Variable aleatoria y distribución de probabilidad
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial |
| Libro: | Variable aleatoria y distribución de probabilidad |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:14 |
Tabla de contenidos
- 1. Cuando el azar se transforma en número
- 2. Variable aleatoria
- 3. Variable aleatoria discreta
- 4. Distribución de probabilidad
- 5. Tabla de distribución
- 6. Condiciones: probabilidades entre 0 y 1, suma total 1
- 7. Esperanza matemática
- 8. Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria
- 9. Juegos justos e injustos
- 10. Taller: construir una distribución de probabilidad
1. Cuando el azar se transforma en número
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que algunos resultados de experimentos aleatorios pueden transformarse en valores numéricos.
- Reconocer que una variable aleatoria permite estudiar cómo se comporta una cantidad que depende del azar.
Del resultado aleatorio al valor numérico
En probabilidad, muchas veces comenzamos estudiando eventos: que salga cara, que salga un número par, que una persona responda “sí” o que un estudiante apruebe.
Pero en muchos problemas no basta con saber qué evento ocurrió. También interesa asociar un número al resultado del experimento.
Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, podemos contar cuántas caras aparecen. Esa cantidad depende del azar, pero siempre toma un valor numérico.
Idea central
Ya no solo calculamos la probabilidad de un evento. Ahora estudiaremos cómo se comporta una variable que depende del azar.
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras al lanzar dos monedas, entonces \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Ejemplo 1: lanzar dos monedas
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Cantidad de caras | Valor de \(X\) |
|---|---|---|
| Sello, sello | 0 caras | \(X=0\) |
| Cara, sello | 1 cara | \(X=1\) |
| Sello, cara | 1 cara | \(X=1\) |
| Cara, cara | 2 caras | \(X=2\) |
En este caso, el azar produce resultados como “cara, sello” o “sello, cara”, pero la variable \(X\) transforma esos resultados en números.
El siguiente gráfico muestra cuántas veces aparece cada valor de \(X\) dentro de los resultados posibles:
El valor \(X=1\) aparece en dos resultados posibles, mientras que \(X=0\) y \(X=2\) aparecen en un resultado cada uno.
Ejemplo 2: lanzar un dado
Al lanzar un dado, podemos definir una cantidad que dependa del resultado.
Por ejemplo, sea \(Y\) la cantidad de puntos obtenidos en el dado.
Entonces los posibles valores de \(Y\) son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
En este caso, el resultado del experimento ya es numérico, por lo que la variable \(Y\) coincide con el número obtenido en el dado.
Ejemplo 3: transformar respuestas en números
Una encuesta pregunta a una persona si recicla en su hogar. Las respuestas posibles son “sí” o “no”.
Aunque las respuestas no son números, podemos definir una variable \(Z\) así:
| Respuesta | Valor de \(Z\) |
|---|---|
| Sí recicla | \(Z=1\) |
| No recicla | \(Z=0\) |
Así, una respuesta cualitativa se transforma en un valor numérico que puede estudiarse con herramientas de probabilidad.
Error frecuente
No toda etiqueta numérica representa una cantidad con sentido matemático.
Por ejemplo, si se codifica “rojo” como \(1\), “azul” como \(2\) y “verde” como \(3\), esos números sirven como códigos, pero no significa que “verde” sea mayor que “azul” en sentido matemático.
Idea clave
Una variable aleatoria conecta dos ideas: el azar y los números.
Primero ocurre un resultado aleatorio; luego una regla asigna un número a ese resultado.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar el número asociado
Se lanza una moneda tres veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Si el resultado es:
\[ \text{Cara, sello, cara} \]
¿Cuál es el valor de \(X\)?
La variable \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas.
En el resultado “cara, sello, cara” aparecen dos caras.
Por lo tanto:
\[ X=2 \]
El valor de la variable es \(X=2\).
Ejercicio 2: definir una variable numérica
Se lanza un dado y se observa si el resultado es par o impar.
Define una variable \(X\) que tome el valor \(1\) si el resultado es par y \(0\) si el resultado es impar.
Completa los valores de \(X\) para los resultados posibles del dado.
Los resultados posibles del dado son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Los números pares son \(2,\ 4,\ 6\), por lo tanto en esos casos \(X=1\).
Los números impares son \(1,\ 3,\ 5\), por lo tanto en esos casos \(X=0\).
| Resultado del dado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) |
| \(3\) | \(0\) |
| \(4\) | \(1\) |
| \(5\) | \(0\) |
| \(6\) | \(1\) |
La variable vale \(1\) para resultados pares y \(0\) para resultados impares.
Ejercicio 3: resultados distintos con el mismo valor
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Escribe dos resultados distintos del experimento que produzcan el mismo valor \(X=1\).
Para que \(X=1\), debe aparecer exactamente una cara en los dos lanzamientos.
Esto puede ocurrir de dos formas:
- Cara, sello
- Sello, cara
Son resultados distintos, pero ambos tienen una sola cara.
Dos resultados posibles son “cara, sello” y “sello, cara”.
Ejercicio 4: construir una regla
Una caja contiene tarjetas con las letras A, B, C y D. Se extrae una tarjeta al azar.
Define una variable \(X\) que transforme el resultado en un número, asignando:
- \(X=1\) si sale una vocal,
- \(X=0\) si sale una consonante.
Indica el valor de \(X\) para cada letra.
Entre las letras A, B, C y D, la única vocal es A.
Por lo tanto, si sale A, la variable toma el valor \(1\).
Las letras B, C y D son consonantes, por lo que en esos casos la variable toma el valor \(0\).
| Letra extraída | Valor de \(X\) |
|---|---|
| A | \(1\) |
| B | \(0\) |
| C | \(0\) |
| D | \(0\) |
La variable vale \(1\) para A y \(0\) para B, C y D.
Ejercicio 5: caso desafiante
Se lanzan dos dados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
- Indica el menor valor posible de \(S\).
- Indica el mayor valor posible de \(S\).
- Explica por qué \(S\) depende del azar, aunque siempre sea un número.
El menor resultado posible en cada dado es \(1\). Por lo tanto, la menor suma ocurre cuando ambos dados muestran \(1\):
\[ S=1+1=2 \]
El mayor resultado posible en cada dado es \(6\). Por lo tanto, la mayor suma ocurre cuando ambos dados muestran \(6\):
\[ S=6+6=12 \]
La variable \(S\) depende del azar porque no sabemos de antemano qué número saldrá en cada dado.
Sin embargo, una vez lanzados los dados, la suma siempre se puede expresar como un número.
El menor valor es \(2\), el mayor valor es \(12\), y \(S\) es numérica pero depende del resultado aleatorio.
2. Variable aleatoria
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio.
- Representar variables aleatorias usando una regla clara y una notación adecuada.
Definición
Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio.
Generalmente se representa con una letra mayúscula, como \(X\), \(Y\) o \(Z\).
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras al lanzar dos monedas, entonces \(X\) es una variable aleatoria.
Cómo funciona una variable aleatoria
Primero ocurre un experimento aleatorio. Luego se observa el resultado. Finalmente, una regla transforma ese resultado en un número.
Idea clave
La variable aleatoria no es el experimento completo, sino la cantidad numérica que se obtiene a partir de sus resultados.
Por eso, antes de calcular probabilidades, es fundamental definir con precisión qué representa la variable.
Ejemplo 1: cantidad de caras
Se lanzan tres monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Algunos resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Cara, cara, cara | \(X=3\) |
| Cara, sello, cara | \(X=2\) |
| Sello, sello, cara | \(X=1\) |
| Sello, sello, sello | \(X=0\) |
Los valores posibles de la variable son:
\[ X=0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Ejemplo 2: ganar o no ganar
En una rifa, una persona compra un número. Puede ganar un premio o no ganar nada.
Se define la variable aleatoria \(Y\) como el dinero ganado.
| Resultado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| Gana el premio | \(Y=10\,000\) |
| No gana el premio | \(Y=0\) |
En este caso, \(Y\) no describe el resultado con palabras, sino el monto de dinero asociado al resultado.
Ejemplo 3: número de respuestas correctas
Un mini cuestionario tiene \(4\) preguntas de verdadero o falso.
Se define \(Z\) como la cantidad de respuestas correctas.
Entonces los valores posibles de \(Z\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
La variable \(Z\) depende del azar si las respuestas se eligen al azar, pero siempre se expresa como un número.
Error frecuente
No basta con escribir una letra como \(X\). Siempre hay que definir qué representa.
Por ejemplo, decir “sea \(X\)” está incompleto. En cambio, decir “sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas al lanzar tres monedas” define claramente la variable aleatoria.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer la variable
Se lanza un dado y se define \(X\) como el número obtenido.
Si el dado muestra \(5\), ¿cuál es el valor de \(X\)?
La variable \(X\) representa el número obtenido al lanzar el dado.
Si el dado muestra \(5\), entonces el valor de la variable es:
\[ X=5 \]
El valor de la variable es \(X=5\).
Ejercicio 2: definir valores posibles
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Indica todos los valores posibles de \(X\).
