Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es el lado opuesto a \(C\):

\[ \overline{AB} \]

Respecto del ángulo \(A\), el lado que está al frente es \(\overline{BC}\), por lo tanto:

\[ \overline{BC} \text{ es el cateto opuesto.} \]

El cateto que toca el ángulo \(A\) es \(\overline{AC}\), por lo tanto:

\[ \overline{AC} \text{ es el cateto adyacente.} \]

La hipotenusa no cambia: está frente al ángulo recto \(C\).

Por lo tanto:

\[ \overline{AB} \text{ es la hipotenusa.} \]

Respecto del ángulo \(B\), el cateto que está al frente es \(\overline{AC}\):

\[ \overline{AC} \text{ es el cateto opuesto.} \]

El cateto que toca el ángulo \(B\) es \(\overline{BC}\):

\[ \overline{BC} \text{ es el cateto adyacente.} \]

El ángulo recto está en \(Q\), entonces el lado opuesto a \(Q\) es la hipotenusa:

\[ \overline{PR} \]

Respecto del ángulo \(P\), el cateto que queda al frente es \(\overline{QR}\):

\[ \overline{QR} \text{ es el cateto opuesto.} \]

El cateto que toca el ángulo \(P\) es \(\overline{PQ}\):

\[ \overline{PQ} \text{ es el cateto adyacente.} \]

La hipotenusa está frente al ángulo recto \(E\), por lo tanto es:

\[ \overline{DF} \]

Respecto del ángulo \(F\), el lado que está al frente es \(\overline{DE}\), entonces:

\[ \overline{DE} \text{ es el cateto opuesto.} \]

El otro cateto, que toca al ángulo \(F\), es \(\overline{EF}\):

\[ \overline{EF} \text{ es el cateto adyacente.} \]

Como el ángulo recto está en \(M\), la hipotenusa es el lado opuesto a \(M\):

\[ \overline{LN} \]

La hipotenusa se mantiene, pero los catetos opuesto y adyacente cambian según el ángulo elegido.

1. Verdadera. Como el ángulo recto está en \(C\), el lado opuesto es \(\overline{AB}\), que corresponde a la hipotenusa.
2. Falsa. Respecto de \(A\), \(\overline{AC}\) toca el ángulo y es un cateto; por lo tanto, es el cateto adyacente.
3. Verdadera. Respecto de \(B\), el lado que queda al frente es \(\overline{AC}\), por lo tanto es el cateto opuesto.
4. Falsa. La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto; no cambia al cambiar el ángulo de referencia.

El error es olvidar que \(\overline{RT}\) es la hipotenusa.

Como el ángulo recto está en \(S\), el lado opuesto a \(S\) es:

\[ \overline{RT} \]

Por lo tanto, \(\overline{RT}\) es la hipotenusa, aunque toque el ángulo \(R\).

El cateto adyacente a \(R\) debe ser un cateto, no la hipotenusa. En este caso, el cateto adyacente a \(R\) es \(\overline{RS}\).

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado más largo.

Como \(13\ \text{cm}\) es el lado de mayor longitud, entonces:

\[ 13\ \text{cm} \text{ es la hipotenusa.} \]

El ángulo de referencia está entre los lados de \(5\ \text{cm}\) y \(13\ \text{cm}\).

Como \(13\ \text{cm}\) es la hipotenusa, no puede ser cateto adyacente.

Por lo tanto, el cateto adyacente es el lado de \(5\ \text{cm}\).

El otro cateto, que queda frente al ángulo, es el lado de \(12\ \text{cm}\).

Los nombres “opuesto” y “adyacente” dependen del ángulo de referencia.

Respecto del ángulo \(A\), el lado \(\overline{AC}\) toca el ángulo \(A\), por lo tanto es cateto adyacente.

Pero respecto del ángulo \(B\), el lado \(\overline{AC}\) queda frente a ese ángulo, por lo tanto es cateto opuesto.

Esto muestra que un mismo cateto puede recibir nombres distintos si cambia el ángulo de referencia.

Como el segundo triángulo se obtiene multiplicando todas las medidas por \(2\), calculamos:

\[ 5\cdot 2=10 \]

\[ 12\cdot 2=24 \]

\[ 13\cdot 2=26 \]

Por lo tanto, el segundo triángulo tiene catetos \(10\ \text{cm}\) y \(24\ \text{cm}\), e hipotenusa \(26\ \text{cm}\).

Comparamos los lados correspondientes del segundo triángulo con los del primero:

\[ \frac{9}{6}=\frac{3}{2} \]

\[ \frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]

\[ \frac{15}{10}=\frac{3}{2} \]

Como las tres razones son iguales, los lados correspondientes son proporcionales.

Por lo tanto, los triángulos son semejantes.

Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.

El cateto opuesto pasó de \(4\) a \(12\), por lo tanto se multiplicó por:

\[ \frac{12}{4}=3 \]

Entonces la hipotenusa también se multiplica por \(3\):

\[ 5\cdot 3=15 \]

La hipotenusa del segundo triángulo mide \(15\).

La hipotenusa del triángulo pequeño mide \(5\) y la del grande mide \(20\).

El factor de escala es:

\[ \frac{20}{5}=4 \]

Entonces cada cateto del triángulo pequeño se multiplica por \(4\):

\[ 3\cdot 4=12 \]

\[ 4\cdot 4=16 \]

Por lo tanto, los catetos del triángulo grande miden \(12\) y \(16\).

Simplificamos ambas razones:

\[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]

\[ \frac{9}{15}=\frac{3}{5} \]

Como ambas razones se simplifican a \(\frac{3}{5}\), son equivalentes.

Esto puede ocurrir cuando se comparan lados correspondientes en triángulos semejantes.

En el primer triángulo, la hipotenusa es el lado mayor:

\[ 25 \]

En el segundo triángulo, la hipotenusa mide \(100\).

El factor de escala es:

\[ \frac{100}{25}=4 \]

Multiplicamos los catetos del primer triángulo por \(4\):

\[ 7\cdot 4=28 \]

\[ 24\cdot 4=96 \]

Por lo tanto, los otros dos lados del segundo triángulo miden \(28\) y \(96\).

El error está en comparar lados que no corresponden.

