” y \(B\): “usar monitoreo remoto de humedad” son independientes, ¿cuántos invernaderos usan ambas tecnologías?

A) \(48\)

B) \(80\)

C) \(128\)

D) \(200\)

11. Tablas de contingencia: frecuencias conjuntas

Objetivo de aprendizaje

Leer e interpretar tablas de contingencia, identificando frecuencias conjuntas, totales por fila, totales por columna y total general.

¿Qué es una tabla de contingencia?

Una tabla de contingencia organiza datos considerando dos características al mismo tiempo.

Por ejemplo, una muestra puede clasificarse según su origen y también según si cumple o no cierta condición. Cada celda interior de la tabla representa una combinación de ambas características.

Frecuencia conjunta

Una frecuencia conjunta corresponde a la cantidad de casos que cumplen dos condiciones simultáneamente.

En una tabla, normalmente se encuentra en las celdas interiores.

Por ejemplo, si una celda indica \(18\), eso puede significar “\(18\) casos cumplen la condición de la fila y la condición de la columna”.

Totales marginales y total general

Los totales por fila indican cuántos casos pertenecen a cada categoría de la primera característica.
Los totales por columna indican cuántos casos pertenecen a cada categoría de la segunda característica.
El total general es la cantidad total de casos observados.

Atención

No confundas una frecuencia conjunta con un total marginal.

Si se pregunta por casos que cumplen dos condiciones a la vez, se debe mirar una celda interior. Si se pregunta por todos los casos de una categoría, se debe mirar un total de fila o columna.

Ejemplo 1: muestras de agua

La siguiente tabla clasifica \(120\) muestras de agua según su origen y si cumplen una norma de calidad.

Origen	Cumple norma	No cumple norma	Total
Río	38	17	55
Pozo	29	11	40
Estero	15	10	25
Total	82	38	120

La frecuencia conjunta “muestra de río y cumple norma” es \(38\), porque está en la fila “Río” y la columna “Cumple norma”.

El total de muestras que cumplen norma es \(82\), porque corresponde al total de esa columna.

El total de muestras de pozo es \(40\), porque corresponde al total de esa fila.

Ejemplo 2: leer una frecuencia conjunta

La siguiente tabla clasifica \(96\) piezas textiles según el tipo de fibra y si pasaron una prueba de resistencia.

Tipo de fibra	Pasó prueba	No pasó prueba	Total
Algodón	26	14	40
Lino	19	8	27
Lana	21	8	29
Total	66	30	96

Si se pregunta cuántas piezas eran de lino y pasaron la prueba, se busca la intersección entre la fila “Lino” y la columna “Pasó prueba”.

Por lo tanto, la frecuencia conjunta es:

\[ 19 \]

Esto significa que \(19\) piezas textiles eran de lino y pasaron la prueba.

Ejemplo 3: completar una tabla

La siguiente tabla clasifica \(84\) informes según si fueron revisados por pares y si contienen anexos.

	Con anexos	Sin anexos	Total
Revisado por pares	31	17	48
No revisado por pares	22	14	36
Total	53	31	84

Los totales se obtienen sumando filas o columnas.

Por ejemplo, el total de informes con anexos es:

\[ 31+22=53 \]

El total de informes revisados por pares es:

\[ 31+17=48 \]

El total general es:

\[ 48+36=84 \]

Ejemplo 4: calcular probabilidad desde una frecuencia conjunta

La tabla muestra \(150\) observaciones astronómicas según el tipo de objeto observado y si la noche fue despejada.

Objeto observado	Noche despejada	Noche parcialmente nublada	Total
Planeta	34	16	50
Estrella doble	28	22	50
Nebulosa	18	32	50
Total	80	70	150

Si se elige una observación al azar, la probabilidad de que corresponda a una nebulosa y a una noche despejada se obtiene usando la frecuencia conjunta \(18\).

Como el total general es \(150\), entonces:

\[ P(\text{nebulosa y noche despejada})=\frac{18}{150}=\frac{3}{25} \]

Estrategia para leer tablas de contingencia

Identifica qué representa cada fila.
Identifica qué representa cada columna.
Para una frecuencia conjunta, busca la celda donde se cruzan la fila y la columna pedidas.
Para un total por categoría, mira el total de la fila o de la columna.
Para una probabilidad conjunta, divide la frecuencia conjunta por el total general.

Error común

Si la pregunta dice “y”, normalmente se busca una frecuencia conjunta.