Al lanzar dos monedas, la cantidad de sellos puede ser:
- \(0\), si no aparece ningún sello.
- \(1\), si aparece exactamente un sello.
- \(2\), si aparecen dos sellos.
Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Los valores posibles son \(X=0,\ 1,\ 2\).
Ejercicio 3: completar una regla
Se lanza un dado y se define \(Y\) de la siguiente forma:
- \(Y=1\) si el resultado es mayor que \(4\),
- \(Y=0\) si el resultado no es mayor que \(4\).
Indica el valor de \(Y\) para cada resultado posible del dado.
Los resultados mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\), por lo tanto para esos resultados \(Y=1\).
Los resultados \(1,\ 2,\ 3,\ 4\) no son mayores que \(4\), por lo tanto en esos casos \(Y=0\).
| Resultado del dado | Valor de \(Y\) |
|---|---|
| \(1\) | \(0\) |
| \(2\) | \(0\) |
| \(3\) | \(0\) |
| \(4\) | \(0\) |
| \(5\) | \(1\) |
| \(6\) | \(1\) |
\(Y=1\) para \(5\) y \(6\); \(Y=0\) para \(1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Ejercicio 4: escribir una variable aleatoria
Una bolsa contiene fichas rojas, azules y verdes. Se extrae una ficha al azar.
Define una variable aleatoria que permita estudiar si la ficha extraída es roja.
Una forma adecuada es definir una variable \(X\) que tome dos valores:
- \(X=1\) si la ficha extraída es roja.
- \(X=0\) si la ficha extraída no es roja.
Así, la variable transforma el resultado de color en un número.
Esta definición permite estudiar la probabilidad de extraer una ficha roja usando una variable numérica.
Una variable posible es \(X=1\) si sale roja y \(X=0\) si no sale roja.
Ejercicio 5: distinguir resultado y variable
Se lanzan dos dados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
Un estudiante dice: “El resultado del experimento y el valor de \(S\) son exactamente lo mismo”.
¿Tiene razón? Justifica.
No tiene razón.
El resultado del experimento indica qué número salió en cada dado. Por ejemplo, un resultado puede ser:
\[ (2,5) \]
En cambio, \(S\) es la suma de esos números:
\[ S=2+5=7 \]
Además, distintos resultados pueden producir el mismo valor de \(S\). Por ejemplo, \((3,4)\), \((4,3)\), \((2,5)\) y \((5,2)\) producen \(S=7\).
El resultado del experimento y el valor de la variable no siempre son lo mismo.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego consiste en lanzar una moneda dos veces. Se gana \(\$500\) por cada cara obtenida y no se gana dinero por los sellos.
Define una variable aleatoria \(G\) que represente la ganancia total del juego. Luego indica sus valores posibles.
La variable \(G\) puede definirse como la ganancia total obtenida al lanzar dos monedas.
Si no aparece ninguna cara, la ganancia es:
\[ G=0 \]
Si aparece una cara, se gana:
\[ G=500 \]
Si aparecen dos caras, se gana:
\[ G=1\,000 \]
Por lo tanto, los valores posibles de \(G\) son:
\[ 0,\ 500,\ 1\,000 \]
La variable \(G\) representa la ganancia total y puede tomar los valores \(0,\ 500,\ 1\,000\).
3. Variable aleatoria discreta
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué caracteriza a una variable aleatoria discreta.
- Identificar los valores posibles de una variable aleatoria discreta en experimentos aleatorios simples.
Definición
Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que puede tomar valores separados y contables.
Sus valores posibles pueden ser finitos, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3\), o infinitos contables, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots\).
¿Qué significa “discreta”?
Una variable es discreta cuando sus valores no forman una escala continua, sino que aparecen como valores aislados.
Generalmente, una variable aleatoria discreta cuenta algo: cantidad de caras, cantidad de respuestas correctas, cantidad de productos defectuosos o cantidad de intentos.
Idea clave
Si la variable cuenta cuántas veces ocurre algo, normalmente es discreta.
Por ejemplo, no tiene sentido obtener \(2{,}5\) caras al lanzar monedas. Se pueden obtener \(0\), \(1\), \(2\), etc., pero no valores intermedios.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar tres monedas
Se lanzan tres monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
No se puede obtener \(1{,}5\) caras ni \(2{,}7\) caras. Por eso, \(X\) es una variable aleatoria discreta.
| Valor de \(X\) | Significado |
|---|---|
| \(0\) | No aparece ninguna cara |
| \(1\) | Aparece exactamente una cara |
| \(2\) | Aparecen exactamente dos caras |
| \(3\) | Aparecen tres caras |
El siguiente gráfico muestra cuántos resultados posibles producen cada valor de \(X\):
Los valores de \(X\) son separados y contables, por lo tanto \(X\) es discreta.
Ejemplo 2: número de respuestas correctas
Un estudiante responde al azar un cuestionario de \(5\) preguntas de verdadero o falso.
Se define \(Y\) como la cantidad de respuestas correctas.
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]
Como \(Y\) cuenta respuestas correctas, solo puede tomar valores enteros. Por eso, \(Y\) es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo 3: variable que no es discreta
Se elige al azar un estudiante y se mide el tiempo que tarda en llegar al colegio.
Si \(T\) representa el tiempo en minutos, podría tomar valores como:
\[ 12,\quad 12{,}5,\quad 12{,}73,\quad 13{,}1 \]
El tiempo puede tomar muchos valores intermedios, dependiendo de la precisión con que se mida.
Por eso, \(T\) no es una variable aleatoria discreta. Más adelante se estudiarán variables de este tipo con otros modelos.
Error frecuente
No toda variable numérica es discreta.
Si la variable mide una magnitud continua, como tiempo, masa, estatura o temperatura, no se considera discreta en este contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer valores posibles
Se lanza una moneda \(4\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Indica todos los valores posibles de \(X\).
La variable \(X\) cuenta la cantidad de caras obtenidas en \(4\) lanzamientos.
La menor cantidad posible de caras es \(0\), cuando no aparece ninguna cara.
La mayor cantidad posible de caras es \(4\), cuando las cuatro monedas muestran cara.
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
Los valores posibles son \(X=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Ejercicio 2: decidir si es discreta
Se lanza un dado y se define \(Y\) como el número obtenido.
¿\(Y\) es una variable aleatoria discreta? Justifica.
Sí, \(Y\) es una variable aleatoria discreta.
Sus valores posibles son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Estos valores son separados y contables. No se puede obtener \(3{,}5\) como resultado del dado.
\(Y\) es discreta porque toma valores enteros separados.
Ejercicio 3: clasificar variables
Clasifica cada variable como discreta o no discreta. Justifica brevemente.
- \(A\): cantidad de estudiantes ausentes en un curso un día lunes.
- \(B\): tiempo que tarda un estudiante en resolver una guía.
- \(C\): cantidad de productos defectuosos en una caja.
\(A\) es discreta, porque cuenta estudiantes ausentes. Sus valores son enteros como \(0,\ 1,\ 2,\ldots\).
\(B\) no es discreta, porque mide tiempo. El tiempo puede tomar valores intermedios, como \(15{,}5\) minutos o \(15{,}75\) minutos.
\(C\) es discreta, porque cuenta productos defectuosos. Solo puede tomar valores enteros.
\(A\) y \(C\) son discretas; \(B\) no es discreta.
Ejercicio 4: completar valores posibles
Una familia tiene \(3\) hijos. Se define \(X\) como la cantidad de hijas mujeres.
Indica los valores posibles de \(X\) y explica por qué es una variable aleatoria discreta.
La variable \(X\) cuenta cuántas hijas mujeres hay en una familia de \(3\) hijos.
La cantidad mínima posible es \(0\), si no hay hijas mujeres.
La cantidad máxima posible es \(3\), si los tres hijos son mujeres.
Entonces, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Es una variable aleatoria discreta porque sus valores son cantidades enteras, separadas y contables.
Los valores posibles son \(0,\ 1,\ 2,\ 3\), y la variable es discreta.
Ejercicio 5: distinguir conteo y medición
En una caja se elige al azar una fruta y se observan dos variables:
- \(X\): cantidad de semillas de la fruta.
- \(Y\): masa de la fruta en gramos.
¿Cuál variable es discreta? ¿Cuál no lo es? Justifica.
\(X\) es discreta porque cuenta semillas. La cantidad de semillas debe ser un número entero: \(0,\ 1,\ 2,\ldots\).
\(Y\) no es discreta en este contexto porque mide masa. La masa puede tomar valores con decimales, como \(145{,}3\) g o \(145{,}37\) g, dependiendo de la precisión del instrumento.
\(X\) es discreta; \(Y\) no es discreta.
Ejercicio 6: construir una variable discreta
Un control tiene \(6\) preguntas. Cada pregunta puede estar correcta o incorrecta.
Define una variable aleatoria discreta para estudiar el desempeño en el control e indica sus valores posibles.
Una variable adecuada es \(X\): cantidad de respuestas correctas en el control.
Como hay \(6\) preguntas, la menor cantidad de respuestas correctas es \(0\) y la mayor es \(6\).
