Imprimir el Libro CompletoImprimir el Libro Completo

Capitulo 1.2 N° Racionales , algunos decimales tambien son fracciones

Sitio: PROFEARAUCO.CL
Curso: Media 1
Libro: Capitulo 1.2 N° Racionales , algunos decimales tambien son fracciones
Imprimido por: Invitado
Día: sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:39

Tabla de contenidos

1. Ejercicios Combinados con Potencias de Base Decimal

Ejercicios Combinados con Potencias de Base Decimal

Ejercicios de Cálculo Directo

En esta sección, resuelve las operaciones aplicando las propiedades de las potencias.

Ejercicio 1: Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

  1. \( (0,5)^2 * (0,5)^{-3} * (0,5)^4 \)
  2. \( ((1,2)^2)^3 : (1,2)^4 \)
  3. \( (0,8)^{-2} * (0,8)^5 : (0,8)^3 \)
  4. \( (0,3)^3 * (0,2)^3 * (0,6)^{-2} \)
  5. \( ((-0,4)^2)^3 : (-0,4)^5 \)
  6. \( (2,5)^{-1} * (2,5)^4 : (2,5)^2 \)
  7. \((1,1)^3 * (0,9)^3 : (0,99)^2 \)

Ejercicios de Incógnitas

En esta sección, encuentra el valor de la incógnita (x) que satisface la igualdad.

Ejercicio 2: Encuentra el valor de 'x':

  1. \( (0,6)^x * (0,6)^3 = (0,6)^5 \)
  2. \( (1,2)^4 : (1,2)^x = (1,2)^2 \)
  3. \( ((0,3)^x)^2 = (0,3)^6 \)
  4. \( (0,8)^5 : (0,8)^x = (0,8)^3 \)
  5. \( (0,2)^x * (0,2)^4 = (0,2)^2 \)
  6. \( (1,4)^x : (1,4)^{-2} = (1,4)^3 \)
  7. \( (0,5)^x * (2)^x = 16 \)

Problemas de Aplicación

En esta sección, resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de las potencias.

Ejercicio 3: Resuelve los siguientes problemas:

  1. El área de un cuadrado es \( (0,7)^4 \) metros cuadrados. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
  2. Un cubo tiene un volumen de \( (1,2)^6 \) metros cúbicos. ¿Cuánto mide la arista del cubo?
  3. Si un cultivo de bacterias se duplica cada hora, y al inicio hay \( (0,2)^3 \) millones de bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas?
  4. El precio de un artículo se reduce a la mitad cada año. Si inicialmente el artículo costaba 100 dolares, y el precio actual del artículo es \(100*(0,5)^x = 12,5\) dolares. ¿Cuántos años han pasado?

2. Introducción a los Números Decimales

Introducción a los Números Decimales

1. El Universo de los Números Decimales

Antes de sumergirnos en los detalles, es importante tener una visión general. No todos los números decimales son iguales; de hecho, se dividen en dos grandes familias:

💡 Las Dos Familias de Decimales
  • Decimales Racionales (El foco de nuestras lecciones): Son todos aquellos que sí se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal tiene dos únicas posibilidades:
    • Es finita (termina), como \(0,75\).
    • Es infinita y periódica (un bloque de dígitos se repite para siempre), como \(0,666...\) o \(0,121212...\).
  • Decimales Irracionales: Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal es siempre infinita y no periódica. Aunque sus dígitos pueden seguir un patrón de construcción (como en el ejemplo 0,101001...), la secuencia de decimales no es periódica. Los ejemplos clásicos son Pi (π ≈ 3,14159...) y la raíz cuadrada de 2 (√2 ≈ 1,41421...).
🌍 El Conjunto de los Números Reales

La unión de estas dos grandes familias (los decimales racionales y los irracionales) forma el conjunto de los números reales.

Esto es muy importante, ya que significa que cada punto en la recta real corresponde a un número, ya sea racional o irracional.

🤓 Enfoque de esta Lección

En esta y las siguientes lecciones, nos enfocaremos exclusivamente en los decimales racionales, que son la expresión decimal de una fracción.

2. De Fracción a Decimal: Nombre y Posición

🤓 Definición: Fracción Decimal y su Relación con los Decimales Finitos

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.).

Es crucial entender que este tipo de fracción es la que siempre genera un número decimal finito (es decir, que tiene un número limitado de cifras decimales).

(Más adelante, estudiaremos las fracciones que generan decimales infinitos periódicos, como aquellas cuya fracción generatriz tiene denominadores con nueves).

Paso 1: Nombrar la Fracción

El primer paso para entender un decimal es saber leer su fracción. El denominador nos da el "apellido" del número:

  • Si el denominador es 10, hablamos de décimos. Ej: \( \frac{7}{10} \) se lee "siete décimos".
  • Si el denominador es 100, hablamos de centésimos. Ej: \( \frac{25}{100} \) se lee "veinticinco centésimos".
  • Si el denominador es 1000, hablamos de milésimos. Ej: \( \frac{123}{1000} \) se lee "ciento veintitrés milésimos".

Paso 2: Ubicar en la Tabla de Valor Posicional

El "apellido" que aprendimos (décimo, centésimo...) nos dice dónde debe terminar el número después de la coma decimal.

📐 Tabla de Valor Posicional
Posición Representación Decimal Nombre Representación Fraccional
1er lugar después de la coma 0,1 Décimo \( \frac{1}{10} \)
2do lugar después de la coma 0,01 Centésimo \( \frac{1}{100} \)
3er lugar después de la coma 0,001 Milésimo \( \frac{1}{1000} \)

Paso 3: Escribir el Número Decimal

📐 Procedimiento: Convertir Fracción Decimal a Número Decimal
  1. Lee la fracción para saber su "apellido" (décimos, centésimos, etc.).
  2. Escribe el número del numerador.
  3. Coloca la coma decimal de manera que la última cifra del numerador quede en la posición que indica su apellido.
  4. Si es necesario, agrega ceros entre la coma y el número.

Ejemplos de Conversión

  • \( \frac{17}{100} \): Se lee "diecisiete centésimos". Por lo tanto, el 7 debe quedar en la 2ª posición decimal \(\Rightarrow\) 0,17.
  • \( \frac{9}{1000} \): Se lee "nueve milésimos". El 9 debe quedar en la 3ª posición decimal \(\Rightarrow\) 0,009.
  • \( 2\frac{35}{100} \): Se lee "dos enteros y treinta y cinco centésimos". El 2 es la parte entera y el 35 termina en la 2ª posición \(\Rightarrow\) 2,35.
  • \( \frac{235}{100} = 2,35 \) (doscientos treinta y cinco centésimos) 2,35.
💡 Atajo para la Conversión (El Truco de los Ceros)

Un método mecánico y rápido es escribir el numerador y asegurarse de que tenga tantas cifras decimales como ceros hay en el denominador. Si es necesario, se agregan ceros a la izquierda del número.

  • Ejemplo A ( \( \frac{17}{100} \) ): El 100 tiene 2 ceros, por lo tanto, el resultado debe tener 2 cifras decimales \(\Rightarrow\) 0,17.
  • Ejemplo B ( \( \frac{9}{1000} \) ): El 1000 tiene 3 ceros, por lo tanto, el resultado necesita 3 cifras decimales (agregamos ceros) \(\Rightarrow\) 0,009.

3. Decimales Equivalentes

⚠️ ¡Cuidado con los Ceros a la Derecha!

Con los números enteros, estamos acostumbrados a que agregar un cero a la derecha cambie completamente el valor (por ejemplo, 4 es muy distinto de 40).

Pero ¡cuidado!, en la parte decimal de un número, los ceros que se agregan al final NO cambian su valor.

\( 0,4 = 0,40 = 0,400 \)

Esto se debe a que \( \frac{4}{10} \) es una fracción equivalente a \( \frac{40}{100} \) y a \( \frac{400}{1000} \).

🤓 Análisis: ¿Por qué ocurre esto?

La razón es que al agregar ceros, estamos amplificando la fracción original por una fracción equivalente a 1 (como \( \frac{10}{10} \)). Esto cambia cómo se escribe la fracción, pero no su valor.

Decimal Original Fracción Inicial Proceso de Amplificación Fracción Equivalente Resultado Decimal
\(0,4\) \( \frac{4}{10} \) (cuatro décimos) \( \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{10} \) \( \frac{40}{100} \) (cuarenta centésimos) \(0,40\)
\(0,4\) \( \frac{4}{10} \) (cuatro décimos) \( \frac{4}{10} \cdot \frac{100}{100} \) \( \frac{400}{1000} \) (cuatrocientos milésimos) \(0,400\)

Ejercicios Prácticos

Ejercicio 1: Lectura y Conversión a Decimal

Escribe las siguientes fracciones con palabras y luego conviértelas a su forma decimal.

