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Libro de variables aleatorias y probabilidad social

Sitio: MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso: Media 2
Libro: Libro de variables aleatorias y probabilidad social
Imprimido por: Invitado
Día: jueves, 23 de julio de 2026, 19:52

Tabla de contenidos

1. Experimentos aleatorios y resultados posibles

Objetivos de la página

  • Distinguir entre situaciones determinísticas y experimentos aleatorios.
  • Identificar resultados posibles de un experimento aleatorio.
  • Representar el espacio muestral de un experimento aleatorio finito.
  • Reconocer eventos dentro de un espacio muestral.

Situaciones determinísticas y aleatorias

Una situación es determinística cuando se puede anticipar con certeza su resultado.

Una situación es aleatoria cuando no se puede saber con certeza qué resultado ocurrirá, aunque sí se pueden conocer sus resultados posibles.

Ejemplo 1: distinguir situaciones

Analicemos las siguientes situaciones:

Situación Tipo Justificación
Calcular \(5+7\) Determinística El resultado siempre será \(12\).
Lanzar una moneda Aleatoria No se sabe con certeza si saldrá cara o sello.
Elegir al azar a un estudiante de un curso Aleatoria Antes de elegir, no se sabe con certeza qué estudiante será seleccionado.

Espacio muestral

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus resultados posibles.

Se suele representar con la letra \(S\) o \(\Omega\).

Por ejemplo, al lanzar una moneda:

\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]

Este espacio muestral es finito porque tiene una cantidad limitada de resultados posibles.

Ejemplo 2: espacio muestral de un dado

Al lanzar un dado común de seis caras, los resultados posibles son:

\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]

El espacio muestral tiene \(6\) resultados posibles.

Cada resultado corresponde al número obtenido en la cara superior del dado.

Evento o suceso

Un evento o suceso es un conjunto de resultados dentro del espacio muestral.

Por ejemplo, al lanzar un dado, el evento “obtener un número par” es:

\[ A=\{2,4,6\} \]

El evento \(A\) está formado por todos los resultados del espacio muestral que cumplen la condición indicada.

Ejemplo 3: eventos en un contexto

En una encuesta escolar, se pregunta a una persona cuál es su medio de transporte principal para llegar al colegio.

Los resultados posibles son:

\[ S=\{\text{caminando},\text{bicicleta},\text{bus},\text{auto},\text{metro}\} \]

Un evento podría ser:

\[ A=\{\text{bus},\text{metro}\} \]

Este evento representa “usar transporte público”.

Error frecuente

No es lo mismo un resultado que un evento.

Un resultado es una posibilidad individual. Un evento puede contener uno o más resultados.

Por ejemplo, al lanzar un dado, \(4\) es un resultado, mientras que \(\{2,4,6\}\) es un evento.

Idea clave

Antes de calcular probabilidades, es necesario identificar claramente qué experimento se realiza y cuáles son todos sus resultados posibles.

Este paso será fundamental para definir variables aleatorias finitas en las siguientes páginas.

Ejercicio 1

Clasifica cada situación como determinística o aleatoria. Justifica brevemente.

a) Medir la temperatura máxima de mañana.

b) Calcular \(9\cdot 4\).

c) Lanzar una moneda.

d) Saber cuántos estudiantes asistirán mañana a clases.

Ejercicio 2

Se lanza una moneda una vez.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Indica cuántos resultados posibles tiene.

Ejercicio 3

Se lanza un dado común de seis caras.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe el evento \(A\): “obtener un número mayor que \(4\)”.

c) Escribe el evento \(B\): “obtener un número impar”.

Ejercicio 4

En una bolsa hay fichas con las letras \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\). Se extrae una ficha al azar.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe el evento \(V\): “extraer una vocal”.

c) Escribe el evento \(C\): “extraer una consonante”.

Ejercicio 5

Se elige al azar un día de la semana.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe el evento \(F\): “elegir un día de fin de semana”.

c) Escribe el evento \(L\): “elegir un día cuyo nombre comienza con la letra \(m\)”.

Ejercicio 6

En una encuesta, una persona debe elegir su actividad favorita entre las siguientes opciones:

\[ \text{deporte},\quad \text{música},\quad \text{lectura},\quad \text{videojuegos},\quad \text{cine} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Propón un evento formado por dos resultados posibles.

c) Propón un evento formado por tres resultados posibles.

Ejercicio 7

Se lanza una moneda dos veces. Un resultado se representa como un par ordenado, por ejemplo \((\text{cara},\text{sello})\).

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe el evento \(A\): “obtener exactamente una cara”.

c) Escribe el evento \(B\): “obtener dos resultados iguales”.

Ejercicio 8

En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(10\). Se elige una tarjeta al azar.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe el evento \(A\): “obtener un número múltiplo de \(3\)”.

c) Escribe el evento \(B\): “obtener un número menor o igual que \(4\)”.

d) Escribe el evento \(C\): “obtener un número mayor que \(10\)”.

Ejercicio 9

Una aplicación muestra al azar una de las siguientes recomendaciones:

\[ \text{noticia},\quad \text{video},\quad \text{anuncio},\quad \text{publicación de amistad} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe un evento que represente “contenido informativo”.

c) Explica por qué esta situación puede considerarse aleatoria desde el punto de vista del usuario.

Ejercicio 10

Un estudiante dice: “Al lanzar un dado, el evento obtener un número par es \(2\)”.

¿Cuál es el error? Corrige la afirmación.

Para continuar

En la próxima página se definirá una variable aleatoria finita, asignando un valor numérico a cada resultado posible de un experimento aleatorio.

2. Variables aleatorias finitas

Objetivos de la página

  • Comprender qué es una variable aleatoria finita.
  • Asignar valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio.
  • Distinguir entre resultado posible y valor de una variable aleatoria.
  • Identificar los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria finita.

¿Qué es una variable aleatoria?

Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio.

Si el experimento tiene una cantidad finita de resultados posibles, entonces la variable aleatoria es finita.

Por ejemplo, si lanzamos una moneda, podemos definir una variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

En este caso, \(X\) puede tomar los valores \(0\) o \(1\).

Representación de una variable aleatoria

Una variable aleatoria se suele representar con una letra mayúscula, como \(X\), \(Y\) o \(Z\).

Si \(S\) es el espacio muestral, una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado de \(S\).

De forma simple:

\[ \text{resultado posible}\longrightarrow \text{valor numérico} \]

Por eso, una variable aleatoria no es el resultado en sí mismo, sino una forma numérica de describirlo.

Ejemplo 1: lanzar una moneda

Se lanza una moneda una vez. El espacio muestral es:

\[ S=\{\text{cara},\text{sello}\} \]

Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Resultado Valor de \(X\)
cara \(1\)
sello \(0\)

Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:

\[ X\in\{0,1\} \]

Ejemplo 2: lanzar una moneda dos veces

Se lanza una moneda dos veces. El espacio muestral es:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Resultado Valor de \(X\)
\((\text{cara},\text{cara})\) \(2\)
\((\text{cara},\text{sello})\) \(1\)
\((\text{sello},\text{cara})\) \(1\)
\((\text{sello},\text{sello})\) \(0\)

Aunque hay \(4\) resultados posibles, la variable \(X\) solo puede tomar \(3\) valores:

\[ X\in\{0,1,2\} \]

Ejemplo 3: lanzar un dado

Se lanza un dado común de seis caras. El espacio muestral es:

\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=\text{resto al dividir el resultado por }2 \]

Esto permite distinguir si el resultado es par o impar.

Resultado del dado Valor de \(Y\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(0\)
\(3\) \(1\)
\(4\) \(0\)
\(5\) \(1\)
\(6\) \(0\)

Los valores posibles de \(Y\) son:

\[ Y\in\{0,1\} \]

El valor \(0\) corresponde a resultados pares y el valor \(1\) corresponde a resultados impares.

Error frecuente

No siempre los valores de la variable aleatoria coinciden con los resultados del experimento.

Por ejemplo, al lanzar un dado, el resultado puede ser \(1,2,3,4,5\) o \(6\), pero si la variable aleatoria cuenta si el número es par o impar, sus valores posibles pueden ser solo \(0\) y \(1\).

Idea clave

Para definir una variable aleatoria finita, se deben responder dos preguntas:

  • ¿Cuál es el experimento aleatorio?
  • ¿Qué número se asignará a cada resultado posible?

Ejercicio 1

Se lanza una moneda una vez. Se define la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Completa la asignación de valores de \(X\).

c) Indica los valores posibles de \(X\).

Ejercicio 2

Se lanza un dado común. Se define la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número obtenido en el dado} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Indica los valores posibles de \(X\).

c) Explica si en este caso los resultados y los valores de \(X\) coinciden.

Ejercicio 3

Se lanza un dado común. Se define la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es par, y } Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]

a) Completa la asignación de valores de \(Y\).

b) Indica los valores posibles de \(Y\).

Resultado Valor de \(Y\)
\(1\) ...
\(2\) ...
\(3\) ...
\(4\) ...
\(5\) ...
\(6\) ...

Ejercicio 4

Se lanzan dos monedas. Se define la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Asigna el valor de \(X\) a cada resultado.

c) Indica los valores posibles de \(X\).

Ejercicio 5

En una bolsa hay tarjetas con los números \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) y \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.

Se define la variable aleatoria \(Z\) como:

\[ Z=\text{doble del número extraído} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Asigna el valor de \(Z\) a cada resultado.

c) Indica los valores posibles de \(Z\).

Ejercicio 6

En una encuesta, una persona elige su nivel de satisfacción con un servicio: baja, media o alta.

Se define la variable aleatoria \(X\) de la siguiente forma:

\[ X=1 \text{ si la satisfacción es baja} \]

\[ X=2 \text{ si la satisfacción es media} \]

\[ X=3 \text{ si la satisfacción es alta} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Indica los valores posibles de \(X\).

c) Explica por qué \(X\) es una variable aleatoria finita.

Ejercicio 7

Se elige al azar un estudiante de un grupo y se registra cuántos hermanos tiene.

Supongamos que en el grupo los posibles números de hermanos son \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\).

a) Define una variable aleatoria adecuada para esta situación.

b) Indica sus valores posibles.

c) Explica por qué se considera finita en este contexto.

Ejercicio 8

Una aplicación muestra al azar uno de estos tipos de contenido:

\[ \text{noticia},\quad \text{video},\quad \text{anuncio},\quad \text{publicación de amistad} \]

Se define la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=1 \text{ si el contenido es un anuncio} \]

\[ X=0 \text{ si el contenido no es un anuncio} \]

a) Asigna el valor de \(X\) a cada resultado posible.

b) Indica los valores posibles de \(X\).

c) Explica qué representa el valor \(1\).

Ejercicio 9

Se lanza un dado común. Un estudiante define:

\[ X=\text{obtener un número par} \]

¿Está correctamente definida \(X\) como variable aleatoria? Explica y corrige la definición.

Ejercicio 10

En una caja hay bolitas rojas, azules y verdes. Se extrae una bolita al azar.

Define una variable aleatoria finita que permita distinguir si la bolita extraída es roja o no roja.

Luego indica sus valores posibles.

Para continuar

En la próxima página se estudiará con más detalle cómo identificar y ordenar los valores posibles de una variable aleatoria finita.

