combinatoria y probabilidades

1. Combinatoria: ¿por qué necesitamos contar?

Objetivo de aprendizaje

Comprender la necesidad de usar técnicas de conteo para resolver problemas donde listar todos los casos sería poco práctico.
Reconocer que una situación de conteo puede depender del orden, la repetición y la cantidad de elementos utilizados.

Idea inicial

La combinatoria estudia formas de contar posibilidades sin tener que escribirlas una por una.

En algunos problemas simples podemos hacer una lista completa de casos. Sin embargo, cuando la cantidad de posibilidades aumenta, necesitamos procedimientos más eficientes.

Ejemplo 1: contar haciendo una lista

Una persona tiene 2 poleras: una roja \(R\) y una azul \(A\). También tiene 2 pantalones: uno negro \(N\) y uno gris \(G\).

Las combinaciones posibles son:

\(RN\): polera roja y pantalón negro.
\(RG\): polera roja y pantalón gris.
\(AN\): polera azul y pantalón negro.
\(AG\): polera azul y pantalón gris.

En total hay:

\[ 4 \]

formas distintas de vestirse.

Observación

En el ejemplo anterior fue posible escribir todas las opciones porque eran pocas. Pero si hubiera muchas poleras, muchos pantalones y varios pares de zapatos, la lista crecería rápidamente.

Ejemplo 2: cuando listar ya no conviene

Una persona tiene 5 poleras, 4 pantalones y 3 pares de zapatos. Quiere elegir una polera, un pantalón y un par de zapatos.

Si intentáramos listar todas las opciones, la lista sería extensa. En cambio, podemos razonar por etapas:

Para elegir la polera hay \(5\) opciones.
Por cada polera, hay \(4\) opciones de pantalón.
Por cada combinación anterior, hay \(3\) opciones de zapatos.

Entonces, la cantidad total de formas de vestirse es:

\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]

Por lo tanto, hay \(60\) formas distintas de vestirse.

Preguntas clave de la combinatoria

Antes de aplicar una técnica de conteo, conviene hacerse tres preguntas:

¿Importa el orden?
¿Se pueden repetir elementos?
¿Se usan todos los elementos o solo algunos?

Ejemplo 3: el orden puede cambiar el resultado

Supongamos que Ana, Bruno y Camila participan en una competencia y se deben asignar primer, segundo y tercer lugar.

Una posibilidad es:

\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]

Otra posibilidad es:

\[ \text{Bruno},\ \text{Ana},\ \text{Camila} \]

Aunque aparecen las mismas tres personas, el resultado es distinto porque el orden representa lugares diferentes.

En este caso, el orden sí importa.

Ejemplo 4: el orden puede no importar

Ahora supongamos que se debe elegir un grupo de 3 estudiantes para representar al curso, sin cargos ni puestos distintos.

Elegir a:

\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]

es lo mismo que elegir a:

\[ \text{Camila},\ \text{Ana},\ \text{Bruno} \]

El grupo es el mismo, aunque se escriba en otro orden.

En este caso, el orden no importa.

Error común

Un error frecuente es usar la misma forma de contar en todos los problemas. No basta con mirar los números del enunciado: primero hay que interpretar la situación.

No es lo mismo formar una clave, ordenar personas en una fila o elegir un comité.

Ejercicio 1

Una cafetería ofrece 3 tipos de pan y 2 tipos de agregado. ¿Cuántos sándwiches distintos se pueden formar eligiendo un tipo de pan y un tipo de agregado?

Ejercicio 2

Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 5 estudiantes. ¿Importa el orden o no importa? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 3

Se quiere elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8 para participar en una actividad. No hay cargos ni funciones distintas. ¿Importa el orden? Justifica.

Ejercicio 4

Una clave de 3 caracteres se forma usando las letras \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). Se permite repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Para continuar

En la próxima página se estudiará el principio multiplicativo, que permite contar posibilidades cuando una elección se realiza en varias etapas.

2. Principio multiplicativo

Objetivo de aprendizaje

Aplicar el principio multiplicativo para contar posibilidades en situaciones que se desarrollan por etapas.
Representar conteos mediante tablas, diagramas simples y productos de cantidades.
Distinguir cuándo corresponde multiplicar opciones y cuándo solo se están listando casos.

Idea central

El principio multiplicativo se usa cuando una elección se realiza en varias etapas y cada etapa tiene cierta cantidad de opciones.

Si una primera etapa se puede hacer de \(a\) formas y, por cada una de ellas, una segunda etapa se puede hacer de \(b\) formas, entonces el proceso completo se puede hacer de:

\[ a\cdot b \]

formas distintas.

Principio multiplicativo

Si un proceso tiene varias etapas independientes en el sentido de conteo, entonces se multiplican las cantidades de opciones de cada etapa.

Para tres etapas:

\[ \text{Total de casos}=a\cdot b\cdot c \]

Para \(k\) etapas:

\[ \text{Total de casos}=n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots n_k \]

Ejemplo 1: menú de colación

Una persona debe elegir una colación formada por:

1 bebestible entre 3 opciones.
1 sándwich entre 4 opciones.

La elección se realiza en dos etapas:

Etapa	Cantidad de opciones
Elegir bebestible	\(3\)
Elegir sándwich	\(4\)

Entonces, la cantidad total de colaciones posibles es:

\[ 3\cdot 4=12 \]

Se pueden formar \(12\) colaciones distintas.

Ejemplo 2: tabla de posibilidades

Supongamos que hay 2 poleras, roja \(R\) y azul \(A\), y 3 pantalones, negro \(N\), gris \(G\) y café \(C\).

Las combinaciones posibles se pueden organizar en una tabla:

	\(N\)	\(G\)	\(C\)
\(R\)	\(RN\)	\(RG\)	\(RC\)
\(A\)	\(AN\)	\(AG\)	\(AC\)

Hay \(2\) opciones de polera y \(3\) opciones de pantalón. Por el principio multiplicativo:

\[ 2\cdot 3=6 \]

La tabla confirma que existen \(6\) formas distintas de vestirse.

Cómo reconocerlo

Una pista importante es que el problema puede separarse en etapas consecutivas.

Por ejemplo:

elegir primero una polera y luego un pantalón;
elegir primero una letra y luego un número;
elegir primero una entrada, luego un plato de fondo y finalmente un postre.

Ejemplo 3: clave con letras y números

Una clave se forma con una letra seguida de un número. La letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\), y el número puede ser \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) o \(5\).

La clave tiene dos etapas:

Elegir la letra: \(4\) opciones.
Elegir el número: \(5\) opciones.

Por lo tanto:

\[ 4\cdot 5=20 \]

Se pueden formar \(20\) claves distintas.

Algunos ejemplos son \(A1\), \(A2\), \(B5\), \(D3\).

Ejemplo 4: más de dos etapas

Una persona debe elegir un almuerzo formado por:

1 entrada entre 2 opciones.
1 plato de fondo entre 5 opciones.
1 postre entre 3 opciones.

Como cada almuerzo se forma tomando una opción de cada etapa, se multiplican las cantidades:

\[ 2\cdot 5\cdot 3=30 \]

Se pueden formar \(30\) almuerzos distintos.

Error común

No siempre se debe multiplicar. Se multiplica cuando se deben realizar todas las etapas.

Por ejemplo, si una persona elige una polera y un pantalón, debe hacer ambas elecciones, por eso se multiplican las opciones.

En cambio, si una persona elige una bebida o un jugo, no está eligiendo ambos a la vez. Ese caso se estudiará con el principio aditivo.

Ejemplo 5: decidir si corresponde multiplicar

Un colegio entrega una credencial formada por:

una letra entre \(A\), \(B\) o \(C\);
un número entre \(1\), \(2\), \(3\) o \(4\);
un color entre rojo o azul.

Para construir una credencial se debe elegir una opción de cada grupo.

Entonces:

\[ 3\cdot 4\cdot 2=24 \]

Se pueden formar \(24\) credenciales distintas.

Relación con las próximas páginas

El principio multiplicativo será la base para estudiar variaciones, permutaciones y combinaciones.

Antes de usar fórmulas, siempre conviene reconocer las etapas del conteo.

Ejercicio 1

Una heladería ofrece 4 sabores de helado y 3 tipos de salsa. Si una persona elige un sabor y una salsa, ¿cuántas combinaciones distintas puede formar?

Ejercicio 2

Una clave se forma con una vocal seguida de un dígito. Las vocales disponibles son \(A\), \(E\), \(I\), \(O\), \(U\), y los dígitos disponibles son \(0,1,2,\ldots,9\). ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Ejercicio 3

Un uniforme deportivo se arma eligiendo una camiseta, un short y un par de calcetas. Hay 6 camisetas, 4 shorts y 3 pares de calcetas disponibles. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden formar?

Ejercicio 4

Una prueba tiene 5 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuántas formas distintas se puede responder la prueba completa?

Ejercicio 5

Un código tiene 3 caracteres. El primero debe ser una letra entre \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\). El segundo debe ser un número del \(1\) al \(6\). El tercero debe ser una letra entre \(X\), \(Y\) o \(Z\). ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

Ejercicio 6

Una persona debe elegir una actividad para el sábado y una actividad para el domingo. Para el sábado tiene 4 opciones y para el domingo tiene 5 opciones. ¿Cuántos planes de fin de semana distintos puede formar?

Ejercicio 7

Un estudiante debe responder 4 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 5 alternativas. Si responde todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas puede marcar sus respuestas?

Ejercicio 8

Decide si corresponde aplicar el principio multiplicativo en la siguiente situación. Justifica tu respuesta.

Una persona elige una entrada entre 3 opciones, un plato de fondo entre 4 opciones y un postre entre 2 opciones.

Para continuar

En la próxima página se estudiará el principio aditivo, que se usa cuando se cuentan alternativas separadas, es decir, cuando ocurre un caso u otro.

3. Principio aditivo

Objetivo de aprendizaje

Aplicar el principio aditivo para contar posibilidades cuando una situación se divide en casos separados.
Distinguir entre situaciones donde corresponde sumar y situaciones donde corresponde multiplicar.
Resolver problemas de conteo combinando, cuando sea necesario, el principio aditivo y el principio multiplicativo.

Idea central

El principio aditivo se usa cuando una elección puede hacerse de una forma o de otra, pero no de ambas al mismo tiempo.

Si una situación tiene \(a\) posibilidades en un primer caso y \(b\) posibilidades en un segundo caso, y esos casos no se repiten entre sí, entonces el total de posibilidades es:

\[ a+b \]

Principio aditivo

Si un proceso puede ocurrir mediante casos separados y no superpuestos, entonces se suman las cantidades de posibilidades de cada caso.

Para dos casos:

\[ \text{Total de casos}=a+b \]

Para varios casos:

\[ \text{Total de casos}=n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k \]

Ejemplo 1: elegir una actividad

Un estudiante puede elegir una actividad deportiva o una actividad artística.