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
La variable es discreta porque cuenta respuestas correctas.
Una variable posible es \(X=\) cantidad de respuestas correctas, con valores \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Se lanzan dos dados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número par.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Escribe un resultado que produzca \(X=0\).
- Escribe dos resultados distintos que produzcan \(X=1\).
- Explica por qué \(X\) es discreta.
La variable \(X\) cuenta cuántos de los dos dados muestran un número par.
Como se lanzan dos dados, puede ocurrir que ninguno sea par, que uno sea par o que ambos sean pares.
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Un resultado que produce \(X=0\) es \((1,3)\), porque ambos números son impares.
Dos resultados distintos que producen \(X=1\) son \((2,3)\) y \((5,4)\), porque en cada caso aparece exactamente un número par.
La variable \(X\) es discreta porque cuenta una cantidad de dados que cumplen una condición, y sus valores posibles son enteros separados.
Los valores posibles son \(0,\ 1,\ 2\). La variable es discreta porque cuenta dados pares.
4. Distribución de probabilidad
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que una distribución de probabilidad indica los valores posibles de una variable aleatoria y la probabilidad asociada a cada uno.
- Representar distribuciones de probabilidad discretas mediante tablas y gráficos de barras.
Definición
Una distribución de probabilidad muestra cómo se reparte la probabilidad entre los valores posibles de una variable aleatoria.
Si \(X\) es una variable aleatoria discreta, una distribución de probabilidad indica valores como:
\[ P(X=0),\quad P(X=1),\quad P(X=2),\ldots \]
¿Qué información entrega?
Una distribución de probabilidad responde preguntas como:
- ¿Qué valores puede tomar la variable?
- ¿Qué probabilidad tiene cada valor?
- ¿Cuáles valores son más probables y cuáles menos probables?
Idea clave
La distribución de probabilidad no se centra en un solo evento aislado, sino en el comportamiento completo de una variable aleatoria.
Por ejemplo, no solo interesa calcular la probabilidad de obtener exactamente una cara, sino comparar esa probabilidad con las de obtener \(0\) o \(2\) caras.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Sello, sello | \(0\) |
| Cara, sello | \(1\) |
| Sello, cara | \(1\) |
| Cara, cara | \(2\) |
Como hay \(4\) resultados igualmente probables, calculamos la probabilidad de cada valor de \(X\):
| Valor de \(X\) | Resultados favorables | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | 1 | \(P(X=0)=\frac{1}{4}=0{,}25\) |
| \(1\) | 2 | \(P(X=1)=\frac{2}{4}=0{,}5\) |
| \(2\) | 1 | \(P(X=2)=\frac{1}{4}=0{,}25\) |
Esta tabla es la distribución de probabilidad de \(X\).
El gráfico muestra que el valor más probable es \(X=1\), porque hay dos formas de obtener exactamente una cara.
Ejemplo 2: número obtenido al lanzar un dado
Se lanza un dado equilibrado y se define \(Y\) como el número obtenido.
Los valores posibles de \(Y\) son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Como el dado es equilibrado, cada resultado tiene la misma probabilidad:
\[ P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=\frac{1}{6} \]
| Valor de \(Y\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(5\) | \(\frac{1}{6}\) |
| \(6\) | \(\frac{1}{6}\) |
En este caso, todos los valores tienen la misma probabilidad. Por eso, la distribución es uniforme.
Error frecuente
No basta con listar los valores posibles de una variable aleatoria.
Para tener una distribución de probabilidad, también se debe indicar la probabilidad asociada a cada valor.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una distribución
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Responde:
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
- ¿Cuál es el valor más probable?
- ¿Cuánto vale \(P(X=2)\)?
Los valores posibles de \(X\) son los que aparecen en la primera fila de la tabla:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
El valor más probable es el que tiene mayor probabilidad. Comparando:
\[ 0{,}2,\quad 0{,}5,\quad 0{,}3 \]
La mayor probabilidad es \(0{,}5\), asociada a \(X=1\).
Además, desde la tabla se observa que:
\[ P(X=2)=0{,}3 \]
Valores posibles: \(0,\ 1,\ 2\). Valor más probable: \(1\). \(P(X=2)=0{,}3\).
Ejercicio 2: construir una distribución simple
Se lanza una moneda equilibrada y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si sale cara,
- \(X=0\) si sale sello.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Como la moneda es equilibrada, los dos resultados tienen la misma probabilidad:
\[ P(\text{cara})=\frac{1}{2},\qquad P(\text{sello})=\frac{1}{2} \]
Según la definición de la variable:
- Si sale sello, \(X=0\).
- Si sale cara, \(X=1\).
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 3: dado y números pares
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) como la cantidad que vale:
- \(X=1\) si el resultado es par,
- \(X=0\) si el resultado es impar.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Los resultados posibles del dado son:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Los resultados pares son \(2,\ 4,\ 6\). Hay \(3\) resultados pares de un total de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados impares son \(1,\ 3,\ 5\). También hay \(3\) resultados impares, entonces:
\[ P(X=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 4: cantidad de caras en dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la distribución de probabilidad.
Los resultados posibles son:
\[ SS,\ CS,\ SC,\ CC \]
La variable \(X\) representa la cantidad de caras, por lo que sus valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Ahora contamos los casos favorables para cada valor:
- \(X=0\): ocurre con \(SS\). Hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\). Hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(CC\). Hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | Probabilidad |
|---|---|
| \(0\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{4}\) |
La distribución es \(P(X=0)=\frac{1}{4}\), \(P(X=1)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=2)=\frac{1}{4}\).
Ejercicio 5: interpretar un gráfico
El siguiente gráfico representa la distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\):
- ¿Cuál es el valor más probable de \(X\)?
- ¿Cuál es el valor menos probable de \(X\)?
- ¿Cuánto vale \(P(X=3)\)?
El valor más probable corresponde a la barra más alta. En el gráfico, la mayor probabilidad es \(0{,}4\), asociada a \(X=1\).
El valor menos probable corresponde a la barra más baja. En el gráfico, la menor probabilidad es \(0{,}1\), asociada a \(X=0\).
Además, la barra correspondiente a \(X=3\) tiene altura \(0{,}2\), por lo tanto:
\[ P(X=3)=0{,}2 \]
Más probable: \(X=1\). Menos probable: \(X=0\). \(P(X=3)=0{,}2\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Una bolsa contiene \(3\) fichas rojas y \(2\) fichas azules. Se extrae una ficha al azar y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si la ficha es roja,
- \(X=0\) si la ficha es azul.
- Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
- Indica cuál valor de \(X\) es más probable.
- Interpreta el significado de ese valor en el contexto.
En total hay:
\[ 3+2=5 \]
fichas.
Como hay \(3\) fichas rojas, la probabilidad de obtener una ficha roja es:
\[ P(X=1)=\frac{3}{5}=0{,}6 \]
Como hay \(2\) fichas azules, la probabilidad de obtener una ficha azul es:
\[ P(X=0)=\frac{2}{5}=0{,}4 \]
| Valor de \(X\) | Significado | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | La ficha es azul | \(\frac{2}{5}=0{,}4\) |
| \(1\) | La ficha es roja | \(\frac{3}{5}=0{,}6\) |
El valor más probable es \(X=1\), porque \(0{,}6>0{,}4\).
En contexto, esto significa que es más probable extraer una ficha roja que una ficha azul.
La distribución es \(P(X=0)=0{,}4\) y \(P(X=1)=0{,}6\). El valor más probable es \(X=1\).
5. Tabla de distribución
Objetivo de aprendizaje
- Construir tablas de distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas.
- Interpretar los valores y probabilidades de una variable aleatoria a partir de una tabla.
¿Qué es una tabla de distribución?
Una tabla de distribución organiza los valores posibles de una variable aleatoria y la probabilidad correspondiente a cada valor.
Para una variable aleatoria discreta \(X\), una tabla de distribución suele tener esta forma:
| Valor de \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(P(X=x_1)\) | \(P(X=x_2)\) | \(P(X=x_3)\) | \(\cdots\) |
Cómo construir una tabla de distribución
- Define claramente la variable aleatoria.
- Identifica todos los valores posibles de la variable.
- Cuenta cuántos resultados producen cada valor, si los casos son equiprobables.
- Calcula la probabilidad asociada a cada valor.
- Organiza los valores y probabilidades en una tabla.
Idea clave
La tabla de distribución permite ver el comportamiento completo de una variable aleatoria, no solo un caso particular.
Por eso, antes de calcular probabilidades aisladas, conviene ordenar todos los valores posibles y sus probabilidades.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los resultados posibles son:
| Resultado | Valor de \(X\) |
|---|---|
| Sello, sello | \(0\) |
| Cara, sello | \(1\) |
| Sello, cara | \(1\) |
| Cara, cara | \(2\) |
Ahora contamos cuántas veces aparece cada valor de \(X\):
| Valor de \(X\) | Cantidad de resultados | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(1\) | \(2\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
| \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{4}\) |
La tabla de distribución queda así:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
El gráfico permite observar visualmente que \(X=1\) es el valor más probable:
Ejemplo 2: ficha extraída de una bolsa
Una bolsa contiene \(2\) fichas rojas, \(1\) ficha azul y \(3\) fichas verdes. Se extrae una ficha al azar.
