Libro Probabilidad de sucesos
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro Probabilidad de sucesos |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:00 |
1. Azar, sucesos y espacio muestral
Objetivos de la pagina
- Mostrar que comprenden el concepto de azar.
- Distinguen situaciones deterministas y aleatorias.
- Describen experimentos aleatorios mediante resultados, espacio muestral y sucesos.
- Resuelven problemas simples usando lenguaje de sucesos.
Experimentos aleatorios
Un experimento aleatorio es una accion cuyo resultado no se puede anticipar con seguridad, aunque si se conocen los resultados posibles. Lanzar una moneda, sacar una ficha de una bolsa o elegir una carta son ejemplos de experimentos aleatorios.
En cambio, una situacion determinista tiene un resultado seguro si se conocen las condiciones: por ejemplo, calcular \(2+5\) o medir cuantas patas tiene una silla de cuatro patas.
Lenguaje basico
| Concepto | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Resultado | Una salida posible del experimento. | Obtener \(4\) al lanzar un dado. |
| Espacio muestral | Conjunto de todos los resultados posibles. | \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). |
| Suceso | Conjunto de resultados que cumplen una condicion. | \(A=\{2,4,6\}\): obtener numero par. |
Ejemplo
Se lanza una moneda dos veces. El espacio muestral puede escribirse como:
\[ \Omega=\{CC,CS,SC,SS\} \]
donde \(C\) significa cara y \(S\) significa sello. El suceso \(A\): "obtener exactamente una cara" es:
\[ A=\{CS,SC\} \]
Error frecuente
No confundas un resultado con un suceso. En el lanzamiento de dos monedas, \(CS\) es un resultado; en cambio, "obtener exactamente una cara" es un suceso formado por dos resultados: \(CS\) y \(SC\).
Ejercicio 1
Clasifica como determinista o aleatoria cada situacion: calcular \(10-3\), lanzar un dado, elegir al azar un estudiante de un curso, saber cuantos lados tiene un triangulo.
Calcular \(10-3\) es determinista, porque el resultado siempre es \(7\). Lanzar un dado es aleatorio, porque puede salir cualquiera de los seis numeros. Elegir al azar un estudiante es aleatorio. Saber cuantos lados tiene un triangulo es determinista: siempre tiene tres lados.
Ejercicio 2
Una bolsa contiene fichas rojas, azules y verdes. Se extrae una ficha sin mirar. Escribe un espacio muestral posible y el suceso \(A\): "extraer una ficha que no sea verde".
Si solo importa el color, el espacio muestral es \(\Omega=\{\text{roja},\text{azul},\text{verde}\}\). El suceso pedido es \(A=\{\text{roja},\text{azul}\}\), porque contiene los resultados que no son verde.
Ejercicio 3
Se lanza un dado. Escribe el suceso \(B\): "obtener un numero mayor que 4" y el suceso \(C\): "obtener un multiplo de 3".
Como \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), los numeros mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\). Por lo tanto, \(B=\{5,6\}\). Los multiplos de \(3\) son \(3\) y \(6\), entonces \(C=\{3,6\}\).
Ejercicio 4
En el lanzamiento de un dado, da un ejemplo de suceso seguro y un ejemplo de suceso imposible.
Un suceso seguro es "obtener un numero menor que \(7\)", porque todos los resultados posibles lo cumplen. Un suceso imposible es "obtener \(8\)", porque \(8\) no pertenece al espacio muestral del dado.
2. Probabilidad simple y frecuencia relativa
Objetivos de la pagina
- Mostrar que comprenden el concepto de azar.
- Calculan probabilidades de sucesos simples.
- Relacionan probabilidad teorica con frecuencia relativa.
- Interpretan probabilidades como numeros entre \(0\) y \(1\).
Regla de Laplace
Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, la probabilidad de un suceso \(A\) se calcula con:
\[ P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]
La probabilidad siempre cumple \(0 \leq P(A) \leq 1\). Tambien puede escribirse como fraccion, decimal o porcentaje.
Frecuencia relativa
Si un experimento se repite muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso permite estimar su probabilidad:
\[ \text{frecuencia relativa}=\frac{\text{veces que ocurre el suceso}}{\text{numero total de repeticiones}} \]
La frecuencia relativa puede variar en pocas repeticiones, pero suele estabilizarse cuando el experimento se repite muchas veces.