Por ejemplo, “reciclable y de vidrio” corresponde a una celda interior, no al total de reciclables ni al total de objetos de vidrio.

Ejercicios

Ejercicio 1

La siguiente tabla clasifica \(110\) envases según material y si son retornables.

Material	Retornable	No retornable	Total
Vidrio	24	16	40
Aluminio	18	22	40
Cartón	9	21	30
Total	51	59	110

Responde:

¿Cuántos envases son de aluminio y no retornables?
¿Cuántos envases son retornables?
¿Cuántos envases son de cartón?
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un envase de vidrio y retornable?

Ejercicio 2

La tabla clasifica \(135\) muestras de suelo según textura y presencia de humedad alta.

Textura	Humedad alta	Humedad normal	Total
Arenosa	15	30	45
Arcillosa	28	22	50
Limosa	16	24	40
Total	59	76	135

Identifica dos frecuencias conjuntas y dos totales marginales de la tabla.

Ejercicio 3

Completa mentalmente la tabla y responde las preguntas. Se clasificaron \(160\) libros según formato y disponibilidad.

Formato	Disponible	Prestado	Total
Tapa dura	34	26	60
Tapa blanda	41	29	70
Edición de bolsillo	18	12	30
Total			160

Calcula el total de libros disponibles, el total de libros prestados y la probabilidad de escoger un libro de tapa blanda y prestado.

Ejercicio 4

Una organización clasificó \(200\) donaciones según tipo y destino.

Tipo de donación	Destino urbano	Destino rural	Total
Alimentos	38	42	80
Útiles escolares	31	29	60
Ropa de abrigo	24	36	60
Total	93	107	200

Una persona afirma: “La cantidad de donaciones de ropa de abrigo con destino rural es \(107\), porque \(107\) aparece en la columna rural”. ¿Es correcta la afirmación? Justifica.

Ejercicio 5

La tabla clasifica \(180\) fotografías de archivo según época y estado de conservación.

Época	Buen estado	Estado regular	Deteriorada	Total
Antes de 1950	18	24	18	60
1950 a 1980	32	26	12	70
Después de 1980	28	16	6	50
Total	78	66	36	180

Calcula:

la cantidad de fotografías posteriores a 1980 y en buen estado;
la cantidad total de fotografías deterioradas;
la probabilidad de escoger una fotografía de 1950 a 1980 y en estado regular;
la probabilidad de escoger una fotografía deteriorada.

Ejercicio 6

En una feria tecnológica se clasificaron \(240\) prototipos según área y estado de evaluación.

Área	Aprobado	En revisión	Rechazado	Total
Salud	35	27	18	80
Energía	42	30	8	80
Educación	31	25	24	80
Total	108	82	50	240

Escribe una interpretación contextual para las frecuencias \(30\), \(50\) y \(80\).

Problemas tipo PAES

Problema 1

La tabla muestra \(300\) atenciones veterinarias según especie y tipo de consulta.

Especie	Control preventivo	Tratamiento	Urgencia	Total
Canino	58	42	20	120
Felino	47	39	14	100
Otra especie	31	28	21	80
Total	136	109	55	300

¿Cuál es la frecuencia conjunta de atenciones de felinos por tratamiento?

A) \(39\)

B) \(100\)

C) \(109\)

D) \(300\)

Problema 2

La siguiente tabla clasifica \(250\) piezas de cerámica según acabado y tamaño.

Acabado	Pequeña	Mediana	Grande	Total
Mate	32	41	27	100
Brillante	28	36	26	90
Texturizado	18	22	20	60
Total	78	99	73	250

Si se escoge una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acabado brillante y sea grande?

A) \(\frac{26}{250}\)

B) \(\frac{90}{250}\)

C) \(\frac{73}{250}\)

D) \(\frac{116}{250}\)

Problema 3

La tabla resume \(180\) solicitudes de permisos según canal de ingreso y estado.

Canal	Aprobada	Pendiente	Rechazada	Total
Presencial	29	21	10	60
Web	46	28	16	90
Correo	13	11	6	30
Total	88	60	32	180

¿Qué representa el número \(60\) ubicado en el total de la columna “Pendiente”?

A) Las solicitudes web pendientes.

B) Todas las solicitudes pendientes, sin importar el canal.

C) Todas las solicitudes presenciales.

D) Las solicitudes pendientes y rechazadas.

