libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | libro de medición geométrica: longitud, superficie, volumen y capacidad |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:35 |
1. 1
Objetivo
- Comprender que medir significa comparar una figura, superficie o espacio con una unidad, reconociendo que una medida puede describir una, dos o tres dimensiones y que por eso se usan unidades lineales, cuadradas o cúbicas.
Medir no es solo poner un número
En geometría, medir significa responder una pregunta muy simple:
¿Cuántas unidades caben aquí?
La respuesta depende de lo que estemos midiendo.
Si medimos una línea o una distancia, contamos unidades lineales.
Si medimos una región o una cara, contamos unidades cuadradas.
Si medimos un espacio ocupado, contamos unidades cúbicas.
Dimensión y unidad
Una longitud mide en una dirección:
\[ \text{longitud} \rightarrow 1D \rightarrow cm,\ m,\ km \]
Una superficie mide en dos direcciones:
\[ \text{superficie} \rightarrow 2D \rightarrow cm^2,\ m^2,\ km^2 \]
Un volumen mide en tres direcciones:
\[ \text{volumen} \rightarrow 3D \rightarrow cm^3,\ m^3,\ km^3 \]
El exponente de la unidad no está de adorno: indica la dimensión de lo que se está midiendo.
Representación visual
Ejemplo
Observa estas tres medidas:
| Medida | Qué significa | Tipo de unidad |
|---|---|---|
| \(8\text{ cm}\) | Caben 8 centímetros lineales en una longitud. | Unidad lineal |
| \(12\text{ cm}^2\) | Caben 12 cuadrados de \(1\text{ cm}^2\) cubriendo una superficie. | Unidad cuadrada |
| \(24\text{ cm}^3\) | Caben 24 cubos de \(1\text{ cm}^3\) llenando un espacio. | Unidad cúbica |
Por ejemplo, si medimos una sala:
\[ 6\text{ m} \]
puede representar el largo de la sala, es decir, una medida en una dimensión.
\[ 24\text{ m}^2 \]
puede representar la superficie del piso, es decir, una medida en dos dimensiones.
\[ 72\text{ m}^3 \]
puede representar el espacio que ocupa el aire dentro de la sala, es decir, una medida en tres dimensiones.
La unidad cambia porque la pregunta cambia.
¿Por qué importa esto en Geometría 3D?
En Geometría 3D trabajaremos con cuerpos, caras, bases, alturas, superficies, volúmenes, vistas y representaciones en el espacio.
Por eso, antes de usar fórmulas, necesitamos comprender qué estamos contando.
Una fórmula de área cuenta cuadrados unitarios de forma rápida.
Una fórmula de volumen cuenta cubos unitarios de forma rápida.
Las fórmulas vendrán después, pero primero necesitamos entender el significado de las unidades.
Una idea para las conversiones
Cuando cambiamos de unidad, el cambio depende de la dimensión.
Si una longitud cambia por un factor, el área cambia por ese factor al cuadrado y el volumen cambia por ese factor al cubo.
\[ \text{longitud} \rightarrow \text{factor} \]
\[ \text{superficie} \rightarrow \text{factor}^2 \]
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{factor}^3 \]
Por eso, convertir metros, metros cuadrados y metros cúbicos no se hace de la misma forma.
Error común
Un error frecuente es pensar que si:
\[ 1\text{ m}=100\text{ cm} \]
entonces:
\[ 1\text{ m}^2=100\text{ cm}^2 \]
Pero eso no es correcto.
Un metro cuadrado tiene dos dimensiones:
\[ 1\text{ m}^2=100\text{ cm}\times 100\text{ cm}=10\,000\text{ cm}^2 \]
Esta idea la trabajaremos con más detalle en las próximas páginas.
Actividad
Clasifica cada situación según corresponda: 1D, 2D o 3D. Luego escribe qué tipo de unidad corresponde: lineal, cuadrada o cúbica.
- Medir el largo de una mesa.
- Medir la superficie de una pared.
- Medir el espacio que ocupa una caja.
- Medir el borde de una ventana.
- Medir cuánta pintura se necesita para cubrir una cara.
- Medir cuántos cubos pequeños llenan un bloque.
- Medir la altura de una puerta.
- Medir el espacio interior de una piscina.
- 1D, unidad lineal. El largo de una mesa es una distancia, por lo tanto se mide en una sola dirección.
- 2D, unidad cuadrada. La superficie de una pared es una región que se cubre, por lo tanto se mide con unidades cuadradas, como \(\text{m}^2\).
- 3D, unidad cúbica. Una caja ocupa espacio en tres dimensiones, por lo tanto se mide con unidades cúbicas, como \(\text{cm}^3\) o \(\text{m}^3\).
- 1D, unidad lineal. El borde de una ventana corresponde a una línea o recorrido, por lo tanto se mide con unidades lineales.
- 2D, unidad cuadrada. La pintura cubre una cara o región, por lo tanto se relaciona con el área.
- 3D, unidad cúbica. Si se cuentan cubos pequeños que llenan un bloque, se está midiendo el espacio ocupado.
- 1D, unidad lineal. La altura de una puerta es una longitud, porque mide una distancia en una dirección.
- 3D, unidad cúbica. El espacio interior de una piscina corresponde a un volumen, porque mide espacio en tres dimensiones.
En resumen:
\[ 1D \rightarrow \text{unidad lineal} \]
\[ 2D \rightarrow \text{unidad cuadrada} \]
\[ 3D \rightarrow \text{unidad cúbica} \]
Idea clave
Medir es contar unidades, pero la dimensión indica qué tipo de unidad usamos.
\[ \text{longitud} \rightarrow 1D \rightarrow \text{unidades lineales} \]
\[ \text{superficie} \rightarrow 2D \rightarrow \text{unidades cuadradas} \]
\[ \text{volumen} \rightarrow 3D \rightarrow \text{unidades cúbicas} \]
En Geometría 3D, esta diferencia será fundamental para comprender superficies, volúmenes, escalas y representaciones del espacio.
2. 2
Objetivo
- Comprender las unidades lineales como unidades para medir una dimensión, y aplicar conversiones entre milímetros, centímetros, metros y kilómetros usando la escalera de conversión con sentido geométrico.
Unidades lineales
Una unidad lineal sirve para medir una sola dimensión.
Por ejemplo, cuando medimos:
- el largo de una mesa,
- la altura de una puerta,
- el ancho de una sala,
- el radio de una circunferencia,
- la distancia entre dos puntos,
- el borde de una figura.
En todos esos casos estamos respondiendo:
¿Cuántas unidades lineales caben en esta longitud?
Unidades lineales más usadas
Algunas unidades lineales frecuentes son:
\[ km,\quad hm,\quad dam,\quad m,\quad dm,\quad cm,\quad mm \]
Sus relaciones principales son:
\[ 1cm = 10mm \]
\[ 1dm = 10cm \]
\[ 1m = 10dm = 100cm = 1000mm \]
\[ 1km = 1000m \]
Estas equivalencias permiten expresar una misma longitud usando unidades distintas.
Una misma longitud, distintas unidades
Convertir unidades lineales
Convertir una longitud significa expresar la misma medida usando otra unidad.
La longitud no cambia. Lo que cambia es la unidad usada para describirla.
Por ejemplo:
\[ 2m = 200cm \]
La longitud es la misma, pero está expresada con una unidad más pequeña. Por eso el número aumenta.
La escalera de unidades lineales
Una forma práctica de convertir unidades lineales es usar una escalera. En esta representación, las unidades más grandes están arriba y las unidades más pequeñas están abajo.
En esta escalera, cada escalón representa un factor \(10\).
Si se baja un escalón hacia una unidad más pequeña, se multiplica por \(10\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(100\).
Si se bajan tres escalones, se multiplica por \(1000\).
En cambio, si se sube hacia una unidad más grande, se divide por \(10\) en cada escalón.
Técnica de conversión lineal
En las unidades lineales trabajamos en una dimensión. Por eso usamos el factor de conversión una sola vez.
\[ \text{longitud} \rightarrow \text{factor}^1 \]
| Movimiento en la escalera | Factor | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(10\) | Multiplicar por \(10\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(100\) | Multiplicar por \(100\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1000\) | Multiplicar por \(1000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(10\) | Dividir por \(10\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(100\) | Dividir por \(100\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1000\) | Dividir por \(1000\) |
Por ejemplo, de metros a centímetros se bajan dos escalones hacia unidades más pequeñas:
\[ m \rightarrow dm \rightarrow cm \]
Por eso se multiplica por \(100\):
\[ 3m = 3\cdot 100cm = 300cm \]
De centímetros a metros se suben dos escalones hacia una unidad más grande:
\[ cm \rightarrow dm \rightarrow m \]
Por eso se divide por \(100\):
\[ 450cm = 450\div 100 = 4{,}5m \]
Ejemplos
Ejemplo 1: Convertir \(7m\) a centímetros.
En la escalera:
\[ m \rightarrow dm \rightarrow cm \]
Son dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces multiplicamos por \(100\):
\[ 7m = 7 \cdot 100cm = 700cm \]
Ejemplo 2: Convertir \(320cm\) a metros.
En la escalera:
\[ cm \rightarrow dm \rightarrow m \]
Son dos escalones hacia una unidad más grande, entonces dividimos por \(100\):
\[ 320cm = 320 \div 100 = 3{,}2m \]
Ejemplo 3: Convertir \(2{,}5km\) a metros.
