Números Racionales \( \mathbb{R} \)

¿Te has preguntado cómo se representan las partes de un objeto o los números que están entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página, descubrirás qué son los números racionales, sus características y cómo se representan.

Definición

Un número racional es aquel que se puede escribir como una fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros, y el denominador no es cero.

\( \frac{a}{b} \) donde \( a \) es un número entero y \( b \) es un número entero diferente de cero. El símbolo \( \mathbb{Z} \) representa el conjunto de los números enteros. Así podemos decir 

\( n \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \)    \( n= \frac{a}{b} \) donde \( a \) \( \in \) \( \mathbb{Z} \)  y \( b \) \( \in \) \( \mathbb{Z} \) -{0} . 

Características Principales

• Los números enteros son racionales: El número 5 es entero y también racional, ya que se puede escribir como \( \frac{5}{1} \).
• Representación decimal: Algunos racionales tienen una representación decimal finita, como \( \frac{1}{4} = 0.25 \). Otros tienen una representación decimal periódica, como \( \frac{1}{3} = 0.333... \)
• Incluyen números positivos, negativos y el cero.

Ejemplos

• \( \frac{1}{2} \)
• \( -\frac{3}{4} \)
• \( 5 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{5}{1} \))
• \( 0 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{0}{1} \))
• \( 0.75 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{3}{4} \))
• \( -2.333... \) (periódico, ya que se puede expresar como \( -\frac{7}{3} \))

Representación en la Recta Numérica

Los números racionales se pueden ubicar en la recta numérica. Por ejemplo, \( \frac{1}{2} \) se encuentra entre 0 y 1.

Densidad de los Números Racionales

El conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)) es denso. Esto significa que entre cualesquiera dos números racionales distintos, siempre existe otro número racional. En otras palabras, no hay "huecos" entre los números racionales en la recta numérica.

Demostración intuitiva:

Supongamos que tenemos dos números racionales \(a\) y \(b\), con \(a < b\). Si calculamos el promedio de estos dos números, obtenemos un nuevo número \(c\):

\[c = \frac{a + b}{2}\]

Como la suma de dos numeros racionales es racional, y dividir un racional por 2 (que es un entero) da un numero racional, entonces \(c\) también es un número racional. Además, \(c\) se encuentra exactamente entre \(a\) y \(b\), es decir, \(a < c < b\).

Como este proceso puede realizarse para cualquier par de numeros racionales, entonces demostramos que siempre hay infinitos racionales entre dos racionales dados.

Ejemplo numérico:

Consideremos los números racionales \(a = \frac{1}{4}\) y \(b = \frac{1}{2}\). Su promedio es:

\[c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}\]

Efectivamente, \(\frac{3}{8}\) es un número racional que se encuentra entre \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}\]

Podemos repetir el proceso, ahora con \(a = \frac{1}{4}\) y \(c = \frac{3}{8}\) y encontraremos otro racional entre ellos. Como este proceso puede realizarse para cualquier par de numeros racionales, entonces demostramos que siempre hay infinitos racionales entre dos racionales dados.

Conclusión

Los números racionales son fundamentales para comprender las operaciones matemáticas y representar diversas cantidades en la vida diaria.

Ejercicios

Determina si los siguientes números son racionales o no. Si son racionales, exprésalos en la forma \( \frac{p}{q} \) donde \(p\) y \(q\) son números enteros y \(q \neq 0\):

1. \( 2.5 \)
2. \( \sqrt{9} \)
3. \( \frac{-2}{7} \)
4. \( 0.121212... \) (periódico)
5. \( \pi \) (Pi)

Números Racionales: Fracciones Equivalentes

¿Qué son las Fracciones Equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{2}{4} \) y \( \frac{4}{8} \) son fracciones equivalentes porque todas representan la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes:

Método 1: Productos Cruzados

Dadas dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), son equivalentes si y solo si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Es decir:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]

Ejemplo: Para verificar si \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{6} \) son equivalentes, multiplicamos en cruz: \[ 2 \cdot 6 = 12 \] \[ 3 \cdot 4 = 12 \] Como los productos son iguales (12 = 12), las fracciones son equivalentes.

Método 2: Simplificación

Si al simplificar ambas fracciones a su forma irreducible (donde el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1) obtenemos la misma fracción, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Ejemplo: Para verificar si \( \frac{6}{8} \) y \( \frac{9}{12} \) son equivalentes, simplificamos ambas: \[ \frac{6}{8} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4} \] Como ambas se simplifican a \( \frac{3}{4} \), son equivalentes.

Amplificar y Simplificar Fracciones

Amplificación

Amplificar una fracción consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número entero distinto de cero. Esto genera una fracción equivalente a la original.

Ejemplo: Amplificar \( \frac{2}{5} \) por 3: \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} \] \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{15} \) son fracciones equivalentes.

Simplificación

Simplificar una fracción consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por un factor común a ambos. La fracción resultante es equivalente a la original y, si el factor común es el máximo común divisor (MCD), la fracción resultante estará en su forma irreducible.

Ejemplo basado en factorizaciones: Simplificar \( \frac{18}{24} \):

1. Factorizamos el numerador y el denominador: \[ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \] \[ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \]
2. Identificamos los factores comunes: 2 y 3.
3. Dividimos numerador y denominador por los factores comunes: \[ \frac{18}{24} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \]

\( \frac{18}{24} \) y \( \frac{3}{4} \) son fracciones equivalentes.

