1. Los Números Naturales

Introducción

Los números naturales son los primeros que aprendemos desde pequeños. Se usan para contar, ordenar cosas y resolver problemas simples. Por ejemplo, cuando cuentas cuántos amigos están contigo o cuántas manzanas tienes, estás usando números naturales. Este conjunto es la base para entender matemáticas más avanzadas.

Definición

Los números naturales son un conjunto que comienza desde el cero y se extiende infinitamente. Se denotan con el símbolo $ \mathbb{N} $.

\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]

Son infinitos, porque siempre podemos sumar $1$ a cualquier número y obtener otro número natural.

Representación en la recta numérica

Los números naturales pueden ubicarse en la recta numérica partiendo desde el $0$ y avanzando de uno en uno hacia la derecha.

Usos y Propiedades

¿Para qué sirven los números naturales?

Los números naturales se usan para:

Contar: ¿Cuántos estudiantes hay en una sala? Usamos $1, 2, 3, \dots$.
Ordenar: Decir que $1^\circ$ es el primero, $2^\circ$ es el segundo, y así sucesivamente.
Resolver problemas: Si tienes 3 lápices y te regalan 2 más, ¿cuántos tienes en total?

Propiedades clave

Son infinitos: siempre puedes obtener un número natural mayor sumando $1$.
No tienen números negativos: comienzan en $0$ y no incluyen números menores que $0$.
Tienen operaciones básicas: se pueden sumar, multiplicar y restar cuando el resultado no es negativo.

Ejemplos y Curiosidades

Ejemplos de operaciones

Suma: si tienes 3 libros y compras 2 más, ahora tienes $3 + 2 = 5$.
Multiplicación: si tienes 2 cajas con 5 lápices cada una, en total tienes $2 \cdot 5 = 10$.
Orden: entre los números $2$ y $5$, sabemos que $2 < 5$.

¿El cero es natural?

En algunos textos, el conjunto de los números naturales empieza en $1$. Sin embargo, en esta unidad trabajaremos con la convención que incluye al cero:

\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]

Conclusión

En resumen

Los números naturales son la base de las matemáticas y nos ayudan a entender y resolver problemas de la vida diaria. Desde contar hasta realizar operaciones más complejas, estos números nos acompañan siempre.

2. Construcción de los Números Naturales a partir de Conjuntos (Complemento optativo)

Introducción a la construcción formal

Los números naturales ($\mathbb{N}$) son el conjunto básico sobre el cual se construyen otros sistemas numéricos. En teoría de conjuntos, los números naturales pueden construirse formalmente a partir del conjunto vacío ($\emptyset$), usando reglas lógicas y axiomas.

Definición matemática: construcción de Von Neumann

Una forma formal de construir los números naturales es mediante la siguiente definición inductiva:

El cero: se define el número $0$ como el conjunto vacío.
\[ 0=\emptyset \]
El sucesor: el sucesor de un número natural $n$, denotado por $S(n)$, se define como la unión de $n$ con el conjunto que contiene a $n$.
\[ S(n)=n\cup\{n\} \]

Construcción de los primeros números

Aplicando la definición del sucesor, se pueden construir los primeros números naturales:

$0=\emptyset$
$1=S(0)=0\cup\{0\}=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}$
$2=S(1)=1\cup\{1\}=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
$3=S(2)=2\cup\{2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$

Y así sucesivamente. Cada número natural queda representado como el conjunto formado por todos los números naturales que lo preceden.

Entonces, desde esta mirada formal, los números naturales pueden construirse a partir de la idea de conjunto y del conjunto vacío.

Propiedades y Axiomas

Propiedades derivadas

A partir de esta construcción, se obtienen propiedades importantes:

Orden: un número natural $a$ es menor que un número natural $b$, es decir, $a<b$, si y solo si $a\in b$.
Estructura de conjuntos: cada número natural es un conjunto formado por los números naturales anteriores.

Axiomas de Peano

Esta construcción satisface los axiomas de Peano, que formalizan propiedades fundamentales de los números naturales:

El $0$ es un número natural.
Si $n$ es un número natural, entonces su sucesor $S(n)$ también es un número natural.
El $0$ no es el sucesor de ningún número natural.
Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, entonces son el mismo número: si $S(a)=S(b)$, entonces $a=b$.
Principio de inducción matemática: si una propiedad es verdadera para $0$, y además al ser verdadera para un número $n$ también lo es para su sucesor $S(n)$, entonces la propiedad es verdadera para todos los números naturales.

Conclusión

Fundamento de las matemáticas

Esta construcción de los números naturales mediante conjuntos y el conjunto vacío es una base importante de la matemática moderna. A partir de estas ideas, es posible construir con mayor rigor otros sistemas numéricos, como los números enteros, racionales, reales y complejos.

3. Propiedades de los números naturales

Los números naturales: más que solo contar

Objetivos de aprendizaje

Reconocer el conjunto de los números naturales y algunas de sus propiedades fundamentales.
Aplicar correctamente las propiedades de la suma, la multiplicación y la distributividad en $\mathbb{N}$.
Comprender, de manera introductoria, ideas como el buen orden y los axiomas de Peano.

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los que usamos para contar y ordenar. En esta guía trabajaremos con la convención:

\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]

Por eso, el $0$ será parte del conjunto y tendrá un papel importante como elemento neutro de la suma.

Idea central

Además de servir para contar, los números naturales tienen una estructura matemática con reglas claras de operación.

Si $a,b,c \in \mathbb{N}$, entonces podemos estudiar cómo se comportan expresiones como:

\[ a+b \qquad a\cdot b \qquad a\cdot (b+c) \]

Más allá de contar: la idea de semianillo

En matemáticas, el conjunto $\mathbb{N}$ con la suma y la multiplicación forma una estructura llamada semianillo.

Esto significa que estas operaciones cumplen propiedades conocidas, como asociatividad, conmutatividad, existencia de elementos neutros y distributividad.

La diferencia con estructuras más completas, como los enteros $\mathbb{Z}$, es que en $\mathbb{N}$ no todo número tiene inverso aditivo. Por ejemplo, no existe un número natural que sumado con $5$ dé $0$.

Propiedades de la suma

Propiedades de la suma en $\mathbb{N}$

Clausura: si $a,b \in \mathbb{N}$, entonces $a+b \in \mathbb{N}$.
Asociativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
Conmutativa: $a+b=b+a$.
Elemento neutro: $a+0=a$.

Ejemplo 1: propiedad asociativa

Consideremos las expresiones $(15+8)+23$ y $15+(8+23)$.

\[ (15+8)+23=23+23=46 \]

\[ 15+(8+23)=15+31=46 \]

En ambos casos el resultado es $46$. Esto muestra que al cambiar la agrupación, la suma no cambia.

Ejemplo 2: propiedad conmutativa

Comparemos $34+56$ con $56+34$.

\[ 34+56=90 \qquad 56+34=90 \]

El orden de los sumandos no altera el resultado.

Ejercicio 1: asociatividad de la suma

Calcula $(12+9)+18$ y $12+(9+18)$. Luego indica qué propiedad se cumple.

Ejercicio 2: conmutatividad de la suma

¿Es cierto que $47+28=28+47$? Justifica.

Ejercicio 3: ecuación aditiva

Encuentra el valor de $x$ que satisface la ecuación $x+17=42$.

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación en $\mathbb{N}$

Clausura: si $a,b \in \mathbb{N}$, entonces $a\cdot b \in \mathbb{N}$.
Asociativa: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.
Conmutativa: $a\cdot b=b\cdot a$.
Elemento neutro: $a\cdot 1=a$.
Factor cero: $a\cdot 0=0$.

Ejemplo 3: asociatividad de la multiplicación

Veamos qué ocurre con $(4\cdot 7)\cdot 9$ y $4\cdot(7\cdot 9)$.

\[ (4\cdot 7)\cdot 9=28\cdot 9=252 \]

\[ 4\cdot(7\cdot 9)=4\cdot 63=252 \]

Ambas expresiones dan el mismo resultado, por lo tanto se cumple la propiedad asociativa.

Ejemplo 4: elemento neutro multiplicativo

Si multiplicamos cualquier número natural por $1$, el número no cambia.

\[ 159\cdot 1=159 \]

Por eso decimos que $1$ es el elemento neutro de la multiplicación.

Ejercicio 4: asociatividad de la multiplicación

Verifica si se cumple la propiedad asociativa en $(3\cdot 5)\cdot 8=3\cdot(5\cdot 8)$.

Ejercicio 5: elemento neutro

¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número natural por $1$? Da un ejemplo.

Ejercicio 6: ecuación multiplicativa

Resuelve la ecuación $4\cdot y=36$.

Propiedad distributiva

La multiplicación se distribuye sobre la suma

La propiedad distributiva conecta la multiplicación con la suma.

\[ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \]

También puede aplicarse cuando dentro del paréntesis hay una resta, siempre que la operación tenga sentido en el contexto trabajado.

Ejemplo 5: aplicar la distributiva

Calculemos $5\cdot(8+2)$.

\[ 5\cdot(8+2)=5\cdot 8+5\cdot 2 \]

\[ 5\cdot(8+2)=40+10=50 \]

Ejemplo 6: distributiva a la inversa

La expresión $3\cdot 9+3\cdot 4$ tiene factor común $3$.

\[ 3\cdot 9+3\cdot 4=3\cdot(9+4) \]

Este proceso se llama factorizar.

Ejercicio 7: cálculo con distributiva

Aplica la propiedad distributiva para calcular $7\cdot(6+4)$.

Ejercicio 8: factorizar

Escribe la expresión $5\cdot 8+5\cdot 2$ usando la propiedad distributiva a la inversa.

Ejercicio 9: distributiva con resta

Resuelve $8\cdot(12-5)$ utilizando la propiedad distributiva.

¡Ojo con la resta!

La propiedad distributiva también puede escribirse sobre una resta. Sin embargo, la resta no siempre es una operación interna en $\mathbb{N}$.

Por ejemplo, $4-10$ no pertenece a $\mathbb{N}$. Este punto se amplía al estudiar los números enteros $\mathbb{Z}$.

Otras características importantes

Buen orden

Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo.

Por ejemplo, en $\{5,12,8\}$, el menor elemento es $5$.

Idea clave sobre el buen orden

La propiedad de buen orden asegura que siempre existe un “primer” número cuando observamos un subconjunto no vacío de naturales.

Esta idea es importante porque sirve de base para razonamientos matemáticos más profundos, como la inducción.

Ejemplo 7: identificar el menor elemento

Observemos el conjunto $\{9,3,14,7\}$.

Al comparar sus elementos, vemos que el menor es $3$.

Esto muestra la idea de buen orden en un caso sencillo.

