Muestreo, población y estimación
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial |
| Libro: | Muestreo, población y estimación |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:14 |
Tabla de contenidos
- 1. De describir datos a inferir sobre una población
- 2. Población, muestra e individuo
- 3. Parámetro vs estadístico
- 4. Censo vs muestra
- 5. Muestra aleatoria
- 6. Muestras sesgadas
- 7. Tamaño muestral y representatividad
- 8. Variabilidad entre muestras y error muestral: idea inicial
- 9. Estimación puntual como primera aproximación
- 10. Taller: ¿qué conclusiones son válidas?
1. De describir datos a inferir sobre una población
De describir datos a inferir sobre una población
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que una muestra permite describir datos observados y, bajo ciertas condiciones, apoyar conclusiones razonables sobre una población.
- Reconocer que un resultado muestral es una estimación, no necesariamente el valor exacto de la población.
Describir datos
Cuando se describen datos, la conclusión se refiere solamente a la información observada.
Por ejemplo, si se registra la edad de \(25\) estudiantes y se calcula su promedio, ese resultado describe a esos \(25\) estudiantes.
En este caso no se está hablando todavía de todos los estudiantes de un colegio, una comuna o un país, sino solo del grupo observado.
Inferir con cuidado
Inferir significa usar datos de una muestra para sacar una conclusión razonable sobre una población más grande.
Pero esa conclusión solo es válida si la muestra fue seleccionada de manera adecuada y representa razonablemente a la población que se quiere estudiar.
En este libro se prepara la idea de inferir. Aún no se usarán procedimientos formales como intervalos de confianza, nivel de significancia o pruebas de hipótesis.
Ejemplo 1: describir datos observados
Un profesor registra las notas de \(30\) estudiantes de un curso y obtiene un promedio de:
\[ \bar{x}=6{,}2 \]
La afirmación:
“Los \(30\) estudiantes registrados obtuvieron un promedio de \(6{,}2\)”
corresponde a una descripción, porque se refiere exactamente al grupo observado.
No se está afirmando nada sobre otros cursos ni sobre todos los estudiantes del colegio.
Ejemplo 2: inferir con cuidado desde una muestra
Una investigadora encuesta a \(120\) estudiantes seleccionados al azar de un colegio y obtiene que estudian en promedio \(5{,}8\) horas a la semana.
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra, los estudiantes estudiaron en promedio \(5{,}8\) horas semanales. Si la muestra representa adecuadamente al colegio, este valor puede usarse como una estimación del promedio de estudio de todos los estudiantes del colegio”.
La conclusión es cuidadosa porque no afirma que \(5{,}8\) sea el promedio exacto de toda la población.
Idea central
Un resultado muestral no es automáticamente “la verdad” de una población.
Si una muestra tiene media \(\bar{x}=6{,}4\), eso no significa necesariamente que la media real de toda la población sea exactamente \(6{,}4\).
Significa que \(6{,}4\) puede usarse como una estimación, siempre que la muestra sea adecuada.
Error frecuente
No se debe afirmar que un resultado muestral es automáticamente verdadero para toda la población.
Una muestra permite aproximarse a una característica de la población, pero esa aproximación depende de la calidad de la muestra.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una descripción
Una estudiante pregunta a \(20\) compañeros cuántas horas duermen en una noche. El promedio obtenido es \(7{,}1\) horas.
Explica por qué la siguiente afirmación es una descripción:
“Los \(20\) compañeros encuestados duermen en promedio \(7{,}1\) horas”.
La afirmación se refiere solamente a los \(20\) compañeros encuestados.
No intenta sacar una conclusión sobre todos los estudiantes del curso, del colegio o de otra población mayor.
Por eso, describe el resultado observado en ese grupo específico.
Es una descripción porque solo habla de los datos observados en la muestra de \(20\) compañeros.
Ejercicio 2: distinguir descripción e inferencia
En una encuesta aplicada a \(50\) estudiantes de enseñanza media, \(32\) declaran usar transporte público para llegar al colegio.
Clasifica cada afirmación como descripción o inferencia:
- “De los \(50\) estudiantes encuestados, \(32\) usan transporte público”.
- “La mayoría de los estudiantes de enseñanza media del colegio usa transporte público”.
La primera afirmación es una descripción, porque se refiere exactamente a los \(50\) estudiantes encuestados.
La segunda afirmación es una inferencia, porque intenta sacar una conclusión sobre todos los estudiantes de enseñanza media del colegio.
Para que esa inferencia sea razonable, la muestra tendría que representar adecuadamente a esa población.
La afirmación 1 es descripción; la afirmación 2 es inferencia.
Ejercicio 3: interpretar una media muestral
Una muestra de \(40\) estudiantes entrega una media de \(6{,}3\) horas de estudio semanal.
Un estudiante afirma:
“Entonces, todos los estudiantes del colegio estudian exactamente \(6{,}3\) horas a la semana en promedio”.
Explica el error en esta interpretación.
El error está en tratar la media muestral como si fuera necesariamente el valor exacto de toda la población.
El valor \(6{,}3\) fue calculado desde una muestra de \(40\) estudiantes, no desde todos los estudiantes del colegio.
Por eso, puede usarse como una estimación del promedio poblacional solo si la muestra es adecuada.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“En la muestra, los estudiantes estudiaron en promedio \(6{,}3\) horas semanales. Si la muestra representa bien al colegio, este valor puede usarse como estimación del promedio de estudio de la población”.
El valor \(6{,}3\) es una estimación muestral, no necesariamente el promedio exacto de toda la población.
Ejercicio 4: evaluar una conclusión
Un estudiante quiere saber cuántas horas estudian semanalmente los estudiantes de su colegio. Para ello encuesta solo a sus \(15\) amigos y obtiene un promedio de \(8\) horas.
Luego concluye:
“Los estudiantes del colegio estudian en promedio \(8\) horas a la semana”.
¿La conclusión es válida? Justifica.
La conclusión no es válida como afirmación sobre todo el colegio.
El estudiante encuestó solo a sus amigos, por lo que la muestra puede no representar a todos los estudiantes del colegio.
Sus amigos podrían tener hábitos de estudio distintos al resto de los estudiantes.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“Los \(15\) amigos encuestados estudian en promedio \(8\) horas a la semana”.
La conclusión no es válida para todo el colegio, porque la muestra fue limitada y posiblemente sesgada.
Ejercicio 5: conclusión desafiante
Una orientadora selecciona aleatoriamente a \(100\) estudiantes de enseñanza media de un colegio. La media de horas de sueño de la muestra es \(7{,}4\) horas.
Escribe una conclusión estadísticamente cuidadosa que use este resultado para hablar de la población.
Como la muestra fue seleccionada aleatoriamente, el resultado puede usarse con mayor cuidado para estimar una característica de la población.
Sin embargo, no se debe afirmar que la media real de todos los estudiantes sea exactamente \(7{,}4\) horas.
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra aleatoria de \(100\) estudiantes, la media de horas de sueño fue \(7{,}4\) horas. Si la muestra representa adecuadamente a los estudiantes de enseñanza media del colegio, este valor puede usarse como estimación del promedio de horas de sueño de esa población”.
La conclusión debe reconocer que \(7{,}4\) horas es una estimación basada en una muestra, no una certeza exacta.
2. Población, muestra e individuo
Objetivo de aprendizaje
- Distinguir población, muestra e individuo en situaciones estadísticas.
- Identificar correctamente el grupo sobre el cual se quiere obtener información y la parte que se observa.
Definiciones
Población: conjunto completo de individuos o elementos sobre los que se quiere estudiar una característica.
Muestra: parte de la población que se observa, encuesta o mide.
Individuo: cada elemento que forma parte de la población o de la muestra.
Cómo reconocer cada concepto
Para identificar estos tres elementos, conviene preguntarse:
- ¿Sobre quiénes se quiere concluir? Esa es la población.
- ¿A quiénes se observó realmente? Esa es la muestra.
- ¿Cuál es cada unidad estudiada? Ese es el individuo.
Ejemplo 1: encuesta a estudiantes
Se quiere conocer la cantidad promedio de horas de sueño de los estudiantes de segundo medio de un colegio.
Para ello, se encuesta a \(45\) estudiantes de segundo medio.
- Población: todos los estudiantes de segundo medio del colegio.
- Muestra: los \(45\) estudiantes encuestados.
- Individuo: cada estudiante de segundo medio.
Ejemplo 2: control de calidad
Una fábrica quiere estimar el peso promedio de las barras de cereal producidas durante un día.
Como no puede revisar todas las barras, selecciona \(80\) barras y mide su peso.
- Población: todas las barras de cereal producidas durante ese día.
- Muestra: las \(80\) barras seleccionadas.
- Individuo: cada barra de cereal.
Error frecuente
No siempre la población está formada por personas.
Una población también puede estar formada por hogares, cursos, productos, comunas, árboles, libros, respuestas o mediciones.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar conceptos básicos
Un profesor quiere conocer la nota promedio de su curso en una prueba. Para ello revisa las notas de todos los estudiantes del curso.
Identifica la población, la muestra y el individuo.
La población corresponde al grupo completo sobre el cual se quiere obtener información.
En este caso, la población son todos los estudiantes del curso.
Como el profesor revisa las notas de todos los estudiantes, la muestra coincide con la población.
El individuo es cada estudiante del curso.
Población: todos los estudiantes del curso. Muestra: todos los estudiantes del curso. Individuo: cada estudiante.
Ejercicio 2: muestra dentro de una población
Un colegio quiere conocer la opinión de sus estudiantes sobre el uso del celular durante los recreos. Para ello encuesta a \(120\) estudiantes del colegio.
Identifica la población, la muestra y el individuo.
La población es el conjunto completo sobre el que se quiere concluir: todos los estudiantes del colegio.