El triángulo \(3,4,5\) tiene lados correspondientes con el triángulo \(6,8,10\):

\[ 3 \leftrightarrow 6,\qquad 4 \leftrightarrow 8,\qquad 5 \leftrightarrow 10 \]

Entonces las razones correctas son:

\[ \frac{6}{3}=2 \]

\[ \frac{8}{4}=2 \]

\[ \frac{10}{5}=2 \]

Como las razones correspondientes son iguales, los triángulos sí son semejantes.

Para el triángulo 1:

\[ \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{13} \]

\[ \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{12}{13} \]

Para el triángulo 2:

\[ \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13} \]

\[ \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13} \]

Las razones se mantienen porque los triángulos son semejantes.

Las hipotenusas correspondientes son \(10\) y \(35\).

El factor de escala es:

\[ \frac{35}{10}=\frac{7}{2} \]

El cateto opuesto del segundo triángulo es:

\[ 6\cdot \frac{7}{2}=3\cdot 7=21 \]

El cateto adyacente del segundo triángulo es:

\[ 8\cdot \frac{7}{2}=4\cdot 7=28 \]

Por lo tanto, el cateto opuesto mide \(21\) y el cateto adyacente mide \(28\).

Las razones trigonométricas se definen así:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]

Usamos las definiciones:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \sin(\theta)=\frac{7}{25} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{24}{25} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{7}{24} \]

Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es \(\overline{AB}=13\).

Respecto del ángulo \(A\):

• cateto opuesto: \(\overline{BC}=5\),
• cateto adyacente: \(\overline{AC}=12\),
• hipotenusa: \(\overline{AB}=13\).

Entonces:

\[ \sin(A)=\frac{5}{13} \]

\[ \cos(A)=\frac{12}{13} \]

\[ \tan(A)=\frac{5}{12} \]

La hipotenusa sigue siendo \(\overline{AB}=13\).

Respecto del ángulo \(B\):

• cateto opuesto: \(\overline{AC}=12\),
• cateto adyacente: \(\overline{BC}=5\),
• hipotenusa: \(\overline{AB}=13\).

Entonces:

\[ \sin(B)=\frac{12}{13} \]

\[ \cos(B)=\frac{5}{13} \]

\[ \tan(B)=\frac{12}{5} \]

Como el ángulo recto está en \(E\), la hipotenusa es \(\overline{DF}=17\).

Respecto del ángulo \(D\):

• cateto opuesto: \(\overline{EF}=15\),
• cateto adyacente: \(\overline{DE}=8\),
• hipotenusa: \(\overline{DF}=17\).

Entonces:

\[ \sin(D)=\frac{15}{17} \]

\[ \cos(D)=\frac{8}{17} \]

\[ \tan(D)=\frac{15}{8} \]

Aplicamos cada definición:

\[ \sin(\theta)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \]

El error es usar el cateto adyacente en la definición del seno.

El seno de un ángulo se define usando el cateto opuesto y la hipotenusa:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

La razón que usa cateto adyacente sobre hipotenusa es el coseno:

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

La afirmación no es correcta.

La tangente no usa la hipotenusa. Se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]

La razón que usa cateto opuesto e hipotenusa es el seno:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

Como el ángulo recto está en \(Q\), la hipotenusa es \(\overline{PR}=29\).

a) Respecto del ángulo \(P\):

• cateto opuesto: \(\overline{QR}=21\),
• cateto adyacente: \(\overline{PQ}=20\),
• hipotenusa: \(\overline{PR}=29\).

\[ \sin(P)=\frac{21}{29} \]

\[ \cos(P)=\frac{20}{29} \]

\[ \tan(P)=\frac{21}{20} \]

b) Respecto del ángulo \(R\):

• cateto opuesto: \(\overline{PQ}=20\),
• cateto adyacente: \(\overline{QR}=21\),
• hipotenusa: \(\overline{PR}=29\).

\[ \sin(R)=\frac{20}{29} \]

\[ \cos(R)=\frac{21}{29} \]

\[ \tan(R)=\frac{20}{21} \]

Aplicamos las definiciones:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{c} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{b}{c} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{a}{b} \]

1. \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\)
2. \(\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
4. \(\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
5. \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\)
6. \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\)

Respecto del ángulo de \(30^\circ\):

• cateto opuesto: \(1\),
• cateto adyacente: \(\sqrt{3}\),
• hipotenusa: \(2\).

Entonces:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Respecto del ángulo de \(60^\circ\):

• cateto opuesto: \(\sqrt{3}\),
• cateto adyacente: \(1\),
• hipotenusa: \(2\).

Entonces:

\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2} \]

\[ \tan(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \]

Respecto de un ángulo de \(45^\circ\), un cateto es opuesto y el otro es adyacente. Ambos miden \(1\).

La hipotenusa mide \(\sqrt{2}\).

Entonces:

\[ \sin(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \cos(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \tan(45^\circ)=\frac{1}{1}=1 \]

1. \[ 6\sin(30^\circ)=6\cdot \frac{1}{2}=3 \]

2. \[ 8\cos(60^\circ)=8\cdot \frac{1}{2}=4 \]

3. \[ 10\sin(90^\circ)=10\cdot 1=10 \]

4. \[ 12\cos(0^\circ)=12\cdot 1=12 \]

Usamos los valores:

\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Reemplazamos:

\[ 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3} \]

Por lo tanto:

\[ 2\sin(60^\circ)+4\cos(30^\circ)=3\sqrt{3} \]

1. Verdadera, porque \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\).
2. Falsa, porque \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\). El valor \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) corresponde a \(\sin(60^\circ)\) o a \(\cos(30^\circ)\).
3. Verdadera, porque \(\tan(45^\circ)=1\).
4. Falsa, porque \(\tan(90^\circ)\) no está definida.

1. \(\sin(\theta)=\frac{1}{2}\), entonces \(\theta=30^\circ\).
2. \(\cos(\theta)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), entonces \(\theta=45^\circ\).
3. \(\tan(\theta)=\sqrt{3}\), entonces \(\theta=60^\circ\).
4. \(\cos(\theta)=0\), entonces \(\theta=90^\circ\).

El error es intercambiar los valores de \(30^\circ\) y \(60^\circ\).

En un triángulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), frente al ángulo de \(30^\circ\) queda el cateto menor, que mide \(1\), y la hipotenusa mide \(2\).