3. Probabilidad asociada a cada valor de una variable aleatoria finita

Objetivos de la página

  • Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria finita tome un valor determinado.
  • Relacionar valores de una variable aleatoria con los resultados del espacio muestral.
  • Usar conteo de casos favorables y casos posibles en espacios muestrales equiprobables.
  • Evitar confundir cantidad de valores posibles con cantidad de resultados posibles.

Probabilidad de un valor de la variable aleatoria

Si \(X\) es una variable aleatoria finita, la expresión \(P(X=x)\) representa la probabilidad de que \(X\) tome el valor \(x\).

Por ejemplo, si \(X\) es el número de caras al lanzar dos monedas, entonces:

\[ P(X=1) \]

representa la probabilidad de obtener exactamente una cara.

Cálculo en espacios muestrales equiprobables

Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, se puede calcular:

\[ P(X=x)=\frac{\text{número de resultados que producen }X=x}{\text{número total de resultados posibles}} \]

Es decir, se cuentan los resultados del experimento que hacen que la variable tome el valor indicado.

Ejemplo 1: número de caras al lanzar dos monedas

Se lanzan dos monedas. El espacio muestral es:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Resultado Valor de \(X\)
\((\text{cara},\text{cara})\) \(2\)
\((\text{cara},\text{sello})\) \(1\)
\((\text{sello},\text{cara})\) \(1\)
\((\text{sello},\text{sello})\) \(0\)

Calculamos la probabilidad de cada valor:

\[ P(X=0)=\frac{1}{4} \]

\[ P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

\[ P(X=2)=\frac{1}{4} \]

El valor \(X=1\) tiene mayor probabilidad porque hay dos resultados que producen exactamente una cara.

Ejemplo 2: variable que distingue paridad

Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]

\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]

El espacio muestral es:

\[ S=\{1,2,3,4,5,6\} \]

Valor de \(Y\) Resultados que lo producen Probabilidad
\(0\) \(1,3,5\) \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(1\) \(2,4,6\) \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Por lo tanto:

\[ P(Y=0)=\frac{1}{2},\qquad P(Y=1)=\frac{1}{2} \]

Ejemplo 3: tarjetas numeradas

En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.

Definimos la variable aleatoria \(Z\) como:

\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]

\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]

Los resultados posibles son:

\[ S=\{1,2,3,4,5\} \]

Los números mayores que \(3\) son \(4\) y \(5\), por lo tanto:

\[ P(Z=1)=\frac{2}{5} \]

Los números que no son mayores que \(3\) son \(1\), \(2\) y \(3\), por lo tanto:

\[ P(Z=0)=\frac{3}{5} \]

Error frecuente

No se debe dividir por la cantidad de valores posibles de la variable, sino por la cantidad de resultados posibles del experimento.

Al lanzar dos monedas, la variable \(X=\text{número de caras}\) tiene valores posibles \(\{0,1,2\}\), pero eso no significa que cada valor tenga probabilidad \(\frac{1}{3}\).

El valor \(X=1\) ocurre en dos resultados, mientras que \(X=0\) y \(X=2\) ocurren en uno cada uno.

Idea clave

Para calcular \(P(X=x)\), primero identifica qué resultados del espacio muestral producen el valor \(x\). Luego compara esa cantidad con el total de resultados posibles.

Ejercicio 1

Se lanza una moneda una vez. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Calcula \(P(X=0)\) y \(P(X=1)\).

Ejercicio 2

Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número obtenido} \]

Calcula \(P(X=2)\), \(P(X=5)\) y \(P(X=7)\).

Ejercicio 3

Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]

\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]

Calcula \(P(Y=0)\) y \(P(Y=1)\).

Ejercicio 4

Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]

Calcula \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) y \(P(X=2)\).

Ejercicio 5

Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(W\) como:

\[ W=1 \text{ si los dos resultados son iguales} \]

\[ W=0 \text{ si los dos resultados son distintos} \]

Calcula \(P(W=0)\) y \(P(W=1)\).

Ejercicio 6

En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar.

Definimos la variable aleatoria \(Z\) como:

\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]

\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]

Calcula \(P(Z=0)\) y \(P(Z=1)\).

Ejercicio 7

Se extrae una tarjeta al azar de una caja con los números:

\[ -2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\quad 2 \]

Definimos la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=\text{valor absoluto del número extraído} \]

Calcula \(P(Y=0)\), \(P(Y=1)\) y \(P(Y=2)\).

Ejercicio 8

Se lanza un dado común. Definimos la variable aleatoria \(T\) como:

\[ T=\text{doble del número obtenido} \]

Calcula \(P(T=2)\), \(P(T=8)\), \(P(T=12)\) y \(P(T=7)\).

Ejercicio 9

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]

Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]

Calcula la probabilidad de cada valor posible de \(X\).

Ejercicio 10

Un estudiante dice:

“Al lanzar dos monedas, si \(X\) es el número de caras, entonces \(X\) puede valer \(0\), \(1\) o \(2\). Como hay tres valores posibles, cada uno tiene probabilidad \(\frac{1}{3}\)”.

¿Cuál es el error? Corrige las probabilidades.

Para continuar

En la próxima página se organizarán estas probabilidades en una tabla de distribución de probabilidad.

4. Tabla de distribución de probabilidad

Objetivos de la página

  • Organizar en una tabla los valores posibles de una variable aleatoria finita y sus probabilidades.
  • Verificar que las probabilidades de una distribución sumen \(1\).
  • Interpretar una tabla de distribución de probabilidad.
  • Representar gráficamente una distribución de probabilidad simple.

Distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita muestra todos los valores que puede tomar la variable y la probabilidad asociada a cada uno.

Si la variable aleatoria es \(X\), una tabla de distribución suele organizarse así:

Valor de \(X\) Probabilidad
\(x_1\) \(P(X=x_1)\)
\(x_2\) \(P(X=x_2)\)
\(x_3\) \(P(X=x_3)\)

Condiciones de una distribución de probabilidad

Para que una tabla sea una distribución de probabilidad válida, debe cumplir dos condiciones:

\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]

para cada valor posible \(x\), y además:

\[ \sum P(X=x)=1 \]

Es decir, ninguna probabilidad puede ser negativa ni mayor que \(1\), y la suma de todas las probabilidades debe ser \(1\).

Ejemplo 1: tabla de distribución al lanzar dos monedas

Se lanzan dos monedas. Definimos la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

El espacio muestral es:

\[ S=\{(\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara}),(\text{sello},\text{sello})\} \]

Valor de \(X\) Resultados que lo producen Probabilidad
\(0\) \((\text{sello},\text{sello})\) \(\frac{1}{4}\)
\(1\) \((\text{cara},\text{sello}),(\text{sello},\text{cara})\) \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(2\) \((\text{cara},\text{cara})\) \(\frac{1}{4}\)

La tabla de distribución de probabilidad es:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(\frac{1}{4}\)
\(1\) \(\frac{1}{2}\)
\(2\) \(\frac{1}{4}\)

Verificamos que las probabilidades suman \(1\):

\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]

Ejemplo 2: distribución de una variable que distingue paridad

Se lanza un dado común. Definimos:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es par} \]

\[ Y=0 \text{ si el resultado es impar} \]

Los resultados impares son \(1,3,5\), por lo tanto:

\[ P(Y=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

Los resultados pares son \(2,4,6\), por lo tanto:

\[ P(Y=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

\(y\) \(P(Y=y)\)
\(0\) \(\frac{1}{2}\)
\(1\) \(\frac{1}{2}\)

La suma de probabilidades es:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]

Ejemplo 3: distribución a partir de datos de un grupo

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]

Definimos:

\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]

Contamos cuántas veces aparece cada valor:

\(x\) Cantidad de estudiantes \(P(X=x)\)
\(0\) \(3\) \(\frac{3}{10}\)
\(1\) \(3\) \(\frac{3}{10}\)
\(2\) \(2\) \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
\(3\) \(1\) \(\frac{1}{10}\)
\(4\) \(1\) \(\frac{1}{10}\)

Verificamos:

\[ \frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10} =\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=1 \]

Error frecuente

Una tabla no es una distribución de probabilidad válida si sus probabilidades no suman \(1\).

Por ejemplo, la tabla \(0{,}2\), \(0{,}3\), \(0{,}4\) no es válida como distribución completa, porque:

\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}4=0{,}9 \]

Falta probabilidad para completar el total.

Cómo interpretar una distribución

Una tabla de distribución permite responder preguntas como:

  • ¿Qué valor es más probable?
  • ¿Qué valores tienen la misma probabilidad?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome ciertos valores?
  • ¿La tabla representa una distribución válida?

Ejercicio 1

Se lanza una moneda una vez. Definimos:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).

Ejercicio 2

Se lanza un dado común. Definimos:

\[ X=\text{número obtenido} \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).

Ejercicio 3

Se lanza un dado común. Definimos:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es múltiplo de }3 \]

\[ Y=0 \text{ si el resultado no es múltiplo de }3 \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(Y\).

Ejercicio 4

Se lanzan dos monedas. Definimos:

\[ X=\text{número de sellos obtenidos} \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).

Ejercicio 5

En una caja hay tarjetas numeradas del \(1\) al \(5\). Se extrae una tarjeta al azar. Definimos:

\[ Z=1 \text{ si el número extraído es mayor que }3 \]

\[ Z=0 \text{ si el número extraído no es mayor que }3 \]

Construye la distribución de probabilidad de \(Z\).

Ejercicio 6

Se extrae una tarjeta al azar de una caja con los números:

\[ -2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\quad 2 \]

Definimos:

\[ Y=\text{valor absoluto del número extraído} \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(Y\).

Ejercicio 7

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(12\) personas. La cantidad de mascotas de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 3,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 2,\quad 4,\quad 1 \]

Definimos:

\[ M=\text{número de mascotas del estudiante elegido} \]

Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(M\).

Ejercicio 8

Indica si la siguiente tabla puede ser una distribución de probabilidad. Justifica.

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}2\)
\(1\) \(0{,}5\)
\(2\) \(0{,}3\)

Ejercicio 9

Indica si la siguiente tabla puede ser una distribución de probabilidad. Justifica.

\(x\) \(P(X=x)\)
\(1\) \(0{,}4\)
\(2\) \(0{,}4\)
\(3\) \(0{,}4\)

Ejercicio 10

Completa la tabla para que sea una distribución de probabilidad válida.

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}25\)
\(1\) \(p\)
\(2\) \(0{,}35\)

Ejercicio 11

Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(X\).

a) ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?

b) Calcula \(P(X\geq 2)\).

c) Verifica si el gráfico representa una distribución válida.

Ejercicio 12

Un estudiante dice:

“Si una tabla tiene tres valores posibles, entonces las probabilidades deben ser \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{3}\)”.

¿Es correcta esta afirmación? Explica usando el caso de dos monedas y \(X=\text{número de caras}\).

Para continuar

En la próxima página se profundizará en la representación gráfica de distribuciones de probabilidad y en su interpretación.

5. Gráfico de una distribución de probabilidad

Objetivos de la página

  • Representar gráficamente una distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita.
  • Interpretar la altura de cada barra como una probabilidad.
  • Leer probabilidades desde un gráfico de distribución.
  • Verificar si un gráfico representa una distribución de probabilidad válida.

