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Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 1
Libro: Capitulo 1.1 N° Racional, escribiendo en fracciones
Imprimido por: Invitado
Día: sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:39

Descripción

Tabla de contenidos

1. racionales

Números Racionales \( \mathbb{Q} \)

¿Te has preguntado cómo representar partes de un objeto o los números que están entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página descubrirás qué son, sus características y cómo se representan.

Definición

📐 Definición formal

Un número racional es todo aquel que puede escribirse como una fracción \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b \neq 0\).

Simbólicamente, si \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los números racionales y \( \mathbb{Z} \) el de los enteros:

\( n \in \mathbb{Q} \iff \exists\, a,b \in \mathbb{Z},\, b\neq 0 \text{ tal que } n = \frac{a}{b} \).

Representación en la recta numérica

Los números racionales se pueden ubicar en toda la recta numérica: incluyen positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, \( \tfrac{1}{2} \) está exactamente a mitad de camino entre 0 y 1.

Recta numérica con fracciones marcadas

Representación decimal

🤓 Decimales de los racionales

Cada número racional puede escribirse como un decimal. Ese decimal puede ser:

  • Finito: termina. Ej.: \( \tfrac{1}{4}=0{,}25 \).
  • Periódico puro: desde el primer decimal repite un dígito o grupo. Ej.: \(0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\), \(0{,}252525\ldots = 0{,}\overline{25}\).
  • Periódico mixto (semiperiódico): primero aparece una parte que no se repite y luego comienza el período. Ej.: \(0{,}12\overline{3}\), \(-1{,}2\overline{45}\).

Más adelante aprenderemos a convertir estos decimales periódicos (puros y mixtos) en fracciones \( \tfrac{a}{b} \).

⚠️ Advertencia

Lo contrario no es cierto: no todo número escrito en forma decimal es racional. Para que un decimal sea racional debe ser finito o periódico. Si no termina ni repite un patrón, es irracional.

  • \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (no hay patrón).
  • \(\pi = 3{,}1415926535\ldots\)
  • \(e = 2{,}718281828\ldots\)
  • \(0{,}101001000100001\ldots\) (los ceros entre unos crecen; no hay período).
  • Constante de Champernowne: \(0{,}12345678910111213\ldots\)
💡 ¿Sabías que…?

Todo número entero \(n\) también es racional, porque se puede escribir como \( \frac{n}{1} \).

Ejemplos de números racionales

  • \( \frac{1}{2} \)
  • \( -\frac{3}{4} \)
  • \( 5 \) (se puede expresar como \( \frac{5}{1} \))
  • \( 0 \) (se puede expresar como \( \frac{0}{1} \))
  • \( 0{,}75 \) (se puede expresar como \( \frac{3}{4} \))
  • \( -2{,}333\ldots \) (periódico, se puede expresar como \( -\frac{7}{3} \); lo veremos luego)

Densidad de los números racionales

🤓 Densidad de \( \mathbb{Q} \) (pero no totalidad)

Densidad: Entre dos racionales distintos siempre podemos encontrar otro racional (infinitos, de hecho). No hay “saltos”.

Pero no totalidad: Aun así, los racionales no “llenan” toda la recta numérica: existen irracionales como \( \pi \) o \( \sqrt{2} \), que no pueden expresarse como \( \tfrac{a}{b} \).

Demostración intuitiva de la densidad:

Sean \(a,b \in \mathbb{Q}\) con \(a < b\). El promedio \(c = \frac{a+b}{2}\) también es racional y cumple \(a < c < b\). Repitiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales entre \(a\) y \(b\).

Ejemplo numérico de densidad

Consideremos \( a = \frac{1}{4} \) y \( b = \frac{1}{2} \). Busquemos un racional entre ellos.

\[ c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \]

Efectivamente, \( \frac{3}{8} \) está entre \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{1}{2} \) (0,25 < 0,375 < 0,5).

Ejercicios

Identificando números racionales

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Si son racionales, exprésalos en la forma \( \tfrac{a}{b} \). (Para los decimales periódicos, por ahora basta con reconocer que son racionales; más adelante veremos cómo convertirlos).

  1. \( 2{,}5 \)
  2. \( \sqrt{9} \)
  3. \( \tfrac{-2}{7} \)
  4. \( 0{,}121212\ldots \)
  5. \( \pi \)
  6. \( 0{,}3333\ldots \)
  7. \( 0{,}252525\ldots \)
  8. \( -3 \)

2. Racionales y fracciones equivalentes

Números Racionales: Fracciones Equivalentes

¿Qué son las Fracciones Equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

🌍 Ejemplo en la vida real

Imagina que estás siguiendo una receta de cocina. Si la receta pide \( \frac{1}{2} \) taza de harina, pero solo tienes una cuchara medidora de un cuarto de taza (\( \frac{1}{4} \)), puedes usarla dos veces. ¡Estás usando \( \frac{2}{4} \) de taza, que es exactamente la misma cantidad que \( \frac{1}{2} \) taza!

Amplificar y Simplificar Fracciones

Amplificar y simplificar son procedimientos matemáticos que permiten obtener fracciones equivalentes (representan el mismo número).

Amplificación

🤓 ¿Qué es amplificar?

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero. Así obtenemos una fracción equivalente “más grande” (con números más grandes, pero mismo valor).

\[ \frac{a}{b} \sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \quad \text{con } k \in \mathbb{Z},\, k \neq 0 \]

📐 Procedimiento para amplificar
  1. Elige un entero \(k \ne 0\).
  2. Multiplica numerador y denominador por \(k\).
  3. Escribe la nueva fracción y verifica que sea equivalente.
🧪 Ejemplo 1 (Amplificar \(\frac{2}{5}\) por 2)

\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} = \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac{4}{10} \]

(Al multiplicar por el mismo número en numerador y denominador, el valor de la fraccion no cambia.)

 \(\frac{2}{5}\) y \(\frac{4}{10}\) son equivalentes.

🧪 Ejemplo 2 (Amplificar \(\frac{-1}{4}\) por -3)

\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} = \frac{-1\cdot(-3)}{4\cdot(-3)} = \frac{3}{-12}  \] 

\(\frac{-1}{4}\) y \(\frac{3}{-12}\) son equivalentes

Amplificación: multiplica por el número indicado

Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número (entero distinto de 0). En el ítem 8, el factor es la variable \(x\) (supón \(x \in \mathbb{Z},\, x\neq 0\)).

  1. \( \tfrac{2}{7} \) → amplificar por \(4\)

  2. \( \tfrac{-3}{5} \) → amplificar por \(6\)

  3. \( \tfrac{9}{11} \) → amplificar por \(-3\)

  4. \( \tfrac{5}{8} \) → amplificar por \(10\)

  5. \( \tfrac{14}{25} \) → amplificar por \(2\)

  6. \( \tfrac{2a}{5b} \) → amplificar por \(3\)

  7. \( \tfrac{a-1}{2b} \) → amplificar por \(-2\)

  8. \( \tfrac{m}{n} \) → amplificar por \(x\) (con \(m,n,x\neq 0\))

Simplificación de Fracciones

🤓 ¿Qué es simplificar?

Simplificar una fracción es reducirla a una expresión equivalente más sencilla. Esto se logra eliminando los factores comunes que existen entre el numerador y el denominador.

Cuando eliminamos todos los factores comunes posibles,  obtenemos su fracción irreducible, que es la fraccion equivalente "mas simple". La forma más rápida de lograr esto es dividir el numerador y el denominador por su Máximo Común Divisor (MCD).

📐 Procedimiento para simplificar usando factorización
  1. Factorizar: Descomponemos el numerador y el denominador en sus factores primos.
  2. Cancelar: Eliminamos los factores que se repiten en el numerador y denominador (equivale a simplificar por el MCD)
  3. Resultado: Multiplicamos los factores restantes para obtener la fracción simplificada.
🧪 Ejemplo 1 (Simplificar \(\frac{25}{40}\) por el factor 5)

Factorizamos y cancelamos el factor común (5):

\[ \frac{25}{40} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{8 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{8} \]

La fracción \(\frac{5}{8}\) es la forma irreducible de \(\frac{25}{40}\).

