Distribución normal y puntaje Z
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Probabilidades y Estadística Descriptiva e Inferencial |
| Libro: | Distribución normal y puntaje Z |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:15 |
Tabla de contenidos
- 1. La campana normal
- 2. Variables continuas
- 3. Forma de la distribución normal
- 4. Media y desviación estándar como parámetros
- 5. Interpretar valores sobre y bajo el promedio
- 6. Regla 68–95–99,7
- 7. Puntaje Z
- 8. Estandarización
- 9. Tabla normal estándar
- 10. Probabilidad acumulada
- 11. Probabilidad entre dos valores
- 12. Valores extremos y percentiles en la normal
- 13. Aproximación normal en contextos reales
- 14. Taller: usar la normal para tomar decisiones
1. La campana normal
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer la forma general de la distribución normal.
- Comprender que en una distribución normal los valores se concentran alrededor de un promedio.
- Relacionar el área bajo la curva normal con probabilidades.
¿Qué es la campana normal?
La distribución normal es un modelo de probabilidad que se representa mediante una curva con forma de campana.
En esta curva, los valores cercanos al promedio son más frecuentes o más probables, mientras que los valores muy alejados del promedio son menos frecuentes.
Por eso, muchas situaciones reales que presentan variación natural pueden aproximarse mediante una curva normal.
Área bajo la curva
En una distribución normal, las probabilidades se representan mediante áreas bajo la curva.
El área total bajo la curva normal es:
\[ 1 \]
Esto representa el \(100\%\) de los valores posibles.
Por ejemplo, si cierta zona bajo la curva tiene área \(0{,}30\), entonces representa una probabilidad del \(30\%\).
Ejemplo 1: una campana centrada en el promedio
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de manera normal, con promedio \(60\) puntos y desviación estándar \(10\) puntos.
Esto significa que muchos puntajes estarán cerca de \(60\), y menos puntajes estarán muy por debajo o muy por encima de ese valor.
La zona sombreada representa los puntajes cercanos al promedio, entre \(50\) y \(70\) puntos.
En una distribución normal, no se cuenta la altura de la curva como probabilidad; la probabilidad corresponde al área bajo la curva.
Ejemplo 2: valores cercanos y valores extremos
Si las estaturas de un grupo grande de estudiantes se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(170\) cm, entonces:
- las estaturas cercanas a \(170\) cm serán más comunes,
- las estaturas muy bajas respecto del promedio serán menos comunes,
- las estaturas muy altas respecto del promedio también serán menos comunes.
La curva muestra que los valores se agrupan alrededor del promedio. A medida que nos alejamos del centro, la curva baja.
Ejemplo 3: interpretar una situación
Un test tiene puntajes que se distribuyen aproximadamente de manera normal, con promedio \(100\).
Si una persona obtiene \(100\), su puntaje está justo en el centro de la distribución.
Si obtiene un puntaje mucho mayor que \(100\), estará en la parte derecha de la campana.
Si obtiene un puntaje mucho menor que \(100\), estará en la parte izquierda de la campana.
Esta idea será importante más adelante para interpretar valores sobre y bajo el promedio.
Idea clave
La campana normal permite transformar datos en probabilidades.
Para ello, no basta con mirar si un valor está a la izquierda o a la derecha del promedio: también importa qué tan lejos está del promedio.
Error frecuente
No se debe interpretar la altura de la curva como si fuera directamente una probabilidad.
En una distribución normal, la probabilidad se calcula como área bajo la curva, no como altura de un punto específico.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer la forma de campana
En una distribución normal, ¿dónde se concentran principalmente los valores: cerca del promedio o lejos del promedio?
En una distribución normal, los valores se concentran principalmente cerca del promedio.
La curva tiene mayor altura en la zona central, lo que indica que los valores cercanos al promedio son más frecuentes.
A medida que los valores se alejan del promedio, la curva disminuye.
Los valores se concentran principalmente cerca del promedio.
Ejercicio 2: interpretar el centro
Los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(70\).
Un estudiante obtiene \(70\) puntos. ¿Qué significa esto respecto de la campana normal?
Si el promedio es \(70\) y el estudiante obtiene \(70\) puntos, entonces su puntaje está en el centro de la distribución.
En una campana normal, el promedio se ubica en la zona central, donde se concentran muchos de los valores.
No significa que todos obtuvieron \(70\), sino que ese valor representa el centro de referencia de la distribución.
El puntaje \(70\) está ubicado en el centro de la campana normal.
Ejercicio 3: valores sobre y bajo el promedio
Una variable se distribuye aproximadamente de forma normal con promedio \(50\).
- ¿El valor \(62\) está sobre o bajo el promedio?
- ¿El valor \(41\) está sobre o bajo el promedio?
- ¿En qué lado de la campana se ubicaría cada valor?
El promedio es \(50\).
Como \(62>50\), el valor \(62\) está sobre el promedio y se ubica a la derecha del centro de la campana.
Como \(41<50\), el valor \(41\) está bajo el promedio y se ubica a la izquierda del centro de la campana.
\(62\) está sobre el promedio y a la derecha; \(41\) está bajo el promedio y a la izquierda.
Ejercicio 4: área y probabilidad
En una distribución normal, una zona bajo la curva tiene área \(0{,}18\).
Interpreta ese valor como probabilidad y como porcentaje.
En una distribución normal, el área bajo la curva representa probabilidad.
Si una zona tiene área \(0{,}18\), entonces la probabilidad asociada a esa zona es:
\[ 0{,}18 \]
Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por \(100\):
\[ 0{,}18\cdot 100=18 \]
El área \(0{,}18\) representa una probabilidad de \(18\%\).
Ejercicio 5: distinguir probabilidad y altura
Un estudiante afirma: “La probabilidad de un valor en la normal se obtiene mirando la altura de la curva en ese punto”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque, en una distribución normal, las probabilidades se representan mediante áreas bajo la curva.
La altura de la curva ayuda a visualizar dónde los valores son más frecuentes, pero no corresponde directamente a una probabilidad.
Para calcular probabilidades se necesita considerar un intervalo de valores y el área asociada a ese intervalo.
La probabilidad corresponde al área bajo la curva, no a la altura de un punto.
Ejercicio 6: reconocer un contexto apropiado
Indica cuál situación podría aproximarse mejor mediante una distribución normal. Justifica.
- El color favorito de un grupo de estudiantes.
- La estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
- El número exacto obtenido al lanzar un dado una vez.
La situación que podría aproximarse mejor mediante una distribución normal es la estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
La estatura es una variable numérica continua y suele presentar valores concentrados alrededor de un promedio, con menos casos en los extremos.
En cambio, el color favorito es una variable cualitativa, y el resultado de lanzar un dado una vez tiene solo seis valores posibles.
La situación 2 es la más adecuada para aproximarse con una distribución normal.
2. Variables continuas
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer variables continuas en contextos reales.
- Distinguir variables continuas de variables discretas.
- Comprender que en variables continuas las probabilidades se calculan sobre intervalos.
¿Qué es una variable continua?
Una variable continua es una variable numérica que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.
Generalmente aparece cuando se mide una magnitud, como longitud, masa, tiempo, temperatura o estatura.
Por ejemplo, una estatura podría registrarse como \(168\) cm, \(168{,}4\) cm o \(168{,}43\) cm, dependiendo de la precisión del instrumento de medición.
Medir, no contar
Una forma útil de reconocer variables continuas es preguntarse si la variable se obtiene midiendo o contando.
- Si se mide, suele ser continua.
- Si se cuenta, suele ser discreta.
Ejemplos de variables continuas:
- estatura de una persona,
- masa de una mochila,
- tiempo que tarda un estudiante en llegar al colegio,
- temperatura registrada durante el día.
Ejemplo 1: estaturas
La estatura de estudiantes de un mismo nivel puede considerarse una variable continua.
Si se mide con suficiente precisión, una estatura puede tomar muchos valores dentro de un intervalo.
Por ejemplo, no solo existen \(165\) cm y \(166\) cm; también puede haber valores como:
\[ 165{,}2,\quad 165{,}7,\quad 165{,}84 \]
Cuando se trabaja con muchos datos de este tipo, la distribución normal puede ser un modelo razonable para representar la concentración de valores alrededor de un promedio.
La zona sombreada representa un intervalo de estaturas, no un valor exacto.
Ejemplo 2: tiempo de llegada
El tiempo que tarda una persona en llegar al colegio también puede ser una variable continua.
Una persona podría tardar:
\[ 18\text{ min},\quad 18{,}5\text{ min},\quad 18{,}73\text{ min} \]
En la práctica, muchas veces redondeamos el tiempo a minutos, pero la variable original puede tomar valores intermedios.
Por eso, el tiempo se considera una variable continua.
Ejemplo 3: variable discreta y variable continua
Observemos la diferencia entre contar y medir:
| Situación | Variable | Tipo |
|---|---|---|
| Contar estudiantes ausentes | Cantidad de ausentes | Discreta |
| Medir la estatura de estudiantes | Estatura | Continua |
| Contar respuestas correctas | Número de respuestas correctas | Discreta |
| Medir el tiempo de respuesta | Tiempo utilizado | Continua |
La diferencia principal es que una variable discreta toma valores separados, mientras que una variable continua puede tomar valores dentro de un intervalo.
Probabilidades en variables continuas
En una variable continua, normalmente se calculan probabilidades sobre intervalos.
Por ejemplo, no se pregunta por la probabilidad de que una estatura sea exactamente \(170\) cm, sino por probabilidades como:
\[ P(165
Esta expresión representa la probabilidad de que la estatura esté entre \(165\) cm y \(175\) cm.
Error frecuente
No se debe confundir una variable continua con los valores redondeados que aparecen en una tabla.
Por ejemplo, si una estatura se anota como \(170\) cm, eso puede ser una aproximación. La estatura real podría estar cerca de \(170\), pero no necesariamente ser exactamente \(170{,}000\ldots\) cm.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer una variable continua
Indica si la variable es continua o discreta:
“La masa, en kilogramos, de una mochila”.
La masa de una mochila se obtiene midiendo.
Puede tomar valores como \(4\) kg, \(4{,}2\) kg, \(4{,}25\) kg o \(4{,}253\) kg, dependiendo de la precisión del instrumento.
Por lo tanto, puede tomar valores dentro de un intervalo.
La variable es continua.
Ejercicio 2: distinguir contar y medir
Clasifica cada variable como discreta o continua:
- Cantidad de hermanos de un estudiante.
- Temperatura registrada a las \(12{:}00\) horas.
- Tiempo que tarda una persona en correr \(100\) metros.
- Número de libros en una mochila.
Analizamos cada caso:
- La cantidad de hermanos se cuenta, por lo tanto es discreta.
- La temperatura se mide, por lo tanto es continua.
- El tiempo se mide, por lo tanto es continuo.
- El número de libros se cuenta, por lo tanto es discreto.
Discreta, continua, continua, discreta.
Ejercicio 3: valores posibles
Una variable \(X\) representa el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en llegar al colegio.
Explica por qué \(X\) puede considerarse continua.
El tiempo se mide, no se cuenta.
Un estudiante podría tardar \(20\) minutos, pero también \(20{,}5\), \(20{,}75\) o \(20{,}752\) minutos, dependiendo de la precisión con que se mida.
Como puede tomar valores intermedios dentro de un intervalo, se considera una variable continua.
\(X\) es continua porque representa una medición de tiempo.
Ejercicio 4: interpretar un intervalo
Sea \(X\) la estatura, en centímetros, de un estudiante seleccionado al azar.
Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(160
La variable \(X\) representa la estatura del estudiante.
La expresión \(160
Por lo tanto, la probabilidad:
\[ P(160
representa la probabilidad de que el estudiante seleccionado tenga una estatura mayor que \(160\) cm y menor que \(175\) cm.
Es la probabilidad de que la estatura esté entre \(160\) cm y \(175\) cm.
Ejercicio 5: corregir una interpretación
Un estudiante afirma: “Como la estatura fue registrada en centímetros enteros, entonces la estatura es una variable discreta”.
Explica por qué esta afirmación puede ser incorrecta.
La afirmación puede ser incorrecta porque el registro en centímetros enteros puede deberse al redondeo de la medición.
La estatura real no cambia de un centímetro entero a otro de forma separada; puede tomar valores intermedios.
Por ejemplo, una estatura registrada como \(168\) cm podría corresponder a una medición cercana a \(168\), como \(167{,}8\) cm o \(168{,}2\) cm.
Por eso, aunque se registre redondeada, la estatura se considera una variable continua.
El redondeo no transforma necesariamente una variable continua en discreta.
Ejercicio 6: elegir la probabilidad adecuada
Sea \(X\) el tiempo, en segundos, que demora una persona en completar una tarea.
¿Cuál expresión es más adecuada para trabajar con una variable continua?
- \(P(X=30)\)
- \(P(28
Justifica tu elección.
Para una variable continua, normalmente se trabajan probabilidades sobre intervalos.
Por eso, la expresión más adecuada es:
\[ P(28
Esta probabilidad considera un rango de tiempos entre \(28\) y \(32\) segundos.