Gráfico de distribución

Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita se puede representar mediante un gráfico de barras.

En este tipo de gráfico:

  • En el eje horizontal se ubican los valores posibles de la variable aleatoria.
  • En el eje vertical se representa la probabilidad de cada valor.
  • La altura de cada barra corresponde a \(P(X=x)\).

Cómo construir el gráfico

Para graficar una distribución de probabilidad:

  1. Identifica los valores posibles de la variable aleatoria.
  2. Calcula o lee la probabilidad asociada a cada valor.
  3. Dibuja una barra para cada valor.
  4. La altura de cada barra debe coincidir con su probabilidad.
  5. Verifica que la suma de las probabilidades sea \(1\).

Ejemplo 1: gráfico para dos monedas

Se lanzan dos monedas. Definimos:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

La distribución de probabilidad de \(X\) es:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(\frac{1}{4}=0{,}25\)
\(1\) \(\frac{1}{2}=0{,}50\)
\(2\) \(\frac{1}{4}=0{,}25\)

El gráfico correspondiente es:

La barra más alta corresponde a \(X=1\), porque obtener exactamente una cara es el valor más probable.

Ejemplo 2: leer una distribución desde un gráfico

Observa el siguiente gráfico de una variable aleatoria \(Y\):

Desde el gráfico se obtiene la siguiente tabla:

\(y\) \(P(Y=y)\)
\(0\) \(0{,}2\)
\(1\) \(0{,}3\)
\(2\) \(0{,}4\)
\(3\) \(0{,}1\)

El valor más probable es \(Y=2\), porque su barra es la más alta.

Además, la distribución es válida porque:

\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}4+0{,}1=1 \]

Ejemplo 3: gráfico a partir de datos

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(10\) personas. La cantidad de hermanos de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2,\quad 0,\quad 3,\quad 1,\quad 2,\quad 4,\quad 0 \]

Definimos:

\[ X=\text{número de hermanos del estudiante elegido} \]

\(x\) Cantidad de estudiantes \(P(X=x)\)
\(0\) \(3\) \(\frac{3}{10}=0{,}3\)
\(1\) \(3\) \(\frac{3}{10}=0{,}3\)
\(2\) \(2\) \(\frac{2}{10}=0{,}2\)
\(3\) \(1\) \(\frac{1}{10}=0{,}1\)
\(4\) \(1\) \(\frac{1}{10}=0{,}1\)

El gráfico de la distribución es:

Los valores más probables son \(X=0\) y \(X=1\), ambos con probabilidad \(0{,}3\).

Error frecuente

No se debe interpretar la altura de una barra como cantidad de casos si el gráfico representa una distribución de probabilidad.

En una distribución, la altura representa una probabilidad. Por eso, las alturas deben sumar \(1\).

Lectura rápida del gráfico

En un gráfico de distribución, la barra más alta indica el valor más probable de la variable aleatoria.

Para calcular probabilidades compuestas, se suman las alturas de las barras correspondientes.

Por ejemplo:

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+\cdots \]

Ejercicio 1

Se lanza una moneda una vez. Definimos:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Construye la tabla de distribución y describe cómo debe ser su gráfico.

Ejercicio 2

Se lanza un dado común. Definimos:

\[ X=\text{número obtenido} \]

Construye la tabla de distribución y describe las alturas de las barras del gráfico.

Ejercicio 3

Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(X\):

a) Escribe la tabla de distribución.

b) ¿Cuál es el valor más probable?

c) Calcula \(P(X\geq 1)\).

Ejercicio 4

Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(Y\):

a) Calcula \(P(Y=2)\).

b) Calcula \(P(Y\leq 1)\).

c) Calcula \(P(Y>1)\).

d) Verifica si el gráfico representa una distribución válida.

Ejercicio 5

Observa el siguiente gráfico:

¿Representa una distribución de probabilidad válida? Justifica.

Ejercicio 6

Completa la tabla para que sea una distribución de probabilidad válida. Luego describe el gráfico correspondiente.

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}15\)
\(1\) \(p\)
\(2\) \(0{,}35\)
\(3\) \(0{,}20\)

Ejercicio 7

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(12\) personas. La cantidad de mascotas de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 3,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 2,\quad 4,\quad 1 \]

Definimos:

\[ M=\text{número de mascotas del estudiante elegido} \]

a) Construye la tabla de distribución de probabilidad.

b) Indica qué barras serían las más altas en el gráfico.

Ejercicio 8

Se lanzan dos monedas. Definimos:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

Un estudiante afirma que el gráfico de la distribución debe tener tres barras de la misma altura porque \(X\) puede tomar tres valores: \(0\), \(1\) y \(2\).

¿Es correcta la afirmación? Justifica.

Ejercicio 9

Una aplicación muestra al azar un contenido. Se define:

\[ A=1 \text{ si el contenido es un anuncio} \]

\[ A=0 \text{ si el contenido no es un anuncio} \]

Observa la distribución:

a) Interpreta \(P(A=1)\).

b) Interpreta \(P(A=0)\).

c) ¿Qué es más probable: ver un anuncio o ver un contenido que no sea anuncio?

Ejercicio 10

Al lanzar dos monedas, con \(X=\text{número de caras}\), un estudiante dibuja barras de alturas \(1\), \(2\) y \(1\), y dice que ese es el gráfico de distribución de probabilidad.

¿Cuál es el problema? Corrige el gráfico en términos de probabilidades.

Para continuar

En la próxima página se interpretarán distribuciones de probabilidad para comparar valores, justificar conclusiones y responder preguntas en distintos contextos.

6. Interpretación de distribuciones de probabilidad

Objetivos de la página

  • Interpretar tablas y gráficos de distribuciones de probabilidad.
  • Identificar valores más probables y menos probables de una variable aleatoria finita.
  • Calcular probabilidades usando expresiones como \(P(X\leq a)\), \(P(X\geq a)\) y \(P(a\leq X\leq b)\).
  • Justificar conclusiones a partir de una distribución de probabilidad.

Interpretar una distribución

Interpretar una distribución de probabilidad significa explicar qué nos dice la tabla o el gráfico sobre el comportamiento de una variable aleatoria.

Por ejemplo, una distribución permite responder preguntas como:

  • ¿Qué valor es más probable?
  • ¿Qué valor es menos probable?
  • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor o igual que cierto número?
  • ¿Qué conclusión se puede justificar con los datos?

Probabilidades con varios valores

Si una variable aleatoria \(X\) puede tomar varios valores, algunas probabilidades se obtienen sumando las probabilidades correspondientes.

Por ejemplo:

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\cdots \]

\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]

\[ P(1\leq X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \]

Ejemplo 1: interpretar una tabla de distribución

Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución de probabilidad:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}10\)
\(1\) \(0{,}30\)
\(2\) \(0{,}40\)
\(3\) \(0{,}20\)

El valor más probable es \(X=2\), porque tiene la mayor probabilidad: \(0{,}40\).

El valor menos probable es \(X=0\), porque tiene la menor probabilidad: \(0{,}10\).

Además:

\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}40+0{,}20=0{,}60 \]

Esto significa que la probabilidad de que \(X\) sea \(2\) o más es \(0{,}60\), es decir, \(60\%\).

Ejemplo 2: interpretar un gráfico de distribución

Observa el siguiente gráfico de una variable aleatoria \(Y\):

Del gráfico se lee:

\(y\) \(P(Y=y)\)
\(0\) \(0{,}15\)
\(1\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}35\)
\(3\) \(0{,}25\)

El valor más probable es \(Y=2\), porque su barra es la más alta.

Calculamos:

\[ P(Y\leq 1)=P(Y=0)+P(Y=1)=0{,}15+0{,}25=0{,}40 \]

\[ P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]

Por lo tanto, es más probable que \(Y\) sea mayor que \(1\) a que sea menor o igual que \(1\).

Ejemplo 3: interpretar en un contexto

En una encuesta, se elige al azar a un estudiante y se registra la cantidad de horas diarias que dedica a estudiar fuera del horario de clases. Se define:

\[ H=\text{número de horas de estudio diario} \]

\(h\) \(P(H=h)\)
\(0\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}45\)
\(2\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}10\)

La mayor probabilidad corresponde a \(H=1\), con \(0{,}45\).

Esto permite afirmar que, según esta distribución, lo más probable es elegir un estudiante que estudia \(1\) hora diaria fuera del horario de clases.

Además:

\[ P(H\geq 2)=P(H=2)+P(H=3)=0{,}25+0{,}10=0{,}35 \]

Entonces, la probabilidad de elegir un estudiante que estudia al menos \(2\) horas diarias es \(0{,}35\).

Error frecuente

No basta con decir “la barra es alta” o “la barra es baja”. Una interpretación debe mencionar el valor de la variable, la probabilidad correspondiente y lo que significa en el contexto.

Por ejemplo, es mejor decir: “La probabilidad de que \(H=1\) es \(0{,}45\), por lo tanto, lo más probable es elegir un estudiante que estudia \(1\) hora diaria”.

Interpretar con cuidado

Una probabilidad alta no significa que el resultado ocurrirá con seguridad. Solo indica que ese valor tiene mayor posibilidad de ocurrir que otros, según la distribución dada.

Ejercicio 1

Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}50\)
\(2\) \(0{,}30\)

a) ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?

b) ¿Cuál es el valor menos probable de \(X\)?

c) Calcula \(P(X\geq 1)\).

Ejercicio 2

Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(Y\):

a) Escribe la tabla de distribución.

b) ¿Cuál es el valor más probable?

c) Calcula \(P(Y\leq 1)\).

Ejercicio 3

Una variable aleatoria \(Z\) tiene la siguiente distribución:

\(z\) \(P(Z=z)\)
\(1\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}35\)
\(4\) \(0{,}25\)

a) Calcula \(P(Z\geq 3)\).

b) Calcula \(P(2\leq Z\leq 4)\).

c) Calcula \(P(Z<3)\).

Ejercicio 4

En un curso, se elige al azar un estudiante y se registra cuántas actividades deportivas realiza durante la semana. La distribución es:

\(d\) \(P(D=d)\)
\(0\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}35\)
\(2\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}10\)

a) ¿Qué cantidad de actividades deportivas es más probable?

b) Calcula la probabilidad de que un estudiante realice al menos una actividad deportiva.

c) Interpreta el resultado anterior en el contexto.

Ejercicio 5

Observa el gráfico asociado a una variable aleatoria \(A\), donde \(A=1\) representa “ver un anuncio” y \(A=0\) representa “no ver un anuncio”.

a) Interpreta \(P(A=1)\).

b) Interpreta \(P(A=0)\).

c) ¿Qué es más probable según la distribución?

Ejercicio 6

Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente distribución:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}05\)
\(1\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}50\)
\(3\) \(0{,}30\)

a) ¿Es más probable que \(X\) sea menor que \(2\) o que \(X\) sea mayor o igual que \(2\)?

b) Justifica con cálculos.

Ejercicio 7

Observa el gráfico de una variable aleatoria \(R\):

a) ¿Cuál es el valor más probable?

b) Calcula \(P(R\leq 2)\).

c) Calcula \(P(R\geq 3)\).

d) ¿Qué evento es más probable: \(R\leq 2\) o \(R\geq 3\)?

