La primera afirmación describe solamente a los \(60\) estudiantes encuestados.

La segunda afirmación usa la media de la muestra para decir algo sobre una población más grande.

Por eso, la segunda afirmación corresponde a una inferencia estadística.

La afirmación 2 corresponde a una inferencia estadística.

El estadístico muestral es la proporción observada en la muestra:

\[ \hat{p}=0{,}58 \]

El parámetro poblacional que se quiere estimar es la proporción real de hogares de la población que usan calefacción eléctrica durante el invierno.

Ese parámetro se representa por \(p\).

El estadístico es \(\hat{p}=0{,}58\), y estima la proporción poblacional \(p\).

Primero calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{72}{100}=0{,}72 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}72=72\% \]

Una conclusión cuidadosa sería:

“En la muestra aleatoria, el \(72\%\) de los estudiantes declaró usar internet para estudiar. Este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción de estudiantes del colegio que usan internet para estudiar”.

La conclusión es cuidadosa porque no afirma que el \(72\%\) sea exactamente el valor real de toda la población.

Una conclusión válida debe presentar el \(72\%\) como estimación, no como certeza absoluta.

La afirmación es demasiado fuerte porque trata la media muestral como si fuera necesariamente igual a la media poblacional.

El valor \(6{,}9\) fue calculado desde una muestra de \(40\) estudiantes.

En inferencia estadística, una media muestral se usa como estimación de la media poblacional, pero puede variar de una muestra a otra.

Una afirmación más adecuada sería:

“La media muestral de \(6{,}9\) horas puede usarse como estimación de la media poblacional, si la muestra representa adecuadamente a la población”.

El error es presentar una estimación muestral como si fuera una certeza exacta.

Analizamos cada afirmación:

1. Es una descripción, porque habla solo de la muestra.
2. Es una inferencia, porque usa la muestra para estimar una proporción poblacional.
3. Es una descripción, porque informa un resultado observado en las personas encuestadas.
4. Es una inferencia, porque usa la media muestral para hablar de la población.

Las afirmaciones 1 y 3 son descripciones; las afirmaciones 2 y 4 son inferencias.

El parámetro que se quiere estudiar es la masa promedio real de todos los paquetes producidos por la empresa. Ese parámetro es \(\mu\).

El estadístico observado es la media muestral:

\[ \bar{x}=985 \]

No basta mirar solo \(985\) para tomar una decisión definitiva porque una media muestral puede variar de una muestra a otra.

Además, necesitamos evaluar si la diferencia entre \(985\) g y \(1000\) g puede explicarse por variabilidad muestral o si entrega evidencia suficiente de un problema en el proceso.

Se quiere estudiar \(\mu\), se observó \(\bar{x}=985\), y se necesita considerar la incertidumbre antes de decidir.

Calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{195}{300}=0{,}65 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}65=65\% \]

El parámetro que se quiere estimar es la proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables. Ese parámetro se representa por \(p\).

Una conclusión inferencial cuidadosa sería:

“En la muestra aleatoria, el \(65\%\) de los hogares declaró separar residuos reciclables. Este resultado puede usarse como estimación de la proporción de hogares de la comuna que separan residuos reciclables”.

Esta conclusión no debe interpretarse como certeza absoluta porque se basa en una muestra. Otra muestra aleatoria podría entregar una proporción algo distinta.

\(\hat{p}=0{,}65\). Este valor estima a \(p\), pero no lo determina con certeza absoluta.

El estadístico muestral es el valor calculado desde la muestra.

En este caso:

\[ \bar{x}=6{,}4 \]

El parámetro que se quiere estimar es la media real de horas de estudio semanal de la población de estudiantes.

Ese parámetro se representa por:

\[ \mu \]

El estadístico es \(\bar{x}=6{,}4\), y estima la media poblacional \(\mu\).

Calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{117}{180}=0{,}65 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}65=65\% \]

El parámetro que se quiere estimar es la proporción real de personas de la población que usan transporte público para ir al trabajo.

Ese parámetro se representa por \(p\).

La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}65\), y estima la proporción poblacional \(p\).

La media muestral se representa por \(\bar{x}\) y estima a la media poblacional \(\mu\).

Entonces:

\[ \bar{x}\ \text{estima a}\ \mu \]

La proporción muestral se representa por \(\hat{p}\) y estima a la proporción poblacional \(p\).

Entonces:

\[ \hat{p}\ \text{estima a}\ p \]

Media: \(\bar{x}\) estima a \(\mu\). Proporción: \(\hat{p}\) estima a \(p\).

El error está en tratar la proporción muestral como si fuera necesariamente igual a la proporción poblacional.

El valor \(\hat{p}=0{,}72\) fue calculado desde una muestra.

Por lo tanto, sirve como estimación de \(p\), pero no garantiza que el valor real de \(p\) sea exactamente \(0{,}72\).

Una forma correcta de decirlo sería:

“La proporción muestral \(\hat{p}=0{,}72\) estima a la proporción poblacional \(p\)”.

\(\hat{p}=0{,}72\) es una estimación de \(p\), no necesariamente su valor exacto.

Cuando se quiere estimar un promedio o media, el parámetro es \(\mu\).

Cuando se quiere estimar una proporción, el parámetro es \(p\).

1. Media real de masa: \(\mu\).
2. Proporción real de estudiantes que usan bicicleta: \(p\).
3. Promedio real de tiempo de espera: \(\mu\).
4. Proporción real de clientes satisfechos: \(p\).

Las respuestas son: \(\mu\), \(p\), \(\mu\), \(p\).

Sí, ambas medias muestrales pueden estimar el mismo parámetro.

El parámetro que se quiere estimar es la media real de horas de sueño de todos los estudiantes del colegio, es decir, \(\mu\).

Las dos medias muestrales pueden ser distintas porque provienen de muestras diferentes.

Esto no significa necesariamente que una esté mal; refleja la variabilidad natural entre muestras.

Sí, ambas estiman a \(\mu\), aunque entreguen valores distintos.

El estadístico muestral es la media calculada desde la muestra:

\[ \bar{x}=985 \]

El parámetro poblacional es la masa promedio real de todos los paquetes producidos en el día:

\[ \mu \]

Decir que \(985\) g estima al parámetro significa que la media muestral se usa como aproximación de la media poblacional.

No se debe afirmar automáticamente que \(\mu=985\), porque el valor proviene de una muestra. Otra muestra podría entregar una media diferente.

La inferencia estadística permitirá estudiar la incertidumbre asociada a esa estimación.

