Libro de los volumenes
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | Libro de los volumenes |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 25 de julio de 2026, 18:38 |
Tabla de contenidos
- 1. ¿Qué significa calcular volumen?
- 2. Antes de calcular: reconocer el cuerpo y sus datos
- 3. Volumen del cubo y del ortoedro
- 4. Volumen de prismas
- 5. Volumen del cilindro
- 6. Volumen de pirámides
- 7. Volumen del cono
- 8. Volumen de la esfera
- 9. Volumen, capacidad y conversiones
- 10. Taller de cierre: calcular, convertir e interpretar volúmenes
- 11. Juntando
1. ¿Qué significa calcular volumen?
Objetivo
- Comprender que calcular volumen significa determinar cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o un espacio, y reconocer que las fórmulas de volumen son formas rápidas de contar cubos unitarios.
La pregunta central del volumen
En el libro anterior vimos que medir es contar unidades.
Ahora nos concentraremos en una medida especial de la Geometría 3D:
el volumen.
Calcular el volumen de un cuerpo significa responder:
¿Cuántas unidades cúbicas llenan este espacio?
Por eso el volumen se expresa con unidades cúbicas, como:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]
Volumen como conteo de cubos
Un cubo de \(1cm^3\) es un cubo que mide:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Entonces, si un cuerpo tiene volumen \(24cm^3\), eso significa que en él caben:
\[ 24 \text{ cubos de } 1cm^3 \]
La idea central de este libro será:
\[ \text{volumen} = \text{cantidad de unidades cúbicas que llenan un cuerpo} \]
Un cuerpo formado por cubos unitarios
Volumen no es superficie
Es importante no confundir volumen con superficie.
La superficie mide lo que cubre o envuelve un cuerpo.
El volumen mide el espacio que ocupa o que puede contener.
Por eso:
\[ \text{superficie} \rightarrow cm^2,\ m^2 \]
\[ \text{volumen} \rightarrow cm^3,\ m^3 \]
En este libro nos concentraremos en el volumen. Las superficies se estudiarán después en otro libro.
Ejemplo inicial
Un bloque está formado por \(5\) cubos de largo, \(2\) cubos de ancho y \(3\) cubos de alto.
Primero contamos una capa:
\[ 5 \cdot 2 = 10 \]
Hay \(10\) cubos en cada capa.
Como el bloque tiene \(3\) capas:
\[ 10 \cdot 3 = 30 \]
Entonces:
\[ V = 30u^3 \]
Esto significa que el cuerpo está formado por 30 cubos unitarios.
La fórmula como conteo rápido
Cuando un cuerpo tiene forma de caja rectangular, podemos contar los cubos usando:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Esta fórmula no aparece de la nada.
Representa una forma rápida de contar:
\[ \text{cubos por fila} \times \text{filas por capa} \times \text{número de capas} \]
Durante este libro, cada fórmula de volumen se entenderá de esta manera: como una forma eficiente de contar unidades cúbicas.
Actividad
Responde pensando el volumen como conteo de cubos unitarios.
Actividad 1
Un bloque tiene \(3\) cubos de largo, \(2\) de ancho y \(2\) de alto. ¿Cuántos cubos unitarios lo forman?
Para contar los cubos unitarios, multiplicamos las tres dimensiones del bloque:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos los datos:
\[ V = 3 \cdot 2 \cdot 2 \]
Primero, una capa tiene:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Como hay \(2\) capas:
\[ 6 \cdot 2 = 12 \]
El bloque está formado por 12 cubos unitarios.
Actividad 2
Un cuerpo tiene \(4\) cubos por capa y \(5\) capas. ¿Cuál es su volumen en unidades cúbicas?
Si cada capa tiene \(4\) cubos y el cuerpo tiene \(5\) capas, multiplicamos:
\[ V = 4 \cdot 5 \]
\[ V = 20 \]
Por lo tanto, el volumen es:
\[ V = 20u^3 \]
Esto significa que el cuerpo está formado por 20 cubos unitarios.
Actividad 3
Un bloque tiene \(6\) cubos de largo, \(3\) de ancho y \(2\) de alto. ¿Cuál es su volumen?
Usamos la fórmula del volumen de una caja rectangular:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 6 \cdot 3 \cdot 2 \]
Primero contamos los cubos de una capa:
\[ 6 \cdot 3 = 18 \]
Como hay \(2\) capas:
\[ 18 \cdot 2 = 36 \]
Entonces:
\[ V = 36u^3 \]
El bloque tiene un volumen de 36 unidades cúbicas.
Actividad 4
Explica con tus palabras qué significa que un cuerpo tenga volumen \(48cm^3\).
Un volumen de \(48cm^3\) significa que el cuerpo ocupa el mismo espacio que 48 cubos de \(1cm^3\).
Cada cubo de \(1cm^3\) mide:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Por lo tanto, decir que un cuerpo tiene volumen \(48cm^3\) significa que en ese espacio caben \(48\) cubos unitarios de un centímetro cúbico.
Actividad 5
¿Por qué el volumen se expresa con unidades cúbicas y no con unidades cuadradas?
El volumen se expresa con unidades cúbicas porque mide espacio tridimensional.
Para formar una unidad de volumen se consideran tres dimensiones:
\[ largo,\quad ancho,\quad alto \]
Por ejemplo:
\[ 1cm \cdot 1cm \cdot 1cm = 1cm^3 \]
En cambio, las unidades cuadradas, como \(cm^2\), se usan para medir superficies, porque consideran solo dos dimensiones: largo y ancho.
Por eso:
\[ \text{superficie} \rightarrow cm^2 \]
\[ \text{volumen} \rightarrow cm^3 \]
Idea clave
Calcular volumen significa determinar cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o un espacio.
\[ \text{volumen} \rightarrow \text{conteo de cubos unitarios} \]
Las fórmulas de volumen son herramientas para contar esos cubos de manera más rápida.
En las próximas páginas estudiaremos distintos cuerpos geométricos y veremos cómo calcular su volumen.
2. Antes de calcular: reconocer el cuerpo y sus datos
Objetivo
- Reconocer distintos cuerpos geométricos y distinguir los datos que se necesitan para calcular su volumen, como arista, largo, ancho, altura, radio, diámetro y área de la base.
Antes de usar una fórmula
Para calcular el volumen de un cuerpo, primero debemos reconocer qué cuerpo es y qué datos son importantes.
No todos los cuerpos se describen de la misma manera.
Un cubo se describe usando su arista.
Un ortoedro se describe usando largo, ancho y alto.
Un cilindro o un cono se describen usando radio y altura.
Una esfera se describe usando su radio.
La idea no es memorizar nombres sueltos, sino saber qué información permite responder:
¿Cuántas unidades cúbicas llenan este cuerpo?
Una aclaración importante
Los cuerpos poligonales, como cubos, ortoedros, prismas y pirámides, tienen caras, aristas y vértices.
Pero los cuerpos redondos no siempre siguen esa estructura.
Un cilindro tiene bases circulares y una superficie curva.
Un cono tiene una base circular, una superficie lateral curva y un vértice.
Una esfera no tiene caras planas, aristas ni vértices.
Por eso, para calcular volumen debemos aprender a reconocer los elementos relevantes de cada tipo de cuerpo.
Cuerpos y datos importantes
Tabla de orientación
| Cuerpo | Datos necesarios para el volumen | Idea geométrica |
|---|---|---|
| Cubo | Arista | Todas sus dimensiones son iguales. |
| Ortoedro | Largo, ancho y alto | Caja rectangular formada por capas. |
| Prisma | Área de la base y altura | Una base que se repite a lo largo de una altura. |
| Cilindro | Radio y altura | Base circular que se repite en altura. |
| Pirámide | Área de la base y altura | Relacionada con un prisma de igual base y altura. |
| Cono | Radio y altura | Relacionado con un cilindro de igual base y altura. |
| Esfera | Radio | Cuerpo redondo determinado por su radio. |
La altura debe ser perpendicular
En varios cuerpos, como prismas, cilindros, pirámides y conos, la altura es un dato fundamental.
Pero hay que tener cuidado: la altura no siempre es el lado inclinado que vemos en el dibujo.
La altura es la distancia perpendicular entre la base y el punto o plano correspondiente.
En un cono, por ejemplo, la altura baja desde el vértice hasta el centro de la base.
La línea inclinada del cono se llama generatriz, y será más importante cuando estudiemos superficies. Para volumen, normalmente necesitamos el radio y la altura.
Ejemplo
Supongamos que queremos calcular el volumen de un cilindro.
Antes de calcular, debemos preguntarnos:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Los datos corresponden realmente a ese cuerpo?
Para un cilindro necesitamos conocer su radio y su altura.
Si nos entregan el diámetro, primero podemos obtener el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Luego, en una página posterior, usaremos esos datos para calcular su volumen.
Error común
Un error frecuente es usar cualquier medida que aparezca en el dibujo, sin revisar qué representa.
Por ejemplo, en un cono no es lo mismo la altura que la generatriz.
La altura va perpendicular a la base.
La generatriz va inclinada por la superficie lateral.
Para calcular volumen, la medida importante es la altura perpendicular.
Actividad
Para cada situación, identifica el cuerpo y los datos necesarios para calcular su volumen.
Actividad 1
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una caja rectangular y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una caja rectangular corresponde a un ortoedro.
Para calcular su volumen se necesitan tres medidas:
\[ largo,\quad ancho,\quad alto \]
La idea es contar cuántos cubos unitarios caben en una capa y luego multiplicar por la cantidad de capas.
Por eso, más adelante se usará:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Actividad 2
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un dado con todas sus aristas iguales y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un dado con todas sus aristas iguales corresponde a un cubo.
Para calcular su volumen basta conocer la medida de una arista, porque el largo, el ancho y el alto son iguales.
Si la arista mide \(a\), entonces sus tres dimensiones son:
\[ a,\quad a,\quad a \]
Por eso, más adelante se usará:
\[ V = a^3 \]
Actividad 3
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una lata de bebida y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una lata de bebida se puede modelar como un cilindro.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio corresponde a la distancia desde el centro de la base circular hasta su borde.
La altura corresponde a la distancia perpendicular entre las dos bases circulares.
Si se entrega el diámetro, primero se obtiene el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 4
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una pirámide de base cuadrada y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una pirámide de base cuadrada corresponde a una pirámide.
Para calcular su volumen se necesita conocer:
\[ \text{área de la base} \quad \text{y} \quad \text{altura} \]
Como la base es cuadrada, para obtener el área de la base se puede usar la medida del lado del cuadrado.
Si el lado de la base mide \(a\), entonces:
\[ A_{\text{base}} = a^2 \]
La altura debe ser perpendicular desde el vértice hasta la base, no una arista lateral inclinada.
Actividad 5
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un cono de tránsito y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un cono de tránsito se puede modelar como un cono.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio se mide en la base circular.
La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, de manera perpendicular.