En el modelo continuo ideal, la probabilidad de un valor exacto como \(X=30\) se considera \(0\), porque hay infinitos valores posibles dentro de cualquier intervalo.
La expresión más adecuada es \(P(28
Ejercicio 7: caso desafiante
Un colegio registra dos variables de sus estudiantes:
- \(A\): cantidad de atrasos durante el mes.
- \(B\): tiempo total, en minutos, dedicado a estudiar durante una semana.
- Clasifica \(A\) y \(B\) como discretas o continuas.
- Explica cuál de ellas podría modelarse mejor mediante una distribución normal y por qué.
- Escribe una probabilidad de intervalo adecuada para esa variable.
La variable \(A\) representa una cantidad de atrasos. Como se cuenta, es discreta.
La variable \(B\) representa tiempo total de estudio. Como se mide en minutos y puede tener valores intermedios, se considera continua.
La variable que podría modelarse mejor mediante una distribución normal es \(B\), porque es una medición continua y, en un grupo grande, podría concentrarse alrededor de un promedio.
Una probabilidad de intervalo adecuada podría ser:
\[ P(300
Esta expresión representa la probabilidad de que el tiempo total de estudio semanal esté entre \(300\) y \(500\) minutos.
\(A\) es discreta, \(B\) es continua, y una probabilidad adecuada sería \(P(300
3. Forma de la distribución normal
Objetivo de aprendizaje
- Describir las características principales de la forma de una distribución normal.
- Reconocer la simetría de la curva normal respecto de su centro.
- Interpretar las colas de la distribución normal como zonas de valores poco frecuentes.
Una curva con forma de campana
La distribución normal tiene una forma característica: es una curva suave, con un solo punto más alto en el centro y colas que se extienden hacia ambos lados.
Esta forma indica que los valores cercanos al centro son más frecuentes, mientras que los valores muy alejados del centro son menos frecuentes.
Características principales
La forma de una distribución normal cumple estas propiedades:
- Es simétrica respecto de su centro.
- Tiene forma de campana.
- Los valores cercanos al promedio son más probables que los valores extremos.
- El área total bajo la curva es \(1\).
- Las colas se acercan al eje horizontal, pero no se cortan bruscamente.
Ejemplo 1: simetría de la curva normal
La siguiente curva normal está centrada en \(0\). La zona sombreada entre \(-1\) y \(1\) muestra valores cercanos al centro.
La curva es simétrica: el lado izquierdo y el lado derecho tienen la misma forma.
Por eso, un valor que está \(1\) unidad bajo el promedio y otro que está \(1\) unidad sobre el promedio tienen posiciones equivalentes respecto del centro.
Ejemplo 2: mitad izquierda y mitad derecha
En una distribución normal, el centro divide el área total en dos partes iguales.
Como el área total bajo la curva es \(1\), el área a la izquierda del centro es \(0{,}5\) y el área a la derecha también es \(0{,}5\).
En este ejemplo, la curva está centrada en \(100\). La zona sombreada representa la mitad izquierda de la distribución.
Por simetría, la mitad derecha tiene la misma área.
Ejemplo 3: valores extremos
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal con promedio \(60\).
Los puntajes cercanos a \(60\) estarán cerca del centro de la campana.
En cambio, puntajes como \(30\) o \(90\), si están muy alejados del centro, se ubican hacia las colas de la distribución.
La zona sombreada corresponde a una cola derecha. Representa valores altos respecto del promedio, que suelen ser menos frecuentes que los valores cercanos al centro.
Idea clave
La forma de la normal permite interpretar rápidamente si un valor es común o poco frecuente.
Un valor cercano al centro se ubica en la parte alta de la campana. Un valor muy alejado del centro se ubica en una cola.
Error frecuente
No se debe pensar que las colas de la normal terminan de golpe.
Las colas se acercan al eje horizontal, pero en el modelo normal continúan extendiéndose hacia ambos lados.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer características
Indica tres características de la forma de una distribución normal.
Algunas características de la distribución normal son:
- tiene forma de campana,
- es simétrica respecto de su centro,
- los valores cercanos al centro son más frecuentes,
- el área total bajo la curva es \(1\),
- sus colas se extienden hacia ambos lados.
Estas características permiten reconocer la forma general de la normal.
Tres respuestas posibles: forma de campana, simetría y área total igual a \(1\).
Ejercicio 2: simetría respecto del centro
Una distribución normal está centrada en \(50\).
Compara los valores \(45\) y \(55\): ¿qué tienen en común respecto del centro?
El centro de la distribución es \(50\).
El valor \(45\) está \(5\) unidades bajo el centro:
\[ 50-45=5 \]
El valor \(55\) está \(5\) unidades sobre el centro:
\[ 55-50=5 \]
Por lo tanto, ambos valores están a la misma distancia del centro, pero en lados opuestos de la campana.
\(45\) y \(55\) son valores simétricos respecto de \(50\).
Ejercicio 3: área a cada lado del centro
En una distribución normal, el área total bajo la curva es \(1\).
Si la curva es simétrica respecto de su centro, ¿cuánta área queda a la izquierda del centro y cuánta a la derecha?
Como la distribución normal es simétrica, el centro divide el área total en dos partes iguales.
El área total bajo la curva es:
\[ 1 \]
Por lo tanto, cada mitad tiene área:
\[ \frac{1}{2}=0{,}5 \]
A la izquierda queda área \(0{,}5\) y a la derecha también queda área \(0{,}5\).
Ejercicio 4: ubicar valores en la campana
Una variable se distribuye aproximadamente de forma normal con centro en \(80\).
- ¿El valor \(82\) estará cerca o lejos del centro?
- ¿El valor \(115\) estará cerca o lejos del centro?
- ¿Cuál de los dos valores se ubicaría más hacia una cola?
El centro de la distribución es \(80\).
El valor \(82\) está a \(2\) unidades del centro:
\[ 82-80=2 \]
Por lo tanto, está cerca del centro.
El valor \(115\) está a \(35\) unidades del centro:
\[ 115-80=35 \]
Por lo tanto, está mucho más lejos del centro.
El valor \(115\) se ubicaría más hacia la cola derecha de la distribución.
\(82\) está cerca del centro; \(115\) está lejos y se ubica hacia la cola derecha.
Ejercicio 5: corregir una afirmación
Un estudiante afirma: “En una distribución normal, los valores extremos son imposibles”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque los valores extremos no son imposibles en una distribución normal.
Lo que ocurre es que los valores muy alejados del centro tienen menor probabilidad.
En la curva normal, esos valores se ubican en las colas, donde el área bajo la curva es pequeña.
Por lo tanto, son poco frecuentes, pero no se consideran imposibles dentro del modelo.
Los valores extremos son poco probables, no imposibles.
Ejercicio 6: distinguir centro y cola
Los tiempos de espera en una atención se distribuyen aproximadamente de forma normal con centro en \(12\) minutos.
Clasifica cada tiempo como cercano al centro, bajo el centro o sobre el centro:
- \(12\) minutos.
- \(8\) minutos.
- \(19\) minutos.
El centro de la distribución es \(12\) minutos.
- \(12\) minutos está exactamente en el centro.
- \(8\) minutos está bajo el centro, porque \(8<12\).
- \(19\) minutos está sobre el centro, porque \(19>12\).
Además, \(19\) está más alejado del centro que \(8\), porque:
\[ 19-12=7,\qquad 12-8=4 \]
Por eso, \(19\) estaría más hacia la cola derecha que \(8\) hacia la izquierda.
\(12\) está en el centro, \(8\) bajo el centro y \(19\) sobre el centro.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos cursos rinden una prueba. En ambos cursos el promedio es \(60\), pero las distribuciones tienen formas distintas:
- Curso A: la mayoría de los puntajes está muy cerca de \(60\).
- Curso B: hay puntajes mucho más dispersos, tanto bajo como sobre \(60\).
- ¿Cuál distribución tendría una campana más angosta?
- ¿Cuál tendría colas más extendidas?
- ¿Qué indica esto sobre la variabilidad de los puntajes?
El Curso A tendría una campana más angosta, porque la mayoría de sus puntajes está cerca del promedio \(60\).
El Curso B tendría una campana más extendida, porque sus puntajes están más dispersos hacia valores bajos y altos.
Esto indica que el Curso B presenta mayor variabilidad en los puntajes, mientras que el Curso A presenta menor variabilidad.
Curso A: campana más angosta. Curso B: colas más extendidas y mayor variabilidad.
4. Media y desviación estándar como parámetros
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar la media y la desviación estándar como parámetros de una distribución normal.
- Reconocer cómo cambia la curva normal al modificar la media o la desviación estándar.
- Usar la notación \(X\sim N(\mu,\sigma)\) en contextos sencillos.
Parámetros de la distribución normal
Una distribución normal queda determinada por dos parámetros principales:
- la media, representada por \(\mu\),
- la desviación estándar, representada por \(\sigma\).
La media indica el centro de la distribución. La desviación estándar indica qué tan dispersos están los valores alrededor de ese centro.
Notación
Si una variable aleatoria \(X\) se distribuye normalmente con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), se escribe:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
Esta notación se lee: “\(X\) sigue una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\)”.
La desviación estándar siempre debe ser positiva:
\[ \sigma>0 \]
Idea clave
La media \(\mu\) mueve la campana hacia la izquierda o hacia la derecha.
La desviación estándar \(\sigma\) cambia el ancho de la campana: si \(\sigma\) es pequeña, los datos están más concentrados; si \(\sigma\) es grande, los datos están más dispersos.
Ejemplo 1: interpretar \(X\sim N(60,10)\)
Supongamos que los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal y se modelan como:
\[ X\sim N(60,10) \]
Esto significa que:
- la media es \(\mu=60\),
- la desviación estándar es \(\sigma=10\).
El centro de la campana está en \(60\). Además, una desviación estándar corresponde a \(10\) puntos.
La zona sombreada muestra valores ubicados entre una desviación estándar bajo la media y una desviación estándar sobre la media:
\[ 60-10=50,\qquad 60+10=70 \]
Ejemplo 2: misma media, distinta desviación estándar
Consideremos dos distribuciones normales con la misma media:
- \(A\sim N(60,5)\)
- \(B\sim N(60,15)\)
Ambas están centradas en \(60\), pero tienen distinta dispersión.
Para \(A\), la desviación estándar es menor, por lo que los valores tienden a concentrarse más cerca de \(60\):
Para \(B\), la desviación estándar es mayor, por lo que los valores tienden a estar más dispersos alrededor de \(60\):
La media determina el centro, pero la desviación estándar determina qué tan ancha o estrecha es la campana.
Ejemplo 3: misma desviación estándar, distinta media
Consideremos dos cursos cuyos puntajes tienen la misma dispersión, pero distinto promedio:
- Curso A: \(X_A\sim N(55,8)\)
- Curso B: \(X_B\sim N(70,8)\)
Ambos tienen desviación estándar \(8\), por lo que presentan una dispersión similar.
Sin embargo, el Curso B tiene una media mayor, por lo que su campana está desplazada hacia la derecha respecto del Curso A.
En contexto, esto indica que el Curso B tiene puntajes más altos en promedio, aunque la variabilidad de ambos cursos sea similar.
Error frecuente
No se debe confundir la media con la desviación estándar.
La media indica dónde está el centro de la distribución. La desviación estándar indica qué tan alejados suelen estar los valores respecto de ese centro.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: identificar parámetros
Sea:
\[ X\sim N(80,12) \]
Identifica la media y la desviación estándar.
La notación \(X\sim N(\mu,\sigma)\) indica que el primer número corresponde a la media y el segundo a la desviación estándar.
En este caso:
\[ X\sim N(80,12) \]
Por lo tanto:
\[ \mu=80,\qquad \sigma=12 \]
La media es \(80\) y la desviación estándar es \(12\).
Ejercicio 2: escribir la notación normal
Los tiempos de espera en una atención se distribuyen aproximadamente de forma normal, con media \(15\) minutos y desviación estándar \(3\) minutos.
Escribe la notación correspondiente usando \(X\).
La variable \(X\) representa el tiempo de espera.
La media es:
\[ \mu=15 \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=3 \]
Entonces, la notación normal es:
\[ X\sim N(15,3) \]
La notación es \(X\sim N(15,3)\).
Ejercicio 3: interpretar la media
Las estaturas de un grupo grande de estudiantes se modelan como:
\[ X\sim N(168,7) \]
Interpreta el valor \(168\) en el contexto.
En la notación \(X\sim N(168,7)\), el primer parámetro corresponde a la media.
Por lo tanto:
\[ \mu=168 \]
En contexto, esto significa que el centro de la distribución de estaturas está en \(168\) cm.
Es decir, la estatura promedio del grupo es \(168\) cm.
El valor \(168\) representa la estatura promedio, en centímetros.
Ejercicio 4: interpretar la desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(65,9) \]
Interpreta el valor \(9\) en el contexto.
En la notación \(X\sim N(65,9)\), el segundo parámetro corresponde a la desviación estándar.