El estadístico es \(\bar{x}=985\) g y estima a la media poblacional \(\mu\).

La estimación puntual es la media muestral calculada desde la muestra:

\[ \bar{x}=18{,}5 \]

El parámetro que se quiere estimar es la media real de minutos de traslado de todos los estudiantes de la población.

Ese parámetro se representa por \(\mu\).

La estimación puntual es \(\bar{x}=18{,}5\), y estima la media poblacional \(\mu\).

Calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{84}{120}=0{,}70 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}70=70\% \]

Esto significa que, en la muestra, el \(70\%\) de los estudiantes declaró usar una plataforma digital para estudiar.

Este valor puede usarse como estimación puntual de la proporción poblacional \(p\).

No debe interpretarse como certeza exacta porque fue calculado desde una muestra. Otra muestra podría entregar un porcentaje diferente.

La proporción muestral es \(\hat{p}=0{,}70\), es decir, \(70\%\).

Las dos muestras provienen de la misma población, pero entregan medias distintas.

Esto ocurre porque las muestras pueden contener estudiantes diferentes.

La diferencia entre \(6{,}8\) y \(7{,}2\) muestra que una estimación puntual puede variar de una muestra a otra.

Por eso, además de calcular una estimación, necesitamos estudiar su incertidumbre.

Las estimaciones varían entre muestras; por eso se necesita medir la incertidumbre.

Calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{126}{200}=0{,}63 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}63=63\% \]

El error está en afirmar que el \(63\%\) es exactamente el valor real de toda la población.

Ese porcentaje fue obtenido desde una muestra, por lo que debe interpretarse como estimación.

Una conclusión cuidadosa sería:

“En la muestra, el \(63\%\) de los estudiantes prefirió evaluaciones con proyectos. Este porcentaje puede usarse como estimación de la proporción correspondiente en la población”.

La proporción muestral es \(63\%\), pero debe presentarse como estimación, no como certeza exacta.

No se puede calcular exactamente el error de estimación porque no se conoce el valor real de \(\mu\).

La expresión sería:

\[ \bar{x}-\mu \]

Pero como \(\mu\) es desconocido, no podemos obtener un valor exacto para esa diferencia.

Esto muestra la necesidad de herramientas inferenciales que permitan estudiar la incertidumbre de una estimación sin conocer directamente el parámetro.

No se puede calcular exactamente el error si \(\mu\) es desconocido.

La conclusión más adecuada es la segunda.

La primera es demasiado fuerte porque presenta el \(46\%\) como si fuera directamente el valor poblacional.

La tercera también es demasiado fuerte porque usa la palabra “demuestra” y habla de “mitad exacta”.

La segunda reconoce que el \(46\%\) fue observado en una muestra y que puede usarse como estimación de una proporción poblacional.

La conclusión 2 es la más adecuada.

La estimación puntual es la media muestral:

\[ \bar{x}=502 \]

El parámetro que se quiere estimar es la masa promedio real de todos los envases de la población:

\[ \mu \]

No basta decir que \(502\) g es mayor que \(500\) g para tomar una decisión definitiva, porque \(502\) g proviene de una muestra.

Otra muestra podría entregar una media algo distinta debido a la variabilidad muestral.

Más adelante sería útil estudiar la incertidumbre de esta estimación, por ejemplo mediante el error estándar, el margen de error o un intervalo de confianza.

\(\bar{x}=502\) estima a \(\mu\), pero se necesita medir la incertidumbre antes de tomar una decisión definitiva.

La afirmación es incorrecta porque la distribución muestral de la media no está formada por datos individuales.

Está formada por medias muestrales.

Cada valor de esa distribución corresponde a una media \(\bar{x}\) calculada desde una muestra.

La distribución muestral de la media está formada por medias muestrales, no por datos individuales.

Calculamos la media de la Muestra A:

\[ \bar{x}_A=\frac{6+7+5+6}{4}=\frac{24}{4}=6 \]

Calculamos la media de la Muestra B:

\[ \bar{x}_B=\frac{8+6+7+7}{4}=\frac{28}{4}=7 \]

Calculamos la media de la Muestra C:

\[ \bar{x}_C=\frac{5+6+6+7}{4}=\frac{24}{4}=6 \]

El conjunto de medias muestrales obtenidas es:

\[ 6,\ 7,\ 6 \]

Las medias muestrales son \(\bar{x}_A=6\), \(\bar{x}_B=7\) y \(\bar{x}_C=6\).

No todas las medias son iguales porque las muestras pueden contener individuos distintos.

Aunque provengan de la misma población y tengan el mismo tamaño, cada muestra puede variar.

Por eso, las medias muestrales también pueden variar.

Esta variación es parte natural del muestreo.

Las medias cambian porque cada muestra puede estar formada por datos distintos.

No todas las medias muestrales coinciden exactamente con \(\mu=50\).

Algunas están bajo \(50\), como \(48{,}9\) y \(49{,}7\).

Otras están sobre \(50\), como \(50{,}4\) y \(51{,}1\).

Sin embargo, todas están relativamente cerca de \(50\).

Esto muestra que las medias muestrales pueden variar, pero suelen ubicarse alrededor de la media poblacional.

No coinciden todas con \(\mu\), pero se concentran alrededor de \(50\).

Analizamos cada conjunto:

1. Son datos individuales, porque corresponden a cinco estudiantes medidos.
2. Son medias muestrales, porque cada valor es una media \(\bar{x}\) obtenida desde una muestra.
3. Son datos individuales, porque corresponden a pesos de productos específicos.
4. Son medias muestrales, porque corresponden a medias calculadas desde distintas muestras.

Los conjuntos 1 y 3 son datos individuales; los conjuntos 2 y 4 son medias muestrales.

La Situación A produce datos individuales, porque se registran los tiempos de traslado de \(30\) estudiantes.

La Situación B puede formar una distribución muestral de la media, porque se calculan \(20\) medias muestrales.

Una distribución muestral de la media necesita varias medias \(\bar{x}\), obtenidas al repetir el muestreo.

A produce datos individuales; B produce medias muestrales.

Los valores que formarían la distribución muestral observada son las medias muestrales:

\[ 498,\ 501,\ 499,\ 503,\ 500 \]

Estos valores no son datos individuales porque cada uno resume una muestra completa.

Por ejemplo, \(498\) g no representa necesariamente un paquete individual, sino la media de una muestra de paquetes.

