Para convertir cada fracción decimal, observamos el denominador: si es \(10\), el decimal tendrá una cifra decimal; si es \(100\), tendrá dos; si es \(1000\), tendrá tres.

1. \( \frac{7}{10} \): siete décimos. Como el denominador es \(10\), queda una cifra decimal: \(0{,}7\).
2. \( \frac{83}{100} \): ochenta y tres centésimos. Como el denominador es \(100\), quedan dos cifras decimales: \(0{,}83\).
3. \( \frac{235}{1000} \): doscientos treinta y cinco milésimos. Como el denominador es \(1000\), quedan tres cifras decimales: \(0{,}235\).
4. \( -\frac{9}{10} \): menos nueve décimos. Se conserva el signo negativo y queda una cifra decimal: \(-0{,}9\).
5. \( \frac{42}{100} \): cuarenta y dos centésimos. Como el denominador es \(100\), quedan dos cifras decimales: \(0{,}42\).
6. \( -\frac{5}{100} \): menos cinco centésimos. Como el denominador es \(100\), deben quedar dos cifras decimales: \(-0{,}05\).
7. \( \frac{7}{1000} \): siete milésimos. Como el denominador es \(1000\), deben quedar tres cifras decimales: \(0{,}007\).
8. \( 3\frac{2}{10} \): tres enteros y dos décimos. La parte entera es \(3\) y la parte decimal es \(0{,}2\): \(3{,}2\).
9. \( -5\frac{12}{100} \): menos cinco enteros y doce centésimos. La parte entera es \(-5\) y la parte decimal corresponde a \(0{,}12\): \(-5{,}12\).
10. \( \frac{2531}{1000} \): dos mil quinientos treinta y un milésimos. Como el denominador es \(1000\), quedan tres cifras decimales: \(2{,}531\).

Para escribir un decimal como fracción decimal, contamos cuántas cifras hay después de la coma. Una cifra corresponde a décimos, dos cifras a centésimos y tres cifras a milésimos.

1. \(0{,}9\): nueve décimos. Como tiene una cifra decimal, \(0{,}9=\frac{9}{10}\).
2. \(0{,}27\): veintisiete centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(0{,}27=\frac{27}{100}\).
3. \(0{,}605\): seiscientos cinco milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(0{,}605=\frac{605}{1000}\).
4. \(-0{,}5\): menos cinco décimos. Como tiene una cifra decimal, \(-0{,}5=-\frac{5}{10}\).
5. \(4{,}7\): cuatro enteros y siete décimos. También puede leerse como cuarenta y siete décimos, por eso \(4{,}7=\frac{47}{10}\).
6. \(0{,}53\): cincuenta y tres centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(0{,}53=\frac{53}{100}\).
7. \(0{,}072\): setenta y dos milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(0{,}072=\frac{72}{1000}\).
8. \(-0{,}19\): menos diecinueve centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(-0{,}19=-\frac{19}{100}\).
9. \(-0{,}003\): menos tres milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(-0{,}003=-\frac{3}{1000}\).
10. \(12{,}345\): doce enteros y trescientos cuarenta y cinco milésimos. También puede leerse como doce mil trescientos cuarenta y cinco milésimos, por eso \(12{,}345=\frac{12345}{1000}\).

Ambos números son positivos, así que comparamos directamente sus cifras decimales.

Igualamos las cifras decimales:

\[3{,}45 \qquad 3{,}5=3{,}50\]

Como \(45<50\) en la parte decimal, entonces \(3{,}45\) es menor que \(3{,}5\).

\[3{,}45<3{,}5\]

El número \(-2{,}1\) es negativo y \(0{,}5\) es positivo.

Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.

\[-2{,}1<0{,}5\]

Ambos números son negativos. Entonces comparamos sus valores absolutos y recordamos que, entre negativos, el número “más grande” en valor absoluto es el menor.

Igualamos cifras decimales:

\[-0{,}03 \qquad -0{,}3=-0{,}30\]

Como \(0{,}30>0{,}03\), el número \(-0{,}3\) tiene mayor valor absoluto.

Pero como ambos son negativos, el de mayor valor absoluto es menor. Por lo tanto:

\[-0{,}03>-0{,}3\]

El cero a la derecha de la parte decimal no cambia el valor del número.

\[-7{,}20=-7{,}2\]

Ambos representan el mismo punto en la recta numérica.

\[-7{,}20=-7{,}2\]

Todos los números son positivos, por lo tanto podemos ordenar comparando sus cifras decimales.

