Distribución binomial
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial |
| Libro: | Distribución binomial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:16 |
Tabla de contenidos
- 1. Experimentos repetidos con dos resultados
- 2. Ensayo de Bernoulli
- 3. Éxito y fracaso
- 4. Condiciones para usar distribución binomial
- 5. Parámetros \(n\) y \(p\)
- 6. Variable \(X\): número de éxitos
- 7. Fórmula binomial
- 8. Probabilidad de exactamente \(k\) éxitos
- 9. Probabilidad de “a lo más”
- 10. Probabilidad de “al menos”
- 11. Uso de tabla o tecnología
- 12. Esperanza de una binomial
- 13. Desviación estándar de una binomial
- 14. Taller contextual: encuestas, pruebas, defectos y decisiones
1. Experimentos repetidos con dos resultados
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer situaciones aleatorias formadas por repeticiones de un mismo experimento.
- Identificar experimentos en los que cada repetición tiene solo dos resultados relevantes.
Experimentos repetidos
Muchas situaciones de azar no ocurren una sola vez, sino que se repiten varias veces bajo condiciones similares.
Por ejemplo, lanzar una moneda \(10\) veces, revisar \(50\) productos de una fábrica o responder \(20\) preguntas de verdadero o falso.
En estos casos, no solo interesa un resultado aislado, sino lo que ocurre a lo largo de varias repeticiones.
Dos resultados posibles
En algunos experimentos repetidos, cada repetición se puede clasificar en dos resultados relevantes.
Por ejemplo:
- cara o sello,
- correcto o incorrecto,
- defectuoso o no defectuoso,
- responde “sí” o responde “no”.
Estos dos resultados no siempre tienen que llamarse “cara” y “sello”. En la distribución binomial, normalmente se organizarán como éxito y fracaso.
Idea central
La distribución binomial no se estudia solo como una fórmula.
Se estudia como un modelo para contar cuántas veces ocurre un resultado de interés al repetir un experimento con dos resultados posibles.
Ejemplo 1: lanzar una moneda varias veces
Se lanza una moneda \(5\) veces y en cada lanzamiento puede salir cara o sello.
Si interesa contar cuántas caras aparecen, cada lanzamiento se puede clasificar así:
| Resultado del lanzamiento | Clasificación |
|---|---|
| Cara | Resultado de interés |
| Sello | No es el resultado de interés |
Un posible resultado de los \(5\) lanzamientos podría ser:
\[ C,\ S,\ C,\ C,\ S \]
En ese caso, aparecieron \(3\) caras.
La pregunta binomial típica no es solo “¿salió cara?”, sino “¿cuántas caras salieron en \(5\) lanzamientos?”.
Ejemplo 2: revisar productos
Una fábrica revisa \(20\) productos seleccionados al azar. Cada producto puede clasificarse como defectuoso o no defectuoso.
| Producto revisado | Resultado posible |
|---|---|
| Producto individual | Defectuoso |
| Producto individual | No defectuoso |
Si el interés es contar productos defectuosos, entonces cada revisión tiene dos resultados relevantes:
- el producto es defectuoso,
- el producto no es defectuoso.
Una variable adecuada más adelante será \(X\): cantidad de productos defectuosos entre los \(20\) revisados.
Ejemplo 3: estructura de repeticiones
El siguiente diagrama resume la idea de repetir un experimento con dos resultados posibles:
Error frecuente
No todo experimento repetido es automáticamente binomial.
Para usar el modelo binomial se deben cumplir ciertas condiciones, como mantener el mismo número de repeticiones, tener dos resultados relevantes en cada repetición y trabajar con una probabilidad de éxito constante. Estas condiciones se estudiarán en las páginas siguientes.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer repeticiones
Indica si la situación corresponde a un experimento repetido.
“Se lanza una moneda \(12\) veces y se registra el resultado de cada lanzamiento”.
Sí corresponde a un experimento repetido.
El experimento básico es lanzar una moneda, y este se realiza \(12\) veces.
En cada repetición hay dos resultados posibles: cara o sello.
Sí es un experimento repetido con dos resultados posibles por repetición.
Ejercicio 2: identificar los dos resultados
Una encuesta pregunta a \(100\) personas si están de acuerdo con una medida municipal.
Las respuestas posibles son “sí” o “no”.
Identifica los dos resultados relevantes de cada repetición.
Cada repetición corresponde a encuestar a una persona.
Los dos resultados relevantes son:
- la persona responde “sí”,
- la persona responde “no”.
Si interesa contar cuántas personas responden “sí”, entonces “sí” será el resultado de interés.
Los resultados relevantes son “sí” y “no”.
Ejercicio 3: resultado de interés
Un estudiante responde \(15\) preguntas de verdadero o falso. Se quiere contar cuántas respuestas son correctas.
¿Cuál es el resultado de interés en cada pregunta?
Cada repetición corresponde a responder una pregunta.
Como se quiere contar cuántas respuestas son correctas, el resultado de interés es “respuesta correcta”.
El otro resultado posible es “respuesta incorrecta”.
El resultado de interés es obtener una respuesta correcta.
Ejercicio 4: contar resultados de interés
Se revisan \(8\) ampolletas y se registra si cada una funciona o no funciona.
El resultado observado fue:
\[ F,\ F,\ N,\ F,\ N,\ F,\ F,\ N \]
donde \(F\) significa “funciona” y \(N\) significa “no funciona”.
Si el resultado de interés es “no funciona”, ¿cuántas veces ocurrió?
Debemos contar cuántas veces aparece \(N\), porque \(N\) significa “no funciona”.
En la secuencia:
\[ F,\ F,\ N,\ F,\ N,\ F,\ F,\ N \]
la letra \(N\) aparece \(3\) veces.
El resultado de interés ocurrió \(3\) veces.
Ejercicio 5: proponer una variable
Un laboratorio revisa \(30\) muestras y cada una puede resultar positiva o negativa para cierta característica.
Define una variable \(X\) adecuada para contar los resultados positivos.
Una variable adecuada es:
\[ X=\text{cantidad de muestras positivas entre las }30\text{ revisadas} \]
Esta variable cuenta cuántas veces ocurre el resultado de interés.
Como se revisan \(30\) muestras, los valores posibles de \(X\) van desde \(0\) hasta \(30\).
Una definición adecuada es \(X=\) cantidad de muestras positivas entre \(30\).
Ejercicio 6: distinguir situaciones
Determina cuál situación se ajusta mejor a la idea de experimento repetido con dos resultados relevantes. Justifica.
- Medir la estatura de \(40\) estudiantes.
- Revisar \(40\) respuestas y clasificar cada una como correcta o incorrecta.
- Registrar la temperatura diaria durante \(40\) días.
La situación que se ajusta mejor es la segunda.
En ella, cada repetición consiste en revisar una respuesta, y cada respuesta se clasifica en dos resultados relevantes: correcta o incorrecta.
En cambio, medir estatura o registrar temperatura produce valores numéricos que pueden tomar muchos valores posibles, no solo dos categorías relevantes.
La situación 2 se ajusta mejor, porque cada repetición tiene dos resultados: correcta o incorrecta.
2. Ensayo de Bernoulli
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué es un ensayo de Bernoulli en un experimento aleatorio.
- Reconocer situaciones en las que una repetición puede clasificarse en dos resultados: éxito o fracaso.
Definición
Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene solo dos resultados relevantes:
- éxito,
- fracaso.
La palabra “éxito” no significa necesariamente algo bueno. Solo indica el resultado que interesa contar o estudiar.
Un ensayo es una repetición
En el contexto binomial, un ensayo de Bernoulli corresponde a una sola repetición del experimento.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(10\) veces, cada lanzamiento individual es un ensayo de Bernoulli si se clasifica como cara o no cara.
Si se revisan \(50\) productos, cada producto revisado puede ser un ensayo de Bernoulli si se clasifica como defectuoso o no defectuoso.
Ejemplo 1: lanzar una moneda
Se lanza una moneda y se quiere estudiar si sale cara.
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| Cara | Éxito |
| Sello | Fracaso |
Este lanzamiento es un ensayo de Bernoulli porque tiene solo dos resultados relevantes: sale cara o no sale cara.
Ejemplo 2: revisar un producto
Una fábrica revisa un producto y quiere saber si está defectuoso.
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| El producto está defectuoso | Éxito |
| El producto no está defectuoso | Fracaso |
En este contexto, “éxito” significa que ocurrió el resultado de interés: encontrar un producto defectuoso.
No significa que sea algo positivo para la fábrica.
Idea clave
Un ensayo de Bernoulli transforma una situación aleatoria en una pregunta con respuesta de dos opciones.
La pregunta típica es: ¿ocurrió el resultado de interés?
Ejemplo 3: responder una pregunta
Un estudiante responde una pregunta de selección múltiple. Si interesa estudiar si la respuesta fue correcta, entonces:
- éxito: la respuesta es correcta,
- fracaso: la respuesta es incorrecta.
La pregunta individual puede verse como un ensayo de Bernoulli, porque se clasifica en dos resultados relevantes.
Error frecuente
No se debe confundir un ensayo de Bernoulli con todo el experimento repetido.
Si se lanzan \(20\) monedas, cada lanzamiento individual puede ser un ensayo de Bernoulli. El conjunto de los \(20\) lanzamientos será el experimento repetido que se modelará más adelante.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer un ensayo
Se lanza una moneda una vez y se registra si sale sello.
¿Este experimento puede considerarse un ensayo de Bernoulli? Justifica.
Sí puede considerarse un ensayo de Bernoulli.
El resultado de interés es que salga sello.
Entonces hay dos resultados relevantes:
- éxito: sale sello,
- fracaso: no sale sello, es decir, sale cara.
Sí es un ensayo de Bernoulli porque tiene dos resultados relevantes.
Ejercicio 2: clasificar éxito y fracaso
Se revisa una ampolleta y se quiere estudiar si está quemada.
Indica cuál sería el éxito y cuál sería el fracaso.
El resultado de interés es que la ampolleta esté quemada.
Por lo tanto:
- éxito: la ampolleta está quemada,
- fracaso: la ampolleta no está quemada.
La palabra éxito solo indica que ocurrió el resultado que se desea estudiar.
Éxito: está quemada. Fracaso: no está quemada.
Ejercicio 3: una pregunta de encuesta
Una encuesta pregunta a una persona si utiliza bicicleta para trasladarse al colegio.
Se quiere estudiar la respuesta “sí”.
Explica por qué la respuesta de una persona puede verse como un ensayo de Bernoulli.
La repetición consiste en encuestar a una persona.
Como interesa estudiar la respuesta “sí”, se pueden definir dos resultados relevantes:
- éxito: la persona responde “sí”,
- fracaso: la persona no responde “sí”.
Por lo tanto, la respuesta individual puede clasificarse en éxito o fracaso.
Es un ensayo de Bernoulli porque la respuesta se clasifica en dos resultados relevantes.
Ejercicio 4: no todo experimento es Bernoulli
Se lanza un dado y se registra el número exacto obtenido: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) o \(6\).
¿Ese registro directo corresponde a un ensayo de Bernoulli? Justifica.
No corresponde directamente a un ensayo de Bernoulli, porque se están registrando seis resultados posibles distintos.
Un ensayo de Bernoulli debe tener solo dos resultados relevantes.
Sin embargo, se podría transformar en un ensayo de Bernoulli si se define una pregunta de dos opciones, por ejemplo: “¿salió un número par?”.
En ese caso:
- éxito: sale número par,
- fracaso: no sale número par.
El registro exacto del dado no es Bernoulli, pero puede convertirse en Bernoulli si se define una condición de interés.
Ejercicio 5: transformar un experimento
Se elige al azar un estudiante de un curso y se registra su promedio final.
Propón una forma de transformar esta situación en un ensayo de Bernoulli.
Para transformar la situación en un ensayo de Bernoulli, debemos definir una condición con dos resultados.
Por ejemplo, se puede estudiar si el promedio final es al menos \(6{,}0\).
Entonces:
- éxito: el estudiante tiene promedio final mayor o igual que \(6{,}0\),
- fracaso: el estudiante tiene promedio final menor que \(6{,}0\).
Así, aunque el promedio puede tomar muchos valores, la clasificación se reduce a dos resultados relevantes.
Una transformación posible es éxito si el promedio es al menos \(6{,}0\), y fracaso en caso contrario.
Ejercicio 6: caso desafiante
Una empresa llama a una persona para ofrecer un servicio. La persona puede aceptar, rechazar, pedir más información o no contestar.
La empresa quiere estudiar solo si la persona acepta el servicio.
- ¿Puede definirse un ensayo de Bernoulli en esta situación?
- ¿Cuál sería el éxito?
- ¿Cuál sería el fracaso?
Sí puede definirse un ensayo de Bernoulli, aunque originalmente haya más de dos respuestas posibles.
Como la empresa quiere estudiar si la persona acepta el servicio, el éxito será:
\[ \text{éxito: la persona acepta el servicio} \]
El fracaso agrupa todos los casos en que no acepta:
- rechaza,
- pide más información,
- no contesta.
Esto es válido porque la pregunta se redujo a dos resultados relevantes: acepta o no acepta.
Sí puede definirse. Éxito: acepta. Fracaso: cualquier resultado distinto de aceptar.
3. Éxito y fracaso
Objetivo de aprendizaje
- Comprender que en un modelo binomial el éxito es el resultado que interesa contar.
- Distinguir entre éxito y fracaso según el contexto del experimento aleatorio.
¿Qué significa éxito?
En probabilidad, la palabra éxito no siempre significa algo positivo o conveniente.
En un ensayo de Bernoulli, éxito significa simplemente que ocurre el resultado que queremos contar o estudiar.
