prue ba 2 2 semestre
| Site: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Course: | Geometía 3d |
| Book: | prue ba 2 2 semestre |
| Printed by: | Guest user |
| Date: | Tuesday, 6 October 2026, 9:13 AM |
1. prueba test
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
- En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
- Para determinar una intersección entre rectas, recuerda que debe existir un valor de los parámetros para el cual las tres coordenadas representen el mismo punto.
- En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
- No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
La recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) tiene como vector director:
- \((2,1,5)\)
- \((1,2,-1)\)
- \((3,3,4)\)
- \((-1,-2,1)\)
En la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=3\)?
- \((3,3,4)\)
- \((5,6,2)\)
- \((5,7,8)\)
- \((5,7,2)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece necesariamente a la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\)?
- \((2,1,5)\)
- \((1,2,-1)\)
- \((2,2,5)\)
- \((3,2,4)\)
Una recta pasa por \(P=(1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?
- \(x=2+t,\ y=1-2t,\ z=-4+3t\)
- \(x=1+t,\ y=-2+2t,\ z=3-4t\)
- \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-4t\)
- \(x=1+2t,\ y=-2-t,\ z=3+4t\)
Considera la recta \(L\) dada por \(x=4-2\lambda,\ y=5-\lambda,\ z=3+\lambda\). ¿Qué punto de la recta corresponde a \(\lambda=0\)?
- \((-2,-1,1)\)
- \((4,5,3)\)
- \((2,4,4)\)
- \((4,-2,5)\)
Sean \(L_1:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(4,5,3)+\lambda(-2,-1,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?
- \((4,5,3)\)
- \((2,1,5)\)
- \((3,3,4)\)
- \((0,3,5)\)
Para comprobar que dos rectas en el espacio se intersecan, ¿qué condición debe cumplirse?
- Sus puntos iniciales deben ser iguales.
- Sus vectores directores deben tener las mismas componentes.
- Los parámetros de ambas rectas deben tener siempre el mismo valor.
- Debe existir una elección de parámetros que produzca el mismo punto en ambas rectas.
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,0)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,2,2)+s(-1,0,0)\). ¿En qué punto se intersecan?
- \((1,0,2)\)
- \((2,1,2)\)
- \((3,2,2)\)
- \((2,2,2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-1)\) y tiene vector normal \((2,-3,1)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?
- \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\)
- \(2(x+1)-3(y+2)+(z-1)=0\)
- \((x-1)+2(y-2)-3(z+1)=0\)
- \(2x-3y+z=0\)
En la ecuación \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?
- \((1,-4,2)\)
- \((3,2,-5)\)
- \((3,-2,5)\)
- \((-1,4,-2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(2,0,3)\) y tiene vector normal \((1,2,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?
- \(x+2y-z-1=0\)
- \(x-2y-z+1=0\)
- \(x+2y+z-5=0\)
- \(x+2y-z+1=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?
- \((2,0,1)\)
- \((1,1,1)\)
- \((2,2,2)\)
- \((0,1,4)\)
El plano \(x-2y+3z=7\) tiene como vector normal:
- \((7,0,0)\)
- \((1,2,3)\)
- \((1,-2,3)\)
- \((-1,-2,-3)\)
Un plano pasa por el punto \((1,2,0)\) y tiene vector normal \((2,1,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
- \(2x+y-z+4=0\)
- \(2x+y-z-4=0\)
- \(x+2y-z-5=0\)
- \(2x-y+z=0\)
Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto fijo de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto cualquiera del mismo plano. Si \(\vec n=(A,B,C)\) es normal al plano, ¿qué relación permite obtener su ecuación?
- \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
- \(\vec n+(P-P_0)=0\)
- \(\vec n\cdot P=1\)
- \(P+P_0=\vec n\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=4\)?
- \((1,1,1)\)
- \((0,2,1)\)
- \((1,0,0)\)
- \((2,1,1)\)
¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\)?
- \(3x-2y+z-8=0\)
- \(3x-2y+z-12=0\)
- \(3x+2y+z-12=0\)
- \(3x-2y-z-12=0\)
En un plano se fija \(P_0=(2,-1,3)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?
- \((7,0,7)\)
- \((-3,-2,-1)\)
- \((3,2,1)\)
- \((3,0,1)\)
2. Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio
Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio
- Curso: 3° medio diferenciado.
- Unidad: Rectas y planos en el espacio.
- Tiempo: 75 minutos.
- Total de preguntas: 18.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 36 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer e interpretar elementos de una recta en el espacio. | 1, 2, 3, 5 |
| Representar rectas mediante ecuaciones paramétricas. | 4 |
| Determinar e interpretar intersecciones entre rectas en el espacio. | 6, 7, 8 |
| Reconocer vectores normales y construir ecuaciones de planos. | 9, 10, 11, 13, 14, 15 |
| Verificar pertenencia de puntos a planos. | 12, 16 |
| Transformar ecuaciones de planos y operar con vectores en el espacio. | 17, 18 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: B
Justificación: En una recta escrita como \((x,y,z)=P_0+t\vec v\), el vector que multiplica al parámetro es el vector director. Por lo tanto, el vector director es \((1,2,-1)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: D
Justificación: Sustituyendo \(t=3\): \(x=2+3=5\), \(y=1+2\cdot3=7\) y \(z=5-3=2\). El punto es \((5,7,2)\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: A
Justificación: Al tomar \(t=0\) en \((x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), se obtiene directamente el punto \((2,1,5)\). En la versión corregida, la alternativa D debe ser \((3,2,4)\), que no pertenece a la recta.
