Libro de la esfera y sus elementos
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 2 |
| Libro: | Libro de la esfera y sus elementos |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:00 |
Tabla de contenidos
- 1. La esfera y sus elementos
- 2. Conjeturando el área de la superficie de la esfera
- 3. Área de la superficie de la esfera: cálculo y aplicaciones
- 4. Conjeturando el volumen de la esfera
- 5. Conjeturando el volumen de la esfera (cc)
- 6. Conjeturando el volumen de la esfera (cc2)
- 7. Volumen de la esfera: cálculo y aplicaciones
- 8. Área o volumen: problemas integrados de la esfera
- 9. Modelación con esferas y semiesferas
1. La esfera y sus elementos
La esfera y sus elementos
Objetivos de la página
- Reconocer la esfera como un cuerpo geométrico tridimensional.
- Identificar centro, radio, diámetro y círculo máximo en una esfera.
- Distinguir entre círculo, esfera, superficie esférica y volumen.
- Interpretar información geométrica desde representaciones visuales.
¿Qué es una esfera?
Una esfera es el conjunto de puntos del espacio que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Esa distancia constante se llama radio y se representa generalmente con la letra \(r\).
Ejemplos cercanos a una esfera son una pelota, una bolita o una burbuja. En todos estos casos podemos distinguir una parte exterior y un espacio interior.
Representación 3D de una esfera
En la representación se muestra una esfera con centro \(O\). El segmento desde el centro hasta la superficie representa un radio, y el segmento que une dos puntos opuestos pasando por el centro representa un diámetro.
En la escena:
- \(O\) es el centro de la esfera.
- \(\overline{OP}\) representa un radio.
- \(\overline{BA}\) representa un diámetro.
Radio y diámetro
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
El diámetro es un segmento que une dos puntos de la superficie y pasa por el centro.
Como el diámetro está formado por dos radios, se cumple:
\[ d = 2r \]
También podemos despejar el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Ejemplo 1: encontrar el diámetro desde el radio
Una esfera tiene radio \(8\ \text{cm}\). ¿Cuál es su diámetro?
Como el diámetro mide el doble del radio:
\[ d = 2r \]
Reemplazamos \(r = 8\):
\[ d = 2 \cdot 8 = 16 \]
Por lo tanto, el diámetro de la esfera es \(16\ \text{cm}\).
Ejemplo 2: encontrar el radio desde el diámetro
Una pelota tiene diámetro \(22\ \text{cm}\). ¿Cuál es su radio?
El radio corresponde a la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Reemplazamos \(d = 22\):
\[ r = \frac{22}{2}=11 \]
Por lo tanto, el radio de la pelota es \(11\ \text{cm}\).
Secciones circulares de una esfera
Si una esfera se corta con un plano, la sección obtenida es un círculo.
El círculo más grande que puede obtenerse aparece cuando el corte pasa por el centro de la esfera. Ese círculo se llama círculo máximo.
Representación plana de un círculo máximo
La siguiente representación muestra el círculo máximo que se obtiene al cortar una esfera por su centro. Este esquema es plano, por eso se representa con Geo2D.
El círculo máximo tiene el mismo centro que la esfera. Su radio coincide con el radio de la esfera.
Idea clave
Cuando una figura muestra un segmento desde el centro hasta la superficie, ese segmento representa un radio.
Cuando una figura muestra un segmento de extremo a extremo que pasa por el centro, ese segmento representa un diámetro.
Error común
No confundas radio con diámetro.
Si el dato corresponde a una línea que va de un extremo a otro pasando por el centro, ese dato es el diámetro. Antes de usarlo como radio, debes dividirlo por \(2\).
Círculo, esfera, superficie y volumen
Antes de estudiar las fórmulas de área y volumen, es importante distinguir estas ideas:
| Concepto | Descripción |
|---|---|
| Círculo | Figura plana formada por los puntos interiores de una circunferencia. |
| Esfera | Cuerpo tridimensional cuyos puntos de la superficie están a la misma distancia del centro. |
| Superficie de la esfera | Parte exterior de la esfera, como la “piel” de una pelota. |
| Volumen de la esfera | Espacio que ocupa la esfera por dentro. |
Ejercicio 1
En una esfera, el segmento que une el centro \(O\) con un punto \(A\) de la superficie mide \(6\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento \(\overline{OA}\)?
b) ¿Cuál es el diámetro de la esfera?
El segmento \(\overline{OA}\) une el centro de la esfera con un punto de su superficie.
Por lo tanto, \(\overline{OA}\) representa el radio:
\[ r = 6\ \text{cm} \]
El diámetro es el doble del radio:
\[ d = 2r \]
\[ d = 2 \cdot 6 = 12 \]
Entonces, el diámetro de la esfera es \(12\ \text{cm}\).
Ejercicio 2
Una pelota tiene una línea marcada que va de un extremo a otro pasando por su centro. Esa línea mide \(18\ \text{cm}\).
a) ¿La línea marcada representa un radio o un diámetro?
b) ¿Cuál es el radio de la pelota?
La línea va de un extremo a otro de la pelota y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d = 18\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{18}{2}=9 \]
Entonces, el radio de la pelota es \(9\ \text{cm}\).
Ejercicio 3
Al cortar una esfera por su centro, se obtiene un círculo máximo de diámetro \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el radio del círculo máximo?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
El círculo máximo se obtiene cuando el corte pasa por el centro de la esfera.
El diámetro del círculo máximo es:
\[ d = 14\ \text{cm} \]
Su radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{14}{2}=7 \]
Como el círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera, el radio de la esfera también es \(7\ \text{cm}\).
Ejercicio 4
Observa la representación 3D. El segmento verde va desde el centro \(O\) hasta un punto \(P\) de la superficie y mide \(5\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento \(\overline{OP}\)?
b) ¿Cuánto mide el diámetro de la esfera?
El segmento \(\overline{OP}\) va desde el centro \(O\) hasta un punto \(P\) de la superficie.
Por lo tanto, representa el radio:
\[ r = 5\ \text{cm} \]
El diámetro mide el doble del radio:
\[ d = 2r \]
\[ d = 2 \cdot 5 = 10 \]
Entonces, el diámetro de la esfera mide \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 5
Observa la representación 3D. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro. Su longitud es \(24\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d = 24\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{24}{2}=12 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(12\ \text{cm}\).
Ejercicio 6
Una esfera decorativa tiene diámetro \(30\ \text{cm}\). Una estudiante afirma que su radio es \(30\ \text{cm}\), porque ese es el dato entregado.
¿La afirmación es correcta? Justifica tu respuesta.
La afirmación no es correcta.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d = 30\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{30}{2}=15 \]
Por lo tanto, el radio de la esfera decorativa es \(15\ \text{cm}\), no \(30\ \text{cm}\).
Para continuar
En la próxima página se usará el círculo máximo para conjeturar la fórmula del área de la superficie de la esfera.
2. Conjeturando el área de la superficie de la esfera
Objetivos de la página
- Relacionar la superficie de una esfera con el área de su círculo máximo.
- Conjeturar la fórmula \(A=4\pi r^2\) para el área de la superficie de una esfera.