En la escalera:
\[ km \rightarrow hm \rightarrow dam \rightarrow m \]
Son tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces multiplicamos por \(1000\):
\[ 2{,}5km = 2{,}5 \cdot 1000m = 2500m \]
Ejemplo 4: Convertir \(48mm\) a centímetros.
En la escalera:
\[ mm \rightarrow cm \]
Es un escalón hacia una unidad más grande, entonces dividimos por \(10\):
\[ 48mm = 48 \div 10 = 4{,}8cm \]
Una idea importante
Cuando convertimos unidades lineales, siempre seguimos midiendo una sola dimensión.
Por eso:
\[ 1m = 100cm \]
Pero esta regla no se puede copiar directamente para áreas o volúmenes.
Más adelante veremos que:
\[ 1m^2 \neq 100cm^2 \]
y que:
\[ 1m^3 \neq 100cm^3 \]
La razón es que el área mide dos dimensiones y el volumen mide tres dimensiones.
Actividad
Convierte las siguientes medidas lineales. Puedes ayudarte con la escalera de unidades.
- \(5m = \_\_\_\_ cm\)
- \(12cm = \_\_\_\_ mm\)
- \(3{,}4m = \_\_\_\_ cm\)
- \(750cm = \_\_\_\_ m\)
- \(6km = \_\_\_\_ m\)
- \(2800m = \_\_\_\_ km\)
- \(95mm = \_\_\_\_ cm\)
- \(1{,}25km = \_\_\_\_ m\)
- \(4{,}6dm = \_\_\_\_ mm\)
- \(37dam = \_\_\_\_ m\)
Luego responde:
¿Por qué al pasar de metros a centímetros el número aumenta?
¿Por qué al pasar de centímetros a metros el número disminuye?
- De \(m\) a \(cm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña: \(m \rightarrow dm \rightarrow cm\). Entonces se multiplica por \(100\): \[ 5m = 5 \cdot 100cm = 500cm \]
- De \(cm\) a \(mm\) se baja un escalón hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\): \[ 12cm = 12 \cdot 10mm = 120mm \]
- De \(m\) a \(cm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 3{,}4m = 3{,}4 \cdot 100cm = 340cm \]
- De \(cm\) a \(m\) se suben dos escalones hacia una unidad más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 750cm = 750 \div 100 = 7{,}5m \]
- De \(km\) a \(m\) se bajan tres escalones hacia una unidad más pequeña: \(km \rightarrow hm \rightarrow dam \rightarrow m\). Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 6km = 6 \cdot 1000m = 6000m \]
- De \(m\) a \(km\) se suben tres escalones hacia una unidad más grande: \(m \rightarrow dam \rightarrow hm \rightarrow km\). Entonces se divide por \(1000\): \[ 2800m = 2800 \div 1000 = 2{,}8km \]
- De \(mm\) a \(cm\) se sube un escalón hacia una unidad más grande. Entonces se divide por \(10\): \[ 95mm = 95 \div 10 = 9{,}5cm \]
- De \(km\) a \(m\) se bajan tres escalones hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 1{,}25km = 1{,}25 \cdot 1000m = 1250m \]
- De \(dm\) a \(mm\) se bajan dos escalones hacia una unidad más pequeña: \(dm \rightarrow cm \rightarrow mm\). Entonces se multiplica por \(100\): \[ 4{,}6dm = 4{,}6 \cdot 100mm = 460mm \]
- De \(dam\) a \(m\) se baja un escalón hacia una unidad más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\): \[ 37dam = 37 \cdot 10m = 370m \]
Al pasar de metros a centímetros, el número aumenta porque el centímetro es una unidad más pequeña. Para cubrir la misma longitud se necesitan más centímetros que metros.
Al pasar de centímetros a metros, el número disminuye porque el metro es una unidad más grande. Para cubrir la misma longitud se necesitan menos metros que centímetros.
Idea clave
Una unidad lineal mide una sola dimensión.
\[ \text{longitud} \rightarrow km,\ hm,\ dam,\ m,\ dm,\ cm,\ mm \]
Convertir unidades lineales consiste en cambiar la unidad sin cambiar la longitud.
En la escalera, cada escalón representa un factor \(10\).
Si se baja hacia una unidad más pequeña, se necesitan más unidades y el número aumenta.
Si se sube hacia una unidad más grande, se necesitan menos unidades y el número disminuye.
3. 3
Objetivo
- Comprender que una superficie se mide contando unidades cuadradas, distinguir área de perímetro y reconocer que algunas fórmulas de área son formas rápidas de contar cuadrados unitarios.
¿Qué mide una unidad cuadrada?
Una unidad cuadrada sirve para medir una superficie.
Cuando medimos una superficie, no estamos midiendo solamente un borde ni una distancia.
Estamos respondiendo:
¿Cuántos cuadrados unitarios cubren esta región?
Por ejemplo, \(1cm^2\) representa un cuadrado de \(1cm\) de largo por \(1cm\) de ancho.
\[ 1cm^2 = 1cm \times 1cm \]
Unidades cuadradas más usadas
Algunas unidades cuadradas frecuentes son:
\[ mm^2,\quad cm^2,\quad m^2,\quad km^2 \]
Estas unidades se usan para medir regiones, caras, pisos, paredes, terrenos, bases o cualquier superficie.
El exponente \(2\) indica que la unidad mide en dos dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \]
Contar cuadrados unitarios
Área y perímetro no son lo mismo
Una confusión frecuente es mezclar perímetro y área.
El perímetro mide el borde de una figura.
Por eso usa unidades lineales:
\[ cm,\quad m,\quad km \]
El área mide la superficie que cubre una figura.
Por eso usa unidades cuadradas:
\[ cm^2,\quad m^2,\quad km^2 \]
Ejemplo
Un rectángulo mide \(6cm\) de largo y \(4cm\) de ancho.
Su área puede entenderse como una cuadrícula de \(6\) columnas y \(4\) filas. Cada cuadradito representa \(1cm^2\).
Entonces:
\[ A = 6 \cdot 4 = 24 \]
Por lo tanto:
\[ A = 24cm^2 \]
Esto significa que caben 24 cuadrados de \(1cm^2\) cubriendo la región.
La fórmula como conteo rápido
Para un rectángulo, usamos:
\[ A = largo \cdot ancho \]
Pero esta fórmula no es solo una regla para memorizar.
Es una forma rápida de contar cuadrados unitarios.
Si hay \(5\) cuadrados en cada fila y \(3\) filas, entonces:
\[ A = 5 \cdot 3 = 15 \]
\[ A = 15u^2 \]
La letra \(u^2\) significa unidades cuadradas. Puede representar \(cm^2\), \(m^2\) u otra unidad cuadrada.
Error común
Decir:
\[ A = 20cm \]
para una superficie es incorrecto, porque \(cm\) mide longitud.
Si estamos midiendo una superficie, la unidad debe ser cuadrada:
\[ A = 20cm^2 \]
La unidad debe coincidir con lo que se está midiendo.
Actividad
Responde cada pregunta identificando si se trata de perímetro o área.
- ¿Qué medida permite saber la longitud total del contorno de una cancha rectangular?
- ¿Cuántos cuadrados cubren el piso de una sala?
- ¿Cuánta cinta se necesita para rodear una cartulina?
- ¿Cuánta pintura se necesita para cubrir una pared?
- ¿Cuántas baldosas cuadradas cubren una terraza?
Luego calcula:
- Un rectángulo de \(8cm\) por \(3cm\). ¿Cuántos \(cm^2\) cubren su superficie?
- Una región formada por \(18\) cuadrados de \(1m^2\). ¿Cuál es su área?
- Un cuadrado de lado \(7cm\). ¿Cuántos cuadrados de \(1cm^2\) caben en él?
Primera parte: identificar perímetro o área.
- Perímetro. La longitud total del contorno de una cancha rectangular mide el borde de la figura.
- Área. Contar cuántos cuadrados cubren el piso corresponde a medir una superficie.
- Perímetro. La cinta rodea la cartulina, por lo tanto mide el borde.
- Área. La pintura cubre la pared, por lo tanto se relaciona con la superficie.
- Área. Las baldosas cuadradas cubren una terraza, por lo tanto se mide superficie.
Segunda parte: cálculos.
- El rectángulo mide \(8cm\) por \(3cm\). Su área es: \[ A = 8 \cdot 3 = 24 \] Por lo tanto, su superficie cubre \(24cm^2\).
- Si la región está formada por \(18\) cuadrados de \(1m^2\), entonces: \[ A = 18m^2 \] Su área es \(18m^2\).
- Un cuadrado de lado \(7cm\) tiene \(7\) columnas y \(7\) filas de cuadrados de \(1cm^2\). Entonces: \[ A = 7 \cdot 7 = 49 \] Caben \(49\) cuadrados de \(1cm^2\), por lo tanto el área es \(49cm^2\).
Idea clave
Una superficie se mide contando cuadrados unitarios.
\[ \text{superficie} \rightarrow \text{unidades cuadradas} \]
\[ 1cm^2 = 1cm \times 1cm \]
El área no mide bordes: mide la región que queda cubierta.
Las fórmulas de área son formas rápidas de contar cuadrados.
4. 4
Objetivo
- Comprender y aplicar conversiones entre unidades cuadradas, reconociendo que al medir superficies el factor de conversión lineal se aplica en dos dimensiones.
Convertir superficies no es convertir longitudes
En la página anterior vimos que una superficie se mide contando unidades cuadradas.
Por eso, cuando convertimos áreas, no basta con cambiar la unidad como si fuera una longitud.
La razón es que una superficie tiene dos dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \]
Entonces, si una unidad lineal cambia por un factor, la unidad cuadrada cambia por ese factor dos veces.
