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Los números naturales

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 1
Libro: Los números naturales
Imprimido por: Invitado
Día: martes, 1 de julio de 2025, 22:14

Descripción

Tabla de contenidos

1. Los Números Naturales

los números naturales

introducción

los números naturales son los primeros números que aprendemos desde pequeños. se usan para contar, ordenar cosas y resolver problemas simples. por ejemplo, cuando cuentas cuántos amigos están contigo o cuántas manzanas tienes, estás usando números naturales. este conjunto de números es la base para entender matemáticas más avanzadas.

definición

los números naturales son un conjunto de números que comienza desde el cero y se extiende infinitamente, sumando uno en cada paso. se denotan con el símbolo \( \mathbb{N} \). matemáticamente, los números naturales se definen como:

\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]

Es decir, los números naturales son \(0, 1, 2, 3, 4\), y así sucesivamente. Son infinitos, porque siempre podemos sumar \(1\) a cualquier número y obtener otro número natural.

¿Para qué sirven los números naturales?

Los números naturales se usan para:

  • Contar: Por ejemplo, ¿cuántos estudiantes hay en una sala? Usamos \(1, 2, 3, \dots\).
  • Ordenar: Decir que \(1^\circ\) es el primero, \(2^\circ\) es el segundo, y así sucesivamente.
  • Resolver problemas: Por ejemplo, si tienes \(3\) lápices y te regalan \(2\) más, ¿cuántos tienes en total?

Propiedades de los Números Naturales

Los números naturales tienen algunas propiedades importantes:

  • Son infinitos: Siempre puedes obtener un número natural mayor sumando \(1\).
  • No tienen números negativos: Los números naturales comienzan en \(0\) y solo incluyen números positivos.
  • Tienen operaciones básicas: Se pueden sumar, restar (si el resultado no es negativo), multiplicar y comparar.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos básicos usando números naturales:

  • Conteo: Si tienes \(4\) manzanas y comes \(1\), quedan \(3\). Esto es \(4 - 1 = 3\).
  • Suma: Si tienes \(3\) libros y compras \(2\) más, ahora tienes: \[ 3 + 2 = 5 \]
  • Multiplicación: Si tienes \(2\) cajas con \(5\) lápices en cada una, en total tienes: \[ 2 \cdot 5 = 10 \]
  • Orden: Entre los números naturales \(2\) y \(5\), sabemos que \(2 < 5\).

Curiosidades

¿Sabías que algunos matemáticos no consideran al \(0\) como parte de los números naturales? En algunos libros, el conjunto de los números naturales empieza en \(1\). Pero en matemáticas modernas, usamos \(0\) como el punto de partida.

Aplicaciones en la Vida Real

Los números naturales están en todas partes. Algunos ejemplos de su uso en la vida cotidiana son:

  • Contar personas, objetos o animales.
  • Decir qué lugar ocupas en una fila (por ejemplo, el \(1^\circ\), \(2^\circ\) o \(3^\circ\)).
  • Hacer operaciones básicas como sumar el total de dinero que tienes.
  • Organizar cosas: "Primero hago esto, después aquello".

 

Conclusión

Los números naturales son la base de las matemáticas y nos ayudan a entender y resolver problemas de la vida diaria. Desde contar hasta realizar operaciones más complejas, estos números nos acompañan siempre. ¡Ahora que los conoces mejor, úsalos con confianza!

2. Construcción de los Números Naturales a partir de Conjuntos (Complemento optativo)

Construcción de los Números Naturales a partir de Conjuntos (Complemento optativo)

Introducción

Los números naturales (\( \mathbb{N} \)) son el conjunto básico sobre el cual se construyen otros sistemas numéricos, como los números enteros y los números reales. En teoría de conjuntos, los números naturales se construyen de manera formal a partir del conjunto vacío (\( \emptyset \)), utilizando únicamente axiomas y reglas lógicas.

Definición Matemática

Los números naturales pueden definirse utilizando los axiomas de Peano y la construcción basada en conjuntos. Aquí presentamos su definición formal:

  1. El conjunto vacío: Se define el número \(0\) como el conjunto vacío: \[ 0 = \emptyset \]
  2. El sucesor: Cada número natural tiene un sucesor, definido como: \[ S(n) = n \cup \{n\} \] En palabras simples, el sucesor de un número natural \(n\) es el conjunto que contiene a todos los elementos de \(n\) más el propio \(n\) como un elemento.
  3. Construcción formal: Los números naturales se definen inductivamente como: \[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \] Donde:
    • \(0 = \emptyset\),
    • \(1 = S(0) = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\}\),
    • \(2 = S(1) = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\),
    • \(3 = S(2) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \cup \{\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\),
    • Y así sucesivamente.

Propiedades de los Números Naturales

A partir de esta construcción, los números naturales tienen las siguientes propiedades:

  • Orden: Los números naturales están ordenados de manera natural. Si \(a \in b\), entonces \(a < b\).
  • Cero como base: El número \(0\) es el elemento base, representado por el conjunto vacío (\( \emptyset \)).
  • Construcción inductiva: Cada número se construye a partir del anterior mediante la operación de sucesión.

Ejemplos

Veamos los primeros números naturales representados mediante conjuntos:

  • \(0 = \emptyset\)
  • \(1 = \{\emptyset\}\)
  • \(2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\)
  • \(3 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\)
  • \(4 = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\}\)

Axiomas de Peano

Los números naturales también cumplen con los siguientes axiomas, propuestos por Giuseppe Peano:

  1. El \(0\) es un número natural.
  2. Cada número natural \(n\) tiene un único sucesor \(S(n)\).
  3. El \(0\) no es el sucesor de ningún número natural.
  4. Números diferentes tienen sucesores diferentes: Si \(a \neq b\), entonces \(S(a) \neq S(b)\).
  5. (Inducción matemática) Si un conjunto \(A\) contiene al \(0\) y al sucesor de cada número en \(A\), entonces \(A\) contiene a todos los números naturales.

Conclusión

Esta construcción de los números naturales utilizando conjuntos y el vacío nos permite entenderlos desde una perspectiva formal y lógica. A partir de estas definiciones, se puede construir todo el sistema numérico, incluyendo los números enteros, racionales, reales y complejos.

3. Propiedades de los números naturales

Los Números Naturales: Más que solo contar

Los números naturales, esos que usamos para contar (1, 2, 3...), son mucho más que simples herramientas para enumerar objetos. Tienen una estructura matemática rica y fascinante. ¡Vamos a explorarla!

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son aquellos que usamos intuitivamente para contar objetos o para indicar el orden en una secuencia. El conjunto de los números naturales se representa con la letra \( \mathbb{N} \).

Más allá de contar: El semianillo

En matemáticas, los números naturales junto con las operaciones de suma y multiplicación forman una estructura llamada semianillo. ¿Qué significa esto?

Un semianillo debe cumplir las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma:

  • Asociativa: No importa cómo agrupemos los números al sumarlos, el resultado es el mismo.
    Ejemplo: \( (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10 \)
  • Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
    Ejemplo: \( 4 + 7 = 7 + 4 = 11 \)
  • Elemento neutro: Existe un número especial, el 0, que al sumarlo a cualquier otro número natural no lo modifica.
    Ejemplo: \( 8 + 0 = 8 \)

Ejercicios sobre la suma:

  1. Calcula: \( (15 + 8) + 23 \) y \( 15 + (8 + 23) \). ¿Qué propiedad se cumple?
  2. ¿Es cierto que \( 34 + 56 = 56 + 34 \)? Justifica tu respuesta.
  3. Encuentra el valor de \( x \) que satisface la ecuación \( x + 12 = 35 \).

Propiedades de la multiplicación:

  • Asociativa: Al igual que con la suma, el resultado de la multiplicación no cambia si modificamos la agrupación de los factores.
    Ejemplo: \( (2 \cdot 5) \cdot 3 = 2 \cdot (5 \cdot 3) = 30 \)
  • Elemento neutro: Existe el número 1, que al multiplicarlo por cualquier otro número natural no lo altera.
    Ejemplo: \( 6 \cdot 1 = 6 \)

Ejercicios sobre la multiplicación:

  1. Verifica si se cumple la propiedad asociativa en la siguiente operación: \( (4 \cdot 7) \cdot 9 = 4 \cdot (7 \cdot 9) \).
  2. ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número natural por 1? Da un ejemplo.
  3. Resuelve la ecuación \( 3 \cdot y = 27 \).