Ejercicio 10: menor elemento

Identifica el menor elemento del conjunto $\{12,0,5,9\}$. Luego explica por qué pertenece a $\mathbb{N}$.

Axiomas de Peano

$0$ es un número natural.
Todo número natural $n$ tiene un sucesor $S(n)$, que también es natural.
$0$ no es sucesor de ningún número natural.
Si $S(n)=S(m)$, entonces $n=m$.
Principio de inducción: si una propiedad se cumple para $0$, y además al cumplirse para $n$ también se cumple para $S(n)$, entonces se cumple para todos los números naturales.

¿Por qué son importantes estos axiomas?

Los axiomas de Peano funcionan como reglas básicas con las que se construye el conjunto $\mathbb{N}$.

No se usan solo para contar, sino también para justificar por qué los números naturales tienen el comportamiento que estudiamos en aritmética.

Presencia de los números naturales en la vida cotidiana

Los números naturales aparecen al contar estudiantes, libros, goles, días, páginas o asistentes a una actividad.

También permiten ordenar posiciones: primer lugar, segundo lugar, tercer lugar, etc.

Cierre

Los números naturales parecen simples porque los usamos desde pequeños, pero sostienen una parte importante de la matemática escolar.

Comprender sus propiedades permite calcular mejor, justificar procedimientos y prepararse para estudiar otros conjuntos numéricos, como $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$.

4. Adición y Sustracción de Números Naturales

Algoritmo de la adición

El algoritmo de la adición es un procedimiento sistemático para sumar dos o más números, basándose en el valor posicional de nuestro sistema de numeración decimal.

Pasos para sumar con reserva

Alinear los números: escribe los números uno debajo del otro, asegurando que las unidades, decenas, centenas, etc., queden en la misma columna.
Sumar columna por columna: empieza por las unidades y avanza hacia la izquierda.
Anotar y llevar si es necesario: si la suma de una columna es $10$ o más, anota la cifra de la unidad y lleva la cifra de la decena a la columna siguiente.
Repetir: continúa el proceso con todas las columnas hasta terminar.

Error típico

Error: empezar a sumar por la izquierda, es decir, por las columnas de mayor valor.

Correcto: en el algoritmo tradicional, se suma de derecha a izquierda: unidades, luego decenas, centenas, etc. Esto permite manejar correctamente las reservas.

Ejemplo con reserva: $345+187$

Vamos a aplicar el algoritmo:

\[ \begin{array}{rrrr} & 3 & 4 & 5 \\ + & 1 & 8 & 7 \\ \hline & 5 & 3 & 2 \end{array} \]

Unidades: $5+7=12$. Escribimos $2$ y llevamos $1$ a las decenas.
Decenas: $4+8+1=13$. Escribimos $3$ y llevamos $1$ a las centenas.
Centenas: $3+1+1=5$. Escribimos $5$.

Resultado: $345+187=532$.

Ejercicios de Adición

Sin reserva

Ejercicio 1: $25+13$

Calcula $25+13$.

Ejercicio 2: $142+56$

Calcula $142+56$.

Ejercicio 3: $2000+500+25$

Calcula $2000+500+25$.

Ejercicio 4: $105+234$

Calcula $105+234$.

Con reserva

Ejercicio 5: $38+9$

Calcula $38+9$.

Ejercicio 6: $567+89$

Calcula $567+89$.

Ejercicio 7: $1234+567$

Calcula $1234+567$.

Ejercicio 8: $99+1$

Calcula $99+1$.

Ejercicio 9: $456+789+123$

Calcula $456+789+123$.

Ejercicio 10: $18+27+36+45$

Calcula $18+27+36+45$.

Algoritmo de la Sustracción de Números Naturales

Algoritmo de la sustracción

El algoritmo de la sustracción con canje, también llamado “pedir prestado”, es el procedimiento que usamos para restar cuando una cifra del minuendo es menor que la cifra correspondiente del sustraendo.

Pasos para restar con canje

Alinear los números: el minuendo va arriba y el sustraendo abajo, bien alineados por columnas.
Restar columna por columna: empieza por las unidades y avanza hacia la izquierda.
Verificar y canjear si es necesario: si el dígito de arriba es menor que el de abajo, se pide prestado $1$ a la columna de la izquierda. Ese $1$ se convierte en $10$ unidades de la columna actual.
Restar y repetir: realiza la resta en cada columna hasta terminar.

Error típico

Error: empezar a restar por la izquierda o restar el número menor al mayor dentro de cada columna.

Correcto: siempre se resta de derecha a izquierda y siempre se calcula la cifra de arriba menos la cifra de abajo. Si la cifra de arriba es menor, se debe hacer un canje.

Ejemplo con canje: $532-285$

Vamos a aplicar el algoritmo:

\[ \begin{array}{rrrr} & 5 & 3 & 2 \\ - & 2 & 8 & 5 \\ \hline & 2 & 4 & 7 \end{array} \]

Unidades: a $2$ no le podemos quitar $5$. Pedimos prestado $1$ a las decenas. El $3$ queda como $2$, y el $2$ se convierte en $12$. Entonces, $12-5=7$.
Decenas: ahora tenemos $2$ decenas, pero a $2$ no le podemos quitar $8$. Pedimos prestado $1$ a las centenas. El $5$ queda como $4$, y el $2$ se convierte en $12$. Entonces, $12-8=4$.
Centenas: $4-2=2$.

Resultado: $532-285=247$.

Canje en cascada

El canje sobre un cero puede ser confuso. Si la columna vecina tiene $0$, no puede prestar directamente. Entonces se debe buscar una columna más a la izquierda que sí pueda prestar.

Por eso, en $1200-17$, las centenas le prestan a las decenas, y luego las decenas le prestan a las unidades.

Ejemplo con doble canje: $1200-17$

Este es un caso especial donde debemos pedir prestado a través de un cero.

\[ \begin{array}{rrrrr} & 1 & 2 & 0 & 0 \\ - & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \hline & 1 & 1 & 8 & 3 \end{array} \]

Unidades: a $0$ no le podemos quitar $7$, por lo tanto necesitamos pedir prestado.
Decenas: como también hay $0$ decenas, se debe pedir prestado desde las centenas.
Centenas: el $2$ presta $1$, queda como $1$, y las decenas pasan a tener $10$.
Canje final: las decenas prestan $1$ a las unidades. Entonces las decenas quedan como $9$, y las unidades pasan a ser $10$.
Restas finales: $10-7=3$, $9-1=8$, $1-0=1$ y $1-0=1$.

Resultado: $1200-17=1183$.

Comprueba tu resultado

Para verificar si una resta está correcta, puedes usar la suma. Si calculaste que $a-b=c$, entonces debe cumplirse que $b+c=a$.

Por ejemplo, para comprobar que $532-285=247$, sumamos:

\[ 285+247=532 \]

Como recuperamos el minuendo original, la resta está correcta.

Ejercicios de Sustracción

Sin canje

Ejercicio 11: $48-23$

Calcula $48-23$.

Ejercicio 12: $165-42$

Calcula $165-42$.

Ejercicio 13: $345-123$

Calcula $345-123$.

Ejercicio 14: $75-45$

Calcula $75-45$.

Con canje

Ejercicio 15: $72-8$

Calcula $72-8$.

Ejercicio 16: $5000-2500$

Calcula $5000-2500$.

Ejercicio 17: $678-90$

Calcula $678-90$.

Ejercicio 18: $2345-678$

Calcula $2345-678$.

Ejercicio 19: $100-1$

Calcula $100-1$.

Ejercicio 20: $131-75-44$

Calcula $131-75-44$.

Matemáticas en la vida real

Estos algoritmos no son solo para el colegio. Se usan al calcular el vuelto en una compra, al llevar la cuenta de puntos en un juego o al medir cantidades en una receta.

Dominar la suma y la resta permite resolver situaciones cotidianas con mayor seguridad.

5. Multiplicación de Números Naturales

Objetivos de aprendizaje

Comprender la multiplicación de números naturales como suma repetida y como cálculo entre factores.
Aplicar correctamente las propiedades de la multiplicación en $\mathbb{N}$.
Resolver multiplicaciones de uno o más dígitos y problemas de aplicación en contexto.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación matemática que, en muchos casos, puede interpretarse como una suma repetida.

Por ejemplo:

\[ 4 \times 3 = 3+3+3+3 = 12 \]

El resultado de multiplicar se llama producto, y los números que se multiplican se llaman factores.

Propiedades de la multiplicación en $\mathbb{N}$

Clausura: si $a,b \in \mathbb{N}$, entonces $a \times b \in \mathbb{N}$.
Conmutativa: $a \times b = b \times a$.
Asociativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
Elemento neutro: $a \times 1 = a$.
Distributiva: $a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)$.
Factor cero: $a \times 0 = 0$.

Ejemplo 1: propiedad conmutativa

Comparemos $4 \times 7$ y $7 \times 4$.

\[ 4 \times 7 = 28 \qquad 7 \times 4 = 28 \]

Como ambos productos son iguales, el orden de los factores no altera el resultado.

Ejemplo 2: factor cero

Si multiplicamos cualquier número por $0$, el resultado siempre es $0$.

\[ 15 \times 0 = 0 \]

Esto ocurre porque no hay grupos que sumar.

Algoritmo de la multiplicación

Atención al orden del cálculo

En el algoritmo de la multiplicación se comienza siempre por la derecha, es decir, por las unidades.

Empezar por la izquierda suele provocar errores al manejar las reservas.

Nivel 1: multiplicar por un factor de un dígito

Cuando se multiplica un número de varias cifras por un solo dígito, se trabaja de derecha a izquierda, registrando las reservas cuando sea necesario.

Ejemplo 3: $153 \times 3$

La multiplicación se hace de derecha a izquierda:

\[ \begin{array}{rrrrrr} & 1 & & & & \\ & 1 & 5 & 3 & \times & 3 \\ \hline & 4 & 5 & 9 \\ \end{array} \]

Desarrollamos paso a paso:

$3 \times 3 = 9$
$3 \times 5 = 15$: escribimos $5$ y reservamos $1$
$3 \times 1 = 3$, y al sumar la reserva queda $4$

Por lo tanto, $153 \times 3 = 459$.

Nivel 2: ambos factores tienen dos o más dígitos

En este caso, se multiplica el primer factor por cada cifra del segundo, respetando el valor posicional de unidades, decenas, centenas, etc.

¿Por qué se corre un espacio?

Cuando multiplicas por una cifra que está en las decenas, en realidad estás multiplicando por $10$, $20$, $30$, etc.

Por eso, el producto parcial debe desplazarse una posición a la izquierda. Si la cifra está en las centenas, el desplazamiento es de dos posiciones.