Igualamos a tres cifras decimales:

\[4{,}06=4{,}060 \qquad 4{,}6=4{,}600 \qquad 4{,}006=4{,}006 \qquad 4{,}060=4{,}060\]

Ahora ordenamos:

\[4{,}006<4{,}060=4{,}06<4{,}600\]

Un orden correcto es: \(4{,}006\), \(4{,}06\), \(4{,}060\), \(4{,}6\), considerando que \(4{,}06\) y \(4{,}060\) son iguales.

En una carrera, es más rápida quien tiene el menor tiempo.

Igualamos cifras decimales:

\[11{,}3=11{,}30\]

Comparamos \(11{,}30\) y \(11{,}28\):

\[11{,}28<11{,}30\]

Beatriz fue más rápida, porque \(11{,}28\) segundos es menor que \(11{,}3\) segundos.

Hace más frío donde la temperatura es menor.

Igualamos cifras decimales:

\[-3{,}8=-3{,}80\]

Comparamos los valores absolutos: \(3{,}80>3{,}75\). Entonces \(-3{,}8\) es “más grande” en valor absoluto.

Como ambos números son negativos, el de mayor valor absoluto es menor:

\[-3{,}80<-3{,}75\]

Hizo más frío donde la temperatura fue \(-3{,}8^\circ\text{C}\).

Para saber cuál es más barata, buscamos el precio menor.

La parte entera es la misma: \(1.490\). Entonces comparamos la parte decimal:

\[0{,}50 \qquad 0{,}09\]

Como \(0{,}09<0{,}50\), se cumple que:

\[1.490{,}09<1.490{,}50\]

La marca B es más barata.

Buscamos la puntuación mayor.

Igualamos cifras decimales:

\[9{,}9=9{,}90\]

Comparamos \(9{,}85\) y \(9{,}90\):

\[9{,}90>9{,}85\]

La puntuación más alta es \(9{,}9\).

Como todas las medidas son positivas, comparamos directamente sus cifras decimales.

Igualamos las medidas a tres cifras decimales:

\[1{,}25=1{,}250 \qquad 1{,}2=1{,}200 \qquad 1{,}205=1{,}205\]

Ordenamos de menor a mayor:

\[1{,}200<1{,}205<1{,}250\]

El orden correcto es: \(1{,}2\) m, \(1{,}205\) m, \(1{,}25\) m.

1. Convertimos a fracciones con denominador común:

   \[\frac{75}{100}+\frac{2}{10}=\frac{75}{100}+\frac{20}{100}=\frac{95}{100}=0{,}95\]

2. Convertimos a centésimos y restamos:

   \[\frac{2}{10}-\frac{75}{100}=\frac{20}{100}-\frac{75}{100}=-\frac{55}{100}=-0{,}55\]

3. Convertimos ambos números a centésimos:

   \[\frac{24}{10}-\frac{35}{100}=\frac{240}{100}-\frac{35}{100}=\frac{205}{100}=2{,}05\]

4. Ambos términos son negativos, por eso se suman sus valores absolutos y se conserva el signo negativo:

   \[-\frac{4}{10}-\frac{8}{10}=-\frac{12}{10}=-1{,}2\]

5. Sumamos décimos con décimos:

   \[\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=\frac{14}{10}=1{,}4\]

6. Convertimos \(0{,}7\) a centésimos:

   \[\frac{125}{100}-\frac{7}{10}=\frac{125}{100}-\frac{70}{100}=\frac{55}{100}=0{,}55\]

7. Convertimos a centésimos y restamos:

   \[\frac{12}{10}-\frac{305}{100}=\frac{120}{100}-\frac{305}{100}=-\frac{185}{100}=-1{,}85\]

8. Convertimos ambos números a centésimos:

   \[\frac{35}{10}+\frac{105}{100}=\frac{350}{100}+\frac{105}{100}=\frac{455}{100}=4{,}55\]

1. Alineamos la coma y agregamos un cero en \(2{,}5\):

     2,50
   + 1,25
   ------
     3,75

   \[2{,}5+1{,}25=3{,}75\]

2. Alineamos la coma y escribimos \(5{,}1\) como \(5{,}100\):

     10,625
   +  5,100
   --------
     15,725

   \[10{,}625+5{,}1=15{,}725\]