- Interpretar el radio o diámetro desde representaciones geométricas.
- Calcular áreas superficiales de esferas en situaciones simples.
La superficie de una esfera
La superficie de una esfera corresponde a su parte exterior, como la “piel” de una pelota.
Cuando calculamos el área de esa superficie, no estamos calculando cuánto espacio ocupa por dentro, sino cuánta superficie exterior tiene.
Representación 3D de una esfera y su radio
En la representación se muestra una esfera con centro \(O\). El segmento verde desde el centro hasta la superficie representa el radio \(r\).
Para estudiar el área de la esfera, compararemos su superficie con círculos que tienen el mismo radio \(r\).
Recordemos el área de un círculo
El área de un círculo de radio \(r\) se calcula mediante:
\[ A_{\text{círculo}}=\pi r^2 \]
Esta fórmula será la base para conjeturar el área de la superficie de la esfera.
El círculo máximo
Si una esfera se corta por un plano que pasa por su centro, se obtiene el círculo más grande posible dentro de ella. Ese círculo se llama círculo máximo.
El círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera.
Representación plana del círculo máximo
En el esquema, el círculo máximo tiene centro \(O\) y radio \(r\). Ese radio coincide con el radio de la esfera.
El segmento \(\overline{OP}\) representa el radio del círculo máximo y también el radio de la esfera.
Conjetura visual
La superficie de una esfera de radio \(r\) puede compararse con el área de cuatro círculos máximos de radio \(r\).
Es decir, de manera aproximada y visual:
\[ \text{superficie de la esfera} \quad \longleftrightarrow \quad 4 \text{ círculos máximos} \]
Cuatro círculos máximos
Como cada círculo máximo tiene radio \(r\), cada uno tiene área \(\pi r^2\). La superficie completa de la esfera equivale al área de cuatro de estos círculos.
Entonces:
\[ A_{\text{esfera}} = 4 \cdot A_{\text{círculo máximo}} \]
Fórmula del área de la superficie de la esfera
Como el área de un círculo máximo es:
\[ A_{\text{círculo máximo}}=\pi r^2 \]
Y la superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot \pi r^2 \]
Por lo tanto:
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
Atención con las unidades
El área de la superficie de una esfera se mide en unidades cuadradas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^2,\quad \text{m}^2,\quad \text{mm}^2 \]
No se mide en unidades cúbicas, porque todavía no estamos calculando volumen.
Ejemplo 1: área desde el radio
Una esfera tiene radio \(5\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ A=4\pi \cdot 5^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 25 \]
\[ A=100\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 2: área desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Primero obtenemos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Ahora usamos la fórmula del área:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(324\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 1
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el área de su círculo máximo?
b) Usando la conjetura de los cuatro círculos máximos, calcula el área de la superficie de la esfera.
El área del círculo máximo se calcula con:
\[ A_{\text{círculo}}=\pi r^2 \]
Como \(r=4\):
\[ A_{\text{círculo}}=\pi \cdot 4^2=16\pi \]
La superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot 16\pi=64\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(64\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 2
El círculo máximo de una esfera tiene radio \(7\ \text{m}\).
Calcula el área de la superficie de la esfera.
El círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera, por lo tanto:
\[ r=7\ \text{m} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(196\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Al cortar una esfera por su centro, se obtiene un círculo máximo de diámetro \(16\ \text{cm}\).
Calcula el área de la superficie de la esfera.
El diámetro del círculo máximo es:
\[ d=16\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{16}{2}=8 \]
Ese radio coincide con el radio de la esfera. Entonces:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 64 \]
\[ A=256\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(6\ \text{cm}\).
a) ¿Qué dato entrega el segmento verde?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio:
\[ r=6\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula del área de la esfera:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 5
Una pelota decorativa tiene diámetro \(20\ \text{cm}\). Se quiere cubrir completamente con papel.
¿Qué área mínima de papel se necesita, sin considerar pérdidas ni dobleces?
Como se quiere cubrir la parte exterior de la pelota, se debe calcular el área de la superficie de una esfera.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=20\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 10^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 100 \]
\[ A=400\pi \]
Se necesitan como mínimo \(400\pi\ \text{cm}^2\) de papel.
Ejercicio 6
Una estudiante afirma: “Si el área de un círculo máximo es \(36\pi\ \text{cm}^2\), entonces el área de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^2\), porque tienen el mismo radio”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Es cierto que el círculo máximo y la esfera tienen el mismo radio, pero sus áreas no son iguales.
La superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot A_{\text{círculo máximo}} \]
Como el área del círculo máximo es \(36\pi\ \text{cm}^2\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot 36\pi=144\pi \]
Por lo tanto, el área de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\), no \(36\pi\ \text{cm}^2\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del área de la superficie de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.
3. Área de la superficie de la esfera: cálculo y aplicaciones
Objetivos de la página
- Aplicar la fórmula \(A=4\pi r^2\) para calcular el área de la superficie de una esfera.
- Identificar si el dato entregado corresponde al radio o al diámetro.
- Resolver problemas geométricos y cotidianos asociados a recubrimiento, pintura o material exterior.
- Expresar correctamente el resultado en unidades cuadradas.
Fórmula del área de la superficie de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), el área de su superficie es:
\[ A=4\pi r^2 \]
Esta fórmula permite calcular la superficie exterior de la esfera, como si midiéramos la “piel” de una pelota.
Procedimiento de cálculo
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Si te entregan el diámetro, calcula primero \(r=\frac{d}{2}\).
- Reemplaza el radio en la fórmula \(A=4\pi r^2\).
- Calcula la potencia \(r^2\).
- Multiplica por \(4\pi\).
- Escribe la respuesta en unidades cuadradas.
Errores frecuentes
- Usar el diámetro como si fuera el radio.
- Olvidar elevar el radio al cuadrado.
- Escribir unidades lineales o cúbicas en vez de unidades cuadradas.
- Confundir área superficial con volumen.
Ejemplo 1: área desde el radio
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=6\), reemplazamos:
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es:
\[ 144\pi\ \text{cm}^2 \]
Si se usa \(\pi \approx 3{,}14\), entonces:
\[ A \approx 144\cdot 3{,}14=452{,}16\ \text{cm}^2 \]
Ejemplo 2: área desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(14\ \text{m}\). Calcula el área de su superficie.
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es:
\[ 196\pi\ \text{m}^2 \]
Ejemplo 3: interpretar una representación
En la representación 3D, el segmento verde va desde el centro \(O\) hasta la superficie de la esfera. Su longitud es \(8\ \text{cm}\).
Como el segmento va desde el centro hasta la superficie, representa el radio:
\[ r=8\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 64 \]
\[ A=256\pi \]
El área de la superficie es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
¿Cuándo se usa el área de una esfera?
Se usa área cuando interesa medir o cubrir la parte exterior de un objeto esférico.
| Situación | Magnitud que se usa |
|---|---|
| Pintar una esfera decorativa | Área superficial |
| Cubrir una pelota con tela | Área superficial |
| Forrar una esfera con papel | Área superficial |
| Saber cuánto aire cabe dentro de un balón | Volumen, no área |
Ejercicio 1
Calcula el área de la superficie de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
La fórmula del área de la superficie de una esfera es:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ A=4\pi \cdot 3^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9 \]
\[ A=36\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 2
Calcula el área de la superficie de una esfera de radio \(10\ \text{m}\).