Ejemplo 4: $56 \times 42$

\[ \begin{array}{ccccccc} & & 5 & 6 & \times & \color{blue}{4} & \color{red}{2} \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & & & \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{green}{0} & & & \\ \hline 2 & 3 & 5 & 2 & & &\\ \end{array} \]

Desarrollo:

Multiplicamos $56 \times 2 = 112$.
Multiplicamos $56 \times 4 = 224$, pero como ese $4$ representa $40$, el producto parcial es $2240$.
Sumamos los productos parciales: $112 + 2240 = 2352$.

Entonces, $56 \times 42 = 2352$.

Ejercicios de práctica

Ejercicios de nivel 1

Ejercicio 1

Calcula $5 \times 3$.

Ejercicio 2

Calcula $12 \times 4$.

Ejercicio 3

Calcula $34 \times 2$.

Ejercicio 4

Calcula $123 \times 3$.

Ejercicio 5

Calcula $245 \times 5$.

Ejercicio 6

Calcula $567 \times 8$.

Ejercicio 7

Calcula $1234 \times 6$.

Ejercicio 8

Calcula $4567 \times 9$.

Ejercicio 9

Calcula $7890 \times 7$.

Ejercicio 10

Calcula $9876 \times 1$.

Ejercicios de nivel 2 y 3

Ahora ambos factores tienen dos o más dígitos. Recuerda respetar el valor posicional de cada cifra.

Ejercicio 11

Calcula $12 \times 23$.

Ejercicio 12

Calcula $34 \times 15$.

Ejercicio 13

Calcula $78 \times 69$.

Ejercicio 14

Calcula $99 \times 99$.

Ejercicio 15

Calcula $123 \times 321$.

Ejercicio 16

Calcula $456 \times 654$.

Ejercicio 17

Calcula $789 \times 987$.

Ejercicio 18

Calcula $102 \times 405$.

Ejercicio 19

Calcula $5678 \times 1234$.

Ejercicio 20

Calcula $1111 \times 1111$.

Resolución de problemas

¿Cuándo conviene multiplicar?

La multiplicación aparece cuando una cantidad se repite varias veces o cuando hay grupos iguales.

“Cada caja tiene...”
“Hay 5 grupos de...”
“Doble”, “triple”, “cuádruple”
“Producto de...”
Situaciones de filas, columnas, paquetes, pisos, páginas o áreas

Ejercicio 21

En una caja hay 12 chocolates. ¿Cuántos chocolates habrá en 5 cajas iguales?

Ejercicio 22

Un edificio tiene 7 pisos. Si cada piso tiene 4 departamentos, ¿cuántos departamentos hay en el edificio?

Ejercicio 23

María tiene 3 álbumes de fotos. Si cada álbum tiene 25 fotos, ¿cuántas fotos tiene María en total?

Ejercicio 24

Un auto recorre 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?

Ejercicio 25

Si una entrada al cine cuesta $\$2.500$, ¿cuánto costarán 4 entradas?

Ejercicio 26

En una sala de clases hay 8 filas con 12 asientos en cada fila. ¿Cuántos asientos hay en total?

Ejercicio 27

Un paquete trae 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrá en 9 paquetes?

Ejercicio 28

Un libro tiene 250 páginas. Si leo 5 páginas por día, ¿cuántas páginas leeré en una semana de 7 días?

Ejercicio 29

Un agricultor cosecha 4 sacos de papas al día. Si cada saco pesa 50 kilos, ¿cuántos kilos de papas cosecha en 6 días?

Ejercicio 30

El corazón de una persona late aproximadamente 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en 15 minutos?

Error común

En multiplicaciones de dos o más cifras, no basta con multiplicar las cifras sin considerar la posición que ocupan.

Las decenas representan grupos de diez, y las centenas representan grupos de cien. Por eso, los productos parciales deben ubicarse correctamente.

Cierre

La multiplicación permite calcular cantidades repetidas de manera rápida y ordenada.

Comprender sus propiedades y dominar su algoritmo ayuda a resolver cálculos y problemas de la vida diaria con mayor seguridad.

6. División de Números Naturales

Dividendo, divisor, cociente y resto

La división es una operación que consiste en repartir una cantidad en partes iguales o averiguar cuántas veces una cantidad cabe en otra.

El número que se reparte se llama dividendo, el número por el que se divide se llama divisor, el resultado es el cociente y lo que sobra es el resto o residuo.

Propiedades de la División

Propiedades a recordar

No es conmutativa: el orden importa. $10 \div 2$ no es lo mismo que $2 \div 10$.
No es asociativa: no se pueden agrupar de cualquier forma. $(20 \div 4) \div 2$ no es lo mismo que $20 \div (4 \div 2)$.
Elemento neutro: cualquier número dividido entre $1$ da el mismo número: $a \div 1 = a$.
División por sí mismo: si $a \ne 0$, entonces $a \div a = 1$.

¡Prohibido dividir por cero!

En las matemáticas que usamos en el colegio, la división por cero no está definida. No se puede repartir una cantidad en cero partes.

Ejercicios de División

Nivel 1: Divisores de un dígito (sin resto)

En este nivel, las divisiones serán exactas, es decir, el resto será $0$.

Ejemplo: $46815 \div 5$

\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \]

Explicación del procedimiento:

Como $4$ es menor que $5$, tomamos 46. En la tabla del $5$, lo más cercano es $5 \times 9 = 45$. Anotamos 9 en el cociente. Restamos $46 - 45 = 1$.
Bajamos el $8$, formando 18. En la tabla del $5$, lo más cercano es $5 \times 3 = 15$. Anotamos 3 en el cociente. Restamos $18 - 15 = 3$.
Bajamos el $1$, formando 31. Lo más cercano es $5 \times 6 = 30$. Anotamos 6 en el cociente. Restamos $31 - 30 = 1$.
Bajamos el $5$, formando 15. Exactamente $5 \times 3 = 15$. Anotamos 3 en el cociente. Restamos $15 - 15 = 0$.

Resultado: cociente $9363$ y resto $0$.

Ejercicio 1

Calcula $6 \div 2$.

Ejercicio 2

Calcula $15 \div 3$.

Ejercicio 3

Calcula $24 \div 4$.

Ejercicio 4

Calcula $125 \div 5$.

Ejercicio 5

Calcula $248 \div 8$.

Ejercicio 6

Calcula $369 \div 3$.

Ejercicio 7

Calcula $1234 \div 2$.

Ejercicio 8

Calcula $4563 \div 3$.

Ejercicio 9

Calcula $7895 \div 5$.

Ejercicio 10

Calcula $9876 \div 6$.

Nivel 2: Divisores de un dígito (con resto)

En este nivel, las divisiones pueden tener un resto distinto de cero.

Ejemplo de división con resto: $1659 \div 8$

\[ \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \]

Explicación:

Tomamos 16. En la tabla del $8$, $8 \times 2 = 16$. Anotamos 2 en el cociente. Restamos $16 - 16 = 0$.
Bajamos el 5. Como $5$ es menor que $8$, el múltiplo que sirve es $8 \times 0 = 0$. Anotamos 0 en el cociente. Restamos $5 - 0 = 5$.
Bajamos el 9, formando 59. El múltiplo más cercano es $8 \times 7 = 56$. Anotamos 7 en el cociente. Restamos $59 - 56 = 3$.

Resultado: cociente $207$ y resto $3$.

¡Comprueba tu división!

Para saber si una división está correcta, usa esta relación:

\[ \text{Dividendo}=(\text{Divisor}\times \text{Cociente})+\text{Resto} \]

Si el resultado coincide con el dividendo original, la división está correcta.

Ejercicio 11

Calcula $7 \div 2$.

Ejercicio 12

Calcula $16 \div 3$.

Ejercicio 13

Calcula $27 \div 4$.

Ejercicio 14

Calcula $128 \div 5$.

Ejercicio 15

Calcula $250 \div 8$.

Ejercicio 16

Calcula $370 \div 3$.

Ejercicio 17

Calcula $1235 \div 2$.

Ejercicio 18

Calcula $4568 \div 3$.

Ejercicio 19

Calcula $7896 \div 5$.

Ejercicio 20

Calcula $9875 \div 6$.

Nivel 3: Divisores de dos dígitos

El procedimiento es el mismo, pero ahora debemos estimar usando múltiplos de un divisor de dos dígitos.

Ejemplo: $1693 \div 12$

\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & & & & \color{magenta}{12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & & & & \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} & & & & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} & & & \color{red}{12 \bullet 4 = 48}\\ & & \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & & & \color{green}{1} & & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \]

Explicación:

Tomamos 16. El múltiplo de $12$ que más se acerca sin pasarse es $12 \times 1 = 12$. Anotamos 1 en el cociente. Restamos $16 - 12 = 4$.
Bajamos el $9$, formando 49. El múltiplo más cercano es $12 \times 4 = 48$. Anotamos 4 en el cociente. Restamos $49 - 48 = 1$.
Bajamos el $3$, formando 13. El más cercano es $12 \times 1 = 12$. Anotamos 1 en el cociente. Restamos $13 - 12 = 1$.

Resultado: cociente $141$ y resto $1$.

Ejercicio 21

Calcula $123 \div 12$.

Ejercicio 22

Calcula $456 \div 24$.

Ejercicio 23

Calcula $789 \div 32$.

Ejercicio 24

Calcula $1024 \div 16$.

Ejercicio 25

Calcula $5678 \div 45$.

Ejercicio 26

Calcula $9876 \div 78$.

Ejercicio 27

Calcula $1000 \div 25$.

Ejercicio 28

Calcula $2468 \div 57$.

Ejercicio 29

Calcula $9753 \div 86$.

Ejercicio 30

Calcula $1111 \div 11$.

Nivel 4: Divisores de tres o más dígitos

El procedimiento no cambia, pero requiere más cálculo y estimación.

Ejercicio 31

Calcula $5678 \div 123$.

Ejercicio 32

Calcula $9876 \div 456$.

Ejercicio 33

Calcula $12345 \div 789$.

Ejercicio 34

Calcula $24680 \div 102$.

Ejercicio 35

Calcula $13579 \div 246$.

Ejercicio 36

Calcula $86420 \div 975$.

Ejercicio 37

Calcula $11111 \div 111$.

Ejercicio 38

Calcula $99999 \div 333$.

Ejercicio 39

Calcula $10000 \div 456$.

Ejercicio 40

Calcula $88888 \div 222$.

Resolución de Problemas con División

¿Cuándo debo dividir?

La división responde principalmente a dos grandes preguntas: repartir en partes iguales o averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Busca estas pistas en los problemas:

Términos de reparto: “repartir”, “distribuir”, “compartir”, “a cada uno le tocan...”.
Términos de agrupamiento: “¿cuántos grupos se pueden formar?” o “¿cuántas veces cabe?”.
Fracciones de un todo: “la mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc.
Palabras directas: a veces el problema dirá “dividir” o “cociente”.

