Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 19:59 |
Tabla de contenidos
- 1. Modelos y semejanza en la realidad
- 2. Razón de semejanza
- 3. Modelos a escala
- 4. Aumentos y reducciones
- 5. Criterios de semejanza en triángulos
- 6. Teorema de Euclides: altura
- 7. Teorema de Euclides: catetos
- 8. Homotecia: centro, factor y orientación
- 9. Vectores, escalar
- 10. Homotecia en el plano cartesiano
- 11. Propuesta: cierre integrador de la unidad
1. Modelos y semejanza en la realidad
Objetivos
- Comparar objetos reales con modelos y reconocer relaciones de forma y tamaño.
- Distinguir congruencia, equivalencia y semejanza en figuras sencillas.
- Usar lenguaje matemático para describir copias ampliadas o reducidas.
Modelos que conservan la forma
Un modelo a escala conserva la forma del objeto real, pero cambia su tamaño. Esto ocurre en maquetas, mapas, planos, fotografías, dibujos técnicos y representaciones científicas.
Cuando dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño, decimos que son semejantes.
Tres relaciones que conviene separar
| Relación | Qué conserva | Ejemplo |
|---|---|---|
| Congruencia | Forma y tamaño | Dos baldosas iguales |
| Equivalencia | Área, aunque cambie la forma | Un rectángulo y un triángulo con la misma área |
| Semejanza | Forma, pero no necesariamente tamaño | Un plano y una casa real |
Ejemplo: una maqueta de una sala
Una maqueta representa una sala rectangular. La sala real mide \(8\) m de largo y \(6\) m de ancho. La maqueta mide \(40\) cm de largo y \(30\) cm de ancho.
Comparamos las razones entre largo y ancho:
\[ \frac{8}{6}=\frac{4}{3} \qquad\text{y}\qquad \frac{40}{30}=\frac{4}{3} \]
Como ambas razones son iguales, la maqueta conserva la forma rectangular de la sala.
Ejercicio 1: reconocer relaciones en figuras
Observa cada par de figuras. Guíate por la cuadrícula para confirmar las medidas y decide si la relación más precisa es congruencia, equivalencia o semejanza.
-
Par A
-
Par B
-
Par C
- Par A: congruencia. Los triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño; solo están ubicados en otro lugar.
- Par B: equivalencia. El primer rectángulo mide \(4\times 2\), por lo tanto su área es \(8\). El segundo mide \(1\times 8\), por lo tanto su área también es \(8\). Tienen la misma área, pero no la misma forma.
- Par C: semejanza. Ambos son cuadrados, por lo que conservan la forma, pero no tienen el mismo tamaño.
Observación: una figura congruente también conserva forma y área, pero cuando se pide la relación más precisa, conviene responder congruencia.
Ejercicio 2: ampliación, reducción o deformación
La figura de la izquierda es la original. Observa las dos copias: la del centro y la de la derecha. Indica cuál conserva la forma y cuál fue deformada.
Responde:
- ¿Cuál copia es semejante a la figura original?
- ¿Cuál copia no conserva la forma?
- ¿Cómo podrías justificar tu respuesta usando base y altura?
- La copia del centro es semejante a la figura original.
- La copia de la derecha no conserva la forma: fue estirada más en una dirección que en otra.
- En la figura original, la base mide \(2\) unidades y la altura mide \(2\) unidades, entonces la razón es \(2/2=1\). En la copia del centro, la base mide \(4\) y la altura mide \(4\), entonces \(4/4=1\). Se conserva la proporción. En la copia de la derecha, la base mide \(4\), pero la altura mide \(2\), entonces \(4/2=2\). No se conserva la proporción.
Ejercicio 3: verificar con razones
Decide si el modelo conserva la forma del objeto real. Para ello, compara la razón entre largo y ancho.
- Real: \(12\) m por \(8\) m; modelo: \(6\) cm por \(4\) cm.
- Real: \(15\) m por \(10\) m; modelo: \(9\) cm por \(6\) cm.
- Real: \(20\) m por \(8\) m; modelo: \(10\) cm por \(5\) cm.
- Real: \(18\) m por \(12\) m; modelo: \(3\) cm por \(2\) cm.
Comparamos largo/ancho en cada caso.
- \(12/8=3/2\) y \(6/4=3/2\). Conserva la forma.
- \(15/10=3/2\) y \(9/6=3/2\). Conserva la forma.
- \(20/8=5/2\), pero \(10/5=2\). No conserva la forma.
- \(18/12=3/2\) y \(3/2=3/2\). Conserva la forma.
Ejercicio 4: explicar con palabras
Responde brevemente.
- ¿Por qué una maqueta no suele ser congruente con el objeto real?
- ¿Puede una figura ser semejante a otra y no tener la misma área?
- ¿Puede una figura tener la misma área que otra y no ser semejante?
- ¿Qué dato revisarías primero para saber si una foto fue deformada?
- ¿Por qué un mapa necesita escala?
- ¿Qué significa que un modelo sea una reducción?
- Porque conserva la forma, pero normalmente cambia el tamaño.
- Sí. Si se amplía o reduce, el área cambia aunque la forma se conserve.
- Sí. Dos figuras distintas pueden tener igual área.
- Revisaría si las razones entre largo y ancho se mantienen.
- Porque representa distancias reales usando medidas pequeñas.
- Que todas sus medidas lineales son menores que las reales en un mismo factor.
Idea clave
En semejanza no basta con que algo se vea parecido: las medidas correspondientes deben mantener la misma proporción.
2. Razón de semejanza
Objetivos
- Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.
- Identificar lados correspondientes en figuras semejantes.
- Usar la razón de semejanza para encontrar medidas faltantes.
Razón de semejanza
Si dos figuras son semejantes, la razón entre medidas correspondientes es constante.
\[ k=\frac{\text{medida de la imagen}}{\text{medida de la figura original}} \]
Si \(k>1\), hay ampliación. Si \(0<k<1\), hay reducción.
Lados correspondientes
Los lados correspondientes ocupan la misma posición relativa en ambas figuras. Comparar lados incorrectos puede producir una razón falsa.
En los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\), las correspondencias son:
| Figura original | Figura imagen |
|---|---|
| \(AB\) | \(A'B'\) |
| \(BC\) | \(B'C'\) |
| \(CA\) | \(C'A'\) |
Ejemplo: calcular una medida faltante
Los rectángulos \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=5\) cm, \(A'B'=15\) cm y \(BC=4\) cm. ¿Cuánto mide \(B'C'\)?
Primero calculamos la razón de semejanza desde el rectángulo original hacia la imagen:
\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{15}{5}=3 \]
Como \(BC\) corresponde a \(B'C'\), multiplicamos por la misma razón:
\[ B'C'=BC\cdot k=4\cdot 3=12 \]
Por lo tanto, \(B'C'=12\) cm.
Estrategia
- Identifica cuál figura es la original y cuál es la imagen.
- Reconoce lados correspondientes.
- Calcula \(k\) usando dos medidas correspondientes conocidas.
- Usa la misma razón para encontrar la medida faltante.
Ejercicio 1: calcular \(k\) con apoyo de la cuadrícula
Observa los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\). Guíate por la cuadrícula para comparar lados correspondientes.
- ¿Cuál es el lado correspondiente a \(AB\)?
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(A'B'C'\).
- ¿La imagen es una ampliación o una reducción?
- El lado correspondiente a \(AB\) es \(A'B'\).
- En la cuadrícula se observa que \(AB=3\) y \(A'B'=6\). Entonces: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{3}=2 \]
- Como \(k=2>1\), la imagen es una ampliación.
Ejercicio 2: medida faltante en rectángulos semejantes
Los rectángulos \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=6\) cm, \(A'B'=9\) cm y \(BC=4\) cm.
- Calcula \(k\) desde \(ABCD\) hacia \(A'B'C'D'\).
- Encuentra la medida de \(B'C'\).
- Indica si la imagen es una ampliación o una reducción.
- Como \(AB\) corresponde a \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \]
- Como \(BC\) corresponde a \(B'C'\): \[ B'C'=BC\cdot k=4\cdot \frac{3}{2}=6 \] Por lo tanto, \(B'C'=6\) cm.
- Como \(k=\frac{3}{2}>1\), la imagen es una ampliación.
Ejercicio 3: reducción en triángulos
Los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=12\) cm, \(A'B'=8\) cm y \(AC=9\) cm.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(A'B'C'\).
- Encuentra \(A'C'\).
- Explica por qué corresponde a una reducción.
- Como \(AB\) corresponde a \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
- Como \(AC\) corresponde a \(A'C'\): \[ A'C'=AC\cdot k=9\cdot \frac{2}{3}=6 \] Por lo tanto, \(A'C'=6\) cm.
- Es una reducción porque \(0<k<1\). En este caso, \(k=\frac{2}{3}\).
Ejercicio 4: decidir si son semejantes
Observa cada par de rectángulos. Decide si son semejantes comparando las razones entre lados correspondientes.
- Par superior: \(AB=5\), \(BC=3\), \(A'B'=10\), \(B'C'=6\). ¿Son semejantes?
- Par inferior: \(EF=4\), \(FG=6\), \(E'F'=10\), \(F'G'=12\). ¿Son semejantes?
- Par superior: \[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{10}{5}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{3}=2 \] Como las razones coinciden, sí son semejantes.
- Par inferior: \[ \frac{E'F'}{EF}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{F'G'}{FG}=\frac{12}{6}=2 \] Como las razones no coinciden, no son semejantes.
Ejercicio 5: corregir una comparación incorrecta
Los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=5\) cm, \(BC=4\) cm, \(CA=3\) cm, \(A'B'=10\) cm, \(B'C'=8\) cm y \(C'A'=6\) cm.
Un estudiante calculó:
\[ k=\frac{A'B'}{CA}=\frac{10}{3} \]
- ¿Cuál fue su error?
- Calcula correctamente la razón de semejanza.
- El error fue comparar lados que no son correspondientes. El lado \(A'B'\) corresponde a \(AB\), no a \(CA\).
- Calculamos con lados correspondientes: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{10}{5}=2 \] También se confirma con: \[ \frac{B'C'}{BC}=\frac{8}{4}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{C'A'}{CA}=\frac{6}{3}=2 \] Por lo tanto, la razón correcta es \(k=2\).
Ejercicio 6: construir una imagen semejante
El triángulo \(ABC\) es la figura original. Se quiere construir una imagen \(A'B'C'\) con razón de semejanza \(k=\frac{3}{2}\). Guíate por la cuadrícula.
- Verifica que \(A'B'\) corresponde a \(AB\).
- Verifica que \(A'C'\) corresponde a \(AC\).
- Comprueba que la razón de semejanza es \(k=\frac{3}{2}\).
- El lado \(AB\) es horizontal en la base del triángulo original, y \(A'B'\) ocupa la misma posición en la imagen.
- El lado \(AC\) es vertical en el triángulo original, y \(A'C'\) ocupa la misma posición en la imagen.
- En la cuadrícula se observa que \(AB=4\) y \(A'B'=6\), entonces: \[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \] Además, \(AC=2\) y \(A'C'=3\), entonces: \[ \frac{A'C'}{AC}=\frac{3}{2} \] Como ambas razones coinciden, la imagen fue construida con razón \(k=\frac{3}{2}\).
Error frecuente
No compares cualquier lado con cualquier lado. Primero identifica qué medidas se corresponden y luego calcula la razón.
3. Modelos a escala
Objetivos
- Determinar escalas entre un modelo y la realidad.
- Calcular medidas reales a partir de un plano o maqueta.
- Calcular medidas de un modelo a partir de medidas reales.
Escala
Una escala compara una medida del modelo con la medida real correspondiente, usando la misma unidad.
\[ \text{escala}=\frac{\text{medida en el modelo}}{\text{medida real}} \]
Por ejemplo, escala \(1:200\) significa que \(1\) cm en el modelo representa \(200\) cm en la realidad.
