prue ba 2 2 semestre
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Geometía 3d |
| Libro: | prue ba 2 2 semestre |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | miércoles, 9 de septiembre de 2026, 06:41 |
1. prueba test
- Marca una sola alternativa por pregunta.
- Trabaja con coordenadas en el espacio \((x,y,z)\) y respeta el orden de las componentes.
- En las ecuaciones paramétricas, el parámetro puede representarse mediante \(t\), \(s\), \(\lambda\) u otra letra.
- Para determinar una intersección entre rectas, recuerda que debe existir un valor de los parámetros para el cual las tres coordenadas representen el mismo punto.
- En un plano, el vector normal es perpendicular a los vectores contenidos en el plano.
- No se requieren aproximaciones ni redondeos. Expresa los resultados de manera exacta.
- Cada pregunta vale 2 puntos.
La recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) tiene como vector director:
- \((2,1,5)\)
- \((1,2,-1)\)
- \((3,3,4)\)
- \((-1,-2,1)\)
En la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), ¿qué punto se obtiene al usar \(t=3\)?
- \((3,3,4)\)
- \((5,6,2)\)
- \((5,7,8)\)
- \((5,7,2)\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece necesariamente a la recta \(L:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\)?
- \((2,1,5)\)
- \((1,2,-1)\)
- \((2,2,5)\)
- \((3,2,4)\)
Una recta pasa por \(P=(1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\). ¿Cuál es una parametrización correcta?
- \(x=2+t,\ y=1-2t,\ z=-4+3t\)
- \(x=1+t,\ y=-2+2t,\ z=3-4t\)
- \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-4t\)
- \(x=1+2t,\ y=-2-t,\ z=3+4t\)
Considera la recta \(L\) dada por \(x=4-2\lambda,\ y=5-\lambda,\ z=3+\lambda\). ¿Qué punto de la recta corresponde a \(\lambda=0\)?
- \((-2,-1,1)\)
- \((4,5,3)\)
- \((2,4,4)\)
- \((4,-2,5)\)
Sean \(L_1:(x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\) y \(L_2:(x,y,z)=(4,5,3)+\lambda(-2,-1,1)\). ¿Cuál es el punto de intersección de ambas rectas?
- \((4,5,3)\)
- \((2,1,5)\)
- \((3,3,4)\)
- \((0,3,5)\)
Para comprobar que dos rectas en el espacio se intersecan, ¿qué condición debe cumplirse?
- Sus puntos iniciales deben ser iguales.
- Sus vectores directores deben tener las mismas componentes.
- Los parámetros de ambas rectas deben tener siempre el mismo valor.
- Debe existir una elección de parámetros que produzca el mismo punto en ambas rectas.
Sean \(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,0)\) y \(L_2:(x,y,z)=(3,2,2)+s(-1,0,0)\). ¿En qué punto se intersecan?
- \((1,0,2)\)
- \((2,1,2)\)
- \((3,2,2)\)
- \((2,2,2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(1,2,-1)\) y tiene vector normal \((2,-3,1)\). ¿Cuál es su ecuación en forma punto-normal?
- \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\)
- \(2(x+1)-3(y+2)+(z-1)=0\)
- \((x-1)+2(y-2)-3(z+1)=0\)
- \(2x-3y+z=0\)
En la ecuación \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), ¿cuál es un vector normal al plano?
- \((1,-4,2)\)
- \((3,2,-5)\)
- \((3,-2,5)\)
- \((-1,4,-2)\)
Un plano pasa por \(P_0=(2,0,3)\) y tiene vector normal \((1,2,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana simplificada?
- \(x+2y-z-1=0\)
- \(x-2y-z+1=0\)
- \(x+2y+z-5=0\)
- \(x+2y-z+1=0\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x-y+z=5\)?
- \((2,0,1)\)
- \((1,1,1)\)
- \((2,2,2)\)
- \((0,1,4)\)
El plano \(x-2y+3z=7\) tiene como vector normal:
- \((7,0,0)\)
- \((1,2,3)\)
- \((1,-2,3)\)
- \((-1,-2,-3)\)
Un plano pasa por el punto \((1,2,0)\) y tiene vector normal \((2,1,-1)\). ¿Cuál es su ecuación cartesiana?
- \(2x+y-z+4=0\)
- \(2x+y-z-4=0\)
- \(x+2y-z-5=0\)
- \(2x-y+z=0\)
Sea \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) un punto fijo de un plano y \(P=(x,y,z)\) otro punto cualquiera del mismo plano. Si \(\vec n=(A,B,C)\) es normal al plano, ¿qué relación permite obtener su ecuación?
- \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\)
- \(\vec n+(P-P_0)=0\)
- \(\vec n\cdot P=1\)
- \(P+P_0=\vec n\)
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al plano \(2x+y-z=4\)?
- \((1,1,1)\)
- \((0,2,1)\)
- \((1,0,0)\)
- \((2,1,1)\)
¿Cuál es la forma cartesiana simplificada de \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\)?
- \(3x-2y+z-8=0\)
- \(3x-2y+z-12=0\)
- \(3x+2y+z-12=0\)
- \(3x-2y-z-12=0\)
En un plano se fija \(P_0=(2,-1,3)\) y se considera otro punto \(P=(5,1,4)\). ¿Cuál es el vector \(P-P_0\)?
- \((7,0,7)\)
- \((-3,-2,-1)\)
- \((3,2,1)\)
- \((3,0,1)\)
2. Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio
Pauta de evaluación: Prueba de rectas y planos en el espacio
- Curso: 3° medio diferenciado.
- Unidad: Rectas y planos en el espacio.
- Tiempo: 75 minutos.
- Total de preguntas: 18.
- Puntaje por pregunta: 2 puntos.