  1. \( \frac{7}{10} \)
  2. \( \frac{83}{100} \)
  3. \( \frac{235}{1000} \)
  4. \( -\frac{9}{10} \)
  5. \( \frac{42}{100} \)
  6. \( -\frac{5}{100} \)
  7. \( \frac{7}{1000} \)
  8. \( 3\frac{2}{10} \)
  9. \( -5\frac{12}{100} \)
  10. \( \frac{2531}{1000} \)

Ejercicio 2: Nombrar y Convertir a Fracción Decimal

Nombra los siguientes números decimales con palabras y luego escríbelos en forma de fracción decimal:

  1. 0,9
  2. 0,27
  3. 0,605
  4. -0,5
  5. 4,7
  6. 0,53
  7. 0,072
  8. -0,19
  9. -0,003
  10. 12,345

3. Orden y Comparación de Números Decimales

Una vez que entendemos qué son los números decimales, el siguiente paso es aprender a compararlos para determinar cuál es mayor, menor o si son iguales. Esta es una habilidad fundamental con muchas aplicaciones prácticas.

🌍 Aplicación en la Vida Real: Comparando Precios

Saber ordenar decimales es esencial para la vida diaria. Por ejemplo, si un kilo de pan cuesta $2.450 y en otra panadería cuesta $2.490, saber comparar decimales te ayuda a identificar la opción más económica al instante.

1. Magnitud vs. Orden: La Clave está en la Recta Numérica

🤓 "Mayor que" no es lo mismo que "Más Grande"

Este es el concepto más importante. En matemáticas, los símbolos > (mayor que) y < (menor que) se refieren a la posición en la recta numérica. Un número es "mayor" que otro si está más a la derecha.

A veces, en el lenguaje diario, usamos "más grande" para hablar de la magnitud de un número (su valor absoluto o distancia al cero). Aquí es donde ocurre la confusión con los negativos.

Ejemplo clave: Comparamos -10 y -2.

  • El número -10 tiene mayor magnitud (está más lejos del cero), por lo que podríamos pensar que es "más grande".
  • Sin embargo, en la recta numérica, -2 está a la derecha de -10, por lo tanto, -2 es mayor que -10 (\(-2 > -10\)).

2. Procedimiento para Comparar Decimales

Con el concepto de orden claro, ahora podemos seguir un procedimiento mecánico para determinar qué número es mayor o menor que otro.

💡 De un Procedimiento al Cálculo Mental

A continuación, te presentamos un procedimiento formal de 3 pasos. Al principio, es muy útil seguir estas reglas para no cometer errores, especialmente con los números negativos.

Sin embargo, el objetivo final es que, con la práctica, este proceso se vuelva automático. Piensa en estos pasos no como una regla rígida que debas escribir siempre, sino como una guía para moldear y agilizar tu cálculo mental.

📐 Procedimiento Universal para Comparar Decimales

Este método de tres pasos funciona para cualquier par de números decimales.

  1. Paso 1: Comparar los Signos.

    Un número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo. Si los signos son distintos, la comparación termina aquí.

  2. Paso 2: Si los signos son iguales, Comparar la Magnitud.

    Ignora los signos temporalmente y usa la comparación dígito a dígito (primero la parte entera, luego los décimos, etc.) para determinar qué número tiene la mayor magnitud.

  3. Paso 3: Aplicar la Regla de Orden.

    Una vez que sabes cuál tiene mayor magnitud, aplica la regla final:

    • Si los números eran positivos, el de mayor magnitud es el mayor.
    • Si los números eran negativos, el de mayor magnitud es el menor.
💡 Tip Clave para Comparar Magnitudes

El truco más útil para aplicar el paso 2 es agregar ceros a la derecha al número que tenga menos cifras decimales hasta que ambos tengan la misma cantidad.

Por ejemplo, para comparar la magnitud de 7,2 y 7,195, escribimos 7,2 como 7,200. Ahora es muy fácil ver que 7,200 tiene mayor magnitud que 7,195.

3. Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Veamos cómo se aplica el procedimiento universal en los casos más comunes.

Caso 1: Signos Distintos

Comparar: 2,9 y -5,1

Paso 1 (Signos): Comparamos los signos. Uno es positivo (+) y el otro es negativo (-).

Conclusión: Un número positivo siempre es mayor que uno negativo. La comparación termina aquí.

Respuesta: \( 2,9 > -5,1 \)

Caso 2: Signos Iguales (Positivos)

Comparar: 7,2 y 7,195

  1. Paso 1 (Signos): Ambos números son positivos. Continuamos.
  2. Paso 2 (Magnitud): Para comparar, igualamos las cifras decimales: 7,2 se convierte en 7,200. Al comparar 7,200 y 7,195, vemos que 7,200 tiene mayor magnitud.
  3. Paso 3 (Orden): Como los números son positivos, el de mayor magnitud es el mayor.

Respuesta: \( 7,2 > 7,195 \)

⚠️ Recordatorio Clave para los Negativos

Al comparar números negativos, recuerda que la lógica se invierte: el número que tiene la menor magnitud (el que está más cerca del cero) es siempre el mayor.

El truco mental: Piensa en los números como deudas. Es "menos malo" deber 5,7 que deber 5,9. Por lo tanto, -5,7 es mayor que -5,9.

Caso 3: Signos Iguales (Negativos)

Comparar: -15,1 y -15,099

  1. Paso 1 (Signos): Ambos números son negativos. Continuamos.
  2. Paso 2 (Magnitud): Ignoramos los signos y comparamos 15,1 y 15,099. Igualamos decimales: 15,1 se convierte en 15,100. Vemos que 15,100 tiene mayor magnitud.
  3. Paso 3 (Orden): Como los números originales son negativos, la regla se invierte. El que tiene mayor magnitud es el menor.

Respuesta: \( -15,1 < -15,099 \)

4. Ejercicios Prácticos

Ejercicio: Orden y Comparación

Escribe el símbolo < (menor que), > (mayor que) o = (igual a) según corresponda en cada caso.

  1. 3,4 ___ 3,29
  2. 8,1 ___ 8,10
  3. -5,7 ___ -5,9
  4. 0,09 ___ 0,1
  5. 4,56 ___ -4,57
  6. -2,08 ___ -2,8
  7. 7,123 ___ 7,13
  8. -0,001 ___ 0
  9. 9,5 ___ 9,500
  10. -15,1 ___ -15,099

5. Problemas de Aplicación

Ahora, apliquemos nuestra habilidad para comparar decimales en algunas situaciones prácticas.

Ejercicios en Contexto

  1. Carrera de velocidad: En una competencia de 100 metros planos, Ana cronometró 11,3 segundos y Beatriz cronometró 11,28 segundos. ¿Quién fue más rápida (quién tuvo el menor tiempo)?
  2. Temperaturas invernales: En un día de invierno, la temperatura mínima en Coyhaique fue de -3,8 °C y en Balmaceda fue de -3,75 °C. ¿En qué localidad hizo más frío (es decir, cuál tuvo la temperatura menor)?
  3. Ofertas de supermercado: Un kilo de manzanas de la marca A cuesta $1.490,50. Un kilo de manzanas de la marca B cuesta $1.490,09. ¿Cuál marca es más barata?
  4. Puntuación de gimnasia: Un gimnasta recibe dos puntuaciones de los jueces en su rutina: 9,85 y 9,9. ¿Cuál de las dos es la puntuación más alta?
  5. Ordenando medidas: Un carpintero debe ordenar tres listones de madera del más corto al más largo. Sus medidas son: 1,25 metros, 1,2 metros y 1,205 metros. ¿Cuál es el orden correcto?

4. Adición y Sustracción de números decimales

II. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Adición y Sustracción

Sumar y restar números decimales es una habilidad fundamental. Para ello, existen dos estrategias principales que es importante conocer.

💡 Dos Estrategias para un Mismo Fin
  • Estrategia 1 (Conceptual): Convertir los decimales a fracciones. Este método es excelente para entender por qué las operaciones funcionan.
  • Estrategia 2 (Práctica): Alinear las comas decimales. Este es el método rápido y eficiente que usarás en el día a día.

Estrategia 1: Convertir a Fracción (El Método Conceptual)

Podemos convertir los números decimales a fracciones, operar con ellas (igualando denominadores si es necesario) y finalmente convertir el resultado de vuelta a un número decimal.

Ejemplo A: 0,5 + 0,25

  1. Convertir a fracción: \( 0,5 = \frac{5}{10} \) y \( 0,25 = \frac{25}{100} \)
  2. Igualar denominadores: \( \frac{5}{10} = \frac{50}{100} \)
  3. Sumar las fracciones: \( \frac{50}{100} + \frac{25}{100} = \frac{75}{100} \)
  4. Convertir a decimal: \( \frac{75}{100} = 0,75 \)

Ejercicios (Método Fraccionario)

Resuelve las siguientes operaciones usando la estrategia de convertir a fracción decimal.

  1. 0,75 + 0,2
  2. 0,2 - 0,75
  3. 2,4 - 0,35
  4. -0,4 - 0,8
  5. 0,6 + 0,8
  6. 1,25 - 0,7
  7. 1,2 - 3,05
  8. 3,5 + 1,05

Estrategia 2: Alinear la Coma Decimal (El Método Práctico)

💡 ¿Por qué es tan importante alinear la coma?

