PRUEBA RECTA 3D
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | PRUEBA RECTA 3D |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | martes, 25 de agosto de 2026, 22:39 |
1. X1
- La prueba consta de 16 preguntas de selección única.
- Marca una sola alternativa en cada pregunta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
- En la expresión \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), \(P_0\) es un punto de la recta, \(\vec{v}\) es un vector director y \(\lambda\in\mathbb{R}\).
- En la forma paramétrica deben aparecer las tres coordenadas \(x\), \(y\) y \(z\).
- Para verificar si un punto pertenece a una recta, debe existir un mismo valor de \(\lambda\) que satisfaga simultáneamente las tres coordenadas.
- Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales.
- Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y comparten al menos un punto.
- Puedes desarrollar los cálculos en una hoja adicional. No se permite el uso de calculadora.
La recta \(r\) está representada por \(P=(2,-1,3)+\lambda(3,4,-2)\). ¿Cuál es un punto de la recta y cuál es su vector director?
- \(P_0=(3,4,-2)\) y \(\vec{v}=(2,-1,3)\)
- \(P_0=(2,-1,3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\)
- \(P_0=(2,3,4)\) y \(\vec{v}=(-1,3,-2)\)
- \(P_0=(-2,1,-3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\)
¿Cuál es la forma paramétrica de la recta \(P=(-3,2,1)+\lambda(5,-1,4)\)?
- \(x=-3+5\lambda,\quad y=2+\lambda,\quad z=1+4\lambda\)
- \(x=3+5\lambda,\quad y=-2-\lambda,\quad z=1-4\lambda\)
- \(x=-3-\lambda,\quad y=2+5\lambda,\quad z=1+4\lambda\)
- \(x=-3+5\lambda,\quad y=2-\lambda,\quad z=1+4\lambda\)
En la recta \(P=(-2,3,1)+\lambda(3,-2,4)\), ¿qué punto se obtiene cuando \(\lambda=2\)?
- \((4,-1,9)\)
- \((1,1,5)\)
- \((4,7,9)\)
- \((-8,7,-7)\)
Una recta está dada por \(x=1-2\lambda\), \(y=5+3\lambda\) y \(z=-4+\lambda\). ¿Cuál es su forma vectorial?
- \(P=(-2,3,1)+\lambda(1,5,-4)\)
- \(P=(1,5,-4)+\lambda(2,3,-1)\)
- \(P=(1,5,-4)+\lambda(-2,3,1)\)
- \(P=(-1,5,4)+\lambda(2,-3,1)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(P=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,3)\)?
- \((3,0,2)\)
- \((-1,2,-4)\)
- \((5,0,5)\)
- \((7,-2,8)\)
El punto \(Q=(10,-1,8)\) pertenece a la recta \(P=(1,5,-1)+\lambda(3,-2,3)\). ¿Qué valor de \(\lambda\) permite obtenerlo?
- \(\lambda=3\)
- \(\lambda=2\)
- \(\lambda=-2\)
- \(\lambda=-3\)
¿Cuál de los siguientes vectores es paralelo al vector \(\vec{v}=(2,-3,1)\)?
- \((4,-5,2)\)
- \((2,3,1)\)
- \((-2,-3,-1)\)
- \((-4,6,-2)\)
Considera las rectas \(r:P=(1,2,0)+\lambda(3,-1,2)\) y \(s:P=(-2,3,1)+\mu(6,-2,4)\). ¿Qué relación existe entre ellas?
- Son perpendiculares.
- Son paralelas y distintas.
- Representan la misma recta.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
Considera las rectas \(r:P=(0,1,2)+\lambda(2,3,-1)\) y \(s:P=(4,7,0)+\mu(4,6,-2)\). ¿Qué relación existe entre ellas?
- Son paralelas y distintas.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
- No comparten ningún punto.
- Representan la misma recta.
¿Qué condiciones permiten afirmar que dos ecuaciones vectoriales representan la misma recta en el espacio?
Sea \(r:P=(2,-1,3)+\lambda(1,4,-2)\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?
- \(s:P=(0,0,0)+\mu(4,1,-2)\)
- \(s:P=(2,-1,3)+\mu(1,-4,2)\)
- \(s:P=(0,0,0)+\mu(-2,-8,4)\)
- \(s:P=(3,3,1)+\mu(2,7,-4)\)
Sea \(r:P=(1,-2,3)+\lambda(2,5,-1)\). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta?