No se debe confundir la altura con la generatriz, porque la generatriz es la línea inclinada que va por la superficie lateral.
Actividad 6
Identifica el cuerpo geométrico asociado a una pelota y los datos necesarios para calcular su volumen.
Una pelota se puede modelar como una esfera.
Para calcular su volumen se necesita conocer su radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Si se conoce el diámetro, primero se puede calcular el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 7
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un prisma triangular y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un prisma triangular corresponde a un prisma cuya base es un triángulo.
Para calcular su volumen se necesita:
\[ \text{área de la base} \quad \text{y} \quad \text{altura del prisma} \]
Como la base es triangular, el área de la base se puede calcular con:
\[ A_{\text{base}} = \frac{b \cdot h}{2} \]
Luego, esa base triangular se repite a lo largo de la altura del prisma.
Actividad 8
Identifica el cuerpo geométrico asociado a un estanque cilíndrico y los datos necesarios para calcular su volumen.
Un estanque cilíndrico se puede modelar como un cilindro.
Para calcular su volumen se necesitan:
\[ radio \quad \text{y} \quad altura \]
El radio corresponde a la base circular del estanque.
La altura corresponde a la distancia perpendicular entre la base inferior y la base superior.
Si se entrega el diámetro del estanque, primero se calcula:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad 9
¿Por qué no basta con saber el nombre del cuerpo para calcular su volumen?
No basta con saber el nombre del cuerpo porque también se necesitan las medidas correctas.
Por ejemplo, saber que un cuerpo es un cilindro indica qué tipo de fórmula se usará, pero no permite calcular su volumen si no conocemos su radio y su altura.
Además, algunas medidas pueden parecer útiles, pero no ser las necesarias para volumen.
Por eso, antes de calcular, conviene preguntarse:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesita ese cuerpo?
- ¿Las medidas entregadas corresponden a esos datos?
Actividad 10
¿Qué diferencia hay entre altura y generatriz en un cono?
En un cono, la altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el centro de la base.
La generatriz, en cambio, es la línea inclinada que va desde el vértice hasta un punto del borde de la base, recorriendo la superficie lateral.
Para calcular volumen, normalmente se necesita la altura perpendicular, no la generatriz.
Por eso, si un dibujo muestra una medida inclinada, no se debe usar automáticamente como altura.
Idea clave
Antes de calcular volumen, debemos reconocer el cuerpo y sus datos importantes.
En cuerpos poligonales pueden aparecer caras, aristas y vértices.
En cuerpos redondos aparecen elementos como radio, diámetro, altura, base circular y superficie curva.
Calcular volumen no comienza con una fórmula: comienza entendiendo qué cuerpo estamos midiendo.
3. Volumen del cubo y del ortoedro
Objetivo
- Calcular el volumen de cubos y ortoedros, comprendiendo que multiplicar largo, ancho y alto permite contar cuántas unidades cúbicas llenan el cuerpo.
El caso más directo: cajas formadas por capas
Comenzaremos con cuerpos que se pueden imaginar como cajas rectangulares llenas de cubos unitarios.
Estos cuerpos son importantes porque permiten entender la idea básica del volumen:
contar cubos por largo, por ancho y por alto.
Si sabemos cuántos cubos caben a lo largo, cuántos caben a lo ancho y cuántas capas hay de alto, podemos calcular el volumen multiplicando esas tres cantidades.
Volumen del ortoedro
Un ortoedro es una caja rectangular. Sus dimensiones pueden ser distintas.
Para calcular su volumen usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
También se puede escribir como:
\[ V = l \cdot a \cdot h \]
Esta fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.
Volumen como conteo de capas
Ejemplo 1: volumen de un ortoedro
Un ortoedro mide \(8cm\) de largo, \(5cm\) de ancho y \(3cm\) de alto.
Usamos:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 8 \cdot 5 \cdot 3 \]
\[ V = 120 \]
Entonces:
\[ V = 120cm^3 \]
Esto significa que en el ortoedro caben 120 cubos de \(1cm^3\).
Volumen del cubo
Un cubo es un caso especial de ortoedro.
En un cubo, todas sus aristas tienen la misma medida.
Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
Por eso escribimos:
\[ V = a^3 \]
El exponente \(3\) aparece porque el volumen considera tres dimensiones.
Ejemplo 2: volumen de un cubo
Un cubo tiene arista de \(6cm\).
Usamos:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = 6^3 \]
\[ V = 6 \cdot 6 \cdot 6 \]
\[ V = 216 \]
Entonces:
\[ V = 216cm^3 \]
El cubo puede llenarse con 216 cubos de \(1cm^3\).
Atención con las unidades
Para calcular volumen, las medidas deben estar en la misma unidad.
Por ejemplo, si un ortoedro tiene:
\[ 2m,\quad 50cm,\quad 30cm \]
No conviene multiplicar directamente \(2 \cdot 50 \cdot 30\), porque las unidades están mezcladas.
Primero debemos convertir.
Por ejemplo:
\[ 2m = 200cm \]
Luego:
\[ V = 200cm \cdot 50cm \cdot 30cm \]
\[ V = 300\,000cm^3 \]
Error común
Un error frecuente es escribir el resultado del volumen en unidades cuadradas.
Por ejemplo:
\[ V = 120cm^2 \]
Eso es incorrecto, porque \(cm^2\) mide superficie.
El volumen debe expresarse en unidades cúbicas:
\[ V = 120cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de cada cuerpo.
Actividad 1
Un ortoedro mide \(7cm\) de largo, \(4cm\) de ancho y \(3cm\) de alto. Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del ortoedro:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 7 \cdot 4 \cdot 3 \]
Primero:
\[ 7 \cdot 4 = 28 \]
Luego:
\[ 28 \cdot 3 = 84 \]
Por lo tanto:
\[ V = 84cm^3 \]
El ortoedro puede llenarse con 84 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 2
Un cubo tiene arista de \(5cm\). Calcula su volumen.
Como es un cubo, todas sus aristas tienen la misma medida.
Usamos:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos \(a = 5cm\):
\[ V = 5^3 \]
\[ V = 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
\[ V = 125 \]
Entonces:
\[ V = 125cm^3 \]
El cubo puede llenarse con 125 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 3
Una caja mide \(12cm\) de largo, \(8cm\) de ancho y \(6cm\) de alto. Calcula su volumen.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 12 \cdot 8 \cdot 6 \]
Primero:
\[ 12 \cdot 8 = 96 \]
Luego:
\[ 96 \cdot 6 = 576 \]
Por lo tanto:
\[ V = 576cm^3 \]
La caja puede llenarse con 576 cubos de \(1cm^3\).
Actividad 4
Un cubo tiene arista de \(10m\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del cubo:
\[ V = a^3 \]
Reemplazamos \(a = 10m\):
\[ V = 10^3 \]
\[ V = 10 \cdot 10 \cdot 10 \]
\[ V = 1000 \]
Entonces:
\[ V = 1000m^3 \]
El resultado se expresa en \(m^3\), porque las medidas estaban dadas en metros.
Actividad 5
Un ortoedro mide \(2m\), \(3m\) y \(4m\). Calcula su volumen.
Las tres medidas están en la misma unidad, por lo tanto podemos multiplicarlas directamente:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ V = 2 \cdot 3 \cdot 4 \]
Primero:
\[ 2 \cdot 3 = 6 \]
Luego:
\[ 6 \cdot 4 = 24 \]
Entonces:
\[ V = 24m^3 \]
El ortoedro tiene un volumen de 24 metros cúbicos.
Actividad 6
¿Por qué el cubo usa la fórmula \(V=a^3\)?
El cubo usa la fórmula \(V=a^3\) porque sus tres dimensiones son iguales.
Si la arista mide \(a\), entonces:
\[ largo = a,\quad ancho = a,\quad alto = a \]
Como el volumen se obtiene multiplicando largo, ancho y alto:
\[ V = a \cdot a \cdot a \]
Eso se escribe de forma abreviada como:
\[ V = a^3 \]
El exponente \(3\) representa que se multiplican tres dimensiones.
Actividad 7
¿Qué significa concretamente que una caja tenga volumen \(96cm^3\)?
Significa que la caja ocupa o puede contener el mismo espacio que \(96\) cubos de \(1cm^3\).
Cada cubo de \(1cm^3\) mide:
\[ 1cm \times 1cm \times 1cm \]
Por lo tanto, decir que una caja tiene volumen \(96cm^3\) significa que en ella caben 96 cubos unitarios de un centímetro cúbico.
Desafío con conversión
Una caja mide \(1{,}5m\) de largo, \(80cm\) de ancho y \(40cm\) de alto.
Convierte todas las medidas a centímetros y calcula su volumen en \(cm^3\). Luego convierte el resultado a litros, recordando que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Desafío
Una caja mide \(1{,}5m\) de largo, \(80cm\) de ancho y \(40cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y luego exprésalo en litros.
Primero convertimos todas las medidas a centímetros.
Como \(1m = 100cm\), entonces:
\[ 1{,}5m = 150cm \]
Las dimensiones de la caja son:
\[ 150cm,\quad 80cm,\quad 40cm \]
Calculamos el volumen:
\[ V = 150 \cdot 80 \cdot 40 \]
Primero:
\[ 150 \cdot 80 = 12\,000 \]
Luego:
\[ 12\,000 \cdot 40 = 480\,000 \]
Entonces:
\[ V = 480\,000cm^3 \]
Ahora convertimos a litros usando:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 480\,000cm^3 = 480L \]
Por lo tanto, el volumen de la caja es \(480\,000cm^3\), equivalente a \(480L\).
Idea clave
El volumen de un ortoedro se calcula multiplicando sus tres dimensiones:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
El cubo es un caso especial porque sus tres dimensiones son iguales:
\[ V = a^3 \]
En ambos casos, la fórmula cuenta cuántos cubos unitarios llenan el cuerpo.
4. Volumen de prismas
Objetivo
- Calcular el volumen de prismas, comprendiendo que un prisma se puede interpretar como una base que se repite a lo largo de una altura.
Del ortoedro al prisma
En la página anterior calculamos el volumen de cubos y ortoedros.
Ahora ampliaremos esa idea a otros cuerpos llamados prismas.
Un prisma es un cuerpo que tiene dos bases iguales y paralelas.
Estas bases pueden tener distintas formas:
- rectangular,
- triangular,
- cuadrada,
- pentagonal,
- hexagonal, entre otras.
La idea central es que el prisma se forma al repetir una misma base a lo largo de una altura.
Fórmula general del volumen de un prisma
Para calcular el volumen de un prisma usamos:
\[ V = A_b \cdot h \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura del prisma.
Esta fórmula significa:
volumen = área de una capa × número de capas
Un prisma como base repetida
¿Qué representa el área de la base?
El área de la base representa cuántas unidades cuadradas hay en una capa del prisma.
La altura indica cuántas veces se repite esa capa.