Al alinear las comas, garantizamos que cada valor posicional quede en su propia columna. Esto es crucial para que la operación sea correcta: sumamos décimos con décimos, centésimos con centésimos, unidades con unidades, etc.

📐 Algoritmo Universal para Suma y Resta de Decimales

Para sumar o restar cualquier par de números decimales (positivos o negativos), sigue estas dos reglas basadas en sus signos. Siempre recuerda alinear las comas primero.

Regla 1: Números con SIGNOS IGUALES (ej. -3,2 - 5,1)

  1. Suma las magnitudes (los números sin sus signos).
  2. Conserva el signo común en el resultado.

Regla 2: Números con SIGNOS DISTINTOS (ej. -7,5 + 2,1)

  1. Resta la magnitud menor de la magnitud mayor.
  2. Conserva en el resultado el signo del número con la mayor magnitud.

Ejemplos Resueltos con el Algoritmo Universal

Ejemplo A: Signos Iguales (Resultado Negativo)

Resolver: \( -4,8 - 2,3 \)

1. Análisis de la Regla: Los signos son iguales (ambos negativos). Por lo tanto, debemos sumar las magnitudes y el resultado conservará el signo común (negativo).

2. Cálculo de la Magnitud:

  4,8
+ 2,3
-----
  7,1

3. Respuesta Final: Combinamos el signo (negativo) con el resultado numérico.

Respuesta: -7,1

Ejemplo B: Signos Distintos (Resultado Negativo)

Resolver: \( 1,75 - 3,5 \)

1. Análisis de la Regla: Esta operación es equivalente a \( 1,75 + (-3,5) \). Los signos son distintos. La magnitud de -3,5 (que es 3,5) es mayor que la de 1,75, por lo tanto, debemos restar las magnitudes y el resultado conservará el signo negativo.

2. Cálculo de la Magnitud:

  3,50
- 1,75
------
  1,75

3. Respuesta Final: Combinamos el signo (negativo) con el resultado numérico.

Respuesta: -1,75

Ejemplo C: Signos Distintos (Resultado Positivo)

Resolver: \( -5,3 + 8 \)

1. Análisis de la Regla: Los signos son distintos. La magnitud de 8 es mayor que la de 5,3, por lo tanto, debemos restar las magnitudes y el resultado será positivo.

2. Cálculo de la Magnitud:

  8,0
- 5,3
-----
  2,7

3. Respuesta Final: Combinamos el signo (positivo) con el resultado numérico.

Respuesta: 2,7

Ejercicios (Método Práctico)

Resuelve las siguientes operaciones alineando la coma decimal. Incluye casos con números negativos.

  1. 2,5 + 1,25
  2. 10,625 + 5,1
  3. 7 - 3,45
  4. 2,5 + (-1,2)
  5. -1,75 + 3,5
  6. -4,8 - 2,3
  7. -8 + 5,3
  8. -7,2 + 3,12
  9. -2,3 - (-1,8)

Ejercicios Combinados y con Paréntesis

Resuelve las siguientes operaciones combinadas. Recuerda resolver primero los paréntesis.

  1. 5,2 + 1,8 - 3,5
  2. 10 - 4,5 - 2,1
  3. -3,1 + 8,5 - 2,0
  4. 4,5 - 9,2 + 1,1
  5. 12,5 - (3,1 + 4,2)
  6. 8,4 + (-2,1 - 1,1)
  7. -5 - (2,5 - 4)

Estimación de Resultados

💡 Una Herramienta Útil: Estimar para Verificar

Antes de realizar un cálculo, es una excelente práctica estimar el resultado. Esto se hace redondeando cada número al entero más cercano. Si tu resultado exacto está muy lejos de tu estimación, es una señal de que podr'ias haber cometido un error.

Ejemplo de Estimación

Estimar el resultado de: \( 3,8 + 2,1 \)

1. Estimar: Redondeamos 3,8 al entero más cercano (4) y 2,1 al entero más cercano (2).

\[ \text{Estimación} \approx 4 + 2 = 6 \]

2. Comparar: El resultado exacto es 5,9. Como 5,9 es muy cercano a 6, nuestra estimación confirma que el cálculo es probablemente correcto.

Ejercicios de Estimación

Para cada operación, primero escribe una estimación redondeando al entero más cercano y luego calcula el resultado exacto.

  1. 5,7 + 3,2
  2. 8,9 - 2,7
  3. 12,3 + 4,8
  4. -2,8 + (-3,9)
  5. -8,5 + 4,2

5. Multiplicación de Números Decimales

Multiplicación de Números Decimales

La multiplicación de decimales es una operación fundamental que, al igual que la suma, se puede abordar desde dos perspectivas: una conceptual para entender el porqué, y una práctica para el cálculo rápido.

💡 Dos Estrategias para Multiplicar
  • Estrategia 1 (Conceptual): Convertir a fracción. Este método nos revela por qué el resultado de una multiplicación de decimales tiene una cierta cantidad de cifras decimales.
  • Estrategia 2 (Práctica): El método tradicional o vertical. Este es el algoritmo rápido que usarás para los cálculos del día a día.

Estrategia 1: Convertir a Fracción (El Método Conceptual)

🤓 ¿Por qué funciona? El Secreto de los Denominadores

El "misterio" de por qué aparecen más decimales al multiplicar se resuelve con las fracciones. Al multiplicar, por ejemplo, un décimo (\( \frac{1}{10} \)) por un décimo (\( \frac{1}{10} \)), el resultado es un centésimo (\( \frac{1}{100} \)). ¡Los denominadores se multiplican, creando una nueva posición decimal!

Ejemplo A: 0,6 x 0,4

  1. Convertir a fracción: \( 0,6 = \frac{6}{10} \) y \( 0,4 = \frac{4}{10} \)
  2. Multiplicar fracciones: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{6 \cdot 4}{10 \cdot 10} = \frac{24}{100} \)
  3. Convertir a decimal: \( \frac{24}{100} = 0,24 \)

Ejercicios (Método Fraccionario)

Resuelve las siguientes multiplicaciones usando la estrategia de convertir a fracción decimal.

  1. 0,5 ⋅ 0,7
  2. 2,5 ⋅ 0,2
  3. 0,75 ⋅ 0,6
  4. 1,2 ⋅ 0,3
⚠️ Regla de los Signos

La regla de los signos es la misma que para los números enteros:

  • Signos iguales ( (+)⋅(+) o (-)⋅(-) ) dan un resultado positivo.
  • Signos distintos ( (+)⋅(-) o (-)⋅(+) ) dan un resultado negativo.

Ejercicios (Método Fraccionario con Signos)

Aplica el método fraccionario y la regla de los signos para resolver las siguientes multiplicaciones.

  1. 0,5 ⋅ (-0,3)
  2. -1,2 ⋅ 0,4
  3. -0,7 ⋅ (-0,2)
  4. 2,5 ⋅ (-0,3)

Estrategia 2: Multiplicación Vertical (El Método Práctico)

📐 Procedimiento para Multiplicar Decimales
  1. Multiplicar como Enteros: Escribe los números alineados a la derecha (sin importar la coma) y multiplícalos como si fueran números enteros.
  2. Contar las Cifras Decimales: Suma la cantidad total de cifras decimales que tienen los dos factores originales.
  3. Colocar la Coma: En el resultado, partiendo desde la derecha, cuenta esa cantidad total de cifras y coloca la coma.

Ejemplo B: 2,5 x (-1,3)

1. Multiplicar Magnitudes (25 x 13): Multiplicamos los números como si fueran enteros, ignorando las comas y los signos.

Ejemplo de Multiplicación: \(25 \times 13\)

\[ \begin{array}{ccccccc} & & & 2 & 5 & \times & \color{blue}{1}\color{red}{3} \\ \hline & & & \color{red}{7} & \color{red}{5} & &\\ & + & \color{blue}{2} & \color{blue}{5} & \color{green}{0} & & \\ \hline & & 3 & 2 & 5 & & \\ \end{array} \]

  • Primero multiplicamos \(25 \times 3\), que resulta en 75.
  • Luego multiplicamos \(25 \times 1\). Como el 1 está en la posición de las decenas, el resultado es 250 (se agrega un cero).
  • Sumamos ambos productos: \(75 + 250 = 325\).

2. Contar Decimales: 2,5 tiene 1 cifra decimal y -1,3 tiene 1 cifra decimal. En total son 2 cifras decimales.

3. Colocar la Coma y el Signo: Movemos la coma 2 lugares en 325 \(\Rightarrow\) 3,25. Como los signos de los factores originales eran distintos (+ y -), el resultado es negativo.

Respuesta: -3,25

Ejercicios (Método Práctico)

Resuelve las siguientes multiplicaciones.