La muestra es la parte de la población que fue encuestada: los \(120\) estudiantes.
El individuo es cada estudiante del colegio.
Población: todos los estudiantes del colegio. Muestra: los \(120\) estudiantes encuestados. Individuo: cada estudiante.
Ejercicio 3: población que no son personas
Una empresa quiere estimar la duración promedio de las ampolletas que produce en una semana. Selecciona \(150\) ampolletas y mide cuánto tiempo funcionan antes de quemarse.
Identifica la población, la muestra y el individuo.
La población no está formada por personas, sino por objetos.
La población corresponde a todas las ampolletas producidas durante esa semana.
La muestra corresponde a las \(150\) ampolletas seleccionadas.
El individuo es cada ampolleta producida durante esa semana.
Población: todas las ampolletas producidas en la semana. Muestra: las \(150\) ampolletas seleccionadas. Individuo: cada ampolleta.
Ejercicio 4: distinguir población objetivo
Una municipalidad quiere conocer la proporción de hogares de una comuna que reciclan. Para ello encuesta \(500\) hogares de distintos barrios.
Identifica la población, la muestra y el individuo.
La población corresponde al conjunto completo de hogares sobre los que la municipalidad quiere obtener información.
Por lo tanto, la población son todos los hogares de la comuna.
La muestra son los \(500\) hogares encuestados.
El individuo es cada hogar de la comuna.
Población: todos los hogares de la comuna. Muestra: los \(500\) hogares encuestados. Individuo: cada hogar.
Ejercicio 5: analizar una confusión
Se quiere estimar el tiempo promedio que tardan los estudiantes de enseñanza media de un colegio en llegar a clases.
Para ello, se encuesta a \(60\) estudiantes de primero medio.
Un estudiante afirma: “La población son los \(60\) estudiantes encuestados”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque los \(60\) estudiantes encuestados corresponden a quienes fueron observados realmente.
Por lo tanto, esos \(60\) estudiantes forman la muestra, no la población.
La población depende de sobre quiénes se quiere concluir. En este caso, se quiere hablar de los estudiantes de enseñanza media del colegio.
Entonces, la población son todos los estudiantes de enseñanza media del colegio.
Los \(60\) estudiantes son la muestra; la población son todos los estudiantes de enseñanza media del colegio.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una investigación quiere estimar el gasto mensual promedio en transporte de los estudiantes universitarios de una ciudad.
Para ello, se encuesta a \(300\) estudiantes de tres universidades de la ciudad.
Identifica población, muestra e individuo. Luego explica una condición que debería cumplirse para que la muestra sea útil al estudiar esa población.
La población corresponde al grupo completo sobre el cual se quiere concluir.
En este caso, la población son todos los estudiantes universitarios de la ciudad.
La muestra corresponde a los \(300\) estudiantes encuestados de tres universidades.
El individuo es cada estudiante universitario de la ciudad.
Para que la muestra sea útil, debería representar adecuadamente a los estudiantes universitarios de la ciudad. Por ejemplo, no debería incluir solo estudiantes de una carrera, un horario o un sector socioeconómico si se desea hablar de toda la población universitaria.
Población: todos los estudiantes universitarios de la ciudad. Muestra: los \(300\) estudiantes encuestados. Individuo: cada estudiante universitario.
3. Parámetro vs estadístico
Objetivo de aprendizaje
- Diferenciar parámetro y estadístico en situaciones de muestreo.
- Reconocer que un estadístico se calcula con una muestra y se usa para estimar un parámetro poblacional.
Definiciones
Parámetro: valor numérico que describe una característica de toda la población.
Estadístico: valor numérico que se calcula a partir de una muestra.
Diferencia principal
El parámetro pertenece a la población completa, mientras que el estadístico pertenece a la muestra observada.
Como muchas veces no se puede estudiar a toda la población, se calcula un estadístico para estimar el parámetro.
| Concepto | Se obtiene desde | Ejemplo |
|---|---|---|
| Parámetro | Toda la población | Media real de edad de todos los estudiantes del colegio |
| Estadístico | Una muestra | Media de edad de \(80\) estudiantes encuestados |
Ejemplo 1: media poblacional y media muestral
Se quiere conocer la estatura promedio de todos los estudiantes de primero medio de un colegio.
La estatura promedio real de todos los estudiantes de primero medio es un parámetro, porque corresponde a toda la población.
Si se mide a \(40\) estudiantes de primero medio y se calcula su promedio, ese promedio es un estadístico, porque fue obtenido desde una muestra.
El estadístico puede usarse como estimación del parámetro, pero no necesariamente coincide exactamente con él.
Ejemplo 2: proporción poblacional y proporción muestral
Una municipalidad quiere conocer la proporción real de hogares de una comuna que reciclan.
La proporción real de todos los hogares de la comuna que reciclan es un parámetro.
Si se encuesta a \(500\) hogares y \(310\) declaran reciclar, entonces la proporción muestral es:
\[ \frac{310}{500}=0{,}62 \]
Este \(0{,}62\), o \(62\%\), es un estadístico, porque fue calculado con una muestra.
Idea clave
En inferencia estadística, normalmente no conocemos el parámetro. Por eso usamos un estadístico como una aproximación razonable.
Error frecuente
No se debe confundir el valor calculado en una muestra con el valor real de toda la población.
Por ejemplo, si una muestra tiene promedio \(6{,}1\), eso no garantiza que la media poblacional sea exactamente \(6{,}1\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar parámetro y estadístico
Un colegio quiere conocer el promedio real de horas de sueño de todos sus estudiantes. Para ello encuesta a \(90\) estudiantes y obtiene un promedio de \(7{,}3\) horas.
Identifica el parámetro y el estadístico.
El parámetro es el promedio real de horas de sueño de todos los estudiantes del colegio, porque corresponde a toda la población.
El estadístico es el promedio obtenido en la muestra de \(90\) estudiantes, es decir, \(7{,}3\) horas.
Este estadístico puede usarse para estimar el parámetro, pero no necesariamente es igual al promedio real de todo el colegio.
Parámetro: promedio real de toda la población. Estadístico: \(7{,}3\) horas.
Ejercicio 2: proporción muestral
En una ciudad se quiere conocer la proporción real de personas que usan transporte público para ir al trabajo. Se encuesta a \(1\,200\) personas y se obtiene que el \(64\%\) usa transporte público.
Identifica el parámetro y el estadístico.
El parámetro es la proporción real de todas las personas de la ciudad que usan transporte público para ir al trabajo.
El estadístico es el \(64\%\), porque fue calculado a partir de las \(1\,200\) personas encuestadas.
El \(64\%\) permite estimar la proporción poblacional, siempre que la muestra sea adecuada.
Parámetro: proporción real en toda la ciudad. Estadístico: \(64\%\).
Ejercicio 3: completar la interpretación
Una fábrica quiere estimar el peso promedio real de todas las barras de cereal producidas en un día. Selecciona \(100\) barras y obtiene un peso promedio de \(32{,}5\) gramos.
Completa:
- El parámetro corresponde a...
- El estadístico corresponde a...
- El valor \(32{,}5\) gramos se usa para...
El parámetro corresponde al peso promedio real de todas las barras de cereal producidas durante ese día.
El estadístico corresponde al peso promedio calculado con las \(100\) barras seleccionadas.
El valor \(32{,}5\) gramos se usa para estimar el peso promedio real de todas las barras producidas durante el día.
El parámetro es poblacional; el estadístico es muestral.
Ejercicio 4: detectar una confusión
Una muestra de \(60\) estudiantes entrega una nota promedio de \(5{,}9\).
Un estudiante afirma: “El parámetro es \(5{,}9\), porque ese es el promedio que se calculó”.
Explica por qué la afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque el valor \(5{,}9\) fue calculado usando una muestra de \(60\) estudiantes.
Por lo tanto, \(5{,}9\) es un estadístico, no un parámetro.
El parámetro sería la nota promedio real de toda la población que se desea estudiar, por ejemplo todos los estudiantes del nivel o del colegio, según el contexto.
\(5{,}9\) es un estadístico muestral, no el parámetro poblacional.
Ejercicio 5: calcular y clasificar
Una encuesta a \(80\) estudiantes muestra que \(56\) de ellos prefieren recibir retroalimentación escrita en sus evaluaciones.
- Calcula la proporción muestral.
- Indica si esa proporción es un parámetro o un estadístico.
- Explica qué parámetro se podría estimar con ella.
La proporción muestral se calcula dividiendo la cantidad de estudiantes que cumplen la característica por el tamaño de la muestra:
\[ \frac{56}{80}=0{,}7 \]
Como porcentaje, esto corresponde al \(70\%\).
Esta proporción es un estadístico, porque fue calculada con una muestra de \(80\) estudiantes.
Con ella se podría estimar la proporción real de la población de estudiantes que prefiere recibir retroalimentación escrita.
La proporción muestral es \(0{,}7\), es decir, \(70\%\), y corresponde a un estadístico.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una investigación busca estimar la cantidad promedio mensual que gastan en transporte los estudiantes universitarios de una ciudad.
Se encuesta a \(300\) estudiantes y se obtiene un gasto promedio de \(\$42\,500\).
Un informe dice:
“El gasto promedio mensual de los estudiantes universitarios de la ciudad es exactamente \(\$42\,500\)”.
Evalúa la afirmación y reescríbela de forma estadísticamente cuidadosa.
La afirmación no es cuidadosa, porque presenta el promedio muestral como si fuera exactamente el promedio poblacional.
El valor \(\$42\,500\) fue calculado a partir de una muestra de \(300\) estudiantes, por lo tanto es un estadístico.
El parámetro sería el gasto promedio real de todos los estudiantes universitarios de la ciudad.