Propiedad distributiva:

  • La multiplicación se "distribuye" sobre la suma.
    Ejemplo: \( 2 \cdot (3 + 4) = (2 \cdot 3) + (2 \cdot 4) = 14 \)

Ejercicios sobre la propiedad distributiva:

  1. Aplica la propiedad distributiva para calcular \( 5 \cdot (8 + 2) \).
  2. Escribe la siguiente expresión utilizando la propiedad distributiva: \( 3 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \).
  3. Resuelve: \( 6 \cdot (10 - 4) \) utilizando la propiedad distributiva.

Otras características importantes

Conjunto bien ordenado

Esto significa que cualquier conjunto de números naturales (por ejemplo, \( \{5, 12, 8\} \) ) siempre tiene un número que es el más pequeño de todos (en este caso, el 5).

Axiomas de Peano

Los números naturales se construyen a partir de un conjunto de axiomas, llamados Axiomas de Peano. Estos axiomas son los siguientes:

  1. \( 0 \) es un número natural.
  2. Todo número natural \( n \) tiene un sucesor, denotado por \( S(n) \), que también es un número natural.
  3. \( 0 \) no es el sucesor de ningún número natural.
  4. Si dos números naturales tienen el mismo sucesor, entonces son iguales. Es decir, si \( S(n) = S(m) \), entonces \( n = m \).
  5. Principio de inducción matemática: Si una propiedad \( P \) se cumple para \( 0 \), y si cada vez que \( P \) se cumple para un número natural \( n \) también se cumple para su sucesor \( S(n) \), entonces \( P \) se cumple para todos los números naturales.

Estos axiomas permiten demostrar muchas propiedades de los números naturales.

En resumen

Los números naturales, aunque parezcan simples, esconden una estructura matemática compleja y fascinante. Son la base de la aritmética y de muchas otras ramas de las matemáticas.

4. Adición y Sustracción de Números Naturales

Adición y Sustracción de Números Naturales

Algoritmo de la Adición de Números Naturales

El algoritmo de la adición de números naturales es un procedimiento sistemático para sumar dos o más números. Se basa en la propiedad conmutativa de la adición (el orden de los sumandos no altera la suma) y en el sistema de numeración decimal.

Pasos:

  1. Alinear los números: Se escriben los números que se van a sumar uno debajo del otro, de manera que las unidades queden alineadas en la misma columna, las decenas en la misma columna, las centenas en la misma columna, y así sucesivamente.
  2. Sumar las unidades: Se suman las cifras de la columna de las unidades. Si la suma es menor que 10, se escribe el resultado debajo de la columna de las unidades. Si la suma es igual o mayor que 10, se escribe la cifra de las unidades del resultado debajo de la columna de las unidades, y se "lleva" la cifra de las decenas a la columna de las decenas.
  3. Sumar las decenas: Se suman las cifras de la columna de las decenas, incluyendo la cifra que se "llevó" de la suma de las unidades (si es que se llevó alguna). Si la suma es menor que 10, se escribe el resultado debajo de la columna de las decenas. Si la suma es igual o mayor que 10, se escribe la cifra de las unidades del resultado debajo de la columna de las decenas, y se "lleva" la cifra de las decenas a la columna de las centenas.
  4. Continuar sumando: Se repiten los pasos 2 y 3 para las columnas de las centenas, los millares, y así sucesivamente, hasta que se hayan sumado todas las columnas.

Ejemplo con reserva:

Vamos a sumar los números 345 y 187:

\( \begin{array}{cccc} & \color{red}{^{\small 1}} & \color{blue}{^{\small 1}} & \\ & 3 & 4 & 5 \\ + & 1 & 8 & 7 \\ \hline & 5 & 3 & 2 \end{array} \)
  1. Alinear los números: Los números ya están correctamente alineados por columnas (unidades, decenas, centenas).
  2. Sumar las unidades: \(5 + 7 = 12\). Escribimos el '2' en la columna de las unidades y llevamos 1 a la columna de las decenas.
  3. Sumar las decenas: \(4 + 8 + \color{blue}{1} \text{ (acarreo)} = 13\). Escribimos el '3' en la columna de las decenas y llevamos 1 a la columna de las centenas.
  4. Sumar las centenas: \(3 + 1 + \color{red}{1} \text{ (acarreo)} = 5\). Escribimos el '5' en la columna de las centenas.
  5. Resultado: \(345 + 187 = 532\)

 

Ejercicios de Adición

 

Sin Reserva

  1. 25 + 13
  2. 142 + 56
  3. 2000 + 500 + 25
  4. 105 + 234

Con Reserva

  1. 38 + 9
  2. 567 + 89
  3. 1234 + 567
  4. 99 + 1
  5. 456 + 789 + 123
  6. 18 + 27 + 36 + 45

 

 

Algoritmo de la Sustracción de números naturales

El algoritmo de la sustracción con canje (o "pedir prestado") es un procedimiento sistemático para restar dos números, especialmente cuando una cifra en el minuendo es menor que la cifra correspondiente en el sustraendo.

Pasos:

  1. Alinear los números: Se escriben los números que se van a restar uno debajo del otro, de manera que las unidades queden alineadas en la misma columna, las decenas en la misma columna, las centenas en la misma columna, y así sucesivamente.
  2. Restar las unidades: Se restan las cifras de la columna de las unidades. Si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo, se realiza la resta y se escribe el resultado debajo de la columna de las unidades. Si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, se realiza un "canje" (se "pide prestado" 1 a la columna de las decenas), se resta y se escribe el resultado.
  3. Restar las decenas: Se restan las cifras de la columna de las decenas, incluyendo la unidad que se "llevó" del canje de las unidades (si es que se llevó alguna). Si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo, se realiza la resta y se escribe el resultado debajo de la columna de las decenas. Si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, se realiza un "canje" (se "pide prestado" 1 a la columna de las centenas), se resta y se escribe el resultado.
  4. Continuar restando: Se repiten los pasos 2 y 3 para las columnas de las centenas, los millares, y así sucesivamente, hasta que se hayan restado todas las columnas.

Ejemplos con canje:

Vamos a restar los números 532 y 285:

\( \begin{array}{cccc} &  & 12 & 12 \\ & \cancelto{4}{5} & \cancelto{2}{3} & \cancel{2} \\ - & 2 & 8 & 5 \\ \hline & 2 & 4 & 7 \end{array} \)

Explicación:

  1. Alinear los números: Los números ya están alineados por columnas.
  2. Restar las unidades: \(2 - 5\) no se puede. Realizamos un canje. "Pedimos prestado" 1 a la columna de las decenas (que se convierte en 10 unidades). Ahora tenemos \(12 - 5 = 7\). Escribimos el 7 en la columna de las unidades. El 3 de las decenas ahora es un 2. (Se muestra con \(\cancel{3}\) y arriba un 2 en la representación.)
  3. Restar las decenas: Ahora tenemos \(2 - 8\), que tampoco se puede. Realizamos otro canje. "Pedimos prestado" 1 a la columna de las centenas (que se convierte en 10 decenas). Ahora tenemos \(12 - 8 = 4\). Escribimos el 4 en la columna de las decenas. El 5 de las centenas ahora es un 4. (Se muestra con el cambio de 5 a 4).
  4. Restar las centenas: \(4 - 2 = 2\). Escribimos el 2 en la columna de las centenas.
  5. Resultado: \(532 - 285 = 247\)


Vamos a restar los números 1200 y 17 (doble canje):

\( \begin{array}{ccccc} & & 1 & \cancelto{9}{10} & 10 \\ & 1 & \cancelto{1}{2} & 0 & \cancel{0} \\ - & & & 1 & 7 \\ \hline & 1 & 1 & 8 & 3 \end{array} \)

Explicación:

  1. Alinear los números: Los números ya están alineados por columnas.
  2. Restar las unidades: \(0 - 7\) no se puede. Necesitamos realizar canjes.
  3. Canje desde las decenas: La columna de las decenas también es 0, así que *no podemos pedir prestado directamente*. Tenemos que ir a la columna de las *centenas*.
  4. Canje desde las centenas: La columna de las centenas tiene un 2. Pedimos prestado 1 a las centenas (el 2 se convierte en 1). Ese 1 de las centenas se convierte en 10 decenas.
  5. Canje de centenas a decenas El 0 de las decenas, se convierte en 10, pero como necesitamos para las unidades, ese 10 se convierte en 9, y llevamos 1 a las unidades.
  6. Canje desde las decenas (ahora sí): Ahora que las decenas temporalmente tienen un 10, *sí* podemos pedir prestado 1. El 10 de las decenas ahora es un 9. Ese 1 de las decenas se convierte en 10 unidades. El 0 de las unidades se convierte en 10.
  7. Restar las unidades (finalmente): Ahora tenemos \(10 - 7 = 3\). Escribimos el 3 en la columna de las unidades.
  8. Restar las decenas: Tenemos \(9 - 1 = 8\). Escribimos el 8 en la columna de las decenas.
  9. Restar las centenas: Tenemos \(1 - 0 = 1\). Escribimos el 1 en la columna de las centenas.
  10. Restar las unidades de mil: Tenemos \(1 - 0 = 1\). Escribimos el 1 en la columna de las unidades de mil.
  11. Resultado: \(1200 - 17 = 1183\)

Ejercicios de Sustracción

Sin Canje

  1. 48 - 23
  2. 165 - 42
  3. 345 - 123
  4. 75 - 45

Con Canje

  1. 72 - 8
  2. 5000 - 2500
  3. 678 - 90
  4. 2345 - 678
  5. 100 - 1
  6. 131 - 75 - 44

5. Multiplicación de Números Naturales

Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación es una operación matemática que, en su forma más simple, puede considerarse como una suma repetida. El resultado de multiplicar dos números se llama producto, y los números que se multiplican se llaman factores.

Propiedades de la Multiplicación

  • Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. \(a \times b = b \times a\)
  • Asociativa: La forma en que se agrupan los factores no altera el producto. \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
  • Elemento Neutro: El uno es el elemento neutro de la multiplicación. \(a \times 1 = a\)
  • Distributiva: La multiplicación es distributiva con respecto a la suma. \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\)
  • Factor Cero: Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero. \(a \times 0 = 0\)

Ejercicios de Multiplicación

Nivel 1: Un factor de un dígito

En este nivel, multiplicaremos números de varios dígitos por un número de un solo dígito.

Ejemplo: \(153 \times 3\)

\[ \begin{array}{rrrrrr} & 1 &  &  &  &  \\  & 1 & 5 & 3 & \times & 3 \\ \hline & 4 & 5 & 9 \\ \end{array} \]

Explicación:

Es importante que te des cuenta que las multiplicaciones con un factor de un digito se hacen de derecha a izquierda <--

    • 3 x 3 = 9
    • 3 x 5 = 15   --->   se bajan las 5 decenas y se guarda 1 centena de reserva  
    • 3 x 1 = 3---> 3 centenas +1 de reserva son 4 
Ejercicios

  1. \(5 \times 3\)
  2. \(12 \times 4\)
  3. \(34 \times 2\)
  4. \(123 \times 3\)
  5. \(245 \times 5\)
  6. \(567 \times 8\)
  7. \(1234 \times 6\)
  8. \(4567 \times 9\)
  9. \(7890 \times 7\)
  10. \(9876 \times 1\)

Nivel 2: Ambos factores de dos dígitos

En este nivel, multiplicaremos dos números de dos dígitos.

Ejemplo: \(56 \times 42\)

\[ \begin{array}{ccccccc}   & & 5 & 6 & \times & \color{blue}{4} & \color{red}{2} \\ \hline   & \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} & & &  \\  \color{blue}{2} & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{green}{0} & & & \\ \hline  2 & 3 & 5 & 2 & & &\\ \end{array} \]

Explicación:

  • Se multiplica 56 por 2 (unidades del segundo factor), resultando 112.
  • Se multiplica 56 por 4 (decenas del segundo factor), resultando 224, a este resultado se le agrega un cero por que son Decenas.
  • Se suman ambos productos: 112 + 2240 = 2352.
Ejercicios
  1. \(12 \times 23\)
  2. \(34 \times 15\)
  3. \(56 \times 42\)
  4. \(78 \times 69\)
  5. \(90 \times 87\)
  6. \(45 \times 76\)
  7. \(87 \times 34\)
  8. \(65 \times 98\)
  9. \(23 \times 54\)
  10. \(99 \times 99\)

Nivel 3: Factores de tres o más dígitos

En este nivel, multiplicaremos números de tres o más dígitos.

Ejemplo: \(123 \times 321\)

\[ \begin{array}{ccccccccc}  & & 1 & 2 & 3 & \times & \color{orange}{3} & \color{blue}{2} & \color{red}{1} \\ \hline  & & \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} & & & & \\  & \color{blue}{2} & \color{blue}{4} & \color{blue}{6} & \color{green}{0} & & & & \\  \color{orange}{3} & \color{orange}{6} & \color{orange}{9} & \color{green}{0} & \color{green}{0} & & & &\\ \hline  3 & 9 & 4 & 8 & 3 & & & &\\ \end{array} \]

Explicación:

    • Se multiplica 123 por 1 (unidades del segundo factor), resultando 123.
    • Se multiplica 123 por 2 (decenas del segundo factor), resultando 246.
    • Se multiplica 123 por 3 (centenas del segundo factor), resultando 369.
    • Se suman todos los productos: 123 + 2460 + 36900 = 39483, 
Nota: los "0" agregados en verde para representar las magnitudes usualmente no se escriben al final de cada linea, sino que se corre un espacio a la izquierda cada vez que cambias de magnitud, pero para efectos ilustrativos en este ejemplo se pusieron para que observes que la segunda fila de resultados corresponde a la magnitud de decenas y la tercera a la de centenas.
 
Ejercicios

  1. \(123 \times 321\)
  2. \(456 \times 654\)
  3. \(789 \times 987\)
  4. \(102 \times 405\)
  5. \(5678 \times 1234\)
  6. \(9876 \times 5432\)
  7. \(1000 \times 1000\)
  8. \(2468 \times 1357\)
  9. \(9753 \times 8642\)
  10. \(1111 \times 1111\)

Cómo Detectar Problemas que Involucran Multiplicar

Para identificar si un problema se resuelve mediante la multiplicación, busca las siguientes palabras o frases clave:

  • Veces: "El triple de un número", "cinco veces más grande"
  • Producto: "El producto de dos números es..."
  • Cada uno/a: "Si hay 5 cajas y cada caja tiene 12 chocolates..."
  • En total (con grupos iguales): "Hay 8 grupos de 10 niños en total..."
  • Área: "El área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho."
  • Multiplicado por: "Un número multiplicado por 7 es..."
  • Tantas veces como:"Maria tiene el doble de la edad de juan", "El auto recorre cuatro veces la distancia que recorrio el bus"

Estos son solo algunos ejemplos. Lo importante es entender que la multiplicación se utiliza cuando se tienen grupos iguales de objetos y se quiere saber la cantidad total, o cuando una cantidad se repite un cierto número de veces.

Problemas de Multiplicación

  1. En una caja hay 12 chocolates. ¿Cuántos chocolates habrá en 5 cajas iguales?
  2. Un edificio tiene 7 pisos. Si cada piso tiene 4 departamentos, ¿cuántos departamentos hay en el edificio?
  3. María tiene 3 álbumes de fotos. Si cada álbum tiene 25 fotos, ¿cuántas fotos tiene María en total?
  4. Un auto recorre 60 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?
  5. Si una entrada al cine cuesta 2500 pesos, ¿cuánto costarán 4 entradas?
  6. En una sala de clases hay 8 filas con 12 asientos en cada fila. ¿Cuántos asientos hay en total?
  7. Un paquete trae 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrán en 9 paquetes?
  8. Un libro tiene 250 páginas. Si leo 5 páginas por día, ¿cuántas páginas leeré en una semana?
  9. Un agricultor cosecha 4 sacos de papas al dia. Si cada saco pesa 50 kilos, ¿cuántos kilos de papas cosecha en 6 días?
  10. El corazón de una persona late aproximadamente 70 veces por minuto. ¿Cuántas veces late en 15 minutos?

6. División de Números Naturales

División de Números Naturales

La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. El símbolo de la división es \(\div\) , aunque a veces se usa una barra inclinada (/) o una línea horizontal (como en las fracciones). En la división, el número que se reparte se llama dividendo, el número que indica las partes en que se reparte se llama divisor, el resultado se llama cociente, y si sobra una cantidad, se llama resto o residuo.