- \(s:P=(3,3,2)+\mu(-4,-10,2)\)
- \(s:P=(3,2,2)+\mu(4,10,-2)\)
- \(s:P=(1,-2,3)+\mu(5,2,-1)\)
- \(s:P=(-1,-7,4)+\mu(2,-5,1)\)
Las rectas \(r\) y \(s\) están dadas por:
\(r:\ x=2+3\lambda,\quad y=-1+2\lambda,\quad z=4-\lambda\)
\(s:\ x=8-6\mu,\quad y=3-4\mu,\quad z=2+2\mu\)
¿Qué relación existe entre ellas?
- Representan la misma recta.
- Son paralelas y distintas.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
- Solo tienen una coordenada en común.
Sea \(r:\ x=-1+2\lambda,\quad y=4-3\lambda,\quad z=2+\lambda\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?
- \(x=-1+2\mu,\quad y=4-3\mu,\quad z=2+\mu\)
- \(x=1+3\mu,\quad y=2\mu,\quad z=4-\mu\)
- \(x=5-4\mu,\quad y=1+6\mu,\quad z=-2\mu\)
- \(x=2+2\mu,\quad y=1+3\mu,\quad z=1-\mu\)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre rectas en el espacio es correcta?
- Dos rectas con vectores directores proporcionales siempre representan la misma recta.
- Dos rectas coincidentes tienen vectores directores proporcionales y todos sus puntos son comunes.
- Dos rectas paralelas y distintas poseen al menos un punto en común.
- Dos rectas que comparten un punto siempre son paralelas.
Considera las rectas \(r:P=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,3)\) y \(s:P=(5,0,5)+\mu(k,-2,6)\). ¿Qué valor de \(k\) hace que ambas ecuaciones representen la misma recta?
- \(k=1\)
- \(k=2\)
- \(k=3\)
- \(k=4\)
2. PAUTA X1
Pauta de evaluación: Prueba de rectas en el espacio v1
- Curso: Diferenciado de Geometría 3D.
- Unidad: Rectas en el espacio.
- Tiempo: 80 minutos.
- Total de preguntas: 16.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 32 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 20 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades evaluadas
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer los elementos de una ecuación vectorial y convertir entre la forma vectorial y la forma paramétrica. | 1, 2, 4 |
| Calcular puntos de una recta y verificar la pertenencia de puntos en el espacio. | 3, 5, 6 |
| Reconocer vectores directores proporcionales. | 7 |
| Determinar si dos rectas son paralelas distintas o coincidentes. | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Determinar un parámetro para que dos ecuaciones representen la misma recta. | 16 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), el término independiente corresponde a un punto de la recta y el vector multiplicado por \(\lambda\) es el vector director. Por lo tanto, \(P_0=(2,-1,3)\) y \(\vec{v}=(3,4,-2)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: D
Justificación: Se separan las tres coordenadas de \(P=(-3,2,1)+\lambda(5,-1,4)\): \(x=-3+5\lambda\), \(y=2-\lambda\) y \(z=1+4\lambda\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: A
Justificación: Al reemplazar \(\lambda=2\), se obtiene \(P=(-2,3,1)+2(3,-2,4)=(4,-1,9)\).
Pregunta 4
Alternativa correcta: C
Justificación: Los términos independientes forman el punto \(P_0=(1,5,-4)\), mientras que los coeficientes de \(\lambda\) forman el vector director \(\vec{v}=(-2,3,1)\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: C
Justificación: Para \(\lambda=2\), \(P=(1,2,-1)+2(2,-1,3)=(5,0,5)\). El mismo valor del parámetro satisface las tres coordenadas.
Pregunta 6
Alternativa correcta: A
Justificación: De \(1+3\lambda=10\) se obtiene \(\lambda=3\). Este valor también verifica \(5-2\lambda=-1\) y \(-1+3\lambda=8\).
Pregunta 7
Alternativa correcta: D
Justificación: El vector \((-4,6,-2)\) es proporcional a \((2,-3,1)\), pues \((-4,6,-2)=-2(2,-3,1)\).
Pregunta 8
Alternativa correcta: B
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((6,-2,4)=2(3,-1,2)\). Sin embargo, el punto \((-2,3,1)\) no pertenece a la primera recta, por lo que son paralelas y distintas.
Pregunta 9
Alternativa correcta: D
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, ya que \((4,6,-2)=2(2,3,-1)\). Además, para \(\lambda=2\), la primera recta contiene el punto \((4,7,0)\), que es el punto inicial de la segunda recta. Por lo tanto, representan la misma recta.