Pregunta 4
Alternativa correcta: C
Justificación: Una recta que pasa por \((1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\) puede escribirse como \(x=1+2t\), \(y=-2+t\), \(z=3-4t\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: B
Justificación: Para \(\lambda=0\), se obtiene \(x=4\), \(y=5\) y \(z=3\). Por lo tanto, el punto es \((4,5,3)\).
Pregunta 6
Alternativa correcta: A
Justificación: En \(L_1\), tomando \(t=2\), se obtiene \((4,5,3)\). En \(L_2\), tomando \(\lambda=0\), también se obtiene \((4,5,3)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.
Pregunta 7
Alternativa correcta: D
Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus parámetros que hacen que ambas produzcan exactamente el mismo punto del espacio.
Pregunta 8
Alternativa correcta: C
Justificación: En \(L_1\), la coordenada \(y=t\). Para coincidir con \(L_2\), cuya coordenada \(y\) es \(2\), debe ser \(t=2\). Así se obtiene \((3,2,2)\), que corresponde además a \(s=0\) en \(L_2\).
Pregunta 9
Alternativa correcta: A
Justificación: La forma punto-normal es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Con \(P_0=(1,2,-1)\) y normal \((2,-3,1)\), resulta \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\).
Pregunta 10
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), los coeficientes que acompañan a las diferencias de coordenadas forman un vector normal: \((3,2,-5)\).
Pregunta 11
Alternativa correcta: D
Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)+2(y-0)-(z-3)=0\). Al simplificar: \(x-2+2y-z+3=0\), por lo que \(x+2y-z+1=0\).
Pregunta 12
Alternativa correcta: A
Justificación: Sustituyendo \((2,0,1)\) en \(2x-y+z=5\), se obtiene \(2\cdot2-0+1=5\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 13
Alternativa correcta: C
Justificación: En una ecuación cartesiana \(Ax+By+Cz=D\), un vector normal es \((A,B,C)\). Para \(x-2y+3z=7\), el vector normal es \((1,-2,3)\).
Pregunta 14
Alternativa correcta: B
Justificación: Usando el punto \((1,2,0)\) y la normal \((2,1,-1)\): \(2(x-1)+(y-2)-z=0\). Al simplificar se obtiene \(2x+y-z-4=0\).
Pregunta 15
Alternativa correcta: A
Justificación: Como \(P-P_0\) es un vector contenido en el plano y \(\vec n\) es normal al plano, ambos son perpendiculares. Por ello, su producto punto debe cumplir \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\).
Pregunta 16
Alternativa correcta: D
Justificación: Sustituyendo \((2,1,1)\) en \(2x+y-z=4\), resulta \(2\cdot2+1-1=4\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 17
Alternativa correcta: B
Justificación: Desarrollando \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\), se obtiene \(3x-6-2y-2+z-4=0\). Al reducir términos semejantes resulta \(3x-2y+z-12=0\).
Pregunta 18
Alternativa correcta: C
Justificación: Se restan las coordenadas correspondientes: \(P-P_0=(5-2,1-(-1),4-3)=(3,2,1)\).
Resumen de claves correctas
1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) A, 7) D, 8) C, 9) A, 10) B, 11) D, 12) A, 13) C, 14) B, 15) A, 16) D, 17) B, 18) C.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad de respuestas correctas |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 4 |
| D | 4 |
3. pauta detallada
https://profearauco.cl/pluginfile.php/1689/mod_book/chapter/1693/Guia_rectas_planos_comprender_y_comprobar.docx
esta pauta es una version detallada
4. V22
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
- En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
- Para determinar una intersección entre rectas, debe existir una elección de los parámetros para la cual ambas rectas representen el mismo punto.
- En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
- No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
La recta \(L:(x,y,z)=(4,-1,2)+t(2,3,-2)\) tiene como vector director:
- \((4,-1,2)\)
- \((2,3,-2)\)
- \((6,2,0)\)
- \((-2,3,2)\)
En la recta \(L:(x,y,z)=(-1,2,5)+t(3,-2,1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=2\)?
- \((2,0,6)\)
- \((5,6,7)\)
- \((5,-2,7)\)
- \((6,-2,7)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(L:(x,y,z)=(2,-1,3)+t(1,2,-2)\)?
- \((3,1,1)\)
- \((3,0,1)\)
- \((1,1,1)\)
- \((3,1,2)\)
Una recta pasa por \(P=(1,3,-2)\) y tiene vector director \((-2,1,4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?
- \(x=1+2t,\ y=3+t,\ z=-2-4t\)
- \(x=-2+t,\ y=1+3t,\ z=4-2t\)
- \(x=1-2t,\ y=3-t,\ z=-2+4t\)
- \(x=1-2t,\ y=3+t,\ z=-2+4t\)
Considera la recta \(x=5-2\lambda,\ y=1+3\lambda,\ z=-4+\lambda\). ¿Qué punto corresponde a \(\lambda=0\)?