Respecto de \(500\) g, las medias muestrales están alrededor de ese valor: algunas quedan bajo \(500\), otras sobre \(500\), y una coincide con \(500\).

Esto muestra variabilidad entre muestras, pero también concentración alrededor del valor esperado.

La distribución muestral observada está formada por \(498,\ 501,\ 499,\ 503,\ 500\), que son medias muestrales.

El error estándar de la media mide cuánta variabilidad suelen tener las medias muestrales al repetir el muestreo.

No mide la variabilidad de los datos individuales directamente, sino la variabilidad de las medias calculadas desde distintas muestras.

El error estándar resume cuánto suelen variar las medias muestrales.

Reemplazamos los datos:

\[ EE=\frac{10}{\sqrt{25}} \]

Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:

\[ EE=\frac{10}{5}=2 \]

El error estándar es \(EE=2\).

Para la muestra A:

\[ EE_A=\frac{8}{\sqrt{16}}=\frac{8}{4}=2 \]

Para la muestra B:

\[ EE_B=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1 \]

La muestra B tiene menor error estándar.

Esto ocurre porque tiene mayor tamaño muestral. Al aumentar \(n\), la media muestral suele ser más estable.

\(EE_A=2\) y \(EE_B=1\). La muestra B tiene menor error estándar.

Calculamos el error muestral:

\[ \bar{x}-\mu=77-80=-3 \]

Esto significa que la media muestral quedó \(3\) unidades bajo la media poblacional.

Ahora calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}} \]

Como \(\sqrt{36}=6\), entonces:

\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]

El error muestral compara esta muestra con el parámetro real.

El error estándar mide la variabilidad esperada de las medias muestrales.

Error muestral: \(-3\). Error estándar: \(2\). Son conceptos distintos.

La afirmación es incorrecta porque el error estándar no indica el error exacto de una muestra específica.

El error estándar mide una variabilidad esperada o típica de las medias muestrales.

Una media muestral podría quedar a menos o a más de \(1{,}5\) puntos del parámetro real.

Por eso, no debe interpretarse como una distancia exacta.

El error estándar describe variabilidad típica, no el error exacto de una muestra.

Para el estudio A:

\[ EE_A=\frac{16}{\sqrt{16}}=\frac{16}{4}=4 \]

Para el estudio B:

\[ EE_B=\frac{16}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2 \]

Al aumentar el tamaño muestral de \(16\) a \(64\), el error estándar disminuye de \(4\) a \(2\).

Esto muestra que muestras más grandes suelen producir medias muestrales más estables.

\(EE_A=4\) y \(EE_B=2\). Al aumentar \(n\), disminuye el error estándar.

La estimación puntual de la media poblacional es la media muestral:

\[ \bar{x}=42 \]

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{18}{\sqrt{81}} \]

Como \(\sqrt{81}=9\), entonces:

\[ EE=\frac{18}{9}=2 \]

El error estándar es de \(2\) minutos.

Esto indica que las medias muestrales de muestras de tamaño \(81\) suelen variar con una escala aproximada de \(2\) minutos.

No se debe afirmar que la media real es exactamente \(42\) minutos porque ese valor proviene de una muestra. Otra muestra podría entregar una media distinta.

La estimación puntual es \(\bar{x}=42\) minutos y el error estándar es \(EE=2\) minutos.

La estimación puntual es:

\[ \bar{x}=18{,}4 \]

El intervalo de confianza es:

\[ [16{,}8,\ 20{,}0] \]

La estimación puntual entrega un solo valor para aproximar la media poblacional.

El intervalo entrega un rango de valores razonables para esa media poblacional.

La estimación puntual es \(18{,}4\) y el intervalo es \([16{,}8,\ 20{,}0]\).

El intervalo va desde \(6{,}7\) hasta \(7{,}3\) horas.

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}7\) y \(7{,}3\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.

No se debe afirmar que la media real sea exactamente el punto medio ni que el intervalo entregue certeza absoluta.

El intervalo entrega un rango razonable para \(\mu\), no una certeza exacta.

Convertimos cada extremo a porcentaje:

\[ 0{,}22=22\% \]

\[ 0{,}34=34\% \]

Entonces, el intervalo es:

\[ [22\%,\ 34\%] \]

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, la proporción de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio podría estar razonablemente entre \(22\%\) y \(34\%\)”.

El intervalo corresponde a \([22\%,\ 34\%]\).

El centro del intervalo es:

\[ \frac{28+36}{2}=32 \]

Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(32\) minutos.

El intervalo indica un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.

Una interpretación más adecuada sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(28\) y \(36\) minutos son razonables para la media poblacional”.

El error es tratar el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto del parámetro.

Calculamos la amplitud de cada intervalo.

Para el Estudio A:

\[ 6{,}2-5{,}8=0{,}4 \]

Para el Estudio B:

\[ 6{,}9-5{,}1=1{,}8 \]

El intervalo A es más estrecho.

El intervalo B es más amplio, por lo tanto refleja mayor incertidumbre sobre el parámetro.

A es más estrecho; B refleja mayor incertidumbre.

Una forma adecuada de completar la conclusión es:

“Según la muestra y el método utilizado, la media poblacional de minutos diarios de actividad física podría estar razonablemente entre \(42\) y \(48\) minutos”.

Esta redacción es cuidadosa porque no presenta el intervalo como certeza absoluta.

La conclusión debe indicar un rango razonable, no una certeza exacta.

La estimación puntual es:

\[ \bar{x}=41 \]

El intervalo de confianza es:

\[ [37,\ 45] \]

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, la media poblacional de tiempo de traslado al trabajo en la comuna podría estar razonablemente entre \(37\) y \(45\) minutos”.

No sería correcto afirmar que la media real es exactamente \(41\) minutos porque ese valor es una estimación puntual basada en una muestra.

El intervalo muestra que existe incertidumbre alrededor de esa estimación.

La estimación puntual es \(41\) y el intervalo es \([37,\ 45]\).

El \(95\%\) indica el nivel de confianza del método usado para construir el intervalo.

Esto significa que, si se repitiera muchas veces el proceso de tomar muestras y construir intervalos con el mismo método, aproximadamente el \(95\%\) de esos intervalos contendría la media poblacional real.

No significa certeza absoluta para un intervalo particular.

El \(95\%\) describe la confiabilidad del método de construcción del intervalo.

La interpretación no es adecuada porque el parámetro poblacional es un valor fijo, aunque desconocido.

El nivel de confianza no se interpreta como una probabilidad exacta sobre ese intervalo particular.