Actividades deportivas disponibles: \(5\).
Actividades artísticas disponibles: \(3\).

Como el estudiante elegirá una actividad de un tipo o del otro, se suman las opciones:

\[ 5+3=8 \]

El estudiante tiene \(8\) actividades posibles para elegir.

Ejemplo 2: elegir un libro

En una biblioteca hay:

7 novelas disponibles.
4 libros de poesía disponibles.
6 libros de historia disponibles.

Si una persona quiere llevar solo un libro, puede elegir una novela, un libro de poesía o un libro de historia.

Como se trata de alternativas separadas, se aplica el principio aditivo:

\[ 7+4+6=17 \]

La persona tiene \(17\) formas distintas de elegir un libro.

Cómo reconocerlo

El principio aditivo aparece cuando el enunciado presenta alternativas separadas.

Palabras como “o”, “entre estos casos” o “puede ser de este tipo o de este otro” suelen indicar que hay que sumar.

Ejemplo 3: sumar casos separados

Una persona quiere comprar una entrada para un espectáculo. Puede elegir entre:

4 funciones en la mañana.
6 funciones en la tarde.
3 funciones en la noche.

Como comprará una entrada para una sola función, los casos son separados:

\[ 4+6+3=13 \]

Puede elegir entre \(13\) funciones distintas.

Error común

No se debe multiplicar cuando se elige una opción entre varios grupos separados.

Por ejemplo, si una persona elige un jugo o una bebida, no corresponde multiplicar, porque no está eligiendo ambos productos al mismo tiempo.

Ejemplo 4: distinguir suma y multiplicación

Compara las siguientes situaciones:

Situación	Operación	Justificación
Elegir una bebida entre 4 opciones y un sándwich entre 5 opciones.	\(4\cdot 5=20\)	Se elige una bebida y un sándwich.
Elegir una bebida entre 4 opciones o un jugo entre 5 opciones.	\(4+5=9\)	Se elige una alternativa u otra.

Cuando se realizan etapas juntas, se multiplica. Cuando se elige entre casos separados, se suma.

Combinación de principios

En algunos problemas se deben separar casos y, dentro de cada caso, aplicar el principio multiplicativo.

Primero se cuenta cada caso por separado. Luego se suman los resultados.

Ejemplo 5: sumar después de multiplicar

Un colegio ofrece talleres en dos horarios:

En la mañana hay 3 talleres, y cada uno puede tomarse con 2 profesores distintos.
En la tarde hay 4 talleres, y cada uno puede tomarse con 3 profesores distintos.

Contamos por casos.

Caso 1: mañana

\[ 3\cdot 2=6 \]

Caso 2: tarde

\[ 4\cdot 3=12 \]

Como el estudiante elige un taller en la mañana o en la tarde, se suman ambos casos:

\[ 6+12=18 \]

Hay \(18\) formas distintas de elegir un taller.

Casos que se repiten

El principio aditivo directo funciona cuando los casos no se repiten entre sí.

Si un mismo elemento aparece en dos grupos, al sumar se contaría dos veces. En ese caso se debe ajustar el conteo.

Ejemplo 6: cuidado con contar dos veces

En un curso, 12 estudiantes practican fútbol y 9 practican básquetbol. De ellos, 4 practican ambos deportes.

Si queremos contar cuántos estudiantes practican fútbol o básquetbol, no basta con sumar \(12+9\), porque los 4 estudiantes que practican ambos deportes quedarían contados dos veces.

Entonces:

\[ 12+9-4=17 \]

Hay \(17\) estudiantes que practican fútbol o básquetbol.

Ejercicio 1

Una persona puede elegir una película de acción entre 6 opciones o una comedia entre 5 opciones. Si verá solo una película, ¿cuántas opciones tiene?

Ejercicio 2

Una tienda vende 8 modelos de mochilas escolares, 5 modelos de mochilas deportivas y 4 modelos de mochilas de viaje. Si una persona comprará una sola mochila, ¿cuántos modelos puede elegir?

Ejercicio 3

Un estudiante puede inscribirse en un taller de música entre 4 opciones o en un taller de deporte entre 7 opciones. Si solo puede tomar un taller, ¿cuántas opciones tiene?

Ejercicio 4

Decide si corresponde sumar o multiplicar. Luego resuelve.

Una persona debe elegir una entrada entre 3 opciones y un plato de fondo entre 6 opciones.

Ejercicio 5

Decide si corresponde sumar o multiplicar. Luego resuelve.

Una persona puede elegir una bebida entre 4 opciones o un jugo natural entre 6 opciones. Solo elegirá un producto.

Ejercicio 6

Un colegio organiza actividades en dos bloques:

En el bloque A hay 5 actividades, cada una con 2 horarios disponibles.
En el bloque B hay 3 actividades, cada una con 4 horarios disponibles.

Si un estudiante elegirá una actividad de un solo bloque, ¿cuántas opciones tiene considerando actividad y horario?

Ejercicio 7

En una feria hay 9 puestos de comida salada y 6 puestos de comida dulce. Si una persona comprará en un solo puesto, ¿cuántas opciones tiene?

Ejercicio 8

En un curso, 15 estudiantes participan en el taller de teatro y 12 participan en el taller de debate. Si 5 estudiantes participan en ambos talleres, ¿cuántos estudiantes participan en teatro o debate?

Para continuar

En la próxima página se estudiará el factorial, una herramienta que permite contar productos consecutivos como \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\).

4. Factorial

Objetivo de aprendizaje

Comprender el factorial como un producto de números naturales consecutivos decrecientes.
Calcular factoriales simples y expresiones con factoriales.
Usar el factorial para preparar el estudio de variaciones, permutaciones y combinaciones.

Idea central

En combinatoria aparecen con frecuencia productos como:

\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]

Para escribir este tipo de producto de manera abreviada, se usa el símbolo factorial.

Definición de factorial

Si \(n\) es un número natural, se define:

\[ n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]

Se lee: “\(n\) factorial”.

Además, por definición:

\[ 0!=1 \]

Ejemplo 1: calcular factoriales

Calculemos algunos factoriales simples.

\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]

\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]

\[ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120 \]

Por lo tanto:

\[ 3!=6,\qquad 4!=24,\qquad 5!=120 \]

Relación entre factoriales consecutivos

Un factorial se puede escribir usando el factorial anterior.

Por ejemplo:

\[ 6!=6\cdot 5! \]

porque:

\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]

Ejemplo 2: usar el factorial anterior

Si sabemos que:

\[ 5!=120 \]

entonces podemos calcular \(6!\) así:

\[ 6!=6\cdot 5! \]

\[ 6!=6\cdot 120=720 \]

Por lo tanto:

\[ 6!=720 \]

Ejemplo 3: simplificar cocientes con factoriales

Simplifiquemos:

\[ \frac{7!}{5!} \]

Desarrollamos \(7!\) hasta llegar a \(5!\):

\[ 7!=7\cdot 6\cdot 5! \]

Entonces:

\[ \frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!} \]

Como \(5!\) aparece en el numerador y en el denominador, se simplifica:

\[ \frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=7\cdot 6=42 \]

Por lo tanto:

\[ \frac{7!}{5!}=42 \]

Error común

No se debe confundir \(n!\) con \(n\cdot n\).

Por ejemplo:

\[ 4!\neq 4\cdot 4 \]

Lo correcto es:

\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]

Ejemplo 4: expresión con suma de factoriales

Calculemos:

\[ 4!+3! \]

Primero calculamos cada factorial por separado:

\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]

\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]

Luego sumamos:

\[ 4!+3!=24+6=30 \]

Por lo tanto:

\[ 4!+3!=30 \]

Ejemplo 5: expresión con división de factoriales

Calculemos:

\[ \frac{6!}{3!} \]

Escribimos \(6!\) hasta llegar a \(3!\):

\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3! \]

Entonces:

\[ \frac{6!}{3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} \]

Simplificamos \(3!\):

\[ 6\cdot 5\cdot 4=120 \]

Por lo tanto:

\[ \frac{6!}{3!}=120 \]

¿Por qué el factorial sirve para contar?

El factorial aparece cuando se ordenan elementos sin repetirlos.

Por ejemplo, si hay 4 personas para formar una fila:

para el primer lugar hay \(4\) opciones;
para el segundo lugar quedan \(3\) opciones;
para el tercer lugar quedan \(2\) opciones;
para el cuarto lugar queda \(1\) opción.

Entonces:

\[ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4! \]

Ejemplo 6: ordenar personas en una fila

Cuatro estudiantes, Ana, Bruno, Camila y Diego, se ordenarán en una fila.

Para contar los ordenamientos posibles, razonamos por lugares:

Lugar en la fila	Cantidad de opciones
Primer lugar	\(4\)
Segundo lugar	\(3\)
Tercer lugar	\(2\)
Cuarto lugar	\(1\)

Por el principio multiplicativo:

\[ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24 \]

Se pueden ordenar de \(24\) formas distintas.

Ejercicio 1

Calcula \(5!\).

Ejercicio 2

Calcula \(6!\).

Ejercicio 3

Simplifica:

\[ \frac{8!}{6!} \]

Ejercicio 4

Calcula:

\[ 4!+5! \]

Ejercicio 5

Simplifica:

\[ \frac{9!}{7!} \]

Ejercicio 6

Calcula:

\[ \frac{6!}{4!}+3! \]

Ejercicio 7

¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros diferentes en una repisa?

Ejercicio 8

Una estudiante escribió lo siguiente:

\[ 4!=4\cdot 4=16 \]

Explica el error y calcula correctamente \(4!\).

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las variaciones con repetición, que permiten contar elecciones ordenadas donde un mismo elemento puede usarse más de una vez.

5. Variaciones con repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las variaciones con repetición como elecciones ordenadas en las que un elemento puede usarse más de una vez.
Aplicar la fórmula \(VR(n,k)=n^k\) en problemas de conteo.
Reconocer situaciones donde importa el orden y se permite repetición.

Idea central

Una variación con repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos desde un conjunto de \(n\) elementos, cumpliendo dos condiciones:

El orden importa.
Se permite repetir elementos.

Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, en claves, códigos, patentes simplificadas, respuestas de pruebas y secuencias.

Fórmula

Si hay \(n\) opciones disponibles para cada posición y se deben completar \(k\) posiciones, permitiendo repetir elementos, entonces:

\[ VR(n,k)=n^k \]

Donde:

\(n\) es la cantidad de elementos disponibles.
\(k\) es la cantidad de posiciones que se deben completar.
\(VR(n,k)\) representa las variaciones con repetición de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\).

Relación con el principio multiplicativo

La fórmula \(VR(n,k)=n^k\) viene directamente del principio multiplicativo.