- \((-2,3,1)\)
- \((5,1,-4)\)
- \((3,4,-3)\)
- \((5,-1,4)\)
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(5,2,0)+s(-1,2,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?
- \((1,0,2)\)
- \((4,2,0)\)
- \((5,2,0)\)
- \((3,1,1)\)
¿Qué condición permite afirmar que dos rectas del espacio se intersecan?
- Sus vectores directores deben ser iguales.
- Sus parámetros deben tomar siempre el mismo valor.
- Sus puntos iniciales deben coincidir.
- Deben existir valores de los parámetros que produzcan el mismo punto en ambas rectas.
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,1,0)+t(1,2,1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,5,2)+s(2,-1,0)\). ¿En qué punto se intersecan?
- \((3,5,2)\)
- \((2,3,1)\)
- \((1,1,0)\)
- \((4,5,2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(1,-2,3)\) y tiene vector normal \((2,1,-3)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?
- \(2(x+1)+(y-2)-3(z+3)=0\)
- \((x-1)+2(y+2)-3(z-3)=0\)
- \(2(x-1)+(y+2)-3(z-3)=0\)
- \(2(x-1)-(y+2)+3(z-3)=0\)
En la ecuación \(3(x-2)-4(y+1)+5(z-3)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?
- \((2,-1,3)\)
- \((3,-4,5)\)
- \((3,4,-5)\)
- \((-3,-4,5)\)
Un plano pasa por \(P_0=(2,1,-1)\) y tiene vector normal \((1,-2,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?
- \(x-2y+3z-3=0\)
- \(x+2y+3z-1=0\)
- \(x-2y-3z-3=0\)
- \(x-2y+3z+3=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=5\)?
- \((2,2,1)\)
- \((1,1,1)\)
- \((2,0,0)\)
- \((0,3,1)\)
El plano \(2x-5y+z=9\) tiene como vector normal:
- \((9,0,0)\)
- \((2,5,-1)\)
- \((2,-5,1)\)
- \((-2,-5,-1)\)
Un plano pasa por el punto \((1,2,-1)\) y tiene vector normal \((3,1,2)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
- \(3x+y+2z-1=0\)
- \(3x+y+2z-3=0\)
- \(3x-y+2z+1=0\)
- \(x+3y+2z-5=0\)
Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto del mismo plano. Si \(\vec n\) es normal al plano, ¿qué relación debe cumplirse?
- \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
- \(\vec n\cdot(P-P_0)=1\)
- \(\vec n=P-P_0\)
- \(\vec n+(P-P_0)=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(x-2y+z=3\)?
- \((1,0,1)\)
- \((2,1,1)\)
- \((1,1,1)\)
- \((3,1,2)\)
¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(4(x-1)-2(y+3)+(z-2)=0\)?
- \(4x-2y+z-4=0\)
- \(4x-2y+z-12=0\)
- \(4x+2y+z-12=0\)
- \(4x-2y-z-12=0\)
En un plano se fija \(P_0=(2,-3,1)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?
- \((3,4,3)\)
- \((7,-2,5)\)
- \((-3,-4,-3)\)
- \((3,-2,3)\)
5. PAUTAV22
Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio v2
- Curso: 3° medio diferenciado.
- Unidad: Rectas y planos en el espacio.
- Tiempo: 75 minutos.
- Total de preguntas: 18.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 36 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer e interpretar elementos de una recta en el espacio. | 1, 2, 3, 5 |
| Representar rectas mediante ecuaciones paramétricas. | 4 |
| Determinar e interpretar intersecciones entre rectas en el espacio. | 6, 7, 8 |
| Reconocer vectores normales y construir ecuaciones de planos. | 9, 10, 11, 13, 14, 15 |
| Verificar la pertenencia de puntos a planos. | 12, 16 |
| Transformar ecuaciones de planos y operar con vectores en el espacio. | 17, 18 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(L:(x,y,z)=(4,-1,2)+t(2,3,-2)\), el vector que multiplica al parámetro \(t\) corresponde al vector director. Por lo tanto, es \((2,3,-2)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: C
Justificación: Sustituyendo \(t=2\): \(x=-1+3\cdot2=5\), \(y=2-2\cdot2=-2\) y \(z=5+2=7\). El punto obtenido es \((5,-2,7)\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: A
Justificación: Para \(t=1\), se obtiene \((2+1,-1+2,3-2)=(3,1,1)\). Por lo tanto, este punto pertenece a la recta.
Pregunta 4
Alternativa correcta: D
Justificación: La recta pasa por \((1,3,-2)\) y tiene vector director \((-2,1,4)\). Por ello, una parametrización correcta es \(x=1-2t\), \(y=3+t\), \(z=-2+4t\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: B
Justificación: Al usar \(\lambda=0\), resulta \(x=5\), \(y=1\) y \(z=-4\). Por lo tanto, el punto es \((5,1,-4)\).
Pregunta 6
Alternativa correcta: C
Justificación: En \(L_1\), para \(t=2\), se obtiene \((1+4,0+2,2-2)=(5,2,0)\). En \(L_2\), para \(s=0\), se obtiene también \((5,2,0)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.
Pregunta 7
Alternativa correcta: D
Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus respectivos parámetros que permiten obtener exactamente el mismo punto del espacio.