El \(95\%\) se refiere al método: si se repitiera muchas veces el procedimiento, aproximadamente el \(95\%\) de los intervalos construidos contendría el parámetro real.

Una interpretación más cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(28\) y \(34\) son razonables para la media poblacional, con un método de \(95\%\) de confianza”.

El \(95\%\) describe la confiabilidad del método, no una certeza probabilística exacta para un intervalo ya construido.

Si el nivel de confianza es \(95\%\), entonces aproximadamente el \(95\%\) de los intervalos contendría el verdadero parámetro.

Calculamos:

\[ 0{,}95 \cdot 200=190 \]

Por lo tanto, aproximadamente \(190\) intervalos contendrían el parámetro.

El \(5\%\) restante podría no contenerlo:

\[ 0{,}05 \cdot 200=10 \]

Aproximadamente \(190\) intervalos contendrían el parámetro y \(10\) podrían no contenerlo.

El intervalo más estrecho es:

\[ [18,\ 22] \]

Su amplitud es:

\[ 22-18=4 \]

El intervalo más amplio es:

\[ [15,\ 25] \]

Su amplitud es:

\[ 25-15=10 \]

Se observa que, al aumentar el nivel de confianza, el intervalo se vuelve más amplio.

Esto ocurre porque se necesita un rango mayor de valores para aumentar la confiabilidad del método.

El intervalo de \(90\%\) es más estrecho y el de \(99\%\) es más amplio.

La interpretación correcta es la tercera.

La primera es incorrecta porque confunde el nivel de confianza con la proporción de hogares que reciclan.

La segunda es incorrecta porque el centro del intervalo no necesariamente es el valor exacto del parámetro.

La tercera interpretación reconoce el intervalo como un rango razonable de valores para el parámetro y menciona correctamente el nivel de confianza.

La interpretación correcta es la opción 3.

El intervalo con mayor nivel de confianza es:

\[ [43,\ 57] \]

porque tiene \(99\%\) de confianza.

El intervalo más preciso, en el sentido de ser más estrecho, es:

\[ [46,\ 54] \]

porque su amplitud es:

\[ 54-46=8 \]

Mientras que el intervalo de \(99\%\) tiene amplitud:

\[ 57-43=14 \]

El intercambio es que, al aumentar el nivel de confianza, el intervalo suele hacerse más amplio. Se gana confianza, pero se pierde precisión.

El \(99\%\) da mayor confianza, pero el \(95\%\) entrega un intervalo más estrecho.

El intervalo de \(95\%\) es:

\[ [37,\ 45] \]

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(37\) y \(45\) minutos son razonables para la media poblacional de minutos diarios de actividad física, usando un método con \(95\%\) de confianza”.

El intervalo de \(99\%\) es más amplio porque se busca un mayor nivel de confianza. Para aumentar la confiabilidad del método, se necesita considerar un rango más grande de valores posibles.

Si se busca mayor precisión, se elegiría el intervalo más estrecho, que es el de \(90\%\):

\[ [38,\ 44] \]

Si se busca mayor confianza, se elegiría el intervalo de \(99\%\):

\[ [35,\ 47] \]

Mayor precisión: \(90\%\). Mayor confianza: \(99\%\).

Usamos la forma:

\[ \bar{x}\pm ME \]

Reemplazamos:

\[ 35\pm 4 \]

Calculamos el límite inferior:

\[ 35-4=31 \]

Calculamos el límite superior:

\[ 35+4=39 \]

El intervalo es \([31,\ 39]\).

Identificamos los extremos:

\[ L=46,\qquad U=54 \]

Calculamos la amplitud:

\[ U-L=54-46=8 \]

El margen de error es la mitad de la amplitud:

\[ ME=\frac{8}{2}=4 \]

El margen de error es \(ME=4\).

Calculamos el centro:

\[ \frac{12{,}5+17{,}5}{2}=\frac{30}{2}=15 \]

Calculamos el margen de error:

\[ ME=\frac{17{,}5-12{,}5}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5 \]

Entonces, el intervalo se puede escribir como:

\[ 15\pm 2{,}5 \]

Centro: \(15\). Margen de error: \(2{,}5\). Forma: \(15\pm 2{,}5\).

La estimación puntual es \(42\) minutos y el margen de error es \(5\) minutos.

Calculamos:

\[ 42-5=37 \]

\[ 42+5=47 \]

El intervalo es:

\[ [37,\ 47] \]

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(37\) y \(47\) minutos son razonables para la media poblacional de tiempo de traslado”.

El intervalo es \([37,\ 47]\) minutos.

Para el estudio A:

\[ 60\pm 3=[57,\ 63] \]

Para el estudio B:

\[ 60\pm 8=[52,\ 68] \]

El intervalo B es más amplio, porque tiene mayor margen de error.

También refleja mayor incertidumbre sobre el parámetro.

A: \([57,\ 63]\). B: \([52,\ 68]\). El intervalo B es más amplio y refleja mayor incertidumbre.

Calculamos el margen de error aproximado:

\[ ME\approx 2\cdot EE \]

\[ ME\approx 2\cdot 2{,}5=5 \]

Ahora construimos el intervalo:

\[ 74\pm 5 \]

Límite inferior:

\[ 74-5=69 \]

Límite superior:

\[ 74+5=79 \]

El margen de error aproximado es \(5\), y el intervalo es \([69,\ 79]\).

La estimación puntual es:

\[ \bar{x}=43 \]

Calculamos el margen de error desde el intervalo:

\[ ME=\frac{48-38}{2}=\frac{10}{2}=5 \]

Entonces, el intervalo puede escribirse como:

\[ 43\pm 5 \]

El margen de error no es el error exacto cometido, porque el error exacto dependería de conocer la media real de la población.

Como normalmente el parámetro poblacional es desconocido, el margen de error expresa incertidumbre alrededor de la estimación, no una diferencia exacta con el verdadero valor.

Estimación puntual: \(43\). Margen de error: \(5\). Forma: \(43\pm 5\).

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}} \]

Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:

\[ EE=\frac{15}{5}=3 \]

Ahora calculamos el margen de error aproximado:

\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 3=6 \]

El error estándar es \(EE=3\) y el margen de error aproximado es \(ME=6\).

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}} \]

Como \(\sqrt{25}=5\), entonces:

\[ EE=\frac{10}{5}=2 \]

Calculamos el margen de error aproximado:

\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 2=4 \]

Construimos el intervalo:

\[ 64\pm 4 \]

\[ [60,\ 68] \]

El intervalo de confianza aproximado es \([60,\ 68]\).