La idea clave
Sabemos que:
\[ 1m = 100cm \]
Pero un metro cuadrado no es una línea de \(100cm\). Es un cuadrado de \(1m\) por \(1m\).
Entonces:
\[ 1m^2 = 1m \times 1m \]
Como cada metro equivale a \(100cm\):
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
¿Por qué aparecen 10 000 cm²?
La escalera de unidades cuadradas
Para convertir unidades cuadradas también podemos usar una escalera, pero ahora cada escalón cambia por un factor \(100\), no por \(10\).
Esto ocurre porque cada unidad cuadrada mide dos dimensiones.
En esta escalera:
\[ km^2,\quad hm^2,\quad dam^2,\quad m^2,\quad dm^2,\quad cm^2,\quad mm^2 \]
Si se baja un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña, se multiplica por \(100\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(100^2 = 10\,000\).
Si se sube un escalón hacia una unidad cuadrada más grande, se divide por \(100\).
Técnica de conversión de áreas
Para convertir unidades cuadradas, se usa el factor lineal elevado al cuadrado.
\[ \text{superficie} \rightarrow \text{factor}^2 \]
| Movimiento en la escalera cuadrada | Factor de área | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(100\) | Multiplicar por \(100\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(10\,000\) | Multiplicar por \(10\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(100\) | Dividir por \(100\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(10\,000\) | Dividir por \(10\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\) |
Por ejemplo, como:
\[ 1m = 100cm \]
entonces:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
El factor \(100\) aparece dos veces porque el área mide dos dimensiones.
Ejemplo 1: pasar de m² a cm²
Convierte \(3m^2\) a \(cm^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ m^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow cm^2 \]
Son dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña, entonces multiplicamos por \(10\,000\):
\[ 3m^2 = 3 \cdot 10\,000cm^2 \]
\[ 3m^2 = 30\,000cm^2 \]
Esto significa que una superficie de \(3m^2\) puede cubrirse con \(30\,000\) cuadrados de \(1cm^2\).
Ejemplo 2: pasar de cm² a m²
Convierte \(45\,000cm^2\) a \(m^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ cm^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow m^2 \]
Son dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande, entonces dividimos por \(10\,000\):
\[ 45\,000cm^2 = (45\,000 \div 10\,000)m^2 \]
\[ 45\,000cm^2 = 4{,}5m^2 \]
Ejemplo 3: convertir entre cm² y mm²
Convierte \(8cm^2\) a \(mm^2\).
En la escalera cuadrada:
\[ cm^2 \rightarrow mm^2 \]
Es un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña, entonces multiplicamos por \(100\):
\[ 8cm^2 = 8 \cdot 100mm^2 \]
\[ 8cm^2 = 800mm^2 \]
Error común
Un error frecuente es convertir así:
\[ 1m^2 = 100cm^2 \]
Pero eso es incorrecto.
La equivalencia \(1m = 100cm\) sirve para longitudes, no directamente para superficies.
En superficies hay dos dimensiones:
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^2 = 10\,000cm^2 \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones de unidades cuadradas. Puedes ayudarte con la escalera de unidades cuadradas.
- \(2m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(5m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(0{,}5m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(20\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(75\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(4cm^2 = \_\_\_\_ mm^2\)
- \(350mm^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(1{,}2m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(6dm^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(38\,000m^2 = \_\_\_\_ dam^2\)
Luego responde:
¿Por qué al convertir de \(m^2\) a \(cm^2\) no multiplicamos por 100, sino por 10 000?
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña: \(m^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow cm^2\). Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 2m^2 = 2 \cdot 10\,000cm^2 = 20\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 5m^2 = 5 \cdot 10\,000cm^2 = 50\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 0{,}5m^2 = 0{,}5 \cdot 10\,000cm^2 = 5\,000cm^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande: \(cm^2 \rightarrow dm^2 \rightarrow m^2\). Entonces se divide por \(10\,000\): \[ 20\,000cm^2 = (20\,000 \div 10\,000)m^2 = 2m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(10\,000\): \[ 75\,000cm^2 = (75\,000 \div 10\,000)m^2 = 7{,}5m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(mm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 4cm^2 = 4 \cdot 100mm^2 = 400mm^2 \]
- De \(mm^2\) a \(cm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 350mm^2 = (350 \div 100)cm^2 = 3{,}5cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(10\,000\): \[ 1{,}2m^2 = 1{,}2 \cdot 10\,000cm^2 = 12\,000cm^2 \]
- De \(dm^2\) a \(cm^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más pequeña. Entonces se multiplica por \(100\): \[ 6dm^2 = 6 \cdot 100cm^2 = 600cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(dam^2\) hay un escalón hacia una unidad cuadrada más grande. Entonces se divide por \(100\): \[ 38\,000m^2 = (38\,000 \div 100)dam^2 = 380dam^2 \]
Al convertir de \(m^2\) a \(cm^2\) no multiplicamos por \(100\), sino por \(10\,000\), porque el área mide dos dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
También se puede ver en la escalera cuadrada: de \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones, y cada escalón multiplica por \(100\):
\[ 100 \cdot 100 = 10\,000 \]
Idea clave
Una superficie mide dos dimensiones.
Por eso, al convertir unidades cuadradas, el factor lineal se aplica dos veces.
\[ \text{factor de área} = \text{factor lineal}^2 \]
En la escalera de unidades cuadradas, cada escalón equivale a multiplicar o dividir por \(100\).
Así, como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
Convertir áreas es cambiar la unidad cuadrada, no solo el nombre de la medida.
5. 5
Objetivo
- Comprender que el volumen se mide contando unidades cúbicas, interpretar el significado de \(cm^3\), \(m^3\) y reconocer que algunas fórmulas de volumen son formas rápidas de contar cubos unitarios.
¿Qué mide una unidad cúbica?
Una unidad cúbica sirve para medir volumen.
Cuando medimos volumen, no estamos midiendo un borde ni una superficie.
Estamos respondiendo:
¿Cuántos cubos unitarios llenan este espacio?
Por ejemplo, \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto.
\[ 1cm^3 = 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Unidades cúbicas más usadas
Algunas unidades cúbicas frecuentes son:
\[ mm^3,\quad cm^3,\quad m^3,\quad km^3 \]
Estas unidades se usan para medir el espacio ocupado por un cuerpo o el espacio interior disponible en un recipiente.
El exponente \(3\) indica que la unidad mide en tres dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto} \]
Contar cubos unitarios
revisa la imagen
Volumen como espacio ocupado
El volumen indica cuánto espacio ocupa un cuerpo.
También puede indicar cuánto espacio hay disponible dentro de un recipiente.
Por ejemplo, una caja puede ocupar cierto volumen por fuera, pero también puede tener un volumen interior si queremos llenarla.
En ambos casos, la idea de fondo es la misma:
Contar cuántos cubos unitarios caben en el espacio.
Ejemplo
Un bloque está formado por \(5\) cubos de largo, \(2\) cubos de ancho y \(3\) capas de alto.
Primero contamos los cubos de una capa:
\[ 5 \cdot 2 = 10 \]
Luego contamos las \(3\) capas:
\[ 10 \cdot 3 = 30 \]
Entonces el volumen es:
\[ V = 30u^3 \]
Esto significa que el bloque está formado por 30 cubos unitarios.
La fórmula como conteo rápido
Para un ortoedro o caja rectangular, usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Pero esta fórmula no es solo una regla para memorizar.
Es una forma rápida de contar cubos unitarios.
Si un cuerpo tiene \(4\) cubos de largo, \(3\) cubos de ancho y \(2\) cubos de alto, entonces:
\[ V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \]
\[ V = 24u^3 \]
La letra \(u^3\) significa unidades cúbicas. Puede representar \(cm^3\), \(m^3\) u otra unidad cúbica.
Error común
Decir:
\[ V = 40cm^2 \]
para un volumen es incorrecto, porque \(cm^2\) mide superficie.
Si estamos midiendo volumen, la unidad debe ser cúbica:
\[ V = 40cm^3 \]
La unidad debe coincidir con la dimensión de lo que se está midiendo.
Actividad
Responde observando el volumen como conteo de cubos unitarios.
- Un bloque tiene \(3\) cubos de largo, \(2\) de ancho y \(2\) de alto. ¿Cuántos cubos unitarios lo forman?
- Un bloque tiene \(6\) cubos en cada capa y \(4\) capas. ¿Cuál es su volumen en unidades cúbicas?
- Un ortoedro mide \(5cm\) de largo, \(3cm\) de ancho y \(2cm\) de alto. ¿Cuántos cubos de \(1cm^3\) caben en él?
- Un cuerpo tiene volumen \(18m^3\). Explica qué significa esa medida.
Luego responde:
¿Por qué el volumen se expresa con exponente \(3\)?
¿Qué representa un cubo de \(1cm^3\)?
- El bloque tiene \(3\) cubos de largo, \(2\) de ancho y \(2\) de alto. Entonces: \[ V = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \] Lo forman \(12\) cubos unitarios.
- Si hay \(6\) cubos en cada capa y \(4\) capas, entonces: \[ V = 6 \cdot 4 = 24 \] El volumen es \(24u^3\).
- El ortoedro mide \(5cm\) de largo, \(3cm\) de ancho y \(2cm\) de alto. Entonces: \[ V = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \] Caben \(30\) cubos de \(1cm^3\), por lo tanto su volumen es \(30cm^3\).
- Que un cuerpo tenga volumen \(18m^3\) significa que ocupa un espacio equivalente a \(18\) cubos de \(1m^3\), es decir, \(18\) cubos de \(1m\) de largo, \(1m\) de ancho y \(1m\) de alto.