Ejemplo
Una ruleta tiene 8 sectores iguales: 3 rojos, 2 azules y 3 verdes. Si se gira una vez, la probabilidad de obtener azul es:
\[ P(\text{azul})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0{,}25=25\% \]
Ejemplo con frecuencia relativa
Un estudiante lanza una moneda 50 veces y obtiene cara 28 veces. La frecuencia relativa de cara es:
\[ \frac{28}{50}=0{,}56 \]
Eso no significa que la moneda tenga necesariamente \(56\%\) de probabilidad de cara; puede ser una variacion propia de una cantidad limitada de repeticiones.
Ejercicio 1
Se lanza un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de obtener un numero impar.
Los resultados impares son \(1,3,5\). Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles, por lo tanto:
\[ P(\text{impar})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Una bolsa tiene 5 fichas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una ficha al azar. Calcula \(P(\text{roja})\) y \(P(\text{no roja})\).
Hay \(10\) fichas en total. Para roja:
\[ P(\text{roja})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \]
Para no roja, los casos favorables son azul o verde: \(3+2=5\). Entonces:
\[ P(\text{no roja})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 3
En 80 lanzamientos de una moneda, se obtuvo sello 46 veces. Calcula la frecuencia relativa de sello e interpretala.
La frecuencia relativa es:
\[ \frac{46}{80}=0{,}575 \]
En esta muestra, sello aparecio en el \(57{,}5\%\) de los lanzamientos. Es una estimacion experimental, no una garantia exacta para futuros lanzamientos.
Ejercicio 4
Un suceso tiene probabilidad \(0{,}2\). Escribela como fraccion y como porcentaje.
Como \(0{,}2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), la probabilidad como fraccion es \(\frac{1}{5}\). Como porcentaje, \(0{,}2=20\%\).
3. Regla aditiva: unir sucesos sin contar dos veces
Objetivos de la pagina
- Desarrollar la regla aditiva de la probabilidad.
- Reconocen union, interseccion y complemento de sucesos.
- Aplican la regla aditiva evitando contar dos veces la interseccion.
- Representan sucesos con diagramas de Venn.
Sucesos combinados
Al estudiar sucesos, muchas preguntas usan palabras como "o", "y" y "no". En probabilidad, esas palabras se traducen a operaciones entre sucesos.
| Lenguaje | Operacion | Significado |
|---|---|---|
| \(A\) o \(B\) | \(A\cup B\) | Ocurre \(A\), ocurre \(B\), o ambos. |
| \(A\) y \(B\) | \(A\cap B\) | Ocurren \(A\) y \(B\) al mismo tiempo. |
| No \(A\) | \(A^c\) | No ocurre el suceso \(A\). |
Regla aditiva
Para dos sucesos \(A\) y \(B\):
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Si \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces \(P(A\cap B)=0\), y queda:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
Ejemplo
En un curso de 30 estudiantes, 14 practican futbol, 10 practican basquetbol y 4 practican ambos deportes. Si se elige un estudiante al azar, la probabilidad de que practique futbol o basquetbol es:
\[ P(F\cup B)=\frac{14}{30}+\frac{10}{30}-\frac{4}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3} \]
Se resta la interseccion porque esos 4 estudiantes fueron contados dos veces.
Ejercicio 1
En un dado, sea \(A\): "obtener numero par" y \(B\): "obtener numero mayor que 4". Escribe \(A\), \(B\), \(A\cap B\) y \(A\cup B\).
\(A=\{2,4,6\}\) y \(B=\{5,6\}\). La interseccion contiene los resultados comunes: \(A\cap B=\{6\}\). La union contiene todos los resultados que estan en \(A\) o en \(B\): \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\).
Ejercicio 2
En una encuesta, \(P(A)=0{,}45\), \(P(B)=0{,}30\) y \(P(A\cap B)=0{,}10\). Calcula \(P(A\cup B)\).
Usamos la regla aditiva:
\[ P(A\cup B)=0{,}45+0{,}30-0{,}10=0{,}65 \]
La probabilidad de que ocurra \(A\) o \(B\) es \(0{,}65\), es decir, \(65\%\).