Por eso:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]

El valor \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) corresponde a:

\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Usamos los valores exactos:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

Reemplazamos:

\[ 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+2\cdot \sqrt{3} \]

\[ 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3} \]

Por lo tanto:

\[ 6\tan(30^\circ)+2\tan(60^\circ)=4\sqrt{3} \]

1. \(35^\circ\) está entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante I.
2. \(120^\circ\) está entre \(90^\circ\) y \(180^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante II.
3. \(210^\circ\) está entre \(180^\circ\) y \(270^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante III.
4. \(315^\circ\) está entre \(270^\circ\) y \(360^\circ\), por lo tanto está en el cuadrante IV.

El ángulo \(140^\circ\) está en el cuadrante II. En ese cuadrante:

• \(\sin\) es positivo;
• \(\cos\) es negativo;
• \(\tan\) es negativa.

Entonces:

\[ \sin(140^\circ)>0,\qquad \cos(140^\circ)<0,\qquad \tan(140^\circ)<0 \]

El ángulo \(300^\circ\) está en el cuadrante IV. En ese cuadrante:

• \(\sin\) es negativo;
• \(\cos\) es positivo;
• \(\tan\) es negativa.

Entonces:

\[ \sin(300^\circ)<0,\qquad \cos(300^\circ)>0,\qquad \tan(300^\circ)<0 \]

1. \(120^\circ\) está en el cuadrante II:

   \[ \alpha=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]

2. \(135^\circ\) está en el cuadrante II:

   \[ \alpha=180^\circ-135^\circ=45^\circ \]

3. \(240^\circ\) está en el cuadrante III:

   \[ \alpha=240^\circ-180^\circ=60^\circ \]

4. \(330^\circ\) está en el cuadrante IV:

   \[ \alpha=360^\circ-330^\circ=30^\circ \]

El ángulo \(120^\circ\) está en el cuadrante II.

Su ángulo de referencia es:

\[ \alpha=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]

En el cuadrante II, el seno es positivo, el coseno es negativo y la tangente es negativa.

Como:

\[ \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos(60^\circ)=\frac{1}{2},\quad \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

Entonces:

\[ \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \tan(120^\circ)=-\sqrt{3} \]

El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III.

Su ángulo de referencia es:

\[ \alpha=210^\circ-180^\circ=30^\circ \]

En el cuadrante III, el seno es negativo, el coseno es negativo y la tangente es positiva.

Como:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{1}{2},\quad \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Entonces:

\[ \sin(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \tan(210^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

El ángulo \(315^\circ\) está en el cuadrante IV.

Su ángulo de referencia es:

\[ \alpha=360^\circ-315^\circ=45^\circ \]

En el cuadrante IV, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.

Como:

\[ \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tan(45^\circ)=1 \]

Entonces:

\[ \sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \tan(315^\circ)=-1 \]

En cada caso se usa el valor del ángulo de referencia y luego se ajusta el signo según el cuadrante.

1. Verdadera. \(150^\circ\) está en el cuadrante II y su referencia es \(30^\circ\). El seno es positivo, por eso \(\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}\).
2. Falsa. \(240^\circ\) está en el cuadrante III, donde el coseno es negativo. Como su referencia es \(60^\circ\), se tiene \(\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}\).
3. Verdadera. \(225^\circ\) está en el cuadrante III, donde la tangente es positiva. Su referencia es \(45^\circ\), entonces \(\tan(225^\circ)=1\).
4. Falsa. \(330^\circ\) está en el cuadrante IV, donde el seno es negativo. Como su referencia es \(30^\circ\), se tiene \(\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}\).

Calculamos cada valor:

\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]

\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2} \]

Reemplazamos:

\[ 4\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2} \]

\[ 2+1=3 \]

Por lo tanto:

\[ 4\sin(150^\circ)+2\cos(300^\circ)=3 \]

La estudiante identificó correctamente el ángulo de referencia:

\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]

Pero olvidó considerar el signo según el cuadrante.

El ángulo \(210^\circ\) está en el cuadrante III, donde el coseno es negativo.

Como:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Entonces:

\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

1. En el cuadrante II:

   \[ \theta=180^\circ-30^\circ=150^\circ \]

2. En el cuadrante III:

   \[ \theta=180^\circ+45^\circ=225^\circ \]

3. En el cuadrante IV:

   \[ \theta=360^\circ-60^\circ=300^\circ \]

Aplicamos las definiciones:

\[ \sin(\theta)=\frac{9}{15} \]

Simplificamos por \(3\):

\[ \sin(\theta)=\frac{3}{5} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{12}{15} \]

Simplificamos por \(3\):

\[ \cos(\theta)=\frac{4}{5} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{9}{12} \]

Simplificamos por \(3\):

\[ \tan(\theta)=\frac{3}{4} \]

Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es \(AB=17\).

Respecto del ángulo \(A\):

• cateto opuesto: \(BC=15\),
• cateto adyacente: \(AC=8\),
• hipotenusa: \(AB=17\).

Entonces:

\[ \sin(A)=\frac{15}{17} \]

\[ \cos(A)=\frac{8}{17} \]

\[ \tan(A)=\frac{15}{8} \]

La hipotenusa sigue siendo \(AB=17\).

Respecto del ángulo \(B\):

• cateto opuesto: \(AC=8\),
• cateto adyacente: \(BC=15\),
• hipotenusa: \(AB=17\).

Entonces:

\[ \sin(B)=\frac{8}{17} \]

\[ \cos(B)=\frac{15}{17} \]

\[ \tan(B)=\frac{8}{15} \]

El ángulo recto está en \(Q\), por lo tanto la hipotenusa es \(PR=25\).

Respecto del ángulo \(P\):

• cateto opuesto: \(QR=24\),
• cateto adyacente: \(PQ=7\),
• hipotenusa: \(PR=25\).

Entonces:

\[ \sin(P)=\frac{24}{25} \]

\[ \cos(P)=\frac{7}{25} \]

\[ \tan(P)=\frac{24}{7} \]

Usamos el teorema de Pitágoras. Si el cateto adyacente es \(a\):

\[ 13^2=12^2+a^2 \]

\[ 169=144+a^2 \]

\[ a^2=25 \]

\[ a=5 \]

Entonces:

• cateto opuesto: \(12\),
• cateto adyacente: \(5\),
• hipotenusa: \(13\).

Por lo tanto:

\[ \sin(\theta)=\frac{12}{13} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{5}{13} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{12}{5} \]

Si el cateto opuesto es \(o\), usamos Pitágoras:

\[ 29^2=20^2+o^2 \]

\[ 841=400+o^2 \]

\[ o^2=441 \]

\[ o=21 \]

Entonces:

• cateto opuesto: \(21\),
• cateto adyacente: \(20\),
• hipotenusa: \(29\).