Una redacción más adecuada sería:
“En la muestra de \(300\) estudiantes universitarios, el gasto promedio mensual en transporte fue de \(\$42\,500\). Este valor puede usarse como una estimación del gasto promedio mensual de los estudiantes universitarios de la ciudad, si la muestra representa adecuadamente a esa población”.
\(\$42\,500\) es una estimación muestral, no necesariamente el valor exacto del parámetro.
4. Censo vs muestra
Objetivo de aprendizaje
- Distinguir entre censo y muestra en situaciones estadísticas.
- Evaluar cuándo conviene estudiar a toda una población y cuándo conviene seleccionar una muestra.
Definiciones
Censo: estudio en el que se recopila información de todos los individuos de la población.
Muestra: estudio en el que se recopila información solo de una parte de la población.
Diferencia principal
En un censo se intenta observar a toda la población. En cambio, en una muestra se observa solo una parte de ella para obtener una estimación o una conclusión razonable.
La elección entre censo y muestra depende del tamaño de la población, el tiempo disponible, el costo, la dificultad de medición y el propósito del estudio.
| Aspecto | Censo | Muestra |
|---|---|---|
| Individuos estudiados | Todos los de la población | Solo una parte de la población |
| Tiempo y costo | Generalmente mayor | Generalmente menor |
| Uso conveniente | Poblaciones pequeñas o cuando se necesita información completa | Poblaciones grandes o difíciles de medir por completo |
| Tipo de resultado | Describe directamente a la población estudiada | Entrega una estimación de la población |
Ejemplo 1: conviene hacer un censo
Un profesor quiere saber cuántos estudiantes de su curso tienen calculadora científica.
Como el curso tiene \(36\) estudiantes, puede preguntarles a todos.
En este caso conviene hacer un censo, porque la población es pequeña y es posible obtener información de todos sus integrantes.
Ejemplo 2: conviene usar una muestra
Una empresa quiere estimar la opinión de los clientes de todo Chile sobre un nuevo producto.
Como sería muy costoso y lento preguntar a todos los clientes, puede seleccionar una muestra bien diseñada.
En este caso conviene usar una muestra, porque la población es grande y difícil de estudiar completamente.
Error frecuente
No siempre un censo es más fácil o más confiable. Si la población es muy grande, puede ser caro, lento y difícil de organizar.
Además, un censo también puede tener errores si algunas personas no responden, si se registran mal los datos o si la población cambia durante el proceso.
Idea clave
Una muestra bien seleccionada puede entregar información útil sobre una población, pero sus resultados deben interpretarse como estimaciones.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer un censo
La directiva de un curso pregunta a todos los estudiantes del curso si prefieren realizar la convivencia el viernes o el lunes.
¿Se trata de un censo o de una muestra? Justifica.
Se trata de un censo, porque se preguntó a todos los estudiantes del curso.
La población de interés es el curso completo, y todos sus integrantes fueron consultados.
No se seleccionó solo una parte de la población.
Es un censo.
Ejercicio 2: reconocer una muestra
Una municipalidad quiere conocer la opinión de los habitantes de una comuna sobre el transporte público. Para ello encuesta a \(800\) personas.
¿Se trata de un censo o de una muestra? Justifica.
Se trata de una muestra, porque no se encuestó a todos los habitantes de la comuna.
Solo se observó una parte de la población: las \(800\) personas encuestadas.
Con esa información se podría estimar la opinión de la comuna, siempre que la muestra sea adecuada.
Es una muestra.
Ejercicio 3: decidir qué conviene
Decide si conviene realizar un censo o usar una muestra en cada situación. Justifica brevemente.
- Conocer la estatura de todos los jugadores de un equipo de básquetbol de \(12\) integrantes.
- Estimar la cantidad promedio de horas de sueño de los estudiantes de enseñanza media de una región.
En la primera situación conviene un censo, porque la población es pequeña. Medir a \(12\) jugadores es posible y entrega la información completa.
En la segunda situación conviene usar una muestra, porque la población es muy grande. Medir a todos los estudiantes de enseñanza media de una región requeriría mucho tiempo y recursos.
La muestra debería seleccionarse cuidadosamente para representar a la población.
1: censo. 2: muestra.
Ejercicio 4: analizar ventajas y limitaciones
Un colegio quiere saber qué porcentaje de sus \(950\) estudiantes almuerza en el casino. Se proponen dos opciones:
- Preguntar a los \(950\) estudiantes.
- Encuestar a \(120\) estudiantes seleccionados de distintos cursos.
Indica cuál opción corresponde a un censo y cuál corresponde a una muestra. Luego menciona una ventaja de cada opción.
La primera opción corresponde a un censo, porque incluye a todos los estudiantes del colegio.
Una ventaja del censo es que entrega información directa de toda la población, siempre que todos respondan correctamente.
La segunda opción corresponde a una muestra, porque considera solo a \(120\) estudiantes.
Una ventaja de la muestra es que requiere menos tiempo y esfuerzo, aunque debe seleccionarse bien para representar a todo el colegio.
Opción 1: censo. Opción 2: muestra.
Ejercicio 5: detectar una conclusión exagerada
Una tienda encuesta a \(60\) clientes durante una mañana y obtiene que el \(75\%\) está satisfecho con la atención.
Luego publica:
“El \(75\%\) de todos nuestros clientes está satisfecho con la atención”.
¿Qué problema tiene esta conclusión? Reescríbela de forma más cuidadosa.
El problema es que la tienda encuestó solo a una muestra de \(60\) clientes, no a todos sus clientes.
Además, la muestra se tomó durante una mañana, por lo que podría no representar a quienes compran en otros horarios o días.
Una redacción más cuidadosa sería:
“En la muestra de \(60\) clientes encuestados durante una mañana, el \(75\%\) declaró estar satisfecho con la atención”.
Si la muestra fuera representativa, ese porcentaje podría usarse como estimación de la satisfacción de todos los clientes.
La afirmación original presenta una estimación muestral como si fuera un dato exacto de toda la población.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un investigador quiere estimar la proporción de estudiantes de enseñanza media de una ciudad que estudian más de \(10\) horas a la semana.
Considera dos planes:
- Hacer un censo a todos los estudiantes de enseñanza media de la ciudad.
- Seleccionar una muestra aleatoria de estudiantes de distintos colegios, niveles y sectores de la ciudad.
Explica cuál plan parece más práctico y qué cuidado debe tenerse si se usa una muestra.
El censo entregaría información de toda la población, pero probablemente sería poco práctico, porque la población es grande y requeriría mucho tiempo, coordinación y recursos.
El plan de usar una muestra aleatoria parece más práctico, especialmente si incluye estudiantes de distintos colegios, niveles y sectores de la ciudad.
El cuidado principal es que la muestra sea representativa de la población. No debería concentrarse solo en un colegio, un nivel o un grupo específico.
También se debe interpretar el resultado como una estimación, no como el valor exacto de toda la ciudad.
El plan más práctico es usar una muestra bien diseñada y representativa.
5. Muestra aleatoria
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué significa seleccionar una muestra aleatoria.
- Reconocer la importancia del azar para reducir favoritismos o sesgos en la selección de una muestra.
¿Qué es una muestra aleatoria?
Una muestra es aleatoria cuando sus integrantes se seleccionan mediante un procedimiento basado en el azar.
En una muestra aleatoria simple, todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.
Muestra aleatoria simple
Si una población tiene \(N\) individuos y se quiere seleccionar una muestra de tamaño \(n\), una muestra aleatoria simple busca que cada individuo tenga la misma posibilidad de ser incluido.
Por ejemplo, si hay \(200\) estudiantes y se eligen \(20\) al azar, cada estudiante debería tener la misma oportunidad de formar parte de la muestra.
Idea clave
El azar ayuda a evitar que la persona que toma la muestra elija solo a quienes le parecen más cercanos, disponibles o convenientes.
Una muestra aleatoria no garantiza una representación perfecta, pero suele ser un mejor punto de partida que una selección hecha por comodidad.
Ejemplo 1: selección con números al azar
Un colegio tiene \(300\) estudiantes de primero medio y se quiere elegir una muestra de \(30\).
Un procedimiento adecuado sería:
- Asignar un número del \(1\) al \(300\) a cada estudiante.
- Usar un sorteo o generador de números aleatorios.
- Seleccionar \(30\) números distintos.
Así, cada estudiante tiene la misma posibilidad de ser elegido.
Ejemplo 2: selección que no es aleatoria
Una profesora quiere conocer la opinión de su curso sobre una actividad y pregunta solo a quienes están sentados en la primera fila.
Esta no es una muestra aleatoria, porque los estudiantes no fueron seleccionados mediante azar.
Además, quienes se sientan en la primera fila podrían tener características distintas al resto del curso.
Error frecuente
No basta con decir “elegí a algunos al azar” si no hubo un procedimiento claro de selección aleatoria.
Escoger a quienes están más cerca, responden primero o parecen más disponibles normalmente corresponde a una muestra por conveniencia, no a una muestra aleatoria.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una muestra aleatoria
Un curso tiene \(40\) estudiantes. Para elegir una muestra de \(8\), se escriben los nombres de todos en papeles iguales, se mezclan y se extraen \(8\) papeles sin mirar.
¿Este procedimiento permite obtener una muestra aleatoria? Justifica.
Sí, el procedimiento permite obtener una muestra aleatoria.
Todos los estudiantes fueron incluidos en el sorteo y los papeles se extrajeron sin mirar.
Por lo tanto, cada estudiante tenía la misma posibilidad de ser seleccionado.
Sí es una muestra aleatoria, porque la selección se hizo mediante azar.
Ejercicio 2: detectar una selección no aleatoria
Un profesor quiere seleccionar \(10\) estudiantes de un curso de \(45\). Para hacerlo, elige a los \(10\) estudiantes que terminaron primero una actividad.