El volumen se expresa con exponente \(3\) porque mide tres dimensiones: largo, ancho y alto.
Un cubo de \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto.
Idea clave
Un volumen se mide contando cubos unitarios.
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{unidades cúbicas} \]
\[ 1cm^3 = 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Las fórmulas de volumen son formas rápidas de contar cubos.
Por eso, antes de memorizar una fórmula, debemos entender qué espacio se está llenando o contando.
6. 6
Objetivo
- Comprender y aplicar conversiones entre unidades cúbicas, reconociendo que al medir volumen el factor de conversión lineal se aplica en tres dimensiones.
Convertir volúmenes no es convertir longitudes
En la página anterior vimos que el volumen se mide contando cubos unitarios.
Por eso, cuando convertimos unidades cúbicas, no basta con cambiar la unidad como si fuera una longitud.
La razón es que un volumen tiene tres dimensiones:
\[ \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto} \]
Entonces, si una unidad lineal cambia por un factor, la unidad cúbica cambia por ese factor tres veces.
La idea clave
Sabemos que:
\[ 1m = 100cm \]
Pero un metro cúbico no es una línea de \(100cm\). Es un cubo de \(1m\) de largo, \(1m\) de ancho y \(1m\) de alto.
Entonces:
\[ 1m^3 = 1m \times 1m \times 1m \]
Como cada metro equivale a \(100cm\):
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
¿Por qué aparecen 1 000 000 cm³?
La escalera de unidades cúbicas
Para convertir unidades cúbicas también podemos usar una escalera, pero ahora cada escalón cambia por un factor \(1000\), no por \(10\) ni por \(100\).
Esto ocurre porque cada unidad cúbica mide tres dimensiones.
En esta escalera:
\[ km^3,\quad hm^3,\quad dam^3,\quad m^3,\quad dm^3,\quad cm^3,\quad mm^3 \]
Si se baja un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña, se multiplica por \(1000\).
Si se bajan dos escalones, se multiplica por \(1000^2 = 1\,000\,000\).
Si se sube un escalón hacia una unidad cúbica más grande, se divide por \(1000\).
Técnica de conversión de volúmenes
Para convertir unidades cúbicas, se usa el factor lineal elevado al cubo.
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{factor}^3 \]
| Movimiento en la escalera cúbica | Factor de volumen | Operación |
|---|---|---|
| 1 escalón hacia una unidad más pequeña | \(1000\) | Multiplicar por \(1000\) |
| 2 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más pequeña | \(1\,000\,000\,000\) | Multiplicar por \(1\,000\,000\,000\) |
| 1 escalón hacia una unidad más grande | \(1000\) | Dividir por \(1000\) |
| 2 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\) |
| 3 escalones hacia una unidad más grande | \(1\,000\,000\,000\) | Dividir por \(1\,000\,000\,000\) |
Por ejemplo, como:
\[ 1m = 100cm \]
entonces:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
El factor \(100\) aparece tres veces porque el volumen mide tres dimensiones.
Ejemplo 1: pasar de m³ a cm³
Convierte \(2m^3\) a \(cm^3\).
En la escalera cúbica:
\[ m^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow cm^3 \]
Son dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña, entonces multiplicamos por \(1\,000\,000\):
\[ 2m^3 = 2 \cdot 1\,000\,000cm^3 \]
\[ 2m^3 = 2\,000\,000cm^3 \]
Esto significa que un volumen de \(2m^3\) puede llenarse con \(2\,000\,000\) cubos de \(1cm^3\).
Ejemplo 2: pasar de cm³ a m³
Convierte \(500\,000cm^3\) a \(m^3\).
En la escalera cúbica:
\[ cm^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow m^3 \]
Son dos escalones hacia una unidad cúbica más grande, entonces dividimos por \(1\,000\,000\):
\[ 500\,000cm^3 = (500\,000 \div 1\,000\,000)m^3 \]
\[ 500\,000cm^3 = 0{,}5m^3 \]
Ejemplo 3: convertir entre cm³ y mm³
Convierte \(6cm^3\) a \(mm^3\).
En la escalera cúbica:
\[ cm^3 \rightarrow mm^3 \]
Es un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña, entonces multiplicamos por \(1000\):
\[ 6cm^3 = 6 \cdot 1000mm^3 \]
\[ 6cm^3 = 6000mm^3 \]
Error común
Un error frecuente es convertir así:
\[ 1m^3 = 100cm^3 \]
Pero eso es incorrecto.
La equivalencia \(1m = 100cm\) sirve para longitudes, no directamente para volúmenes.
En volúmenes hay tres dimensiones:
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \]
\[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Comparación importante
Observa cómo cambia la conversión según la dimensión:
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
La unidad lineal cambia una vez, la unidad cuadrada cambia dos veces y la unidad cúbica cambia tres veces.
Actividad
Realiza las siguientes conversiones de unidades cúbicas. Puedes ayudarte con la escalera de unidades cúbicas.
- \(3m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}25m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(1{,}5m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(2\,000\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(750\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(4cm^3 = \_\_\_\_ mm^3\)
- \(8500mm^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}008m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(7dm^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(38\,000m^3 = \_\_\_\_ dam^3\)
Luego responde:
¿Por qué al convertir de \(m^3\) a \(cm^3\) no multiplicamos por 100, sino por 1 000 000?
¿Qué representa concretamente \(1cm^3\)?
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña: \(m^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow cm^3\). Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 3m^3 = 3 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 3\,000\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}25m^3 = 0{,}25 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 250\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 1{,}5m^3 = 1{,}5 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 1\,500\,000cm^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más grande: \(cm^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow m^3\). Entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 2\,000\,000cm^3 = (2\,000\,000 \div 1\,000\,000)m^3 = 2m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 750\,000cm^3 = (750\,000 \div 1\,000\,000)m^3 = 0{,}75m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(mm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 4cm^3 = 4 \cdot 1000mm^3 = 4000mm^3 \]
- De \(mm^3\) a \(cm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1000\): \[ 8500mm^3 = (8500 \div 1000)cm^3 = 8{,}5cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}008m^3 = 0{,}008 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 8000cm^3 \]
- De \(dm^3\) a \(cm^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más pequeña. Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 7dm^3 = 7 \cdot 1000cm^3 = 7000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(dam^3\) hay un escalón hacia una unidad cúbica más grande. Entonces se divide por \(1000\): \[ 38\,000m^3 = (38\,000 \div 1000)dam^3 = 38dam^3 \]
Al convertir de \(m^3\) a \(cm^3\) no multiplicamos por \(100\), sino por \(1\,000\,000\), porque el volumen mide tres dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
También se puede ver en la escalera cúbica: de \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones, y cada escalón multiplica por \(1000\):
\[ 1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000 \]
Un cubo de \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto.
Idea clave
Un volumen mide tres dimensiones.
Por eso, al convertir unidades cúbicas, el factor lineal se aplica tres veces.
\[ \text{factor de volumen} = \text{factor lineal}^3 \]
En la escalera de unidades cúbicas, cada escalón equivale a multiplicar o dividir por \(1000\).
Así, como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Convertir volúmenes es cambiar la unidad cúbica, no solo el nombre de la medida.
7. 7
Objetivo
- Comprender la relación entre volumen y capacidad, distinguiendo que el litro mide capacidad o volumen, no masa ni peso.
Volumen y capacidad
El volumen mide cuánto espacio ocupa un cuerpo o cuánto espacio hay disponible dentro de un recipiente.
La capacidad indica cuánto puede contener un recipiente.
Por ejemplo, una botella, una caja, un vaso, un estanque o una piscina tienen capacidad porque pueden contener líquido, aire, arena u otro material.
La idea de fondo sigue siendo geométrica:
¿Cuántas unidades cúbicas caben dentro?
Litro no significa peso
El litro no mide cuánto pesa una sustancia.
El litro mide capacidad o volumen, es decir, cuánto espacio ocupa algo o cuánto puede contener un recipiente.
Por ejemplo, una botella de \(1L\) puede contener \(1L\) de agua, \(1L\) de aceite o \(1L\) de arena fina.
En los tres casos el volumen es el mismo:
\[ 1L \]
Pero no necesariamente pesan lo mismo, porque el peso depende del material que hay dentro.
Ejemplo 1: mismo litro, distinto peso
Imagina tres recipientes iguales, cada uno con capacidad de \(1L\).
- Uno se llena con agua.
- Otro se llena con aceite.
- Otro se llena con arena seca.
Los tres recipientes contienen el mismo volumen:
\[ 1L \]
Pero sus masas aproximadas pueden ser distintas:
| Material | Volumen | Masa aproximada |
|---|---|---|
| Agua | \(1L\) | \(1kg\) |
| Aceite | \(1L\) | \(0{,}9kg\) |
| Arena seca | \(1L\) | \(1{,}5kg\) a \(1{,}7kg\) |
En los tres casos se ocupa la misma capacidad, \(1L\), pero no se obtiene el mismo peso.
Por eso, decir que algo tiene \(1L\) no indica directamente cuánto pesa.
Ejemplo 2: capacidad y masa en un cilindro de gas
Un cilindro de gas licuado puede tener una capacidad interna aproximada cercana a \(20L\).
Esa capacidad corresponde al espacio interior disponible en el recipiente.
Cuando el cilindro está lleno, parte de ese espacio contiene gas licuado y vapor de gas.