Ejercicio 8

En una plataforma educativa, se elige al azar una actividad completada por un estudiante. La variable \(T\) representa el tiempo usado, en minutos, aproximado a una de estas categorías:

\(t\) \(P(T=t)\)
\(10\) \(0{,}20\)
\(20\) \(0{,}40\)
\(30\) \(0{,}25\)
\(40\) \(0{,}15\)

a) ¿Cuál es el tiempo más probable?

b) Calcula \(P(T\geq 30)\).

c) Interpreta \(P(T\geq 30)\) en el contexto.

Ejercicio 9

Una variable aleatoria \(N\) tiene la siguiente distribución:

\(n\) \(P(N=n)\)
\(0\) \(0{,}12\)
\(1\) \(0{,}18\)
\(2\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}25\)
\(4\) \(0{,}15\)

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.

a) El valor más probable es \(N=2\).

b) \(P(N\leq 1)=0{,}30\).

c) Es más probable que \(N\geq 3\) a que \(N<2\).

Ejercicio 10

Una distribución de probabilidad se muestra en el siguiente gráfico:

Un estudiante afirma: “Todos los valores son igualmente probables”.

a) ¿Es correcta la afirmación?

b) Calcula \(P(X\geq 3)\).

c) Calcula \(P(X<3)\).

Ejercicio 11

En una encuesta, se elige al azar una respuesta sobre satisfacción con un servicio. La variable \(S\) se define así:

\[ S=1 \text{ baja},\quad S=2 \text{ media},\quad S=3 \text{ alta} \]

La distribución es:

\(s\) Interpretación \(P(S=s)\)
\(1\) baja \(0{,}25\)
\(2\) media \(0{,}50\)
\(3\) alta \(0{,}25\)

a) ¿Cuál es la respuesta más probable?

b) Calcula la probabilidad de que la satisfacción sea media o alta.

c) Escribe una conclusión contextual.

Ejercicio 12

Un estudiante interpreta la siguiente distribución:

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}05\)
\(1\) \(0{,}10\)
\(2\) \(0{,}60\)
\(3\) \(0{,}25\)

El estudiante dice: “Como \(X=2\) tiene probabilidad \(0{,}60\), entonces siempre ocurrirá \(X=2\)”.

¿Cuál es el error de interpretación? Corrige la afirmación.

Para continuar

En la próxima página se compararán dos distribuciones de probabilidad para decidir cuál tiene mayor concentración, mayor probabilidad en ciertos valores o mejor ajuste a una situación.

7. Comparación de distribuciones de probabilidad

Objetivos de la página

  • Comparar dos distribuciones de probabilidad de variables aleatorias finitas.
  • Determinar qué distribución asigna mayor probabilidad a ciertos valores o eventos.
  • Interpretar diferencias entre distribuciones usando tablas y gráficos.
  • Justificar conclusiones a partir de probabilidades calculadas.

¿Qué significa comparar distribuciones?

Comparar distribuciones de probabilidad significa analizar en qué se parecen y en qué se diferencian dos tablas o gráficos de probabilidades.

Para comparar, se pueden observar aspectos como:

  • el valor más probable en cada distribución;
  • la probabilidad de valores altos o bajos;
  • la probabilidad de ciertos eventos, como \(X\geq 2\) o \(X\leq 1\);
  • si las probabilidades están repartidas de forma uniforme o concentradas en pocos valores.

Procedimiento para comparar

  1. Verifica que ambas distribuciones sean válidas.
  2. Identifica los valores posibles de cada variable.
  3. Compara las probabilidades de valores específicos.
  4. Calcula probabilidades de eventos relevantes.
  5. Escribe una conclusión en el contexto del problema.

Ejemplo 1: comparar resultados en dos cursos

En dos cursos se aplica una actividad con puntaje de \(0\) a \(3\). Se elige al azar un estudiante de cada curso. La variable \(X\) representa el puntaje obtenido.

\(x\) Curso A: \(P(X=x)\) Curso B: \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}30\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}30\)
\(2\) \(0{,}40\) \(0{,}20\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}20\)

Curso A:

Curso B:

En el Curso A, el valor más probable es \(X=2\), con probabilidad \(0{,}40\). En el Curso B, los valores más probables son \(X=0\) y \(X=1\), ambos con probabilidad \(0{,}30\).

Si comparamos la probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\):

\[ P_A(X\geq 2)=P_A(X=2)+P_A(X=3)=0{,}40+0{,}30=0{,}70 \]

\[ P_B(X\geq 2)=P_B(X=2)+P_B(X=3)=0{,}20+0{,}20=0{,}40 \]

Por lo tanto, según estas distribuciones, es más probable obtener un puntaje alto en el Curso A que en el Curso B.

Ejemplo 2: distribución concentrada y distribución uniforme

Dos variables aleatorias \(X\) e \(Y\) pueden tomar los valores \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\).

Valor \(P(X=x)\) \(P(Y=y)\)
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}50\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)

Distribución de \(X\):

Distribución de \(Y\):

La distribución de \(X\) está más concentrada en el valor \(2\), porque \(P(X=2)=0{,}50\).

La distribución de \(Y\) es uniforme, porque todos sus valores tienen la misma probabilidad:

\[ P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=0{,}25 \]

Ejemplo 3: comparar probabilidades en contexto

Dos plataformas muestran contenido a sus usuarios. Se define la variable \(A\) como:

\[ A=1 \text{ si el contenido mostrado es un anuncio} \]

\[ A=0 \text{ si el contenido mostrado no es un anuncio} \]

Valor de \(A\) Plataforma 1 Plataforma 2
\(0\) \(0{,}80\) \(0{,}55\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}45\)

En la Plataforma 1:

\[ P(A=1)=0{,}20 \]

En la Plataforma 2:

\[ P(A=1)=0{,}45 \]

Como \(0{,}45>0{,}20\), la probabilidad de ver un anuncio es mayor en la Plataforma 2.

Esto no significa que siempre se verá un anuncio en la Plataforma 2, sino que, según la distribución, es más probable que aparezca un anuncio allí que en la Plataforma 1.

Error frecuente

No se debe concluir que una distribución es “mejor” solo porque una barra es más alta.

Primero se debe aclarar qué se está comparando. Por ejemplo, en algunos contextos puede interesar que \(X\) sea alto, pero en otros puede interesar que \(X\) sea bajo.

Conclusiones justificadas

Una buena comparación no se basa solo en mirar el gráfico. Debe incluir una probabilidad calculada y una interpretación.

Por ejemplo: “En el Curso A, \(P(X\geq 2)=0{,}70\), mientras que en el Curso B, \(P(X\geq 2)=0{,}40\). Por lo tanto, es más probable obtener puntaje \(2\) o superior en el Curso A”.

Ejercicio 1

Dos distribuciones de probabilidad se muestran en la tabla:

\(x\) Distribución A Distribución B
\(0\) \(0{,}20\) \(0{,}40\)
\(1\) \(0{,}50\) \(0{,}30\)
\(2\) \(0{,}30\) \(0{,}30\)

a) ¿Cuál es el valor más probable en cada distribución?

b) Calcula \(P_A(X\geq 1)\) y \(P_B(X\geq 1)\).

c) ¿En cuál distribución es más probable obtener \(1\) o más?

Ejercicio 2

Observa las distribuciones de dos variables \(X\) e \(Y\):

Distribución de \(X\):

Distribución de \(Y\):

a) ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?

b) ¿Cuál es el valor más probable de \(Y\)?

c) Calcula \(P(X\geq 2)\) y \(P(Y\geq 2)\).

d) ¿Cuál distribución asigna mayor probabilidad a valores \(2\) o superiores?

Ejercicio 3

En dos cursos se mide el nivel de satisfacción con una actividad. Se define:

\[ S=1 \text{ satisfacción baja},\quad S=2 \text{ satisfacción media},\quad S=3 \text{ satisfacción alta} \]

\(s\) Curso A Curso B
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}35\)
\(2\) \(0{,}45\) \(0{,}40\)
\(3\) \(0{,}35\) \(0{,}25\)

a) Calcula la probabilidad de satisfacción media o alta en cada curso.

b) ¿En qué curso es mayor esa probabilidad?

c) Escribe una conclusión contextual.

Ejercicio 4

Dos distribuciones tienen los mismos valores posibles:

\(x\) Distribución A Distribución B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}15\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}50\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}25\)

Determina si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica.

a) La Distribución B es uniforme.

b) En la Distribución A, el valor más probable es \(2\).

c) En ambas distribuciones, \(P(X\geq 2)=0{,}50\).

Ejercicio 5

Una empresa de transporte registra el número de retrasos semanales de dos recorridos. Se define \(R\) como el número de retrasos en una semana.

\(r\) Recorrido A Recorrido B
\(0\) \(0{,}50\) \(0{,}30\)
\(1\) \(0{,}30\) \(0{,}35\)
\(2\) \(0{,}15\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}05\) \(0{,}10\)

a) ¿En cuál recorrido es más probable no tener retrasos?

b) Calcula la probabilidad de tener dos o más retrasos en cada recorrido.

c) ¿Qué recorrido parece más conveniente si se quiere reducir la probabilidad de muchos retrasos?

Ejercicio 6

Completa la distribución B para que sea válida. Luego compara ambas distribuciones.

\(x\) Distribución A Distribución B
\(0\) \(0{,}20\) \(0{,}10\)
\(1\) \(0{,}30\) \(0{,}20\)
\(2\) \(0{,}30\) \(p\)
\(3\) \(0{,}20\) \(0{,}40\)

a) Calcula el valor de \(p\).

b) Calcula \(P_A(X\geq 2)\) y \(P_B(X\geq 2)\).

c) ¿Cuál distribución asigna mayor probabilidad a valores \(2\) o superiores?

Ejercicio 7

Observa las dos distribuciones:

Distribución A:

Distribución B:

a) ¿Qué distribución tiene mayor probabilidad en valores bajos, \(0\) o \(1\)?

b) ¿Qué distribución tiene mayor probabilidad en valores altos, \(2\) o \(3\)?

c) Escribe una conclusión comparativa.

Ejercicio 8

En una actividad de aula, una variable \(P\) representa el puntaje obtenido por un estudiante elegido al azar.

\(p\) Grupo 1 Grupo 2
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}30\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}40\) \(0{,}25\)

a) ¿Cuál grupo tiene distribución uniforme?

b) ¿En cuál grupo es más probable obtener puntaje \(3\)?

c) ¿En cuál grupo es más probable obtener puntaje \(2\) o \(3\)?

Ejercicio 9

Dos plataformas digitales tienen la siguiente distribución para la variable \(A\), donde \(A=1\) significa “aparece un anuncio” y \(A=0\) significa “no aparece un anuncio”.

\(a\) Plataforma A Plataforma B
\(0\) \(0{,}65\) \(0{,}40\)
\(1\) \(0{,}35\) \(0{,}60\)

a) ¿En cuál plataforma es más probable ver un anuncio?

b) ¿En cuál plataforma es más probable no ver un anuncio?

c) Explica por qué la comparación debe considerar el significado de \(A=0\) y \(A=1\).