Si en cada una de las \(k\) posiciones hay \(n\) opciones, entonces:

\[ \underbrace{n\cdot n\cdot n\cdots n}_{k\text{ veces}}=n^k \]

Ejemplo 1: clave de dos letras

Se quiere formar una clave de 2 letras usando las letras \(A\), \(B\) y \(C\). Se permite repetir letras.

Como la clave tiene 2 posiciones y en cada posición hay 3 opciones, tenemos:

Posición	Cantidad de opciones
Primera letra	\(3\)
Segunda letra	\(3\)

Entonces:

\[ 3\cdot 3=3^2=9 \]

Las claves posibles son:

\[ AA,\ AB,\ AC,\ BA,\ BB,\ BC,\ CA,\ CB,\ CC \]

Por lo tanto, se pueden formar \(9\) claves distintas.

Ejemplo 2: código numérico

Un código tiene 4 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir dígitos.

Hay \(10\) opciones para cada posición:

\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]

Como son 4 posiciones, se escribe:

\[ VR(10,4)=10^4 \]

\[ 10^4=10000 \]

Se pueden formar \(10000\) códigos distintos.

Error común

No se debe restar opciones cuando la repetición está permitida.

Por ejemplo, si una clave permite repetir dígitos, después de elegir el primer dígito siguen estando disponibles los mismos \(10\) dígitos para la siguiente posición.

Por eso, para una clave de 4 dígitos con repetición se calcula:

\[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]

y no:

\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7 \]

Ejemplo 3: respuestas de verdadero o falso

Una prueba tiene 6 preguntas de verdadero o falso. Cada pregunta tiene 2 posibles respuestas.

Como cada pregunta se puede responder de manera independiente, y las respuestas pueden repetirse, se tiene:

\[ VR(2,6)=2^6 \]

\[ 2^6=64 \]

La prueba se puede responder de \(64\) formas distintas.

Ejemplo 4: claves con letras

Una clave se forma con 3 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\). Se permite repetir letras.

En cada una de las 3 posiciones hay \(5\) opciones:

\[ 5\cdot 5\cdot 5 \]

Entonces:

\[ VR(5,3)=5^3=125 \]

Se pueden formar \(125\) claves distintas.

En este caso, el orden importa porque \(ABC\), \(ACB\) y \(BAC\) son claves diferentes.

¿Por qué importa el orden?

En una variación, cambiar el orden produce un resultado distinto.

Por ejemplo, en una clave:

\[ AB \neq BA \]

Aunque se usen las mismas letras, las posiciones son diferentes. Por eso el orden sí importa.

Ejemplo 5: código mixto

Un código se forma con 2 letras seguidas de 3 números.

Para cada letra hay 4 opciones: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
Para cada número hay 10 opciones: \(0,1,2,\ldots,9\).
Se permite repetir letras y números.

Contamos por posiciones:

\[ 4\cdot 4\cdot 10\cdot 10\cdot 10 \]

Entonces:

\[ 4^2\cdot 10^3=16\cdot 1000=16000 \]

Se pueden formar \(16000\) códigos distintos.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en variaciones con repetición
¿Importa el orden?	Sí.
¿Se permite repetir elementos?	Sí.
¿Se eligen todos los elementos necesariamente?	No necesariamente.
Fórmula	\(VR(n,k)=n^k\)

Ejercicio 1

Se quiere formar una clave de 3 dígitos usando los números del \(0\) al \(9\). Se permite repetir dígitos. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Ejercicio 2

Una clave se forma con 4 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\). Se permite repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Ejercicio 3

Una prueba tiene 8 preguntas de verdadero o falso. ¿De cuántas formas distintas se puede responder la prueba completa?

Ejercicio 4

Un código se forma con 5 caracteres. Cada carácter puede ser una de las letras \(A\), \(B\), \(C\) o \(D\). Se permite repetir letras. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

Ejercicio 5

Una aplicación pide crear una contraseña de 6 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden crear?

Ejercicio 6

Un código se forma con una letra seguida de dos números. La letra puede ser \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) o \(E\), y cada número puede ser un dígito del \(0\) al \(9\). Se permite repetir números. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

Ejercicio 7

Un estudiante dice que una clave de 4 dígitos, permitiendo repetición, se cuenta así:

\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7 \]

Explica el error y calcula correctamente la cantidad de claves posibles.

Ejercicio 8

Una encuesta tiene 5 preguntas. En cada pregunta se debe elegir una alternativa entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\). ¿De cuántas formas distintas puede responderse la encuesta completa?

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las variaciones sin repetición, donde el orden sigue importando, pero un elemento ya usado no puede volver a utilizarse.

6. Variaciones sin repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las variaciones sin repetición como elecciones ordenadas en las que cada elemento puede usarse solo una vez.
Aplicar la fórmula \(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) en problemas de conteo.
Distinguir variaciones sin repetición de variaciones con repetición, según las condiciones del problema.

Idea central

Una variación sin repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos desde un conjunto de \(n\) elementos, cumpliendo dos condiciones:

El orden importa.
No se permite repetir elementos.

Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al asignar cargos, formar podios, crear códigos sin repetir símbolos o elegir personas para puestos distintos.

Fórmula

Si se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), sin repetir y considerando el orden, entonces:

\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

También puede escribirse como producto decreciente:

\[ V(n,k)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1) \]

Donde:

\(n\) es la cantidad total de elementos disponibles.
\(k\) es la cantidad de elementos que se eligen y ordenan.
Se requiere que \(0\leq k\leq n\).

Relación con el principio multiplicativo

La fórmula de variaciones sin repetición nace del principio multiplicativo.

Si hay \(n\) opciones para el primer lugar, luego quedan \(n-1\), después \(n-2\), y así sucesivamente, entonces se multiplican las opciones disponibles en cada posición.

Ejemplo 1: podio de una competencia

En una carrera participan 8 estudiantes. Se deben asignar primer, segundo y tercer lugar. ¿De cuántas formas distintas puede formarse el podio?

El orden importa, porque no es lo mismo obtener primer lugar que segundo o tercero.

Además, una misma persona no puede ocupar dos lugares del podio, por lo tanto no se permite repetir.

Lugar	Cantidad de opciones
Primer lugar	\(8\)
Segundo lugar	\(7\)
Tercer lugar	\(6\)

Entonces:

\[ 8\cdot 7\cdot 6=336 \]

Usando la fórmula:

\[ V(8,3)=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!} \]

\[ \frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336 \]

El podio puede formarse de \(336\) formas distintas.

Ejemplo 2: clave de letras sin repetir

Se quiere formar una clave de 3 letras usando las letras \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Hay \(5\) letras disponibles y se deben completar \(3\) posiciones.

Como no se permite repetir, la cantidad de opciones disminuye en cada posición:

\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]

Usando la fórmula:

\[ V(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} \]

\[ \frac{5!}{2!}=5\cdot 4\cdot 3=60 \]

Se pueden formar \(60\) claves distintas.

El orden importa porque \(ABC\), \(ACB\) y \(BAC\) son claves diferentes.

Error común

No se debe usar \(n^k\) cuando el problema dice que no se puede repetir.

Por ejemplo, para formar una clave de 3 letras usando 5 letras sin repetir, no corresponde calcular:

\[ 5^3 \]

Lo correcto es:

\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]

porque después de usar una letra, esta ya no queda disponible para las siguientes posiciones.

Ejemplo 3: cargos en un curso

Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 estudiantes. Una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?

Hay \(10\) estudiantes disponibles y se deben elegir \(3\) para cargos distintos.

El orden importa, porque los cargos son diferentes.

Además, no se permite repetir estudiantes.

Entonces:

\[ V(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!} \]

\[ \frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720 \]

Los cargos se pueden asignar de \(720\) formas distintas.

Ejemplo 4: código numérico sin repetir

Un código tiene 4 dígitos. Se pueden usar los dígitos del \(0\) al \(9\), pero no se permite repetir. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

Hay \(10\) dígitos disponibles y se deben completar \(4\) posiciones.

Como no se permite repetir, se tiene:

\[ 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]

Usando la fórmula:

\[ V(10,4)=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!} \]

\[ \frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]

Se pueden formar \(5040\) códigos distintos.

Comparación con repetición y sin repetición

Consideremos una clave de 3 letras usando \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).

Condición	Cálculo	Total
Con repetición	\(5\cdot 5\cdot 5=5^3\)	\(125\)
Sin repetición	\(5\cdot 4\cdot 3\)	\(60\)

La diferencia está en que, sin repetición, cada elemento usado deja de estar disponible.

Ejemplo 5: números de tres cifras sin repetir

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(1\) al \(9\)?

Se deben formar números de tres cifras, por lo tanto el orden importa.

Además, las cifras deben ser distintas, así que no se permite repetir.

Hay \(9\) opciones para la primera cifra, luego \(8\) para la segunda y \(7\) para la tercera:

\[ 9\cdot 8\cdot 7=504 \]

También:

\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=504 \]

Se pueden formar \(504\) números de tres cifras distintas.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en variaciones sin repetición
¿Importa el orden?	Sí.
¿Se permite repetir elementos?	No.
¿Se eligen todos los elementos necesariamente?	No necesariamente.
Fórmula	\(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

Ejercicio 1

En una competencia participan 6 estudiantes. Se deben asignar primer y segundo lugar. ¿De cuántas formas distintas puede formarse este resultado?

Ejercicio 2

Se quiere formar una clave de 3 letras usando \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\), sin repetir letras. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Ejercicio 3

Un curso debe elegir presidente, secretario y encargado de convivencia entre 12 estudiantes. Una persona no puede ocupar más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?

Ejercicio 4

Una clave de 4 dígitos se forma usando los dígitos \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\), sin repetir. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Ejercicio 5

¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(1\) al \(9\)?

Ejercicio 6

Una estudiante dice que, para formar una clave de 3 letras usando 5 letras sin repetir, se debe calcular \(5^3\). Explica el error y calcula correctamente.

Ejercicio 7

En una final participan 9 equipos. Se deben entregar medallas de oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas?

Ejercicio 8

Una biblioteca tiene 11 libros distintos. Se quieren escoger 4 para ordenarlos en una vitrina, de izquierda a derecha. ¿De cuántas formas se puede hacer?

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las permutaciones sin repetición, que corresponden al caso particular en que se ordenan todos los elementos disponibles.

7. Permutaciones sin repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las permutaciones sin repetición como ordenamientos de todos los elementos disponibles.
Reconocer que una permutación sin repetición es un caso particular de variación sin repetición.
Aplicar la fórmula \(P(n)=n!\) para resolver problemas de ordenamiento.

Idea central

Una permutación sin repetición ocurre cuando se ordenan todos los elementos de un conjunto, usando cada elemento exactamente una vez.

En este caso:

El orden importa.
No se permite repetir elementos.
Se usan todos los elementos disponibles.