Problema 4

La tabla clasifica \(144\) instrumentos musicales según familia y condición.

Familia	Nuevo	Usado	En reparación	Total
Cuerda	24	18	6	48
Viento	20	22	6	48
Percusión	16	14	18	48
Total	60	54	30	144

¿Cuál de las siguientes interpretaciones es correcta?

A) Hay \(54\) instrumentos usados en total.

B) Hay \(54\) instrumentos de viento usados.

C) Hay \(30\) instrumentos de percusión en reparación.

D) Hay \(48\) instrumentos nuevos en total.

Problema 5

Una tabla de contingencia clasifica \(N\) casos según dos características. Se sabe que una frecuencia conjunta es \(36\) y que el total general es \(180\). ¿Cuál es la probabilidad asociada a esa frecuencia conjunta?

A) \(\frac{36}{180}\)

B) \(\frac{180}{36}\)

C) \(36+180\)

D) \(180-36\)

12. Tablas de contingencia: condicionales, marginales y conjuntas

Objetivo de aprendizaje

Calcular e interpretar probabilidades conjuntas, marginales y condicionales a partir de tablas de contingencia.

Tres lecturas de una misma tabla

Una tabla de contingencia permite estudiar dos características al mismo tiempo. A partir de ella se pueden obtener tres tipos de probabilidades:

Probabilidad conjunta: considera dos condiciones simultáneamente.
Probabilidad marginal: considera una sola característica, usando un total de fila o columna.
Probabilidad condicional: considera una característica sabiendo que otra ya ocurrió.

Tipos de probabilidad en una tabla

Tipo	Pregunta típica	Forma de cálculo
Conjunta	¿Cuál es la probabilidad de que ocurra \(A\) y \(B\)?	\(P(A\cap B)=\dfrac{\|A\cap B\|}{\|S\|}\)
Marginal	¿Cuál es la probabilidad de que ocurra \(A\)?	\(P(A)=\dfrac{\|A\|}{\|S\|}\)
Condicional	¿Cuál es la probabilidad de que ocurra \(A\), sabiendo que ocurrió \(B\)?	\(P(A\mid B)=\dfrac{\|A\cap B\|}{\|B\|}\)

Atención

El denominador cambia según el tipo de probabilidad.

En una probabilidad conjunta o marginal, normalmente se divide por el total general.
En una probabilidad condicional, se divide por el total del grupo condicionado.

Ejemplo 1: lectura conjunta, marginal y condicional

La siguiente tabla clasifica \(160\) parcelas experimentales según si usaron riego por goteo y si tuvieron producción alta.

	Producción alta	Producción no alta	Total
Con riego por goteo	54	26	80
Sin riego por goteo	32	48	80
Total	86	74	160

Probabilidad conjunta: que una parcela tenga riego por goteo y producción alta.

\[ P(\text{riego por goteo y producción alta})=\frac{54}{160}=\frac{27}{80} \]

Probabilidad marginal: que una parcela tenga producción alta.

\[ P(\text{producción alta})=\frac{86}{160}=\frac{43}{80} \]

Probabilidad condicional: que una parcela tenga producción alta, sabiendo que tuvo riego por goteo.

Ahora el universo de referencia son las \(80\) parcelas con riego por goteo:

\[ P(\text{producción alta}\mid \text{riego por goteo})=\frac{54}{80}=\frac{27}{40} \]

Ejemplo 2: distinguir el denominador correcto

La tabla muestra \(210\) muestras de alimentos según tipo de envase y si superaron una prueba de conservación.

Tipo de envase	Superó prueba	No superó prueba	Total
Vidrio sellado	58	22	80
Bolsa sellada	47	33	80
Envase compostable	29	21	50
Total	134	76	210

Calculemos la probabilidad de que una muestra haya superado la prueba, sabiendo que usó envase compostable.

La condición es “envase compostable”, por lo que se consideran solo \(50\) muestras.

De esas \(50\), \(29\) superaron la prueba.

\[ P(\text{superó prueba}\mid \text{envase compostable})=\frac{29}{50} \]

No se divide por \(210\), porque la pregunta es condicional.

Ejemplo 3: comparar condicionales

En una evaluación de \(120\) rutas de evacuación se registró si estaban señalizadas y si fueron completadas en menos de \(4\) minutos durante un simulacro.

	Menos de \(4\) minutos	\(4\) minutos o más	Total
Señalizada	45	15	60
No señalizada	24	36	60
Total	69	51	120

Calculemos dos probabilidades condicionales distintas.