Usamos:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(r=10\):
\[ A=4\pi \cdot 10^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 100 \]
\[ A=400\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(400\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Una esfera tiene diámetro \(12\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=12\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene diámetro \(30\ \text{mm}\). Calcula el área de su superficie.
El diámetro es:
\[ d=30\ \text{mm} \]
El radio es la mitad:
\[ r=\frac{30}{2}=15 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 15^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 225 \]
\[ A=900\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(900\pi\ \text{mm}^2\).
Ejercicio 5
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(7\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento verde?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio.
\[ r=7\ \text{cm} \]
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(196\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 6
Observa la representación. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie, pasa por el centro y mide \(18\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d=18\ \text{cm} \]
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Ahora usamos:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(324\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 7
Una pelota será cubierta completamente con tela. Su radio es \(9\ \text{cm}\).
¿Cuánta tela se necesita como mínimo, sin considerar costuras ni pérdidas?
Como se quiere cubrir la parte exterior de la pelota, corresponde calcular el área superficial.
El radio es:
\[ r=9\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
Se necesitan como mínimo \(324\pi\ \text{cm}^2\) de tela.
Ejercicio 8
Una esfera decorativa de diámetro \(40\ \text{cm}\) será pintada completamente.
Calcula el área que debe pintarse.
Como se pintará la parte exterior, se necesita el área de la superficie.
El diámetro es:
\[ d=40\ \text{cm} \]
Calculamos el radio:
\[ r=\frac{40}{2}=20 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 20^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 400 \]
\[ A=1600\pi \]
El área que debe pintarse es \(1600\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 9
Una esfera tiene área superficial \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Determina su radio.
Partimos desde la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Como \(A=256\pi\):
\[ 256\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ \frac{256\pi}{4\pi}=r^2 \]
\[ 64=r^2 \]
Como el radio es una longitud positiva:
\[ r=8 \]
El radio de la esfera es \(8\ \text{cm}\).
Ejercicio 10
Dos esferas tienen radios \(4\ \text{cm}\) y \(8\ \text{cm}\).
a) Calcula el área superficial de cada esfera.
b) ¿Cuántas veces mayor es el área de la segunda esfera?
Para la primera esfera, \(r=4\):
\[ A_1=4\pi \cdot 4^2 \]
\[ A_1=4\pi \cdot 16=64\pi \]
Para la segunda esfera, \(r=8\):
\[ A_2=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A_2=4\pi \cdot 64=256\pi \]
Comparamos ambas áreas:
\[ \frac{A_2}{A_1}=\frac{256\pi}{64\pi}=4 \]
El área de la segunda esfera es \(4\) veces mayor que el área de la primera.
Ejercicio 11
Una estudiante calcula el área de una esfera de diámetro \(10\ \text{cm}\) así:
\[ A=4\pi \cdot 10^2=400\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento.
El error consiste en usar el diámetro como si fuera el radio.
El diámetro es:
\[ d=10\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora se aplica correctamente la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 5^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 25 \]
\[ A=100\pi \]
El área correcta es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 12
Una esfera tiene radio \(12\ \text{cm}\). Calcula su área superficial aproximada usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Primero calculamos el área exacta en términos de \(\pi\):
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 12^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 144 \]
\[ A=576\pi \]
Ahora usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ A\approx 576\cdot 3{,}14 \]
\[ A\approx 1808{,}64 \]
El área superficial aproximada es \(1808{,}64\ \text{cm}^2\).
Para continuar
En la próxima página se usará una comparación con un cilindro para conjeturar la fórmula del volumen de la esfera.
4. Conjeturando el volumen de la esfera
Objetivos de la página
- Relacionar el volumen de una esfera con el volumen de un cilindro que la contiene.
- Conjeturar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para el volumen de una esfera.
- Interpretar el radio, el diámetro y la altura del cilindro en representaciones geométricas.
- Distinguir entre área superficial y volumen en una esfera.
¿Qué mide el volumen?
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
En una esfera, el volumen corresponde al espacio interior que ocupa, como el aire dentro de un balón o el material de una bolita sólida.
Por eso, el volumen se expresa en unidades cúbicas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
No confundir área con volumen
El área superficial mide la parte exterior de la esfera.
El volumen mide el espacio que ocupa por dentro.
| Pregunta | Magnitud |
|---|---|
| ¿Cuánta tela cubre una pelota? | Área superficial |
| ¿Cuánto aire contiene un balón? | Volumen |
| ¿Cuánta pintura cubre una esfera? | Área superficial |
| ¿Cuánto espacio ocupa una esfera sólida? | Volumen |
Esfera inscrita en un cilindro
Para conjeturar el volumen de una esfera, la compararemos con un cilindro que la contiene exactamente.
Si la esfera tiene radio \(r\), entonces el cilindro que la contiene tiene:
- radio \(r\),
- altura \(2r\), porque la altura coincide con el diámetro de la esfera.
La idea clave es comparar el volumen de la esfera con el volumen de este cilindro.
Volumen del cilindro que contiene a la esfera
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula mediante:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2 h \]
En el cilindro que contiene exactamente a una esfera de radio \(r\), la altura es:
\[ h=2r \]
Entonces:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2(2r) \]
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Conjetura
Al comparar una esfera con el cilindro que la contiene, se observa que la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
Por lo tanto:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Desarrollo de la fórmula del volumen de la esfera
Como el volumen del cilindro que contiene a la esfera es:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Y la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3 \]
Multiplicamos los factores numéricos:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Así, la fórmula del volumen de una esfera de radio \(r\) es:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el área superficial de una esfera aparece \(r^2\), porque el área mide superficie.
En el volumen aparece \(r^3\), porque el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso, al calcular volumen, el radio se eleva al cubo:
\[ r^3=r\cdot r\cdot r \]
Ejemplo 1: desarrollar la fórmula con un radio conocido
Una esfera tiene radio \(3\ \text{cm}\). Primero comparemos su volumen con el cilindro que la contiene.
El cilindro tiene radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(2r=6\ \text{cm}\).
Su volumen es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 3^2\cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 54\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 2: usar directamente la fórmula
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=3\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Se obtiene el mismo resultado que al comparar con el cilindro:
\[ V=36\pi\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar la altura del cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\). ¿Cuál es el radio de la esfera?
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Por lo tanto:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 1
Una esfera de radio \(4\ \text{cm}\) está inscrita en un cilindro.
a) ¿Cuál es la altura del cilindro?
b) Calcula el volumen del cilindro.
c) Calcula el volumen de la esfera usando que ocupa \(\frac{2}{3}\) del cilindro.
Si la esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\), entonces su diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot 4=8 \]
Como la esfera está inscrita en el cilindro, la altura del cilindro es:
\[ h=8\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 16\cdot 8=128\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 128\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{256}{3}\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Una esfera está inscrita en un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(10\ \text{m}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el volumen de la esfera.