¿La muestra es aleatoria? Explica.
No, la muestra no es aleatoria.
Los estudiantes fueron seleccionados por haber terminado primero una actividad, no mediante azar.
Ese criterio puede favorecer a estudiantes más rápidos, más seguros o con mayor dominio del contenido.
No es aleatoria; es una selección basada en una característica del grupo.
Ejercicio 3: proponer un procedimiento aleatorio
Un colegio tiene \(520\) estudiantes de enseñanza media. Se quiere seleccionar una muestra aleatoria simple de \(52\) estudiantes.
Describe un procedimiento adecuado para seleccionar la muestra.
Un procedimiento adecuado sería numerar a todos los estudiantes de enseñanza media desde \(1\) hasta \(520\).
Luego se puede usar un generador de números aleatorios o un sorteo para seleccionar \(52\) números distintos.
Los estudiantes asociados a esos números formarían la muestra.
Este procedimiento es adecuado porque todos los estudiantes tienen la misma posibilidad de ser seleccionados.
Numerar a los \(520\) estudiantes y sortear \(52\) números distintos es un procedimiento aleatorio adecuado.
Ejercicio 4: comparar procedimientos
Se quiere estimar la opinión de los estudiantes de un colegio sobre el uso de uniforme. Se proponen dos procedimientos:
- Encuestar a los primeros \(100\) estudiantes que entran al colegio en la mañana.
- Numerar a todos los estudiantes del colegio y seleccionar \(100\) números al azar.
¿Cuál procedimiento es más adecuado para obtener una muestra aleatoria? Justifica.
El procedimiento más adecuado es el segundo.
Al numerar a todos los estudiantes y seleccionar \(100\) números al azar, todos tienen la posibilidad de ser incluidos en la muestra.
El primer procedimiento no es aleatorio, porque solo considera a quienes entran primero al colegio. Ese grupo podría no representar a todos los estudiantes.
El procedimiento 2 es más adecuado para obtener una muestra aleatoria.
Ejercicio 5: analizar probabilidad de selección
En una población de \(250\) personas se selecciona una muestra aleatoria simple de \(25\) personas.
- ¿Todas las personas tienen la misma posibilidad de ser seleccionadas?
- ¿Qué fracción de la población será seleccionada?
- Expresa esa fracción como porcentaje.
Como la muestra es aleatoria simple, todas las personas tienen la misma posibilidad de ser seleccionadas.
La fracción seleccionada es:
\[ \frac{25}{250} \]
Simplificando:
\[ \frac{25}{250}=\frac{1}{10}=0{,}1 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}1=10\% \]
Se selecciona el \(10\%\) de la población.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una encuesta busca estimar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de un colegio dedican a redes sociales durante un día.
Para seleccionar la muestra, se publica un formulario en el Instagram del centro de estudiantes y responden \(180\) estudiantes.
Un estudiante afirma: “Como respondieron muchas personas, la muestra es aleatoria”.
Evalúa la afirmación y propone una mejora al procedimiento.
La afirmación no es correcta. Que respondan muchas personas no significa que la muestra sea aleatoria.
En este caso, responden quienes vieron el formulario en Instagram y decidieron participar voluntariamente.
Esto puede dejar fuera a estudiantes que no usan Instagram, que no siguen al centro de estudiantes o que no quisieron responder.
Una mejora sería construir una lista con todos los estudiantes del colegio, numerarlos y seleccionar una cantidad determinada mediante sorteo o generador de números aleatorios.
Luego se debería contactar a los estudiantes seleccionados, no solo esperar respuestas voluntarias.
La muestra no es aleatoria; una mejora sería seleccionar estudiantes al azar desde una lista completa de la población.
6. Muestras sesgadas
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer cuándo una muestra puede estar sesgada.
- Analizar cómo un sesgo en la selección puede afectar la validez de una conclusión estadística.
Definición
Una muestra está sesgada cuando el procedimiento de selección favorece a ciertos grupos de la población o deja fuera a otros de manera sistemática.
En una muestra sesgada, algunos individuos tienen más posibilidad de ser incluidos que otros, por razones que pueden afectar los resultados.
¿Por qué importa el sesgo?
Si una muestra está sesgada, el estadístico calculado puede alejarse del verdadero valor de la población.
Por eso, una muestra grande no siempre garantiza una buena conclusión. Si la selección está mal hecha, el resultado puede seguir siendo poco representativo.
Tipos frecuentes de sesgo
- Sesgo de conveniencia: se elige a quienes son más fáciles de contactar.
- Sesgo de respuesta voluntaria: responden principalmente quienes tienen más interés en el tema.
- Sesgo de cobertura: una parte de la población no tiene posibilidad real de ser incluida.
- Sesgo de no respuesta: muchas personas seleccionadas no responden, y sus características podrían ser distintas de quienes sí responden.
Ejemplo 1: sesgo de conveniencia
Un estudiante quiere conocer la opinión del colegio sobre extender el horario de recreo.
Para ello, encuesta solo a sus amigos durante el recreo.
La muestra puede estar sesgada, porque sus amigos no necesariamente representan a todos los estudiantes del colegio.
Además, al preguntar durante el recreo, podría favorecer respuestas de estudiantes que valoran mucho ese momento.
Ejemplo 2: respuesta voluntaria
Una tienda publica en redes sociales una encuesta sobre satisfacción de clientes.
Responden principalmente personas que siguen la cuenta y que tienen interés en opinar.
La muestra puede estar sesgada, porque no incluye necesariamente a todos los tipos de clientes de la tienda.
Error frecuente
Creer que una muestra grande siempre es representativa es un error.
Una muestra de \(1\,000\) personas puede estar sesgada si todas fueron elegidas desde el mismo grupo, lugar, horario o plataforma.
Idea clave
Para evaluar una muestra, no basta con mirar cuántos datos tiene. También hay que analizar cómo fueron seleccionados.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer sesgo de conveniencia
Un estudiante quiere saber si sus compañeros prefieren realizar una prueba el lunes o el viernes.
Para decidir, pregunta solo a los estudiantes que están sentados cerca de él.
¿La muestra podría estar sesgada? Justifica.
Sí, la muestra podría estar sesgada.
El estudiante eligió a quienes estaban cerca de él, no a una muestra seleccionada mediante un procedimiento aleatorio o representativo.
Es posible que ese grupo no refleje la opinión de todo el curso.
La muestra presenta sesgo de conveniencia.
Ejercicio 2: muestra en redes sociales
Un centro de estudiantes publica una encuesta en Instagram para saber si los estudiantes quieren una jornada deportiva. Responden \(230\) estudiantes.
Explica por qué la muestra podría estar sesgada, aunque tenga muchas respuestas.
La muestra podría estar sesgada porque solo responden quienes vieron la encuesta en Instagram y decidieron participar.
Quedan fuera estudiantes que no usan Instagram, no siguen la cuenta o no quisieron responder.
Además, quienes tienen una opinión fuerte sobre la jornada deportiva podrían estar más motivados a contestar.
Puede haber sesgo de respuesta voluntaria y sesgo de cobertura.
Ejercicio 3: identificar el grupo excluido
Una municipalidad quiere estimar la opinión de los habitantes de una comuna sobre el transporte público.
Para ello, encuesta solo a personas que suben al bus entre las \(7:00\) y las \(8:00\) de la mañana.
¿Qué grupos podrían quedar fuera o estar poco representados?
Podrían quedar fuera personas que no usan bus, personas que viajan en otros horarios, quienes caminan, usan metro, bicicleta, auto o trabajan desde casa.
También podrían estar poco representadas personas mayores, estudiantes con otros horarios o trabajadores con turnos distintos.
Por eso, la muestra no representa necesariamente a todos los habitantes de la comuna.
La muestra tiene posible sesgo de cobertura y de horario.
Ejercicio 4: evaluar una conclusión
Un gimnasio encuesta a \(300\) personas que asisten a sus instalaciones y obtiene que el \(92\%\) realiza actividad física al menos tres veces por semana.
Luego concluye:
“El \(92\%\) de los habitantes de la comuna realiza actividad física al menos tres veces por semana”.
¿La conclusión es válida? Justifica.
La conclusión no es válida para toda la comuna.
La muestra está formada por personas que asisten a un gimnasio, por lo que probablemente realizan más actividad física que el promedio de la población.
El \(92\%\) describe a la muestra encuestada, pero no puede extenderse directamente a todos los habitantes de la comuna.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“Entre las \(300\) personas encuestadas en el gimnasio, el \(92\%\) declaró realizar actividad física al menos tres veces por semana”.
No es válida para toda la comuna, porque la muestra está sesgada.
Ejercicio 5: comparar dos muestras
Se quiere estimar la proporción de estudiantes de enseñanza media de un colegio que desayunan antes de clases.
Se proponen dos muestras:
- Encuestar a \(100\) estudiantes elegidos al azar desde la lista completa de enseñanza media.
- Encuestar a \(150\) estudiantes que llegan temprano al colegio y están en el casino.
¿Cuál muestra parece menos sesgada? Justifica.
La primera muestra parece menos sesgada, porque los estudiantes se eligen al azar desde la lista completa de enseñanza media.
La segunda muestra tiene más estudiantes, pero solo incluye a quienes llegan temprano y están en el casino.
Ese grupo podría tener hábitos de desayuno distintos del resto, por ejemplo porque llega con más tiempo o compra comida en el colegio.
Por lo tanto, un mayor tamaño muestral no garantiza menor sesgo.
La muestra 1 parece menos sesgada.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una investigación quiere estimar la proporción de estudiantes de una ciudad que usan aplicaciones educativas para estudiar.
Para recolectar datos, se envía una encuesta por correo electrónico a \(2\,000\) estudiantes seleccionados desde registros escolares. Responden \(420\).
