232
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | 232 |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:40 |
1. 1
Objetivo
Comprender que calcular volumen significa determinar cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o un espacio, y reconocer que las fórmulas de volumen son formas rápidas de contar cubos unitarios.
La pregunta central del volumen
En el libro anterior vimos que medir es contar unidades.
Ahora nos concentraremos en una medida especial de la Geometría 3D:
el volumen.
Calcular el volumen de un cuerpo significa responder:
¿Cuántas unidades cúbicas llenan este espacio?
Por eso el volumen se expresa con unidades cúbicas, como:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]
Volumen como conteo de cubos
Un cubo de \(1cm^3\) es un cubo que mide:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Entonces, si un cuerpo tiene volumen \(24cm^3\), eso significa que en él caben:
\[ 24 \text{ cubos de } 1cm^3 \]
La idea central de este libro será:
\[ \text{volumen} = \text{cantidad de unidades cúbicas que llenan un cuerpo} \]
Un cuerpo formado por cubos unitarios
Volumen no es superficie
Es importante no confundir volumen con superficie.
La superficie mide lo que cubre o envuelve un cuerpo.
El volumen mide el espacio que ocupa o que puede contener.
Por eso:
\[ \text{superficie} \rightarrow cm^2,\ m^2 \]
\[ \text{volumen} \rightarrow cm^3,\ m^3 \]
En este libro nos concentraremos en el volumen. Las superficies se estudiarán después en otro libro.
Ejemplo inicial
Un bloque está formado por \(5\) cubos de largo, \(2\) cubos de ancho y \(3\) cubos de alto.
Primero contamos una capa:
\[ 5 \cdot 2 = 10 \]
Hay \(10\) cubos en cada capa.
Como el bloque tiene \(3\) capas:
\[ 10 \cdot 3 = 30 \]
Entonces:
\[ V = 30u^3 \]
Esto significa que el cuerpo está formado por 30 cubos unitarios.
La fórmula como conteo rápido
Cuando un cuerpo tiene forma de caja rectangular, podemos contar los cubos usando:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Esta fórmula no aparece de la nada.
Representa una forma rápida de contar:
\[ \text{cubos por fila} \times \text{filas por capa} \times \text{número de capas} \]
Durante este libro, cada fórmula de volumen se entenderá de esta manera: como una forma eficiente de contar unidades cúbicas.
Actividad
Responde pensando el volumen como conteo de cubos unitarios.
- Un bloque tiene \(3\) cubos de largo, \(2\) de ancho y \(2\) de alto. ¿Cuántos cubos unitarios lo forman?
- Un cuerpo tiene \(4\) cubos por capa y \(5\) capas. ¿Cuál es su volumen en unidades cúbicas?
- Un bloque tiene \(6\) cubos de largo, \(3\) de ancho y \(2\) de alto. ¿Cuál es su volumen?
- Explica con tus palabras qué significa que un cuerpo tenga volumen \(48cm^3\).
- ¿Por qué el volumen se expresa con unidades cúbicas y no con unidades cuadradas?
Idea clave
Calcular volumen significa determinar cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o un espacio.
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{conteo de cubos unitarios} \]
Las fórmulas de volumen son herramientas para contar esos cubos de manera más rápida.
En las próximas páginas estudiaremos distintos cuerpos geométricos y veremos cómo calcular su volumen.
2. 2
Objetivo
Reconocer distintos cuerpos geométricos y distinguir los datos que se necesitan para calcular su volumen, como arista, largo, ancho, altura, radio, diámetro y área de la base.
Antes de usar una fórmula
Para calcular el volumen de un cuerpo, primero debemos reconocer qué cuerpo es y qué datos son importantes.
No todos los cuerpos se describen de la misma manera.
Un cubo se describe usando su arista.
Un ortoedro se describe usando largo, ancho y alto.
Un cilindro o un cono se describen usando radio y altura.
Una esfera se describe usando su radio.
La idea no es memorizar nombres sueltos, sino saber qué información permite responder:
¿Cuántas unidades cúbicas llenan este cuerpo?
Una aclaración importante
Los cuerpos poligonales, como cubos, ortoedros, prismas y pirámides, tienen caras, aristas y vértices.
Pero los cuerpos redondos no siempre siguen esa estructura.
Un cilindro tiene bases circulares y una superficie curva.
Un cono tiene una base circular, una superficie lateral curva y un vértice.
Una esfera no tiene caras planas, aristas ni vértices.
Por eso, para calcular volumen debemos aprender a reconocer los elementos relevantes de cada tipo de cuerpo.