Del plano al lugar real
Las escalas se usan para leer planos de casas, mapas, maquetas, piezas tecnológicas y representaciones científicas.
En un plano o maqueta, las medidas se dibujan más pequeñas que en la realidad, pero se mantiene una proporción constante.
Ejemplo: escala de una plaza
En un plano, una plaza rectangular mide \(8\) cm por \(5\) cm. La escala es \(1:500\). ¿Cuáles son sus medidas reales?
Cada centímetro representa \(500\) cm reales.
Como \(500\) cm \(=5\) m, entonces:
\[ 8\cdot 5=40 \qquad\text{y}\qquad 5\cdot 5=25 \]
La plaza mide \(40\) m por \(25\) m.
Estrategia
En escalas siempre usa una misma unidad antes de comparar. Si mezclas metros con centímetros, la razón no tendrá sentido.
- Identifica si buscas una medida real, una medida del modelo o la escala.
- Convierte las unidades cuando sea necesario.
- Usa la relación \(1:n\): cada \(1\) unidad del modelo representa \(n\) unidades reales.
Ejercicio 1: plano de una sala
En el plano de una sala, el largo mide \(7\) cm y el ancho mide \(4\) cm. La escala es \(1:100\).
- Calcula el largo real de la sala.
- Calcula el ancho real de la sala.
- Expresa ambas medidas reales en metros.
La escala \(1:100\) significa que \(1\) cm en el plano representa \(100\) cm reales.
- Largo real: \[ 7\cdot 100=700\text{ cm} \] Como \(700\) cm \(=7\) m, el largo real es \(7\) m.
- Ancho real: \[ 4\cdot 100=400\text{ cm} \] Como \(400\) cm \(=4\) m, el ancho real es \(4\) m.
- La sala mide \(7\) m por \(4\) m.
Ejercicio 2: maqueta de una cancha
Una maqueta de una cancha rectangular está construida a escala \(1:500\). En la maqueta, el largo mide \(18\) cm y el ancho mide \(10\) cm.
- Calcula el largo real de la cancha.
- Calcula el ancho real de la cancha.
- Expresa el resultado en metros.
La escala \(1:500\) significa que \(1\) cm en la maqueta representa \(500\) cm reales.
- Largo real: \[ 18\cdot 500=9000\text{ cm} \] Como \(9000\) cm \(=90\) m, el largo real es \(90\) m.
- Ancho real: \[ 10\cdot 500=5000\text{ cm} \] Como \(5000\) cm \(=50\) m, el ancho real es \(50\) m.
- La cancha mide \(90\) m por \(50\) m.
Ejercicio 3: del lugar real al plano
Una biblioteca rectangular mide \(24\) m de largo y \(15\) m de ancho. Se quiere dibujar un plano a escala \(1:300\).
- Calcula cuánto debe medir el largo en el plano.
- Calcula cuánto debe medir el ancho en el plano.
Primero convertimos las medidas reales a centímetros:
\[ 24\text{ m}=2400\text{ cm} \qquad\text{y}\qquad 15\text{ m}=1500\text{ cm} \]
Como la escala es \(1:300\), dividimos cada medida real en centímetros por \(300\).
- Largo en el plano: \[ 2400\div 300=8\text{ cm} \]
- Ancho en el plano: \[ 1500\div 300=5\text{ cm} \]
El plano debe medir \(8\) cm por \(5\) cm.
Ejercicio 4: determinar la escala de un plano
En un plano, el pasillo de un colegio mide \(6\) cm. En la realidad, ese pasillo mide \(18\) m.
- Convierte \(18\) m a centímetros.
- Determina la escala del plano.
- Convertimos la medida real: \[ 18\text{ m}=1800\text{ cm} \]
- Comparamos modelo con realidad: \[ 6:1800 \] Dividimos ambas cantidades por \(6\): \[ 6:1800=1:300 \] Por lo tanto, la escala es \(1:300\).
Ejercicio 5: comparar dos planos
Dos estudiantes dibujan el mismo patio rectangular, que en la realidad mide \(30\) m de largo. Sus planos tienen las siguientes medidas:
| Plano | Medida en el plano | Medida real correspondiente |
|---|---|---|
| Plano A | \(10\) cm | \(30\) m |
| Plano B | \(6\) cm | \(30\) m |
- Determina la escala del plano A.
- Determina la escala del plano B.
- ¿Cuál plano representa el patio con mayor tamaño en el papel?
Primero convertimos \(30\) m a centímetros:
\[ 30\text{ m}=3000\text{ cm} \]
- Plano A: \[ 10:3000=1:300 \] La escala del plano A es \(1:300\).
- Plano B: \[ 6:3000=1:500 \] La escala del plano B es \(1:500\).
- El plano A representa el patio con mayor tamaño en el papel, porque \(10\) cm es mayor que \(6\) cm para la misma medida real.
Ejercicio 6: elegir una escala adecuada
Una sala mide \(8\) m de largo y se quiere dibujar en una hoja. Se proponen tres escalas posibles.
| Escala | Medida del largo en el plano |
|---|---|
| \(1:50\) | Por calcular |
| \(1:100\) | Por calcular |
| \(1:200\) | Por calcular |
- Calcula cuánto mediría el largo en el plano con cada escala.
- Si la hoja permite un dibujo de máximo \(10\) cm de largo, ¿qué escalas sirven?
Convertimos \(8\) m a centímetros:
\[ 8\text{ m}=800\text{ cm} \]
- Con escala \(1:50\): \[ 800\div 50=16\text{ cm} \] Con escala \(1:100\): \[ 800\div 100=8\text{ cm} \] Con escala \(1:200\): \[ 800\div 200=4\text{ cm} \]
- Si el máximo permitido es \(10\) cm, sirven las escalas \(1:100\) y \(1:200\). La escala \(1:50\) no sirve porque produciría un dibujo de \(16\) cm.
Error frecuente
No calcules la escala comparando \(6\) cm con \(18\) m directamente. Antes debes usar la misma unidad: \(18\) m \(=1800\) cm.
4. Aumentos y reducciones
Objetivos
- Determinar factores de aumento o reducción en imágenes.
- Calcular nuevas medidas al ampliar o reducir figuras.
- Distinguir cambio lineal y cambio de área en figuras semejantes.
Factor lineal y área
Si una figura se amplía o reduce con factor \(k\), sus longitudes se multiplican por \(k\).
El área, en cambio, se multiplica por \(k^2\).
\[ \text{longitud nueva}=k\cdot\text{longitud original} \]
\[ \text{área nueva}=k^2\cdot\text{área original} \]
Ejemplo: una foto ampliada
Una foto mide \(10\) cm por \(15\) cm. Se amplía con factor \(2\).
Las nuevas medidas son:
\[ 10\cdot 2=20 \qquad\text{y}\qquad 15\cdot 2=30 \]
El área original era:
\[ 10\cdot 15=150\text{ cm}^2 \]
El área nueva es:
\[ 20\cdot 30=600\text{ cm}^2 \]
Observa que el área se multiplicó por \(4\), porque \(2^2=4\).
Cuidado con el área
Si duplicas los lados de una figura, el área no se duplica: se cuadruplica. Esta diferencia es muy importante al trabajar con imágenes, planos y figuras semejantes.
Ejercicio 1: factor de aumento en una imagen
El rectángulo \(ABCD\) es la figura original y \(A'B'C'D'\) es su imagen. Usa las medidas indicadas para responder.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Indica si corresponde a un aumento o una reducción.
- Calcula por cuánto se multiplica el área.
- Comparamos lados correspondientes: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5 \]
- Como \(k>1\), corresponde a un aumento.
- El área se multiplica por: \[ k^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25 \] Por lo tanto, el área queda \(2{,}25\) veces la original.
Ejercicio 2: reducción de una figura
El triángulo \(ABC\) se reduce para obtener el triángulo \(A'B'C'\). Se sabe que \(AB=12\) cm, \(AC=9\) cm, \(A'B'=8\) cm.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Encuentra la medida \(A'C'\).
- Calcula por cuánto se multiplica el área.
- Comparamos \(AB\) con \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
- Como \(AC\) corresponde a \(A'C'\): \[ A'C'=9\cdot \frac{2}{3}=6 \] Por lo tanto, \(A'C'=6\) cm.
- El área se multiplica por: \[ k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9} \] Por lo tanto, el área queda en \(\frac{4}{9}\) del área original.
Ejercicio 3: detectar una deformación
Una imagen rectangular original mide \(8\) cm de largo y \(5\) cm de alto. Se proponen dos cambios:
| Caso | Largo nuevo | Alto nuevo |
|---|---|---|
| Imagen A | \(16\) cm | \(10\) cm |
| Imagen B | \(16\) cm | \(8\) cm |
- Determina si la imagen A conserva la forma.
- Determina si la imagen B conserva la forma.
- Explica cuál imagen está deformada.
- Para la imagen A: \[ \frac{16}{8}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{10}{5}=2 \] Como ambos factores son iguales, la imagen A conserva la forma.
- Para la imagen B: \[ \frac{16}{8}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{8}{5}=1{,}6 \] Como los factores no son iguales, la imagen B no conserva la forma.
- La imagen B está deformada porque el largo y el alto no se multiplicaron por el mismo factor.
Ejercicio 4: dimensiones y área nueva
Completa cada situación. En todos los casos, la figura nueva es semejante a la original.
| Figura original | Factor \(k\) | Medidas nuevas | Factor de área |
|---|---|---|---|
| Rectángulo \(6\) cm por \(4\) cm | \(3\) | Por calcular | Por calcular |
| Cuadrado de lado \(18\) cm | \(\frac{1}{3}\) | Por calcular | Por calcular |
| Triángulo con lados \(5\), \(6\), \(7\) | \(2\) | Por calcular | Por calcular |
- Rectángulo \(6\) cm por \(4\) cm, con \(k=3\): \[ 6\cdot 3=18 \qquad\text{y}\qquad 4\cdot 3=12 \] Medidas nuevas: \(18\) cm por \(12\) cm. El factor de área es: \[ 3^2=9 \]
- Cuadrado de lado \(18\) cm, con \(k=\frac{1}{3}\): \[ 18\cdot \frac{1}{3}=6 \] El nuevo lado mide \(6\) cm. El factor de área es: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
- Triángulo con lados \(5\), \(6\), \(7\), con \(k=2\): \[ 5\cdot 2=10,\quad 6\cdot 2=12,\quad 7\cdot 2=14 \] Los nuevos lados son \(10\), \(12\) y \(14\). El factor de área es: \[ 2^2=4 \]
Ejercicio 5: área original y área nueva
Resuelve considerando que el área se multiplica por \(k^2\).
- Un cuadrado de lado \(5\) cm se amplía con \(k=2\). ¿Cuál es su nueva área?
- Un rectángulo de área \(24\text{ cm}^2\) se reduce con \(k=\frac{1}{2}\). ¿Cuál es su nueva área?
- Un triángulo de área \(18\text{ cm}^2\) se amplía con \(k=3\). ¿Cuál es su nueva área?
- Una figura de área \(200\text{ cm}^2\) se reduce con \(k=0{,}4\). ¿Cuál es su nueva área?
- El área original del cuadrado es: \[ 5^2=25\text{ cm}^2 \] Como \(k=2\), el área se multiplica por \(2^2=4\): \[ 25\cdot 4=100\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=\frac{1}{2}\), el área se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \] Entonces: \[ 24\cdot \frac{1}{4}=6\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=3\), el área se multiplica por: \[ 3^2=9 \] Entonces: \[ 18\cdot 9=162\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=0{,}4\), el área se multiplica por: \[ 0{,}4^2=0{,}16 \] Entonces: \[ 200\cdot 0{,}16=32\text{ cm}^2 \]
Ejercicio 6: encontrar el factor lineal desde el área
En cada caso, encuentra el factor lineal positivo \(k\).
- El área de una figura se multiplicó por \(9\).