Cuando el cilindro se vacía, pesa menos porque queda mucho menos material dentro, pero el espacio interior del cilindro sigue siendo el mismo.
| Estado del cilindro | Capacidad del cilindro | Contenido | Masa aproximada total |
|---|---|---|---|
| Lleno | cerca de \(20L\) | Gas licuado y vapor de gas | entre \(23kg\) y \(25kg\) |
| Vacío | cerca de \(20L\) | Muy poco gas utilizable | entre \(12kg\) y \(14kg\) |
La capacidad del cilindro no cambia: sigue siendo cercana a \(20L\).
Lo que cambia es la cantidad de material que contiene. Por eso, cuando está lleno pesa más y cuando está vacío pesa menos.
Este ejemplo muestra que capacidad y masa no son lo mismo.
El litro como volumen geométrico
Un litro puede entenderse geométricamente como el volumen de un cubo de \(10cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(10cm\) de alto.
Por lo tanto:
\[ 1L = 10cm \times 10cm \times 10cm \]
\[ 1L = 1000cm^3 \]
Mililitro, centímetro cúbico y cc
Como \(1L\) equivale a \(1000cm^3\), también puede dividirse en \(1000\) partes iguales.
Cada una de esas partes corresponde a un mililitro.
Un mililitro es la milésima parte de un litro:
\[ 1mL = \frac{1}{1000}L \]
Por eso:
\[ 1000mL = 1L \]
Además, un centímetro cúbico corresponde al mismo volumen que un mililitro:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
También se puede escribir:
\[ 1cm^3 = 1cc \]
La abreviatura \(cc\) significa centímetro cúbico.
¿Por qué \(1cm^3 = 1mL\)?
Un centímetro cúbico es un cubo pequeño de:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Ese volumen corresponde a:
\[ 1mL \]
Por eso, cuando un recipiente tiene \(250cm^3\) de volumen interior, puede contener \(250mL\).
También podemos decir que puede contener \(250cc\), porque \(1cc = 1cm^3\).
Error común
Un error frecuente es pensar que \(1L\) equivale a \(1cm^3\).
Eso no es correcto.
La equivalencia correcta es:
\[ 1mL = 1cm^3 \]
Por lo tanto:
\[ 1L = 1000mL = 1000cm^3 \]
Actividad
Responde las siguientes preguntas.
- Una botella puede contener \(1L\) de agua o \(1L\) de aceite. ¿La capacidad usada es la misma?
- ¿Significa que el agua y el aceite pesan lo mismo?
- Un recipiente tiene capacidad de \(25L\). Si está vacío, ¿deja de tener capacidad de \(25L\)?
- ¿Qué volumen geométrico representa \(1L\)?
- ¿Qué significa \(1mL\) respecto de \(1L\)?
- ¿Qué significa la abreviatura \(cc\)?
- ¿Cuál es la equivalencia correcta: \(1L = 1cm^3\) o \(1mL = 1cm^3\)?
- Sí. En ambos casos se usa una capacidad de \(1L\). El litro mide volumen o capacidad.
- No necesariamente. Aunque ambos ocupen \(1L\), pueden tener distinta masa y, por lo tanto, distinto peso en el uso cotidiano de la palabra.
- No. Si el recipiente está vacío, pesa menos, pero su capacidad sigue siendo \(25L\), porque el espacio interior no cambió.
- Un litro representa el volumen de un cubo de \(10cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(10cm\) de alto: \[ 1L = 10cm \times 10cm \times 10cm = 1000cm^3 \]
- Un mililitro es la milésima parte de un litro: \[ 1mL = \frac{1}{1000}L \]
- \(cc\) significa centímetro cúbico: \[ 1cc = 1cm^3 \]
- La equivalencia correcta es: \[ 1mL = 1cm^3 \] Como \(1L = 1000mL\), entonces: \[ 1L = 1000cm^3 \]
Idea clave
La capacidad es una forma de expresar volumen, especialmente cuando hablamos de recipientes.
El litro mide capacidad o volumen, no peso.
\[ 1L = 10cm \times 10cm \times 10cm = 1000cm^3 \]
\[ 1mL = \frac{1}{1000}L \]
\[ 1cm^3 = 1mL = 1cc \]
\[ 1L = 1000mL = 1000cm^3 \]
En Geometría 3D, estas relaciones permiten conectar cubos unitarios, volumen interior y capacidad real.
8. 8
Objetivo
- Aplicar conversiones entre unidades de capacidad usando la escalera de litros, relacionándolas con unidades cúbicas del sistema métrico.
Capacidad y volumen usan unidades relacionadas
La capacidad suele expresarse en unidades como litro, mililitro o kilolitro.
El volumen geométrico suele expresarse en unidades cúbicas como \(cm^3\), \(dm^3\) o \(m^3\).
Estas dos formas de medir se conectan mediante equivalencias fundamentales:
\[ 1mL = 1cm^3 \]
\[ 1L = 1dm^3 \]
\[ 1kL = 1000L = 1m^3 \]
La escalera de litros
Para convertir entre unidades de capacidad, usamos una escalera decimal.
En esta escalera, cada escalón cambia por un factor \(10\).
En esta escalera:
\[ kL,\quad hL,\quad daL,\quad L,\quad dL,\quad cL,\quad mL \]
Si se baja un escalón hacia una unidad más pequeña, se multiplica por \(10\).
Si se sube un escalón hacia una unidad más grande, se divide por \(10\).
Relación con la escalera de unidades cúbicas
La escalera de litros cambia de \(10\) en \(10\), pero la escalera de unidades cúbicas cambia de \(1000\) en \(1000\).
Esto no es una contradicción: son dos escaleras distintas que se conectan en algunas equivalencias importantes.
| Capacidad | Volumen equivalente | Interpretación |
|---|---|---|
| \(1mL\) | \(1cm^3\) | Un mililitro ocupa el volumen de un cubo de \(1cm\) de arista. |
| \(1L\) | \(1dm^3\) | Un litro ocupa el volumen de un cubo de \(10cm\) de arista. |
| \(1kL\) | \(1m^3\) | Un kilolitro equivale a \(1000L\), es decir, a un metro cúbico. |
Por eso:
\[ 1m^3 = 1000dm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
y, usando capacidad:
\[ 1m^3 = 1000L \]
\[ 1L = 1000mL \]
\[ 1mL = 1cm^3 \]
Cómo decidir qué escalera usar
Si conviertes entre unidades de capacidad, usa la escalera de litros:
\[ kL \rightarrow hL \rightarrow daL \rightarrow L \rightarrow dL \rightarrow cL \rightarrow mL \]
Si conviertes entre unidades cúbicas, usa la escalera cúbica:
\[ m^3 \rightarrow dm^3 \rightarrow cm^3 \rightarrow mm^3 \]
Si necesitas pasar de capacidad a volumen geométrico, usa las equivalencias puente:
\[ 1kL = 1m^3 \]
\[ 1L = 1dm^3 \]
\[ 1mL = 1cm^3 \]
Ejemplo 1: de litros a mililitros
Convierte \(3{,}5L\) a \(mL\).
En la escalera de litros:
\[ L \rightarrow dL \rightarrow cL \rightarrow mL \]
Son tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(10^3 = 1000\):
\[ 3{,}5L = 3{,}5 \cdot 1000mL \]
\[ 3{,}5L = 3500mL \]
Como \(1mL = 1cm^3\), también se puede decir:
\[ 3500mL = 3500cm^3 \]
Ejemplo 2: de mililitros a litros
Convierte \(750mL\) a \(L\).
En la escalera de litros:
\[ mL \rightarrow cL \rightarrow dL \rightarrow L \]
Son tres escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1000\):
\[ 750mL = (750 \div 1000)L \]
\[ 750mL = 0{,}75L \]
Ejemplo 3: de metros cúbicos a litros
Convierte \(2{,}4m^3\) a litros.
Usamos la equivalencia puente:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Entonces:
\[ 2{,}4m^3 = 2{,}4 \cdot 1000L \]
\[ 2{,}4m^3 = 2400L \]
Ejemplo 4: de litros a metros cúbicos
Convierte \(6500L\) a \(m^3\).
Como:
\[ 1000L = 1m^3 \]
dividimos por \(1000\):
\[ 6500L = (6500 \div 1000)m^3 \]
\[ 6500L = 6{,}5m^3 \]
Ejemplo 5: de centímetros cúbicos a litros
Convierte \(4200cm^3\) a litros.
Primero usamos:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Entonces:
\[ 4200cm^3 = 4200mL \]
Ahora convertimos \(mL\) a \(L\):
\[ 4200mL = (4200 \div 1000)L \]
\[ 4200cm^3 = 4{,}2L \]
Error común
Un error frecuente es mezclar las dos escaleras.
Por ejemplo, en la escalera de litros:
\[ 1L = 1000mL \]
Pero en la escalera cúbica:
\[ 1dm^3 = 1000cm^3 \]
Ambas ideas coinciden porque:
\[ 1L = 1dm^3 \]
\[ 1mL = 1cm^3 \]
Por eso:
\[ 1L = 1000mL = 1000cm^3 \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones. Usa la escalera de litros y las equivalencias con unidades cúbicas cuando corresponda.
- \(2L = \_\_\_\_ mL\)
- \(0{,}75L = \_\_\_\_ mL\)
- \(350mL = \_\_\_\_ L\)
- \(4{,}8kL = \_\_\_\_ L\)
- \(1250L = \_\_\_\_ kL\)
- \(3m^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(2800L = \_\_\_\_ m^3\)
- \(650cm^3 = \_\_\_\_ mL\)
- \(5400cm^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(7{,}5L = \_\_\_\_ dm^3\)
Luego responde:
¿Por qué \(1L\) se puede relacionar con \(1dm^3\)?