Como la esfera está inscrita en el cilindro, el radio del cilindro coincide con el radio de la esfera:
\[ r=5\ \text{m} \]
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Observa la representación. La altura del cilindro que contiene a la esfera es \(12\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa la altura del cilindro en relación con la esfera?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=12\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen del cilindro que la contiene.
b) Calcula el volumen de la esfera como \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
c) Verifica el resultado usando \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
Si la esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\), el cilindro que la contiene tiene radio \(6\ \text{cm}\) y altura:
\[ h=2r=12\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 6^2\cdot 12 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 36\cdot 12=432\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 432\pi=288\pi \]
Ahora verificamos con la fórmula directa:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi \]
Ambos procedimientos entregan \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una estudiante afirma: “Como el volumen del cilindro que contiene a una esfera es \(2\pi r^3\), entonces el volumen de la esfera también es \(2\pi r^3\)”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El volumen \(2\pi r^3\) corresponde al cilindro que contiene a la esfera, no a la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen de ese cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{4}{3}\pi r^3\), no \(2\pi r^3\).
Ejercicio 6
Una esfera está inscrita en un cilindro cuyo volumen es \(300\pi\ \text{cm}^3\).
Usando la relación entre la esfera y el cilindro, calcula el volumen de la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro que la contiene.
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como \(V_{\text{cilindro}}=300\pi\):
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 300\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=200\pi \]
El volumen de la esfera es \(200\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del volumen de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.
5. Conjeturando el volumen de la esfera (cc)
Conjeturando el volumen de la esfera (cc)
Objetivos de la página
- Relacionar el volumen de una esfera con el volumen de un cilindro que la contiene.
- Conjeturar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para el volumen de una esfera.
- Interpretar el radio, el diámetro y la altura del cilindro en representaciones geométricas.
- Distinguir entre área superficial y volumen en una esfera.
¿Qué mide el volumen?
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
En una esfera, el volumen corresponde al espacio interior que ocupa, como el aire dentro de un balón o el material de una bolita sólida.
Por eso, el volumen se expresa en unidades cúbicas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
No confundir área con volumen
El área superficial mide la parte exterior de la esfera.
El volumen mide el espacio que ocupa por dentro.
| Pregunta | Magnitud |
|---|---|
| ¿Cuánta tela cubre una pelota? | Área superficial |
| ¿Cuánto aire contiene un balón? | Volumen |
| ¿Cuánta pintura cubre una esfera? | Área superficial |
| ¿Cuánto espacio ocupa una esfera sólida? | Volumen |
Esfera inscrita en un cilindro
Para conjeturar el volumen de una esfera, la compararemos con un cilindro que la contiene exactamente.
Si la esfera tiene radio \(r\), entonces el cilindro que la contiene tiene:
- radio \(r\),
- altura \(2r\), porque la altura coincide con el diámetro de la esfera.
La idea clave es comparar el volumen de la esfera con el volumen de este cilindro.
Volumen del cilindro que contiene a la esfera
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula mediante:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2 h \]
En el cilindro que contiene exactamente a una esfera de radio \(r\), la altura es:
\[ h=2r \]
Entonces:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2(2r) \]
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Conjetura
Al comparar una esfera con el cilindro que la contiene, se observa que la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
Por lo tanto:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Desarrollo de la fórmula del volumen de la esfera
Como el volumen del cilindro que contiene a la esfera es:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Y la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3 \]
Multiplicamos los factores numéricos:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Así, la fórmula del volumen de una esfera de radio \(r\) es:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el área superficial de una esfera aparece \(r^2\), porque el área mide superficie.
En el volumen aparece \(r^3\), porque el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso, al calcular volumen, el radio se eleva al cubo:
\[ r^3=r\cdot r\cdot r \]
Ejemplo 1: desarrollar la fórmula con un radio conocido
Una esfera tiene radio \(3\ \text{cm}\). Primero comparemos su volumen con el cilindro que la contiene.
El cilindro tiene radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(2r=6\ \text{cm}\).
Su volumen es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 3^2\cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 54\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 2: usar directamente la fórmula
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=3\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Se obtiene el mismo resultado que al comparar con el cilindro:
\[ V=36\pi\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar la altura del cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\). ¿Cuál es el radio de la esfera?
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Por lo tanto:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 1
Una esfera de radio \(4\ \text{cm}\) está inscrita en un cilindro.
a) ¿Cuál es la altura del cilindro?
b) Calcula el volumen del cilindro.
c) Calcula el volumen de la esfera usando que ocupa \(\frac{2}{3}\) del cilindro.
Si la esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\), entonces su diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot 4=8 \]
Como la esfera está inscrita en el cilindro, la altura del cilindro es:
\[ h=8\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 16\cdot 8=128\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 128\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{256}{3}\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Una esfera está inscrita en un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(10\ \text{m}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el volumen de la esfera.
Como la esfera está inscrita en el cilindro, el radio del cilindro coincide con el radio de la esfera:
\[ r=5\ \text{m} \]
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Observa la representación. La altura del cilindro que contiene a la esfera es \(12\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa la altura del cilindro en relación con la esfera?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=12\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen del cilindro que la contiene.
b) Calcula el volumen de la esfera como \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
c) Verifica el resultado usando \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
Si la esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\), el cilindro que la contiene tiene radio \(6\ \text{cm}\) y altura:
\[ h=2r=12\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 6^2\cdot 12 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 36\cdot 12=432\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 432\pi=288\pi \]
Ahora verificamos con la fórmula directa:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi \]
Ambos procedimientos entregan \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una estudiante afirma: “Como el volumen del cilindro que contiene a una esfera es \(2\pi r^3\), entonces el volumen de la esfera también es \(2\pi r^3\)”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El volumen \(2\pi r^3\) corresponde al cilindro que contiene a la esfera, no a la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen de ese cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{4}{3}\pi r^3\), no \(2\pi r^3\).
Ejercicio 6
Una esfera está inscrita en un cilindro cuyo volumen es \(300\pi\ \text{cm}^3\).
Usando la relación entre la esfera y el cilindro, calcula el volumen de la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro que la contiene.
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como \(V_{\text{cilindro}}=300\pi\):
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 300\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=200\pi \]
El volumen de la esfera es \(200\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del volumen de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.
6. Conjeturando el volumen de la esfera (cc2)
Objetivos de la página
- Relacionar el volumen de una esfera con el volumen de un cilindro que la contiene.
- Conjeturar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para el volumen de una esfera.
- Interpretar el radio, el diámetro y la altura del cilindro en representaciones geométricas.
- Distinguir entre área superficial y volumen en una esfera.
¿Qué mide el volumen?
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
En una esfera, el volumen corresponde al espacio interior que ocupa, como el aire dentro de un balón o el material de una bolita sólida.
Por eso, el volumen se expresa en unidades cúbicas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
No confundir área con volumen
El área superficial mide la parte exterior de la esfera.
El volumen mide el espacio que ocupa por dentro.
| Pregunta | Magnitud |
|---|---|
| ¿Cuánta tela cubre una pelota? | Área superficial |
| ¿Cuánto aire contiene un balón? | Volumen |
| ¿Cuánta pintura cubre una esfera? | Área superficial |
| ¿Cuánto espacio ocupa una esfera sólida? | Volumen |
Esfera inscrita en un cilindro
Para conjeturar el volumen de una esfera, la compararemos con un cilindro que la contiene exactamente.