🧪 Ejemplo 2 (Simplificar \(\frac{42}{54}\) hasta su fracción irreducible)

El Máximo Común Divisor de 42 y 54 es 6. Al dividir ambos términos por el MCD, obtenemos directamente la fracción irreducible.

\[ \frac{42}{54} = \frac{\cancel{6} \cdot 7}{\cancel{6} \cdot 9} \]

La fracción \(\frac{7}{9}\) es equivalente a \(\frac{42}{54}\) y es irreducible porque 7 y 9 ya no tienen factores comunes.

🧪 Ejemplo general  de como simplificar usando factorizaciónes multiples

Simplificar \( \frac{18}{24} \):

  1. Factorizar: Descomponemos el numerador y el denominador en sus factores primos.
    \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
    \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
  2. Cancelar: Eliminamos los factores que se repiten en ambas partes (en este caso, un \(2\) y un \(3\)).
  3. Resultado: Multiplicamos los factores restantes para obtener la fracción simplificada.
    \[ \frac{18}{24} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{3}} = \frac{3}{4} \]
\( \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \) son equivalentes
⚠️ ¡Ojo con el Álgebra!

Recuerda que en las expresiones algebraicas (con factores literales), solo podemos simplificar factores que están multiplicando a todo el numerador y denominador. Además, la condición (como \(x \neq 0\)) es crucial para evitar la división por cero, que es una indefinición matemática.

Grupo 2: Simplificar a la mínima expresión

Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.

  1. \( \frac{30}{45} \)

  2. \( \frac{56}{72} \)

  3. \( \frac{120}{180} \)

  4. \( \frac{-15}{25} \)

  5. \( \frac{42}{-49} \)

  6. \( \frac{-28}{-63} \)

  7. \( \frac{2a}{4a} \) (siendo \(a \neq 0\))

  8. \( \frac{6x^2}{9x} \) (siendo \(x \neq 0\))

  9. \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \) (siendo \(y \neq -2\))

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes:

Método 1: Simplificación a la Forma Irreducible

💡 Estrategia Clave: Simplificar

Si al simplificar dos fracciones llegamos a la misma expresión irreducible (aquella que ya no se puede simplificar más), entonces las fracciones originales eran equivalentes. ¡Es como encontrar el "ADN" de cada fracción para ver si son idénticas!

Verificando con Simplificación

Para verificar si \( \frac{6}{8} \) y \( \frac{9}{12} \) son equivalentes, simplificamos ambas:

\( \frac{6}{8} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \)

\( \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4} \)

Como ambas se simplifican a \( \frac{3}{4} \), son equivalentes.

Grupo 2: ¿Son equivalentes? (verificación por simplificación)

Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.

  1. \( \tfrac{15}{35} \) y \( \tfrac{9}{21} \)

  2. \( \tfrac{18}{24} \) y \( \tfrac{27}{36} \)

  3. \( \tfrac{-12}{20} \) y \( \tfrac{3}{-5} \)

  4. \( \tfrac{8}{15} \) y \( \tfrac{12}{25} \)

  5. \( \tfrac{49}{63} \) y \( \tfrac{7}{9} \)

Método 2: Productos Cruzados

📐 Fórmula: Productos Cruzados

Dadas dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), son equivalentes si y solo si el producto cruzado de sus términos es igual. Es decir:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]

Verificando con Productos Cruzados

Para verificar si \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{6} \) son equivalentes, multiplicamos en cruz:

\( 2 \cdot 6 = 12 \)

\( 3 \cdot 4 = 12 \)

Como los productos son iguales (\(12 = 12\)), las fracciones son equivalentes.

Ejercicios

Grupo 1: ¿Son equivalentes? (usando productos cruzados)

  1. \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{4}{12} \)

  2. \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{10} \)

  3. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{16}{28} \)

  4. \( \frac{5}{9} \) y \( \frac{25}{45} \)

  5. \( \frac{-3}{4} \) y \( \frac{6}{-8} \)

  6. \( \frac{7}{2} \) y \( \frac{21}{6} \)
🤓 ¿Por qué funcionan los productos cruzados?

Este método es un "atajo" para encontrar un denominador común. Al comparar \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), lo que realmente hacemos es transformar ambas a un denominador común (\(b \cdot d\)): \( \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \) y \( \frac{b \cdot c}{b \cdot d} \). Si las fracciones originales son iguales, sus nuevos numeradores (\(a \cdot d\) y \(b \cdot c\)) también deben serlo.

3. Conversión entre Enteros, Fracciones y Números Mixtos

Conversión entre Enteros, Fracciones y Números Mixtos

💡 Idea Clave y Fundamental

Todo número entero puede ser expresado como una fracción simplemente colocándolo sobre el denominador 1. Esta es la base para operar enteros con fracciones.

Números Enteros a Fracciones

Ejemplos: Entero a Fracción

  • El número entero 5 se expresa como \( \frac{5}{1} \).
  • El número entero -3 se expresa como \( \frac{-3}{1} \) o \( -\frac{3}{1} \).
  • El número entero 0 se expresa como \( \frac{0}{1} \).

Grupo 1: Convertir enteros a fracciones

  1. 8
  2. -6
  3. 0
  4. 15
  5. -23
  6. 1

Fracciones a Números Enteros

Una fracción cuyo denominador es 1, o que al simplificarla resulta en un denominador 1, representa simplemente el número entero de su numerador.

Ejemplos: Fracción a Entero

  • La fracción \( \frac{7}{1} \) representa el número entero 7.
  • La fracción \( \frac{-4}{1} \) representa el número entero -4.
  • La fracción \( \frac{20}{5} \) se simplifica a \( \frac{4}{1} \), que es el entero 4.

Grupo 2: Convertir fracciones a enteros

Simplifica cada fracción para encontrar el número entero que representa.

  1. \( \frac{12}{1} \)
  2. \( \frac{-9}{1} \)
  3. \( \frac{0}{1} \)
  4. \( \frac{8}{2} \)
  5. \( \frac{20}{4} \)
  6. \( \frac{-15}{3} \)
  7. \( \frac{36}{-9} \)

Números Mixtos y Fracciones Impropias

Definiciones

💡 Conceptos Clave

Una fracción impropia es aquella donde el numerador es mayor o igual que el denominador (ej: \( \frac{11}{4} \)). Representa una cantidad igual o mayor a un entero.

Un número mixto combina una parte entera y una parte fraccionaria (ej: \( 2\frac{3}{4} \)). Es una forma más intuitiva de escribir una fracción impropia.

⚠️ ¡Cuidado con la Notación!

Un número mixto como \( 2\frac{3}{4} \) NO significa "2 multiplicado por 3/4". En realidad, es una suma: \( 2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} \). Este es un error conceptual muy común.

 Conversiones entre números mixtos y fracciones

🤓 ¿Qué significa convertir una fracción a número mixto?

Significa tomar una fracción como \( \frac{7}{3} \) y averiguar cuántas unidades enteras podemos formar y qué fracción nos sobra.

Usemos la analogía del pastel: si tenemos 7 rebanadas y cada pastel entero se forma con 3 rebanadas, la conversión nos ayuda a responder:

  • El Cociente ( \(7 \div 3 = 2\) ): Nos dice que podemos armar 2 pasteles enteros. Esta es la parte entera del número mixto.
  • El Residuo (sobra 1): Nos dice que nos queda 1 rebanada suelta. Este es el numerador de la fracción que acompaña al entero.
  • El Denominador (se mantiene en 3): Nos recuerda que cada rebanada es un tercio.

Por lo tanto, 7 tercios de pastel es lo mismo que 2 pasteles enteros y 1 tercio de pastel: \[ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \]

📐 Procedimiento: De Fracción Impropia a Número Mixto

  1. Dividir el numerador entre el denominador.
  2. Identificar las partes del resultado de la división:
    • El cociente será la parte entera.
    • El residuo (o resto) será el nuevo numerador.
    • El denominador original se mantiene sin cambios.
  3. Ensamblar el número mixto con estas tres partes.

🧪 Ejemplo: Convertir \( \frac{11}{4} \) a número mixto

  1. Dividir: \(11 \div 4 = 2\) con un resto de 3.
  2. Asignar:
    • Parte entera: 2 (el cociente)
    • Nuevo numerador: 3 (el resto)
    • Denominador: 4 (se mantiene)
  3. Resultado: La fracción \( \frac{11}{4} \) es igual a \( 2\frac{3}{4} \).