Ejercicios

Grupo 1: Determinar si las fracciones son equivalentes usando productos cruzados

1. \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{4}{12} \)
2. \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{10} \)
3. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{16}{28} \)
4. \( \frac{5}{9} \) y \( \frac{25}{45} \)
5. \( \frac{-3}{4} \) y \( \frac{6}{-8} \)
6. \( \frac{7}{2} \) y \( \frac{21}{6} \)

Grupo 2: Simplificar las siguientes fracciones a su mínima expresión

1. \( \frac{30}{45} \)
2. \( \frac{56}{72} \)
3. \( \frac{120}{180} \)
4. \( \frac{-15}{25} \)
5. \( \frac{42}{-49} \)
6. \( \frac{-28}{-63} \)
7. \( \frac{90}{135} \)
8. \( \frac{165}{220} \)
9. \( \frac{2a}{4a} \) (siendo \(a \neq 0\))
10. \( \frac{6x^2}{9x} \) (siendo \(x \neq 0\))
11. \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \) (siendo \(y \neq -2\))

Conversión entre Números Enteros, Fracciones y Números Mixtos

Números Enteros a Fracciones

Definición

Un número entero es un número que no tiene parte decimal ni fraccionaria. Puede ser positivo, negativo o cero.

Todo número entero puede ser expresado como una fracción cuyo denominador es 1.

Conversión

Para convertir un número entero a una fracción, simplemente se escribe el número entero como el numerador y se coloca un 1 como el denominador.

Ejemplo:

• El número entero 5 se puede expresar como la fracción \( \frac{5}{1} \).
• El número entero -3 se puede expresar como la fracción \( \frac{-3}{1} \) o \( -\frac{3}{1} \).
• El número entero 0 se puede expresar como la fracción \( \frac{0}{1} \).

Fracciones a Números Enteros

Definición

Una fracción representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier número de partes iguales. Una fracción se escribe en la forma \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) es el numerador y \(b\) es el denominador (distinto de cero).

Conversión

Si una fracción tiene denominador 1, el número racional que representa dicha fracción es simplemente el numerador.

Ejemplo:

• La fracción \( \frac{7}{1} \) representa el número entero 7.
• La fracción \( \frac{-4}{1} \) representa el número entero -4.
• La fracción \( \frac{0}{1} \) representa el número entero 0.

Números Mixtos y Fracciones Impropias

Definiciones

Una fracción impropia es una fracción en la que el numerador es mayor o igual que el denominador.

Un número mixto es un número que consta de una parte entera y una parte fraccionaria propia (una fracción menor que 1).

Conversión de Fracción Impropia a Número Mixto

Para convertir una fracción impropia a un número mixto, se siguen estos pasos:

1. Se divide el numerador entre el denominador.
2. El cociente de la división se convierte en la parte entera del número mixto.
3. El residuo de la división se convierte en el numerador de la parte fraccionaria.
4. El denominador de la parte fraccionaria es el mismo que el denominador de la fracción impropia original.

Ejemplo: Convertir la fracción impropia \( \frac{11}{4} \) a un número mixto:

1. Dividimos 11 entre 4: 11 ÷ 4 = 2 con residuo 3.
2. La parte entera es 2.
3. El numerador de la parte fraccionaria es 3.
4. El denominador de la parte fraccionaria es 4.
5. Por lo tanto, \( \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \).

Conversión de Número Mixto a Fracción Impropia

Para convertir un número mixto a una fracción impropia, se siguen estos pasos:

1. Se multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria.
2. Se suma el resultado al numerador de la parte fraccionaria.
3. Este resultado se convierte en el numerador de la fracción impropia.
4. El denominador de la fracción impropia es el mismo que el denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

Ejemplo: Convertir el número mixto \( 3\frac{2}{5} \) a una fracción impropia:

1. Multiplicamos la parte entera (3) por el denominador (5): 3 × 5 = 15.
2. Sumamos el resultado al numerador (2): 15 + 2 = 17.
3. El numerador de la fracción impropia es 17.
4. El denominador de la fracción impropia es 5.
5. Por lo tanto, \( 3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \).

Ejercicios

Grupo 1: Convertir enteros a fracciones

1. 8
2. -6
3. 0
4. 15
5. -23
6. 1

Grupo 2: Convertir fracciones a enteros

1. \( \frac{12}{1} \)
2. \( \frac{-9}{1} \)
3. \( \frac{0}{1} \)
4. \( \frac{34}{1} \)
5. \( \frac{-16}{1} \)
6. \( \frac{1}{1} \)

Grupo 3: Convertir fracciones impropias a números mixtos

1. \( \frac{7}{3} \)
2. \( \frac{15}{4} \)
3. \( \frac{22}{5} \)
4. \( \frac{19}{6} \)
5. \( \frac{31}{8} \)
6. \( \frac{47}{9} \)

Grupo 4: Convertir números mixtos a fracciones impropias

1. \( 1\frac{2}{3} \)
2. \( 4\frac{1}{6} \)
3. \( 2\frac{5}{8} \)
4. \( 5\frac{3}{7} \)
5. \( 3\frac{9}{10} \)
6. \( 6\frac{4}{5} \)

Comparación de Fracciones

Repaso: Fracciones con Igual Denominador

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor.

Ejemplo: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \) porque 5 > 3.

Repaso: Fracciones con Igual Numerador

Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene el denominador menor.

Ejemplo: \( \frac{2}{5} > \frac{2}{9} \) porque 5 < 9.

Fracciones con Distinto Numerador y Denominador

Cuando las fracciones tienen distinto numerador y denominador, podemos compararlas usando uno de los siguientes métodos:

Método 1: Fracciones Equivalentes (Denominador Común)

1. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.
2. Convertir cada fracción a una fracción equivalente que tenga como denominador el MCM.
3. Comparar las fracciones equivalentes resultantes (es mayor la que tiene mayor numerador).