Por lo tanto:
\[ \sigma=9 \]
En contexto, esto significa que los puntajes suelen variar alrededor de la media \(65\) con una desviación típica de \(9\) puntos.
No significa que todos los puntajes estén exactamente a \(9\) puntos de la media, sino que \(9\) mide la dispersión típica.
El valor \(9\) representa la desviación estándar de los puntajes.
Ejercicio 5: comparar dispersión
Dos variables se distribuyen normalmente:
- \(A\sim N(50,4)\)
- \(B\sim N(50,12)\)
¿Cuál tiene mayor dispersión? Justifica.
Ambas distribuciones tienen la misma media:
\[ \mu=50 \]
La diferencia está en la desviación estándar:
\[ \sigma_A=4,\qquad \sigma_B=12 \]
Como \(12>4\), la variable \(B\) tiene mayor desviación estándar.
Por lo tanto, sus valores están más dispersos alrededor de la media.
\(B\) tiene mayor dispersión, porque su desviación estándar es mayor.
Ejercicio 6: comparar medias
Dos cursos tienen puntajes que se modelan así:
- Curso A: \(X_A\sim N(58,10)\)
- Curso B: \(X_B\sim N(72,10)\)
¿Cuál curso tiene mayor promedio? ¿Qué se puede decir de la dispersión?
Comparamos las medias:
\[ \mu_A=58,\qquad \mu_B=72 \]
Como \(72>58\), el Curso B tiene mayor promedio.
Ahora comparamos las desviaciones estándar:
\[ \sigma_A=10,\qquad \sigma_B=10 \]
Como ambas desviaciones estándar son iguales, los cursos tienen una dispersión similar.
El Curso B tiene mayor promedio, y ambos cursos tienen la misma dispersión.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos máquinas llenan botellas con jugo. La cantidad de jugo, en mililitros, se modela así:
- Máquina A: \(X_A\sim N(500,5)\)
- Máquina B: \(X_B\sim N(500,15)\)
- ¿Cuál máquina tiene el llenado promedio más cercano a \(500\) ml?
- ¿Cuál máquina presenta mayor variabilidad?
- Si se quiere un llenado más regular, ¿cuál máquina conviene preferir?
Ambas máquinas tienen la misma media:
\[ \mu_A=500,\qquad \mu_B=500 \]
Por lo tanto, ambas tienen el llenado promedio centrado en \(500\) ml.
Ahora comparamos las desviaciones estándar:
\[ \sigma_A=5,\qquad \sigma_B=15 \]
Como \(15>5\), la Máquina B presenta mayor variabilidad.
Si se quiere un llenado más regular, conviene preferir la Máquina A, porque sus valores se concentran más cerca de \(500\) ml.
Ambas tienen media \(500\), pero la Máquina A es más regular porque tiene menor desviación estándar.
5. Interpretar valores sobre y bajo el promedio
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar valores ubicados sobre, bajo o cerca del promedio en una distribución normal.
- Relacionar la posición de un valor con su distancia respecto de la media.
- Comprender que no basta saber si un valor está sobre o bajo el promedio: también importa qué tan lejos está.
La media como punto de referencia
En una distribución normal, la media \(\mu\) se ubica en el centro de la campana.
Un valor puede estar:
- sobre el promedio, si es mayor que \(\mu\);
- bajo el promedio, si es menor que \(\mu\);
- en el promedio, si es igual a \(\mu\).
Pero para interpretar correctamente un valor, también debemos observar qué tan lejos está de la media.
Diferencia respecto de la media
Para comparar un valor \(x\) con la media \(\mu\), podemos calcular:
\[ x-\mu \]
- Si \(x-\mu>0\), el valor está sobre el promedio.
- Si \(x-\mu<0\), el valor está bajo el promedio.
- Si \(x-\mu=0\), el valor coincide con el promedio.
La desviación estándar \(\sigma\) ayuda a interpretar si esa diferencia es pequeña, moderada o grande.
Ejemplo 1: puntaje sobre el promedio
Los puntajes de una prueba se distribuyen aproximadamente de forma normal:
\[ X\sim N(70,8) \]
Un estudiante obtiene \(82\) puntos.
Comparamos el puntaje con la media:
\[ 82-70=12 \]
El puntaje está \(12\) puntos sobre el promedio.
Como la desviación estándar es \(8\), esa diferencia equivale a una vez y media la desviación estándar:
\[ \frac{12}{8}=1{,}5 \]
El valor \(82\) se ubica a la derecha de la media. Esto indica que es un puntaje superior al promedio del grupo.
Ejemplo 2: valor bajo el promedio
Los tiempos de respuesta de una actividad se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona demora \(22\) minutos.
Comparamos con la media:
\[ 22-30=-8 \]
El tiempo está \(8\) minutos bajo el promedio.
Como se trata de tiempo, estar bajo el promedio significa que la persona demoró menos que el tiempo medio.
El valor \(22\) se ubica a la izquierda de la media. En este contexto, representa un tiempo menor al promedio.
Ejemplo 3: misma diferencia, distinta interpretación
Consideremos dos pruebas:
- Prueba A: \(X_A\sim N(60,5)\)
- Prueba B: \(X_B\sim N(60,15)\)
En ambas pruebas, un estudiante obtiene \(75\) puntos.
En ambos casos, el puntaje está sobre el promedio:
\[ 75-60=15 \]
Pero la interpretación cambia por la desviación estándar.
En la Prueba A:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
El puntaje está \(3\) desviaciones estándar sobre la media, por lo que es muy alto respecto de ese grupo.
En la Prueba B:
\[ \frac{15}{15}=1 \]
El puntaje está \(1\) desviación estándar sobre la media, por lo que sigue siendo sobre el promedio, pero menos extremo que en la Prueba A.
Idea clave
Decir que un valor está sobre o bajo el promedio es solo el primer paso.
Para interpretar mejor su posición en la distribución normal, también hay que considerar la desviación estándar.
Error frecuente
No todo valor sobre el promedio es necesariamente excepcional.
Un valor apenas mayor que la media puede ser muy común. En cambio, un valor ubicado varias desviaciones estándar sobre la media puede ser poco frecuente.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: sobre o bajo la media
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=100\).
Indica si cada valor está sobre, bajo o en el promedio:
- \(x=115\)
- \(x=92\)
- \(x=100\)
Comparamos cada valor con la media \(\mu=100\).
- Como \(115>100\), el valor está sobre el promedio.
- Como \(92<100\), el valor está bajo el promedio.
- Como \(100=100\), el valor coincide con el promedio.
\(115\) está sobre el promedio, \(92\) está bajo el promedio y \(100\) está en el promedio.
Ejercicio 2: diferencia respecto de la media
Los puntajes de una prueba tienen media \(\mu=65\).
Calcula \(x-\mu\) para cada puntaje e interpreta el resultado:
- \(x=72\)
- \(x=58\)
Para \(x=72\):
\[ x-\mu=72-65=7 \]
El puntaje está \(7\) puntos sobre el promedio.
Para \(x=58\):
\[ x-\mu=58-65=-7 \]
El puntaje está \(7\) puntos bajo el promedio.
\(72\) está \(7\) puntos sobre la media y \(58\) está \(7\) puntos bajo la media.
Ejercicio 3: interpretar en contexto
El tiempo de espera en una atención se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(18\) minutos.
Una persona espera \(25\) minutos.
- ¿Está sobre o bajo el promedio?
- ¿Qué significa esto en el contexto?
Comparamos el tiempo observado con la media:
\[ 25-18=7 \]
Como la diferencia es positiva, \(25\) minutos está sobre el promedio.
En contexto, esto significa que la persona esperó más que el tiempo promedio de atención.
Está sobre el promedio; la persona esperó \(7\) minutos más que la media.
Ejercicio 4: valores simétricos respecto de la media
Una distribución normal tiene media \(\mu=40\).
Los valores \(34\) y \(46\) están a la misma distancia de la media.
- Verifica esa afirmación con cálculos.
- Indica en qué lado de la campana se ubica cada valor.
Calculamos la distancia de cada valor respecto de la media.
Para \(34\):
\[ 40-34=6 \]
Para \(46\):
\[ 46-40=6 \]
Ambos valores están a \(6\) unidades de la media.
El valor \(34\) está bajo el promedio, por lo que se ubica a la izquierda de la campana.
El valor \(46\) está sobre el promedio, por lo que se ubica a la derecha de la campana.
Son valores simétricos respecto de \(40\): \(34\) a la izquierda y \(46\) a la derecha.
Ejercicio 5: distancia usando desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(90\) puntos.
- ¿Cuántos puntos sobre el promedio obtuvo?
- ¿A cuántas desviaciones estándar equivale esa diferencia?
- Interpreta el resultado.
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=10\).
Calculamos la diferencia:
\[ 90-70=20 \]
El estudiante obtuvo \(20\) puntos sobre el promedio.
Ahora dividimos esa diferencia por la desviación estándar:
\[ \frac{20}{10}=2 \]
Esto significa que el puntaje está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje está \(20\) puntos, o \(2\) desviaciones estándar, sobre el promedio.
Ejercicio 6: corregir una interpretación
Un estudiante afirma: “Si un valor está sobre el promedio, entonces necesariamente es un valor extremo”.
Explica por qué esta afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque estar sobre el promedio solo significa que el valor es mayor que la media.
Un valor puede estar apenas sobre la media y seguir siendo muy común.
Para saber si un valor es extremo, se debe considerar qué tan lejos está de la media en relación con la desviación estándar.
Por ejemplo, si \(\mu=50\) y \(\sigma=10\), el valor \(52\) está sobre el promedio, pero solo \(2\) unidades sobre la media.
Eso no lo convierte necesariamente en un valor extremo.
Estar sobre el promedio no basta para ser extremo; importa la distancia respecto de la media y la desviación estándar.
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos estudiantes obtienen puntajes sobre el promedio en pruebas distintas:
- Estudiante A: obtiene \(78\) puntos en una prueba con \(\mu=70\) y \(\sigma=4\).
- Estudiante B: obtiene \(90\) puntos en una prueba con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
- ¿Cuántos puntos sobre el promedio obtuvo cada estudiante?
- ¿Cuántas desviaciones estándar sobre la media representa cada puntaje?
- ¿Cuál puntaje es más alto respecto de su propia distribución?
Para el Estudiante A:
\[ 78-70=8 \]
Está \(8\) puntos sobre el promedio.
Como \(\sigma=4\):
\[ \frac{8}{4}=2 \]
Está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
Para el Estudiante B:
\[ 90-80=10 \]
Está \(10\) puntos sobre el promedio.
Como \(\sigma=8\):
\[ \frac{10}{8}=1{,}25 \]
Está \(1{,}25\) desviaciones estándar sobre la media.
Aunque el Estudiante B tiene una diferencia de \(10\) puntos y el Estudiante A de \(8\), el puntaje del Estudiante A es más alto respecto de su propia distribución, porque está a \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje del Estudiante A es más destacado respecto de su distribución.
6. Regla 68–95–99,7
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la regla 68–95–99,7 en distribuciones normales.
- Construir intervalos alrededor de la media usando la desviación estándar.
- Interpretar porcentajes aproximados de datos dentro de una, dos y tres desviaciones estándar.
Una regla para interpretar la normal
En una distribución normal, la desviación estándar permite medir qué tan lejos están los valores respecto de la media.
La regla 68–95–99,7 indica aproximadamente qué porcentaje de valores se encuentra alrededor de la media.
Esta regla es útil para estimar probabilidades sin usar todavía una tabla normal.
Regla 68–95–99,7
Si \(X\) se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), entonces:
\[ P(\mu-\sigma
\[ P(\mu-2\sigma
\[ P(\mu-3\sigma
En porcentaje, esto corresponde aproximadamente a \(68\%\), \(95\%\) y \(99{,}7\%\).
Ejemplo 1: una desviación estándar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
La media es \(\mu=100\) y la desviación estándar es \(\sigma=15\).
El intervalo de una desviación estándar alrededor de la media es:
\[ \mu-\sigma=100-15=85 \]
\[ \mu+\sigma=100+15=115 \]
Por la regla 68–95–99,7:
\[ P(85
Esto significa que aproximadamente el \(68\%\) de los puntajes se encuentra entre \(85\) y \(115\) puntos.
Ejemplo 2: dos desviaciones estándar
Los puntajes de otro instrumento se modelan como:
\[ Y\sim N(60,8) \]
Queremos determinar el intervalo que contiene aproximadamente el \(95\%\) de los valores.
Según la regla, el \(95\%\) aproximado se encuentra entre dos desviaciones estándar bajo y sobre la media.
Calculamos:
\[ \mu-2\sigma=60-2\cdot 8=60-16=44 \]
\[ \mu+2\sigma=60+2\cdot 8=60+16=76 \]
Entonces:
\[ P(44
Aproximadamente el \(95\%\) de los valores está entre \(44\) y \(76\).
Ejemplo 3: tres desviaciones estándar
Las estaturas de un grupo grande de estudiantes se modelan como:
\[ X\sim N(170,6) \]
Para encontrar el intervalo que contiene aproximadamente el \(99{,}7\%\) de los valores, usamos tres desviaciones estándar.