Un informe afirma:
“Como se contactó a \(2\,000\) estudiantes, la muestra representa bien a todos los estudiantes de la ciudad”.
Evalúa la afirmación e identifica un posible sesgo.
La afirmación no es necesariamente correcta.
Aunque se contactó a \(2\,000\) estudiantes, solo respondieron \(420\). Por lo tanto, la información real proviene de quienes respondieron.
Puede existir sesgo de no respuesta, porque quienes contestaron podrían tener más interés en el tema, revisar más su correo o usar más herramientas digitales.
También podría haber sesgo de cobertura si algunos estudiantes no tienen acceso frecuente al correo electrónico.
Una conclusión más cuidadosa debería mencionar que los resultados describen a quienes respondieron y que se debe evaluar si ellos representan a toda la población.
Hay posible sesgo de no respuesta y posible sesgo de cobertura.
7. Tamaño muestral y representatividad
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la diferencia entre tamaño muestral y representatividad.
- Analizar por qué una muestra grande no siempre garantiza conclusiones válidas sobre una población.
Tamaño muestral
El tamaño muestral corresponde a la cantidad de individuos incluidos en una muestra. Se suele representar con la letra \(n\).
Por ejemplo, si se encuesta a \(150\) estudiantes, entonces el tamaño muestral es:
\[ n=150 \]
Representatividad
Una muestra es representativa cuando refleja de manera razonable las características importantes de la población que se quiere estudiar.
La representatividad no depende solo de cuántos individuos tiene la muestra, sino también de cómo fueron seleccionados.
Diferencia principal
El tamaño muestral responde a la pregunta: ¿cuántos individuos fueron observados?
La representatividad responde a la pregunta: ¿la muestra refleja adecuadamente a la población?
Una muestra puede ser grande y aun así ser poco representativa si fue seleccionada desde un grupo limitado o sesgado.
Ejemplo 1: muestra pequeña, pero bien seleccionada
Un colegio quiere conocer la opinión de sus estudiantes de enseñanza media sobre el uso del celular en clases.
Selecciona aleatoriamente a \(80\) estudiantes desde todos los niveles de enseñanza media.
Aunque \(80\) no es una cantidad enorme, la muestra puede ser útil si incluye estudiantes de distintos cursos y fue seleccionada adecuadamente.
Ejemplo 2: muestra grande, pero poco representativa
El mismo colegio encuesta a \(250\) estudiantes, pero todos son de cuarto medio.
Aunque el tamaño muestral es mayor, la muestra puede no representar bien a toda la enseñanza media.
Los estudiantes de primero, segundo y tercero medio podrían tener opiniones distintas.
| Situación | Tamaño muestral | Representatividad |
|---|---|---|
| \(80\) estudiantes elegidos al azar desde todos los niveles | Menor | Puede ser más representativa |
| \(250\) estudiantes elegidos solo de cuarto medio | Mayor | Puede ser menos representativa |
Error frecuente
No basta con decir “la muestra es grande”. También hay que preguntar de dónde viene la muestra, cómo fue seleccionada y qué grupos podrían haber quedado fuera.
Idea clave
Una muestra más grande puede mejorar la precisión de una estimación si está bien seleccionada.
Pero si la muestra está sesgada, aumentar su tamaño no corrige necesariamente el problema.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar tamaño muestral
Una encuesta se aplica a \(180\) estudiantes de un colegio para conocer su opinión sobre las actividades extraprogramáticas.
¿Cuál es el tamaño muestral?
El tamaño muestral corresponde a la cantidad de individuos incluidos en la muestra.
En este caso, se encuestó a \(180\) estudiantes.
Por lo tanto:
\[ n=180 \]
El tamaño muestral es \(180\).
Ejercicio 2: reconocer representatividad
Un colegio quiere conocer la opinión de todos sus estudiantes sobre el horario de entrada.
Para ello encuesta a \(100\) estudiantes elegidos al azar desde todos los cursos.
¿La muestra parece representativa? Justifica.
La muestra parece razonablemente representativa, porque los estudiantes fueron elegidos al azar desde todos los cursos.
Esto aumenta la posibilidad de incluir distintas edades, niveles y opiniones dentro del colegio.
De todos modos, el resultado debe interpretarse como una estimación, no como una verdad exacta.
Sí, parece representativa si la selección aleatoria se realizó correctamente.
Ejercicio 3: muestra grande con problema
Se quiere estimar la opinión de los estudiantes de enseñanza media de un colegio sobre la cantidad de tareas.
Se encuesta a \(220\) estudiantes, pero todos pertenecen a primero medio.
¿El tamaño muestral asegura representatividad? Explica.
No, el tamaño muestral por sí solo no asegura representatividad.
Aunque \(220\) estudiantes es una cantidad grande, todos pertenecen a primero medio.
La población de interés son los estudiantes de enseñanza media del colegio, por lo que deberían estar representados también segundo, tercero y cuarto medio.
Los niveles superiores podrían tener una carga de tareas distinta.
La muestra es grande, pero puede ser poco representativa.
Ejercicio 4: comparar dos muestras
Se quiere estimar el tiempo promedio que tardan los estudiantes de enseñanza media de un colegio en llegar a clases.
Se proponen dos muestras:
- \(120\) estudiantes seleccionados al azar entre todos los cursos de enseñanza media.
- \(200\) estudiantes seleccionados solo entre quienes llegan en transporte escolar.
¿Cuál muestra parece más representativa? Justifica.
La primera muestra parece más representativa, porque incluye estudiantes seleccionados al azar desde todos los cursos de enseñanza media.
La segunda muestra tiene mayor tamaño, pero solo considera a quienes llegan en transporte escolar.
Ese grupo podría tener tiempos de traslado distintos a quienes caminan, usan transporte público, bicicleta o auto particular.
Por lo tanto, una muestra más grande no necesariamente es mejor si no representa bien a la población.
La muestra 1 parece más representativa.
Ejercicio 5: analizar tamaño y sesgo
Una tienda quiere estimar la satisfacción de sus clientes. Para ello encuesta a \(500\) personas que compraron durante una liquidación de fin de semana.
Luego concluye que los resultados representan a todos sus clientes habituales.
¿Qué problema podría tener esta conclusión?
El problema es que la muestra fue tomada solo durante una liquidación de fin de semana.
Los clientes que compran en liquidación podrían tener características distintas a los clientes habituales: buscan descuentos, compran en ciertos horarios o tienen expectativas distintas.
Aunque el tamaño muestral es grande, la selección puede no representar a todos los clientes de la tienda.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“Los resultados describen a los \(500\) clientes encuestados durante la liquidación de fin de semana”.
La muestra es grande, pero puede estar sesgada y no representar a todos los clientes habituales.
Ejercicio 6: calcular porcentaje de muestra
Un colegio tiene \(1\,200\) estudiantes. Se selecciona una muestra de \(180\) estudiantes para responder una encuesta.
- ¿Cuál es el tamaño muestral?
- ¿Qué porcentaje de la población fue seleccionado?
- ¿Ese porcentaje garantiza que la muestra sea representativa?
El tamaño muestral es la cantidad de estudiantes seleccionados:
\[ n=180 \]
Para calcular el porcentaje de la población seleccionado:
\[ \frac{180}{1200}=0{,}15 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}15=15\% \]
Ese porcentaje no garantiza por sí solo que la muestra sea representativa.
También importa cómo fueron seleccionados los \(180\) estudiantes.
Se seleccionó el \(15\%\) de la población, pero la representatividad depende del procedimiento de selección.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una investigación quiere estimar la proporción de estudiantes de enseñanza media de una ciudad que trabajan además de estudiar.
Se comparan dos diseños:
- Encuestar a \(900\) estudiantes de un solo colegio técnico profesional nocturno.
- Encuestar a \(500\) estudiantes seleccionados aleatoriamente desde colegios científico-humanistas, técnico-profesionales, diurnos y nocturnos de distintos sectores de la ciudad.
¿Cuál diseño parece más adecuado para representar a la población? Justifica.
El segundo diseño parece más adecuado para representar a la población.
Aunque tiene un tamaño muestral menor que el primero, incluye estudiantes de distintos tipos de colegios, jornadas y sectores de la ciudad.
El primer diseño tiene \(900\) estudiantes, pero todos pertenecen a un solo colegio técnico profesional nocturno. Ese grupo podría tener una proporción de estudiantes trabajadores muy distinta a la de la población completa.
Por eso, el segundo diseño tiene mejores condiciones de representatividad.
El diseño 2 parece más representativo, aunque tenga menor tamaño muestral.
8. Variabilidad entre muestras y error muestral: idea inicial
Variabilidad entre muestras y error muestral: idea inicial
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que distintas muestras de una misma población pueden producir distintos resultados.
- Interpretar el error muestral como la diferencia entre un estadístico muestral y el parámetro poblacional que se desea estimar, cuando ese parámetro es conocido.
- Reconocer que la variabilidad entre muestras es una razón importante para interpretar las estimaciones con cuidado.
Variabilidad entre muestras
Si se toman varias muestras de una misma población, es normal que sus medias o proporciones no sean exactamente iguales.
Esto ocurre porque cada muestra puede contener individuos distintos. Por eso, los estadísticos calculados a partir de ellas pueden variar.
Esta variación no significa necesariamente que haya un error de cálculo. Es parte natural del trabajo con muestras.
Error muestral como idea inicial
El error muestral es la diferencia entre un estadístico calculado en una muestra y el parámetro real de la población.
Si se estima una media poblacional \(\mu\) usando una media muestral \(\bar{x}\), el error muestral puede expresarse como:
\[ \bar{x}-\mu \]
Si interesa solo la distancia entre la estimación y el parámetro, se usa el valor absoluto:
\[ |\bar{x}-\mu| \]
Esta idea ayuda a comprender que una estimación puede quedar por encima o por debajo del valor real de la población.