Por eso, al multiplicar:
\[ A_b \cdot h \]
obtenemos unidades cúbicas.
Por ejemplo:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Esto muestra que el resultado corresponde a un volumen.
Ejemplo 1: prisma rectangular
Un prisma rectangular tiene una base de \(6cm\) por \(4cm\), y una altura de \(10cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 6 \cdot 4 \]
\[ A_b = 24cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 24 \cdot 10 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Esto significa que el prisma puede llenarse con 240 cubos de \(1cm^3\).
Ejemplo 2: prisma triangular
Un prisma triangular tiene una base triangular de \(8cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura del prisma es \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{8 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = 20cm^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 20 \cdot 12 \]
\[ V = 240cm^3 \]
Por lo tanto, el prisma triangular tiene un volumen de \(240cm^3\).
Atención con las alturas
En un prisma triangular aparecen dos alturas diferentes.
Una es la altura del triángulo de la base.
La otra es la altura del prisma.
Por ejemplo:
\[ A_b = \frac{\text{base del triángulo} \cdot \text{altura del triángulo}}{2} \]
y después:
\[ V = A_b \cdot \text{altura del prisma} \]
No son necesariamente la misma medida.
Resumen de fórmulas útiles
Para cualquier prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
Si la base es rectangular:
\[ A_b = largo \cdot ancho \]
Si la base es triangular:
\[ A_b = \frac{base \cdot altura}{2} \]
Si la base es otra figura, primero se calcula el área de esa base y luego se multiplica por la altura del prisma.
Error común
Un error frecuente es multiplicar todas las medidas que aparecen en el dibujo sin identificar qué representan.
En un prisma, primero debemos reconocer la base y calcular su área.
Después multiplicamos esa área por la altura del prisma.
La fórmula correcta es:
\[ V = A_b \cdot h \]
No se trata de multiplicar datos al azar, sino de entender qué capa se repite.
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes prismas.
Actividad 1
Un prisma rectangular tiene base de \(5cm\) por \(3cm\), y altura de \(8cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 5 \cdot 3 \]
\[ A_b = 15cm^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 15 \cdot 8 \]
\[ V = 120cm^3 \]
El volumen del prisma es \(120cm^3\).
Actividad 2
Un prisma rectangular tiene base de \(10m\) por \(4m\), y altura de \(6m\). Calcula su volumen.
Calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 10 \cdot 4 \]
\[ A_b = 40m^2 \]
Ahora multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 40 \cdot 6 \]
\[ V = 240m^3 \]
El volumen del prisma es \(240m^3\).
Actividad 3
Un prisma triangular tiene base triangular de \(6cm\) y altura triangular de \(4cm\). La altura del prisma es \(9cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{6 \cdot 4}{2} \]
\[ A_b = \frac{24}{2} \]
\[ A_b = 12cm^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 12 \cdot 9 \]
\[ V = 108cm^3 \]
El volumen del prisma triangular es \(108cm^3\).
Actividad 4
Un prisma triangular tiene base triangular de \(12m\) y altura triangular de \(5m\). La altura del prisma es \(7m\). Calcula su volumen.
Calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{12 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = \frac{60}{2} \]
\[ A_b = 30m^2 \]
Luego multiplicamos por la altura del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 30 \cdot 7 \]
\[ V = 210m^3 \]
El volumen del prisma triangular es \(210m^3\).
Actividad 5
Un prisma tiene área de base \(35cm^2\) y altura \(11cm\). ¿Cuál es su volumen?
En este caso ya se conoce el área de la base:
\[ A_b = 35cm^2 \]
La altura del prisma es:
\[ h = 11cm \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 35 \cdot 11 \]
\[ V = 385cm^3 \]
El volumen del prisma es \(385cm^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula \(V = A_b \cdot h\) sirve para distintos tipos de prismas?
La fórmula \(V = A_b \cdot h\) sirve para distintos tipos de prismas porque todos los prismas tienen una base que se repite a lo largo de una altura.
La forma de la base puede cambiar: puede ser rectangular, triangular, pentagonal u otra.
Pero en todos los casos, primero se calcula el área de una capa, que es el área de la base:
\[ A_b \]
Luego se multiplica por la altura, que indica cuánto se extiende o se repite esa base:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso la misma idea funciona para cualquier prisma.
Actividad 7
¿Qué significa el área de la base dentro del cálculo del volumen?
El área de la base representa la cantidad de unidades cuadradas que hay en una capa del prisma.
Por ejemplo, si:
\[ A_b = 20cm^2 \]
eso significa que una capa ocupa \(20\) unidades cuadradas.
Al multiplicar esa área por la altura, contamos cuántas unidades cúbicas llenan todo el prisma:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Por eso el resultado final es un volumen.
Desafío con unidades
Un prisma tiene área de base \(0{,}8m^2\) y altura \(150cm\).
Antes de calcular, convierte la altura a metros. Luego calcula el volumen en \(m^3\).
Desafío
Un prisma tiene área de base \(0{,}8m^2\) y altura \(150cm\). Calcula su volumen en \(m^3\).
Primero convertimos la altura a metros.
Como:
\[ 100cm = 1m \]
entonces:
\[ 150cm = 1{,}5m \]
Ahora usamos la fórmula del volumen del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
Reemplazamos:
\[ V = 0{,}8 \cdot 1{,}5 \]
\[ V = 1{,}2m^3 \]
Por lo tanto, el volumen del prisma es \(1{,}2m^3\).
Idea clave
El volumen de un prisma se calcula con:
\[ V = A_b \cdot h \]
Esta fórmula significa que tomamos el área de una base y la repetimos a lo largo de la altura.
Por eso, un prisma puede entenderse como una figura plana que se extiende en el espacio.
5. Volumen del cilindro
Objetivo
- Calcular el volumen de cilindros, comprendiendo que un cilindro puede interpretarse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Un cuerpo redondo con base circular
En la página anterior estudiamos los prismas, donde una base se repite a lo largo de una altura.
El cilindro sigue una idea parecida, pero su base no es un polígono: es un círculo.
Un cilindro tiene:
- dos bases circulares iguales y paralelas,
- una superficie lateral curva,
- un radio \(r\),
- una altura \(h\).
Para calcular su volumen, pensamos en una base circular que se repite a lo largo de la altura.
Fórmula del volumen del cilindro
Como en los prismas, usamos la idea:
\[ V = A_b \cdot h \]
Pero ahora la base es un círculo.
El área de un círculo es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces, el volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2 h \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base circular.
- \(h\) es la altura del cilindro.
- \(\pi\) es aproximadamente \(3{,}14\).
El cilindro como una base circular repetida
¿Por qué aparece \(\pi r^2\)?
El volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por su altura.
Como la base es circular, primero debemos calcular el área del círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Luego esa base circular se repite a lo largo de la altura:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Ejemplo 1: cilindro con radio y altura
Un cilindro tiene radio \(4cm\) y altura \(10cm\).
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 10 \]
\[ V = 160\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 160 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 502{,}4cm^3 \]
El cilindro tiene un volumen exacto de \(160\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(502{,}4cm^3\).
Ejemplo 2: cilindro con diámetro
Un cilindro tiene diámetro \(12cm\) y altura \(8cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Entonces primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Ahora usamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 36 \cdot 8 \]
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 904{,}32cm^3 \]
El cilindro tiene un volumen exacto de \(288\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(904{,}32cm^3\).
Atención: radio y diámetro no son lo mismo
El radio va desde el centro del círculo hasta el borde.
El diámetro atraviesa todo el círculo pasando por el centro.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si un problema entrega el diámetro, primero hay que obtener el radio antes de usar la fórmula del volumen.
Comparación con el prisma
El prisma y el cilindro comparten la misma idea general:
\[ V = A_b \cdot h \]
La diferencia está en la forma de la base.
| Cuerpo | Base | Volumen |
|---|---|---|
| Prisma | Polígono | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | Círculo | \(V = \pi r^2 h\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro es \(10cm\), no debemos reemplazar \(r = 10\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cuadrado.
La fórmula correcta es:
\[ V = \pi r^2h \]
No:
\[ V = \pi rh \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes cilindros. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Actividad 1
Un cilindro tiene radio \(3cm\) y altura \(7cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos \(r = 3cm\) y \(h = 7cm\):
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 7 \]
\[ V = 63\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 63 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 197{,}82cm^3 \]
El volumen es \(63\pi cm^3\), aproximadamente \(197{,}82cm^3\).
Actividad 2
Un cilindro tiene radio \(5m\) y altura \(12m\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos:
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 25 \cdot 12 \]
\[ V = 300\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 300 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 942m^3 \]
El volumen es \(300\pi m^3\), aproximadamente \(942m^3\).
Actividad 3
Un cilindro tiene radio \(2cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
Usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
Reemplazamos \(r = 2cm\) y \(h = 15cm\):
\[ V = \pi \cdot 2^2 \cdot 15 \]
\[ V = \pi \cdot 4 \cdot 15 \]
\[ V = 60\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 60 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 188{,}4cm^3 \]
El volumen es \(60\pi cm^3\), aproximadamente \(188{,}4cm^3\).
Actividad 4
Un cilindro tiene diámetro \(10cm\) y altura \(8cm\). Calcula su volumen.
La fórmula usa el radio, por lo tanto primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 \]
\[ V = \pi \cdot 25 \cdot 8 \]
\[ V = 200\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 200 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 628cm^3 \]
El volumen es \(200\pi cm^3\), aproximadamente \(628cm^3\).
Actividad 5
Un cilindro tiene diámetro \(6m\) y altura \(9m\). Calcula su volumen.
Primero obtenemos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{6}{2} = 3m \]
Luego usamos:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 9 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 9 \]
\[ V = 81\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 81 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 254{,}34m^3 \]
El volumen es \(81\pi m^3\), aproximadamente \(254{,}34m^3\).
Actividad 6
¿Por qué el volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas?
El volumen del cilindro se expresa en unidades cúbicas porque mide espacio tridimensional.
En la fórmula:
\[ V = \pi r^2h \]
el término \(\pi r^2\) corresponde al área de la base, por eso tiene unidades cuadradas:
\[ cm^2 \]
Luego se multiplica por la altura, que tiene unidades lineales:
\[ cm \]
Entonces:
\[ cm^2 \cdot cm = cm^3 \]
Por eso el volumen se expresa en unidades cúbicas.
Actividad 7
¿Por qué el cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\), aunque no sea un prisma?
El cilindro usa la fórmula \(V = A_b \cdot h\) porque también puede entenderse como una base que se repite a lo largo de una altura.
La diferencia con un prisma es que la base del cilindro no es un polígono, sino un círculo.
Entonces, el área de la base es:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Al repetir esa base circular a lo largo de la altura, se obtiene:
\[ V = A_b \cdot h \]
Por eso:
\[ V = \pi r^2h \]
Desafío con capacidad
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\).