Cuerpos y datos importantes
Tabla de orientación
| Cuerpo | Datos necesarios para el volumen | Idea geométrica |
|---|---|---|
| Cubo | arista | todas sus dimensiones son iguales |
| Ortoedro | largo, ancho y alto | caja rectangular formada por capas |
| Prisma | área de la base y altura | una base que se repite a lo largo de una altura |
| Cilindro | radio y altura | base circular que se repite en altura |
| Pirámide | área de la base y altura | relacionada con un prisma de igual base y altura |
| Cono | radio y altura | relacionado con un cilindro de igual base y altura |
| Esfera | radio | cuerpo redondo determinado por su radio |
La altura debe ser perpendicular
En varios cuerpos, como prismas, cilindros, pirámides y conos, la altura es un dato fundamental.
Pero hay que tener cuidado: la altura no siempre es el lado inclinado que vemos en el dibujo.
La altura es la distancia perpendicular entre la base y el punto o plano correspondiente.
En un cono, por ejemplo, la altura baja desde el vértice hasta el centro de la base.
La línea inclinada del cono se llama generatriz, y será más importante cuando estudiemos superficies. Para volumen, normalmente necesitamos el radio y la altura.
Ejemplo
Supongamos que queremos calcular el volumen de un cilindro.
Antes de calcular, debemos preguntarnos:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Los datos corresponden realmente a ese cuerpo?
Para un cilindro necesitamos conocer su radio y su altura.
Si nos entregan el diámetro, primero podemos obtener el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Luego, en una página posterior, usaremos esos datos para calcular su volumen.
Error común
Un error frecuente es usar cualquier medida que aparezca en el dibujo, sin revisar qué representa.
Por ejemplo, en un cono no es lo mismo la altura que la generatriz.
La altura va perpendicular a la base.
La generatriz va inclinada por la superficie lateral.
Para calcular volumen, la medida importante es la altura perpendicular.
Actividad
Para cada situación, identifica el cuerpo y los datos necesarios para calcular su volumen.
- Una caja rectangular.
- Un dado con todas sus aristas iguales.
- Una lata de bebida.
- Una pirámide de base cuadrada.
- Un cono de tránsito.
- Una pelota.
- Un prisma triangular.
- Un estanque cilíndrico.
Luego responde:
¿Por qué no basta con saber el nombre del cuerpo?
¿Qué diferencia hay entre altura y generatriz en un cono?
Idea clave
Antes de calcular volumen, debemos reconocer el cuerpo y sus datos importantes.
En cuerpos poligonales pueden aparecer caras, aristas y vértices.
En cuerpos redondos aparecen elementos como radio, diámetro, altura, base circular y superficie curva.
Calcular volumen no comienza con una fórmula: comienza entendiendo qué cuerpo estamos midiendo.
3. 3
Objetivo
Calcular el volumen de cubos y ortoedros, comprendiendo que multiplicar largo, ancho y alto permite contar cuántas unidades cúbicas llenan el cuerpo.
El caso más directo: cajas formadas por capas
Comenzaremos con cuerpos que se pueden imaginar como cajas rectangulares llenas de cubos unitarios.
Estos cuerpos son importantes porque permiten entender la idea básica del volumen:
contar cubos por largo, por ancho y por alto.
Si sabemos cuántos cubos caben a lo largo, cuántos caben a lo ancho y cuántas capas hay de alto, podemos calcular el volumen multiplicando esas tres cantidades.
Volumen del ortoedro
Un ortoedro es una caja rectangular. Sus dimensiones pueden ser distintas.
Para calcular su volumen usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
También se puede escribir como:
\[ V = l \cdot a \cdot h \]
Esta fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.
Volumen como conteo de capas
Ejemplo 1: volumen de un ortoedro
Un ortoedro mide \(8cm\) de largo, \(5cm\) de ancho y \(3cm\) de alto.
Usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 8 \cdot 5 \cdot 3 \]
\[ V = 120 \]
Entonces:
\[ V = 120cm^3 \]
Esto significa que en el ortoedro caben 120 cubos de \(1cm^3\).
Volumen del cubo
Un cubo es un caso especial de ortoedro.
En un cubo, todas sus aristas tienen la misma medida.
Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
Por eso escribimos:
\[ V = a^3 \]
El exponente \(3\) aparece porque el volumen considera tres dimensiones.
Ejemplo 2: volumen de un cubo
Un cubo tiene arista de \(6cm\).
Usamos:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = 6^3 \]
\[ V = 6 \cdot 6 \cdot 6 \]
\[ V = 216 \]
Entonces:
\[ V = 216cm^3 \]
El cubo puede llenarse con 216 cubos de \(1cm^3\).
Atención con las unidades
Para calcular volumen, las medidas deben estar en la misma unidad.