Atención
En la práctica, muchas veces el parámetro poblacional no se conoce. Por eso, no siempre se puede calcular exactamente el error muestral.
En este libro usaremos algunos casos donde el parámetro se entrega para comprender la idea. Más adelante se estudiará cómo cuantificar la incertidumbre cuando el parámetro no se conoce.
Ejemplo 1: error muestral en una media
Supongamos que la media real de horas de sueño de una población es:
\[ \mu=7{,}0 \]
Una muestra entrega una media muestral de:
\[ \bar{x}=7{,}3 \]
Calculamos el error muestral:
\[ \bar{x}-\mu=7{,}3-7{,}0=0{,}3 \]
Esto significa que la media de la muestra quedó \(0{,}3\) horas por sobre la media real de la población.
La distancia entre la estimación y el parámetro es:
\[ |\bar{x}-\mu|=|0{,}3|=0{,}3 \]
Ejemplo 2: distintas muestras, distintos resultados
Se toman tres muestras aleatorias de estudiantes de una misma población y se calcula el promedio de horas de estudio semanal.
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| Muestra 1 | \(5{,}8\) horas |
| Muestra 2 | \(6{,}1\) horas |
| Muestra 3 | \(5{,}6\) horas |
El siguiente gráfico permite visualizar la variabilidad entre las medias muestrales:
Las medias son diferentes porque las muestras no contienen exactamente a los mismos estudiantes.
Esto muestra que una media muestral es una estimación que puede cambiar de una muestra a otra.
Idea clave
La variabilidad entre muestras es una razón importante para no interpretar una estimación muestral como si fuera una verdad exacta.
Una muestra puede entregar una buena aproximación, pero siempre debe interpretarse con cuidado.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular error muestral
La media real de edad de una población es \(\mu=16{,}4\) años.
Una muestra entrega una media muestral de \(\bar{x}=16{,}7\) años.
Calcula el error muestral e interpreta el resultado.
Usamos la expresión:
\[ \bar{x}-\mu \]
Reemplazamos:
\[ 16{,}7-16{,}4=0{,}3 \]
El error muestral es \(0{,}3\) años.
Como el resultado es positivo, la media muestral quedó por encima de la media real de la población.
El error muestral es \(0{,}3\) años; la muestra sobreestimó la media poblacional en \(0{,}3\) años.
Ejercicio 2: error negativo
La media real de puntaje de una población es \(\mu=68\) puntos.
Una muestra entrega una media muestral de \(\bar{x}=65\) puntos.
Calcula el error muestral e interpreta su signo.
Calculamos:
\[ \bar{x}-\mu=65-68=-3 \]
El error muestral es \(-3\) puntos.
El signo negativo indica que la media muestral quedó bajo la media real de la población.
La distancia entre la estimación y el parámetro es:
\[ |-3|=3 \]
El error muestral es \(-3\) puntos; la muestra subestimó la media poblacional en \(3\) puntos.
Ejercicio 3: distancia entre estimación y parámetro
La proporción real de hogares de una comuna que reciclan es \(p=0{,}58\).
Una muestra entrega una proporción muestral de \(\hat{p}=0{,}62\).
- Calcula \(\hat{p}-p\).
- Calcula \(|\hat{p}-p|\).
- Interpreta ambos resultados.
Calculamos la diferencia:
\[ \hat{p}-p=0{,}62-0{,}58=0{,}04 \]
Ahora calculamos la distancia:
\[ |\hat{p}-p|=|0{,}04|=0{,}04 \]
La diferencia positiva indica que la proporción muestral quedó por sobre la proporción real.
La distancia \(0{,}04\) equivale a \(4\) puntos porcentuales.
La muestra sobreestimó la proporción poblacional en \(0{,}04\), es decir, en \(4\) puntos porcentuales.
Ejercicio 4: comparar varias muestras
La media real de horas de lectura semanal de una población es \(\mu=4{,}5\) horas.
Se toman tres muestras y se obtienen las siguientes medias:
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| Muestra A | \(4{,}7\) |
| Muestra B | \(4{,}1\) |
| Muestra C | \(4{,}6\) |
Calcula el error muestral de cada muestra usando \(\bar{x}-\mu\).
Para la Muestra A:
\[ 4{,}7-4{,}5=0{,}2 \]
La Muestra A sobreestima la media en \(0{,}2\) horas.
Para la Muestra B:
\[ 4{,}1-4{,}5=-0{,}4 \]
La Muestra B subestima la media en \(0{,}4\) horas.
Para la Muestra C:
\[ 4{,}6-4{,}5=0{,}1 \]
La Muestra C sobreestima la media en \(0{,}1\) horas.
Errores: A \(=0{,}2\), B \(=-0{,}4\), C \(=0{,}1\).
Ejercicio 5: interpretar variabilidad entre muestras
Dos muestras aleatorias de una misma población entregan medias distintas:
\[ \bar{x}_1=12{,}8,\qquad \bar{x}_2=13{,}1 \]
Un estudiante afirma: “Una de las dos muestras debe estar mal, porque ambas deberían dar el mismo promedio”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque dos muestras distintas pueden contener individuos diferentes.
Por eso, sus medias muestrales no tienen por qué coincidir exactamente.
Esta diferencia puede deberse a la variabilidad natural entre muestras, no necesariamente a un error de cálculo.
Ambas muestras podrían estar bien tomadas y aun así entregar resultados distintos.
Las medias pueden diferir porque cada muestra contiene datos distintos.
Ejercicio 6: analizar una estimación
Una muestra de \(100\) estudiantes entrega una media de \(6{,}8\) horas de sueño.
Otra muestra de \(100\) estudiantes de la misma población entrega una media de \(7{,}1\) horas.
¿Cuál de las dos medias es la media real de la población? Justifica.
No podemos saber cuál es la media real de la población solo con esos datos.
Las dos medias son estadísticas muestrales, porque fueron calculadas desde muestras.
La media real de la población podría coincidir con una de ellas, estar entre ambas o incluso ser otro valor cercano.
Lo importante es reconocer que ambas son estimaciones y que pueden variar entre muestras.
Ninguna puede afirmarse automáticamente como la media real; ambas son estimaciones muestrales.
Ejercicio 7: caso desafiante
La media real de gasto mensual en transporte de una población es:
\[ \mu=\$38\,000 \]
Se toman cuatro muestras y se obtienen las siguientes medias muestrales:
| Muestra | Media muestral |
|---|---|
| A | \(\$39\,500\) |
| B | \(\$36\,800\) |
| C | \(\$38\,200\) |
| D | \(\$40\,100\) |
- Calcula el error muestral de cada muestra.
- Indica cuál muestra tuvo menor distancia respecto del parámetro.
- Explica por qué las medias no son iguales entre sí.
Calculamos el error muestral usando \(\bar{x}-\mu\).
Muestra A:
\[ 39\,500-38\,000=1\,500 \]
Muestra B:
\[ 36\,800-38\,000=-1\,200 \]
Muestra C:
\[ 38\,200-38\,000=200 \]
Muestra D:
\[ 40\,100-38\,000=2\,100 \]
Ahora comparamos las distancias:
\[ |1\,500|=1\,500,\quad |-1\,200|=1\,200,\quad |200|=200,\quad |2\,100|=2\,100 \]
La menor distancia corresponde a la Muestra C, con \(200\) pesos de diferencia respecto de la media poblacional.
Las medias no son iguales porque cada muestra puede contener personas distintas. Esa variación es parte natural del muestreo.
Errores: A \(=1\,500\), B \(=-1\,200\), C \(=200\), D \(=2\,100\). La muestra C fue la más cercana al parámetro.
9. Estimación puntual como primera aproximación
Estimación puntual como primera aproximación
Objetivo de aprendizaje
- Calcular e interpretar una media muestral como primera aproximación de una media poblacional.
- Calcular e interpretar una proporción muestral como primera aproximación de una proporción poblacional.
- Reconocer que una estimación puntual entrega un solo valor, pero no mide por sí sola la incertidumbre de la estimación.
¿Qué es una estimación puntual?
Una estimación puntual es un único valor calculado a partir de una muestra, que se usa para aproximar un parámetro de la población.
Se llama “puntual” porque entrega un solo número.
Por ejemplo, si no conocemos la media real de horas de estudio de todos los estudiantes de un colegio, podemos tomar una muestra y usar su media como una primera aproximación.
Media muestral
La media muestral se representa por \(\bar{x}\) y se calcula sumando todos los datos de la muestra y dividiendo por el tamaño muestral \(n\):
\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \]
La media muestral \(\bar{x}\) se usa como estimación puntual de la media poblacional \(\mu\).
Es decir:
\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]
Proporción muestral
La proporción muestral se representa por \(\hat{p}\) y se calcula dividiendo la cantidad de individuos que cumplen cierta característica por el tamaño de la muestra:
\[ \hat{p}=\frac{x}{n} \]
donde \(x\) es la cantidad de casos favorables y \(n\) es el tamaño muestral.
La proporción muestral \(\hat{p}\) se usa como estimación puntual de la proporción poblacional \(p\).
Es decir:
\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]
Atención
Una estimación puntual entrega un solo valor, pero no indica por sí sola qué tan cerca está del verdadero parámetro poblacional.
Por eso, debe interpretarse como una aproximación basada en una muestra, no como una verdad exacta.
Más adelante, en inferencia estadística, se estudiará cómo expresar esa incertidumbre usando ideas como margen de error e intervalos de confianza.