Por lo tanto:

\[ \sin(\theta)=\frac{21}{29} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{20}{29} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{21}{20} \]

Como el ángulo recto está en \(C\), la hipotenusa es \(AB=41\).

a) Respecto del ángulo \(A\):

• cateto opuesto: \(BC=40\),
• cateto adyacente: \(AC=9\),
• hipotenusa: \(AB=41\).

\[ \sin(A)=\frac{40}{41} \]

\[ \cos(A)=\frac{9}{41} \]

\[ \tan(A)=\frac{40}{9} \]

b) Respecto del ángulo \(B\):

• cateto opuesto: \(AC=9\),
• cateto adyacente: \(BC=40\),
• hipotenusa: \(AB=41\).

\[ \sin(B)=\frac{9}{41} \]

\[ \cos(B)=\frac{40}{41} \]

\[ \tan(B)=\frac{9}{40} \]

El error es usar la hipotenusa para calcular la tangente.

La tangente se define como:

\[ \tan(\theta)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]

Entonces:

\[ \tan(\theta)=\frac{6}{8} \]

Simplificamos por \(2\):

\[ \tan(\theta)=\frac{3}{4} \]

El valor \(\frac{6}{10}\) corresponde a \(\sin(\theta)\), no a \(\tan(\theta)\).

Como el ángulo recto está en \(E\), la hipotenusa es \(DF=53\).

Respecto del ángulo \(D\):

• opuesto: \(EF=45\),
• adyacente: \(DE=28\),
• hipotenusa: \(DF=53\).

Respecto del ángulo \(F\):

• opuesto: \(DE=28\),
• adyacente: \(EF=45\),
• hipotenusa: \(DF=53\).

Como:

\[ \sin(\theta)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{13} \]

Si la hipotenusa mide \(26\), el factor de escala es:

\[ \frac{26}{13}=2 \]

Entonces el cateto opuesto mide:

\[ 5\cdot 2=10 \]

Para hallar el cateto adyacente, usamos el triángulo proporcional \(5-12-13\). Al multiplicar por \(2\), se obtiene:

\[ 12\cdot 2=24 \]

Así, el cateto adyacente mide \(24\).

Luego:

\[ \cos(\theta)=\frac{24}{26}=\frac{12}{13} \]

\[ \tan(\theta)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12} \]

Conocemos la hipotenusa y buscamos el cateto opuesto, por lo tanto usamos seno:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

Como \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{16} \]

Multiplicamos por \(16\):

\[ x=16\cdot \frac{1}{2}=8 \]

El cateto opuesto mide \(8\ \text{cm}\).

Conocemos la hipotenusa y buscamos el cateto adyacente, por lo tanto usamos coseno:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

Como \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2}=\frac{x}{18} \]

Multiplicamos por \(18\):

\[ x=18\cdot \frac{1}{2}=9 \]

El cateto adyacente mide \(9\ \text{m}\).

Como se conoce el cateto adyacente y se busca el cateto opuesto, usamos tangente:

\[ \tan(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]

Como \(\tan(45^\circ)=1\):

\[ 1=\frac{x}{11} \]

Multiplicamos por \(11\):

\[ x=11 \]

El cateto opuesto mide \(11\ \text{cm}\).

Conocemos el cateto opuesto y buscamos la hipotenusa, por lo tanto usamos seno:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

Como \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2}=\frac{10}{h} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ h=20 \]

La hipotenusa mide \(20\ \text{cm}\).

a) Cateto opuesto:

Como conocemos el cateto adyacente y buscamos el opuesto, usamos tangente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]

Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\):

\[ \sqrt{3}=\frac{x}{7} \]

Multiplicamos por \(7\):

\[ x=7\sqrt{3} \]

El cateto opuesto mide \(7\sqrt{3}\ \text{m}\).

b) Hipotenusa:

Como conocemos el cateto adyacente y buscamos la hipotenusa, usamos coseno:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \frac{1}{2}=\frac{7}{h} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ h=14 \]

La hipotenusa mide \(14\ \text{m}\).

La hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\) y el ángulo de referencia es \(45^\circ\).

a) Cateto opuesto:

\[ \sin(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{12} \]

\[ x=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]

b) Cateto adyacente:

\[ \cos(45^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{12} \]

\[ y=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]

Ambos catetos miden \(6\sqrt{2}\ \text{cm}\).

Justificación de los resultados:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{x}{24}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{x}{24}\Rightarrow x=12 \]

\[ \cos(60^\circ)=\frac{x}{24}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{x}{24}\Rightarrow x=12 \]

\[ \tan(45^\circ)=\frac{x}{5}\Rightarrow 1=\frac{x}{5}\Rightarrow x=5 \]

a) Cateto opuesto:

Como conocemos el cateto adyacente y buscamos el opuesto, usamos tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{9\sqrt{3}} \]

Multiplicamos por \(9\sqrt{3}\):

\[ x=9\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ x=9\cdot \frac{3}{3}=9 \]

El cateto opuesto mide \(9\ \text{cm}\).

b) Hipotenusa:

Usamos coseno:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{h} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ h\sqrt{3}=18\sqrt{3} \]

Dividimos por \(\sqrt{3}\):

\[ h=18 \]

La hipotenusa mide \(18\ \text{cm}\).

a) Cateto opuesto:

\[ \sin(37^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ 0{,}60=\frac{x}{25} \]

\[ x=25\cdot 0{,}60=15 \]

El cateto opuesto mide aproximadamente \(15\ \text{cm}\).

b) Cateto adyacente:

\[ \cos(37^\circ)=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ 0{,}80=\frac{y}{25} \]

\[ y=25\cdot 0{,}80=20 \]

El cateto adyacente mide aproximadamente \(20\ \text{cm}\).

El error es usar coseno para calcular el cateto opuesto conociendo la hipotenusa.

El coseno relaciona cateto adyacente con hipotenusa. Para cateto opuesto e hipotenusa se usa seno:

\[ \sin(60^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

Entonces:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10} \]

Multiplicamos por \(10\):

\[ x=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \]

El cateto opuesto mide \(5\sqrt{3}\ \text{cm}\).

a) Hipotenusa:

Como conocemos el cateto opuesto y buscamos la hipotenusa, usamos seno:

\[ \sin(45^\circ)=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{h} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ h\sqrt{2}=12\sqrt{2} \]

Dividimos por \(\sqrt{2}\):

\[ h=12 \]

La hipotenusa mide \(12\ \text{cm}\).

b) Cateto adyacente:

En un triángulo \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\), los catetos son iguales.