Calculamos:
\[ \mu-3\sigma=170-3\cdot 6=170-18=152 \]
\[ \mu+3\sigma=170+3\cdot 6=170+18=188 \]
Entonces:
\[ P(152
Esto significa que aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas se encuentra entre \(152\) cm y \(188\) cm.
Fuera de ese intervalo queda aproximadamente el \(0{,}3\%\) de los valores.
Idea clave
La regla 68–95–99,7 permite interpretar rápidamente qué tan común o extremo puede ser un valor.
Un valor dentro de una desviación estándar de la media suele considerarse cercano al promedio. Un valor a más de tres desviaciones estándar se considera muy extremo dentro del modelo normal.
Error frecuente
La regla 68–95–99,7 es aproximada y se aplica a distribuciones normales o aproximadamente normales.
No debe usarse automáticamente en cualquier conjunto de datos, especialmente si la distribución es muy asimétrica o no tiene forma de campana.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: construir intervalos
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=4\).
Determina los intervalos correspondientes a:
- Una desviación estándar alrededor de la media.
- Dos desviaciones estándar alrededor de la media.
- Tres desviaciones estándar alrededor de la media.
Para una desviación estándar:
\[ \mu-\sigma=50-4=46 \]
\[ \mu+\sigma=50+4=54 \]
El intervalo es:
\[ 46
Para dos desviaciones estándar:
\[ \mu-2\sigma=50-2\cdot 4=42 \]
\[ \mu+2\sigma=50+2\cdot 4=58 \]
El intervalo es:
\[ 42
Para tres desviaciones estándar:
\[ \mu-3\sigma=50-3\cdot 4=38 \]
\[ \mu+3\sigma=50+3\cdot 4=62 \]
El intervalo es:
\[ 38
Los intervalos son \((46,54)\), \((42,58)\) y \((38,62)\).
Ejercicio 2: aplicar el 68%
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Usando la regla 68–95–99,7, estima:
\[ P(60
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=10\).
Calculamos una desviación estándar bajo y sobre la media:
\[ \mu-\sigma=70-10=60 \]
\[ \mu+\sigma=70+10=80 \]
El intervalo \(60
Por la regla 68–95–99,7:
\[ P(60
La probabilidad aproximada es \(0{,}68\), es decir, \(68\%\).
Ejercicio 3: aplicar el 95%
Una variable se distribuye normalmente con media \(120\) y desviación estándar \(15\).
Determina el intervalo que contiene aproximadamente el \(95\%\) de los valores.
El \(95\%\) aproximado de los valores se encuentra dentro de dos desviaciones estándar alrededor de la media.
Como \(\mu=120\) y \(\sigma=15\), calculamos:
\[ \mu-2\sigma=120-2\cdot 15=120-30=90 \]
\[ \mu+2\sigma=120+2\cdot 15=120+30=150 \]
Por lo tanto:
\[ P(90
El intervalo aproximado es \((90,150)\).
Ejercicio 4: aplicar el 99,7%
Las estaturas de un grupo grande se modelan como:
\[ X\sim N(165,7) \]
Determina el intervalo que contiene aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas.
El \(99{,}7\%\) aproximado se encuentra dentro de tres desviaciones estándar alrededor de la media.
Como \(\mu=165\) y \(\sigma=7\):
\[ \mu-3\sigma=165-3\cdot 7=165-21=144 \]
\[ \mu+3\sigma=165+3\cdot 7=165+21=186 \]
Entonces:
\[ P(144
Aproximadamente el \(99{,}7\%\) de las estaturas está entre \(144\) cm y \(186\) cm.
Ejercicio 5: ubicar un valor usando desviaciones estándar
Una prueba tiene puntajes modelados como:
\[ X\sim N(70,6) \]
Un estudiante obtiene \(82\) puntos.
- ¿Cuántas desviaciones estándar sobre la media está el puntaje?
- ¿Está dentro del intervalo central aproximado del \(95\%\)?
La media es \(\mu=70\) y la desviación estándar es \(\sigma=6\).
Calculamos la diferencia respecto de la media:
\[ 82-70=12 \]
Ahora dividimos por la desviación estándar:
\[ \frac{12}{6}=2 \]
El puntaje está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El intervalo central aproximado del \(95\%\) es:
\[ \mu-2\sigma
\[ 70-12
\[ 58
El valor \(82\) está justo en el límite superior de ese intervalo.
Está \(2\) desviaciones estándar sobre la media y queda en el límite superior del intervalo central del \(95\%\).
Ejercicio 6: porcentaje fuera de un intervalo
Una variable normal tiene media \(100\) y desviación estándar \(12\).
Usando la regla 68–95–99,7, estima qué porcentaje de valores queda fuera del intervalo:
\[ 76
La media es \(\mu=100\) y la desviación estándar es \(\sigma=12\).
Calculamos dos desviaciones estándar:
\[ 2\sigma=2\cdot 12=24 \]
Entonces:
\[ \mu-2\sigma=100-24=76 \]
\[ \mu+2\sigma=100+24=124 \]
El intervalo \(76
Por lo tanto, fuera de ese intervalo queda aproximadamente:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Aproximadamente el \(5\%\) de los valores queda fuera del intervalo.
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de cierto producto se distribuye aproximadamente de forma normal con media \(500\) g y desviación estándar \(20\) g.
La empresa considera aceptables los productos cuya masa esté entre \(460\) g y \(540\) g.
- Expresa los límites \(460\) y \(540\) en relación con la media y la desviación estándar.
- Estima qué porcentaje de productos será aceptable usando la regla 68–95–99,7.
- Estima qué porcentaje quedará fuera del rango aceptable.
La media es \(\mu=500\) y la desviación estándar es \(\sigma=20\).
El límite inferior es:
\[ 460=500-40=500-2\cdot 20=\mu-2\sigma \]
El límite superior es:
\[ 540=500+40=500+2\cdot 20=\mu+2\sigma \]
Por lo tanto, el intervalo aceptable corresponde a dos desviaciones estándar alrededor de la media:
\[ \mu-2\sigma
Usando la regla 68–95–99,7, aproximadamente el \(95\%\) de los productos estará dentro de ese intervalo.
Entonces, fuera del rango aceptable quedará aproximadamente:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
Aproximadamente el \(95\%\) será aceptable y el \(5\%\) quedará fuera del rango.
7. Puntaje Z
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el significado del puntaje Z en una distribución normal.
- Calcular el puntaje Z de un valor usando la media y la desviación estándar.
- Interpretar si un valor está sobre, bajo o en el promedio según su puntaje Z.
¿Qué es el puntaje Z?
El puntaje Z indica cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor respecto de la media.
Permite expresar la posición de un dato en una escala común, sin depender directamente de las unidades originales.
Por ejemplo, un puntaje \(Z=2\) significa que el valor está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
Fórmula del puntaje Z
Si una variable \(X\) tiene media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), el puntaje Z asociado a un valor \(x\) se calcula como:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
donde:
- \(x\) es el valor observado.
- \(\mu\) es la media de la distribución.
- \(\sigma\) es la desviación estándar.
Interpretación del signo
- Si \(z>0\), el valor está sobre la media.
- Si \(z<0\), el valor está bajo la media.
- Si \(z=0\), el valor coincide con la media.
Mientras mayor sea el valor absoluto de \(z\), más lejos está el dato respecto de la media.
Ejemplo 1: puntaje sobre el promedio
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(85\) puntos. Calculamos su puntaje Z:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{85-70}{10} \]
\[ z=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
El puntaje está \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media.
En la normal estándar, este valor se ubica a la derecha del centro, porque \(z\) es positivo.
Ejemplo 2: puntaje bajo el promedio
Los tiempos de espera en una atención se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona espera \(22\) minutos. Calculamos:
\[ z=\frac{22-30}{5} \]
\[ z=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
El tiempo está \(1{,}6\) desviaciones estándar bajo la media.
Como el puntaje Z es negativo, el valor se ubica a la izquierda del centro de la distribución.
Ejemplo 3: comparar valores de distintas distribuciones
Dos estudiantes obtienen puntajes en pruebas distintas:
- Estudiante A: obtiene \(78\) puntos en una prueba con \(\mu=70\) y \(\sigma=4\).
- Estudiante B: obtiene \(90\) puntos en una prueba con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
Calculamos el puntaje Z de cada uno.
Para el estudiante A:
\[ z_A=\frac{78-70}{4}=\frac{8}{4}=2 \]
Para el estudiante B:
\[ z_B=\frac{90-80}{8}=\frac{10}{8}=1{,}25 \]
Aunque el estudiante B obtuvo más puntos en términos absolutos, el estudiante A tuvo un resultado más alto respecto de su propia distribución, porque \(2>1{,}25\).
Error frecuente
No se debe interpretar el puntaje Z como si fuera el puntaje original.
El puntaje Z no está en puntos, centímetros, minutos ni kilogramos. Indica distancia respecto de la media medida en desviaciones estándar.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: calcular un puntaje Z positivo
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=100\) y desviación estándar \(\sigma=15\).
Calcula el puntaje Z correspondiente al valor \(x=130\).
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos los datos:
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
El valor \(130\) está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje Z es \(z=2\).
Ejercicio 2: calcular un puntaje Z negativo
Los puntajes de una prueba se modelan con media \(\mu=60\) y desviación estándar \(\sigma=8\).
Calcula el puntaje Z correspondiente al valor \(x=48\).
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{48-60}{8} \]
\[ z=\frac{-12}{8}=-1{,}5 \]
El valor \(48\) está \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media.
El puntaje Z es \(z=-1{,}5\).
Ejercicio 3: interpretar un puntaje Z
Un dato tiene puntaje Z igual a:
\[ z=0{,}75 \]
Interpreta este valor respecto de la media.
Como \(z=0{,}75\) es positivo, el dato está sobre la media.
El número \(0{,}75\) indica la distancia respecto de la media en desviaciones estándar.
Por lo tanto, el dato está \(0{,}75\) desviaciones estándar sobre la media.
El dato está \(0{,}75\) desviaciones estándar sobre la media.
Ejercicio 4: interpretar un valor bajo el promedio
Un dato tiene puntaje Z igual a:
\[ z=-2{,}1 \]
Explica qué significa el signo negativo y qué indica el número \(2{,}1\).
El signo negativo indica que el dato está bajo la media.
El número \(2{,}1\) indica la distancia respecto de la media medida en desviaciones estándar.
Entonces, \(z=-2{,}1\) significa que el dato está \(2{,}1\) desviaciones estándar bajo la media.
Como está a más de dos desviaciones estándar, puede considerarse un valor bastante bajo respecto de la distribución.
Está \(2{,}1\) desviaciones estándar bajo la media.
Ejercicio 5: encontrar el valor original desde \(z\)
Una distribución normal tiene media \(\mu=70\) y desviación estándar \(\sigma=6\).
Un valor tiene puntaje Z igual a \(z=1{,}5\).
Calcula el valor original \(x\).
Partimos desde la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ 1{,}5=\frac{x-70}{6} \]
Multiplicamos por \(6\):
\[ 1{,}5\cdot 6=x-70 \]
\[ 9=x-70 \]
Sumamos \(70\):
\[ x=79 \]
El valor original es \(x=79\).
Ejercicio 6: corregir un error
Una variable tiene media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=5\). Para \(x=40\), un estudiante calcula:
\[ z=\frac{50-40}{5}=2 \]
Explica el error y calcula el puntaje Z correcto.
El error está en invertir el orden de la resta.
La fórmula correcta es:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Como \(x=40\), \(\mu=50\) y \(\sigma=5\):
\[ z=\frac{40-50}{5} \]
\[ z=\frac{-10}{5}=-2 \]
El valor \(40\) está \(2\) desviaciones estándar bajo la media, por eso el puntaje Z debe ser negativo.
El puntaje Z correcto es \(z=-2\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Dos postulantes rinden evaluaciones distintas:
- Postulante A: obtiene \(86\) puntos en una evaluación con \(\mu=75\) y \(\sigma=5\).
- Postulante B: obtiene \(92\) puntos en una evaluación con \(\mu=80\) y \(\sigma=8\).
- Calcula el puntaje Z de cada postulante.
- Indica cuál tuvo mejor desempeño relativo respecto de su propia evaluación.
- Explica por qué no basta comparar los puntajes originales.
Para el postulante A:
\[ z_A=\frac{86-75}{5} \]
\[ z_A=\frac{11}{5}=2{,}2 \]
Para el postulante B:
\[ z_B=\frac{92-80}{8} \]
\[ z_B=\frac{12}{8}=1{,}5 \]
Como \(2{,}2>1{,}5\), el postulante A tuvo mejor desempeño relativo respecto de su propia evaluación.
No basta comparar los puntajes originales porque las evaluaciones tienen medias y desviaciones estándar distintas. El puntaje Z permite comparar considerando el contexto de cada distribución.
\(z_A=2{,}2\), \(z_B=1{,}5\). El mejor desempeño relativo corresponde al postulante A.