Calcula su volumen en \(cm^3\). Luego expresa aproximadamente su capacidad en \(mL\), recordando que:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Desafío
Una lata cilíndrica tiene radio \(4cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen en \(cm^3\) y exprésalo aproximadamente en \(mL\).
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
Reemplazamos \(r = 4cm\) y \(h = 12cm\):
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 16 \cdot 12 \]
\[ V = 192\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 192 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 602{,}88cm^3 \]
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 602{,}88cm^3 \approx 602{,}88mL \]
La capacidad aproximada de la lata es \(602{,}88mL\).
Idea clave
El cilindro puede entenderse como una base circular que se repite a lo largo de una altura.
Por eso:
\[ V = A_b \cdot h \]
Como la base es un círculo:
\[ A_b = \pi r^2 \]
Entonces:
\[ V = \pi r^2h \]
Esta fórmula cuenta cuántas unidades cúbicas llenan el cilindro.
6. Volumen de pirámides
Objetivo
- Calcular el volumen de pirámides, comprendiendo que una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.
Una base que termina en un vértice
Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice.
La base puede ser triangular, cuadrada, rectangular, pentagonal u otra figura poligonal.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el área de la base, \(A_b\),
- la altura perpendicular de la pirámide, \(h\).
La altura no es una arista lateral inclinada. La altura es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base.
Fórmula del volumen de una pirámide
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Donde:
- \(A_b\) es el área de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular de la pirámide.
La división por \(3\) aparece porque una pirámide ocupa un tercio del volumen de un prisma que tiene la misma base y la misma altura.
Comparación con un prisma
¿Por qué se divide por 3?
Un prisma mantiene la misma base a lo largo de toda su altura.
En cambio, una pirámide comienza con una base y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, una pirámide no ocupa todo el espacio del prisma que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen de la pirámide} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del prisma} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Ejemplo 1: pirámide de base rectangular
Una pirámide tiene base rectangular de \(8cm\) por \(5cm\), y altura \(12cm\).
Primero calculamos el área de la base:
\[ A_b = 8 \cdot 5 \]
\[ A_b = 40cm^2 \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{40 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{480}{3} \]
\[ V = 160cm^3 \]
Por lo tanto, el volumen de la pirámide es \(160cm^3\).
Ejemplo 2: pirámide con área de base conocida
Una pirámide tiene área de base \(54m^2\) y altura \(10m\).
Usamos:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{54 \cdot 10}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180m^3 \]
Esto significa que la pirámide ocupa \(180\) unidades cúbicas de \(1m^3\).
Atención con la altura
En una pirámide pueden aparecer medidas inclinadas, especialmente en sus caras laterales.
Pero para calcular volumen necesitamos la altura perpendicular.
La altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
Si usamos una arista lateral inclinada como si fuera altura, el volumen resultará incorrecto.
Comparación con el prisma
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Prisma | \(V = A_b \cdot h\) | Base repetida a lo largo de la altura. |
| Pirámide | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) | Un tercio del prisma correspondiente. |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si una pirámide tiene \(A_b = 30cm^2\) y \(h = 9cm\), no basta con hacer:
\[ 30 \cdot 9 = 270 \]
Eso correspondería al volumen de un prisma con esa base y altura.
Para la pirámide debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{30 \cdot 9}{3} = 90cm^3 \]
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes pirámides.
Actividad 1
Una pirámide tiene área de base \(24cm^2\) y altura \(9cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen de una pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos \(A_b = 24cm^2\) y \(h = 9cm\):
\[ V = \frac{24 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{216}{3} \]
\[ V = 72cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(72cm^3\).
Actividad 2
Una pirámide tiene área de base \(60m^2\) y altura \(12m\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{60 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{720}{3} \]
\[ V = 240m^3 \]
El volumen de la pirámide es \(240m^3\).
Actividad 3
Una pirámide tiene base rectangular de \(10cm\) por \(6cm\), y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base rectangular:
\[ A_b = 10 \cdot 6 \]
\[ A_b = 60cm^2 \]
Luego usamos la fórmula de volumen:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{60 \cdot 15}{3} \]
\[ V = \frac{900}{3} \]
\[ V = 300cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(300cm^3\).
Actividad 4
Una pirámide tiene base cuadrada de lado \(8m\) y altura \(9m\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base cuadrada:
\[ A_b = 8 \cdot 8 \]
\[ A_b = 64m^2 \]
Luego calculamos el volumen:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{64 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{576}{3} \]
\[ V = 192m^3 \]
El volumen de la pirámide es \(192m^3\).
Actividad 5
Una pirámide tiene base triangular de \(12cm\) de base y \(5cm\) de altura. La altura de la pirámide es \(18cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{12 \cdot 5}{2} \]
\[ A_b = \frac{60}{2} \]
\[ A_b = 30cm^2 \]
Luego usamos la altura de la pirámide, que es \(18cm\):
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{30 \cdot 18}{3} \]
\[ V = \frac{540}{3} \]
\[ V = 180cm^3 \]
El volumen de la pirámide es \(180cm^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula de la pirámide se parece a la del prisma, pero dividida por \(3\)?
La fórmula de la pirámide se parece a la del prisma porque ambos cuerpos se relacionan con una base y una altura.
En un prisma, la base se repite completamente a lo largo de toda la altura:
\[ V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h \]
En una pirámide, el cuerpo se va estrechando hasta llegar a un vértice, por lo que ocupa menos espacio que el prisma correspondiente.
La relación es:
\[ V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} V_{\text{prisma}} \]
Por eso:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Actividad 7
¿Qué altura se usa para calcular volumen: la inclinada o la perpendicular?
Para calcular el volumen de una pirámide se usa la altura perpendicular.
Esta altura va desde el vértice hasta la base formando un ángulo recto con el plano de la base.
No se debe usar una arista lateral inclinada como si fuera altura, porque esa medida pertenece a una cara lateral y no representa la distancia perpendicular entre el vértice y la base.
Por eso, en la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\(h\) representa la altura perpendicular.
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
para encontrar su altura.
Desafío
Una pirámide tiene volumen \(120cm^3\) y área de base \(40cm^2\). Encuentra su altura.
Partimos desde la fórmula del volumen de una pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos los datos conocidos:
\[ 120 = \frac{40 \cdot h}{3} \]
Multiplicamos ambos lados por \(3\):
\[ 120 \cdot 3 = 40h \]
\[ 360 = 40h \]
Dividimos por \(40\):
\[ h = \frac{360}{40} \]
\[ h = 9cm \]
La altura de la pirámide es \(9cm\).
Idea clave
El volumen de una pirámide se calcula con:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
La pirámide se relaciona con un prisma de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese prisma, por eso aparece la división por \(3\).
7. Volumen del cono
Objetivo
- Calcular el volumen de conos, comprendiendo que un cono ocupa un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura.
Un cuerpo redondo que termina en un vértice
Un cono es un cuerpo geométrico que tiene una base circular y una superficie lateral curva que termina en un vértice.
Para calcular su volumen necesitamos dos datos principales:
- el radio de la base circular, \(r\),
- la altura perpendicular del cono, \(h\).
La altura no es la línea inclinada del costado. La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, formando un ángulo recto con la base.
Fórmula del volumen del cono
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y la misma altura.
El volumen del cilindro es:
\[ V = \pi r^2h \]
El cono ocupa un tercio de ese cilindro.
Por eso, el volumen del cono es:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la base.
- \(h\) es la altura perpendicular.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
Comparación con un cilindro
¿Por qué se divide por 3?
Un cilindro mantiene la misma base circular a lo largo de toda su altura.
En cambio, un cono comienza con una base circular y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso, no ocupa todo el espacio del cilindro que tendría la misma base y altura.
La relación fundamental es:
\[ \text{volumen del cono} = \frac{1}{3}\text{ del volumen del cilindro} \]
Por eso:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Ejemplo 1: cono con radio y altura
Un cono tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{108\pi}{3} \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 113{,}04cm^3 \]
El volumen exacto del cono es \(36\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(113{,}04cm^3\).
Ejemplo 2: cono con diámetro
Un cono tiene diámetro \(10cm\) y altura \(9cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{225\pi}{3} \]
\[ V = 75\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 75 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 235{,}5cm^3 \]
El volumen exacto del cono es \(75\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(235{,}5cm^3\).
Atención: altura y generatriz
En un cono pueden aparecer dos medidas verticales o inclinadas:
- la altura, que baja perpendicularmente desde el vértice hasta el centro de la base;
- la generatriz, que va inclinada desde el vértice hasta el borde de la base.
Para calcular volumen usamos la altura perpendicular, no la generatriz.
La generatriz será más importante cuando estudiemos la superficie del cono.
Comparación con el cilindro
| Cuerpo | Fórmula | Idea |
|---|---|---|
| Cilindro | \(V = \pi r^2h\) | Base circular repetida en altura. |
| Cono | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) | Un tercio del cilindro correspondiente. |
Error común
Un error frecuente es olvidar dividir por \(3\).
Por ejemplo, si un cono tiene \(r = 4cm\) y \(h = 6cm\), no basta con hacer:
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 \]
Eso corresponde al cilindro de igual base y altura.
Para el cono debemos dividir por \(3\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 6}{3} \]
Otro error frecuente es usar el diámetro como si fuera radio. Si aparece el diámetro, primero se calcula:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Actividad
Calcula el volumen de los siguientes conos. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Actividad 1
Un cono tiene radio \(2cm\) y altura \(9cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen del cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos \(r = 2cm\) y \(h = 9cm\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{36\pi}{3} \]
\[ V = 12\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 12 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 37{,}68cm^3 \]
El volumen es \(12\pi cm^3\), aproximadamente \(37{,}68cm^3\).
Actividad 2
Un cono tiene radio \(5m\) y altura \(12m\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 25 \cdot 12}{3} \]
\[ V = \frac{300\pi}{3} \]
\[ V = 100\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 100 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 314m^3 \]
El volumen es \(100\pi m^3\), aproximadamente \(314m^3\).
Actividad 3
Un cono tiene radio \(4cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
Usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos \(r = 4cm\) y \(h = 15cm\):
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 15}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 15}{3} \]
\[ V = \frac{240\pi}{3} \]
\[ V = 80\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 80 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 251{,}2cm^3 \]
El volumen es \(80\pi cm^3\), aproximadamente \(251{,}2cm^3\).
Actividad 4
Un cono tiene diámetro \(8cm\) y altura \(6cm\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{8}{2} = 4cm \]
Luego aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 6}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 6}{3} \]
\[ V = \frac{96\pi}{3} \]
\[ V = 32\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 32 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 100{,}48cm^3 \]
El volumen es \(32\pi cm^3\), aproximadamente \(100{,}48cm^3\).
Actividad 5
Un cono tiene diámetro \(14m\) y altura \(9m\). Calcula su volumen.