¿Por qué \(1mL\) se puede relacionar con \(1cm^3\)?
- De \(L\) a \(mL\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña: \[ L \rightarrow dL \rightarrow cL \rightarrow mL \] Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 2L = 2 \cdot 1000mL = 2000mL \]
- De \(L\) a \(mL\) se multiplica por \(1000\): \[ 0{,}75L = 0{,}75 \cdot 1000mL = 750mL \]
- De \(mL\) a \(L\) hay tres escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1000\): \[ 350mL = (350 \div 1000)L = 0{,}35L \]
- De \(kL\) a \(L\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña: \[ kL \rightarrow hL \rightarrow daL \rightarrow L \] Entonces se multiplica por \(1000\): \[ 4{,}8kL = 4{,}8 \cdot 1000L = 4800L \]
- De \(L\) a \(kL\) hay tres escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1000\): \[ 1250L = (1250 \div 1000)kL = 1{,}25kL \]
- Como \(1m^3 = 1000L\), entonces: \[ 3m^3 = 3 \cdot 1000L = 3000L \]
- Como \(1000L = 1m^3\), entonces: \[ 2800L = (2800 \div 1000)m^3 = 2{,}8m^3 \]
- Como \(1cm^3 = 1mL\), entonces: \[ 650cm^3 = 650mL \]
- Como \(1cm^3 = 1mL\), entonces: \[ 5400cm^3 = 5400mL \] Luego: \[ 5400mL = (5400 \div 1000)L = 5{,}4L \]
- Como \(1L = 1dm^3\), entonces: \[ 7{,}5L = 7{,}5dm^3 \]
\(1L\) se relaciona con \(1dm^3\) porque un litro corresponde al volumen de un cubo de \(10cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Ese cubo también mide \(1dm\) por cada lado:
\[ 1L = 1dm^3 \]
\(1mL\) se relaciona con \(1cm^3\) porque un mililitro corresponde al volumen de un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto:
\[ 1mL = 1cm^3 \]
Idea clave
Para convertir entre litros, mililitros y kilolitros, usamos la escalera de capacidad, donde cada escalón cambia por \(10\).
Para convertir entre unidades cúbicas, usamos la escalera cúbica, donde cada escalón cambia por \(1000\).
Las equivalencias que conectan ambas formas de medir son:
\[ 1mL = 1cm^3 \]
\[ 1L = 1dm^3 \]
\[ 1kL = 1m^3 \]
9. 9
Objetivo
- Comprender cómo cambian las longitudes, las superficies y los volúmenes cuando una figura o cuerpo se amplía o reduce mediante un factor de escala.
¿Qué ocurre cuando cambiamos el tamaño?
En geometría no solo medimos objetos. También podemos compararlos cuando uno es una ampliación o reducción de otro.
Si todas las longitudes de una figura o cuerpo se multiplican por el mismo número, decimos que hay un factor de escala.
Pero no todas las medidas cambian de la misma manera.
Esto ocurre porque cada tipo de medida depende de una cantidad distinta de dimensiones:
\[ \text{longitud} \rightarrow 1 \text{ dimensión} \]
\[ \text{superficie} \rightarrow 2 \text{ dimensiones} \]
\[ \text{volumen} \rightarrow 3 \text{ dimensiones} \]
Factor de escala
Cuando todas las longitudes de una figura o cuerpo se multiplican por un mismo número, llamamos a ese número factor de escala.
Lo representaremos con la letra \(k\).
El factor \(k\) actúa directamente sobre las longitudes. Por eso también podemos entenderlo como un factor lineal.
Si el factor de escala es \(k\), entonces:
| Tipo de medida | Dimensión | Cambio producido |
|---|---|---|
| Longitud | 1 dimensión | \(\times k\) |
| Superficie o área | 2 dimensiones | \(\times k^2\) |
| Volumen | 3 dimensiones | \(\times k^3\) |
Esto se debe a que las superficies dependen de dos dimensiones y los volúmenes dependen de tres dimensiones.
Si duplicamos las longitudes
Ejemplo 1: aumentar al doble
Supongamos que un cuerpo se agranda al doble en todas sus longitudes.
Entonces el factor de escala es:
\[ k = 2 \]
Las longitudes se multiplican por \(2\):
\[ L' = 2L \]
Las superficies se multiplican por \(2^2 = 4\):
\[ A' = 4A \]
Los volúmenes se multiplican por \(2^3 = 8\):
\[ V' = 8V \]
Por eso, si un cuerpo se agranda al doble en sus longitudes, su volumen no se duplica: se multiplica por \(8\).
Ejemplo 2: reducir a la mitad
Si un cuerpo se reduce a la mitad en todas sus longitudes, entonces:
\[ k = \frac{1}{2} \]
Las longitudes se multiplican por:
\[ \frac{1}{2} \]
Las superficies se multiplican por:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Los volúmenes se multiplican por:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
Es decir, al reducir las longitudes a la mitad, el volumen queda en la octava parte.
Ejemplo 3: volumen de un cuerpo ampliado
Un cuerpo tiene volumen \(15cm^3\). Se amplía con factor de escala \(k = 3\).
Como el volumen depende de tres dimensiones, se multiplica por \(k^3\):
\[ k^3 = 3^3 = 27 \]
Entonces:
\[ V' = 27 \cdot 15cm^3 \]
\[ V' = 405cm^3 \]
El nuevo volumen será \(405cm^3\).
Resumen técnico
Si una figura o cuerpo cambia con factor de escala \(k\), entonces:
\[ L' = kL \]
\[ A' = k^2A \]
\[ V' = k^3V \]
Donde:
- \(L\) representa una longitud original.
- \(A\) representa un área o superficie original.
- \(V\) representa un volumen original.
- \(L'\), \(A'\) y \(V'\) representan las nuevas medidas.
Relación con las conversiones
Esta idea también explica por qué las conversiones cambian según la dimensión.
Como:
\[ 1m = 100cm \]
el factor lineal es \(100\).
Para longitudes:
\[ 1m = 100cm \]
Para superficies:
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
Para volúmenes:
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Las conversiones no son reglas aisladas: dependen de la dimensión de lo que se mide.
Error común
Un error frecuente es pensar:
“Si duplico el tamaño de un cuerpo, también duplico su volumen”.
Eso es incorrecto si se duplican todas sus longitudes.
Duplicar el tamaño lineal significa duplicar el largo, el ancho y el alto.
Pero el volumen depende de tres dimensiones:
\[ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Por eso, al duplicar las longitudes, el volumen se multiplica por \(8\).
Actividad
Resuelve usando el factor de escala.
- Una figura se amplía con factor \(k = 3\). ¿Por cuánto se multiplican sus longitudes?
- Con el mismo factor \(k = 3\), ¿por cuánto se multiplican sus superficies?
- Con el mismo factor \(k = 3\), ¿por cuánto se multiplican sus volúmenes?
- Un cuerpo tiene volumen \(12cm^3\). Si se amplía con factor \(k = 2\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una superficie mide \(20m^2\). Si se reduce con factor \(k = \frac{1}{2}\), ¿cuál será su nueva superficie?
- Un cuerpo tiene volumen \(80cm^3\). Si se reduce con factor \(k = \frac{1}{2}\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una maqueta se construye con factor \(k = \frac{1}{10}\) respecto del objeto real. ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
- Si \(1m = 100cm\), ¿por qué \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\)?
Luego responde:
¿Por qué el área cambia con \(k^2\) y el volumen con \(k^3\)?
- Si \(k = 3\), las longitudes se multiplican por: \[ k = 3 \] Por lo tanto, las longitudes se multiplican por \(3\).
- Las superficies se multiplican por \(k^2\). Entonces: \[ k^2 = 3^2 = 9 \] Por lo tanto, las superficies se multiplican por \(9\).
- Los volúmenes se multiplican por \(k^3\). Entonces: \[ k^3 = 3^3 = 27 \] Por lo tanto, los volúmenes se multiplican por \(27\).
- Si el volumen original es \(12cm^3\) y \(k = 2\), el volumen se multiplica por: \[ 2^3 = 8 \] Entonces: \[ V' = 8 \cdot 12cm^3 = 96cm^3 \] El nuevo volumen será \(96cm^3\).
- Si la superficie original es \(20m^2\) y \(k = \frac{1}{2}\), la superficie se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Entonces: \[ A' = \frac{1}{4} \cdot 20m^2 = 5m^2 \] La nueva superficie será \(5m^2\).
- Si el volumen original es \(80cm^3\) y \(k = \frac{1}{2}\), el volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] Entonces: \[ V' = \frac{1}{8} \cdot 80cm^3 = 10cm^3 \] El nuevo volumen será \(10cm^3\).
- Si la maqueta tiene factor \(k = \frac{1}{10}\), su volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000} \] Por lo tanto, el volumen de la maqueta es la milésima parte del volumen del objeto real.
- No equivale a \(100cm^3\), porque \(1m = 100cm\) es una conversión lineal. Para volumen, el factor \(100\) se aplica en tres dimensiones: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm \] \[ 1m^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
El área cambia con \(k^2\) porque una superficie depende de dos dimensiones. Si cada longitud se multiplica por \(k\), entonces:
\[ k \cdot k = k^2 \]
El volumen cambia con \(k^3\) porque un cuerpo depende de tres dimensiones. Si largo, ancho y alto se multiplican por \(k\), entonces:
\[ k \cdot k \cdot k = k^3 \]
Idea clave
Cuando una figura o cuerpo cambia de tamaño mediante un factor de escala, no todas sus medidas cambian igual.
\[ \text{longitudes} \rightarrow \times k \]
\[ \text{<a class="autolink" title="Superficies" href="https://profearauco.cl/mod/book/view.php?id=994">superficies</a>} \rightarrow \times k^2 \]
\[ \text{volúmenes} \rightarrow \times k^3 \]
Esta idea se relaciona con las conversiones de unidades lineales, cuadradas y cúbicas, y también será importante para estudiar semejanza, homotecia, modelos a escala y Geometría 3D.