El fracaso corresponde a que no ocurre ese resultado de interés.
Organización básica
En cada ensayo de Bernoulli se define:
- Éxito: ocurre el resultado de interés.
- Fracaso: no ocurre el resultado de interés.
Si la probabilidad de éxito es \(p\), entonces la probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Idea clave
La elección de qué se llama éxito depende de la pregunta que se quiere responder.
En una misma situación, se puede definir éxito de distintas maneras, siempre que quede claro qué resultado se está contando.
Ejemplo 1: moneda
Se lanza una moneda equilibrada y se quiere contar cuántas veces sale cara.
| Resultado | Clasificación | Probabilidad |
|---|---|---|
| Cara | Éxito | \(p=\frac{1}{2}\) |
| Sello | Fracaso | \(1-p=\frac{1}{2}\) |
En este caso, el éxito es obtener cara porque ese es el resultado que se quiere contar.
Ejemplo 2: producto defectuoso
Una fábrica revisa productos y desea contar cuántos salen defectuosos.
En este contexto, se puede definir:
| Resultado | Clasificación |
|---|---|
| El producto es defectuoso | Éxito |
| El producto no es defectuoso | Fracaso |
Aunque encontrar un producto defectuoso no sea algo bueno para la fábrica, se llama éxito porque es el resultado que se está contando.
Ejemplo 3: cambiar el resultado de interés
Se lanza un dado equilibrado.
Si queremos contar cuántas veces sale un número par, entonces:
- éxito: sale \(2\), \(4\) o \(6\),
- fracaso: sale \(1\), \(3\) o \(5\).
La probabilidad de éxito es:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Pero si queremos contar cuántas veces sale \(6\), entonces:
- éxito: sale \(6\),
- fracaso: sale \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) o \(5\).
En ese caso, la probabilidad de éxito cambia:
\[ p=\frac{1}{6} \]
La situación es la misma, pero la definición de éxito cambia según la pregunta.
Error frecuente
No se debe elegir el éxito por intuición o por si el resultado parece “bueno”.
El éxito debe definirse según lo que se quiere contar. Si se estudian productos defectuosos, “defectuoso” puede ser éxito. Si se estudian respuestas incorrectas, “incorrecta” puede ser éxito.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar éxito y fracaso
Se lanza una moneda y se quiere estudiar si sale sello.
Indica cuál es el éxito y cuál es el fracaso.
El resultado de interés es que salga sello.
Por lo tanto:
- éxito: sale sello,
- fracaso: no sale sello, es decir, sale cara.
Éxito: sello. Fracaso: cara.
Ejercicio 2: resultado defectuoso
Una empresa revisa artículos y quiere contar cuántos están defectuosos.
Define éxito y fracaso para esta situación.
Como se quiere contar artículos defectuosos, el resultado de interés es “estar defectuoso”.
Entonces:
- éxito: el artículo está defectuoso,
- fracaso: el artículo no está defectuoso.
La palabra éxito no significa que sea un buen resultado para la empresa, sino que es el resultado que se desea contar.
Éxito: defectuoso. Fracaso: no defectuoso.
Ejercicio 3: calcular probabilidad de fracaso
En un ensayo de Bernoulli, la probabilidad de éxito es \(p=0{,}35\).
Calcula la probabilidad de fracaso.
La probabilidad de fracaso es \(1-p\).
Como \(p=0{,}35\), entonces:
\[ 1-p=1-0{,}35=0{,}65 \]
Esto significa que la probabilidad de que no ocurra el éxito es \(0{,}65\).
La probabilidad de fracaso es \(0{,}65\).
Ejercicio 4: dado y resultado de interés
Se lanza un dado equilibrado y se define éxito como obtener un número mayor que \(4\).
- Indica los resultados que corresponden a éxito.
- Indica los resultados que corresponden a fracaso.
- Calcula \(p\), la probabilidad de éxito.
Los números mayores que \(4\) en un dado son \(5\) y \(6\).
Por lo tanto, los resultados de éxito son:
\[ 5,\ 6 \]
Los resultados de fracaso son los que no son mayores que \(4\):
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
Como hay \(2\) éxitos posibles de \(6\) resultados totales:
\[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
Éxito: \(5\) o \(6\). Fracaso: \(1,\ 2,\ 3,\ 4\). \(p=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 5: misma situación, distinto éxito
Se lanza un dado equilibrado.
- Si el éxito es obtener un número par, calcula \(p\).
- Si el éxito es obtener un número \(6\), calcula \(p\).
- Explica por qué las probabilidades son distintas.
Si el éxito es obtener un número par, los resultados favorables son:
\[ 2,\ 4,\ 6 \]
Entonces:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Si el éxito es obtener un \(6\), hay solo un resultado favorable:
\[ 6 \]
Entonces:
\[ p=\frac{1}{6} \]
Las probabilidades son distintas porque el resultado de interés cambió. En el primer caso hay tres resultados favorables; en el segundo, solo uno.
Para número par, \(p=\frac{1}{2}\). Para obtener \(6\), \(p=\frac{1}{6}\).
Ejercicio 6: interpretar éxito en contexto
Una prueba tiene \(20\) preguntas. Un docente quiere estudiar cuántas preguntas fueron respondidas incorrectamente por un estudiante.
Define éxito y fracaso en este contexto.
El resultado que se quiere contar es una respuesta incorrecta.
Por eso, en este contexto:
- éxito: la respuesta es incorrecta,
- fracaso: la respuesta no es incorrecta, es decir, es correcta.
Esto puede parecer extraño porque “incorrecta” no es algo positivo, pero en probabilidad éxito significa resultado de interés.
Éxito: respuesta incorrecta. Fracaso: respuesta correcta.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una encuesta pregunta a una persona por su medio principal de transporte: bus, metro, bicicleta, auto o caminata.
Se quiere estudiar si la persona usa transporte público, considerando transporte público como bus o metro.
- Define éxito.
- Define fracaso.
- Si las probabilidades son \(P(\text{bus})=0{,}30\), \(P(\text{metro})=0{,}25\), \(P(\text{bicicleta})=0{,}15\), \(P(\text{auto})=0{,}20\) y \(P(\text{caminata})=0{,}10\), calcula la probabilidad de éxito.
El éxito corresponde a que la persona use transporte público.
Como transporte público incluye bus o metro:
- éxito: la persona usa bus o metro,
- fracaso: la persona usa bicicleta, auto o caminata.
Calculamos la probabilidad de éxito sumando las probabilidades de bus y metro:
\[ p=P(\text{bus})+P(\text{metro}) \]
\[ p=0{,}30+0{,}25=0{,}55 \]
La probabilidad de fracaso también se puede verificar:
\[ 1-p=1-0{,}55=0{,}45 \]
Éxito: usar bus o metro. Fracaso: usar bicicleta, auto o caminata. La probabilidad de éxito es \(p=0{,}55\).
4. Condiciones para usar distribución binomial
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer las condiciones necesarias para modelar una situación mediante distribución binomial.
- Distinguir situaciones binomiales de situaciones que no cumplen las condiciones del modelo.
Condiciones del modelo binomial
Una situación puede modelarse con distribución binomial cuando cumple estas condiciones:
- Hay un número fijo de repeticiones o ensayos.
- Cada ensayo tiene solo dos resultados relevantes: éxito o fracaso.
- La probabilidad de éxito se mantiene constante en cada ensayo.
- Los ensayos son independientes entre sí.
- La variable aleatoria cuenta el número de éxitos obtenidos.
Ruta de verificación
Antes de aplicar una fórmula binomial, conviene revisar si la situación cumple las condiciones del modelo.
Idea clave
La distribución binomial sirve para contar éxitos en repeticiones de un mismo ensayo, siempre que las condiciones se mantengan estables.
Si cambia la probabilidad de éxito, si no hay independencia o si no se cuenta el número de éxitos, el modelo binomial puede no ser adecuado.
Ejemplo 1: situación binomial
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Revisamos las condiciones:
- Hay un número fijo de ensayos: \(10\) lanzamientos.
- Cada ensayo tiene dos resultados relevantes: cara o sello.
- La probabilidad de éxito es constante: \(P(\text{cara})=\frac{1}{2}\).
- Los lanzamientos son independientes entre sí.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de caras.
Por lo tanto, esta situación puede modelarse con distribución binomial.
Ejemplo 2: probabilidad que no se mantiene constante
Una bolsa tiene \(3\) fichas rojas y \(2\) fichas azules. Se extraen \(3\) fichas sin devolverlas a la bolsa. Se quiere contar cuántas fichas rojas salen.
Hay dos resultados relevantes en cada extracción: roja o no roja.
Sin embargo, la probabilidad de obtener una ficha roja cambia después de cada extracción, porque las fichas no se devuelven a la bolsa.
Por ejemplo, al inicio:
\[ P(\text{roja})=\frac{3}{5} \]
Pero después de extraer una ficha, la composición de la bolsa cambia.
Por eso, esta situación no cumple directamente la condición de probabilidad de éxito constante.
Ejemplo 3: no se cuenta el número de éxitos
Se lanzan \(5\) dados equilibrados y se registra la suma total de los puntos obtenidos.
Aunque hay un número fijo de lanzamientos, la variable no cuenta éxitos.
Además, cada dado puede producir seis valores diferentes si se registra el número exacto.
Por eso, la suma de los puntos no se modela directamente con distribución binomial.
En cambio, si se definiera \(X\) como la cantidad de dados que muestran un \(6\), entonces sí se estaría contando éxitos.
Error frecuente
No se debe usar distribución binomial solo porque una situación se repite varias veces.
Además de repetirse, debe haber dos resultados relevantes por ensayo, probabilidad de éxito constante, independencia y una variable que cuente éxitos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: verificar una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(8\) veces y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
¿Puede modelarse esta situación con distribución binomial? Justifica.
Sí puede modelarse con distribución binomial.
Revisamos las condiciones:
- Hay un número fijo de ensayos: \(8\) lanzamientos.
- Cada ensayo tiene dos resultados relevantes: sello o no sello.
- La probabilidad de éxito es constante: \(P(\text{sello})=\frac{1}{2}\).
- Los lanzamientos son independientes.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de sellos.
Sí corresponde a una situación binomial.
Ejercicio 2: revisar productos
Una fábrica sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}04\). Se revisan \(25\) productos de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de productos defectuosos.
¿Se cumplen las condiciones para usar distribución binomial?
Sí se cumplen las condiciones.
Hay \(25\) ensayos, porque se revisan \(25\) productos.
Cada producto puede clasificarse en dos resultados relevantes: defectuoso o no defectuoso.
La probabilidad de éxito se mantiene constante: \(p=0{,}04\), si se asume que todos los productos tienen la misma probabilidad de ser defectuosos.
El enunciado indica que los productos se revisan de forma independiente.
La variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos, es decir, productos defectuosos.
Sí puede modelarse con distribución binomial.
Ejercicio 3: extracción sin reposición
Una bolsa contiene \(5\) fichas rojas y \(5\) fichas azules. Se extraen \(4\) fichas sin reposición y se cuenta cuántas son rojas.
¿Qué condición binomial puede fallar? Justifica.
Puede fallar la condición de probabilidad de éxito constante y también la independencia.
Al extraer sin reposición, la composición de la bolsa cambia después de cada extracción.
Por ejemplo, si en la primera extracción sale una ficha roja, quedan menos fichas rojas disponibles para la siguiente extracción.
Entonces la probabilidad de éxito no se mantiene igual en todos los ensayos.
La situación no cumple directamente el modelo binomial porque las extracciones sin reposición cambian las probabilidades.
Ejercicio 4: variable que no cuenta éxitos
Se lanzan \(6\) dados equilibrados y se define \(S\) como la suma de los puntos obtenidos.
¿La variable \(S\) corresponde a una variable binomial? Justifica.
No corresponde a una variable binomial.
La variable \(S\) no cuenta éxitos, sino que suma los resultados obtenidos en los dados.
Además, al registrar el número exacto de cada dado, cada ensayo tiene seis resultados posibles.
Para tener una variable binomial, se podría definir, por ejemplo, \(X\) como la cantidad de dados que muestran \(6\).
\(S\) no es binomial porque no cuenta éxitos; es una suma de puntos.
Ejercicio 5: transformar una situación
Se lanzan \(12\) dados equilibrados.
Propón una variable que sí pueda modelarse con distribución binomial y explica por qué.
Una variable adecuada es:
\[ X=\text{cantidad de dados que muestran un número par} \]
Esta variable puede modelarse con distribución binomial porque:
- hay \(12\) ensayos fijos,
- cada dado se clasifica en par o no par,
- la probabilidad de éxito es constante: \(p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\),
- los lanzamientos son independientes,
- \(X\) cuenta la cantidad de éxitos.
Una variable posible es \(X=\) cantidad de dados pares en \(12\) lanzamientos.
Ejercicio 6: encuesta
En una ciudad, se sabe que el \(60\%\) de las personas usa transporte público al menos tres veces por semana. Se encuesta de forma independiente a \(40\) personas y se define \(X\) como la cantidad de personas que usan transporte público al menos tres veces por semana.
Verifica si se cumplen las condiciones binomiales.
Revisamos las condiciones:
- Número fijo de ensayos: se encuestan \(40\) personas.
- Dos resultados relevantes: usa transporte público al menos tres veces por semana, o no lo usa.
- Probabilidad de éxito constante: \(p=0{,}60\), si se mantiene la misma proporción para cada persona considerada.
- Independencia: el enunciado indica que se encuesta de forma independiente.
- La variable \(X\) cuenta éxitos: cantidad de personas que cumplen la característica.
Por lo tanto, la situación puede modelarse con distribución binomial bajo esas condiciones.