Primero, la probabilidad de que una ruta haya sido completada en menos de \(4\) minutos, sabiendo que estaba señalizada:

\[ P(\text{menos de }4\text{ min}\mid \text{señalizada})=\frac{45}{60}=\frac{3}{4} \]

Ahora, la probabilidad de que una ruta estuviera señalizada, sabiendo que fue completada en menos de \(4\) minutos:

\[ P(\text{señalizada}\mid \text{menos de }4\text{ min})=\frac{45}{69}=\frac{15}{23} \]

Aunque ambas usan la misma celda \(45\), el denominador cambia porque la condición cambia.

Ejemplo 4: completar una tabla antes de calcular

Una organización registró \(180\) participantes según si asistieron a una inducción y si aprobaron una evaluación inicial.

	Aprobó evaluación	No aprobó evaluación	Total
Asistió a inducción	72	28	100
No asistió a inducción	36	44	80
Total	108	72	180

La probabilidad marginal de aprobar la evaluación es:

\[ P(\text{aprobó})=\frac{108}{180}=\frac{3}{5} \]

La probabilidad conjunta de asistir a inducción y aprobar es:

\[ P(\text{inducción y aprobó})=\frac{72}{180}=\frac{2}{5} \]

La probabilidad condicional de aprobar sabiendo que asistió a inducción es:

\[ P(\text{aprobó}\mid \text{inducción})=\frac{72}{100}=\frac{18}{25} \]

Estrategia de lectura

Lee la pregunta y decide si pide una probabilidad conjunta, marginal o condicional.
Si aparece “y”, busca una celda interior.
Si aparece solo una característica, busca un total de fila o columna.
Si aparece “sabiendo que”, identifica el grupo condicionado y úsalo como denominador.
Simplifica la fracción si corresponde.

Error común

Confundir una probabilidad conjunta con una condicional puede cambiar completamente el resultado.

Por ejemplo, \(\frac{54}{160}\) representa “riego por goteo y producción alta” respecto del total, mientras que \(\frac{54}{80}\) representa “producción alta sabiendo que hubo riego por goteo”.

Ejercicios

Ejercicio 1

La tabla clasifica \(180\) reactivos de laboratorio según si fueron almacenados en frío y si mantuvieron estabilidad química.

	Mantuvo estabilidad	No mantuvo estabilidad	Total
Almacenado en frío	68	22	90
No almacenado en frío	45	45	90
Total	113	67	180

Calcula:

la probabilidad conjunta de que un reactivo haya sido almacenado en frío y mantuviera estabilidad;
la probabilidad marginal de que un reactivo mantuviera estabilidad;
la probabilidad condicional de que mantuviera estabilidad, sabiendo que fue almacenado en frío.

Ejercicio 2

La siguiente tabla muestra \(150\) registros de asistencia a sesiones de orientación académica.

Nivel	Asistió a orientación	No asistió	Total
Primero medio	34	26	60
Segundo medio	28	22	50
Tercero medio	31	9	40
Total	93	57	150

Calcula la probabilidad de que un registro corresponda a tercero medio, sabiendo que asistió a orientación académica.

Ejercicio 3

Una base de \(240\) cursos en línea fue clasificada según duración y si entregan certificado.

Duración	Con certificado	Sin certificado	Total
Corta	44	36	80
Media	58	42	100
Larga	39	21	60
Total	141	99	240

Calcula:

\(P(\text{curso largo y con certificado})\);
\(P(\text{con certificado})\);
\(P(\text{curso largo}\mid \text{con certificado})\);
\(P(\text{con certificado}\mid \text{curso largo})\).

Ejercicio 4

Se clasificaron \(300\) viajes interurbanos según horario de salida y puntualidad.

Horario	Puntual	Con retraso	Total
Mañana	72	28	100
Tarde	65	35	100
Noche	48	52	100
Total	185	115	300

Una persona afirma que \(P(\text{mañana}\mid \text{puntual})=\frac{72}{100}\), porque hay \(100\) viajes de la mañana. ¿Es correcta su afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Ejercicio 5

La tabla muestra \(220\) solicitudes de soporte técnico según tipo de problema y si fueron resueltas en el primer contacto.