Fórmula

Si se ordenan \(n\) elementos distintos, entonces la cantidad de permutaciones sin repetición es:

\[ P(n)=n! \]

Es decir:

\[ P(n)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 \]

Relación con las variaciones

Una permutación sin repetición es una variación sin repetición donde se eligen todos los elementos.

Como en una variación sin repetición:

\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

si se usan todos los elementos, entonces \(k=n\):

\[ V(n,n)=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n! \]

Por lo tanto:

\[ P(n)=V(n,n)=n! \]

Ejemplo 1: ordenar libros

Se tienen 5 libros distintos y se quieren ordenar en una repisa. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar?

Como se ordenan todos los libros y no se repite ninguno, corresponde usar permutaciones sin repetición.

Hay \(5\) opciones para el primer lugar, \(4\) para el segundo, \(3\) para el tercero, \(2\) para el cuarto y \(1\) para el último.

\[ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5! \]

\[ 5!=120 \]

Los libros se pueden ordenar de \(120\) formas distintas.

Ejemplo 2: formar una fila

Cuatro estudiantes, Ana, Bruno, Camila y Diego, se deben ordenar en una fila. ¿Cuántas filas distintas se pueden formar?

Como los 4 estudiantes son distintos y todos deben ubicarse en la fila, se calcula:

\[ P(4)=4! \]

\[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24 \]

Se pueden formar \(24\) filas distintas.

Por ejemplo, una fila puede ser:

\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila},\ \text{Diego} \]

y otra distinta puede ser:

\[ \text{Bruno},\ \text{Ana},\ \text{Camila},\ \text{Diego} \]

Son diferentes porque el orden importa.

Error común

No se debe usar permutaciones si solo se elige una parte de los elementos.

Por ejemplo, si hay 8 estudiantes y se eligen 3 para cargos distintos, no corresponde calcular \(8!\), porque no se están usando los 8 estudiantes.

En ese caso corresponde una variación:

\[ V(8,3) \]

En cambio, si se ordenan los 8 estudiantes en una fila, entonces sí corresponde:

\[ P(8)=8! \]

Ejemplo 3: ordenar letras distintas

¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra \(SOL\)?

Las letras \(S\), \(O\) y \(L\) son distintas.

Como se usan todas y el orden importa:

\[ P(3)=3! \]

\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]

Las ordenaciones posibles son:

\[ SOL,\ SLO,\ OSL,\ OLS,\ LSO,\ LOS \]

Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.

Ejemplo 4: ordenar personas en una mesa lineal

Seis personas se sentarán en una misma fila de asientos. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse?

Como se ubican las 6 personas en posiciones distintas y se usan todas, corresponde calcular:

\[ P(6)=6! \]

\[ 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720 \]

Las personas pueden ubicarse de \(720\) formas distintas.

Comparación entre variación y permutación

La diferencia principal está en cuántos elementos se usan.

Situación	Tipo de conteo	Cálculo
Elegir y ordenar 3 libros de un total de 7.	Variación sin repetición	\(V(7,3)=7\cdot 6\cdot 5\)
Ordenar los 7 libros en una repisa.	Permutación sin repetición	\(P(7)=7!\)

Ejemplo 5: ordenar canciones

Una lista de reproducción contiene 7 canciones distintas. ¿De cuántas formas se pueden ordenar todas las canciones?

Como se ordenan las 7 canciones y no se repite ninguna, se calcula:

\[ P(7)=7! \]

\[ 7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040 \]

Las canciones se pueden ordenar de \(5040\) formas distintas.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en permutaciones sin repetición
¿Importa el orden?	Sí.
¿Se permite repetir elementos?	No.
¿Se usan todos los elementos?	Sí.
Fórmula	\(P(n)=n!\)

Ejercicio 1

¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 6 libros diferentes en una repisa?

Ejercicio 2

Cinco estudiantes se ubicarán en una fila para una fotografía. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?

Ejercicio 3

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(MAR\)?

Ejercicio 4

Un grupo de 8 personas se sentará en una fila de 8 asientos. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse?

Ejercicio 5

Una banda tocará 6 canciones distintas en un concierto. ¿De cuántas formas puede ordenar el repertorio si tocará todas las canciones?

Ejercicio 6

Explica por qué ordenar 7 personas en una fila corresponde a una permutación y no a una variación con \(k<7\).

Ejercicio 7

Un estudiante dice que para ordenar 4 objetos distintos se debe calcular \(4^4\). Explica el error y calcula correctamente.

Ejercicio 8

Una profesora tiene 9 pruebas distintas y quiere apilarlas en un orden determinado. ¿De cuántas formas distintas puede ordenar la pila?

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las permutaciones con repetición, que se usan cuando se ordenan elementos donde algunos son iguales entre sí.

8. Permutaciones con repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las permutaciones con repetición como ordenamientos de elementos donde algunos se repiten.
Aplicar la fórmula \(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\) para contar ordenamientos sin repetir casos equivalentes.
Distinguir entre permutaciones sin repetición y permutaciones con repetición según si todos los elementos son distintos o no.

Idea central

Una permutación con repetición ocurre cuando se ordenan todos los elementos disponibles, pero algunos de ellos son iguales entre sí.

En este caso:

El orden importa.
Se usan todos los elementos.
Algunos elementos se repiten o son indistinguibles.

Fórmula

Si se ordenan \(n\) elementos en total, donde hay grupos de elementos repetidos de tamaños \(a\), \(b\), \(c\), etc., entonces la cantidad de permutaciones distintas es:

\[ P=\frac{n!}{a!b!c!\cdots} \]

Donde:

\(n\) es el total de elementos que se ordenan.
\(a\), \(b\), \(c\), etc., son las cantidades de elementos repetidos de cada tipo.

¿Por qué se divide?

Si todos los elementos fueran distintos, se contaría \(n!\). Pero cuando algunos elementos son iguales, varios ordenamientos quedan repetidos.

Por eso se divide por las permutaciones internas de los elementos que son iguales.

Ejemplo 1: ordenar las letras de MAMA

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(MAMA\)?

La palabra tiene \(4\) letras en total:

\[ M,\ A,\ M,\ A \]

Pero hay letras repetidas:

La letra \(M\) aparece \(2\) veces.
La letra \(A\) aparece \(2\) veces.

Entonces:

\[ P=\frac{4!}{2!2!} \]

Calculamos:

\[ \frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot 2}=\frac{24}{4}=6 \]

Se pueden formar \(6\) ordenaciones distintas.

Ejemplo 2: ordenar las letras de CASA

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(CASA\)?

La palabra tiene \(4\) letras:

\[ C,\ A,\ S,\ A \]

La letra \(A\) aparece \(2\) veces. Las letras \(C\) y \(S\) aparecen una vez.

Si todas fueran distintas, habría \(4!\) ordenamientos. Pero como hay dos letras \(A\) iguales, se divide por \(2!\):

\[ P=\frac{4!}{2!} \]

\[ P=\frac{24}{2}=12 \]

Se pueden formar \(12\) ordenaciones distintas.

Error común

No se debe usar directamente \(n!\) cuando hay elementos repetidos.

Por ejemplo, para \(MAMA\), calcular \(4!=24\) cuenta como distintas algunas ordenaciones que en realidad son iguales, porque las dos letras \(M\) son indistinguibles y las dos letras \(A\) también.

Lo correcto es:

\[ \frac{4!}{2!2!}=6 \]

Ejemplo 3: ordenar las letras de BANANA

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(BANANA\)?

La palabra tiene \(6\) letras en total:

\[ B,\ A,\ N,\ A,\ N,\ A \]

Contamos las repeticiones:

La letra \(A\) aparece \(3\) veces.
La letra \(N\) aparece \(2\) veces.
La letra \(B\) aparece \(1\) vez.

Entonces:

\[ P=\frac{6!}{3!2!} \]

Calculamos:

\[ 6!=720,\qquad 3!=6,\qquad 2!=2 \]

\[ P=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=60 \]

Se pueden formar \(60\) ordenaciones distintas.

Ejemplo 4: ordenar fichas de colores

Se tienen 7 fichas en una fila: 3 rojas, 2 azules y 2 verdes. Las fichas del mismo color son iguales entre sí. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?

Hay \(7\) fichas en total, pero algunas son repetidas:

3 fichas rojas.
2 fichas azules.
2 fichas verdes.

Entonces:

\[ P=\frac{7!}{3!2!2!} \]

Calculamos:

\[ 7!=5040,\qquad 3!=6,\qquad 2!=2 \]

\[ P=\frac{5040}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{5040}{24}=210 \]

Las fichas pueden ordenarse de \(210\) formas distintas.

Comparación entre permutaciones sin repetición y con repetición

La diferencia está en si todos los elementos son distintos o si algunos son iguales.

Situación	Tipo de conteo	Cálculo
Ordenar \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)	Permutación sin repetición	\(4!=24\)
Ordenar \(A\), \(A\), \(B\), \(C\)	Permutación con repetición	\(\dfrac{4!}{2!}=12\)

Ejemplo 5: resultados de una secuencia

Una secuencia contiene 5 símbolos: \(X\), \(X\), \(Y\), \(Y\), \(Y\). ¿Cuántas secuencias distintas se pueden formar usando todos los símbolos?

Hay \(5\) símbolos en total:

\(X\) aparece \(2\) veces.
\(Y\) aparece \(3\) veces.

Entonces:

\[ P=\frac{5!}{2!3!} \]

\[ P=\frac{120}{2\cdot 6}=\frac{120}{12}=10 \]

Se pueden formar \(10\) secuencias distintas.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en permutaciones con repetición
¿Importa el orden?	Sí.
¿Se usan todos los elementos?	Sí.
¿Hay elementos repetidos o indistinguibles?	Sí.
Fórmula	\(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\)

Ejercicio 1

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(OSO\)?

Ejercicio 2

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(PAPA\)?

Ejercicio 3

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(ANANA\)?

Ejercicio 4

Se tienen 6 fichas en una fila: 3 blancas y 3 negras. Las fichas del mismo color son iguales. ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse?

Ejercicio 5

Se tienen 8 fichas: 4 rojas, 2 azules y 2 verdes. Si las fichas del mismo color son indistinguibles, ¿cuántas filas distintas se pueden formar?

Ejercicio 6

Un estudiante dice que la palabra \(CASA\) se puede ordenar de \(4!=24\) formas distintas. Explica el error y calcula correctamente.

Ejercicio 7

¿Cuántas secuencias distintas se pueden formar usando todos los símbolos \(A,A,A,B,B,C\)?

Ejercicio 8

Una bandera horizontal se formará con 7 franjas: 3 rojas, 2 blancas y 2 azules. Las franjas del mismo color son iguales. ¿Cuántas banderas distintas se pueden formar?

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las combinaciones sin repetición, que se usan cuando se eligen elementos sin importar el orden.