8. Estandarización
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la estandarización como el proceso de transformar un valor normal en puntaje Z.
- Convertir valores e intervalos de una distribución normal cualquiera a la normal estándar.
- Interpretar eventos equivalentes entre \(X\) y \(Z\).
¿Qué significa estandarizar?
Estandarizar significa transformar un valor \(x\), que pertenece a una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), en un puntaje Z.
Este proceso permite expresar el valor original según cuántas desviaciones estándar está sobre o bajo la media.
Después de estandarizar, se trabaja con la normal estándar, que tiene media \(0\) y desviación estándar \(1\).
Transformación a puntaje Z
Si:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
entonces el valor estandarizado se calcula mediante:
\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]
La variable \(Z\) sigue una distribución normal estándar:
\[ Z\sim N(0,1) \]
Idea clave
La estandarización permite cambiar una pregunta sobre \(X\) por una pregunta equivalente sobre \(Z\).
Por ejemplo:
\[ P(X<85)=P\left(Z<\frac{85-\mu}{\sigma}\right) \]
Este paso será fundamental para usar la tabla normal estándar.
Ejemplo 1: estandarizar un valor
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante obtiene \(85\) puntos. Queremos estandarizar ese valor.
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{85-70}{10} \]
\[ z=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces, el puntaje \(85\) equivale a \(z=1{,}5\) en la normal estándar.
En la escala original, el valor \(85\) está a la derecha de la media \(70\).
En la escala estandarizada, el mismo punto corresponde a \(z=1{,}5\).
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Ejemplo 2: estandarizar un intervalo
Sea:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos transformar el evento:
\[ 60
Estandarizamos cada extremo del intervalo.
Para \(x=60\):
\[ z=\frac{60-70}{10}=\frac{-10}{10}=-1 \]
Para \(x=80\):
\[ z=\frac{80-70}{10}=\frac{10}{10}=1 \]
Entonces:
\[ P(60
Ambas zonas representan la misma probabilidad, pero expresada en escalas distintas.
Ejemplo 3: interpretar una estandarización
Los tiempos de espera se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Una persona espera \(22\) minutos.
Calculamos su puntaje Z:
\[ z=\frac{22-30}{5}=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
Esto significa que \(22\) minutos está \(1{,}6\) desviaciones estándar bajo la media.
Además, el evento:
\[ P(T<22) \]
se puede escribir como:
\[ P(Z<-1{,}6) \]
Esto permite consultar la probabilidad en una tabla normal estándar.
Error frecuente
No se debe olvidar restar la media antes de dividir por la desviación estándar.
La fórmula correcta es:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
No corresponde calcular \(\frac{x}{\sigma}-\mu\), ni dividir solo el valor original por la desviación estándar.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: estandarizar un valor sobre la media
Una variable se distribuye normalmente con media \(\mu=80\) y desviación estándar \(\sigma=6\).
Estandariza el valor \(x=92\).
Usamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{92-80}{6} \]
\[ z=\frac{12}{6}=2 \]
El valor \(92\) está \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
El valor estandarizado es \(z=2\).
Ejercicio 2: estandarizar un valor bajo la media
Los puntajes de una prueba tienen media \(\mu=60\) y desviación estándar \(\sigma=8\).
Estandariza el valor \(x=54\).
Aplicamos la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{54-60}{8} \]
\[ z=\frac{-6}{8}=-0{,}75 \]
El valor \(54\) está \(0{,}75\) desviaciones estándar bajo la media.
El valor estandarizado es \(z=-0{,}75\).
Ejercicio 3: transformar una probabilidad acumulada
Sea:
\[ X\sim N(65,5) \]
Transforma el evento \(P(X<75)\) a una probabilidad equivalente usando \(Z\).
Debemos estandarizar el valor \(75\).
Usamos:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ z=\frac{75-65}{5} \]
\[ z=\frac{10}{5}=2 \]
Por lo tanto, el evento:
\[ P(X<75) \]
es equivalente a:
\[ P(Z<2) \]
\(P(X<75)=P(Z<2)\).
Ejercicio 4: estandarizar un intervalo
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Transforma el evento:
\[ 85
a una expresión equivalente con \(Z\).
Estandarizamos ambos extremos.
Para \(x=85\):
\[ z=\frac{85-100}{15} \]
\[ z=\frac{-15}{15}=-1 \]
Para \(x=130\):
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
Por lo tanto:
\[ P(85
El intervalo estandarizado es \(-1
Ejercicio 5: volver desde \(Z\) al valor original
Una distribución normal tiene media \(\mu=50\) y desviación estándar \(\sigma=4\).
Un valor tiene puntaje Z igual a:
\[ z=-1{,}5 \]
Calcula el valor original \(x\).
Partimos de la fórmula:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Reemplazamos:
\[ -1{,}5=\frac{x-50}{4} \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ -1{,}5\cdot 4=x-50 \]
\[ -6=x-50 \]
Sumamos \(50\):
\[ x=44 \]
El valor original es \(x=44\).
Ejercicio 6: corregir una estandarización
Sea \(X\sim N(40,5)\). Para \(x=55\), un estudiante escribe:
\[ z=\frac{55}{5}-40=-29 \]
Explica el error y calcula el valor correcto de \(z\).
El error está en aplicar incorrectamente la fórmula.
Primero se debe restar la media al valor observado, y luego dividir por la desviación estándar:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
En este caso:
\[ z=\frac{55-40}{5} \]
\[ z=\frac{15}{5}=3 \]
El valor \(55\) está \(3\) desviaciones estándar sobre la media.
El puntaje Z correcto es \(z=3\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
- Estandariza ambos límites.
- Escribe el evento de aceptación usando \(Z\).
- Interpreta los puntajes Z obtenidos.
Estandarizamos el límite inferior \(470\):
\[ z=\frac{470-500}{20} \]
\[ z=\frac{-30}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos el límite superior \(530\):
\[ z=\frac{530-500}{20} \]
\[ z=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
El evento de aceptación:
\[ 470
se transforma en:
\[ -1{,}5
Esto significa que un producto aceptable tiene una masa ubicada entre \(1{,}5\) desviaciones estándar bajo la media y \(1{,}5\) desviaciones estándar sobre la media.
El evento estandarizado es \(P(-1{,}5
9. Tabla normal estándar
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué información entrega una tabla normal estándar.
- Leer probabilidades acumuladas de la forma \(P(Z
- Usar la tabla normal estándar después de estandarizar valores de una distribución normal.
¿Qué es la tabla normal estándar?
La tabla normal estándar entrega probabilidades asociadas a la variable:
\[ Z\sim N(0,1) \]
Es decir, se usa cuando la distribución tiene media \(0\) y desviación estándar \(1\).
La mayoría de las tablas usadas en este nivel entregan probabilidades acumuladas hacia la izquierda:
\[ P(Z
Probabilidad acumulada
Cuando una tabla entrega \(P(Z
Por ejemplo:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Esto significa que aproximadamente el \(84{,}13\%\) de los valores de una normal estándar está bajo \(z=1\).
Ejemplo 1: leer \(P(Z<1)\)
Supongamos que una tabla normal estándar entrega el siguiente valor:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Esto representa el área bajo la curva normal estándar desde la izquierda hasta \(z=1\).
La interpretación es:
\[ P(Z<1)=0{,}8413=84{,}13\% \]
Por lo tanto, un valor con puntaje \(z=1\) deja aproximadamente el \(84{,}13\%\) de la distribución a su izquierda.
Ejemplo 2: cómo se organiza una tabla
Una tabla normal estándar suele organizar el puntaje \(z\) usando la fila para la parte entera y decimal, y la columna para la centésima.
Por ejemplo, para buscar \(z=1{,}23\):
- se busca la fila \(1{,}2\),
- se busca la columna \(0{,}03\),
- la intersección entrega \(P(Z<1{,}23)\).
| \(z\) | \(0{,}00\) | \(0{,}01\) | \(0{,}02\) | \(0{,}03\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1{,}2\) | \(0{,}8849\) | \(0{,}8869\) | \(0{,}8888\) | \(0{,}8907\) |
Entonces:
\[ P(Z<1{,}23)=0{,}8907 \]
Ejemplo 3: valores negativos
También se pueden buscar valores negativos. Por ejemplo:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Este valor corresponde al área a la izquierda de \(z=-1\).
Como la distribución normal estándar es simétrica, el área a la izquierda de \(-1\) es igual al área a la derecha de \(1\).
Por eso:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
y también:
\[ P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-0{,}8413=0{,}1587 \]
Antes de usar la tabla
Si el problema está expresado con una variable \(X\sim N(\mu,\sigma)\), primero se debe estandarizar:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar para leer probabilidades asociadas a \(Z\sim N(0,1)\).
Error frecuente
No todas las tablas normales entregan el mismo tipo de área.
En esta página trabajaremos con tablas que entregan área acumulada a la izquierda, es decir, \(P(Z
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: leer una probabilidad directa
Usando una tabla normal estándar acumulada, se tiene:
\[ P(Z<0{,}50)=0{,}6915 \]
Interpreta este valor como porcentaje.
El valor \(0{,}6915\) representa el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de \(z=0{,}50\).
Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por \(100\):
\[ 0{,}6915\cdot 100=69{,}15 \]
Por lo tanto:
\[ P(Z<0{,}50)=69{,}15\% \]
Aproximadamente el \(69{,}15\%\) de los valores está bajo \(z=0{,}50\).
Ejercicio 2: ubicar fila y columna
Para buscar \(P(Z<1{,}23)\) en una tabla normal estándar, ¿qué fila y qué columna se usan?
El valor \(z=1{,}23\) se separa en dos partes:
- la fila corresponde a \(1{,}2\),
- la columna corresponde a \(0{,}03\).
Al cruzar esa fila con esa columna, se obtiene el valor de \(P(Z<1{,}23)\).
En una tabla acumulada usual:
\[ P(Z<1{,}23)=0{,}8907 \]
Se usa la fila \(1{,}2\) y la columna \(0{,}03\).
Ejercicio 3: valor negativo
Una tabla normal estándar entrega:
\[ P(Z<-1{,}00)=0{,}1587 \]
Interpreta este resultado en palabras.
El valor \(0{,}1587\) representa el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de \(z=-1{,}00\).
Como porcentaje:
\[ 0{,}1587\cdot 100=15{,}87 \]
Esto significa que aproximadamente el \(15{,}87\%\) de los valores de una normal estándar está por debajo de \(z=-1{,}00\).
Aproximadamente el \(15{,}87\%\) queda a la izquierda de \(z=-1\).
Ejercicio 4: calcular una cola derecha
La tabla entrega:
\[ P(Z<1{,}28)=0{,}8997 \]
Calcula:
\[ P(Z>1{,}28) \]
La tabla entrega el área a la izquierda de \(1{,}28\):
\[ P(Z<1{,}28)=0{,}8997 \]
Como el área total bajo la curva es \(1\), la cola derecha se calcula restando:
\[ P(Z>1{,}28)=1-P(Z<1{,}28) \]
\[ P(Z>1{,}28)=1-0{,}8997=0{,}1003 \]
\(P(Z>1{,}28)=0{,}1003\), es decir, aproximadamente \(10{,}03\%\).
Ejercicio 5: probabilidad entre dos valores
Una tabla normal estándar entrega:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Calcula:
\[ P(-1
Para calcular la probabilidad entre dos valores, restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1
Reemplazamos:
\[ P(-1
\[ P(-1
Este valor es cercano al \(68\%\), como indica la regla 68–95–99,7.
\(P(-1
Ejercicio 6: usar tabla después de estandarizar
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula \(P(X<85)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos el valor \(x=85\):
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Usando el dato de la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=0{,}9332 \]
La probabilidad es \(0{,}9332\), es decir, aproximadamente \(93{,}32\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa es menor que \(530\) g.
Calcula \(P(X<530)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos el valor \(530\):
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
\[ z=\frac{530-500}{20} \]
\[ z=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<530)=P(Z<1{,}5) \]
Usando la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Esto significa que aproximadamente el \(93{,}32\%\) de los productos tiene masa menor que \(530\) g.
\(P(X<530)=0{,}9332\), aproximadamente \(93{,}32\%\).
10. Probabilidad acumulada
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar probabilidades acumuladas en una distribución normal.
- Calcular probabilidades de la forma \(P(X
- Usar el complemento para calcular probabilidades de cola derecha.
¿Qué es una probabilidad acumulada?
En una distribución normal, una probabilidad acumulada corresponde al área bajo la curva hasta cierto valor.
La expresión:
\[ P(X
representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor que \(a\).
Geométricamente, corresponde al área bajo la curva normal ubicada a la izquierda de \(a\).
Cómo calcular \(P(X
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), para calcular \(P(X
\[ z=\frac{a-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar:
\[ P(X
donde \(Z\sim N(0,1)\).
Cola derecha usando complemento
Si se quiere calcular una probabilidad de la forma \(P(X>a)\), se puede usar el complemento:
\[ P(X>a)=1-P(X
En una variable continua, no hay diferencia práctica entre usar \(<\) o \(\leq\), porque la probabilidad de un valor exacto es \(0\).