Sí se cumplen las condiciones binomiales.
Ejercicio 7: caso desafiante
Un estudiante realiza el siguiente procedimiento: extrae una carta de un mazo, registra si es corazón, devuelve la carta al mazo, mezcla y repite el proceso \(10\) veces.
Se define \(X\) como la cantidad de veces que obtiene una carta de corazón.
- ¿Hay número fijo de ensayos?
- ¿Hay dos resultados relevantes por ensayo?
- ¿La probabilidad de éxito se mantiene constante?
- ¿Los ensayos pueden considerarse independientes?
- ¿Puede modelarse con distribución binomial?
Hay número fijo de ensayos, porque el proceso se repite \(10\) veces.
Hay dos resultados relevantes por ensayo:
- éxito: obtener una carta de corazón,
- fracaso: no obtener una carta de corazón.
La probabilidad de éxito se mantiene constante porque la carta se devuelve al mazo y luego se mezcla.
En un mazo usual de \(52\) cartas, hay \(13\) corazones, por lo tanto:
\[ p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \]
Como se devuelve la carta y se mezcla, los ensayos pueden considerarse independientes.
La variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(10\) ensayos.
Sí puede modelarse con distribución binomial.
5. Parámetros \(n\) y \(p\)
Objetivo de aprendizaje
- Identificar los parámetros \(n\) y \(p\) en una situación binomial.
- Interpretar \(n\) como el número de ensayos y \(p\) como la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Parámetros de una distribución binomial
Una distribución binomial se caracteriza por dos parámetros:
- \(n\): número de ensayos o repeticiones.
- \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo.
Si una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), se puede escribir:
\[ X\sim B(n,p) \]
Esta notación se lee: “\(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\)”.
¿Qué representa \(n\)?
El parámetro \(n\) indica cuántas veces se repite el ensayo de Bernoulli.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(12\) veces, entonces:
\[ n=12 \]
Si se revisan \(40\) productos, entonces:
\[ n=40 \]
¿Qué representa \(p\)?
El parámetro \(p\) indica la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Si el éxito es obtener cara al lanzar una moneda equilibrada, entonces:
\[ p=\frac{1}{2} \]
Si el éxito es que un producto sea defectuoso y la probabilidad de defecto es \(0{,}03\), entonces:
\[ p=0{,}03 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Idea clave
Antes de aplicar cualquier fórmula binomial, se debe identificar correctamente \(n\) y \(p\).
El parámetro \(n\) responde “¿cuántas veces se repite?”, mientras que \(p\) responde “¿cuál es la probabilidad de éxito en cada repetición?”.
Ejemplo 1: lanzamiento de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
En esta situación:
- cada ensayo corresponde a un lanzamiento de la moneda,
- el éxito es obtener cara,
- la variable \(X\) cuenta la cantidad de éxitos.
Como se realizan \(10\) lanzamientos:
\[ n=10 \]
Como la moneda es equilibrada:
\[ p=P(\text{cara})=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Por lo tanto:
\[ X\sim B(10,0{,}5) \]
Ejemplo 2: encuesta
En una comuna, se sabe que el \(35\%\) de las personas usa bicicleta al menos una vez por semana. Se encuesta de forma independiente a \(80\) personas.
Se define \(X\) como la cantidad de personas encuestadas que usan bicicleta al menos una vez por semana.
En esta situación:
\[ n=80 \]
y la probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}35 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}35=0{,}65 \]
El siguiente gráfico muestra la probabilidad de éxito y de fracaso en cada ensayo:
La notación del modelo es:
\[ X\sim B(80,0{,}35) \]
Ejemplo 3: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con una probabilidad de defecto de \(0{,}04\). Se revisan \(25\) artículos de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de artículos defectuosos.
El número de ensayos es:
\[ n=25 \]
Como el éxito es encontrar un artículo defectuoso:
\[ p=0{,}04 \]
Entonces:
\[ X\sim B(25,0{,}04) \]
Aunque “defectuoso” no sea un resultado positivo para la fábrica, se considera éxito porque es el resultado que se desea contar.
Error frecuente
No se debe confundir \(p\) con el porcentaje de éxitos observados en una muestra.
En el modelo binomial, \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo. La cantidad de éxitos observados puede variar de una repetición del experimento a otra.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar \(n\) y \(p\)
Se lanza una moneda equilibrada \(6\) veces y se define \(X\) como la cantidad de sellos obtenidos.
Identifica \(n\), \(p\) y escribe la notación binomial correspondiente.
El número de ensayos corresponde a la cantidad de lanzamientos:
\[ n=6 \]
El éxito es obtener sello. Como la moneda es equilibrada:
\[ p=P(\text{sello})=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Entonces la variable se puede escribir como:
\[ X\sim B(6,0{,}5) \]
\(n=6\), \(p=0{,}5\) y \(X\sim B(6,0{,}5)\).
Ejercicio 2: encuesta escolar
Se sabe que la probabilidad de que un estudiante prefiera estudiar con música es \(0{,}40\). Se seleccionan \(30\) estudiantes de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que prefieren estudiar con música.
- Identifica \(n\).
- Identifica \(p\).
- Calcula la probabilidad de fracaso.
El número de ensayos es la cantidad de estudiantes seleccionados:
\[ n=30 \]
El éxito es que un estudiante prefiera estudiar con música. La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}40 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}40=0{,}60 \]
\(n=30\), \(p=0{,}40\) y la probabilidad de fracaso es \(0{,}60\).
Ejercicio 3: escribir la notación \(B(n,p)\)
Una prueba tiene \(20\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar y se define \(X\) como la cantidad de respuestas correctas.
Escribe la distribución binomial de \(X\) usando la notación \(B(n,p)\).
Hay \(20\) preguntas, por lo tanto:
\[ n=20 \]
En cada pregunta de verdadero o falso respondida al azar, la probabilidad de responder correctamente es:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Como \(X\) cuenta la cantidad de respuestas correctas:
\[ X\sim B(20,0{,}5) \]
La distribución es \(X\sim B(20,0{,}5)\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una línea de producción tiene una probabilidad de defecto de \(0{,}02\). Se revisan \(100\) productos de forma independiente y \(X\) representa la cantidad de productos defectuosos.
- Identifica el éxito.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Escribe la notación binomial correspondiente.
El éxito es encontrar un producto defectuoso, porque \(X\) cuenta productos defectuosos.
Como se revisan \(100\) productos:
\[ n=100 \]
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}02 \]
Por lo tanto:
\[ X\sim B(100,0{,}02) \]
Éxito: producto defectuoso. \(n=100\), \(p=0{,}02\), \(X\sim B(100,0{,}02)\).
Ejercicio 5: distinguir \(p\) y \(1-p\)
En una ciudad, la probabilidad de que una persona use transporte público diariamente es \(0{,}55\). Se encuesta a \(70\) personas de forma independiente y se define \(X\) como la cantidad de personas que usan transporte público diariamente.
- Identifica \(n\).
- Identifica \(p\).
- Calcula \(1-p\).
- Interpreta \(1-p\) en el contexto.
Se encuestan \(70\) personas, por lo tanto:
\[ n=70 \]
El éxito es usar transporte público diariamente, entonces:
\[ p=0{,}55 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}55=0{,}45 \]
En contexto, \(0{,}45\) es la probabilidad de que una persona no use transporte público diariamente.
\(n=70\), \(p=0{,}55\), \(1-p=0{,}45\).
Ejercicio 6: detectar un parámetro incorrecto
Se lanza un dado equilibrado \(15\) veces y se define \(X\) como la cantidad de veces que aparece un número mayor que \(4\).
Un estudiante afirma que \(X\sim B(15,\frac{4}{6})\).
Explica si la afirmación es correcta o incorrecta.
El número de ensayos sí es correcto:
\[ n=15 \]
Pero la probabilidad de éxito no es \(\frac{4}{6}\).
El éxito es obtener un número mayor que \(4\). En un dado, los números mayores que \(4\) son:
\[ 5,\ 6 \]
Hay \(2\) resultados favorables de \(6\), por lo tanto:
\[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
La notación correcta es:
\[ X\sim B(15,\frac{1}{3}) \]
La afirmación es incorrecta; el parámetro correcto es \(p=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación envía una notificación a \(200\) usuarios. Históricamente, la probabilidad de que un usuario abra la notificación es \(0{,}18\). Se define \(X\) como la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Identifica el ensayo de Bernoulli.
- Define éxito y fracaso.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Escribe la notación binomial.
- Interpreta \(1-p\) en el contexto.
El ensayo de Bernoulli corresponde a observar a un usuario y registrar si abre o no la notificación.
Como \(X\) cuenta usuarios que abren la notificación:
- éxito: el usuario abre la notificación,
- fracaso: el usuario no abre la notificación.
Como se envía la notificación a \(200\) usuarios:
\[ n=200 \]
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}18 \]
Entonces:
\[ X\sim B(200,0{,}18) \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}18=0{,}82 \]
En contexto, \(0{,}82\) es la probabilidad de que un usuario no abra la notificación.
Ensayo: un usuario. Éxito: abre. Fracaso: no abre. \(n=200\), \(p=0{,}18\), \(X\sim B(200,0{,}18)\).
6. Variable \(X\): número de éxitos
Objetivo de aprendizaje
- Definir la variable aleatoria \(X\) como la cantidad de éxitos en un experimento binomial.
- Identificar los valores posibles de \(X\) según el número de ensayos \(n\).
¿Qué representa \(X\)?
En una situación binomial, la variable aleatoria \(X\) representa la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
Por ejemplo, si se lanza una moneda \(10\) veces y el éxito es obtener cara, entonces:
\[ X=\text{cantidad de caras obtenidas en }10\text{ lanzamientos} \]
La variable no indica el orden en que ocurrieron los éxitos, sino cuántos éxitos hubo en total.
Valores posibles de \(X\)
Si se realizan \(n\) ensayos, la cantidad de éxitos puede ir desde \(0\) hasta \(n\).
Por lo tanto, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots,\ n \]
El valor \(0\) significa que no ocurrió ningún éxito, y el valor \(n\) significa que todos los ensayos fueron éxitos.
Idea clave
En el modelo binomial, \(X\) siempre cuenta éxitos.
Por eso, antes de calcular probabilidades, se debe tener claro qué se está considerando éxito y cuántos ensayos se realizan.
Ejemplo 1: cinco lanzamientos de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces y se define éxito como obtener cara.
La variable aleatoria puede definirse como:
\[ X=\text{cantidad de caras obtenidas en }5\text{ lanzamientos} \]
Como hay \(5\) ensayos, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]
El siguiente gráfico muestra los valores posibles de \(X\) como cantidades de éxito:
Por ejemplo, si el resultado fuera:
\[ C,\ S,\ C,\ C,\ S \]
entonces se obtuvieron \(3\) caras, por lo tanto:
\[ X=3 \]
Ejemplo 2: respuestas correctas
Una prueba tiene \(8\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Se define éxito como responder correctamente una pregunta.
Entonces la variable aleatoria es:
\[ X=\text{cantidad de respuestas correctas en }8\text{ preguntas} \]
Los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \]
El valor \(X=0\) significa que no respondió correctamente ninguna pregunta.
El valor \(X=8\) significa que respondió correctamente todas las preguntas.
Ejemplo 3: productos defectuosos
Una fábrica revisa \(20\) productos de forma independiente. Se define éxito como encontrar un producto defectuoso.
La variable aleatoria es:
\[ X=\text{cantidad de productos defectuosos entre los }20\text{ revisados} \]
Como se revisan \(20\) productos, \(X\) puede tomar los valores:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,\ 20 \]
En este contexto, \(X=4\) significa que se encontraron \(4\) productos defectuosos entre los \(20\) revisados.
Error frecuente
No se debe confundir la variable \(X\) con el resultado completo del experimento.
Por ejemplo, en \(5\) lanzamientos de una moneda, el resultado completo podría ser \(C,S,C,C,S\), pero el valor de \(X\) sería solo \(3\), porque hubo tres éxitos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: definir \(X\)
Se lanza una moneda \(7\) veces y se define éxito como obtener sello.
Define la variable aleatoria \(X\) y escribe sus valores posibles.
Como el éxito es obtener sello, la variable aleatoria debe contar la cantidad de sellos obtenidos.
Entonces:
\[ X=\text{cantidad de sellos obtenidos en }7\text{ lanzamientos} \]
Como hay \(7\) ensayos, la cantidad de éxitos puede ir desde \(0\) hasta \(7\):
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7 \]
\(X\) cuenta sellos, y sus valores posibles son \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\).
Ejercicio 2: interpretar un valor de \(X\)
Una encuesta se aplica a \(50\) personas. Se define éxito como responder “sí” a una pregunta.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Interpreta en contexto el valor \(X=32\).
La variable \(X\) cuenta cuántas personas responden “sí”.
Por lo tanto, el valor \(X=32\) significa que \(32\) de las \(50\) personas encuestadas respondieron “sí”.
No indica el orden en que respondieron ni quiénes fueron, solo la cantidad total de éxitos.
\(X=32\) significa que \(32\) personas respondieron “sí”.
Ejercicio 3: valores posibles
Se revisan \(12\) artículos y se define \(X\) como la cantidad de artículos defectuosos.
Indica los valores posibles de \(X\).
La variable \(X\) cuenta productos defectuosos entre \(12\) artículos revisados.
La menor cantidad posible de defectuosos es \(0\), si ningún artículo está defectuoso.
La mayor cantidad posible es \(12\), si todos los artículos están defectuosos.
Entonces, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12 \]
Los valores posibles son todos los enteros desde \(0\) hasta \(12\).