Por ejemplo, si un ortoedro tiene:
\[ 2m,\quad 50cm,\quad 30cm \]
no conviene multiplicar directamente \(2 \cdot 50 \cdot 30\), porque las unidades están mezcladas.
Primero debemos convertir.
Por ejemplo:
\[ 2m = 200cm \]
Luego:
\[ V = 200cm \cdot 50cm \cdot 30cm \]
\[ V = 300\,000cm^3 \]
Error común
Un error frecuente es escribir el resultado del volumen en unidades cuadradas.
Por ejemplo:
\[ V = 120cm^2 \]
Eso es incorrecto, porque \(cm^2\) mide superficie.
El volumen debe expresarse en unidades cúbicas:
\[ V = 120cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de cada cuerpo.
- Un ortoedro mide \(7cm\) de largo, \(4cm\) de ancho y \(3cm\) de alto.
- Un cubo tiene arista de \(5cm\).
- Una caja mide \(12cm\) de largo, \(8cm\) de ancho y \(6cm\) de alto.
- Un cubo tiene arista de \(10m\).
- Un ortoedro mide \(2m\), \(3m\) y \(4m\).
Luego responde:
¿Por qué el cubo usa la fórmula \(V=a^3\)?
¿Qué significa concretamente que una caja tenga volumen \(96cm^3\)?
Desafío con conversión
Una caja mide \(1{,}5m\) de largo, \(80cm\) de ancho y \(40cm\) de alto.
Convierte todas las medidas a centímetros y calcula su volumen en \(cm^3\).
Luego convierte el resultado a litros, recordando que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Idea clave
El volumen de un ortoedro se calcula multiplicando sus tres dimensiones:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
El cubo es un caso especial porque sus tres dimensiones son iguales:
\[ V = a^3 \]
En ambos casos, la fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.
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Objetivo
Calcular el volumen de prismas, comprendiendo que un prisma se puede interpretar como una base que se repite a lo largo de una altura.
Del ortoedro al prisma
En la página anterior calculamos el volumen de cubos y ortoedros.
Ahora ampliaremos esa idea a otros cuerpos llamados prismas.
Un prisma es un cuerpo que tiene dos bases iguales y paralelas.
Estas bases pueden tener distintas formas:
- rectangular,
- triangular,
- cuadrada,
- pentagonal,
- hexagonal, entre otras.
La idea central es que el prisma se forma al repetir una misma base a lo largo de una altura.
Fórmula general del volumen de un prisma
Para calcular el volumen de un prisma usamos:
\[ V = A_b \cdot h \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura del prisma.
Esta fórmula significa:
volumen = área de una capa × número de capas
Un prisma como base repetida
¿Qué representa el área de la base?
El área de la base representa cuántas unidades cuadradas hay en una capa del prisma.
La altura indica cuántas veces se repite esa capa.
Por eso, al multiplicar:
\[ A_b \cdot h \]
obtenemos unidades cúbicas.
Por ejemplo:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Esto muestra que el resultado corresponde a un volumen.
Ejemplo 1: prisma rectangular
Un prisma rectangular tiene una base de \(6cm\) por \(4cm\), y una altura de \(10cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 6 \cdot 4 \]
\[ A_b = 24cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 24 \cdot 10 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Esto significa que el prisma puede llenarse con 240 cubos de \(1cm^3\).
Ejemplo 2: prisma triangular
Un prisma triangular tiene una base triangular de \(8cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura del prisma es \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{8 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = 20cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 20 \cdot 12 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Atención con las alturas
En un prisma triangular aparecen dos alturas diferentes.
Una es la altura del triángulo de la base.
La otra es la altura del prisma.
Por ejemplo:
\[ A_b = \frac{base \ del \ triángulo \cdot altura \ del \ triángulo}{2} \]
y después:
\[ V = A_b \cdot altura \ del \ prisma \]
No son necesariamente la misma medida.
Resumen de fórmulas útiles
Para cualquier prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
Si la base es rectangular:
\[ A_b = largo \cdot ancho \]
Si la base es triangular:
\[ A_b = \frac{base \cdot altura}{2} \]
Si la base es otra figura, primero se calcula el área de esa base y luego se multiplica por la altura del prisma.
Error común
Un error frecuente es multiplicar todas las medidas que aparecen en el dibujo sin identificar qué representan.
En un prisma, primero debemos reconocer la base y calcular su área.
Después multiplicamos esa área por la altura del prisma.
La fórmula correcta es:
\[ V = A_b \cdot h \]
No se trata de multiplicar datos al azar, sino de entender qué capa se repite.
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes prismas.
- Un prisma rectangular tiene base de \(5cm\) por \(3cm\), y altura de \(8cm\).