Tipo de problema	Resuelta en primer contacto	No resuelta en primer contacto	Total
Acceso	38	22	60
Configuración	52	28	80
Funcionamiento	41	39	80
Total	131	89	220

Determina cuál de las siguientes probabilidades es mayor:

\[ P(\text{resuelta en primer contacto}\mid \text{configuración}) \]

o

\[ P(\text{resuelta en primer contacto}\mid \text{funcionamiento}) \]

Ejercicio 6

La siguiente tabla está incompleta. Se clasificaron \(180\) participantes según si usaron guía de estudio y si aprobaron una prueba diagnóstica.

	Aprobó	No aprobó	Total
Usó guía	64	26	90
No usó guía	38	52	90
Total	102	78	180

Calcula la probabilidad de que una persona haya usado guía, sabiendo que aprobó la prueba diagnóstica. Luego calcula la probabilidad de que haya aprobado, sabiendo que usó guía.

Problemas tipo PAES

Problema 1

La tabla clasifica \(250\) análisis de aire según zona y nivel de material particulado.

Zona	Nivel alto	Nivel moderado	Nivel bajo	Total
Norte	28	32	20	80
Centro	45	39	16	100
Sur	21	27	22	70
Total	94	98	58	250

Si se sabe que un análisis corresponde a la zona centro, ¿cuál es la probabilidad de que tenga nivel alto?

A) \(\frac{45}{250}\)

B) \(\frac{45}{100}\)

C) \(\frac{94}{250}\)

D) \(\frac{100}{250}\)

Problema 2

En una tabla de contingencia con total general \(N=400\), una celda interior tiene valor \(72\). ¿Qué representa \(\frac{72}{400}\)?

A) Una probabilidad conjunta.

B) Una probabilidad condicional.

C) Una frecuencia marginal.

D) Un total por fila.

Problema 3

La tabla clasifica \(180\) proyectos según área y si fueron financiados.

Área	Financiado	No financiado	Total
Medio ambiente	36	24	60
Tecnología social	42	38	80
Patrimonio	18	22	40
Total	96	84	180

¿Cuál es la probabilidad marginal de que un proyecto haya sido financiado?

A) \(\frac{36}{180}\)

B) \(\frac{96}{180}\)

C) \(\frac{36}{60}\)

D) \(\frac{96}{60}\)

Problema 4

En una tabla de contingencia se estudian dos eventos \(A\) y \(B\). Se sabe que \(|A\cap B|=54\), \(|B|=90\) y \(|S|=240\). ¿Cuál expresión representa \(P(A\mid B)\)?

A) \(\frac{54}{240}\)

B) \(\frac{90}{240}\)

C) \(\frac{54}{90}\)

D) \(\frac{90}{54}\)

Problema 5

La tabla clasifica \(320\) observaciones de fauna según horario y tipo de registro.

Horario	Registro visual	Registro auditivo	Total
Amanecer	58	42	100
Tarde	64	56	120
Noche	36	64	100
Total	158	162	320

¿Cuál de las siguientes probabilidades es mayor?

A) \(P(\text{registro visual}\mid \text{amanecer})\)

B) \(P(\text{registro visual}\mid \text{tarde})\)

C) \(P(\text{registro visual}\mid \text{noche})\)

D) Las tres son iguales.

13. Árboles de probabilidad

Objetivo de aprendizaje

Representar experimentos de varias etapas mediante árboles de probabilidad, calculando probabilidades de caminos y eventos compuestos.

Experimentos por etapas

Un árbol de probabilidad permite organizar experimentos aleatorios que ocurren en etapas sucesivas.

Cada rama representa una posibilidad y cada camino completo representa un resultado compuesto.

Regla del producto en un camino

La probabilidad de un camino completo se obtiene multiplicando las probabilidades de sus ramas.

Si un camino pasa por \(A\) y luego por \(B\), entonces:

\[ P(A\text{ y }B)=P(A)\cdot P(B\mid A) \]

Regla de la suma entre caminos

Si un evento puede ocurrir por varios caminos distintos, se suman las probabilidades de esos caminos.

\[ P(E)=P(\text{camino 1})+P(\text{camino 2})+\cdots \]

Atención

Las probabilidades que salen de un mismo punto del árbol deben sumar \(1\).

Primero se multiplican las ramas de cada camino y luego, si corresponde, se suman caminos distintos.

Ejemplo 1: taller elegido y entrega de actividad

En una actividad escolar, una persona puede elegir taller de animación o taller de sonido.