Grupo 3: Convertir fracciones impropias a números mixtos

  1. \( \frac{7}{3} \)
  2. \( \frac{15}{4} \)
  3. \( \frac{22}{5} \)
  4. \( \frac{19}{6} \)
  5. \( \frac{31}{8} \)
  6. \( \frac{47}{9} \)

🤓 ¿Qué significa convertir un número mixto a fracción?

Significa tomar las partes enteras y la parte fraccionaria y unirlas en una sola fracción. Para lograrlo, "rompemos" los enteros en trozos del mismo tamaño que la fracción.

Con la analogía del pastel, si tienes \( 2\frac{1}{3} \) (2 pasteles enteros y 1 tercio), el proceso es:

  • Convertir los enteros: Cortas los 2 pasteles enteros en tercios. Obtienes \(2 \times 3 = 6\) rebanadas.
  • Sumar todo: A esas 6 rebanadas, les sumas la rebanada suelta que ya tenías. En total son \(6 + 1 = 7\) rebanadas.
  • Resultado: Como cada rebanada es un tercio, tienes un total de \( \frac{7}{3} \).

📐 Procedimiento: De Número Mixto a Fracción Impropia

  1. Multiplicar la parte entera por el denominador.
  2. Sumar el resultado de la multiplicación al numerador original.
  3. Construir la fracción:
    • El resultado de la suma es el nuevo numerador.
    • El denominador se mantiene igual.

🧪 Ejemplo: Convertir \( 3\frac{2}{5} \) a fracción impropia

  1. Multiplicar entero por denominador: \( 3 \times 5 = 15 \)
  2. Sumar el numerador: \( 15 + 2 = 17 \)
  3. Resultado: El nuevo numerador es 17 y el denominador se mantiene en 5. \[ 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \]

Grupo 4: Convertir números mixtos a fracciones impropias

  1. \( 1\frac{2}{3} \)
  2. \( 4\frac{1}{6} \)
  3. \( 2\frac{5}{8} \)
  4. \( 5\frac{3}{7} \)
  5. \( 3\frac{9}{10} \)
  6. \( 6\frac{4}{5} \)

💡 Resumen Final de Relaciones

Recuerda que los enteros, las fracciones y los números mixtos son simplemente formas diferentes de representar valores.

Entero ↔ Fracción (denominador 1) ↔ Fracción Impropia ↔ Número Mixto

4. compafracion de fracciones

Comparación de Fracciones

Casos Simples

📐 Reglas Básicas
  • Igual Denominador: Si los denominadores son iguales, la fracción con el numerador más grande es mayor.
    Ejemplo: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \) porque 5 > 3.

  • Igual Numerador: Si los numeradores son iguales, la fracción con el denominador más pequeño es mayor.
    Ejemplo: \( \frac{2}{5} > \frac{2}{9} \).
🤓 ¿Por qué funciona la regla del "igual numerador"?

Piensa en una pizza. Si tomas 2 rebanadas (\( \frac{2}{5} \)) de una pizza cortada en 5 trozos, tus rebanadas serán mucho más grandes que si tomas 2 rebanadas (\( \frac{2}{9} \)) de una pizza idéntica pero cortada en 9 trozos. Al dividir en menos partes, cada parte es mayor.

Fracciones con Distinto Numerador y Denominador

Para el caso general, donde todo es distinto, tenemos dos métodos principales.

Método 1: Fracciones Equivalentes (Denominador Común)

📐 Procedimiento: Denominador Común
  1. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Este será el "denominador común".
  2. Convertir cada fracción a una equivalente con ese denominador común.
  3. Comparar los numeradores de las nuevas fracciones. La que tenga el numerador más grande, es la mayor.

Ejemplo: Comparar \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{5}{6} \) con MCM

  1. El MCM(4, 6) es 12.
  2. Convertimos: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \)
  3. Convertimos: \( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} \)
  4. Comparamos: Como \( 10 > 9 \), entonces \( \frac{10}{12} > \frac{9}{12} \), lo que significa que \( \frac{5}{6} > \frac{3}{4} \).

Grupo 1: Comparar usando fracciones equivalentes (MCM)

  1. \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{3}{5} \)
  2. \( \frac{5}{8} \) y \( \frac{7}{12} \)
  3. \( \frac{4}{9} \) y \( \frac{1}{2} \)
  4. \( 2\frac{1}{4} \) y \( \frac{11}{5} \)
  5. \( \frac{-3}{7} \) y \( \frac{-2}{5} \)

Método 2: Productos Cruzados

💡 Estrategia Rápida: Productos Cruzados

Este es un "atajo" muy útil que funciona como el método del denominador común, pero sin calcular explícitamente las nuevas fracciones. Es ideal para comparaciones rápidas de solo dos fracciones.

Para comparar \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), simplemente compara los productos \( a \cdot d \) y \( b \cdot c \).

Ejemplo: Comparar \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{3}{7} \) con Productos Cruzados

  • Producto 1 (numerador izquierdo × denominador derecho): \( 2 \cdot 7 = 14 \)
  • Producto 2 (denominador izquierdo × numerador derecho): \( 5 \cdot 3 = 15 \)
  • Como \( 14 < 15 \), la primera fracción es menor. Entonces, \( \frac{2}{5} < \frac{3}{7} \).

Ejercicios

⚠️ ¡Ojo con las Fracciones Negativas!

Recuerda la recta numérica: para los números negativos, el que está "más cerca del cero" es el mayor. Por ejemplo, \( -14 > -15 \). ¡No te dejes engañar por el valor absoluto!

Grupo 2: Comparar usando productos cruzados

  1. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{5}{9} \)
  2. \( \frac{1}{6} \) y \( \frac{2}{11} \)
  3. \( \frac{8}{3} \) y \( 2\frac{2}{5} \)
  4. \( \frac{-5}{8} \) y \( \frac{-3}{5} \)
  5. \( \frac{7}{4} \) y \( \frac{9}{5} \)

5. Suma y resta de fracciones

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con Igual Denominador

📐 Regla para Igual Denominador

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, simplemente se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Al final, se simplifica si es posible.

Ejemplo: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

Fracciones con Distinto Denominador

⚠️ Error Común: ¡No sumar denominadores!

El error más frecuente es sumar o restar todo directo (numerador con numerador Y denominador con denominador). Recuerda: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \) NO es \( \frac{2}{5} \). Primero debemos encontrar un denominador común.

📐 Procedimiento: Distinto Denominador (usando MCM)
  1. Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.
  2. Amplificar cada fracción para que ambas tengan el MCM como su nuevo denominador.
  3. Sumar o restar los numeradores de las nuevas fracciones y mantener el denominador común.
  4. Simplificar el resultado final si es necesario.

Ejemplo: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \)

  1. MCM(4, 6) = 12.
  2. Amplificar: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \) y \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} \).
  3. Restar: \( \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \).

Operaciones con Enteros y Números Mixtos

💡 Estrategia General: Convertir a Fracciones Impropias

El método más seguro y universal para operar con enteros o números mixtos es convertirlos todos a fracciones impropias primero. De esta forma, cualquier suma o resta se reduce al caso de operar fracciones.

Ejemplo: \( 2\frac{3}{4} - \frac{1}{3} \rightarrow \frac{11}{4} - \frac{1}{3} \). Ahora solo aplicas el método del MCM.