El intervalo va desde \(6{,}6\) hasta \(7{,}4\) horas.

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(6{,}6\) y \(7{,}4\) horas son razonables para la media poblacional de horas de sueño”.

No se debe afirmar que la media real sea exactamente el centro del intervalo.

El intervalo entrega un rango razonable para \(\mu\), no un valor exacto obligatorio.

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{12}{\sqrt{36}} \]

Como \(\sqrt{36}=6\):

\[ EE=\frac{12}{6}=2 \]

Calculamos el margen de error aproximado:

\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 2=4 \]

Construimos el intervalo:

\[ 28\pm 4 \]

\[ [24,\ 32] \]

\(EE=2\), \(ME=4\), intervalo \([24,\ 32]\).

Para el estudio A:

\[ EE_A=\frac{16}{\sqrt{16}}=\frac{16}{4}=4 \]

\[ ME_A\approx 2\cdot 4=8 \]

\[ 80\pm 8=[72,\ 88] \]

Para el estudio B:

\[ EE_B=\frac{16}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2 \]

\[ ME_B\approx 2\cdot 2=4 \]

\[ 80\pm 4=[76,\ 84] \]

El intervalo B es más estrecho.

Esto ocurre porque el tamaño muestral es mayor, lo que disminuye el error estándar y el margen de error.

A: \([72,\ 88]\). B: \([76,\ 84]\). El intervalo B es más estrecho.

El centro del intervalo es:

\[ \frac{48+56}{2}=52 \]

Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(52\).

El intervalo indica un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.

Una interpretación más adecuada sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(48\) y \(56\) son razonables para la media poblacional”.

El error es interpretar el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de \(\mu\).

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{100}} \]

Como \(\sqrt{100}=10\):

\[ EE=\frac{15}{10}=1{,}5 \]

Calculamos el margen de error aproximado:

\[ ME\approx 2\cdot EE=2\cdot 1{,}5=3 \]

Construimos el intervalo:

\[ 502\pm 3 \]

\[ [499,\ 505] \]

Una interpretación cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(499\) g y \(505\) g son razonables para la masa promedio real de los envases”.

No se debe afirmar que la media real sea exactamente \(502\) g porque ese valor es una estimación puntual obtenida desde una muestra.

El intervalo expresa la incertidumbre alrededor de esa estimación.

\(EE=1{,}5\), \(ME=3\), intervalo aproximado \([499,\ 505]\).

El intervalo va desde \(5{,}4\) hasta \(6{,}8\) horas.

Una interpretación correcta sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(5{,}4\) y \(6{,}8\) horas son razonables para la media poblacional de horas de estudio semanal”.

No se debe afirmar que todos los estudiantes estudian entre \(5{,}4\) y \(6{,}8\) horas.

El intervalo se refiere a la media poblacional \(\mu\), no a cada estudiante individual.

Convertimos cada extremo a porcentaje:

\[ 0{,}18=18\% \]

\[ 0{,}30=30\% \]

Entonces, el intervalo es:

\[ [18\%,\ 30\%] \]

Una interpretación correcta sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(18\%\) y \(30\%\) son razonables para la proporción poblacional de estudiantes que usan bicicleta para llegar al colegio”.

El intervalo corresponde a \([18\%,\ 30\%]\) y se refiere a la proporción poblacional \(p\).

El error está en interpretar el intervalo como si describiera a todos los individuos de la población.

El intervalo \([15{,}8,\ 16{,}6]\) se refiere a la media poblacional de edad, no a la edad de cada persona.

Puede haber personas con edades menores o mayores que esos valores.

Una interpretación correcta sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(15{,}8\) y \(16{,}6\) años son razonables para la media poblacional de edad”.

El intervalo habla de la media \(\mu\), no de todos los datos individuales.

Calculamos el centro del intervalo:

\[ \frac{38+46}{2}=\frac{84}{2}=42 \]

Entonces, sí, \(42\) es el centro del intervalo.

Sin embargo, eso no significa que la media real sea exactamente \(42\).

El intervalo entrega un rango de valores razonables para la media poblacional, no un valor exacto obligatorio.

El centro es \(42\), pero no necesariamente es el valor exacto de \(\mu\).

La interpretación más adecuada es la segunda.

La primera no interpreta el intervalo como estimación de un parámetro poblacional, sino como si describiera solo la muestra.

La tercera trata el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de la proporción poblacional.

La segunda reconoce que el intervalo entrega valores razonables para la proporción poblacional.

La opción 2 es la interpretación correcta.

La conclusión original tiene dos problemas.

Primero, afirma que la media poblacional es exactamente \(50\), solo porque \(50\) es el centro del intervalo.

Segundo, afirma que todos los puntajes están entre \(47\) y \(53\), pero el intervalo se refiere a la media poblacional, no a los puntajes individuales.

Una conclusión correcta sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(47\) y \(53\) son razonables para la media poblacional de puntajes”.

El intervalo debe interpretarse como un rango razonable para \(\mu\), no como descripción de todos los datos.

El parámetro al que se refiere el intervalo es la media poblacional de minutos diarios de actividad física de los habitantes de la comuna:

\[ \mu \]

Una interpretación correcta sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(36\) y \(48\) minutos son razonables para la media poblacional de minutos diarios de actividad física”.

No se puede concluir que todos los habitantes realizan entre \(36\) y \(48\) minutos diarios, porque el intervalo se refiere a la media poblacional, no a cada dato individual.

El centro del intervalo es:

\[ \frac{36+48}{2}=42 \]

Pero eso no significa que la media poblacional sea exactamente \(42\) minutos. El intervalo entrega un rango razonable, no un valor exacto obligatorio.

El intervalo se refiere a \(\mu\), se interpreta como rango razonable y no como certeza absoluta.

La primera afirmación describe un resultado obtenido en una muestra.

La segunda afirmación habla de la media real de toda la población de estudiantes del colegio.

Como se refiere a un parámetro poblacional, corresponde a una hipótesis estadística.

La afirmación 2 corresponde a una hipótesis estadística.

La afirmación se refiere a una media, porque habla de la masa promedio real.

El parámetro involucrado es la media poblacional:

\[ \mu \]

Para evaluarla, se podría seleccionar una muestra de paquetes y calcular la media muestral:

\[ \bar{x} \]

La hipótesis se refiere a \(\mu\), y se puede evaluar usando \(\bar{x}\).