Problema 1

Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos en partes iguales. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?

Problema 2

Un padre quiere repartir $\$100$ entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

Problema 3

En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar equipos de 8 estudiantes, ¿cuántos equipos se pueden formar?

Problema 4

Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leer el libro en 12 días, leyendo la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debo leer por día?

Problema 5

Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?

Problema 6

Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?

Problema 7

Una fábrica produjo 7500 juguetes en una semana laboral de 5 días. Si cada día se fabricó la misma cantidad, ¿cuántos juguetes se produjeron por día?

Problema 8

Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?

Problema 9

Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?

Problema 10

María tiene ahorrado $\$3.600$ y quiere comprar libros que cuestan $\$900$ cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?

7. Criterios de Divisibilidad: ¡Atajos Matemáticos!

¿Qué son los criterios de divisibilidad?

¿Alguna vez te has preguntado si un número se puede dividir por otro de forma exacta sin tener que hacer la división completa? Los criterios de divisibilidad son reglas o “atajos” que nos permiten saberlo solo con observar las cifras de un número.

Criterios fundamentales

Un número es divisible por 2 si su última cifra es par: $0$, $2$, $4$, $6$ u $8$.
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de $3$.
Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es un múltiplo de $4$.
Un número es divisible por 5 si termina en $0$ o en $5$.
Un número es divisible por 10 si termina en $0$.

Criterios compuestos

Divisibilidad por 6: un número es divisible por $6$ si cumple al mismo tiempo los criterios de $2$ y de $3$. Es decir, debe ser par y la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$.

Criterios más elaborados

Divisibilidad por 7: separa la última cifra, multiplícala por $2$ y resta este resultado del número que quedó. Si el resultado es $0$ o un múltiplo de $7$, el número original es divisible por $7$. Este proceso puede repetirse si el número sigue siendo grande.
Divisibilidad por 8: un número es divisible por $8$ si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de $8$.
Divisibilidad por 9: un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es un múltiplo de $9$.
Divisibilidad por 11: suma las cifras de posiciones impares por un lado y las de posiciones pares por otro. Luego resta ambos resultados. Si la diferencia es $0$ o un múltiplo de $11$, el número es divisible por $11$.

Ejemplo 1: divisibilidad por 7

Verifiquemos si $343$ es divisible por $7$.

Separamos la última cifra, que es $3$, y trabajamos con el número que quedó, $34$:

\[ 34-(3\cdot 2)=34-6=28 \]

Como $28$ es múltiplo de $7$, entonces $343$ también es divisible por $7$.

Ejemplo 2: divisibilidad por 11

Verifiquemos si $918.082$ es divisible por $11$.

Sumamos las cifras de posiciones impares y las de posiciones pares:

\[ 9+8+8=25 \]

\[ 1+0+2=3 \]

Luego restamos:

\[ 25-3=22 \]

Como $22$ es múltiplo de $11$, entonces $918.082$ es divisible por $11$.

¡Pon a prueba tus conocimientos!

Ejercicio: criterios de divisibilidad

Indica por cuáles de estos números son divisibles las siguientes cantidades:

\[ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11 \]

Cantidad	Cantidad	Cantidad	Cantidad
$234$	$840$	$495$	$1.372$
$7.040$	$2.915$	$3.333$	$6.182$
$9.009$	$12.321$	$45.678$	$55.440$

Aplicamos los criterios correspondientes: última cifra, suma de cifras, últimas dos o tres cifras, y en algunos casos verificación con $7$ u $11$.

Número	Es divisible por	Justificación
$234$	$2,\ 3,\ 6,\ 9$	Termina en $4$, entonces es divisible por $2$. Además, $2+3+4=9$, por lo tanto es divisible por $3$ y por $9$. Como es divisible por $2$ y por $3$, también es divisible por $6$.
$840$	$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10$	Termina en $0$, así que es divisible por $2$, $5$ y $10$. Además, $8+4+0=12$, por lo que es divisible por $3$, y también por $6$. Sus dos últimas cifras son $40$, divisible por $4$. Sus tres últimas cifras son $840$, divisible por $8$. Además, $840=7\cdot 120$.
$495$	$3,\ 5,\ 9,\ 11$	Termina en $5$, entonces es divisible por $5$. Además, $4+9+5=18$, así que es divisible por $3$ y por $9$. Para $11$, $(4+5)-9=0$, por lo que también es divisible por $11$.
$1.372$	$2,\ 4,\ 7$	Termina en $2$, así que es divisible por $2$. Las dos últimas cifras son $72$, que es múltiplo de $4$. Además, $1.372=7\cdot 196$.
$7.040$	$2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10,\ 11$	Termina en $0$, entonces es divisible por $2$, $5$ y $10$. Las dos últimas cifras son $40$, divisible por $4$. Las tres últimas cifras son $040$, es decir, $40$, que es divisible por $8$. Para $11$, $(7+4)-(0+0)=11$, por eso también cumple ese criterio.
$2.915$	$5,\ 11$	Termina en $5$, así que es divisible por $5$. Para $11$, $(2+1)-(9+5)=-11$, que es múltiplo de $11$.
$3.333$	$3,\ 11$	La suma de sus cifras es $3+3+3+3=12$, por eso es divisible por $3$. Para $11$, $(3+3)-(3+3)=0$, así que también es divisible por $11$.
$6.182$	$2,\ 11$	Termina en $2$, entonces es divisible por $2$. Para $11$, $(6+8)-(1+2)=11$, que es múltiplo de $11$.
$9.009$	$3,\ 7,\ 9,\ 11$	La suma de sus cifras es $9+0+0+9=18$, así que es divisible por $3$ y por $9$. Además, $9.009=7\cdot 1287$. Para $11$, $(9+0)-(0+9)=0$, por lo que también es divisible por $11$.
$12.321$	$3,\ 9$	La suma de sus cifras es $1+2+3+2+1=9$, así que es divisible por $3$ y por $9$.
$45.678$	$2,\ 3,\ 6$	Termina en $8$, por eso es divisible por $2$. La suma de sus cifras es $4+5+6+7+8=30$, que es múltiplo de $3$. Entonces también es divisible por $6$.
$55.440$	$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11$	Termina en $0$, por eso es divisible por $2$, $5$ y $10$. La suma de sus cifras es $5+5+4+4+0=18$, así que es divisible por $3$ y por $9$; entonces también por $6$. Sus dos últimas cifras son $40$, divisible por $4$. Sus tres últimas cifras son $440$, divisible por $8$. Además, $55.440=7\cdot 7920$, y para $11$, $(5+4+0)-(5+4)=0$.

¿Por qué funcionan estos criterios?

Los criterios de divisibilidad no son magia. Se basan en las propiedades de nuestro sistema de numeración decimal, es decir, en que trabajamos en base $10$. Investigar la demostración de cada criterio puede ser un desafío matemático muy interesante.

8. ¡Explorando el mundo de los números primos!

¿Qué es un número primo y uno compuesto?

Imagina que los números son como bloques de construcción. Algunos son piezas únicas y fundamentales. Esos bloques especiales se llaman números primos.

Un número primo es un número natural mayor que $1$ que tiene exactamente dos divisores distintos: $1$ y él mismo. Ejemplos: $2$, $3$, $5$, $7$ y $11$.
Un número compuesto es un número natural mayor que $1$ que tiene más de dos divisores. Ejemplos: $4$, $6$, $8$, $9$ y $10$.
El número $1$ no se considera ni primo ni compuesto.
Como en esta unidad trabajamos con $0 \in \mathbb{N}$, recuerda que $0$ tampoco es primo ni compuesto, porque no es mayor que $1$.

Ejemplos para entender la diferencia

La clave está en contar cuántos divisores tiene un número. Los divisores elementales son siempre $1$ y el mismo número.

Números primos	Números compuestos
$7$ Divisores: $\{1,7\}$ Tiene solo dos divisores.	$9$ Divisores: $\{1,3,9\}$ Tiene más de dos divisores.
$11$ Divisores: $\{1,11\}$ Tiene solo dos divisores.	$12$ Divisores: $\{1,2,3,4,6,12\}$ Tiene varios divisores.

¡A cazar primos con la criba de Eratóstenes!

¿Qué es la criba de Eratóstenes?

La criba de Eratóstenes es un método visual para encontrar todos los números primos hasta un cierto límite. Consiste en ir tachando los números que son múltiplos de otros más pequeños.

Pasos para usar la criba

Escribe una lista de números, por ejemplo, del $1$ al $50$.
Tacha el número $1$, porque no es primo.
Encierra en un círculo el $2$ y tacha todos sus múltiplos mayores que $2$.
Busca el siguiente número no tachado, que será $3$, y tacha sus múltiplos mayores que $3$.
Continúa del mismo modo con $5$, $7$ y los siguientes números no tachados.
Los números que queden sin tachar serán los números primos.

Ejemplo visual de la criba

En la siguiente tabla, los números primos quedan destacados con recuadro y los números compuestos aparecen marcados con una cruz. El $1$ se deja sin destacar porque no es primo ni compuesto.

$1$	$\boxed{2}$	$\boxed{3}$	✕ $4$	$\boxed{5}$	✕ $6$	$\boxed{7}$	✕ $8$	✕ $9$	✕ $10$
$\boxed{11}$	✕ $12$	$\boxed{13}$	✕ $14$	✕ $15$	✕ $16$	$\boxed{17}$	✕ $18$	$\boxed{19}$	✕ $20$
✕ $21$	✕ $22$	$\boxed{23}$	✕ $24$	✕ $25$	✕ $26$	✕ $27$	✕ $28$	$\boxed{29}$	✕ $30$
$\boxed{31}$	✕ $32$	✕ $33$	✕ $34$	✕ $35$	✕ $36$	$\boxed{37}$	✕ $38$	✕ $39$	✕ $40$
$\boxed{41}$	✕ $42$	$\boxed{43}$	✕ $44$	✕ $45$	✕ $46$	$\boxed{47}$	✕ $48$	✕ $49$	✕ $50$

Por lo tanto, los números primos entre $1$ y $50$ son:

\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47 \]

Descomposición en factores primos

Idea fundamental

Los números primos son los “ladrillos” con los que se construyen los números compuestos. Todo número compuesto puede escribirse como producto de números primos. A esto se le llama descomposición en factores primos.

Ejemplo: descomponer el número $36$

Podemos hacerlo con divisiones sucesivas:

$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$

Entonces:

\[ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 \]

También podemos representarlo con un árbol de factores:

Practica la factorización

Ejercicio 1

Descompón $48$ en factores primos.

Ejercicio 2

Descompón $75$ en factores primos.

Ejercicio 3

Descompón $120$ en factores primos.

Ejercicio 4

Descompón $160$ en factores primos.

Ejercicio 5

Descompón $392$ en factores primos.

¿Por qué son importantes los números primos?