Por lo tanto, el cateto adyacente también mide:

\[ 6\sqrt{2}\ \text{cm} \]

Como conocemos cateto opuesto e hipotenusa, usamos seno:

\[ \sin(\theta)=\frac{4}{8} \]

\[ \sin(\theta)=\frac{1}{2} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ \theta=30^\circ \]

El ángulo mide \(30^\circ\).

Como conocemos cateto adyacente e hipotenusa, usamos coseno:

\[ \cos(\theta)=\frac{7}{14} \]

\[ \cos(\theta)=\frac{1}{2} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ \theta=60^\circ \]

El ángulo mide \(60^\circ\).

Como conocemos los dos catetos, usamos tangente:

\[ \tan(\theta)=\frac{13}{13} \]

\[ \tan(\theta)=1 \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\tan^{-1}(1) \]

\[ \theta=45^\circ \]

El ángulo mide \(45^\circ\).

Respecto del ángulo \(A\):

• cateto opuesto: \(BC=5\),
• cateto adyacente: \(AC=12\),
• hipotenusa: \(AB=13\).

Podemos usar seno:

\[ \sin(A)=\frac{5}{13} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ A=\sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \]

Usando calculadora en grados:

\[ A\approx 22{,}6^\circ \]

El ángulo \(A\) mide aproximadamente \(22{,}6^\circ\).

Respecto del ángulo \(B\):

• cateto opuesto: \(AC=12\),
• cateto adyacente: \(BC=5\),
• hipotenusa: \(AB=13\).

Podemos usar seno:

\[ \sin(B)=\frac{12}{13} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ B=\sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) \]

Usando calculadora en grados:

\[ B\approx 67{,}4^\circ \]

El ángulo \(B\) mide aproximadamente \(67{,}4^\circ\).

También se podía usar que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman \(90^\circ\):

\[ B=90^\circ-22{,}6^\circ=67{,}4^\circ \]

Como conocemos los dos catetos, usamos tangente:

\[ \tan(\theta)=\frac{7}{24} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \]

Usando calculadora en grados:

\[ \theta\approx 16{,}3^\circ \]

El ángulo mide aproximadamente \(16{,}3^\circ\).

Justificación:

\[ \sin^{-1}\left(\frac{6}{12}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30^\circ \]

\[ \cos^{-1}\left(\frac{5}{10}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ \]

\[ \tan^{-1}\left(\frac{8}{8}\right)=\tan^{-1}(1)=45^\circ \]

Buscamos el ángulo cuyo coseno es \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

De los valores especiales:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Por lo tanto:

\[ \theta=30^\circ \]

Buscamos el ángulo cuya tangente es \(\sqrt{3}\).

De los valores especiales:

\[ \tan(60^\circ)=\sqrt{3} \]

Por lo tanto:

\[ \theta=60^\circ \]

El error es usar \(\sin\) en vez de \(\sin^{-1}\).

Primero se forma la razón:

\[ \sin(\theta)=\frac{8}{10}=0{,}8 \]

Para encontrar el ángulo, se usa la razón inversa:

\[ \theta=\sin^{-1}(0{,}8) \]

Usando calculadora en grados:

\[ \theta\approx 53{,}1^\circ \]

El ángulo mide aproximadamente \(53{,}1^\circ\).

Como el ángulo recto está en \(Q\), la hipotenusa es \(PR=29\).

a) Ángulo \(P\):

Respecto de \(P\), el cateto opuesto es \(QR=21\) y la hipotenusa es \(PR=29\).

\[ \sin(P)=\frac{21}{29} \]

\[ P=\sin^{-1}\left(\frac{21}{29}\right) \]

\[ P\approx 46{,}4^\circ \]

b) Ángulo \(R\):

Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman \(90^\circ\). Entonces:

\[ R=90^\circ-46{,}4^\circ \]

\[ R\approx 43{,}6^\circ \]

También se podía calcular con:

\[ R=\sin^{-1}\left(\frac{20}{29}\right) \]

La distancia horizontal es el cateto adyacente y la altura del edificio es el cateto opuesto.

Usamos tangente:

\[ \tan(45^\circ)=\frac{h}{20} \]

Como \(\tan(45^\circ)=1\):

\[ 1=\frac{h}{20} \]

\[ h=20 \]

La altura del edificio es \(20\ \text{m}\).

La escalera es la hipotenusa.

a) Altura:

La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).

\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{12} \]

\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{12} \]

\[ h=6 \]

La escalera alcanza \(6\ \text{m}\) de altura.

b) Distancia a la pared:

La distancia horizontal es el cateto adyacente.

\[ \cos(30^\circ)=\frac{x}{12} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{12} \]

\[ x=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \]

La base está a \(6\sqrt{3}\ \text{m}\) de la pared, aproximadamente \(10{,}39\ \text{m}\).

El hilo corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.

Usamos seno:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{40} \]

\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{40} \]

\[ h=20 \]

La altura aproximada del volantín es \(20\ \text{m}\).

La sombra es el cateto adyacente y la altura del árbol es el cateto opuesto.

Usamos tangente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{h}{12} \]

Como \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\):

\[ \sqrt{3}=\frac{h}{12} \]

\[ h=12\sqrt{3} \]

La altura del árbol es \(12\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(20{,}78\ \text{m}\).

El ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación desde la embarcación hacia la cima del faro, por ángulos alternos internos.

La altura del faro es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.

Usamos tangente:

\[ \tan(30^\circ)=\frac{30}{x} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{30}{x} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ x\sqrt{3}=90 \]

\[ x=\frac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3} \]

La distancia horizontal es \(30\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(51{,}96\ \text{m}\).

La rampa corresponde a la hipotenusa y la altura corresponde al cateto opuesto.

Usamos seno:

\[ \sin(\theta)=\frac{4}{8} \]

\[ \sin(\theta)=\frac{1}{2} \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ \theta=30^\circ \]

La rampa forma un ángulo de \(30^\circ\) con el suelo.

La distancia horizontal es el cateto adyacente y la altura es el cateto opuesto.

Usamos tangente:

\[ \tan(37^\circ)=\frac{h}{50} \]

Reemplazamos \(\tan(37^\circ)\approx 0{,}75\):

\[ 0{,}75=\frac{h}{50} \]

\[ h=50\cdot 0{,}75=37{,}5 \]

La altura aproximada de la torre es \(37{,}5\ \text{m}\).