9. Combinaciones sin repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las combinaciones sin repetición como selecciones de elementos donde el orden no importa.
Relacionar las combinaciones con las variaciones sin repetición, eliminando los ordenamientos repetidos.
Aplicar la fórmula \(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) en problemas de conteo.

Idea central

Una combinación sin repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), cumpliendo dos condiciones:

El orden no importa.
No se permite repetir elementos.

Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al elegir comités, grupos de trabajo, equipos o subconjuntos.

Relación con las variaciones

Una combinación puede entenderse como una variación donde luego se eliminan los ordenamientos repetidos.

En una variación sin repetición, primero se eligen \(k\) elementos y además se ordenan:

\[ V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \]

Pero si el orden no importa, cada grupo de \(k\) elementos fue contado \(k!\) veces.

Por eso:

\[ C(n,k)=\frac{V(n,k)}{k!} \]

Fórmula

Si se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\), sin repetir y sin importar el orden, entonces:

\[ C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

También se escribe:

\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Se lee: “combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(k\) en \(k\)”.

Ejemplo 1: elegir un comité

En un curso hay 8 estudiantes y se quiere elegir un comité de 3 personas. No hay cargos distintos. ¿De cuántas formas se puede formar el comité?

Como solo se elige un grupo, el orden no importa.

Por ejemplo, elegir a:

\[ \text{Ana},\ \text{Bruno},\ \text{Camila} \]

es lo mismo que elegir a:

\[ \text{Camila},\ \text{Ana},\ \text{Bruno} \]

Por lo tanto, corresponde una combinación sin repetición:

\[ C(8,3)=\frac{8!}{3!(8-3)!} \]

\[ C(8,3)=\frac{8!}{3!5!} \]

Simplificamos:

\[ C(8,3)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(8,3)=\frac{336}{6}=56 \]

El comité puede formarse de \(56\) formas distintas.

Ejemplo 2: desde variaciones hacia combinaciones

Volvamos al caso de elegir 3 estudiantes entre 8.

Si el orden importara, contaríamos:

\[ V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336 \]

Pero cada grupo de 3 estudiantes fue contado varias veces, porque se pueden ordenar internamente de:

\[ 3!=6 \]

formas distintas.

Entonces, para eliminar esas repeticiones:

\[ C(8,3)=\frac{V(8,3)}{3!} \]

\[ C(8,3)=\frac{336}{6}=56 \]

Así se obtiene la misma respuesta: \(56\) grupos distintos.

Error común

No se debe usar variaciones cuando el orden no importa.

Por ejemplo, si se eligen 3 personas para formar un grupo, no corresponde contar:

\[ V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6 \]

porque eso distingue órdenes que representan el mismo grupo.

Lo correcto es dividir por las formas de ordenar internamente a las 3 personas:

\[ C(8,3)=\frac{V(8,3)}{3!} \]

Ejemplo 3: elegir libros

Una biblioteca tiene 10 libros distintos. Un estudiante debe elegir 4 para leer durante el mes, sin importar el orden en que los leerá. ¿De cuántas formas puede elegirlos?

Se eligen 4 libros de un total de 10.

Como el orden de elección no importa, corresponde calcular:

\[ C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!} \]

\[ C(10,4)=\frac{10!}{4!6!} \]

Simplificamos:

\[ C(10,4)=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(10,4)=\frac{5040}{24}=210 \]

El estudiante puede elegir los libros de \(210\) formas distintas.

Ejemplo 4: elegir preguntas

Una prueba tiene 12 preguntas, pero el estudiante debe responder solo 5. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas que responderá?

El orden no importa, porque solo interesa cuáles preguntas serán respondidas.

Entonces:

\[ C(12,5)=\frac{12!}{5!(12-5)!} \]

\[ C(12,5)=\frac{12!}{5!7!} \]

Simplificamos:

\[ C(12,5)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(12,5)=\frac{95040}{120}=792 \]

El estudiante puede elegir las preguntas de \(792\) formas distintas.

Comparación entre variación y combinación

La diferencia principal está en si el orden importa o no.

Situación	¿Importa el orden?	Tipo de conteo	Cálculo
Elegir presidente, secretario y tesorero entre 8 estudiantes.	Sí	Variación sin repetición	\(V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6\)
Elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8, sin cargos.	No	Combinación sin repetición	\(C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}\)

Ejemplo 5: seleccionar un equipo

De un grupo de 9 estudiantes se quiere seleccionar un equipo de 4 para una actividad. No hay cargos ni posiciones distintas. ¿Cuántos equipos se pueden formar?

Como solo importa quiénes integran el equipo, el orden no importa.

Entonces:

\[ C(9,4)=\frac{9!}{4!(9-4)!} \]

\[ C(9,4)=\frac{9!}{4!5!} \]

\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(9,4)=\frac{3024}{24}=126 \]

Se pueden formar \(126\) equipos distintos.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en combinaciones sin repetición
¿Importa el orden?	No.
¿Se permite repetir elementos?	No.
¿Se eligen todos los elementos necesariamente?	No necesariamente.
Fórmula	\(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Ejercicio 1

En un curso hay 7 estudiantes disponibles para formar un grupo de 2 representantes, sin cargos distintos. ¿De cuántas formas se puede formar el grupo?

Ejercicio 2

Una profesora debe elegir 3 estudiantes entre 10 para participar en una actividad. No hay cargos ni orden de participación. ¿Cuántos grupos distintos puede formar?

Ejercicio 3

De 12 libros distintos, una estudiante debe escoger 4 para llevar a su casa. ¿De cuántas formas puede escogerlos?

Ejercicio 4

En una selección hay 15 jugadores disponibles. El entrenador debe elegir 5 para una actividad de entrenamiento, sin asignar posiciones. ¿Cuántos grupos puede formar?

Ejercicio 5

Una prueba tiene 9 preguntas y el estudiante debe elegir 3 para responder. ¿De cuántas formas puede elegir las preguntas?

Ejercicio 6

Un estudiante dice que para elegir un grupo de 3 personas entre 8 se debe calcular \(8\cdot 7\cdot 6\). Explica el error y calcula correctamente.

Ejercicio 7

De un conjunto de 11 canciones, una persona quiere seleccionar 4 para una lista corta. No importa el orden de reproducción. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?

Ejercicio 8

En una caja hay 6 tarjetas distintas numeradas del 1 al 6. Se extraen 2 tarjetas sin reposición y solo interesa qué tarjetas salieron, no el orden. ¿Cuántos resultados distintos son posibles?

Para continuar

En la próxima página se estudiarán las combinaciones con repetición, donde el orden no importa, pero sí se permite repetir elementos.

10. Combinaciones con repetición

Objetivo de aprendizaje

Comprender las combinaciones con repetición como selecciones donde el orden no importa y se permite repetir elementos.
Aplicar la fórmula \(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\) en problemas de conteo.
Distinguir combinaciones con repetición de variaciones con repetición y combinaciones sin repetición.

Idea central

Una combinación con repetición ocurre cuando se eligen \(k\) elementos de un total de \(n\) tipos disponibles, cumpliendo dos condiciones:

El orden no importa.
Se permite repetir elementos.

Este tipo de conteo aparece, por ejemplo, al elegir sabores de helado, tipos de dulces, colores repetidos o soluciones enteras no negativas de una suma.

Fórmula

Si se eligen \(k\) elementos entre \(n\) tipos disponibles, permitiendo repetir y sin importar el orden, entonces:

\[ CR(n,k)=C(n+k-1,k) \]

También puede escribirse como:

\[ CR(n,k)=C(n+k-1,n-1) \]

Ambas expresiones entregan el mismo resultado, porque:

\[ C(n+k-1,k)=C(n+k-1,n-1) \]

Interpretación

En una combinación con repetición no interesa el orden en que se escriben los elementos, sino cuántas veces aparece cada tipo.

Por ejemplo, si se eligen 3 helados entre los sabores chocolate, vainilla y frutilla, la selección:

\[ \text{chocolate, vainilla, chocolate} \]

representa lo mismo que:

\[ \text{chocolate, chocolate, vainilla} \]

En ambos casos se eligieron 2 de chocolate y 1 de vainilla.

Ejemplo 1: elegir helados

Una heladería ofrece 4 sabores de helado. Una persona comprará 3 porciones y puede repetir sabores. ¿De cuántas formas puede elegirlas si el orden no importa?

Hay \(n=4\) sabores disponibles y se eligen \(k=3\) porciones.

Como se permite repetir sabores y el orden no importa, corresponde una combinación con repetición:

\[ CR(4,3)=C(4+3-1,3) \]

\[ CR(4,3)=C(6,3) \]

Calculamos:

\[ C(6,3)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6!}{3!3!} \]

\[ C(6,3)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}=20 \]

Puede elegir las 3 porciones de \(20\) formas distintas.

Ejemplo 2: elegir dulces

En una tienda hay 3 tipos de dulces: gomitas, caramelos y chocolates. Una persona comprará 5 dulces, pudiendo repetir tipos. ¿De cuántas formas puede elegirlos?

Hay \(n=3\) tipos de dulces y se eligen \(k=5\) dulces.

El orden no importa, porque solo interesa cuántos dulces de cada tipo compra.

Entonces:

\[ CR(3,5)=C(3+5-1,5) \]

\[ CR(3,5)=C(7,5) \]

Calculamos:

\[ C(7,5)=C(7,2)=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=21 \]

Puede elegir los dulces de \(21\) formas distintas.

Error común

No se debe usar \(n^k\) cuando el orden no importa.

Por ejemplo, si se eligen 3 sabores de helado entre 4 sabores, permitiendo repetir, no corresponde calcular:

\[ 4^3 \]

Ese cálculo considera que el orden importa. En cambio, si solo interesa cuántas porciones de cada sabor se eligen, corresponde:

\[ CR(4,3)=C(6,3)=20 \]

Ejemplo 3: soluciones enteras no negativas

¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación?

\[ x_1+x_2+x_3=5 \]

Esta situación se puede interpretar como repartir 5 unidades entre 3 variables, permitiendo que alguna variable reciba 0.

Corresponde a una combinación con repetición, donde:

\(n=3\), porque hay 3 variables.
\(k=5\), porque se reparten 5 unidades.

Entonces:

\[ CR(3,5)=C(3+5-1,5)=C(7,5) \]

\[ C(7,5)=C(7,2)=21 \]

La ecuación tiene \(21\) soluciones enteras no negativas.

Ejemplo 4: comprar donas

Una pastelería ofrece 4 tipos de donas. Una persona comprará 6 donas y puede repetir tipos. ¿De cuántas formas puede hacer la compra?

Hay \(n=4\) tipos disponibles y se eligen \(k=6\) donas.

