1. Números Racionales

$ \mathbb{Q} $

Números racionales

¿Te has preguntado cómo representar partes de un objeto, repartos exactos o números ubicados entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página descubrirás qué son, sus características y cómo se representan.

Definición

Definición formal

Un número racional es todo aquel que puede escribirse como una fracción $ \frac{a}{b} $, donde $a$ y $b$ son números enteros y $b \neq 0$.

Simbólicamente, si $ \mathbb{Q} $ es el conjunto de los números racionales y $ \mathbb{Z} $ el de los números enteros:

$ x \in \mathbb{Q} \iff \exists\, a,b \in \mathbb{Z},\, b\neq 0 \text{ tal que } x = \frac{a}{b} $.

¿Sabías que…?

Todo número entero $n$ también es racional, porque se puede escribir como $ \frac{n}{1} $.

Por ejemplo:

\[ 5=\frac{5}{1} \qquad 0=\frac{0}{1} \qquad -3=\frac{-3}{1} \]

Fracciones como partes de una unidad

Una fracción racional puede representar una parte de una unidad. Por ejemplo, $ \frac{1}{2} $ representa una de dos partes iguales, y $ \frac{3}{4} $ representa tres de cuatro partes iguales.

Representación en la recta numérica

Ubicación en la recta

Los números racionales se pueden ubicar en la recta numérica: incluyen positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, $ \frac{1}{2} $ está exactamente a mitad de camino entre $0$ y $1$.

Representación decimal

Decimales de los racionales

Cada número racional puede escribirse como un decimal. Ese decimal puede ser:

Finito: termina. Ejemplo: $ \frac{1}{4}=0{,}25 $.
Periódico puro: desde el primer decimal repite un dígito o grupo. Ejemplos: $0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$, $0{,}252525\ldots = 0{,}\overline{25}$.
Periódico mixto o semiperiódico: primero aparece una parte que no se repite y luego comienza el período. Ejemplos: $0{,}12\overline{3}$, $-1{,}2\overline{45}$.

Más adelante aprenderemos a convertir estos decimales periódicos, puros y mixtos, en fracciones $ \frac{a}{b} $.

Advertencia

No todo número escrito en forma decimal es racional. Para que un decimal sea racional debe ser finito o periódico. Si no termina ni repite un patrón, es irracional.

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$, sin patrón periódico.
$\pi = 3{,}1415926535\ldots$, sin patrón periódico.
$e = 2{,}718281828\ldots$, sin patrón periódico.
$0{,}101001000100001\ldots$, donde los ceros entre unos van aumentando; no hay período.
Constante de Champernowne: $0{,}12345678910111213\ldots$, sin período.

No confundas

Un número racional no tiene que estar escrito necesariamente como fracción. También puede aparecer como entero, decimal finito o decimal periódico.

Ejemplos de números racionales

$ \frac{1}{2} $
$ -\frac{3}{4} $
$ 5 $, porque se puede expresar como $ \frac{5}{1} $.
$ 0 $, porque se puede expresar como $ \frac{0}{1} $.
$ 0{,}75 $, porque se puede expresar como $ \frac{3}{4} $.
$ -2{,}333\ldots $, porque es un decimal periódico y puede escribirse como fracción.

Clasificación rápida

Observa los siguientes números:

$ -4,\quad \frac{2}{5},\quad 0{,}8,\quad 0{,}\overline{6},\quad \sqrt{5} $

Los números $ -4 $, $ \frac{2}{5} $, $0{,}8$ y $0{,}\overline{6}$ son racionales. En cambio, $ \sqrt{5} $ es irracional, porque no puede escribirse como fracción de números enteros.

$ \frac{2}{5}=0{,}4,\quad \frac{4}{5}=0{,}8,\quad \frac{2}{3}=0{,}\overline{6} $

Densidad de los números racionales

Densidad de $ \mathbb{Q} $

Densidad: entre dos racionales distintos siempre podemos encontrar otro racional. De hecho, podemos encontrar infinitos racionales entre ellos. Esto significa que no hay “saltos” entre números racionales.

Pero no totalidad: aun así, los racionales no “llenan” toda la recta numérica, porque existen irracionales como $ \pi $ o $ \sqrt{2} $, que no pueden expresarse como $ \frac{a}{b} $.

Demostración intuitiva de la densidad

Sean $a,b \in \mathbb{Q}$, con $a < b$. El promedio

$ c = \frac{a+b}{2} $

también es racional y cumple:

$ a < c < b $

Repitiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales entre $a$ y $b$.

Ejemplo numérico de densidad

Consideremos $ a = \frac{1}{4} $ y $ b = \frac{1}{2} $. Busquemos un racional entre ellos.

\[ c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \]

Efectivamente, $ \frac{3}{8} $ está entre $ \frac{1}{4} $ y $ \frac{1}{2} $, porque:

$0{,}25 < 0{,}375 < 0{,}5$

Ejercicios

Identificando números racionales

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Cuando sea posible con lo aprendido hasta ahora, exprésalos en la forma $ \frac{a}{b} $. En los decimales periódicos, por ahora basta con reconocer que son racionales.

$ 2{,}5 $
$ \sqrt{9} $
$ \frac{-2}{7} $
$ 0{,}121212\ldots $
$ \pi $
$ 0{,}3333\ldots $
$ 0{,}252525\ldots $
$ -3 $

Clasificación de representaciones

Clasifica cada número como racional o irracional. Justifica brevemente tu respuesta.

$ -\frac{11}{5} $
$ 0{,}04 $
$ \sqrt{16} $
$ \sqrt{3} $
$ -7{,}\overline{2} $

Densidad de los racionales

Encuentra un número racional entre $ \frac{2}{3} $ y $ \frac{4}{3} $, usando el promedio entre ambos.

2. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo en la vida real

Si una receta pide $ \frac{1}{2} $ taza de harina y solo tienes una cuchara medidora de $ \frac{1}{4} $ de taza, puedes usarla dos veces. Estarás usando $ \frac{2}{4} $ de taza, que es exactamente la misma cantidad que $ \frac{1}{2} $ taza.

Idea clave

Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8} \]

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificar y simplificar son procedimientos que permiten obtener fracciones equivalentes. Es decir, cambian la forma de escribir la fracción, pero no su valor.

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero.

\[ \frac{a}{b}\sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \qquad \text{con } b\neq 0,\; k\in\mathbb{Z},\; k\neq 0 \]

El símbolo $ \sim $ indica que las fracciones son equivalentes.

Procedimiento para amplificar

Elige un número entero $k\neq 0$.
Multiplica el numerador por $k$.
Multiplica el denominador por $k$.
Escribe la nueva fracción equivalente.

Ejemplo 1: amplificar $ \frac{2}{5} $ por 2

\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac{4}{10} \]

Por lo tanto, $ \frac{2}{5} $ y $ \frac{4}{10} $ son fracciones equivalentes.

Ejemplo 2: amplificar $ \frac{-1}{4} $ por $-3$

\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} \frac{(-1)\cdot(-3)}{4\cdot(-3)} = \frac{3}{-12} \]

Como se multiplicó el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, la fracción obtenida es equivalente a la original.

\[ \frac{-1}{4}\sim \frac{3}{-12} \]

Amplificación: multiplica por el número indicado

Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el número indicado.

$ \frac{2}{7} $, amplificar por $4$.
$ \frac{-3}{5} $, amplificar por $6$.
$ \frac{9}{11} $, amplificar por $-3$.
$ \frac{5}{8} $, amplificar por $10$.
$ \frac{14}{25} $, amplificar por $2$.
$ \frac{2a}{5b} $, amplificar por $3$, con $b\neq 0$.
$ \frac{a-1}{2b} $, amplificar por $-2$, con $b\neq 0$.
$ \frac{m}{n} $, amplificar por $x$, con $m,n,x\neq 0$.

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Simplificar una fracción consiste en escribirla como una fracción equivalente más sencilla. Para ello se dividen el numerador y el denominador por un mismo factor común distinto de cero.

Cuando ya no quedan factores comunes entre el numerador y el denominador, se obtiene una fracción irreducible.

Procedimiento para simplificar usando factorización

Factoriza el numerador y el denominador.
Identifica los factores comunes.
Cancela los factores comunes que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.
Multiplica los factores restantes.

Ejemplo 1: simplificar $ \frac{25}{40} $

Factorizamos:

\[ 25=5\cdot5 \qquad 40=5\cdot8 \]

Luego cancelamos el factor común $5$:

\[ \frac{25}{40} = \frac{\cancel{5}\cdot5}{\cancel{5}\cdot8} = \frac{5}{8} \]

La fracción $ \frac{5}{8} $ es la forma irreducible de $ \frac{25}{40} $.

Ejemplo 2: simplificar $ \frac{42}{54} $

El máximo común divisor de 42 y 54 es 6, por lo tanto:

\[ 42=6\cdot7 \qquad 54=6\cdot9 \]

Entonces:

\[ \frac{42}{54} = \frac{\cancel{6}\cdot7}{\cancel{6}\cdot9} = \frac{7}{9} \]

La fracción $ \frac{7}{9} $ es equivalente a $ \frac{42}{54} $ y es irreducible.

Ejemplo 3: simplificar $ \frac{18}{24} $ usando factorización

Factorizamos el numerador y el denominador:

\[ 18=2\cdot3\cdot3 \qquad 24=2\cdot2\cdot2\cdot3 \]

Cancelamos los factores comunes $2$ y $3$:

\[ \frac{18}{24} = \frac{\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdot3}{\cancel{2}\cdot2\cdot2\cdot\cancel{3}} = \frac{3}{2\cdot2} = \frac{3}{4} \]

Por lo tanto, $ \frac{18}{24}=\frac{3}{4} $.

Ojo con el álgebra

En expresiones algebraicas solo se pueden cancelar factores que estén multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.

No se pueden cancelar términos que estén sumando o restando de forma aislada.

Además, las condiciones como $x\neq 0$ son importantes, porque evitan divisiones por cero.

Simplificar a la mínima expresión

Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.

$ \frac{30}{45} $
$ \frac{56}{72} $
$ \frac{120}{180} $
$ \frac{-15}{25} $
$ \frac{42}{-49} $
$ \frac{-28}{-63} $
$ \frac{2a}{4a} $, con $a \neq 0$.
$ \frac{6x^2}{9x} $, con $x \neq 0$.
$ \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} $, con $y \neq -2$.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes: simplificar a la forma irreducible o usar productos cruzados.

Método 1: simplificación a la forma irreducible

Estrategia clave: simplificar

Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Verificando con simplificación

Para verificar si $ \frac{6}{8} $ y $ \frac{9}{12} $ son equivalentes, simplificamos ambas:

\[ \frac{6}{8} = \frac{\cancel{2}\cdot3}{\cancel{2}\cdot4} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{9}{12} = \frac{\cancel{3}\cdot3}{\cancel{3}\cdot4} = \frac{3}{4} \]

Como ambas se simplifican a $ \frac{3}{4} $, son equivalentes.