Ejercicio 10

Una variable aleatoria \(X\) tiene estas dos posibles distribuciones:

\(x\) Distribución A Distribución B
\(1\) \(0{,}30\) \(0{,}10\)
\(2\) \(0{,}40\) \(0{,}40\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}50\)

Un estudiante dice: “Las dos distribuciones son iguales porque ambas tienen \(P(X=2)=0{,}40\)”.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Ejercicio 11

Observa las distribuciones de dos variables aleatorias \(M\) y \(N\):

Distribución de \(M\):

Distribución de \(N\):

a) Escribe la tabla de cada distribución.

b) Calcula \(P(M\geq 2)\) y \(P(N\geq 2)\).

c) ¿Cuál variable tiene mayor probabilidad de tomar valores \(2\) o \(3\)?

Ejercicio 12

Una noticia escolar afirma:

“El Grupo B tuvo mejores resultados que el Grupo A, porque su probabilidad de puntaje máximo es mayor”.

Puntaje \(x\) Grupo A Grupo B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}15\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}50\) \(0{,}20\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}35\)

a) Verifica si la afirmación sobre el puntaje máximo es correcta.

b) Calcula la probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\) en cada grupo.

c) ¿La conclusión de la noticia queda completamente justificada? Explica.

Para continuar

En la próxima página se analizará cómo se usan probabilidades y distribuciones en información presentada en medios y contextos sociales.

8. Probabilidad en información de medios

Objetivos de la página

  • Interpretar porcentajes y probabilidades presentes en información de medios.
  • Identificar la variable aleatoria o el evento asociado a una afirmación probabilística.
  • Distinguir entre una conclusión justificada y una interpretación exagerada.
  • Analizar información presentada en tablas y gráficos en contextos sociales.

Probabilidades en medios y contextos sociales

En noticias, encuestas, redes sociales, informes escolares o plataformas digitales suelen aparecer afirmaciones basadas en probabilidades o porcentajes.

Por ejemplo:

“La probabilidad de que una persona elija transporte público es \(0{,}45\)”.

Esto también puede expresarse como:

“El \(45\%\) de las personas elige transporte público”.

Para interpretar correctamente este tipo de información, es importante identificar qué se está midiendo, a qué grupo se refiere y qué conclusión se puede justificar.

De probabilidad a porcentaje

Una probabilidad escrita como número decimal puede expresarse como porcentaje multiplicando por \(100\).

\[ 0{,}45=45\% \]

\[ 0{,}08=8\% \]

\[ 0{,}70=70\% \]

Del mismo modo, un porcentaje puede escribirse como probabilidad decimal dividiendo por \(100\).

\[ 35\%=0{,}35 \]

Ejemplo 1: interpretar una afirmación de una encuesta

Una encuesta escolar informa:

“Al elegir al azar a un estudiante del curso, la probabilidad de que use transporte público para llegar al colegio es \(0{,}40\)”.

Definimos la variable aleatoria \(T\):

\[ T=1 \text{ si el estudiante usa transporte público} \]

\[ T=0 \text{ si el estudiante no usa transporte público} \]

\(t\) Interpretación \(P(T=t)\)
\(0\) No usa transporte público \(0{,}60\)
\(1\) Usa transporte público \(0{,}40\)

La afirmación \(P(T=1)=0{,}40\) significa que la probabilidad de elegir un estudiante que use transporte público es \(0{,}40\), es decir, \(40\%\).

No significa que exactamente \(40\) estudiantes usen transporte público, salvo que el grupo tenga \(100\) estudiantes y los datos correspondan exactamente a ese grupo.

Ejemplo 2: analizar una conclusión exagerada

Una nota dice:

“El \(55\%\) de los estudiantes encuestados prefiere estudiar con videos. Por lo tanto, todos los estudiantes prefieren estudiar con videos”.

La primera parte puede expresarse como:

\[ P(V=1)=0{,}55 \]

donde \(V=1\) significa “prefiere estudiar con videos”.

La conclusión no está justificada, porque \(55\%\) no significa \(100\%\).

Una interpretación correcta sería:

“Según la encuesta, la opción más frecuente es estudiar con videos, con una proporción de \(55\%\), pero no todos los estudiantes prefieren esa opción”.

Ejemplo 3: comparar información de dos grupos

Una publicación compara la probabilidad de completar una tarea semanal en dos cursos.

Definimos:

\[ C=1 \text{ si el estudiante completa la tarea semanal} \]

\[ C=0 \text{ si el estudiante no completa la tarea semanal} \]

\(c\) Curso A Curso B
\(0\) \(0{,}25\) \(0{,}40\)
\(1\) \(0{,}75\) \(0{,}60\)

Curso A:

Curso B:

En el Curso A:

\[ P_A(C=1)=0{,}75 \]

En el Curso B:

\[ P_B(C=1)=0{,}60 \]

Como \(0{,}75>0{,}60\), es más probable elegir un estudiante que haya completado la tarea en el Curso A.

Sin embargo, esto no significa que todos los estudiantes del Curso A hayan completado la tarea.

Error frecuente

Una probabilidad alta no significa que el resultado ocurra siempre.

Por ejemplo, si \(P(C=1)=0{,}75\), eso significa que el evento es probable, pero todavía existe probabilidad de que no ocurra:

\[ P(C=0)=0{,}25 \]

Preguntas para analizar una afirmación probabilística

  • ¿Cuál es la variable o evento que se está midiendo?
  • ¿A qué grupo o contexto se refiere la información?
  • ¿La probabilidad está expresada como decimal, fracción o porcentaje?
  • ¿La conclusión se justifica con los datos entregados?

Ejercicio 1

Una encuesta informa:

“La probabilidad de que un estudiante elegido al azar use bicicleta para llegar al colegio es \(0{,}18\)”.

a) Expresa esta probabilidad como porcentaje.

b) Define una variable aleatoria que represente la situación.

c) Interpreta el resultado en palabras.

Ejercicio 2

Un medio escolar publica:

“El \(62\%\) de los estudiantes encuestados declara estudiar escuchando música”.

a) Escribe el porcentaje como probabilidad decimal.

b) Define una variable aleatoria para esta situación.

c) Indica la probabilidad de que un estudiante encuestado no estudie escuchando música, suponiendo que solo hay dos opciones: sí o no.

Ejercicio 3

Una publicación dice:

“El \(48\%\) de las personas encuestadas prefiere recibir información por redes sociales. Por lo tanto, la mayoría prefiere redes sociales”.

¿La conclusión está justificada? Explica.

Ejercicio 4

Observa la distribución de la variable \(A\), donde \(A=1\) significa “aparece un anuncio” y \(A=0\) significa “no aparece un anuncio”.

a) Interpreta \(P(A=1)\).

b) Interpreta \(P(A=0)\).

c) ¿Qué evento es más probable?

Ejercicio 5

Una noticia escolar presenta la siguiente distribución sobre el número de actividades extraprogramáticas realizadas por estudiantes durante una semana. Sea:

\[ X=\text{número de actividades extraprogramáticas} \]

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}35\)
\(2\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}15\)

a) ¿Cuál es el número de actividades más probable?

b) Calcula \(P(X\geq 2)\).

c) Interpreta \(P(X\geq 2)\) en el contexto.

Ejercicio 6

Una publicación afirma:

“Como la probabilidad de que un estudiante complete una actividad es \(0{,}80\), entonces todos los estudiantes completarán la actividad”.

Explica el error y corrige la afirmación.

Ejercicio 7

Dos plataformas educativas muestran recomendaciones de estudio. Sea \(R=1\) si la recomendación es de matemática y \(R=0\) si no lo es.

\(r\) Plataforma A Plataforma B
\(0\) \(0{,}70\) \(0{,}55\)
\(1\) \(0{,}30\) \(0{,}45\)

a) ¿En cuál plataforma es más probable recibir una recomendación de matemática?

b) ¿En cuál plataforma es más probable recibir una recomendación que no sea de matemática?

c) Escribe una conclusión comparativa.

Ejercicio 8

Una nota dice:

“La probabilidad de que un estudiante elegido al azar lea noticias en internet es \(0{,}52\). Por lo tanto, es imposible que el estudiante no lea noticias en internet”.

¿La conclusión es correcta? Justifica.

Ejercicio 9

Un informe muestra la distribución de la variable \(I\), donde \(I\) representa la cantidad de veces que una persona revisa una aplicación durante una hora.

a) Escribe la tabla de distribución.

b) ¿Cuál es el valor más probable?

c) Calcula \(P(I\geq 3)\).

d) Interpreta \(P(I\geq 3)\) en el contexto.

Ejercicio 10

Un titular afirma:

“La Plataforma B es mejor que la Plataforma A, porque muestra más recomendaciones de matemática”.

\(r\) Interpretación Plataforma A Plataforma B
\(0\) No es recomendación de matemática \(0{,}65\) \(0{,}45\)
\(1\) Es recomendación de matemática \(0{,}35\) \(0{,}55\)

a) Verifica si la Plataforma B muestra más recomendaciones de matemática según la tabla.

b) ¿La palabra “mejor” queda completamente justificada solo con esta información?

c) Escribe una conclusión más cuidadosa.

Ejercicio 11

Una encuesta sobre medios para informarse entrega la siguiente distribución:

\(x\) Medio principal \(P(X=x)\)
\(1\) Televisión \(0{,}25\)
\(2\) Radio \(0{,}10\)
\(3\) Redes sociales \(0{,}45\)
\(4\) Sitios web de noticias \(0{,}20\)

a) ¿Cuál es el medio más probable?

b) Calcula la probabilidad de que el medio principal sea digital, considerando redes sociales y sitios web.

c) Interpreta el resultado anterior.

Ejercicio 12

Una publicación resume una encuesta de esta manera:

“El \(45\%\) usa redes sociales como medio principal para informarse, por lo tanto, las redes sociales son el único medio importante”.

Usa la distribución del ejercicio anterior para analizar la afirmación.

Para continuar

En la próxima página se analizarán supuestos basados en probabilidades, distinguiendo entre lo que los datos permiten afirmar y lo que sería una interpretación apresurada.

9. Supuestos basados en probabilidades

Objetivos de la página

  • Reconocer supuestos que se hacen a partir de probabilidades.
  • Distinguir entre una conclusión segura, probable o no justificada.
  • Analizar si una afirmación está respaldada por una distribución de probabilidad.
  • Interpretar probabilidades considerando el contexto y las condiciones del problema.

¿Qué es un supuesto?

Un supuesto es una idea que se acepta como posible o razonable a partir de cierta información, aunque no siempre se puede asegurar con certeza.

En probabilidad, muchas conclusiones se basan en supuestos. Por ejemplo, si una encuesta indica que \(70\%\) de un grupo usa transporte público, se puede suponer que es probable elegir una persona que lo use.

Sin embargo, eso no significa que todas las personas del grupo usen transporte público.

Lenguaje probabilístico

Al interpretar una probabilidad, conviene distinguir entre distintos niveles de certeza:

Probabilidad Interpretación
\(0\) El evento es imposible en el modelo dado.
Entre \(0\) y \(1\) El evento puede ocurrir, con mayor o menor probabilidad.
Cercana a \(1\) El evento es muy probable, pero no seguro.
\(1\) El evento es seguro en el modelo dado.

Ejemplo 1: una probabilidad alta no es certeza

Una encuesta informa que la probabilidad de que un estudiante elegido al azar complete una tarea semanal es \(0{,}85\).