Como el orden no importa y se permite repetir, calculamos:

\[ CR(4,6)=C(4+6-1,6) \]

\[ CR(4,6)=C(9,6) \]

Usamos la igualdad \(C(9,6)=C(9,3)\):

\[ C(9,3)=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(9,3)=\frac{504}{6}=84 \]

Puede comprar las donas de \(84\) formas distintas.

Comparación con otros casos

La combinación con repetición se distingue por dos decisiones: el orden no importa y sí se permite repetir.

Situación	¿Importa el orden?	¿Se repite?	Tipo de conteo
Clave de 3 letras usando 4 letras, con repetición.	Sí	Sí	Variación con repetición
Grupo de 3 personas entre 8, sin repetir.	No	No	Combinación sin repetición
Elegir 3 dulces entre 4 tipos, pudiendo repetir.	No	Sí	Combinación con repetición

Ejemplo 5: elegir lápices de colores

Una persona elegirá 4 lápices entre 6 colores disponibles. Puede repetir colores y el orden no importa. ¿De cuántas formas puede elegirlos?

Hay \(n=6\) colores disponibles y se eligen \(k=4\) lápices.

Como se permite repetir y el orden no importa:

\[ CR(6,4)=C(6+4-1,4) \]

\[ CR(6,4)=C(9,4) \]

Calculamos:

\[ C(9,4)=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(9,4)=\frac{3024}{24}=126 \]

Puede elegir los lápices de \(126\) formas distintas.

Resumen del caso

Pregunta	Respuesta en combinaciones con repetición
¿Importa el orden?	No.
¿Se permite repetir elementos?	Sí.
¿Se eligen todos los tipos disponibles?	No necesariamente.
Fórmula	\(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\)

Ejercicio 1

Una tienda ofrece 5 modelos de stickers. Una estudiante comprará 3 stickers y puede repetir modelos. ¿De cuántas formas puede elegirlos si el orden no importa?

Ejercicio 2

Una persona debe elegir 4 lápices entre 3 colores disponibles: rojo, azul y verde. Puede repetir colores y no importa el orden. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?

Ejercicio 3

Una heladería tiene 4 sabores. Una persona comprará 5 porciones y puede repetir sabores. Si el orden no importa, ¿de cuántas formas puede elegirlas?

Ejercicio 4

¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación?

\[ x_1+x_2+x_3+x_4=6 \]

Ejercicio 5

Un estudiante dice que, para elegir 3 dulces entre 4 tipos permitiendo repetir, se debe calcular \(4^3\). Explica el error y calcula correctamente si el orden no importa.

Ejercicio 6

Una panadería ofrece 6 tipos de panes. Una persona comprará 4 panes, pudiendo repetir tipos. ¿De cuántas formas puede comprar si el orden no importa?

Ejercicio 7

Una persona quiere elegir 6 frutas entre 5 tipos disponibles. Puede repetir tipos de fruta y no importa el orden. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?

Ejercicio 8

Decide si corresponde combinación sin repetición o combinación con repetición. Luego resuelve.

Una persona elegirá 3 bebidas entre 7 tipos disponibles. Puede elegir más de una bebida del mismo tipo y el orden no importa.

Para continuar

En la próxima página se construirá una tabla de decisión para reconocer qué técnica de conteo corresponde usar en cada situación.

11. Tabla de decisión: ¿qué fórmula uso?

Objetivo de aprendizaje

Seleccionar la técnica de conteo adecuada según el orden, la repetición y la cantidad de elementos utilizados.
Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones en problemas de conteo.
Justificar la elección de una fórmula antes de realizar el cálculo.

Idea central

Antes de aplicar una fórmula de combinatoria, conviene interpretar la situación. La pregunta principal no es “¿qué números aparecen?”, sino “¿qué se está haciendo con esos elementos?”.

Para decidir correctamente, usaremos tres preguntas:

¿Importa el orden?
¿Se permite repetir elementos?
¿Se usan todos los elementos o solo algunos?

Tabla de decisión

Situación	¿Importa el orden?	¿Hay repetición?	¿Se usan todos?	Técnica	Fórmula
Clave o código con repetición permitida	Sí	Sí	No necesariamente	Variación con repetición	\(VR(n,k)=n^k\)
Podio, cargos o código sin repetir	Sí	No	No necesariamente	Variación sin repetición	\(V(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Ordenar todos los elementos distintos	Sí	No	Sí	Permutación sin repetición	\(P(n)=n!\)
Ordenar todos los elementos, pero algunos son iguales	Sí	Sí, como elementos indistinguibles	Sí	Permutación con repetición	\(P=\dfrac{n!}{a!b!c!\cdots}\)
Elegir un grupo sin repetir	No	No	No necesariamente	Combinación sin repetición	\(C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
Elegir elementos permitiendo repetir, sin importar el orden	No	Sí	No necesariamente	Combinación con repetición	\(CR(n,k)=C(n+k-1,k)\)

Preguntas para decidir

Si cambiar el orden produce un resultado distinto, entonces el orden importa.
Si un elemento puede volver a usarse, entonces hay repetición.
Si se ordenan todos los elementos disponibles, puede tratarse de una permutación.
Si solo se elige un grupo y el orden no cambia el resultado, se trata de una combinación.

Ejemplo 1: clave con repetición

Una clave tiene 4 dígitos. Cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\), y se permite repetir. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?

Analizamos:

El orden importa, porque \(1234\neq 4321\).
Se permite repetir dígitos.
Hay \(10\) opciones para cada una de las \(4\) posiciones.

Corresponde una variación con repetición:

\[ VR(10,4)=10^4 \]

\[ 10^4=10000 \]

Se pueden formar \(10000\) claves distintas.

Ejemplo 2: cargos distintos

Un curso debe elegir presidente, secretario y tesorero entre 9 estudiantes. Una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden asignar los cargos?

Analizamos:

El orden importa, porque los cargos son distintos.
No se permite repetir, porque una persona no puede ocupar dos cargos.
Se eligen \(3\) estudiantes de un total de \(9\).

Corresponde una variación sin repetición:

\[ V(9,3)=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!} \]

\[ V(9,3)=9\cdot 8\cdot 7=504 \]

Los cargos se pueden asignar de \(504\) formas distintas.

Ejemplo 3: ordenar todos los elementos

Se quieren ordenar 6 libros distintos en una repisa. ¿De cuántas formas se puede hacer?

Analizamos:

El orden importa, porque cambiar el orden de los libros produce una repisa diferente.
No se repiten libros.
Se usan todos los libros disponibles.

Corresponde una permutación sin repetición:

\[ P(6)=6! \]

\[ 6!=720 \]

Los libros se pueden ordenar de \(720\) formas distintas.

Ejemplo 4: formar un grupo

De un curso de 12 estudiantes se quiere elegir un grupo de 4 para una actividad. No hay cargos ni funciones distintas. ¿Cuántos grupos se pueden formar?

Analizamos:

El orden no importa, porque solo interesa quiénes forman el grupo.
No se repiten estudiantes.
Se eligen \(4\) de un total de \(12\).

Corresponde una combinación sin repetición:

\[ C(12,4)=\frac{12!}{4!(12-4)!} \]

\[ C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]

\[ C(12,4)=\frac{11880}{24}=495 \]

Se pueden formar \(495\) grupos distintos.

Ejemplo 5: elegir con repetición, sin orden

Una heladería ofrece 5 sabores. Una persona comprará 3 porciones y puede repetir sabores. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede elegirlas?

Analizamos:

El orden no importa, porque solo interesa cuántas porciones de cada sabor se eligen.
Se permite repetir sabores.
Se eligen \(3\) porciones entre \(5\) sabores disponibles.

Corresponde una combinación con repetición:

\[ CR(5,3)=C(5+3-1,3) \]

\[ CR(5,3)=C(7,3) \]

\[ C(7,3)=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35 \]

Puede elegir las porciones de \(35\) formas distintas.

Error común

Un error frecuente es decidir solo mirando si aparece la palabra “elegir”.

No toda elección es una combinación. Si se eligen personas para cargos distintos, el orden importa y corresponde una variación. Si se elige un grupo sin cargos, el orden no importa y corresponde una combinación.

Ejemplo 6: comparar dos problemas parecidos

Compara estas dos situaciones:

Problema	Decisión	Cálculo
Elegir presidente, secretario y tesorero entre 8 estudiantes.	Importa el orden, porque los cargos son distintos.	\(V(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336\)
Elegir un grupo de 3 estudiantes entre 8, sin cargos.	No importa el orden, porque solo se forma un grupo.	\(C(8,3)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}=56\)

Los números son los mismos, pero la interpretación cambia la técnica de conteo.

Resumen rápido

Pregunta principal	Respuesta	Camino probable
¿Es una clave, código, podio o cargo?	El orden suele importar.	Variación o permutación.
¿Es un grupo, comité o selección sin cargos?	El orden no importa.	Combinación.
¿Se usan todos los elementos?	Puede ser permutación.	\(P(n)=n!\) o \(\dfrac{n!}{a!b!\cdots}\).
¿Se permite repetir?	La fórmula cambia.	Usar versión con repetición.

Ejercicio 1

Una clave se forma con 5 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\). Se permite repetir letras. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de claves posibles.

Ejercicio 2

En una competencia participan 10 estudiantes. Se entregarán medallas de oro, plata y bronce. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de formas de repartir las medallas.

Ejercicio 3

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(LUNA\)? Decide qué técnica corresponde.

Ejercicio 4

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra \(ROTOR\)? Decide qué técnica corresponde.

Ejercicio 5

De 14 estudiantes se debe elegir un grupo de 4 para representar al curso. No hay cargos distintos. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de grupos posibles.

Ejercicio 6

Una persona elegirá 4 chocolates entre 6 tipos disponibles. Puede repetir tipos y el orden no importa. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de selecciones posibles.

Ejercicio 7

Una biblioteca tiene 9 libros distintos. Se quieren escoger 3 y ordenarlos en una vitrina. Decide qué técnica corresponde y calcula la cantidad de formas posibles.

Ejercicio 8

Un estudiante debe responder 6 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 4 alternativas. Decide qué técnica corresponde y calcula de cuántas formas puede responder la prueba completa.

Para continuar

En la próxima página se resolverán problemas mixtos guiados, combinando distintas técnicas de conteo según el contexto.

12. Problemas mixtos guiados

Objetivo de aprendizaje

Resolver problemas de conteo que requieren elegir entre distintas técnicas combinatorias.
Combinar principios aditivo y multiplicativo con variaciones, permutaciones y combinaciones.
Justificar la estrategia utilizada antes de realizar el cálculo.

Idea central

En los problemas mixtos no siempre basta con aplicar una sola fórmula de manera directa. A veces primero se deben separar casos, luego contar cada caso y finalmente combinar los resultados.

Por eso, antes de calcular, conviene analizar la estructura del problema.