Ideas clave

Todo número compuesto puede expresarse como producto de números primos.
La descomposición en factores primos ayuda a simplificar fracciones y a encontrar múltiplos y divisores.
Los números primos aparecen en áreas importantes de la matemática y de la tecnología.

Aplicación en el mundo real: criptografía

En la seguridad digital, como en mensajes, contraseñas o transacciones en internet, se usan operaciones con números primos muy grandes. Por eso, los números primos no solo son importantes en la teoría matemática, sino también en aplicaciones reales.

9. Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

Máximo común divisor

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que logra dividir a todos esos números de forma exacta, sin dejar residuo.

Ejemplo en la vida real: las cuerdas

Imagina que tienes una cuerda de $12$ metros y otra de $18$ metros. Quieres cortarlas en trozos de igual longitud, pero que sean lo más largos posible y sin que sobre nada de cuerda.

El MCD da la respuesta:

\[ \operatorname{MCD}(12,18)=6 \]

Esto significa que:

La longitud máxima de cada trozo es de $6$ metros.
De la cuerda de $12$ m se obtienen $12 \div 6 = 2$ trozos.
De la cuerda de $18$ m se obtienen $18 \div 6 = 3$ trozos.

Cualquier medida más grande, por ejemplo $7$ metros, dejaría sobrantes. El MCD permite encontrar la mayor medida posible sin desperdicio.

Métodos para Calcular el MCD

1. Por Descomposición en Factores Primos

La lógica de este método

Como los factores primos son los “ladrillos” de los números, al buscar los factores comunes con el menor exponente estamos encontrando la estructura más grande que los números comparten.

Pasos para el método de factorización

Descomponer: realiza la descomposición prima de cada número.
Identificar: busca los factores primos que se repiten en todas las descomposiciones.
Multiplicar: multiplica esos factores comunes, usando siempre el menor exponente con el que aparecen.

Ejemplo: calcular el MCD de $36$ y $48$

Descomponemos cada número en factores primos:

$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$

Luego buscamos los factores comunes con el menor exponente:

Factor común $2$: el menor exponente es $2$.
Factor común $3$: el menor exponente es $1$.

Entonces:

\[ \operatorname{MCD}(36,48)=2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \]

Resultado: $\operatorname{MCD}(36,48)=12$.

2. Algoritmo de Euclides

Un atajo para números grandes

Cuando los números son muy grandes, hacer la descomposición prima puede ser largo. El algoritmo de Euclides es un método más rápido y eficiente en esos casos.

Pasos para el algoritmo de Euclides

Divide el número mayor por el menor.
Toma el divisor y divídelo por el resto de la división anterior.
Continúa dividiendo el último divisor por el último resto.
Repite el proceso hasta que la división sea exacta, es decir, hasta obtener resto $0$.
El último divisor usado es el MCD.

Ejemplo: calcular el MCD de $1071$ y $462$

Aplicamos el algoritmo de Euclides:

\[ 1071 = 462 \cdot 2 + 147 \]

Ahora dividimos el divisor anterior, $462$, por el resto $147$:

\[ 462 = 147 \cdot 3 + 21 \]

Repetimos el proceso:

\[ 147 = 21 \cdot 7 + 0 \]

Como la última división fue exacta, el MCD es el último divisor usado.

Resultado: $\operatorname{MCD}(1071,462)=21$.

¡A Practicar!

Ejercicio 1

Calcula $\operatorname{MCD}(12,18)$.

Ejercicio 2

Calcula $\operatorname{MCD}(30,45)$.

Ejercicio 3

Calcula $\operatorname{MCD}(16,24,40)$.

Ejercicio 4

Calcula $\operatorname{MCD}(75,125)$.

Ejercicio 5

Calcula $\operatorname{MCD}(28,42,56)$.

Ejercicio 6

Calcula $\operatorname{MCD}(18,27,36)$.

Ejercicio 7

Calcula $\operatorname{MCD}(120,150)$.

Ejercicio 8

Calcula $\operatorname{MCD}(36,54,72)$.

Ejercicio 9

Calcula $\operatorname{MCD}(20,30,40,50)$.

Ejercicio 10

Calcula $\operatorname{MCD}(105,140,175)$.

Ejercicio 11

Calcula $\operatorname{MCD}(60,90,120,150)$.

Problemas de Aplicación

Problema 1

Un carpintero tiene dos tablas de madera, una de $120$ cm y otra de $180$ cm. Quiere cortarlas en trozos de igual longitud, lo más largos posible y sin desperdiciar madera. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?

Problema 2

Ana tiene $48$ caramelos y $36$ chocolates. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?

Problema 3

Un grupo de amigos quiere repartir $120$ galletas y $150$ caramelos en paquetes con la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que pueden hacer?

Problema 4

En una frutería hay $72$ manzanas, $96$ naranjas y $60$ plátanos. Se quieren colocar en cajas con la misma cantidad de cada fruta. ¿Cuál es el mayor número de cajas que se pueden llenar?

Problema 5

Tres rollos de tela, uno de $140$ metros, otro de $180$ metros y otro de $210$ metros, se quieren cortar en piezas de igual longitud, lo más largas posible y sin desperdiciar tela. ¿Cuál es la mayor longitud posible de las piezas?

Problema 6

Un grupo de estudiantes quiere repartir $108$ lápices, $84$ bolígrafos y $60$ gomas de borrar en estuches con la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de estuches que pueden armar?

Problema 7

Se tienen tres terrenos de $360$, $480$ y $600$ metros cuadrados. Se quieren dividir en parcelas iguales de la mayor área posible. ¿Cuál será el área de cada parcela?

Problema 8

Un grupo de niños quiere repartir $240$ caramelos de fresa, $300$ caramelos de limón y $180$ caramelos de menta en bolsas con la misma cantidad de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden hacer?

Problema 9

En una biblioteca hay $180$ libros de historia, $120$ libros de ciencias y $90$ libros de literatura. Se quieren colocar en estantes con la misma cantidad de libros de cada tema. ¿Cuál es el mayor número de estantes que se pueden llenar?

Problema 10

Se tienen cuatro cuerdas de $120$ cm, $160$ cm, $200$ cm y $240$ cm. Se quieren cortar en trozos de igual longitud, sin desperdiciar cuerda. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?

Problema 11

María tiene $60$ caramelos de fresa, $75$ caramelos de limón y $90$ caramelos de naranja. Quiere repartirlos en bolsas con la misma cantidad de caramelos de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?

10. Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

Mínimo común múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño, distinto de cero, que es múltiplo de todos ellos a la vez.

Ejemplo en la vida real: los autobuses

Imagina que dos autobuses salen de la misma estación. Uno sale cada $12$ minutos y el otro cada $15$ minutos. ¿En cuántos minutos volverán a coincidir en la estación?

Múltiplos de $12$: $12,\ 24,\ 36,\ 48,\ \mathbf{60},\ 72,\dots$
Múltiplos de $15$: $15,\ 30,\ 45,\ \mathbf{60},\ 75,\dots$

El primer múltiplo que tienen en común es $60$. Por lo tanto, volverán a coincidir en $60$ minutos.

\[ \operatorname{MCM}(12,15)=60 \]

El MCM es útil para planificar horarios, resolver problemas de coincidencias y trabajar con fracciones de distinto denominador.

Métodos para Calcular el MCM

1. Por Descomposición en Factores Primos

Pasos para el método de factorización

Descomponer: realiza la descomposición prima de cada número.
Identificar: selecciona todos los factores primos que aparecen, sean comunes o no comunes.
Multiplicar: multiplica esos factores usando siempre la mayor potencia con la que aparecen en cualquiera de las descomposiciones.

Ejemplo: calcular el MCM de $12$ y $15$

Descomponemos cada número en factores primos:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$

Los factores que aparecen son $2$, $3$ y $5$.

Mayor exponente del $2$: $2$, porque aparece como $2^2$.
Mayor exponente del $3$: $1$, porque aparece como $3^1$.
Mayor exponente del $5$: $1$, porque aparece como $5^1$.

Entonces:

\[ \operatorname{MCM}(12,15)=2^2 \times 3^1 \times 5^1=4 \times 3 \times 5=60 \]

Resultado: $\operatorname{MCM}(12,15)=60$.

2. Método de Tabla (Algoritmo Chileno)

Pasos para el método de tabla

Escribe los números en una fila, separados por una línea vertical.
Comienza a dividir por el número primo más pequeño: $2$.
Divide los números que sean divisibles por ese primo. Si un número no es divisible, simplemente se baja.
Repite el proceso con el mismo primo hasta que ya no puedas dividir ningún número.
Pasa al siguiente número primo: $3$, $5$, $7$, etc.
Continúa hasta que todos los números de la fila se hayan reducido a $1$.
El MCM es el producto de todos los números primos usados para dividir.

Ejemplo: calcular el MCM de $12$ y $18$

\[ \begin{array}{cc|c} 12 & 18 & \mathbf{2} \\ 6 & 9 & \mathbf{2} \\ 3 & 9 & \mathbf{3} \\ 1 & 3 & \mathbf{3} \\ 1 & 1 & \end{array} \]

Multiplicamos los factores de la derecha:

\[ 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \]

Resultado: $\operatorname{MCM}(12,18)=36$.

¡A Practicar!

Ejercicio 1

Calcula $\operatorname{MCM}(6,8)$.

Ejercicio 2

Calcula $\operatorname{MCM}(10,15)$.

Ejercicio 3

Calcula $\operatorname{MCM}(12,18,24)$.

Ejercicio 4

Calcula $\operatorname{MCM}(20,25)$.

Ejercicio 5

Calcula $\operatorname{MCM}(14,21,35)$.

Ejercicio 6

Calcula $\operatorname{MCM}(9,12,15)$.

Ejercicio 7

Calcula $\operatorname{MCM}(30,40)$.

Ejercicio 8

Calcula $\operatorname{MCM}(24,36,48)$.

Ejercicio 9

Calcula $\operatorname{MCM}(15,20,30,45)$.

Ejercicio 10

Calcula $\operatorname{MCM}(10,12,15,18)$.

Problemas de Aplicación

Problema 1

Dos trenes salen de una estación a las $8{:}00$ am. Uno sale cada $45$ minutos y el otro cada $60$ minutos. ¿A qué hora volverán a coincidir en la estación?

Problema 2

Tres amigos se encuentran en un parque a las $9{:}00$ am. Uno corre cada $12$ minutos, otro cada $18$ y el tercero cada $24$. ¿A qué hora volverán a encontrarse en el punto de partida?

Problema 3

Dos engranajes de una máquina giran a diferentes velocidades. Uno da una vuelta completa cada $18$ segundos y el otro cada $24$. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en la misma posición inicial?