Pregunta 10
Alternativa correcta: B
Justificación: Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y, además, un punto de una de ellas pertenece a la otra.
Pregunta 11
Alternativa correcta: C
Justificación: El vector \((-2,-8,4)\) es igual a \(-2(1,4,-2)\), por lo que las rectas tienen direcciones paralelas. El origen no pertenece a \(r\), de modo que son paralelas y distintas.
Pregunta 12
Alternativa correcta: A
Justificación: Para \(\lambda=1\), la recta \(r\) contiene el punto \((3,3,2)\). Además, el vector \((-4,-10,2)\) es igual a \(-2(2,5,-1)\). Por lo tanto, ambas ecuaciones representan la misma recta.
Pregunta 13
Alternativa correcta: A
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, pues \((-6,-4,2)=-2(3,2,-1)\). Además, para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((8,3,2)\), que corresponde al punto inicial de \(s\). Por ello, son coincidentes.
Pregunta 14
Alternativa correcta: C
Justificación: El vector director de la alternativa C es \((-4,6,-2)=-2(2,-3,1)\). El punto \((5,1,0)\) no pertenece a la recta original, por lo que las rectas son paralelas y distintas.
Pregunta 15
Alternativa correcta: B
Justificación: Las rectas coincidentes contienen exactamente los mismos puntos y sus vectores directores son proporcionales, aunque sus ecuaciones pueden utilizar puntos iniciales y parámetros diferentes.
Pregunta 16
Alternativa correcta: D
Justificación: El punto \((5,0,5)\) pertenece a \(r\), pues se obtiene con \(\lambda=2\). Para que los vectores directores sean proporcionales, \((k,-2,6)=2(2,-1,3)=(4,-2,6)\). Por lo tanto, \(k=4\).
Resumen de claves correctas
1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) C, 6) A, 7) D, 8) B, 9) D, 10) B, 11) C, 12) A, 13) A, 14) C, 15) B, 16) D.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad de respuestas correctas |
|---|---|
| A | 4 |
| B | 4 |
| C | 4 |
| D | 4 |
Descarga de pauta para corrección automática
3. X2
- La prueba consta de 16 preguntas de selección única.
- Marca una sola alternativa en cada pregunta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
- En la expresión \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), \(P_0\) es un punto de la recta, \(\vec{v}\) es un vector director y \(\lambda\in\mathbb{R}\).
- En la forma paramétrica deben aparecer las tres coordenadas \(x\), \(y\) y \(z\).
- Para verificar si un punto pertenece a una recta, debe existir un mismo valor de \(\lambda\) que satisfaga simultáneamente las tres coordenadas.
- Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales.
- Dos ecuaciones representan la misma recta cuando sus vectores directores son proporcionales y comparten al menos un punto.
- Puedes desarrollar los cálculos en una hoja adicional. No se permite el uso de calculadora.
La recta \(r\) está representada por \(P=(-1,4,2)+\lambda(5,-2,3)\). ¿Cuál es un punto de la recta y cuál es su vector director?
- \(P_0=(5,-2,3)\) y \(\vec{v}=(-1,4,2)\)
- \(P_0=(-1,5,2)\) y \(\vec{v}=(4,-2,3)\)
- \(P_0=(-1,4,2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\)
- \(P_0=(1,-4,-2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\)
¿Cuál es la forma paramétrica de la recta \(P=(2,-3,5)+\lambda(-4,1,2)\)?
- \(x=2-4\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=5+2\lambda\)
- \(x=2+4\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=5-2\lambda\)
- \(x=-4+2\lambda,\quad y=1-3\lambda,\quad z=2+5\lambda\)
- \(x=2-4\lambda,\quad y=3+\lambda,\quad z=5+2\lambda\)
En la recta \(P=(3,-2,4)+\lambda(-2,5,-1)\), ¿qué punto se obtiene cuando \(\lambda=3\)?
- \((-3,13,7)\)
- \((9,13,1)\)
- \((1,3,3)\)
- \((-3,13,1)\)
Una recta está dada por \(x=-2+3\lambda\), \(y=1-4\lambda\) y \(z=6+2\lambda\). ¿Cuál es su forma vectorial?
- \(P=(3,-4,2)+\lambda(-2,1,6)\)
- \(P=(-2,1,6)+\lambda(3,-4,2)\)
- \(P=(2,-1,-6)+\lambda(3,4,2)\)
- \(P=(-2,1,6)+\lambda(-3,4,-2)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(P=(2,-1,3)+\lambda(-1,2,4)\)?