Ejemplo 1: probabilidad acumulada bajo un puntaje
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos calcular la probabilidad de obtener menos de \(85\) puntos:
\[ P(X<85) \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<1{,}5) \]
Usando la tabla normal estándar:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Por lo tanto:
\[ P(X<85)=0{,}9332 \]
La probabilidad de obtener menos de \(85\) puntos es aproximadamente \(93{,}32\%\).
Ejemplo 2: acumulada bajo la media
Una variable se distribuye normalmente como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Queremos calcular:
\[ P(X<90) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{90-100}{15}=\frac{-10}{15}\approx -0{,}67 \]
Entonces:
\[ P(X<90)=P(Z<-0{,}67) \]
Usando tabla normal estándar:
\[ P(Z<-0{,}67)\approx 0{,}2514 \]
Esto significa que aproximadamente el \(25{,}14\%\) de los valores está bajo \(90\).
Ejemplo 3: calcular una cola derecha
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Queremos calcular la probabilidad de que un producto tenga masa mayor que \(530\) g:
\[ P(X>530) \]
Primero estandarizamos \(530\):
\[ z=\frac{530-500}{20}=\frac{30}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X>530)=P(Z>1{,}5) \]
La tabla normalmente entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>1{,}5)=1-P(Z<1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
La probabilidad de que un producto tenga masa mayor que \(530\) g es aproximadamente \(6{,}68\%\).
Error frecuente
Si la tabla entrega \(P(Z
Para calcular una probabilidad a la derecha, como \(P(Z>z)\), se debe restar a \(1\).
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar una acumulada
Sea \(X\) una variable continua. Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(X<75) \]
La expresión \(P(X<75)\) representa la probabilidad de que la variable \(X\) tome un valor menor que \(75\).
En una curva normal, corresponde al área bajo la curva ubicada a la izquierda del valor \(75\).
Como es una probabilidad acumulada, incluye todos los valores menores que \(75\), no solo valores cercanos a \(75\).
Es la probabilidad acumulada a la izquierda de \(75\).
Ejercicio 2: calcular una acumulada directa
Sea:
\[ X\sim N(60,8) \]
Calcula \(P(X<68)\), sabiendo que:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
Estandarizamos el valor \(68\):
\[ z=\frac{68-60}{8} \]
\[ z=\frac{8}{8}=1 \]
Entonces:
\[ P(X<68)=P(Z<1) \]
Usando el dato de la tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\(P(X<68)=0{,}8413\), aproximadamente \(84{,}13\%\).
Ejercicio 3: acumulada bajo la media
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula \(P(X<85)\), sabiendo que:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z=\frac{85-100}{15} \]
\[ z=\frac{-15}{15}=-1 \]
Entonces:
\[ P(X<85)=P(Z<-1) \]
Usando la tabla:
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Esto significa que aproximadamente el \(15{,}87\%\) de los valores está bajo \(85\).
\(P(X<85)=0{,}1587\).
Ejercicio 4: calcular cola derecha
Sea:
\[ X\sim N(500,20) \]
Calcula \(P(X>540)\), sabiendo que:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Estandarizamos el valor \(540\):
\[ z=\frac{540-500}{20} \]
\[ z=\frac{40}{20}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>540)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>2)=1-P(Z<2) \]
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
\(P(X>540)=0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 5: acumulada con puntaje negativo
Los tiempos de espera se modelan como:
\[ X\sim N(30,5) \]
Calcula \(P(X<22)\), sabiendo que:
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
Estandarizamos \(22\):
\[ z=\frac{22-30}{5} \]
\[ z=\frac{-8}{5}=-1{,}6 \]
Entonces:
\[ P(X<22)=P(Z<-1{,}6) \]
Usando el dato de tabla:
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
En contexto, la probabilidad de esperar menos de \(22\) minutos es aproximadamente \(5{,}48\%\).
\(P(X<22)=0{,}0548\).
Ejercicio 6: corregir un error de complemento
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Un estudiante quiere calcular \(P(X>85)\). Estandariza correctamente y obtiene \(z=1{,}5\). Luego usa la tabla y escribe:
\[ P(X>85)=P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Explica el error y calcula la probabilidad correcta.
La estandarización es correcta:
\[ z=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
El error está en usar directamente el área a la izquierda.
La tabla entrega:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Pero el evento pedido es \(X>85\), equivalente a \(Z>1{,}5\), que corresponde a la cola derecha.
Por lo tanto:
\[ P(Z>1{,}5)=1-P(Z<1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
La probabilidad correcta es \(P(X>85)=0{,}0668\).
Ejercicio 7: caso desafiante
La duración de una batería, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una empresa promete que sus baterías duran más de \(9\) horas.
- Calcula la probabilidad de que una batería dure menos de \(9\) horas.
- Calcula la probabilidad de que dure más de \(9\) horas.
- Interpreta ambos resultados en contexto.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Primero estandarizamos \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(X<9)=0{,}0668 \]
Ahora calculamos el complemento:
\[ P(X>9)=1-P(X<9) \]
\[ P(X>9)=1-0{,}0668=0{,}9332 \]
En contexto, aproximadamente el \(6{,}68\%\) de las baterías duraría menos de \(9\) horas, mientras que aproximadamente el \(93{,}32\%\) duraría más de \(9\) horas.
\(P(X<9)=0{,}0668\) y \(P(X>9)=0{,}9332\).
11. Probabilidad entre dos valores
Objetivo de aprendizaje
- Interpretar probabilidades normales de la forma \(P(a
- Calcular probabilidades entre dos valores usando estandarización.
- Usar la tabla normal estándar para restar áreas acumuladas.
Área entre dos valores
En una distribución normal, la probabilidad de que una variable tome valores entre \(a\) y \(b\) corresponde al área bajo la curva entre esos dos puntos.
La expresión:
\[ P(a
representa la probabilidad de que \(X\) sea mayor que \(a\) y menor que \(b\).
Cómo calcular \(P(a
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), se estandarizan ambos límites:
\[ z_a=\frac{a-\mu}{\sigma} \]
\[ z_b=\frac{b-\mu}{\sigma} \]
Entonces:
\[ P(a
Usando una tabla acumulada a la izquierda:
\[ P(z_a
Idea clave
Para calcular un área entre dos valores, se resta el área acumulada hasta el límite menor del área acumulada hasta el límite mayor.
Visualmente, es como tomar toda el área a la izquierda del valor mayor y quitar la parte que queda antes del valor menor.
Ejemplo 1: puntajes entre dos valores
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos calcular:
\[ P(60
Estandarizamos el límite inferior \(60\):
\[ z_1=\frac{60-70}{10}=-1 \]
Estandarizamos el límite superior \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(60
Usando tabla normal estándar:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Restamos:
\[ P(-1
La probabilidad de obtener un puntaje entre \(60\) y \(85\) es aproximadamente \(0{,}7745\), es decir, \(77{,}45\%\).
Ejemplo 2: masa aceptable de un producto
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos ambos valores:
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
De la tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Por lo tanto:
\[ P(-1{,}5
Aproximadamente el \(86{,}64\%\) de los productos tendrá masa aceptable.
Ejemplo 3: tiempo entre dos límites
Los tiempos de espera en una atención se modelan como:
\[ T\sim N(30,5) \]
Queremos calcular la probabilidad de que una persona espere entre \(22\) y \(35\) minutos:
\[ P(22
Estandarizamos:
\[ z_1=\frac{22-30}{5}=-1{,}6 \]
\[ z_2=\frac{35-30}{5}=1 \]
Entonces:
\[ P(22
Usando tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1{,}6)=0{,}0548 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}6
La probabilidad de esperar entre \(22\) y \(35\) minutos es aproximadamente \(78{,}65\%\).
Error frecuente
No se deben sumar directamente las probabilidades acumuladas.
Para calcular una probabilidad entre dos valores, se debe restar:
\[ P(Z
donde \(z_b\) corresponde al límite mayor y \(z_a\) al límite menor.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un intervalo
Sea \(X\) una variable continua.
Interpreta en palabras la expresión:
\[ P(40
La expresión \(P(40
En una curva normal, corresponde al área bajo la curva ubicada entre los valores \(40\) y \(60\).
Es la probabilidad de que \(X\) esté entre \(40\) y \(60\).
Ejercicio 2: entre \(-1\) y \(1\) en la normal estándar
Usa los siguientes valores de tabla:
\[ P(Z<1)=0{,}8413 \]
\[ P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Calcula:
\[ P(-1
Para calcular la probabilidad entre dos valores, restamos las probabilidades acumuladas:
\[ P(-1
Reemplazamos:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad es \(0{,}6826\), aproximadamente \(68{,}26\%\).
Ejercicio 3: puntajes entre dos límites
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula:
\[ P(85
Usa:
\[ P(Z<1)=0{,}8413,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos el límite inferior:
\[ z_1=\frac{85-100}{15}=-1 \]
Estandarizamos el límite superior:
\[ z_2=\frac{115-100}{15}=1 \]
Entonces:
\[ P(85
Restamos:
\[ P(-1
\(P(85
Ejercicio 4: masa aceptable
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un producto es aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Calcula la probabilidad de que un producto sea aceptable usando:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Debemos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos \(470\):
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos \(530\):
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Restamos las acumuladas:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que el producto sea aceptable es \(0{,}8664\), es decir, aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejercicio 5: intervalo no simétrico
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula:
\[ P(65
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-0{,}5)=0{,}3085 \]
Estandarizamos \(65\):
\[ z_1=\frac{65-70}{10}=-0{,}5 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(65
Restamos:
\[ P(-0{,}5
\[ P(-0{,}5
La probabilidad es \(0{,}6247\), aproximadamente \(62{,}47\%\).
Ejercicio 6: corregir un procedimiento
Un estudiante quiere calcular \(P(-1
\[ P(Z<2)=0{,}9772,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Luego afirma:
\[ P(-1
Explica el error y calcula la probabilidad correcta.
El error es sumar las probabilidades acumuladas.
Para calcular el área entre dos valores, se debe restar el área acumulada hasta el límite menor al área acumulada hasta el límite mayor.
Entonces:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad correcta es \(0{,}8185\), aproximadamente \(81{,}85\%\).
Ejercicio 7: caso desafiante
Una máquina llena botellas. La cantidad de líquido, en mililitros, se modela como:
\[ X\sim N(500,10) \]
Una botella se considera aceptable si contiene entre \(485\) ml y \(515\) ml.
- Estandariza ambos límites.
- Calcula la probabilidad de que una botella sea aceptable.
- Calcula el porcentaje aproximado de botellas que quedan fuera del rango aceptable.
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
El límite inferior es \(485\):
\[ z_1=\frac{485-500}{10}=-1{,}5 \]
El límite superior es \(515\):
\[ z_2=\frac{515-500}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(485
Restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1{,}5
Por lo tanto, aproximadamente el \(86{,}64\%\) de las botellas queda dentro del rango aceptable.
El porcentaje fuera del rango es:
\[ 100\%-86{,}64\%=13{,}36\% \]
La probabilidad de aceptación es \(0{,}8664\), y aproximadamente el \(13{,}36\%\) queda fuera del rango.
12. Valores extremos y percentiles en la normal
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer valores extremos en una distribución normal mediante probabilidades de cola.
- Interpretar percentiles como puntos que dejan cierto porcentaje de valores bajo ellos.
- Calcular valores asociados a percentiles usando puntajes Z.
Valores extremos
En una distribución normal, los valores extremos se ubican en las colas de la campana.
Un valor muy alto se ubica en la cola derecha; un valor muy bajo se ubica en la cola izquierda.
Mientras menor sea el área de la cola, menos frecuente es el valor o conjunto de valores que se está analizando.
Percentiles
El percentil \(p\) es un valor que deja aproximadamente el \(p\%\) de los datos bajo él.
Por ejemplo, el percentil \(90\) es un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\) y conocemos el puntaje \(z_p\) asociado al percentil, entonces:
\[ x=\mu+z_p\cdot\sigma \]
Valores de referencia útiles
| Percentil aproximado | Probabilidad acumulada | Puntaje Z aproximado |
|---|---|---|
| Percentil \(5\) | \(P(Z | \(z\approx -1{,}65\) |
| Percentil \(10\) | \(P(Z | \(z\approx -1{,}28\) |
| Percentil \(90\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}28\) |
| Percentil \(95\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}65\) |
| Percentil \(97{,}5\) | \(P(Z | \(z\approx 1{,}96\) |
Ejemplo 1: reconocer un valor extremo alto
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Queremos analizar si obtener más de \(90\) puntos es poco frecuente:
\[ P(X>90) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{90-70}{10}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>90)=P(Z>2) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Por complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
La probabilidad es aproximadamente \(2{,}28\%\), por lo que obtener más de \(90\) puntos es un valor poco frecuente en este modelo.