¿Son equivalentes? Verificación por simplificación

Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.

$ \frac{15}{35} $ y $ \frac{9}{21} $
$ \frac{18}{24} $ y $ \frac{27}{36} $
$ \frac{-12}{20} $ y $ \frac{3}{-5} $
$ \frac{8}{15} $ y $ \frac{12}{25} $
$ \frac{49}{63} $ y $ \frac{7}{9} $

Método 2: productos cruzados

Fórmula de productos cruzados

Dadas dos fracciones $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, son equivalentes si y solo si sus productos cruzados son iguales.

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c \]

Verificando con productos cruzados

Para verificar si $ \frac{2}{3} $ y $ \frac{4}{6} $ son equivalentes, multiplicamos en cruz:

\[ 2\cdot6=12 \]

\[ 3\cdot4=12 \]

Como los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes.

¿Son equivalentes? Usando productos cruzados

Determina si cada par de fracciones es equivalente usando productos cruzados.

$ \frac{1}{3} $ y $ \frac{4}{12} $
$ \frac{2}{5} $ y $ \frac{6}{10} $
$ \frac{4}{7} $ y $ \frac{16}{28} $
$ \frac{5}{9} $ y $ \frac{25}{45} $
$ \frac{-3}{4} $ y $ \frac{6}{-8} $
$ \frac{7}{2} $ y $ \frac{21}{6} $

¿Por qué funcionan los productos cruzados?

Al comparar $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, podemos escribir ambas fracciones con denominador común $b\cdot d$:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a\cdot d}{b\cdot d} \qquad \frac{c}{d} = \frac{b\cdot c}{b\cdot d} \]

Como ambas quedan con el mismo denominador, basta comparar los numeradores. Por eso, las fracciones son equivalentes cuando:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]

3. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo en la vida real

Si una receta pide $ \frac{1}{2} $ taza de harina y solo tienes una cuchara medidora de $ \frac{1}{4} $ de taza, puedes usarla dos veces. Estarás usando $ \frac{2}{4} $ de taza, que es exactamente la misma cantidad que $ \frac{1}{2} $ taza.

Idea clave

Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8} \]

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificar y simplificar son procedimientos que permiten obtener fracciones equivalentes. Es decir, cambian la forma de escribir la fracción, pero no su valor.

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero.

\[ \frac{a}{b}\sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \qquad \text{con } b\neq 0,\; k\in\mathbb{Z},\; k\neq 0 \]

El símbolo $ \sim $ indica que las fracciones son equivalentes.

Procedimiento para amplificar

Elige un número entero $k\neq 0$.
Multiplica el numerador por $k$.
Multiplica el denominador por $k$.
Escribe la nueva fracción equivalente.

Ejemplo 1: amplificar $ \frac{2}{5} $ por 2

\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac{4}{10} \]

Por lo tanto, $ \frac{2}{5} $ y $ \frac{4}{10} $ son fracciones equivalentes.

$ -\frac{1}{4}=\frac{-3}{12}=\frac{3}{-12} $

Ejemplo 2: amplificar $ \frac{-1}{4} $ por $-3$

\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} \frac{(-1)\cdot(-3)}{4\cdot(-3)} = \frac{3}{-12} \]

Como se multiplicó el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, la fracción obtenida es equivalente a la original.

$ -\frac{1}{4}=\frac{3}{-12} $

Amplificación: multiplica por el número indicado

Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el número indicado.

$ \frac{2}{7} $, amplificar por $4$.
$ \frac{-3}{5} $, amplificar por $6$.
$ \frac{9}{11} $, amplificar por $-3$.
$ \frac{5}{8} $, amplificar por $10$.
$ \frac{14}{25} $, amplificar por $2$.
$ \frac{2a}{5b} $, amplificar por $3$, con $b\neq 0$.
$ \frac{a-1}{2b} $, amplificar por $-2$, con $b\neq 0$.
$ \frac{m}{n} $, amplificar por $x$, con $m,n,x\neq 0$.

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Simplificar una fracción consiste en escribirla como una fracción equivalente más sencilla. Para ello se dividen el numerador y el denominador por un mismo factor común distinto de cero.

Cuando ya no quedan factores comunes entre el numerador y el denominador, se obtiene una fracción irreducible.

Procedimiento para simplificar usando factorización

Factoriza el numerador y el denominador.
Identifica los factores comunes.
Cancela los factores comunes que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.
Multiplica los factores restantes.

Ejemplo 1: simplificar $ \frac{25}{40} $

Factorizamos:

\[ 25=5\cdot5 \qquad 40=5\cdot8 \]

Luego dividimos numerador y denominador por el factor común $5$:

\[ \frac{25}{40} = \frac{25\div 5}{40\div 5} = \frac{5}{8} \]

La fracción $ \frac{5}{8} $ es la forma irreducible de $ \frac{25}{40} $.

Ejemplo 2: simplificar $ \frac{42}{54} $

El máximo común divisor de 42 y 54 es 6, por lo tanto:

\[ 42=6\cdot7 \qquad 54=6\cdot9 \]

Entonces:

\[ \frac{42}{54} = \frac{42\div 6}{54\div 6} = \frac{7}{9} \]

La fracción $ \frac{7}{9} $ es equivalente a $ \frac{42}{54} $ y es irreducible.

Ejemplo 3: simplificar $ \frac{18}{24} $ usando factorización

Factorizamos el numerador y el denominador:

\[ 18=2\cdot3\cdot3 \qquad 24=2\cdot2\cdot2\cdot3 \]

Cancelamos los factores comunes $2$ y $3$, lo que equivale a dividir numerador y denominador por $6$:

\[ \frac{18}{24}=\frac{18\div 6}{24\div 6}=\frac{3}{4} \]

Por lo tanto, $ \frac{18}{24}=\frac{3}{4} $.

Ojo con el álgebra

En expresiones algebraicas solo se pueden cancelar factores que estén multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.

No se pueden cancelar términos que estén sumando o restando de forma aislada.

Además, las condiciones como $x\neq 0$ son importantes, porque evitan divisiones por cero.

Simplificar a la mínima expresión

Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.

$ \frac{30}{45} $
$ \frac{56}{72} $
$ \frac{120}{180} $
$ \frac{-15}{25} $
$ \frac{42}{-49} $
$ \frac{-28}{-63} $
$ \frac{2a}{4a} $, con $a \neq 0$.
$ \frac{6x^2}{9x} $, con $x \neq 0$.
$ \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} $, con $y \neq -2$.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes: simplificar a la forma irreducible o usar productos cruzados.

Método 1: simplificación a la forma irreducible

Estrategia clave: simplificar

Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Verificando con simplificación

Para verificar si $ \frac{6}{8} $ y $ \frac{9}{12} $ son equivalentes, simplificamos ambas:

\[ \frac{6}{8} = \frac{6\div2}{8\div2} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{9}{12} = \frac{9\div3}{12\div3} = \frac{3}{4} \]

Como ambas se simplifican a $ \frac{3}{4} $, son equivalentes.

¿Son equivalentes? Verificación por simplificación

Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.

$ \frac{15}{35} $ y $ \frac{9}{21} $
$ \frac{18}{24} $ y $ \frac{27}{36} $
$ \frac{-12}{20} $ y $ \frac{3}{-5} $
$ \frac{8}{15} $ y $ \frac{12}{25} $
$ \frac{49}{63} $ y $ \frac{7}{9} $

Método 2: productos cruzados

Fórmula de productos cruzados

Dadas dos fracciones $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, son equivalentes si y solo si sus productos cruzados son iguales.

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c \]

Verificando con productos cruzados

Para verificar si $ \frac{2}{3} $ y $ \frac{4}{6} $ son equivalentes, multiplicamos en cruz:

\[ 2\cdot6=12 \]

\[ 3\cdot4=12 \]

Como los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes.

¿Son equivalentes? Usando productos cruzados

Determina si cada par de fracciones es equivalente usando productos cruzados.

$ \frac{1}{3} $ y $ \frac{4}{12} $
$ \frac{2}{5} $ y $ \frac{6}{10} $
$ \frac{4}{7} $ y $ \frac{16}{28} $
$ \frac{5}{9} $ y $ \frac{25}{45} $
$ \frac{-3}{4} $ y $ \frac{6}{-8} $
$ \frac{7}{2} $ y $ \frac{21}{6} $

¿Por qué funcionan los productos cruzados?

Al comparar $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, podemos escribir ambas fracciones con denominador común $b\cdot d$:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a\cdot d}{b\cdot d} \qquad \frac{c}{d} = \frac{b\cdot c}{b\cdot d} \]

Como ambas quedan con el mismo denominador, basta comparar los numeradores. Por eso, las fracciones son equivalentes cuando:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]

4. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo en la vida real

Si una receta pide $ \frac{1}{2} $ taza de harina y solo tienes una cuchara medidora de $ \frac{1}{4} $ de taza, puedes usarla dos veces. Estarás usando $ \frac{2}{4} $ de taza, que es exactamente la misma cantidad que $ \frac{1}{2} $ taza.

Idea clave

Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8} \]

Representación visual de fracciones equivalentes

Las siguientes fracciones tienen distinta escritura, pero representan la misma parte de un entero.

En la recta numérica, todas se ubican en el mismo punto: $ \frac{1}{2} $.

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificar y simplificar son procedimientos que permiten obtener fracciones equivalentes. Es decir, cambian la forma de escribir la fracción, pero no su valor.

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero.

\[ \frac{a}{b}\sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \qquad \text{con } b\neq 0,\; k\in\mathbb{Z},\; k\neq 0 \]

El símbolo $ \sim $ indica que las fracciones son equivalentes.

Procedimiento para amplificar

Elige un número entero $k\neq 0$.
Multiplica el numerador por $k$.
Multiplica el denominador por $k$.
Escribe la nueva fracción equivalente.

Ejemplo 1: amplificar $ \frac{2}{5} $ por 2

\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{4}{10} \]

Por lo tanto, $ \frac{2}{5} $ y $ \frac{4}{10} $ son fracciones equivalentes.

Ejemplo 2: amplificar $ \frac{-1}{4} $ por $-3$

\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} \frac{(-1)\cdot(-3)}{4\cdot(-3)}=\frac{3}{-12} \]

Como se multiplicó el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, la fracción obtenida es equivalente a la original.

\[ \frac{-1}{4}\sim \frac{3}{-12} \]

Amplificación: multiplica por el número indicado

Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el número indicado.