- El área de una figura se multiplicó por \(4\).
- El área de una figura quedó en \(\frac{1}{4}\) de la original.
- El área de una figura quedó en \(\frac{1}{16}\) de la original.
Como el área se multiplica por \(k^2\), buscamos el valor positivo de \(k\).
- Si \(k^2=9\), entonces: \[ k=3 \]
- Si \(k^2=4\), entonces: \[ k=2 \]
- Si \(k^2=\frac{1}{4}\), entonces: \[ k=\frac{1}{2} \]
- Si \(k^2=\frac{1}{16}\), entonces: \[ k=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 7: ampliación de una fotografía
Una fotografía mide \(8\) cm por \(10\) cm. Se amplía a \(12\) cm por \(15\) cm.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Verifica que el largo y el ancho fueron multiplicados por el mismo factor.
- Calcula por cuánto se multiplicó el área.
- Calcula el área original y el área nueva para comprobar tu respuesta.
- Calculamos con una dimensión: \[ k=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1{,}5 \]
- Verificamos con la otra dimensión: \[ \frac{15}{10}=\frac{3}{2}=1{,}5 \] Como ambos factores son iguales, la fotografía no se deformó.
- El área se multiplicó por: \[ k^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
- Área original: \[ 8\cdot 10=80\text{ cm}^2 \] Área nueva: \[ 12\cdot 15=180\text{ cm}^2 \] Comprobamos: \[ \frac{180}{80}=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
Lectura visual
Una imagen puede verse más grande o más pequeña, pero solo conserva su forma si el largo y el ancho se multiplican por el mismo factor. Si cada dimensión cambia con un factor distinto, la imagen queda deformada.
5. Criterios de semejanza en triángulos
Objetivos
- Reconocer criterios de semejanza en triángulos.
- Aplicar semejanza de triángulos para calcular medidas.
- Justificar relaciones proporcionales usando AA, LAL o LLL.
Criterios principales
| Criterio | Información necesaria | Idea |
|---|---|---|
| AA | Dos ángulos correspondientes iguales | El tercer ángulo también coincide |
| LAL | Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual | La forma queda determinada |
| LLL | Tres pares de lados proporcionales | Todas las longitudes cambian con el mismo factor |
Antes de usar un criterio
Para justificar que dos triángulos son semejantes, primero se debe identificar qué vértices, lados o ángulos son correspondientes.
Si \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\), entonces las correspondencias son \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) y \(C\leftrightarrow F\). Por lo tanto:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k \]
Ejemplo 1: criterio AA
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ \angle A=\angle D=45^\circ \qquad\text{y}\qquad \angle B=\angle E=65^\circ \]
Como hay dos pares de ángulos correspondientes iguales, los triángulos son semejantes por criterio AA:
\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]
Ejemplo 2: criterio LAL
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ AB=6,\quad AC=8,\quad DE=9,\quad DF=12 \]
Además, \(\angle A=\angle D\). Decide si son semejantes.
Comparamos los lados que forman el ángulo igual:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]
Como los lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes por criterio LAL.
Ejemplo 3: criterio LLL
Un triángulo tiene lados \(5\), \(7\) y \(9\). Otro tiene lados \(10\), \(14\) y \(18\). ¿Son semejantes?
Comparamos las razones correspondientes:
\[ \frac{10}{5}=2,\qquad \frac{14}{7}=2,\qquad \frac{18}{9}=2 \]
Como las tres razones son iguales, los triángulos son semejantes por criterio LLL.
Idea clave
Primero justifica la semejanza; después usa proporciones. Saltarse la justificación puede llevar a usar razones donde no corresponden.
Ejercicio 1: identificar el criterio
Indica qué criterio permite justificar semejanza, si corresponde.
- Dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales.
- Un triángulo tiene lados \(3\), \(4\), \(5\), y otro tiene lados \(6\), \(8\), \(10\).
- Dos lados correspondientes cumplen \(5/10=7/14\), y el ángulo comprendido entre esos lados es igual.
- Un triángulo tiene lados \(4\), \(6\), \(9\), y otro tiene lados \(8\), \(12\), \(20\).
- Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo correspondiente igual.
- Dos lados correspondientes son proporcionales, pero el ángulo igual no está comprendido entre ellos.
- AA, porque dos ángulos correspondientes iguales son suficientes.
- LLL, porque: \[ \frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2 \]
- LAL, porque los dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual.
- No se justifica por LLL, porque: \[ \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{12}{6}=2,\qquad \frac{20}{9}\neq 2 \]
- AA, porque ambos triángulos tienen \(90^\circ\) y un ángulo agudo correspondiente igual.
- No basta para LAL, porque el ángulo igual debe estar comprendido entre los lados proporcionales.
Ejercicio 2: aplicar AA y calcular una medida
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ \angle A=\angle D=42^\circ \qquad\text{y}\qquad \angle B=\angle E=68^\circ \]
Además, \(AB=8\), \(DE=12\) y \(BC=10\).
- Justifica la semejanza.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Encuentra \(EF\).
- Son semejantes por criterio AA, porque tienen dos pares de ángulos correspondientes iguales.
- Como \(AB\) corresponde a \(DE\): \[ k=\frac{DE}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]
- Como \(BC\) corresponde a \(EF\): \[ EF=BC\cdot k=10\cdot \frac{3}{2}=15 \] Por lo tanto, \(EF=15\).
Ejercicio 3: aplicar LAL y calcular una medida
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ AB=5,\quad AC=7,\quad DE=15,\quad DF=21 \]
Además, \(\angle A=\angle D\). Si \(BC=8\), encuentra \(EF\).
Primero verificamos los lados que forman el ángulo igual:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{15}{5}=3 \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{21}{7}=3 \]
Como los lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes por LAL.
La razón de semejanza es \(k=3\). Como \(BC\) corresponde a \(EF\):
\[ EF=BC\cdot k=8\cdot 3=24 \]
Por lo tanto, \(EF=24\).
Ejercicio 4: aplicar LLL y calcular perímetro
Los lados del triángulo \(ABC\) miden \(6\), \(9\) y \(12\). Los lados correspondientes del triángulo \(DEF\) miden \(10\), \(15\) y \(20\).
- Justifica si los triángulos son semejantes por LLL.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Calcula el perímetro de \(DEF\).
- Comparamos los lados correspondientes: \[ \frac{10}{6}=\frac{5}{3},\qquad \frac{15}{9}=\frac{5}{3},\qquad \frac{20}{12}=\frac{5}{3} \] Como las tres razones son iguales, son semejantes por LLL.
- La razón de semejanza es: \[ k=\frac{5}{3} \]
- El perímetro de \(DEF\) es: \[ 10+15+20=45 \]
Ejercicio 5: decidir entre AA, LAL, LLL o no corresponde
Para cada caso, indica si se puede justificar semejanza y escribe el criterio correspondiente.
| Caso | Información |
|---|---|
| A | Ángulos correspondientes \(30^\circ\) y \(80^\circ\) en ambos triángulos. |
| B | Lados \(4,6,10\) y \(8,12,20\). |
| C | Lados \(5\) y \(9\) proporcionales a \(10\) y \(18\), con el ángulo comprendido igual. |
| D | Lados \(3,5,7\) y \(6,10,15\). |
| E | Un solo par de ángulos correspondientes iguales. |
- Caso A: AA, porque hay dos ángulos correspondientes iguales.
- Caso B: LLL, porque: \[ \frac{8}{4}=\frac{12}{6}=\frac{20}{10}=2 \]
- Caso C: LAL, porque: \[ \frac{10}{5}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{18}{9}=2 \] y el ángulo comprendido es igual.
- Caso D: no corresponde LLL, porque: \[ \frac{6}{3}=2,\qquad \frac{10}{5}=2,\qquad \frac{15}{7}\neq 2 \]
- Caso E: no basta; un solo par de ángulos iguales no asegura semejanza.
Ejercicio 6: detectar un error en LAL
Un estudiante afirma que los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) son semejantes por LAL porque:
\[ AB=6,\quad AC=10,\quad DE=9,\quad DF=15 \]
Además, sabe que \(\angle B=\angle E\).
- Verifica si los lados dados son proporcionales.
- Explica por qué no se puede aplicar LAL con la información dada.
- Indica qué dato angular permitiría aplicar LAL correctamente.
- Los lados dados sí son proporcionales: \[ \frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2} \]
- No se puede aplicar LAL porque el ángulo informado es \(\angle B=\angle E\), pero los lados proporcionales dados son \(AB\), \(AC\), \(DE\) y \(DF\). El ángulo comprendido entre esos lados es \(\angle A\) en el primer triángulo y \(\angle D\) en el segundo.
- Para aplicar LAL correctamente, debería saberse que: \[ \angle A=\angle D \]
Ejercicio 7: problema integrador
Los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) tienen lados:
\[ AB=7,\quad BC=9,\quad CA=11 \]
\[ DE=14,\quad EF=18,\quad FD=22 \]
- Justifica si los triángulos son semejantes.
- Indica el criterio usado.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Si el perímetro de \(ABC\) es \(27\), verifica el perímetro de \(DEF\).
- Comparamos los lados correspondientes: \[ \frac{DE}{AB}=\frac{14}{7}=2,\qquad \frac{EF}{BC}=\frac{18}{9}=2,\qquad \frac{FD}{CA}=\frac{22}{11}=2 \] Como las tres razones son iguales, los triángulos son semejantes.
- El criterio usado es LLL.
- La razón de semejanza es: \[ k=2 \]
- El perímetro de \(DEF\) debe ser el doble del perímetro de \(ABC\): \[ 27\cdot 2=54 \] Además: \[ 14+18+22=54 \] Se verifica el resultado.
Error frecuente
No basta con encontrar “algo parecido”. Para justificar semejanza se debe indicar un criterio: AA, LAL o LLL, según la información disponible. En LAL, el ángulo igual debe estar entre los dos lados proporcionales.
6. Teorema de Euclides: altura
Objetivos
- Verificar pictóricamente el teorema de Euclides en un triángulo rectángulo.
- Relacionar la altura a la hipotenusa con las proyecciones que determina.
- Aplicar \(h^2=mn\) en problemas geométricos.
Altura a la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide la hipotenusa en dos segmentos. A esos segmentos los llamaremos \(m\) y \(n\).
Si \(CD\) es la altura a la hipotenusa, entonces \(h=CD\), \(m=AD\) y \(n=DB\).
Teorema de la altura
Si \(h\) es la altura a la hipotenusa y \(m,n\) son las dos proyecciones que esa altura determina sobre la hipotenusa, entonces:
\[ h^2=mn \]
Por lo tanto:
\[ h=\sqrt{mn} \]
Esta relación solo se aplica cuando la altura se traza desde el ángulo recto hacia la hipotenusa.
Origen por semejanza
La relación \(h^2=mn\) aparece porque la altura a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos más pequeños, y esos triángulos son semejantes entre sí y con el triángulo original.
Ejemplo 1: calcular la altura
La altura a la hipotenusa divide la hipotenusa en segmentos de \(9\) cm y \(16\) cm. Calcula la altura.
Aplicamos el teorema:
\[ h^2=mn \]
Reemplazamos \(m=9\) y \(n=16\):
\[ h^2=9\cdot 16=144 \]
Como \(h\) es una longitud, tomamos la raíz positiva:
\[ h=\sqrt{144}=12 \]
La altura mide \(12\) cm.
Ejemplo 2: encontrar una proyección
En un triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa mide \(12\) cm. Una de las proyecciones mide \(9\) cm. Calcula la otra proyección.
Usamos:
\[ h^2=mn \]
Reemplazamos \(h=12\) y \(m=9\):
\[ 12^2=9n \]
\[ 144=9n \]
Dividimos por \(9\):
\[ n=\frac{144}{9}=16 \]
La proyección faltante mide \(16\) cm.
Ejercicio 1: reconocer \(m\), \(n\) y \(h\)
Observa el triángulo rectángulo. La altura \(CD\) cae sobre la hipotenusa \(AB\).