La afirmación se refiere a una proporción, porque habla del porcentaje de estudiantes que usa una plataforma digital.

El parámetro poblacional involucrado es:

\[ p=\text{proporción real de estudiantes del colegio que usa una plataforma digital para estudiar} \]

Para evaluar la afirmación, se puede tomar una muestra aleatoria y calcular la proporción muestral:

\[ \hat{p} \]

La hipótesis se refiere a \(p\), y puede evaluarse usando \(\hat{p}\).

La afirmación 1 es un resultado muestral, porque describe lo observado en la muestra.

La afirmación 2 es una hipótesis estadística, porque habla de una proporción real de la población.

La afirmación 3 también es un resultado muestral, porque calcula un estadístico desde la muestra.

Resultados muestrales: 1 y 3. Hipótesis estadística: 2.

Para transformar la afirmación en una hipótesis estadística, se debe indicar una población, una variable y un parámetro.

Una posible redacción sería:

“La media real de horas de sueño de los estudiantes del colegio es menor que \(7\) horas diarias”.

Esta afirmación es más precisa porque se refiere a una media poblacional \(\mu\) y establece un valor de comparación.

Una hipótesis posible es: “\(\mu\) es menor que \(7\) horas diarias”.

La conclusión es apresurada porque una media muestral puede diferir del valor poblacional por variabilidad muestral.

El hecho de que \(\bar{x}=497\) no coincida exactamente con \(500\) no demuestra automáticamente que la media poblacional sea distinta de \(500\).

Para evaluar la hipótesis, se necesita analizar si la diferencia observada es pequeña o suficientemente importante considerando la variabilidad de los datos y el tamaño muestral.

No basta comparar \(497\) con \(500\); se debe considerar la incertidumbre muestral.

La hipótesis estadística es:

“La proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables es mayor que \(60\%\)”.

El parámetro involucrado es:

\[ p=\text{proporción real de hogares de la comuna que separan residuos reciclables} \]

Calculamos la proporción muestral:

\[ \hat{p}=\frac{132}{200}=0{,}66 \]

Como porcentaje:

\[ 0{,}66=66\% \]

La muestra entrega evidencia a favor de la afirmación, porque el \(66\%\) observado está por sobre el \(60\%\).

Sin embargo, no entrega certeza absoluta, porque otra muestra podría producir una proporción distinta. Para decidir formalmente se necesitarán criterios inferenciales que se estudiarán en las siguientes páginas.

La hipótesis se refiere a \(p\); la muestra entrega \(\hat{p}=0{,}66\), que es evidencia, no certeza absoluta.

El parámetro involucrado es la media poblacional de duración de las ampolletas:

\[ \mu \]

La hipótesis nula plantea el valor de referencia:

\[ H_0:\mu=800 \]

Como se quiere evaluar si la duración real es distinta de \(800\), la hipótesis alternativa es:

\[ H_1:\mu\ne 800 \]

\(H_0:\mu=800\) y \(H_1:\mu\ne 800\).

El parámetro involucrado es la proporción real de estudiantes del colegio que usa una plataforma digital para estudiar:

\[ p \]

Como valor de referencia se usa \(70\%=0{,}70\):

\[ H_0:p=0{,}70 \]

La afirmación “más del \(70\%\)” se representa con el signo \(>\):

\[ H_1:p>0{,}70 \]

\(H_0:p=0{,}70\) y \(H_1:p>0{,}70\).

El parámetro es:

\[ \mu=\text{tiempo promedio real para completar la actividad} \]

Como el valor de referencia es \(12\) minutos, la hipótesis nula puede escribirse como:

\[ H_0:\mu=12 \]

La afirmación que se quiere evaluar es que el promedio sea menor que \(12\), por lo tanto:

\[ H_1:\mu<12 \]

\(H_0:\mu=12\) y \(H_1:\mu<12\).

Analizamos cada afirmación:

1. “Mayor que \(50\)” se representa con \(>\).
2. “Menor que \(0{,}30\)” se representa con \(<\).
3. “Distinta de \(100\)” se representa con \(\ne\).
4. “Mayor que \(0{,}65\)” se representa con \(>\).

Los signos son: \(>\), \(<\), \(\ne\), \(>\).

La formulación es incorrecta porque usa \(\bar{x}\), que es una media muestral.

Las hipótesis estadísticas deben formularse sobre parámetros poblacionales, no sobre estadísticos muestrales.

Si se quiere evaluar la afirmación de que la media poblacional es \(500\) g, debe usarse \(\mu\):

\[ H_0:\mu=500 \]

Si se quiere evaluar si es distinta, la alternativa sería:

\[ H_1:\mu\ne 500 \]

La hipótesis debe usar \(\mu\), no \(\bar{x}\).

El parámetro es:

\[ p=\text{proporción real de hogares con acceso a internet fijo} \]

El valor de referencia es \(80\%=0{,}80\):

\[ H_0:p=0{,}80 \]

Como el equipo quiere evaluar si la proporción es menor que \(80\%\), la hipótesis alternativa es:

\[ H_1:p<0{,}80 \]

\(H_0:p=0{,}80\) y \(H_1:p<0{,}80\).

El parámetro poblacional es:

\[ \mu=\text{tiempo promedio real de espera de todos los clientes} \]

La hipótesis nula usa el valor declarado por la empresa:

\[ H_0:\mu=10 \]

Como el grupo sospecha que el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos, la alternativa es:

\[ H_1:\mu>10 \]

El valor \(11{,}2\) no debe aparecer en las hipótesis porque es un resultado muestral, no un parámetro poblacional.

La media muestral \(11{,}2\) cumple el papel de evidencia para evaluar si hay razones suficientes para cuestionar \(H_0\) y apoyar \(H_1\).

\(H_0:\mu=10\), \(H_1:\mu>10\), y \(\bar{x}=11{,}2\) se usa como evidencia muestral.

El valor \(\alpha=0{,}05\) corresponde a un nivel de significancia del \(5\%\).

Significa que se usará un criterio del \(5\%\) para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra la hipótesis nula.

No significa que \(H_0\) tenga \(5\%\) de probabilidad de ser verdadera o falsa.

\(\alpha=0{,}05\) es un criterio del \(5\%\) para evaluar evidencia contra \(H_0\).

El nivel \(\alpha=0{,}01\) corresponde a un criterio más exigente, porque exige evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).

El nivel \(\alpha=0{,}10\) es menos exigente, porque permite rechazar \(H_0\) con evidencia menos fuerte.