Ejercicio 3
En una urna hay 4 fichas rojas, 3 azules y 5 verdes. Se extrae una ficha. Calcula la probabilidad de que sea roja o azul.
Los sucesos "roja" y "azul" son incompatibles: una ficha no puede ser roja y azul al mismo tiempo. Hay \(4+3=7\) casos favorables de \(12\) posibles:
\[ P(\text{roja o azul})=\frac{7}{12} \]
Ejercicio 4
Si \(P(A)=0{,}7\), calcula \(P(A^c)\) e interpreta el resultado.
El complemento contiene los casos en que \(A\) no ocurre. Por eso:
\[ P(A^c)=1-P(A)=1-0{,}7=0{,}3 \]
Hay un \(30\%\) de probabilidad de que no ocurra \(A\).
4. Regla multiplicativa y diagramas de arbol
Objetivos de la pagina
- Desarrollar la regla multiplicativa de la probabilidad.
- Elaboran y completan diagramas de arbol.
- Reconocen que una rama completa representa una secuencia de resultados.
- Multiplican probabilidades a lo largo de una rama.
Por que aparecen los arboles
Cuando un experimento tiene etapas, conviene organizar los resultados en un diagrama de arbol. Cada camino desde el inicio hasta una hoja representa una secuencia posible.
Regla multiplicativa
La probabilidad de un camino se obtiene multiplicando las probabilidades de sus ramas:
\[ P(\text{camino})=P(\text{primera rama})\cdot P(\text{segunda rama})\cdot \ldots \]
Si las etapas son independientes, la probabilidad de la segunda etapa no cambia por lo ocurrido antes. Si no son independientes, la probabilidad puede cambiar en cada rama.
Ejemplo
Se lanza una moneda tres veces. Cada rama tiene probabilidad \(\frac{1}{2}\). La probabilidad del camino \(CCS\) es:
\[ P(CCS)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 1
Se lanza una moneda dos veces. Calcula la probabilidad del camino \(CS\).
El camino \(CS\) significa cara en el primer lanzamiento y sello en el segundo. Como cada rama tiene probabilidad \(\frac{1}{2}\):
\[ P(CS)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado y luego una moneda. Calcula la probabilidad de obtener un \(6\) y luego cara.
La probabilidad de obtener \(6\) en el dado es \(\frac{1}{6}\). La probabilidad de obtener cara es \(\frac{1}{2}\). Como son etapas independientes:
\[ P(6 \text{ y cara})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12} \]
Ejercicio 3
Una ruleta tiene 3 sectores iguales: rojo, azul y verde. Se gira dos veces. Calcula la probabilidad de obtener rojo en ambos giros.
En cada giro, \(P(\text{rojo})=\frac{1}{3}\). Como los giros son independientes:
\[ P(\text{rojo y rojo})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]
Ejercicio 4
Explica por que en un arbol no se suman las probabilidades dentro de una misma rama.
Una rama completa describe que ocurre una etapa y luego otra. La palabra clave es "y"; por eso se multiplican las probabilidades. La suma se usa cuando se juntan caminos distintos que favorecen el mismo suceso, es decir, cuando aparece una idea de "o".
5. Combinar reglas en sucesos compuestos
Objetivos de la pagina
- Aplicar la combinacion de la regla aditiva y multiplicativa.
- Calculan probabilidades de eventos compuestos.
- Suman probabilidades de caminos favorables distintos.
- Resuelven problemas de la vida diaria usando arboles y razonamiento proporcional.
Estrategia
- Representa las etapas del experimento.
- Calcula la probabilidad de cada camino multiplicando ramas.
- Identifica los caminos favorables al suceso pedido.
- Suma las probabilidades de esos caminos favorables.
Ejemplo
Una bolsa tiene 3 fichas rojas y 2 azules. Se extraen 2 fichas sin reposicion. Calcula la probabilidad de obtener una roja y una azul, en cualquier orden.
Hay dos caminos favorables: roja-azul y azul-roja.
\[ P(RA)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10} \]
\[ P(AR)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10} \]
Como los caminos son distintos, se suman:
\[ P(\text{una roja y una azul})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5} \]
Error frecuente
Si el problema dice "en cualquier orden", normalmente hay mas de un camino favorable. No basta con calcular roja-azul; tambien se debe considerar azul-roja.