La altura del poste es el cateto opuesto y la sombra es el cateto adyacente.

Usamos tangente:

\[ \tan(\theta)=\frac{15}{20} \]

\[ \tan(\theta)=0{,}75 \]

Aplicamos la razón inversa:

\[ \theta=\tan^{-1}(0{,}75) \]

Usando calculadora en grados:

\[ \theta\approx 36{,}9^\circ \]

El ángulo de elevación del Sol es aproximadamente \(36{,}9^\circ\).

El cable corresponde a la hipotenusa.

a) Altura:

La altura es el cateto opuesto al ángulo de \(53^\circ\). Usamos seno:

\[ \sin(53^\circ)=\frac{h}{25} \]

\[ 0{,}80=\frac{h}{25} \]

\[ h=25\cdot 0{,}80=20 \]

La antena mide aproximadamente \(20\ \text{m}\).

b) Distancia horizontal:

La distancia horizontal es el cateto adyacente. Usamos coseno:

\[ \cos(53^\circ)=\frac{x}{25} \]

\[ 0{,}60=\frac{x}{25} \]

\[ x=25\cdot 0{,}60=15 \]

La distancia horizontal es aproximadamente \(15\ \text{m}\).

El triángulo rectángulo se forma desde los ojos de la persona hasta la punta del edificio.

La distancia horizontal es \(25\ \text{m}\), y la altura desde los ojos hasta la punta del edificio es \(h\).

Usamos tangente:

\[ \tan(60^\circ)=\frac{h}{25} \]

\[ \sqrt{3}=\frac{h}{25} \]

\[ h=25\sqrt{3} \]

Esta es la altura sobre el nivel de los ojos. Para obtener la altura total del edificio, sumamos \(1{,}6\ \text{m}\):

\[ H=25\sqrt{3}+1{,}6 \]

Usando \(\sqrt{3}\approx 1{,}732\):

\[ H\approx 25\cdot 1{,}732+1{,}6=43{,}3+1{,}6=44{,}9 \]

La altura total del edificio es aproximadamente \(44{,}9\ \text{m}\).

El error es usar coseno para calcular la altura.

La escalera es la hipotenusa y la altura es el cateto opuesto al ángulo de \(30^\circ\).

Por lo tanto, se debe usar seno:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{h}{10} \]

\[ \frac{1}{2}=\frac{h}{10} \]

\[ h=5 \]

La escalera alcanza una altura de \(5\ \text{m}\).

La altura es el cateto opuesto y la rampa es la hipotenusa.

a) Longitud de la rampa:

\[ \sin(30^\circ)=\frac{2}{L} \]

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{L} \]

Multiplicamos en cruz:

\[ L=4 \]

La rampa mide \(4\ \text{m}\).

b) Distancia horizontal:

La distancia horizontal es el cateto adyacente. Usamos coseno:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{x}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{4} \]

\[ x=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \]

La distancia horizontal es \(2\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(3{,}46\ \text{m}\).

a) Componentes:

El vector \(\vec a=(3,4)\) tiene:

\[ a_x=3,\qquad a_y=4 \]

Esto significa que avanza \(3\) unidades hacia la derecha y \(4\) unidades hacia arriba.

b) Módulo:

\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+4^2} \]

\[ |\vec a|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

El módulo de \(\vec a\) es \(5\).

a) Interpretación de signos:

Como \(b_x=-6\), el vector avanza \(6\) unidades hacia la izquierda.

Como \(b_y=8\), el vector avanza \(8\) unidades hacia arriba.

b) Módulo:

\[ |\vec b|=\sqrt{(-6)^2+8^2} \]

\[ |\vec b|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

El módulo del vector es \(10\).

a) Dirección de las componentes:

Como \(c_x=5\), el vector avanza \(5\) unidades hacia la derecha.

Como \(c_y=-12\), el vector avanza \(12\) unidades hacia abajo.

b) Módulo:

\[ |\vec c|=\sqrt{5^2+(-12)^2} \]

\[ |\vec c|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]

El módulo del vector es \(13\).

a) Vector desplazamiento:

El avance horizontal es \(9\) y el avance vertical es \(12\), por lo tanto:

\[ \vec d=(9,12) \]

b) Módulo:

\[ |\vec d|=\sqrt{9^2+12^2} \]

\[ |\vec d|=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15 \]

El desplazamiento total mide \(15\ \text{m}\).

a) Módulo:

\[ |\vec e|=\sqrt{12^2+5^2} \]

\[ |\vec e|=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13 \]

b) Ángulo:

Respecto del ángulo \(\theta\), el cateto opuesto es \(5\) y el cateto adyacente es \(12\).

\[ \tan(\theta)=\frac{5}{12} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \]

Usando calculadora en grados:

\[ \theta\approx 22{,}6^\circ \]

a) Vector desplazamiento:

Tomando el este como dirección positiva del eje \(x\) y el norte como dirección positiva del eje \(y\):

\[ \vec d=(300,400) \]

b) Distancia directa:

\[ |\vec d|=\sqrt{300^2+400^2} \]

\[ |\vec d|=\sqrt{90000+160000}=\sqrt{250000}=500 \]

La distancia directa es \(500\ \text{m}\).

c) Ángulo con la dirección este:

\[ \tan(\theta)=\frac{400}{300}=\frac{4}{3} \]

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \]

\[ \theta\approx 53{,}1^\circ \]

El desplazamiento forma aproximadamente \(53{,}1^\circ\) con la dirección este.

Calculamos cada módulo:

\[ |(8,15)|=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17 \]

\[ |(-7,-24)|=\sqrt{(-7)^2+(-24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25 \]

\[ |(0,9)|=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9 \]

El error es confundir las componentes con las longitudes usadas en el triángulo.

El vector realmente tiene componentes:

\[ v_x=-4,\qquad v_y=3 \]

El signo negativo indica que la componente horizontal va hacia la izquierda.