Se define la variable aleatoria \(Y\) así:
- \(Y=1\) si la ficha es roja,
- \(Y=2\) si la ficha es azul,
- \(Y=3\) si la ficha es verde.
En total hay:
\[ 2+1+3=6 \]
fichas.
Entonces:
\[ P(Y=1)=\frac{2}{6},\qquad P(Y=2)=\frac{1}{6},\qquad P(Y=3)=\frac{3}{6} \]
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| Significado | Roja | Azul | Verde |
| \(P(Y=y)\) | \(\frac{2}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{3}{6}\) |
La mayor probabilidad corresponde a \(Y=3\), porque hay más fichas verdes que de los otros colores.
Error frecuente
No se debe repetir un mismo valor de la variable en varias columnas de la tabla de distribución.
Si distintos resultados del experimento producen el mismo valor de \(X\), sus probabilidades se agrupan en una sola columna.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una tabla
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla de distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}3\) |
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
- ¿Cuánto vale \(P(X=1)\)?
- ¿Cuál valor tiene mayor probabilidad?
Los valores posibles de \(X\) son los que aparecen en la primera fila de la tabla:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Desde la tabla se observa que:
\[ P(X=1)=0{,}4 \]
Para identificar el valor más probable, comparamos las probabilidades:
\[ 0{,}3,\quad 0{,}4,\quad 0{,}3 \]
La mayor probabilidad es \(0{,}4\), asociada al valor \(X=1\).
Valores posibles: \(0,\ 1,\ 2\). \(P(X=1)=0{,}4\). El valor más probable es \(X=1\).
Ejercicio 2: completar una tabla de distribución
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si el resultado es \(1\) o \(2\),
- \(X=2\) si el resultado es \(3\) o \(4\),
- \(X=3\) si el resultado es \(5\) o \(6\).
Construye la tabla de distribución de \(X\).
El dado tiene \(6\) resultados igualmente probables.
Para \(X=1\), los resultados favorables son \(1\) y \(2\), por lo que hay \(2\) casos:
\[ P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Para \(X=2\), los resultados favorables son \(3\) y \(4\):
\[ P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Para \(X=3\), los resultados favorables son \(5\) y \(6\):
\[ P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
| Valor de \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
Los tres valores tienen probabilidad \(\frac{1}{3}\).
Ejercicio 3: agrupar resultados con el mismo valor
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Construye la tabla de distribución de \(X\).
Los resultados posibles son:
\[ CC,\ CS,\ SC,\ SS \]
La variable \(X\) cuenta la cantidad de sellos.
- \(X=0\): ocurre con \(CC\), entonces hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\), entonces hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(SS\), entonces hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
La tabla es \(P(X=0)=\frac{1}{4}\), \(P(X=1)=\frac{1}{2}\), \(P(X=2)=\frac{1}{4}\).
Ejercicio 4: construir desde una bolsa
Una bolsa contiene \(4\) fichas blancas y \(6\) fichas negras. Se extrae una ficha al azar.
Se define \(X=1\) si la ficha es negra y \(X=0\) si la ficha es blanca.
Construye la tabla de distribución de \(X\).
En total hay:
\[ 4+6=10 \]
fichas.
Si la ficha es blanca, \(X=0\). Como hay \(4\) fichas blancas:
\[ P(X=0)=\frac{4}{10}=0{,}4 \]
Si la ficha es negra, \(X=1\). Como hay \(6\) fichas negras:
\[ P(X=1)=\frac{6}{10}=0{,}6 \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}4\) | \(0{,}6\) |
La distribución es \(P(X=0)=0{,}4\) y \(P(X=1)=0{,}6\).
Ejercicio 5: interpretar y graficar mentalmente
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla de distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}1\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}2\) |
- ¿Cuál barra sería la más alta en un gráfico de la distribución?
- ¿Cuáles valores tendrían barras de igual altura?
- ¿Cuánto vale \(P(X=0)\)?
La barra más alta corresponde al valor con mayor probabilidad.
Comparando \(0{,}1,\ 0{,}2,\ 0{,}5,\ 0{,}2\), la mayor probabilidad es \(0{,}5\), asociada a \(X=2\).
Los valores \(X=1\) y \(X=3\) tienen la misma probabilidad, \(0{,}2\), por lo que sus barras tendrían igual altura.
Desde la tabla:
\[ P(X=0)=0{,}1 \]
La barra más alta sería la de \(X=2\). \(X=1\) y \(X=3\) tendrían igual altura. \(P(X=0)=0{,}1\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Se lanzan dos dados equilibrados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número mayor que \(4\).
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la tabla de distribución de \(X\).
- Indica cuál valor de \(X\) es más probable.
En un dado, los resultados mayores que \(4\) son \(5\) y \(6\). Por lo tanto, en cada dado hay \(2\) resultados favorables y \(4\) no favorables.
Como se lanzan dos dados, \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
Hay \(36\) resultados ordenados posibles al lanzar dos dados.
Para \(X=0\), ninguno de los dos dados debe ser mayor que \(4\). Cada dado tiene \(4\) opciones no favorables, entonces:
\[ P(X=0)=\frac{4\cdot 4}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} \]
Para \(X=2\), ambos dados deben ser mayores que \(4\). Cada dado tiene \(2\) opciones favorables, entonces:
\[ P(X=2)=\frac{2\cdot 2}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9} \]
Para \(X=1\), exactamente uno de los dos dados debe ser mayor que \(4\). Puede ocurrir de dos formas: primero favorable y segundo no favorable, o primero no favorable y segundo favorable:
\[ P(X=1)=\frac{2\cdot 4+4\cdot 2}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Los valores más probables son \(X=0\) y \(X=1\), porque ambos tienen probabilidad \(\frac{4}{9}\).
La distribución es \(P(X=0)=\frac{4}{9}\), \(P(X=1)=\frac{4}{9}\), \(P(X=2)=\frac{1}{9}\). Los valores más probables son \(0\) y \(1\).
6. Condiciones: probabilidades entre 0 y 1, suma total 1
Objetivo de aprendizaje
- Verificar si una tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida.
- Aplicar las condiciones \(0\leq P(X=x)\leq 1\) y suma total de probabilidades igual a \(1\).
Condiciones de una distribución de probabilidad
Para que una tabla sea una distribución de probabilidad válida, debe cumplir dos condiciones:
- Cada probabilidad debe estar entre \(0\) y \(1\), incluyendo ambos extremos:
\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]
- La suma de todas las probabilidades debe ser \(1\):
\[ P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots+P(X=x_n)=1 \]
Cómo revisar una tabla
Al revisar una tabla de distribución, no basta con mirar que tenga valores y probabilidades. Hay que comprobar que las probabilidades tengan sentido.
Idea clave
Una distribución de probabilidad reparte el total de probabilidad disponible.
Ese total es \(1\), que equivale al \(100\%\) de las posibilidades.
Ejemplo 1: tabla válida
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente tabla:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Primero revisamos que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\):
\[ 0\leq 0{,}25\leq 1,\qquad 0\leq 0{,}50\leq 1,\qquad 0\leq 0{,}25\leq 1 \]
Luego sumamos las probabilidades:
\[ 0{,}25+0{,}50+0{,}25=1 \]
Como cumple ambas condiciones, la tabla sí representa una distribución de probabilidad válida.
Ejemplo 2: tabla que no suma 1
Consideremos la siguiente tabla:
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}20\) | \(0{,}30\) | \(0{,}40\) |
Cada probabilidad está entre \(0\) y \(1\), pero al sumar:
\[ 0{,}20+0{,}30+0{,}40=0{,}90 \]
La suma no es \(1\). Por lo tanto, la tabla no representa una distribución de probabilidad válida.
Ejemplo 3: tabla con una probabilidad imposible
Consideremos la siguiente tabla:
| Valor de \(Z\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Z=z)\) | \(0{,}60\) | \(-0{,}10\) | \(0{,}50\) |
Aunque la suma es:
\[ 0{,}60+(-0{,}10)+0{,}50=1 \]
la tabla no es válida, porque una probabilidad no puede ser negativa.
El valor \(-0{,}10\) no cumple la condición:
\[ 0\leq P(Z=1)\leq 1 \]
Error frecuente
Una tabla puede sumar \(1\) y aun así no ser válida si alguna probabilidad es negativa o mayor que \(1\).
Siempre se deben revisar las dos condiciones.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: verificar una tabla simple
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Primero revisamos que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\):
\[ 0{,}2,\quad 0{,}5,\quad 0{,}3 \]
Todas cumplen la condición.
Ahora sumamos:
\[ 0{,}2+0{,}5+0{,}3=1 \]
Como la suma es \(1\), la tabla cumple las dos condiciones.
Sí es una distribución de probabilidad válida.
Ejercicio 2: detectar una suma incorrecta
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Y\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}25\) | \(0{,}40\) |
Todas las probabilidades están entre \(0\) y \(1\).