3. Escribimos \(7\) como \(7{,}00\):

     7,00
   - 3,45
   ------
     3,55

   \[7-3{,}45=3{,}55\]

4. La operación equivale a \(2{,}5-1{,}2\):

     2,5
   - 1,2
   -----
     1,3

   \[2{,}5+(-1{,}2)=1{,}3\]

5. Los signos son distintos. Como \(3{,}5\) tiene mayor valor absoluto, el resultado será positivo:

     3,50
   - 1,75
   ------
     1,75

   \[-1{,}75+3{,}5=1{,}75\]

6. Los signos son iguales negativos, por lo tanto sumamos los valores absolutos y conservamos el signo negativo:

     4,8
   + 2,3
   -----
     7,1

   \[-4{,}8-2{,}3=-7{,}1\]

7. Los signos son distintos. Como \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(5{,}3\), el resultado será negativo:

     8,0
   - 5,3
   -----
     2,7

   \[-8+5{,}3=-2{,}7\]

8. Los signos son distintos. Como \(7{,}2\) tiene mayor valor absoluto que \(3{,}12\), el resultado será negativo:

     7,20
   - 3,12
   ------
     4,08

   \[-7{,}2+3{,}12=-4{,}08\]

9. Primero transformamos la resta de un negativo en suma:

   \[-2{,}3-(-1{,}8)=-2{,}3+1{,}8\]

   Los signos son distintos. Como \(2{,}3\) tiene mayor valor absoluto, el resultado será negativo:

     2,3
   - 1,8
   -----
     0,5

   \[-2{,}3-(-1{,}8)=-0{,}5\]

1. Primero sumamos \(5{,}2+1{,}8\):

   \[5{,}2+1{,}8-3{,}5=7{,}0-3{,}5=3{,}5\]

2. Resolvemos de izquierda a derecha:

   \[10-4{,}5-2{,}1=5{,}5-2{,}1=3{,}4\]

3. Primero sumamos los dos primeros términos:

   \[-3{,}1+8{,}5-2{,}0=5{,}4-2{,}0=3{,}4\]

4. Resolvemos de izquierda a derecha:

   \[4{,}5-9{,}2+1{,}1=-4{,}7+1{,}1=-3{,}6\]

5. Primero resolvemos el paréntesis:

   \[12{,}5-(3{,}1+4{,}2)=12{,}5-7{,}3=5{,}2\]

6. Primero resolvemos el paréntesis:

   \[8{,}4+(-2{,}1-1{,}1)=8{,}4+(-3{,}2)=5{,}2\]

7. Primero resolvemos el paréntesis:

   \[-5-(2{,}5-4)=-5-(-1{,}5)\]

   Restar un número negativo equivale a sumar:

   \[-5+1{,}5=-3{,}5\]

1. Estimamos:

   \[5{,}7\approx 6 \qquad 3{,}2\approx 3\]

   \[6+3=9\]

   Resultado exacto:

   \[5{,}7+3{,}2=8{,}9\]

2. Estimamos:

   \[8{,}9\approx 9 \qquad 2{,}7\approx 3\]

   \[9-3=6\]

   Resultado exacto:

   \[8{,}9-2{,}7=6{,}2\]

3. Estimamos:

   \[12{,}3\approx 12 \qquad 4{,}8\approx 5\]

   \[12+5=17\]

   Resultado exacto:

   \[12{,}3+4{,}8=17{,}1\]

4. Estimamos:

   \[-2{,}8\approx -3 \qquad -3{,}9\approx -4\]

   \[-3+(-4)=-7\]

   Resultado exacto:

   \[-2{,}8+(-3{,}9)=-6{,}7\]

5. Estimamos:

   \[-8{,}5\approx -9 \qquad 4{,}2\approx 4\]

   \[-9+4=-5\]

   Resultado exacto:

   \[-8{,}5+4{,}2=-4{,}3\]

1. \[ 0{,}5\cdot 0{,}7 = \frac{5}{10}\cdot \frac{7}{10} = \frac{35}{100} = 0{,}35 \]

2. \[ 2{,}5\cdot 0{,}2 = \frac{25}{10}\cdot \frac{2}{10} = \frac{50}{100} = 0{,}5 \]

3. \[ 0{,}75\cdot 0{,}6 = \frac{75}{100}\cdot \frac{6}{10} = \frac{450}{1000} = 0{,}45 \]