Ejercicios

Grupo 1: Igual denominador

  1. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \)
  2. \( \frac{7}{11} - \frac{3}{11} \)
  3. \( \frac{-4}{9} + \frac{2}{9} \)
  4. \( \frac{5}{12} - \frac{-1}{12} \)
  5. \( \frac{3}{8} + \frac{-5}{8} \)
  6. \( \frac{-2}{7} - \frac{3}{7}\)

Grupo 2: Distinto denominador

  1. \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{2}{5} - \frac{1}{10} \)
  3. \( \frac{-3}{4} + \frac{1}{6} \)
  4. \( \frac{2}{3} - \frac{-1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{8} + \frac{-1}{6} \)
  6. \( \frac{-5}{12} - \frac{1}{4} \)

Grupo 3: Enteros y fracciones

  1. \( 2 + \frac{1}{3} \)
  2. \( 5 - \frac{2}{7} \)
  3. \( -3 + \frac{3}{4} \)
  4. \( \frac{-4}{5} + 4 \)
  5. \( \frac{5}{6} - (-2) \)
  6. \( -1 - \frac{2}{9} \)

Grupo 4: Números mixtos y álgebra

  1. \( 2\frac{1}{4} + 1 \)
  2. \( 3\frac{2}{5} - \frac{1}{2} \)
  3. \( -1\frac{1}{3} + \frac{3}{4} \)
  4. \( 4 - 2\frac{5}{6} \)
  5. \( 1\frac{2}{7} + \frac{-3}{14} \)
  6. Escribe como una sola fracción: \( x + 2\frac{1}{2}\)
  7. Escribe como una sola fracción: \( 1\frac{2}{3} - a\)
  8. Escribe como una sola fracción: \( 2\frac{1}{4} + b - 1\frac{1}{2}\)
  9. Escribe como una sola fracción: \( \frac{a}{5} + \frac{3a}{5} \)
  10. Escribe como una sola fracción: \( \frac{2x}{3} + \frac{x}{4} - \frac{5y}{6} + \frac{y}{2}\)

6. Multiplicación de Fracciones

Multiplicación de Fracciones

Regla General

📐 Regla de Multiplicación

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. ¡Es la operación más directa!

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]

Al final, siempre simplifica el resultado si es posible.

⚠️ ¡No se necesita denominador común!

Un error muy común es intentar buscar un mínimo común múltiplo (MCM) para multiplicar, como se hace en la suma. Para multiplicar no es necesario. La operación es directa: el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo.

💡 Estrategia Clave: Simplificar ANTES de Multiplicar

Puedes simplificar cualquier numerador con cualquier denominador antes de realizar la multiplicación. Esto te permite trabajar con números más pequeños y facilita mucho los cálculos.

Ejemplo: \( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \). Aquí, puedes simplificar el 4 con el 8 (quedan 1 y 2) y el 3 con el 9 (quedan 1 y 3). La operación se convierte en \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \). ¡Mucho más fácil que calcular 12/72 y luego simplificar!

Casos y Ejemplos

1. Fracciones Propias

\( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \)

2. Con Números Negativos

\( \frac{-3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{-3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10} \) (simplificado)

3. Entero por Fracción

\( 4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{8}{9} \)

4. Número Mixto por Fracción

Primero se convierte el mixto a fracción impropia: \( 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)

Luego se multiplica: \( \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15} \)

5. Con Expresiones Algebraicas

\( \frac{2x}{5} \cdot \frac{3}{y} = \frac{2x \cdot 3}{5 \cdot y} = \frac{6x}{5y} \) (con \(y \neq 0\))

Ejercicios

Resuelve las siguientes multiplicaciones

  1. \( \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} \)
  2. \( \frac{-2}{7} \cdot \frac{4}{9} \)
  3. \( 5 \cdot \frac{3}{8} \)
  4. \( 3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \)
  5. \( 2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \)
  6. \( \frac{6}{15} \cdot \frac{10}{12} \)
  7. \( \frac{9}{14} \cdot 0 \)
  8. \( \frac{-5}{6} \cdot 1\)
  9. \( \frac{4a}{7} \cdot \frac{2}{3b} \) (con \(b \neq 0\))
  10. \( 2x \cdot \frac{5}{y} \) (con \(y \neq 0\))
  11. \( \frac{3x}{2} \cdot \frac{y}{5} \)
  12. \( \frac{-2a}{b} \cdot \frac{3c}{4} \) (con \(b \neq 0\))
  13. \( \frac{m}{4} \cdot \frac{3n}{2} \)

7. Division de fracciones

División de Fracciones

Concepto Clave: El Inverso Multiplicativo (Recíproco)

Antes de dividir, es crucial entender qué es un inverso multiplicativo o recíproco. Es simplemente la misma fracción, pero "invertida". Su propiedad mágica es que al multiplicarla por la fracción original, el resultado es siempre 1.

🤓 Definición formal: El inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es \( \frac{b}{a} \), porque \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1 \).

Ejercicios de Inverso Multiplicativo

  1. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{2}{7} \).
  2. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -\frac{5}{9} \).
  3. Encuentra el inverso multiplicativo de 4.
  4. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -1\frac{2}{3} \).
  5. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\)).

Métodos para Dividir Fracciones

Método 1: Multiplicar por el Inverso (El más recomendado)

💡 Idea Clave: "Dividir es multiplicar por el inverso"

Esta es la regla fundamental. Para dividir, se cambia la operación a una multiplicación y se invierte la segunda fracción (el divisor). Luego, se multiplica como de costumbre.

📐 Fórmula: \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Método 2: Multiplicación en Cruz

🤓 Un "atajo" procedimental

Este método es una forma rápida de obtener el mismo resultado que multiplicando por el inverso. Es útil para cálculos mentales, pero es importante entender que es solo una regla nemotécnica.

📐 Procedimiento:

Se multiplica "en cruz": el numerador del primero por el denominador del segundo (ese es el nuevo numerador), y el denominador del primero por el numerador del segundo (ese es el nuevo denominador).

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: Para \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} \), calculamos \( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).

Método 3: Fracción de Fracciones (Extremos y Medios)

🌍 ¿Cuándo se usa esto?

A veces, una división se presenta visualmente como una fracción sobre otra (fracción compleja). Para estos casos, la regla de "extremos por extremos y medios por medios" es perfecta.

📐 Procedimiento:

El producto de los números "extremos" (el de más arriba y el de más abajo) va en el nuevo numerador. El producto de los "medios" va en el nuevo denominador.

\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: Para \( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} \), calculamos \( \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).

Ejercicios de División

Resuelve las siguientes divisiones

  1. \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \)
  2. \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} \)
  3. \( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{8} \)
  4. \( 4 \div \frac{2}{5} \)
  5. \( \frac{5}{9} \div 3 \)
  6. \( 1\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} \)
  7. \( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} \)
  8. \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} \)
  9. \( \frac{2x}{3} \div \frac{4}{y} \) (con \(y \neq 0\))
  10. \( \frac{3a}{b} \div \frac{2c}{5} \) (con \(b \neq 0, c \neq 0\))
  11. \( \frac{1}{2} \div \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0, y \neq 0\))
  12. \( \frac{5m}{2n} \div \frac{2}{3} \) (con \(n \neq 0\))
  13. \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} \) (con \(a \neq 0, b \neq 0\))

8. Problemas de aplicacion con fracciones

Problemas de Aplicación con Fracciones

🌍 Las Fracciones en la Vida Cotidiana

Las fracciones no son solo números en una página; las usamos constantemente para repartir, medir, cocinar, construir y mucho más. En esta página, veremos cómo aplicar las operaciones que hemos aprendido para resolver problemas prácticos.

💡 Estrategia Clave: Identificar la Operación

A menudo, las palabras del problema nos dan pistas sobre qué operación usar:

  • "de" (como en "la mitad de..."): Generalmente implica multiplicación.
  • "juntar", "añadir", "en total": Sugieren suma.
  • "quitar", "diferencia", "lo que queda": Sugieren resta.
  • "repartir en partes iguales", "cuántas veces cabe": Sugieren división.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Repartiendo una Pizza

Problema: María comió \( \frac{1}{2} \) de una pizza, Juan \( \frac{1}{3} \) y Pedro el resto. ¿Qué fracción comió Pedro?

  1. Sumamos lo que comieron María y Juan: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
  2. Restamos esa cantidad del total (1, que es \( \frac{6}{6} \)): \( 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).

Respuesta: Pedro comió \( \frac{1}{6} \) de la pizza.

Ejemplo 2: Receta de Galletas

Problema: Una receta requiere \( 1\frac{1}{2} \) tazas de harina. Si queremos hacer la mitad de la receta, ¿cuánta harina necesitamos?

Hacer "la mitad de" la receta significa multiplicar la cantidad por \( \frac{1}{2} \).

  1. Convertimos el número mixto: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
  2. Multiplicamos: \( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \).

Respuesta: Necesitamos \( \frac{3}{4} \) tazas de harina.