Problema 4

Un autobús sale cada $20$ minutos y otro cada $30$ minutos. Si ambos salen a las $7{:}00$ am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la parada?

Problema 5

Tres luces de colores se encienden juntas a las $10{:}00$ pm. La roja se enciende cada $12$ segundos, la verde cada $15$ y la azul cada $20$. ¿A qué hora volverán a coincidir?

Problema 6

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora. Uno regresa cada $18$ días y el otro cada $24$. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos barcos vuelvan a estar en el puerto al mismo tiempo?

Problema 7

Un grupo de amigos se reúne cada $10$ días para jugar fútbol, otro grupo se reúne cada $15$ días para jugar baloncesto y un tercer grupo se reúne cada $20$ días para jugar voleibol. Si los tres grupos se reunieron hoy, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

Problema 8

Cuatro atletas corren en una pista circular. El primero completa una vuelta cada $60$ segundos, el segundo cada $75$ segundos, el tercero cada $90$ segundos y el cuarto cada $100$ segundos. Si los cuatro comienzan a correr juntos, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en el punto de partida?

3. Usando la Relación entre MCD y MCM

Un atajo con el MCD

Si ya calculaste el MCD de dos números naturales positivos, puedes encontrar el MCM usando esta relación:

\[ \operatorname{MCD}(a,b)\cdot \operatorname{MCM}(a,b)=a\cdot b \]

De ella se obtiene:

\[ \operatorname{MCM}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)} \]

Ejemplo: aplicando la fórmula

Problema: se sabe que el producto de dos números es $360$ y su MCD es $6$. ¿Cuál es el MCM de esos dos números?

Usamos la relación:

\[ \operatorname{MCM}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)} \]

Reemplazamos los valores conocidos:

\[ \operatorname{MCM}=\frac{360}{6}=60 \]

Por lo tanto, el MCM de esos dos números es $\boxed{60}$.

Ejercicio 11

El producto de dos números es $216$ y su MCD es $6$. ¿Cuál es su MCM?

Ejercicio 12

El producto de dos números es $1200$ y su MCM es $120$. ¿Cuál es su MCD?

Ejercicio 13

Sabiendo que el MCD de $50$ y $75$ es $25$, calcula su MCM usando la fórmula.

Ejercicio 14

El MCD de dos números es $8$ y su MCM es $96$. ¿Cuál es el producto de estos dos números?

Ejercicio 15

Dos números son $12$ y $30$. Comprueba que el producto de los números es igual al producto de su MCD y su MCM.

Ejercicio 16

Un número es $15$. Sabiendo que el MCD entre este número y otro desconocido es $5$, y su MCM es $30$, ¿cuál es el otro número?

11. Subconjuntos Notables de los Números Naturales

Introducción

En esta página exploraremos algunos subconjuntos de los números naturales que forman sucesiones especiales y permiten reconocer distintos patrones.

Tipos de Sucesiones Especiales

1. Basadas en la divisibilidad

Números pares e impares

Esta distinción surge de la divisibilidad por $2$. Los números pares son divisibles por $2$, mientras que los impares dejan residuo $1$ al dividirse por $2$.

Sucesión de pares en $\mathbb{N}$: $0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\dots$
Sucesión de pares positivos: $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\dots$
Sucesión de impares: $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\dots$

Números primos

Los números primos son aquellos números naturales mayores que $1$ que tienen exactamente dos divisores positivos: $1$ y el mismo número.

Sucesión de primos: $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\dots$

2. Basadas en la geometría: números figurados

Números cuadrados y triangulares

Estos números surgen de la relación entre aritmética y geometría, al representar cantidades mediante figuras.

Sucesión de cuadrados: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\dots$
Se obtiene elevando al cuadrado cada número natural positivo: $1^2,\ 2^2,\ 3^2,\dots$.
Sucesión de triangulares: $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\dots$
Se obtiene sumando los primeros números naturales positivos: $1,\ 1+2,\ 1+2+3,\dots$.

Fórmulas útiles

El $n$-ésimo número cuadrado se calcula como:

\[ C_n=n^2 \]

El $n$-ésimo número triangular se calcula como:

\[ T_n=\frac{n(n+1)}{2} \]

3. Basadas en la naturaleza y recursión

La sucesión de Fibonacci

En esta sucesión, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Aunque nació a partir de un problema matemático, también aparece en distintos patrones de la naturaleza.

Sucesión de Fibonacci: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$

¡Pon a prueba tus conocimientos!

Ejercicio 1

¿Cuáles son los primeros $10$ números pares positivos?

Ejercicio 2

¿Cuál es el décimo número cuadrado?

Ejercicio 3

Encuentra los primeros $5$ números triangulares.

Ejercicio 4

¿Es $19$ un número primo? ¿Por qué?

Ejercicio 5

¿Cuáles son los siguientes tres números en la sucesión de Fibonacci?

\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\dots \]

Ejercicio 6

Si el quinto número triangular es $15$, ¿cuál es el sexto?

Ejercicio 7

¿Es $100$ un número cuadrado? ¿Por qué?

Ejercicio 8

Investiga: ¿qué son los números pentagonales? Escribe los primeros $5$.

A seguir explorando

Existen muchos otros subconjuntos interesantes de los números naturales, como los números perfectos, abundantes, deficientes, felices y capicúas.

12. Potencias de Números Naturales

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un número por sí mismo. Se compone de una base y un exponente.

Elementos de una potencia: $2^3=8$

Base $2$: es el número que se multiplica.
Exponente $3$: indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Potencia $8$: es el resultado de la operación.

Se lee “dos elevado a tres” o “dos al cubo”, y significa:

\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8 \]

Reglas especiales que no debes olvidar

Exponente cero: cualquier número natural distinto de cero elevado a $0$ es igual a $1$. Por ejemplo: \[ 7^0=1 \]
Exponente uno: cualquier número elevado a $1$ es igual al mismo número. Por ejemplo: \[ 15^1=15 \]
Base uno: el número $1$ elevado a cualquier potencia es siempre $1$. Por ejemplo: \[ 1^{10}=1 \]
Base cero: si $n>0$, entonces: \[ 0^n=0 \] En esta unidad no trabajaremos con $0^0$.

Ejercicios de cálculo de potencias

Ejercicio 1

Calcula $2^4$.

Ejercicio 2

Calcula $4^3$.

Ejercicio 3

Calcula $6^2$.

Ejercicio 4

Calcula $3^5$.

Ejercicio 5

Calcula $9^3$.

Ejercicio 6

Calcula $10^6$.

Ejercicio 7

Calcula $15^2$.

Ejercicio 8

Calcula $1^{10}$.

Ejercicio 9

Calcula $8^0$.

Ejercicio 10

Calcula $20^2$.

El árbol de potencias

Una forma visual de entender las potencias

Un árbol de potencias permite ver cómo crece una cantidad cuando cada rama se vuelve a dividir la misma cantidad de veces.

Ejemplo con base $2$: partimos con $1$. Luego cada rama se divide en $2$:

Cargando árbol de potencias...

El árbol muestra el crecimiento:

\[ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \]

Por eso:

\[ 2^3=8 \]

Idea clave

En una potencia $a^n$, la base $a$ indica cuántas ramas salen en cada etapa, y el exponente $n$ indica cuántas etapas se repiten.

Extensión del patrón con tabla

La tabla permite continuar el patrón sin dibujar todas las ramas.

Exponente	Base $2$	Base $3$
$0$	$2^0=1$	$3^0=1$
$1$	$2^1=2$	$3^1=3$
$2$	$2^2=4$	$3^2=9$
$3$	$2^3=8$	$3^3=27$
$4$	$2^4=16$	$3^4=81$
$5$	$2^5=32$	$3^5=243$
$6$	$2^6=64$	$3^6=729$

¿Por qué no dibujar todos los niveles?

Los árboles de potencias crecen muy rápido. Por ejemplo, un árbol de base $3$ hasta el exponente $4$ tendría $3^4=81$ hojas finales. Por eso conviene mostrar las primeras ramas y continuar el patrón mediante una tabla.

Encontrar la base

Cuando se conoce la potencia

A veces ocurre lo contrario: se conoce el resultado y el exponente, y se debe determinar la base. En esta página trabajaremos ese proceso dentro de los números naturales.

Ejercicios para encontrar la base

Ejercicio 11

Si $x^2=25$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 12

Si $x^3=27$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 13

Si $x^4=81$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 14

Si $x^2=100$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 15

Si $x^3=64$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 16

Si $x^5=32$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 17

Si $x^2=144$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 18

Si $x^3=125$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 19

Si $x^4=625$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Ejercicio 20

Si $x^6=1$, ¿cuánto vale $x$ en los números naturales?

Problemas con potencias

Las potencias en acción

Las potencias aparecen en situaciones de crecimiento, conteo y multiplicación repetida. En los siguientes problemas, el objetivo es reconocer cuándo una situación puede representarse mediante una potencia.

Ejercicio 21

Un edificio tiene $4$ pisos. Cada piso tiene $4$ departamentos y en cada departamento viven $4$ personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio? Expresa el resultado como una potencia.

Ejercicio 22

Una bacteria se duplica cada hora. Si al principio hay una bacteria, ¿cuántas habrá después de $5$ horas?

Ejercicio 23

Juan ahorra dinero duplicando la cantidad del día anterior. Si el primer día ahorró $\$1$, ¿cuánto dinero habrá ahorrado en total al final del séptimo día?

Ejercicio 24

En un tablero de ajedrez se pone $1$ grano de trigo en el primer casillero, $2$ en el segundo, $4$ en el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuántos granos hay en el quinto casillero?

Ejercicio 25

María envía una cadena de mensajes a $3$ amigos. Cada amigo la reenvía a otros $3$, y estos a su vez a otros $3$. ¿Cuántas personas reciben el mensaje en la tercera ronda de reenvíos?

13. Propiedades de las Potencias

Introducción

Las potencias tienen propiedades que permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.

1. Producto de potencias de igual base

Regla

Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

Ejemplo

\[ 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]

Ejercicios

$3^2 \times 3^4$
$5^3 \times 5^1$
$10^2 \times 10^5$
$2^6 \times 2^0$
$7^2 \times 7^3 \times 7^1$
Si $2^3 \times 2^x = 2^7$, ¿cuánto vale $x$?
Si $a^4 \times a^2 = 64$ y $a>0$, ¿cuánto vale $a$?

Problemas

Un tipo de bacteria duplica su población cada hora. Si inicialmente hay $2^3$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $4$ horas? Expresa la respuesta como una potencia de $2$.
Juan tiene $3^2$ cajas de canicas. Si en cada caja guarda $3^3$ canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? Expresa la respuesta como una potencia de $3$.
Si se sabe que $5^x \times 5^3 = 5^7$, ¿cuántas veces se multiplicó la base $5$ por sí misma en total?