4. \[ 1{,}2\cdot 0{,}3 = \frac{12}{10}\cdot \frac{3}{10} = \frac{36}{100} = 0{,}36 \]

1. Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:

   \[ 0{,}5\cdot (-0{,}3) = \frac{5}{10}\cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{15}{100} = -0{,}15 \]

2. Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:

   \[ -1{,}2\cdot 0{,}4 = \left(-\frac{12}{10}\right)\cdot \frac{4}{10} = -\frac{48}{100} = -0{,}48 \]

3. Los signos son iguales, por lo tanto el resultado será positivo:

   \[ -0{,}7\cdot (-0{,}2) = \left(-\frac{7}{10}\right)\cdot \left(-\frac{2}{10}\right) = \frac{14}{100} = 0{,}14 \]

4. Los signos son distintos, por lo tanto el resultado será negativo:

   \[ 2{,}5\cdot (-0{,}3) = \frac{25}{10}\cdot \left(-\frac{3}{10}\right) = -\frac{75}{100} = -0{,}75 \]

1. Multiplicamos como enteros:

   \[ 35\cdot 21=735 \]

   Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Entonces:

   \[ 3{,}5\cdot 2{,}1=7{,}35 \]

2. Multiplicamos como enteros:

   \[ 125\cdot 4=500 \]

   Hay \(2+1=3\) cifras decimales. Entonces:

   \[ 1{,}25\cdot 0{,}4=0{,}500=0{,}5 \]

3. Multiplicamos como enteros:

   \[ 8\cdot 9=72 \]

   Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Como los signos son distintos, el resultado es negativo:

   \[ 0{,}8\cdot (-0{,}9)=-0{,}72 \]

4. Multiplicamos como enteros:

   \[ 15\cdot 32=480 \]

   Hay \(1+1=2\) cifras decimales. Como los signos son iguales, el resultado es positivo:

   \[ -1{,}5\cdot (-3{,}2)=4{,}80=4{,}8 \]

5. Multiplicamos como enteros:

   \[ 45\cdot 3=135 \]

   Hay \(1+0=1\) cifra decimal. Entonces:

   \[ 4{,}5\cdot 3=13{,}5 \]

6. Multiplicamos como enteros:

   \[ 42\cdot 6=252 \]

   Hay \(2+1=3\) cifras decimales. Como los signos son distintos, el resultado es negativo:

   \[ -0{,}42\cdot 0{,}6=-0{,}252 \]

1. Multiplicar por \(10\) mueve la coma un lugar a la derecha:

   \[ 2{,}8\cdot 10=28 \]

2. Multiplicar por \(100\) mueve la coma dos lugares a la derecha:

   \[ 0{,}65\cdot 100=65 \]

3. Multiplicar por \(1000\) mueve la coma tres lugares a la derecha. Se conserva el signo negativo:

   \[ -1{,}9\cdot 1000=-1900 \]

4. Multiplicar por \(10\) mueve la coma un lugar a la derecha:

   \[ 0{,}03\cdot 10=0{,}3 \]

1. Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 45\cdot 0{,}1=4{,}5 \]

2. Multiplicar por \(0{,}01\) mueve la coma dos lugares a la izquierda:

   \[ 123{,}7\cdot 0{,}01=1{,}237 \]

3. Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda. Se conserva el signo negativo:

   \[ -8{,}9\cdot 0{,}1=-0{,}89 \]

4. Multiplicar por \(0{,}001\) mueve la coma tres lugares a la izquierda:

   \[ 750\cdot 0{,}001=0{,}750=0{,}75 \]

5. Multiplicar por \(0{,}1\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 0{,}6\cdot 0{,}1=0{,}06 \]

1. \[ 0{,}6\div 0{,}2 = \frac{6}{10}\div \frac{2}{10} = \frac{6}{10}\cdot \frac{10}{2} = 3 \]

2. \[ 1{,}5\div 0{,}05 = \frac{15}{10}\div \frac{5}{100} = \frac{15}{10}\cdot \frac{100}{5} = 30 \]

3. Los signos son distintos, por lo tanto el resultado es negativo:

   \[ -0{,}75\div 0{,}25 = -\frac{75}{100}\div \frac{25}{100} = -\frac{75}{100}\cdot \frac{100}{25} = -3 \]