La probabilidad de elegir animación es \(0{,}4\).
La probabilidad de elegir sonido es \(0{,}6\).
Si elige animación, la probabilidad de entregar la actividad es \(0{,}75\).
Si elige sonido, la probabilidad de entregar la actividad es \(0{,}5\).

La probabilidad de que la persona entregue la actividad se obtiene sumando los caminos que terminan en “Entrega”:

\[ P(\text{entrega})=0{,}4\cdot 0{,}75+0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}30+0{,}30=0{,}60 \]

Ejemplo 2: control de empaques

Una fábrica produce empaques en dos líneas. El \(55\%\) proviene de la línea \(L_1\) y el \(45\%\) de la línea \(L_2\).

En la línea \(L_1\), la probabilidad de que un empaque salga con sello correcto es \(0{,}92\). En la línea \(L_2\), esa probabilidad es \(0{,}88\).

La probabilidad de escoger un empaque con sello correcto es:

\[ 0{,}55\cdot 0{,}92+0{,}45\cdot 0{,}88=0{,}506+0{,}396=0{,}902 \]

Ejemplo 3: extracción sin reposición

Una caja contiene \(5\) tarjetas verdes y \(3\) tarjetas moradas. Se extraen dos tarjetas sin reposición.

La probabilidad de extraer dos tarjetas verdes es:

\[ P(\text{verde y verde})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14} \]

Ejemplo 4: evento que ocurre por dos caminos

Con la misma caja del ejemplo anterior, calculemos la probabilidad de extraer tarjetas de colores distintos.

Este evento puede ocurrir por dos caminos:

verde y luego morada;
morada y luego verde.

\[ P(\text{colores distintos})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7} \]

\[ P(\text{colores distintos})=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28} \]

Estrategia para resolver con árboles

Identifica las etapas del experimento.
Escribe las probabilidades de cada rama.
Verifica que las ramas que salen de un mismo punto sumen \(1\).
Multiplica las probabilidades a lo largo de cada camino.
Suma los caminos que cumplen el evento pedido.

Error común

En extracciones sin reposición, las probabilidades de la segunda etapa cambian según el resultado de la primera.

Ejercicios

Ejercicio 1

En una plataforma de cursos, el \(30\%\) de los usuarios se inscribe en un curso de diseño y el \(70\%\) en un curso de análisis de datos. En diseño, el \(80\%\) finaliza el curso; en análisis de datos, el \(65\%\) lo finaliza.

Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar finalice su curso.

Ejercicio 2

Una imprenta usa dos máquinas. La máquina \(A\) produce el \(40\%\) de las láminas y la máquina \(B\) produce el \(60\%\). La probabilidad de que una lámina salga sin manchas es \(0{,}96\) si viene de \(A\) y \(0{,}91\) si viene de \(B\).

Calcula la probabilidad de escoger una lámina sin manchas.

Ejercicio 3

Una bolsa contiene \(6\) fichas celestes y \(4\) fichas grises. Se extraen dos fichas sin reposición.

Calcula la probabilidad de que ambas fichas sean grises.

Ejercicio 4

Una experiencia de laboratorio se realiza en dos fases. En la primera fase, la probabilidad de que una muestra sea clasificada como estable es \(0{,}7\). Si es estable, la probabilidad de que apruebe la segunda fase es \(0{,}85\). Si no es estable, la probabilidad de que apruebe la segunda fase es \(0{,}30\).

Calcula la probabilidad de que una muestra apruebe la segunda fase.

Ejercicio 5

En una caja hay \(3\) credenciales doradas, \(5\) plateadas y \(4\) negras. Se extraen dos credenciales sin reposición.

Calcula la probabilidad de que la primera sea dorada y la segunda no sea dorada.

Ejercicio 6

Una persona calcula la probabilidad de obtener dos etiquetas azules en dos extracciones sin reposición desde una caja con \(7\) etiquetas azules y \(5\) etiquetas rojas así:

\[ \frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12} \]

¿Es correcto el cálculo? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Problemas tipo PAES

Problema 1

Una editorial distribuye libros en formato físico o digital. El \(45\%\) de los libros vendidos son físicos. De los físicos, el \(20\%\) corresponde a literatura científica. De los digitales, el \(30\%\) corresponde a literatura científica.

¿Cuál es la probabilidad de que un libro vendido sea de literatura científica?