  1. 3,5 ⋅ 2,1
  2. 1,25 ⋅ 0,4
  3. 0,8 ⋅ (-0,9)
  4. -1,5 ⋅ (-3,2)
  5. 4,5 ⋅ 3
  6. -0,42 ⋅ 0,6

Caso Especial: Caso Especial: Multiplicar por 10, 100, 1000, etc.

💡 Un Atajo Mental

Para multiplicar un número decimal por una potencia de 10 (10, 100, 1000...), simplemente mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10. Si te faltan cifras, rellena con ceros.

Ejemplos de Multiplicación por Potencias de 10

  • \(1,25 \cdot 10 = 12,5\) (La coma se mueve 1 lugar)
  • \(0,4 \cdot 100 = 40,\) (La coma se mueve 2 lugares)
  • \(3,75 \cdot 1000 = 3750,\) (La coma se mueve 3 lugares)

Ejercicios (Potencias Positivas de 10)

Resuelve las siguientes multiplicaciones.

  1. 2,8 ⋅ 10
  2. 0,65 ⋅ 100
  3. -1,9 ⋅ 1000
  4. 0,03 ⋅ 10

Caso Especial: Multiplicar por 0,1, 0,01, 0,001, etc.

💡 Un Atajo Mental (a la Inversa)

Multiplicar por potencias negativas de 10 (como 0,1 o 0,01 hace que el número se vuelva más pequeño. El atajo es mover la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente (o como cifras decimales tenga el factor).

Ejemplos de Multiplicación por Potencias Negativas de 10

  • \(345,2 \cdot 0,1 = 34,52\) (Multiplicar por 0,1 mueve la coma 1 lugar a la izquierda)
  • \(48 \cdot 0,01 = 0,48\) (Multiplicar por 0,01 mueve la coma 2 lugares a la izquierda)
  • \(-9,7 \cdot 0,001 = -0,0097\) (Multiplicar por 0,001 mueve la coma 3 lugares a la izquierda)

Ejercicios (Potencias Negativas de 10)

Resuelve las siguientes multiplicaciones.

  1. 45 ⋅ 0,1
  2. 123,7 ⋅ 0,01
  3. -8,9 ⋅ 0,1
  4. 750 ⋅ 0,001
  5. 0,6 ⋅ 0,1

6. División de Números Decimales

División de Números Decimales

La división de decimales cierra nuestro estudio de las operaciones básicas. Al igual que con las operaciones anteriores, existen dos formas de abordar la división: una conceptual y una práctica.

💡 Dos Estrategias para Dividir
  • Estrategia 1 (Conceptual): Convertir a fracción. Este método es útil para entender la lógica detrás de la división de decimales.
  • Estrategia 2 (Práctica): El método tradicional. Este es el algoritmo rápido que se utiliza para los cálculos.

Estrategia 1: Convertir a Fracción (El Método Conceptual)

Podemos convertir los números decimales a fracciones y luego aplicar la regla de la división de fracciones (multiplicar por el inverso del divisor).

Ejemplo A: 1,2 ÷ 0,03

  1. Convertir a fracción: \( 1,2 = \frac{12}{10} \) y \( 0,03 = \frac{3}{100} \)
  2. Dividir fracciones (multiplicar por el inverso): \( \frac{12}{10} \div \frac{3}{100} = \frac{12}{10} \cdot \frac{100}{3} \)
  3. Resolver: \( \frac{12 \cdot 100}{10 \cdot 3} = \frac{1200}{30} = 40 \)

Ejercicios (Método Fraccionario)

Resuelve las siguientes divisiones usando la estrategia de convertir a fracción.

  1. 0,6 ÷ 0,2
  2. 1,5 ÷ 0,05
  3. -0,75 ÷ 0,25
  4. -1,4 ÷ (-0,2)
  5. 0,9 ÷ 2
  6. 0,2 ÷ 0,5
  7. 3,5 ÷ 2
  8. -5,1 ÷ 0,2

Estrategia 2: División Tradicional (El Método Práctico)

📐 Procedimiento para Dividir Decimales
  1. Igualar Cifras Decimales: Agrega ceros a la derecha a uno de los números hasta que ambos (dividendo y divisor) tengan la misma cantidad de cifras después de la coma.
  2. Suprimir la Coma: Reescribe la división, pero ahora sin las comas. Los números se tratarán como enteros.
  3. Dividir: Realiza la división con los nuevos números enteros. Si es necesario, continúa la división para obtener decimales en el cociente.
  4. Aplicar Regla de los Signos: Aplica la regla de los signos al resultado final.
💡 ¿Cuál es la Lógica detrás del Procedimiento? (La Amplificación)

Este método funciona gracias a una propiedad clave de las divisiones (o fracciones): si multiplicas tanto el dividendo como el divisor por el mismo número, el resultado de la división no cambia.

Al "igualar las cifras decimales y suprimir la coma", lo que realmente estamos haciendo es multiplicar ambos números por la misma potencia de 10 (10, 100, 1000...) para convertirlos en enteros sin alterar el resultado final.

Por ejemplo, en la división \(7,75 \div 2,5\):

\[ \frac{7,75}{2,5} = \frac{7,75 \times \mathbf{100}}{2,5 \times \mathbf{100}} = \frac{775}{250} \]

¡Hemos transformado una división de decimales en una división equivalente de enteros!

⚠️ Regla de los Signos

La regla de los signos para la división es idéntica a la de la multiplicación: signos iguales dan (+), signos distintos dan (-).

Ejemplo: 7,75 ÷ (-2,5)

1. Igualar Decimales: El dividendo (7,75) tiene 2 cifras decimales. El divisor (-2,5) tiene 1. Agregamos un cero al divisor: 7,75 ÷ (-2,50).

2. Suprimir la Coma: La operación se convierte en la división de enteros: 775 ÷ (-250).

3. Dividir:

   3,1
  ----
250|775,0
  -750
  ----
    25 0
   -25 0
   -----
       0

4. Aplicar Signo: Como los signos originales eran distintos (+ y -), el resultado es negativo.

Respuesta: -3,1

Ejercicios (Método Práctico)

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. -9,6 ÷ 3,2
  2. 1,25 ÷ 0,5
  3. -2,5 ÷ (-0,05)
  4. 6 ÷ 0,3
  5. 0,8 ÷ 5
  6. -0,7 ÷ 2
  7. 15 ÷ 4
  8. -10 ÷ 0,8

Caso Especial: División por 10, 100, 1000...

🤓 Conectando con la Multiplicación

Dividir por un número es exactamente lo mismo que multiplicar por su inverso. Por lo tanto:

  • Dividir por 10 es lo mismo que multiplicar por \( \frac{1}{10} \), es decir, por 0,1.
  • Dividir por 100 es lo mismo que multiplicar por \( \frac{1}{100} \), es decir, por 0,01.

¡Esto nos permite usar la regla que ya aprendimos en la lección anterior!

💡 El Atajo (Reciclado)

Como dividir por 10, 100, etc., es igual a multiplicar por 0,1, 0,01, etc., la regla es la misma: mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10.

Ejercicios (División por 10, 100...)

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. 28,3 ÷ 10
  2. 6,5 ÷ 100
  3. -19,2 ÷ 1000
  4. 0,7 ÷ 10
  5. 450 ÷ 10
  6. -300 ÷ 100
  7. 582 ÷ 10
  8. -45,5 ÷ 10

Caso Especial: División por 0,1, 0,01, 0,001...

🤓 El Mundo al Revés: Multiplicar por el Inverso

Siguiendo la misma lógica, dividir por un decimal como 0,1 es lo mismo que multiplicar por su inverso.

  • El inverso de 0,1 (\( \frac{1}{10} \)) es 10.
  • El inverso de 0,01 (\( \frac{1}{100} \)) es 100.

Por lo tanto, ¡dividir por 0,1 es en realidad multiplicar por 10!

⚠️ ¡Ojo! Una Idea Anti-intuitiva

Dividir por un número decimal entre 0 y 1 hace que el resultado sea MÁS GRANDE que el número original. Esto ocurre porque estamos preguntando "¿cuántas veces cabe este trozo pequeño en este número más grande?".

Regla práctica: Dividir por 0,1, 0,01, etc., equivale a mover la coma hacia la derecha.

Ejercicios (División por 0,1, 0,01...)

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. 5,2 ÷ 0,1
  2. -1,45 ÷ 0,01
  3. 35 ÷ 0,1
  4. -0,8 ÷ 0,01
  5. 0,08 ÷ 0,1
  6. -0,45 ÷ 0,1
  7. 0,15 ÷ 0,1
  8. -2,34 ÷ 0,1

7. NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS Y SEMIPERIÓDICOS

En la lección anterior, vimos que las fracciones decimales (con denominador 10, 100, etc.) siempre generan decimales finitos. Ahora exploraremos qué sucede con el resto de las fracciones.

🤓 ¿De dónde vienen los decimales infinitos?

Cuando una fracción no es equivalente a una fracción decimal, al dividir su numerador por el denominador, el resto nunca llega a ser cero. Esto provoca que las cifras decimales se repitan en un patrón infinito, creando un número decimal periódico.