4. Los signos son iguales, por lo tanto el resultado es positivo:

   \[ -1{,}4\div (-0{,}2) = \left(-\frac{14}{10}\right)\div \left(-\frac{2}{10}\right) = \left(-\frac{14}{10}\right)\cdot \left(-\frac{10}{2}\right) = 7 \]

5. \[ 0{,}9\div 2 = \frac{9}{10}\div 2 = \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{20} = 0{,}45 \]

6. \[ 0{,}2\div 0{,}5 = \frac{2}{10}\div \frac{5}{10} = \frac{2}{10}\cdot \frac{10}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \]

7. \[ 3{,}5\div 2 = \frac{35}{10}\div 2 = \frac{35}{10}\cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{20} = 1{,}75 \]

8. Los signos son distintos, por lo tanto el resultado es negativo:

   \[ -5{,}1\div 0{,}2 = -\frac{51}{10}\div \frac{2}{10} = -\frac{51}{10}\cdot \frac{10}{2} = -\frac{51}{2} = -25{,}5 \]

1. Igualamos una cifra decimal y suprimimos la coma:

   \[ -9{,}6\div 3{,}2=-96\div 32=-3 \]

2. Igualamos dos cifras decimales:

   \[ 1{,}25\div 0{,}50=125\div 50=2{,}5 \]

3. Igualamos dos cifras decimales. Como los signos son iguales, el resultado es positivo:

   \[ -2{,}50\div (-0{,}05)=-250\div (-5)=50 \]

4. Escribimos \(6\) como \(6{,}0\):

   \[ 6{,}0\div 0{,}3=60\div 3=20 \]

5. Escribimos \(5\) como \(5{,}0\):

   \[ 0{,}8\div 5{,}0=8\div 50=0{,}16 \]

6. Escribimos \(2\) como \(2{,}0\):

   \[ -0{,}7\div 2{,}0=-7\div 20=-0{,}35 \]

7. Podemos escribir ambos números con una cifra decimal:

   \[ 15{,}0\div 4{,}0=150\div 40=3{,}75 \]

8. Escribimos \(-10\) como \(-10{,}0\):

   \[ -10{,}0\div 0{,}8=-100\div 8=-12{,}5 \]

1. Dividir por \(10\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 28{,}3\div 10=2{,}83 \]

2. Dividir por \(100\) mueve la coma dos lugares a la izquierda:

   \[ 6{,}5\div 100=0{,}065 \]

3. Dividir por \(1000\) mueve la coma tres lugares a la izquierda y se conserva el signo negativo:

   \[ -19{,}2\div 1000=-0{,}0192 \]

4. Dividir por \(10\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 0{,}7\div 10=0{,}07 \]

5. Dividir por \(10\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 450\div 10=45 \]

6. Dividir por \(100\) mueve la coma dos lugares a la izquierda y se conserva el signo negativo:

   \[ -300\div 100=-3 \]

7. Dividir por \(10\) mueve la coma un lugar a la izquierda:

   \[ 582\div 10=58{,}2 \]

8. Dividir por \(10\) mueve la coma un lugar a la izquierda y se conserva el signo negativo:

   \[ -45{,}5\div 10=-4{,}55 \]

1. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\):

   \[ 5{,}2\div 0{,}1=5{,}2\cdot 10=52 \]

2. Dividir por \(0{,}01\) equivale a multiplicar por \(100\), conservando el signo negativo:

   \[ -1{,}45\div 0{,}01=-1{,}45\cdot 100=-145 \]

3. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\):

   \[ 35\div 0{,}1=35\cdot 10=350 \]

4. Dividir por \(0{,}01\) equivale a multiplicar por \(100\), conservando el signo negativo:

   \[ -0{,}8\div 0{,}01=-0{,}8\cdot 100=-80 \]

5. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\):

   \[ 0{,}08\div 0{,}1=0{,}08\cdot 10=0{,}8 \]

6. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\), conservando el signo negativo:

   \[ -0{,}45\div 0{,}1=-0{,}45\cdot 10=-4{,}5 \]

7. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\):

   \[ 0{,}15\div 0{,}1=0{,}15\cdot 10=1{,}5 \]

8. Dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\), conservando el signo negativo:

   \[ -2{,}34\div 0{,}1=-2{,}34\cdot 10=-23{,}4 \]

1. \(0{,}5555...=0{,}\overline{5}\)

   Clasificación: periódico puro. Parte entera: \(0\). Período: \(5\).