A) \(0{,}235\)

B) \(0{,}255\)

C) \(0{,}275\)

D) \(0{,}500\)

Problema 2

Una caja contiene \(8\) tarjetas blancas y \(6\) tarjetas negras. Se extraen dos tarjetas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos tarjetas sean de colores distintos?

A) \(\frac{24}{91}\)

B) \(\frac{48}{91}\)

C) \(\frac{56}{91}\)

D) \(\frac{80}{91}\)

Problema 3

Una empresa de alimentos tiene dos plantas de producción. La planta \(A\) produce el \(35\%\) de los envases y la planta \(B\) produce el resto. En la planta \(A\), el \(4\%\) de los envases presenta error de rotulado. En la planta \(B\), el \(2\%\) presenta error de rotulado.

¿Cuál es la probabilidad de escoger un envase con error de rotulado?

A) \(0{,}014\)

B) \(0{,}027\)

C) \(0{,}040\)

D) \(0{,}060\)

Problema 4

En una encuesta, el \(60\%\) de las personas declara usar una aplicación de organización semanal. Entre quienes la usan, el \(75\%\) cumple sus metas de estudio. Entre quienes no la usan, el \(45\%\) cumple sus metas de estudio.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar cumpla sus metas de estudio?

A) \(0{,}45\)

B) \(0{,}60\)

C) \(0{,}63\)

D) \(0{,}75\)

Problema 5

Una bolsa contiene \(5\) fichas amarillas, \(4\) fichas verdes y \(3\) fichas azules. Se extraen dos fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea amarilla y la segunda sea azul?

A) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{12}\)

B) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{11}\)

C) \(\frac{5}{12}+\frac{3}{11}\)

D) \(\frac{8}{12}\cdot\frac{3}{11}\)

14. Evaluación y síntesis de probabilidad básica

Objetivo de aprendizaje

Integrar conceptos de probabilidad básica para resolver problemas que involucren espacio muestral, eventos, probabilidad clásica, complemento, unión e intersección.

Síntesis de ideas centrales

En probabilidad básica, el primer paso es reconocer el experimento aleatorio y el conjunto de resultados posibles. Luego se identifican los eventos y se calcula la probabilidad según la información disponible.

Cuando los resultados son equiprobables, se usa la regla de Laplace:

\[ P(A)=\frac{|A|}{|S|} \]

Relaciones importantes

Complemento: \[ P(A^c)=1-P(A) \]
Unión de eventos: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Intersección en casos equiprobables: \[ P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|S|} \]
Ninguno de dos eventos: \[ P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B) \]

Estrategia general de resolución

Identifica qué se está observando en el experimento.
Determina el espacio muestral o el total de casos posibles.
Traduce la frase del problema a un evento.
Distingue si se pide complemento, unión, intersección o una probabilidad directa.
Calcula los casos favorables y divide por los casos posibles.
Revisa si el resultado tiene sentido: toda probabilidad debe estar entre \(0\) y \(1\).

Errores frecuentes

Confundir “\(A\) o \(B\)” con “solo uno de los dos”.
Sumar \(|A|+|B|\) sin restar la intersección.
Calcular “ninguno” como si fuera una intersección.
Usar como denominador un total que no corresponde al experimento descrito.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una empresa de reciclaje clasifica \(90\) residuos según su material. Hay \(26\) de papel, \(18\) de vidrio, \(21\) de plástico, \(15\) de metal y \(10\) orgánicos. Se selecciona un residuo al azar.

Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo de vidrio.
Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo que no sea plástico.
Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo reciclable, considerando reciclables papel, vidrio, plástico y metal.

Ejercicio 2

Se elige al azar un número entero desde \(120\) hasta \(150\), incluyendo ambos extremos.

¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento?
Calcula la probabilidad de elegir un múltiplo de \(4\).
Calcula la probabilidad de elegir un número que termine en \(3\) o en \(8\).

Ejercicio 3

En un banco de \(140\) imágenes médicas, \(52\) tienen contraste aumentado, \(47\) fueron tomadas con alta resolución y \(19\) tienen ambas características.

Calcula la cantidad de imágenes que tienen contraste aumentado o alta resolución.
Calcula la probabilidad de seleccionar una imagen con contraste aumentado o alta resolución.
Calcula la cantidad de imágenes que no tienen ninguna de esas dos características.

Ejercicio 4

La siguiente tabla clasifica \(160\) piezas de madera según si fueron tratadas contra humedad y si presentaron deformación.