- Identifica \(m\).
- Identifica \(n\).
- Calcula \(h\).
- Como \(m=AD\), entonces: \[ m=4 \]
- Como \(n=DB\), entonces: \[ n=9 \]
- Aplicamos el teorema de la altura: \[ h^2=mn=4\cdot 9=36 \] Entonces: \[ h=\sqrt{36}=6 \] Por lo tanto, \(h=6\) cm.
Ejercicio 2: calcular la altura
Calcula \(h\) usando el teorema de la altura. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica en la figura las proyecciones \(m\), \(n\) y la altura \(h\).
- \(m=4\), \(n=9\).
- \(m=2\), \(n=8\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=5\) cm y \(DB=20\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=3\) cm y \(DB=12\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=1\) cm y \(DB=25\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=16\) cm y \(DB=25\) cm, calcula \(CD\).
-
\[ h^2=4\cdot 9=36 \]
\[ h=6 \]
-
\[ h^2=2\cdot 8=16 \]
\[ h=4 \]
-
En la figura, \(m=AD=5\), \(n=DB=20\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=5\cdot 20=100 \]
\[ CD=10 \]
Por lo tanto, \(CD=10\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=3\), \(n=DB=12\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=3\cdot 12=36 \]
\[ CD=6 \]
Por lo tanto, \(CD=6\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=1\), \(n=DB=25\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=1\cdot 25=25 \]
\[ CD=5 \]
Por lo tanto, \(CD=5\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=16\), \(n=DB=25\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=16\cdot 25=400 \]
\[ CD=20 \]
Por lo tanto, \(CD=20\) cm.
Ejercicio 3: encontrar una proyección
Encuentra la proyección faltante usando \(h^2=mn\). En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero \(m\), \(n\) y \(h\) en la figura.
- \(h=6\), \(m=4\). Encuentra \(n\).
- \(h=10\), \(m=5\). Encuentra \(n\).
- \(h=12\), \(n=16\). Encuentra \(m\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=12\) cm y \(AD=9\) cm, encuentra \(DB\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=8\) cm y \(DB=4\) cm, encuentra \(AD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=15\) cm y \(AD=25\) cm, encuentra \(DB\).
-
Usamos \(h^2=mn\):
\[ 6^2=4n \]
\[ 36=4n \]
\[ n=9 \]
-
\[ 10^2=5n \]
\[ 100=5n \]
\[ n=20 \]
-
\[ 12^2=16m \]
\[ 144=16m \]
\[ m=9 \]
-
En la figura, \(h=CD=12\), \(m=AD=9\) y se pide \(n=DB\).
\[ h^2=mn \]
\[ 12^2=9n \]
\[ 144=9n \]
\[ n=16 \]
Por lo tanto, \(DB=16\) cm.
-
En la figura, \(h=CD=8\), \(n=DB=4\) y se pide \(m=AD\).
\[ 8^2=4m \]
\[ 64=4m \]
\[ m=16 \]
Por lo tanto, \(AD=16\) cm.
-
En la figura, \(h=CD=15\), \(m=AD=25\) y se pide \(n=DB\).
\[ 15^2=25n \]
\[ 225=25n \]
\[ n=9 \]
Por lo tanto, \(DB=9\) cm.
Ejercicio 4: usar la hipotenusa completa
En cada caso, la altura divide la hipotenusa en dos proyecciones. Recuerda que si la hipotenusa mide \(AB\), entonces \(AB=m+n\).
- \(AB=25\) cm y \(m=9\) cm. Calcula \(n\) y luego \(h\).
- \(AB=20\) cm y \(m=5\) cm. Calcula \(n\) y luego \(h\).
- \(AB=18\) cm y \(n=8\) cm. Calcula \(m\) y luego \(h\).
-
En la figura, \(AB=50\) cm y \(AD=18\) cm. Calcula \(DB\) y luego \(CD\).
-
En la figura, \(AB=34\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AD\) y luego \(CD\).
-
En la figura, la hipotenusa \(AB\) está dibujada en otra posición. Si \(AB=45\) cm y \(AD=20\) cm, calcula \(DB\) y luego \(CD\).
-
Como \(AB=m+n\), entonces:
\[ n=25-9=16 \]
Luego:
\[ h^2=9\cdot 16=144 \]
\[ h=12 \]
-
Primero:
\[ n=20-5=15 \]
Luego:
\[ h^2=5\cdot 15=75 \]
\[ h=\sqrt{75}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, \(h=5\sqrt{3}\) cm.
-
Primero:
\[ m=18-8=10 \]
Luego:
\[ h^2=10\cdot 8=80 \]
\[ h=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \]
Por lo tanto, \(h=4\sqrt{5}\) cm.
-
En la figura, \(AB=50\) y \(AD=18\). Entonces:
\[ DB=50-18=32 \]
Ahora aplicamos el teorema de la altura:
\[ CD^2=AD\cdot DB \]
\[ CD^2=18\cdot 32=576 \]
\[ CD=24 \]
Por lo tanto, \(DB=32\) cm y \(CD=24\) cm.
-
En la figura, \(AB=34\) y \(DB=9\). Entonces:
\[ AD=34-9=25 \]
Luego:
\[ CD^2=AD\cdot DB=25\cdot 9=225 \]
\[ CD=15 \]
Por lo tanto, \(AD=25\) cm y \(CD=15\) cm.
-
En la figura, \(AB=45\) y \(AD=20\). Entonces:
\[ DB=45-20=25 \]
Luego:
\[ CD^2=AD\cdot DB=20\cdot 25=500 \]
\[ CD=\sqrt{500}=10\sqrt{5} \]
Por lo tanto, \(DB=25\) cm y \(CD=10\sqrt{5}\) cm.
Ejercicio 5: interpretar la media geométrica
Responde usando el teorema de la altura. En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero las proyecciones en la figura.
- Si \(m=n=9\), ¿cuánto mide \(h\)?
- Si \(m=4\) y \(n=16\), ¿cuánto mide \(h\)?
- Si \(m=1\) y \(n=49\), ¿cuánto mide \(h\)?
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=16\) cm y \(DB=36\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=9\) cm y \(DB=49\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=12\) cm y \(DB=27\) cm, calcula \(CD\) y escribe el resultado exacto.
-
\[ h^2=9\cdot 9=81 \]
\[ h=9 \]
Si las proyecciones son iguales, la altura coincide con ellas.
-
\[ h^2=4\cdot 16=64 \]
\[ h=8 \]
La altura \(h=8\) es la media geométrica entre \(4\) y \(16\).
-
\[ h^2=1\cdot 49=49 \]
\[ h=7 \]
La altura \(h=7\) es la media geométrica entre \(1\) y \(49\).
-
En la figura, \(m=AD=16\), \(n=DB=36\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=16\cdot 36=576 \]
\[ CD=\sqrt{576}=24 \]
Por lo tanto, \(CD=24\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=9\), \(n=DB=49\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=9\cdot 49=441 \]
\[ CD=\sqrt{441}=21 \]
Por lo tanto, \(CD=21\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=12\), \(n=DB=27\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=12\cdot 27=324 \]
\[ CD=\sqrt{324}=18 \]
Por lo tanto, \(CD=18\) cm.
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
- Si \(m=4\) y \(n=9\), entonces \(h=13\), porque \(4+9=13\).
- Si \(h=10\) y \(m=4\), entonces \(n=25\).
- Si \(m=0\), entonces \(h=0\), pero el triángulo queda degenerado.
- Si \(m\) aumenta y \(n\) disminuye, entonces \(h\) siempre aumenta.
- Incorrecta. No se suman las proyecciones para obtener la altura. Se usa: \[ h^2=mn=4\cdot 9=36 \] \[ h=6 \]
- Correcta. Aplicamos: \[ h^2=mn \] \[ 10^2=4n \] \[ 100=4n \] \[ n=25 \]
- Correcta. Si \(m=0\), entonces: \[ h^2=0\cdot n=0 \] \[ h=0 \] Pero una altura de longitud \(0\) no corresponde a un triángulo rectángulo usual, sino a una figura degenerada.
- Incorrecta. La altura depende del producto \(mn\), no de cada proyección por separado. Si una aumenta y la otra disminuye, el producto puede aumentar, disminuir o mantenerse.
Ejercicio 7: problema geométrico
En un triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa mide \(24\) cm. Una de las proyecciones mide \(18\) cm.
- Calcula la otra proyección.
- Calcula la hipotenusa completa.
- Verifica el resultado usando \(h^2=mn\).
- Usamos: \[ h^2=mn \] Reemplazamos \(h=24\) y \(m=18\): \[ 24^2=18n \] \[ 576=18n \] \[ n=32 \]
- La hipotenusa completa es: \[ m+n=18+32=50 \] Por lo tanto, la hipotenusa mide \(50\) cm.
- Verificamos: \[ mn=18\cdot 32=576 \] y: \[ h^2=24^2=576 \] Se cumple \(h^2=mn\).
Error frecuente
No confundas la altura con la hipotenusa ni con la suma de las proyecciones. La hipotenusa es \(m+n\), pero la altura cumple \(h^2=mn\).
7. Teorema de Euclides: catetos
Objetivos
- Aplicar el teorema de Euclides para calcular catetos.
- Relacionar catetos, hipotenusa y proyecciones.
- Resolver problemas geométricos y de contexto usando semejanza.
Catetos y proyecciones
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto divide la hipotenusa en dos proyecciones.
Si \(AB\) es la hipotenusa, \(D\) es el pie de la altura y \(C\) es el vértice del ángulo recto, entonces:
\[ AB=c,\qquad AD=m,\qquad DB=n \]
El cateto \(AC\) se relaciona con la proyección \(AD\), y el cateto \(BC\) se relaciona con la proyección \(DB\).
Teorema de los catetos
En un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide \(c=m+n\), entonces cada cateto cumple:
\[ a^2=c\cdot m \qquad\text{y}\qquad b^2=c\cdot n \]
En forma geométrica:
\[ AC^2=AB\cdot AD \qquad\text{y}\qquad BC^2=AB\cdot DB \]
Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa completa y su proyección sobre ella.
Ejemplo 1: hipotenusa 25
La hipotenusa mide \(25\) cm y sus proyecciones miden \(9\) cm y \(16\) cm. Calcula los catetos.
Como \(c=25\), \(m=9\) y \(n=16\), aplicamos:
\[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \]
\[ a=\sqrt{225}=15 \]
Para el otro cateto:
\[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \]
\[ b=\sqrt{400}=20 \]
Los catetos miden \(15\) cm y \(20\) cm.
Ejemplo 2: encontrar una proyección
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(18\) cm y un cateto mide \(12\) cm. Calcula la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.
Usamos el teorema de los catetos:
\[ a^2=c\cdot m \]
Reemplazamos \(a=12\) y \(c=18\):
\[ 12^2=18m \]
\[ 144=18m \]
\[ m=8 \]
La proyección de ese cateto mide \(8\) cm.
Aplicación
Estas relaciones permiten resolver problemas de rampas, diagonales, soportes y diseños donde aparecen triángulos rectángulos, sin medir directamente todos los lados.
Ejercicio 1: reconocer catetos y proyecciones
Observa el triángulo rectángulo. La altura \(CD\) cae sobre la hipotenusa \(AB\).
- Identifica la hipotenusa \(c\).
- Identifica \(m\) y \(n\).
- Calcula los catetos \(AC\) y \(BC\).
- La hipotenusa es \(AB\). Como \(AD=4\) cm y \(DB=6\) cm: \[ c=AB=4+6=10 \]
- La proyección asociada al cateto \(AC\) es: \[ m=AD=4 \] La proyección asociada al cateto \(BC\) es: \[ n=DB=6 \]
- Calculamos: \[ AC^2=AB\cdot AD=10\cdot 4=40 \] \[ AC=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \] Y: \[ BC^2=AB\cdot DB=10\cdot 6=60 \] \[ BC=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \]
Ejercicio 2: calcular catetos
Calcula los catetos usando el teorema de los catetos. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica en la figura la hipotenusa completa y las proyecciones correspondientes.