Ejemplo 1: estimación puntual de una media
En una muestra de \(5\) estudiantes, las horas de estudio semanal son:
\[ 4,\ 6,\ 5,\ 7,\ 8 \]
El siguiente gráfico muestra los datos de la muestra:
Calculamos la media muestral:
\[ \bar{x}=\frac{4+6+5+7+8}{5} \]
\[ \bar{x}=\frac{30}{5}=6 \]
Entonces, \(6\) horas es una estimación puntual de la media de horas de estudio semanal de la población correspondiente.
La conclusión debe expresarse con cuidado:
“En la muestra, la media fue de \(6\) horas. Si la muestra representa adecuadamente a la población, este valor puede usarse como aproximación de la media poblacional”.
Ejemplo 2: estimación puntual de una proporción
En una muestra de \(80\) estudiantes, \(52\) declaran usar transporte público para llegar al colegio.
La proporción muestral es:
\[ \hat{p}=\frac{52}{80}=0{,}65 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}65=65\% \]
El gráfico representa la distribución observada en la muestra:
Entonces, el \(65\%\) es una estimación puntual de la proporción de estudiantes de la población que usan transporte público.
Esto no significa que exactamente el \(65\%\) de toda la población use transporte público, sino que ese porcentaje muestral puede servir como aproximación si la muestra es adecuada.
Ejemplo 3: qué no responde una estimación puntual
Supongamos que una encuesta a \(100\) estudiantes entrega:
\[ \hat{p}=0{,}72 \]
Esto significa que, en la muestra, el \(72\%\) cumple cierta característica.
Sin embargo, con solo la estimación puntual no sabemos exactamente qué tan cerca está ese \(72\%\) de la proporción real de toda la población.
Por eso, una afirmación cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(72\%\) cumple la característica. Este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional, si la muestra representa adecuadamente a la población”.
Idea clave
La media muestral \(\bar{x}\) estima una media poblacional \(\mu\).
La proporción muestral \(\hat{p}\) estima una proporción poblacional \(p\).
Pero una estimación puntual es solo una primera aproximación: no entrega por sí sola un margen de error ni un intervalo de valores posibles.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular una media muestral
En una muestra de \(6\) estudiantes, las horas de sueño registradas fueron:
\[ 7,\ 8,\ 6,\ 7,\ 9,\ 8 \]
Calcula la media muestral e interprétala como estimación puntual.
Sumamos los datos de la muestra:
\[ 7+8+6+7+9+8=45 \]
Como hay \(6\) estudiantes, dividimos por \(6\):
\[ \bar{x}=\frac{45}{6}=7{,}5 \]
La media muestral es \(7{,}5\) horas.
Este valor puede usarse como estimación puntual de la media de horas de sueño de la población, si la muestra es adecuada.
La media muestral es \(\bar{x}=7{,}5\) horas.
Ejercicio 2: calcular una proporción muestral
En una muestra de \(60\) estudiantes, \(18\) dicen que prefieren estudiar con música.
- Calcula la proporción muestral.
- Exprésala como porcentaje.
- Interpreta el resultado.
La cantidad de estudiantes que cumplen la característica es \(x=18\), y el tamaño muestral es \(n=60\).
Calculamos:
\[ \hat{p}=\frac{18}{60}=0{,}3 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}3=30\% \]
Esto significa que, en la muestra, el \(30\%\) de los estudiantes prefiere estudiar con música.
Si la muestra representa bien a la población, este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}3\), es decir, \(30\%\).
Ejercicio 3: distinguir qué se está estimando
Una encuesta a \(100\) hogares registra que \(72\) tienen conexión a internet fija.
- Calcula la proporción muestral.
- Indica qué parámetro se está estimando.
Calculamos la proporción muestral:
\[ \hat{p}=\frac{72}{100}=0{,}72 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}72=72\% \]
El parámetro que se está estimando es la proporción real de hogares de la población que tienen conexión a internet fija.
Es decir, \(\hat{p}=0{,}72\) se usa como aproximación de \(p\).
La proporción muestral es \(72\%\) y estima la proporción poblacional de hogares con internet fijo.
Ejercicio 4: comparar dos estimaciones puntuales
Dos muestras distintas de estudiantes entregan las siguientes medias de horas de estudio semanal:
| Muestra | Tamaño muestral | Media muestral |
|---|---|---|
| A | \(40\) | \(5{,}8\) |
| B | \(40\) | \(6{,}2\) |
Un estudiante afirma: “Una de las dos estimaciones debe ser falsa, porque no coinciden”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque distintas muestras pueden producir distintos estadísticos.
La muestra A entrega una estimación puntual de \(5{,}8\) horas y la muestra B entrega una estimación puntual de \(6{,}2\) horas.
La diferencia puede deberse a la variabilidad natural entre muestras, ya que cada muestra puede incluir estudiantes distintos.
Eso no significa necesariamente que una estimación sea falsa.
Lo correcto es interpretar ambas como aproximaciones basadas en muestras.
Las estimaciones pueden diferir porque provienen de muestras distintas.
Ejercicio 5: media muestral en contexto
Una muestra de \(8\) personas registra los siguientes gastos diarios en transporte, en pesos:
\[ 1\,200,\ 1\,500,\ 1\,300,\ 1\,800,\ 1\,400,\ 1\,600,\ 1\,500,\ 1\,700 \]
- Calcula la media muestral.
- Interpreta el resultado como estimación puntual.
Sumamos los gastos:
\[ 1\,200+1\,500+1\,300+1\,800+1\,400+1\,600+1\,500+1\,700=12\,000 \]
Como la muestra tiene \(8\) personas:
\[ \bar{x}=\frac{12\,000}{8}=1\,500 \]
La media muestral es \(\$1\,500\).
Este valor puede usarse como estimación puntual del gasto diario promedio en transporte de la población correspondiente, si la muestra fue seleccionada adecuadamente.
La media muestral es \(\$1\,500\).
Ejercicio 6: proporción y conclusión cuidadosa
En una muestra aleatoria de \(250\) estudiantes, \(165\) declaran separar residuos reciclables en sus hogares.
- Calcula la proporción muestral.
- Exprésala como porcentaje.
- Escribe una conclusión estadísticamente cuidadosa.
La cantidad de estudiantes que cumplen la característica es \(x=165\), y el tamaño muestral es \(n=250\).
Calculamos:
\[ \hat{p}=\frac{165}{250}=0{,}66 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}66=66\% \]
Una conclusión cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(66\%\) de los estudiantes declaró separar residuos reciclables en su hogar. Como la muestra fue seleccionada aleatoriamente, este porcentaje puede usarse como estimación puntual de la proporción correspondiente en la población estudiada”.
Esta conclusión es cuidadosa porque no afirma que el \(66\%\) sea exactamente el valor real de toda la población.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}66\), es decir, \(66\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una investigación quiere estimar el promedio mensual de gasto en alimentación de estudiantes universitarios de una ciudad.
Se encuesta a \(50\) estudiantes y se obtiene una media muestral de \(\$96\,000\).
En la misma encuesta, \(34\) estudiantes declaran comprar almuerzo fuera de su casa al menos tres veces por semana.
- Identifica la estimación puntual de la media de gasto mensual.
- Calcula la estimación puntual de la proporción de estudiantes que compran almuerzo fuera de su casa al menos tres veces por semana.
- Explica por qué ambas estimaciones no deben interpretarse como valores exactos de la población.
La estimación puntual de la media de gasto mensual es la media muestral:
\[ \bar{x}=\$96\,000 \]
Ahora calculamos la proporción muestral. Hay \(34\) estudiantes que cumplen la característica en una muestra de \(50\):
\[ \hat{p}=\frac{34}{50}=0{,}68 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}68=68\% \]
Ambos valores son estimaciones puntuales porque fueron calculados desde una muestra, no desde toda la población.
La media real de gasto mensual y la proporción real de estudiantes que compran almuerzo fuera podrían ser distintas.
Además, una estimación puntual no indica por sí sola qué tan cerca está del parámetro real.
Estimaciones: \(\bar{x}=\$96\,000\) y \(\hat{p}=0{,}68\), es decir, \(68\%\).
10. Taller: ¿qué conclusiones son válidas?
Taller: ¿qué conclusiones son válidas?
Objetivo de aprendizaje
- Evaluar la validez de conclusiones estadísticas basadas en muestras.
- Distinguir entre conclusiones descriptivas, inferencias razonables e inferencias no justificadas.
- Redactar conclusiones cuidadosas respetando el alcance real de los datos.
Propósito del taller
En este taller se analiza si una conclusión estadística está justificada según la forma en que se obtuvo la muestra.
El foco está en la validez de la conclusión: población estudiada, representatividad, posible sesgo y alcance de los datos.
Aún no se usarán procedimientos formales como intervalos de confianza, niveles de significancia o pruebas de hipótesis. Esos temas se estudiarán en el libro de inferencia estadística.
Preguntas para evaluar una conclusión
- ¿Cuál es la población sobre la que se quiere concluir?
- ¿La muestra proviene de esa población?
- ¿Cómo fue seleccionada la muestra?
- ¿Hay algún grupo que pudo quedar fuera o estar poco representado?
- ¿La conclusión reconoce que el resultado muestral es una estimación?
Ruta para decidir si una conclusión es válida
Para analizar una conclusión estadística basada en una muestra, se puede seguir esta ruta:
- Leer la conclusión.
- Identificar si habla solo de los datos observados o si intenta hablar de una población mayor.
- Si solo habla de los datos observados, es una conclusión descriptiva.
- Si intenta hablar de una población mayor, revisar si la muestra proviene de esa población.
- Revisar si la muestra parece representativa y si pudo haber sesgos.
- Verificar si la conclusión se expresa como estimación y no como certeza absoluta.
Ejemplo 1: conclusión descriptiva
En una encuesta aplicada a \(50\) estudiantes de un curso, \(35\) declaran que prefieren trabajar en grupo.