Ejemplo 3: Viaje en Auto

Problema: Un tanque tiene \( \frac{3}{4} \) de su capacidad. Tras un viaje, le queda \( \frac{1}{8} \). ¿Qué fracción del tanque se consumió?

Para encontrar lo que se consumió, restamos la fracción final de la inicial.

  1. Buscamos denominador común (8): \( \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \).
  2. Restamos: \( \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \).

Respuesta: Se consumió \( \frac{5}{8} \) del tanque.

🤓 Problemas en Etapas: Fracción de un Resto

Ten cuidado con problemas como "le da a Pedro \( \frac{1}{4} \) de lo que le quedaba". Esto significa que la segunda operación no se calcula sobre el total original, sino sobre el resultado de la primera operación. Es un cálculo en cadena.

Ejercicios Propuestos

  1. Repartiendo una herencia: Un hombre reparte su herencia. Al hijo mayor le da \( \frac{2}{5} \), al segundo \( \frac{1}{3} \) y al menor el resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe el hijo menor?
  2. Mezcla de pintura: Para obtener un color, se mezcla \( \frac{1}{4} \) de litro de pintura azul con \( \frac{2}{5} \) de litro de pintura amarilla. ¿Cuánta pintura verde se obtiene en total?
  3. Tiempo de estudio: Ana dedica \( \frac{2}{3} \) de hora a Matemáticas, \( \frac{1}{2} \) hora a Lenguaje y \( \frac{1}{4} \) de hora a Ciencias. ¿Cuánto tiempo en total dedica a estudiar? (Expresa en número mixto).
  4. Terreno rectangular: Un terreno mide \( 5\frac{1}{2} \) m de largo y \( 3\frac{1}{4} \) m de ancho. ¿Cuál es su área?
  5. Compartiendo un chocolate: Juan comió \(\frac{1}{3}\) de un chocolate, María \(\frac{1}{4}\) y Pedro \(\frac{1}{6}\). ¿Qué fracción del chocolate quedó?
  6. Llenando un estanque: Una llave llena \(\frac{1}{5}\) de un estanque en una hora, y otra llena \(\frac{1}{4}\) en una hora. Si se abren ambas, ¿qué fracción del estanque se llenará en una hora?
  7. Fracciones de tiempo: Andrés tardó \(\frac{3}{4}\) de hora en una tarea y \(\frac{1}{2}\) hora en otra. Descansó \(\frac{1}{4}\) de hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió en total?
  8. Repartiendo líquido: Un depósito tiene \(3\frac{1}{2}\) litros de agua y se reparte en envases de \(\frac{1}{4}\) de litro. ¿Cuántos envases se pueden llenar?
  9. Combinando operaciones: Marta compró \(2\frac{1}{2}\) m de tela. Usó \(\frac{2}{3}\) de la tela para una cortina. Luego, usó \(\frac{1}{5}\) de lo que le quedaba para un cojín. ¿Cuánta tela le quedó al final?

9. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Definición

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número (llamado base) por sí mismo tantas veces como lo indica otro número (llamado exponente). En esta lección, la base será una fracción y el exponente un número natural (entero y positivo).

📐 Fórmula General

La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente natural \( n \) se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

⚠️ ¡Importante! El denominador de la fracción, 'b', nunca puede ser cero, ya que la división por cero no está definida en matemáticas.

Ejemplo de Cálculo

Para calcular \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 \), multiplicamos la fracción por sí misma 4 veces:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81} \]

Propiedades Fundamentales

💡 Propiedad 1: El Signo de la Potencia

El signo del resultado depende de dos factores: el signo de la base y si el exponente es par o impar.

  • Si la base es positiva (\( \frac{a}{b} > 0 \)), el resultado siempre será positivo.
  • Si la base es negativa (\( \frac{a}{b} < 0 \)):
    • Con exponente par, el resultado es positivo.
    • Con exponente impar, el resultado es negativo.
🤓 Demostración Detallada:

El signo del resultado depende de los signos del numerador y denominador finales (\(a^n\) y \(b^n\)).

  • Si la base \( \frac{a}{b} \) es positiva, \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo. Al elevarlos a cualquier exponente \(n\), \(a^n\) y \(b^n\) conservarán el mismo signo entre ellos, por lo que el resultado \( \frac{a^n}{b^n} \) siempre será positivo.
  • Si la base \( \frac{a}{b} \) es negativa, \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos.
    • Si el exponente \(n\) es par, tanto \(a^n\) como \(b^n\) se volverán positivos (ej: \((-2)^2=4\) y \((+3)^2=9\)). Al dividir dos positivos, el resultado es positivo.
    • Si el exponente \(n\) es impar, \(a^n\) y \(b^n\) mantendrán sus signos opuestos (ej: \((-2)^3=-8\) y \((+3)^3=27\)). Al dividir dos números de signo opuesto, el resultado es negativo.

Ejemplos: Signo de la Potencia según el Exponente

Base positiva: El resultado siempre es positivo.

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \]

Base negativa, exponente PAR: El resultado se vuelve positivo.

\[ \underbrace{\left(-\frac{2}{3}\right)^{\color{blue}2}}_{\color{blue}{\text{exponente par } \Rightarrow > 0}} = \color{blue}{+}\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \]

Base negativa, exponente IMPAR: El resultado se mantiene negativo.

\[ \underbrace{\left(-\frac{3}{4}\right)^{\color{red}3}}_{\color{red}{\text{exponente impar } \Rightarrow < 0}} = \color{red}{-}\left(\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64} < 0 \]

1. Ejercicios de Signo de la Potencia

Determina el signo y aplica la propiedad de la potencia de una fracción. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

  1. \( \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
  2. \( \left( \frac{1}{4} \right)^6 \)
  3. \( \left( \frac{2}{7} \right)^9 \)
  4. \( \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \)
  5. \( \left( -\frac{5}{6} \right)^2 \)
  6. \( \left( -\frac{1}{2} \right)^5 \)
  7. \( \left( -\frac{3}{4} \right)^7 \)
  8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{2} \) (con \(x,y \neq 0\))
  9. \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{4} \) (con \(a \neq 0\))
  10. \( \left( \frac{5m}{-n} \right)^{3} \) (con \(m,n \neq 0\))
📐 Propiedad 2: Producto de Potencias de Igual Base

Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

🤓 Demostración:

La demostración es bastante directa. Se basa en aplicar las propiedades ya conocidas de las potencias con números enteros para extender la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base, \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\), al conjunto de los números racionales.

Para ello, aplicamos la regla por separado, tanto en el numerador como en el denominador de la fracción.

\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n}_{\text{Expresión inicial}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{a^n}{b^n}}_{\text{Definición de Potencia}} = \underbrace{\frac{a^m \cdot a^n}{b^m \cdot b^n}}_{\text{Multiplicar Fracciones}} = \underbrace{\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}}_{\text{Aplicar Propiedad de Enteros}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}}_{\text{Resultado Final}} \]

Ejemplo: Producto con Base Negativa (Exponente Final Impar)

Resolver: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \)

Paso 1: Se conserva la base y se suman los exponentes.

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{2+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \]

Paso 2: Como la base es negativa y el exponente final (5) es impar, el resultado es negativo.

\[ -\left(\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32} \]

2. Ejercicios de Producto de Potencias

Resuelve aplicando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

  1. \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \)
  2. \( \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
  3. \( \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 \)
  4. \( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
  5. \( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 \)
  6. \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 \)
  7. \( \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4\)
  8. \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \) (con \(a, b \neq 0\))
  9. \( \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \) (con \(x \neq 0\))
  10. \( \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 \) (con \(m,n \neq 0\))
📐 Propiedad 3: Cociente de Potencias de Igual Base

Para dividir potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^m}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

🤓 Demostración (Cociente):

Igual que en la demostración anterior, para probar esta propiedad nos basaremos en su análoga para números enteros: \(x^m \div x^n = x^{m-n}\).

El procedimiento combina la regla de división de fracciones (que es invertir el divisor y multiplicar) con la propiedad de potencias que ya conocemos.

\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n}_{\text{Inicio}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n}}_{\text{Definición}} = \underbrace{\frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{b^n}{a^n}}_{\text{Invertir y Multiplicar}} = \underbrace{\frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}}_{\text{Aplicar Propiedad}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}}_{\text{Final}} \]

Ejemplo: Cociente con Base Negativa (Exponente Final Par)

Resolver: \( \frac{\left(-\frac{3}{4}\right)^5}{\left(-\frac{3}{4}\right)^3} \)

Paso 1: Se conserva la base y se restan los exponentes.