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Objetivo
- Integrar las ideas del libro para reconocer qué se está midiendo, elegir la unidad adecuada, realizar conversiones y justificar por qué las unidades lineales, cuadradas, cúbicas y de capacidad se comportan de manera distinta, comprendiendo que la capacidad es volumen interior de un recipiente.
Antes de avanzar
En este libro estudiamos una idea central:
Medir es contar unidades.
Pero no siempre contamos el mismo tipo de unidad.
Si medimos una longitud, contamos unidades lineales.
Si medimos una superficie, contamos unidades cuadradas.
Si medimos un volumen, contamos unidades cúbicas.
Cuando hablamos de capacidad, también hablamos de volumen: específicamente, del volumen interior que puede contener un recipiente.
Por eso, los litros no están separados del volumen. Son unidades de volumen usadas habitualmente para recipientes.
Volumen y capacidad no son ideas separadas
El volumen mide espacio: espacio ocupado por un cuerpo o espacio disponible dentro de un recipiente.
La capacidad es el volumen interior que puede contener un recipiente.
Por eso podemos escribir:
\[ \text{capacidad} = \text{volumen interior de un recipiente} \]
Las unidades cúbicas, como \(cm^3\), \(dm^3\) y \(m^3\), expresan volumen geométrico.
Las unidades como \(mL\), \(L\) y \(kL\) también expresan volumen, pero se usan mucho para hablar de capacidad de recipientes.
Resumen visual
Resumen técnico
Para convertir unidades, primero debemos mirar la dimensión de la medida.
| Tipo de medida | Escalera | Cada escalón |
|---|---|---|
| Longitud | \(km,\ hm,\ dam,\ m,\ dm,\ cm,\ mm\) | \(\times 10\) o \(\div 10\) |
| Superficie | \(km^2,\ hm^2,\ dam^2,\ m^2,\ dm^2,\ cm^2,\ mm^2\) | \(\times 100\) o \(\div 100\) |
| Volumen geométrico | \(km^3,\ hm^3,\ dam^3,\ m^3,\ dm^3,\ cm^3,\ mm^3\) | \(\times 1000\) o \(\div 1000\) |
| Capacidad como volumen interior | \(kL,\ hL,\ daL,\ L,\ dL,\ cL,\ mL\) | \(\times 10\) o \(\div 10\) |
La misma equivalencia lineal genera efectos distintos porque una longitud mide una dimensión, una superficie mide dos y un volumen mide tres.
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^2 = 100^2cm^2 = 10\,000cm^2 \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Puentes entre litros y unidades cúbicas
Los litros se conectan con el volumen geométrico mediante equivalencias importantes.
\[ 1mL = 1cm^3 \]
\[ 1L = 1dm^3 = 1000cm^3 \]
\[ 1kL = 1000L = 1m^3 \]
Estas equivalencias muestran que \(mL\), \(L\) y \(kL\) también expresan volumen, aunque se usen especialmente para recipientes.
Litro no significa peso
El litro mide volumen o capacidad, no masa ni peso.
Dos recipientes pueden contener \(1L\), pero pesar distinto si contienen materiales diferentes.
Por ejemplo, \(1L\) de agua y \(1L\) de aceite ocupan el mismo volumen, pero no necesariamente tienen la misma masa.
Parte A: ¿Qué se está midiendo?
Clasifica cada situación como longitud, superficie o volumen. Si corresponde al volumen interior que puede contener un recipiente, indícalo como capacidad.
- El largo de una sala.
- La cantidad de pintura necesaria para cubrir una pared.
- El espacio que ocupa una caja.
- La cantidad de agua que cabe en una botella.
- El borde de una ventana.
- El piso que cubren unas baldosas.
- El espacio interior de una piscina cuando se quiere saber cuánta agua puede contener.
- La distancia entre dos puntos.
- La cantidad de cubos de \(1cm^3\) que llenan una caja.
- La cantidad de litros que puede contener un estanque.
- Longitud. El largo de una sala mide una distancia en una sola dirección.
- Superficie. La pintura cubre una región de la pared, por lo tanto se relaciona con el área.
- Volumen. El espacio que ocupa una caja corresponde a una medida en tres dimensiones.
- Volumen interior o capacidad. La cantidad de agua que cabe en una botella indica cuánto puede contener el recipiente.
- Longitud. El borde de una ventana corresponde a una distancia alrededor de la figura.
- Superficie. Las baldosas cubren una región del piso.
- Volumen interior o capacidad. Se pregunta cuánto puede contener la piscina, por ejemplo, de agua.
- Longitud. La distancia entre dos puntos se mide en una dimensión.
- Volumen. Contar cubos de \(1cm^3\) corresponde a medir volumen.
- Volumen interior o capacidad. Los litros indican cuánto volumen puede contener un recipiente.
Parte B: Elige la unidad adecuada
Escribe una unidad razonable para cada situación.
- El largo de un lápiz: ________
- La superficie de una mesa: ________
- El volumen de una caja pequeña: ________
- El volumen interior que puede contener una botella de bebida: ________
- La distancia entre dos ciudades: ________
- La superficie de un terreno: ________
- El volumen de una sala: ________
- El volumen interior que puede contener un estanque: ________
- La cantidad pequeña de líquido que puede contener una cuchara: ________
- El volumen geométrico de un cubo de arista \(1cm\): ________
Recuerda que la unidad debe coincidir con lo que se mide.
Las respuestas pueden variar si la unidad elegida es razonable. Una posibilidad es:
- El largo de un lápiz: centímetros, por ejemplo \(cm\).
- La superficie de una mesa: centímetros cuadrados o metros cuadrados, por ejemplo \(cm^2\) o \(m^2\).
- El volumen de una caja pequeña: centímetros cúbicos, por ejemplo \(cm^3\).
- El volumen interior que puede contener una botella de bebida: litros o mililitros, por ejemplo \(L\) o \(mL\).
- La distancia entre dos ciudades: kilómetros, por ejemplo \(km\).
- La superficie de un terreno: metros cuadrados, por ejemplo \(m^2\).
- El volumen de una sala: metros cúbicos, por ejemplo \(m^3\).
- El volumen interior que puede contener un estanque: litros, kilolitros o metros cúbicos, por ejemplo \(L\), \(kL\) o \(m^3\).
- La cantidad pequeña de líquido que puede contener una cuchara: mililitros, por ejemplo \(mL\).
- El volumen geométrico de un cubo de arista \(1cm\): centímetros cúbicos, específicamente \(1cm^3\).
Parte C: Conversiones lineales
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades lineales.
- \(4m = \_\_\_\_ cm\)
- \(750cm = \_\_\_\_ m\)
- \(3{,}5km = \_\_\_\_ m\)
- \(48mm = \_\_\_\_ cm\)
- \(6{,}2m = \_\_\_\_ mm\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(10\).
- De \(m\) a \(cm\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100\): \[ 4m = 4 \cdot 100cm = 400cm \]
- De \(cm\) a \(m\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(100\): \[ 750cm = 750 \div 100 = 7{,}5m \]
- De \(km\) a \(m\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 3{,}5km = 3{,}5 \cdot 1000m = 3500m \]
- De \(mm\) a \(cm\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(10\): \[ 48mm = 48 \div 10 = 4{,}8cm \]
- De \(m\) a \(mm\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 6{,}2m = 6{,}2 \cdot 1000mm = 6200mm \]
Parte D: Conversiones cuadradas
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades cuadradas.
- \(4m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(0{,}75m^2 = \_\_\_\_ cm^2\)
- \(30\,000cm^2 = \_\_\_\_ m^2\)
- \(6cm^2 = \_\_\_\_ mm^2\)
- \(38\,000m^2 = \_\_\_\_ dam^2\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(100\).
\[ \text{factor de superficie} = \text{factor lineal}^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100 \cdot 100 = 10\,000\): \[ 4m^2 = 4 \cdot 10\,000cm^2 = 40\,000cm^2 \]
- De \(m^2\) a \(cm^2\) se multiplica por \(10\,000\): \[ 0{,}75m^2 = 0{,}75 \cdot 10\,000cm^2 = 7500cm^2 \]
- De \(cm^2\) a \(m^2\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(10\,000\): \[ 30\,000cm^2 = 30\,000 \div 10\,000 = 3m^2 \]
- De \(cm^2\) a \(mm^2\) hay un escalón hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(100\): \[ 6cm^2 = 6 \cdot 100mm^2 = 600mm^2 \]
- De \(m^2\) a \(dam^2\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(100\): \[ 38\,000m^2 = 38\,000 \div 100 = 380dam^2 \]
Parte E: Conversiones cúbicas
Convierte las siguientes medidas usando la escalera de unidades cúbicas.