La afirmación:
“En el curso encuestado, \(35\) de los \(50\) estudiantes prefieren trabajar en grupo”
es una conclusión descriptiva, porque se refiere solamente al grupo observado.
No está intentando concluir sobre todos los estudiantes del colegio ni sobre otros cursos.
Ejemplo 2: inferencia razonable con cuidado
Se selecciona aleatoriamente a \(150\) estudiantes de enseñanza media de un colegio. El \(58\%\) declara que prefiere clases con apoyo de recursos digitales.
Una conclusión razonable sería:
“En la muestra, el \(58\%\) de los estudiantes prefiere clases con apoyo de recursos digitales. Como la muestra fue seleccionada aleatoriamente desde enseñanza media del colegio, este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción correspondiente en esa población”.
La conclusión es cuidadosa porque no afirma que el \(58\%\) sea una verdad exacta.
Ejemplo 3: conclusión no justificada
Un estudiante encuesta a \(40\) personas en la entrada de un gimnasio. El \(90\%\) dice que realiza actividad física al menos tres veces por semana.
Una conclusión incorrecta sería:
“El \(90\%\) de los habitantes de la comuna realiza actividad física al menos tres veces por semana”.
La conclusión no es válida, porque la muestra está formada solo por personas que asisten a un gimnasio.
Ese grupo no representa necesariamente a todos los habitantes de la comuna.
Error frecuente
No se debe ampliar una conclusión más allá de la población que la muestra puede representar.
Si la muestra proviene de un curso, no se puede concluir directamente sobre todo el colegio. Si proviene de un colegio, no se puede concluir directamente sobre todo el país.
Conclusión cuidadosa
Una conclusión estadística cuidadosa debe indicar el alcance real de los datos.
Por ejemplo, no es lo mismo decir:
“El \(70\%\) de todos los estudiantes prefiere estudiar con música”.
que decir:
“En la muestra, el \(70\%\) de los estudiantes prefiere estudiar con música. Si la muestra representa adecuadamente a la población, este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción poblacional”.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: conclusión descriptiva
En una encuesta aplicada a \(50\) estudiantes de un curso, \(35\) declaran que prefieren trabajar en grupo.
Evalúa si la siguiente conclusión es válida:
“En el curso encuestado, \(35\) de los \(50\) estudiantes prefieren trabajar en grupo”.
La conclusión es válida como descripción, porque habla solo del curso encuestado.
No intenta sacar una conclusión sobre otros cursos ni sobre todos los estudiantes del colegio.
Además, usa directamente los datos observados: \(35\) de \(50\) estudiantes.
La conclusión es válida como conclusión descriptiva.
Ejercicio 2: inferencia razonable
Una encuesta se aplica a \(100\) estudiantes elegidos al azar entre todos los cursos de enseñanza media de un colegio. El \(72\%\) responde que usa internet para estudiar.
Evalúa si la siguiente conclusión es razonable:
“Aproximadamente el \(72\%\) de los estudiantes de enseñanza media de este colegio usa internet para estudiar”.
La conclusión puede ser razonable, porque la muestra fue seleccionada al azar desde todos los cursos de enseñanza media del colegio.
Eso hace que la muestra pueda representar mejor a la población estudiada.
Sin embargo, la conclusión debería expresarse como una estimación, no como una certeza exacta.
Una redacción más cuidadosa sería:
“En la muestra, el \(72\%\) declaró usar internet para estudiar. Como la muestra fue seleccionada al azar desde enseñanza media del colegio, este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción correspondiente en esa población”.
La conclusión es razonable si se interpreta como estimación.
Ejercicio 3: conclusión demasiado amplia
Un colegio encuesta a \(80\) estudiantes de segundo medio y obtiene que el \(65\%\) prefiere evaluaciones con trabajos grupales.
Luego se afirma:
“El \(65\%\) de todos los estudiantes de Chile prefiere evaluaciones con trabajos grupales”.
¿La conclusión es válida? Justifica.
La conclusión no es válida porque amplía demasiado el alcance de la muestra.
La muestra proviene solo de estudiantes de segundo medio de un colegio.
Con esos datos no se puede concluir directamente sobre todos los estudiantes de Chile.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“En la muestra de \(80\) estudiantes de segundo medio, el \(65\%\) prefiere evaluaciones con trabajos grupales”.
No es válida, porque la muestra no representa a todos los estudiantes de Chile.
Ejercicio 4: muestra sesgada
Un estudiante quiere saber si los alumnos del colegio están de acuerdo con aumentar el tiempo de recreo. Para ello encuesta solo a estudiantes que están jugando fútbol en la cancha.
El \(88\%\) de los encuestados está de acuerdo.
Evalúa la conclusión:
“El \(88\%\) de los estudiantes del colegio está de acuerdo con aumentar el tiempo de recreo”.
La conclusión no es válida como conclusión sobre todo el colegio.
La muestra está formada solo por estudiantes que estaban jugando fútbol en la cancha.
Ese grupo puede tener una opinión distinta a la de otros estudiantes, por ejemplo quienes estaban en biblioteca, casino, sala o patio.
Por lo tanto, la muestra puede estar sesgada.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“Entre los estudiantes encuestados en la cancha, el \(88\%\) estuvo de acuerdo con aumentar el tiempo de recreo”.
La conclusión no es válida para todo el colegio, porque la muestra puede estar sesgada.
Ejercicio 5: cálculo e interpretación
En una muestra aleatoria de \(250\) hogares de una comuna, \(165\) declaran separar residuos reciclables.
- Calcula la proporción muestral.
- Exprésala como porcentaje.
- Escribe una conclusión válida y cuidadosa.
La proporción muestral se calcula como:
\[ \hat{p}=\frac{x}{n} \]
En este caso, \(x=165\) y \(n=250\):
\[ \hat{p}=\frac{165}{250}=0{,}66 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}66=66\% \]
Una conclusión válida y cuidadosa sería:
“En la muestra aleatoria, el \(66\%\) de los hogares declaró separar residuos reciclables. Como la muestra fue seleccionada aleatoriamente desde la comuna, este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción de hogares de la comuna que separan residuos reciclables”.
La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}66\), es decir, \(66\%\).
Ejercicio 6: corregir una interpretación
Una muestra aleatoria de \(40\) estudiantes entrega una media de horas de sueño de \(\bar{x}=7{,}2\).
Un estudiante afirma:
“La media real de horas de sueño de toda la población es exactamente \(7{,}2\) horas”.
Explica el error de interpretación y escribe una conclusión más adecuada.
El error consiste en tratar la media muestral como si fuera exactamente la media real de toda la población.
El valor \(7{,}2\) fue calculado desde una muestra, por lo que debe interpretarse como una estimación.
Una conclusión más adecuada sería:
“En la muestra aleatoria de \(40\) estudiantes, la media de horas de sueño fue \(7{,}2\). Si la muestra representa adecuadamente a la población, este valor puede usarse como estimación de la media poblacional de horas de sueño”.
El valor \(7{,}2\) es una estimación muestral, no necesariamente el valor exacto de la población.
Ejercicio 7: comparar conclusiones
Se selecciona aleatoriamente una muestra de \(300\) estudiantes de enseñanza media de una ciudad. El \(54\%\) declara estudiar al menos una hora diaria fuera del horario de clases.
Compara las siguientes conclusiones e indica cuál es más adecuada:
- “El \(54\%\) de todos los estudiantes del país estudia al menos una hora diaria”.
- “En la muestra, el \(54\%\) declaró estudiar al menos una hora diaria. Este porcentaje puede estimar la proporción de estudiantes de enseñanza media de la ciudad que cumple esa característica”.
La conclusión más adecuada es la segunda.
La primera conclusión no es adecuada porque amplía el resultado a todos los estudiantes del país, aunque la muestra proviene de estudiantes de enseñanza media de una ciudad.
La segunda conclusión respeta mejor el alcance de la muestra: habla de la muestra y luego propone una estimación para la población correspondiente.
Además, no presenta el \(54\%\) como una certeza exacta.
La conclusión 2 es más adecuada.
Ejercicio 8: caso desafiante
Una investigación quiere estimar la proporción de estudiantes universitarios de una ciudad que trabajan además de estudiar.
Se aplica una encuesta a \(600\) estudiantes, pero todos pertenecen a carreras vespertinas de dos instituciones. El \(61\%\) declara trabajar.
El informe concluye:
“El \(61\%\) de los estudiantes universitarios de la ciudad trabaja además de estudiar”.
- Identifica el estadístico obtenido.
- Explica un problema de representatividad.
- Reescribe la conclusión de forma cuidadosa.
El estadístico obtenido es la proporción muestral:
\[ \hat{p}=0{,}61 \]
Es decir, el \(61\%\) de los estudiantes encuestados declaró trabajar además de estudiar.
El problema de representatividad es que todos los encuestados pertenecen a carreras vespertinas de solo dos instituciones.
Ese grupo puede tener una proporción de estudiantes trabajadores distinta a la de estudiantes diurnos, de otras instituciones o de otras carreras.
Una conclusión más cuidadosa sería:
“En la muestra de \(600\) estudiantes de carreras vespertinas de dos instituciones, el \(61\%\) declaró trabajar además de estudiar. Este resultado describe a la muestra y podría no representar a todos los estudiantes universitarios de la ciudad”.
El estadístico es \(\hat{p}=0{,}61\), pero la conclusión original no es válida para toda la ciudad por problemas de representatividad.
Cierre
Una conclusión estadística válida debe respetar el alcance de la muestra.
Una muestra permite estimar características de una población, pero no convierte automáticamente un resultado muestral en una verdad exacta.
En el siguiente libro se estudiará cómo cuantificar la incertidumbre de estas estimaciones mediante herramientas de inferencia estadística.