💡 Los Dos Tipos de Decimales Infinitos Racionales
  • Periódicos Puros: El patrón (período) comienza inmediatamente después de la coma. Se escribe con una barra sobre el período. Ej: \( 0,333... = 0,\overline{3} \)
  • Semiperiódicos (o Mixtos): Hay una o más cifras entre la coma y el período, llamadas anteperíodo. Ej: \( 0,1666... = 0,1\overline{6} \)

La siguiente tabla te ayudará a visualizar la diferencia clave entre ambos tipos con más ejemplos:

Decimal Periódico Puro Decimal Semiperiódico (Mixto)
El período (parte que se repite) comienza inmediatamente después de la coma. Existe un anteperíodo (parte decimal que no se repite) entre la coma y el período.
\( 0,\overline{5} \)
Parte entera: 0
Período: 5		 \( 0,91\overline{6} \)
Parte entera: 0
Anteperíodo: 91
Período: 6
\( 2,\overline{18} \)
Parte entera: 2
Período: 18		 \( 1,2\overline{7} \)
Parte entera: 1
Anteperíodo: 2
Período: 7
\( 0,\overline{123} \)
Parte entera: 0
Período: 123		 \( 4,00\overline{3} \)
Parte entera: 4
Anteperíodo: 00 
Período: 3

Ejercicio: Identificar, Clasificar y Abreviar

Para cada número, identifica sus partes (entera, anteperíodo, período), clasifícalo como periódico puro o semiperiódico, y escríbelo en notación abreviada.

  1. 0,5555...
  2. 2,121212...
  3. -0,345345345...
  4. 0,1666...
  5. 4,0333...
  6. -1,2777...
  7. 0,8333...
  8. 5,010101...
  9. -0,123123123...
  10. 0,41888...
  11. 7,12343434...
  12. -0,00555...

1. De Fracción a Decimal Infinito

Para convertir una fracción a su forma decimal, simplemente realizamos la división del numerador por el denominador hasta que identifiquemos el patrón que se repite.

Ejemplo A: Convertir \( \Huge \frac{4}{33} \) a decimal

Al dividir 4 entre 33, obtenemos 0,121212... Esto es un decimal periódico puro.

Respuesta: \( 0,\overline{12} \)

Ejemplo B: Convertir \( \Huge \frac{5}{12} \)  a decimal

Al dividir 5 entre 12, obtenemos 0,41666... El 41 es el anteperíodo y el 6 es el período. Esto es un decimal semiperiódico.

Respuesta: \( 0,41\overline{6} \)

Ejercicios: Convertir Fracciones a Decimales

Convierte las siguientes fracciones a números decimales, clasifícalos y escríbelos en notación periódica.

  1. \( \frac{2}{3} \)
  2. \( \frac{5}{6} \)
  3. \( \frac{1}{9} \)
  4. \( \frac{2}{11} \)
  5. \( \frac{7}{15} \)
  6. \( \frac{1}{12} \)
  7. \( \frac{5}{11} \)
  8. \( \frac{13}{15} \)
  9. \( \frac{1}{7} \)

2. De Decimal Infinito a Fracción (Fracción Generatriz)

Todo número decimal periódico o semiperiódico puede expresarse como una fracción, llamada fracción generatriz. Antes de aprender el procedimiento formal, observemos una regularidad muy interesante en los periódicos puros.

🤓 Descubriendo la Regularidad de los Periódicos Puros

Analiza las siguientes conversiones. ¿Qué patrón observas entre el período del decimal y la fracción que lo genera?

Con 1 Cifra Periódica Con 2 Cifras Periódicas Con 3 Cifras Periódicas
\( 0,111... = 0,\overline{1} = \frac{1}{9} \) \( 0,1212... = 0,\overline{12} = \frac{12}{99} \) \( 0,101101... = 0,\overline{101} = \frac{101}{999} \)
\( 0,222... = 0,\overline{2} = \frac{2}{9} \) \( 0,1313... = 0,\overline{13} = \frac{13}{99} \) \( 0,102102... = 0,\overline{102} = \frac{102}{999} \)
\( 0,555... = 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \) \( 0,4747... = 0,\overline{47} = \frac{47}{99} \) \( 0,123123... = 0,\overline{123} = \frac{123}{999} \)
... ... ...
\( 0,888... = 0,\overline{8} = \frac{8}{9} \) \( 0,9898... = 0,\overline{98} = \frac{98}{99} \) \( 0,998998... = 0,\overline{998} = \frac{998}{999} \)
⚠️ Un Caso Famoso: 0,999... = 1

Como puedes ver en la primera columna, la regularidad nos lleva a una conclusión sorprendente pero matemáticamente correcta: \( 0,999... = 0,\overline{9} = \frac{9}{9} = 1 \). ¡El número 1 tiene dos representaciones decimales!

A. Convertir un Decimal Periódico Puro a Fracción

📐 Procedimiento (Periódico Puro)
  1. Numerador: Se escribe el número completo sin coma y si existe se le resta la parte entera.
  2. Denominador: Se escriben tantos nueves (9) como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: Sin Parte Entera (0,...)

Encontrar la fracción generatriz de: \( 0,\overline{123} \)

Numerador: El número sin coma (123) menos la parte entera (0) \(\Rightarrow\) \(123 - 0 = 123\).

Denominador: El período (123) tiene 3 cifras, por lo tanto, el denominador es 999.

Fracción: \( \frac{123}{999} \), que simplificada es \( \frac{41}{333} \).

Ejemplo 2: Con Parte Entera

Encontrar la fracción generatriz de: \( 3,\overline{21} \)

Numerador: El número sin coma (321) menos la parte entera (3) \(\Rightarrow\) \(321 - 3 = 318\).

Denominador: El período (21) tiene 2 cifras, por lo tanto, el denominador es 99.

Fracción: \( \frac{318}{99} \), que simplificada es \( \frac{106}{33} \).

Ejercicios: Decimales Periódicos Puros

Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.

  1. \( 0,\overline{4} \)
  2. \( 0,\overline{8} \)
  3. \( -0,\overline{45} \)
  4. \( 0,\overline{123} \)
  5. \( 2,\overline{7} \)
  6. \( 4,\overline{5} \)
  7. \( 3,\overline{21} \)
  8. \( 1,\overline{234} \)

B. Convertir un Decimal Semiperiódico a Fracción

🤓 Descubriendo la Regularidad de los Semiperiódicos

Ahora, analiza estas otras conversiones. ¿Qué patrón observas aquí? Fíjate en cómo el anteperíodo (la parte que no se repite) afecta al cálculo del numerador y del denominador.

Decimal Extendido Notación Abreviada Análisis de Partes Cálculo de la Fracción Fracción Final
0,1666... \( 0,1\overline{6} \) Ent: 0, Ant: 1, Per: 6 \( \frac{16-1}{90} \) \( \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
0,8333... \( 0,8\overline{3} \) Ent: 0, Ant: 8, Per: 3 \( \frac{83-8}{90} \) \( \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \)
0,12333... \( 0,12\overline{3} \) Ent: 0, Ant: 12, Per: 3 \( \frac{123-12}{900} \) \( \frac{111}{900} = \frac{37}{300} \)
0,234242... \( 0,2\overline{342} \) Ent: 0, Ant: 2, Per: 342 \( \frac{2342-2}{9990} \) \( \frac{2340}{9990} = \frac{234}{999} \)
1,0333... \( 1,0\overline{3} \) Ent: 1, Ant: 0, Per: 3 \( \frac{103-10}{90} \) \( \frac{93}{90} = \frac{31}{30} \)
12,05444... \( 12,05\overline{4} \) Ent: 12, Ant: 05, Per: 4 \( \frac{12054-1205}{900} \) \( \frac{10849}{900} \)
📐 Procedimiento (Semiperiódico)
  1. Numerador: Se escribe el número completo sin coma y se le resta el número formado por la parte entera junto al anteperíodo.
  2. Denominador: Se escriben tantos nueves (9) como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo.
⚠️ ¡Ojo! No Confundas "Anteperíodo" con la "Parte a Restar"

Es un error común confundir estos dos conceptos. La diferencia es clave para aplicar bien la fórmula:

  • El Anteperíodo son solo las cifras decimales que están entre la coma y el período.
  • La Parte no Periódica que se Resta en el numerador es el número completo que se forma al juntar la parte entera y el anteperíodo.

Ejemplo con \(2,1\overline{36}\):

Anteperíodo: 1
Parte no Periódica (a restar): 21
💡 ¿Un decimal semiperiódico puede tener un anteperíodo de ceros?

¡Sí! Y es un caso muy importante. Un número como \(0,00\overline{3}\) (0,00333...) es un semiperiódico.

  • El anteperíodo (la parte que no se repite) es '00' (los dos ceros después de la coma).
  • El período (la parte que se repite) es el 3.

La clave es que exista al menos una cifra decimal que no se repita antes de que comience el patrón infinito.

Ejemplo 1: Sin Parte Entera (0,...)