Si la esfera tiene radio \(r\), entonces el cilindro que la contiene tiene:
- radio \(r\),
- altura \(2r\), porque la altura coincide con el diámetro de la esfera.
La idea clave es comparar el volumen de la esfera con el volumen de este cilindro.
Volumen del cilindro que contiene a la esfera
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula mediante:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2 h \]
En el cilindro que contiene exactamente a una esfera de radio \(r\), la altura es:
\[ h=2r \]
Entonces:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2(2r) \]
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Conjetura
Al comparar una esfera con el cilindro que la contiene, se observa que la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
Por lo tanto:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Desarrollo de la fórmula del volumen de la esfera
Como el volumen del cilindro que contiene a la esfera es:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Y la esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3 \]
Multiplicamos los factores numéricos:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Así, la fórmula del volumen de una esfera de radio \(r\) es:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el área superficial de una esfera aparece \(r^2\), porque el área mide superficie.
En el volumen aparece \(r^3\), porque el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso, al calcular volumen, el radio se eleva al cubo:
\[ r^3=r\cdot r\cdot r \]
Ejemplo 1: desarrollar la fórmula con un radio conocido
Una esfera tiene radio \(3\ \text{cm}\). Primero comparemos su volumen con el cilindro que la contiene.
El cilindro tiene radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(2r=6\ \text{cm}\).
Su volumen es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 3^2\cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 54\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 2: usar directamente la fórmula
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=3\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Se obtiene el mismo resultado que al comparar con el cilindro:
\[ V=36\pi\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar la altura del cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\). ¿Cuál es el radio de la esfera?
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Por lo tanto:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Entonces, el radio de la esfera es \(10\ \text{cm}\).
Ejercicio 1
Una esfera de radio \(4\ \text{cm}\) está inscrita en un cilindro.
a) ¿Cuál es la altura del cilindro?
b) Calcula el volumen del cilindro.
c) Calcula el volumen de la esfera usando que ocupa \(\frac{2}{3}\) del cilindro.
Si la esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\), entonces su diámetro es:
\[ d=2r=2\cdot 4=8 \]
Como la esfera está inscrita en el cilindro, la altura del cilindro es:
\[ h=8\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 16\cdot 8=128\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 128\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{256}{3}\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Una esfera está inscrita en un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(10\ \text{m}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el volumen de la esfera.
Como la esfera está inscrita en el cilindro, el radio del cilindro coincide con el radio de la esfera:
\[ r=5\ \text{m} \]
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Observa la representación. La altura del cilindro que contiene a la esfera es \(12\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa la altura del cilindro en relación con la esfera?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera?
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=12\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen del cilindro que la contiene.
b) Calcula el volumen de la esfera como \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro.
c) Verifica el resultado usando \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
Si la esfera tiene radio \(6\ \text{cm}\), el cilindro que la contiene tiene radio \(6\ \text{cm}\) y altura:
\[ h=2r=12\ \text{cm} \]
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 6^2\cdot 12 \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 36\cdot 12=432\pi \]
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) de ese volumen:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 432\pi=288\pi \]
Ahora verificamos con la fórmula directa:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi \]
Ambos procedimientos entregan \(288\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una estudiante afirma: “Como el volumen del cilindro que contiene a una esfera es \(2\pi r^3\), entonces el volumen de la esfera también es \(2\pi r^3\)”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El volumen \(2\pi r^3\) corresponde al cilindro que contiene a la esfera, no a la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen de ese cilindro:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como:
\[ V_{\text{cilindro}}=2\pi r^3 \]
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es \(\frac{4}{3}\pi r^3\), no \(2\pi r^3\).
Ejercicio 6
Una esfera está inscrita en un cilindro cuyo volumen es \(300\pi\ \text{cm}^3\).
Usando la relación entre la esfera y el cilindro, calcula el volumen de la esfera.
La esfera ocupa \(\frac{2}{3}\) del volumen del cilindro que la contiene.
Entonces:
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot V_{\text{cilindro}} \]
Como \(V_{\text{cilindro}}=300\pi\):
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{2}{3}\cdot 300\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=200\pi \]
El volumen de la esfera es \(200\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del volumen de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.
7. Volumen de la esfera: cálculo y aplicaciones
Objetivos de la página
- Aplicar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para calcular el volumen de una esfera.
- Identificar si el dato entregado corresponde al radio o al diámetro.
- Interpretar representaciones geométricas de esferas y esferas inscritas en cilindros.
- Resolver problemas cotidianos y geométricos asociados al volumen de una esfera.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula mediante:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
El volumen mide el espacio que ocupa la esfera, por eso se expresa en unidades cúbicas:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
Procedimiento de cálculo
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Si te entregan el diámetro, calcula primero \(r=\frac{d}{2}\).
- Reemplaza el radio en la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Calcula \(r^3\).
- Multiplica por \(\frac{4}{3}\pi\).
- Escribe la respuesta en unidades cúbicas.
Errores frecuentes
- Usar el diámetro como si fuera el radio.
- Calcular \(r^2\) en vez de \(r^3\).
- Olvidar el factor \(\frac{4}{3}\).
- Escribir unidades cuadradas en vez de unidades cúbicas.
Ejemplo 1: volumen desde el radio
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es:
\[ 36\pi\ \text{cm}^3 \]
Si se usa \(\pi \approx 3{,}14\), entonces:
\[ V\approx 36\cdot 3{,}14=113{,}04\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 2: volumen desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10\ \text{m}\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora aplicamos la fórmula del volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es:
\[ \frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar una representación
En la representación, el segmento verde va desde el centro \(O\) hasta la superficie de la esfera. Su longitud es \(4\ \text{cm}\).
Como el segmento va desde el centro hasta la superficie, representa el radio:
\[ r=4\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
¿Cuándo se usa el volumen de una esfera?
Se usa volumen cuando interesa medir el espacio interior o el espacio ocupado por un objeto esférico.
| Situación | Magnitud que se usa |
|---|---|
| Calcular cuánto aire contiene un balón | Volumen |
| Calcular el espacio que ocupa una bolita sólida | Volumen |
| Calcular cuánta agua cabe en un recipiente esférico | Volumen |
| Calcular cuánta tela cubre una pelota | Área superficial, no volumen |
Ejercicio 1
Calcula el volumen de una esfera de radio \(2\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=2\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 8 \]
\[ V=\frac{32}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{32}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Calcula el volumen de una esfera de radio \(6\ \text{m}\).
Aplicamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=6\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Una esfera tiene diámetro \(8\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=8\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El diámetro es:
\[ d=18\ \text{cm} \]
El radio es la mitad:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 729 \]
\[ V=972\pi \]
El volumen de la esfera es \(972\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(5\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento verde?
b) Calcula el volumen de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio:
\[ r=5\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 6
Observa la representación. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie, pasa por el centro y mide \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) Calcula el volumen de la esfera.