- \((0,3,11)\)
- \((1,1,8)\)
- \((0,2,11)\)
- \((3,-3,0)\)
El punto \(Q=(-7,8,10)\) pertenece a la recta \(P=(2,-1,1)+\lambda(-3,3,3)\). ¿Qué valor de \(\lambda\) permite obtenerlo?
- \(\lambda=-3\)
- \(\lambda=2\)
- \(\lambda=3\)
- \(\lambda=-2\)
¿Cuál de los siguientes vectores es paralelo al vector \(\vec{v}=(3,-1,2)\)?
- \((6,-1,4)\)
- \((-6,2,-4)\)
- \((-3,-1,-2)\)
- \((3,2,-1)\)
Considera las rectas \(r:P=(1,0,-2)+\lambda(2,3,1)\) y \(s:P=(-1,4,0)+\mu(-4,-6,-2)\). ¿Qué relación existe entre ellas?
- Representan la misma recta.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
- Comparten exactamente un punto.
- Son paralelas y distintas.
Considera las rectas \(r:P=(2,-1,4)+\lambda(-1,2,3)\) y \(s:P=(0,3,10)+\mu(2,-4,-6)\). ¿Qué relación existe entre ellas?
- Son paralelas y distintas.
- Representan la misma recta.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
- No tienen puntos en común porque sus puntos iniciales son diferentes.
¿Qué condiciones permiten concluir que dos ecuaciones vectoriales representan la misma recta en el espacio?
Sea \(r:P=(0,2,-1)+\lambda(4,-2,3)\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?
- \(s:P=(1,0,0)+\mu(-8,4,-6)\)
- \(s:P=(4,0,2)+\mu(8,-4,6)\)
- \(s:P=(1,0,0)+\mu(4,2,3)\)
- \(s:P=(0,2,-1)+\mu(-4,2,3)\)
Sea \(r:P=(-2,1,5)+\lambda(3,2,-4)\). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta?
- \(s:P=(4,5,-3)+\mu(3,-2,-4)\)
- \(s:P=(0,0,0)+\mu(-6,-4,8)\)
- \(s:P=(4,5,-3)+\mu(-6,-4,8)\)
- \(s:P=(1,3,1)+\mu(3,-2,4)\)
Las rectas \(r\) y \(s\) están dadas por:
\(r:\ x=1+2\lambda,\quad y=-3+\lambda,\quad z=4-2\lambda\)
\(s:\ x=7-4\mu,\quad y=-2\mu,\quad z=-2+4\mu\)
¿Qué relación existe entre ellas?
- Son paralelas y distintas.
- Sus vectores directores no son proporcionales.
- Solo comparten el valor de una coordenada.
- Representan la misma recta.
Sea \(r:\ x=2-\lambda,\quad y=1+3\lambda,\quad z=-2+2\lambda\). ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela y distinta de \(r\)?
- \(x=1-\mu,\quad y=4+3\mu,\quad z=2\mu\)
- \(x=-1+2\mu,\quad y=4-6\mu,\quad z=5-4\mu\)
- \(x=2+\mu,\quad y=1+3\mu,\quad z=-2-2\mu\)
- \(x=-1+2\mu,\quad y=4+6\mu,\quad z=5-4\mu\)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre rectas en el espacio es correcta?
- Dos rectas con vectores directores proporcionales siempre son coincidentes.
- Dos rectas con vectores directores no proporcionales siempre se intersectan.
- Una misma recta puede representarse usando puntos iniciales diferentes y vectores directores proporcionales.
- Dos rectas paralelas y distintas comparten al menos un punto.
Considera las rectas \(r:P=(3,-2,1)+\lambda(-2,4,3)\) y \(s:P=(-1,6,7)+\mu(k,-8,-6)\). ¿Qué valor de \(k\) hace que ambas ecuaciones representen la misma recta?
- \(k=4\)
- \(k=-4\)
- \(k=2\)
- \(k=6\)
4. PAUTA X2
Pauta de evaluación: Prueba de rectas en el espacio v2
- Curso: Diferenciado de Geometría 3D.
- Unidad: Rectas en el espacio.
- Tiempo: 80 minutos.