Ejemplo: Comparar \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{5}{6} \).

1. MCM(4, 6) = 12.
2. \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \)
3. \( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} \)
4. Como \( \frac{10}{12} > \frac{9}{12} \), entonces \( \frac{5}{6} > \frac{3}{4} \).

Método 2: Productos Cruzados

Para comparar dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), se calculan los productos cruzados \( a \cdot d \) y \( b \cdot c \).

• Si \( a \cdot d > b \cdot c \), entonces \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \).
• Si \( a \cdot d < b \cdot c \), entonces \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \).
• Si \( a \cdot d = b \cdot c \), entonces \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) (las fracciones son equivalentes).

Ejemplo: Comparar \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{3}{7} \).

• Calculamos los productos cruzados:
  • \( 2 \cdot 7 = 14 \)
  • \( 5 \cdot 3 = 15 \)
• Como 14 < 15, entonces \( \frac{2}{5} < \frac{3}{7} \).

Uso de la Recta Numérica

También podemos comparar fracciones representándolas en la recta numérica. La fracción que se encuentre más a la derecha en la recta numérica es la mayor.

(Aquí podrías incluir una imagen de una recta numérica con algunas fracciones ubicadas para ilustrar el concepto).

Ejercicios

Compara las siguientes fracciones utilizando el símbolo >, < o = según corresponda:

Grupo 1: Comparar usando fracciones equivalentes

1. \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{3}{5} \)
2. \( \frac{5}{8} \) y \( \frac{7}{12} \)
3. \( \frac{4}{9} \) y \( \frac{1}{2} \)
4. \( 2\frac{1}{4} \) y \( \frac{11}{5} \)
5. \( \frac{-3}{7} \) y \( \frac{-2}{5} \)

Grupo 2: Comparar usando productos cruzados

1. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{5}{9} \)
2. \( \frac{1}{6} \) y \( \frac{2}{11} \)
3. \( \frac{8}{3} \) y \( 2\frac{2}{5} \)
4. \( \frac{-5}{8} \) y \( \frac{-3}{5} \)
5. \( \frac{7}{4} \) y \( \frac{9}{5} \)

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con Igual Denominador

Para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. Luego, si es posible, se simplifica el resultado.

Ejemplos:

1. Suma: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \)
2. Resta: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \) (simplificado)
3. Suma con números negativos: \( \frac{-2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-2+4}{5} = \frac{2}{5} \)
4. Resta con números negativos: \( \frac{1}{8} - \frac{-3}{8} = \frac{1-(-3)}{8} = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) (simplificado)

Fracciones con Distinto Denominador

Para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador, se deben seguir estos pasos:

1. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Este será el denominador común.
2. Convertir cada fracción a una fracción equivalente que tenga como denominador el MCM encontrado. Para ello, se amplifica cada fracción (se multiplica numerador y denominador) por el número que sea necesario.
3. Sumar o restar las fracciones equivalentes obtenidas, siguiendo el procedimiento para fracciones con igual denominador (sumar o restar los numeradores y mantener el denominador común).
4. Simplificar el resultado, si es posible.

Ejemplos:

1. Suma: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
   • MCM(2, 3) = 6
   • \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \)
   • \( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} \)
   • \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
2. Resta: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \)
   • MCM(4, 6) = 12
   • \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \)
   • \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} \)
   • \( \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \)
3. Suma con números negativos: \( \frac{-2}{3} + \frac{1}{4} \)
   • MCM(3, 4) = 12
   • \( \frac{-2}{3} = \frac{-2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{-8}{12} \)
   • \( \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} \)
   • \( \frac{-8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{-8+3}{12} = \frac{-5}{12} = -\frac{5}{12}\)
4. Resta con números negativos: \( \frac{2}{5} - \frac{-1}{2} \)
   • MCM(5, 2) = 10
   • \( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} \)
   • \( \frac{-1}{2} = \frac{-1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{-5}{10} \)
   • \( \frac{4}{10} - \frac{-5}{10} = \frac{4-(-5)}{10} = \frac{4+5}{10} = \frac{9}{10} \)

Suma y Resta de Enteros y Fracciones

Para sumar o restar un número entero y una fracción, se convierte el número entero a una fracción con denominador 1. Luego, se procede como en la suma o resta de fracciones con distinto denominador.

Ejemplos:

1. Suma: \( 3 + \frac{1}{4} = \frac{3}{1} + \frac{1}{4} \)
   • MCM(1, 4) = 4
   • \( \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 4} = \frac{12}{4} \)
   • \( \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4} \)
2. Resta: \( 2 - \frac{3}{5} = \frac{2}{1} - \frac{3}{5} \)
   • MCM(1, 5) = 5
   • \( \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{10}{5} \)
   • \( \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{10-3}{5} = \frac{7}{5} \)

Suma y Resta de Números Mixtos, Enteros y Fracciones

Para sumar o restar números mixtos con enteros y fracciones, hay varios enfoques. Uno de los más sencillos es convertir todo a fracciones impropias y luego proceder como en la suma o resta de fracciones.