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d=14\ \text{cm} \]
El radio es:
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 7^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 343 \]
\[ V=\frac{1372}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{1372}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el diámetro de la esfera?
b) ¿Cuál es su radio?
c) Calcula el volumen de la esfera.
Si una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \]
\[ V=\frac{4000}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{4000}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 8
Un balón tiene diámetro \(24\ \text{cm}\). Calcula aproximadamente cuánto aire puede contener, expresando primero el volumen exacto en términos de \(\pi\).
Como se pregunta cuánto aire puede contener, se debe calcular volumen.
El diámetro es:
\[ d=24\ \text{cm} \]
El radio es:
\[ r=\frac{24}{2}=12 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 12^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 1728 \]
\[ V=2304\pi \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V\approx 2304\cdot 3{,}14=7234{,}56 \]
El balón puede contener aproximadamente \(7234{,}56\ \text{cm}^3\) de aire.
Ejercicio 9
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\). Calcula su volumen aproximado usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Primero calculamos el volumen exacto:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
Ahora aproximamos con \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V\approx \frac{256}{3}\cdot 3{,}14 \]
\[ V\approx 267{,}95 \]
El volumen aproximado es \(267{,}95\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 10
Una esfera tiene volumen \(288\pi\ \text{cm}^3\). Determina su radio.
Partimos desde la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(V=288\pi\):
\[ 288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 288=\frac{4}{3}r^3 \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ 864=4r^3 \]
Dividimos por \(4\):
\[ 216=r^3 \]
Como \(6^3=216\), entonces:
\[ r=6 \]
El radio de la esfera es \(6\ \text{cm}\).
Ejercicio 11
Dos esferas tienen radios \(3\ \text{cm}\) y \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen de cada esfera.
b) ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la segunda esfera?
Para la primera esfera, \(r=3\):
\[ V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi \]
Para la segunda esfera, \(r=6\):
\[ V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 216=288\pi \]
Comparamos los volúmenes:
\[ \frac{V_2}{V_1}=\frac{288\pi}{36\pi}=8 \]
El volumen de la segunda esfera es \(8\) veces mayor que el volumen de la primera.
Ejercicio 12
Una estudiante calcula el volumen de una esfera de diámetro \(10\ \text{cm}\) así:
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 10^3=\frac{4000}{3}\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento.
El error consiste en usar el diámetro como si fuera el radio.
El diámetro es:
\[ d=10\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora aplicamos correctamente la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen correcto es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se resolverán problemas integrados, donde será necesario decidir si corresponde usar área superficial o volumen.
8. Área o volumen: problemas integrados de la esfera
Área, volumen y semiesferas: problemas integrados
Objetivos de la página
- Decidir cuándo corresponde usar área superficial y cuándo corresponde usar volumen.
- Resolver problemas con esferas completas y semiesferas.
- Distinguir entre área curva de una semiesfera y área total de una semiesfera con base circular.
- Interpretar correctamente datos entregados como radio, diámetro o altura de un cilindro que contiene una esfera.
Fórmulas para la esfera completa
Para una esfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
El área se mide en unidades cuadradas y el volumen en unidades cúbicas.
Fórmulas para la semiesfera
Una semiesfera corresponde a la mitad de una esfera.
Su volumen es la mitad del volumen de la esfera completa:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
El área curva de una semiesfera corresponde solo a la parte redondeada:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Si además se incluye la base circular, se suma el área del círculo de radio \(r\):
\[ A_{\text{base}}=\pi r^2 \]
Entonces, el área total de una semiesfera cerrada es:
\[ A_{\text{total}}=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2 \]
¿Qué fórmula usar?
| Situación | Se usa | Fórmula |
|---|---|---|
| Pintar una esfera completa | Área superficial de esfera | \(A=4\pi r^2\) |
| Calcular cuánto aire contiene una esfera | Volumen de esfera | \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Pintar una cúpula semiesférica solo por fuera | Área curva de semiesfera | \(A=2\pi r^2\) |
| Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular | Área total de semiesfera | \(A=3\pi r^2\) |
| Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico | Volumen de semiesfera | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\) |
Error común
En una semiesfera, no siempre se usa la misma área.
Si se pinta solo la parte redondeada, se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Si se recubre también la base circular, se usa:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Ejemplo 1: área curva de una cúpula semiesférica
Una cúpula semiesférica de radio \(6\ \text{m}\) será pintada solo por fuera. Calcula el área que debe pintarse.
Como se pinta solo la parte curva de una semiesfera, usamos:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=6\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 36 \]
\[ A_{\text{curva}}=72\pi \]
El área que debe pintarse es \(72\pi\ \text{m}^2\).
Ejemplo 2: área total de una semiesfera
Una pieza sólida con forma de semiesfera de radio \(5\ \text{cm}\) será recubierta completamente, incluyendo su base circular. Calcula el área total a recubrir.
Como se incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 5^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 25 \]
\[ A_{\text{total}}=75\pi \]
El área total a recubrir es \(75\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 3: volumen de una semiesfera
Un recipiente semiesférico tiene radio \(9\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
Como se trata de media esfera, usamos:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=9\):
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=486\pi \]
El volumen del recipiente es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 4: esfera inscrita en un cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro de altura \(16\ \text{cm}\). Calcula el área superficial y el volumen de la esfera.
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
\[ d=16\ \text{cm} \]
Por lo tanto:
\[ r=\frac{16}{2}=8 \]
Área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 8^2=4\pi\cdot 64=256\pi \]
El área superficial es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 8^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 512=\frac{2048}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{2048}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Estrategia para problemas integrados
- Decide si la figura es una esfera completa o una semiesfera.
- Decide si se pide área o volumen.
- Si es área de una semiesfera, revisa si se incluye la base circular.
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Aplica la fórmula adecuada y escribe la unidad correcta.
Ejercicio 1
Indica qué fórmula corresponde usar en cada situación:
- Pintar completamente una esfera de radio \(r\).
- Calcular cuánto aire contiene una esfera de radio \(r\).
- Pintar solo la parte curva de una cúpula semiesférica de radio \(r\).
- Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular.
- Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico.
- Pintar completamente una esfera: \(A=4\pi r^2\).
- Calcular cuánto aire contiene una esfera: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Pintar solo la parte curva de una cúpula semiesférica: \(A_{\text{curva}}=2\pi r^2\).
- Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular: \(A_{\text{total}}=3\pi r^2\).
- Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico: \(V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3\).
Ejercicio 2
Una pelota de radio \(7\ \text{cm}\) será cubierta completamente con tela. ¿Cuánta tela se necesita como mínimo?
Como se cubre una esfera completa, usamos área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
Con \(r=7\):
\[ A=4\pi\cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 49=196\pi \]
Se necesitan \(196\pi\ \text{cm}^2\) de tela.
Ejercicio 3
Un balón tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula cuánto aire puede contener, suponiendo que tiene forma esférica.
Como se pregunta cuánto aire contiene, corresponde calcular volumen.
El diámetro es:
\[ d=18\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Usamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 729 \]
\[ V=972\pi \]
El balón puede contener \(972\pi\ \text{cm}^3\) de aire.
Ejercicio 4
Una cúpula semiesférica tiene radio \(8\ \text{m}\). Se pintará solo su parte exterior curva. Calcula el área que debe pintarse.
