• Marca una sola alternativa en cada pregunta.
• Para la superficie de una esfera puedes utilizar \(S=4\pi r^2\) y para su volumen \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
• Cuando se entregue el diámetro, recuerda determinar primero el radio.
• Si el enunciado indica usar \(\pi=3\), reemplaza \(\pi\) por \(3\) y entrega un resultado numérico.
• Si el enunciado solicita un resultado exacto, conserva \(\pi\) en la respuesta.
• En una semiesfera, distingue entre la superficie curva y la base circular según lo que solicite el problema.
• Expresa las superficies en unidades cuadradas y los volúmenes en unidades cúbicas.
• Cada pregunta vale 2 puntos.

• Curso: no especificado en la evaluación entregada.
• Unidad: Superficie y volumen de esferas.
• Tiempo: no especificado en la evaluación entregada.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: La fórmula para calcular la superficie de una esfera de radio \(r\) es \(S=4\pi r^2\). Por lo tanto, la expresión correcta es \(4\pi r^2\).

Pregunta 2

Alternativa correcta: D

Justificación: La fórmula para calcular el volumen de una esfera de radio \(r\) es \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Por lo tanto, la expresión correcta es \(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Se utiliza \(S=4\pi r^2\). Reemplazando \(r=6\) cm y \(\pi=3\): \(S=4\cdot3\cdot6^2=12\cdot36=432\). La superficie es \(432\ \text{cm}^2\).

Pregunta 4

Alternativa correcta: C

Justificación: Se utiliza \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Reemplazando \(r=5\) m y \(\pi=3\): \(V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot5^3=4\cdot125=500\). El volumen es \(500\ \text{m}^3\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: Como el diámetro es \(14\) cm, el radio es \(r=7\) cm. Luego se utiliza \(S=4\pi r^2\): \(S=4\cdot3\cdot7^2=12\cdot49=588\). La superficie es \(588\ \text{cm}^2\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: D

Justificación: Como el diámetro es \(12\) cm, el radio es \(r=6\) cm. Se utiliza \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\): \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3=\frac{4}{3}\pi\cdot216=288\pi\). El volumen exacto es \(288\pi\ \text{cm}^3\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: A

Justificación: Para cubrir completamente la esfera se necesita su superficie total. Se utiliza \(S=4\pi r^2\): \(S=4\pi\cdot9^2=4\pi\cdot81=324\pi\). El área que debe cubrirse es \(324\pi\ \text{m}^2\).

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: Se utiliza \(S=4\pi r^2\). Como \(S=1200\ \text{cm}^2\) y \(\pi=3\), se obtiene \(1200=4\cdot3\cdot r^2\). Entonces \(1200=12r^2\), de donde \(r^2=100\) y \(r=10\) cm.

Pregunta 9

Alternativa correcta: D

Justificación: Se utiliza \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Como \(V=4000\ \text{cm}^3\) y \(\pi=3\), se obtiene \(4000=\frac{4}{3}\cdot3\cdot r^3=4r^3\). Entonces \(r^3=1000\) y, por lo tanto, \(r=10\) cm.

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: La superficie curva de una semiesfera corresponde a la mitad de la superficie de una esfera: \(\frac{1}{2}(4\pi r^2)=2\pi r^2\). Como además se incluye la base circular, se suma \(\pi r^2\). Entonces \(S=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2\). Con \(r=4\) cm y \(\pi=3\): \(S=3\cdot3\cdot4^2=9\cdot16=144\ \text{cm}^2\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: C

Justificación: Primero se calcula el volumen de la esfera mediante \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Con \(r=6\) cm y \(\pi=3\): \(V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot6^3=4\cdot216=864\ \text{cm}^3\). Como se corta por la mitad, el volumen de una semiesfera es \(864\div2=432\ \text{cm}^3\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: A

Justificación: El volumen del cubo es \(V=10^3=1000\ \text{cm}^3\). Como la esfera toca las seis caras del cubo, su diámetro es \(10\) cm y su radio es \(5\) cm. Aplicando \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) con \(\pi=3\): \(V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot5^3=4\cdot125=500\ \text{cm}^3\). Por lo tanto, el volumen disponible para el agua es \(1000-500=500\ \text{cm}^3\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: D

Justificación: Se utiliza \(S=4\pi r^2\). Con \(r=15\) cm: \(S=4\pi\cdot15^2=4\pi\cdot225=900\pi\). La superficie exacta es \(900\pi\ \text{cm}^2\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: B

Justificación: Se utiliza \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Con \(r=3\) m: \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot3^3=\frac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi\). El volumen exacto es \(36\pi\ \text{m}^3\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: C

Justificación: La superficie original es \(S=4\pi r^2\). Si el radio se duplica, el nuevo radio es \(2r\). Al reemplazarlo en la fórmula: \(S'=4\pi(2r)^2=4\pi\cdot4r^2=4(4\pi r^2)\). Como \(4\pi r^2\) corresponde a la superficie original, la nueva superficie es \(4\) veces la original.

Pregunta 16

Alternativa correcta: A

Justificación: El volumen original es \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). Si el radio se triplica, el nuevo radio es \(3r\). Al reemplazarlo en la fórmula: \(V'=\frac{4}{3}\pi(3r)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot27r^3=27\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\). Como \(\frac{4}{3}\pi r^3\) corresponde al volumen original, el nuevo volumen es \(27\) veces el original.

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: Como el diámetro es \(18\) m, el radio es \(r=9\) m. Para la superficie se utiliza \(S=4\pi r^2\): \(S=4\cdot3\cdot9^2=12\cdot81=972\ \text{m}^2\). Para el volumen se utiliza \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\): \(V=\frac{4}{3}\cdot3\cdot9^3=4\cdot729=2916\ \text{m}^3\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: El plano pasa por el centro de la esfera, por lo que la sección obtenida es un círculo de radio \(8\) cm. Para calcular su área se utiliza \(A=\pi r^2\). Con \(\pi=3\): \(A=3\cdot8^2=3\cdot64=192\ \text{cm}^2\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) D, 7) A, 8) C, 9) D, 10) B, 11) C, 12) A, 13) D, 14) B, 15) C, 16) A, 17) B, 18) A.