Ejercicio 4: identificar qué cuenta \(X\)
Se lanzan \(10\) dados equilibrados. Se define éxito como obtener un número mayor que \(4\).
Sea \(X\) la cantidad de éxitos.
- ¿Qué resultados del dado se consideran éxito?
- ¿Qué representa \(X\)?
- ¿Cuáles son los valores posibles de \(X\)?
Los resultados mayores que \(4\) son:
\[ 5,\ 6 \]
Por lo tanto, esos resultados se consideran éxito.
La variable \(X\) representa la cantidad de dados, entre los \(10\) lanzados, que muestran \(5\) o \(6\).
Como hay \(10\) dados, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ldots,\ 10 \]
Éxito: obtener \(5\) o \(6\). \(X\) cuenta cuántos dados muestran esos valores. Sus valores posibles van de \(0\) a \(10\).
Ejercicio 5: distinguir secuencia y cantidad
Se lanza una moneda \(6\) veces. El éxito es obtener cara.
El resultado observado fue:
\[ C,\ S,\ S,\ C,\ C,\ S \]
Determina el valor de \(X\), donde \(X\) es la cantidad de éxitos.
El éxito es obtener cara, representada por \(C\).
En la secuencia:
\[ C,\ S,\ S,\ C,\ C,\ S \]
aparecen \(3\) caras.
Por lo tanto:
\[ X=3 \]
La variable \(X\) no guarda la secuencia completa, solo la cantidad total de éxitos.
El valor de la variable es \(X=3\).
Ejercicio 6: corregir una definición
Una prueba tiene \(25\) preguntas. Se define éxito como responder correctamente.
Un estudiante escribe:
“\(X\) representa si la primera pregunta fue correcta”.
Explica por qué esta definición no corresponde a la variable binomial que cuenta éxitos en toda la prueba. Luego escribe una definición adecuada de \(X\).
La definición dada solo observa una pregunta específica: la primera pregunta.
En cambio, una variable binomial debe contar la cantidad total de éxitos en los \(25\) ensayos.
Una definición adecuada sería:
\[ X=\text{cantidad de preguntas respondidas correctamente en la prueba de }25\text{ preguntas} \]
Así, \(X\) puede tomar valores desde \(0\) hasta \(25\).
La definición correcta debe contar respuestas correctas en toda la prueba, no solo en una pregunta.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una plataforma envía una notificación a \(120\) usuarios. Se define éxito como que un usuario abra la notificación.
Sea \(X\) el número de éxitos.
- Define \(X\) con palabras.
- Indica el valor mínimo y máximo que puede tomar \(X\).
- Interpreta \(X=0\), \(X=120\) y \(X=47\) en contexto.
La variable \(X\) se puede definir como:
\[ X=\text{cantidad de usuarios que abren la notificación entre los }120\text{ usuarios} \]
El valor mínimo de \(X\) es \(0\), si ningún usuario abre la notificación.
El valor máximo de \(X\) es \(120\), si todos los usuarios abren la notificación.
Interpretaciones:
- \(X=0\): ningún usuario abrió la notificación.
- \(X=120\): todos los usuarios abrieron la notificación.
- \(X=47\): \(47\) usuarios abrieron la notificación.
\(X\) cuenta usuarios que abren la notificación, con valores posibles desde \(0\) hasta \(120\).
7. Fórmula binomial
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la estructura de la fórmula binomial.
- Identificar el significado de cada parte de la fórmula en una situación binomial.
¿Para qué sirve la fórmula binomial?
En una situación binomial, la variable \(X\) cuenta el número de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La fórmula binomial permite calcular la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos.
Por ejemplo, sirve para calcular probabilidades como:
- exactamente \(3\) caras en \(5\) lanzamientos,
- exactamente \(2\) productos defectuosos en \(20\) productos revisados,
- exactamente \(8\) respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Fórmula binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos es:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\) es el número de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(k\) es la cantidad exacta de éxitos que se quiere obtener.
- \(1-p\) es la probabilidad de fracaso.
- \(\binom{n}{k}\) cuenta cuántas formas hay de ubicar los \(k\) éxitos entre los \(n\) ensayos.
Estructura de la fórmula
La fórmula binomial combina tres ideas: formas de ordenar éxitos, probabilidad de los éxitos y probabilidad de los fracasos.
Coeficiente binomial
El símbolo \(\binom{n}{k}\) se lee “\(n\) sobre \(k\)” y se calcula como:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Este número indica cuántas formas distintas hay de elegir \(k\) posiciones de éxito entre \(n\) ensayos.
Ejemplo 1: interpretar la fórmula
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Queremos expresar la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras.
En esta situación:
- \(n=5\), porque hay \(5\) lanzamientos.
- \(p=\frac{1}{2}\), porque la moneda es equilibrada.
- \(k=2\), porque se quieren exactamente \(2\) caras.
- \(n-k=5-2=3\), porque habría \(3\) fracasos.
Entonces:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^3 \]
Como \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\), también se puede escribir:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(p=0{,}04\). Se revisan \(20\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos expresar la probabilidad de obtener exactamente \(3\) defectuosos.
Identificamos:
- \(n=20\),
- \(p=0{,}04\),
- \(k=3\),
- \(1-p=0{,}96\),
- \(n-k=20-3=17\).
Aplicando la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{20}{3}(0{,}04)^3(0{,}96)^{17} \]
Esta expresión representa la probabilidad de que, entre los \(20\) artículos revisados, exactamente \(3\) sean defectuosos.
Ejemplo 3: por qué aparece \(\binom{n}{k}\)
Supongamos que se realizan \(4\) ensayos y se quieren exactamente \(2\) éxitos.
Algunas formas posibles de ubicar los éxitos \(E\) y fracasos \(F\) son:
| Forma | Secuencia |
|---|---|
| 1 | \(E,E,F,F\) |
| 2 | \(E,F,E,F\) |
| 3 | \(E,F,F,E\) |
| 4 | \(F,E,E,F\) |
| 5 | \(F,E,F,E\) |
| 6 | \(F,F,E,E\) |
Hay \(6\) formas distintas de ubicar \(2\) éxitos en \(4\) ensayos.
Eso coincide con:
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Error frecuente
No se debe olvidar el factor \(\binom{n}{k}\).
La expresión \(p^k(1-p)^{n-k}\) corresponde a una secuencia específica de éxitos y fracasos, pero la misma cantidad de éxitos puede ocurrir en varios órdenes distintos.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar las partes de la fórmula
Sea \(X\sim B(8,0{,}3)\). Se quiere calcular \(P(X=2)\).
Identifica \(n\), \(p\), \(k\), \(1-p\) y \(n-k\).
De la notación \(X\sim B(8,0{,}3)\), se identifica:
\[ n=8,\qquad p=0{,}3 \]
Como se quiere calcular \(P(X=2)\), entonces:
\[ k=2 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}3=0{,}7 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=8-2=6 \]
\(n=8\), \(p=0{,}3\), \(k=2\), \(1-p=0{,}7\) y \(n-k=6\).
Ejercicio 2: escribir la fórmula sin calcular
Sea \(X\sim B(10,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, la expresión para \(P(X=3)\).
Tenemos:
\[ n=10,\qquad p=0{,}4,\qquad k=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}4=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=10-3=7 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^7 \]
La expresión es \(P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^7\).
Ejercicio 3: calcular un coeficiente binomial
Calcula el valor de:
\[ \binom{6}{2} \]
Usamos la fórmula:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
En este caso, \(n=6\) y \(k=2\):
\[ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!} \]
\[ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!} \]
Como \(6!=6\cdot 5\cdot 4!\), se simplifica:
\[ \binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot 4!} \]
\[ \binom{6}{2}=\frac{30}{2}=15 \]
\(\binom{6}{2}=15\).
Ejercicio 4: interpretar el exponente de fracaso
En una situación binomial hay \(n=12\) ensayos y se quiere obtener exactamente \(k=5\) éxitos.
¿Cuál debe ser el exponente de \((1-p)\) en la fórmula? Justifica.
El exponente de \((1-p)\) representa la cantidad de fracasos.
Si hay \(12\) ensayos y se quieren \(5\) éxitos, entonces la cantidad de fracasos es:
\[ n-k=12-5=7 \]
Por lo tanto, el exponente de \((1-p)\) debe ser \(7\).
El exponente es \(7\), porque habría \(7\) fracasos.
Ejercicio 5: construir la expresión desde un contexto
Una encuesta se aplica a \(25\) personas. La probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}6\). Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Escribe la expresión para calcular la probabilidad de que exactamente \(15\) personas respondan “sí”.
Primero identificamos los parámetros:
\[ n=25,\qquad p=0{,}6 \]
Como se quieren exactamente \(15\) respuestas “sí”, entonces:
\[ k=15 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}6=0{,}4 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=25-15=10 \]
Entonces:
\[ P(X=15)=\binom{25}{15}(0{,}6)^{15}(0{,}4)^{10} \]
La expresión es \(P(X=15)=\binom{25}{15}(0{,}6)^{15}(0{,}4)^{10}\).
Ejercicio 6: corregir una fórmula
Sea \(X\sim B(9,0{,}2)\). Un estudiante escribe:
\[ P(X=4)=\binom{9}{4}(0{,}2)^4(0{,}8)^4 \]
Explica el error y escribe la expresión correcta.
La parte \(\binom{9}{4}\) es correcta, porque se quieren \(4\) éxitos en \(9\) ensayos.
También es correcto usar \((0{,}2)^4\), porque la probabilidad de éxito es \(0{,}2\) y se quieren \(4\) éxitos.
El error está en el exponente de \(0{,}8\), que representa la probabilidad de fracaso.
Si hay \(9\) ensayos y \(4\) éxitos, la cantidad de fracasos es:
\[ 9-4=5 \]
Por lo tanto, el exponente correcto debe ser \(5\), no \(4\).
La expresión correcta es:
\[ P(X=4)=\binom{9}{4}(0{,}2)^4(0{,}8)^5 \]
El error está en el exponente de la probabilidad de fracaso; debe ser \(5\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación tiene una probabilidad de \(0{,}18\) de que un usuario abra una notificación. Se envía una notificación a \(200\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Identifica \(n\), \(p\), \(1-p\).
- Escribe la expresión para \(P(X=40)\).
- Interpreta el significado de \(\binom{200}{40}\) en este contexto.
Como se envía la notificación a \(200\) usuarios:
\[ n=200 \]
La probabilidad de éxito, es decir, que un usuario abra la notificación, es:
\[ p=0{,}18 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}18=0{,}82 \]
Para calcular la probabilidad de que exactamente \(40\) usuarios abran la notificación, usamos \(k=40\):
\[ P(X=40)=\binom{200}{40}(0{,}18)^{40}(0{,}82)^{160} \]
El número \(\binom{200}{40}\) representa la cantidad de formas distintas en que se pueden elegir cuáles \(40\) usuarios, entre los \(200\), abren la notificación.
\(P(X=40)=\binom{200}{40}(0{,}18)^{40}(0{,}82)^{160}\).
8. Probabilidad de exactamente \(k\) éxitos
Objetivo de aprendizaje
- Calcular probabilidades binomiales de la forma \(P(X=k)\).
- Interpretar en contexto la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos.
¿Qué significa exactamente \(k\) éxitos?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
Calcular \(P(X=k)\) significa calcular la probabilidad de que ocurran exactamente \(k\) éxitos y, por lo tanto, exactamente \(n-k\) fracasos.
Por ejemplo, si \(X\) representa la cantidad de caras en \(5\) lanzamientos, entonces \(P(X=2)\) es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras.
Fórmula para exactamente \(k\) éxitos
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\) es el número total de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(k\) es la cantidad exacta de éxitos.
- \(n-k\) es la cantidad de fracasos.
Procedimiento
- Identificar \(n\), \(p\) y \(k\).
- Calcular \(1-p\).
- Calcular \(n-k\).
- Reemplazar en la fórmula binomial.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Ejemplo 1: exactamente 2 caras en 5 lanzamientos
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular:
\[ P(X=2) \]
Identificamos:
- \(n=5\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(k=2\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
- \(n-k=5-2=3\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Calculamos:
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Entonces:
\[ P(X=2)=10\left(\frac{1}{2}\right)^5 \]
\[ P(X=2)=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras en \(5\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En el gráfico, la barra correspondiente a \(X=2\) representa la probabilidad calculada.
Ejemplo 2: exactamente 2 productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular la probabilidad de obtener exactamente \(2\) defectuosos.
Identificamos:
- \(n=10\)
- \(p=0{,}10\)
- \(k=2\)
- \(1-p=0{,}90\)
- \(n-k=10-2=8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}10)^2(0{,}90)^8 \]
Como \(\binom{10}{2}=45\), queda:
\[ P(X=2)=45(0{,}10)^2(0{,}90)^8 \]
\[ P(X=2)\approx 0{,}1937 \]
La probabilidad de encontrar exactamente \(2\) productos defectuosos entre los \(10\) revisados es aproximadamente \(0{,}1937\), es decir, \(19{,}37\%\).
Ejemplo 3: exactamente 4 respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(12\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X=4) \]
Identificamos:
- \(n=12\)
- \(p=0{,}30\)
- \(k=4\)
- \(1-p=0{,}70\)
- \(n-k=8\)
Entonces:
\[ P(X=4)=\binom{12}{4}(0{,}30)^4(0{,}70)^8 \]
Como \(\binom{12}{4}=495\):
\[ P(X=4)=495(0{,}30)^4(0{,}70)^8 \]
\[ P(X=4)\approx 0{,}2311 \]
La probabilidad de que exactamente \(4\) de las \(12\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(23{,}11\%\).