- Un prisma rectangular tiene base de \(10m\) por \(4m\), y altura de \(6m\).
- Un prisma triangular tiene base triangular de \(6cm\) y altura triangular de \(4cm\). La altura del prisma es \(9cm\).
- Un prisma triangular tiene base triangular de \(12m\) y altura triangular de \(5m\). La altura del prisma es \(7m\).
- Un prisma tiene área de base \(35cm^2\) y altura \(11cm\). ¿Cuál es su volumen?
Luego responde:
¿Por qué la fórmula \(V = A_b \cdot h\) sirve para distintos tipos de prismas?
¿Qué significa el área de la base dentro del cálculo del volumen?
Desafío con unidades
Un prisma tiene área de base \(0{,}8m^2\) y altura \(150cm\).
Antes de calcular, convierte la altura a metros.
Luego calcula el volumen en \(m^3\).
Idea clave
El volumen de un prisma se calcula con:
\[ V = A_b \cdot h \]
Esta fórmula significa que tomamos el área de una base y la repetimos a lo largo de la altura.
Por eso, un prisma puede entenderse como una figura plana que se extiende en el espacio.
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Objetivo
Calcular el volumen de cilindros, comprendiendo que un cilindro puede interpretarse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Un cuerpo redondo con base circular
En la página anterior estudiamos los prismas, donde una base se repite a lo largo de una altura.
El cilindro sigue una idea parecida, pero su base no es un polígono: es un círculo.
Un cilindro tiene:
- dos bases circulares iguales y paralelas,
- una superficie lateral curva,
- un radio \(r\),
- una altura \(h\).
Para calcular su volumen, pensamos en una base circular que se repite a lo largo de la altura.
Fórmula del volumen del cilindro
Como en los prismas, usamos la idea:
\[ V = A_b \cdot h \]
Pero ahora la base es un círculo.
El área de un círculo es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces, el volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2 h \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base circular.
- \(h\) es la altura del cilindro.
- \(\pi\) es aproximadamente \(3{,}14\).
El cilindro como una base circular repetida
¿Por qué aparece \(\pi r^2\)?
El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por su altura.
Como la base es circular, primero debemos calcular el área del círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Luego esa base circular se repite a lo largo de la altura:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Ejemplo 1: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(4cm\) y altura \(10cm\).
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 10 \]
\[ V = 160\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 160 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 502{,}4cm^3 \]
Ejemplo 2: cilindro con diámetro
Un cilindro tiene diámetro \(12cm\) y altura \(8cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Entonces primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 36 \cdot 8 \]
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 904{,}32cm^3 \]
Atención: radio y diámetro no son lo mismo
El radio va desde el centro del círculo hasta el borde.
El diámetro atraviesa todo el círculo pasando por el centro.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si un problema entrega el diámetro, primero hay que obtener el radio antes de usar la fórmula del volumen.
Comparación con el prisma
El prisma y el cilindro comparten la misma idea general:
\[ V = A_b \cdot h \]
La diferencia está en la forma de la base.
| Cuerpo | Base | Volumen |
|---|---|---|
| Prisma | polígono | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | círculo | \(V = \pi r^2 h\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro es \(10cm\), no debemos reemplazar \(r = 10\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cuadrado.
La fórmula correcta es:
\[ V = \pi r^2h \]
No:
\[ V = \pi rh \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes cilindros. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(3cm\), altura \(7cm\).
- Radio \(5m\), altura \(12m\).
- Radio \(2cm\), altura \(15cm\).
- Diámetro \(10cm\), altura \(8cm\).
- Diámetro \(6m\), altura \(9m\).
Luego responde:
¿Por qué el volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas?
¿Por qué el cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\), aunque no sea un prisma?
Desafío con capacidad
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\).
Calcula su volumen en \(cm^3\).
Luego expresa aproximadamente su capacidad en \(mL\), recordando que:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Idea clave
El cilindro puede entenderse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Por eso:
\[ V = A_b \cdot h \]
Como la base es un círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces:
\[ V = \pi r^2h \]
Esta fórmula cuenta cuántas unidades cúbicas llenan el cilindro.
6. 6
Objetivo
Calcular el volumen de pirámides, comprendiendo que una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.
Una base que termina en un vértice
Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice.
La base puede ser triangular, cuadrada, rectangular, pentagonal u otra figura poligonal.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el área de la base, \(A_b\),
- la altura perpendicular de la pirámide, \(h\).
La altura no es una arista lateral inclinada. La altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base.
Fórmula del volumen de una pirámide
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular de la pirámide.
La división por \(3\) aparece porque una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma que tiene la misma base y la misma altura.