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^{5-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \]

Paso 2: Como la base es negativa y el exponente final (2) es par, el resultado es positivo.

\[ +\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \]

3. Ejercicios de Cociente de Potencias

Resuelve aplicando la propiedad de división de potencias de igual base. Simplifica las expresiones y calcula el resultado.

  1. \( \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
  2. \( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 \)
  3. \( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
  4. \( \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 \)
  5. \( \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 \)
  6. \( \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 \)
  7. \( \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 \)
  8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 \) (con \(x,y \neq 0\))
  9. \( \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
  10. \( \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 \) (con \(m,n \neq 0\))
📐 Propiedad 4: Potencia de una Potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

🤓 Demostración (Potencia de una Potencia):

Siguiendo la misma lógica, esta demostración extiende la propiedad \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\), que conocemos de los enteros, al mundo de las fracciones.

El método consiste en aplicar esta regla al numerador y al denominador, los cuales ya se encontraban elevados a la potencia 'm'.

\[ \underbrace{\left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n}_{\text{Inicial}} = \underbrace{\left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n}_{\text{Potencia Interior}} = \underbrace{\frac{(a^m)^n}{(b^m)^n}}_{\text{Distribuir}} = \underbrace{\frac{a^{m \cdot n}}{b^{m \cdot n}}}_{\text{Aplicar Propiedad}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n}}_{\text{Final}} \]

Ejemplo: Potencia de Potencia (Exponente Final Impar)

Resolver: \( \left( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \right)^3 \)

Paso 1: Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3 \cdot 3} = \left(-\frac{2}{5}\right)^9 \]

Paso 2: La base es negativa y el exponente final (9) es impar, por lo que el resultado es negativo. Dejamos el resultado expresado.

\[ -\left(\frac{2}{5}\right)^9 = -\frac{2^9}{5^9} \]

4. Ejercicios de Potencia de una Potencia

Aplica la propiedad de la potencia de una potencia para simplificar las siguientes expresiones. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

  1. \( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
  2. \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 \)
  3. \( \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 \)
  4. \( \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 \)
  5. \( \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 \)
  6. \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 \)
  7. \( \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 \)
  8. \( \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 \) (con \(x \neq 0\))
  9. \( \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
  10. \( \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 \) (con \(m,n \neq 0\))
📐 Propiedad 5: Exponente Cero

Cualquier fracción (no nula) elevada al exponente cero es siempre igual a 1.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1 \]

⚠️ Condiciones Importantes

Esta regla requiere que la base (\(\frac{a}{b}\)) no sea cero. Esto implica dos condiciones separadas y fundamentales:

  • El denominador 'b' nunca puede ser cero. Esto es una regla fundamental de las fracciones, ya que la división por cero es indefinida.
  • El numerador 'a' tampoco puede ser cero (para esta propiedad). Esto es para evitar la forma \(0^0\), que es una 'indeterminación' en matemáticas y no tiene un valor universalmente aceptado (no es 1).
🤓 Justificación: La regla del exponente cero se puede deducir de la propiedad del cociente de potencias. Si dividimos un número por sí mismo, el resultado es 1. Usando potencias, esto sería: \( \frac{x^n}{x^n} = x^{n-n} = x^0 \). Por lo tanto, se define que \(x^0 = 1\) (para \(x \neq 0\)).

Ejemplo: Exponente Cero con Base Negativa

Resolver: \( \left(-\frac{4}{7}\right)^0 \)

Toda fracción no nula elevada al exponente cero es igual a 1, sin importar si la base es positiva o negativa.

\[ \left(-\frac{4}{7}\right)^0 = 1 \]

5. Ejercicios de Exponente Cero y Combinados

Resuelve las siguientes potencias. En los últimos dos ejercicios, deberás simplificar primero usando otras propiedades que ya conoces.

  1. \( \left(-\frac{2}{3}\right)^0 \)
  2. \( \left(\frac{10}{11}\right)^0 \)
  3. \( \left(\frac{4x}{y}\right)^0 \) (con \(x, y \neq 0\))
  4. \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
  5. \( \frac{\left(-\frac{2}{7}\right)^5}{\left(-\frac{2}{7}\right)^5} \)
📐 Propiedad 6: Exponente Uno

Cualquier fracción elevada al exponente uno es igual a la misma fracción. Es el elemento de identidad de la potenciación.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \]

🤓 Justificación: Por definición, el exponente indica cuántas veces la base se multiplica por sí misma. Un exponente de 1 significa que la base aparece una sola vez, sin multiplicaciones adicionales, por lo que el resultado es la propia base.

Ejemplo: Exponente Uno con Base Negativa

Resolver: \( \left(-\frac{8}{3}\right)^1 \)

Al elevar cualquier fracción a la potencia 1, el resultado no cambia y conserva su signo.

\[ \left(-\frac{8}{3}\right)^1 = -\frac{8}{3} \]

6. Ejercicios de Exponente Uno y Combinados

Resuelve las siguientes potencias. En los últimos ejercicios, deberás simplificar primero usando otras propiedades.

  1. \( \left(\frac{5}{9}\right)^1 \)
  2. \( \left(-\frac{x}{y}\right)^1 \) (con \(x, y \neq 0\))
  3. \( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \div \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
  4. \( \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} \)

Síntesis: Combinando Todas las Propiedades

¡Excelente trabajo hasta ahora! Ya has dominado cada una de las propiedades de las potencias por separado. Sin embargo, en la práctica, los problemas matemáticos a menudo requieren que utilicemos varias de estas reglas en un solo ejercicio para llegar a la solución.

En esta sección final, pondremos a prueba tu comprensión integral del tema. Primero, te mostraremos un par de ejemplos resueltos paso a paso donde se combinan las propiedades, y luego te enfrentarás a una serie de ejercicios de síntesis que mezclan todo lo que hemos aprendido. ¡Vamos a ello!

📐 Tabla Resumen de Propiedades
Propiedad Fórmula
Producto de Potencias \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)
Cociente de Potencias \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \)
Potencia de una Potencia \( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \)
Exponente Cero \( \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \) (para \(a, b \neq 0\))
Exponente Uno \( \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \)

Ejemplo de Síntesis A: Combinando Producto y Cociente

Resolver: \( \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \)

Paso 1: Resolvemos el numerador aplicando la propiedad del producto (sumar exponentes).

\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{5+2}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} = \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^7}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]

Paso 2: Resolvemos la división aplicando la propiedad del cociente (restar exponentes).

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{7-6} = \left(-\frac{2}{3}\right)^1 \]

Paso 3: El resultado final es:

\[ -\frac{2}{3} \]

Ejemplo de Síntesis B: Combinando Múltiples Propiedades

Resolver: \( \left( \frac{(x^4)^2 \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 \)

Paso 1: Resolvemos la "potencia de una potencia" que está en el numerador.

\[ \left( \frac{x^{4 \cdot 2} \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 = \left( \frac{x^8 \cdot y^5}{x^5 \cdot y^2} \right)^3 \]

Paso 2: Simplificamos la fracción interna, aplicando la propiedad del cociente a cada base por separado.

\[ \left( x^{8-5} \cdot y^{5-2} \right)^3 = \left( x^3 y^3 \right)^3 \]

Paso 3: Aplicamos la propiedad de la potencia de una potencia al resultado para obtener la respuesta final.

\[ (x^3)^3 \cdot (y^3)^3 = x^{3 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} = x^9 y^9 \]

Ejercicios de Síntesis: ¡Aplica todo lo que aprendiste!

Resuelve las siguientes expresiones combinando todas las propiedades de las potencias. Simplifica al máximo. No es necesario calcular el valor numérico final si es muy complejo.