2. Cociente de potencias de igual base

Regla

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad \text{si } a\neq 0 \]

Ejemplo

\[ 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2}=5^2=25 \]

Ejercicios

$2^5 \div 2^3$
$7^6 \div 7^2$
$10^8 \div 10^4$
$3^4 \div 3^4$
$6^5 \div 6^1$
Si $3^x \div 3^2 = 3^3$, ¿cuánto vale $x$?
Si $a^5 \div a^x = a^2$, y se sabe que $a^5 = 32$, ¿cuánto valen $a$ y $x$?

Problemas

Si la población de bacterias se describe con la potencia $2^6$ y luego se reduce a $2^2$, ¿en qué factor disminuyó la población? Expresa la respuesta como una potencia de $2$.
Un terreno cuadrado tiene un área de $10^6$ m². Si se divide en parcelas de $10^2$ m², ¿cuántas parcelas se obtendrán?
Si $7^5 \div 7^x = 7^2$, ¿cuál es el valor de $x$?

3. Potencia de una potencia

Regla

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\[ (a^m)^n = a^{m\cdot n} \]

Ejemplo

\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot 3}=3^6=729 \]

Ejercicios

$(2^3)^2$
$(5^2)^4$
$(10^1)^5$
$(4^3)^0$
$(7^2)^3$
Si $(2^x)^4 = 2^8$, ¿cuánto vale $x$?
Si $(a^2)^x = 81$ y $a=3$, ¿cuánto vale $x$?

Problemas

Un cubo está formado por $5^3$ cubitos en cada arista. ¿Cuántos cubitos tiene en total? Expresa la respuesta como una potencia de $5$.
Un terreno cuadrado tiene un lado que mide $3^4$ metros. ¿Cuál es su área? Expresa la respuesta como una potencia de $3$.
Si $(3^x)^4 = 3^{12}$, ¿cuál es el valor de $x$?

4. Potencias de exponente 0 y 1

Reglas de exponentes especiales

Exponente $0$: cualquier número distinto de $0$ elevado a $0$ es igual a $1$. \[ a^0=1 \quad \text{si } a\neq 0 \]
Exponente $1$: cualquier número elevado a $1$ es igual a sí mismo. \[ a^1=a \]

Ejemplos

\[ 8^0=1 \]

\[ 6^1=6 \]

Ejercicios y problemas

Resuelve: $150^0$
Resuelve: $(25 \times 4)^1$
Simplifica: $(2^3 \times 5^2)^0$
Si $x^1=19$, ¿cuánto vale $x$?
Si $a^x=1$, con $a>0$ y $a\neq 1$, ¿cuánto vale $x$?
Un objeto tiene una masa de $(2^5)^1$ kilogramos. ¿Cuál es su masa?
Resuelve: $(100 \div 25)^1$
¿Cuál es el resultado de $(7^3 \div 7^3)^0$?

5. Potencia de un producto

Regla

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]

Ejemplo

\[ (2 \times 3)^2=2^2 \times 3^2=4 \times 9=36 \]

Ejercicios

$(4 \times 5)^2$
$(2 \times 10)^3$
$(3 \times 3)^2$
$(6 \times 1)^4$
$(5 \times 2)^3$
Si $(2x)^3=1000$, ¿cuánto vale $x$?
Simplifica la expresión $(4 \times 2)^2 \div 2^4$ y luego resuelve.

Problemas

Un cuadrado grande tiene un lado que mide $2 \times 5$ cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? Exprésala usando la propiedad.
Un terreno rectangular mide $2^3$ metros de largo y $5^3$ metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? Exprésala como la potencia de un producto.
Si $(2x)^3=64$, ¿cuánto vale $x$?

6. Potencia de un cociente

Regla

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \quad \text{si } b\neq 0 \]

Ejemplo

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^2=\frac{6^2}{3^2}=\frac{36}{9}=4 \]

Ejercicios

$(8 \div 2)^3$
$(10 \div 5)^2$
$(9 \div 3)^4$
$(15 \div 3)^3$
$\left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}\right)^2$
Si $(x \div 3)^2=4$, ¿cuáles son los valores reales de $x$?
Si $(12 \div x)^2=9$, ¿cuáles son los valores reales de $x$?

Problemas

Si tienes $(10 \div 2)^2$ caramelos y quieres repartirlos entre $5$ niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
Un tanque contiene $(8 \div 4)^5$ litros de agua. Si se extrae la mitad, ¿cuántos litros quedan en el tanque? Expresa la solución usando potencias.
Si $(x \div 2)^3=27$, ¿cuánto vale $x$?

Tabla resumen de propiedades

Aquí tienes un resumen de las reglas trabajadas.

Propiedad	Fórmula
Producto de potencias de igual base	$a^m \times a^n=a^{m+n}$
Cociente de potencias de igual base	$a^m \div a^n=a^{m-n}$, con $a\neq 0$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
Potencia de un producto	$(a \times b)^n=a^n \times b^n$
Potencia de un cociente	$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$, con $b\neq 0$
Exponente cero	$a^0=1$, con $a\neq 0$
Exponente uno	$a^1=a$

Práctica final: ejercicios mixtos

Ahora a sintetizar

En los siguientes ejercicios, las propiedades están mezcladas. El desafío es identificar qué regla o combinación de reglas se necesita usar para encontrar la solución.

Ejercicios mixtos

Resuelve: $5^3 \times 5^2$
Resuelve: $10^9 \div 10^7$
Resuelve: $(2^4)^3$
Resuelve: $47^0$
Resuelve: $(3 \times 5)^2$
Encuentra el valor de $x$: $3^x \times 3^5=3^8$
Resuelve: $7^5 \div 7^5$
Encuentra el valor de $a$: $a^3=64$
Resuelve: $\left(\frac{10}{2}\right)^3$
Resuelve: $19^1$
Simplifica: $(b^5)^4$
Encuentra el valor de $y$: $8^y \div 8^2=8^3$
Resuelve: $2^3 \times 2^5 \times 2^1$
Resuelve: $(5^2 \times 3^4)^0$
Si $(a^3)^x=125$ y $a=5$, ¿cuánto vale $x$?
Resuelve: $(2^2 \times 3)^2$
Resuelve: $\frac{5^6}{5^4}$
Encuentra el valor de $n$: $(10^n)^2=10^6$
Si $(3x)^2=81$, ¿cuáles son los valores reales de $x$?
Resuelve: $(2^5 \div 2^2)^3$
Resuelve: $\frac{(3^2)^3}{3^4}$
Encuentra los valores reales de $b$: $b^2=144$
Simplifica: $(x^3 \times x^5) \div x^2$, con $x\neq 0$
Resuelve: $(4^5 \times 4^2)^1$
Resuelve: $\frac{10^4 \times 10^3}{10^5}$
Encuentra los valores reales de $z$: $(z \div 4)^2=9$
Simplifica: $\frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5}$, con $a\neq 0$ y $b\neq 0$
Resuelve: $\frac{6^5}{2^5 \times 3^5}$
Encuentra el valor de $x$: $5^{x-1}=25$
Un cultivo tiene $10^2$ bacterias. Si su población se multiplica por $10^2$ cada hora, ¿cuántas bacterias habrá después de $2$ horas?

\[ 5^3 \times 5^2=5^{3+2}=5^5=3125 \]
\[ 10^9 \div 10^7=10^{9-7}=10^2=100 \]
\[ (2^4)^3=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4096 \]
\[ 47^0=1 \] porque la base es distinta de $0$.
\[ (3 \times 5)^2=3^2 \times 5^2=9 \times 25=225 \]
\[ 3^x \times 3^5=3^{x+5} \] Como $3^{x+5}=3^8$, entonces $x+5=8$. Por lo tanto, $x=3$.
\[ 7^5 \div 7^5=7^{5-5}=7^0=1 \]
\[ a^3=64=4^3 \] Por lo tanto: \[ a=4 \]
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^3=5^3=125 \]
\[ 19^1=19 \]
\[ (b^5)^4=b^{5\cdot 4}=b^{20} \]
\[ 8^y \div 8^2=8^{y-2} \] Como $8^{y-2}=8^3$, entonces $y-2=3$. Por lo tanto, $y=5$.
\[ 2^3 \times 2^5 \times 2^1=2^{3+5+1}=2^9=512 \]
\[ (5^2 \times 3^4)^0=1 \] porque la base es distinta de $0$.
Como $a=5$, entonces: \[ (a^3)^x=(5^3)^x=5^{3x} \] Además: \[ 125=5^3 \] Por lo tanto: \[ 3x=3 \] y: \[ x=1 \]
\[ (2^2 \times 3)^2=(4 \times 3)^2=12^2=144 \]
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25 \]
\[ (10^n)^2=10^{2n} \] Como $10^{2n}=10^6$, entonces $2n=6$. Por lo tanto, $n=3$.
\[ (3x)^2=81 \] implica: \[ 3x=9 \quad \text{o} \quad 3x=-9 \] Por lo tanto: \[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-3 \]
\[ (2^5 \div 2^2)^3=(2^{5-2})^3=(2^3)^3=2^9=512 \]
\[ \frac{(3^2)^3}{3^4}=\frac{3^{2\cdot 3}}{3^4}=\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9 \]
\[ b^2=144 \] implica: \[ b=12 \quad \text{o} \quad b=-12 \]
\[ (x^3 \times x^5) \div x^2=x^{3+5} \div x^2=x^{8-2}=x^6 \]
\[ (4^5 \times 4^2)^1=(4^{5+2})^1=(4^7)^1=4^7=16.384 \]
\[ \frac{10^4 \times 10^3}{10^5}=\frac{10^{4+3}}{10^5}=10^{7-5}=10^2=100 \]
\[ (z \div 4)^2=9 \] implica: \[ \frac{z}{4}=3 \quad \text{o} \quad \frac{z}{4}=-3 \] Por lo tanto: \[ z=12 \quad \text{o} \quad z=-12 \]
\[ \frac{(a^3 \times b^4)^2}{a^6 \times b^5} = \frac{a^6 \times b^8}{a^6 \times b^5} = a^{6-6}b^{8-5}=b^3 \]
\[ \frac{6^5}{2^5 \times 3^5} = \frac{6^5}{(2 \times 3)^5} = \frac{6^5}{6^5}=1 \]
Como: \[ 25=5^2 \] entonces: \[ 5^{x-1}=5^2 \] Por lo tanto: \[ x-1=2 \] y: \[ x=3 \]
Después de $2$ horas se multiplica por $(10^2)^2$. Entonces: \[ 10^2 \times (10^2)^2=10^2 \times 10^4=10^6 \] Habrá $10^6$ bacterias.