	Presentó deformación	No presentó deformación	Total
Tratada contra humedad	18	62	80
No tratada contra humedad	46	34	80
Total	64	96	160

Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza tratada contra humedad y que presentó deformación.
Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza que presentó deformación.
Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza que no presentó deformación.

Ejercicio 5

Una plataforma tiene \(72\) recursos digitales. \(29\) incluyen audio descriptivo, \(34\) incluyen subtítulos y \(16\) incluyen ambos recursos de accesibilidad.

¿Cuántos recursos incluyen solo audio descriptivo?
¿Cuántos recursos incluyen solo subtítulos?
¿Cuál es la probabilidad de elegir un recurso que incluya exactamente uno de esos dos recursos de accesibilidad?

Ejercicio 6

En una caja hay \(9\) placas transparentes, \(6\) placas opacas y \(5\) placas translúcidas. Se extrae una placa al azar.

Una persona afirma: “La probabilidad de extraer una placa que no sea transparente es \(\frac{9}{20}\), porque hay \(9\) placas transparentes de \(20\)”.

¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.

Problemas tipo PAES

Problema 1

En una muestra de \(250\) botellas, \(92\) son retornables, \(78\) son de vidrio y \(41\) son retornables y de vidrio. Si se elige una botella al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea retornable o de vidrio?

A) \(\frac{129}{250}\)

B) \(\frac{170}{250}\)

C) \(\frac{211}{250}\)

D) \(\frac{41}{250}\)

Problema 2

Se elige al azar un número entero desde \(300\) hasta \(340\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número no termine en \(0\)?

A) \(\frac{4}{41}\)

B) \(\frac{5}{41}\)

C) \(\frac{36}{41}\)

D) \(\frac{37}{41}\)

Problema 3

La tabla muestra \(180\) análisis de minerales según tipo y si contienen impurezas detectables.

Tipo de mineral	Con impurezas	Sin impurezas	Total
Cuarzo	28	42	70
Feldespato	36	24	60
Mica	18	32	50
Total	82	98	180

Si se elige un análisis al azar, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a feldespato y tenga impurezas?

A) \(\frac{36}{180}\)

B) \(\frac{60}{180}\)

C) \(\frac{82}{180}\)

D) \(\frac{36}{60}\)

Problema 4

En una revisión de \(120\) documentos, \(74\) tienen formato correcto. Si se selecciona un documento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga formato correcto?

A) \(\frac{46}{120}\)

B) \(\frac{74}{120}\)

C) \(\frac{120}{74}\)

D) \(\frac{120}{46}\)

Problema 5

En una colección de \(96\) modelos 3D, \(38\) tienen textura realista, \(44\) tienen animación básica y \(27\) no tienen ninguna de esas dos características. ¿Cuántos modelos tienen textura realista y animación básica?

A) \(13\)

B) \(17\)

C) \(55\)

D) \(69\)

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial
Libro:	Probabilidad básica

Imprimido por:	Invitado
Día:	lunes, 25 de mayo de 2026, 15:18

Probabilidad básica

Tabla de contenidos

1. Experimento aleatorio y espacio muestral

Experimento aleatorio y espacio muestral

Objetivo de aprendizaje

Experimento aleatorio

Espacio muestral

Atención

Ejemplo 1: un mismo experimento, distintos espacios muestrales

Ejemplo 2: lanzar dos monedas

Ejemplo 3: formar un código

Ejemplo 4: cuando el orden cambia el resultado

Estrategia para determinar el espacio muestral

Error común

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Problemas tipo PAES

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

2. Eventos y tipos de eventos

Eventos y tipos de eventos

Objetivo de aprendizaje

Evento

Tipos de eventos

Atención

Ejemplo 1: elegir una ficha numerada

Ejemplo 2: una ruleta de colores

Ejemplo 3: elegir una colación

Ejemplo 4: evento definido en un espacio muestral de pares

Estrategia para clasificar eventos

Error común

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Problemas tipo PAES

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

3. Probabilidad clásica: regla de Laplace

Objetivo de aprendizaje

Probabilidad clásica

Regla de Laplace

Atención

Ejemplo 1: credenciales numeradas

Ejemplo 2: selección de una entrada

Ejemplo 3: elegir una persona de un grupo

Ejemplo 4: combinaciones equiprobables

Estrategia para aplicar la regla de Laplace

Error común

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Problemas tipo PAES

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

4. Complemento de un evento

Objetivo de aprendizaje

¿Qué es el complemento de un evento?

Definición