Pregunta 8
Alternativa correcta: A
Justificación: En \(L_1\), para \(t=2\), se obtiene \((1+2,1+4,0+2)=(3,5,2)\). En \(L_2\), para \(s=0\), se obtiene también \((3,5,2)\).
Pregunta 9
Alternativa correcta: C
Justificación: La forma punto-normal es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Usando \(P_0=(1,-2,3)\) y \(\vec n=(2,1,-3)\), resulta \(2(x-1)+(y+2)-3(z-3)=0\).
Pregunta 10
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(3(x-2)-4(y+1)+5(z-3)=0\), los coeficientes que acompañan a las diferencias de coordenadas forman un vector normal. Por lo tanto, es \((3,-4,5)\).
Pregunta 11
Alternativa correcta: D
Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)-2(y-1)+3(z+1)=0\). Al desarrollar: \(x-2-2y+2+3z+3=0\), por lo tanto \(x-2y+3z+3=0\).
Pregunta 12
Alternativa correcta: A
Justificación: Sustituyendo \((2,2,1)\) en \(2x+y-z=5\), se obtiene \(2\cdot2+2-1=5\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 13
Alternativa correcta: C
Justificación: En la ecuación \(2x-5y+z=9\), los coeficientes de \(x\), \(y\) y \(z\) forman un vector normal. Por lo tanto, es \((2,-5,1)\).
Pregunta 14
Alternativa correcta: B
Justificación: La forma punto-normal es \(3(x-1)+(y-2)+2(z+1)=0\). Al desarrollar se obtiene \(3x-3+y-2+2z+2=0\), es decir, \(3x+y+2z-3=0\).
Pregunta 15
Alternativa correcta: A
Justificación: El vector \(P-P_0\) está contenido en el plano y \(\vec n\) es normal al plano. Como ambos son perpendiculares, se cumple \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\).
Pregunta 16
Alternativa correcta: D
Justificación: Sustituyendo \((3,1,2)\) en \(x-2y+z=3\), se obtiene \(3-2\cdot1+2=3\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 17
Alternativa correcta: B
Justificación: Desarrollando \(4(x-1)-2(y+3)+(z-2)=0\), se obtiene \(4x-4-2y-6+z-2=0\). Al simplificar resulta \(4x-2y+z-12=0\).
Pregunta 18
Alternativa correcta: A
Justificación: Se restan las coordenadas correspondientes: \(P-P_0=(5-2,1-(-3),4-1)=(3,4,3)\).
Resumen de claves correctas
1) B, 2) C, 3) A, 4) D, 5) B, 6) C, 7) D, 8) A, 9) C, 10) B, 11) D, 12) A, 13) C, 14) B, 15) A, 16) D, 17) B, 18) A.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 4 |
| D | 4 |
6. v4444
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
- En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
- Para determinar una intersección entre rectas, debe existir una elección de los parámetros para la cual ambas rectas representen el mismo punto.
- En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
- No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
La recta \(L:(x,y,z)=(-2,5,1)+t(4,-1,3)\) tiene como vector director:
- \((-2,5,1)\)
- \((4,-1,3)\)
- \((2,-5,-1)\)
- \((-4,1,3)\)
En la recta \(L:(x,y,z)=(1,-3,2)+t(2,1,-4)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=2\)?
- \((3,-2,-2)\)
- \((5,-5,-6)\)
- \((5,-1,6)\)
- \((5,-1,-6)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta \(L:(x,y,z)=(-2,1,3)+t(3,-2,1)\)?
- \((4,-3,5)\)
- \((4,-1,5)\)
- \((1,-3,4)\)
- \((7,-5,5)\)
Una recta pasa por \(P=(2,-1,5)\) y tiene vector director \((-1,4,2)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?
- \(x=2+4t,\ y=-1-t,\ z=5+2t\)
- \(x=-1+2t,\ y=4-t,\ z=2+5t\)
- \(x=2-t,\ y=-1+4t,\ z=5+2t\)
- \(x=2-t,\ y=-1-4t,\ z=5-2t\)
Considera la recta \(x=4-3\lambda,\ y=-2+2\lambda,\ z=5-\lambda\). ¿Qué punto corresponde a \(\lambda=0\)?
- \((-3,2,-1)\)
- \((1,0,4)\)
- \((7,-4,6)\)
- \((4,-2,5)\)
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(8,-1,3)+s(-3,3,-3)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?
- \((3,1,1)\)
- \((5,2,0)\)
- \((8,-1,3)\)
- \((7,3,-1)\)
¿Qué condición permite afirmar que dos rectas dadas en forma paramétrica se intersecan en el espacio?
- Sus vectores directores deben ser exactamente iguales.
- Los parámetros utilizados en ambas rectas deben tener el mismo valor.
- Deben existir valores de los parámetros para los cuales ambas rectas generen el mismo punto.
- Los puntos iniciales de ambas rectas deben coincidir.
Sean \(L_1:(x,y,z)=(0,2,-1)+t(1,-1,2)\) y \(L_2:(x,y,z)=(5,1,1)+s(-1,-1,2)\). ¿En qué punto se intersecan?
- \((3,-1,5)\)
- \((2,0,3)\)
- \((5,1,1)\)
- \((3,1,5)\)
Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-3)\) y tiene vector normal \((-2,1,4)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?