Primero obtenemos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{14}{2} = 7m \]
Luego usamos:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 7^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 49 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{441\pi}{3} \]
\[ V = 147\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 147 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 461{,}58m^3 \]
El volumen es \(147\pi m^3\), aproximadamente \(461{,}58m^3\).
Actividad 6
¿Por qué el volumen del cono se parece al volumen del cilindro, pero dividido por \(3\)?
El volumen del cono se parece al volumen del cilindro porque ambos tienen una base circular y una altura.
El cilindro mantiene la misma base circular durante toda su altura, por eso:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
El cono, en cambio, parte desde una base circular y se va estrechando hasta llegar a un vértice.
Por eso ocupa solo un tercio del cilindro que tiene la misma base y la misma altura:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}V_{\text{cilindro}} \]
Entonces:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Actividad 7
¿Qué medida se usa para calcular el volumen del cono: la altura o la generatriz?
Para calcular el volumen del cono se usa la altura perpendicular.
La altura va desde el vértice hasta el centro de la base, formando un ángulo recto con la base.
La generatriz es la medida inclinada que va desde el vértice hasta el borde de la base.
Por eso, en la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\(h\) representa la altura perpendicular, no la generatriz.
Desafío
Un cono tiene volumen \(96\pi cm^3\) y altura \(18cm\).
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
para encontrar el radio de su base.
Desafío
Un cono tiene volumen \(96\pi cm^3\) y altura \(18cm\). Encuentra el radio de su base.
Partimos desde la fórmula del volumen del cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
Reemplazamos \(V = 96\pi cm^3\) y \(h = 18cm\):
\[ 96\pi = \frac{\pi r^2 \cdot 18}{3} \]
Como \(18 \div 3 = 6\), queda:
\[ 96\pi = 6\pi r^2 \]
Dividimos por \(6\pi\):
\[ r^2 = \frac{96\pi}{6\pi} \]
\[ r^2 = 16 \]
Entonces:
\[ r = 4cm \]
El radio de la base del cono es \(4cm\).
Idea clave
El volumen de un cono se calcula con:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
El cono se relaciona con un cilindro de la misma base y altura.
Ocupa un tercio de ese cilindro, por eso aparece la división por \(3\).
8. Volumen de la esfera
Objetivo
- Calcular el volumen de esferas, comprendiendo que una esfera queda determinada por su radio y que su volumen depende de una medida elevada al cubo.
Un cuerpo redondo sin base ni altura
La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo.
A diferencia del prisma, el cilindro, la pirámide o el cono, la esfera no tiene:
- bases,
- caras planas,
- aristas,
- vértices,
- altura.
Para calcular su volumen necesitamos un dato principal:
el radio.
El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Donde:
- \(r\) es el radio de la esfera.
- \(\pi \approx 3{,}14\).
- \(r^3\) significa \(r \cdot r \cdot r\).
El exponente \(3\) aparece porque estamos calculando volumen, es decir, una medida tridimensional.
La esfera queda determinada por su radio
¿Por qué aparece \(r^3\)?
En el volumen de una esfera aparece \(r^3\) porque el volumen depende de tres dimensiones.
Esto significa que si el radio cambia, el volumen cambia mucho más rápido.
Por ejemplo, si el radio se duplica, el volumen no se duplica.
Como aparece \(r^3\), el volumen se multiplica por:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces, una esfera con el doble de radio tiene \(8\) veces el volumen.
Ejemplo 1: esfera con radio conocido
Una esfera tiene radio \(3cm\).
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V = 36\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 36 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 113{,}04cm^3 \]
El volumen exacto de la esfera es \(36\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(113{,}04cm^3\).
Ejemplo 2: esfera con diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10cm\).
La fórmula usa el radio, no el diámetro.
Primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
Ahora usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{500}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 523{,}33cm^3 \]
El volumen exacto de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi cm^3\), que corresponde aproximadamente a \(523{,}33cm^3\).
Atención: radio y diámetro
En una esfera, el diámetro atraviesa la esfera pasando por el centro.
El radio va desde el centro hasta la superficie.
Por eso:
\[ d = 2r \]
y también:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Si el problema entrega el diámetro, primero debemos dividir por \(2\) para encontrar el radio.
Comparación con otros cuerpos
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cilindro | Radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Cono | Radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | Radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Error común
Un error frecuente es usar el diámetro como si fuera el radio.
Por ejemplo, si el diámetro de una esfera es \(12cm\), no debemos reemplazar \(r = 12\).
Primero calculamos:
\[ r = \frac{12}{2} = 6cm \]
Otro error frecuente es olvidar elevar el radio al cubo.
La fórmula correcta es:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
No:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^2 \]
El \(r^2\) aparece en áreas; para volumen aparece \(r^3\).
Actividad
Calcula el volumen de las siguientes esferas. Puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Actividad 1
Una esfera tiene radio \(2cm\). Calcula su volumen.
Usamos la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 2cm\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 \]
\[ V = \frac{32}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{32}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 33{,}49cm^3 \]
El volumen es \(\frac{32}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(33{,}49cm^3\).
Actividad 2
Una esfera tiene radio \(4cm\). Calcula su volumen.
Aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 4cm\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V = \frac{256}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{256}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 267{,}95cm^3 \]
El volumen es \(\frac{256}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(267{,}95cm^3\).
Actividad 3
Una esfera tiene radio \(6m\). Calcula su volumen.
Usamos:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r = 6m\):
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 \]
\[ V = 288\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 904{,}32m^3 \]
El volumen es \(288\pi m^3\), aproximadamente \(904{,}32m^3\).
Actividad 4
Una esfera tiene diámetro \(8cm\). Calcula su volumen.
La fórmula usa el radio, por eso primero calculamos:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{8}{2} = 4cm \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V = \frac{256}{3}\pi cm^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{256}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 267{,}95cm^3 \]
El volumen es \(\frac{256}{3}\pi cm^3\), aproximadamente \(267{,}95cm^3\).
Actividad 5
Una esfera tiene diámetro \(14m\). Calcula su volumen.
Primero obtenemos el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
\[ r = \frac{14}{2} = 7m \]
Luego usamos la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 7^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 343 \]
\[ V = \frac{1372}{3}\pi m^3 \]
Si usamos \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx \frac{1372}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 1436{,}03m^3 \]
El volumen es \(\frac{1372}{3}\pi m^3\), aproximadamente \(1436{,}03m^3\).
Actividad 6
¿Por qué la fórmula de la esfera usa \(r^3\)?
La fórmula de la esfera usa \(r^3\) porque el volumen mide espacio tridimensional.
Elevar al cubo significa multiplicar el radio tres veces:
\[ r^3 = r \cdot r \cdot r \]
Esto está relacionado con que el volumen se expresa en unidades cúbicas, como \(cm^3\) o \(m^3\).
Además, si el radio cambia, el volumen cambia de manera cúbica. Por ejemplo, si el radio se duplica:
\[ 2^3 = 8 \]
Entonces el volumen se multiplica por \(8\), no por \(2\).
Actividad 7
¿Qué dato necesitas si quieres calcular el volumen de una pelota?
Una pelota se puede modelar como una esfera.
Para calcular el volumen de una esfera se necesita conocer su radio.
Si se conoce el diámetro de la pelota, primero se calcula el radio:
\[ r = \frac{d}{2} \]
Luego se puede usar la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Desafío
Una esfera tiene volumen:
\[ V = 288\pi cm^3 \]
Usa la fórmula:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
para encontrar su radio.
Desafío
Una esfera tiene volumen \(288\pi cm^3\). Encuentra su radio.
Partimos desde la fórmula del volumen de la esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(V = 288\pi cm^3\):
\[ 288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Dividimos ambos lados por \(\pi\):
\[ 288 = \frac{4}{3}r^3 \]
Multiplicamos ambos lados por \(3\):
\[ 864 = 4r^3 \]
Dividimos por \(4\):
\[ r^3 = 216 \]
Buscamos el número cuyo cubo es \(216\):
\[ 6^3 = 216 \]
Entonces:
\[ r = 6cm \]
El radio de la esfera es \(6cm\).
Idea clave
La esfera es un cuerpo redondo que queda determinado por su radio.
Su volumen se calcula con:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
El exponente \(3\) recuerda que el volumen mide espacio tridimensional.
Por eso el resultado se expresa en unidades cúbicas:
\[ cm^3,\quad m^3,\quad mm^3 \]
9. Volumen, capacidad y conversiones
Objetivo
- Relacionar el volumen de cuerpos geométricos con la capacidad de recipientes, usando equivalencias entre unidades cúbicas, mililitros y litros.
Volumen y capacidad
El volumen mide cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
La capacidad mide cuánto puede contener un recipiente.
Por ejemplo, una caja, una lata, un vaso, un estanque o una botella pueden estudiarse desde el volumen porque tienen espacio interior.
Cuando el cuerpo funciona como recipiente, podemos expresar ese volumen como capacidad.
Por eso usamos equivalencias como:
\[ cm^3,\quad mL,\quad L,\quad m^3 \]
Equivalencias importantes
Las equivalencias más usadas son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1000mL = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Estas equivalencias permiten pasar de un volumen geométrico a una capacidad.
De volumen a capacidad
¿Cuándo conviene usar litros?
Cuando calculamos el volumen de un recipiente, muchas veces el resultado aparece en \(cm^3\) o \(m^3\).
Pero en la vida cotidiana solemos hablar de capacidad usando \(mL\) o \(L\).
Por ejemplo:
- una lata puede tener capacidad aproximada de \(350mL\),
- una botella puede tener capacidad de \(1{,}5L\),
- un estanque puede tener capacidad de varios litros o metros cúbicos.
Por eso es importante saber convertir.
Ejemplo 1: de \(cm^3\) a \(mL\)
Una caja pequeña tiene volumen \(750cm^3\).
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 750cm^3 = 750mL \]
La capacidad de la caja sería de \(750mL\), si se pudiera llenar completamente.
Ejemplo 2: de \(cm^3\) a litros
Un recipiente tiene volumen \(3500cm^3\).
Sabemos que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Entonces dividimos por \(1000\):
\[ 3500cm^3 = 3{,}5L \]
El recipiente tiene una capacidad de \(3{,}5L\).
Ejemplo 3: cilindro y capacidad
Un recipiente cilíndrico tiene radio \(5cm\) y altura \(20cm\).
Calculamos su volumen:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 \]
\[ V = 500\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 500 \cdot 3{,}14 = 1570cm^3 \]
Como \(1cm^3 = 1mL\):
\[ 1570cm^3 = 1570mL \]
Y como \(1000mL = 1L\):
\[ 1570mL = 1{,}57L \]
La capacidad aproximada del recipiente es \(1{,}57L\).
Ejemplo 4: de \(m^3\) a litros
Un estanque tiene volumen \(2{,}4m^3\).
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Entonces:
\[ 2{,}4m^3 = 2{,}4 \cdot 1000L \]
\[ 2{,}4m^3 = 2400L \]
El estanque puede contener aproximadamente \(2400L\).