Comparación con un prisma
¿Por qué se divide por 3?
Un prisma mantiene la misma base a lo largo de toda su altura.
En cambio, una pirámide comienza con una base y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, una pirámide no ocupa todo el espacio del prisma que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen de la pirámide} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del prisma} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Ejemplo 1: pirámide de base rectangular
Una pirámide tiene base rectangular de \(8cm\) por \(5cm\), y altura \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 8 \cdot 5 \]
\[ A_b = 40cm^2 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{40 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{480}{3} \]
\[ V = 160cm^3 \]
Ejemplo 2: pirámide con área de base conocida
Una pirámide tiene área de base \(54m^2\) y altura \(10m\).
Usamos:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{54 \cdot 10}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180m^3 \]
Esto significa que la pirámide ocupa \(180\) unidades cúbicas de \(1m^3\).
Atención con la altura
En una pirámide pueden aparecer medidas inclinadas, especialmente en sus caras laterales.
Pero para calcular volumen necesitamos la altura perpendicular.
La altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
Si usamos una arista lateral inclinada como si fuera altura, el volumen resultará incorrecto.
Comparación con el prisma
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Prisma | \(V = A_b \cdot h\) | base repetida a lo largo de la altura |
| Pirámide | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) | un tercio del prisma correspondiente |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si una pirámide tiene \(A_b = 30cm^2\) y \(h = 9cm\), no basta con hacer:
\[ 30 \cdot 9 = 270 \]
Eso correspondería al volumen de un prisma con esa base y altura.
Para la pirámide debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{30 \cdot 9}{3} = 90cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes pirámides.
- Área de base \(24cm^2\), altura \(9cm\).
- Área de base \(60m^2\), altura \(12m\).
- Base rectangular de \(10cm\) por \(6cm\), altura \(15cm\).
- Base cuadrada de lado \(8m\), altura \(9m\).
- Base triangular de \(12cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura de la pirámide es \(18cm\).
Luego responde:
¿Por qué la fórmula de la pirámide se parece a la del prisma, pero dividida por \(3\)?
¿Qué altura se usa para calcular volumen: la inclinada o la perpendicular?
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
para encontrar su altura.
Idea clave
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
La pirámide se relaciona con un prisma de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese prisma, por eso aparece la división por \(3\).
7. 7
Objetivo
Calcular el volumen de conos, comprendiendo que un cono ocupa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura.
Un cuerpo redondo que termina en un vértice
Un cono es un cuerpo geométrico que tiene una base circular y una superficie lateral curva que termina en un vértice.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el radio de la base circular, \(r\),
- la altura perpendicular del cono, \(h\).
La altura no es la línea inclinada del costado. La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, formando un ángulo recto con la base.
Fórmula del volumen del cono
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y la misma altura.
El volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2h \]
El cono ocupa un tercio de ese cilindro.
Por eso, el volumen del cono es:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
Comparación con un cilindro
¿Por qué se divide por 3?
Un cilindro mantiene la misma base circular a lo largo de toda su altura.
En cambio, un cono comienza con una base circular y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, no ocupa todo el espacio del cilindro que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen del cono} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del cilindro} \]
Por eso:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Ejemplo 1: cono con radio y altura
Un cono tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{108\pi}{3} \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 = 113{,}04cm^3 \]
Ejemplo 2: cono con diámetro
Un cono tiene diámetro \(10cm\) y altura \(9cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{225\pi}{3} \]
\[ V = 75\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 235{,}5cm^3 \]
Atención: altura y generatriz
En un cono pueden aparecer dos medidas verticales o inclinadas:
- la altura, que baja perpendicularmente desde el vértice hasta el centro de la base;
- la generatriz, que va inclinada desde el vértice hasta el borde de la base.
Para calcular volumen usamos la altura perpendicular, no la generatriz.
La generatriz será más importante cuando estudiemos la superficie del cono.
Comparación con el cilindro
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Cilindro | \(V = \pi r^2h\) | base circular repetida en altura |
| Cono | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) | un tercio del cilindro correspondiente |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si un cono tiene \(r = 4cm\) y \(h = 6cm\), no basta con hacer:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 \]
Eso corresponde al cilindro de igual base y altura.
Para el cono debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 6}{3} \]
Otro error frecuente es usar el diámetro como si fuera radio. Si aparece el diámetro, primero se calcula:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes conos. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(2cm\), altura \(9cm\).
- Radio \(5m\), altura \(12m\).
- Radio \(4cm\), altura \(15cm\).
- Diámetro \(8cm\), altura \(6cm\).
- Diámetro \(14m\), altura \(9m\).
Luego responde:
¿Por qué el volumen del cono se parece al volumen del cilindro, pero dividido por \(3\)?