La cúpula es una semiesfera y se pinta solo la parte curva.
Usamos:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=8\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 8^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 64=128\pi \]
El área que debe pintarse es \(128\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 5
Una pieza con forma de semiesfera de radio \(6\ \text{cm}\) será recubierta completamente, incluyendo su base circular. Calcula el área total a recubrir.
Como se recubre la semiesfera completa e incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Con \(r=6\):
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 36=108\pi \]
El área total a recubrir es \(108\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 6
Un recipiente semiesférico tiene diámetro \(20\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=20\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Como el recipiente es semiesférico, usamos:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 10^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 1000 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2000}{3}\pi \]
El volumen del recipiente es \(\frac{2000}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\).
a) Calcula su área superficial.
b) Calcula su volumen.
c) Calcula el volumen de una semiesfera con el mismo radio.
a) Área superficial de la esfera:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 4^2=4\pi\cdot 16=64\pi \]
El área superficial es \(64\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 64=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
c) Volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{256}{3}\pi=\frac{128}{3}\pi \]
El volumen de la semiesfera es \(\frac{128}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 8
Una semiesfera tiene radio \(9\ \text{cm}\).
a) Calcula su área curva.
b) Calcula su área total, incluyendo la base circular.
c) Calcula su volumen.
a) Área curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 9^2=2\pi\cdot 81=162\pi \]
El área curva es \(162\pi\ \text{cm}^2\).
b) Área total:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 9^2=3\pi\cdot 81=243\pi \]
El área total es \(243\pi\ \text{cm}^2\).
c) Volumen:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729=486\pi \]
El volumen es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 9
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el área superficial de la esfera.
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera:
\[ d=14\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
b) Área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 7^2=4\pi\cdot 49=196\pi \]
El área superficial es \(196\pi\ \text{cm}^2\).
c) Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 7^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 343=\frac{1372}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{1372}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 10
Una estudiante quiere calcular el área para pintar una cúpula semiesférica de radio \(5\ \text{m}\), pero usa:
\[ A=4\pi\cdot 5^2=100\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el cálculo si se pinta solo la parte curva de la cúpula.
El error es usar la fórmula de una esfera completa.
Una cúpula semiesférica corresponde a media esfera, y si se pinta solo la parte curva se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=5\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 5^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 25=50\pi \]
El área correcta que debe pintarse es \(50\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 11
Un recipiente semiesférico tiene radio \(12\ \text{cm}\). Calcula su volumen aproximado usando \(\pi\approx 3{,}14\).
Usamos la fórmula del volumen de una semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Con \(r=12\):
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 12^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 1728 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=1152\pi \]
Usando \(\pi\approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{semiesfera}}\approx 1152\cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}\approx 3617{,}28 \]
El volumen aproximado es \(3617{,}28\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 12
Dos esferas tienen radios \(4\ \text{cm}\) y \(8\ \text{cm}\).
a) ¿Cuántas veces mayor es el área superficial de la segunda esfera?
b) ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la segunda esfera?
c) ¿Por qué no se multiplican por la misma cantidad?
Comparamos los radios:
\[ \frac{8}{4}=2 \]
El radio de la segunda esfera es el doble del radio de la primera.
a) Área superficial:
Como el área depende de \(r^2\), se multiplica por:
\[ 2^2=4 \]
El área superficial de la segunda esfera es \(4\) veces mayor.
b) Volumen:
Como el volumen depende de \(r^3\), se multiplica por:
\[ 2^3=8 \]
El volumen de la segunda esfera es \(8\) veces mayor.
c) No se multiplican por la misma cantidad porque el área mide superficie y depende del cuadrado del radio, mientras que el volumen mide espacio tridimensional y depende del cubo del radio.
Síntesis final
Para resolver problemas con esferas y semiesferas, no basta con reemplazar datos en una fórmula. Primero hay que interpretar la situación.
| Figura o situación | Fórmula principal |
|---|---|
| Área de esfera completa | \(A=4\pi r^2\) |
| Volumen de esfera completa | \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Área curva de semiesfera | \(A=2\pi r^2\) |
| Área total de semiesfera con base | \(A=3\pi r^2\) |
| Volumen de semiesfera | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\) |
9. Modelación con esferas y semiesferas
Objetivos de la página
- Resolver problemas compuestos que involucren esferas, semiesferas y cilindros.
- Distinguir entre superficie curva, superficie total y volumen en semiesferas.
- Interpretar situaciones reales antes de escoger una fórmula.
- Resolver problemas inversos a partir del área o del volumen dado.
Fórmulas necesarias
Para una esfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Para una semiesfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total con base}}=3\pi r^2 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Problemas compuestos
Algunas situaciones no corresponden solo a una esfera completa. Pueden aparecer objetos formados por partes, por ejemplo:
- una cúpula semiesférica,
- un recipiente semiesférico abierto,
- un sólido formado por un cilindro y dos semiesferas,
- un tanque con forma de cilindro y una tapa semiesférica.
En estos casos conviene separar la figura en partes conocidas y luego sumar las áreas o volúmenes que correspondan.
Estrategia de modelación
- Identifica las partes de la figura.
- Decide si se pregunta por área o volumen.
- Determina si hay superficies que no se deben contar, como bases unidas o partes no expuestas.
- Calcula cada parte por separado.
- Suma solo las cantidades que correspondan al contexto.
Ejemplo 1: recipiente semiesférico abierto
Un recipiente con forma de semiesfera tiene radio \(6\ \text{cm}\). Calcula su capacidad y el área interior curva.
Como es un recipiente semiesférico, su capacidad corresponde al volumen de una semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 6^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 216=144\pi \]
La capacidad es \(144\pi\ \text{cm}^3\).
Como se pide el área interior curva, no se incluye una base circular:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 6^2=2\pi\cdot 36=72\pi \]
El área interior curva es \(72\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 2: cilindro con dos semiesferas
Un objeto está formado por un cilindro de radio \(3\ \text{cm}\) y altura \(10\ \text{cm}\), con una semiesfera en cada extremo. Calcula su área exterior y su volumen.
Las dos semiesferas forman una esfera completa de radio \(3\ \text{cm}\).
Área exterior:
Se suma el área lateral del cilindro y el área de una esfera completa:
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 3\cdot 10=60\pi \]
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2=4\pi\cdot 3^2=36\pi \]
\[ A_{\text{total}}=60\pi+36\pi=96\pi \]
El área exterior es \(96\pi\ \text{cm}^2\).
Volumen:
Se suma el volumen del cilindro y el volumen de una esfera completa:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 10=90\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=36\pi \]
\[ V_{\text{total}}=90\pi+36\pi=126\pi \]
El volumen total es \(126\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 3: problema inverso con semiesfera
Una semiesfera cerrada, incluyendo su base circular, tiene área total \(192\pi\ \text{cm}^2\). Determina su radio y su volumen.
Como se incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Reemplazamos el área dada:
\[ 192\pi=3\pi r^2 \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ 64=r^2 \]
Como el radio es positivo:
\[ r=8 \]
Ahora calculamos el volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 8^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 512=\frac{1024}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{1024}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Atención con las partes no visibles
Si dos figuras están unidas, la superficie de contacto no se cuenta como parte exterior.