Encontrar la fracción generatriz de: \( 0,12\overline{6} \)

Numerador: Número completo (126) menos la parte no periódica (12) \(\Rightarrow\) \(126 - 12 = 114\).

Denominador: El período (6) tiene 1 cifra \(\Rightarrow\) un 9. El anteperíodo (12) tiene 2 cifras \(\Rightarrow\) dos 0s. El denominador es 900.

Fracción: \( \frac{114}{900} \), que simplificada es \( \frac{19}{150} \).

Ejemplo 2: Con Parte Entera

Encontrar la fracción generatriz de: \( 3,1\overline{42} \)

Numerador: Número completo (3142) menos la parte no periódica (31) \(\Rightarrow\) \(3142 - 31 = 3111\).

Denominador: El período (42) tiene 2 cifras \(\Rightarrow\) dos 9s. El anteperíodo (1) tiene 1 cifra \(\Rightarrow\) un 0. El denominador es 990.

Fracción: \( \frac{3111}{990} \), que simplificada es \( \frac{1037}{330} \).

Ejercicios: Decimales Semiperiódicos

Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.

  1. \( 0,1\overline{6} \)
  2. \( 0,2\overline{3} \)
  3. \( -0,4\overline{6} \)
  4. \( 0,0\overline{5} \)
  5. \( 2,8\overline{3} \)
  6. \( -5,1\overline{6} \)
  7. \( 1,2\overline{18} \)
  8. \( 2,0\overline{18} \)

8. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

Potencias con Base Decimal

Ahora que dominamos las potencias con base fraccionaria, aplicaremos esas mismas reglas al mundo de los números decimales. La buena noticia es que no hay nada nuevo que memorizar, ¡solo aplicar lo que ya sabes!

💡 ¡Las Reglas no Cambian!

Todas las propiedades de las potencias que aprendiste para las fracciones funcionan exactamente igual para los números decimales. Un decimal es simplemente otra forma de escribir una fracción.

1. Repaso Rápido de las Propiedades Fundamentales

📐 Propiedades Universales

Recordemos las reglas clave con ejemplos en base decimal:

Propiedad Regla General Ejemplo con Decimales
Exponente Natural \( a^n = a \cdot a \cdot ... \) \( (0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008 \)
Regla del Signo (Exp. Par) \( (-a)^{par} = + \) \( (-0,5)^2 = 0,25 \)
Regla del Signo (Exp. Impar) \( (-a)^{impar} = - \) \( (-0,5)^3 = -0,125 \)
Exponente Cero \( a^0 = 1 \) \( (-2,3)^0 = 1 \)
Producto de Potencias \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) \( (0,5)^2 \cdot (0,5)^3 = (0,5)^5 \)
Cociente de Potencias \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) \( (0,8)^5 \div (0,8)^2 = (0,8)^3 \)

2. Estrategias para Calcular Potencias de Decimales

Al igual que con las otras operaciones, existen dos métodos para resolver estas potencias.

Estrategia 1: Convertir a Fracción (Método Conceptual)

Esta estrategia es muy útil para entender de dónde vienen los resultados y para conectar con lo que ya aprendimos.

Ejemplo: Calcular \( (0,5)^3 \) convirtiendo a fracción

  1. Convertir a fracción: \( 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
  2. Resolver la potencia de la fracción: \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \)
  3. Convertir el resultado a decimal: \( \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125 \)

Estrategia 2: Multiplicar Decimales (Método Práctico)

Este es el método directo y más rápido para el cálculo.

Ejemplo: Calcular \( (0,2)^3 \) multiplicando decimales

Simplemente multiplicamos la base por sí misma la cantidad de veces que indica el exponente:

\[ (0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \]

  • Primero: \( 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \)
  • Luego: \( 0,04 \cdot 0,2 = 0,008 \)

3. Ejercicios Prácticos

Ejercicios Combinados

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.

  1. \( (0,3)^2 \)
  2. \( (-0,5)^2 \)
  3. \( (-0,2)^3 \)
  4. \( (1,7)^0 \)
  5. \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^2 \)
  6. \( (-1,1)^4 \cdot (-1,1)^2 \)
  7. \( (0,4)^4 \div (0,4)^2 \)
  8. \( (-0,6)^5 \div (-0,6)^2 \)
  9. \( (-1,2)^4 \div (-1,2)^4 \)
  10. \( (2,5) \cdot (2,5)^3 \)
  11. \( (a)^3 \cdot (a)^2 \)
  12. \( (-3x)^2 \)

9. Potencias de Base Decimal y Exponente Natural

Potencias de Base Decimal y Exponente Natural

🌍 ¿Dónde usamos esto?

Las potencias con base decimal son fundamentales en ciencias y finanzas. Por ejemplo, para calcular el interés compuesto de un capital que crece a una tasa del 3% (o 0.03) anual, usamos fórmulas con potencias. También aparecen en ciencias para describir el decaimiento radioactivo o el crecimiento de poblaciones de bacterias.

Definición

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. En el caso de las potencias de base decimal y exponente entero, la base es un número decimal y el exponente es un número entero.

📐 Fórmula General:

La potencia se escribe como \(a^n\), donde "a" es la base y "n" es el exponente. Esto significa que la base "a" se multiplica por sí misma "n" veces.

Ejemplo:

\( (0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \)

Aquí, la base (0,5) se multiplica por sí misma 3 veces, como indica el exponente.

🤓 Un detalle importante: ¿Por qué el resultado tiene 3 decimales? Porque al multiplicar decimales, la cantidad de cifras decimales del resultado es la suma de las cifras decimales de los factores. En este caso: \( \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \cdot \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \cdot \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \). Por lo tanto, el resultado debe tener \(1+1+1=3\) decimales.

Ejercicio 1A: Potencias de Base Positiva

En este grupo, nos enfocamos en el cálculo de la potencia.

  1. \( (0,3)^2 \)
  2. \( (0,4)^3 \)
  3. \( (1,2)^4 \)
  4. \( (0,\overline{3})^2 \)
  5. \( (0,1\overline{6})^2 \)
  6. \( (0,1a)^2 \)
  7. \( (0,5b)^3 \)

propiedades de potencias con base decimal

🤓 Una Nota Sobre las Demostraciones

En este capítulo, presentaremos las propiedades de las potencias con base decimal sin demostrarlas en profundidad. ¿La razón? ¡Es un conocimiento que ya construimos!

Como vimos en el capítulo de números racionales, todo número decimal que estudiaremos (finito, periódico o semiperiódico) puede ser transformado a una fracción. Por lo tanto, las propiedades que aplicamos aquí son exactamente las mismas que ya demostramos para las potencias de base fraccionaria.

Simplemente, estamos aplicando el mismo principio a una notación diferente. Por ejemplo, demostrar una propiedad para \( (0,5)^2 \) es equivalente a hacerlo para \( (\frac{1}{2})^2 \), ¡y eso ya lo hicimos!

Base Negativa y Exponente Par o Impar

⚠️ ¡Cuidado con los signos!

Un error muy común es confundir el signo del resultado cuando la base es negativa. Recuerda que el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar. ¡Presta mucha atención a los paréntesis!

Ejemplos:

  • \( (-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \) (exponente par, resultado positivo)
  • \( (-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = -0,125 \) (exponente impar, resultado negativo)
💡 Tip para recordar:

Piensa en los signos como pares de "menos por menos". Si el exponente es par, puedes formar parejas perfectas de signos negativos, y cada pareja da un resultado positivo. Si el exponente es impar, siempre sobrará un signo negativo que teñirá todo el resultado.

Ejercicio 1B: Potencias de Base Negativa

Ahora, ¡mucha atención a la regla de los signos según el exponente!

  1. \( (-0,5)^2 \)
  2. \( (-0,2)^4 \)
  3. \( (-2,5)^3 \)
  4. \( (-0,\overline{3})^3 \)
  5. \( (-0,2y)^5 \)
  6. \( (-0,1x)^2 \)

Multiplicación de Potencias de Igual Base

📐 Procedimiento:

Para multiplicar potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes multiplicaciones

  1. \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^2 \)
  2. \( (1,3)^4 \cdot (1,3) \)
  3. \( (2,5) \cdot (2,5)^3 \)
  4. \( (-0,3)^2 \cdot (-0,3)^3 \)
  5. \( (-0,7)^3 \cdot (-0,7) \)
  6. \( (-2,2)^2 \cdot (-2,2)^2 \)
  7. \( (0,\overline{6})^2 \cdot (0,\overline{6})^3 \)
  8. \( (0,8\overline{3})^4 \cdot (0,8\overline{3}) \)
  9. \( (a)^3 \cdot (a)^2 \)
  10. \( (0,2b) \cdot (0,2b)^4 \)
  11. \( (-0,\overline{1}x)^5 \cdot (-0,\overline{1}x)^2 \)

Cociente de Potencias de Igual Base

📐 Procedimiento:

Para dividir potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

🤓 Para profundizar: ¿Por qué la suma en la multiplicación?