- \(c=10\), \(m=4\), \(n=6\). Calcula \(a\) y \(b\).
- \(c=25\), \(m=9\), \(n=16\). Calcula \(a\) y \(b\).
-
En la figura, \(AB=20\) cm, \(AD=5\) cm y \(DB=15\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm, \(AD=9\) cm y \(DB=16\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=17\) cm, \(AD=8\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=40\) cm, \(AD=10\) cm y \(DB=30\) cm. Calcula \(AC\) y \(BC\).
-
\[ a^2=c\cdot m=10\cdot 4=40 \]
\[ a=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]
\[ b^2=c\cdot n=10\cdot 6=60 \]
\[ b=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \]
-
\[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \]
\[ a=15 \]
\[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \]
\[ b=20 \]
-
En la figura, \(AB=20\), \(AD=5\) y \(DB=15\).
El cateto \(AC\) corresponde a la proyección \(AD\):
\[ AC^2=AB\cdot AD=20\cdot 5=100 \]
\[ AC=10 \]
El cateto \(BC\) corresponde a la proyección \(DB\):
\[ BC^2=AB\cdot DB=20\cdot 15=300 \]
\[ BC=10\sqrt{3} \]
-
En la figura, \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=25\cdot 9=225 \]
\[ AC=15 \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=25\cdot 16=400 \]
\[ BC=20 \]
-
En la figura, \(AB=17\), \(AD=8\) y \(DB=9\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=17\cdot 8=136 \]
\[ AC=\sqrt{136}=2\sqrt{34} \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=17\cdot 9=153 \]
\[ BC=\sqrt{153}=3\sqrt{17} \]
-
En la figura, \(AB=40\), \(AD=10\) y \(DB=30\).
\[ AC^2=AB\cdot AD=40\cdot 10=400 \]
\[ AC=20 \]
\[ BC^2=AB\cdot DB=40\cdot 30=1200 \]
\[ BC=\sqrt{1200}=20\sqrt{3} \]
Ejercicio 3: datos inversos
Encuentra la proyección faltante o la hipotenusa. En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero qué cateto y qué proyección se relacionan.
- \(a=12\), \(c=18\). Encuentra \(m\).
- \(b=15\), \(c=25\). Encuentra \(n\).
- \(a=10\), \(m=5\). Encuentra \(c\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(AC=15\) cm. Encuentra \(AD\) y luego \(DB\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(BC=15\) cm. Encuentra \(DB\) y luego \(AD\).
-
En la figura, \(AB=20\) cm y \(AC=10\) cm. Encuentra \(AD\) y \(DB\).
- \[ a^2=c\cdot m \] \[ 12^2=18m \] \[ 144=18m \] \[ m=8 \]
- \[ b^2=c\cdot n \] \[ 15^2=25n \] \[ 225=25n \] \[ n=9 \]
- \[ a^2=c\cdot m \] \[ 10^2=c\cdot 5 \] \[ 100=5c \] \[ c=20 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a la proyección \(AD\). Entonces:
\[ AC^2=AB\cdot AD \]
\[ 15^2=25\cdot AD \]
\[ 225=25\cdot AD \]
\[ AD=9 \]
Como \(AB=25\), entonces:
\[ DB=25-9=16 \]
-
El cateto \(BC\) corresponde a la proyección \(DB\). Entonces:
\[ BC^2=AB\cdot DB \]
\[ 15^2=25\cdot DB \]
\[ 225=25\cdot DB \]
\[ DB=9 \]
Luego:
\[ AD=25-9=16 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a \(AD\). Entonces:
\[ AC^2=AB\cdot AD \]
\[ 10^2=20\cdot AD \]
\[ 100=20\cdot AD \]
\[ AD=5 \]
Luego:
\[ DB=20-5=15 \]
Ejercicio 4: usar la hipotenusa completa
En cada caso, usa primero \(c=m+n\) cuando sea necesario. Luego aplica el teorema de los catetos.
- \(AB=25\) cm y \(AD=9\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
- \(AB=20\) cm y \(AD=5\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
- \(AB=18\) cm y \(DB=8\) cm. Calcula \(AD\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=50\) cm y \(AD=18\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=25\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AD\), \(AC\) y \(BC\).
-
En la figura, \(AB=45\) cm y \(AD=20\) cm. Calcula \(DB\), \(AC\) y \(BC\).
-
Primero:
\[ DB=25-9=16 \]
Luego:
\[ AC^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad AC=15 \]
\[ BC^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad BC=20 \]
-
\[ DB=20-5=15 \]
\[ AC^2=20\cdot 5=100 \qquad\Rightarrow\qquad AC=10 \]
\[ BC^2=20\cdot 15=300 \qquad\Rightarrow\qquad BC=10\sqrt{3} \]
-
\[ AD=18-8=10 \]
\[ AC^2=18\cdot 10=180 \qquad\Rightarrow\qquad AC=6\sqrt{5} \]
\[ BC^2=18\cdot 8=144 \qquad\Rightarrow\qquad BC=12 \]
-
\[ DB=50-18=32 \]
\[ AC^2=50\cdot 18=900 \qquad\Rightarrow\qquad AC=30 \]
\[ BC^2=50\cdot 32=1600 \qquad\Rightarrow\qquad BC=40 \]
-
\[ AD=25-9=16 \]
\[ AC^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad AC=20 \]
\[ BC^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad BC=15 \]
-
\[ DB=45-20=25 \]
\[ AC^2=45\cdot 20=900 \qquad\Rightarrow\qquad AC=30 \]
\[ BC^2=45\cdot 25=1125 \qquad\Rightarrow\qquad BC=15\sqrt{5} \]
Ejercicio 5: asociar cada cateto con su proyección
En los tres primeros casos trabaja de forma numérica. En los siguientes, observa la figura antes de elegir la fórmula.
- Si \(c=25\) y la proyección asociada a \(a\) es \(m=9\), calcula \(a\).
- Si \(c=25\) y la proyección asociada a \(b\) es \(n=16\), calcula \(b\).
- Si \(c=18\) y la proyección asociada a \(b\) es \(n=8\), calcula \(b\).
- En un triángulo rectángulo, \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\). ¿Qué cateto se calcula con \(25\cdot 9\)? Calcula ese cateto.
- En un triángulo rectángulo, \(AB=25\), \(AD=16\) y \(DB=9\). ¿Qué cateto se calcula con \(25\cdot 9\)? Calcula ese cateto.
- En un triángulo rectángulo, \(AB=20\), \(AD=5\) y \(DB=15\). Calcula ambos catetos y explica cuál corresponde a cada proyección.
- \[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \] \[ a=15 \]
- \[ b^2=c\cdot n=25\cdot 16=400 \] \[ b=20 \]
- \[ b^2=18\cdot 8=144 \] \[ b=12 \]
-
La proyección \(AD\) corresponde al cateto \(AC\). Entonces \(25\cdot 9\) permite calcular \(AC^2\):
\[ AC^2=25\cdot 9=225 \]
\[ AC=15 \]
-
La proyección \(DB\) corresponde al cateto \(BC\). Entonces \(25\cdot 9\) permite calcular \(BC^2\):
\[ BC^2=25\cdot 9=225 \]
\[ BC=15 \]
-
El cateto \(AC\) corresponde a \(AD=5\):
\[ AC^2=20\cdot 5=100 \qquad\Rightarrow\qquad AC=10 \]
El cateto \(BC\) corresponde a \(DB=15\):
\[ BC^2=20\cdot 15=300 \qquad\Rightarrow\qquad BC=10\sqrt{3} \]
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
- Si \(c=25\) y \(m=9\), entonces el cateto asociado mide \(34\), porque \(25+9=34\).
- Si \(c=25\), \(m=9\) y \(n=16\), entonces los catetos miden \(15\) y \(20\).
- Si \(a=12\) y \(c=18\), entonces \(m=8\).
- Si \(AB=25\), \(AD=9\) y \(DB=16\), entonces \(AC^2=25\cdot 16\).
- Para calcular un cateto se usa la hipotenusa completa, no solo la otra proyección.
- Incorrecta. No se suma la hipotenusa con la proyección. Se usa: \[ a^2=c\cdot m=25\cdot 9=225 \] \[ a=15 \]
- Correcta, porque: \[ a^2=25\cdot 9=225 \qquad\Rightarrow\qquad a=15 \] \[ b^2=25\cdot 16=400 \qquad\Rightarrow\qquad b=20 \]
- Correcta. Como: \[ a^2=c\cdot m \] entonces: \[ 12^2=18m \] \[ 144=18m \] \[ m=8 \]
- Incorrecta. El cateto \(AC\) corresponde a \(AD\), no a \(DB\). Por lo tanto: \[ AC^2=AB\cdot AD=25\cdot 9 \]
- Correcta. El teorema de los catetos usa la hipotenusa completa y la proyección correspondiente: \[ a^2=c\cdot m \qquad\text{o}\qquad b^2=c\cdot n \]
Ejercicio 7: problema contextual
Una estructura triangular tiene forma de triángulo rectángulo. La barra principal corresponde a la hipotenusa y mide \(50\) cm. La altura desde el ángulo recto divide esa barra en dos proyecciones de \(18\) cm y \(32\) cm.
- Calcula el cateto asociado a la proyección de \(18\) cm.
- Calcula el cateto asociado a la proyección de \(32\) cm.
- Verifica que los catetos obtenidos forman un triángulo rectángulo con hipotenusa \(50\) cm.
- El cateto asociado a la proyección de \(18\) cm cumple: \[ a^2=50\cdot 18=900 \] \[ a=30 \] Por lo tanto, mide \(30\) cm.
- El cateto asociado a la proyección de \(32\) cm cumple: \[ b^2=50\cdot 32=1600 \] \[ b=40 \] Por lo tanto, mide \(40\) cm.
- Verificamos con el teorema de Pitágoras: \[ 30^2+40^2=900+1600=2500 \] \[ 50^2=2500 \] Como ambos valores coinciden, los catetos \(30\) cm y \(40\) cm corresponden a un triángulo rectángulo de hipotenusa \(50\) cm.
Cuidado con las letras
No memorices solo letras. Identifica qué medida es la hipotenusa completa y qué segmento es la proyección correspondiente al cateto que estás calculando.
8. Homotecia: centro, factor y orientación
Objetivos
- Representar una homotecia mediante centro y factor.
- Reconocer ampliaciones, reducciones y cambios de orientación según el signo de \(k\).
- Interpretar la relación entre preimagen e imagen.
Homotecia
Una homotecia transforma una figura desde un centro \(O\), multiplicando las distancias al centro por un factor \(k\).
Si \(P\) es un punto de la figura y \(P'\) es su imagen, entonces \(O\), \(P\) y \(P'\) quedan alineados.
\[ \overrightarrow{OP'}=k\cdot \overrightarrow{OP} \]
Para las distancias se usa el valor absoluto del factor:
\[ OP'=|k|\cdot OP \]
Factor positivo y factor negativo
El valor absoluto \(|k|\) indica si la figura se amplía, se reduce o conserva su tamaño. El signo de \(k\) indica hacia qué lado del centro queda la imagen.
| Factor | Distancia al centro | Orientación respecto de \(O\) |
|---|---|---|
| \(k>1\) | Aumenta | Misma dirección |
| \(0<k<1\) | Disminuye | Misma dirección |
| \(k<-1\) | Aumenta | Dirección opuesta |
| \(-1<k<0\) | Disminuye | Dirección opuesta |
| \(k=-1\) | Se conserva | Dirección opuesta |
Ejemplo 1: homotecia con \(k>0\)
Un punto \(A\) está a \(3\) cm del centro \(O\). Se aplica una homotecia de factor \(k=2\).