Más exigente: \(\alpha=0{,}01\). Menos exigente: \(\alpha=0{,}10\).

Un nivel de significancia del \(1\%\) corresponde a:

\[ \alpha=0{,}01 \]

Este criterio es más exigente que \(\alpha=0{,}05\), porque \(0{,}01\) es menor que \(0{,}05\).

Al usar \(\alpha=0{,}01\), se necesita evidencia más fuerte para rechazar \(H_0\).

\(\alpha=0{,}01\), y es más exigente que \(\alpha=0{,}05\).

La interpretación es incorrecta porque \(\alpha\) no indica la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera.

El nivel de significancia es un criterio para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra \(H_0\).

Por lo tanto, \(\alpha=0{,}05\) se interpreta como un criterio del \(5\%\), no como una probabilidad de verdad de la hipótesis.

\(\alpha\) no mide la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

Como se rechazó \(H_0\), la muestra entrega evidencia suficiente contra la hipótesis nula bajo el criterio elegido.

Una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional es mayor que \(50\)”.

No se debe decir que se demostró con certeza absoluta que \(\mu>50\).

La conclusión debe hablar de evidencia suficiente, no de demostración absoluta.

No rechazar \(H_0\) significa que la muestra no entregó evidencia suficientemente fuerte contra la hipótesis nula, usando el nivel de significancia del \(5\%\).

No significa que se haya demostrado que \(p=0{,}60\).

Una redacción cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), no hay evidencia suficiente para rechazar que la proporción poblacional sea \(0{,}60\)”.

No rechazar \(H_0\) no significa demostrar que \(H_0\) sea verdadera.

El parámetro involucrado es la media poblacional de tiempo de espera:

\[ \mu \]

La hipótesis nula es:

\[ H_0:\mu=10 \]

Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\), la hipótesis alternativa es:

\[ H_1:\mu>10 \]

Un nivel de significancia de \(5\%\) corresponde a:

\[ \alpha=0{,}05 \]

Usar este nivel significa que se aplicará un criterio del \(5\%\) para decidir si la evidencia muestral es suficientemente fuerte contra \(H_0\).

Si se rechaza \(H_0\), una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.

\(H_0:\mu=10\), \(H_1:\mu>10\), \(\alpha=0{,}05\).

La hipótesis nula usa el valor declarado:

\[ H_0:\mu=12 \]

Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es distinto de \(12\), la hipótesis alternativa es:

\[ H_1:\mu\ne 12 \]

Los datos son:

\[ \mu_0=12,\qquad \bar{x}=13{,}1,\qquad s=4,\qquad n=64 \]

\(H_0:\mu=12\), \(H_1:\mu\ne 12\).

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}} \]

Como \(\sqrt{25}=5\):

\[ EE=\frac{15}{5}=3 \]

Ahora calculamos la distancia estandarizada:

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE}=\frac{82-80}{3} \]

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67 \]

\(EE=3\) y \(Z_{\text{obs}}\approx 0{,}67\).

Las hipótesis son:

\[ H_0:\mu=200 \]

\[ H_1:\mu\ne 200 \]

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2 \]

Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{196-200}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \]

Como la alternativa es distinta, usamos el valor absoluto:

\[ |Z_{\text{obs}}|=|-2|=2 \]

Como \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\), se rechaza \(H_0\).

Conclusión cuidadosa:

“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar que la masa promedio real sea \(200\) g”.

Se rechaza \(H_0\), porque \(|Z_{\text{obs}}|=2\).

Las hipótesis son:

\[ H_0:\mu=20 \]

\[ H_1:\mu>20 \]

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{10{,}5}{\sqrt{49}}=\frac{10{,}5}{7}=1{,}5 \]

Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{23-20}{1{,}5}=\frac{3}{1{,}5}=2 \]

Como \(Z_{\text{obs}}\ge 2\), se rechaza \(H_0\).

Conclusión cuidadosa:

“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real para completar la actividad es mayor que \(20\) minutos”.

Se rechaza \(H_0\), porque \(Z_{\text{obs}}=2\).

Las hipótesis son:

\[ H_0:\mu=7 \]

\[ H_1:\mu<7 \]

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{1{,}6}{\sqrt{64}}=\frac{1{,}6}{8}=0{,}2 \]

Calculamos \(Z_{\text{obs}}\):

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{6{,}6-7}{0{,}2}=\frac{-0{,}4}{0{,}2}=-2 \]

Como \(Z_{\text{obs}}\le -2\), se rechaza \(H_0\).

Conclusión cuidadosa:

“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media real de horas de sueño es menor que \(7\) horas”.

Se rechaza \(H_0\), porque \(Z_{\text{obs}}=-2\).

Como \(H_1:\mu\ne 40\), se usaría el criterio \(|Z_{\text{obs}}|\ge 2\).

En este caso:

\[ |Z_{\text{obs}}|=|1{,}2|=1{,}2 \]

Como \(1{,}2<2\), no se rechaza \(H_0\).

Pero eso no significa demostrar que \(\mu=40\).

Solo significa que, con la muestra disponible y el criterio utilizado, no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\).

No rechazar \(H_0\) no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.

Como se quiere evaluar si el tiempo promedio real es mayor que \(10\) minutos, las hipótesis son:

\[ H_0:\mu=10 \]

\[ H_1:\mu>10 \]

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4{,}5}{\sqrt{81}} \]

Como \(\sqrt{81}=9\):

\[ EE=\frac{4{,}5}{9}=0{,}5 \]

Calculamos la distancia estandarizada:

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{11-10}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}=2 \]

Como la alternativa es \(\mu>10\), se rechaza \(H_0\) si \(Z_{\text{obs}}\ge 2\).

Como \(Z_{\text{obs}}=2\), se rechaza \(H_0\).

Conclusión cuidadosa:

“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.

Esta conclusión no es una certeza absoluta porque se basa en una muestra y en un criterio de decisión estadístico.

Se rechaza \(H_0\). La muestra apoya que \(\mu>10\), pero no lo demuestra con certeza absoluta.

Comparamos el valor p con \(\alpha\):

\[ 0{,}04\le 0{,}05 \]

Como el valor p es menor que el nivel de significancia, se rechaza \(H_0\).

Esto significa que la muestra entrega evidencia suficiente contra \(H_0\), usando el criterio del \(5\%\).

Se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}04\le 0{,}05\).

Comparamos:

\[ 0{,}12>0{,}05 \]

Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).

Esto significa que la muestra no entrega evidencia suficientemente fuerte contra \(H_0\), usando el nivel de significancia del \(5\%\).