¿Qué medida se usa para calcular el volumen del cono: la altura o la generatriz?
Desafío
Un cono tiene volumen \(96\pi cm^3\) y altura \(18cm\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
para encontrar el radio de su base.
Idea clave
El volumen de un cono se calcula con:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese cilindro, por eso aparece la división por \(3\).
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Objetivo
Calcular el volumen de esferas, comprendiendo que una esfera queda determinada por su radio y que su volumen depende de una medida elevada al cubo.
Un cuerpo redondo sin base ni altura
La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo.
A diferencia del prisma, el cilindro, la pirámide o el cono, la esfera no tiene:
- bases,
- caras planas,
- aristas,
- vértices,
- altura.
Para calcular su volumen necesitamos un dato principal:
el radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
- \(r^3\) significa \(r \cdot r \cdot r\).
El exponente \(3\) aparece porque estamos calculando volumen, es decir, una medida tridimensional.
La esfera queda determinada por su radio
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el volumen de una esfera aparece \(r^3\) porque el volumen depende de tres dimensiones.
Esto significa que si el radio cambia, el volumen cambia mucho más rápido.
Por ejemplo, si el radio se duplica, el volumen no se duplica.
Como aparece \(r^3\), el volumen se multiplica por:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces, una esfera con el doble de radio tiene \(8\) veces el volumen.
Ejemplo 1: esfera con radio conocido
Una esfera tiene radio \(3cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 113{,}04cm^3 \]
Ejemplo 2: esfera con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 523{,}33cm^3 \]
Atención: radio y diámetro
En una esfera, el diámetro atraviesa la esfera pasando por el centro.
El radio va desde el centro hasta la superficie.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si el problema entrega el diámetro, primero debemos dividir por \(2\) para encontrar el radio.
Comparación con otros cuerpos
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cilindro | radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Cono | radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro de una esfera es \(12cm\), no debemos reemplazar \(r = 12\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cubo.
La fórmula correcta es:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
No:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^2 \]
El \(r^2\) aparece en áreas; para volumen aparece \(r^3\).
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes esferas. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
- Radio \(2cm\).
- Radio \(4cm\).
- Radio \(6m\).
- Diámetro \(8cm\).
- Diámetro \(14m\).
Luego responde:
¿Por qué la fórmula de la esfera usa \(r^3\)?
¿Qué dato necesitas si quieres calcular el volumen de una pelota?
Desafío
Una esfera tiene volumen:
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
para encontrar su radio.
Idea clave
La esfera es un cuerpo redondo que queda determinado por su radio.
Su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
El exponente \(3\) recuerda que el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso el resultado se expresa en unidades cúbicas:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]
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Objetivo
Relacionar el volumen de cuerpos geométricos con la capacidad de recipientes, usando equivalencias entre unidades cúbicas, mililitros y litros.
Volumen y capacidad
El volumen mide cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
La capacidad mide cuánto puede contener un recipiente.
Por ejemplo, una caja, una lata, un vaso, un estanque o una botella pueden estudiarse desde el volumen porque tienen espacio interior.
Cuando el cuerpo funciona como recipiente, podemos expresar ese volumen como capacidad.
Por eso usamos equivalencias como:
\[ cm^3,\quad mL,\quad L,\quad m^3 \]
Equivalencias importantes
Las equivalencias más usadas son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1000mL = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Estas equivalencias permiten pasar de un volumen geométrico a una capacidad.
De volumen a capacidad
¿Cuándo conviene usar litros?
Cuando calculamos el volumen de un recipiente, muchas veces el resultado aparece en \(cm^3\) o \(m^3\).
Pero en la vida cotidiana solemos hablar de capacidad usando \(mL\) o \(L\).
Por ejemplo:
- una lata puede tener capacidad aproximada de \(350mL\),
- una botella puede tener capacidad de \(1{,}5L\),
- un estanque puede tener capacidad de varios litros o metros cúbicos.
Por eso es importante saber convertir.
Ejemplo 1: de \(cm^3\) a \(mL\)
Una caja pequeña tiene volumen \(750cm^3\).
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 750cm^3 = 750mL \]
La capacidad de la caja sería de \(750mL\), si se pudiera llenar completamente.
Ejemplo 2: de \(cm^3\) a litros
Un recipiente tiene volumen \(3500cm^3\).
Sabemos que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Entonces dividimos por \(1000\):
\[ 3500cm^3 = 3{,}5L \]
El recipiente tiene una capacidad de \(3{,}5L\).
Ejemplo 3: cilindro y capacidad
Un recipiente cilíndrico tiene radio \(5cm\) y altura \(20cm\).