$ \frac{2}{7} $, amplificar por $4$.
$ \frac{-3}{5} $, amplificar por $6$.
$ \frac{9}{11} $, amplificar por $-3$.
$ \frac{5}{8} $, amplificar por $10$.
$ \frac{14}{25} $, amplificar por $2$.
$ \frac{2a}{5b} $, amplificar por $3$, con $b\neq 0$.
$ \frac{a-1}{2b} $, amplificar por $-2$, con $b\neq 0$.
$ \frac{m}{n} $, amplificar por $x$, con $m,n,x\neq 0$.

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Simplificar una fracción consiste en escribirla como una fracción equivalente más sencilla. Para ello se dividen el numerador y el denominador por un mismo factor común distinto de cero.

Cuando ya no quedan factores comunes entre el numerador y el denominador, se obtiene una fracción irreducible.

Procedimiento para simplificar usando factorización

Factoriza el numerador y el denominador.
Identifica los factores comunes.
Cancela los factores comunes que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.
Multiplica los factores restantes.

Ejemplo 1: simplificar $ \frac{25}{40} $

Factorizamos:

\[ 25=5\cdot5 \qquad 40=5\cdot8 \]

Luego cancelamos el factor común $5$:

\[ \frac{25}{40} =\frac{\cancel{5}\cdot5}{\cancel{5}\cdot8} =\frac{5}{8} \]

La fracción $ \frac{5}{8} $ es la forma irreducible de $ \frac{25}{40} $.

Ejemplo 2: simplificar $ \frac{42}{54} $

El máximo común divisor de 42 y 54 es 6, por lo tanto:

\[ 42=6\cdot7 \qquad 54=6\cdot9 \]

Entonces:

\[ \frac{42}{54} =\frac{\cancel{6}\cdot7}{\cancel{6}\cdot9} =\frac{7}{9} \]

La fracción $ \frac{7}{9} $ es equivalente a $ \frac{42}{54} $ y es irreducible.

Ejemplo 3: simplificar $ \frac{18}{24} $ usando factorización

Factorizamos el numerador y el denominador:

\[ 18=2\cdot3\cdot3 \qquad 24=2\cdot2\cdot2\cdot3 \]

Cancelamos los factores comunes $2$ y $3$:

\[ \frac{18}{24} = \frac{\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdot3} {\cancel{2}\cdot2\cdot2\cdot\cancel{3}} =\frac{3}{2\cdot2}=\frac{3}{4} \]

Por lo tanto, $ \frac{18}{24}=\frac{3}{4} $.

Ojo con el álgebra

En expresiones algebraicas solo se pueden cancelar factores que estén multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.

No se pueden cancelar términos que estén sumando o restando de forma aislada.

Además, las condiciones como $x\neq 0$ son importantes, porque evitan divisiones por cero.

Simplificar a la mínima expresión

Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.

$ \frac{30}{45} $
$ \frac{56}{72} $
$ \frac{120}{180} $
$ \frac{-15}{25} $
$ \frac{42}{-49} $
$ \frac{-28}{-63} $
$ \frac{2a}{4a} $, con $a \neq 0$.
$ \frac{6x^2}{9x} $, con $x \neq 0$.
$ \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} $, con $y \neq -2$.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes: simplificar a la forma irreducible o usar productos cruzados.

Método 1: simplificación a la forma irreducible

Estrategia clave: simplificar

Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Verificando con simplificación

Para verificar si $ \frac{6}{8} $ y $ \frac{9}{12} $ son equivalentes, simplificamos ambas:

\[ \frac{6}{8} = \frac{\cancel{2}\cdot3}{\cancel{2}\cdot4} =\frac{3}{4} \]

\[ \frac{9}{12} = \frac{\cancel{3}\cdot3}{\cancel{3}\cdot4} =\frac{3}{4} \]

Como ambas se simplifican a $ \frac{3}{4} $, son equivalentes.

¿Son equivalentes? Verificación por simplificación

Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.

$ \frac{15}{35} $ y $ \frac{9}{21} $
$ \frac{18}{24} $ y $ \frac{27}{36} $
$ \frac{-12}{20} $ y $ \frac{3}{-5} $
$ \frac{8}{15} $ y $ \frac{12}{25} $
$ \frac{49}{63} $ y $ \frac{7}{9} $

Método 2: productos cruzados

Fórmula de productos cruzados

Dadas dos fracciones $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, son equivalentes si y solo si sus productos cruzados son iguales.

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c \]

Verificando con productos cruzados

Para verificar si $ \frac{2}{3} $ y $ \frac{4}{6} $ son equivalentes, multiplicamos en cruz:

\[ 2\cdot6=12 \]

\[ 3\cdot4=12 \]

Como los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes.

¿Son equivalentes? Usando productos cruzados

Determina si cada par de fracciones es equivalente usando productos cruzados.

$ \frac{1}{3} $ y $ \frac{4}{12} $
$ \frac{2}{5} $ y $ \frac{6}{10} $
$ \frac{4}{7} $ y $ \frac{16}{28} $
$ \frac{5}{9} $ y $ \frac{25}{45} $
$ \frac{-3}{4} $ y $ \frac{6}{-8} $
$ \frac{7}{2} $ y $ \frac{21}{6} $

¿Por qué funcionan los productos cruzados?

Al comparar $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\neq 0$ y $d\neq 0$, podemos escribir ambas fracciones con denominador común $b\cdot d$:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d} \qquad \frac{c}{d}=\frac{b\cdot c}{b\cdot d} \]

Como ambas quedan con el mismo denominador, basta comparar los numeradores. Por eso, las fracciones son equivalentes cuando:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]

5. Conversión entre Enteros, Fracciones y Números Mixtos

Idea clave y fundamental

Todo número entero puede expresarse como una fracción colocándolo sobre el denominador 1. Esta idea permite relacionar enteros, fracciones impropias y números mixtos.

\[ n=\frac{n}{1} \qquad \text{con } n\in\mathbb{Z} \]

Condición importante

En una fracción, el denominador nunca puede ser cero.

\[ \frac{a}{b} \qquad \text{solo existe si } b\neq 0 \]

Números enteros a fracciones

Procedimiento

Para escribir un número entero como fracción, se conserva el entero como numerador y se escribe $1$ como denominador.

\[ n=\frac{n}{1} \]

Ejemplos: entero a fracción

El número entero $5$ se expresa como $ \frac{5}{1} $.
El número entero $-3$ se expresa como $ \frac{-3}{1} $ o $ -\frac{3}{1} $.
El número entero $0$ se expresa como $ \frac{0}{1} $.

Grupo 1: Convertir enteros a fracciones

Expresa cada número entero como una fracción con denominador $1$.

$8$
$-6$
$0$
$15$
$-23$
$1$

Fracciones a números enteros

Idea principal

Una fracción cuyo denominador es $1$, o que al simplificarla resulta con denominador $1$, representa un número entero.

También puede ocurrir que el numerador sea múltiplo del denominador. En ese caso, la fracción equivale al resultado exacto de la división.

Ejemplos: fracción a entero

$ \frac{7}{1}=7 $
$ \frac{-4}{1}=-4 $
$ \frac{20}{5}=4 $, porque $20\div5=4$.
$ \frac{10}{3} $ no representa un entero, porque $10\div3$ no es exacto.

Grupo 2: Convertir fracciones a enteros

Determina si cada fracción representa un número entero. Si lo representa, escribe ese entero.

$ \frac{12}{1} $
$ \frac{-9}{1} $
$ \frac{0}{1} $
$ \frac{8}{2} $
$ \frac{20}{4} $
$ \frac{-15}{3} $
$ \frac{36}{-9} $
$ \frac{10}{3} $

Números mixtos y fracciones impropias

Definiciones

Conceptos clave

Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor o igual que el denominador, considerando valores positivos. Por ejemplo, $ \frac{11}{4} $.

Un número mixto combina una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, $ 2\frac{3}{4} $.

Ambas formas pueden representar el mismo número racional.

Cuidado con la notación

Un número mixto como $ 2\frac{3}{4} $ no significa $2\cdot\frac{3}{4}$. En realidad, representa una suma:

\[ 2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4} \]

Forma usual de un número mixto

En un número mixto, la parte fraccionaria debe ser una fracción propia, es decir, el numerador debe ser menor que el denominador.

\[ 2\frac{3}{4} \quad \text{está en forma mixta usual, porque } 3<4 \]

No conviene dejar expresiones como $2\frac{7}{4}$, porque la parte fraccionaria todavía puede convertirse en más enteros.

Signo en números mixtos negativos

Cuando se escribe un número mixto negativo, como $ -2\frac{1}{3} $, se interpreta como el negativo de todo el número mixto:

\[ -2\frac{1}{3} = -\left(2+\frac{1}{3}\right) \]

Conversiones entre números mixtos y fracciones

¿Qué significa convertir una fracción impropia a número mixto?

Significa averiguar cuántas unidades enteras se pueden formar y qué fracción queda como resto.

Por ejemplo, en $ \frac{7}{3} $, se pregunta cuántos grupos completos de $3$ hay en $7$:

El cociente de $7\div3$ es $2$, por lo tanto hay $2$ enteros.
El residuo es $1$, por lo tanto sobra $ \frac{1}{3} $.
El denominador se mantiene en $3$.

Así:

\[ \frac{7}{3}=2\frac{1}{3} \]

Procedimiento: de fracción impropia a número mixto

Divide el numerador entre el denominador.
El cociente será la parte entera.
El residuo será el nuevo numerador.
El denominador original se mantiene.
Si la fracción original es negativa, conserva el signo negativo delante del número mixto.

Ejemplo: convertir $ \frac{11}{4} $ a número mixto

Dividimos: \[ 11\div4=2 \qquad \text{con resto } 3 \]
El cociente $2$ será la parte entera.
El resto $3$ será el numerador de la fracción.
El denominador $4$ se mantiene.

Por lo tanto:

\[ \frac{11}{4}=2\frac{3}{4} \]

Ejemplo: convertir $ -\frac{17}{5} $ a número mixto

Primero trabajamos con el valor positivo:

\[ 17\div5=3 \qquad \text{con resto } 2 \]

Entonces:

\[ \frac{17}{5}=3\frac{2}{5} \]

Como la fracción original era negativa, conservamos el signo negativo:

\[ -\frac{17}{5}=-3\frac{2}{5} \]

Grupo 3: Convertir fracciones impropias a números mixtos

Convierte cada fracción impropia a número mixto.

$ \frac{7}{3} $
$ \frac{15}{4} $
$ \frac{22}{5} $
$ \frac{19}{6} $
$ \frac{31}{8} $
$ \frac{47}{9} $
$ -\frac{17}{5} $

¿Qué significa convertir un número mixto a fracción impropia?

Significa unir la parte entera y la parte fraccionaria en una sola fracción.