Propiedades de la División

  • No es Conmutativa: El orden del dividendo y el divisor altera el resultado. \(a \div b \neq b \div a\)
  • No es Asociativa: No se pueden agrupar los números de cualquier forma. \((a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)\)
  • División entre 1: Cualquier número dividido entre 1 es igual al mismo número. \(a \div 1 = a\)
  • División entre el mismo número: Cualquier número (excepto 0) dividido entre sí mismo es igual a 1. \(a \div a = 1\) (si \(a \neq 0\))
  • División por 0: La división por cero no está definida en los números naturales (ni en la mayoría de los sistemas numéricos).

Ejercicios de División

Nivel 1: Divisiones con divisores de un dígito (sin resto)

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por un número de un solo dígito, y todas las divisiones serán exactas (sin resto).

Vamos a dividir 46815 entre 5 usando el algoritmo chileno:

\( \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \)

 

Explicación (Algoritmo Chileno):

46815 ÷ 5 (Explicación con la Tabla)

  1. Inicio (Azul):

    • Empezamos con 46' (porque 4 es menor que 5).
    • De la tabla del 5: ¿Cerca de 46 pero menor? (5 x 9 = 45).
    • 9 en respuesta y 45 debajo. Restamos: 46 - 45 = 1.
    • Bajamos el 8 quedando 18.
    • Buscamos en tabla del 5: ¿Cerca debajo de 18? (5 x 3 = 15).
    • 3  en respuesta arriba. 15 debajo. Restamos: 18 - 15 = 3.
    • Bajamos el 1 quedando 31.
    • En Tabla del 5: ¿Cerca  debajo de 31? 6 (5 x 6 = 30).
    • 6 en respuesta, 30 debajo. Restamos: 31 - 30 = 1.
    • Bajamos el 5 quedando 15.
    • Tabla del 5: 3 (5 x 3 = 15).
    • 3 arriba. 15 debajo. Restamos: 15 - 15 = 0.
    • Residuo 0. ¡Terminamos!

Resultado:

  • Cociente: 9363
  • Residuo: 0

Ejercicios

  1. \(6 \div 2\)
  2. \(15 \div 3\)
  3. \(24 \div 4\)
  4. \(125 \div 5\)
  5. \(248 \div 8\)
  6. \(369 \div 3\)
  7. \(1234 \div 2\)
  8. \(4563 \div 3\)
  9. \(7895 \div 5\)
  10. \(9876 \div 6\)

Nivel 2: Divisiones con divisores de un dígito (con resto)

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por un número de un solo dígito, y algunas divisiones tendrán resto.

Ejemplo de División con Resto: 1659 ÷ 8

\( \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \)

Explicación (Algoritmo Chileno):

  1. Tomamos 16 (primeros dígitos):
    Como 1 es menor que 8, agrupamos “1” y “6” para formar 16. En la tabla del 8, buscamos el múltiplo más grande que no supere 16: \(8 \times 2 = 16\). Anotamos “2” en el cociente y restamos: \(16 - 16 = 0\). Bajamos el siguiente dígito, “2”.
  2. Ahora tenemos 2:
    \(2 < 8\), así que en la tabla del 8 el mayor múltiplo que no se pasa es \(8 \times 0 = 0\). Anotamos “0” en el cociente y la resta es \(2 - 0 = 2\). Bajamos el último dígito, “7”, quedando 27.
  3. Con 27:
    El mayor múltiplo de 8 que no se pasa de 27 es \(8 \times 3 = 24\). Ponemos “3” en el cociente, restamos \(27 - 24 = 3\). Ya no quedan dígitos por bajar, de modo que 3 se convierte en el resto final.

Resultado:

  • Cociente: 203
  • Resto: 3
  1. \(7 \div 2\)
  2. \(16 \div 3\)
  3. \(27 \div 4\)
  4. \(128 \div 5\)
  5. \(250 \div 8\)
  6. \(370 \div 3\)
  7. \(1235 \div 2\)
  8. \(4568 \div 3\)
  9. \(7896 \div 5\)
  10. \(9875 \div 6\)

Nivel 3: Divisiones con divisores de dos dígitos

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por números de dos dígitos.

Vamos a dividir 1693 entre 12 usando el algoritmo chileno:

\( \begin{array}{ccccc|c} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} && & &\color{magenta}{ 12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & && \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} && & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} &&\color{red}{ 12 \bullet 4 = 48}\\ && \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & &&\color{green}{1} & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \)

Explicación (Algoritmo Chileno):

  1. Primeros dígitos (Azul):
    • Tomamos “16” (porque “1” solo es menor que 12).
    • En la tabla del 12, buscamos el mayor múltiplo que no supere 16: (12 × 1 = 12).
    • Anotamos “1” en el cociente, restamos: 16 - 12 = 4.
    • Bajamos el “9” ⇒ ahora tenemos 49.
  2. Siguiente paso con 49:
    • El mayor múltiplo sin pasar 49 es (12 × 4 = 48).
    • Anotamos “4” en el cociente, restamos: 49 - 48 = 1.
    • Bajamos el “3” ⇒ ahora tenemos 13.
  3. Último tramo con 13:
    • Múltiplo cercano sin pasar 13 es (12 × 1 = 12).
    • Anotamos “1” en el cociente, restamos: 13 - 12 = 1.
    • No hay más dígitos que bajar ⇒ residuo = 1.

Resultado:

  • Cociente: 141
  • Residuo: 1
  1. \(123 \div 12\)
  2. \(456 \div 24\)
  3. \(789 \div 32\)
  4. \(1024 \div 16\)
  5. \(5678 \div 45\)
  6. \(9876 \div 78\)
  7. \(1000 \div 25\)
  8. \(2468 \div 57\)
  9. \(9753 \div 86\)
  10. \(1111 \div 11\)

Nivel 4: Divisiones con divisores de tres o más dígitos

En este nivel, dividiremos números de varios dígitos por números de tres o más dígitos, el procedimiento es similar a con dos digitos...

  1. \(5678 \div 123\)
  2. \(9876 \div 456\)
  3. \(12345 \div 789\)
  4. \(24680 \div 102\)
  5. \(13579 \div 246\)
  6. \(86420 \div 975\)
  7. \(11111 \div 111\)
  8. \(99999 \div 333\)
  9. \(10000 \div 456\)
  10. \(88888 \div 222\)

Cómo Detectar Problemas que Involucran División

Para identificar si un problema se resuelve mediante la división, busca las siguientes palabras o frases clave:

  • Repartir: "Repartir 20 caramelos entre 5 niños"
  • Dividir: "Dividir una pizza en 8 porciones iguales"
  • Cociente: "El cociente de dos números es..."
  • Cada uno/a (en partes iguales): "Si hay 24 galletas y se quieren repartir entre 4 amigos, a cada uno le tocan..."
  • Grupos iguales: "Formar grupos iguales de 5 personas con un total de 30 personas"
  • Mitad, Tercera parte, Cuarta parte, etc.: "Calcular la mitad de 100"
  • ¿Cuántas veces cabe?:"¿Cuántas veces cabe 3 en 18?"
  • Promedio o Media: "El promedio de las notas se calcula sumando las notas y dividiendo entre la cantidad de ellas".

Estos son solo algunos ejemplos. Lo importante es entender que la división se utiliza cuando se quiere repartir una cantidad en partes iguales, o se quiere saber cuántas veces una cantidad cabe dentro de otra.

Problemas de División

  1. Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
  2. Un padre quiere repartir 100 pesos entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada hijo?
  3. En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar grupos de 8 estudiantes, ¿cuántos grupos se pueden formar?
  4. Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leer el libro en 12 días, ¿cuántas páginas debo leer por día?
  5. Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?
  6. Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?
  7. En una fábrica se producen 1500 juguetes al día. Si se trabaja 5 días a la semana, ¿cuántos juguetes se producen por semana? ¿y cuantos por dia?
  8. Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?
  9. Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?
  10. María tiene ahorrado 3600 pesos y quiere comprar libros que cuestan 900 pesos cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?

7. Criterios de Divisibilidad: ¡Atajos Matemáticos!

Criterios de Divisibilidad: ¡Atajos Matemáticos!

¿Alguna vez te has preguntado si un número es divisible por otro sin tener que hacer la división completa? ¡Los criterios de divisibilidad son la respuesta! Son como "atajos" que nos permiten saber si un número es divisible por otro solo con observar sus cifras.

Criterios básicos:

  • Divisibilidad por 2:

    Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6 u 8).

    Ejemplos: 124, 356, 890 son divisibles por 2.