Procedimiento general

Identifica qué se está formando: clave, grupo, fila, selección, cargo, secuencia u otro objeto.
Decide si el orden importa.
Determina si se permite repetir elementos.
Observa si se usan todos los elementos o solo algunos.
Separa en casos si el problema usa condiciones como “o”, “al menos”, “exactamente” o “puede ser de tipo A o B”.
Calcula cada parte y combina los resultados usando suma o multiplicación según corresponda.

Ejemplo 1: elegir un menú con casos separados

Un restaurante ofrece dos tipos de menú:

Menú tradicional: 3 entradas y 5 platos de fondo.
Menú vegetariano: 2 entradas y 4 platos de fondo.

Una persona elegirá un solo menú, formado por una entrada y un plato de fondo. ¿Cuántas opciones tiene?

Primero contamos cada tipo de menú.

Menú tradicional:

\[ 3\cdot 5=15 \]

Menú vegetariano:

\[ 2\cdot 4=8 \]

Como la persona elige menú tradicional o menú vegetariano, sumamos los casos:

\[ 15+8=23 \]

La persona tiene \(23\) opciones de menú.

Ejemplo 2: formar un código con distintas partes

Un código se forma con 2 letras seguidas de 3 dígitos. Las letras se eligen entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir. Los dígitos se eligen entre \(0,1,2,\ldots,9\), permitiendo repetir. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

El código tiene dos partes.

Parte 1: letras sin repetir

Hay 5 letras disponibles y se eligen 2 con orden:

\[ V(5,2)=5\cdot 4=20 \]

Parte 2: dígitos con repetición

Hay 10 dígitos disponibles y se eligen 3 con repetición:

\[ VR(10,3)=10^3=1000 \]

Como ambas partes forman un mismo código, multiplicamos:

\[ 20\cdot 1000=20000 \]

Se pueden formar \(20000\) códigos distintos.

Ejemplo 3: elegir un grupo y luego un cargo

De un curso de 12 estudiantes se elegirá un grupo de 4 para una actividad. Luego, dentro del grupo elegido, se nombrará un vocero. ¿De cuántas formas se puede hacer?

Primero se elige el grupo. Como no hay cargos en esta etapa, el orden no importa:

\[ C(12,4)=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495 \]

Después, dentro de cada grupo de 4 estudiantes, se elige un vocero:

\[ 4 \]

Como ambas decisiones ocurren juntas, multiplicamos:

\[ 495\cdot 4=1980 \]

Se puede hacer de \(1980\) formas distintas.

Ejemplo 4: ordenar letras con repetición

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(MATEMATICA\)?

La palabra tiene 10 letras en total:

\[ M,A,T,E,M,A,T,I,C,A \]

Contamos las repeticiones:

\(A\) aparece 3 veces.
\(M\) aparece 2 veces.
\(T\) aparece 2 veces.
\(E\), \(I\) y \(C\) aparecen una vez cada una.

Corresponde una permutación con repetición:

\[ P=\frac{10!}{3!2!2!} \]

\[ P=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200 \]

Se pueden formar \(151200\) ordenaciones distintas.

Ejemplo 5: formar un número con restricción inicial

¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(0\) al \(9\)?

Un número de 4 cifras no puede comenzar con \(0\).

Contamos por posiciones:

Primera cifra: \(9\) opciones, porque puede ser \(1,2,\ldots,9\).
Segunda cifra: \(9\) opciones, porque quedan 9 dígitos disponibles, incluyendo el \(0\).
Tercera cifra: \(8\) opciones.
Cuarta cifra: \(7\) opciones.

Entonces:

\[ 9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536 \]

Se pueden formar \(4536\) números de 4 cifras distintas.

Error común

En problemas mixtos, un error frecuente es aplicar una fórmula antes de interpretar las condiciones. Por ejemplo, si aparece un código de 4 cifras, no siempre corresponde \(10^4\): puede haber restricciones como no repetir dígitos o no comenzar con cero.

Ejercicio 1

Una cafetería ofrece dos promociones:

Promoción A: 4 tipos de café y 3 tipos de pastel.
Promoción B: 5 tipos de té y 2 tipos de galleta.

Una persona elegirá una sola promoción. ¿Cuántas opciones distintas tiene?

Ejercicio 2

Un código se forma con 3 letras distintas elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\), seguidas de 2 dígitos que pueden repetirse. ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?

Ejercicio 3

De un grupo de 15 estudiantes se elegirá un equipo de 5. Luego, dentro del equipo, se escogerá un capitán. ¿De cuántas formas se puede hacer?

Ejercicio 4

¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar usando los dígitos del \(0\) al \(9\)?

Ejercicio 5

Una persona quiere comprar 4 donas entre 6 tipos disponibles, pudiendo repetir tipos. Además elegirá una bebida entre 3 opciones. Si el orden de las donas no importa, ¿cuántas compras distintas puede hacer?

Ejercicio 6

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden formar usando todas las letras de la palabra \(ESTADISTICA\)?

Ejercicio 7

Una prueba tiene 10 preguntas y el estudiante debe elegir 6 para responder. De esas 6, elegirá una para desarrollarla en la pizarra. ¿De cuántas formas puede hacer ambas elecciones?

Ejercicio 8

Un colegio debe elegir una delegación de 3 estudiantes entre 9 y una delegación de 2 apoderados entre 6. No hay cargos dentro de cada delegación. ¿De cuántas formas se pueden formar ambas delegaciones?

Para continuar

En la próxima página se aplicará la combinatoria al cálculo de probabilidades, relacionando casos favorables y casos posibles.

13. Combinatoria aplicada a probabilidades

Objetivo de aprendizaje

Aplicar técnicas de conteo para calcular probabilidades en situaciones con muchos casos posibles.
Relacionar casos favorables y casos posibles usando variaciones, permutaciones y combinaciones.
Interpretar probabilidades como razones entre cantidades de casos.

Idea central

La combinatoria permite contar posibilidades sin tener que escribirlas una por una. En probabilidad, esto es muy útil porque muchas veces necesitamos contar:

cuántos casos son posibles;
cuántos casos cumplen una condición.

Luego, la probabilidad se calcula comparando ambas cantidades.

Probabilidad clásica

Cuando todos los casos son igualmente probables, se puede usar:

\[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]

Donde:

Casos posibles: todos los resultados que pueden ocurrir.
Casos favorables: los resultados que cumplen la condición del evento \(A\).

Preguntas clave

Antes de calcular una probabilidad, conviene hacerse estas preguntas:

¿Qué se considera un resultado posible?
¿Todos los resultados son igualmente probables?
¿Qué condición deben cumplir los casos favorables?
¿Qué técnica de conteo permite contar los casos posibles y favorables?

Ejemplo 1: responder una prueba al azar

Una prueba tiene 4 preguntas de verdadero o falso. Si una persona responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente todas las preguntas?

Cada pregunta tiene 2 opciones: verdadero o falso.

Como hay 4 preguntas, el total de formas de responder es:

\[ VR(2,4)=2^4=16 \]

Solo una forma corresponde a responder todas correctamente.

Por lo tanto:

\[ P(\text{todas correctas})=\frac{1}{16} \]

La probabilidad de responder correctamente todas las preguntas es \(\frac{1}{16}\).

Ejemplo 2: escoger un grupo con una condición

En un curso hay 10 estudiantes, de los cuales 6 son mujeres y 4 son hombres. Se elegirá un grupo de 3 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo esté formado solo por mujeres?

Primero contamos todos los grupos posibles de 3 estudiantes entre 10:

\[ C(10,3)=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]

Ahora contamos los grupos favorables: elegir 3 mujeres entre 6.

\[ C(6,3)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]

Entonces:

\[ P(\text{3 mujeres})=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]

La probabilidad es \(\frac{1}{6}\).

Error común

No siempre los casos posibles se cuentan con multiplicación directa. Si el problema habla de grupos donde el orden no importa, normalmente se usan combinaciones.

Por ejemplo, elegir 3 estudiantes entre 10 no se cuenta como:

\[ 10\cdot 9\cdot 8 \]

si solo importa el grupo. En ese caso corresponde:

\[ C(10,3) \]

Ejemplo 3: elegir cartas

De una baraja de 52 cartas se extraen 2 cartas sin reposición. Si solo interesa qué cartas salieron y no el orden, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean ases?

Primero contamos los casos posibles: elegir 2 cartas entre 52.

\[ C(52,2)=\frac{52\cdot 51}{2}=1326 \]

Ahora contamos los casos favorables: elegir 2 ases entre los 4 ases disponibles.

\[ C(4,2)=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]

Entonces:

\[ P(\text{2 ases})=\frac{6}{1326} \]

Simplificando:

\[ P(\text{2 ases})=\frac{1}{221} \]

Ejemplo 4: código elegido al azar

Un código tiene 3 dígitos y cada dígito puede ser \(0,1,2,\ldots,9\). Se permite repetir. Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea \(777\)?

Primero contamos todos los códigos posibles:

\[ VR(10,3)=10^3=1000 \]

Solo un código es exactamente \(777\).

Entonces:

\[ P(777)=\frac{1}{1000} \]

La probabilidad es \(\frac{1}{1000}\).

Ejemplo 5: código sin repetición

Un código tiene 3 dígitos distintos elegidos entre \(1,2,3,4,5,6\). Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comience con \(1\)?

Primero contamos todos los códigos posibles. Hay 6 dígitos y se eligen 3 sin repetir, con orden:

\[ V(6,3)=6\cdot 5\cdot 4=120 \]

Ahora contamos los códigos favorables. Si el código comienza con \(1\), la primera posición queda fija.

Para las otras dos posiciones quedan 5 dígitos disponibles, sin repetir:

\[ V(5,2)=5\cdot 4=20 \]

Entonces:

\[ P(\text{comienza con }1)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6} \]

La probabilidad es \(\frac{1}{6}\).

Elegir la técnica según el contexto

Situación de probabilidad	Técnica de conteo usual	Razón
Responder preguntas de selección múltiple	Variación con repetición	Cada pregunta es una posición y las alternativas pueden repetirse.
Elegir un comité o grupo	Combinación sin repetición	El orden no importa y no se repiten personas.
Extraer cartas sin importar el orden	Combinación sin repetición	Solo interesa el conjunto de cartas extraídas.
Formar códigos o claves	Variaciones	El orden de los símbolos normalmente importa.

Ejemplo 6: al menos una condición sencilla

Una clave tiene 2 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), permitiendo repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos una \(A\)?

Primero contamos todos los casos posibles:

\[ VR(4,2)=4^2=16 \]

Para contar los casos favorables, podemos usar el complemento.

En vez de contar las claves que tienen al menos una \(A\), contamos las que no tienen ninguna \(A\).