  1. \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
  2. \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
  3. \( \frac{\left( \frac{a}{b} \right)^5}{\left( \frac{a}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^3} \)
  4. \( \left( \frac{x^4}{y^2} \right)^2 \)
  5. \( \left( -\frac{3}{5} \right)^7 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \)
  6. \( \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)}{\left( \frac{2}{3} \right)^4} \)
  7. \( \left( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \div \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right)^5 \)
  8. \( \left( \frac{-m}{n} \right)^3 \cdot \left( \frac{-m}{n} \right)^4 \div \left( \frac{-m}{n} \right)^7 \)
  9. \( \frac{a^3 \cdot b^5}{a^2 \cdot b^2} \)
  10. \( \left( \frac{2x^3}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y^2}{x^2} \right)^2 \)
  11. \( \frac{\left( \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \div \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right)^3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} \)
  12. \( \frac{\left( (-2)^3 \right)^2}{(-2)^5} \)
  13. \( \left( \frac{a^2 b^3}{c^4} \right)^2 \cdot \frac{c^9}{a^4 b^5} \)
  14. \( \left( \frac{3^4 \cdot 2^5}{3^2 \cdot 2^3} \right)^2 \)
  15. \( \left( \frac{x^2 \cdot y^3}{x \cdot y^2} \right)^0 \cdot x^2 y \)

10. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Entero (Negativos y Propiedades Distributivas)

Exponente Negativo

Un exponente negativo es una de las ideas que más confusiones causa, pero en realidad su concepto es muy simple: se relaciona directamente con la idea del "inverso multiplicativo".

🤓 ¿Qué es un "Inverso Multiplicativo"?

En simple, el inverso multiplicativo (o recíproco) de un número es aquel que, al multiplicarlo por el número original, da como resultado 1 (el elemento neutro de la multiplicación).

Por ejemplo, para la fracción \( \frac{2}{3} \), su inverso multiplicativo es \( \frac{3}{2} \), porque al multiplicarlos, el resultado es 1:

\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1 \]

En general, el inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es siempre \( \frac{b}{a} \).

📐 Regla del Exponente -1

Elevar una fracción a -1 equivale a encontrar su inverso multiplicativo o recíproco. En la práctica, esto significa simplemente intercambiar (invertir) el numerador y el denominador.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \]

(Válido para \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\))

Ahora que entendemos el concepto, podemos ver su relación con las potencias. En el lenguaje de los exponentes, la instrucción para calcular el inverso multiplicativo de una base es elevarla al exponente -1.

Ejemplo: Exponente -1 (Inverso Multiplicativo)

Resolver: \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} \)

El exponente -1 nos pide el inverso multiplicativo (recíproco) de la base. Simplemente invertimos la fracción, manteniendo su signo.

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{2} \]

💡 Caso Especial: Inverso de un Número Entero

Recuerda que cualquier número entero 'c' se puede escribir como la fracción \( \frac{c}{1} \). Al aplicar la regla del exponente -1, obtenemos su inverso:

\[ c^{-1} = \left(\frac{c}{1}\right)^{-1} = \frac{1}{c} \]

Ejemplo: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Ejercicios de Exponente -1 (Inverso Multiplicativo)

Escribe el inverso multiplicativo (recíproco) de las siguientes expresiones.

  1. \( \left( 4 \right)^{-1} \)
  2. \( \left( -6 \right)^{-1} \)
  3. \( \left( -10 \right)^{-1} \)
  4. \( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \)
  5. \( \left(- \frac{1}{3} \right)^{-1} \)
  6. \( \left( \frac{-1}{7} \right)^{-1} \)
  7. \( \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \)
  8. \( \left( -\frac{2}{3} \right)^{-1} \)
  9. \( \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \)
  10. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-1} \) (con \(x,y \neq 0\))
  11. \( \left( \frac{-2a}{5b} \right)^{-1} \) (con \(a,b \neq 0\))

Generalización para Cualquier Exponente Negativo

📐 Propiedad: Exponente Negativo General

Para resolver una potencia con cualquier exponente negativo (-n), se debe invertir la base y luego elevar el resultado al mismo exponente, pero en positivo No.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

🤓 Demostración:

Podemos demostrar esta propiedad usando dos reglas que ya conocemos: la "Potencia de una Potencia" y la del "Exponente -1".

La clave está en reescribir el exponente \(-n\) como \( (-1) \cdot n \).

\[ \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}_{\text{Expresión inicial}} = \underbrace{\left(\frac{a}{b}\right)^{(-1) \cdot n}}_{\text{Reescribimos el exponente}} = \underbrace{\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\right)^n}_{\text{Aplicamos Potencia de Potencia}} = \underbrace{\left(\frac{b}{a}\right)^n}_{\text{Resolvemos el exponente -1}} \]

Como vemos, elevar a "-n" es simplemente la combinación de dos pasos: invertir la base (por el -1) y luego elevar a la potencia n.

⚠️ Condiciones Importantes

Para que esta propiedad sea válida, tanto 'a' como 'b' deben ser distintos de cero. 'b' no puede ser cero por ser denominador, y 'a' tampoco porque al invertir la fracción, se convertirá en el nuevo denominador.

Ejemplo: Exponente Negativo General

Resolver: \( \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \)

Paso 1: Invertimos la base para cambiar el signo del exponente de negativo a positivo.

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2} \]

Paso 2: Resolvemos la potencia como de costumbre.

\[ \left(\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]

Ejercicios de Exponentes Negativos Generales

Aplica la propiedad del exponente negativo para invertir la base y luego resuelve la potencia resultante.

  1. \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \)
  2. \( \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \)
  3. \( \left( \frac{5}{2} \right)^{-4} \)
  4. \( \left( -\frac{3}{4} \right)^{-3} \)
  5. \( \left( -\frac{2}{5} \right)^{-2} \)
  6. \( \left( -\frac{1}{3} \right)^{-5} \)
  7. \( \left( -\frac{4}{3} \right)^{-4} \)
  8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-2} \) (con \(x,y \neq 0\))
  9. \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{-3} \) (con \(a \neq 0\))
  10. \( \left( \frac{m}{-n} \right)^{-4} \) (con \(m,n \neq 0\))

Propiedades Distributivas de la Potenciación

La potenciación también se puede "distribuir" cuando la base es una multiplicación o una división. Esto nos permite separar operaciones complejas en partes más sencillas.

Propiedad 7: Potencia de un Producto

📐 Regla de Potencia de un Producto

La potencia de una multiplicación de fracciones es igual a la multiplicación de cada fracción elevada a esa potencia.

\[ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

🤓 Demostración:

Esta propiedad se extiende de la regla para enteros \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\). La aplicamos a los numeradores y denominadores.

\[ \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^n = \frac{(a \cdot c)^n}{(b \cdot d)^n} = \frac{a^n \cdot c^n}{b^n \cdot d^n} = \frac{a^n}{b^n} \cdot \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Ejemplo: Producto con Factor Negativo

Resolver: \( \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^3 \)

Opción 1 (Distribuir primero): Distribuimos el exponente a cada factor. Como el primer factor es negativo y el exponente (3) es impar, su resultado es negativo.

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1^3}{2^3}\right) \cdot \left(\frac{4^3}{3^3}\right) = \left(-\frac{1}{8}\right) \cdot \left(\frac{64}{27}\right) = -\frac{64}{216} = -\frac{8}{27} \]

Opción 2 (Resolver primero el paréntesis): Esta suele ser la vía más rápida.

\[ \left(-\frac{4}{6}\right)^3 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27} \]

Ejercicios de Potencia de un Producto

Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el producto. Simplifica la base primero si es conveniente.