  • Divisibilidad por 3:

    Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

    Ejemplo: 132 es divisible por 3 porque 1 + 3 + 2 = 6, y 6 es divisible por 3.

  • Divisibilidad por 4:

    Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son divisibles por 4.

    Ejemplos: 1312, 500, 216 son divisibles por 4.

  • Divisibilidad por 5:

    Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.

    Ejemplos: 250, 835, 1000 son divisibles por 5.

  • Divisibilidad por 6:

    Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.

    Ejemplo: 216 es divisible por 6 porque es par (divisible por 2) y la suma de sus cifras (2 + 1 + 6 = 9) es divisible por 3.

  • Divisibilidad por 7:

    Este criterio es un poco más complejo: se separa la última cifra del número, se la multiplica por 2 y se la resta al número que queda. Si el resultado es divisible por 7, el número original también lo es.

    Ejemplo: Para saber si 343 es divisible por 7: 34 - (3 x 2) = 28, y 28 es divisible por 7, por lo tanto 343 también lo es.

  • Divisibilidad por 8:

    Un número es divisible por 8 si sus tres últimas cifras son divisibles por 8.

    Ejemplos: 1000, 2344, 5120 son divisibles por 8.

  • Divisibilidad por 9:

    Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9.

    Ejemplo: 432 es divisible por 9 porque 4 + 3 + 2 = 9, y 9 es divisible por 9.

  • Divisibilidad por 10:

    Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.

    Ejemplos: 340, 900, 12340 son divisibles por 10.

  • Divisibilidad por 11:

    Se suman las cifras en posiciones impares y se restan las cifras en posiciones pares. Si el resultado es divisible por 11 (incluyendo 0), el número original también lo es.

    Ejemplo: Para 918082: (9 + 8 + 8) - (1 + 0 + 2) = 25 - 3 = 22, que es divisible por 11, por lo tanto 918082 también lo es.

¡Pon a prueba tus conocimientos!

Determina si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 u 11:

  • 234
  • 513
  • 890
  • 1024
  • 3150
  • 1369
  • 2048
  • 918082
  • 7854
  • 6336
  • 1470
  • 9009
  • 12321
  • 45678
  • 50050
  • 818181

¿Por qué funcionan estos criterios?

Los criterios de divisibilidad se basan en las propiedades del sistema decimal y en las relaciones entre los números. ¡Investigar por qué funcionan cada uno de ellos puede ser un desafío matemático interesante!

8. ¡Explorando el Mundo de los Números Primos!

¡Explorando el Mundo de los Números Primos!

¿Qué son los números primos?

Imagina que tienes un conjunto de bloques de construcción. Algunos bloques solo se pueden construir con uno de ellos mismos, ¡como si fueran piezas únicas! En el mundo de los números, esos bloques especiales se llaman números primos.

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y sí mismo.

Ejemplos:

  • 2 es un número primo porque solo es divisible entre 1 y 2.
  • 7 es un número primo porque solo es divisible entre 1 y 7.
  • 11 es un número primo porque solo es divisible entre 1 y 11.

¿Y qué números NO son primos?

Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

  • 4 no es primo porque es divisible entre 1, 2 y 4.
  • 9 no es primo porque es divisible entre 1, 3 y 9.
  • 12 no es primo porque es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

¡A cazar primos con la Criba de Eratóstenes!

La Criba de Eratóstenes es un método antiguo y divertido para encontrar números primos. ¡Es como un juego de detectives!

  1. Escribe una lista de números, por ejemplo, del 1 al 50.
  2. Tacha el número 1, ya que no es primo.
  3. Encierra en un círculo el número 2, que es el primer número primo.
  4. Tacha todos los múltiplos de 2, como 4, 6, 8, 10, etc.
  5. Encierra en un círculo el siguiente número que no está tachado, que es el 3.
  6. Tacha todos los múltiplos de 3.
  7. Continúa así, encerrando en un círculo el siguiente número no tachado y tachando sus múltiplos.

Al final, ¡todos los números encerrados en un círculo son primos!

Factorización Prima y Descomposición Prima

Los números primos son como los "bloques de construcción" de todos los demás números naturales. ¡Cada número natural (excepto el 1) se puede escribir como un producto único de números primos! Esto se llama descomposición prima o factorización prima.

Ejemplo:

Vamos a descomponer el número 36 en factores primos:

  • 36 es divisible entre 2: 36 ÷ 2 = 18
  • 18 es divisible entre 2: 18 ÷ 2 = 9
  • 9 es divisible entre 3: 9 ÷ 3 = 3
  • 3 es divisible entre 3: 3 ÷ 3 = 1

Entonces, la descomposición prima de 36 es: 2 x 2 x 3 x 3, que también se puede escribir como 22 x 32.

Descomposición en Árbol

Otra forma de visualizar la descomposición prima es mediante un "árbol de factores". Empezamos con el número que queremos descomponer y lo dividimos entre un número primo. Luego, dividimos el resultado entre otro número primo, y así sucesivamente, hasta llegar a 1. ¡Las ramas del árbol nos muestran los factores primos!

Aquí está el árbol de factores para el número 36:

     36
    / \
   2   18
      / \
     2   9
        / \
       3   3

¡Practica!

Ahora es tu turno. Intenta descomponer los siguientes números en factores primos:

  • 48
  • 75
  • 120
  • 160
  • 392

Puedes usar la división sucesiva o el árbol de factores. ¡Diviértete explorando el mundo de los números primos!

¿Por qué son importantes los números primos?

  • Bloques de construcción: Cualquier número natural (excepto el 1) se puede escribir como un producto único de números primos. ¡Es como una receta secreta para cada número!
  • Fracciones: será muy útil saber fracciones para poder simplificar expresiones fraccionarias
  • Aplicaciones: Los números primos son esenciales en áreas como la criptografía, que se utiliza para proteger la información en internet.

¡A seguir explorando!

Ahora que conoces los números primos, ¡puedes seguir investigando y descubriendo sus secretos! Intenta encontrar números primos grandes, investiga sobre su distribución o aprende cómo se usan en la vida real.

9. Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

En el mundo de las matemáticas, a veces necesitamos encontrar el "factor común" más grande entre dos o más números. ¡Para eso existe el Máximo Común Divisor (MCD)!

¿Qué es el MCD?

 

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide exactamente a todos esos números, sin dejar ningún residuo.

Imagina que tienes dos cuerdas de diferentes longitudes y quieres cortarlas en trozos iguales, sin desperdiciar nada. El MCD te dirá cuál es la longitud máxima de esos trozos.

Ejemplo práctico

Imagina que tienes una cuerda de 12 metros y otra de 18 metros. Podríamos partir ambas cuerdas por la mitad (2 trozos), o dividir ambas en 3 trozos, sin embargo, el número más grande que divide a ambos trozos es 6. Matemáticamente, esto se expresa como MCD(12,18) = 6. Esto significa que:

  • Puedes cortar ambas cuerdas en trozos de 6 metros, y no te sobrará nada.
  • De la cuerda de 12 metros, obtendrías 2 trozos de 6 metros (12 / 6 = 2).
  • De la cuerda de 18 metros, obtendrías 3 trozos de 6 metros (18 / 6 = 3).
  • En total, obtendrías 5 trozos de 6 metros.

El MCD te asegura que 6 metros es la longitud máxima posible para los trozos, garantizando que no haya sobrantes en ninguna de las cuerdas, siempre y cuando todos los trozos tengan la misma longitud.

Otras opciones

Si bien el MCD nos da la medida más grande posible para los trozos iguales, también se podrían cortar trozos más pequeños, siempre y cuando esa medida también divida exactamente las longitudes de las cuerdas (como en este caso trozos de 2 o bien de 3 metros). Sin embargo, recuerda que el MCD nos asegura que 6 metros es la longitud máxima que podemos usar para cortar ambas cuerdas en trozos iguales sin que sobre nada.

Métodos para calcular el MCD:

1. Descomposición factorial:

  1. Descomponemos cada número en sus factores primos.
  2. Identificamos los factores primos comunes a todos los números.
  3. El MCD es el producto de esos factores primos comunes, elevados a la menor potencia en la que aparecen.

Ejemplo:

Calculemos el MCD de 36 y 48:

  • Descomposición prima de 36: 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
  • Descomposición prima de 48: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
  • Factores primos comunes: 2 y 3
  • Menor potencia de 2: 22
  • Menor potencia de 3: 3
  • MCD(36, 48) = 22 x 3 = 12

2. Algoritmo de Euclides:

Este método es muy eficiente para números grandes. Se basa en divisiones sucesivas:

  1. Dividimos el número mayor entre el menor.
  2. Si la división es exacta, el MCD es el número menor.
  3. Si no es exacta, dividimos el divisor entre el residuo.
  4. Repetimos el proceso hasta obtener una división exacta. El último divisor es el MCD.