Por ejemplo, en $2\frac{1}{3}$, los $2$ enteros se convierten en tercios:

\[ 2=\frac{6}{3} \]

Luego se suma el tercio adicional:

\[ 2\frac{1}{3} = \frac{6}{3}+\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Procedimiento: de número mixto a fracción impropia

Multiplica la parte entera por el denominador.
Suma el numerador de la parte fraccionaria.
El resultado será el nuevo numerador.
El denominador se mantiene.

\[ a\frac{b}{c} = \frac{a\cdot c+b}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]

Ejemplo: convertir $ 3\frac{2}{5} $ a fracción impropia

Multiplicamos la parte entera por el denominador: \[ 3\cdot5=15 \]
Sumamos el numerador: \[ 15+2=17 \]
El denominador se mantiene en $5$.

Por lo tanto:

\[ 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \]

Ejemplo: convertir $ -2\frac{1}{3} $ a fracción impropia

Primero convertimos la parte positiva:

\[ 2\frac{1}{3} = \frac{2\cdot3+1}{3} = \frac{7}{3} \]

Luego conservamos el signo negativo delante de toda la fracción:

\[ -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3} \]

Grupo 4: Convertir números mixtos a fracciones impropias

Convierte cada número mixto a fracción impropia.

$ 1\frac{2}{3} $
$ 4\frac{1}{6} $
$ 2\frac{5}{8} $
$ 5\frac{3}{7} $
$ 3\frac{9}{10} $
$ 6\frac{4}{5} $
$ -2\frac{1}{3} $

Resumen final de relaciones

Los enteros, las fracciones impropias y los números mixtos son formas distintas de representar valores racionales.

Entero $ \leftrightarrow $ Fracción con denominador 1 $ \leftrightarrow $ Fracción impropia $ \leftrightarrow $ Número mixto

6. compafracion de fracciones

Casos simples

Reglas básicas

Igual denominador: si dos fracciones tienen el mismo denominador positivo, la fracción con el numerador mayor es la mayor.
Igual numerador: si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, la fracción con el denominador menor es la mayor.

Ejemplos de casos simples

Igual denominador:

\[ \frac{5}{7} \gt \frac{3}{7} \qquad \text{porque } 5 \gt 3 \]

Igual numerador:

\[ \frac{2}{5} \gt \frac{2}{9} \]

Esto ocurre porque, al dividir la unidad en menos partes, cada parte es más grande.

¿Por qué funciona la regla del igual numerador?

Piensa en una pizza. Si tomas $2$ rebanadas de una pizza cortada en $5$ partes, esas rebanadas serán más grandes que $2$ rebanadas de una pizza igual cortada en $9$ partes.

Por eso:

\[ \frac{2}{5} \gt \frac{2}{9} \]

Fracciones con distinto numerador y denominador

Cuando las fracciones tienen distinto numerador y distinto denominador, se pueden comparar usando fracciones equivalentes con denominador común o productos cruzados.

Método 1: fracciones equivalentes con denominador común

Procedimiento: denominador común

Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Convierte cada fracción a una fracción equivalente con ese denominador común.
Compara los numeradores de las nuevas fracciones.
La fracción con numerador mayor será la mayor.

Ejemplo: comparar $ \frac{3}{4} $ y $ \frac{5}{6} $ con denominador común

Primero buscamos el mínimo común múltiplo de $4$ y $6$:

\[ \operatorname{MCM}(4,6)=12 \]

Convertimos ambas fracciones a denominador $12$:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3} = \frac{9}{12} \]

\[ \frac{5}{6} = \frac{5\cdot2}{6\cdot2} = \frac{10}{12} \]

Ahora comparamos:

\[ \frac{10}{12} \gt \frac{9}{12} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{5}{6} \gt \frac{3}{4} \]

Grupo 1: Comparar usando fracciones equivalentes

Compara cada par de fracciones usando denominador común. Escribe el signo $ \lt $, $ \gt $ o $ = $.

$ \frac{2}{3} $ y $ \frac{3}{5} $
$ \frac{5}{8} $ y $ \frac{7}{12} $
$ \frac{4}{9} $ y $ \frac{1}{2} $
$ 2\frac{1}{4} $ y $ \frac{11}{5} $
$ \frac{-3}{7} $ y $ \frac{-2}{5} $

Método 2: productos cruzados

Estrategia rápida: productos cruzados

Para comparar $ \frac{a}{b} $ y $ \frac{c}{d} $, con $b\gt0$ y $d\gt0$, se comparan los productos cruzados:

\[ a\cdot d \qquad \text{y} \qquad b\cdot c \]

Este método funciona porque equivale a comparar ambas fracciones usando el denominador común $b\cdot d$.

Ojo con los denominadores

Antes de usar productos cruzados, conviene dejar los denominadores positivos. Por ejemplo:

\[ \frac{3}{-5}=-\frac{3}{5} \]

Ejemplo: comparar $ \frac{2}{5} $ y $ \frac{3}{7} $ con productos cruzados

Calculamos los productos cruzados:

\[ 2\cdot7=14 \]

\[ 5\cdot3=15 \]

Como $14\lt15$, la primera fracción es menor que la segunda.

Por lo tanto:

\[ \frac{2}{5} \lt \frac{3}{7} \]

Ojo con las fracciones negativas

En la recta numérica, entre dos números negativos, el que está más cerca del cero es mayor.

Por ejemplo:

\[ -14 \gt -15 \]

Por eso, al comparar fracciones negativas, hay que observar cuidadosamente el orden de los resultados.

Grupo 2: Comparar usando productos cruzados

Compara cada par de fracciones usando productos cruzados. Escribe el signo $ \lt $, $ \gt $ o $ = $.

$ \frac{4}{7} $ y $ \frac{5}{9} $
$ \frac{1}{6} $ y $ \frac{2}{11} $
$ \frac{8}{3} $ y $ 2\frac{2}{5} $
$ \frac{-5}{8} $ y $ \frac{-3}{5} $
$ \frac{7}{4} $ y $ \frac{9}{5} $

7. Suma y resta de fracciones

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con igual denominador

Regla para igual denominador

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Al final, se simplifica si es posible.

\[ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \qquad \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]

Ejemplo: restar fracciones con igual denominador

\[ \frac{5}{9}-\frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Se conservó el denominador $9$, se restaron los numeradores y luego se simplificó el resultado.

Fracciones con distinto denominador

Error común: no sumar denominadores

Un error frecuente es sumar o restar numeradores y denominadores directamente. Esto no es correcto.

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq \frac{2}{5} \]

Primero debemos encontrar un denominador común.

Procedimiento usando MCM

Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Amplifica cada fracción para que ambas tengan ese denominador común.
Suma o resta los numeradores y conserva el denominador común.
Simplifica el resultado final si es posible.

Ejemplo: $ \frac{3}{4}-\frac{1}{6} $

Primero buscamos el mínimo común múltiplo:

\[ \operatorname{MCM}(4,6)=12 \]

Amplificamos cada fracción:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3} = \frac{9}{12} \]

\[ \frac{1}{6} = \frac{1\cdot2}{6\cdot2} = \frac{2}{12} \]

Restamos:

\[ \frac{9}{12}-\frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{7}{12} \]

Operaciones con enteros y números mixtos

Estrategia general

El método más seguro para sumar o restar enteros, fracciones y números mixtos es convertir todo a fracciones impropias. Después se aplica el procedimiento de denominador común.

Por ejemplo:

\[ 2\frac{3}{4}-\frac{1}{3} = \frac{11}{4}-\frac{1}{3} \]

Cuidado con restar negativos

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto.

\[ a-(-b)=a+b \]

Por ejemplo:

\[ \frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \]

Ejercicios

Grupo 1: Igual denominador

Resuelve cada operación. Simplifica el resultado si es posible.

$ \frac{2}{5}+\frac{1}{5} $
$ \frac{7}{11}-\frac{3}{11} $
$ \frac{-4}{9}+\frac{2}{9} $
$ \frac{5}{12}-\frac{-1}{12} $
$ \frac{3}{8}+\frac{-5}{8} $
$ \frac{-2}{7}-\frac{3}{7} $

Grupo 2: Distinto denominador

Resuelve cada operación usando denominador común. Simplifica el resultado si es posible.

$ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} $
$ \frac{2}{5}-\frac{1}{10} $
$ \frac{-3}{4}+\frac{1}{6} $
$ \frac{2}{3}-\frac{-1}{2} $
$ \frac{3}{8}+\frac{-1}{6} $
$ \frac{-5}{12}-\frac{1}{4} $

Grupo 3: Enteros y fracciones

Convierte los enteros a fracciones y resuelve. Escribe el resultado como fracción impropia y, si corresponde, como número mixto.

$ 2+\frac{1}{3} $
$ 5-\frac{2}{7} $
$ -3+\frac{3}{4} $
$ \frac{-4}{5}+4 $
$ \frac{5}{6}-(-2) $
$ -1-\frac{2}{9} $

Grupo 4: Números mixtos y álgebra

Convierte los números mixtos a fracciones impropias y escribe cada resultado como una sola fracción.

$ 2\frac{1}{4}+1 $
$ 3\frac{2}{5}-\frac{1}{2} $
$ -1\frac{1}{3}+\frac{3}{4} $
$ 4-2\frac{5}{6} $
$ 1\frac{2}{7}+\frac{-3}{14} $
$ x+2\frac{1}{2} $
$ 1\frac{2}{3}-a $
$ 2\frac{1}{4}+b-1\frac{1}{2} $
$ \frac{a}{5}+\frac{3a}{5} $
$ \frac{2x}{3}+\frac{x}{4}-\frac{5y}{6}+\frac{y}{2} $

8. Multiplicación de Fracciones

Regla general

Regla de multiplicación

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \qquad \text{con } b\neq 0,\; d\neq 0 \]

Al final, se simplifica el resultado si es posible.

No se necesita denominador común

Un error común es intentar buscar un mínimo común múltiplo para multiplicar fracciones. Eso se usa en la suma y la resta, pero no en la multiplicación.

En la multiplicación, la operación es directa: numerador por numerador y denominador por denominador.

Estrategia clave: simplificar antes de multiplicar

Antes de multiplicar, se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador, siempre que exista un factor común. Esto permite trabajar con números más pequeños.

Por ejemplo:

\[ \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^{1}}{\cancel{9}^{3}}\cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]

Casos y ejemplos

1. Fracciones propias

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7} = \frac{2\cdot5}{3\cdot7} = \frac{10}{21} \]

2. Con números negativos

\[ \frac{-3}{4}\cdot\frac{2}{5} = \frac{(-3)\cdot2}{4\cdot5} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10} \]

El resultado es negativo porque se multiplica un número negativo por uno positivo.