Ejemplos:

1. Suma: \( 1\frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{3}{1} \)
   • MCM(2, 1) = 2
   • \( \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2} \)
   • \( \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{3+6}{2} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} \)
2. Resta: \( 2\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{11}{4} - \frac{1}{3} \)
   • MCM(4, 3) = 12
   • \( \frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{33}{12} \)
   • \( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} \)
   • \( \frac{33}{12} - \frac{4}{12} = \frac{33-4}{12} = \frac{29}{12} = 2\frac{5}{12} \)
3. Suma con parte algebraica: \( 1\frac{1}{2} + x = \frac{3}{2} + \frac{x}{1} \)
   • MCM(2, 1) = 2
   • \( \frac{x}{1} = \frac{x \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{2x}{2} \)
   • \( \frac{3}{2} + \frac{2x}{2} = \frac{3+2x}{2} \)

Ejercicios

Grupo 1: Suma y resta de fracciones con igual denominador

1. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \)
2. \( \frac{7}{11} - \frac{3}{11} \)
3. \( \frac{-4}{9} + \frac{2}{9} \)
4. \( \frac{5}{12} - \frac{-1}{12} \)
5. \( \frac{3}{8} + \frac{-5}{8} \)
6. \( \frac{-2}{7} - \frac{3}{7}\)

Grupo 2: Suma y resta de fracciones con distinto denominador

1. \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \)
2. \( \frac{2}{5} - \frac{1}{10} \)
3. \( \frac{-3}{4} + \frac{1}{6} \)
4. \( \frac{2}{3} - \frac{-1}{2} \)
5. \( \frac{3}{8} + \frac{-1}{6} \)
6. \( \frac{-5}{12} - \frac{1}{4} \)

Grupo 3: Suma y resta de enteros y fracciones

1. \( 2 + \frac{1}{3} \)
2. \( 5 - \frac{2}{7} \)
3. \( -3 + \frac{3}{4} \)
4. \( \frac{-4}{5} + 4\)
5. \( \frac{5}{6} - (-2) \)
6. \( -1 - \frac{2}{9} \)

Grupo 4: Suma y resta de números mixtos, enteros y fracciones

1. \( 2\frac{1}{4} + 1 \)
2. \( 3\frac{2}{5} - \frac{1}{2} \)
3. \( -1\frac{1}{3} + \frac{3}{4} \)
4. \( 4 - 2\frac{5}{6} \)
5. \( 1\frac{2}{7} + \frac{-3}{14} \)
6. Escribe como una sola fracción: \( x + 2\frac{1}{2}\)
7. Escribe como una sola fracción: \( 1\frac{2}{3} - a\)
8. Escribe como una sola fracción: \( 2\frac{1}{4} + b - 1\frac{1}{2}\)
9. Escribe como una sola fracción: \( \frac{a}{5} + \frac{3a}{5} \)
10. Escribe como una sola fracción: \( \frac{2x}{3} + \frac{x}{4} - \frac{5y}{6} + \frac{y}{2}\)

Multiplicación de Fracciones

Regla General

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí para obtener el numerador del producto, y se multiplican los denominadores entre sí para obtener el denominador del producto. Luego, si es posible, se simplifica el resultado.

Simbólicamente:

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]

donde \(b \neq 0\) y \(d \neq 0\).

Ejemplos

1. Multiplicación de fracciones con el mismo signo:

\( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21} \)

2. Multiplicación de fracciones con diferente signo:

\( \frac{-3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{-3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10} \) (simplificado)

3. Multiplicación de un número entero por una fracción:

\( 4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{8}{9} \)

4. Multiplicación de un número mixto por una fracción:

Primero, convertimos el número mixto a fracción impropia: \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

Luego, multiplicamos: \( 2\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15} \)

5. Multiplicación de dos números mixtos:

Primero, convertimos ambos números mixtos a fracciones impropias: \( 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \) \( 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} \)

Luego, multiplicamos: \( 1\frac{3}{4} \cdot 2\frac{2}{5} = \frac{7}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 12}{4 \cdot 5} = \frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} \) (simplificado y convertido a número mixto)

6. Simplificación antes de multiplicar:

\( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} \) (simplificando antes, el 4 con el 8 y el 3 con el 9)

7. Multiplicar por 0:

Cualquier fracción multiplicada por 0 da como resultado 0.

\( \frac{5}{7} \cdot 0 = \frac{5}{7} \cdot \frac{0}{1} = \frac{5 \cdot 0}{7 \cdot 1} = \frac{0}{7} = 0 \)

8. Multiplicar por 1:

Cualquier fracción multiplicada por 1 da como resultado la misma fracción.

\( \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \)

9. Multiplicar con parte literal:

\( \frac{2x}{5} \cdot \frac{3}{y} = \frac{2x \cdot 3}{5 \cdot y} = \frac{6x}{5y} \) (con \(y \neq 0\))

Ejercicios

1. \( \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} \)
2. \( \frac{-2}{7} \cdot \frac{4}{9} \)
3. \( 5 \cdot \frac{3}{8} \)
4. \( 3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \)
5. \( 2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \)
6. \( \frac{6}{15} \cdot \frac{10}{12} \)
7. \( \frac{9}{14} \cdot 0 \)
8. \( \frac{-5}{6} \cdot 1\)
9. \( \frac{4a}{7} \cdot \frac{2}{3b} \) (con \(b \neq 0\))
10. \( 2x \cdot \frac{5}{y} \) (con \(y \neq 0\))
11. \( \frac{3x}{2} \cdot \frac{y}{5} \)
12. \( \frac{-2a}{b} \cdot \frac{3c}{4} \) (con \(b \neq 0\))
13. \( \frac{m}{4} \cdot \frac{3n}{2} \)

División de Fracciones

Inverso Multiplicativo (Recíproco)

El inverso multiplicativo o recíproco de una fracción \( \frac{a}{b} \) es otra fracción que, al multiplicarse por la primera, da como resultado 1. El inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es \( \frac{b}{a} \) (simplemente se intercambian numerador y denominador).