La distancia de la imagen al centro es:
\[ OA'=|2|\cdot 3=6 \]
Como \(k>0\), \(A'\) queda en la misma dirección que \(A\) respecto de \(O\).
Ejemplo 2: homotecia con \(k<0\)
Un punto \(B\) está a \(4\) cm del centro \(O\). Se aplica una homotecia de factor \(k=-\frac{1}{2}\).
La distancia de la imagen al centro es:
\[ OB'=\left|-\frac{1}{2}\right|\cdot 4=2 \]
Como \(k<0\), \(B'\) queda en la dirección opuesta a \(B\) respecto de \(O\).
Idea clave
En homotecia, el centro organiza todo: cada punto, su imagen y el centro están alineados. El número \(|k|\) cambia el tamaño, mientras que el signo de \(k\) determina si la imagen queda al mismo lado o al lado opuesto del centro.
Ejercicio 1: distancia al centro
Calcula la distancia \(OP'\). En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, interpreta la situación geométrica.
Ejercicio 1.1
Si \(OP=4\) cm y \(k=3\), calcula \(OP'\). Indica si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 1.2
Si \(OP=10\) cm y \(k=\frac{1}{2}\), calcula \(OP'\). Indica si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 1.3
En la figura, \(OP=6\) cm y se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-2\). Calcula \(OP'\) e indica hacia qué lado queda \(P'\).
Ejercicio 1.4
En la figura, \(OP=12\) cm y se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-\frac{1}{3}\). Calcula \(OP'\) e indica hacia qué lado queda \(P'\).
Solución 1.1
\[ OP'=|3|\cdot 4=12 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.2
\[ OP'=\left|\frac{1}{2}\right|\cdot 10=5 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.3
\[ OP'=|-2|\cdot 6=12 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\) respecto de \(O\).
Solución 1.4
\[ OP'=\left|-\frac{1}{3}\right|\cdot 12=4 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\) respecto de \(O\).
Ejercicio 2: interpretar el factor
Clasifica cada homotecia como ampliación, reducción o caso especial. Además, indica si la imagen queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del centro.
Ejercicio 2.1
\(k=4\).
Ejercicio 2.2
\(k=\frac{1}{5}\).
Ejercicio 2.3
\(k=-3\).
Ejercicio 2.4
\(k=-\frac{1}{2}\).
Solución 2.1
\(k=4\): ampliación, porque \(|k|=4>1\). La imagen queda en la misma dirección respecto del centro.
Solución 2.2
\(k=\frac{1}{5}\): reducción, porque \(0<|k|<1\). La imagen queda en la misma dirección respecto del centro.
Solución 2.3
\(k=-3\): ampliación, porque \(|k|=3>1\). La imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Solución 2.4
\(k=-\frac{1}{2}\): reducción, porque \(0<|k|<1\). La imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Ejercicio 3: encontrar el factor de homotecia
Determina el factor \(k\). Recuerda que el signo depende de si \(P'\) queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto de \(O\).
Ejercicio 3.1
\(OP=3\), \(OP'=9\), y \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.2
En la figura, \(OP=8\) cm y \(OP'=4\) cm. Determina el factor \(k\).
Ejercicio 3.3
En la figura, \(OP=4\) cm y \(OP'=10\) cm. Determina el factor \(k\).
Ejercicio 3.4
En la figura, \(OP=9\) cm y \(OP'=9\) cm. Determina el factor \(k\).
Solución 3.1
Como están en la misma dirección, \(k>0\):
\[ k=\frac{OP'}{OP}=\frac{9}{3}=3 \]
Solución 3.2
En la figura, \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), entonces \(k<0\).
\[ |k|=\frac{OP'}{OP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Por lo tanto:
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Solución 3.3
En la figura, \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), entonces \(k>0\).
\[ k=\frac{OP'}{OP}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \]
Solución 3.4
En la figura, \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), entonces \(k<0\).
Como las distancias al centro son iguales:
\[ |k|=\frac{9}{9}=1 \]
Por lo tanto:
\[ k=-1 \]
Ejercicio 4: ubicar la imagen de un punto
En cada caso, determina la distancia \(OP'\) y describe dónde debe ubicarse \(P'\) respecto del centro \(O\).
Ejercicio 4.1
En la figura, \(OP=3\) cm y \(k=2\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.2
En la figura, \(OP=8\) cm y \(k=-\frac{1}{2}\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.3
En la figura, \(OP=5\) cm y \(k=-1\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Ejercicio 4.4
En la figura, \(OP=2\) cm y \(k=3\). Determina \(OP'\) y la dirección en que se ubica \(P'\).
Solución 4.1
\[ OP'=|2|\cdot 3=6 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), al doble de distancia del centro.
Solución 4.2
\[ OP'=\left|-\frac{1}{2}\right|\cdot 8=4 \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en dirección opuesta a \(P\), a \(4\) cm del centro.
Solución 4.3
\[ OP'=|-1|\cdot 5=5 \]
Como \(k=-1\), \(P'\) queda al lado opuesto del centro y a la misma distancia que \(P\).
Solución 4.4
\[ OP'=|3|\cdot 2=6 \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección que \(P\), al triple de distancia del centro.
Ejercicio 5: homotecia de una figura
Responde considerando que en una homotecia todas las distancias al centro se multiplican por \(|k|\), y que todos los puntos de la figura se alinean con el centro y su imagen.
Las líneas de guía muestran la alineación entre el centro, cada punto de la figura original y su imagen.
Ejercicio 5.1
En la figura, la imagen queda al mismo lado del centro y al doble de distancia. Determina \(k\).
Ejercicio 5.2
En la figura, la imagen queda al lado opuesto del centro y a la mitad de distancia. Determina \(k\).
Ejercicio 5.3
Un lado de la figura original mide \(12\) cm. Se aplica una homotecia de factor \(k=-\frac{1}{2}\). ¿Cuánto mide el lado correspondiente de la imagen?
Ejercicio 5.4
Si \(OA=3\) cm, \(OB=4\) cm y \(OC=5\) cm, se aplica una homotecia de centro \(O\) y factor \(k=-2\). Calcula \(OA'\), \(OB'\) y \(OC'\).
Solución 5.1
La imagen queda al mismo lado del centro, entonces \(k>0\). Además, las distancias al centro se duplican.
\[ k=2 \]
Solución 5.2
La imagen queda al lado opuesto del centro, entonces \(k<0\). Además, las distancias al centro se reducen a la mitad.
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Solución 5.3
Las longitudes se multiplican por \(|k|\):
\[ \left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \]
\[ 12\cdot\frac{1}{2}=6 \]
El lado correspondiente de la imagen mide \(6\) cm.
Solución 5.4
Las distancias al centro se multiplican por \(|-2|=2\):
\[ OA'=3\cdot 2=6 \]
\[ OB'=4\cdot 2=8 \]
\[ OC'=5\cdot 2=10 \]
Como \(k<0\), los puntos imagen quedan en dirección opuesta respecto del centro \(O\).
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si \(OP=4\) cm y \(k=-2\), entonces \(OP'=-8\) cm.
Ejercicio 6.2
Si \(k=\frac{1}{2}\), la imagen queda al lado opuesto del centro.
Ejercicio 6.3
Si \(|k|>1\), la figura se amplía, aunque \(k\) sea negativo.
Ejercicio 6.4
Si \(k=-3\), la figura se reduce porque el factor es negativo.
Solución 6.1
Incorrecta. La distancia no puede ser negativa.
\[ OP'=|-2|\cdot 4=8 \]
El signo negativo indica dirección opuesta, no una longitud negativa.
Solución 6.2
Incorrecta. Como \(k=\frac{1}{2}>0\), la imagen queda en la misma dirección respecto del centro. Además, se reduce porque \(|k|<1\).
Solución 6.3
Correcta. El tamaño depende de \(|k|\). Si \(|k|>1\), las distancias al centro aumentan.
Solución 6.4
Incorrecta. Si \(k=-3\), entonces:
\[ |k|=3>1 \]
Por lo tanto, la figura se amplía. El signo negativo solo indica que la imagen queda en dirección opuesta.
Ejercicio 7: retina y orientación
Responde en el contexto de una imagen formada al otro lado de un centro óptico. Usa la homotecia para interpretar distancia y orientación.
Ejercicio 7.1
Un objeto está a \(20\) cm del centro óptico y se aplica \(k=-\frac{1}{10}\). ¿A qué distancia queda su imagen?
Ejercicio 7.2
¿La imagen anterior queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del centro?
Ejercicio 7.3
Si un objeto está a \(30\) cm del centro y su imagen queda a \(2\) cm al lado opuesto, ¿cuál es el factor \(k\)?
Ejercicio 7.4
Explica qué informa el signo de \(k\) y qué informa \(|k|\).
Solución 7.1
\[ OP'=\left|-\frac{1}{10}\right|\cdot 20=2 \]
La imagen queda a \(2\) cm del centro.
Solución 7.2
Como \(k<0\), la imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
Solución 7.3
Como la imagen queda al lado opuesto, el factor es negativo.
\[ |k|=\frac{2}{30}=\frac{1}{15} \]
Por lo tanto:
\[ k=-\frac{1}{15} \]
Solución 7.4
El signo de \(k\) informa la orientación respecto del centro: misma dirección si \(k>0\), dirección opuesta si \(k<0\).
El valor \(|k|\) informa cuánto se multiplican las distancias al centro y los tamaños de la figura.
Error frecuente
No escribas distancias negativas. En homotecia, el signo de \(k\) no hace que una distancia sea negativa; indica que la imagen queda en dirección opuesta respecto del centro.
9. Vectores, escalar
Vectores, multiplicación por escalar y homotecia puntual
Objetivos
- Determinar el producto de un vector por un escalar.
- Interpretar el efecto de un escalar sobre la longitud y el sentido de un vector.
- Aplicar homotecias puntuales en el plano cartesiano usando centro y factor.
Producto de un vector por un escalar
Si \(\vec v=(a,b)\), entonces:
\[ k\vec v=(ka,kb) \]
El valor \(|k|\) indica cuánto cambia la longitud del vector. El signo de \(k\) indica si conserva o cambia su sentido.
Homotecia puntual
Una homotecia puntual transforma un punto \(P\) en otro punto \(P'\), usando un centro y un factor \(k\).
Si el centro es el origen \(O=(0,0)\), entonces:
\[ P(x,y)\longmapsto P'(kx,ky) \]
Si el centro es \(S(a,b)\), entonces:
\[ P'=S+k(P-S) \]
Ejemplo 1: multiplicar un vector por escalares
Sea \(\vec v=(3,-2)\). Calcula \(2\vec v\), \(-\vec v\) y \(\frac12\vec v\).
Multiplicamos cada coordenada por el escalar:
\[ 2\vec v=2(3,-2)=(6,-4) \]
\[ -\vec v=-1(3,-2)=(-3,2) \]
\[ \frac12\vec v=\frac12(3,-2)=\left(\frac32,-1\right) \]
Ejemplo 2: homotecia puntual con centro en el origen
Considera el punto \(P(4,2)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\).
Como el centro es el origen, multiplicamos las coordenadas por \(k\):
\[ P'=-\frac12(4,2)=(-2,-1) \]
La imagen queda en sentido opuesto respecto del origen y a la mitad de la distancia.
Ejemplo 3: homotecia puntual con centro distinto del origen
Sea \(S(1,1)\) el centro de homotecia, \(P(3,5)\) y \(k=2\). Calcula \(P'\).
Primero calculamos el desplazamiento desde el centro hacia el punto:
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
Multiplicamos ese desplazamiento por \(2\):
\[ 2(P-S)=2(2,4)=(4,8) \]
Sumamos el resultado al centro:
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+(4,8)=(5,9) \]
Idea clave
El producto por escalar permite entender la homotecia puntual: desde un centro, el vector que llega a un punto se multiplica por un factor \(k\).
Ejercicio 1: producto por escalar
Calcula cada vector. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, apóyate en la representación geométrica.