Error frecuente
En \(P(X=k)\), el valor \(k\) corresponde a la cantidad exacta de éxitos, no a la cantidad de fracasos.
La cantidad de fracasos se calcula como \(n-k\). Por eso, el exponente de \(1-p\) debe ser \(n-k\), no \(k\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar datos para \(P(X=k)\)
Sea \(X\sim B(9,0{,}4)\). Se quiere calcular \(P(X=3)\).
Identifica \(n\), \(p\), \(k\), \(1-p\) y \(n-k\).
De la notación \(X\sim B(9,0{,}4)\), identificamos:
\[ n=9,\qquad p=0{,}4 \]
Como se quiere calcular \(P(X=3)\), entonces:
\[ k=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}4=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=9-3=6 \]
\(n=9\), \(p=0{,}4\), \(k=3\), \(1-p=0{,}6\) y \(n-k=6\).
Ejercicio 2: exactamente 3 caras
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula \(P(X=3)\).
La variable sigue una distribución binomial con:
\[ n=4,\qquad p=\frac{1}{2} \]
Queremos exactamente \(3\) caras, por lo tanto \(k=3\).
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]
Como \(\binom{4}{3}=4\):
\[ P(X=3)=4\left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
\[ P(X=3)=4\cdot \frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25 \]
La probabilidad es \(P(X=3)=0{,}25\), es decir, \(25\%\).
Ejercicio 3: calcular con decimales
Sea \(X\sim B(6,0{,}4)\).
Calcula \(P(X=2)\).
Identificamos:
\[ n=6,\qquad p=0{,}4,\qquad k=2 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}6 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=6-2=4 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^4 \]
Como \(\binom{6}{2}=15\):
\[ P(X=2)=15(0{,}16)(0{,}1296) \]
\[ P(X=2)=0{,}31104 \]
La probabilidad es \(P(X=2)=0{,}31104\), aproximadamente \(31{,}10\%\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una fábrica tiene una probabilidad de defecto de \(0{,}05\). Se revisan \(8\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos. Calcula la probabilidad de encontrar exactamente \(1\) defectuoso.
Identificamos:
\[ n=8,\qquad p=0{,}05,\qquad k=1 \]
La probabilidad de no encontrar defecto en un producto es:
\[ 1-p=0{,}95 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=8-1=7 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^7 \]
Como \(\binom{8}{1}=8\):
\[ P(X=1)=8(0{,}05)(0{,}95)^7 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}2793 \]
La probabilidad de encontrar exactamente \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}2793\), es decir, \(27{,}93\%\).
Ejercicio 5: escribir e interpretar
En una ciudad, la probabilidad de que una persona use bicicleta para trasladarse al trabajo es \(0{,}20\). Se seleccionan \(15\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que usan bicicleta. Escribe la expresión para calcular la probabilidad de que exactamente \(4\) personas usen bicicleta e interpreta el evento.
Identificamos:
\[ n=15,\qquad p=0{,}20,\qquad k=4 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}80 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=15-4=11 \]
Entonces:
\[ P(X=4)=\binom{15}{4}(0{,}20)^4(0{,}80)^{11} \]
Este evento significa que, entre las \(15\) personas seleccionadas, exactamente \(4\) usan bicicleta para trasladarse al trabajo.
La expresión es \(P(X=4)=\binom{15}{4}(0{,}20)^4(0{,}80)^{11}\).
Ejercicio 6: corregir un cálculo
Sea \(X\sim B(7,0{,}3)\). Un estudiante escribe:
\[ P(X=2)=\binom{7}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^2 \]
Explica el error y escribe la expresión correcta.
El valor \(n=7\), \(p=0{,}3\) y \(k=2\) están bien identificados.
El error está en el exponente de \(0{,}7\), que corresponde a la probabilidad de fracaso.
Si hay \(7\) ensayos y exactamente \(2\) éxitos, entonces hay:
\[ n-k=7-2=5 \]
fracasos.
Por lo tanto, la expresión correcta es:
\[ P(X=2)=\binom{7}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^5 \]
El exponente de \(0{,}7\) debe ser \(5\), no \(2\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una aplicación tiene una probabilidad de \(0{,}18\) de que un usuario abra una notificación. Se envía la notificación a \(20\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de usuarios que abren la notificación.
- Calcula la probabilidad de que exactamente \(5\) usuarios abran la notificación.
- Interpreta el resultado en contexto.
Identificamos los datos del modelo:
\[ n=20,\qquad p=0{,}18,\qquad k=5 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=0{,}82 \]
La cantidad de fracasos es:
\[ n-k=20-5=15 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=5)=\binom{20}{5}(0{,}18)^5(0{,}82)^{15} \]
Como \(\binom{20}{5}=15\,504\), se obtiene:
\[ P(X=5)=15\,504(0{,}18)^5(0{,}82)^{15} \]
\[ P(X=5)\approx 0{,}1468 \]
Esto significa que la probabilidad de que exactamente \(5\) de los \(20\) usuarios abran la notificación es aproximadamente \(14{,}68\%\).
La probabilidad es aproximadamente \(P(X=5)=0{,}1468\).
9. Probabilidad de “a lo más”
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar expresiones de probabilidad binomial de la forma \(P(X\leq k)\).
- Calcular probabilidades de “a lo más” sumando probabilidades binomiales exactas.
¿Qué significa “a lo más”?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La expresión “a lo más \(k\) éxitos” significa que pueden ocurrir \(k\) éxitos o menos.
En símbolos:
\[ P(X\leq k) \]
Por ejemplo, “a lo más \(2\) éxitos” incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2 \]
Cómo calcular \(P(X\leq k)\)
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+\cdots+P(X=k) \]
Cada término se calcula usando la fórmula binomial:
\[ P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r} \]
donde \(r\) toma los valores \(0,\ 1,\ 2,\ldots,\ k\).
Idea clave
La probabilidad de “a lo más” no se calcula con un solo valor de \(X\), sino sumando varios casos.
Por eso, \(P(X\leq 2)\) no es lo mismo que \(P(X=2)\).
Ejemplo 1: a lo más una cara
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular la probabilidad de obtener a lo más \(1\) cara:
\[ P(X\leq 1) \]
Como “a lo más \(1\)” significa \(0\) o \(1\), debemos sumar:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos cada término:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{4}{16} \]
Entonces:
\[ P(X\leq 1)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{5}{16}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(1\) cara en \(4\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En esta distribución, \(P(X\leq 1)\) corresponde a sumar las barras de \(X=0\) y \(X=1\).
Ejemplo 2: a lo más un producto defectuoso
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
Esto significa encontrar la probabilidad de obtener \(0\) o \(1\) artículo defectuoso:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}10)^0(0{,}90)^{10}=0{,}90^{10} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}3487 \]
Luego:
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}10)^1(0{,}90)^9 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3874 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 1)\approx 0{,}3487+0{,}3874=0{,}7361 \]
La probabilidad de encontrar a lo más un producto defectuoso es aproximadamente \(0{,}7361\), es decir, \(73{,}61\%\).
Ejemplo 3: a lo más dos respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(6\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X\leq 2) \]
Esto incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{6}{0}(0{,}30)^0(0{,}70)^6=0{,}117649 \]
\[ P(X=1)=\binom{6}{1}(0{,}30)^1(0{,}70)^5=0{,}302526 \]
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}30)^2(0{,}70)^4=0{,}324135 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 2)=0{,}117649+0{,}302526+0{,}324135=0{,}74431 \]
La probabilidad de que a lo más \(2\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(0{,}7443\), es decir, \(74{,}43\%\).
Error frecuente
No se debe interpretar \(P(X\leq k)\) como si fuera solo \(P(X=k)\).
La expresión \(X\leq k\) incluye todos los valores desde \(0\) hasta \(k\), siempre que esos valores sean posibles para la variable.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar “a lo más”
Sea \(X\) la cantidad de éxitos en un experimento binomial.
Escribe qué valores de \(X\) se incluyen en el evento:
\[ X\leq 3 \]
La expresión \(X\leq 3\) significa que \(X\) puede tomar valores menores o iguales que \(3\).
Como \(X\) cuenta éxitos, sus valores son enteros no negativos.
Por lo tanto, el evento incluye:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3 \]
El evento \(X\leq 3\) incluye los valores \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
Ejercicio 2: a lo más dos caras
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula:
\[ P(X\leq 2) \]
Como “a lo más \(2\)” incluye \(0,\ 1\) y \(2\), calculamos:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
En \(5\) lanzamientos de una moneda equilibrada, cada secuencia tiene probabilidad \(\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}\).
Usando coeficientes binomiales:
\[ P(X=0)=\binom{5}{0}\frac{1}{32}=\frac{1}{32} \]
\[ P(X=1)=\binom{5}{1}\frac{1}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\frac{1}{32}=\frac{10}{32} \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 2)=\frac{1+5+10}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 2)=0{,}5\), es decir, \(50\%\).
Ejercicio 3: calcular con decimales
Sea \(X\sim B(4,0{,}2)\).
Calcula:
\[ P(X\leq 1) \]
El evento \(X\leq 1\) incluye \(X=0\) y \(X=1\).
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^4=0{,}8^4=0{,}4096 \]
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}2\cdot 0{,}512=0{,}4096 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 1)=0{,}4096+0{,}4096=0{,}8192 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 1)=0{,}8192\).
Ejercicio 4: defectos en productos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}05\). Se revisan \(12\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la probabilidad de encontrar a lo más \(1\) artículo defectuoso.
Queremos calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
Esto incluye:
\[ P(X=0)+P(X=1) \]
Como \(X\sim B(12,0{,}05)\), tenemos \(1-p=0{,}95\).
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{12}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{12}=0{,}95^{12} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}5404 \]
Luego:
\[ P(X=1)=\binom{12}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^{11} \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3413 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 1)\approx 0{,}5404+0{,}3413=0{,}8817 \]
La probabilidad de encontrar a lo más \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}8817\), es decir, \(88{,}17\%\).
Ejercicio 5: escribir sin calcular
Sea \(X\sim B(15,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, la expresión correspondiente a:
\[ P(X\leq 3) \]
El evento \(X\leq 3\) incluye:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \]
Como \(p=0{,}4\), se tiene \(1-p=0{,}6\).
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 3)=\binom{15}{0}(0{,}4)^0(0{,}6)^{15} \]
\[ +\binom{15}{1}(0{,}4)^1(0{,}6)^{14} \]
\[ +\binom{15}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^{13} \]
\[ +\binom{15}{3}(0{,}4)^3(0{,}6)^{12} \]
Se deben sumar las probabilidades exactas desde \(X=0\) hasta \(X=3\).
Ejercicio 6: interpretar una diferencia
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Explica la diferencia entre \(P(X=4)\) y \(P(X\leq 4)\).
\(P(X=4)\) representa la probabilidad de obtener exactamente \(4\) respuestas correctas.
En cambio, \(P(X\leq 4)\) representa la probabilidad de obtener a lo más \(4\) respuestas correctas.
Eso incluye los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3,\quad X=4 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \]
\(P(X=4)\) considera solo un valor; \(P(X\leq 4)\) suma varios valores.
Ejercicio 7: caso desafiante
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases en modalidad híbrida es \(0{,}35\). Se seleccionan \(8\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren modalidad híbrida.
- Calcula \(P(X\leq 2)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
Tenemos:
\[ X\sim B(8,0{,}35) \]
Queremos calcular:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Como \(1-p=0{,}65\), calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}35)^0(0{,}65)^8\approx 0{,}0319 \]
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}35)^1(0{,}65)^7\approx 0{,}1375 \]
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}35)^2(0{,}65)^6\approx 0{,}2596 \]
Sumamos:
\[ P(X\leq 2)\approx 0{,}0319+0{,}1375+0{,}2596=0{,}4290 \]
Esto significa que la probabilidad de que a lo más \(2\) de las \(8\) personas prefieran modalidad híbrida es aproximadamente \(42{,}90\%\).
\(P(X\leq 2)\approx 0{,}4290\).
10. Probabilidad de “al menos”
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar expresiones de probabilidad binomial de la forma \(P(X\geq k)\).
- Calcular probabilidades de “al menos” sumando probabilidades binomiales exactas o usando el complemento.
¿Qué significa “al menos”?
En una variable binomial, \(X\) cuenta la cantidad de éxitos obtenidos en \(n\) ensayos.
La expresión “al menos \(k\) éxitos” significa que pueden ocurrir \(k\) éxitos o más.
En símbolos:
\[ P(X\geq k) \]
Por ejemplo, si \(n=6\), entonces “al menos \(4\) éxitos” incluye los casos:
\[ X=4,\quad X=5,\quad X=6 \]
Cómo calcular \(P(X\geq k)\)
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X\geq k)=P(X=k)+P(X=k+1)+\cdots+P(X=n) \]
Cada término se calcula usando la fórmula binomial:
\[ P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r} \]
donde \(r\) toma los valores \(k,\ k+1,\ldots,\ n\).
Uso del complemento
A veces es más rápido calcular una probabilidad de “al menos” usando el complemento.
El complemento de \(X\geq k\) es \(X
\[ X=0,\ X=1,\ \ldots,\ X=k-1 \]
Por eso:
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
Ejemplo 1: al menos tres caras
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Queremos calcular la probabilidad de obtener al menos \(3\) caras:
\[ P(X\geq 3) \]
Como \(n=4\), esto incluye:
\[ X=3 \quad \text{y} \quad X=4 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4) \]
Calculamos:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{4}{16} \]
\[ P(X=4)=\binom{4}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0=\frac{1}{16} \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 3)=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}=0{,}3125 \]
La probabilidad de obtener al menos \(3\) caras en \(4\) lanzamientos es \(0{,}3125\), es decir, \(31{,}25\%\).