Piensa en la multiplicación de potencias como una simple unión de factores. Si tienes \((0,2)^3 \cdot (0,2)^2\), en realidad estás juntando dos grupos de multiplicaciones:

\( \underbrace{(0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2)}_{\text{el primer grupo, (0,2)³}} \cdot \underbrace{(0,2 \cdot 0,2)}_{\text{el segundo grupo, (0,2)²}} \)

Al final, ¿cuántas veces estás multiplicando el 0,2 por sí mismo en total? Simplemente cuentas todos los factores juntos: 3 del primer grupo y 2 del segundo. En total son 5 veces, es decir, \((0,2)^5\). La suma de exponentes ( \(3+2=5\) ) es solo un atajo para contar todos los factores de una vez.

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes divisiones

  1. \( (0,4)^4 : (0,4)^2 \)
  2. \( (1,6)^5 : (1,6)^3 \)
  3. \( (0,9)^6 : (0,9)^3 \)
  4. \( (-0,6)^5 : (-0,6)^2 \)
  5. \( (-0,5)^7 : (-0,5)^3 \)
  6. \( (-2,8)^6 : (-2,8)^2 \)
  7. \( (0,\overline{2})^5 : (0,\overline{2})^3 \)
  8. \( (0,41\overline{6})^7 : (0,41\overline{6})^5 \)
  9. \( (x)^5 : (x)^2 \)
  10. \( (-0,5z)^4 : (-0,5z) \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué la resta en la división?

Piensa en la división como una simplificación de fracciones. Si tienes \(\frac{(0,8)^5}{(0,8)^2}\), es lo mismo que \(\frac{0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot \cancel{0,8} \cdot \cancel{0,8}}{1 \cdot \cancel{0,8} \cdot \cancel{0,8}}\). Puedes cancelar dos de los 0,8 de arriba con los dos de abajo. Al hacerlo, el denominador se convierte en 1.

¿Y qué te queda? Tres 0,8 multiplicándose en el numerador, es decir, \((0,8)^3\). La resta de exponentes ( \(5-2=3\) ) es solo un atajo para este proceso de cancelación.

Exponente Cero

Cualquier número o expresión (distinta de cero) elevada a la potencia cero es siempre igual a 1.

Ejercicio 4: Calcula las siguientes potencias

  1. \( (0,6)^0 \)
  2. \( (-3,2)^0 \)
  3. \( (1,2\overline{3})^0 \)
  4. \( (-0,01x)^0 \)

10. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

💡 Construyendo sobre lo aprendido

Las propiedades que veremos en esta página son como "movimientos especiales" que podemos hacer con las potencias. Dominarlas te permitirá simplificar expresiones complejas de manera muy rápida y eficiente. ¡Vamos a ello!

Potencia de una Potencia

📐 Propiedad: Para calcular la potencia de una potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\( ((a)^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Ejemplo: \( ((0,5)^2)^3 = (0,5)^{2 \cdot 3} = (0,5)^6 = 0,015625 \)

Ejercicio 1: Potencia de una potencia

  1. \( ((0,2)^2)^2 \)
  2. \( ((1,5)^3)^2 \)
  3. \( ((-0,3)^2)^3 \)
  4. \( ((-1,1)^3)^2 \)
  5. \( ((0,\overline{3})^2)^3 \)
  6. \( ((0,1\overline{6})^2)^2 \)
  7. \( ((a)^2)^4 \)
  8. \( ((0,2b)^2)^3 \)
  9. \( ((-0,1x)^3)^2 \)
  10. \( ((-0,5y)^3)^3 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué se multiplican los exponentes?

Imagina que la potencia interna es un "grupo". La expresión \( ((0,5)^2)^3 \) significa que tienes que repetir el grupo \( (0,5)^2 \) tres veces:

\( (0,5)^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^2 \)

Si expandimos eso, tenemos: \( (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) \). Al final, simplemente estás contando cuántos 0,5 hay en total. Tienes 3 grupos de 2, es decir, \(2 \cdot 3 = 6\) factores. Por eso el resultado es \( (0,5)^6 \). ¡Multiplicar los exponentes es un atajo para contar los factores en grupos!

Exponente Negativo

📐 Propiedad: Una base elevada a un exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al exponente positivo.

\( a^{-n} = (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n} \)

Ejemplo: \( (0,5)^{-3} = (\frac{1}{0,5})^3 = (2)^3 = 8 \)

Ejercicio 2: Exponente negativo

  1. \( (0,2)^{-1} \)
  2. \( (-0,25)^{-1} \)
  3. \( (0,5)^{-2} \)
  4. \( (-0,1)^{-3} \)
  5. \( (0,\overline{3})^{-2} \)
  6. \( (0,1\overline{6})^{-2} \)
  7. \( (a)^{-5} \)
  8. \( (0,1b)^{-3} \)
  9. \( (-0,2x)^{-2} \)
  10. \( (-0,5y)^{-3} \)
🤓 Para profundizar: ¿De dónde viene el exponente negativo?

El exponente negativo es una consecuencia lógica de la propiedad de la división. Observa qué pasa si el exponente de abajo es más grande que el de arriba:

\( \frac{(0,5)^2}{(0,5)^5} \)

  • Aplicando la propiedad de la división, restamos exponentes: \( (0,5)^{2-5} = (0,5)^{-3} \).
  • Si expandimos y cancelamos: \( \frac{\cancel{0,5} \cdot \cancel{0,5}}{0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot \cancel{0,5} \cdot \cancel{0,5}} = \frac{1}{(0,5)^3} \).

Como ambos caminos deben dar el mismo resultado, concluimos que \( (0,5)^{-3} \) es exactamente lo mismo que \( \frac{1}{(0,5)^3} \). El signo negativo en el exponente significa "inverso multiplicativo".

Producto de Potencias de Igual Exponente

📐 Propiedad: Para multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

\( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

Ejemplo: \( (0,5)^3 \cdot (0,2)^3 = (0,5 \cdot 0,2)^3 = (0,1)^3 = 0,001 \)

Ejercicio 3: Multiplicación con igual exponente

  1. \( (0,4)^2 \cdot (0,6)^2 \)
  2. \( (1,2)^3 \cdot (0,5)^3 \)
  3. \( (2,5)^2 \cdot (0,4)^2 \)
  4. \( (-0,5)^3 \cdot (0,8)^3 \)
  5. \( (-1,2)^2 \cdot (-0,6)^2 \)
  6. \( (0,\overline{3})^2 \cdot (0,6)^2 \)
  7. \( (0,2\overline{7})^4 \cdot (1,8)^4 \)
  8. \( (a)^5 \cdot (b)^5 \)
  9. \( (0,5x)^2 \cdot (0,2y)^2 \)
  10. \( (-0,1m)^3 \cdot (2n)^3 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué se pueden agrupar las bases?

Esta propiedad funciona gracias a que el orden de los factores no altera el producto (propiedad conmutativa). Si tienes \( (0,5)^3 \cdot (0,2)^3 \), al expandirlo obtienes:

\( (0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2) \)

Como puedes multiplicar en el orden que quieras, podemos reordenarlos en parejas:

\( (0,5 \cdot 0,2) \cdot (0,5 \cdot 0,2) \cdot (0,5 \cdot 0,2) \)

Esto es simplemente el grupo \( (0,5 \cdot 0,2) \) repetido 3 veces, es decir, \( (0,5 \cdot 0,2)^3 \). ¡Agrupar las bases primero es un atajo para reordenar los factores!

Cociente de Potencias de Igual Exponente

📐 Propiedad: Para dividir potencias con el mismo exponente, se dividen las bases y se mantiene el exponente.

\( a^n : b^n = (a : b)^n \)

Ejemplo: \( (0,8)^2 : (0,4)^2 = (0,8 : 0,4)^2 = (2)^2 = 4 \)

Ejercicio 4: División con igual exponente

  1. \( (0,9)^3 : (0,3)^3 \)
  2. \( (1,5)^4 : (0,5)^4 \)
  3. \( (-0,8)^4 : (0,4)^4 \)
  4. \( (-1,5)^3 : (-0,3)^3 \)
  5. \( (0,\overline{6})^2 : (0,\overline{3})^2 \)
  6. \( (0,2\overline{7})^3 : (0,1\overline{6})^3 \)
  7. \( (a)^4 : (b)^4 \)
  8. \( (0,6x)^3 : (0,2x)^3 \)
  9. \( (-0,9m)^2 : (0,3n)^2 \)
  10. \( (xy)^5 : (0,5x)^5 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué funciona también en la división?

La lógica es muy similar. Una división es una fracción. Si tienes \( (0,8)^3 : (0,4)^3 \), es lo mismo que escribir:

\( \frac{(0,8)^3}{(0,4)^3} = \frac{0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8}{0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4} \)

Podemos separar esta gran fracción en el producto de tres fracciones más pequeñas:

\( (\frac{0,8}{0,4}) \cdot (\frac{0,8}{0,4}) \cdot (\frac{0,8}{0,4}) \)

Esto es simplemente el grupo \( (\frac{0,8}{0,4}) \) repetido 3 veces, es decir, \( (\frac{0,8}{0,4})^3 \). Dividir las bases primero es un atajo para reagrupar la fracción.