- \(4m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(0{,}25m^3 = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(2\,500\,000cm^3 = \_\_\_\_ m^3\)
- \(7cm^3 = \_\_\_\_ mm^3\)
- \(38\,000m^3 = \_\_\_\_ dam^3\)
En estas conversiones cada escalón cambia por un factor \(1000\).
\[ \text{factor de volumen} = \text{factor lineal}^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) hay dos escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000\): \[ 4m^3 = 4 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 4\,000\,000cm^3 \]
- De \(m^3\) a \(cm^3\) se multiplica por \(1\,000\,000\): \[ 0{,}25m^3 = 0{,}25 \cdot 1\,000\,000cm^3 = 250\,000cm^3 \]
- De \(cm^3\) a \(m^3\) hay dos escalones hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1\,000\,000\): \[ 2\,500\,000cm^3 = 2\,500\,000 \div 1\,000\,000 = 2{,}5m^3 \]
- De \(cm^3\) a \(mm^3\) hay un escalón hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 7cm^3 = 7 \cdot 1000mm^3 = 7000mm^3 \]
- De \(m^3\) a \(dam^3\) hay un escalón hacia una unidad más grande, entonces se divide por \(1000\): \[ 38\,000m^3 = 38\,000 \div 1000 = 38dam^3 \]
Parte F: Litros y volumen interior
Realiza las siguientes conversiones usando la escalera de litros y las equivalencias puente con unidades cúbicas.
- \(350cm^3 = \_\_\_\_ mL\)
- \(2500cm^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(3L = \_\_\_\_ cm^3\)
- \(4m^3 = \_\_\_\_ L\)
- \(1500L = \_\_\_\_ m^3\)
- \(2{,}5L = \_\_\_\_ mL\)
- \(0{,}75kL = \_\_\_\_ L\)
- \(7{,}5L = \_\_\_\_ dm^3\)
Luego explica con tus palabras qué significa que un recipiente tenga capacidad de \(3L\).
- Como \(1cm^3 = 1mL\), entonces: \[ 350cm^3 = 350mL \]
- Como \(1000cm^3 = 1L\), entonces: \[ 2500cm^3 = 2500 \div 1000 = 2{,}5L \]
- Como \(1L = 1000cm^3\), entonces: \[ 3L = 3 \cdot 1000cm^3 = 3000cm^3 \]
- Como \(1m^3 = 1000L\), entonces: \[ 4m^3 = 4 \cdot 1000L = 4000L \]
- Como \(1000L = 1m^3\), entonces: \[ 1500L = 1500 \div 1000 = 1{,}5m^3 \]
- De \(L\) a \(mL\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 2{,}5L = 2{,}5 \cdot 1000mL = 2500mL \]
- De \(kL\) a \(L\) hay tres escalones hacia una unidad más pequeña, entonces se multiplica por \(1000\): \[ 0{,}75kL = 0{,}75 \cdot 1000L = 750L \]
- Como \(1L = 1dm^3\), entonces: \[ 7{,}5L = 7{,}5dm^3 \]
Decir que un recipiente tiene capacidad de \(3L\) significa que su volumen interior permite contener \(3\) litros. Como \(1L = 1000cm^3\), también significa que puede contener un volumen equivalente a \(3000cm^3\), es decir, \(3000\) cubos de \(1cm^3\).
Parte G: Escala
Resuelve usando el factor de escala.
- Una figura se amplía con factor \(k=2\). ¿Por cuánto se multiplican sus longitudes?
- Con el mismo factor \(k=2\), ¿por cuánto se multiplican sus superficies?
- Con el mismo factor \(k=2\), ¿por cuánto se multiplican sus volúmenes?
- Un cuerpo tiene volumen \(15cm^3\). Si se amplía con factor \(k=3\), ¿cuál será su nuevo volumen?
- Una superficie mide \(80m^2\). Si se reduce con factor \(k=\frac{1}{2}\), ¿cuál será su nueva superficie?
- Una maqueta se construye con factor \(k=\frac{1}{10}\). ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
- Las longitudes se multiplican por \(k\). Si \(k=2\), entonces se multiplican por: \[ 2 \]
- Las superficies se multiplican por \(k^2\). Si \(k=2\), entonces: \[ 2^2 = 4 \] Por lo tanto, las superficies se multiplican por \(4\).
- Los volúmenes se multiplican por \(k^3\). Si \(k=2\), entonces: \[ 2^3 = 8 \] Por lo tanto, los volúmenes se multiplican por \(8\).
- Si \(k=3\), el volumen se multiplica por: \[ 3^3 = 27 \] Entonces: \[ V' = 15cm^3 \cdot 27 = 405cm^3 \] El nuevo volumen será \(405cm^3\).
- Si \(k=\frac{1}{2}\), la superficie se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Entonces: \[ A' = 80m^2 \cdot \frac{1}{4} = 20m^2 \] La nueva superficie será \(20m^2\).
- El volumen se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000} \] Por lo tanto, el volumen de la maqueta es la milésima parte del volumen del objeto real.
Parte H: Explica y justifica
Responde con frases completas.
- ¿Por qué \(1m^2\) no equivale a \(100cm^2\)?
- ¿Por qué \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\)?
- ¿Qué representa concretamente \(1cm^2\)?
- ¿Qué representa concretamente \(1cm^3\)?
- ¿Por qué una fórmula de área puede entenderse como una forma rápida de contar cuadrados?
- ¿Por qué una fórmula de volumen puede entenderse como una forma rápida de contar cubos?
- ¿Por qué \(1L\) no es lo mismo que \(1cm^3\)?
- ¿Por qué un litro no indica cuánto pesa una sustancia?
- ¿Por qué la capacidad puede entenderse como volumen interior?
- \(1m^2\) no equivale a \(100cm^2\) porque una superficie mide dos dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces: \[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
- \(1m^3\) no equivale a \(100cm^3\) porque un volumen mide tres dimensiones. Como \(1m = 100cm\), entonces: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
- \(1cm^2\) representa un cuadrado de \(1cm\) de largo por \(1cm\) de ancho: \[ 1cm^2 = 1cm \times 1cm \]
- \(1cm^3\) representa un cubo de \(1cm\) de largo, \(1cm\) de ancho y \(1cm\) de alto: \[ 1cm^3 = 1cm \times 1cm \times 1cm \]
- Una fórmula de área puede entenderse como una forma rápida de contar cuadrados porque calcula cuántas unidades cuadradas cubren una región sin dibujar ni contar una por una. Por ejemplo, en un rectángulo: \[ A = largo \cdot ancho \]
- Una fórmula de volumen puede entenderse como una forma rápida de contar cubos porque calcula cuántas unidades cúbicas llenan un espacio sin contar cada cubo por separado. Por ejemplo, en una caja rectangular: \[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
- \(1L\) no es lo mismo que \(1cm^3\), porque: \[ 1cm^3 = 1mL \] y: \[ 1L = 1000mL = 1000cm^3 \]
- Un litro no indica cuánto pesa una sustancia porque el litro mide volumen o capacidad. Dos sustancias pueden ocupar \(1L\), pero tener masas distintas.
- La capacidad puede entenderse como volumen interior porque indica cuánto espacio disponible tiene un recipiente para contener líquido, gas, arena u otro material.
Revisa estos errores
Indica si cada afirmación es correcta o incorrecta. Si es incorrecta, corrígela.
- \(1m^2 = 100cm^2\)
- \(1m^3 = 1\,000\,000cm^3\)
- \(1L = 1cm^3\)
- \(1mL = 1cm^3\)
- El área mide el borde de una figura.
- El volumen mide cuántos cubos unitarios llenan un espacio.
- Si duplico todas las longitudes de un cuerpo, su volumen se multiplica por \(8\).
- Si dos recipientes contienen \(1L\), entonces necesariamente pesan lo mismo.
- Los litros no tienen relación con el volumen.
- Incorrecta. Como \(1m = 100cm\), al convertir una superficie se aplica el factor dos veces: \[ 1m^2 = 100cm \times 100cm = 10\,000cm^2 \]
- Correcta. Como \(1m = 100cm\), al convertir un volumen se aplica el factor tres veces: \[ 1m^3 = 100cm \times 100cm \times 100cm = 1\,000\,000cm^3 \]
- Incorrecta. La equivalencia correcta es: \[ 1L = 1000cm^3 \] porque: \[ 1cm^3 = 1mL \] y: \[ 1L = 1000mL \]
- Correcta. Un mililitro corresponde al mismo volumen que un centímetro cúbico: \[ 1mL = 1cm^3 \]
- Incorrecta. El área mide la superficie de una figura. El borde de una figura se mide con el perímetro.
- Correcta. El volumen indica cuántos cubos unitarios llenan u ocupan un espacio.
- Correcta. Si se duplican todas las longitudes, el factor de escala es \(k=2\). El volumen cambia con \(k^3\), entonces: \[ 2^3 = 8 \]
- Incorrecta. Dos recipientes pueden contener el mismo volumen, por ejemplo \(1L\), pero pesar distinto si contienen materiales diferentes.
- Incorrecta. Los litros sí se relacionan con el volumen. Por ejemplo: \[ 1L = 1dm^3 = 1000cm^3 \]
Idea final del libro
En Geometría 3D, las unidades no son un detalle final: son parte del significado de la medida.
\[ cm \rightarrow \text{cuenta unidades lineales} \]
\[ cm^2 \rightarrow \text{cuenta cuadrados unitarios} \]
\[ cm^3 \rightarrow \text{cuenta cubos unitarios} \]
\[ mL,\ L,\ kL \rightarrow \text{expresan volumen, especialmente volumen interior de recipientes} \]
La capacidad no está separada del volumen: es una manera de hablar del volumen que puede contener un recipiente.
Comprender esto nos prepara para estudiar cuerpos geométricos, superficies, volúmenes, escalas, coordenadas 3D, vectores y representaciones del espacio.