2. \(2{,}121212...=2{,}\overline{12}\)

   Clasificación: periódico puro. Parte entera: \(2\). Período: \(12\).

3. \(-0{,}345345345...=-0{,}\overline{345}\)

   Clasificación: periódico puro. Signo: negativo. Parte entera: \(0\). Período: \(345\).

4. \(0{,}1666...=0{,}1\overline{6}\)

   Clasificación: semiperiódico. Parte entera: \(0\). Anteperíodo: \(1\). Período: \(6\).

5. \(4{,}0333...=4{,}0\overline{3}\)

   Clasificación: semiperiódico. Parte entera: \(4\). Anteperíodo: \(0\). Período: \(3\).

6. \(-1{,}2777...=-1{,}2\overline{7}\)

   Clasificación: semiperiódico. Signo: negativo. Parte entera: \(1\). Anteperíodo: \(2\). Período: \(7\).

7. \(0{,}8333...=0{,}8\overline{3}\)

   Clasificación: semiperiódico. Parte entera: \(0\). Anteperíodo: \(8\). Período: \(3\).

8. \(5{,}010101...=5{,}\overline{01}\)

   Clasificación: periódico puro. Parte entera: \(5\). Período: \(01\).

9. \(-0{,}123123123...=-0{,}\overline{123}\)

   Clasificación: periódico puro. Signo: negativo. Parte entera: \(0\). Período: \(123\).

10. \(0{,}41888...=0{,}41\overline{8}\)

    Clasificación: semiperiódico. Parte entera: \(0\). Anteperíodo: \(41\). Período: \(8\).

11. \(7{,}12343434...=7{,}12\overline{34}\)

    Clasificación: semiperiódico. Parte entera: \(7\). Anteperíodo: \(12\). Período: \(34\).

12. \(-0{,}00555...=-0{,}00\overline{5}\)

    Clasificación: semiperiódico. Signo: negativo. Parte entera: \(0\). Anteperíodo: \(00\). Período: \(5\).

1. \[ \frac{2}{3}=0{,}666...=0{,}\overline{6} \]

   Clasificación: periódico puro.

2. \[ \frac{5}{6}=0{,}8333...=0{,}8\overline{3} \]

   Clasificación: semiperiódico.

3. \[ \frac{1}{9}=0{,}111...=0{,}\overline{1} \]

   Clasificación: periódico puro.

4. \[ \frac{2}{11}=0{,}181818...=0{,}\overline{18} \]

   Clasificación: periódico puro.

5. \[ \frac{7}{15}=0{,}4666...=0{,}4\overline{6} \]

   Clasificación: semiperiódico.

6. \[ \frac{1}{12}=0{,}08333...=0{,}08\overline{3} \]

   Clasificación: semiperiódico.

7. \[ \frac{5}{11}=0{,}454545...=0{,}\overline{45} \]

   Clasificación: periódico puro.

8. \[ \frac{13}{15}=0{,}8666...=0{,}8\overline{6} \]

   Clasificación: semiperiódico.

9. \[ \frac{1}{7}=0{,}142857142857...=0{,}\overline{142857} \]

   Clasificación: periódico puro.

1. Elevamos al cuadrado:

   \[ (0{,}3)^2=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09 \]

2. El exponente es par, por lo tanto el resultado es positivo:

   \[ (-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25 \]

3. El exponente es impar, por lo tanto el resultado conserva el signo negativo:

   \[ (-0{,}2)^3=(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)\cdot(-0{,}2)=-0{,}008 \]

4. Todo número distinto de cero elevado a \(0\) es \(1\):

   \[ (1{,}7)^0=1 \]

5. Producto de potencias de igual base: se suman los exponentes.

   \[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2=(0{,}2)^{3+2}=(0{,}2)^5 \]

   Calculamos:

   \[ (0{,}2)^5=0{,}00032 \]

6. Producto de potencias de igual base: se suman los exponentes.

   \[ (-1{,}1)^4\cdot(-1{,}1)^2=(-1{,}1)^{4+2}=(-1{,}1)^6 \]

   Como el exponente \(6\) es par, el resultado es positivo.

   \[ (-1{,}1)^6=1{,}771561 \]

7. Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.

   \[ (0{,}4)^4\div(0{,}4)^2=(0{,}4)^{4-2}=(0{,}4)^2 \]

   \[ (0{,}4)^2=0{,}16 \]

8. Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.