⚠️ ¡El Paréntesis lo es Todo! La Posición del Signo Negativo

Es fundamental entender qué parte de la expresión está siendo afectada por el exponente. La regla de oro es: el exponente solo afecta a lo que tiene inmediatamente a su izquierda.

  • Caso 1: \( (-0,2)^2 \)
    El exponente está afectando al paréntesis. Por lo tanto, la base completa es -0,2. La operación es \( (-0,2) \cdot (-0,2) = +0,04 \).

  • Caso 2: \( -0,2^2 \) o \( -(0,2)^2 \)
    Aquí, el exponente solo afecta al 0,2. El signo negativo está fuera de la potencia. La operación se resuelve por orden: primero la potencia, luego el signo. Es como leer "el opuesto de 0,2 al cuadrado".
    Paso 1: \( (0,2)^2 = 0,04 \).
    Paso 2: Aplicar el signo \( \rightarrow -0,04 \).

Ambas expresiones, \( -0,2^2 \) y \( -(0,2)^2 \), significan lo mismo y dan un resultado negativo.

Ejercicio: ¿Dónde está el Signo?

Calcula las siguientes potencias, prestando mucha atención a los paréntesis.

  1. \( -0,5^2 \)
  2. \( (-0,5)^2 \)
  3. \( -(0,1)^4 \)
  4. \( (-0,1)^4 \)
  5. \( (-0,1)^3 \)
  6. \( -0,1^3 \)
  7. \( -(-0,2)^3 \)
  8. \( -(-0,2x)^2 \)

11. problemas usando las propiedades

Operaciones Combinadas: Multiplicación y División de Potencias

Estrategia y Conceptos Clave

💡 Estrategia Principal: Paso a Paso y de Izquierda a Derecha

Al enfrentar una serie de multiplicaciones y divisiones con potencias, no hay que asustarse. La clave es el orden. Generalmente, se resuelve de izquierda a derecha, aplicando las propiedades que ya conoces.

📐 Procedimiento General

Para resolver expresiones fraccionarias con potencias de igual base, como \( \frac{a^m \cdot a^n}{a^p} \), se recomienda seguir estos pasos:

  1. Resolver el numerador: Si hay un producto de potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes (\(a^{m+n}\)).
  2. Resolver la división: Se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador (\(a^{(m+n)-p}\)).
🤓 Para profundizar: ¿Por qué funciona este orden?

Imagina la expresión \( \frac{(0,2)^5 \cdot (0,2)^3}{(0,2)^6} \). Si la expandimos, tenemos 8 factores de 0,2 en el numerador y 6 en el denominador.

El paso de "sumar exponentes" es el atajo para contar los 8 factores de arriba. El paso de "restar exponentes" es el atajo para cancelar los 6 factores de abajo con 6 de los de arriba. Al final, sobreviven solo 2 factores, es decir, \( (0,2)^2 \).

Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1 (General):

Resolver \( \frac{(0,2)^5 \cdot (0,2)^3}{(0,2)^6} \)

1. Numerador: Sumamos exponentes \( 5+3=8 \). La expresión queda \( \frac{(0,2)^8}{(0,2)^6} \).

2. División: Restamos exponentes \( 8-6=2 \). El resultado es \( (0,2)^2 \).

3. Cálculo: \( (0,2)^2 = 0,04 \).

Ejemplo 2 (Numérico Combinado):

Resolver \( ((0,5)^3 \cdot (0,2)^3)^{-2} \)

1. Interior del Paréntesis (Producto de igual exponente): Multiplicamos las bases \( 0,5 \cdot 0,2 = 0,1 \). La expresión se convierte en \( (0,1)^3 \).

2. Potencia de una Potencia: Ahora tenemos \( ((0,1)^3)^{-2} \). Multiplicamos los exponentes \( 3 \cdot (-2) = -6 \). El resultado es \( (0,1)^{-6} \).

3. Exponente Negativo y Cálculo: Invertimos la base (el inverso de 0,1 es 10). La expresión final es \( (10)^6 = 1.000.000 \).

Ejemplo 3 (Algebraico Combinado):

Simplificar \( \frac{((a^2)^3 \cdot (b^3)^2)}{(ab)^4} \)

1. Numerador (Potencia de potencia): Multiplicamos exponentes en cada factor: \( (a^2)^3 = a^6 \) y \( (b^3)^2 = b^6 \). La expresión es \( \frac{a^6 \cdot b^6}{(ab)^4} \).

2. Numerador (Producto de igual exponente): Agrupamos las bases: \( a^6 \cdot b^6 = (ab)^6 \). La expresión es \( \frac{(ab)^6}{(ab)^4} \).

3. División (Cociente de igual base): Restamos los exponentes \( 6-4=2 \). El resultado es \( (ab)^2 \).

Respuesta Final: \( a^2b^2 \).

Ejemplo 4 (Con Exponentes Negativos):

Resolver y expresar con exponente positivo: \( \frac{(0,2)^3 \cdot (0,2)^{-5}}{(0,2)^2} \)

1. Numerador: Sumamos exponentes \( 3 + (-5) = -2 \). La expresión se convierte en \( \frac{(0,2)^{-2}}{(0,2)^2} \).

2. División: Restamos exponentes \( -2 - 2 = -4 \). El resultado es \( (0,2)^{-4} \).

3. Exponente positivo: Aplicamos la propiedad del exponente negativo. \( (0,2)^{-4} = \frac{1}{(0,2)^4} = \frac{1}{0,0016} = 625 \).

Ejemplo 5 (Problema de Aplicación):

El área de un cuadrado es \( ((0,1)^3)^4 \text{ m}^2 \). ¿Cuál es la medida de su lado?

1. Simplificar el área: Aplicamos potencia de una potencia. Área = \( (0,1)^{3 \cdot 4} = (0,1)^{12} \text{ m}^2 \).

2. Relacionar con el lado: Sabemos que Área = Lado². Por lo tanto, Lado² = \( (0,1)^{12} \).

3. Despejar el lado: Sacamos la raíz cuadrada (elevar a \( \frac{1}{2} \)).
Lado = \( ((0,1)^{12})^{\frac{1}{2}} = (0,1)^{12 \cdot \frac{1}{2}} = (0,1)^6 \).

Respuesta: El lado del cuadrado mide \( (0,1)^6 \) metros.

Ejercicios Propuestos

Tanda 1: Resuelve aplicando las propiedades

  1. \( \frac{((0,3)^2)^3}{(0,3)^4} \)
  2. \( (0,2)^4 \cdot (0,2)^{-2} \)
  3. \( ((0,5)^2 \cdot (4)^2)^3 \)
  4. \( (\frac{(0,6)^4}{(0,3)^4})^{-1} \)
  5. \( \frac{((-0,1)^3)^5}{(-0,1)^{12}} \)
  6. \( ((0,\overline{3})^5 \cdot (0,\overline{3})^{-2})^2 \)
  7. \( ( (0,1\overline{6})^{-3} \cdot (6)^{-3} )^2 \)
  8. \( \frac{(0,5x^2)^3}{(0,5x)^3} \)
  9. \( (\frac{(a^3b)^2}{(ab^2)})^3 \)
  10. \( (\frac{((0,2)^4 \cdot (5)^4)^{-1}}{(0,\overline{9})^5})^{-2} \)

Tanda 2: Piensa un poco más

  1. Resuelve: \( \frac{(0,1)^4 \cdot (0,1)^5}{(0,1)^2 \cdot (0,1)^3} \)
  2. Resuelve (con exponente negativo): \( (0,2)^5 \cdot (0,2)^{-3} \)
  3. Resuelve y expresa con exponente positivo: \( \frac{(0,5)^4}{(0,5)^7} \)
  4. Calcula: \( \frac{((0,7)^3)^2 \cdot (0,7)^{-6}}{(-2,5)^0} \)
  5. El área de un rectángulo es \( (0,5)^8 \text{ cm}^2 \). Si su ancho mide \( (0,5)^3 \text{ cm} \), ¿cuál es su largo?
  6. El volumen de un cubo es \( (0,2)^{12} \text{ m}^3 \). ¿Cuál es la medida de su arista?
  7. Simplifica la expresión: \( \frac{(ax)^m \cdot (ax)^n}{(ax)^p} \)
  8. Resuelve y expresa como fracción: \( \frac{(0,\overline{6})^2}{(0,\overline{6})^4} \)
  9. Simplifica: \( \frac{((0,1a)^3 \cdot (0,1a)^4)^2}{((0,1a)^5)^2} \)
  10. Un estudiante resolvió \( \frac{(-0,2)^3}{(-0,2)^5} \) como \( (-0,2)^2 = 0,04 \). ¿Dónde está el error y cuál es la respuesta correcta?