Si no se puede usar \(A\), quedan 3 letras disponibles: \(B\), \(C\) y \(D\).

\[ VR(3,2)=3^2=9 \]

Entonces, las claves con al menos una \(A\) son:

\[ 16-9=7 \]

Por lo tanto:

\[ P(\text{al menos una }A)=\frac{7}{16} \]

Uso del complemento

Cuando una condición dice “al menos una vez”, a veces conviene contar lo contrario.

Por ejemplo:

\[ P(\text{al menos una }A)=1-P(\text{ninguna }A) \]

Esto suele simplificar el conteo.

Ejercicio 1

Una prueba tiene 5 preguntas de verdadero o falso. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente todas las preguntas?

Ejercicio 2

En una caja hay 8 tarjetas distintas, de las cuales 3 son rojas y 5 son azules. Se extraen 2 tarjetas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Ejercicio 3

De un grupo de 12 estudiantes, 7 son mujeres y 5 son hombres. Se elegirá un grupo de 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean hombres?

Ejercicio 4

Un código tiene 4 dígitos, cada uno elegido entre \(0,1,2,\ldots,9\), permitiendo repetir. Si se elige un código al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea \(2026\)?

Ejercicio 5

Una clave tiene 3 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), sin repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que comience con \(A\)?

Ejercicio 6

Una urna tiene 6 bolitas distintas: 2 verdes y 4 amarillas. Se extraen 3 bolitas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente 2 verdes?

Ejercicio 7

Una clave tiene 2 letras elegidas entre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\), permitiendo repetir. Si se elige una clave al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no aparezca la letra \(A\)?

Ejercicio 8

Una caja contiene 10 tarjetas distintas numeradas del 1 al 10. Se eligen 3 tarjetas sin reposición, sin importar el orden. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 tarjetas elegidas sean números pares?

Para continuar

En la próxima página se estudiará la distribución binomial como una aplicación final de combinatoria y probabilidad.

14. Distribución binomial como aplicación final

Objetivo de aprendizaje

Comprender la distribución binomial como un modelo de probabilidad basado en ensayos repetidos con dos resultados posibles.
Aplicar combinaciones para calcular probabilidades de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) intentos.
Relacionar combinatoria, probabilidad y toma de decisiones en situaciones escolares y cotidianas.

Idea central

La distribución binomial aparece cuando se repite varias veces un experimento con dos resultados posibles: éxito o fracaso.

Por ejemplo:

responder correctamente o incorrectamente una pregunta;
obtener cara o sello al lanzar una moneda;
que un producto sea defectuoso o no defectuoso;
que una persona asista o no asista a una actividad.

Condiciones del modelo binomial

Una situación puede modelarse con distribución binomial si cumple estas condiciones:

Hay un número fijo de intentos, llamado \(n\).
Cada intento tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito es la misma en cada intento, llamada \(p\).
Los intentos son independientes entre sí.

Fórmula binomial

Si \(X\) representa la cantidad de éxitos en \(n\) intentos, entonces:

\[ P(X=k)=C(n,k)\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} \]

Donde:

\(n\) es la cantidad total de intentos.
\(k\) es la cantidad de éxitos que se quieren obtener.
\(p\) es la probabilidad de éxito en un intento.
\(1-p\) es la probabilidad de fracaso en un intento.
\(C(n,k)\) cuenta las formas de ubicar los \(k\) éxitos entre los \(n\) intentos.

¿Dónde aparece la combinatoria?

La parte combinatoria de la fórmula es:

\[ C(n,k) \]

Esta cantidad indica de cuántas formas pueden ubicarse los éxitos dentro de los \(n\) intentos.

Por ejemplo, si se lanzan 4 monedas y se quieren exactamente 2 caras, las caras pueden aparecer en distintas posiciones:

\[ C(4,2)=6 \]

Ejemplo 1: lanzar una moneda

Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Definimos éxito como obtener cara.

\(n=4\), porque hay 4 lanzamientos.
\(k=3\), porque se quieren exactamente 3 caras.
\(p=\frac{1}{2}\), porque la probabilidad de cara es \(\frac{1}{2}\).
\(1-p=\frac{1}{2}\), porque la probabilidad de sello también es \(\frac{1}{2}\).

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=3)=C(4,3)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]

\[ C(4,3)=4 \]

Entonces:

\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2} \]

\[ P(X=3)=4\cdot\frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]

La probabilidad de obtener exactamente 3 caras es \(\frac{1}{4}\).

Ejemplo 2: responder preguntas al azar

Una prueba tiene 5 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 4 alternativas y solo una es correcta. Si una persona responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 2 preguntas?

Definimos éxito como responder correctamente una pregunta.

\(n=5\)
\(k=2\)
\(p=\frac{1}{4}\)
\(1-p=\frac{3}{4}\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=2)=C(5,2)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3 \]

Calculamos:

\[ C(5,2)=10 \]

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16} \]

\[ \left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64} \]

Entonces:

\[ P(X=2)=10\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{27}{64} \]

\[ P(X=2)=\frac{270}{1024}=\frac{135}{512} \]

La probabilidad de acertar exactamente 2 preguntas es \(\frac{135}{512}\).

Error común

No se debe olvidar el factor \(C(n,k)\).

Por ejemplo, si se quieren exactamente 2 respuestas correctas en 5 preguntas, esas 2 respuestas correctas pueden estar en distintas posiciones.

La combinatoria cuenta esas ubicaciones posibles:

\[ C(5,2) \]

Ejemplo 3: productos defectuosos

En una fábrica, la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}1\). Si se revisan 6 productos de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 sea defectuoso?

Definimos éxito como obtener un producto defectuoso.

\(n=6\)
\(k=1\)
\(p=0{,}1\)
\(1-p=0{,}9\)

Aplicamos la fórmula:

\[ P(X=1)=C(6,1)\cdot(0{,}1)^1\cdot(0{,}9)^5 \]

\[ C(6,1)=6 \]

\[ P(X=1)=6\cdot 0{,}1\cdot(0{,}9)^5 \]

\[ (0{,}9)^5=0{,}59049 \]

\[ P(X=1)=6\cdot 0{,}1\cdot 0{,}59049=0{,}354294 \]

La probabilidad es aproximadamente \(0{,}3543\), es decir, cerca de \(35{,}43\%\).

Ejemplo 4: al menos un éxito

Una persona lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

Cuando se pide “al menos una”, conviene usar el complemento.

El evento contrario de “al menos una cara” es “ninguna cara”.

Entonces:

\[ P(\text{al menos una cara})=1-P(\text{ninguna cara}) \]

Si no sale ninguna cara, entonces los 5 lanzamientos son sellos:

\[ P(\text{ninguna cara})=\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32} \]

Por lo tanto:

\[ P(\text{al menos una cara})=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32} \]

La probabilidad de obtener al menos una cara es \(\frac{31}{32}\).

Uso del complemento en binomial

Cuando se pide “al menos uno”, muchas veces es más simple calcular:

\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]

Esto evita sumar varios casos.

Ejemplo 5: tabla de distribución

Se lanza una moneda 3 veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.

Los valores posibles de \(X\) son:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]

\(k\)	Cálculo	\(P(X=k)\)
\(0\)	\(C(3,0)\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^3\)	\(\frac{1}{8}\)
\(1\)	\(C(3,1)\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^2\)	\(\frac{3}{8}\)
\(2\)	\(C(3,2)\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1\)	\(\frac{3}{8}\)
\(3\)	\(C(3,3)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^0\)	\(\frac{1}{8}\)

La suma de todas las probabilidades debe ser \(1\):

\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=1 \]

Resumen del modelo binomial

Elemento	Significado
\(n\)	Cantidad total de intentos.
\(k\)	Cantidad exacta de éxitos buscados.
\(p\)	Probabilidad de éxito en un intento.
\(1-p\)	Probabilidad de fracaso en un intento.
\(C(n,k)\)	Formas de ubicar los éxitos entre los intentos.
\(P(X=k)\)	Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos.

Ejercicio 1

Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?

Ejercicio 2

Una prueba tiene 4 preguntas de selección múltiple, cada una con 5 alternativas y solo una correcta. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 1 pregunta?

Ejercicio 3

Una jugadora lanza un dado 6 veces. Se considera éxito obtener un \(6\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 veces el número \(6\)?

Ejercicio 4

En una fábrica, la probabilidad de que un producto salga defectuoso es \(0{,}05\). Si se revisan 5 productos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 sea defectuoso?

Ejercicio 5

Una persona lanza una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

Ejercicio 6

Una prueba tiene 6 preguntas de verdadero o falso. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 4 preguntas?

Ejercicio 7

En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera una aplicación es \(0{,}6\). Si se consulta a 4 personas de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 la prefieran?

Ejercicio 8

Una jugadora lanza un dado 4 veces. Se considera éxito obtener un número par. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 números pares?

Cierre del libro

La combinatoria permite contar posibilidades de manera ordenada. En este libro se estudiaron principios de conteo, variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición.

La distribución binomial muestra una aplicación importante: usar combinaciones para calcular probabilidades cuando se repite un experimento con dos resultados posibles.

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial
Libro:	combinatoria y probabilidades

Imprimido por:	Invitado
Día:	sábado, 25 de julio de 2026, 18:20

combinatoria y probabilidades

Tabla de contenidos

1. Combinatoria: ¿por qué necesitamos contar?

Objetivo de aprendizaje

Idea inicial

Ejemplo 1: contar haciendo una lista

Observación

Ejemplo 2: cuando listar ya no conviene

Preguntas clave de la combinatoria

Ejemplo 3: el orden puede cambiar el resultado

Ejemplo 4: el orden puede no importar

Error común

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Para continuar

2. Principio multiplicativo

Objetivo de aprendizaje

Idea central

Principio multiplicativo

Ejemplo 1: menú de colación

Ejemplo 2: tabla de posibilidades

Cómo reconocerlo

Ejemplo 3: clave con letras y números

Ejemplo 4: más de dos etapas

Error común

Ejemplo 5: decidir si corresponde multiplicar

Relación con las próximas páginas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Para continuar

3. Principio aditivo

Objetivo de aprendizaje

Idea central

Principio aditivo

Ejemplo 1: elegir una actividad

Ejemplo 2: elegir un libro

Cómo reconocerlo

Ejemplo 3: sumar casos separados

Error común

Ejemplo 4: distinguir suma y multiplicación

Combinación de principios

Ejemplo 5: sumar después de multiplicar

Casos que se repiten

Ejemplo 6: cuidado con contar dos veces

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Para continuar

4. Factorial

Objetivo de aprendizaje

Idea central

Definición de factorial

Ejemplo 1: calcular factoriales

Relación entre factoriales consecutivos

Ejemplo 2: usar el factorial anterior

Ejemplo 3: simplificar cocientes con factoriales

Error común

Ejemplo 4: expresión con suma de factoriales

Ejemplo 5: expresión con división de factoriales

¿Por qué el factorial sirve para contar?

Ejemplo 6: ordenar personas en una fila

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6