Definimos:

\[ C=1 \text{ si el estudiante completa la tarea} \]

\[ C=0 \text{ si el estudiante no completa la tarea} \]

\(c\) Interpretación \(P(C=c)\)
\(0\) No completa la tarea \(0{,}15\)
\(1\) Completa la tarea \(0{,}85\)

Se puede afirmar que completar la tarea es muy probable, porque:

\[ P(C=1)=0{,}85 \]

Pero no se puede afirmar que todos completarán la tarea, porque todavía existe probabilidad de no completarla:

\[ P(C=0)=0{,}15 \]

Ejemplo 2: supuesto razonable y supuesto exagerado

Una plataforma educativa registra el tipo de recurso que elige un estudiante al estudiar. La variable \(R\) representa el recurso elegido:

\(r\) Recurso \(P(R=r)\)
\(1\) Video \(0{,}50\)
\(2\) Guía escrita \(0{,}30\)
\(3\) Ejercicios interactivos \(0{,}20\)

Un supuesto razonable sería:

“Según la distribución, el recurso más probable es video, con probabilidad \(0{,}50\)”.

Un supuesto exagerado sería:

“Todos los estudiantes prefieren videos”.

Ese supuesto es incorrecto, porque la probabilidad de elegir video es \(0{,}50\), no \(1\).

Ejemplo 3: condiciones del contexto

Una encuesta realizada en un curso indica que la probabilidad de que un estudiante use bicicleta para llegar al colegio es \(0{,}25\).

Una conclusión cuidadosa sería:

“En este curso, la probabilidad de elegir un estudiante que usa bicicleta es \(0{,}25\)”.

No sería correcto afirmar directamente:

“En todos los colegios, el \(25\%\) de los estudiantes usa bicicleta”.

La razón es que la información proviene de un curso específico. Para extender la conclusión a otros grupos, habría que justificar que la muestra representa adecuadamente a esos grupos.

Error frecuente

No toda afirmación basada en una probabilidad está justificada.

Por ejemplo, si \(P(A=1)=0{,}60\), se puede decir que \(A=1\) es más probable que \(A=0\). Pero no se puede decir que \(A=1\) ocurrirá siempre.

Cómo evaluar un supuesto

Para evaluar si un supuesto está bien respaldado, conviene preguntar:

  • ¿Qué probabilidad o distribución lo apoya?
  • ¿El supuesto habla del mismo grupo o contexto?
  • ¿Se está confundiendo “probable” con “seguro”?
  • ¿La conclusión usa palabras demasiado fuertes, como “todos”, “nunca” o “siempre”?

Ejercicio 1

Una encuesta indica que la probabilidad de que un estudiante elegido al azar participe en un taller escolar es \(0{,}70\).

a) Expresa esta probabilidad como porcentaje.

b) ¿Es correcto afirmar que todos los estudiantes participan en talleres?

c) Escribe una conclusión cuidadosa.

Ejercicio 2

Una variable aleatoria \(A\) se define así:

\[ A=1 \text{ si aparece un anuncio} \]

\[ A=0 \text{ si no aparece un anuncio} \]

\(a\) \(P(A=a)\)
\(0\) \(0{,}65\)
\(1\) \(0{,}35\)

Un estudiante dice: “Como \(P(A=1)=0{,}35\), es imposible que aparezca un anuncio”.

¿Cuál es el error? Corrige la afirmación.

Ejercicio 3

En una encuesta de un curso, la distribución de la variable \(M\), donde \(M=1\) significa “prefiere estudiar con música” y \(M=0\) significa “no prefiere estudiar con música”, es:

\(m\) \(P(M=m)\)
\(0\) \(0{,}42\)
\(1\) \(0{,}58\)

a) ¿Qué opción es más probable?

b) ¿Se puede afirmar que todos prefieren estudiar con música?

c) ¿Se puede afirmar que más de la mitad prefiere estudiar con música?

Ejercicio 4

Una noticia dice:

“En una encuesta realizada a \(40\) estudiantes de un colegio, el \(75\%\) declaró usar redes sociales para informarse. Por lo tanto, el \(75\%\) de todos los estudiantes del país usa redes sociales para informarse”.

Analiza si la conclusión está justificada.

Ejercicio 5

Observa la distribución de una variable aleatoria \(R\), donde \(R\) representa el número de veces que una persona revisa una aplicación durante una hora.

a) ¿Cuál es el valor más probable de \(R\)?

b) Calcula \(P(R\geq 3)\).

c) Un titular dice: “La mayoría revisa la aplicación \(3\) o más veces por hora”. ¿Está justificado?

Ejercicio 6

En un curso, se elige al azar un estudiante. La variable \(T\) representa la cantidad de tareas entregadas durante una semana.

\(t\) \(P(T=t)\)
\(0\) \(0{,}05\)
\(1\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}50\)

a) ¿Cuál es el número de tareas más probable?

b) Calcula \(P(T\geq 2)\).

c) ¿Es razonable suponer que es probable elegir un estudiante que entregó al menos \(2\) tareas?

Ejercicio 7

Un informe indica que, en una muestra de estudiantes, la probabilidad de preferir clases con actividades prácticas es \(0{,}64\).

Evalúa las siguientes afirmaciones como justificadas o no justificadas.

a) “En la muestra, preferir clases con actividades prácticas es más probable que no preferirlas”.

b) “Todos los estudiantes prefieren clases con actividades prácticas”.

c) “En la muestra, más de la mitad prefiere clases con actividades prácticas”.

Ejercicio 8

Una variable aleatoria \(S\) representa el nivel de satisfacción con un servicio:

\[ S=1 \text{ baja},\quad S=2 \text{ media},\quad S=3 \text{ alta} \]

\(s\) Interpretación \(P(S=s)\)
\(1\) Baja \(0{,}20\)
\(2\) Media \(0{,}45\)
\(3\) Alta \(0{,}35\)

Una publicación afirma: “La satisfacción es positiva, porque la probabilidad de satisfacción media o alta es mayor que la de satisfacción baja”.

Analiza la afirmación con cálculos.

Ejercicio 9

Dos cursos tienen la siguiente distribución para la variable \(P\), que representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).

\(p\) Curso A Curso B
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}40\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}25\)

a) Calcula la probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\) en cada curso.

b) Un estudiante supone que el Curso A tiene mejores resultados porque concentra más probabilidad en puntajes altos. ¿Está respaldado ese supuesto?

Ejercicio 10

Una noticia escolar afirma:

“Como \(P(X=3)=0{,}45\), entonces \(X=3\) es seguro”.

Explica el error usando lenguaje probabilístico.

Ejercicio 11

Observa la distribución de una variable aleatoria \(D\), donde \(D\) representa el número de días por semana que un estudiante usa una plataforma de estudio.

a) Escribe la tabla de distribución.

b) Calcula \(P(D\geq 3)\).

c) ¿Está justificado suponer que es más probable usar la plataforma \(3\) o más días que usarla menos de \(3\) días?

Ejercicio 12

Una publicación dice:

“En una encuesta, la probabilidad de elegir una persona que prefiere informarse por medios digitales es \(0{,}72\). Por lo tanto, los medios no digitales ya no tienen importancia”.

Analiza la afirmación y escribe una conclusión más cuidadosa.

Para continuar

En la próxima página se analizará cómo tomar decisiones en situaciones de incertidumbre usando distribuciones de probabilidad.

10. Decisiones con incertidumbre usando probabilidades

Objetivos de la página

  • Usar probabilidades para comparar alternativas en situaciones de incertidumbre.
  • Identificar eventos favorables y eventos desfavorables en un contexto.
  • Justificar decisiones usando tablas, gráficos y cálculos de probabilidad.
  • Reconocer que una decisión basada en probabilidades no garantiza un resultado.

Decidir cuando no hay certeza

En muchas situaciones no se puede saber con seguridad qué ocurrirá, pero sí se pueden usar probabilidades para tomar una decisión más razonable.

Por ejemplo, si se comparan dos recorridos de transporte, puede interesar cuál tiene menor probabilidad de retraso. Si se comparan dos estrategias de estudio, puede interesar cuál tiene mayor probabilidad de completar una actividad.

La probabilidad no elimina la incertidumbre, pero ayuda a comparar alternativas con más información.

Procedimiento para tomar una decisión con probabilidades

  1. Identifica claramente las alternativas que se comparan.
  2. Define qué evento se considera favorable o desfavorable.
  3. Calcula la probabilidad de ese evento en cada alternativa.
  4. Compara las probabilidades obtenidas.
  5. Escribe una conclusión considerando el contexto.

Ejemplo 1: elegir una plataforma de estudio

Dos plataformas educativas muestran actividades de práctica. Se define:

\[ C=1 \text{ si el estudiante completa la actividad} \]

\[ C=0 \text{ si el estudiante no completa la actividad} \]

\(c\) Plataforma A Plataforma B
\(0\) \(0{,}25\) \(0{,}40\)
\(1\) \(0{,}75\) \(0{,}60\)

Plataforma A:

Plataforma B:

Si el objetivo es aumentar la probabilidad de completar la actividad, comparamos:

\[ P_A(C=1)=0{,}75 \]

\[ P_B(C=1)=0{,}60 \]

Como \(0{,}75>0{,}60\), la Plataforma A sería una mejor opción según este criterio.

Esto no garantiza que el estudiante completará la actividad, pero indica que, según la información dada, es más probable completarla usando la Plataforma A.

Ejemplo 2: elegir un recorrido con menos retrasos

Dos recorridos de bus tienen la siguiente distribución para la variable \(R\), donde \(R\) representa el número de retrasos en una semana.

\(r\) Recorrido A Recorrido B
\(0\) \(0{,}45\) \(0{,}30\)
\(1\) \(0{,}35\) \(0{,}40\)
\(2\) \(0{,}15\) \(0{,}20\)
\(3\) \(0{,}05\) \(0{,}10\)

Si se quiere reducir la probabilidad de muchos retrasos, podemos comparar \(P(R\geq 2)\).

Para el Recorrido A:

\[ P_A(R\geq 2)=P_A(R=2)+P_A(R=3)=0{,}15+0{,}05=0{,}20 \]

Para el Recorrido B:

\[ P_B(R\geq 2)=P_B(R=2)+P_B(R=3)=0{,}20+0{,}10=0{,}30 \]

Como \(0{,}20<0{,}30\), el Recorrido A tiene menor probabilidad de presentar dos o más retrasos en una semana.

Por lo tanto, si el criterio principal es disminuir la probabilidad de muchos retrasos, conviene elegir el Recorrido A.

Ejemplo 3: una decisión depende del criterio

Dos métodos de estudio tienen la siguiente distribución para la variable \(P\), que representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).

\(p\) Método A Método B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}15\)
\(1\) \(0{,}25\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}50\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}20\) \(0{,}40\)

Si el criterio es obtener el puntaje máximo, comparamos \(P(P=3)\):

\[ P_A(P=3)=0{,}20,\qquad P_B(P=3)=0{,}40 \]

Según ese criterio, conviene el Método B.

Pero si el criterio es obtener al menos \(2\) puntos, comparamos \(P(P\geq 2)\):

\[ P_A(P\geq 2)=0{,}50+0{,}20=0{,}70 \]

\[ P_B(P\geq 2)=0{,}30+0{,}40=0{,}70 \]

Según este segundo criterio, ambos métodos tienen la misma probabilidad de obtener \(2\) o más puntos.