- \(-2(x+1)+(y+2)+4(z-3)=0\)
- \(-2(x-1)+(y-2)+4(z+3)=0\)
- \((x-1)-2(y-2)+4(z+3)=0\)
- \(-2(x-1)-(y-2)-4(z+3)=0\)
En la ecuación \(3(x+2)-4(y-1)-2(z+5)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?
- \((2,-1,5)\)
- \((3,4,-2)\)
- \((-3,-4,2)\)
- \((3,-4,-2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(2,-1,1)\) y tiene vector normal \((1,2,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?
- \(x+2y+3z-3=0\)
- \(x+2y-3z+3=0\)
- \(x-2y+3z-7=0\)
- \(x+2y+3z+3=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?
- \((1,1,1)\)
- \((3,1,1)\)
- \((2,0,1)\)
- \((0,-2,1)\)
El plano \(-3x+2y+5z=9\) tiene como vector normal:
- \((3,2,-5)\)
- \((9,0,0)\)
- \((-3,-2,5)\)
- \((-3,2,5)\)
Un plano pasa por el punto \((1,-2,3)\) y tiene vector normal \((2,-1,1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
- \(2x+y+z-3=0\)
- \(2x-y-z-1=0\)
- \(2x-y+z-7=0\)
- \(2x+y+z-7=0\)
Si \(P_0\) y \(P\) son puntos de un mismo plano y \(\vec n\) es un vector normal a ese plano, ¿cuál relación expresa correctamente la perpendicularidad?
- \((P-P_0)+\vec n=0\)
- \((P-P_0)\cdot\vec n=0\)
- \((P-P_0)\cdot\vec n=1\)
- \(P-P_0=\vec n\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(3x+y-2z=4\)?
- \((1,1,0)\)
- \((2,0,0)\)
- \((0,2,1)\)
- \((2,1,1)\)
¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(4(x-2)+3(y+1)-2(z-4)=0\)?
- \(4x+3y+2z-13=0\)
- \(4x-3y-2z+3=0\)
- \(4x+3y-2z-3=0\)
- \(4x+3y-2z+3=0\)
En un plano se fija \(P_0=(1,-3,2)\) y se considera otro punto \(P=(-2,4,5)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?
- \((-3,7,3)\)
- \((3,-7,-3)\)
- \((-1,1,7)\)
- \((-3,1,3)\)
7. pauta v4444
Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio v4
- Curso: 3° medio diferenciado.
- Unidad: Rectas y planos en el espacio.
- Tiempo: 75 minutos.
- Total de preguntas: 18.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 36 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer e interpretar elementos de la ecuación paramétrica de una recta en el espacio. | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Determinar e interpretar la intersección de rectas en el espacio. | 6, 7, 8 |
| Reconocer vectores normales y construir ecuaciones de planos. | 9, 10, 11, 13, 14 |
| Verificar pertenencia de puntos a planos y aplicar la condición de perpendicularidad. | 12, 15, 16 |
| Transformar ecuaciones de planos y operar con vectores entre puntos. | 17, 18 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(L:(x,y,z)=(-2,5,1)+t(4,-1,3)\), el vector que multiplica al parámetro \(t\) es el vector director. Por lo tanto, es \((4,-1,3)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: D
Justificación: Para \(t=2\): \(x=1+2\cdot2=5\), \(y=-3+2=-1\) y \(z=2-4\cdot2=-6\). El punto es \((5,-1,-6)\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: A
Justificación: Para \(t=2\), se obtiene \((-2,1,3)+2(3,-2,1)=(4,-3,5)\). Por lo tanto, ese punto pertenece a la recta.
Pregunta 4
Alternativa correcta: C
Justificación: Una recta que pasa por \((2,-1,5)\) y tiene vector director \((-1,4,2)\) puede escribirse como \(x=2-t\), \(y=-1+4t\), \(z=5+2t\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: D
Justificación: Al reemplazar \(\lambda=0\), resulta \(x=4\), \(y=-2\) y \(z=5\). El punto es \((4,-2,5)\).
Pregunta 6
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(L_1\), usando \(t=2\), se obtiene \((5,2,0)\). En \(L_2\), usando \(s=1\), también se obtiene \((5,2,0)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.
Pregunta 7
Alternativa correcta: C
Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus parámetros que permiten obtener exactamente el mismo punto del espacio.
Pregunta 8
Alternativa correcta: A
Justificación: En \(L_1\), para \(t=3\), resulta \((3,-1,5)\). En \(L_2\), para \(s=2\), también resulta \((3,-1,5)\). Por lo tanto, las rectas se intersecan en ese punto.
Pregunta 9
Alternativa correcta: B
Justificación: La forma punto-normal es \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\). Con \(P_0=(1,2,-3)\) y \(\vec n=(-2,1,4)\), se obtiene \(-2(x-1)+(y-2)+4(z+3)=0\).
Pregunta 10
Alternativa correcta: D
Justificación: En \(3(x+2)-4(y-1)-2(z+5)=0\), los coeficientes que multiplican a las diferencias de coordenadas forman un vector normal: \((3,-4,-2)\).
Pregunta 11
Alternativa correcta: A
Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)+2(y+1)+3(z-1)=0\). Al desarrollar se obtiene \(x+2y+3z-3=0\).