Ejemplo:

• El inverso multiplicativo de \( \frac{3}{4} \) es \( \frac{4}{3} \).
• El inverso multiplicativo de \( -\frac{2}{5} \) es \( -\frac{5}{2} \).
• El inverso multiplicativo de 7 (que es \( \frac{7}{1} \)) es \( \frac{1}{7} \).

Importante: El 0 no tiene inverso multiplicativo, ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 dé como resultado 1.

Ejercicios de Inverso Multiplicativo

1. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{2}{7} \).
2. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -\frac{5}{9} \).
3. Encuentra el inverso multiplicativo de 4.
4. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -1\frac{2}{3} \).
5. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\)).

Métodos para Dividir Fracciones

Existen dos métodos principales para dividir fracciones:

Método 1: Multiplicar por el Inverso

Para dividir una fracción \( \frac{a}{b} \) entre otra fracción \( \frac{c}{d} \), se multiplica la primera fracción (\( \frac{a}{b} \)) por el inverso multiplicativo de la segunda fracción (\( \frac{d}{c} \)). Es decir:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

Método 2: Multiplicación en Cruz

Para dividir una fracción \( \frac{a}{b} \) entre otra fracción \( \frac{c}{d} \), se multiplica el numerador de la primera fracción (\(a\)) por el denominador de la segunda (\(d\)), y el denominador de la primera (\(b\)) por el numerador de la segunda (\(c\)). Es decir:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

Ambos métodos son equivalentes y conducen al mismo resultado.

División de Fracciones como Fracción de Fracciones

Una división de fracciones también se puede expresar como una fracción de fracciones, es decir, una fracción donde el numerador y el denominador son a su vez fracciones. Para resolver una fracción de fracciones, se puede aplicar la regla "extremos por extremos y medios por medios".

\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

En la regla "extremos por extremos y medios por medios", el producto de los extremos (\(a\) y \(d\)) va al numerador, y el producto de los medios (\(b\) y \(c\)) va al denominador.

Ejemplos Adicionales

1. Dividir una fracción entre un número entero:

\( \frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \div \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20} \)

2. Dividir un número entero entre una fracción:

\( 6 \div \frac{2}{7} = \frac{6}{1} \div \frac{2}{7} = \frac{6}{1} \cdot \frac{7}{2} = \frac{6 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \frac{42}{2} = 21 \)

3. Dividir un número mixto entre una fracción:

Primero, convertimos el número mixto a fracción impropia: \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

Luego, dividimos: \( 2\frac{1}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{28}{9} = 3\frac{1}{9} \)

4. Dividir con fracciones negativas:

\( \frac{-4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{-4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{-4 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5}\)

5. Dividir con parte literal:

\( \frac{3x}{2} \div \frac{y}{4} = \frac{3x}{2} \cdot \frac{4}{y} = \frac{3x \cdot 4}{2 \cdot y} = \frac{12x}{2y} = \frac{6x}{y} \) (con \(y \neq 0\))

Ejercicios

1. \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \)
2. \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} \)
3. \( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{8} \)
4. \( 4 \div \frac{2}{5} \)
5. \( \frac{5}{9} \div 3 \)
6. \( 1\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} \)
   
   
7. \( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} \)
   
   
8. \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} \)
   
   
9. \( \frac{\frac{-1}{3}}{\frac{1}{4}} \)
   
   
10. \( \frac{2x}{3} \div \frac{4}{y} \) (con \(y \neq 0\))
11. \( \frac{3a}{b} \div \frac{2c}{5} \) (con \(b \neq 0\) y \(c \neq 0\))
12. \( \frac{1}{2} \div \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\))
13. \( \frac{5m}{2n} \div \frac{2}{3} \) (con \(n \neq 0\))
    
    
14. \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} \) (con \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\))
    

Problemas de Aplicación con Fracciones

Las fracciones son muy útiles para resolver problemas de la vida cotidiana. En esta página, veremos algunos ejemplos de cómo aplicar lo que hemos aprendido sobre fracciones para resolver problemas prácticos.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Repartiendo una Pizza

Problema: María, Juan y Pedro compraron una pizza. María comió \( \frac{1}{2} \) de la pizza, Juan comió \( \frac{1}{3} \) de la pizza y Pedro comió el resto. ¿Qué fracción de la pizza comió Pedro?

Solución:

1. Primero, sumamos las fracciones de pizza que comieron María y Juan:
   • \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
2. Como la pizza entera representa una unidad, es decir \( \frac{6}{6} \), restamos la fracción que comieron María y Juan a la unidad para encontrar la fracción que comió Pedro:
   • \( \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)

Respuesta: Pedro comió \( \frac{1}{6} \) de la pizza.

Ejemplo 2: Receta de Galletas

Problema: Una receta de galletas de chocolate requiere \( 1\frac{1}{2} \) tazas de harina, \( \frac{3}{4} \) tazas de azúcar y \( \frac{1}{2} \) taza de mantequilla. Si queremos hacer la mitad de la receta, ¿cuánta harina, azúcar y mantequilla necesitamos?

Solución:

Para hacer la mitad de la receta, tenemos que multiplicar la cantidad de cada ingrediente por \( \frac{1}{2} \):

• Harina: \( 1\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \) tazas.
• Azúcar: \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} \) tazas.
• Mantequilla: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \) tazas.

Respuesta: Necesitamos \( \frac{3}{4} \) tazas de harina, \( \frac{3}{8} \) tazas de azúcar y \( \frac{1}{4} \) tazas de mantequilla.