Sin embargo, al sumar:
\[ 0{,}25+0{,}25+0{,}40=0{,}90 \]
La suma no es \(1\).
Por lo tanto, no se reparte toda la probabilidad disponible.
No es una distribución válida, porque las probabilidades suman \(0{,}90\), no \(1\).
Ejercicio 3: detectar una probabilidad imposible
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Z\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Z=z)\) | \(0{,}4\) | \(1{,}2\) | \(-0{,}6\) |
Revisamos las probabilidades:
\[ 0{,}4,\quad 1{,}2,\quad -0{,}6 \]
El valor \(1{,}2\) es mayor que \(1\), por lo que no puede ser una probabilidad.
Además, el valor \(-0{,}6\) es negativo, por lo que tampoco puede ser una probabilidad.
Aunque se sumara la tabla, ya falla la primera condición.
No es válida, porque contiene probabilidades fuera del intervalo entre \(0\) y \(1\).
Ejercicio 4: encontrar una probabilidad faltante
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida. Encuentra el valor de \(p\):
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}15\) | \(0{,}35\) | \(p\) | \(0{,}20\) |
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}15+0{,}35+p+0{,}20=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}15+0{,}35+0{,}20=0{,}70 \]
Entonces:
\[ 0{,}70+p=1 \]
\[ p=1-0{,}70=0{,}30 \]
Además, \(0{,}30\) está entre \(0\) y \(1\), por lo que es una probabilidad posible.
El valor faltante es \(p=0{,}30\).
Ejercicio 5: verificar con fracciones
Determina si la siguiente tabla representa una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
Todas las probabilidades son fracciones positivas menores que \(1\).
Ahora sumamos:
\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \]
Como tienen el mismo denominador:
\[ \frac{1+3+3+1}{8}=\frac{8}{8}=1 \]
Cumple ambas condiciones.
Sí es una distribución de probabilidad válida.
Ejercicio 6: caso desafiante
Se propone la siguiente tabla para una variable aleatoria \(X\):
| Valor de \(X\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}10\) | \(0{,}25\) | \(0{,}45\) | \(0{,}20\) |
- Verifica si la tabla es una distribución de probabilidad válida.
- Explica por qué el valor \(X=-1\) no causa problema.
- Indica cuál es el valor más probable de \(X\).
Primero revisamos las probabilidades:
\[ 0{,}10,\quad 0{,}25,\quad 0{,}45,\quad 0{,}20 \]
Todas están entre \(0\) y \(1\).
Ahora sumamos:
\[ 0{,}10+0{,}25+0{,}45+0{,}20=1 \]
Por lo tanto, la tabla sí es una distribución de probabilidad válida.
El valor \(X=-1\) no causa problema, porque la condición entre \(0\) y \(1\) se aplica a las probabilidades, no necesariamente a los valores que puede tomar la variable.
El valor más probable es el que tiene mayor probabilidad. La mayor probabilidad es \(0{,}45\), asociada a \(X=1\).
La tabla es válida. El valor \(X=-1\) puede aparecer; lo importante es que su probabilidad sea válida. El valor más probable es \(X=1\).
7. Esperanza matemática
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la esperanza matemática como el valor promedio esperado de una variable aleatoria a largo plazo.
- Calcular la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta usando su distribución de probabilidad.
¿Qué significa esperanza matemática?
La esperanza matemática de una variable aleatoria representa el valor promedio que se esperaría obtener si el experimento aleatorio se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.
No siempre coincide con un valor que la variable pueda tomar en una repetición individual. Es un promedio teórico de largo plazo.
Fórmula de la esperanza
Si una variable aleatoria discreta \(X\) puede tomar los valores \(x_1,\ x_2,\ldots,\ x_n\), entonces su esperanza matemática se calcula como:
\[ E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\cdots+x_n\cdot P(X=x_n) \]
De forma abreviada:
\[ E(X)=\sum x\cdot P(X=x) \]
Idea clave
La esperanza matemática es un promedio ponderado: cada valor de la variable se multiplica por la probabilidad de que ocurra.
Los valores más probables influyen más en la esperanza que los valores poco probables.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
La distribución de probabilidad es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
El gráfico muestra la distribución de \(X\):
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4} \]
\[ E(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
Esto significa que, si se lanzaran dos monedas muchas veces, se esperaría obtener en promedio \(1\) cara por lanzamiento doble.
Ejemplo 2: puntaje en un juego
En un juego, una variable aleatoria \(Y\) representa el puntaje obtenido. Su distribución es:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) | \(0{,}2\) |
Calculamos:
\[ E(Y)=0\cdot 0{,}5+5\cdot 0{,}3+10\cdot 0{,}2 \]
\[ E(Y)=0+1{,}5+2=3{,}5 \]
La esperanza matemática es \(3{,}5\) puntos.
Esto no significa que en una partida se puedan obtener exactamente \(3{,}5\) puntos. Significa que, a largo plazo, el promedio esperado por partida es \(3{,}5\) puntos.
Ejemplo 3: ganancia esperada
En una rifa, una persona puede ganar \(\$2\,000\) con probabilidad \(0{,}1\), o ganar \(\$0\) con probabilidad \(0{,}9\).
Sea \(G\) la ganancia obtenida. Entonces:
| Valor de \(G\) | \(0\) | \(2\,000\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}9\) | \(0{,}1\) |
Calculamos:
\[ E(G)=0\cdot 0{,}9+2\,000\cdot 0{,}1 \]
\[ E(G)=0+200=200 \]
La ganancia esperada es \(\$200\). Esto representa el promedio teórico de ganancia por participación si el juego se repitiera muchas veces.
Error frecuente
No se debe interpretar la esperanza como el resultado que necesariamente ocurrirá en el próximo intento.
La esperanza describe un promedio de largo plazo, no una predicción exacta de una repetición individual.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular esperanza desde una tabla simple
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
Calcula \(E(X)\).
Usamos la fórmula:
\[ E(X)=\sum x\cdot P(X=x) \]
Entonces:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}2+1\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}3 \]
\[ E(X)=0+0{,}5+0{,}6=1{,}1 \]
La esperanza matemática es \(E(X)=1{,}1\).
Ejercicio 2: interpretar una esperanza no entera
En un juego, el puntaje \(Y\) puede tomar los valores \(0\), \(2\) y \(4\), con la siguiente distribución:
| Valor de \(Y\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}4\) | \(0{,}4\) | \(0{,}2\) |
Calcula \(E(Y)\) e interpreta el resultado.
Calculamos:
\[ E(Y)=0\cdot 0{,}4+2\cdot 0{,}4+4\cdot 0{,}2 \]
\[ E(Y)=0+0{,}8+0{,}8=1{,}6 \]
La esperanza es \(1{,}6\) puntos.
Esto no significa que en una jugada se obtengan \(1{,}6\) puntos, porque los valores posibles son \(0\), \(2\) y \(4\).
Significa que, si el juego se repitiera muchas veces, el promedio esperado sería de \(1{,}6\) puntos por jugada.
La esperanza es \(E(Y)=1{,}6\) puntos.
Ejercicio 3: esperanza con fracciones
Se lanza una moneda dos veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. Su distribución es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Calcula \(E(X)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4} \]
Como \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), entonces:
\[ E(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La esperanza matemática es \(E(X)=1\).
Ejercicio 4: ganancia esperada
En una tómbola, una persona puede ganar \(\$5\,000\) con probabilidad \(0{,}05\), ganar \(\$1\,000\) con probabilidad \(0{,}20\), o no ganar dinero con probabilidad \(0{,}75\).
Sea \(G\) la ganancia obtenida. Calcula \(E(G)\).
Los valores posibles de \(G\) son \(0\), \(1\,000\) y \(5\,000\).
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=0\cdot 0{,}75+1\,000\cdot 0{,}20+5\,000\cdot 0{,}05 \]
\[ E(G)=0+200+250=450 \]
La ganancia esperada es \(\$450\).
Esto no significa que se ganen exactamente \(\$450\) en una participación, sino que ese sería el promedio esperado por participación si el juego se repitiera muchas veces.
La ganancia esperada es \(E(G)=\$450\).
Ejercicio 5: encontrar una probabilidad faltante y luego calcular esperanza
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(p\) | \(0{,}35\) |
- Encuentra el valor de \(p\).
- Calcula \(E(X)\).
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}25+p+0{,}35=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}25+0{,}35=0{,}60 \]
Entonces:
\[ 0{,}60+p=1 \]
\[ p=0{,}40 \]
Ahora calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}25+2\cdot 0{,}40+4\cdot 0{,}35 \]
\[ E(X)=0+0{,}80+1{,}40=2{,}20 \]
\(p=0{,}40\) y \(E(X)=2{,}20\).
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego cuesta \(\$300\) para participar. El premio depende de una extracción al azar:
- Se gana \(\$1\,000\) con probabilidad \(0{,}2\).
- Se gana \(\$500\) con probabilidad \(0{,}3\).
- No se gana premio con probabilidad \(0{,}5\).
Sea \(N\) la ganancia neta, es decir, premio recibido menos costo de participación.
- Construye los valores posibles de \(N\).