Ejemplo 2: calcular el percentil 90
La masa de cierto producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Queremos encontrar el percentil \(90\). Esto significa buscar un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
De la tabla normal estándar, para el percentil \(90\):
\[ z\approx 1{,}28 \]
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=500+1{,}28\cdot 20 \]
\[ x=500+25{,}6=525{,}6 \]
El percentil \(90\) es aproximadamente \(525{,}6\) g. Esto significa que cerca del \(90\%\) de los productos tiene masa menor que \(525{,}6\) g.
Ejemplo 3: calcular un percentil bajo
La duración de una batería, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Queremos calcular el percentil \(5\). Esto significa buscar un valor \(x\) tal que:
\[ P(X
De la tabla normal estándar:
\[ z\approx -1{,}65 \]
Entonces:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=12+(-1{,}65)\cdot 2 \]
\[ x=12-3{,}3=8{,}7 \]
El percentil \(5\) es aproximadamente \(8{,}7\) horas. Esto significa que cerca del \(5\%\) de las baterías dura menos de \(8{,}7\) horas.
Ejemplo 4: intervalo central del 95%
Los puntajes de un test se modelan como:
\[ X\sim N(100,15) \]
Para encontrar un intervalo central aproximado del \(95\%\), usamos los valores:
\[ z=-1{,}96 \quad \text{y} \quad z=1{,}96 \]
Calculamos el límite inferior:
\[ x_1=100+(-1{,}96)\cdot 15=100-29{,}4=70{,}6 \]
Calculamos el límite superior:
\[ x_2=100+1{,}96\cdot 15=100+29{,}4=129{,}4 \]
Aproximadamente el \(95\%\) central de los puntajes se encuentra entre \(70{,}6\) y \(129{,}4\).
Error frecuente
No se debe confundir un percentil con un porcentaje de probabilidad.
El percentil es un valor de la variable, mientras que el porcentaje indica el área acumulada bajo la curva.
Por ejemplo, si el percentil \(90\) es \(525{,}6\) g, entonces \(525{,}6\) g es un valor de masa, no una probabilidad.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: interpretar un percentil
En una prueba, el percentil \(90\) corresponde a \(82\) puntos.
Interpreta esta afirmación en palabras.
El percentil \(90\) es el valor que deja aproximadamente el \(90\%\) de los datos bajo él.
Entonces, si el percentil \(90\) corresponde a \(82\) puntos, significa que cerca del \(90\%\) de los puntajes está bajo \(82\) puntos.
También significa que aproximadamente el \(10\%\) de los puntajes está sobre ese valor.
Aproximadamente el \(90\%\) de los puntajes está bajo \(82\) puntos.
Ejercicio 2: reconocer una cola derecha
Una variable se distribuye normalmente con media \(50\) y desviación estándar \(5\).
Se quiere analizar el evento \(X>60\).
- Estandariza el valor \(60\).
- Indica si corresponde a una cola izquierda o derecha.
Estandarizamos:
\[ z=\frac{60-50}{5} \]
\[ z=\frac{10}{5}=2 \]
El evento \(X>60\) corresponde a valores mayores que \(60\), por lo tanto se ubica a la derecha del valor \(60\).
Como \(z=2\), se trata de una cola derecha alejada dos desviaciones estándar de la media.
El valor estandarizado es \(z=2\) y corresponde a una cola derecha.
Ejercicio 3: calcular una probabilidad extrema
Sea:
\[ X\sim N(100,15) \]
Calcula \(P(X>130)\), sabiendo que:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Estandarizamos \(130\):
\[ z=\frac{130-100}{15} \]
\[ z=\frac{30}{15}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>130)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega el área a la izquierda:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos el complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
Esta es una probabilidad pequeña, por lo que valores mayores que \(130\) son poco frecuentes en este modelo.
\(P(X>130)=0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 4: calcular el percentil 90
Una variable se distribuye como:
\[ X\sim N(80,10) \]
Calcula el percentil \(90\), usando:
\[ z_{90}\approx 1{,}28 \]
Usamos la fórmula para transformar desde puntaje Z al valor original:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=80+1{,}28\cdot 10 \]
\[ x=80+12{,}8=92{,}8 \]
Esto significa que aproximadamente el \(90\%\) de los valores está bajo \(92{,}8\).
El percentil \(90\) es aproximadamente \(92{,}8\).
Ejercicio 5: calcular el percentil 10
El tiempo de duración de una actividad se modela como:
\[ X\sim N(40,6) \]
Calcula el percentil \(10\), usando:
\[ z_{10}\approx -1{,}28 \]
El percentil \(10\) deja aproximadamente el \(10\%\) de los valores bajo él.
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=40+(-1{,}28)\cdot 6 \]
\[ x=40-7{,}68=32{,}32 \]
Esto significa que aproximadamente el \(10\%\) de las duraciones está bajo \(32{,}32\).
El percentil \(10\) es aproximadamente \(32{,}32\).
Ejercicio 6: percentil y cola complementaria
En una distribución normal, el percentil \(95\) corresponde a \(73\).
- ¿Qué porcentaje de valores está bajo \(73\)?
- ¿Qué porcentaje de valores está sobre \(73\)?
- ¿El valor \(73\) puede considerarse alto respecto de la distribución? Justifica.
Si \(73\) corresponde al percentil \(95\), entonces aproximadamente el \(95\%\) de los valores está bajo \(73\).
Como el total es \(100\%\), el porcentaje sobre \(73\) es:
\[ 100\%-95\%=5\% \]
El valor \(73\) puede considerarse alto respecto de la distribución, porque deja solo aproximadamente el \(5\%\) de los valores por encima.
Bajo \(73\) está el \(95\%\); sobre \(73\), el \(5\%\). Es un valor alto en la distribución.
Ejercicio 7: caso desafiante
La duración de cierta batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una empresa quiere identificar las baterías de duración muy baja, definiendo como “muy baja” toda duración ubicada bajo el percentil \(5\).
- Calcula el valor límite usando \(z_5\approx -1{,}65\).
- Interpreta el resultado en contexto.
- ¿Qué porcentaje de baterías quedaría clasificado como “muy baja duración”?
Usamos la fórmula:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Con \(\mu=12\), \(\sigma=2\) y \(z=-1{,}65\):
\[ x=12+(-1{,}65)\cdot 2 \]
\[ x=12-3{,}3=8{,}7 \]
El límite es aproximadamente \(8{,}7\) horas.
En contexto, una batería que dure menos de \(8{,}7\) horas quedaría clasificada como de muy baja duración.
Como se usa el percentil \(5\), aproximadamente el \(5\%\) de las baterías quedaría en esa categoría.
El límite es \(8{,}7\) horas y corresponde aproximadamente al \(5\%\) inferior de las baterías.
13. Aproximación normal en contextos reales
Objetivo de aprendizaje
- Reconocer cuándo una situación real puede modelarse aproximadamente con una distribución normal.
- Usar la distribución normal para calcular probabilidades en contextos reales.
- Interpretar resultados probabilísticos considerando el contexto del problema.
Modelar situaciones reales
En la realidad, los datos no siempre siguen exactamente una distribución normal.
Sin embargo, muchas variables continuas pueden aproximarse mediante una curva normal cuando los valores se concentran alrededor de un promedio y disminuyen hacia los extremos.
Por ejemplo, pueden modelarse aproximadamente con una normal algunas medidas como estaturas, masas de productos, puntajes estandarizados, tiempos de duración o errores de medición.
Procedimiento general
Para usar una aproximación normal en un contexto real, se puede seguir este procedimiento:
- Identificar la variable \(X\).
- Verificar si es razonable modelarla como normal.
- Escribir el modelo \(X\sim N(\mu,\sigma)\).
- Estandarizar los valores necesarios con: \[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
- Usar la tabla normal estándar.
- Interpretar la probabilidad en el contexto.
Cuándo puede ser razonable usar una normal
Una aproximación normal puede ser razonable cuando:
- la variable es numérica y continua;
- los datos se concentran alrededor de un promedio;
- la distribución tiene forma aproximadamente simétrica;
- no hay demasiados valores extremos o atípicos;
- el contexto permite interpretar valores sobre y bajo el promedio de manera gradual.
Ejemplo 1: masa de un producto
Una máquina llena envases con un producto. La masa, en gramos, se modela aproximadamente como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un envase se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos \(470\):
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
Estandarizamos \(530\):
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que un envase sea aceptable es aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejemplo 2: estaturas sobre cierto valor
Las estaturas, en centímetros, de un grupo grande de estudiantes se modelan aproximadamente como:
\[ X\sim N(168,7) \]
Queremos estimar la probabilidad de que un estudiante mida más de \(180\) cm:
\[ P(X>180) \]
Estandarizamos \(180\):
\[ z=\frac{180-168}{7}=\frac{12}{7}\approx 1{,}71 \]
Entonces:
\[ P(X>180)=P(Z>1{,}71) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}71)=0{,}9564 \]
Como se pide la cola derecha:
\[ P(Z>1{,}71)=1-0{,}9564=0{,}0436 \]
La probabilidad de que un estudiante mida más de \(180\) cm es aproximadamente \(4{,}36\%\).
Ejemplo 3: tiempo dentro de un intervalo
El tiempo, en minutos, que demora una persona en completar una tarea se modela como:
\[ T\sim N(30,4) \]
Queremos calcular la probabilidad de que una persona demore entre \(25\) y \(35\) minutos:
\[ P(25
Estandarizamos \(25\):
\[ z_1=\frac{25-30}{4}=-1{,}25 \]
Estandarizamos \(35\):
\[ z_2=\frac{35-30}{4}=1{,}25 \]
Entonces:
\[ P(25
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}25)=0{,}8944,\qquad P(Z<-1{,}25)=0{,}1056 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}25
Aproximadamente el \(78{,}88\%\) de las personas demoraría entre \(25\) y \(35\) minutos.
Error frecuente
No toda variable numérica debe modelarse con una normal.
Por ejemplo, cantidades que se cuentan, datos muy asimétricos o variables con muchos valores extremos pueden no ajustarse bien a una curva normal.
Antes de calcular, siempre se debe revisar si el uso del modelo normal tiene sentido en el contexto.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: reconocer un contexto normal
Indica cuál de las siguientes variables podría modelarse mejor mediante una distribución normal. Justifica.
- Color favorito de los estudiantes.
- Estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
- Número de hermanos de cada estudiante.
La variable que podría modelarse mejor mediante una distribución normal es la estatura de una gran cantidad de estudiantes de la misma edad.
La estatura es una variable continua y suele concentrarse alrededor de un promedio, con menos casos en los extremos.
El color favorito es una variable cualitativa, por lo que no corresponde usar una normal.
El número de hermanos es una variable discreta que se cuenta, y no suele tener forma de campana normal.
La mejor opción es la estatura de los estudiantes.
Ejercicio 2: escribir el modelo
La duración de una batería, en horas, se modela aproximadamente de forma normal con media \(12\) horas y desviación estándar \(2\) horas.
- Define la variable \(X\).
- Escribe el modelo normal correspondiente.
La variable puede definirse como:
\[ X=\text{duración de una batería, en horas} \]
La media es \(\mu=12\) y la desviación estándar es \(\sigma=2\).
Por lo tanto, el modelo es:
\[ X\sim N(12,2) \]
\(X\) es la duración en horas y \(X\sim N(12,2)\).
Ejercicio 3: probabilidad bajo un valor
La duración de una batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Calcula la probabilidad de que una batería dure menos de \(9\) horas.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Queremos calcular:
\[ P(X<9) \]
Estandarizamos \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
Usando el dato entregado:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
La probabilidad es \(0{,}0668\), aproximadamente \(6{,}68\%\).
Ejercicio 4: probabilidad entre dos valores
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Calcula:
\[ P(60
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Estandarizamos \(60\):
\[ z_1=\frac{60-70}{10}=-1 \]
Estandarizamos \(85\):
\[ z_2=\frac{85-70}{10}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(60
Restamos las acumuladas:
\[ P(-1
\[ P(-1
La probabilidad es \(0{,}7745\), aproximadamente \(77{,}45\%\).
Ejercicio 5: cola derecha en contexto
La masa de un producto se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
La empresa considera que un producto está sobrecargado si pesa más de \(540\) g.
Calcula la probabilidad de que un producto esté sobrecargado.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>540) \]
Estandarizamos \(540\):
\[ z=\frac{540-500}{20} \]
\[ z=\frac{40}{20}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>540)=P(Z>2) \]
La tabla entrega:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
En contexto, aproximadamente el \(2{,}28\%\) de los productos estaría sobrecargado.
La probabilidad de sobrecarga es \(0{,}0228\), aproximadamente \(2{,}28\%\).
Ejercicio 6: evaluar si el modelo es adecuado
Un estudiante propone usar distribución normal para modelar la cantidad de goles que anota un equipo en un partido.
Explica si esta propuesta es adecuada o no, considerando el tipo de variable.
La cantidad de goles es una variable discreta, porque se cuenta.
Sus valores posibles son \(0,1,2,3,\ldots\), y no tiene sentido obtener \(2{,}4\) goles en un partido.
Por esa razón, no es una variable continua, y la distribución normal no sería el modelo más adecuado en este caso.