Ejercicio 1.1
Calcula \(3(2,1)\).
Ejercicio 1.2
Calcula \(-2(4,-1)\).
Ejercicio 1.3
En la figura se representa el vector \(\vec v=(6,8)\). Calcula \(\frac12\vec v\).
Ejercicio 1.4
En la figura se representa el vector \(\vec v=(-4,10)\). Calcula \(0{,}5\vec v\).
Solución 1.1
\[ 3(2,1)=(6,3) \]
Solución 1.2
\[ -2(4,-1)=(-8,2) \]
El signo negativo cambia el sentido del vector.
Solución 1.3
\[ \frac12(6,8)=\left(\frac12\cdot6,\frac12\cdot8\right)=(3,4) \]
El vector resultante conserva el sentido, pero mide la mitad.
Solución 1.4
\[ 0{,}5(-4,10)=(-2,5) \]
El vector resultante conserva el sentido, pero mide la mitad.
Ejercicio 2: interpretar el efecto del escalar
Describe si el vector se alarga, se reduce, conserva su longitud o cambia de sentido.
Ejercicio 2.1
\(k=4\).
Ejercicio 2.2
\(k=\frac13\).
Ejercicio 2.3
En la figura se muestra \(\vec v\) y su transformado \(-2\vec v\). Describe qué ocurrió con la longitud y el sentido.
Ejercicio 2.4
En la figura se muestra \(\vec v\) y su transformado \(-\frac14\vec v\). Describe qué ocurrió con la longitud y el sentido.
Solución 2.1
Se alarga cuatro veces y conserva el sentido, porque \(k=4>0\).
Solución 2.2
Se reduce a un tercio y conserva el sentido, porque \(0<k<1\).
Solución 2.3
El vector se alarga al doble porque \(|-2|=2\), y cambia de sentido porque \(k<0\).
Solución 2.4
El vector se reduce a un cuarto porque \(\left|-\frac14\right|=\frac14\), y cambia de sentido porque \(k<0\).
Ejercicio 3: homotecia puntual con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada. Recuerda que, si el centro es \(O=(0,0)\), entonces \(P(x,y)\mapsto P'(kx,ky)\).
Ejercicio 3.1
El punto \(P(3,2)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=2\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.2
El punto \(P(6,-4)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.3
En la figura, \(P(2,1)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=3\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.4
En la figura, \(P(4,-2)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\). Encuentra \(P'\).
Solución 3.1
\[ P'=2(3,2)=(6,4) \]
La imagen queda en la misma dirección respecto del origen y al doble de distancia.
Solución 3.2
\[ P'=-\frac12(6,-4)=(-3,2) \]
La imagen queda en sentido opuesto respecto del origen y a la mitad de distancia.
Solución 3.3
\[ P'=3(2,1)=(6,3) \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección respecto de \(O\).
Solución 3.4
\[ P'=-\frac12(4,-2)=(-2,1) \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en sentido opuesto respecto de \(O\).
Ejercicio 4: encontrar el factor de una homotecia puntual
Determina el factor \(k\). Observa si \(P'\) queda en la misma dirección o en sentido opuesto respecto del centro.
Ejercicio 4.1
Con centro \(O=(0,0)\), \(P(2,5)\) se transforma en \(P'(6,15)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.2
Con centro \(O=(0,0)\), \(P(4,8)\) se transforma en \(P'(2,4)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.3
En la figura, \(P(3,-1)\) se transforma en \(P'(-6,2)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.4
En la figura, \(P(-2,3)\) se transforma en \(P'(1,-1{,}5)\). Encuentra \(k\).
Solución 4.1
\[ k=\frac{6}{2}=\frac{15}{5}=3 \]
Solución 4.2
\[ k=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac12 \]
Solución 4.3
Comparamos coordenadas correspondientes:
\[ k=\frac{-6}{3}=\frac{2}{-1}=-2 \]
El factor es negativo porque \(P'\) queda en sentido opuesto respecto del origen.
Solución 4.4
Comparamos coordenadas correspondientes:
\[ k=\frac{1}{-2}=\frac{-1{,}5}{3}=-\frac12 \]
Por lo tanto, \(k=-\frac12\). La imagen queda en sentido opuesto y más cerca del centro.
Ejercicio 5: homotecia puntual con centro distinto del origen
Usa \(P'=S+k(P-S)\). Recuerda que primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia el punto.
Ejercicio 5.1
\(S(1,1)\), \(P(3,5)\), \(k=2\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.2
\(S(0,2)\), \(P(4,6)\), \(k=\frac12\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.3
En la figura, \(S(2,0)\), \(P(5,3)\) y \(k=-1\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.4
En la figura, \(S(3,3)\), \(P(7,5)\) y \(k=\frac12\). Encuentra \(P'\).
Solución 5.1
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(1,1)+(4,8)=(5,9) \]
Solución 5.2
\[ P-S=(4,6)-(0,2)=(4,4) \]
\[ P'=S+\frac12(P-S)=(0,2)+\frac12(4,4)=(0,2)+(2,2)=(2,4) \]
Solución 5.3
\[ P-S=(5,3)-(2,0)=(3,3) \]
\[ P'=S+(-1)(P-S)=(2,0)+(-3,-3)=(-1,-3) \]
Como \(k=-1\), \(P'\) queda al lado opuesto de \(S\), a la misma distancia que \(P\).
Solución 5.4
\[ P-S=(7,5)-(3,3)=(4,2) \]
\[ P'=S+\frac12(P-S)=(3,3)+(2,1)=(5,4) \]
Como \(0<k<1\), \(P'\) queda entre \(S\) y \(P\).
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si \(\vec v=(3,4)\), entonces \(2\vec v=(6,8)\).
Ejercicio 6.2
Si \(k=-2\), el vector siempre queda con coordenadas negativas.
Ejercicio 6.3
Si el centro es \(O=(0,0)\), el punto \(P(3,4)\) con \(k=2\) queda en \(P'(6,8)\).
Ejercicio 6.4
Si el centro es \(S(1,1)\), el punto \(P(3,5)\) con \(k=2\) queda en \(P'(6,10)\), porque basta multiplicar las coordenadas por \(2\).
Solución 6.1
Correcta. Se multiplica cada coordenada por \(2\):
\[ 2(3,4)=(6,8) \]
Solución 6.2
Incorrecta. Que \(k\) sea negativo indica cambio de sentido, pero no obliga a que todas las coordenadas sean negativas. Por ejemplo:
\[ -2(-1,3)=(2,-6) \]
Solución 6.3
Correcta. Como el centro es el origen:
\[ P'=2(3,4)=(6,8) \]
Solución 6.4
Incorrecta. Como el centro no es el origen, no basta con multiplicar directamente las coordenadas.
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(5,9) \]
Cuidado
Multiplicar coordenadas directamente solo corresponde a homotecias con centro en el origen. Si el centro es otro punto, primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia el punto.
10. Homotecia en el plano cartesiano
Objetivos
- Realizar homotecias de triángulos y cuadriláteros en el plano cartesiano.
- Determinar coordenadas de imágenes homotéticas usando centro y factor.
- Comparar preimagen e imagen para reconocer ampliaciones, reducciones y cambios de orientación.
Homotecia con centro en el origen
Si el centro de homotecia es el origen \(O=(0,0)\), cada punto \(P(x,y)\) se transforma multiplicando ambas coordenadas por el mismo factor \(k\):
\[ (x,y)\longmapsto (kx,ky) \]
En una figura, se aplica la misma regla a cada vértice.
Homotecia con centro distinto del origen
Si el centro de homotecia es \(S(a,b)\), primero se observa el desplazamiento desde el centro hacia cada punto.
Para un punto \(P(x,y)\), su imagen \(P'\) se calcula con:
\[ P'=S+k(P-S) \]
En coordenadas:
\[ P'\left(a+k(x-a),\ b+k(y-b)\right) \]
Ejemplo 1: triángulo con centro en el origen
Sea el triángulo \(ABC\), con \(A(1,2)\), \(B(3,1)\) y \(C(2,4)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=2\).
Como el centro es el origen, multiplicamos cada coordenada por \(2\):
\[ A(1,2)\mapsto A'(2,4) \]
\[ B(3,1)\mapsto B'(6,2) \]
\[ C(2,4)\mapsto C'(4,8) \]
La imagen es una ampliación y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejemplo 2: cuadrilátero con factor negativo
Sea el cuadrilátero \(ABCD\), con \(A(-6,2)\), \(B(-2,2)\), \(C(-2,4)\) y \(D(-6,4)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac{1}{2}\).
Multiplicamos cada coordenada por \(-\frac{1}{2}\):
\[ A(-6,2)\mapsto A'(3,-1) \]
\[ B(-2,2)\mapsto B'(1,-1) \]
\[ C(-2,4)\mapsto C'(1,-2) \]
\[ D(-6,4)\mapsto D'(3,-2) \]
La imagen es una reducción y queda en dirección opuesta respecto del origen.
Ejemplo 3: centro distinto del origen
Sea \(S(1,1)\) el centro de homotecia. El triángulo tiene vértices \(A(2,1)\), \(B(4,1)\) y \(C(3,3)\). Aplica una homotecia de factor \(k=2\).
Calculamos cada imagen usando \(P'=S+k(P-S)\).
Para \(A(2,1)\):
\[ A'=S+2(A-S)=(1,1)+2(1,0)=(3,1) \]
Para \(B(4,1)\):
\[ B'=S+2(B-S)=(1,1)+2(3,0)=(7,1) \]
Para \(C(3,3)\):
\[ C'=S+2(C-S)=(1,1)+2(2,2)=(5,5) \]
Idea clave
En una homotecia de figuras, cada vértice se transforma con el mismo centro y el mismo factor. Por eso la imagen conserva la forma, aunque puede cambiar de tamaño y orientación respecto del centro.
Ejercicio 1: triángulos con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada a cada triángulo. Determina las coordenadas de la imagen y clasifica la transformación como ampliación, reducción o conservación de tamaño.
Ejercicio 1.1
Aplica \(k=2\) al triángulo \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(2,3)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 1.2
Aplica \(k=-1\) al triángulo \(D(1,-2)\), \(E(3,-1)\), \(F(2,-4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 1.3
Aplica \(k=\frac{1}{2}\) al triángulo \(G(-4,2)\), \(H(-2,4)\), \(I(-6,4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Solución 1.1
Multiplicamos cada coordenada por \(2\):
\[ A(1,1)\mapsto A'(2,2) \]
\[ B(3,1)\mapsto B'(6,2) \]
\[ C(2,3)\mapsto C'(4,6) \]
Es una ampliación y queda en la misma dirección respecto del origen.
Solución 1.2
Multiplicamos cada coordenada por \(-1\):
\[ D(1,-2)\mapsto D'(-1,2) \]
\[ E(3,-1)\mapsto E'(-3,1) \]
\[ F(2,-4)\mapsto F'(-2,4) \]
Conserva el tamaño, pero queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 1.3
Multiplicamos cada coordenada por \(\frac{1}{2}\):
\[ G(-4,2)\mapsto G'(-2,1) \]
\[ H(-2,4)\mapsto H'(-1,2) \]
\[ I(-6,4)\mapsto I'(-3,2) \]
Es una reducción y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejercicio 2: cuadriláteros con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada a cada cuadrilátero. Determina las coordenadas de la imagen y describe qué ocurre con el tamaño y la orientación.
Ejercicio 2.1
Aplica \(k=2\) al cuadrilátero \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(3,3)\), \(D(1,3)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 2.2
Aplica \(k=-\frac{1}{2}\) al cuadrilátero \(E(-6,2)\), \(F(-2,2)\), \(G(-2,4)\), \(H(-6,4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 2.3
Aplica \(k=-1\) al cuadrilátero \(P(1,-1)\), \(Q(4,-1)\), \(R(5,-3)\), \(S(2,-4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Solución 2.1
\[ A'(2,2),\quad B'(6,2),\quad C'(6,6),\quad D'(2,6) \]
Es una ampliación con la misma dirección respecto del origen.