   \[ (-0{,}6)^5\div(-0{,}6)^2=(-0{,}6)^{5-2}=(-0{,}6)^3 \]

   Como el exponente \(3\) es impar, el resultado es negativo:

   \[ (-0{,}6)^3=-0{,}216 \]

9. Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes.

   \[ (-1{,}2)^4\div(-1{,}2)^4=(-1{,}2)^{4-4}=(-1{,}2)^0 \]

   Como la base es distinta de cero:

   \[ (-1{,}2)^0=1 \]

10. La expresión \((2{,}5)\) puede escribirse como \((2{,}5)^1\):

    \[ (2{,}5)\cdot(2{,}5)^3=(2{,}5)^1\cdot(2{,}5)^3=(2{,}5)^{1+3}=(2{,}5)^4 \]

    Calculamos:

    \[ (2{,}5)^4=39{,}0625 \]

11. Producto de potencias de igual base:

    \[ a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5 \]

12. El exponente \(2\) afecta a todo lo que está dentro del paréntesis:

    \[ (-3x)^2=(-3)^2\cdot x^2=9x^2 \]

1. \[ (0{,}3)^2=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09 \]

2. \[ (0{,}4)^3=0{,}4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}064 \]

3. \[ (1{,}2)^4=1{,}2\cdot 1{,}2\cdot 1{,}2\cdot 1{,}2=2{,}0736 \]

4. Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{3})^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]

5. Como \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:

   \[ (0{,}1\overline{6})^2=\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{36} \]

6. Interpretamos \(0{,}1a\) como \(0{,}1\cdot a\):

   \[ (0{,}1a)^2=(0{,}1)^2a^2=0{,}01a^2 \]

7. Interpretamos \(0{,}5b\) como \(0{,}5\cdot b\):

   \[ (0{,}5b)^3=(0{,}5)^3b^3=0{,}125b^3 \]

1. El exponente es par, por lo tanto el resultado es positivo:

   \[ (-0{,}5)^2=0{,}25 \]

2. El exponente es par, por lo tanto el resultado es positivo:

   \[ (-0{,}2)^4=0{,}0016 \]

3. El exponente es impar, por lo tanto el resultado es negativo:

   \[ (-2{,}5)^3=-15{,}625 \]

4. Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ (-0{,}\overline{3})^3=\left(-\frac{1}{3}\right)^3=-\frac{1}{27} \]

5. El exponente es impar, por lo tanto el resultado es negativo:

   \[ (-0{,}2y)^5=(-0{,}2)^5y^5=-0{,}00032y^5 \]

6. El exponente es par, por lo tanto el resultado es positivo:

   \[ (-0{,}1x)^2=(-0{,}1)^2x^2=0{,}01x^2 \]

1. \[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2=(0{,}2)^{3+2}=(0{,}2)^5=0{,}00032 \]

2. \[ (1{,}3)^4\cdot(1{,}3)=(1{,}3)^{4+1}=(1{,}3)^5=3{,}71293 \]

3. La expresión \((2{,}5)\) equivale a \((2{,}5)^1\):

   \[ (2{,}5)\cdot(2{,}5)^3=(2{,}5)^{1+3}=(2{,}5)^4=39{,}0625 \]

4. \[ (-0{,}3)^2\cdot(-0{,}3)^3=(-0{,}3)^{2+3}=(-0{,}3)^5=-0{,}00243 \]

5. \[ (-0{,}7)^3\cdot(-0{,}7)=(-0{,}7)^{3+1}=(-0{,}7)^4=0{,}2401 \]

6. \[ (-2{,}2)^2\cdot(-2{,}2)^2=(-2{,}2)^{2+2}=(-2{,}2)^4=23{,}4256 \]

7. Como \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{6})^2\cdot(0{,}\overline{6})^3= \left(\frac{2}{3}\right)^5= \frac{32}{243} \]

8. Como \(0{,}8\overline{3}=\frac{5}{6}\), entonces:

   \[ (0{,}8\overline{3})^4\cdot(0{,}8\overline{3})= \left(\frac{5}{6}\right)^5= \frac{3125}{7776} \]

9. \[ a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5 \]

10. \[ (0{,}2b)\cdot(0{,}2b)^4=(0{,}2b)^5=0{,}00032b^5 \]