- Puntaje total: 36 puntos.
- Porcentaje de aprobación: 60%.
- Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.
Criterio de corrección
Cada pregunta tiene una única alternativa correcta. Se asignan 2 puntos por respuesta correcta y 0 puntos por respuesta incorrecta, omitida o con más de una alternativa marcada.
Distribución de habilidades
| Habilidad | Preguntas |
|---|---|
| Reconocer e interpretar elementos de una recta en el espacio. | 1, 2, 3, 5 |
| Representar rectas mediante ecuaciones paramétricas. | 4 |
| Determinar e interpretar intersecciones entre rectas en el espacio. | 6, 7, 8 |
| Reconocer vectores normales y construir ecuaciones de planos. | 9, 10, 11, 13, 14, 15 |
| Verificar pertenencia de puntos a planos. | 12, 16 |
| Transformar ecuaciones de planos y operar con vectores en el espacio. | 17, 18 |
Desarrollo de respuestas correctas
Pregunta 1
Alternativa correcta: B
Justificación: En una recta escrita como \((x,y,z)=P_0+t\vec v\), el vector que multiplica al parámetro es el vector director. Por lo tanto, el vector director es \((1,2,-1)\).
Pregunta 2
Alternativa correcta: D
Justificación: Sustituyendo \(t=3\): \(x=2+3=5\), \(y=1+2\cdot3=7\) y \(z=5-3=2\). El punto es \((5,7,2)\).
Pregunta 3
Alternativa correcta: A
Justificación: Al tomar \(t=0\) en \((x,y,z)=(2,1,5)+t(1,2,-1)\), se obtiene directamente el punto \((2,1,5)\). En la versión corregida, la alternativa D debe ser \((3,2,4)\), que no pertenece a la recta.
Pregunta 4
Alternativa correcta: C
Justificación: Una recta que pasa por \((1,-2,3)\) y tiene vector director \((2,1,-4)\) puede escribirse como \(x=1+2t\), \(y=-2+t\), \(z=3-4t\).
Pregunta 5
Alternativa correcta: B
Justificación: Para \(\lambda=0\), se obtiene \(x=4\), \(y=5\) y \(z=3\). Por lo tanto, el punto es \((4,5,3)\).
Pregunta 6
Alternativa correcta: A
Justificación: En \(L_1\), tomando \(t=2\), se obtiene \((4,5,3)\). En \(L_2\), tomando \(\lambda=0\), también se obtiene \((4,5,3)\). Por lo tanto, ese es el punto de intersección.
Pregunta 7
Alternativa correcta: D
Justificación: Dos rectas se intersecan cuando existen valores de sus parámetros que hacen que ambas produzcan exactamente el mismo punto del espacio.
Pregunta 8
Alternativa correcta: C
Justificación: En \(L_1\), la coordenada \(y=t\). Para coincidir con \(L_2\), cuya coordenada \(y\) es \(2\), debe ser \(t=2\). Así se obtiene \((3,2,2)\), que corresponde además a \(s=0\) en \(L_2\).
Pregunta 9
Alternativa correcta: A
Justificación: La forma punto-normal es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\). Con \(P_0=(1,2,-1)\) y normal \((2,-3,1)\), resulta \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\).
Pregunta 10
Alternativa correcta: B
Justificación: En \(3(x-1)+2(y+4)-5(z-2)=0\), los coeficientes que acompañan a las diferencias de coordenadas forman un vector normal: \((3,2,-5)\).
Pregunta 11
Alternativa correcta: D
Justificación: La ecuación punto-normal es \((x-2)+2(y-0)-(z-3)=0\). Al simplificar: \(x-2+2y-z+3=0\), por lo que \(x+2y-z+1=0\).
Pregunta 12
Alternativa correcta: A
Justificación: Sustituyendo \((2,0,1)\) en \(2x-y+z=5\), se obtiene \(2\cdot2-0+1=5\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 13
Alternativa correcta: C
Justificación: En una ecuación cartesiana \(Ax+By+Cz=D\), un vector normal es \((A,B,C)\). Para \(x-2y+3z=7\), el vector normal es \((1,-2,3)\).
Pregunta 14
Alternativa correcta: B
Justificación: Usando el punto \((1,2,0)\) y la normal \((2,1,-1)\): \(2(x-1)+(y-2)-z=0\). Al simplificar se obtiene \(2x+y-z-4=0\).
Pregunta 15
Alternativa correcta: A
Justificación: Como \(P-P_0\) es un vector contenido en el plano y \(\vec n\) es normal al plano, ambos son perpendiculares. Por ello, su producto punto debe cumplir \(\vec n\cdot(P-P_0)=0\).
Pregunta 16
Alternativa correcta: D
Justificación: Sustituyendo \((2,1,1)\) en \(2x+y-z=4\), resulta \(2\cdot2+1-1=4\). Por lo tanto, el punto pertenece al plano.
Pregunta 17
Alternativa correcta: B
Justificación: Desarrollando \(3(x-2)-2(y+1)+(z-4)=0\), se obtiene \(3x-6-2y-2+z-4=0\). Al reducir términos semejantes resulta \(3x-2y+z-12=0\).
Pregunta 18
Alternativa correcta: C
Justificación: Se restan las coordenadas correspondientes: \(P-P_0=(5-2,1-(-1),4-3)=(3,2,1)\).
Resumen de claves correctas
1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) A, 7) D, 8) C, 9) A, 10) B, 11) D, 12) A, 13) C, 14) B, 15) A, 16) D, 17) B, 18) C.
Conteo de alternativas correctas
| Alternativa | Cantidad de respuestas correctas |
|---|---|
| A | 5 |
| B | 5 |
| C | 4 |
| D | 4 |