Por eso, antes de decidir, es necesario aclarar qué se quiere favorecer.

Error frecuente

No siempre la alternativa con mayor probabilidad en un valor específico es mejor en todo sentido.

Una decisión debe relacionarse con un criterio claro. Por ejemplo, “tener puntaje máximo” no es lo mismo que “tener puntaje \(2\) o superior”.

Decisiones justificadas

Una decisión basada en probabilidades debe incluir una comparación explícita.

No basta decir “conviene A”. Es mejor escribir: “Conviene A si el objetivo es reducir la probabilidad de dos o más retrasos, porque \(P_A(R\geq 2)=0{,}20\) y \(P_B(R\geq 2)=0{,}30\)”.

Ejercicio 1

Dos plataformas tienen la siguiente distribución para la variable \(C\), donde \(C=1\) significa “completa la actividad” y \(C=0\) significa “no completa la actividad”.

\(c\) Plataforma A Plataforma B
\(0\) \(0{,}30\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}70\) \(0{,}80\)

a) ¿En cuál plataforma es más probable completar la actividad?

b) Si el objetivo es aumentar la probabilidad de completar la actividad, ¿cuál conviene elegir?

c) Explica por qué la decisión no garantiza el resultado.

Ejercicio 2

Dos recorridos tienen la siguiente distribución para el número de retrasos semanales \(R\):

\(r\) Recorrido A Recorrido B
\(0\) \(0{,}50\) \(0{,}35\)
\(1\) \(0{,}30\) \(0{,}40\)
\(2\) \(0{,}15\) \(0{,}15\)
\(3\) \(0{,}05\) \(0{,}10\)

a) Calcula la probabilidad de tener dos o más retrasos en cada recorrido.

b) ¿Cuál recorrido conviene si se quiere disminuir la probabilidad de muchos retrasos?

Ejercicio 3

Un estudiante debe elegir entre dos métodos de estudio. La variable \(P\) representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).

\(p\) Método A Método B
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}05\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}45\) \(0{,}30\)
\(3\) \(0{,}25\) \(0{,}40\)

a) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener puntaje máximo?

b) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener \(2\) o más puntos?

c) Escribe una decisión justificada si el objetivo es obtener al menos \(2\) puntos.

Ejercicio 4

Observa las distribuciones de dos alternativas para una variable \(X\), donde valores más altos representan mejores resultados.

Alternativa A:

Alternativa B:

a) Calcula \(P_A(X\geq 2)\).

b) Calcula \(P_B(X\geq 2)\).

c) ¿Cuál alternativa conviene si se quiere aumentar la probabilidad de obtener un resultado \(2\) o \(3\)?

Ejercicio 5

Una aplicación muestra recomendaciones de estudio. La variable \(M\) se define así:

\[ M=1 \text{ si la recomendación es de matemática} \]

\[ M=0 \text{ si la recomendación no es de matemática} \]

\(m\) Aplicación A Aplicación B
\(0\) \(0{,}55\) \(0{,}30\)
\(1\) \(0{,}45\) \(0{,}70\)

a) Si el objetivo es recibir más recomendaciones de matemática, ¿qué aplicación conviene?

b) ¿Qué probabilidad de no recibir una recomendación de matemática tiene esa aplicación?

c) Escribe una conclusión cuidadosa.

Ejercicio 6

Dos talleres escolares tienen la siguiente distribución para la variable \(S\), donde \(S=1\) significa “satisfacción baja”, \(S=2\) “satisfacción media” y \(S=3\) “satisfacción alta”.

\(s\) Taller A Taller B
\(1\) \(0{,}15\) \(0{,}30\)
\(2\) \(0{,}55\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}30\) \(0{,}45\)

a) ¿Cuál taller tiene mayor probabilidad de satisfacción alta?

b) ¿Cuál taller tiene mayor probabilidad de satisfacción media o alta?

c) Explica por qué la decisión puede depender del criterio elegido.

Ejercicio 7

Una persona debe elegir entre dos horarios para estudiar. La variable \(E\) representa el nivel de concentración:

\[ E=1 \text{ baja},\quad E=2 \text{ media},\quad E=3 \text{ alta} \]

\(e\) Mañana Tarde
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}10\)
\(2\) \(0{,}30\) \(0{,}50\)
\(3\) \(0{,}50\) \(0{,}40\)

a) ¿En qué horario es más probable alcanzar concentración alta?

b) ¿En qué horario es menos probable tener concentración baja?

c) Si el objetivo principal es concentración alta, ¿qué horario conviene?

Ejercicio 8

Observa las distribuciones de dos opciones. La variable \(R\) representa el número de respuestas correctas en una práctica breve.

Opción A:

Opción B:

a) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) respuestas correctas?

b) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de obtener al menos \(2\) respuestas correctas?

c) Escribe una decisión justificada para alguien que busca asegurar al menos \(2\) respuestas correctas.

Ejercicio 9

Una familia compara dos opciones de transporte para llegar a tiempo. Se define:

\[ T=1 \text{ si llega a tiempo} \]

\[ T=0 \text{ si no llega a tiempo} \]

\(t\) Opción A Opción B
\(0\) \(0{,}18\) \(0{,}08\)
\(1\) \(0{,}82\) \(0{,}92\)

a) ¿Cuál opción tiene mayor probabilidad de llegar a tiempo?

b) ¿Cuál opción tiene menor probabilidad de no llegar a tiempo?

c) ¿La opción elegida garantiza llegar a tiempo?

Ejercicio 10

Un estudiante dice:

“Siempre conviene elegir la alternativa que tiene la barra más alta en el gráfico”.

Explica por qué esta afirmación puede ser incorrecta.

Ejercicio 11

Dos cursos comparan estrategias para preparar una prueba. La variable \(N\) representa el número de ejercicios correctos en una práctica de \(0\) a \(4\).

\(n\) Estrategia A Estrategia B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}10\)
\(1\) \(0{,}10\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}25\) \(0{,}20\)
\(3\) \(0{,}35\) \(0{,}25\)
\(4\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)

a) ¿Cuál estrategia tiene mayor probabilidad de obtener \(4\) ejercicios correctos?

b) ¿Cuál estrategia tiene mayor probabilidad de obtener \(3\) o más ejercicios correctos?

c) Si el objetivo es alcanzar un desempeño alto, entendido como \(3\) o \(4\) ejercicios correctos, ¿qué estrategia conviene?

Ejercicio 12

Un titular dice:

“La Estrategia B es mejor porque tiene mayor probabilidad de obtener el puntaje máximo”.

Usa la distribución del ejercicio anterior para analizar si la conclusión está completamente justificada.

Para continuar

En la próxima página se analizará cómo una misma probabilidad puede dar lugar a interpretaciones distintas según el punto de vista, el contexto y el criterio usado.

11. Interpretaciones distintas de una misma probabilidad

Objetivos de la página

  • Reconocer que una misma probabilidad puede interpretarse de distintas maneras según el contexto.
  • Distinguir entre interpretaciones equivalentes, cuidadosas y exageradas.
  • Analizar cómo cambia una conclusión según el evento que se considere favorable.
  • Justificar interpretaciones usando lenguaje probabilístico claro.

Una misma probabilidad, distintas lecturas

Una probabilidad entrega información matemática, pero su interpretación depende del contexto y del punto de vista.

Por ejemplo, decir que la probabilidad de completar una actividad es \(0{,}70\) puede interpretarse como:

“Es más probable completar la actividad que no completarla”.

También puede interpretarse como:

“Todavía existe una probabilidad de \(0{,}30\) de no completarla”.

Ambas interpretaciones son compatibles con la misma información, pero destacan aspectos distintos.

Eventos complementarios

Si un evento \(A\) tiene probabilidad \(P(A)\), entonces la probabilidad de que no ocurra es:

\[ P(\text{no }A)=1-P(A) \]

Por ejemplo, si la probabilidad de completar una actividad es \(0{,}70\), entonces:

\[ P(\text{no completar})=1-0{,}70=0{,}30 \]

Esto permite interpretar una misma situación desde el evento favorable o desde el evento contrario.

Ejemplo 1: completar o no completar una actividad

Una plataforma informa que la probabilidad de que un estudiante complete una actividad es \(0{,}70\).

Definimos:

\[ C=1 \text{ si completa la actividad} \]

\[ C=0 \text{ si no completa la actividad} \]

\(c\) Interpretación \(P(C=c)\)
\(0\) No completa \(0{,}30\)
\(1\) Completa \(0{,}70\)

Una interpretación centrada en el logro sería:

“Completar la actividad es bastante probable, porque \(P(C=1)=0{,}70\)”.

Una interpretación centrada en el riesgo sería:

“Todavía hay una probabilidad de \(0{,}30\) de no completar la actividad”.

Las dos interpretaciones son correctas, pero resaltan aspectos distintos de la misma distribución.

Ejemplo 2: dos titulares sobre la misma información

En una encuesta escolar, el \(60\%\) de los estudiantes declara preferir estudiar con videos.

Esto puede escribirse como:

\[ P(V=1)=0{,}60 \]

donde \(V=1\) significa “prefiere estudiar con videos”.

Un titular cuidadoso podría ser:

“La mayoría de los estudiantes encuestados prefiere estudiar con videos”.

Otro titular también correcto sería:

“Cuatro de cada diez estudiantes encuestados no prefieren estudiar con videos”.

Ambos titulares se basan en la misma información, porque:

\[ P(V=0)=1-0{,}60=0{,}40 \]

Un titular exagerado sería:

“Todos los estudiantes prefieren estudiar con videos”.

Ese titular no está justificado, porque \(0{,}60\neq 1\).

Ejemplo 3: elegir según el criterio

Dos métodos de estudio tienen la siguiente distribución para el puntaje obtenido en una práctica de \(0\) a \(3\).

\(p\) Método A Método B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}10\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}50\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}25\) \(0{,}50\)

Si el criterio es obtener el puntaje máximo, conviene el Método B, porque:

\[ P_B(P=3)=0{,}50>0{,}25=P_A(P=3) \]

Si el criterio es obtener al menos \(2\) puntos, comparamos:

\[ P_A(P\geq 2)=0{,}50+0{,}25=0{,}75 \]

\[ P_B(P\geq 2)=0{,}25+0{,}50=0{,}75 \]

Según este segundo criterio, ambos métodos son equivalentes.

La interpretación cambia porque cambia el evento que se considera favorable.

Error frecuente

No se debe cambiar el significado de una probabilidad para apoyar una conclusión.

Por ejemplo, si \(P(A=1)=0{,}55\), se puede decir que \(A=1\) es más probable que \(A=0\), pero no se puede decir que \(A=1\) es seguro.

Interpretación cuidadosa

Una interpretación probabilística cuidadosa debe indicar:

  • qué evento se está analizando;
  • cuál es su probabilidad;
  • qué significa esa probabilidad en el contexto;
  • qué no se puede concluir con esa información.

Ejercicio 1

Una encuesta indica que la probabilidad de que un estudiante elegido al azar prefiera estudiar con videos es \(0{,}65\).

a) Calcula la probabilidad de que no prefiera estudiar con videos.

b) Escribe una interpretación centrada en quienes prefieren videos.

c) Escribe una interpretación centrada en quienes no prefieren videos.