En esta distribución, \(P(X\geq 3)\) corresponde a sumar las barras de \(X=3\) y \(X=4\).
Ejemplo 2: al menos dos productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}10\). Se revisan \(10\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos. Queremos calcular:
\[ P(X\geq 2) \]
Calcular directamente implicaría sumar:
\[ P(X=2)+P(X=3)+\cdots+P(X=10) \]
Es más eficiente usar el complemento:
\[ P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1) \]
Esto significa:
\[ P(X\geq 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)] \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}10)^0(0{,}90)^{10}=0{,}90^{10}\approx 0{,}3487 \]
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0{,}10)^1(0{,}90)^9\approx 0{,}3874 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 2)\approx 1-(0{,}3487+0{,}3874) \]
\[ P(X\geq 2)\approx 1-0{,}7361=0{,}2639 \]
La probabilidad de encontrar al menos \(2\) productos defectuosos es aproximadamente \(0{,}2639\), es decir, \(26{,}39\%\).
Ejemplo 3: al menos cuatro respuestas “sí”
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}30\). Se encuesta a \(6\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
Esto incluye:
\[ X=4,\quad X=5,\quad X=6 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) \]
Calculamos:
\[ P(X=4)=\binom{6}{4}(0{,}30)^4(0{,}70)^2=0{,}059535 \]
\[ P(X=5)=\binom{6}{5}(0{,}30)^5(0{,}70)^1=0{,}010206 \]
\[ P(X=6)=\binom{6}{6}(0{,}30)^6(0{,}70)^0=0{,}000729 \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 4)=0{,}059535+0{,}010206+0{,}000729=0{,}07047 \]
La probabilidad de que al menos \(4\) de las \(6\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(0{,}0705\), es decir, \(7{,}05\%\).
Error frecuente
No se debe confundir \(P(X\geq k)\) con \(P(X=k)\).
La expresión \(X\geq k\) incluye el valor \(k\) y todos los valores mayores posibles hasta \(n\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar “al menos”
Sea \(X\) la cantidad de éxitos en \(8\) ensayos.
Escribe qué valores de \(X\) se incluyen en el evento:
\[ X\geq 5 \]
La expresión \(X\geq 5\) significa que \(X\) puede tomar valores mayores o iguales que \(5\).
Como hay \(8\) ensayos, el valor máximo posible de \(X\) es \(8\).
Por lo tanto, el evento incluye:
\[ X=5,\quad X=6,\quad X=7,\quad X=8 \]
El evento \(X\geq 5\) incluye los valores \(5,\ 6,\ 7,\ 8\).
Ejercicio 2: al menos cuatro caras
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Calcula:
\[ P(X\geq 4) \]
El evento \(X\geq 4\) incluye:
\[ X=4 \quad \text{y} \quad X=5 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
En \(5\) lanzamientos de una moneda equilibrada, cada secuencia tiene probabilidad \(\frac{1}{32}\).
Usando coeficientes binomiales:
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}\frac{1}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=5)=\binom{5}{5}\frac{1}{32}=\frac{1}{32} \]
Sumamos:
\[ P(X\geq 4)=\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{6}{32}=0{,}1875 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 4)=0{,}1875\), es decir, \(18{,}75\%\).
Ejercicio 3: usar complemento
Sea \(X\sim B(4,0{,}2)\).
Calcula:
\[ P(X\geq 1) \]
El evento \(X\geq 1\) significa obtener al menos un éxito.
Su complemento es \(X=0\), es decir, no obtener ningún éxito.
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{4}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^4 \]
\[ P(X=0)=0{,}8^4=0{,}4096 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)=1-0{,}4096=0{,}5904 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 1)=0{,}5904\).
Ejercicio 4: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}05\). Se revisan \(12\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la probabilidad de encontrar al menos \(1\) artículo defectuoso.
Queremos calcular:
\[ P(X\geq 1) \]
El complemento de encontrar al menos \(1\) defectuoso es no encontrar ningún defectuoso:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
Como \(X\sim B(12,0{,}05)\), tenemos \(1-p=0{,}95\).
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{12}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{12}=0{,}95^{12} \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}5404 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)\approx 1-0{,}5404=0{,}4596 \]
La probabilidad de encontrar al menos \(1\) defectuoso es aproximadamente \(0{,}4596\), es decir, \(45{,}96\%\).
Ejercicio 5: escribir sin calcular
Sea \(X\sim B(15,0{,}4)\).
Escribe, sin calcular el valor final, una expresión para:
\[ P(X\geq 12) \]
El evento \(X\geq 12\) incluye:
\[ X=12,\quad X=13,\quad X=14,\quad X=15 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 12)=P(X=12)+P(X=13)+P(X=14)+P(X=15) \]
Como \(p=0{,}4\), se tiene \(1-p=0{,}6\).
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 12)=\binom{15}{12}(0{,}4)^{12}(0{,}6)^3 \]
\[ +\binom{15}{13}(0{,}4)^{13}(0{,}6)^2 \]
\[ +\binom{15}{14}(0{,}4)^{14}(0{,}6)^1 \]
\[ +\binom{15}{15}(0{,}4)^{15}(0{,}6)^0 \]
Se deben sumar las probabilidades exactas desde \(X=12\) hasta \(X=15\).
Ejercicio 6: interpretar una diferencia
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas en una prueba de \(10\) preguntas.
Explica la diferencia entre \(P(X=7)\) y \(P(X\geq 7)\).
\(P(X=7)\) representa la probabilidad de obtener exactamente \(7\) respuestas correctas.
En cambio, \(P(X\geq 7)\) representa la probabilidad de obtener al menos \(7\) respuestas correctas.
Eso incluye:
\[ X=7,\quad X=8,\quad X=9,\quad X=10 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \]
\(P(X=7)\) considera solo un valor; \(P(X\geq 7)\) suma varios valores.
Ejercicio 7: caso desafiante
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases en modalidad híbrida es \(0{,}35\). Se seleccionan \(8\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren modalidad híbrida.
- Calcula \(P(X\geq 3)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
Tenemos:
\[ X\sim B(8,0{,}35) \]
Queremos calcular:
\[ P(X\geq 3) \]
Usamos el complemento:
\[ P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2) \]
Calculamos:
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}35)^0(0{,}65)^8\approx 0{,}0319 \]
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}35)^1(0{,}65)^7\approx 0{,}1375 \]
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}35)^2(0{,}65)^6\approx 0{,}2596 \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)\approx 0{,}0319+0{,}1375+0{,}2596=0{,}4290 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 3)\approx 1-0{,}4290=0{,}5710 \]
Esto significa que la probabilidad de que al menos \(3\) de las \(8\) personas prefieran modalidad híbrida es aproximadamente \(57{,}10\%\).
\(P(X\geq 3)\approx 0{,}5710\).
11. Uso de tabla o tecnología
Objetivo de aprendizaje
- Usar tablas o tecnología para calcular probabilidades binomiales.
- Interpretar correctamente probabilidades exactas, acumuladas y complementarias en una distribución binomial.
¿Por qué usar tablas o tecnología?
La fórmula binomial permite calcular probabilidades exactas, pero cuando \(n\) es grande o se deben sumar muchos valores, los cálculos pueden ser largos.
Por eso, en muchos problemas se usan tablas, calculadoras o planillas para obtener los valores de manera más eficiente.
Lo importante no es solo obtener el número, sino saber qué probabilidad se está buscando.
Tipos de probabilidades binomiales
Si \(X\sim B(n,p)\), se pueden calcular distintos tipos de probabilidades:
- Exactamente \(k\) éxitos: \(\ P(X=k)\).
- A lo más \(k\) éxitos: \(\ P(X\leq k)\).
- Al menos \(k\) éxitos: \(\ P(X\geq k)\).
Para probabilidades acumuladas, se puede sumar o usar complemento:
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k) \]
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
Antes de usar una tabla
Antes de leer una tabla binomial o usar tecnología, se deben identificar tres datos:
- \(n\): número de ensayos.
- \(p\): probabilidad de éxito.
- El evento pedido: exactamente, a lo más o al menos.
Además, se debe revisar si la tabla entrega probabilidades exactas \(P(X=k)\) o probabilidades acumuladas \(P(X\leq k)\).
Ejemplo 1: leer una tabla de probabilidades exactas
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\). La siguiente tabla muestra probabilidades exactas:
| \(k\) | \(P(X=k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}03125\) |
| \(1\) | \(0{,}15625\) |
| \(2\) | \(0{,}3125\) |
| \(3\) | \(0{,}3125\) |
| \(4\) | \(0{,}15625\) |
| \(5\) | \(0{,}03125\) |
Si se pide \(P(X=3)\), se busca directamente la fila \(k=3\):
\[ P(X=3)=0{,}3125 \]
El gráfico representa las mismas probabilidades de la tabla.
Ejemplo 2: calcular una probabilidad acumulada usando tabla
Con la misma variable \(X\sim B(5,0{,}5)\), calculemos:
\[ P(X\leq 2) \]
Como la tabla entrega probabilidades exactas, debemos sumar:
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}03125+0{,}15625+0{,}3125 \]
\[ P(X\leq 2)=0{,}5 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(2\) éxitos es \(0{,}5\), es decir, \(50\%\).
Ejemplo 3: usar complemento con apoyo tecnológico
Sea \(X\sim B(10,0{,}3)\). Se quiere calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
En lugar de sumar \(P(X=4)+P(X=5)+\cdots+P(X=10)\), se puede usar el complemento:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
Si una tabla o tecnología entrega:
\[ P(X\leq 3)\approx 0{,}6496 \]
entonces:
\[ P(X\geq 4)\approx 1-0{,}6496=0{,}3504 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos \(4\) éxitos es aproximadamente \(0{,}3504\), es decir, \(35{,}04\%\).
Error frecuente
No todas las tablas entregan el mismo tipo de información.
Algunas muestran \(P(X=k)\), mientras otras muestran \(P(X\leq k)\). Antes de usar un valor, se debe leer el encabezado de la tabla.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer probabilidad exacta
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\). Usa la siguiente tabla:
| \(k\) | \(P(X=k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}03125\) |
| \(1\) | \(0{,}15625\) |
| \(2\) | \(0{,}3125\) |
| \(3\) | \(0{,}3125\) |
| \(4\) | \(0{,}15625\) |
| \(5\) | \(0{,}03125\) |
Calcula \(P(X=4)\).
La tabla entrega probabilidades exactas \(P(X=k)\).
Para calcular \(P(X=4)\), buscamos la fila donde \(k=4\).
En esa fila se indica:
\[ P(X=4)=0{,}15625 \]
La probabilidad es \(P(X=4)=0{,}15625\).
Ejercicio 2: sumar probabilidades exactas
Usa la misma tabla de \(X\sim B(5,0{,}5)\) para calcular:
\[ P(X\leq 1) \]
El evento \(X\leq 1\) incluye dos valores:
\[ X=0 \quad \text{y} \quad X=1 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\leq 1)=0{,}03125+0{,}15625=0{,}1875 \]
La probabilidad es \(P(X\leq 1)=0{,}1875\).
Ejercicio 3: usar complemento
Sea \(X\sim B(5,0{,}5)\).
Usa la tabla anterior para calcular:
\[ P(X\geq 4) \]
El evento \(X\geq 4\) incluye:
\[ X=4 \quad \text{y} \quad X=5 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
Usando la tabla:
\[ P(X\geq 4)=0{,}15625+0{,}03125=0{,}1875 \]
También se podría usar complemento:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
La probabilidad es \(P(X\geq 4)=0{,}1875\).
Ejercicio 4: interpretar tabla acumulada
Sea \(X\sim B(6,0{,}4)\). La siguiente tabla entrega probabilidades acumuladas:
| \(k\) | \(P(X\leq k)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0{,}0467\) |
| \(1\) | \(0{,}2333\) |
| \(2\) | \(0{,}5443\) |
| \(3\) | \(0{,}8208\) |
| \(4\) | \(0{,}9590\) |
| \(5\) | \(0{,}9959\) |
| \(6\) | \(1{,}0000\) |
Usa la tabla para determinar \(P(X\leq 2)\).
La tabla ya entrega probabilidades acumuladas \(P(X\leq k)\).
Por lo tanto, para encontrar \(P(X\leq 2)\), buscamos directamente la fila \(k=2\).
Según la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}5443 \]
No es necesario sumar nuevamente, porque la tabla ya acumuló las probabilidades.
\(P(X\leq 2)=0{,}5443\).
Ejercicio 5: obtener “al menos” desde tabla acumulada
Usa la tabla acumulada de \(X\sim B(6,0{,}4)\) para calcular:
\[ P(X\geq 3) \]
Para calcular \(P(X\geq 3)\), usamos complemento.
El complemento de \(X\geq 3\) es \(X\leq 2\).
Entonces:
\[ P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2) \]
De la tabla:
\[ P(X\leq 2)=0{,}5443 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 3)=1-0{,}5443=0{,}4557 \]
La probabilidad es \(P(X\geq 3)=0{,}4557\).
Ejercicio 6: distinguir exacta y acumulada
Un estudiante usa una tabla acumulada y lee que, para cierta variable binomial:
\[ P(X\leq 4)=0{,}8120 \]
Luego afirma que \(P(X=4)=0{,}8120\).
Explica el error.
El error consiste en confundir una probabilidad acumulada con una probabilidad exacta.
El valor \(P(X\leq 4)=0{,}8120\) incluye todos los casos:
\[ X=0,\quad X=1,\quad X=2,\quad X=3,\quad X=4 \]
En cambio, \(P(X=4)\) considera solo el caso exacto \(X=4\).