Resumen de conversiones
| Conversión | Procedimiento | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(cm^3\) a \(mL\) | Se mantiene el número. | \(480cm^3 = 480mL\) |
| \(cm^3\) a \(L\) | Dividir por \(1000\). | \(2500cm^3 = 2{,}5L\) |
| \(L\) a \(cm^3\) | Multiplicar por \(1000\). | \(3L = 3000cm^3\) |
| \(m^3\) a \(L\) | Multiplicar por \(1000\). | \(4m^3 = 4000L\) |
| \(L\) a \(m^3\) | Dividir por \(1000\). | \(750L = 0{,}75m^3\) |
Atención: volumen exterior y capacidad útil
En algunos problemas escolares, suponemos que el volumen calculado corresponde a la capacidad del recipiente.
Pero en objetos reales hay detalles que pueden cambiar el resultado:
- grosor del material,
- bordes redondeados,
- espacios que no se llenan completamente,
- tapas o zonas vacías.
Por eso, en la realidad, la capacidad útil puede ser un poco menor que el volumen exterior calculado.
En este libro trabajaremos con modelos geométricos ideales.
Error común
Un error frecuente es creer que:
\[ 1L = 1cm^3 \]
Eso es incorrecto.
La equivalencia correcta es:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
y como:
\[ 1000mL = 1L \]
entonces:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Actividad
Realiza las siguientes conversiones.
Actividad 1
Convierte \(450cm^3\) a \(mL\).
Usamos la equivalencia:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
Por lo tanto, el número se mantiene:
\[ 450cm^3 = 450mL \]
La respuesta es \(450mL\).
Actividad 2
Convierte \(1250cm^3\) a \(L\).
Sabemos que:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
Para pasar de \(cm^3\) a litros, dividimos por \(1000\):
\[ 1250 \div 1000 = 1{,}25 \]
Entonces:
\[ 1250cm^3 = 1{,}25L \]
La respuesta es \(1{,}25L\).
Actividad 3
Convierte \(3{,}8L\) a \(cm^3\).
Sabemos que:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
Para pasar de litros a \(cm^3\), multiplicamos por \(1000\):
\[ 3{,}8 \cdot 1000 = 3800 \]
Entonces:
\[ 3{,}8L = 3800cm^3 \]
La respuesta es \(3800cm^3\).
Actividad 4
Convierte \(0{,}6m^3\) a \(L\).
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Para pasar de \(m^3\) a litros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 0{,}6 \cdot 1000 = 600 \]
Entonces:
\[ 0{,}6m^3 = 600L \]
La respuesta es \(600L\).
Actividad 5
Convierte \(2500L\) a \(m^3\).
Sabemos que:
\[ 1000L = 1m^3 \]
Para pasar de litros a \(m^3\), dividimos por \(1000\):
\[ 2500 \div 1000 = 2{,}5 \]
Entonces:
\[ 2500L = 2{,}5m^3 \]
La respuesta es \(2{,}5m^3\).
Actividad 6
Convierte \(7{,}5L\) a \(mL\).
Sabemos que:
\[ 1L = 1000mL \]
Para pasar de litros a mililitros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 7{,}5 \cdot 1000 = 7500 \]
Entonces:
\[ 7{,}5L = 7500mL \]
La respuesta es \(7500mL\).
Problemas
Resuelve los siguientes problemas usando volumen y capacidad.
Problema 1
Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(15cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
La caja tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 20 \cdot 15 \cdot 10 \]
\[ V = 3000cm^3 \]
Ahora convertimos a litros. Como:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
dividimos por \(1000\):
\[ 3000cm^3 = 3L \]
El volumen de la caja es \(3000cm^3\) y su capacidad es \(3L\).
Problema 2
Una lata cilíndrica tiene radio \(3cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
Usamos la fórmula del volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
Reemplazamos \(r = 3cm\) y \(h = 12cm\):
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 \]
\[ V = \pi \cdot 9 \cdot 12 \]
\[ V = 108\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V \approx 108 \cdot 3{,}14 \]
\[ V \approx 339{,}12cm^3 \]
Como:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
entonces:
\[ 339{,}12cm^3 \approx 339{,}12mL \]
El volumen aproximado es \(339{,}12cm^3\) y su capacidad aproximada es \(339{,}12mL\).
Problema 3
Un estanque rectangular mide \(2m\) de largo, \(1{,}5m\) de ancho y \(1m\) de alto. Calcula su volumen en \(m^3\) y su capacidad en litros.
El estanque tiene forma de ortoedro, por lo tanto:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
Reemplazamos:
\[ V = 2 \cdot 1{,}5 \cdot 1 \]
\[ V = 3m^3 \]
Ahora convertimos a litros. Como:
\[ 1m^3 = 1000L \]
entonces:
\[ 3m^3 = 3000L \]
El volumen del estanque es \(3m^3\) y su capacidad es \(3000L\).
Problema 4
Un recipiente tiene capacidad de \(5L\). ¿Cuál es su volumen en \(cm^3\)?
Sabemos que:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
Entonces, para convertir \(5L\) a \(cm^3\), multiplicamos por \(1000\):
\[ 5 \cdot 1000 = 5000 \]
Por lo tanto:
\[ 5L = 5000cm^3 \]
El volumen del recipiente es \(5000cm^3\).
Problema 5
Una pecera tiene volumen de \(0{,}18m^3\). ¿Cuántos litros de agua puede contener?
Sabemos que:
\[ 1m^3 = 1000L \]
Para pasar de \(m^3\) a litros, multiplicamos por \(1000\):
\[ 0{,}18 \cdot 1000 = 180 \]
Entonces:
\[ 0{,}18m^3 = 180L \]
La pecera puede contener \(180L\) de agua, si se considera como un modelo geométrico ideal.
Pregunta para pensar
Dos recipientes tienen el mismo volumen, pero formas distintas: uno es cilíndrico y otro rectangular.
¿Pueden tener la misma capacidad? Explica tu respuesta usando la idea de volumen.
Sí, pueden tener la misma capacidad aunque tengan formas distintas.
La capacidad depende del volumen interior del recipiente, no solo de su forma.
Por ejemplo, un recipiente cilíndrico y uno rectangular pueden tener ambos un volumen de:
\[ 2000cm^3 \]
Como:
\[ 1000cm^3 = 1L \]
entonces ambos tendrían capacidad de:
\[ 2000cm^3 = 2L \]
Por lo tanto, si dos recipientes tienen el mismo volumen interior, pueden tener la misma capacidad, aunque sus formas sean diferentes.
Idea clave
El volumen permite medir cuánto espacio ocupa o contiene un cuerpo.
Cuando ese cuerpo funciona como recipiente, podemos interpretar su volumen como capacidad.
Las equivalencias más importantes son:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Así conectamos la geometría con recipientes reales como cajas, botellas, latas, estanques y peceras.
10. Taller de cierre: calcular, convertir e interpretar volúmenes
Objetivo
- Integrar el cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, el uso correcto de fórmulas, las conversiones de unidades y la interpretación de resultados en contextos geométricos y cotidianos.
Antes de calcular, piensa
En este libro aprendimos que calcular volumen no consiste solo en reemplazar datos en una fórmula.
Antes de calcular, conviene hacerse cuatro preguntas:
- ¿Qué cuerpo es?
- ¿Qué datos necesito?
- ¿Están las unidades en la misma medida?
- ¿Qué significa el resultado?
La idea central sigue siendo la misma:
el volumen mide cuántas unidades cúbicas llenan un cuerpo o espacio.
Ruta para resolver problemas de volumen
Resumen de fórmulas de volumen
| Cuerpo | Datos principales | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo | Arista \(a\) | \(V = a^3\) |
| Ortoedro | Largo, ancho y alto | \(V = largo \cdot ancho \cdot alto\) |
| Prisma | Área de la base y altura | \(V = A_b \cdot h\) |
| Cilindro | Radio y altura | \(V = \pi r^2h\) |
| Pirámide | Área de la base y altura | \(V = \frac{A_b \cdot h}{3}\) |
| Cono | Radio y altura | \(V = \frac{\pi r^2h}{3}\) |
| Esfera | Radio | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) |
Resumen de conversiones útiles
Para interpretar volúmenes como capacidad, usamos:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1dm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
También recuerda que las unidades de volumen cambian con el factor al cubo.
Por ejemplo:
\[ 1m = 100cm \]
\[ 1m^3 = 100^3cm^3 = 1\,000\,000cm^3 \]
Parte A: reconocer el cuerpo
Indica qué cuerpo geométrico corresponde en cada caso y qué datos necesitarías para calcular su volumen.
- Una caja de zapatos.
- Una lata de bebida.
- Un dado.
- Un cono de helado.
- Una pelota.
- Una carpa con forma de prisma triangular.
- Una pirámide de base cuadrada.
- Un estanque cilíndrico.
- Caja de zapatos: se modela como un ortoedro. Se necesitan largo, ancho y alto.
- Lata de bebida: se modela como un cilindro. Se necesitan radio y altura; si entregan diámetro, primero se calcula \(r = \frac{d}{2}\).
- Dado: se modela como un cubo. Se necesita la medida de una arista.
- Cono de helado: se modela como un cono. Se necesitan radio de la base y altura perpendicular.
- Pelota: se modela como una esfera. Se necesita el radio.
- Carpa con forma de prisma triangular: se modela como un prisma triangular. Se necesita el área de la base triangular y la altura del prisma.
- Pirámide de base cuadrada: se modela como una pirámide. Se necesita el área de la base cuadrada y la altura perpendicular.
- Estanque cilíndrico: se modela como un cilindro. Se necesitan radio y altura.
Parte B: elegir la fórmula correcta
Para cada situación, escribe la fórmula que corresponde. No calcules todavía.
- Cubo de arista \(9cm\).
- Ortoedro de \(12cm\), \(8cm\) y \(5cm\).
- Prisma con área de base \(45cm^2\) y altura \(10cm\).
- Cilindro de radio \(4cm\) y altura \(15cm\).
- Pirámide con área de base \(60m^2\) y altura \(9m\).
- Cono de radio \(6cm\) y altura \(12cm\).
- Esfera de radio \(5cm\).
- Cubo: \[ V = a^3 \]
- Ortoedro: \[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
- Prisma: \[ V = A_b \cdot h \]
- Cilindro: \[ V = \pi r^2h \]
- Pirámide: \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
- Cono: \[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
- Esfera: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
Parte C: calcular volúmenes
Calcula el volumen de cada cuerpo. Usa unidades cúbicas en tu respuesta.
- Un cubo tiene arista de \(7cm\).
- Una caja rectangular mide \(10cm\) de largo, \(6cm\) de ancho y \(4cm\) de alto.
- Un prisma tiene área de base \(32cm^2\) y altura \(11cm\).
- Un cilindro tiene radio \(3cm\) y altura \(20cm\).