- Calcula \(E(N)\).
- Interpreta si el juego favorece o perjudica al jugador en promedio.
La ganancia neta se calcula restando el costo de participación al premio recibido.
Si se gana \(\$1\,000\), la ganancia neta es:
\[ 1\,000-300=700 \]
Si se gana \(\$500\), la ganancia neta es:
\[ 500-300=200 \]
Si no se gana premio, igualmente se pagó \(\$300\), por lo que:
\[ 0-300=-300 \]
Entonces calculamos:
\[ E(N)=700\cdot 0{,}2+200\cdot 0{,}3+(-300)\cdot 0{,}5 \]
\[ E(N)=140+60-150=50 \]
La esperanza de la ganancia neta es \(\$50\).
Esto significa que, en promedio teórico de largo plazo, el jugador ganaría \(\$50\) por participación.
Los valores posibles son \(700\), \(200\) y \(-300\). La esperanza es \(E(N)=\$50\), por lo que el juego favorece al jugador en promedio.
8. Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la varianza como una medida de dispersión de una variable aleatoria respecto de su esperanza.
- Calcular e interpretar la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
¿Por qué no basta con la esperanza?
La esperanza matemática indica el valor promedio esperado de una variable aleatoria a largo plazo.
Sin embargo, dos variables pueden tener la misma esperanza y comportarse de manera muy distinta: una puede concentrarse cerca del promedio y otra puede tomar valores mucho más alejados.
Para estudiar esa variabilidad usamos la varianza y la desviación estándar.
Varianza
Sea \(X\) una variable aleatoria discreta con esperanza \(\mu=E(X)\).
La varianza de \(X\) mide qué tan alejados están, en promedio, los valores de \(X\) respecto de su esperanza.
Se calcula mediante:
\[ Var(X)=\sum (x-\mu)^2\cdot P(X=x) \]
También puede escribirse como:
\[ \sigma^2=Var(X) \]
Desviación estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
\[ \sigma=\sqrt{Var(X)} \]
La varianza queda expresada en unidades cuadradas, mientras que la desviación estándar queda en las mismas unidades de la variable original.
Idea clave
Una desviación estándar pequeña indica que los valores de la variable suelen estar cerca de la esperanza.
Una desviación estándar grande indica que los valores pueden alejarse más de la esperanza.
Ejemplo 1: cantidad de caras al lanzar dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
La distribución de probabilidad es:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}=1 \]
Entonces \(\mu=1\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(0-1)^2\cdot \frac{1}{4}+(1-1)^2\cdot \frac{1}{2}+(2-1)^2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ Var(X)=1\cdot \frac{1}{4}+0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{4} \]
\[ Var(X)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71 \]
Esto significa que la cantidad de caras suele variar alrededor de \(1\) cara, con una desviación estándar aproximada de \(0{,}71\) caras.
Ejemplo 2: misma esperanza, distinta variabilidad
Consideremos dos variables aleatorias \(A\) y \(B\), ambas con esperanza \(5\).
| Valor de \(A\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| \(P(A=a)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
| Valor de \(B\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) |
|---|---|---|---|
| \(P(B=b)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Ambas variables tienen esperanza \(5\), pero \(B\) puede tomar valores más alejados de \(5\).
Para \(A\):
\[ Var(A)=(4-5)^2\cdot 0{,}25+(5-5)^2\cdot 0{,}50+(6-5)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(A)=0{,}25+0+0{,}25=0{,}5 \]
Para \(B\):
\[ Var(B)=(2-5)^2\cdot 0{,}25+(5-5)^2\cdot 0{,}50+(8-5)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(B)=9\cdot 0{,}25+0+9\cdot 0{,}25=4{,}5 \]
Como \(Var(B)>Var(A)\), la variable \(B\) tiene mayor variabilidad.
Error frecuente
No se debe calcular la varianza promediando directamente las diferencias \(x-\mu\).
Las diferencias positivas y negativas pueden anularse. Por eso, en la varianza se usan cuadrados: \((x-\mu)^2\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular varianza y desviación estándar
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}6\) | \(0{,}4\) |
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula la desviación estándar.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot 0{,}6+1\cdot 0{,}4=0{,}4 \]
Entonces \(\mu=0{,}4\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(0-0{,}4)^2\cdot 0{,}6+(1-0{,}4)^2\cdot 0{,}4 \]
\[ Var(X)=0{,}16\cdot 0{,}6+0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ Var(X)=0{,}096+0{,}144=0{,}24 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}24}\approx 0{,}49 \]
\(E(X)=0{,}4\), \(Var(X)=0{,}24\) y \(\sigma\approx 0{,}49\).
Ejercicio 2: variable simétrica
Sea \(Y\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(Y\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y=y)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Calcula \(E(Y)\), \(Var(Y)\) y \(\sigma\).
Calculamos la esperanza:
\[ E(Y)=(-1)\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+1\cdot 0{,}25 \]
\[ E(Y)=-0{,}25+0+0{,}25=0 \]
Entonces \(\mu=0\).
Calculamos la varianza:
\[ Var(Y)=(-1-0)^2\cdot 0{,}25+(0-0)^2\cdot 0{,}50+(1-0)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(Y)=1\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+1\cdot 0{,}25=0{,}5 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71 \]
\(E(Y)=0\), \(Var(Y)=0{,}5\) y \(\sigma\approx 0{,}71\).
Ejercicio 3: interpretar desviación estándar
Dos variables aleatorias tienen la misma esperanza:
\[ E(A)=10 \qquad E(B)=10 \]
Pero sus desviaciones estándar son:
\[ \sigma_A=1{,}2 \qquad \sigma_B=4{,}8 \]
¿Cuál variable presenta mayor variabilidad? Justifica.
La desviación estándar mide cuánto suelen alejarse los valores de una variable respecto de su esperanza.
Como:
\[ 4{,}8>1{,}2 \]
la variable \(B\) presenta mayor variabilidad que la variable \(A\).
Ambas tienen la misma esperanza, pero los valores de \(B\) tienden a estar más dispersos alrededor de \(10\).
La variable \(B\) presenta mayor variabilidad.
Ejercicio 4: completar una tabla de cálculo
Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución:
| Valor de \(X\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
- Calcula la esperanza.
- Calcula la varianza.
- Calcula la desviación estándar.
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=2\cdot 0{,}25+4\cdot 0{,}50+6\cdot 0{,}25 \]
\[ E(X)=0{,}5+2+1{,}5=4 \]
Entonces \(\mu=4\).
Calculamos la varianza:
\[ Var(X)=(2-4)^2\cdot 0{,}25+(4-4)^2\cdot 0{,}50+(6-4)^2\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(X)=4\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}50+4\cdot 0{,}25 \]
\[ Var(X)=1+0+1=2 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}41 \]
\(E(X)=4\), \(Var(X)=2\) y \(\sigma\approx 1{,}41\).
Ejercicio 5: comparar dos distribuciones
Las variables \(A\) y \(B\) tienen las siguientes distribuciones:
| Valor de \(A\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) |
|---|---|---|---|
| \(P(A=a)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
| Valor de \(B\) | \(6\) | \(10\) | \(14\) |
|---|---|---|---|
| \(P(B=b)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Sin calcular todos los detalles, explica cuál variable tiene mayor varianza.
Ambas distribuciones están centradas en \(10\), porque el valor central tiene probabilidad \(0{,}50\) y los valores extremos tienen probabilidades iguales.
En la variable \(A\), los valores extremos \(9\) y \(11\) están a una distancia de \(1\) respecto de \(10\).
En la variable \(B\), los valores extremos \(6\) y \(14\) están a una distancia de \(4\) respecto de \(10\).
Como los valores de \(B\) están más alejados de su centro, su varianza es mayor.
La variable \(B\) tiene mayor varianza porque sus valores están más dispersos.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego entrega una ganancia neta \(G\), en pesos, con la siguiente distribución:
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(0\) | \(1\,000\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}50\) | \(0{,}30\) | \(0{,}20\) |
- Calcula \(E(G)\).
- Calcula \(Var(G)\).
- Calcula la desviación estándar aproximada.
- Interpreta por qué la desviación estándar es alta en comparación con la esperanza.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot 0{,}50+0\cdot 0{,}30+1\,000\cdot 0{,}20 \]
\[ E(G)=-250+0+200=-50 \]
Entonces \(\mu=-50\).
Ahora calculamos la varianza:
\[ Var(G)=(-500-(-50))^2\cdot 0{,}50+(0-(-50))^2\cdot 0{,}30+(1\,000-(-50))^2\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=(-450)^2\cdot 0{,}50+50^2\cdot 0{,}30+1\,050^2\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=202\,500\cdot 0{,}50+2\,500\cdot 0{,}30+1\,102\,500\cdot 0{,}20 \]
\[ Var(G)=101\,250+750+220\,500=322\,500 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{322\,500}\approx 567{,}9 \]
La desviación estándar es alta porque los valores posibles de la ganancia están bastante separados: se puede perder \(\$500\), no ganar ni perder, o ganar \(\$1\,000\).