Por lo tanto, no se puede afirmar que \(P(X=4)=0{,}8120\) usando solo ese dato.
El estudiante confundió \(P(X\leq 4)\) con \(P(X=4)\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Sea \(X\sim B(10,0{,}3)\). Una herramienta tecnológica entrega:
\[ P(X\leq 3)=0{,}6496 \]
- Calcula \(P(X\geq 4)\).
- Interpreta el resultado en contexto si \(X\) representa la cantidad de respuestas correctas en \(10\) preguntas.
El evento \(X\geq 4\) es el complemento de \(X\leq 3\).
Por lo tanto:
\[ P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(X\geq 4)=1-0{,}6496=0{,}3504 \]
En contexto, esto significa que la probabilidad de obtener al menos \(4\) respuestas correctas en \(10\) preguntas es aproximadamente \(0{,}3504\), es decir, \(35{,}04\%\).
\(P(X\geq 4)=0{,}3504\).
12. Esperanza de una binomial
Objetivo de aprendizaje
- Calcular la esperanza de una variable aleatoria binomial.
- Interpretar la esperanza como el número esperado de éxitos en \(n\) ensayos.
¿Qué representa la esperanza?
En una distribución binomial, la variable \(X\) cuenta cuántos éxitos ocurren en \(n\) ensayos.
La esperanza matemática indica cuántos éxitos se esperan en promedio si el experimento se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.
No significa que ese número de éxitos tenga que ocurrir exactamente en cada realización del experimento.
Fórmula de la esperanza binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la esperanza de \(X\) es:
\[ E(X)=np \]
donde:
- \(n\) es el número de ensayos.
- \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
La esperanza se interpreta como el número promedio de éxitos esperados.
Idea clave
La fórmula \(E(X)=np\) resume una idea simple: si se realizan \(n\) ensayos y en cada uno la probabilidad de éxito es \(p\), entonces se espera aproximadamente una proporción \(p\) de éxitos sobre el total de ensayos.
Ejemplo 1: caras en una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces y se define \(X\) como la cantidad de caras obtenidas.
Como la moneda es equilibrada:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Además:
\[ n=10 \]
Entonces:
\[ E(X)=np=10\cdot 0{,}5=5 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(5\) caras en \(10\) lanzamientos.
En esta distribución, el valor esperado está en torno a \(X=5\).
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}04\). Se revisan \(80\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Identificamos:
\[ n=80,\qquad p=0{,}04 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=80\cdot 0{,}04=3{,}2 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(3{,}2\) productos defectuosos por cada \(80\) revisados.
Como \(X\) cuenta productos, en una revisión real no pueden aparecer \(3{,}2\) productos defectuosos. Ese valor corresponde a un promedio esperado a largo plazo.
Ejemplo 3: respuestas en una encuesta
En una comuna, la probabilidad de que una persona responda “sí” a una pregunta es \(0{,}62\). Se encuesta de forma independiente a \(200\) personas.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”.
Entonces:
\[ X\sim B(200,0{,}62) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=200\cdot 0{,}62=124 \]
Se espera que, en promedio, \(124\) de las \(200\) personas respondan “sí”.
Error frecuente
No se debe interpretar la esperanza como una predicción exacta.
Si \(E(X)=3{,}2\), no significa que necesariamente se observarán \(3{,}2\) éxitos. La variable \(X\) toma valores enteros, pero su promedio esperado puede ser decimal.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular esperanza directa
Sea \(X\sim B(12,0{,}5)\).
Calcula \(E(X)\) e interpreta el resultado.
Usamos la fórmula de la esperanza binomial:
\[ E(X)=np \]
En este caso:
\[ n=12,\qquad p=0{,}5 \]
Entonces:
\[ E(X)=12\cdot 0{,}5=6 \]
Esto significa que se esperan, en promedio, \(6\) éxitos en \(12\) ensayos.
\(E(X)=6\).
Ejercicio 2: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}03\). Se revisan \(50\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
Calcula la esperanza de \(X\) e interprétala en contexto.
La variable \(X\) cuenta productos defectuosos.
Los parámetros son:
\[ n=50,\qquad p=0{,}03 \]
Calculamos:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}03=1{,}5 \]
Esto significa que, en promedio, se esperan \(1{,}5\) artículos defectuosos entre \(50\) revisados.
En una revisión real no aparecerá medio artículo defectuoso; el valor \(1{,}5\) es un promedio esperado.
\(E(X)=1{,}5\) productos defectuosos esperados.
Ejercicio 3: encuesta
En una encuesta, la probabilidad de que una persona prefiera clases presenciales es \(0{,}70\). Se encuesta a \(90\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que prefieren clases presenciales.
Calcula \(E(X)\).
Identificamos los parámetros:
\[ n=90,\qquad p=0{,}70 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ E(X)=np \]
\[ E(X)=90\cdot 0{,}70=63 \]
Se espera que, en promedio, \(63\) de las \(90\) personas prefieran clases presenciales.
\(E(X)=63\).
Ejercicio 4: prueba de verdadero o falso
Una prueba tiene \(20\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Calcula \(E(X)\).
- Interpreta el resultado.
Hay \(20\) preguntas, por lo tanto:
\[ n=20 \]
Como cada pregunta es de verdadero o falso y se responde al azar, la probabilidad de responder correctamente es:
\[ p=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=20\cdot 0{,}5=10 \]
Esto significa que, al responder al azar, se esperan en promedio \(10\) respuestas correctas.
\(n=20\), \(p=0{,}5\) y \(E(X)=10\).
Ejercicio 5: interpretar una esperanza decimal
Una variable binomial \(X\) representa la cantidad de fallas detectadas en \(40\) revisiones independientes. La probabilidad de falla en cada revisión es \(0{,}08\).
- Calcula \(E(X)\).
- Explica por qué el resultado no tiene que ser un número entero.
Identificamos:
\[ n=40,\qquad p=0{,}08 \]
Calculamos:
\[ E(X)=np=40\cdot 0{,}08=3{,}2 \]
La esperanza es \(3{,}2\), lo que significa que se esperan \(3{,}2\) fallas en promedio.
La variable \(X\) sí toma valores enteros, como \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots,40\), porque cuenta fallas reales.
Sin embargo, la esperanza puede ser decimal porque representa un promedio a largo plazo, no un resultado individual.
\(E(X)=3{,}2\), interpretado como promedio esperado de fallas.
Ejercicio 6: comparar dos situaciones binomiales
Compara las siguientes variables:
- \(A\sim B(30,0{,}20)\)
- \(B\sim B(50,0{,}10)\)
Calcula \(E(A)\), \(E(B)\) e indica en cuál situación se espera una mayor cantidad de éxitos.
Para la variable \(A\):
\[ E(A)=30\cdot 0{,}20=6 \]
Para la variable \(B\):
\[ E(B)=50\cdot 0{,}10=5 \]
Por lo tanto, aunque \(B\) tiene más ensayos, su probabilidad de éxito es menor.
La mayor esperanza corresponde a \(A\), porque se esperan \(6\) éxitos, mientras que en \(B\) se esperan \(5\).
\(E(A)=6\), \(E(B)=5\). Se espera una mayor cantidad de éxitos en \(A\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una campaña digital tiene una probabilidad de \(0{,}25\) de que un usuario haga clic en un enlace. Se quiere lograr una esperanza de al menos \(120\) clics.
Sea \(X\) la cantidad de clics obtenidos.
- Plantea una desigualdad usando \(E(X)=np\).
- Determina el mínimo número de usuarios a quienes se debe mostrar la campaña.
- Interpreta el resultado.
La probabilidad de éxito es:
\[ p=0{,}25 \]
Se quiere que la esperanza sea al menos \(120\):
\[ E(X)\geq 120 \]
Como \(E(X)=np\), reemplazamos:
\[ n\cdot 0{,}25\geq 120 \]
Despejamos \(n\):
\[ n\geq \frac{120}{0{,}25} \]
\[ n\geq 480 \]
Por lo tanto, se debe mostrar la campaña al menos a \(480\) usuarios para esperar \(120\) clics en promedio.
El mínimo número de usuarios es \(480\).
13. Desviación estándar de una binomial
Objetivo de aprendizaje
- Calcular la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial.
- Interpretar la desviación estándar como una medida de variabilidad en la cantidad de éxitos.
¿Qué mide la desviación estándar?
En una distribución binomial, la variable \(X\) cuenta cuántos éxitos ocurren en \(n\) ensayos.
La esperanza \(E(X)=np\) indica el número promedio de éxitos esperados.
La desviación estándar indica cuánto suelen variar los valores de \(X\) alrededor de esa esperanza.
Varianza y desviación estándar binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ E(X)=np \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p) \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
donde \(1-p\) es la probabilidad de fracaso.
Idea clave
La desviación estándar se interpreta en las mismas unidades que la variable.
Si \(X\) cuenta personas, productos, respuestas o caras, entonces \(\sigma\) también se interpreta como una variación típica en esa cantidad de éxitos.
Ejemplo 1: caras en una moneda
Se lanza una moneda equilibrada \(10\) veces. Sea \(X\) la cantidad de caras obtenidas.
Entonces:
\[ X\sim B(10,0{,}5) \]
Calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=10\cdot 0{,}5=5 \]
Calculamos la varianza:
\[ Var(X)=np(1-p)=10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=2{,}5 \]
Por lo tanto, la desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}58 \]
Esto significa que la cantidad de caras suele variar alrededor de \(5\) con una desviación típica aproximada de \(1{,}58\) caras.
Ejemplo 2: productos defectuosos
Una fábrica produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}04\). Se revisan \(80\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Identificamos:
\[ n=80,\qquad p=0{,}04,\qquad 1-p=0{,}96 \]
La esperanza es:
\[ E(X)=80\cdot 0{,}04=3{,}2 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=80\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96=3{,}072 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{3{,}072}\approx 1{,}75 \]
Esto significa que se esperan \(3{,}2\) productos defectuosos en promedio, con una variación típica aproximada de \(1{,}75\) productos defectuosos.
Ejemplo 3: comparar variabilidad
Consideremos dos variables binomiales:
- \(A\sim B(100,0{,}5)\)
- \(B\sim B(100,0{,}1)\)
Para \(A\):
\[ \sigma_A=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{25}=5 \]
Para \(B\):
\[ \sigma_B=\sqrt{100\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{9}=3 \]
En este caso, \(A\) tiene mayor desviación estándar que \(B\), por lo que presenta mayor variabilidad absoluta en la cantidad de éxitos.
Error frecuente
No se debe calcular la desviación estándar como \(\sqrt{np}\).
Primero se calcula la varianza \(np(1-p)\), y luego se aplica la raíz cuadrada:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: cálculo directo
Sea \(X\sim B(12,0{,}5)\).
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula la desviación estándar \(\sigma\).
Identificamos:
\[ n=12,\qquad p=0{,}5,\qquad 1-p=0{,}5 \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=12\cdot 0{,}5=6 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p)=12\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=3 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{3}\approx 1{,}73 \]
\(E(X)=6\), \(Var(X)=3\) y \(\sigma\approx 1{,}73\).
Ejercicio 2: ensayos con \(p=0{,}2\)
Sea \(X\sim B(50,0{,}2)\).
Calcula la varianza y la desviación estándar de \(X\).
Identificamos:
\[ n=50,\qquad p=0{,}2,\qquad 1-p=0{,}8 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=np(1-p)=50\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8 \]
\[ Var(X)=8 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{8}\approx 2{,}83 \]
La varianza es \(8\) y la desviación estándar es aproximadamente \(2{,}83\).
Ejercicio 3: productos defectuosos
Una empresa revisa \(100\) productos de forma independiente. La probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}03\).
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
La variable se puede modelar como:
\[ X\sim B(100,0{,}03) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=100\cdot 0{,}03=3 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}03=0{,}97 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=100\cdot 0{,}03\cdot 0{,}97=2{,}91 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{2{,}91}\approx 1{,}71 \]
\(E(X)=3\), \(Var(X)=2{,}91\) y \(\sigma\approx 1{,}71\).
Ejercicio 4: interpretar la desviación estándar
En una encuesta a \(200\) personas, \(X\) representa la cantidad de personas que responden “sí”.
Se sabe que:
\[ E(X)=120,\qquad \sigma\approx 6{,}93 \]
Interpreta ambos valores en contexto.
La esperanza \(E(X)=120\) significa que, en promedio, se espera que \(120\) de las \(200\) personas respondan “sí”.
La desviación estándar \(\sigma\approx 6{,}93\) indica que la cantidad de respuestas “sí” suele variar alrededor de \(120\) con una variación típica aproximada de \(6{,}93\) personas.
No significa que siempre se obtendrán exactamente entre \(120-6{,}93\) y \(120+6{,}93\), sino que entrega una medida de dispersión alrededor del valor esperado.
Se esperan \(120\) respuestas “sí” en promedio, con una variabilidad típica cercana a \(6{,}93\) personas.
Ejercicio 5: comparar dos distribuciones
Compara las siguientes variables binomiales:
- \(A\sim B(40,0{,}5)\)
- \(B\sim B(40,0{,}2)\)
Calcula la desviación estándar de cada una e indica cuál tiene mayor variabilidad absoluta.
Para \(A\):
\[ \sigma_A=\sqrt{40\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} \]
\[ \sigma_A=\sqrt{10}\approx 3{,}16 \]
Para \(B\):
\[ \sigma_B=\sqrt{40\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8} \]
\[ \sigma_B=\sqrt{6{,}4}\approx 2{,}53 \]
Como \(3{,}16>2{,}53\), la variable \(A\) tiene mayor desviación estándar.