Ejemplo 3: Viaje en Auto

Problema: Un automóvil tiene el tanque de gasolina lleno hasta \( \frac{3}{4} \) de su capacidad. Después de un viaje, el tanque está lleno hasta \( \frac{1}{8} \) de su capacidad. ¿Qué fracción de la capacidad total del tanque se consumió durante el viaje?

Solución:

Para encontrar la fracción de la capacidad del tanque que se consumió, restamos la fracción que queda después del viaje a la fracción inicial:

\( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \)

Respuesta: Se consumió \( \frac{5}{8} \) de la capacidad total del tanque durante el viaje.

Ejemplo 4: Area de un rectangulo

Problema: El largo de un rectangulo mide \(3\frac{1}{2}\) metros y su ancho mide \(2\frac{1}{4}\) metros. Calcula el area del rectangulo.

Solución: Primero convertimos los numeros mixtos a fracciones impropias: \(3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}\) \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}\) Luego, como el area de un rectangulo es el producto de largo por ancho, multiplicamos ambas fracciones: \(\frac{7}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{63}{8}\) Finalmente, el resultado lo podemos dejar expresado como fraccion impropia o convertirlo a numero mixto.

Respuesta: El area del rectangulo es \(\frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}\) metros cuadrados.

Ejemplo 5: Operaciones combinadas

Problema: Juan tiene una bolsa con canicas. Le da a María \( \frac{1}{3} \) de sus canicas, luego le da a Pedro \( \frac{1}{4} \) de lo que le quedaba. ¿Qué fracción de las canicas que tenía originalmente Juan le quedó al final?

Solución:

• Si Juan le da a María \( \frac{1}{3} \) de sus canicas, a Juan le quedan \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) de sus canicas.
• Luego, le da a Pedro \( \frac{1}{4} \) de lo que le quedaba, es decir, le da \( \frac{1}{4} \) de \( \frac{2}{3} \). Para calcular esto, multiplicamos ambas fracciones: \( \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
• Para saber la fracción de canicas que le quedan a Juan, restamos a la fracción que le quedó después de darle a María (\( \frac{2}{3} \)) la fracción que le dio a Pedro (\( \frac{1}{6} \)): \( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Respuesta: A Juan le quedó \( \frac{1}{2} \) de las canicas que tenía originalmente.

Ejercicios

1. Repartiendo una herencia: Un hombre reparte su herencia entre sus tres hijos. Al mayor le da \( \frac{2}{5} \) de la herencia, al segundo le da \( \frac{1}{3} \) de la herencia y al menor le da el resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe el hijo menor?
2. Mezcla de pintura: Para obtener un color específico de pintura verde, se debe mezclar \( \frac{1}{4} \) de litro de pintura azul con \( \frac{2}{5} \) de litro de pintura amarilla. ¿Cuánta pintura verde se obtiene en total?
3. Tiempo de estudio: Ana dedica \( \frac{2}{3} \) de hora a estudiar Matemáticas, \( \frac{1}{2} \) hora a estudiar Lenguaje y \( \frac{1}{4} \) de hora a estudiar Ciencias. ¿Cuánto tiempo en total dedica Ana a estudiar estas tres materias? Expresa el resultado como número mixto.
4. Terreno rectangular: Un terreno rectangular mide \( 5\frac{1}{2} \) metros de largo y \( 3\frac{1}{4} \) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno?
5. Compartiendo un chocolate: Juan comió \(\frac{1}{3}\) de un chocolate, María comió \(\frac{1}{4}\) del mismo chocolate y Pedro comió \(\frac{1}{6}\). ¿Qué fracción del chocolate quedó sin comer?
6. Llenando un estanque: Una llave llena \(\frac{1}{5}\) de un estanque en una hora, y otra llave llena \(\frac{1}{4}\) del mismo estanque en una hora. Si ambas llaves se abren al mismo tiempo, ¿qué fracción del estanque se llenará en una hora?
7. Fracciones de tiempo: Andrés se demoró \(\frac{3}{4}\) de hora en hacer una tarea de matemáticas y \(\frac{1}{2}\) hora en hacer una tarea de lenguaje. Además, descansó \(\frac{1}{4}\) de hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió en total?
8. Repartiendo líquido: Un depósito contiene \(3\frac{1}{2}\) litros de agua. Se reparte en envases de \(\frac{1}{4}\) de litro. ¿Cuántos envases se pueden llenar? ¿Cuánta agua sobra?
9. Combinando operaciones: Marta compró \(2\frac{1}{2}\) metros de tela. Usó \(\frac{2}{3}\) de la tela para hacer una cortina y luego usó \(\frac{1}{5}\) de lo que le quedaba para hacer un cojín. ¿Cuánta tela usó para hacer el cojín? ¿Cuánta tela le quedó finalmente a Marta?

Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Definición

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número (llamado base) por sí mismo tantas veces como lo indica otro número (llamado exponente). En el caso de las potencias de base fraccionaria y exponente natural, la base es una fracción y el exponente es un número natural (entero positivo).

La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente natural \( n \) se escribe como:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \]

Y se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

donde \(b\) debe ser diferente de cero.

Exponentes Positivos

Cuando el exponente es un número natural, la potencia representa la multiplicación de la fracción por sí misma tantas veces como lo indica el exponente.

Ejemplo:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81} \]

Propiedades de las Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Las potencias de base fraccionaria y exponente natural cumplen las siguientes propiedades:

1. Signo de la potencia y paridad del exponente:

Sea la fraccion \(\frac{a}{b}\)

• Si \( \frac{a}{b} > 0\), entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\) para cualquier \(n\) natural.
• Si \( \frac{a}{b} < 0\):
  • Si \(n\) es par, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
  • Si \(n\) es impar, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n < 0\).