3. Entero por fracción

Primero escribimos el entero como fracción con denominador $1$:

\[ 4\cdot\frac{2}{9} = \frac{4}{1}\cdot\frac{2}{9} = \frac{4\cdot2}{1\cdot9} = \frac{8}{9} \]

4. Número mixto por fracción

Primero se convierte el número mixto a fracción impropia:

\[ 2\frac{1}{3} = \frac{2\cdot3+1}{3} = \frac{7}{3} \]

Luego se multiplica:

\[ \frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5} = \frac{7\cdot2}{3\cdot5} = \frac{14}{15} \]

5. Con expresiones algebraicas

\[ \frac{2x}{5}\cdot\frac{3}{y} = \frac{2x\cdot3}{5\cdot y} = \frac{6x}{5y} \qquad \text{con } y\neq 0 \]

Ejercicios

Resuelve las siguientes multiplicaciones

Multiplica las fracciones. Simplifica el resultado cuando sea posible.

$ \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5} $
$ \frac{-2}{7}\cdot\frac{4}{9} $
$ 5\cdot\frac{3}{8} $
$ 3\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} $
$ 2\frac{2}{3}\cdot1\frac{1}{4} $
$ \frac{6}{15}\cdot\frac{10}{12} $
$ \frac{9}{14}\cdot0 $
$ \frac{-5}{6}\cdot1 $
$ \frac{4a}{7}\cdot\frac{2}{3b} $, con $b\neq 0$
$ 2x\cdot\frac{5}{y} $, con $y\neq 0$
$ \frac{3x}{2}\cdot\frac{y}{5} $
$ \frac{-2a}{b}\cdot\frac{3c}{4} $, con $b\neq 0$
$ \frac{m}{4}\cdot\frac{3n}{2} $

9. Division de fracciones

Concepto clave: el inverso multiplicativo

Definición formal

El inverso multiplicativo, también llamado recíproco, de una fracción se obtiene invirtiendo el numerador y el denominador.

\[ \text{Si } \frac{a}{b}\neq 0,\quad \text{su inverso multiplicativo es } \frac{b}{a} \]

Esto ocurre porque al multiplicar una fracción por su inverso, el resultado es $1$:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = \frac{a\cdot b}{b\cdot a} = 1 \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]

Condición importante

El número $0$ no tiene inverso multiplicativo, porque no existe ningún número que multiplicado por $0$ dé $1$.

Por eso, no se puede dividir por $0$.

Ejemplos de inverso multiplicativo

El inverso de $ \frac{2}{7} $ es $ \frac{7}{2} $.
El inverso de $ -\frac{5}{9} $ es $ -\frac{9}{5} $.
Como $4=\frac{4}{1}$, el inverso de $4$ es $ \frac{1}{4} $.

Ejercicios de inverso multiplicativo

Encuentra el inverso multiplicativo de cada número.

$ \frac{2}{7} $
$ -\frac{5}{9} $
$4$
$ -1\frac{2}{3} $
$ \frac{x}{y} $, con $x\neq 0$ e $y\neq 0$

Métodos para dividir fracciones

Método 1: multiplicar por el inverso

Idea clave

Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo.

Este es el método más recomendado, porque se relaciona directamente con la multiplicación de fracciones.

Fórmula

\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \qquad \text{con } b\neq 0,\; c\neq 0,\; d\neq 0 \]

Ejemplo: dividir multiplicando por el inverso

\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} \]

Luego multiplicamos:

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{2\cdot5}{3\cdot4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{5}{6} \]

Método 2: multiplicación en cruz

Un atajo procedimental

La multiplicación en cruz entrega el mismo resultado que multiplicar por el inverso. Es útil como atajo, pero conviene recordar que proviene del método anterior.

Procedimiento

Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

\[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \qquad \text{con } b\neq 0,\; c\neq 0,\; d\neq 0 \]

Ejemplo: dividir usando multiplicación en cruz

\[ \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} = \frac{2\cdot5}{3\cdot4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Método 3: fracción de fracciones

¿Cuándo se usa?

A veces una división aparece escrita como una fracción sobre otra fracción. A esto se le llama fracción compleja.

Procedimiento

Una fracción compleja se puede resolver usando la misma idea de dividir multiplicando por el inverso.

\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \]

Ejemplo: fracción de fracciones

\[ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3}\div\frac{4}{5} \]

Multiplicamos por el inverso de $ \frac{4}{5} $:

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Ejercicios de división

Resuelve las siguientes divisiones

Resuelve cada división. Convierte enteros o números mixtos cuando sea necesario y simplifica el resultado.

$ \frac{1}{2}\div\frac{3}{4} $
$ \frac{5}{7}\div\frac{2}{3} $
$ \frac{-2}{5}\div\frac{3}{8} $
$ 4\div\frac{2}{5} $
$ \frac{5}{9}\div3 $
$ 1\frac{3}{4}\div\frac{2}{3} $
$ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} $
$ \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} $
$ \frac{2x}{3}\div\frac{4}{y} $, con $y\neq 0$
$ \frac{3a}{b}\div\frac{2c}{5} $, con $b\neq 0,\; c\neq 0$
$ \frac{1}{2}\div\frac{x}{y} $, con $x\neq 0,\; y\neq 0$
$ \frac{5m}{2n}\div\frac{2}{3} $, con $n\neq 0$
$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} $, con $a\neq 0,\; b\neq 0$

10. Problemas de aplicacion con fracciones

Las fracciones en la vida cotidiana

Las fracciones no son solo números en una página; las usamos constantemente para repartir, medir, cocinar, construir y resolver situaciones cotidianas. En esta página aplicaremos suma, resta, multiplicación y división de fracciones para resolver problemas prácticos.

Estrategia clave: identificar la operación

Muchas veces, las palabras del problema entregan pistas sobre qué operación conviene usar:

“De”, como en “la mitad de”: generalmente indica multiplicación.
“Juntar”, “añadir”, “en total”: sugieren suma.
“Quitar”, “diferencia”, “lo que queda”: sugieren resta.
“Repartir en partes iguales”, “cuántas veces cabe”: sugieren división.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: repartiendo una pizza

Problema: María comió $ \frac{1}{2} $ de una pizza, Juan comió $ \frac{1}{3} $ y Pedro comió el resto. ¿Qué fracción de la pizza comió Pedro?

Primero sumamos lo que comieron María y Juan:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]

Luego restamos esa cantidad al total de la pizza:

\[ 1-\frac{5}{6} = \frac{6}{6}-\frac{5}{6} = \frac{1}{6} \]

Respuesta: Pedro comió $ \frac{1}{6} $ de la pizza.

Ejemplo 2: receta de galletas

Problema: Una receta requiere $ 1\frac{1}{2} $ tazas de harina. Si queremos hacer la mitad de la receta, ¿cuánta harina necesitamos?

Hacer “la mitad de” la receta significa multiplicar por $ \frac{1}{2} $.

Primero convertimos el número mixto a fracción impropia:

\[ 1\frac{1}{2} = \frac{1\cdot2+1}{2} = \frac{3}{2} \]

Luego calculamos la mitad:

\[ \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

Respuesta: necesitamos $ \frac{3}{4} $ tazas de harina.

Ejemplo 3: viaje en auto

Problema: Un tanque tiene $ \frac{3}{4} $ de su capacidad. Tras un viaje, le queda $ \frac{1}{8} $. ¿Qué fracción del tanque se consumió?

Para encontrar lo que se consumió, restamos la fracción final a la fracción inicial.

Buscamos denominador común:

\[ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \]

Restamos:

\[ \frac{6}{8}-\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \]

Respuesta: se consumió $ \frac{5}{8} $ del tanque.

Problemas en etapas: fracción de un resto

Ten cuidado con problemas donde aparece una frase como “usa $ \frac{1}{4} $ de lo que le quedaba”. Esto significa que la nueva fracción no se calcula sobre el total original, sino sobre el resultado que quedó después de una operación anterior.

En esos casos, el problema se resuelve por etapas.

Ejercicios propuestos

Problemas de aplicación

Resuelve cada problema identificando primero la operación correspondiente. Simplifica tus resultados cuando sea posible.

Repartiendo una herencia: Un hombre reparte su herencia. Al hijo mayor le da $ \frac{2}{5} $, al segundo $ \frac{1}{3} $ y al menor el resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe el hijo menor?
Mezcla de pintura: Para obtener un color, se mezcla $ \frac{1}{4} $ de litro de pintura azul con $ \frac{2}{5} $ de litro de pintura amarilla. ¿Cuánta pintura se obtiene en total?
Tiempo de estudio: Ana dedica $ \frac{2}{3} $ de hora a Matemáticas, $ \frac{1}{2} $ hora a Lenguaje y $ \frac{1}{4} $ de hora a Ciencias. ¿Cuánto tiempo en total dedica a estudiar? Expresa la respuesta como número mixto.
Terreno rectangular: Un terreno mide $ 5\frac{1}{2} $ m de largo y $ 3\frac{1}{4} $ m de ancho. ¿Cuál es su área?
Compartiendo un chocolate: Juan comió $ \frac{1}{3} $ de un chocolate, María $ \frac{1}{4} $ y Pedro $ \frac{1}{6} $. ¿Qué fracción del chocolate quedó?
Llenando un estanque: Una llave llena $ \frac{1}{5} $ de un estanque en una hora, y otra llave llena $ \frac{1}{4} $ en una hora. Si se abren ambas, ¿qué fracción del estanque se llenará en una hora?
Fracciones de tiempo: Andrés tardó $ \frac{3}{4} $ de hora en una tarea y $ \frac{1}{2} $ hora en otra. Luego descansó $ \frac{1}{4} $ de hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió en total?
Repartiendo líquido: Un depósito tiene $ 3\frac{1}{2} $ litros de agua y se reparte en envases de $ \frac{1}{4} $ de litro. ¿Cuántos envases se pueden llenar?
Combinando operaciones: Marta compró $ 2\frac{1}{2} $ m de tela. Usó $ \frac{2}{3} $ de la tela para una cortina. Luego usó $ \frac{1}{5} $ de lo que le quedaba para un cojín. ¿Cuánta tela le quedó al final?

Solución desarrollada

Primero sumamos las partes recibidas por los dos primeros hijos:

\[ \frac{2}{5}+\frac{1}{3} = \frac{6}{15}+\frac{5}{15} = \frac{11}{15} \]

Luego restamos esa parte al total:

\[ 1-\frac{11}{15} = \frac{15}{15}-\frac{11}{15} = \frac{4}{15} \]

Respuesta: el hijo menor recibe $ \frac{4}{15} $ de la herencia.
Sumamos las cantidades de pintura:

\[ \frac{1}{4}+\frac{2}{5} = \frac{5}{20}+\frac{8}{20} = \frac{13}{20} \]

Respuesta: se obtienen $ \frac{13}{20} $ litros de pintura.
Sumamos los tiempos de estudio:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{8}{12}+\frac{6}{12}+\frac{3}{12} = \frac{17}{12} \]

Convertimos a número mixto:

\[ \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12} \]

Respuesta: Ana estudia $ 1\frac{5}{12} $ horas.
El área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho.