Ejercicio 2

Una plataforma informa:

“La probabilidad de completar una actividad es \(0{,}80\)”.

Un estudiante interpreta: “Entonces completar la actividad es seguro”.

¿La interpretación es correcta? Explica.

Ejercicio 3

En una encuesta, el \(55\%\) de los estudiantes declara preferir actividades prácticas.

Evalúa las siguientes interpretaciones como correctas o incorrectas. Justifica.

a) “Más de la mitad prefiere actividades prácticas”.

b) “Todos prefieren actividades prácticas”.

c) “La probabilidad de no preferir actividades prácticas es \(0{,}45\)”.

Ejercicio 4

Observa la distribución de la variable \(A\), donde \(A=1\) significa “aparece un anuncio” y \(A=0\) significa “no aparece un anuncio”.

a) Interpreta \(P(A=1)\).

b) Interpreta \(P(A=0)\).

c) Escribe una interpretación desde el punto de vista de alguien que no quiere ver anuncios.

Ejercicio 5

Una noticia dice:

“El \(40\%\) de los estudiantes encuestados usa bicicleta para llegar al colegio. Por lo tanto, casi nadie usa bicicleta”.

Analiza si la interpretación es adecuada y escribe una versión más cuidadosa.

Ejercicio 6

Dos titulares se basan en la misma información:

\[ P(\text{completar una actividad})=0{,}68 \]

Titular A: “Completar la actividad es lo más probable”.

Titular B: “Casi un tercio podría no completar la actividad”.

¿Pueden ambos titulares ser razonables? Justifica.

Ejercicio 7

Una variable aleatoria \(S\) representa satisfacción con un servicio:

\[ S=1 \text{ baja},\quad S=2 \text{ media},\quad S=3 \text{ alta} \]

\(s\) Interpretación \(P(S=s)\)
\(1\) Baja \(0{,}25\)
\(2\) Media \(0{,}50\)
\(3\) Alta \(0{,}25\)

a) ¿Cuál es el nivel más probable?

b) Calcula la probabilidad de satisfacción media o alta.

c) Escribe una interpretación positiva y una interpretación cautelosa de la distribución.

Ejercicio 8

Dos métodos tienen la siguiente distribución para el puntaje \(P\) obtenido en una práctica:

\(p\) Método A Método B
\(0\) \(0{,}05\) \(0{,}15\)
\(1\) \(0{,}25\) \(0{,}15\)
\(2\) \(0{,}45\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}25\) \(0{,}45\)

a) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de puntaje máximo?

b) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener al menos \(2\) puntos?

c) Explica cómo pueden surgir dos decisiones distintas.

Ejercicio 9

Observa la distribución de la variable \(R\), que representa el número de veces que una persona revisa una aplicación durante una hora.

a) Escribe la tabla de distribución.

b) Calcula \(P(R\geq 3)\).

c) Escribe una interpretación que destaque uso frecuente y otra que sea más cautelosa.

Ejercicio 10

Una publicación afirma:

“Como \(P(X\geq 2)=0{,}52\), entonces casi todos obtienen \(2\) o más”.

Analiza la interpretación y corrígela.

Ejercicio 11

Una encuesta sobre medio principal para informarse entrega:

Medio Probabilidad
Televisión \(0{,}22\)
Radio \(0{,}08\)
Redes sociales \(0{,}46\)
Sitios web de noticias \(0{,}24\)

a) ¿Cuál es el medio individual más probable?

b) Calcula la probabilidad de usar un medio digital, considerando redes sociales y sitios web.

c) Analiza la afirmación: “Las redes sociales son importantes, pero no son la única forma relevante de informarse”.

Ejercicio 12

Escribe dos interpretaciones distintas, pero correctas, para la siguiente información:

\[ P(\text{llegar a tiempo})=0{,}90 \]

Luego escribe una interpretación incorrecta y explica por qué lo es.

Síntesis del libro

Una variable aleatoria finita permite asignar valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Su distribución de probabilidad organiza los valores posibles y sus probabilidades.

Estas distribuciones permiten interpretar datos, comparar situaciones, analizar información de medios, evaluar supuestos y tomar decisiones con incertidumbre.

La clave es justificar cada conclusión con cálculos y cuidar el lenguaje: probable no significa seguro, poco probable no significa imposible, y una misma probabilidad puede tener distintas interpretaciones válidas según el contexto.

12. Evaluación integradora: variables aleatorias, distribuciones y probabilidad en la sociedad

Objetivos de la página

  • Integrar la definición de variables aleatorias finitas con tablas y gráficos de distribución.
  • Calcular e interpretar probabilidades asociadas a valores y eventos.
  • Comparar distribuciones de probabilidad en distintos contextos.
  • Evaluar afirmaciones, supuestos y decisiones basadas en probabilidades.

Indicaciones

En esta evaluación integradora no se introduce contenido nuevo. El propósito es aplicar lo aprendido durante el libro.

En cada respuesta, justifica con cálculos, tablas o argumentos probabilísticos. Recuerda que una probabilidad alta no significa certeza, y una probabilidad baja no significa imposibilidad.

Ejercicio 1

Se lanzan dos monedas. Se define la variable aleatoria \(X\) como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas} \]

a) Escribe el espacio muestral.

b) Indica los valores posibles de \(X\).

c) Construye la tabla de distribución de probabilidad de \(X\).

d) Verifica que la distribución sea válida.

Ejercicio 2

Se lanza un dado común. Se define la variable aleatoria \(Y\) como:

\[ Y=1 \text{ si el resultado es múltiplo de }3 \]

\[ Y=0 \text{ si el resultado no es múltiplo de }3 \]

a) Indica los resultados que producen \(Y=1\).

b) Indica los resultados que producen \(Y=0\).

c) Construye la distribución de probabilidad de \(Y\).

Ejercicio 3

Se elige al azar un estudiante de un grupo de \(12\) personas. La cantidad de mascotas de cada estudiante es:

\[ 0,\quad 1,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 3,\quad 2,\quad 1,\quad 0,\quad 2,\quad 4,\quad 1 \]

Se define:

\[ M=\text{número de mascotas del estudiante elegido} \]

a) Indica los valores posibles de \(M\).

b) Construye la tabla de distribución de probabilidad.

c) Determina el valor más probable.

d) Calcula \(P(M\geq 2)\).

Ejercicio 4

Observa el gráfico de distribución de una variable aleatoria \(X\):

a) Escribe la tabla de distribución.

b) ¿Cuál es el valor más probable?

c) Calcula \(P(X\leq 1)\).

d) Calcula \(P(X\geq 2)\).

e) Verifica si representa una distribución válida.

Ejercicio 5

Dos cursos tienen la siguiente distribución para la variable \(P\), que representa el puntaje obtenido en una actividad de \(0\) a \(3\).

\(p\) Curso A Curso B
\(0\) \(0{,}10\) \(0{,}25\)
\(1\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(2\) \(0{,}45\) \(0{,}25\)
\(3\) \(0{,}25\) \(0{,}25\)

a) ¿Cuál curso tiene distribución uniforme?

b) Calcula la probabilidad de obtener puntaje \(2\) o \(3\) en cada curso.

c) ¿En cuál curso es más probable obtener puntaje alto, si se considera alto \(2\) o \(3\)?

d) Escribe una conclusión contextual.

Ejercicio 6

Una tabla pretende representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\):

\(x\) \(P(X=x)\)
\(0\) \(0{,}20\)
\(1\) \(0{,}35\)
\(2\) \(p\)
\(3\) \(0{,}15\)

a) Calcula el valor de \(p\) para que la tabla sea una distribución válida.

b) Con ese valor, determina el valor más probable de \(X\).

c) Calcula \(P(X\geq 2)\).

Ejercicio 7

Una encuesta escolar informa:

“El \(58\%\) de los estudiantes encuestados prefiere estudiar con videos”.

a) Escribe esta información como probabilidad decimal.

b) Calcula la probabilidad de que un estudiante encuestado no prefiera estudiar con videos, suponiendo que solo hay dos opciones.

c) Evalúa la afirmación: “Todos los estudiantes prefieren estudiar con videos”.

d) Escribe una interpretación cuidadosa de la información.

Ejercicio 8

Una noticia dice:

“En una encuesta realizada a \(30\) estudiantes de un curso, el \(70\%\) declaró usar redes sociales como medio principal para informarse. Por lo tanto, el \(70\%\) de todos los estudiantes del país usa redes sociales como medio principal”.

a) ¿Qué parte de la afirmación está respaldada por los datos?

b) ¿Qué parte no está completamente justificada?

c) Escribe una conclusión más cuidadosa.

Ejercicio 9

Dos recorridos de transporte tienen la siguiente distribución para la variable \(R\), que representa el número de retrasos en una semana.

\(r\) Recorrido A Recorrido B
\(0\) \(0{,}55\) \(0{,}35\)
\(1\) \(0{,}25\) \(0{,}40\)
\(2\) \(0{,}15\) \(0{,}20\)
\(3\) \(0{,}05\) \(0{,}05\)

a) ¿En cuál recorrido es más probable no tener retrasos?

b) Calcula la probabilidad de tener dos o más retrasos en cada recorrido.

c) Si el objetivo es reducir la probabilidad de muchos retrasos, ¿qué recorrido conviene?

d) ¿La opción elegida garantiza que no habrá retrasos?

Ejercicio 10

Observa las distribuciones de dos métodos de estudio. La variable \(N\) representa el número de respuestas correctas en una práctica de \(0\) a \(4\).

Método A:

Método B:

a) ¿Cuál método tiene mayor probabilidad de obtener \(4\) respuestas correctas?

b) Calcula la probabilidad de obtener \(3\) o más respuestas correctas en cada método.

c) Si el criterio es obtener el puntaje máximo, ¿qué método conviene?

d) Si el criterio es obtener desempeño alto, entendido como \(3\) o \(4\) respuestas correctas, ¿qué método conviene?

Ejercicio 11

Una plataforma informa que:

\[ P(\text{completar una actividad})=0{,}72 \]

a) Calcula la probabilidad de no completar la actividad.

b) Escribe una interpretación centrada en el logro.

c) Escribe una interpretación centrada en el riesgo.

d) Evalúa la afirmación: “Como la probabilidad de completar es \(0{,}72\), entonces completar la actividad es seguro”.

Ejercicio 12

Una encuesta sobre medios principales para informarse entrega la siguiente distribución:

Medio Probabilidad
Televisión \(0{,}20\)
Radio \(0{,}10\)
Redes sociales \(0{,}45\)
Sitios web de noticias \(0{,}25\)

a) Verifica si la tabla representa una distribución válida.

b) ¿Cuál es el medio individual más probable?

c) Calcula la probabilidad de que el medio principal sea digital, considerando redes sociales y sitios web de noticias.

d) Analiza la afirmación: “Las redes sociales son el único medio importante para informarse”.

Cierre

Para analizar una situación probabilística, no basta con calcular. También es necesario interpretar correctamente el resultado, revisar el contexto, evitar conclusiones exageradas y justificar cada decisión con datos.

Una buena respuesta probabilística combina cálculo, interpretación y lenguaje cuidadoso.