Calculamos su volumen:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 \]
\[ V = 500\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 500 \cdot 3{,}14 = 1570cm^3 \]
Como \(1cm^3 = 1mL\):
\[ 1570cm^3 = 1570mL \]
Y como \(1000mL = 1L\):
\[ 1570mL = 1{,}57L \]
La capacidad aproximada del recipiente es \(1{,}57L\).
Ejemplo 4: de \(m^3\) a litros
Un estanque tiene volumen \(2{,}4m^3\).
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Entonces:
\[ 2{,}4m^3 = 2{,}4 \cdot 1000L \]
\[ 2{,}4m^3 = 2400L \]
El estanque puede contener aproximadamente \(2400L\).
Resumen de conversiones
| Conversión | Procedimiento | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(cm^3\) a \(mL\) | se mantiene el número | \(480cm^3 = 480mL\) |
| \(cm^3\) a \(L\) | dividir por \(1000\) | \(2500cm^3 = 2{,}5L\) |
| \(L\) a \(cm^3\) | multiplicar por \(1000\) | \(3L = 3000cm^3\) |
| \(m^3\) a \(L\) | multiplicar por \(1000\) | \(4m^3 = 4000L\) |
| \(L\) a \(m^3\) | dividir por \(1000\) | \(750L = 0{,}75m^3\) |
Atención: volumen exterior y capacidad útil
En algunos problemas escolares, suponemos que el volumen calculado corresponde a la capacidad del recipiente.
Pero en objetos reales hay detalles que pueden cambiar el resultado:
- grosor del material,
- bordes redondeados,
- espacios que no se llenan completamente,
- tapas o zonas vacías.
Por eso, en la realidad, la capacidad útil puede ser un poco menor que el volumen exterior calculado.
En este libro trabajaremos con modelos geométricos ideales.
Error común
Un error frecuente es creer que:
\[ 1L = 1cm^3 \]
Eso es incorrecto.
La equivalencia correcta es:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
y como:
\[ 1000mL = 1L \]
entonces:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones.
- \(450cm^3\) a \(mL\).
- \(1250cm^3\) a \(L\).
- \(3{,}8L\) a \(cm^3\).
- \(0{,}6m^3\) a \(L\).
- \(2500L\) a \(m^3\).
- \(7{,}5L\) a \(mL\).
Problemas
- Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(15cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Una lata cilíndrica tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
- Un estanque rectangular mide \(2m\) de largo, \(1{,}5m\) de ancho y \(1m\) de alto. Calcula su volumen en \(m^3\) y su capacidad en litros.
- Un recipiente tiene capacidad de \(5L\). ¿Cuál es su volumen en \(cm^3\)?
- Una pecera tiene volumen de \(0{,}18m^3\). ¿Cuántos litros de agua puede contener?
Pregunta para pensar
Dos recipientes tienen el mismo volumen, pero formas distintas: uno es cilíndrico y otro rectangular.
¿Pueden tener la misma capacidad?
Explica tu respuesta usando la idea de volumen.
Idea clave
El volumen permite medir cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
Cuando ese cuerpo funciona como recipiente, podemos interpretar su volumen como capacidad.
Las equivalencias más importantes son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Así conectamos la geometría con recipientes reales como cajas, botellas, latas, estanques y peceras.
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Objetivo
Integrar el cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, el uso correcto de fórmulas, las conversiones de unidades y la interpretación de resultados en contextos geométricos y cotidianos.
Antes de calcular, piensa
En este libro aprendimos que calcular volumen no consiste solo en reemplazar datos en una fórmula.
Antes de calcular, conviene hacerse cuatro preguntas:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Están las unidades en la misma medida?
- ¿Qué significa el resultado?
La idea central sigue siendo la misma:
el volumen mide cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o espacio.
Ruta para resolver problemas de volumen
Resumen de fórmulas de volumen
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo | arista \(a\) | \(V = a^3\) |
| Ortoedro | largo, ancho y alto | \(V = largo \cdot ancho \cdot alto\) |
| Prisma | área de la base y altura | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Pirámide | área de la base y altura | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) |
| Cono | radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Resumen de conversiones útiles
Para interpretar volúmenes como capacidad, usamos:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
También recuerda que las unidades de volumen cambian con el factor al cubo.
Por ejemplo:
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Parte A: reconocer el cuerpo
Indica qué cuerpo geométrico corresponde en cada caso y qué datos necesitarías para calcular su volumen.
- Una caja de zapatos.
- Una lata de bebida.
- Un dado.
- Un cono de helado.
- Una pelota.
- Una carpa con forma de prisma triangular.
- Una pirámide de base cuadrada.
- Un estanque cilíndrico.