Convertimos los números mixtos a fracciones impropias:

\[ 5\frac{1}{2} = \frac{11}{2} \qquad 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4} \]

Multiplicamos:

\[ \frac{11}{2}\cdot\frac{13}{4} = \frac{143}{8} = 17\frac{7}{8} \]

Respuesta: el área es $ 17\frac{7}{8} \text{ m}^2 $.
Primero sumamos lo que comieron:

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6} = \frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]

Luego restamos al total:

\[ 1-\frac{3}{4} = \frac{4}{4}-\frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

Respuesta: quedó $ \frac{1}{4} $ del chocolate.
Como ambas llaves llenan parte del estanque en una hora, sumamos:

\[ \frac{1}{5}+\frac{1}{4} = \frac{4}{20}+\frac{5}{20} = \frac{9}{20} \]

Respuesta: juntas llenan $ \frac{9}{20} $ del estanque en una hora.
Sumamos el tiempo de ambas tareas y el descanso:

\[ \frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]

Respuesta: transcurrió $ 1\frac{1}{2} $ horas.
Para saber cuántos envases se pueden llenar, dividimos el total de agua por la capacidad de cada envase.

Convertimos el número mixto:

\[ 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \]

Dividimos:

\[ \frac{7}{2}\div\frac{1}{4} = \frac{7}{2}\cdot\frac{4}{1} = \frac{28}{2} = 14 \]

Respuesta: se pueden llenar $14$ envases.
Primero convertimos la cantidad total de tela:

\[ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Calculamos la tela usada para la cortina:

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Calculamos lo que quedó después de hacer la cortina:

\[ \frac{5}{2}-\frac{5}{3} = \frac{15}{6}-\frac{10}{6} = \frac{5}{6} \]

Luego usó $ \frac{1}{5} $ de lo que le quedaba para el cojín:

\[ \frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6} = \frac{1}{6} \]

Finalmente restamos esa cantidad:

\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Respuesta: le quedaron $ \frac{2}{3} $ metros de tela.

11. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Definición

¿Qué es una potencia?

Una potencia indica la multiplicación de una base por sí misma tantas veces como lo señala el exponente. En esta lección, la base será una fracción y el exponente será un número natural. Más adelante también estudiaremos el caso especial del exponente cero.

Fórmula general

La potencia de una fracción $ \frac{a}{b} $ elevada a un exponente natural $n$ se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]

Condición importante

El denominador de una fracción nunca puede ser cero, porque la división por cero no está definida.

Ejemplo de cálculo

Para calcular $ \left(\frac{2}{3}\right)^4 $, multiplicamos la fracción por sí misma cuatro veces:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3} = \frac{16}{81} \]

Propiedades fundamentales

Propiedad 1: signo de la potencia

El signo del resultado depende del signo de la base y de si el exponente es par o impar.

Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo.
Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado será positivo.
Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado será negativo.

Justificación del signo

Al elevar una base negativa a una potencia par, los signos negativos se agrupan en pares y el resultado queda positivo.

Al elevar una base negativa a una potencia impar, queda un signo negativo sin pareja, por lo que el resultado final es negativo.

Ejemplos: signo según el exponente

Base positiva:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \gt 0 \]

Base negativa con exponente par:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{(-2)^2}{3^2} = \frac{4}{9} \gt 0 \]

Base negativa con exponente impar:

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{4^3} = -\frac{27}{64} \lt 0 \]

1. Ejercicios de signo de la potencia

Determina el signo y aplica la propiedad de la potencia de una fracción. No es necesario calcular el valor final si los números son muy grandes.

$ \left( \frac{3}{5} \right)^3 $
$ \left( \frac{1}{4} \right)^6 $
$ \left( \frac{2}{7} \right)^9 $
$ \left( -\frac{2}{3} \right)^4 $
$ \left( -\frac{5}{6} \right)^2 $
$ \left( -\frac{1}{2} \right)^5 $
$ \left( -\frac{3}{4} \right)^7 $
$ \left( \frac{x}{y} \right)^2 $, con $y\neq 0$
$ \left( \frac{-2a}{3} \right)^4 $
$ \left( \frac{5m}{-n} \right)^3 $, con $n\neq 0$

Propiedad 2: producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]

Justificación

La propiedad se obtiene aplicando la definición de potencia y luego la multiplicación de fracciones:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m}\cdot\frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m\cdot a^n}{b^m\cdot b^n} = \frac{a^{m+n}}{b^{m+n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

Ejemplo: producto con base negativa

Resolver:

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3 \]

Como las bases son iguales, se suman los exponentes:

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{2+3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \]

Como la base es negativa y el exponente final es impar, el resultado es negativo:

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32} \]

2. Ejercicios de producto de potencias

Resuelve aplicando la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

$ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 $
$ \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) $
$ \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 $
$ \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 $
$ \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 $
$ \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 $
$ \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4 $
$ \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 $, con $b\neq 0$
$ \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 $
$ \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 $, con $n\neq 0$

Propiedad 3: cociente de potencias de igual base

Para dividir potencias que tienen la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

En esta guía usaremos esta propiedad en casos donde la base no es cero y $m\ge n$.

Justificación

Esta propiedad se basa en dividir potencias de igual base:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m}{b^m}\cdot\frac{b^n}{a^n} = \frac{a^{m-n}}{b^{m-n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

Ejemplo: cociente con base negativa

Resolver:

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(-\frac{3}{4}\right)^3 \]

Como las bases son iguales, se restan los exponentes:

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^{5-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \]

Como el exponente final es par, el resultado es positivo:

\[ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]

3. Ejercicios de cociente de potencias

Resuelve aplicando la propiedad de división de potencias de igual base.

$ \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 $
$ \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 $
$ \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 $
$ \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 $
$ \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 $
$ \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 $
$ \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 $
$ \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 $, con $x,y\neq 0$
$ \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 $
$ \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 $, con $m,n\neq 0$

Propiedad 4: potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \qquad \text{con } b\neq 0 \]

Justificación

La propiedad se obtiene aplicando la potencia tanto al numerador como al denominador:

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n = \frac{(a^m)^n}{(b^m)^n} = \frac{a^{m\cdot n}}{b^{m\cdot n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \]

Ejemplo: potencia de una potencia

Resolver:

\[ \left(\left(-\frac{2}{5}\right)^3\right)^3 \]

Multiplicamos los exponentes:

\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3\cdot3} = \left(-\frac{2}{5}\right)^9 \]

Como la base es negativa y el exponente final es impar:

\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^9 = -\frac{2^9}{5^9} \]

4. Ejercicios de potencia de una potencia

Aplica la propiedad de potencia de una potencia para simplificar las expresiones.

$ \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 $
$ \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 $
$ \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 $
$ \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 $
$ \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 $
$ \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 $
$ \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 $
$ \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 $
$ \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 $, con $a\neq 0$
$ \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 $, con $n\neq 0$

Propiedad 5: exponente cero

Cualquier fracción no nula elevada al exponente cero es igual a $1$.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^0=1 \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]

Condiciones importantes

Para aplicar esta propiedad, la base no puede ser cero. Además, el denominador de la fracción nunca puede ser cero.

Por eso, $0^0$ no se considera igual a $1$ en este contexto.

Justificación

La regla del exponente cero se puede entender usando el cociente de potencias:

\[ x^n\div x^n = x^{n-n} = x^0 \]

Pero también sabemos que un número no nulo dividido por sí mismo es $1$. Por eso, $x^0=1$ para $x\neq 0$.

Ejemplo: exponente cero con base negativa

\[ \left(-\frac{4}{7}\right)^0=1 \]

La base es una fracción no nula, por lo tanto se puede aplicar la propiedad del exponente cero.

5. Ejercicios de exponente cero y combinados

Resuelve las siguientes potencias.

$ \left(-\frac{2}{3}\right)^0 $
$ \left(\frac{10}{11}\right)^0 $
$ \left(\frac{4x}{y}\right)^0 $, con $x,y\neq 0$
$ \left( \frac{4}{5} \right)^3 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 $
$ \frac{\left(-\frac{2}{7}\right)^5}{\left(-\frac{2}{7}\right)^5} $

Propiedad 6: exponente uno

Cualquier fracción elevada al exponente uno es igual a la misma fracción.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b} \qquad \text{con } b\neq 0 \]

Justificación

El exponente indica cuántas veces aparece la base como factor. Si el exponente es $1$, la base aparece una sola vez, por lo que el resultado no cambia.

Ejemplo: exponente uno con base negativa

\[ \left(-\frac{8}{3}\right)^1 = -\frac{8}{3} \]

6. Ejercicios de exponente uno y combinados

Resuelve las siguientes potencias y expresiones combinadas.

$ \left(\frac{5}{9}\right)^1 $
$ \left(-\frac{x}{y}\right)^1 $, con $y\neq 0$
$ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \div \left( \frac{2}{3} \right)^4 $
$ \frac{\left(-\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3}{\left(-\frac{4}{5}\right)^4} $

Síntesis: combinando todas las propiedades

En muchos ejercicios se combinan varias propiedades de las potencias. Por eso conviene identificar primero qué operación aparece: producto, cociente, potencia de potencia, exponente cero o exponente uno.

Tabla resumen de propiedades

Propiedad	Fórmula
Producto de potencias	$ \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} $
Cociente de potencias	$ \left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} $
Potencia de una potencia	$ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} $
Exponente cero	$ \left(\frac{a}{b}\right)^0=1 $, con $a,b\neq 0$
Exponente uno	$ \left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b} $

Ejemplo de síntesis A: producto y cociente

Resolver:

\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^5\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]

Primero resolvemos el producto del numerador:

\[ \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{5+2}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} = \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^7}{\left(-\frac{2}{3}\right)^6} \]

Luego aplicamos la propiedad del cociente:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{7-6} = \left(-\frac{2}{3}\right)^1 = -\frac{2}{3} \]

Ejemplo de síntesis B: múltiples propiedades

Resolver:

\[ \left(\frac{(x^4)^2\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 \]

Primero resolvemos la potencia de una potencia:

\[ \left(\frac{x^{4\cdot2}\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 = \left(\frac{x^8\cdot y^5}{x^5\cdot y^2}\right)^3 \]

Simplificamos dentro del paréntesis:

\[ \left(x^{8-5}\cdot y^{5-2}\right)^3 = \left(x^3y^3\right)^3 \]

Finalmente aplicamos potencia de una potencia:

\[ (x^3)^3(y^3)^3 = x^9y^9 \]

Ejercicios de síntesis

Resuelve las siguientes expresiones combinando las propiedades de las potencias. Simplifica al máximo.

$ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 $
$ \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 $
$ \frac{\left( \frac{a}{b} \right)^5}{\left( \frac{a}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^3} $, con $a,b\neq 0$
$ \left( \frac{x^4}{y^2} \right)^2 $, con $y\neq 0$
$ \left( -\frac{3}{5} \right)^7 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^5 $
$ \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)}{\left( \frac{2}{3} \right)^4} $
$ \left( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \div \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right)^5 $
$ \left( \frac{-m}{n} \right)^3 \cdot \left( \frac{-m}{n} \right)^4 \div \left( \frac{-m}{n} \right)^7 $, con $m,n\neq 0$
$ \frac{a^3\cdot b^5}{a^2\cdot b^2} $, con $a,b\neq 0$
$ \left( \frac{2x^3}{y} \right)^2 \cdot \left( \frac{y^2}{x^2} \right)^2 $, con $x,y\neq 0$
$ \frac{\left( \left(-\frac{1}{2}\right)^5 \div \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right)^3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^8} $
$ \frac{\left( (-2)^3 \right)^2}{(-2)^5} $
$ \left( \frac{a^2 b^3}{c^4} \right)^2 \cdot \frac{c^9}{a^4 b^5} $, con $a,b,c\neq 0$
$ \left( \frac{3^4\cdot2^5}{3^2\cdot2^3} \right)^2 $
$ \left( \frac{x^2\cdot y^3}{x\cdot y^2} \right)^0 \cdot x^2y $, con $x,y\neq 0$

12. Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Entero (Negativos y Propiedades Distributivas)

Un exponente negativo se relaciona directamente con el inverso multiplicativo o recíproco de un número.

¿Qué es un inverso multiplicativo?

El inverso multiplicativo de un número es aquel que, al multiplicarlo por el número original, da como resultado $1$.

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de $ \frac{2}{3} $ es $ \frac{3}{2} $, porque:

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1 \]

En general, el inverso multiplicativo de $ \frac{a}{b} $ es $ \frac{b}{a} $, siempre que $a\neq 0$ y $b\neq 0$.

Regla del exponente $-1$

Elevar una fracción a $-1$ equivale a encontrar su inverso multiplicativo. En la práctica, se invierte la fracción.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]

Ejemplo: exponente $-1$

Resolver:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} \]

El exponente $-1$ indica que debemos encontrar el inverso multiplicativo de la base. Por eso, invertimos la fracción y conservamos el signo negativo:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = -\frac{3}{2} \]

Caso especial: inverso de un número entero

Todo número entero $c$ se puede escribir como $ \frac{c}{1} $. Por eso:

\[ c^{-1} = \left(\frac{c}{1}\right)^{-1} = \frac{1}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]

Por ejemplo:

\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Ejercicios de exponente $-1$

Escribe el inverso multiplicativo de las siguientes expresiones.

$ \left(4\right)^{-1} $
$ \left(-6\right)^{-1} $
$ \left(-10\right)^{-1} $
$ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} $
$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} $
$ \left(\frac{-1}{7}\right)^{-1} $
$ \left(\frac{5}{7}\right)^{-1} $
$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} $
$ \left(\frac{9}{4}\right)^{-1} $
$ \left(\frac{x}{y}\right)^{-1} $, con $x,y\neq 0$
$ \left(\frac{-2a}{5b}\right)^{-1} $, con $a,b\neq 0$

Generalización para cualquier exponente negativo

Propiedad: exponente negativo general

Para resolver una potencia con exponente negativo, se invierte la base y luego se eleva al mismo exponente, pero positivo.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \qquad \text{con } a\neq 0,\; b\neq 0 \]

Justificación

Podemos escribir el exponente $-n$ como $(-1)\cdot n$. Luego aplicamos potencia de una potencia:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{(-1)\cdot n} = \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n \]

Condiciones importantes

Para usar esta propiedad, tanto $a$ como $b$ deben ser distintos de cero. El denominador $b$ no puede ser cero por ser denominador, y $a$ tampoco puede ser cero porque al invertir la fracción pasaría al denominador.

Ejemplo: exponente negativo general

Resolver:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \]

Invertimos la base y cambiamos el exponente a positivo:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 \]

Luego calculamos la potencia:

\[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]

Ejercicios de exponentes negativos generales

Aplica la propiedad del exponente negativo para invertir la base y luego resolver la potencia resultante.

$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} $
$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} $
$ \left(\frac{5}{2}\right)^{-4} $
$ \left(-\frac{3}{4}\right)^{-3} $
$ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-2} $
$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-5} $
$ \left(-\frac{4}{3}\right)^{-4} $
$ \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} $, con $x,y\neq 0$
$ \left(\frac{-2a}{3}\right)^{-3} $, con $a\neq 0$
$ \left(\frac{m}{-n}\right)^{-4} $, con $m,n\neq 0$

Propiedades distributivas de la potenciación

La potenciación se puede distribuir cuando la base es una multiplicación o una división. Esto permite separar expresiones complejas en partes más simples.

Propiedad 7: potencia de un producto

Regla de potencia de un producto

La potencia de un producto de fracciones es igual al producto de cada fracción elevada a esa potencia.

\[ \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Justificación

Esta propiedad se basa en la regla $(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$:

\[ \left(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^n = \frac{(a\cdot c)^n}{(b\cdot d)^n} = \frac{a^n c^n}{b^n d^n} = \frac{a^n}{b^n}\cdot\frac{c^n}{d^n} \]

Ejemplo: producto con factor negativo

Resolver:

\[ \left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\right)^3 \]

Una forma rápida es resolver primero el producto dentro del paréntesis:

\[ -\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \]

Luego elevamos al cubo:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} \]

Ejercicios de potencia de un producto

Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el producto. Simplifica la base primero si es conveniente.

$ \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\right)^2 $
$ \left(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}\right)^3 $
$ \left(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\right)^4 $
$ \left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right)^2 $
$ \left(-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\right)^3 $
$ \left(-\frac{2}{7}\cdot\frac{-1}{2}\right)^2 $
$ \left(\frac{-4}{3}\cdot\frac{3}{-2}\right)^3 $
$ \left(\frac{a}{2}\cdot\frac{3}{b}\right)^2 $, con $b\neq 0$
$ \left(\frac{2x}{-3}\cdot\frac{1}{y}\right)^3 $, con $y\neq 0$
$ \left(\frac{m}{n}\cdot\frac{-p}{2}\right)^4 $, con $n\neq 0$

Propiedad 8: potencia de un cociente

Regla de potencia de un cociente

La potencia de una división de fracciones es igual a la división de cada fracción elevada a esa potencia.

\[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Justificación

Esta propiedad combina la división de fracciones con la potencia de un producto:

\[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Ejemplo: cociente con factor negativo y exponente impar

Resolver:

\[ \left(\frac{3}{4}\div -\frac{3}{2}\right)^3 \]

Primero resolvemos la división dentro del paréntesis:

\[ \frac{3}{4}\div\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Luego elevamos al cubo:

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} \]

Ejercicios de potencia de un cociente

Aplica la propiedad distributiva de la potencia sobre el cociente. Se recomienda simplificar primero la división dentro del paréntesis.

$ \left(\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}\right)^3 $
$ \left(\frac{5}{4}\div\frac{3}{2}\right)^2 $
$ \left(\frac{1}{5}\div\frac{2}{5}\right)^4 $
$ \left(-\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^2 $
$ \left(\frac{-2}{5}\div\frac{3}{-2}\right)^3 $
$ \left(-\frac{4}{3}\div\frac{-2}{5}\right)^2 $
$ \left(\frac{1}{6}\div\frac{-5}{12}\right)^3 $
$ \left(\frac{x}{3}\div\frac{2}{y}\right)^2 $, con $y\neq 0$
$ \left(\frac{4a}{b}\div\frac{2c}{3}\right)^3 $, con $b,c\neq 0$
$ \left(\frac{-m}{2n}\div\frac{p}{-3q}\right)^2 $, con $n,p,q\neq 0$

Síntesis: combinando todas las propiedades

Ahora que hemos añadido los exponentes negativos y las propiedades distributivas, podemos resolver expresiones que combinan varias reglas.

Ejemplo de síntesis A: bases recíprocas

Resolver:

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4 \]

Como $ \frac{3}{2} $ es el recíproco de $ \frac{2}{3} $, escribimos:

\[ \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]

Entonces:

\[ \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \]

Sumamos los exponentes:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+4} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Ejemplo de síntesis B

Resolver:

\[ \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right)^2 \]

Primero resolvemos el exponente $-1$:

\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \]

Luego elevamos al cuadrado:

\[ 5^2 = 25 \]

Ejemplo de síntesis C: agrupación por exponente

Resolver:

\[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^3}{\left(\frac{2}{5}\right)^3} \]

Como todas las potencias tienen el mismo exponente, agrupamos las bases:

\[ \left( \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 \]

Simplificamos dentro del paréntesis:

\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Entonces:

\[ \left( \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}} \right)^3 = 1^3 = 1 \]

Ejemplo de síntesis D: agrupación por bases

Resolver:

\[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2} {\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2} \]

Agrupamos las potencias de igual base:

\[ \left( \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^4}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} \right) \cdot \left( \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^2}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \right) \]

Restamos exponentes:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 \]

Finalmente:

\[ \frac{4}{9}\cdot1 = \frac{4}{9} \]

Ejercicios de síntesis

Simplifica al máximo las siguientes expresiones. Los primeros ejercicios se centran en las propiedades de esta lección; los últimos combinan varias propiedades.

$ \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} $
$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} $
$ \left(\frac{1}{4}\cdot2\right)^{-2} $
$ \left(\frac{6}{5}\div\frac{3}{5}\right)^3 $
$ \left(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^{-2} $
$ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^{-1} $, con $a,b,c,d\neq 0$
$ \left(\frac{2x}{y}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-5} $, con $x,y\neq 0$
$ \left(\frac{-a}{b}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{-2} $, con $a,b\neq 0$
$ \left(\frac{x^2}{y}\right)^{-3} $, con $x,y\neq 0$
$ \left(\frac{4}{5}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} $
$ \left(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^{-1} $
$ \frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^3} $, con $a\neq 0$
$ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} $
$ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\div\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)^{-1} $
$ \left(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\left(\frac{y}{x}\right)\right)^{-3} $, con $x,y\neq 0$

Solución desarrollada

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \]
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} = (-3)^3 = -27 \]
\[ \left(\frac{1}{4}\cdot2\right)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \]
\[ \left(\frac{6}{5}\div\frac{3}{5}\right)^3 = \left(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{3}\right)^3 = 2^3 = 8 \]
\[ \left(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{4}\cdot2\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
\[ \left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^{-1} = \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right)^{-1} = \left(\frac{ad}{bc}\right)^{-1} = \frac{bc}{ad} \qquad \text{con } a,b,c,d\neq 0 \]
\[ \left(\frac{2x}{y}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-5} = (2)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \]
\[ \left(\frac{-a}{b}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{-2} = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^2 \]

\[ = \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} = 1 \]
\[ \left(\frac{x^2}{y}\right)^{-3} = \left(\frac{y}{x^2}\right)^3 = \frac{y^3}{x^6} \qquad \text{con } x,y\neq 0 \]
\[ \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3+(-2)} = \left(\frac{4}{5}\right)^1 = \frac{4}{5} \]
\[ \left(\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^{-1} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{(-2)(-1)} = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
\[ \frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^3} = \frac{a^{5+(-2)}}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0 = 1 \qquad \text{con } a\neq 0 \]
\[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} {\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2-(-3)} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2-2} \]

\[ = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \frac{2}{3}\cdot1 = \frac{2}{3} \]
\[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\div\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)^{-1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{3-5}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right)^{-1} \]

\[ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
\[ \left(\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot\left(\frac{y}{x}\right)\right)^{-3} = \left(\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-3} = \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \frac{y^3}{x^3} \]

13. Ejercitación con Potencias: Aplicaciones

En esta página aplicaremos las propiedades de las potencias que hemos aprendido para resolver dos tipos de problemas: encontrar términos desconocidos en ecuaciones y resolver problemas de aplicación.