Ejemplo:

Calculemos el MCD de 1071 y 462 usando el algoritmo de Euclides:

  • 1071 ÷ 462 = 2, residuo 147
  • 462 ÷ 147 = 3, residuo 21
  • 147 ÷ 21 = 7, residuo 0

Como la última división es exacta, el MCD(1071, 462) es el último divisor, que es 21.

Problema desarrollado:

Un jardinero tiene 90 rosas rojas y 75 rosas blancas. Quiere hacer ramos con la misma cantidad de rosas de cada color, utilizando todas las rosas. ¿Cuál es la mayor cantidad de ramos que puede hacer? ¿Cuántas rosas de cada color tendrá cada ramo?

Solución:

Para encontrar la mayor cantidad de ramos, necesitamos calcular el MCD de 90 y 75.

  • Descomposición prima de 90: 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 32 x 5
  • Descomposición prima de 75: 3 x 5 x 5 = 3 x 52
  • Factores primos comunes: 3 y 5
  • Menor potencia de 3: 3
  • Menor potencia de 5: 5
  • MCD(90, 75) = 3 x 5 = 15

Por lo tanto, el jardinero puede hacer 15 ramos.

Para saber cuántas rosas de cada color tendrá cada ramo, dividimos la cantidad total de rosas de cada color entre el número de ramos:

  • Rosas rojas por ramo: 90 ÷ 15 = 6
  • Rosas blancas por ramo: 75 ÷ 15 = 5

Cada ramo tendrá 6 rosas rojas y 5 rosas blancas.

¡Practica!

Ejercicios:

Calcula el MCD de los siguientes números:

  • 12 y 18
  • 30 y 45
  • 16, 24 y 40
  • 75 y 125
  • 28, 42 y 56
  • 18, 27 y 36
  • 120 y 150
  • 36, 54 y 72
  • 20, 30, 40 y 50
  • 105, 140 y 175
  • 60, 90, 120 y 150

Problemas:

  1. Un carpintero tiene dos tablas de madera, una de 120 cm y otra de 180 cm. Quiere cortarlas en trozos de igual longitud, sin desperdiciar madera. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  2. Ana tiene 48 caramelos y 36 chocolates. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?
  3. Un grupo de amigos quiere repartir 120 galletas y 150 caramelos en paquetes con la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que pueden hacer?
  4. En una frutería hay 72 manzanas, 96 naranjas y 60 plátanos. Se quieren colocar en cajas con la misma cantidad de cada fruta. ¿Cuál es el mayor número de cajas que se pueden llenar?
  5. Tres rollos de tela, uno de 140 metros, otro de 180 metros y otro de 210 metros, se quieren cortar en piezas de igual longitud, sin desperdiciar tela. ¿Cuál es la mayor longitud posible de las piezas?
  6. Un grupo de estudiantes quiere repartir 108 lápices, 84 bolígrafos y 60 gomas de borrar en estuches con la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de estuches que pueden armar?
  7. Se tienen tres terrenos, uno de 360 metros cuadrados, otro de 480 metros cuadrados y otro de 600 metros cuadrados. Se quieren dividir en parcelas de igual área. ¿Cuál es la mayor área posible de cada parcela?
  8. Un grupo de niños quiere repartir 240 caramelos de fresa, 300 caramelos de limón y 180 caramelos de menta en bolsas con la misma cantidad de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden hacer?
  9. En una biblioteca hay 180 libros de historia, 120 libros de ciencias y 90 libros de literatura. Se quieren colocar en estantes con la misma cantidad de libros de cada tema. ¿Cuál es el mayor número de estantes que se pueden llenar?
  10. Se tienen cuatro cuerdas de 120 cm, 160 cm, 200 cm y 240 cm. Se quieren cortar en trozos de igual longitud, sin desperdiciar cuerda. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  11. María tiene 60 caramelos de fresa, 75 caramelos de limón y 90 caramelos de naranja. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?

¡A seguir explorando!

El MCD tiene muchas aplicaciones en la vida real y en otras áreas de las matemáticas, como la simplificación de fracciones y la resolución de ecuaciones. ¡Sigue investigando y descubre todas sus posibilidades!

10. Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

En matemáticas, a veces necesitamos encontrar el "múltiplo común" más pequeño entre dos o más números. ¡Para eso está el Mínimo Común Múltiplo (MCM)!

¿Qué es el MCM?

 

 

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez.

Imagina que dos autobuses salen de una estación a diferentes horas. Uno sale cada 12 minutos y el otro cada 15 minutos. ¿En cuántos minutos volverán a coincidir en la estación? ¡El MCM te dará la respuesta!

Ejemplo práctico

  • El autobús que sale cada 12 minutos pasará por la estación a los 12, 24, 36, 48, 60... minutos.
  • El autobús que sale cada 15 minutos pasará por la estación a los 15, 30, 45, 60... minutos.

Observamos que 60 es el primer número que aparece en ambas listas. Esto significa que volverán a coincidir en la estación a los 60 minutos.

Matemáticamente, esto se expresa como MCM(12, 15) = 60.

El MCM te asegura que espacios de 60 minutos es el tiempo mínimo que tiene que pasar para que ambos autobuses coincidan de nuevo en la estación.

¿Para qué sirve el MCM?

El MCM es útil en diversas situaciones de la vida real, como:

  • Planificación de horarios: Como en el ejemplo de los autobuses, el MCM te ayuda a encontrar el momento en que dos eventos se repetirán simultáneamente.
  • Fracciones: Al sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, el MCM de los denominadores te permite encontrar un denominador común para poder operar.
  • Problemas de periodicidad: Si dos fenómenos se repiten con cierta frecuencia (por ejemplo, uno cada 8 días y otro cada 12 días), el MCM te indica cuándo volverán a ocurrir juntos.

Espero que esta explicación te haya resultado útil. ¡No dudes en preguntar si tienes alguna otra duda!

Métodos para calcular el MCM:

1. Descomposición factorial:

  1. Descomponemos cada número en sus factores primos.
  2. Identificamos todos los factores primos que aparecen, ya sean comunes o no.
  3. El MCM es el producto de todos esos factores primos, elevados a la mayor potencia en la que aparecen.

Ejemplo:

Calculemos el MCM de 12 y 15:

  • Descomposición prima de 12: 2 x 2 x 3 = 22 x 3
  • Descomposición prima de 15: 3 x 5
  • Factores primos: 2, 3 y 5
  • Mayor potencia de 2: 22
  • Mayor potencia de 3: 3
  • Mayor potencia de 5: 5
  • MCM(12, 15) = 22 x 3 x 5 = 60

2. Algorítmo Chileno:

Se basa en la logica de la descomposicion factorial, para encontrar las mínimas potencias primas que se deben multiplicar para encontrar el MCM entre dos o más números:

Funciona así:
\( \begin{array}{cc|l} \hline 12 & 18 & \color{gray}{:2 } \\ 6 & 9 & \color{gray}{:2 }\\ 3 & 9 & \color{gray}{:3 }\\ 1 & 3 & \color{gray}{:3 }\\ \hline 1 & 1 & \color{gray}{2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 3 = 36 } \end{array} \)

  • Escribe en fila los números de los cuales deseas calcular el MCM.

  • Toma el menor número primo (empezando por 2) y divide todos los números de la fila que sean divisibles por este primo.

    • En cada división, el resultado sustituye al número original en la fila.
    • Si ninguno de los números en la fila es divisible por el primo actual, pasa al siguiente número primo (3, 5, 7, etc.).

  • Repite este proceso (dividiendo por el primo actual todas las veces que sea posible) hasta que todos los números de la lista se hayan reducido a 1.

  • Para obtener el MCM, multiplica entre sí todos los números primos que utilizaste para dividir (contando tantas veces cada primo como apariciones efectivas tuvo en las divisiones). Ese producto es el MCM de los números iniciales.


 

3. Relación entre MCD y MCM:

 

Si ya conocemos el MCD de dos números, podemos usar la siguiente fórmula para calcular el MCM:

\( MCM(a, b) = \frac{a \times b}{MCD(a, b)} \)

NOTE QUE ESTA FORMULA PUEDE REESCRIBIRSE DE OTRAS FORMAS...