Por ejemplo, si dos semiesferas se unen para formar una esfera, las bases circulares quedan al interior y no se consideran en el área exterior.
Ejercicio 1
Indica qué fórmula o combinación de fórmulas corresponde usar en cada caso:
- Capacidad de un recipiente semiesférico abierto.
- Área exterior curva de una cúpula semiesférica.
- Área total de una semiesfera sólida, incluyendo su base.
- Volumen de un cilindro con dos semiesferas en sus extremos.
- Área exterior de un cilindro con dos semiesferas en sus extremos.
- Capacidad de un recipiente semiesférico: \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\).
- Área exterior curva de una cúpula: \(A=2\pi r^2\).
- Área total de una semiesfera con base: \(A=3\pi r^2\).
- Volumen de cilindro con dos semiesferas: \(V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Área exterior de cilindro con dos semiesferas: \(A=2\pi rh+4\pi r^2\).
Ejercicio 2
Una cúpula semiesférica tiene radio \(10\ \text{m}\).
a) Calcula el área curva que debe pintarse si solo se pinta la parte exterior.
b) Calcula el área total si además se incluye la base circular.
a) Área curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 10^2=200\pi \]
El área curva es \(200\pi\ \text{m}^2\).
b) Área total con base:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 10^2=300\pi \]
El área total es \(300\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Un recipiente semiesférico abierto tiene diámetro \(18\ \text{cm}\).
a) Calcula su volumen.
b) Calcula su área interior curva.
El diámetro es \(18\ \text{cm}\), por lo tanto:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
a) Volumen:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729=486\pi \]
El volumen es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
b) Área interior curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 9^2=162\pi \]
El área interior curva es \(162\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Un objeto está formado por un cilindro de radio \(4\ \text{cm}\) y altura \(12\ \text{cm}\), con una semiesfera en cada extremo.
a) Calcula su área exterior.
b) Calcula su volumen.
Las dos semiesferas forman una esfera completa de radio \(4\ \text{cm}\).
a) Área exterior:
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 4\cdot 12=96\pi \]
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2=4\pi\cdot 4^2=64\pi \]
\[ A_{\text{total}}=96\pi+64\pi=160\pi \]
El área exterior es \(160\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 4^2\cdot 12=192\pi \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\frac{256}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=192\pi+\frac{256}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=\frac{576}{3}\pi+\frac{256}{3}\pi=\frac{832}{3}\pi \]
El volumen total es \(\frac{832}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Una esfera tiene área superficial \(196\pi\ \text{cm}^2\).
a) Determina su radio.
b) Calcula el volumen de una semiesfera con ese mismo radio.
a) Radio:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ 196\pi=4\pi r^2 \]
Dividimos por \(4\pi\):
\[ 49=r^2 \]
\[ r=7 \]
b) Volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 7^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 343=\frac{686}{3}\pi \]
El volumen de la semiesfera es \(\frac{686}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 6
Dos semiesferas de radio \(5\ \text{cm}\) se unen por sus bases circulares para formar una esfera completa.
a) Calcula el área exterior del sólido formado.
b) Calcula su volumen.
Al unir dos semiesferas por sus bases, se forma una esfera completa. Las bases circulares quedan al interior y no forman parte del área exterior.
a) Área exterior:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 5^2=4\pi\cdot 25=100\pi \]
El área exterior es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 125=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una cúpula semiesférica tiene diámetro \(24\ \text{m}\). Se pintará solo la parte curva. Si \(1\) litro de pintura cubre \(20\ \text{m}^2\), ¿cuántos litros se necesitan? Usa \(\pi\approx 3{,}14\).
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{24}{2}=12 \]
Como se pinta solo la parte curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 12^2=288\pi \]
Usando \(\pi\approx 3{,}14\):
\[ A_{\text{curva}}\approx 288\cdot 3{,}14=904{,}32 \]
El área a pintar es aproximadamente \(904{,}32\ \text{m}^2\).
Si \(1\) litro cubre \(20\ \text{m}^2\), entonces:
\[ \frac{904{,}32}{20}=45{,}216 \]
Se necesitan más de \(45\) litros. Si se compran litros completos, se necesitan \(46\) litros de pintura.
Ejercicio 8
Un sólido está formado por un cilindro de radio \(3\ \text{cm}\) y dos semiesferas en sus extremos. Su área exterior es \(84\pi\ \text{cm}^2\). Determina la altura del cilindro.
El área exterior se compone del área lateral del cilindro y el área de una esfera completa:
\[ A=2\pi rh+4\pi r^2 \]
Con \(r=3\):
\[ 84\pi=2\pi\cdot 3\cdot h+4\pi\cdot 3^2 \]
\[ 84\pi=6\pi h+36\pi \]
Restamos \(36\pi\):
\[ 48\pi=6\pi h \]
Dividimos por \(6\pi\):
\[ h=8 \]
La altura del cilindro es \(8\ \text{cm}\).
Ejercicio 9
Una estudiante quiere pintar solo la parte curva de una semiesfera de radio \(4\ \text{cm}\), pero calcula:
\[ A=3\pi\cdot 4^2=48\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el cálculo.
El error es usar el área total de una semiesfera con base circular.
Si se pinta solo la parte curva, se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=4\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 4^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 16=32\pi \]
El área correcta es \(32\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 10
Un tanque está formado por un cilindro de radio \(5\ \text{m}\) y altura \(20\ \text{m}\), con una tapa semiesférica del mismo radio.
a) Calcula su volumen total.
b) Calcula el área exterior si se considera la superficie lateral del cilindro y la parte curva de la semiesfera, sin incluir la base inferior.
a) Volumen total:
Se suma el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera.
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi\cdot 5^2\cdot 20=500\pi \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{250}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=500\pi+\frac{250}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}}=\frac{1500}{3}\pi+\frac{250}{3}\pi=\frac{1750}{3}\pi \]
El volumen total es \(\frac{1750}{3}\pi\ \text{m}^3\).
b) Área exterior:
Se suma el área lateral del cilindro y el área curva de la semiesfera.
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi rh \]
\[ A_{\text{lateral cilindro}}=2\pi\cdot 5\cdot 20=200\pi \]
\[ A_{\text{curva semiesfera}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva semiesfera}}=2\pi\cdot 5^2=50\pi \]
\[ A_{\text{exterior}}=200\pi+50\pi=250\pi \]
El área exterior considerada es \(250\pi\ \text{m}^2\).
Síntesis
En problemas compuestos, no basta con reconocer una fórmula. Es necesario identificar qué partes forman el sólido y qué superficies o volúmenes realmente se deben considerar.
| Objeto | Área o volumen útil |
|---|---|
| Recipiente semiesférico abierto | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\), \(A_{\text{curva}}=2\pi r^2\) |
| Semiesfera cerrada con base | \(A_{\text{total}}=3\pi r^2\) |
| Cilindro con dos semiesferas | \(A=2\pi rh+4\pi r^2\), \(V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Cilindro con una tapa semiesférica | \(V=\pi r^2h+\frac{2}{3}\pi r^3\) |