- Total de preguntas: 16.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 32 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 20 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades evaluadas
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer los elementos de una ecuación vectorial y convertir entre la forma vectorial y la forma paramétrica. | 1, 2, 4 |
| Calcular puntos de una recta y verificar la pertenencia de puntos en el espacio. | 3, 5, 6 |
| Reconocer vectores directores proporcionales. | 7 |
| Determinar si dos rectas son paralelas distintas o coincidentes. | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Determinar un parámetro para que dos ecuaciones representen la misma recta. | 16 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: C
Justificación: En \(P=P_0+\lambda\vec{v}\), el término independiente corresponde a un punto de la recta y el vector multiplicado por \(\lambda\) corresponde al vector director. Por lo tanto, \(P_0=(-1,4,2)\) y \(\vec{v}=(5,-2,3)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: A
Justificación: Al separar las coordenadas de \(P=(2,-3,5)+\lambda(-4,1,2)\), se obtiene \(x=2-4\lambda\), \(y=-3+\lambda\) y \(z=5+2\lambda\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: D
Justificación: Al reemplazar \(\lambda=3\), se obtiene \(P=(3,-2,4)+3(-2,5,-1)=(-3,13,1)\).
Pregunta 4
Alternativa correcta: B
Justificación: Los términos independientes forman el punto \(P_0=(-2,1,6)\), mientras que los coeficientes de \(\lambda\) forman el vector director \(\vec{v}=(3,-4,2)\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: A
Justificación: Para \(\lambda=2\), se obtiene \(P=(2,-1,3)+2(-1,2,4)=(0,3,11)\). El mismo valor del parámetro satisface las tres coordenadas.
Pregunta 6
Alternativa correcta: C
Justificación: De \(2-3\lambda=-7\) se obtiene \(\lambda=3\). Este valor también verifica \(-1+3\lambda=8\) y \(1+3\lambda=10\).
Pregunta 7
Alternativa correcta: B
Justificación: El vector \((-6,2,-4)\) es proporcional a \((3,-1,2)\), pues \((-6,2,-4)=-2(3,-1,2)\).
Pregunta 8
Alternativa correcta: D
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((-4,-6,-2)=-2(2,3,1)\). Sin embargo, el punto \((-1,4,0)\) no pertenece a la recta \(r\), por lo que las rectas son paralelas y distintas.
Pregunta 9
Alternativa correcta: B
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, ya que \((2,-4,-6)=-2(-1,2,3)\). Además, para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((0,3,10)\), que es el punto inicial de \(s\). Por lo tanto, representan la misma recta.
Pregunta 10
Alternativa correcta: D
Justificación: Para que dos ecuaciones representen la misma recta, sus vectores directores deben ser proporcionales y, además, deben compartir al menos un punto.
Pregunta 11
Alternativa correcta: A
Justificación: El vector \((-8,4,-6)\) es igual a \(-2(4,-2,3)\), por lo que las rectas tienen direcciones paralelas. El punto \((1,0,0)\) no pertenece a \(r\), de modo que son paralelas y distintas.
Pregunta 12
Alternativa correcta: C
Justificación: Para \(\lambda=2\), la recta \(r\) contiene el punto \((4,5,-3)\). Además, \((-6,-4,8)=-2(3,2,-4)\). Por lo tanto, ambas ecuaciones representan la misma recta.
Pregunta 13
Alternativa correcta: D
Justificación: Los vectores directores son proporcionales, porque \((-4,-2,4)=-2(2,1,-2)\). Además, al usar \(\lambda=3\) en \(r\), se obtiene \((7,0,-2)\), que es el punto inicial de \(s\). Por lo tanto, representan la misma recta.
Pregunta 14
Alternativa correcta: B
Justificación: El vector director de la alternativa B es \((2,-6,-4)=-2(-1,3,2)\). Sin embargo, el punto \((-1,4,5)\) no pertenece a la recta \(r\), por lo que las rectas son paralelas y distintas.
Pregunta 15
Alternativa correcta: C
Justificación: Una misma recta puede expresarse usando diferentes puntos de ella como puntos iniciales y cualquier vector director proporcional al vector original.
Pregunta 16
Alternativa correcta: A
Justificación: El punto \((-1,6,7)\) pertenece a \(r\), pues se obtiene con \(\lambda=2\). Para que los vectores directores sean proporcionales, se requiere \((k,-8,-6)=-2(-2,4,3)=(4,-8,-6)\). Por lo tanto, \(k=4\).
Resumen de claves correctas
1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) A, 6) C, 7) B, 8) D, 9) B, 10) D, 11) A, 12) C, 13) D, 14) B, 15) C, 16) A.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad de respuestas correctas |
|---|---|
| A | 4 |
| B | 4 |
| C | 4 |
| D | 4 |
Descarga de pauta para corrección automática