\(A\) tiene mayor variabilidad absoluta, porque \(\sigma_A\approx 3{,}16\) y \(\sigma_B\approx 2{,}53\).
Ejercicio 6: detectar un error
Sea \(X\sim B(25,0{,}4)\). Un estudiante calcula:
\[ \sigma=\sqrt{25\cdot 0{,}4} \]
Explica el error y calcula la desviación estándar correcta.
El error consiste en olvidar el factor \(1-p\).
La fórmula correcta es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Como \(p=0{,}4\), entonces:
\[ 1-p=0{,}6 \]
Por lo tanto:
\[ \sigma=\sqrt{25\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} \]
\[ \sigma=\sqrt{6}\approx 2{,}45 \]
La desviación estándar correcta es \(\sigma\approx 2{,}45\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una campaña digital tiene probabilidad \(0{,}25\) de que un usuario haga clic en un enlace. La campaña se muestra a \(480\) usuarios de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de clics obtenidos.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(Var(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Interpreta la desviación estándar en contexto.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(480,0{,}25) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=480\cdot 0{,}25=120 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p=1-0{,}25=0{,}75 \]
La varianza es:
\[ Var(X)=480\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75=90 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{90}\approx 9{,}49 \]
Esto significa que, aunque se esperan \(120\) clics en promedio, la cantidad observada suele variar alrededor de ese valor con una desviación típica aproximada de \(9{,}49\) clics.
\(E(X)=120\), \(Var(X)=90\) y \(\sigma\approx 9{,}49\).
14. Taller contextual: encuestas, pruebas, defectos y decisiones
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas contextualizados usando el modelo binomial.
- Calcular e interpretar probabilidades exactas, acumuladas, esperanza y desviación estándar.
- Tomar decisiones justificadas a partir de resultados binomiales.
Resolver problemas binomiales en contexto
En este taller se integran las ideas principales de la distribución binomial.
Antes de calcular, es necesario comprender el contexto, definir qué se considera éxito y verificar que la variable cuente la cantidad de éxitos en un número fijo de ensayos.
Resumen de herramientas
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
\[ P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k) \]
\[ P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \]
\[ E(X)=np \]
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
Ruta de resolución
La siguiente ruta ayuda a ordenar el trabajo antes de calcular:
Ejemplo 1: encuesta
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}6\). Se seleccionan \(10\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que responden “sí”. Queremos calcular la probabilidad de que exactamente \(7\) personas respondan “sí”.
Primero identificamos:
- \(n=10\), porque se encuestan \(10\) personas.
- \(p=0{,}6\), porque la probabilidad de éxito es responder “sí”.
- \(X=\) cantidad de personas que responden “sí”.
- Se pide \(P(X=7)\).
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}6)^7(0{,}4)^3 \]
Como \(\binom{10}{7}=120\), se obtiene:
\[ P(X=7)=120(0{,}6)^7(0{,}4)^3 \]
\[ P(X=7)\approx 0{,}2150 \]
La probabilidad de que exactamente \(7\) de las \(10\) personas respondan “sí” es aproximadamente \(21{,}50\%\).
Ejemplo 2: prueba de verdadero o falso
Una prueba tiene \(8\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas. Queremos calcular la probabilidad de obtener al menos \(6\) respuestas correctas.
Como cada pregunta tiene dos alternativas y se responde al azar:
\[ X\sim B(8,0{,}5) \]
Se pide:
\[ P(X\geq 6) \]
Esto incluye:
\[ X=6,\quad X=7,\quad X=8 \]
Calculamos:
\[ P(X\geq 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) \]
Como hay \(2^8=256\) secuencias posibles:
\[ P(X=6)=\frac{\binom{8}{6}}{256}=\frac{28}{256} \]
\[ P(X=7)=\frac{\binom{8}{7}}{256}=\frac{8}{256} \]
\[ P(X=8)=\frac{\binom{8}{8}}{256}=\frac{1}{256} \]
Entonces:
\[ P(X\geq 6)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}\approx 0{,}1445 \]
La probabilidad de obtener al menos \(6\) respuestas correctas respondiendo al azar es aproximadamente \(14{,}45\%\).
Ejemplo 3: decisión sobre defectos
Una empresa afirma que solo el \(5\%\) de sus productos son defectuosos. Se revisan \(20\) productos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de productos defectuosos.
Primero calculamos la esperanza:
\[ E(X)=np=20\cdot 0{,}05=1 \]
Esto significa que se espera, en promedio, \(1\) producto defectuoso entre \(20\) revisados.
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{20\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95} \]
\[ \sigma=\sqrt{0{,}95}\approx 0{,}97 \]
Si en una revisión aparecen \(5\) productos defectuosos, ese resultado está bastante por sobre el valor esperado de \(1\). No demuestra por sí solo que la afirmación sea falsa, pero sí justifica revisar el proceso con más cuidado.
Error frecuente
No basta con calcular una probabilidad; también se debe interpretar el resultado.
En problemas de decisión, una probabilidad pequeña puede indicar que un resultado es poco compatible con el modelo supuesto, pero no reemplaza el análisis del contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: encuesta y probabilidad exacta
En una encuesta escolar, la probabilidad de que un estudiante prefiera estudiar con música es \(0{,}4\). Se seleccionan \(6\) estudiantes de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que prefieren estudiar con música.
- Identifica \(n\) y \(p\).
- Calcula \(P(X=2)\).
- Interpreta el resultado.
Hay \(6\) estudiantes seleccionados, por lo tanto:
\[ n=6 \]
El éxito es que un estudiante prefiera estudiar con música, por lo tanto:
\[ p=0{,}4 \]
Se pide exactamente \(2\) éxitos:
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^4 \]
Como \(\binom{6}{2}=15\):
\[ P(X=2)=15(0{,}16)(0{,}1296) \]
\[ P(X=2)=0{,}31104 \]
Esto significa que la probabilidad de que exactamente \(2\) de los \(6\) estudiantes prefieran estudiar con música es aproximadamente \(31{,}10\%\).
\(n=6\), \(p=0{,}4\), y \(P(X=2)=0{,}31104\).
Ejercicio 2: prueba al azar
Una prueba tiene \(5\) preguntas de verdadero o falso. Un estudiante responde al azar.
Sea \(X\) la cantidad de respuestas correctas.
Calcula la probabilidad de obtener a lo más \(2\) respuestas correctas.
Como la prueba tiene \(5\) preguntas de verdadero o falso respondidas al azar:
\[ X\sim B(5,0{,}5) \]
Se pide:
\[ P(X\leq 2) \]
Esto incluye \(X=0\), \(X=1\) y \(X=2\):
\[ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
Como hay \(2^5=32\) secuencias posibles:
\[ P(X=0)=\frac{\binom{5}{0}}{32}=\frac{1}{32} \]
\[ P(X=1)=\frac{\binom{5}{1}}{32}=\frac{5}{32} \]
\[ P(X=2)=\frac{\binom{5}{2}}{32}=\frac{10}{32} \]
Entonces:
\[ P(X\leq 2)=\frac{1+5+10}{32}=\frac{16}{32}=0{,}5 \]
La probabilidad de obtener a lo más \(2\) respuestas correctas es \(0{,}5\).
Ejercicio 3: productos defectuosos
Una máquina produce artículos con probabilidad de defecto \(0{,}1\). Se revisan \(8\) artículos de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de artículos defectuosos.
- Calcula la probabilidad de encontrar exactamente \(1\) artículo defectuoso.
- Calcula la probabilidad de encontrar al menos \(1\) artículo defectuoso.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(8,0{,}1) \]
Para exactamente \(1\) defectuoso:
\[ P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^7 \]
\[ P(X=1)=8\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^7 \]
\[ P(X=1)\approx 0{,}3826 \]
Para al menos \(1\) defectuoso, usamos el complemento:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0) \]
\[ P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}1)^0(0{,}9)^8=0{,}9^8 \]
\[ P(X=0)\approx 0{,}4305 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 1)\approx 1-0{,}4305=0{,}5695 \]
\(P(X=1)\approx 0{,}3826\) y \(P(X\geq 1)\approx 0{,}5695\).
Ejercicio 4: esperanza y desviación estándar
En una comuna, el \(30\%\) de las personas declara usar bicicleta al menos una vez por semana. Se encuesta a \(50\) personas de forma independiente.
Sea \(X\) la cantidad de personas que declaran usar bicicleta al menos una vez por semana.
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Interpreta ambos resultados.
La variable se modela como:
\[ X\sim B(50,0{,}3) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}3=15 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
\[ \sigma=\sqrt{50\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7} \]
\[ \sigma=\sqrt{10{,}5}\approx 3{,}24 \]
En promedio, se espera que \(15\) de las \(50\) personas declaren usar bicicleta al menos una vez por semana. La cantidad observada suele variar alrededor de \(15\) con una desviación típica aproximada de \(3{,}24\) personas.
\(E(X)=15\) y \(\sigma\approx 3{,}24\).
Ejercicio 5: decisión con encuesta
Una organización afirma que el \(70\%\) de los estudiantes apoya una iniciativa. Se encuesta de forma independiente a \(10\) estudiantes.
Sea \(X\) la cantidad de estudiantes que apoyan la iniciativa.
- Calcula la probabilidad de que \(6\) o menos estudiantes apoyen la iniciativa.
- Interpreta el resultado como apoyo a una decisión.
Según la afirmación de la organización:
\[ X\sim B(10,0{,}7) \]
Se pide:
\[ P(X\leq 6) \]
Calculamos usando complemento:
\[ P(X\leq 6)=1-P(X\geq 7) \]
Ahora:
\[ P(X\geq 7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \]
Calculamos los términos:
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}7)^7(0{,}3)^3\approx 0{,}2668 \]
\[ P(X=8)=\binom{10}{8}(0{,}7)^8(0{,}3)^2\approx 0{,}2335 \]
\[ P(X=9)=\binom{10}{9}(0{,}7)^9(0{,}3)^1\approx 0{,}1211 \]
\[ P(X=10)=\binom{10}{10}(0{,}7)^{10}\approx 0{,}0282 \]
Entonces:
\[ P(X\geq 7)\approx 0{,}2668+0{,}2335+0{,}1211+0{,}0282=0{,}6496 \]
Por lo tanto:
\[ P(X\leq 6)\approx 1-0{,}6496=0{,}3504 \]
Esto significa que, si realmente el \(70\%\) apoya la iniciativa, obtener \(6\) o menos apoyos en una muestra de \(10\) estudiantes no es imposible; ocurre con probabilidad aproximada de \(35{,}04\%\).
Por sí solo, este resultado no sería evidencia fuerte para rechazar la afirmación.
\(P(X\leq 6)\approx 0{,}3504\). El resultado debe interpretarse con cautela.
Ejercicio 6: comparar dos planes
Dos campañas digitales se muestran a la misma cantidad de usuarios.
- Campaña A: \(X_A\sim B(100,0{,}12)\)
- Campaña B: \(X_B\sim B(100,0{,}18)\)
- Calcula la esperanza de clics de cada campaña.
- Calcula la desviación estándar de cada campaña.
- Indica cuál campaña tiene mayor número esperado de clics.
Para la campaña A:
\[ E(X_A)=100\cdot 0{,}12=12 \]
\[ \sigma_A=\sqrt{100\cdot 0{,}12\cdot 0{,}88} \]
\[ \sigma_A=\sqrt{10{,}56}\approx 3{,}25 \]
Para la campaña B:
\[ E(X_B)=100\cdot 0{,}18=18 \]
\[ \sigma_B=\sqrt{100\cdot 0{,}18\cdot 0{,}82} \]
\[ \sigma_B=\sqrt{14{,}76}\approx 3{,}84 \]
La campaña B tiene mayor número esperado de clics, porque \(18>12\).
Campaña A: \(E=12\), \(\sigma\approx 3{,}25\). Campaña B: \(E=18\), \(\sigma\approx 3{,}84\). Conviene B si el criterio es mayor número esperado de clics.
Ejercicio 7: caso desafiante
Una empresa afirma que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es \(0{,}04\). Se revisan \(50\) productos de forma independiente y se decide investigar el proceso si aparecen al menos \(5\) defectuosos.
- Define la variable binomial \(X\).
- Calcula \(E(X)\).
- Calcula \(\sigma\).
- Explica si observar \(5\) defectuosos parece un resultado que justifica investigar.
La variable puede definirse como:
\[ X=\text{cantidad de productos defectuosos entre los }50\text{ revisados} \]
Según la afirmación de la empresa:
\[ X\sim B(50,0{,}04) \]
La esperanza es:
\[ E(X)=np=50\cdot 0{,}04=2 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=\sqrt{np(1-p)} \]
\[ \sigma=\sqrt{50\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96} \]
\[ \sigma=\sqrt{1{,}92}\approx 1{,}39 \]
Observar \(5\) defectuosos está por sobre la esperanza de \(2\). La diferencia es:
\[ 5-2=3 \]
Esto equivale a un poco más de dos desviaciones estándar aproximadamente, porque:
\[ \frac{3}{1{,}39}\approx 2{,}16 \]
Por lo tanto, observar \(5\) defectuosos no prueba automáticamente que la afirmación sea falsa, pero sí es un resultado suficientemente alto como para justificar una revisión del proceso.
\(X\sim B(50,0{,}04)\), \(E(X)=2\), \(\sigma\approx 1{,}39\). Observar \(5\) defectuosos justifica investigar.
Cierre del libro
La distribución binomial permite modelar situaciones donde se repite un ensayo con dos resultados posibles y se cuenta la cantidad de éxitos.
Su valor no está solo en aplicar una fórmula, sino en interpretar probabilidades, promedios y variabilidad para tomar decisiones justificadas en contextos reales.