Pregunta 12
Alternativa correcta: C
Justificación: Para \((2,0,1)\), se obtiene \(2\cdot2-0+1=5\). Por lo tanto, el punto satisface \(2x-y+z=5\).
Pregunta 13
Alternativa correcta: D
Justificación: En una ecuación cartesiana \(ax+by+cz=d\), un vector normal es \((a,b,c)\). Por lo tanto, para \(-3x+2y+5z=9\), el vector normal es \((-3,2,5)\).
Pregunta 14
Alternativa correcta: C
Justificación: Usando el punto \((1,-2,3)\) y el normal \((2,-1,1)\): \(2(x-1)-(y+2)+(z-3)=0\). Al desarrollar resulta \(2x-y+z-7=0\).
Pregunta 15
Alternativa correcta: B
Justificación: El vector \(P-P_0\) está contenido en el plano y es perpendicular al vector normal. Por ello, su producto punto debe ser cero: \((P-P_0)\cdot\vec n=0\).
Pregunta 16
Alternativa correcta: A
Justificación: Para \((1,1,0)\), \(3\cdot1+1-2\cdot0=4\), por lo que el punto pertenece al plano. En la versión corregida, la alternativa C es \((0,2,1)\), que produce \(0+2-2=0\), por lo que no pertenece al plano.
Pregunta 17
Alternativa correcta: D
Justificación: Al desarrollar \(4(x-2)+3(y+1)-2(z-4)=0\), se obtiene \(4x-8+3y+3-2z+8=0\), es decir, \(4x+3y-2z+3=0\).
Pregunta 18
Alternativa correcta: A
Justificación: \(P-P_0=(-2-1,\ 4-(-3),\ 5-2)=(-3,7,3)\).
Resumen de claves correctas
1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) D, 6) B, 7) C, 8) A, 9) B, 10) D, 11) A, 12) C, 13) D, 14) C, 15) B, 16) A, 17) D, 18) A.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 4 |
| C | 4 |
| D | 5 |
Descarga de pauta JSON
8. v99
En la recta \(L:(x,y,z)=(3,-2,4)+t(-2,5,1)\), ¿cuál de los siguientes es un vector director?
- \((3,-2,4)\)
- \((2,5,1)\)
- \((-2,5,1)\)
- \((-2,-5,1)\)
En la recta \(L:(x,y,z)=(-1,4,2)+t(3,-2,1)\), ¿qué punto corresponde a \(t=2\)?
- \((5,0,4)\)
- \((2,2,3)\)
- \((5,8,4)\)
- \((5,0,2)\)
¿Cuál de los siguientes puntos está en la recta \(L:(x,y,z)=(2,-1,4)+t(-2,3,1)\)?
- \((-2,3,6)\)
- \((0,2,6)\)
- \((-4,8,6)\)
- \((-2,5,6)\)
Una recta contiene al punto \(P=(-3,2,1)\) y tiene vector director \((2,-1,4)\). ¿Cuál es una parametrización de esa recta?
- \(x=-3-t,\ y=2+2t,\ z=1+4t\)
- \(x=-3+2t,\ y=2-t,\ z=1+4t\)
- \(x=2-3t,\ y=-1+2t,\ z=4+t\)
- \(x=-3+2t,\ y=2+t,\ z=1-4t\)
La recta \(L\) está dada por \(x=-2+4\lambda,\ y=3-\lambda,\ z=1+2\lambda\). ¿Qué punto se obtiene cuando \(\lambda=0\)?
- \((-2,3,1)\)
- \((4,-1,2)\)
- \((2,2,3)\)
- \((-6,4,-1)\)
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,-2,6)+t(1,1,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(6,-6,1)+s(-1,2,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de estas rectas?
- \((2,-1,5)\)
- \((4,-2,3)\)
- \((3,0,4)\)
- \((4,1,3)\)
Al estudiar dos rectas en el espacio, una escrita con parámetro \(t\) y otra con parámetro \(s\), ¿qué permite asegurar que tienen un punto en común?
- Que sus vectores directores sean proporcionales.
- Que exista un par de valores de \(t\) y \(s\) que haga coincidir simultáneamente las tres coordenadas.
- Que sus coordenadas \(x\) e \(y\) coincidan para algún par de parámetros, aunque sus coordenadas \(z\) sean distintas.
- Que al reemplazar \(t=1\) y \(s=1\) se obtengan puntos diferentes.
Considera \(L_1:(x,y,z)=(-1,6,-7)+t(1,-1,2)\) y \(L_2:(x,y,z)=(6,1,-3)+s(-2,1,1)\). ¿En qué punto se intersecan?
- \((1,4,-3)\)
- \((4,2,-2)\)
- \((2,3,1)\)
- \((2,3,-1)\)
Un plano contiene al punto \(P_0=(-2,1,3)\) y tiene vector normal \((3,-2,1)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?
- \(3(x-2)-2(y+1)+(z+3)=0\)
- \(3(x+2)+2(y-1)+(z-3)=0\)
- \(3(x+2)-2(y-1)+(z-3)=0\)
- \((x+2)-2(y-1)+3(z-3)=0\)
El plano \(2(x-3)-5(y+2)+4(z-1)=0\) tiene como vector normal:
- \((2,-5,4)\)
- \((3,-2,1)\)
- \((2,5,4)\)
- \((-2,-5,-4)\)
Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-1)\) y tiene vector normal \((2,1,3)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?