Para calcular el módulo, se elevan las componentes al cuadrado:

\[ |\vec v|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \]

\[ |\vec v|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]

El módulo es \(5\), pero la componente horizontal sigue siendo \(-4\).

a) Módulos:

\[ |\vec a|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10 \]

\[ |\vec b|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10 \]

b) Comparación:

Ambos vectores tienen el mismo módulo:

\[ |\vec a|=|\vec b|=10 \]

Pero tienen sentidos distintos. El vector \(\vec a=(6,8)\) apunta hacia la derecha y hacia arriba, mientras que \(\vec b=(-6,-8)\) apunta hacia la izquierda y hacia abajo.

a) Componentes:

Como el vector llega al punto \(P(-3,-4)\), sus componentes son:

\[ \vec v=(-3,-4) \]

b) Módulo:

\[ |\vec v|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2} \]

\[ |\vec v|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

c) Dirección de las componentes:

Como \(v_x=-3\), apunta \(3\) unidades hacia la izquierda.

Como \(v_y=-4\), apunta \(4\) unidades hacia abajo.

Usamos:

\[ a_x=20\cos(30^\circ) \]

\[ a_y=20\sin(30^\circ) \]

Como:

\[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(30^\circ)=\frac{1}{2} \]

Entonces:

\[ a_x=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3} \]

\[ a_y=20\cdot \frac{1}{2}=10 \]

Por lo tanto:

\[ \vec a=(10\sqrt{3},10) \]

Usamos:

\[ b_x=16\cos(60^\circ) \]

\[ b_y=16\sin(60^\circ) \]

Como:

\[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2},\qquad \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Entonces:

\[ b_x=16\cdot \frac{1}{2}=8 \]

\[ b_y=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3} \]

Por lo tanto:

\[ \vec b=(8,8\sqrt{3}) \]

Usamos:

\[ c_x=10\cos(45^\circ) \]

\[ c_y=10\sin(45^\circ) \]

Como:

\[ \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Entonces:

\[ c_x=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \]

\[ c_y=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \]

Por lo tanto:

\[ \vec c=(5\sqrt{2},5\sqrt{2}) \]

El ángulo \(120^\circ\) está en el segundo cuadrante.

Su ángulo de referencia es:

\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ \]

Por lo tanto:

\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Calculamos:

\[ d_x=14\cos(120^\circ)=14\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-7 \]

\[ d_y=14\sin(120^\circ)=14\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3} \]

Por lo tanto:

\[ \vec d=(-7,7\sqrt{3}) \]

El ángulo \(210^\circ\) está en el tercer cuadrante.

Su ángulo de referencia es:

\[ 210^\circ-180^\circ=30^\circ \]

En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:

\[ \cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(210^\circ)=-\frac{1}{2} \]

Entonces:

\[ e_x=18\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-9\sqrt{3} \]

\[ e_y=18\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-9 \]

Por lo tanto:

\[ \vec e=(-9\sqrt{3},-9) \]

El ángulo \(315^\circ\) está en el cuarto cuadrante.

Su ángulo de referencia es:

\[ 360^\circ-315^\circ=45^\circ \]

En el cuarto cuadrante, el coseno es positivo y el seno es negativo:

\[ \cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Entonces:

\[ f_x=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2} \]

\[ f_y=12\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-6\sqrt{2} \]

Por lo tanto:

\[ \vec f=(6\sqrt{2},-6\sqrt{2}) \]

Usamos \(v_x=|\vec v|\cos(\theta)\) y \(v_y=|\vec v|\sin(\theta)\).

Por ejemplo, para \(\theta=180^\circ\):

\[ v_x=6\cos(180^\circ)=6(-1)=-6 \]

\[ v_y=6\sin(180^\circ)=6(0)=0 \]

Usamos las fórmulas:

\[ g_x=50\cos(37^\circ) \]

\[ g_y=50\sin(37^\circ) \]

Reemplazamos los valores aproximados:

\[ g_x=50\cdot 0{,}80=40 \]

\[ g_y=50\cdot 0{,}60=30 \]

Por lo tanto, aproximadamente:

\[ \vec g\approx (40,30) \]

a) Cuadrante:

El ángulo \(225^\circ\) está entre \(180^\circ\) y \(270^\circ\), por lo tanto el vector está en el tercer cuadrante.

b) Componentes:

Su ángulo de referencia es:

\[ 225^\circ-180^\circ=45^\circ \]

En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:

\[ \cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Entonces:

\[ h_x=20\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-10\sqrt{2} \]

\[ h_y=20\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-10\sqrt{2} \]

Por lo tanto:

\[ \vec h=(-10\sqrt{2},-10\sqrt{2}) \]

El estudiante usó correctamente el ángulo de referencia \(30^\circ\), pero olvidó considerar el cuadrante.

El ángulo \(150^\circ\) está en el segundo cuadrante, donde:

• el coseno es negativo;
• el seno es positivo.

Entonces:

\[ \cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sin(150^\circ)=\frac{1}{2} \]

Calculamos:

\[ v_x=10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-5\sqrt{3} \]

\[ v_y=10\cdot \frac{1}{2}=5 \]

Por lo tanto, las componentes correctas son:

\[ (-5\sqrt{3},5) \]

El módulo del desplazamiento es \(30\).

El ángulo \(240^\circ\) está en el tercer cuadrante.

Su ángulo de referencia es:

\[ 240^\circ-180^\circ=60^\circ \]

En el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos:

\[ \cos(240^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Entonces:

\[ v_x=30\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-15 \]

\[ v_y=30\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-15\sqrt{3} \]

Por lo tanto, el desplazamiento se puede escribir como:

\[ \vec v=(-15,-15\sqrt{3}) \]

Esto significa que el bote se desplaza \(15\ \text{m}\) hacia la izquierda y \(15\sqrt{3}\ \text{m}\) hacia abajo, según el sistema de referencia usado.

Usamos:

\[ a_x=12\cos(0^\circ) \]

\[ a_y=12\sin(0^\circ) \]

Como:

\[ \cos(0^\circ)=1,\qquad \sin(0^\circ)=0 \]

Entonces:

\[ a_x=12\cdot 1=12 \]

\[ a_y=12\cdot 0=0 \]

Por lo tanto:

\[ \vec a=(12,0) \]

Calculamos la proyección horizontal:

\[ b_x=18\cos(30^\circ) \]

\[ b_x=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3} \]

Calculamos la proyección vertical:

\[ b_y=18\sin(30^\circ) \]

\[ b_y=18\cdot \frac{1}{2}=9 \]

Por lo tanto:

\[ \vec b=(9\sqrt{3},9) \]

a) Proyecciones:

La proyección horizontal es:

\[ c_x=-8 \]

La proyección vertical es:

\[ c_y=6 \]

b) Módulo:

\[ |\vec c|=\sqrt{(-8)^2+6^2} \]

\[ |\vec c|=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \]

c) Dirección:

El vector está en el segundo cuadrante, porque \(c_x<0\) y \(c_y>0\).