PROBLEMA : Se sabe que el producto de dos números es 360 y su MCD es 6. ¿Cuál es el MCM de esos dos números? 

Problema desarrollado:

Dos luces intermitentes se encienden a intervalos regulares. Una se enciende cada 10 segundos y la otra cada 15 segundos. Si ambas se encienden simultáneamente en este momento, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a encenderse juntas?

Solución:

Para encontrar el tiempo en que volverán a coincidir, necesitamos calcular el MCM de 10 y 15.

  • Descomposición prima de 10: 2 x 5
  • Descomposición prima de 15: 3 x 5
  • Factores primos: 2, 3 y 5
  • Mayor potencia de 2: 2
  • Mayor potencia de 3: 3
  • Mayor potencia de 5: 5
  • MCM(10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30

Por lo tanto, pasarán 30 segundos hasta que las luces vuelvan a encenderse juntas.

¡Practica!

Ejercicios:

Calcula el MCM de los siguientes números:

  • 6 y 8
  • 10 y 15
  • 12, 18 y 24
  • 20 y 25
  • 14, 21 y 35
  • 9, 12 y 15
  • 30 y 40
  • 24, 36 y 48
  • 15, 20, 30 y 45
  • 10, 12, 15 y 18

Problemas:

  1. Dos trenes salen de una estación a diferentes horas. Uno sale cada 45 minutos y el otro cada 60 minutos. Si ambos salen simultáneamente a las 8:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la estación?
  2. Tres amigos se encuentran en un parque para hacer ejercicio. Uno corre cada 12 minutos, otro cada 18 minutos y el tercero cada 24 minutos. Si los tres comienzan a correr juntos a las 9:00 am, ¿a qué hora volverán a encontrarse en el punto de partida?
  3. Dos engranajes de una máquina giran a diferentes velocidades. Uno da una vuelta completa cada 18 segundos y el otro cada 24 segundos. Si ambos comienzan a girar al mismo tiempo, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en la misma posición inicial?
  4. Un autobús sale cada 20 minutos y otro cada 30 minutos. Si ambos salen a las 7:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la parada?
  5. Tres luces de colores se encienden a intervalos regulares. La roja se enciende cada 12 segundos, la verde cada 15 segundos y la azul cada 20 segundos. Si las tres se encienden juntas a las 10:00 pm, ¿a qué hora volverán a coincidir?
  6. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora. Uno regresa cada 18 días y el otro cada 24 días. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos barcos vuelvan a estar en el puerto al mismo tiempo?
  7. Un grupo de amigos se reúne cada 10 días para jugar fútbol, otro grupo se reúne cada 15 días para jugar baloncesto y un tercer grupo se reúne cada 20 días para jugar voleibol. Si los tres grupos se reunieron hoy, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?
  8. Cuatro atletas corren en una pista circular. El primero completa una vuelta cada 60 segundos, el segundo cada 75 segundos, el tercero cada 90 segundos y el cuarto cada 100 segundos. Si los cuatro comienzan a correr juntos, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en el punto de partida?

¡A seguir explorando!

El MCM tiene muchas aplicaciones en la vida real y en otras áreas de las matemáticas, como la suma de fracciones con distinto denominador. ¡Sigue investigando y descubre todas sus posibilidades!

11. Subconjuntos de los Números Naturales: algunas Sucesiones

¡Adéntrate en el fascinante mundo de los números naturales y descubre sus increíbles subconjuntos!

En esta página, exploraremos algunos de estos subconjuntos como sucesiones, revelando sus patrones y secretos.

Sucesiones especiales dentro de los números naturales

Una sucesión es una lista ordenada de números que siguen un patrón determinado. Veamos algunos subconjuntos de los números naturales que forman sucesiones especiales:

1. Números pares

La distinción entre pares e impares surge de la observación básica de que los números naturales se alternan en un patrón: uno sí, uno no, en cuanto a su divisibilidad por 2. Los pares son aquellos que "encajan" perfectamente en grupos de dos, sin dejar residuo. Esto se relaciona con la idea de "mitad": un número par siempre se puede dividir en dos partes iguales.

Forman la sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

¿Puedes identificar el patrón? ¡Cada número se obtiene sumando 2 al anterior!

2. Números impares

Los impares, en cambio, siempre "sobran" uno al intentar formar grupos de dos. No tienen una "mitad" entera.

Forman la sucesión:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Aquí también se suma 2 al número anterior para obtener el siguiente.

3. Números primos

El concepto de número primo surge de la búsqueda de los "bloques de construcción" de los números naturales. Al dividir un número entre otros, se observa que algunos solo son divisibles por 1 y por sí mismos, como si fueran "indivisibles". Estos números "indivisibles" son los primos, y se descubre que cualquier número natural (excepto el 1) se puede formar multiplicando primos entre sí. Es como una "receta única" para cada número.

Forman la sucesión:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Encontrar el patrón aquí es más difícil, ¡pero existen métodos como la Criba de Eratóstenes para hallarlos!

4. Números cuadrados

La idea de los números figurados, como los cuadrados, nace de la conexión entre la aritmética y la geometría. Se empieza a jugar con la disposición de puntos en el espacio para formar figuras, y se observa que la cantidad de puntos necesarios para construir cada figura sigue un patrón numérico. Los números cuadrados resultan de multiplicar un número natural por sí mismo.

Forman la sucesión:

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

¡Observa cómo cada número se obtiene elevando al cuadrado los números naturales (12, 22, 32, ... )!

5. Números triangulares

Los números triangulares también son números figurados. Se llaman así porque se pueden representar formando triángulos con puntos. El patrón aquí es sumar el siguiente número natural al anterior: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ...

Forman la sucesión:

1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

6. Números de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci surge de un problema aparentemente simple: ¿cuántos conejos habrá al cabo de un año, si comenzamos con una pareja y cada pareja produce una nueva pareja cada mes? Al resolver este problema, se descubre una sucesión donde cada número es la suma de los dos anteriores. Lo sorprendente es que esta sucesión aparece en muchos patrones de la naturaleza, como la disposición de las hojas en las plantas, la espiral de las conchas de los caracoles y la formación de las galaxias. Esto nos muestra la profunda conexión entre las matemáticas y el mundo natural.

La sucesión es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

¡Pon a prueba tus conocimientos!

Resuelve los siguientes problemas:

  1. ¿Cuáles son los primeros 10 números pares?
  2. ¿Cuál es el décimo número cuadrado?
  3. Encuentra los primeros 5 números triangulares.
  4. ¿Es 19 un número primo? ¿Por qué?
  5. ¿Cuáles son los siguientes tres números en la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...?
  6. Si el quinto número triangular es 15, ¿cuál es el sexto?
  7. ¿Es 100 un número cuadrado? ¿Por qué?
  8. Investiga: ¿Qué son los números pentagonales? Escribe los primeros 5.

¡A seguir explorando!

Existen muchos otros subconjuntos interesantes dentro de los números naturales. ¡Investiga sobre números perfectos, abundantes, deficientes, felices y capicúa! Sigue explorando el fascinante mundo de las matemáticas.

12. Potencias de Números Naturales

Potencias de Números Naturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Se compone de una base y un exponente. La base es el número que se multiplica por sí mismo, y el exponente indica cuántas veces se multiplica la base.

Ejemplo:

\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

En este ejemplo, 2 es la base y 3 es el exponente. Se lee "2 elevado a la potencia 3" o "2 al cubo".

Elementos de una Potencia

  • Base: Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • Exponente: Indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
  • Potencia: Es el resultado de la operación.

Ejemplos de Potencias

  • \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) ("3 al cuadrado" o "3 a la potencia 2")
  • \(5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625\) ("5 a la cuarta" o "5 a la potencia 4")
  • \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\) ("10 al cubo" o "10 a la potencia 3")
  • \(1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1\) ("1 a la quinta" o "1 a la potencia 5")
  • \(7^0 = 1\) ("7 a la cero")

Ejercicios de Potencias

  • \(2^4\)
  • \(4^3\)
  • \(6^2\)
  • \(3^5\)
  • \(9^3\)
  • \(10^6\)
  • \(15^2\)
  • \(1^{10}\)
  • \(8^0\)
  • \(20^2\)

El Árbol de Potencias

El árbol de potencias es una forma visual de entender cómo se construyen las potencias. Se empieza con la base en la parte inferior (la "raíz") y se va multiplicando por la base a medida que se sube por el árbol. Cada nivel del árbol representa un exponente.