- \(2x+y+3z+1=0\)
- \(2x+y+3z-1=0\)
- \(2x+y-3z-7=0\)
- \(2x-y+3z+3=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(x+2y-z=6\)?
- \((1,2,0)\)
- \((2,1,1)\)
- \((0,2,1)\)
- \((3,2,1)\)
¿Cuál de los siguientes vectores es normal al plano \(4x-3y+2z=7\)?
- \((4,-3,2)\)
- \((4,3,2)\)
- \((7,0,0)\)
- \((-4,-3,2)\)
Un plano contiene al punto \((-1,3,2)\) y tiene vector normal \((1,-2,2)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
- \(x-2y+2z-3=0\)
- \(x+2y+2z-9=0\)
- \(x-2y+2z+3=0\)
- \(x-2y-2z+11=0\)
Sean \(Q_0\) y \(Q\) dos puntos distintos de un plano, y \(\vec n\) un vector normal a él. ¿Qué igualdad expresa que el vector \(Q-Q_0\) es perpendicular a \(\vec n\)?
- \(Q-Q_0=\vec n\)
- \((Q-Q_0)\cdot\vec n=1\)
- \((Q-Q_0)+\vec n=\vec 0\)
- \((Q-Q_0)\cdot\vec n=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos satisface la ecuación del plano \(2x-y+3z=5\)?
- \((1,1,1)\)
- \((2,2,1)\)
- \((0,1,1)\)
- \((3,0,0)\)
Al desarrollar y reducir términos semejantes en \(3(x+1)-2(y-4)+4(z-2)=0\), se obtiene:
- \(3x-2y+4z-3=0\)
- \(3x-2y+4z+3=0\)
- \(3x+2y+4z+3=0\)
- \(3x-2y+4z-13=0\)
En un plano se consideran los puntos \(P_0=(-2,3,1)\) y \(P=(4,-1,5)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?
- \((6,-4,4)\)
- \((-6,4,-4)\)
- \((2,2,6)\)
- \((6,2,4)\)
9. pauta v99
Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio v5
Datos generales de corrección
- Curso: 3° medio diferenciado.
- Unidad: Rectas y planos en el espacio.
- Tiempo: 75 minutos.
- Total de preguntas: 18.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 36 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo alcanzable de aprobación: 22 puntos, equivalentes a 11 respuestas correctas. El 60% del puntaje total corresponde a \(21{,}6\) puntos.
Esta pauta corresponde a la versión 5 corregida: en la pregunta 16, la alternativa C es \((0,1,1)\).
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer elementos y representar rectas mediante ecuaciones paramétricas. | 1, 4, 5 |
| Calcular puntos de una recta y verificar pertenencia. | 2, 3 |
| Determinar e interpretar la intersección de rectas. | 6, 7, 8 |
| Construir y simplificar ecuaciones de planos. | 9, 11, 14, 17 |
| Identificar vectores normales e interpretar la perpendicularidad. | 10, 13, 15 |
| Verificar la pertenencia de puntos a un plano. | 12, 16 |
| Calcular el vector determinado por dos puntos. | 18 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: C
Justificación: En una recta de la forma \((x,y,z)=P_0+t\vec v\), el vector que multiplica al parámetro indica la dirección. Por lo tanto, en \((x,y,z)=(3,-2,4)+t(-2,5,1)\), un vector director es \(\vec v=(-2,5,1)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: A
Justificación: Se reemplaza \(t=2\) en las tres coordenadas:
\(x=-1+3\cdot2=5\), \(y=4-2\cdot2=0\), \(z=2+2=4\).
El punto obtenido es \((5,0,4)\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: D
Justificación: Para que un punto pertenezca a la recta, un mismo valor de \(t\) debe producir sus tres coordenadas. Para el punto \((-2,5,6)\), la primera coordenada exige \(2-2t=-2\), de donde \(t=2\).
Con ese valor, \(y=-1+3\cdot2=5\) y \(z=4+2=6\). Se verifican las tres coordenadas, por lo que el punto pertenece a la recta.
Pregunta 4
Alternativa correcta: B
Justificación: Se utiliza el punto dado como punto inicial y el vector director como coeficiente del parámetro:
\((x,y,z)=(-3,2,1)+t(2,-1,4)\).
Al separar las componentes se obtiene \(x=-3+2t,\ y=2-t,\ z=1+4t\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: A
Justificación: Al reemplazar \(\lambda=0\), los términos que contienen el parámetro se anulan:
\(x=-2+4\cdot0=-2\), \(y=3-0=3\), \(z=1+2\cdot0=1\).
Por lo tanto, el punto es \((-2,3,1)\).
Pregunta 6
Alternativa correcta: C
Justificación: Se igualan las coordenadas de ambas rectas:
\(1+t=6-s\), \(-2+t=-6+2s\), \(6-t=1+s\).
De la primera igualdad, \(t+s=5\). De la segunda, \(t-2s=-4\). Al sustituir \(t=5-s\), resulta \(5-3s=-4\), por lo que \(s=3\) y \(t=2\).
La tercera igualdad también se cumple: \(6-2=1+3=4\).