Demostración:

• Si \(\frac{a}{b} > 0\), entonces \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). Al elevarlos a cualquier potencia \(n\) natural, \(a^n\) y \(b^n\) también tendrán el mismo signo, por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
• Si \(\frac{a}{b} < 0\), entonces \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos.
  • Si \(n\) es par, entonces tanto \(a^n\) como \(b^n\) son positivos (un número negativo elevado a una potencia par es positivo), por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
  • Si \(n\) es impar, entonces \(a^n\) y \(b^n\) tienen signos opuestos (un número negativo elevado a una potencia impar es negativo), por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n < 0\).

Ejemplos: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] \[ \underbrace{\left(-\frac{2}{3}\right)^{\color{blue}2}}_{\color{blue}{\text{exponente par } \Rightarrow > 0}} = \color{blue}+\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] \[ \underbrace{\left(-\frac{3}{4}\right)^{\color{red}3}}_{\color{red}{\text{exponente impar } \Rightarrow < 0}} = \color{red}-\left(\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64} < 0 \]

Ejercicios de Signo de la Potencia

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{1}{4} \right)^6 \)
3. \( \left( \frac{2}{7} \right)^9 \)
4. \( \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \)
5. \( \left( -\frac{5}{6} \right)^2 \)
6. \( \left( -\frac{1}{2} \right)^5 \)
7. \( \left( -\frac{3}{4} \right)^7 \)
8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{2} \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{4} \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \frac{5m}{-n} \right)^{3} \) (con \(m,n \neq 0\))

2. Exponente Cero

Cualquier fracción (distinta de cero) elevada a un exponente cero es igual a 1.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1 \] donde \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).

Ejemplo:

\[ \left(\frac{4}{7}\right)^0 = 1 \]

Ejercicios de Exponente Cero

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{2}{9} \right)^0 \)
2. \( \left( -\frac{5}{3} \right)^0 \)
3. \( \left( \frac{17}{4} \right)^0 \)
4. \( \left( \frac{x}{y} \right)^0 \) (con \(x,y \neq 0\))
5. \( \left( \frac{-3a}{2b} \right)^0 \) (con \(a,b \neq 0\))

3. Producto de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m \cdot a^n}{b^m \cdot b^n} = \frac{a^{m+n}}{b^{m+n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} \]

Ejercicios de Producto de Potencias de Igual Base

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
3. \( \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 \)
4. \( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
5. \( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 \)
6. \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 \)
7. \( \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4\)
8. \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \) (con \(a, b \neq 0\))
9. \( \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \) (con \(x \neq 0\))
10. \( \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 \) (con \(m,n \neq 0\))

4. Cociente de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{a^m \cdot b^n}{b^m \cdot a^n} = \frac{a^{m-n}}{b^{m-n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^{5-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} \]

Ejercicios de Cociente de Pottencias de igual base

1. \( \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 \)
3. \( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
4. \( \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 \)
5. \( \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 \)
6. \( \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 \)
7. \( \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 \)
8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 \) (con \(m,n \neq 0\))

5. Potencia de una potencia:

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

Demostración: \[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n = \frac{(a^m)^n}{(b^m)^n} = \frac{a^{m \cdot n}}{b^{m \cdot n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

Ejemplo: \[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 \cdot 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64} \]

Ejercicios de Potencia de una Potencia

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
2. \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 \)
3. \( \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 \)
4. \( \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 \)
5. \( \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 \)
6. \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 \)
7. \( \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 \)
8. \( \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 \) (con \(x \neq 0\))
9. \( \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 \) (con \(m,n \neq 0\))

Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Entero (Negativos y Propiedades Distributivas)

Definición

Recordemos que una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número (llamado base) por sí mismo tantas veces como lo indica otro número (llamado exponente). En esta página, la base es una fracción y el exponente es un número entero.

La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente entero \( n \) se escribe como: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \] Y se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \] donde \(b\) debe ser diferente de cero.

Cuando el exponente es un número natural, la potencia representa la multiplicación de la fracción por sí misma tantas veces como lo indica el exponente. Ademas recordemos las siguientes propiedades:

• Cualquier fracción (distinta de cero) elevada a un exponente cero es igual a 1.
• Si una fracción \(\frac{a}{b}\) es positiva, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n\) es positiva para cualquier \(n\) natural.
• Si una fracción \(\frac{a}{b}\) es negativa:
  • Si \(n\) es par, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n\) es positiva.
  • Si \(n\) es impar, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n\) es negativa.

Inverso Multiplicativo y Exponente -1

Elevar una fracción a -1 equivale a encontrar su inverso multiplicativo o recíproco. Es decir, se intercambian el numerador y el denominador.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \] donde \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).

Ejemplo:

\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3} \]

Ejercicios de Inverso Multiplicativo

Escribe el inverso multiplicativo de las siguientes potencias:

1. \( \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \)
2. \( \left( -\frac{2}{3} \right)^{-1} \)
3. \( \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \)
4. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-1} \) (con \(x,y \neq 0\))
5. \( \left( \frac{-2a}{5b} \right)^{-1} \) (con \(a,b \neq 0\))

Exponentes Negativos en General

Cuando el exponente es un número entero negativo, la potencia es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al valor absoluto del exponente. En otras palabras, para calcular una potencia con exponente negativo, primero encontramos el inverso multiplicativo de la base y luego elevamos a la potencia con el exponente en positivo.

De forma general: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^n}{a^n} \] donde \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).

Aclaración: Un exponente negativo como -2 se puede interpretar como \((-1) \cdot 2\). Esto significa que primero invertimos la base (exponente -1) y luego elevamos el resultado al cuadrado (exponente 2).