14. mapa de este capítulo

Mapa de contenidos: Los números naturales

Esta página presenta una síntesis visual de la unidad de números naturales. El diagrama organiza los contenidos principales para ayudarte a reconocer cómo se conectan las ideas: definición, propiedades, operaciones, divisibilidad, números primos, MCD, MCM, sucesiones y potencias.

Cómo leer este diagrama

Comienza en el nodo central y sigue las ramas principales. Cada bloque resume una parte de la unidad y muestra qué ideas se estudian antes y cuáles se apoyan en ellas.

Idea central de la unidad

El conjunto de los números naturales se usa para contar, ordenar y resolver problemas. A partir de él se estudian operaciones, divisibilidad, números primos, MCD, MCM, sucesiones y potencias.

En esta guía se considera:

\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots\} \]

Diagrama general de la unidad

El diagrama muestra que la unidad parte con la definición de $\mathbb{N}$, continúa con propiedades y operaciones, y luego avanza hacia divisibilidad, números primos, MCD, MCM, sucesiones y potencias.

Cómo se conectan los temas

Las operaciones básicas permiten resolver cálculos y problemas. Desde ahí, la divisibilidad ayuda a reconocer patrones y preparar el estudio de números primos. La factorización prima se vuelve clave para calcular el MCD y el MCM. Por otra parte, las sucesiones y potencias muestran regularidades y formas abreviadas de escribir multiplicaciones repetidas.

Bloque	Idea principal
Números naturales	Sirven para contar, ordenar y representar cantidades.
Operaciones	Permiten juntar, quitar, repetir grupos y repartir.
Divisibilidad y primos	Ayudan a analizar la estructura de los números.
MCD y MCM	Resuelven problemas de reparto, coincidencia y organización.
Sucesiones y potencias	Permiten estudiar patrones de crecimiento y regularidades.

Lectura del diagrama

Observa el diagrama y responde:

¿Qué contenidos aparecen después del estudio de la divisibilidad?
¿Por qué el MCD y el MCM se conectan con la factorización prima?
¿Qué relación muestra el diagrama entre sucesiones y potencias?

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 1
Libro:	Libro Números Naturales

Imprimido por:	Invitado
Día:	domingo, 7 de junio de 2026, 17:18

Cantidad	Cantidad	Cantidad	Cantidad
\(234\)	\(840\)	\(495\)	\(1.372\)
\(7.040\)	\(2.915\)	\(3.333\)	\(6.182\)
\(9.009\)	\(12.321\)	\(45.678\)	\(55.440\)

Número	Es divisible por	Justificación
\(234\)	\(2,\ 3,\ 6,\ 9\)	Termina en \(4\), entonces es divisible por \(2\). Además, \(2+3+4=9\), por lo tanto es divisible por \(3\) y por \(9\). Como es divisible por \(2\) y por \(3\), también es divisible por \(6\).
\(840\)	\(2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10\)	Termina en \(0\), así que es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). Además, \(8+4+0=12\), por lo que es divisible por \(3\), y también por \(6\). Sus dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Sus tres últimas cifras son \(840\), divisible por \(8\). Además, \(840=7\cdot 120\).
\(495\)	\(3,\ 5,\ 9,\ 11\)	Termina en \(5\), entonces es divisible por \(5\). Además, \(4+9+5=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\). Para \(11\), \((4+5)-9=0\), por lo que también es divisible por \(11\).
\(1.372\)	\(2,\ 4,\ 7\)	Termina en \(2\), así que es divisible por \(2\). Las dos últimas cifras son \(72\), que es múltiplo de \(4\). Además, \(1.372=7\cdot 196\).
\(7.040\)	\(2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10,\ 11\)	Termina en \(0\), entonces es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). Las dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Las tres últimas cifras son \(040\), es decir, \(40\), que es divisible por \(8\). Para \(11\), \((7+4)-(0+0)=11\), por eso también cumple ese criterio.
\(2.915\)	\(5,\ 11\)	Termina en \(5\), así que es divisible por \(5\). Para \(11\), \((2+1)-(9+5)=-11\), que es múltiplo de \(11\).
\(3.333\)	\(3,\ 11\)	La suma de sus cifras es \(3+3+3+3=12\), por eso es divisible por \(3\). Para \(11\), \((3+3)-(3+3)=0\), así que también es divisible por \(11\).
\(6.182\)	\(2,\ 11\)	Termina en \(2\), entonces es divisible por \(2\). Para \(11\), \((6+8)-(1+2)=11\), que es múltiplo de \(11\).
\(9.009\)	\(3,\ 7,\ 9,\ 11\)	La suma de sus cifras es \(9+0+0+9=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\). Además, \(9.009=7\cdot 1287\). Para \(11\), \((9+0)-(0+9)=0\), por lo que también es divisible por \(11\).
\(12.321\)	\(3,\ 9\)	La suma de sus cifras es \(1+2+3+2+1=9\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\).
\(45.678\)	\(2,\ 3,\ 6\)	Termina en \(8\), por eso es divisible por \(2\). La suma de sus cifras es \(4+5+6+7+8=30\), que es múltiplo de \(3\). Entonces también es divisible por \(6\).
\(55.440\)	\(2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11\)	Termina en \(0\), por eso es divisible por \(2\), \(5\) y \(10\). La suma de sus cifras es \(5+5+4+4+0=18\), así que es divisible por \(3\) y por \(9\); entonces también por \(6\). Sus dos últimas cifras son \(40\), divisible por \(4\). Sus tres últimas cifras son \(440\), divisible por \(8\). Además, \(55.440=7\cdot 7920\), y para \(11\), \((5+4+0)-(5+4)=0\).

Números primos	Números compuestos
\(7\) Divisores: \(\{1,7\}\) Tiene solo dos divisores.	\(9\) Divisores: \(\{1,3,9\}\) Tiene más de dos divisores.
\(11\) Divisores: \(\{1,11\}\) Tiene solo dos divisores.	\(12\) Divisores: \(\{1,2,3,4,6,12\}\) Tiene varios divisores.

\(1\)	\(\boxed{2}\)	\(\boxed{3}\)	✕ \(4\)	\(\boxed{5}\)	✕ \(6\)	\(\boxed{7}\)	✕ \(8\)	✕ \(9\)	✕ \(10\)
\(\boxed{11}\)	✕ \(12\)	\(\boxed{13}\)	✕ \(14\)	✕ \(15\)	✕ \(16\)	\(\boxed{17}\)	✕ \(18\)	\(\boxed{19}\)	✕ \(20\)
✕ \(21\)	✕ \(22\)	\(\boxed{23}\)	✕ \(24\)	✕ \(25\)	✕ \(26\)	✕ \(27\)	✕ \(28\)	\(\boxed{29}\)	✕ \(30\)
\(\boxed{31}\)	✕ \(32\)	✕ \(33\)	✕ \(34\)	✕ \(35\)	✕ \(36\)	\(\boxed{37}\)	✕ \(38\)	✕ \(39\)	✕ \(40\)
\(\boxed{41}\)	✕ \(42\)	\(\boxed{43}\)	✕ \(44\)	✕ \(45\)	✕ \(46\)	\(\boxed{47}\)	✕ \(48\)	✕ \(49\)	✕ \(50\)

Exponente	Base \(2\)	Base \(3\)
\(0\)	\(2^0=1\)	\(3^0=1\)
\(1\)	\(2^1=2\)	\(3^1=3\)
\(2\)	\(2^2=4\)	\(3^2=9\)
\(3\)	\(2^3=8\)	\(3^3=27\)
\(4\)	\(2^4=16\)	\(3^4=81\)
\(5\)	\(2^5=32\)	\(3^5=243\)
\(6\)	\(2^6=64\)	\(3^6=729\)

Propiedad	Fórmula
Producto de potencias de igual base	\(a^m \times a^n=a^{m+n}\)
Cociente de potencias de igual base	\(a^m \div a^n=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\)
Potencia de una potencia	\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
Potencia de un producto	\((a \times b)^n=a^n \times b^n\)
Potencia de un cociente	\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), con \(b\neq 0\)
Exponente cero	\(a^0=1\), con \(a\neq 0\)
Exponente uno	\(a^1=a\)

Libro Números Naturales

Descripción

Tabla de contenidos

1. Los Números Naturales

Introducción

Definición

Representación en la recta numérica

Usos y Propiedades

¿Para qué sirven los números naturales?

Propiedades clave

Ejemplos y Curiosidades

Ejemplos de operaciones

¿El cero es natural?

Conclusión

En resumen

2. Construcción de los Números Naturales a partir de Conjuntos (Complemento optativo)

Introducción a la construcción formal

Definición matemática: construcción de Von Neumann

Construcción de los primeros números

Propiedades y Axiomas

Propiedades derivadas

Axiomas de Peano

Conclusión

Fundamento de las matemáticas

3. Propiedades de los números naturales

Los números naturales: más que solo contar

¿Qué son los números naturales?

Idea central

Más allá de contar: la idea de semianillo

Propiedades de la suma

Propiedades de la suma en \(\mathbb{N}\)

Ejemplo 1: propiedad asociativa

Ejemplo 2: propiedad conmutativa

Ejercicio 1: asociatividad de la suma

Ejercicio 2: conmutatividad de la suma

Ejercicio 3: ecuación aditiva

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación en \(\mathbb{N}\)

Ejemplo 3: asociatividad de la multiplicación

Ejemplo 4: elemento neutro multiplicativo

Ejercicio 4: asociatividad de la multiplicación

Ejercicio 5: elemento neutro

Ejercicio 6: ecuación multiplicativa

Propiedad distributiva

La multiplicación se distribuye sobre la suma

Ejemplo 5: aplicar la distributiva

Ejemplo 6: distributiva a la inversa

Ejercicio 7: cálculo con distributiva

Ejercicio 8: factorizar

Ejercicio 9: distributiva con resta

¡Ojo con la resta!

Otras características importantes

Buen orden

Idea clave sobre el buen orden

Ejemplo 7: identificar el menor elemento

Ejercicio 10: menor elemento

Axiomas de Peano

¿Por qué son importantes estos axiomas?

Presencia de los números naturales en la vida cotidiana

Cierre

4. Adición y Sustracción de Números Naturales

Algoritmo de la adición

Pasos para sumar con reserva

Error típico

Ejemplo con reserva: \(345+187\)

Ejercicios de Adición

Sin reserva

Ejercicio 1: \(25+13\)

Ejercicio 2: \(142+56\)

Ejercicio 3: \(2000+500+25\)

Ejercicio 4: \(105+234\)

Con reserva

Ejercicio 5: \(38+9\)

Ejercicio 6: \(567+89\)

Ejercicio 7: \(1234+567\)

Ejercicio 8: \(99+1\)

Ejercicio 9: \(456+789+123\)

Ejercicio 10: \(18+27+36+45\)

Algoritmo de la Sustracción de Números Naturales

Algoritmo de la sustracción