Así, \(L_1(2)=(3,0,4)\) y \(L_2(3)=(3,0,4)\). El punto de intersección es \((3,0,4)\).
Pregunta 7
Alternativa correcta: B
Justificación: Un punto en el espacio queda determinado por sus tres coordenadas. Para que dos rectas tengan un punto en común, debe existir un par de valores de los parámetros que produzca simultáneamente el mismo \(x\), el mismo \(y\) y el mismo \(z\).
Los parámetros pueden tener valores diferentes. Coincidir solo en dos coordenadas no asegura una intersección.
Pregunta 8
Alternativa correcta: D
Justificación: Se igualan las coordenadas:
\(-1+t=6-2s\), \(6-t=1+s\), \(-7+2t=-3+s\).
Las dos primeras igualdades entregan \(t+2s=7\) y \(t+s=5\). Al restarlas, se obtiene \(s=2\); luego, \(t=3\).
Se verifica la tercera coordenada: \(-7+2\cdot3=-1\) y \(-3+2=-1\).
Por lo tanto, \(L_1(3)=(2,3,-1)\) y \(L_2(2)=(2,3,-1)\). Ambas rectas se intersecan en \((2,3,-1)\).
Pregunta 9
Alternativa correcta: C
Justificación: La ecuación punto-normal es \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\).
Con \(P_0=(-2,1,3)\) y \(\vec n=(3,-2,1)\), resulta:
\(3(x-(-2))-2(y-1)+(z-3)=0\).
Esto equivale a \(3(x+2)-2(y-1)+(z-3)=0\).
Pregunta 10
Alternativa correcta: A
Justificación: En la ecuación punto-normal, los coeficientes que multiplican a los paréntesis son las componentes de un vector normal.
En \(2(x-3)-5(y+2)+4(z-1)=0\), esos coeficientes son \(2\), \(-5\) y \(4\). Por lo tanto, \(\vec n=(2,-5,4)\).
Pregunta 11
Alternativa correcta: B
Justificación: Con el punto \((1,2,-1)\) y el vector normal \((2,1,3)\), se escribe:
\(2(x-1)+(y-2)+3(z+1)=0\).
Al desarrollar: \(2x-2+y-2+3z+3=0\).
Al reducir los términos constantes se obtiene \(2x+y+3z-1=0\).
Pregunta 12
Alternativa correcta: D
Justificación: Un punto pertenece al plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación. Para \((3,2,1)\):
\(x+2y-z=3+2\cdot2-1=6\).
Las alternativas A, B y C producen, respectivamente, \(5\), \(3\) y \(3\), por lo que no satisfacen la ecuación.
Pregunta 13
Alternativa correcta: A
Justificación: En una ecuación cartesiana \(ax+by+cz=d\), el vector \((a,b,c)\) es normal al plano.
Por lo tanto, para \(4x-3y+2z=7\), un vector normal es \((4,-3,2)\).
Pregunta 14
Alternativa correcta: C
Justificación: Se utiliza el punto \((-1,3,2)\) y el vector normal \((1,-2,2)\):
\((x+1)-2(y-3)+2(z-2)=0\).
Al desarrollar: \(x+1-2y+6+2z-4=0\).
La ecuación simplificada es \(x-2y+2z+3=0\).
Pregunta 15
Alternativa correcta: D
Justificación: Como \(Q_0\) y \(Q\) son puntos distintos del plano, el vector \(Q-Q_0\) tiene una dirección contenida en él. El vector normal es perpendicular a esa dirección.
El producto punto de dos vectores perpendiculares es cero; por eso, \((Q-Q_0)\cdot\vec n=0\).
Pregunta 16
Alternativa correcta: B
Justificación: Se reemplazan las coordenadas de \((2,2,1)\) en el lado izquierdo de la ecuación:
\(2x-y+3z=2\cdot2-2+3\cdot1=5\).
Por lo tanto, el punto pertenece al plano. Las alternativas A, C corregida y D producen, respectivamente, \(4\), \(2\) y \(6\), por lo que no pertenecen al plano.
Pregunta 17
Alternativa correcta: B
Justificación: Se aplica la propiedad distributiva, respetando los signos:
\(3(x+1)-2(y-4)+4(z-2)=3x+3-2y+8+4z-8\).
Los términos constantes suman \(3+8-8=3\). Por lo tanto, la ecuación es \(3x-2y+4z+3=0\).
Pregunta 18
Alternativa correcta: A
Justificación: Se restan las coordenadas de \(P_0\) a las de \(P\), conservando el orden:
\(P-P_0=(4-(-2),-1-3,5-1)=(6,-4,4)\).
Este vector representa el desplazamiento desde \(P_0\) hasta \(P\).
Resumen de claves correctas
1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) A, 6) C, 7) B, 8) D, 9) C, 10) A, 11) B, 12) D, 13) A, 14) C, 15) D, 16) B, 17) B, 18) A.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 4 |
| D | 4 |
Descargar pauta JSON
El archivo contiene las 18 claves de la versión corregida y asigna 2 puntos por pregunta. Se configura una hoja por evaluación; si utiliza otra cantidad, ajústela en el selector del corrector.
La exigencia de esta prueba es 60%. El formato JSON documentado no incluye un campo para configurar esa exigencia; debe comprobarse por separado en el sistema de calificación.