Ejemplo:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]

Ejercicios de Exponentes Negativos

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \)
2. \( \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \)
3. \( \left( \frac{5}{2} \right)^{-4} \)
4. \( \left( -\frac{3}{4} \right)^{-3} \)
5. \( \left( -\frac{2}{5} \right)^{-2} \)
6. \( \left( -\frac{1}{3} \right)^{-5} \)
7. \( \left( -\frac{4}{3} \right)^{-4} \)
8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{-2} \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{-3} \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \frac{m}{-n} \right)^{-4} \) (con \(m,n \neq 0\))

8. Potencia de un producto:

\[ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^n = \frac{(a \cdot c)^n}{(b \cdot d)^n} = \frac{a^n \cdot c^n}{b^n \cdot d^n} = \frac{a^n}{b^n} \cdot \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} \cdot \frac{1^2}{5^2} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{225} \]

Ejercicios de Potencia de un Producto

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \right)^2 \)
2. \( \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \right)^3 \)
3. \( \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \right)^4 \)
4. \( \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \right)^2 \)
5. \( \left( -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \right)^3 \)
6. \( \left( -\frac{2}{7} \cdot \frac{-1}{2} \right)^2 \)
7. \( \left( \frac{-4}{3} \cdot \frac{3}{-2} \right)^3 \)
8. \( \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{b} \right)^2 \) (con \(a,b \neq 0\))
9. \( \left( \frac{2x}{-3} \cdot \frac{1}{y} \right)^3 \) (con \(y \neq 0\))
10. \( \left( \frac{m}{n} \cdot \frac{-p}{2} \right)^4 \) (con \(n \neq 0\))

9. Potencia de un cociente:

\[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^n = \frac{(a \cdot d)^n}{(b \cdot c)^n} = \frac{a^n \cdot d^n}{b^n \cdot c^n} = \frac{a^n}{b^n} \div \frac{c^n}{d^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \div \left(\frac{c}{d}\right)^n \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \div \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} \div \frac{2^2}{3^2} = \frac{16}{25} \div \frac{4}{9} = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{4} = \frac{144}{100} = \frac{36}{25} \]

Ejercicios de Potencia de un Cociente

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{5}{4} \div \frac{3}{2} \right)^2 \)
3. \( \left( \frac{1}{5} \div \frac{2}{5} \right)^4 \)
4. \( \left( -\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \right)^2 \)
5. \( \left( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{-2} \right)^3 \)
6. \( \left( -\frac{4}{3} \div \frac{-2}{5} \right)^2 \)
7. \( \left( \frac{1}{6} \div \frac{-5}{12} \right)^3 \)
8. \( \left( \frac{x}{3} \div \frac{2}{y} \right)^2 \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{4a}{b} \div \frac{2c}{3} \right)^3 \) (con \(b,c \neq 0\))
10. \( \left( \frac{-m}{2n} \div \frac{p}{-3q} \right)^2 \) (con \(n,p,q \neq 0\))

Ejercitación con Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

En esta página, pondremos en práctica las propiedades de las potencias de base fraccionaria y exponente natural que hemos aprendido. Resolveremos ejercicios combinados, determinaremos términos desconocidos y aplicaremos las propiedades para resolver problemas.

Ejemplos Resueltos

Ejercicios

Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las potencias. Cuando sea posible, expresa el resultado como una fracción con el numerador y el denominador como potencias. No evalúes potencias con exponente mayor a 4.

Grupo 1: Ejercicios combinados

1. \( \left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \div \left( \frac{2}{5} \right)^{-1} \)
2. \( \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right]^{-3} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \)
3. \( \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} \div \left( \frac{3}{4} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
4. \( \left(-\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3 \div \left(-\frac{2}{3}\right)^4 \)
5. \( \left[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} \right]^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \)
6. \( \left( \frac{a}{b} \right)^3 \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^{-1} \div \left( \frac{a}{b} \right)^{-2} \) (con \(a,b \neq 0\))
7. \( \left( \frac{2x}{y} \right)^2 \div \left( \frac{2x}{y} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2x}{y} \right) \) (con \(x,y \neq 0\))

Grupo 2: Determinando términos desconocidos

1. Encuentra \(x\) si: \( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^5 \)
2. Encuentra \(y\) si: \( \left( \frac{2}{3} \right)^y \div \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^4 \)
3. Encuentra \(z\) si: \( \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} \right]^z = \left( \frac{3}{5} \right)^6 \)
4. Encuentra \(n\) si: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \)
5. Encuentra \(m\) si: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^5 \) (con \(a,b \neq 0\))

Grupo 3: Problemas de aplicación

1. Un campo rectangular tiene un área de \( \left( \frac{3}{4} \right)^3 \) kilómetros cuadrados. Si el ancho del campo es \( \left( \frac{3}{4} \right) \) kilómetros, ¿cuál es su longitud?
2. Una receta para un pastel requiere \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \) tazas de azúcar. Si quieres hacer la mitad del pastel, ¿cuántas tazas de azúcar necesitas?
3. Una botella contiene \( \left( \frac{4}{5} \right)^2 \) litros de jugo. Si se reparte el jugo en vasos de \( \left( \frac{4}{5} \right) \) litros de capacidad, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
4. Un grifo llena un depósito en \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \) horas. ¿Cuántas horas tardarán dos grifos iguales al anterior en llenar el mismo depósito?
5. Si un automóvil viaja a una velocidad promedio de \( 60 \) kilómetros por hora, ¿qué fracción de un kilómetro recorre en \( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \) horas?