Para el ángulo de referencia:

\[ \tan(\alpha)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \]

\[ \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\approx 36{,}9^\circ \]

Como está en el segundo cuadrante:

\[ \theta=180^\circ-36{,}9^\circ=143{,}1^\circ \]

La dirección aproximada es \(143{,}1^\circ\).

Sumamos componente a componente:

\[ R_x=5+3=8 \]

\[ R_y=7+(-2)=5 \]

Entonces:

\[ \vec R=(8,5) \]

Calculamos el módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{8^2+5^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{64+25}=\sqrt{89} \]

Por lo tanto, el módulo del resultante es \(\sqrt{89}\), aproximadamente \(9{,}4\).

a) Componentes:

Para \(\vec a\):

\[ \vec a=(10\cos 0^\circ,10\sin 0^\circ)=(10,0) \]

Para \(\vec b\):

\[ \vec b=(10\cos 90^\circ,10\sin 90^\circ)=(0,10) \]

b) Resultante:

\[ \vec R=(10,0)+(0,10)=(10,10) \]

c) Módulo y dirección:

\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+10^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \]

Como las componentes son iguales y positivas, el vector está en el primer cuadrante y forma un ángulo de \(45^\circ\).

Por lo tanto:

\[ |\vec R|=10\sqrt{2},\qquad \theta=45^\circ \]

Primero descomponemos \(\vec F_1\):

\[ \vec F_1=(20\cos 0^\circ,20\sin 0^\circ)=(20,0) \]

Ahora descomponemos \(\vec F_2\):

\[ \cos(120^\circ)=-\frac{1}{2},\qquad \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \vec F_2=\left(20\cdot\left(-\frac{1}{2}\right),20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

\[ \vec F_2=(-10,10\sqrt{3}) \]

Sumamos:

\[ \vec R=(20,0)+(-10,10\sqrt{3}) \]

\[ \vec R=(10,10\sqrt{3}) \]

Calculamos el módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{100+300}=\sqrt{400}=20 \]

Para la dirección:

\[ \tan(\theta)=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3} \]

\[ \theta=60^\circ \]

Por lo tanto, el resultante es:

\[ \vec R=(10,10\sqrt{3}),\qquad |\vec R|=20,\qquad \theta=60^\circ \]

a) Componentes:

Primer desplazamiento:

\[ d_{1x}=50\cos(37^\circ)\approx 50\cdot 0{,}80=40 \]

\[ d_{1y}=50\sin(37^\circ)\approx 50\cdot 0{,}60=30 \]

\[ \vec d_1\approx (40,30) \]

El segundo desplazamiento es \(20\ \text{m}\) hacia el oeste, es decir, hacia la izquierda:

\[ \vec d_2=(-20,0) \]

b) Resultante:

\[ \vec R=(40,30)+(-20,0) \]

\[ \vec R=(20,30) \]

c) Módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{20^2+30^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}=10\sqrt{13} \]

\[ |\vec R|\approx 36{,}1\ \text{m} \]

Descomponemos la primera fuerza:

\[ \vec F_1=(30\cos 30^\circ,30\sin 30^\circ) \]

\[ \vec F_1=\left(30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},30\cdot\frac{1}{2}\right) \]

\[ \vec F_1=(15\sqrt{3},15) \]

Descomponemos la segunda fuerza:

\[ \cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(330^\circ)=-\frac{1}{2} \]

\[ \vec F_2=(30\cos 330^\circ,30\sin 330^\circ) \]

\[ \vec F_2=(15\sqrt{3},-15) \]

Sumamos:

\[ \vec R=(15\sqrt{3},15)+(15\sqrt{3},-15) \]

\[ \vec R=(30\sqrt{3},0) \]

El resultante es horizontal hacia la derecha, porque las componentes verticales se anulan.

a) Módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{(-6)^2+8^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]

b) Dirección:

Como \(R_x<0\) y \(R_y>0\), el vector está en el segundo cuadrante.

El ángulo de referencia cumple:

\[ \tan(\alpha)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]

\[ \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53{,}1^\circ \]

Como el vector está en el segundo cuadrante:

\[ \theta=180^\circ-53{,}1^\circ=126{,}9^\circ \]

La dirección aproximada es \(126{,}9^\circ\).

El error es sumar directamente los módulos sin considerar la dirección.

El primer vector, de módulo \(10\) y dirección \(0^\circ\), es:

\[ \vec a=(10,0) \]

El segundo vector, de módulo \(10\) y dirección \(180^\circ\), apunta hacia la izquierda:

\[ \vec b=(-10,0) \]

Sumamos:

\[ \vec R=(10,0)+(-10,0) \]

\[ \vec R=(0,0) \]

Por lo tanto, el módulo resultante es:

\[ |\vec R|=0 \]

Las fuerzas o desplazamientos se anulan porque tienen igual magnitud y sentidos opuestos.

a) Resultante:

Sumamos las componentes horizontales:

\[ R_x=12+(-4)+2=10 \]

Sumamos las componentes verticales:

\[ R_y=5+7+(-9)=3 \]

Entonces:

\[ \vec R=(10,3) \]

b) Módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{10^2+3^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{100+9}=\sqrt{109} \]

El módulo del desplazamiento resultante es \(\sqrt{109}\), aproximadamente \(10{,}4\).

a) Componentes:

Primer desplazamiento:

\[ \vec d_1=(40\cos 60^\circ,40\sin 60^\circ) \]

\[ \vec d_1=\left(40\cdot\frac{1}{2},40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

\[ \vec d_1=(20,20\sqrt{3}) \]

Segundo desplazamiento:

\[ \cos(300^\circ)=\frac{1}{2},\qquad \sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \vec d_2=(20\cos 300^\circ,20\sin 300^\circ) \]

\[ \vec d_2=(10,-10\sqrt{3}) \]

b) Resultante:

\[ \vec R=(20,20\sqrt{3})+(10,-10\sqrt{3}) \]

\[ \vec R=(30,10\sqrt{3}) \]

c) Módulo:

\[ |\vec R|=\sqrt{30^2+(10\sqrt{3})^2} \]

\[ |\vec R|=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200} \]

\[ |\vec R|=20\sqrt{3} \]

El módulo del desplazamiento resultante es \(20\sqrt{3}\ \text{m}\), aproximadamente \(34{,}6\ \text{m}\).