Ejemplo con base 2:

Ejemplo con base 3:

 
 
 

Como se puede ver en el árbol, cada nivel se obtiene multiplicando el nivel anterior por la base. También se puede deducirr que cualquier número elevado a la potencia 0 es 1 (excepto el 0).

Encontrar la Base

En algunos casos, se nos da la potencia y el exponente, y se nos pide encontrar la base. Para esto, necesitamos pensar en qué número multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que indica el exponente nos da la potencia.

Ejemplos:

  • Si \(x^2 = 9\), entonces \(x = 3\) porque \(3 \times 3 = 9\)
  • Si \(x^3 = 8\), entonces \(x = 2\) porque \(2 \times 2 \times 2 = 8\)
  • Si \(x^4 = 16\), entonces \(x = 2\) porque \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)

Ejercicios de Encontrar la Base

  • Si \(x^2 = 25\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 27\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^4 = 81\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^2 = 100\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 64\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^5 = 32\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^2 = 144\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^3 = 125\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^4 = 625\), ¿cuánto vale \(x\)?
  • Si \(x^6 = 1\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas Básicos con Potencias

  • Un edificio tiene 4 pisos. Cada piso tiene 4 departamentos, y en cada departamento viven 4 personas. ¿Cuántas personas viven en el edificio? (Expresa la solución usando potencias)
  • Una bacteria se duplica cada hora. Si al principio hay una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá después de 5 horas? (Expresa la solución usando potencias)
  • Juan ahorra dinero de la siguiente manera: el primer día ahorra 1 peso, el segundo día ahorra 2 pesos, el tercer día ahorra 4 pesos, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada día. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado al cabo de una semana? (Expresa la solución usando potencias)
  • En un tablero de ajedrez, hay 1 grano de trigo en el primer casillero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad en cada casillero. ¿Cuántos granos de trigo hay en el quinto casillero? (Expresa la solución usando potencias)
  • María tiene una cadena de mensajes que envía a 3 amigos. Cada amigo reenvía el mensaje a otros 3 amigos, y cada uno de estos lo reenvía a otros 3 amigos. ¿Cuántas personas habrán recibido el mensaje después de la tercera ronda de reenvíos? (Expresa la solución usando potencias)

13. Propiedades de las Potencias

Propiedades de las Potencias

Las potencias tienen varias propiedades que nos permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.

1. Producto de Potencias de Igual Base

Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

Fórmula: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

Ejemplo: \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)

Ejercicios:

  1. \(3^2 \times 3^4\)
  2. \(5^3 \times 5^1\)
  3. \(10^2 \times 10^5\)
  4. \(2^6 \times 2^0\)
  5. \(7^2 \times 7^3 \times 7^1\)
  6. Si \(2^3 \times 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \(a^4 \times a^2 = 64\), ¿cuánto vale \(a\)?

Problemas:

  1. Un tipo de bacteria se reproduce duplicando su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2)
  2. Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? (Expresa la respuesta como una potencia de 3)
  3. Si se sabe que \(5^x \times 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base 5 por sí misma en total?

2. Cociente de Potencias de Igual Base

Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

Fórmula: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (donde \(m \ge n\) y \(a \neq 0\))

Ejemplo: \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)

Ejercicios:

  1. \(2^5 \div 2^3\)
  2. \(7^6 \div 7^2\)
  3. \(10^8 \div 10^4\)
  4. \(3^4 \div 3^4\)
  5. \(6^5 \div 6^1\)
  6. Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \(a^5 \div a^x = a^2\), y \(a^5\) es igual a 32. ¿Cuanto vale a y x?

Problemas:

  1. Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego de un experimento se reduce a \(2^2\), ¿cuántas veces se redujo la población? (Expresa la respuesta como una potencia de 2)
  2. Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) metros cuadrados. Si se divide en parcelas de \(10^2\) metros cuadrados, ¿cuántas parcelas se obtendrán? (Expresa la respuesta como una potencia de 10)
  3. Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)?

3. Potencia de una Potencia

Cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

Fórmula: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

Ejemplo: \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\)

Ejercicios:

  1. \((2^3)^2\)
  2. \((5^2)^4\)
  3. \((10^1)^5\)
  4. \((4^3)^0\)
  5. \((7^2)^3\)
  6. Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \((a^2)^x = 81\) y \(a\) es igual a 3. ¿Cuánto vale x?

Problemas:

  1. Si una célula se divide en \(2^2\) células hijas y cada célula hija se divide a su vez en \(2^3\) células, ¿cuántas células habrá en la última generación? (Expresa la respuesta como una potencia de 2)
  2. Un terreno tiene \(5^3\) metros cuadrados de superficie. Si se decide ampliarlo de tal manera que su superficie se eleve al cuadrado, ¿cuál será la nueva superficie del terreno? (Expresa la respuesta como una potencia de 5)
  3. Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?

4. Potencia de Exponente 0

Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.

Fórmula: \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))

Ejemplo: \(8^0 = 1\)

Ejercicios:

  1. \(5^0\)
  2. \(12^0\)
  3. \(100^0\)
  4. \((3^2)^0\)
  5. \((1/2)^0\)
  6. Si \(a^x = 1\) y \(a \neq 0\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Simplificar la expresión: \((2^3 \times 5^2)^0\)

Problemas:

  1. Si cualquier número elevado a la potencia 0 es 1, ¿cuál es el resultado de la operación \((4^2 \times 4^3 \div 4^5)^0\)?
  2. En un experimento, cualquier configuración inicial no nula elevada a la potencia cero produce 1 gramo de una sustancia. ¿Cuánto se produce si la configuración inicial es \(2345^0\)?
  3. Si \(x\) es un número diferente de 0, y \(x^y=1\), ¿Qué valor debe tener "y" para que la ecuación sea cierta?

5. Potencia de Exponente 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

Fórmula: \(a^1 = a\)

Ejemplo: \(6^1 = 6\)

Ejercicios:

  1. \(9^1\)
  2. \(25^1\)
  3. \(100^1\)
  4. \((4^2)^1\)
  5. \((1/3)^1\)
  6. Si \(a^x = a\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si \(x^1=8\), cuanto vale x?

Problemas:

  1. Si un objeto se mueve a una velocidad de \(7^1\) metros por segundo, ¿cuántos metros recorre en un segundo?
  2. En una tienda, el precio de un producto es de \(20^1\) pesos. Si tienes un cupón de descuento por el mismo monto, ¿cuánto debes pagar?
  3. Si \(x^1 = 9\), ¿qué valor representa 'x' en este contexto?

6. Potencia de un Producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.

Fórmula: \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)

Ejemplo: \((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)

Ejercicios:

  1. \((4 \times 5)^2\)
  2. \((2 \times 10)^3\)
  3. \((3 \times 3)^2\)
  4. \((6 \times 1)^4\)
  5. \((5 \times 2)^3\)
  6. Si \((2x)^3 = 1000\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Simplificar la expresión: \((4 \times 2)^2 \div 2^4\) y luego resolver.

Problemas:

  1. Si tienes 3 cajas y en cada caja hay 2 bolsas con 4 chocolates cada una, ¿cuántos chocolates tienes en total? (Expresa la solución usando potencias)
  2. Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^1\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? (Expresa la solución usando potencias)
  3. Si \((2x)^3 = 64\), cuanto vale x?

7. Potencia de un Cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.

Fórmula: \((a \div b)^n = a^n \div b^n\) (si \(b \neq 0\))

Ejemplo: \((6 \div 3)^2 = 6^2 \div 3^2 = 36 \div 9 = 4\)

Ejercicios:

  1. \((8 \div 2)^3\)
  2. \((10 \div 5)^2\)
  3. \((9 \div 3)^4\)
  4. \((15 \div 3)^3\)
  5. \((1/2 \div 1/4)^2\)
  6. Si \((x \div 3)^2 = 4\), ¿cuánto vale \(x\)?
  7. Si se sabe que \((12 \div x)^2 = 9\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas:

  1. Si tienes \((10 \div 2)^2\) caramelos y quieres repartirlos entre 5 niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño?
  2. Un tanque contiene \((8 \div 4)^5\) litros de agua. Si se extrae la mitad del agua, ¿cuántos litros quedan en el tanque? (Expresa la solución usando potencias)
  3. Si \((x \div 2)^3=27\), cuanto vale x?