Ejercicio 1
Una bolsa tiene 4 fichas negras y 1 blanca. Se extraen 2 fichas sin reposicion. Calcula la probabilidad de obtener dos negras.
Primero debe salir negra: \(\frac{4}{5}\). Luego quedan 3 negras de 4 fichas, por lo que:
\[ P(NN)=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 2
En la misma bolsa del ejercicio anterior, calcula la probabilidad de obtener una negra y una blanca, en cualquier orden.
Los caminos favorables son \(NB\) y \(BN\):
\[ P(NB)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{5} \]
\[ P(BN)=\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{4}=\frac{1}{5} \]
Sumando:
\[ P(\text{una negra y una blanca})=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 3
Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Los caminos favorables son \(CCS\), \(CSC\) y \(SCC\). Cada camino tiene probabilidad \(\frac{1}{8}\). Entonces:
\[ P(\text{exactamente dos caras})=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8} \]
Ejercicio 4
Un estudiante responde al azar dos preguntas de verdadero o falso. Calcula la probabilidad de acertar al menos una.
Es mas rapido usar el complemento. "Acertar al menos una" es lo contrario de "no acertar ninguna". La probabilidad de fallar ambas es:
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{al menos una})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
6. Paseos aleatorios y cierre de la unidad
Objetivos de la pagina
- Mostrar que comprenden el concepto de azar.
- Elaboran arboles o redes de caminos para representar paseos aleatorios.
- Reconocen que varios caminos pueden llegar a una misma meta.
- Usan frecuencias relativas y probabilidades para describir comportamientos azarosos.
Paseos aleatorios
Un paseo aleatorio es un proceso en etapas donde en cada paso se elige una direccion o accion al azar. Aunque cada camino particular puede tener la misma probabilidad, algunas metas pueden recibir mas caminos que otras.
Ejemplo
Una ficha parte en \(0\). En cada paso avanza \(+1\) si sale cara y \(-1\) si sale sello. Despues de 3 lanzamientos hay \(2^3=8\) caminos posibles.
| Meta final | Caminos que llegan | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(3\) | \(CCC\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | \(CCS, CSC, SCC\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(-1\) | \(CSS, SCS, SSC\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(-3\) | \(SSS\) | \(\frac{1}{8}\) |
Lectura global
La probabilidad no solo sirve para calcular un numero. Tambien permite comparar caminos, describir comportamientos que se repiten y tomar decisiones cuando hay incertidumbre.
Ejercicio 1
En el paseo aleatorio del ejemplo, calcula la probabilidad de terminar en una posicion positiva.
Las posiciones positivas son \(1\) y \(3\). Sus probabilidades son \(\frac{3}{8}\) y \(\frac{1}{8}\). Entonces:
\[ P(\text{posicion positiva})=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Explica por que la meta \(1\) es mas probable que la meta \(3\) en el paseo de tres pasos.
La meta \(3\) solo se alcanza con el camino \(CCC\). En cambio, la meta \(1\) se alcanza con tres caminos: \(CCS\), \(CSC\) y \(SCC\). Como cada camino tiene probabilidad \(\frac{1}{8}\), la meta con mas caminos tiene mayor probabilidad.
Ejercicio 3
Un grupo simula 100 paseos de tres pasos y termina en posicion \(1\) un total de 41 veces. Calcula la frecuencia relativa y comparala con la probabilidad teorica.
La frecuencia relativa es \(\frac{41}{100}=0{,}41\). La probabilidad teorica de terminar en \(1\) es \(\frac{3}{8}=0{,}375\). Los valores son cercanos, aunque no iguales, porque 100 repeticiones todavia pueden mostrar variacion aleatoria.
Proyecto breve
Diseña un experimento aleatorio de dos o tres etapas. Define el espacio muestral, elige un suceso compuesto y calcula su probabilidad usando arbol, tabla o listado ordenado.
Una respuesta completa debe incluir: experimento, resultados posibles, representacion organizada, suceso pedido, calculo de probabilidades de caminos favorables y conclusion en una frase. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas y se pide "al menos una cara", se pueden listar \(CC, CS, SC, SS\), marcar tres casos favorables y concluir \(P=\frac{3}{4}\).