Aunque la esperanza es \(-\$50\), los resultados individuales pueden alejarse mucho de ese promedio teórico.
\(E(G)=-\$50\), \(Var(G)=322\,500\) y \(\sigma\approx \$567{,}9\).
9. Juegos justos e injustos
Objetivo de aprendizaje
- Usar la esperanza matemática para analizar juegos de azar simples.
- Distinguir entre juegos justos, favorables y desfavorables según la ganancia esperada.
Ganancia neta
En un juego de azar, no basta con mirar el premio que se puede ganar. También hay que considerar el costo de participar.
La ganancia neta se calcula como:
\[ \text{ganancia neta}=\text{premio recibido}-\text{costo de participación} \]
Si la ganancia neta es negativa, significa que la persona perdió dinero en esa jugada.
Juego justo
Un juego se considera justo para el jugador cuando la esperanza de la ganancia neta es \(0\).
\[ E(G)=0 \]
donde \(G\) representa la ganancia neta.
Si \(E(G)>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
Si \(E(G)<0\), el juego desfavorece al jugador en promedio.
Idea clave
Un juego justo no significa que siempre se gane lo mismo ni que no haya riesgo.
Significa que, si el juego se repitiera muchas veces, la ganancia promedio esperada sería \(0\).
Ejemplo 1: juego justo con una moneda
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada.
- Si sale cara, el jugador gana \(\$500\).
- Si sale sello, el jugador pierde \(\$500\).
Sea \(G\) la ganancia neta del jugador. La distribución es:
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(500\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot \frac{1}{2}+500\cdot \frac{1}{2} \]
\[ E(G)=-250+250=0 \]
Como \(E(G)=0\), el juego es justo para el jugador.
Ejemplo 2: juego desfavorable
Un juego cuesta \(\$300\) para participar. Se lanza un dado equilibrado.
- Si sale \(6\), el jugador recibe un premio de \(\$1\,200\).
- Si no sale \(6\), no recibe premio.
Primero calculamos la ganancia neta.
Si sale \(6\):
\[ G=1\,200-300=900 \]
Si no sale \(6\):
\[ G=0-300=-300 \]
La distribución de \(G\) es:
| Valor de \(G\) | \(-300\) | \(900\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{5}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-300)\cdot \frac{5}{6}+900\cdot \frac{1}{6} \]
\[ E(G)=-250+150=-100 \]
Como \(E(G)<0\), el juego es desfavorable para el jugador. En promedio teórico, perdería \(\$100\) por participación.
Ejemplo 3: calcular el costo justo
Una rifa entrega un premio de \(\$4\,000\) con probabilidad \(0{,}1\), y no entrega premio con probabilidad \(0{,}9\).
Queremos determinar cuánto debería costar participar para que el juego sea justo.
Primero calculamos el valor esperado del premio:
\[ E(\text{premio})=4\,000\cdot 0{,}1+0\cdot 0{,}9 \]
\[ E(\text{premio})=400 \]
Para que el juego sea justo, el costo debe ser igual al valor esperado del premio.
Por lo tanto, el costo justo de participación es \(\$400\).
Si el costo fuera mayor que \(\$400\), el juego sería desfavorable para el jugador. Si fuera menor, sería favorable para el jugador.
Error frecuente
No se debe decidir si un juego es justo mirando solo el premio máximo.
Un premio grande puede tener una probabilidad muy baja. Por eso, se debe calcular la esperanza de la ganancia neta.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: juego con moneda
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada.
- Si sale cara, el jugador gana \(\$200\).
- Si sale sello, el jugador pierde \(\$200\).
Calcula la esperanza de la ganancia neta e indica si el juego es justo.
Sea \(G\) la ganancia neta del jugador.
Los valores posibles son:
\[ G=200 \quad \text{y} \quad G=-200 \]
Cada uno ocurre con probabilidad \(\frac{1}{2}\).
Calculamos:
\[ E(G)=200\cdot \frac{1}{2}+(-200)\cdot \frac{1}{2} \]
\[ E(G)=100-100=0 \]
Como la esperanza es \(0\), el juego es justo para el jugador.
\(E(G)=0\). El juego es justo.
Ejercicio 2: juego desfavorable con dado
Un juego cuesta \(\$500\) para participar. Se lanza un dado equilibrado.
- Si sale \(6\), el jugador recibe \(\$2\,400\).
- Si no sale \(6\), no recibe premio.
Calcula la ganancia esperada neta e interpreta el resultado.
Si sale \(6\), el jugador recibe \(\$2\,400\), pero pagó \(\$500\). Entonces la ganancia neta es:
\[ 2\,400-500=1\,900 \]
Si no sale \(6\), no recibe premio, pero pagó \(\$500\). Entonces:
\[ 0-500=-500 \]
Las probabilidades son:
\[ P(G=1\,900)=\frac{1}{6},\qquad P(G=-500)=\frac{5}{6} \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=1\,900\cdot \frac{1}{6}+(-500)\cdot \frac{5}{6} \]
\[ E(G)=\frac{1\,900}{6}-\frac{2\,500}{6}=\frac{-600}{6}=-100 \]
La ganancia esperada neta es \(-\$100\).
Esto significa que, en promedio teórico de largo plazo, el jugador perdería \(\$100\) por participación.
\(E(G)=-\$100\). El juego es desfavorable para el jugador.
Ejercicio 3: decidir si favorece al jugador
La ganancia neta \(G\), en pesos, de un juego tiene la siguiente distribución:
| Valor de \(G\) | \(-100\) | \(200\) | \(500\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}50\) | \(0{,}30\) | \(0{,}20\) |
Calcula \(E(G)\) e indica si el juego favorece o desfavorece al jugador.
Calculamos la esperanza de la ganancia neta:
\[ E(G)=(-100)\cdot 0{,}50+200\cdot 0{,}30+500\cdot 0{,}20 \]
\[ E(G)=-50+60+100=110 \]
Como \(E(G)=110>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
Esto no asegura que el jugador gane en una partida individual, pero sí indica que la ganancia promedio esperada es positiva.
\(E(G)=\$110\). El juego favorece al jugador.
Ejercicio 4: encontrar el costo justo
Una tómbola entrega un premio de \(\$3\,000\) con probabilidad \(0{,}2\), y no entrega premio con probabilidad \(0{,}8\).
¿Cuál debería ser el costo de participación para que el juego sea justo?
Primero calculamos el valor esperado del premio:
\[ E(\text{premio})=3\,000\cdot 0{,}2+0\cdot 0{,}8 \]
\[ E(\text{premio})=600+0=600 \]
Para que el juego sea justo, el costo debe ser igual al valor esperado del premio.
Así, la ganancia neta esperada sería:
\[ E(G)=600-600=0 \]
El costo justo de participación es \(\$600\).
Ejercicio 5: analizar una afirmación
Un juego cuesta \(\$1\,000\). La probabilidad de ganar un premio de \(\$10\,000\) es \(0{,}05\), y la probabilidad de no ganar premio es \(0{,}95\).
Un estudiante afirma: “Conviene jugar porque el premio es mucho mayor que el costo”.
Evalúa la afirmación usando la esperanza de la ganancia neta.
Si gana el premio, la ganancia neta es:
\[ 10\,000-1\,000=9\,000 \]
Si no gana premio, pierde el costo de participación:
\[ 0-1\,000=-1\,000 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=9\,000\cdot 0{,}05+(-1\,000)\cdot 0{,}95 \]
\[ E(G)=450-950=-500 \]
La esperanza es negativa, por lo tanto el juego desfavorece al jugador en promedio.
La afirmación del estudiante es incorrecta porque considera solo el tamaño del premio, pero no la baja probabilidad de ganarlo.
\(E(G)=-\$500\). No conviene en promedio; el juego es desfavorable para el jugador.
Ejercicio 6: caso desafiante
Un juego consiste en extraer una ficha de una bolsa con \(2\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(5\) fichas verdes.
El juego cuesta \(\$400\) para participar.
- Si sale roja, el jugador recibe \(\$1\,500\).
- Si sale azul, el jugador recibe \(\$600\).
- Si sale verde, no recibe premio.
- Construye la distribución de la ganancia neta \(G\).
- Calcula \(E(G)\).
- Indica si el juego es justo, favorable o desfavorable para el jugador.
En total hay:
\[ 2+3+5=10 \]
fichas.
Calculamos las ganancias netas:
Si sale roja:
\[ G=1\,500-400=1\,100 \]
Si sale azul:
\[ G=600-400=200 \]
Si sale verde:
\[ G=0-400=-400 \]
Las probabilidades son:
\[ P(G=1\,100)=\frac{2}{10},\quad P(G=200)=\frac{3}{10},\quad P(G=-400)=\frac{5}{10} \]
| Valor de \(G\) | \(-400\) | \(200\) | \(1\,100\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(\frac{5}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-400)\cdot \frac{5}{10}+200\cdot \frac{3}{10}+1\,100\cdot \frac{2}{10} \]
\[ E(G)=-200+60+220=80 \]
Como \(E(G)>0\), el juego favorece al jugador en promedio.