Solución 2.2
\[ E'(3,-1),\quad F'(1,-1),\quad G'(1,-2),\quad H'(3,-2) \]
Es una reducción y queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 2.3
\[ P'(-1,1),\quad Q'(-4,1),\quad R'(-5,3),\quad S'(-2,4) \]
Con \(k=-1\), el cuadrilátero conserva su tamaño, pero queda al lado opuesto del origen.
Ejercicio 3: encontrar el factor a partir de figuras
Compara cada figura con su imagen y determina el factor de homotecia. Observa si la imagen queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del origen.
Ejercicio 3.1
En la figura, el triángulo \(ABC\) se transforma en \(A'B'C'\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.2
En la figura, el cuadrilátero \(DEFG\) se transforma en \(D'E'F'G'\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.3
En la figura, el triángulo \(HIJ\) se transforma en \(H'I'J'\). Determina \(k\).
Solución 3.1
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ A(1,1)\mapsto A'(2,2) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(2\), por lo tanto:
\[ k=2 \]
Solución 3.2
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ D(1,-1)\mapsto D'(-1,1) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(-1\), por lo tanto:
\[ k=-1 \]
La figura conserva su tamaño, pero queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 3.3
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ H(-4,2)\mapsto H'(-2,1) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(\frac{1}{2}\), por lo tanto:
\[ k=\frac{1}{2} \]
La figura es una reducción y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejercicio 4: figuras con centro distinto del origen
Aplica la homotecia indicada usando \(P'=S+k(P-S)\). Trabaja vértice por vértice.
Ejercicio 4.1
Centro \(S(1,1)\), triángulo \(A(2,1)\), \(B(4,1)\), \(C(3,3)\), con \(k=2\).
Ejercicio 4.2
Centro \(S(2,2)\), triángulo \(D(5,2)\), \(E(5,4)\), \(F(3,5)\), con \(k=-1\).
Ejercicio 4.3
Centro \(S(-1,2)\), cuadrilátero \(P(1,2)\), \(Q(1,4)\), \(R(3,4)\), \(T(3,2)\), con \(k=\frac{1}{2}\).
Solución 4.1
Con centro \(S(1,1)\) y \(k=2\):
\[ A'=S+2(A-S)=(1,1)+2(1,0)=(3,1) \]
\[ B'=S+2(B-S)=(1,1)+2(3,0)=(7,1) \]
\[ C'=S+2(C-S)=(1,1)+2(2,2)=(5,5) \]
Solución 4.2
Con centro \(S(2,2)\) y \(k=-1\):
\[ D'=S-1(D-S)=(2,2)-(3,0)=(-1,2) \]
\[ E'=S-1(E-S)=(2,2)-(3,2)=(-1,0) \]
\[ F'=S-1(F-S)=(2,2)-(1,3)=(1,-1) \]
La imagen queda al lado opuesto del centro y conserva el tamaño.
Solución 4.3
Con centro \(S(-1,2)\) y \(k=\frac{1}{2}\):
\[ P'=S+\frac{1}{2}(P-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(2,0)=(0,2) \]
\[ Q'=S+\frac{1}{2}(Q-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(2,2)=(0,3) \]
\[ R'=S+\frac{1}{2}(R-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(4,2)=(1,3) \]
\[ T'=S+\frac{1}{2}(T-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(4,0)=(1,2) \]
Es una reducción con la misma dirección respecto del centro.
Ejercicio 5: verificar si corresponde a una homotecia
Analiza cada situación y decide si puede corresponder a una homotecia con el centro indicado. Justifica.
Ejercicio 5.1
Centro \(O=(0,0)\). Se afirma que \(A(2,1)\) se transforma en \(A'(4,2)\) y \(B(3,2)\) se transforma en \(B'(6,4)\).
Ejercicio 5.2
Centro \(O=(0,0)\). Se afirma que \(A(2,1)\) se transforma en \(A'(4,2)\), pero \(B(3,2)\) se transforma en \(B'(9,4)\).
Ejercicio 5.3
Centro \(S(1,1)\). Se afirma que \(P(3,1)\) se transforma en \(P'(5,1)\) con \(k=2\).
Ejercicio 5.4
Centro \(S(1,1)\). Se afirma que \(P(3,1)\) se transforma en \(P'(6,2)\) con \(k=2\).
Solución 5.1
Sí corresponde. Para ambos puntos se cumple:
\[ (2,1)\mapsto (4,2) \]
\[ (3,2)\mapsto (6,4) \]
En ambos casos las coordenadas se multiplican por \(2\), por lo tanto \(k=2\).
Solución 5.2
No corresponde a una misma homotecia de centro \(O\). Para \(A\):
\[ (2,1)\mapsto(4,2) \]
Eso indica \(k=2\). Pero para \(B\):
\[ (3,2)\mapsto(9,4) \]
La primera coordenada se multiplicó por \(3\), pero la segunda por \(2\). No hay un único factor \(k\).
Solución 5.3
Sí corresponde. Calculamos desde el centro:
\[ P-S=(3,1)-(1,1)=(2,0) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,0)=(5,1) \]
Solución 5.4
No corresponde. Si \(S(1,1)\), \(P(3,1)\) y \(k=2\), entonces:
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,0)=(5,1) \]
El punto \(P'(6,2)\) no queda alineado correctamente con \(S\) y \(P\) para ese factor.
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si el centro es \(O=(0,0)\), el punto \((3,4)\) con \(k=2\) queda en \((6,8)\).
Ejercicio 6.2
Si el centro es \(S(1,1)\), el punto \(P(3,5)\) con \(k=2\) queda en \((6,10)\), porque basta multiplicar las coordenadas por \(2\).
Ejercicio 6.3
Si \(k=-2\), todas las coordenadas de la imagen deben ser negativas.
Ejercicio 6.4
Si un punto y su imagen no están alineados con el centro, entonces no corresponden a una homotecia con ese centro.
Solución 6.1
Correcta. Como el centro es el origen:
\[ (3,4)\mapsto(2\cdot3,\ 2\cdot4)=(6,8) \]
Solución 6.2
Incorrecta. Como el centro no es el origen, no basta con multiplicar directamente las coordenadas.
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(5,9) \]
Solución 6.3
Incorrecta. Que \(k\) sea negativo no significa que todas las coordenadas sean negativas. Por ejemplo:
\[ (-2,-3)\mapsto -2(-2,-3)=(4,6) \]
Solución 6.4
Correcta. En una homotecia, el centro, cada punto y su imagen deben estar alineados.
Cuidado
Cuando el centro no es el origen, no se multiplican directamente las coordenadas del punto. Primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia cada vértice.
11. Propuesta: cierre integrador de la unidad
Objetivos de la pagina
- Integrar homotecia, Tales, semejanza, escala, Euclides y vectores en una misma red de ideas.
- Resolver una situacion usando proporcionalidad geometrica.
- Comunicar el aprendizaje global esperado de la unidad.
La idea que une la unidad
Durante la unidad aparecieron muchos nombres: homotecia, Tales, semejanza, escala, Euclides y vectores. Todos se conectan por una misma idea: comparar medidas que conservan una razon.
| Contenido | Pregunta que responde | Idea proporcional |
|---|---|---|
| Homotecia | Como se amplia o reduce una figura desde un centro? | Todas las distancias al centro se multiplican por \(k\). |
| Teorema de Tales | Que ocurre cuando paralelas cortan secantes? | Los segmentos correspondientes son proporcionales. |
| Semejanza | Cuando dos figuras tienen la misma forma? | Sus lados correspondientes mantienen una misma razon. |
| Escala | Como representar una realidad grande o pequena? | El modelo y la realidad se relacionan por un factor fijo. |
| Euclides | Como usar semejanza en triangulos rectangulos? | Las alturas, proyecciones y catetos cumplen relaciones proporcionales. |
| Vectores | Como escribir una homotecia con coordenadas? | Multiplicar por un escalar cambia tamano y sentido. |
Ejemplo integrador: plano de una plaza
En un plano, una plaza rectangular mide \(12\) cm por \(8\) cm. La escala es \(1:250\). En el plano se dibuja ademas una zona triangular semejante a una zona real, con lados \(3\) cm, \(4\) cm y \(5\) cm.
La escala \(1:250\) significa que \(1\) cm en el plano representa \(250\) cm en la realidad.
Dimensiones reales de la plaza:
\[ 12\cdot 250=3000\text{ cm}=30\text{ m} \]
\[ 8\cdot 250=2000\text{ cm}=20\text{ m} \]
La zona triangular real tiene lados:
\[ 3\cdot 250=750\text{ cm}=7{,}5\text{ m} \]
\[ 4\cdot 250=1000\text{ cm}=10\text{ m} \]
\[ 5\cdot 250=1250\text{ cm}=12{,}5\text{ m} \]
Como todas las medidas se multiplican por el mismo factor, el plano y la realidad son semejantes.
Ejercicio 1: decidir la herramienta
Indica que herramienta conviene usar en cada situacion: homotecia, Tales, escala, semejanza, Euclides o vectores.
- Calcular la altura de un arbol usando su sombra y la sombra de una vara.
- Construir una imagen ampliada de un triangulo desde un centro \(O\).
- Determinar las medidas reales de una casa a partir de un plano.
- Calcular un cateto usando la proyeccion sobre la hipotenusa en un triangulo rectangulo.
- Transformar el vector \((3,-2)\) en \((-6,4)\).
- Tales o semejanza, porque las sombras generan triangulos semejantes.
- Homotecia, porque hay centro y factor de ampliacion.
- Escala, porque se compara modelo y realidad.
- Teorema de Euclides, porque se trabaja dentro de un triangulo rectangulo.
- Vectores y producto por escalar, porque \((3,-2)\cdot(-2)=(-6,4)\).
Ejercicio 2: problema integrador
Un estudiante dibuja una maqueta de una sala usando escala \(1:50\). En la maqueta, el largo mide \(16\) cm y el ancho mide \(10\) cm. Luego quiere representar una pantalla dentro de la sala: en la maqueta mide \(3\) cm de ancho y \(2\) cm de alto.
- Calcula las dimensiones reales de la sala.
- Calcula las dimensiones reales de la pantalla.
- Explica por que la maqueta y la sala real son semejantes.
- Si se duplica el dibujo de la maqueta con una homotecia de factor \(2\), que escala tendra el nuevo dibujo respecto de la realidad?
La escala \(1:50\) indica que \(1\) cm representa \(50\) cm reales.
Sala real:
\[ 16\cdot 50=800\text{ cm}=8\text{ m} \]
\[ 10\cdot 50=500\text{ cm}=5\text{ m} \]
Pantalla real:
\[ 3\cdot 50=150\text{ cm}=1{,}5\text{ m} \]
\[ 2\cdot 50=100\text{ cm}=1\text{ m} \]
La maqueta y la sala real son semejantes porque todas las medidas lineales se multiplican por el mismo factor.
Si el dibujo se duplica, cada medida del nuevo dibujo representa la mitad de lo que representaba antes. La nueva escala sera \(1:25\).
Ejercicio 3: cierre personal
Escribe una respuesta breve, de 5 a 8 lineas, que conecte estas palabras: homotecia, Tales, semejanza, escala y vectores.
Una buena respuesta podria explicar que la homotecia amplia o reduce desde un centro, que Tales permite calcular razones cuando hay paralelas, que la semejanza conserva forma mediante lados proporcionales, que la escala aplica esa proporcionalidad a modelos reales y que los vectores permiten representar algunas homotecias con coordenadas y escalares.
Producto final sugerido
Elige una situacion real: plano de una pieza, maqueta, sombra, fotografia, mapa o cancha. Presenta un esquema con medidas, calcula una razon o escala, justifica que hay semejanza y explica que herramienta de la unidad estas usando.