No significa que \(H_0\) haya sido demostrada como verdadera.

No se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}12>0{,}05\).

Con \(\alpha=0{,}05\):

\[ 0{,}03\le 0{,}05 \]

Por lo tanto, se rechaza \(H_0\).

Con \(\alpha=0{,}01\):

\[ 0{,}03>0{,}01 \]

Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\).

La decisión cambia porque \(\alpha=0{,}01\) es un criterio más exigente que \(\alpha=0{,}05\).

Con \(5\%\) se rechaza \(H_0\); con \(1\%\) no se rechaza \(H_0\).

La interpretación es incorrecta porque el valor p no es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

El valor p se interpreta suponiendo que \(H_0\) es cierta.

Indica qué tan raro sería obtener un resultado como el observado, o más extremo, bajo esa suposición.

Por eso, \(p\text{-valor}=0{,}02\) indica evidencia fuerte contra \(H_0\) si se usa, por ejemplo, \(\alpha=0{,}05\), pero no significa que \(H_0\) tenga \(2\%\) de probabilidad de ser verdadera.

El valor p no mide la probabilidad de verdad de \(H_0\).

Comparamos:

\[ 0{,}018\le 0{,}05 \]

Como el valor p es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).

Una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que la media poblacional es mayor que \(20\)”.

No se debe afirmar que se demostró con certeza absoluta que \(\mu>20\).

Se rechaza \(H_0\); la conclusión debe hablar de evidencia suficiente.

Comparamos:

\[ 0{,}27>0{,}05 \]

Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).

Una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la proporción poblacional sea \(0{,}60\)”.

No se debe decir que se demostró que \(p=0{,}60\).

No se rechaza \(H_0\); eso no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.

Las hipótesis son:

\[ H_0:\mu=10 \]

\[ H_1:\mu>10 \]

Con \(\alpha=0{,}05\):

\[ 0{,}041\le 0{,}05 \]

Por lo tanto, se rechaza \(H_0\).

Con \(\alpha=0{,}01\):

\[ 0{,}041>0{,}01 \]

Por lo tanto, no se rechaza \(H_0\).

Este caso muestra que un nivel de significancia menor es más exigente. La misma evidencia puede ser suficiente para un criterio del \(5\%\), pero no para uno del \(1\%\).

Conclusión cuidadosa para \(\alpha=0{,}05\):

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.

Con \(5\%\) se rechaza \(H_0\); con \(1\%\) no se rechaza.

La conclusión más adecuada es la segunda.

La primera es incorrecta porque interpreta el intervalo como si describiera a todos los estudiantes individualmente.

La tercera es incorrecta porque trata el centro del intervalo como si fuera necesariamente el valor exacto de la media poblacional.

La segunda conclusión reconoce que el intervalo entrega valores razonables para la media poblacional.

La conclusión correcta es la opción 2.

Convertimos los extremos a porcentaje:

\[ 0{,}58=58\% \]

\[ 0{,}70=70\% \]

Entonces, el intervalo es:

\[ [58\%,\ 70\%] \]

Una conclusión cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(58\%\) y \(70\%\) son razonables para la proporción poblacional de hogares de la comuna que separan residuos reciclables”.

El intervalo corresponde a \([58\%,\ 70\%]\) y se interpreta como rango razonable para \(p\).

Comparamos el valor p con \(\alpha\):

\[ 0{,}042\le 0{,}05 \]

Como el valor p es menor que el nivel de significancia, se rechaza \(H_0\).

Esto significa que la muestra entrega evidencia suficiente contra \(H_0\), usando el criterio del \(5\%\).

Se rechaza \(H_0\), porque \(0{,}042\le 0{,}05\).

Primero comparamos:

\[ 0{,}018\le 0{,}05 \]

Como el valor p es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).

Una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el tiempo promedio real de espera es mayor que \(10\) minutos”.

No se debe afirmar que esto quedó demostrado con certeza absoluta.

Se rechaza \(H_0\); hay evidencia suficiente para apoyar que \(\mu>10\).

Comparamos:

\[ 0{,}22>0{,}05 \]

Como el valor p es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\).

Una conclusión cuidadosa sería:

“Con un nivel de significancia del \(5\%\), la muestra no entrega evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(60\) puntos”.

No se debe decir que se demostró que \(\mu=60\).

No se rechaza \(H_0\); no hay evidencia suficiente contra la afirmación inicial.

El error está en interpretar “no rechazar \(H_0\)” como si fuera una demostración de que \(H_0\) es verdadera.

En una prueba de hipótesis, no rechazar \(H_0\) significa que la muestra no entregó evidencia suficiente contra esa hipótesis.

Una conclusión correcta sería:

“Con la muestra disponible y el criterio utilizado, no hay evidencia suficiente para rechazar que la media poblacional sea \(50\)”.

No rechazar \(H_0\) no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.

El valor \(500\) sí está dentro del intervalo:

\[ 496\le 500\le 504 \]

Como \(500\) está dentro del rango de valores razonables para la media poblacional, no sería prudente rechazar inmediatamente la afirmación de la empresa solo con este intervalo.

Una conclusión cuidadosa sería:

“Según la muestra y el método utilizado, valores entre \(496\) g y \(504\) g son razonables para la media poblacional. Como \(500\) g pertenece a ese intervalo, la muestra no parece entregar evidencia fuerte contra la afirmación de la empresa”.

El valor \(500\) está dentro del intervalo, por lo que no hay evidencia clara contra esa afirmación.

Calculamos el error estándar:

\[ EE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{64}} \]

Como \(\sqrt{64}=8\), entonces:

\[ EE=\frac{12}{8}=1{,}5 \]

Calculamos la distancia estandarizada:

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{EE} \]

\[ Z_{\text{obs}}=\frac{42-45}{1{,}5}=\frac{-3}{1{,}5}=-2 \]

Como la alternativa es \(H_1:\mu<45\), usamos el criterio:

\[ Z_{\text{obs}}\le -2 \]

Como \(Z_{\text{obs}}=-2\), se rechaza \(H_0\).

Conclusión cuidadosa:

“Con este criterio aproximado, la muestra entrega evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y apoyar que el promedio real de minutos diarios de actividad física es menor que \(45\) minutos”.

La conclusión no es una certeza absoluta porque se basa en una muestra y en un criterio estadístico de decisión.

\(EE=1{,}5\), \(Z_{\text{obs}}=-2\). Se rechaza \(H_0\).