1. Ecuaciones con potencias

Idea principal

Una forma de evaluar la comprensión de las propiedades de las potencias es resolver ecuaciones donde la incógnita aparece en el exponente.

Cuando las bases son iguales, podemos comparar los exponentes.

Ejemplo: determinando un término desconocido

Encuentra el valor de $x$ en la siguiente ecuación:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^7 \]

Aplicamos la propiedad del producto de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{4+x} = \left(\frac{3}{5}\right)^7 \]

Como las bases son iguales, igualamos los exponentes:

\[ 4+x=7 \]

Resolvemos:

\[ x=7-4 = 3 \]

Respuesta: $x=3$.

Ejercicios: determinando términos desconocidos

Encuentra el valor de la incógnita en cada ecuación, aplicando propiedades de las potencias.

$ \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 $
$ \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 $
$ \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 $
$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n $
$ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 $, con $a,b\neq 0$

2. Problemas de aplicación en contexto

Potencias en situaciones reales

Las potencias permiten modelar situaciones como cálculos de áreas, volúmenes, crecimiento, decrecimiento y repartos sucesivos.

Ejemplo: problema de aplicación de área

Un terreno rectangular mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^3 $ metros de largo y $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $ metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?

El área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho:

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \]

Como las bases son iguales, sumamos los exponentes:

\[ \text{Área} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^5 \]

Respuesta: el área del terreno es $ \left(\frac{5}{2}\right)^5 \text{ m}^2 $, es decir:

\[ \frac{5^5}{2^5}\text{ m}^2 \]

Ejercicios: problemas de aplicación

Resuelve cada problema aplicando propiedades de potencias y operaciones con fracciones.

Un campo rectangular tiene un área de $ \left( \frac{3}{4} \right)^5 $ kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es $ \left( \frac{3}{4} \right)^2 $ kilómetros, ¿cuál es su longitud?
Una receta para un pastel requiere $ \left( \frac{2}{3} \right)^2 $ tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad de la receta, ¿cuánta azúcar necesitas?
Una botella contiene $ \left( \frac{4}{5} \right)^3 $ litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de $ \left( \frac{4}{5} \right) $ litros de capacidad, ¿qué fracción de un vaso se puede llenar?
El lado de una caja cúbica mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $ centímetros. ¿Cuál es el volumen de la caja? Recuerda que $ \text{Volumen}=\text{lado}^3 $.
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuántas habrá después de $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $ horas?
Un equipo tecnológico cuesta $512.000. Si su valor disminuye a la mitad cada año, ¿cuál será su valor después de 3 años?
Un trozo de tela mide $ \left(\frac{9}{2}\right)^4 $ centímetros de largo. Si se corta en 3 trozos iguales, ¿cuánto mide cada trozo?
Una piscina se llena a una velocidad de $ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} $ litros por hora. ¿Cuántos litros de agua tendrá la piscina después de 2 horas?

Solución desarrollada

La longitud se obtiene dividiendo área por ancho:

\[ \text{Longitud} = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(\frac{3}{4}\right)^2 \]

Como las bases son iguales, restamos los exponentes:

\[ \text{Longitud} = \left(\frac{3}{4}\right)^{5-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} \]

Respuesta: la longitud es $ \frac{27}{64} $ kilómetros.
Primero calculamos la cantidad original de azúcar:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Hacer la mitad de la receta significa dividir por $2$, o multiplicar por $ \frac{1}{2} $:

\[ \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \]

Respuesta: se necesitan $ \frac{2}{9} $ de taza de azúcar.
Dividimos la cantidad de jugo por la capacidad de un vaso:

\[ \left(\frac{4}{5}\right)^3 \div \left(\frac{4}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 \div \left(\frac{4}{5}\right)^1 \]

Restamos los exponentes:

\[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \]

Respuesta: se puede llenar $ \frac{16}{25} $ de un vaso. No alcanza para llenar un vaso completo.
El volumen de una caja cúbica es:

\[ \text{Volumen} = \text{lado}^3 \]

Como el lado mide $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 $, entonces:

\[ \text{Volumen} = \left[\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]^3 \]

Aplicamos potencia de una potencia:

\[ \text{Volumen} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2\cdot3} = \left(\frac{5}{2}\right)^6 = \frac{5^6}{2^6} \]

Respuesta: el volumen es $ \frac{5^6}{2^6}\text{ cm}^3 $.
Primero calculamos el tiempo:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4 \]

Después de $4$ horas, la población se duplica $4$ veces:

\[ 1000\cdot2^4 = 1000\cdot16 = 16000 \]

Respuesta: habrá 16000 bacterias.
Si el valor disminuye a la mitad cada año, después de 3 años se multiplica por $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 $:

\[ 512000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 512000\cdot\frac{1}{8} = 64000 \]

Respuesta: el valor será de $64.000.
Dividimos el largo total en 3 trozos iguales:

\[ \left(\frac{9}{2}\right)^4 \div 3 \]

Escribimos $3$ como $ \frac{3}{1} $:

\[ \left(\frac{9}{2}\right)^4 \div 3 = \frac{9^4}{2^4}\cdot\frac{1}{3} \]

Como $9=3^2$, entonces $9^4=(3^2)^4=3^8$:

\[ \frac{9^4}{2^4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{3^8}{16\cdot3} = \frac{3^7}{16} \]

Respuesta: cada trozo mide $ \frac{3^7}{16} $ centímetros.
Primero calculamos la velocidad:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 \]

La piscina se llena a $32$ litros por hora. Después de 2 horas:

\[ 32\cdot2 = 64 \]

También se puede escribir como:

\[ 2^5\cdot2 = 2^6 = 64 \]

Respuesta: tendrá 64 litros de agua.

14. mapa racionales

Mapa de contenidos: Números Racionales

Esta página presenta una síntesis visual de la unidad de números racionales. El diagrama organiza los contenidos principales para comprender cómo se conectan las ideas: definición, fracciones, operaciones, potencias y aplicaciones.

Objetivo de aprendizaje

Reconocer y relacionar los contenidos principales de la unidad de números racionales, comprendiendo sus representaciones, operaciones y aplicaciones.

Cómo leer este diagrama

Comienza desde el nodo central y sigue la ruta principal. Las ramas muestran distintos tipos de trabajo: representar, operar o resolver problemas.

Idea central de la unidad

Un número racional es todo número que puede escribirse como una fracción:

\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\} \]

Diagrama general de la unidad

Interpretación del diagrama

La unidad comienza con la definición de los números racionales y sus representaciones. Luego se estudian equivalencias y conversiones, que son fundamentales para trabajar con fracciones.

Después, según el tipo de problema, se aplican operaciones como comparación, suma, multiplicación o división, para finalmente resolver situaciones reales.

Aplicaciones en la vida real

Repartir cantidades (comida, dinero, materiales)
Medir en recetas o construcciones
Trabajar con proporciones y escalas
Resolver problemas cotidianos con partes de un todo

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 1
Libro:	Libro Fracciones

Imprimido por:	Invitado
Día:	domingo, 7 de junio de 2026, 17:18

Propiedad	Fórmula
Producto de potencias	\( \left(\frac{a}{b}\right)^m\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)
Cociente de potencias	\( \left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \)
Potencia de una potencia	\( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n} \)
Exponente cero	\( \left(\frac{a}{b}\right)^0=1 \), con \(a,b\neq 0\)
Exponente uno	\( \left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b} \)

Libro Fracciones

Descripción

Soluciones:

Tabla de contenidos

1. Números Racionales

\( \mathbb{Q} \)

Números racionales

Definición

Definición formal

¿Sabías que…?

Fracciones como partes de una unidad

Representación en la recta numérica

Ubicación en la recta

Representación decimal

Decimales de los racionales

Advertencia

No confundas

Ejemplos de números racionales

Clasificación rápida

Densidad de los números racionales

Densidad de \( \mathbb{Q} \)

Demostración intuitiva de la densidad

Ejemplo numérico de densidad

Ejercicios

Identificando números racionales

Solución desarrollada

Clasificación de representaciones

Solución desarrollada

Densidad de los racionales

Solución desarrollada

2. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Ejemplo en la vida real

Idea clave

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Procedimiento para amplificar

Ejemplo 1: amplificar \( \frac{2}{5} \) por 2

Ejemplo 2: amplificar \( \frac{-1}{4} \) por \(-3\)

Amplificación: multiplica por el número indicado

Solución desarrollada

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Procedimiento para simplificar usando factorización

Ejemplo 1: simplificar \( \frac{25}{40} \)

Ejemplo 2: simplificar \( \frac{42}{54} \)

Ejemplo 3: simplificar \( \frac{18}{24} \) usando factorización

Ojo con el álgebra

Simplificar a la mínima expresión

Solución desarrollada

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Método 1: simplificación a la forma irreducible

Estrategia clave: simplificar

Verificando con simplificación

¿Son equivalentes? Verificación por simplificación

Solución desarrollada

Método 2: productos cruzados

Fórmula de productos cruzados

Verificando con productos cruzados

¿Son equivalentes? Usando productos cruzados

Solución desarrollada

¿Por qué funcionan los productos cruzados?

3. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Ejemplo en la vida real

Idea clave

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Procedimiento para amplificar

Ejemplo 1: amplificar \( \frac{2}{5} \) por 2

Ejemplo 2: amplificar \( \frac{-1}{4} \) por \(-3\)

Amplificación: multiplica por el número indicado

Solución desarrollada

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Procedimiento para simplificar usando factorización

Ejemplo 1: simplificar \( \frac{25}{40} \)

Ejemplo 2: simplificar \( \frac{42}{54} \)