  1. \( \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \right)^2 \)
  2. \( \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right)^3 \)
  3. \( \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \right)^4 \)
  4. \( \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \right)^2 \)
  5. \( \left( -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \right)^3 \)
  6. \( \left( -\frac{2}{7} \cdot \frac{-1}{2} \right)^2 \)
  7. \( \left( \frac{-4}{3} \cdot \frac{3}{-2} \right)^3 \)
  8. \( \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{b} \right)^2 \) (con \(b \neq 0\))
  9. \( \left( \frac{2x}{-3} \cdot \frac{1}{y} \right)^3 \) (con \(y \neq 0\))
  10. \( \left( \frac{m}{n} \cdot \frac{-p}{2} \right)^4 \) (con \(n \neq 0\))

Propiedad 8: Potencia de un Cociente

📐 Regla de Potencia de un Cociente

La potencia de una división de fracciones es igual a la división de cada fracción elevada a esa potencia.

\[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

🤓 Demostración:

La demostración combina la regla de la división de fracciones (invertir y multiplicar) con la propiedad de la "Potencia de un Producto" que vimos anteriormente.

\[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^n = \frac{(a \cdot d)^n}{(b \cdot c)^n} = \frac{a^n \cdot d^n}{b^n \cdot c^n} = \frac{a^n}{b^n} \div \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Ejemplo: Cociente con Factor Negativo y Exponente Impar

Resolver: \( \left(\frac{3}{4} \div -\frac{3}{2}\right)^3 \)

Opción 1 (Resolver primero el paréntesis): Generalmente es la vía más simple.

\[ \left(\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{3}\right)^3 = \left(-\frac{6}{12}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \]

Como la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo:

\[ -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} \]

Opción 2 (Distribuir primero):

\[ \left(\frac{3}{4}\right)^3 \div \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = \left(\frac{27}{64}\right) \div \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{27}{64} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{\cancel{27} \cdot 8}{64 \cdot \cancel{27}} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8} \]

Ejercicios de Potencia de un Cociente

Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el cociente. Se recomienda simplificar primero la división dentro del paréntesis.

  1. \( \left( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} \right)^3 \)
  2. \( \left( \frac{5}{4} \div \frac{3}{2} \right)^2 \)
  3. \( \left( \frac{1}{5} \div \frac{2}{5} \right)^4 \)
  4. \( \left( -\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \right)^2 \)
  5. \( \left( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{-2} \right)^3 \)
  6. \( \left( -\frac{4}{3} \div \frac{-2}{5} \right)^2 \)
  7. \( \left( \frac{1}{6} \div \frac{-5}{12} \right)^3 \)
  8. \( \left( \frac{x}{3} \div \frac{2}{y} \right)^2 \) (con \(y \neq 0\))
  9. \( \left( \frac{4a}{b} \div \frac{2c}{3} \right)^3 \) (con \(b,c \neq 0\))
  10. \( \left( \frac{-m}{2n} \div \frac{p}{-3q} \right)^2 \) (con \(n,p,q \neq 0\))

Síntesis: Combinando Todas las Propiedades

Ahora que hemos añadido los exponentes negativos y las propiedades distributivas a nuestro repertorio, estamos listos para resolver problemas más complejos que combinan todo lo que hemos visto.

Ejemplo de Síntesis A (Bases Recíprocas)

Resolver: \( \left( \frac{3}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)

Paso 1: Notamos que las bases son inversos multiplicativos. Reescribimos \( \frac{3}{2} \) como \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \) para tener la misma base.

\[ \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \]

Paso 2: Aplicamos la regla de "potencia de una potencia" (multiplicar exponentes).

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 \]

Paso 3: Aplicamos la regla del producto (sumar exponentes).

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+4} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Ejemplo de Síntesis B

Resolver: \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right)^2 \)

Opción 1: Resolvemos el paréntesis primero.

\[ \left( 5 \right)^2 = 25 \]

Opción 2: Aplicamos la regla de potencia de potencia (multiplicar exponentes).

\[ \left( \frac{1}{5} \right)^{-1 \cdot 2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-2} = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = 25 \]

Ejemplo de Síntesis C (Agrupación por Exponente)

Resolver: \( \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \)

Paso 1: Como todas las potencias tienen el mismo exponente (3), podemos agrupar las bases usando las propiedades distributivas en sentido inverso.

\[ \left( \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = \left( \frac{\frac{4}{10}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 \]

Paso 2: Simplificamos la fracción interna. Como el numerador y el denominador son iguales, la división es 1.

\[ \left( 1 \right)^3 = 1 \]

Ejemplo de Síntesis D (Agrupación por Bases)

Resolver: \( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2} \)

Paso 1: Agrupamos las potencias que tienen la misma base y aplicamos la propiedad del cociente (restar exponentes) a cada grupo.

\[ \left( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} \right) \cdot \left( \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2-2} \]

Paso 2: Resolvemos cada potencia.

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 = \frac{4}{9} \cdot 1 = \frac{4}{9} \]

Ejercicios de Síntesis

Simplifica al máximo las siguientes expresiones. Los primeros 9 ejercicios se centran en las propiedades de esta lección; los últimos 6 combinan todo lo aprendido.

  1. \( \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} \)
  2. \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} \)
  3. \( \left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)^{-2} \)
  4. \( \left( \frac{6}{5} \div \frac{3}{5} \right)^{3} \)
  5. \( \left( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \right)^{-2} \)
  6. \( \left( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \right)^{-1} \)
  7. \( \left( \frac{2x}{y} \cdot \frac{y}{x} \right)^{-5} \)
  8. \( \left( \frac{-a}{b} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^{-2} \)
  9. \( \left( \frac{x^2}{y} \right)^{-3} \)
  10. \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{-2} \)
  11. \( \left( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \right)^{-1} \)
  12. \( \frac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^3} \) (con \(a \neq 0\))
  13. \( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2} \)
  14. \( \left( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \div \left(\frac{1}{2}\right)^5 \right)^{-1} \)
  15. \( \left( \left( \frac{x}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y}{x} \right) \right)^{-3} \)

11. Ejercitación con Potencias: Aplicaciones

En esta página, aplicaremos las propiedades de las potencias que hemos aprendido para resolver dos tipos de problemas más avanzados: encontrar términos desconocidos en ecuaciones y resolver problemas de la vida real.

1. Ecuaciones con Potencias

Una forma de evaluar nuestra comprensión de las propiedades es usarlas para resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente.

Ejemplo: Determinando un término desconocido

Encuentra el valor de \(x\) en la siguiente ecuación:

\[ \left( \frac{3}{5} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]

Paso 1: Aplicamos la propiedad del producto para combinar el lado izquierdo de la ecuación.

\[ \left( \frac{3}{5} \right)^{4+x} = \left( \frac{3}{5} \right)^7 \]

Paso 2: Como las bases a ambos lados de la igualdad son idénticas, podemos igualar los exponentes.

\[ 4 + x = 7 \]

Paso 3: Resolvemos la ecuación lineal para \(x\).

\[ x = 7 - 4 \Rightarrow x = 3 \]

Ejercicios: Determinando términos desconocidos

  1. Encuentra \(x\) si: \( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 \)
  2. Encuentra \(y\) si: \( \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
  3. Encuentra \(z\) si: \( \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 \)
  4. Encuentra \(n\) si: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \)
  5. Encuentra \(m\) si: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 \) (con \(a,b \neq 0\))

2. Problemas de Aplicación en Contexto

Las potencias son una herramienta muy útil para modelar situaciones del mundo real, como cálculos de áreas, volúmenes, crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo: Problema de aplicación de área

Un terreno rectangular mide \( \left(\frac{5}{2}\right)^3 \) metros de largo y \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 \) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?

Paso 1: Recordamos que el área de un rectángulo se calcula como \( \text{largo} \cdot \text{ancho} \).

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]

Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base.

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^5 \]

Respuesta: El área del terreno es \( \left(\frac{5}{2}\right)^5 \) metros cuadrados (o \( \frac{5^5}{2^5} \) m²).

Ejercicios: Problemas de aplicación

  1. Un campo rectangular tiene un área de \( \left( \frac{3}{4} \right)^5 \) kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es \( \left( \frac{3}{4} \right)^2 \) kilómetros, ¿cuál es su longitud?
  2. Una receta para un pastel requiere \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \) tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad de la receta, ¿cuánta azúcar necesitas?
  3. Una botella contiene \( \left( \frac{4}{5} \right)^3 \) litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de \( \left( \frac{4}{5} \right) \) litros de capacidad, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
  4. El lado de una caja cúbica mide \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 \) centímetros. ¿Cuál es el volumen de la caja? (Recuerda: Volumen = lado³).
  5. Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas habrá después de \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \) horas?
  6. Un equipo tecnológico cuesta $512.000. Si su valor disminuye a la mitad cada año, ¿cuál será su valor después de 3 años?
  7. Un trozo de tela mide \( \left(\frac{9}{2}\right)^4 \) centímetros de largo. Si se corta en 3 trozos iguales, ¿cuánto mide cada trozo?
  8. Una piscina cúbica se llena a una velocidad de \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} \) litros por hora. ¿Cuántos litros de agua tendrá la piscina después de 2 horas?