- Una pirámide tiene área de base \(48m^2\) y altura \(15m\).
- Un cono tiene radio \(5cm\) y altura \(9cm\).
- Una esfera tiene radio \(6cm\).
Cuando aparezca \(\pi\), puedes dejar la respuesta en función de \(\pi\) y luego aproximar usando \(\pi \approx 3{,}14\).
-
Cubo:
\[ V = a^3 \]
\[ V = 7^3 = 343cm^3 \]
-
Ortoedro:
\[ V = 10 \cdot 6 \cdot 4 \]
\[ V = 240cm^3 \]
-
Prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 32 \cdot 11 = 352cm^3 \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 20 \]
\[ V = 180\pi cm^3 \]
\[ V \approx 180 \cdot 3{,}14 = 565{,}2cm^3 \]
-
Pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ V = \frac{48 \cdot 15}{3} = \frac{720}{3} = 240m^3 \]
-
Cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 9}{3} \]
\[ V = \frac{225\pi}{3} = 75\pi cm^3 \]
\[ V \approx 75 \cdot 3{,}14 = 235{,}5cm^3 \]
-
Esfera:
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi cm^3 \]
\[ V \approx 288 \cdot 3{,}14 = 904{,}32cm^3 \]
Parte D: problemas con diámetro
Recuerda que si se entrega el diámetro, primero debes encontrar el radio.
\[ r = \frac{d}{2} \]
- Un cilindro tiene diámetro \(10cm\) y altura \(12cm\). Calcula su volumen.
- Un cono tiene diámetro \(8cm\) y altura \(15cm\). Calcula su volumen.
- Una esfera tiene diámetro \(18cm\). Calcula su volumen.
-
Cilindro: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{10}{2} = 5cm \]
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi cm^3 \]
\[ V \approx 300 \cdot 3{,}14 = 942cm^3 \]
-
Cono: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{8}{2} = 4cm \]
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 15}{3} = \frac{240\pi}{3} = 80\pi cm^3 \]
\[ V \approx 80 \cdot 3{,}14 = 251{,}2cm^3 \]
-
Esfera: primero calculamos el radio.
\[ r = \frac{18}{2} = 9cm \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 \]
\[ V = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 972\pi cm^3 \]
\[ V \approx 972 \cdot 3{,}14 = 3052{,}08cm^3 \]
Parte E: volumen y capacidad
Resuelve los siguientes problemas interpretando el volumen como capacidad.
- Una caja rectangular mide \(20cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(15cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un recipiente cilíndrico tiene radio \(4cm\) y altura \(25cm\). Calcula su volumen aproximado en \(cm^3\) y su capacidad en \(mL\).
- Una pecera mide \(60cm\) de largo, \(30cm\) de ancho y \(40cm\) de alto. Calcula su volumen en \(cm^3\) y su capacidad en litros.
- Un estanque tiene volumen \(3{,}5m^3\). ¿Cuántos litros puede contener?
- Una botella tiene capacidad de \(1{,}5L\). ¿Cuál es su volumen equivalente en \(cm^3\)?
-
Caja rectangular:
\[ V = 20 \cdot 10 \cdot 15 = 3000cm^3 \]
Como \(1000cm^3 = 1L\):
\[ 3000cm^3 = 3L \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 25 = 400\pi cm^3 \]
\[ V \approx 400 \cdot 3{,}14 = 1256cm^3 \]
Como \(1cm^3 = 1mL\):
\[ 1256cm^3 = 1256mL \]
-
Pecera:
\[ V = 60 \cdot 30 \cdot 40 \]
\[ V = 72\,000cm^3 \]
Como \(1000cm^3 = 1L\):
\[ 72\,000cm^3 = 72L \]
-
Estanque:
\[ 1m^3 = 1000L \]
\[ 3{,}5m^3 = 3{,}5 \cdot 1000L = 3500L \]
-
Botella:
\[ 1L = 1000cm^3 \]
\[ 1{,}5L = 1{,}5 \cdot 1000cm^3 = 1500cm^3 \]
Parte F: problemas inversos
En estos ejercicios, falta una medida. Usa la fórmula correspondiente para encontrarla.
- Un ortoedro tiene volumen \(240cm^3\), largo \(10cm\) y ancho \(6cm\). ¿Cuál es su altura?
- Un prisma tiene volumen \(360cm^3\) y altura \(12cm\). ¿Cuál es el área de su base?
- Un cilindro tiene volumen \(200\pi cm^3\) y altura \(8cm\). ¿Cuál es el radio?
- Una pirámide tiene volumen \(150cm^3\) y área de base \(50cm^2\). ¿Cuál es su altura?
- Un cono tiene volumen \(75\pi cm^3\) y altura \(9cm\). ¿Cuál es el radio de su base?
-
Ortoedro:
\[ V = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ 240 = 10 \cdot 6 \cdot h \]
\[ 240 = 60h \]
\[ h = 4cm \]
-
Prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ 360 = A_b \cdot 12 \]
\[ A_b = \frac{360}{12} = 30cm^2 \]
-
Cilindro:
\[ V = \pi r^2h \]
\[ 200\pi = \pi r^2 \cdot 8 \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 200 = 8r^2 \]
\[ r^2 = 25 \]
\[ r = 5cm \]
-
Pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
\[ 150 = \frac{50h}{3} \]
\[ 450 = 50h \]
\[ h = 9cm \]
-
Cono:
\[ V = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ 75\pi = \frac{\pi r^2 \cdot 9}{3} \]
Como \(9 \div 3 = 3\):
\[ 75\pi = 3\pi r^2 \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ r^2 = 25 \]
\[ r = 5cm \]
Errores que debes evitar
Revisa estos errores frecuentes antes de cerrar el libro.
- Usar \(cm^2\) cuando el resultado debe estar en \(cm^3\).
- Usar el diámetro como si fuera radio.
- Olvidar dividir por \(3\) en pirámides y conos.
- Confundir altura con generatriz en el cono.
- Mezclar unidades sin convertir antes.
- Creer que \(1L = 1cm^3\), cuando lo correcto es \(1L = 1000cm^3\).
Parte G: explica con tus palabras
Responde de manera breve, pero clara.
- ¿Qué significa que un cuerpo tenga volumen \(120cm^3\)?
- ¿Por qué el volumen se expresa en unidades cúbicas?
- ¿Por qué el prisma y el cilindro usan la idea \(V = A_b \cdot h\)?
- ¿Por qué la pirámide y el cono tienen una división por \(3\)?
- ¿Qué diferencia hay entre volumen y superficie?
- ¿Qué relación hay entre volumen y capacidad?
- Significa que el cuerpo ocupa o puede contener el mismo espacio que \(120\) cubos de \(1cm^3\).
- Porque el volumen mide espacio tridimensional: largo, ancho y alto. Por eso se usan unidades como \(cm^3\), \(m^3\) o \(mm^3\).
- Porque ambos pueden entenderse como una base que se repite a lo largo de una altura. En el prisma la base es poligonal, y en el cilindro la base es circular.
- Porque una pirámide ocupa un tercio del prisma con igual base y altura, y un cono ocupa un tercio del cilindro con igual base y altura.
- La superficie mide lo que cubre o envuelve un cuerpo y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide el espacio que ocupa o contiene y se expresa en unidades cúbicas.
- Cuando un cuerpo funciona como recipiente, su volumen interior puede interpretarse como capacidad. Por ejemplo, \(1cm^3 = 1mL\) y \(1000cm^3 = 1L\).
Cierre del libro
En este libro estudiamos el volumen de cuerpos geométricos.
La idea central fue:
\[ \text{volumen} = \text{cantidad de unidades cúbicas que llenan un cuerpo} \]
Las fórmulas permiten calcular esa cantidad de manera más rápida, pero todas se apoyan en una idea geométrica:
- el cubo y el ortoedro cuentan largo, ancho y alto;
- el prisma repite una base a lo largo de una altura;
- el cilindro repite una base circular;
- la pirámide ocupa un tercio del prisma correspondiente;
- el cono ocupa un tercio del cilindro correspondiente;
- la esfera depende completamente de su radio.
En el próximo libro cambiaremos la pregunta.
Ya no preguntaremos cuánto espacio ocupa el cuerpo, sino:
¿cuánta superficie lo cubre?
Ahí comenzaremos el estudio de áreas y superficies de cuerpos geométricos.
11. Juntando
Objetivo
- Resolver problemas de volúmenes diversos, descomponiendo cuerpos compuestos en figuras conocidas y decidiendo cuándo sumar, restar o comparar volúmenes.
Volúmenes diversos: no siempre hay un solo cuerpo
Hasta ahora hemos estudiado el volumen de cuerpos por separado: cubos, ortoedros, prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas.
Pero muchos problemas geométricos no muestran un solo cuerpo simple.
A veces una figura está formada por varios cuerpos conocidos. En esos casos, antes de calcular debemos decidir qué hacer con esos volúmenes.
Las estrategias más frecuentes son:
- sumar volúmenes, cuando un cuerpo está formado por partes que se agregan;
- restar volúmenes, cuando se quita una parte, queda un hueco o se retira material;
- comparar volúmenes, cuando se quiere saber cuál cuerpo ocupa o contiene más espacio;
- convertir unidades, cuando se interpreta el volumen como capacidad.
Estrategias principales
Si un cuerpo está formado por varias partes, podemos usar:
\[ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \]
Si una parte se retira o queda vacía, podemos usar:
\[ V_{\text{restante}} = V_{\text{mayor}} - V_{\text{retirado}} \]
Si se compara capacidad, conviene recordar:
\[ 1cm^3 = 1mL \]
\[ 1000cm^3 = 1L \]
\[ 1m^3 = 1000L \]
Ruta para resolver cuerpos compuestos
Atención antes de operar
No siempre se deben sumar todos los datos que aparecen.
Primero debemos interpretar el problema:
- si el cuerpo está formado por partes unidas, normalmente se suman volúmenes;
- si hay un hueco, una perforación o una parte retirada, normalmente se restan volúmenes;
- si se habla de capacidad, puede ser necesario convertir a \(mL\) o \(L\);
- si hay diámetro, primero se calcula el radio.
Ejemplo 1: cuerpo formado por dos partes
Un sólido está formado por una caja rectangular de \(12cm\) de largo, \(8cm\) de ancho y \(5cm\) de alto. Sobre ella se coloca un cubo de arista \(4cm\).
Calcula el volumen total del sólido.
Primero calculamos el volumen de la caja rectangular:
\[ V_{\text{caja}} = largo \cdot ancho \cdot alto \]
\[ V_{\text{caja}} = 12 \cdot 8 \cdot 5 \]
\[ V_{\text{caja}} = 480cm^3 \]
Luego calculamos el volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = a^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 4^3 = 64cm^3 \]
Como el cubo se agrega sobre la caja, sumamos:
\[ V_{\text{total}} = 480 + 64 \]
\[ V_{\text{total}} = 544cm^3 \]
El volumen total del sólido es \(544cm^3\).