Además, la cantidad de goles suele concentrarse en valores pequeños y puede presentar una forma asimétrica.
La propuesta no es adecuada; la cantidad de goles es una variable discreta y no necesariamente normal.
Ejercicio 7: caso desafiante
El tiempo de entrega de un servicio, en minutos, se modela aproximadamente como:
\[ X\sim N(45,8) \]
La empresa considera tardía una entrega que demora más de \(60\) minutos.
- Calcula la probabilidad de que una entrega sea tardía.
- Interpreta el resultado en porcentaje.
- Si se realizan \(1000\) entregas, estima cuántas podrían ser tardías.
Usa:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>60) \]
Estandarizamos \(60\):
\[ z=\frac{60-45}{8} \]
\[ z=\frac{15}{8}=1{,}875\approx 1{,}88 \]
Entonces:
\[ P(X>60)=P(Z>1{,}88) \]
Como la tabla entrega área a la izquierda:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>1{,}88)=1-0{,}9699=0{,}0301 \]
En porcentaje:
\[ 0{,}0301\cdot 100=3{,}01\% \]
Si se realizan \(1000\) entregas, estimamos:
\[ 1000\cdot 0{,}0301=30{,}1 \]
Por lo tanto, se esperarían aproximadamente \(30\) entregas tardías.
La probabilidad de entrega tardía es \(0{,}0301\), es decir, \(3{,}01\%\); en \(1000\) entregas serían cerca de \(30\).
14. Taller: usar la normal para tomar decisiones
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas contextualizados usando la distribución normal.
- Aplicar estandarización, tabla normal, probabilidades de cola, intervalos y percentiles.
- Interpretar probabilidades para apoyar decisiones en contextos reales.
Decidir usando probabilidades
La distribución normal permite estimar qué tan probable es que ocurra un evento cuando una variable continua se concentra alrededor de una media.
En este taller, las probabilidades se usarán para tomar decisiones como aceptar productos, evaluar riesgos, definir puntos de corte o estimar cantidades esperadas.
Herramientas del taller
Si una variable se modela como:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
entonces se puede estandarizar mediante:
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]
Luego se usa la tabla normal estándar para obtener probabilidades de la forma:
\[ P(Z
También se pueden usar complementos:
\[ P(Z>z)=1-P(Z
y diferencias de áreas:
\[ P(a
Procedimiento para decidir
- Identificar la variable y el modelo normal.
- Traducir la decisión a una probabilidad.
- Estandarizar los valores necesarios.
- Usar la tabla normal estándar.
- Interpretar el resultado como porcentaje.
- Tomar una decisión coherente con el contexto.
Ejemplo 1: decisión de control de calidad
Una máquina llena envases. La masa, en gramos, se modela como:
\[ X\sim N(500,20) \]
Un envase se considera aceptable si su masa está entre \(470\) g y \(530\) g.
Queremos calcular:
\[ P(470
Estandarizamos los límites:
\[ z_1=\frac{470-500}{20}=-1{,}5 \]
\[ z_2=\frac{530-500}{20}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(470
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Restamos:
\[ P(-1{,}5
Aproximadamente el \(86{,}64\%\) de los envases será aceptable.
Si se producen \(1000\) envases, se espera que aproximadamente:
\[ 1000\cdot 0{,}8664=866{,}4 \]
es decir, cerca de \(866\) envases sean aceptables.
Ejemplo 2: evaluar una promesa de servicio
El tiempo de entrega de un servicio, en minutos, se modela como:
\[ X\sim N(45,8) \]
La empresa promete que una entrega no debería tardar más de \(60\) minutos.
Calculamos la probabilidad de una entrega tardía:
\[ P(X>60) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{60-45}{8} \]
\[ z=\frac{15}{8}=1{,}875\approx 1{,}88 \]
Entonces:
\[ P(X>60)=P(Z>1{,}88) \]
Usando tabla:
\[ P(Z<1{,}88)=0{,}9699 \]
Por complemento:
\[ P(Z>1{,}88)=1-0{,}9699=0{,}0301 \]
La probabilidad de una entrega tardía es aproximadamente \(3{,}01\%\).
Si la empresa considera aceptable una tasa de tardanza menor al \(5\%\), entonces el modelo indica que la promesa podría cumplirse razonablemente.
Ejemplo 3: definir un punto de corte
Los puntajes de una prueba de selección se modelan como:
\[ X\sim N(70,10) \]
Se desea seleccionar al \(10\%\) superior de los postulantes.
Eso corresponde a buscar el percentil \(90\), porque el \(90\%\) queda bajo el punto de corte y el \(10\%\) queda sobre él.
Para el percentil \(90\), usamos:
\[ z_{90}\approx 1{,}28 \]
Transformamos desde \(Z\) al puntaje original:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
\[ x=70+1{,}28\cdot 10 \]
\[ x=70+12{,}8=82{,}8 \]
El punto de corte debería ser aproximadamente \(82{,}8\) puntos.
En contexto, quienes obtengan más de \(82{,}8\) puntos quedarían dentro del \(10\%\) superior.
Error frecuente
Una probabilidad alta o baja no decide por sí sola.
La decisión depende del contexto: un \(3\%\) de fallas puede ser aceptable en una situación, pero inaceptable en otra si las consecuencias son graves.
Ejercicios progresivos a desafiantes
Ejercicio 1: traducir una decisión a probabilidad
La duración de una batería se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
Una batería se considera deficiente si dura menos de \(9\) horas.
- Escribe la probabilidad que representa que una batería sea deficiente.
- Estandariza el valor \(9\).
La batería es deficiente si dura menos de \(9\) horas. Por lo tanto, la probabilidad buscada es:
\[ P(X<9) \]
Estandarizamos el valor \(9\):
\[ z=\frac{9-12}{2} \]
\[ z=\frac{-3}{2}=-1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5) \]
La probabilidad es \(P(X<9)\), equivalente a \(P(Z<-1{,}5)\).
Ejercicio 2: porcentaje aceptable de productos
La longitud de una pieza, en centímetros, se modela como:
\[ X\sim N(100,5) \]
Una pieza es aceptable si mide entre \(92{,}5\) cm y \(107{,}5\) cm.
Calcula la probabilidad de que una pieza sea aceptable.
Usa:
\[ P(Z<1{,}5)=0{,}9332,\qquad P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
Queremos calcular:
\[ P(92{,}5
Estandarizamos el límite inferior:
\[ z_1=\frac{92{,}5-100}{5} \]
\[ z_1=\frac{-7{,}5}{5}=-1{,}5 \]
Estandarizamos el límite superior:
\[ z_2=\frac{107{,}5-100}{5} \]
\[ z_2=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5 \]
Entonces:
\[ P(92{,}5
Restamos las áreas acumuladas:
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de aceptación es \(0{,}8664\), aproximadamente \(86{,}64\%\).
Ejercicio 3: estimar cantidad de casos extremos
Los puntajes de una evaluación se modelan como:
\[ X\sim N(80,12) \]
Se considera puntaje sobresaliente obtener más de \(104\) puntos.
- Calcula la probabilidad de obtener un puntaje sobresaliente.
- Si rinden \(500\) estudiantes, estima cuántos tendrían puntaje sobresaliente.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>104) \]
Estandarizamos:
\[ z=\frac{104-80}{12} \]
\[ z=\frac{24}{12}=2 \]
Entonces:
\[ P(X>104)=P(Z>2) \]
Como la tabla entrega el área a la izquierda:
\[ P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0{,}9772=0{,}0228 \]
En \(500\) estudiantes, estimamos:
\[ 500\cdot 0{,}0228=11{,}4 \]
Por lo tanto, se esperarían aproximadamente \(11\) o \(12\) estudiantes con puntaje sobresaliente.
La probabilidad es \(0{,}0228\), y en \(500\) estudiantes se esperan cerca de \(11\) o \(12\) casos.
Ejercicio 4: punto de corte superior
Los puntajes de una prueba se modelan como:
\[ X\sim N(50,6) \]
Se quiere premiar al \(5\%\) superior de los estudiantes.
Calcula el punto de corte usando:
\[ z_{95}\approx 1{,}65 \]
Premiar al \(5\%\) superior significa buscar el percentil \(95\), porque el \(95\%\) queda bajo el punto de corte.
Usamos:
\[ x=\mu+z\cdot\sigma \]
Reemplazamos:
\[ x=50+1{,}65\cdot 6 \]
\[ x=50+9{,}9=59{,}9 \]
Por lo tanto, el punto de corte es aproximadamente \(59{,}9\) puntos.
En contexto, los estudiantes con puntajes sobre \(59{,}9\) quedarían dentro del \(5\%\) superior.
El punto de corte aproximado es \(59{,}9\) puntos.
Ejercicio 5: comparar dos procesos
Dos máquinas producen piezas con masa promedio \(500\) g, pero con distinta desviación estándar:
- Máquina A: \(X_A\sim N(500,10)\)
- Máquina B: \(X_B\sim N(500,20)\)
Una pieza es aceptable si su masa está entre \(480\) g y \(520\) g.
- Calcula la probabilidad de aceptación para cada máquina.
- Decide cuál máquina conviene preferir si se busca mayor regularidad.
Usa:
\[ P(Z<2)=0{,}9772,\quad P(Z<-2)=0{,}0228 \]
\[ P(Z<1)=0{,}8413,\quad P(Z<-1)=0{,}1587 \]
Para la Máquina A:
\[ z_1=\frac{480-500}{10}=-2 \]
\[ z_2=\frac{520-500}{10}=2 \]
Entonces:
\[ P(480
\[ P(-2
Para la Máquina B:
\[ z_1=\frac{480-500}{20}=-1 \]
\[ z_2=\frac{520-500}{20}=1 \]
Entonces:
\[ P(480
\[ P(-1
La Máquina A tiene mayor probabilidad de producir piezas aceptables, porque su desviación estándar es menor y sus masas se concentran más cerca de \(500\) g.
Máquina A: \(95{,}44\%\). Máquina B: \(68{,}26\%\). Conviene preferir la Máquina A.
Ejercicio 6: interpretar una decisión con riesgo
El tiempo de atención en una oficina se modela como:
\[ X\sim N(20,4) \]
La oficina considera aceptable que como máximo el \(10\%\) de las atenciones tarde más de \(25\) minutos.
Evalúa si se cumple esa condición.
Usa:
\[ P(Z<1{,}25)=0{,}8944 \]
Queremos calcular:
\[ P(X>25) \]
Estandarizamos \(25\):
\[ z=\frac{25-20}{4} \]
\[ z=\frac{5}{4}=1{,}25 \]
Entonces:
\[ P(X>25)=P(Z>1{,}25) \]
Usamos complemento:
\[ P(Z>1{,}25)=1-P(Z<1{,}25) \]
\[ P(Z>1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056 \]
Como \(0{,}1056=10{,}56\%\), el porcentaje estimado de atenciones sobre \(25\) minutos supera levemente el \(10\%\).
Por lo tanto, según este modelo, la oficina no cumple exactamente la condición propuesta.
No se cumple la condición, porque la probabilidad estimada es \(10{,}56\%\), mayor que \(10\%\).
Ejercicio 7: caso integrador
Una empresa vende baterías cuya duración, en horas, se modela como:
\[ X\sim N(12,2) \]
La empresa quiere clasificar las baterías en tres grupos:
- Deficientes: duran menos de \(9\) horas.
- Normales: duran entre \(9\) y \(15\) horas.
- Destacadas: duran más de \(15\) horas.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea deficiente.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea normal.
- Calcula la probabilidad de que una batería sea destacada.
- Si se producen \(2000\) baterías, estima cuántas serán deficientes.
Usa:
\[ P(Z<-1{,}5)=0{,}0668,\qquad P(Z<1{,}5)=0{,}9332 \]
Primero estandarizamos \(9\):
\[ z_1=\frac{9-12}{2}=-1{,}5 \]
Luego estandarizamos \(15\):
\[ z_2=\frac{15-12}{2}=1{,}5 \]
La probabilidad de que una batería sea deficiente es:
\[ P(X<9)=P(Z<-1{,}5)=0{,}0668 \]
La probabilidad de que sea normal es:
\[ P(9
\[ P(-1{,}5
La probabilidad de que sea destacada es:
\[ P(X>15)=P(Z>1{,}5) \]
\[ P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668 \]
Si se producen \(2000\) baterías, el número esperado de deficientes es:
\[ 2000\cdot 0{,}0668=133{,}6 \]
Se estiman aproximadamente \(134\) baterías deficientes.
Deficientes: \(6{,}68\%\). Normales: \(86{,}64\%\). Destacadas: \(6{,}68\%\). En \(2000\) baterías, cerca de \(134\) serían deficientes.
Cierre del libro
La distribución normal permite convertir datos en probabilidades mediante la estandarización.
El puntaje Z permite ubicar un valor respecto de su media y desviación estándar, mientras que la tabla normal estándar permite calcular áreas bajo la curva.
Estas herramientas ayudan a interpretar resultados, estimar riesgos y tomar decisiones fundamentadas en contextos reales.