Parte B: elegir la fórmula correcta
Para cada situación, escribe la fórmula que corresponde. No calcules todavía.
- Cubo de arista \(9cm\).
- Ortoedro de \(12cm\), \(8cm\) y \(5cm\).
- Prisma con área de base \(45cm^2\) y altura \(10cm\).
- Cilindro de radio \(4cm\) y altura \(15cm\).
- Pirámide con área de base \(60m^2\) y altura \(9m\).
- Cono de radio \(6cm\) y altura \(12cm\).
- Esfera de radio \(5cm\).
Parte C: calcular volúmenes
Calcula el volumen de cada cuerpo. Usa unidades cúbicas en tu respuesta.
- Un cubo tiene arista de \(7cm\).
- Una caja rectangular mide \(10cm\) de largo, \(6cm\) de ancho y \(4cm\) de alto.
- Un prisma tiene área de base \(32cm^2\) y altura \(11cm\).
- Un cilindro tiene radio \(3cm\) y altura \(20cm\).
- Una pirámide tiene área de base \(48m^2\) y altura \(15m\).
- Un cono tiene radio \(5cm\) y altura \(9cm\).
- Una esfera tiene radio \(6cm\).
Cuando aparezca \(\pi\), puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Parte D: problemas con diámetro
Recuerda que si se entrega el diámetro, primero debes encontrar el radio.
\[ r = \frac{d}{2} \]
- Un cilindro tiene diámetro \(10cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen.
- Un cono tiene diámetro \(8cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
- Una esfera tiene diámetro \(18cm\). Calcula su volumen.
Parte E: volumen y capacidad
Resuelve los siguientes problemas interpretando el volumen como capacidad.
- Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(15cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un recipiente cilíndrico tiene radio \(4cm\) y altura \(25cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
- Una pecera mide \(60cm\) de largo, \(30cm\) de ancho y \(40cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un estanque tiene volumen \(3{,}5m^3\). ¿Cuántos litros puede contener?
- Una botella tiene capacidad de \(1{,}5L\). ¿Cuál es su volumen equivalente en \(cm^3\)?
Parte F: problemas inversos
En estos ejercicios, falta una medida. Usa la fórmula correspondiente para encontrarla.
- Un ortoedro tiene volumen \(240cm^3\), largo \(10cm\) y ancho \(6cm\). ¿Cuál es su altura?
- Un prisma tiene volumen \(360cm^3\) y altura \(12cm\). ¿Cuál es el área de su base?
- Un cilindro tiene volumen \(200\pi cm^3\) y altura \(8cm\). ¿Cuál es el radio?
- Una pirámide tiene volumen \(150cm^3\) y área de base \(50cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- Un cono tiene volumen \(75\pi cm^3\) y altura \(9cm\). ¿Cuál es el radio de su base?
Errores que debes evitar
Revisa estos errores frecuentes antes de cerrar el libro.
- Usar \(cm^2\) cuando el resultado debe estar en \(cm^3\).
- Usar el diámetro como si fuera radio.
- Olvidar dividir por \(3\) en pirámides y conos.
- Confundir altura con generatriz en el cono.
- Mezclar unidades sin convertir antes.
- Creer que \(1L = 1cm^3\), cuando lo correcto es \(1L = 1000cm^3\).
Parte G: explica con tus palabras
Responde de manera breve, pero clara.
- ¿Qué significa que un cuerpo tenga volumen \(120cm^3\)?
- ¿Por qué el volumen se expresa en unidades cúbicas?
- ¿Por qué el prisma y el cilindro usan la idea \(V = A_b \cdot h\)?
- ¿Por qué la pirámide y el cono tienen una división por \(3\)?
- ¿Qué diferencia hay entre volumen y superficie?
- ¿Qué relación hay entre volumen y capacidad?
Cierre del libro
En este libro estudiamos el volumen de cuerpos geométricos.
La idea central fue:
\[ \text{volumen} = \text{cantidad de unidades cúbicas que llenan un cuerpo} \]
Las fórmulas permiten calcular esa cantidad de manera más rápida, pero todas se apoyan en una idea geométrica:
- el cubo y el ortoedro cuentan largo, ancho y alto;
- el prisma repite una base a lo largo de una altura;
- el cilindro repite una base circular;
- la pirámide ocupa un tercio del prisma correspondiente;
- el cono ocupa un tercio del cilindro correspondiente;
- la esfera depende completamente de su radio.
En el próximo libro cambiaremos la pregunta.
Ya no preguntaremos cuánto espacio ocupa el cuerpo, sino:
¿cuánta superficie lo cubre?
Ahí comenzaremos el estudio de áreas y superficies de cuerpos geométricos.