Ejemplo 2: volumen que se resta
Un bloque rectangular mide \(20cm\) de largo, \(12cm\) de ancho y \(10cm\) de alto. Se le hace una perforación cilíndrica vertical de radio \(3cm\) que atraviesa todo el bloque.
Calcula el volumen del material que queda.
Primero calculamos el volumen del bloque:
\[ V_{\text{bloque}} = 20 \cdot 12 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{bloque}} = 2400cm^3 \]
La perforación tiene forma de cilindro. Su radio es \(3cm\) y su altura es \(10cm\), porque atraviesa todo el bloque verticalmente.
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 90\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{cilindro}} \approx 90 \cdot 3{,}14 = 282{,}6cm^3 \]
Como la perforación se retira, restamos:
\[ V_{\text{restante}} \approx 2400 - 282{,}6 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 2117{,}4cm^3 \]
El volumen aproximado del material que queda es \(2117{,}4cm^3\).
Ejemplo 3: volumen compuesto y capacidad
Un depósito tiene forma de cilindro con un cono encima. Ambos tienen radio \(2m\). El cilindro mide \(6m\) de alto y el cono mide \(3m\) de alto.
Calcula el volumen total y su capacidad aproximada en litros.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 24\pi m^3 \]
Volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = 4\pi m^3 \]
Como el depósito está formado por ambas partes, sumamos:
\[ V_{\text{total}} = 24\pi + 4\pi = 28\pi m^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 28 \cdot 3{,}14 = 87{,}92m^3 \]
Como \(1m^3 = 1000L\):
\[ 87{,}92m^3 = 87920L \]
La capacidad aproximada del depósito es \(87920L\).
Actividad
Resuelve los siguientes problemas de volúmenes diversos. En cada caso, identifica primero si debes sumar, restar, comparar o convertir unidades.
Actividad 1
Un sólido está formado por un ortoedro de \(10cm\) de largo, \(6cm\) de ancho y \(4cm\) de alto, y sobre él se coloca un cubo de arista \(3cm\). Calcula el volumen total.
El sólido está formado por dos partes que se agregan, por lo tanto debemos sumar sus volúmenes.
Volumen del ortoedro:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 10 \cdot 6 \cdot 4 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 240cm^3 \]
Volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = 3^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 27cm^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 240 + 27 \]
\[ V_{\text{total}} = 267cm^3 \]
El volumen total es \(267cm^3\).
Actividad 2
Un galpón tiene forma de ortoedro con techo de prisma triangular. La parte rectangular mide \(12m\) de largo, \(8m\) de ancho y \(4m\) de alto. El techo tiene sección triangular de base \(8m\), altura \(3m\) y largo \(12m\). Calcula el volumen total del galpón.
El galpón está formado por un ortoedro y un prisma triangular. Como ambas partes se agregan, sumamos sus volúmenes.
Volumen de la parte rectangular:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 12 \cdot 8 \cdot 4 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 384m^3 \]
Ahora calculamos el área de la base triangular del techo:
\[ A_b = \frac{8 \cdot 3}{2} \]
\[ A_b = 12m^2 \]
Volumen del prisma triangular:
\[ V_{\text{prisma}} = A_b \cdot h \]
\[ V_{\text{prisma}} = 12 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{prisma}} = 144m^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 384 + 144 \]
\[ V_{\text{total}} = 528m^3 \]
El volumen total del galpón es \(528m^3\).
Actividad 3
Un bloque rectangular de \(18cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(8cm\) de alto tiene un hueco cúbico de arista \(4cm\). Calcula el volumen del material restante.
Como hay un hueco, debemos restar el volumen retirado al volumen total del bloque.
Volumen del bloque rectangular:
\[ V_{\text{bloque}} = 18 \cdot 10 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{bloque}} = 1440cm^3 \]
Volumen del hueco cúbico:
\[ V_{\text{hueco}} = 4^3 \]
\[ V_{\text{hueco}} = 64cm^3 \]
Volumen restante:
\[ V_{\text{restante}} = 1440 - 64 \]
\[ V_{\text{restante}} = 1376cm^3 \]
El volumen del material restante es \(1376cm^3\).
Actividad 4
Un recipiente está formado por un cilindro de radio \(3m\) y altura \(8m\), más un cono superior con el mismo radio y altura \(4m\). Calcula su volumen total en \(m^3\) y su capacidad aproximada en litros.
El recipiente tiene dos partes: un cilindro y un cono. Como ambas partes forman el recipiente completo, sumamos sus volúmenes.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 72\pi m^3 \]
Volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi r^2h}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 4}{3} \]
\[ V_{\text{cono}} = \frac{36\pi}{3} = 12\pi m^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 72\pi + 12\pi \]
\[ V_{\text{total}} = 84\pi m^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 84 \cdot 3{,}14 = 263{,}76m^3 \]
Como \(1m^3 = 1000L\):
\[ 263{,}76m^3 = 263760L \]
El volumen total es \(84\pi m^3\), aproximadamente \(263{,}76m^3\), y su capacidad aproximada es \(263760L\).
Actividad 5
Una pieza metálica tiene forma de cilindro de radio \(5cm\) y altura \(12cm\). Se perfora por el centro un cilindro más pequeño de radio \(2cm\), con la misma altura. Calcula el volumen aproximado de metal que queda.
Como se perfora el cilindro, debemos calcular el volumen mayor y restar el volumen del cilindro retirado.
Volumen del cilindro mayor:
\[ V_{\text{mayor}} = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{mayor}} = 300\pi cm^3 \]
Volumen del cilindro perforado:
\[ V_{\text{perforación}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 12 \]
\[ V_{\text{perforación}} = 48\pi cm^3 \]
Volumen de metal restante:
\[ V_{\text{restante}} = 300\pi - 48\pi \]
\[ V_{\text{restante}} = 252\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{restante}} \approx 252 \cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 791{,}28cm^3 \]
El volumen aproximado de metal que queda es \(791{,}28cm^3\).
Actividad 6
Una carpa tiene forma de prisma triangular. Su sección triangular tiene base \(6m\) y altura \(2{,}5m\). El largo de la carpa es \(9m\). Calcula el volumen interior de la carpa.
La carpa se modela como un prisma triangular.
Primero calculamos el área de la base triangular:
\[ A_b = \frac{6 \cdot 2{,}5}{2} \]
\[ A_b = \frac{15}{2} \]
\[ A_b = 7{,}5m^2 \]
Ahora multiplicamos por el largo del prisma:
\[ V = A_b \cdot h \]
\[ V = 7{,}5 \cdot 9 \]
\[ V = 67{,}5m^3 \]
El volumen interior de la carpa es \(67{,}5m^3\).
Actividad 7
Se quiere construir una escultura formada por una esfera de radio \(3cm\) sobre un cilindro de radio \(3cm\) y altura \(10cm\). Calcula el volumen total exacto en función de \(\pi\) y su aproximación.
La escultura está formada por una esfera y un cilindro. Como las dos partes se agregan, sumamos sus volúmenes.
Volumen del cilindro:
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \]
\[ V_{\text{cilindro}} = 90\pi cm^3 \]
Volumen de la esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V_{\text{esfera}} = 36\pi cm^3 \]
Volumen total:
\[ V_{\text{total}} = 90\pi + 36\pi \]
\[ V_{\text{total}} = 126\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{total}} \approx 126 \cdot 3{,}14 = 395{,}64cm^3 \]
El volumen total exacto es \(126\pi cm^3\), aproximadamente \(395{,}64cm^3\).
Actividad 8
Un molde tiene forma de cubo de arista \(12cm\). En su interior se retira una esfera de radio \(5cm\). Calcula el volumen aproximado del material restante.
Como se retira una esfera desde un cubo, debemos restar el volumen de la esfera al volumen del cubo.
Volumen del cubo:
\[ V_{\text{cubo}} = 12^3 \]
\[ V_{\text{cubo}} = 1728cm^3 \]
Volumen de la esfera:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{500}{3}\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{esfera}} \approx \frac{500}{3} \cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{esfera}} \approx 523{,}33cm^3 \]
Volumen restante:
\[ V_{\text{restante}} \approx 1728 - 523{,}33 \]
\[ V_{\text{restante}} \approx 1204{,}67cm^3 \]
El volumen aproximado del material restante es \(1204{,}67cm^3\).
Actividad 9
Un recipiente A es un ortoedro de \(30cm\) de largo, \(20cm\) de ancho y \(15cm\) de alto. Un recipiente B es un cilindro de radio \(10cm\) y altura \(18cm\). ¿Cuál tiene mayor capacidad aproximada?
Debemos calcular y comparar ambos volúmenes.
Recipiente A:
\[ V_A = 30 \cdot 20 \cdot 15 \]
\[ V_A = 9000cm^3 \]
Recipiente B:
\[ V_B = \pi r^2h \]
\[ V_B = \pi \cdot 10^2 \cdot 18 \]
\[ V_B = 1800\pi cm^3 \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V_B \approx 1800 \cdot 3{,}14 \]
\[ V_B \approx 5652cm^3 \]
Comparamos:
\[ 9000cm^3 > 5652cm^3 \]
Por lo tanto, el recipiente A tiene mayor capacidad.
Como \(1000cm^3 = 1L\), sus capacidades aproximadas son:
\[ A = 9L \]
\[ B \approx 5{,}652L \]
Actividad 10
Un depósito compuesto tiene volumen total \(1500cm^3\). Está formado por un ortoedro de \(12cm\) de largo, \(10cm\) de ancho y \(8cm\) de alto, más una pirámide superior de la misma base rectangular. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
El volumen total está formado por el volumen del ortoedro más el volumen de la pirámide.
Primero calculamos el volumen del ortoedro:
\[ V_{\text{ortoedro}} = 12 \cdot 10 \cdot 8 \]
\[ V_{\text{ortoedro}} = 960cm^3 \]
Entonces, el volumen de la pirámide es:
\[ V_{\text{pirámide}} = 1500 - 960 \]
\[ V_{\text{pirámide}} = 540cm^3 \]
La base de la pirámide mide \(12cm\) por \(10cm\), por lo tanto:
\[ A_b = 12 \cdot 10 = 120cm^2 \]
Usamos la fórmula de la pirámide:
\[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]
Reemplazamos:
\[ 540 = \frac{120h}{3} \]
\[ 540 = 40h \]
\[ h = \frac{540}{40} \]
\[ h = 13{,}5cm \]
La altura de la pirámide es \(13{,}5cm\).
Idea clave
Los problemas de volúmenes diversos se resuelven reconociendo cuerpos simples dentro de una figura más compleja.
Si las partes se agregan, se suman volúmenes.
Si una parte se retira, se restan volúmenes.
Si el volumen representa un recipiente, puede interpretarse como capacidad.
Antes de calcular, la pregunta más importante es:
¿qué representa cada parte del cuerpo?