La distribución es \(P(G=-400)=\frac{5}{10}\), \(P(G=200)=\frac{3}{10}\), \(P(G=1\,100)=\frac{2}{10}\). Además, \(E(G)=\$80\), por lo que el juego es favorable para el jugador.
10. Taller: construir una distribución de probabilidad
Objetivo de aprendizaje
- Construir distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas.
- Verificar que una distribución de probabilidad sea válida.
- Interpretar una distribución usando tablas, gráficos y medidas como la esperanza.
Pasos para construir una distribución
- Identificar el experimento aleatorio.
- Definir claramente la variable aleatoria.
- Determinar todos los valores posibles de la variable.
- Calcular la probabilidad asociada a cada valor.
- Organizar la información en una tabla.
- Verificar que todas las probabilidades estén entre \(0\) y \(1\), y que sumen \(1\).
Condición de validez
Si \(X\) es una variable aleatoria discreta, su distribución debe cumplir:
\[ 0\leq P(X=x)\leq 1 \]
para cada valor posible de \(X\), y además:
\[ \sum P(X=x)=1 \]
Ejemplo guía: cantidad de caras al lanzar tres monedas
Se lanzan tres monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]
Contamos cuántos resultados producen cada valor:
| Valor de \(X\) | Resultados favorables | Cantidad | Probabilidad |
|---|---|---|---|
| \(0\) | SSS | \(1\) | \(\frac{1}{8}\) |
| \(1\) | CSS, SCS, SSC | \(3\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(2\) | CCS, CSC, SCC | \(3\) | \(\frac{3}{8}\) |
| \(3\) | CCC | \(1\) | \(\frac{1}{8}\) |
La distribución de probabilidad queda:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
El gráfico muestra visualmente la distribución:
Verificamos la suma total:
\[ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1 \]
Por lo tanto, la tabla sí representa una distribución de probabilidad válida.
Error frecuente
No se deben confundir los resultados del experimento con los valores de la variable aleatoria.
Por ejemplo, al lanzar tres monedas hay \(8\) resultados posibles, pero la variable “cantidad de caras” solo puede tomar \(4\) valores: \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: construir desde una moneda
Se lanza una moneda equilibrada y se define \(X\) así:
- \(X=1\) si sale cara.
- \(X=0\) si sale sello.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\) y verifica que sea válida.
La moneda tiene dos resultados igualmente probables: cara y sello.
Según la definición:
- Si sale sello, \(X=0\).
- Si sale cara, \(X=1\).
Como la moneda es equilibrada:
\[ P(X=0)=\frac{1}{2},\qquad P(X=1)=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
Verificamos la suma:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida: \(P(X=0)=\frac{1}{2}\) y \(P(X=1)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 2: variable desde un dado
Se lanza un dado equilibrado y se define \(X\) como la cantidad que vale \(1\) si el resultado es par y \(0\) si el resultado es impar.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye su distribución de probabilidad.
- Verifica que la suma de probabilidades sea \(1\).
Los valores posibles de \(X\) son \(0\) y \(1\).
En el dado, los resultados impares son \(1,\ 3,\ 5\). Hay \(3\) resultados impares de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Los resultados pares son \(2,\ 4,\ 6\). Hay \(3\) resultados pares de \(6\), por lo tanto:
\[ P(X=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
La suma es:
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida y ambos valores tienen la misma probabilidad.
Ejercicio 3: construir una distribución con fichas
Una bolsa contiene \(2\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(5\) fichas verdes. Se extrae una ficha al azar.
Se define \(X\) así:
- \(X=0\) si la ficha es roja.
- \(X=1\) si la ficha es azul.
- \(X=2\) si la ficha es verde.
Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
Primero calculamos el total de fichas:
\[ 2+3+5=10 \]
Si la ficha es roja, \(X=0\). Como hay \(2\) fichas rojas:
\[ P(X=0)=\frac{2}{10}=0{,}2 \]
Si la ficha es azul, \(X=1\). Como hay \(3\) fichas azules:
\[ P(X=1)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
Si la ficha es verde, \(X=2\). Como hay \(5\) fichas verdes:
\[ P(X=2)=\frac{5}{10}=0{,}5 \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(0{,}5\) |
Verificamos:
\[ 0{,}2+0{,}3+0{,}5=1 \]
La distribución es \(P(X=0)=0{,}2\), \(P(X=1)=0{,}3\) y \(P(X=2)=0{,}5\).
Ejercicio 4: cantidad de caras en dos monedas
Se lanzan dos monedas equilibradas y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
- Escribe los resultados posibles del experimento.
- Construye la distribución de probabilidad de \(X\).
- Calcula \(E(X)\).
Los resultados posibles son:
\[ SS,\ CS,\ SC,\ CC \]
Los valores posibles de \(X\) son \(0,\ 1,\ 2\).
- \(X=0\): ocurre con \(SS\). Hay \(1\) caso.
- \(X=1\): ocurre con \(CS\) y \(SC\). Hay \(2\) casos.
- \(X=2\): ocurre con \(CC\). Hay \(1\) caso.
Como hay \(4\) resultados igualmente probables:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es \(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\), y la esperanza es \(E(X)=1\).
Ejercicio 5: completar una distribución
La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad válida:
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}10\) | \(p\) | \(0{,}35\) | \(0{,}25\) |
- Encuentra el valor de \(p\).
- Indica el valor más probable de \(X\).
- Calcula \(P(X\geq 2)\).
Como la tabla es una distribución válida, las probabilidades deben sumar \(1\):
\[ 0{,}10+p+0{,}35+0{,}25=1 \]
Sumamos los valores conocidos:
\[ 0{,}10+0{,}35+0{,}25=0{,}70 \]
Entonces:
\[ 0{,}70+p=1 \]
\[ p=0{,}30 \]
Las probabilidades son:
\[ 0{,}10,\quad 0{,}30,\quad 0{,}35,\quad 0{,}25 \]
La mayor es \(0{,}35\), asociada a \(X=2\). Por lo tanto, el valor más probable es \(2\).
Para calcular \(P(X\geq 2)\), sumamos:
\[ P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0{,}35+0{,}25=0{,}60 \]
\(p=0{,}30\), el valor más probable es \(X=2\), y \(P(X\geq 2)=0{,}60\).
Ejercicio 6: construir y verificar
Se lanzan dos dados equilibrados y se define \(X\) como la cantidad de dados que muestran un número par.
- Indica los valores posibles de \(X\).
- Construye la distribución de probabilidad.
- Verifica que la suma de probabilidades sea \(1\).
- Calcula \(E(X)\).
Cada dado puede mostrar un número par o impar. Como se lanzan dos dados, la cantidad de dados pares puede ser:
\[ 0,\ 1,\ 2 \]
En un dado equilibrado, la probabilidad de par es \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), y la de impar también es \(\frac{1}{2}\).
Para \(X=0\), ambos dados deben ser impares:
\[ P(X=0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Para \(X=2\), ambos dados deben ser pares:
\[ P(X=2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Para \(X=1\), debe salir exactamente un dado par. Esto puede ocurrir de dos formas: par-impar o impar-par:
\[ P(X=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]
| Valor de \(X\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Verificamos:
\[ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4} \]
\[ E(X)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
La distribución es válida y la esperanza es \(E(X)=1\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Un juego consiste en extraer una ficha de una bolsa con \(4\) fichas rojas, \(3\) fichas azules y \(3\) fichas verdes.
El juego cuesta \(\$500\) para participar.
- Si sale roja, se recibe un premio de \(\$1\,500\).
- Si sale azul, se recibe un premio de \(\$700\).
- Si sale verde, no se recibe premio.
Sea \(G\) la ganancia neta.
- Construye la distribución de probabilidad de \(G\).
- Verifica que sea válida.
- Calcula \(E(G)\).
- Indica si el juego es justo, favorable o desfavorable para el jugador.
En total hay:
\[ 4+3+3=10 \]
fichas.
Calculamos la ganancia neta en cada caso:
Si sale roja:
\[ G=1\,500-500=1\,000 \]
Si sale azul:
\[ G=700-500=200 \]
Si sale verde:
\[ G=0-500=-500 \]
Ahora asignamos las probabilidades:
\[ P(G=1\,000)=\frac{4}{10}=0{,}4 \]
\[ P(G=200)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
\[ P(G=-500)=\frac{3}{10}=0{,}3 \]
| Valor de \(G\) | \(-500\) | \(200\) | \(1\,000\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g)\) | \(0{,}3\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) |
Verificamos:
\[ 0{,}3+0{,}3+0{,}4=1 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(G)=(-500)\cdot 0{,}3+200\cdot 0{,}3+1\,000\cdot 0{,}4 \]
\[ E(G)=-150+60+400=310 \]
Como \(E(G)>0\), el juego es favorable para el jugador en promedio.
La distribución es válida, \(E(G)=\$310\), y el juego es favorable para el jugador.
Cierre
Construir una distribución de probabilidad permite estudiar el comportamiento completo de una variable aleatoria.
Una vez construida, se pueden calcular probabilidades, esperanza matemática y analizar situaciones como juegos de azar o decisiones bajo incertidumbre.