11. Como \(0{,}\overline{1}=\frac{1}{9}\), entonces:

    \[ (-0{,}\overline{1}x)^5\cdot(-0{,}\overline{1}x)^2 = (-0{,}\overline{1}x)^7 = \left(-\frac{x}{9}\right)^7 = -\frac{x^7}{9^7} \]

1. \[ (0{,}4)^4\div(0{,}4)^2=(0{,}4)^{4-2}=(0{,}4)^2=0{,}16 \]

2. \[ (1{,}6)^5\div(1{,}6)^3=(1{,}6)^{5-3}=(1{,}6)^2=2{,}56 \]

3. \[ (0{,}9)^6\div(0{,}9)^3=(0{,}9)^{6-3}=(0{,}9)^3=0{,}729 \]

4. \[ (-0{,}6)^5\div(-0{,}6)^2=(-0{,}6)^{5-2}=(-0{,}6)^3=-0{,}216 \]

5. \[ (-0{,}5)^7\div(-0{,}5)^3=(-0{,}5)^{7-3}=(-0{,}5)^4=0{,}0625 \]

6. \[ (-2{,}8)^6\div(-2{,}8)^2=(-2{,}8)^{6-2}=(-2{,}8)^4=61{,}4656 \]

7. Como \(0{,}\overline{2}=\frac{2}{9}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{2})^5\div(0{,}\overline{2})^3 = \left(\frac{2}{9}\right)^{5-3} = \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{4}{81} \]

8. Como \(0{,}41\overline{6}=\frac{5}{12}\), entonces:

   \[ (0{,}41\overline{6})^7\div(0{,}41\overline{6})^5 = \left(\frac{5}{12}\right)^{7-5} = \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{144} \]

9. Aplicamos la propiedad, considerando \(x\neq 0\):

   \[ x^5\div x^2=x^{5-2}=x^3 \]

10. Aplicamos la propiedad, considerando \(z\neq 0\):

    \[ (-0{,}5z)^4\div(-0{,}5z)=(-0{,}5z)^{4-1}=(-0{,}5z)^3=-0{,}125z^3 \]

1. Como \(0{,}6\neq 0\), entonces:

   \[ (0{,}6)^0=1 \]

2. Como \(-3{,}2\neq 0\), entonces:

   \[ (-3{,}2)^0=1 \]

3. Como \(1{,}2\overline{3}\neq 0\), entonces:

   \[ (1{,}2\overline{3})^0=1 \]

4. La base es \(-0{,}01x\). Para aplicar la regla, debe cumplirse que \(x\neq 0\).

   \[ (-0{,}01x)^0=1,\qquad x\neq 0 \]

1. \[ \left((0{,}2)^2\right)^2=(0{,}2)^{2\cdot 2}=(0{,}2)^4=0{,}0016 \]

2. \[ \left((1{,}5)^3\right)^2=(1{,}5)^{3\cdot 2}=(1{,}5)^6=11{,}390625 \]

3. \[ \left((-0{,}3)^2\right)^3=(-0{,}3)^{2\cdot 3}=(-0{,}3)^6=0{,}000729 \]

   Como el exponente final es par, el resultado es positivo.

4. \[ \left((-1{,}1)^3\right)^2=(-1{,}1)^{3\cdot 2}=(-1{,}1)^6=1{,}771561 \]

5. Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ \left((0{,}\overline{3})^2\right)^3= \left(\frac{1}{3}\right)^6= \frac{1}{729} \]

6. Como \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:

   \[ \left((0{,}1\overline{6})^2\right)^2= \left(\frac{1}{6}\right)^4= \frac{1}{1296} \]

7. \[ \left(a^2\right)^4=a^{2\cdot 4}=a^8 \]

8. \[ \left((0{,}2b)^2\right)^3=(0{,}2b)^6=0{,}000064b^6 \]

9. \[ \left((-0{,}1x)^3\right)^2=(-0{,}1x)^6=0{,}000001x^6 \]

10. \[ \left((-0{,}5y)^3\right)^3=(-0{,}5y)^9=-0{,}001953125y^9 \]

1. \[ (0{,}2)^{-1}=\frac{1}{0{,}2}=5 \]

2. \[ (-0{,}25)^{-1}=\frac{1}{-0{,}25}=-4 \]

3. \[ (0{,}5)^{-2}=\left(\frac{1}{0{,}5}\right)^2=2^2=4 \]

4. \[ (-0{,}1)^{-3}=\left(\frac{1}{-0{,}1}\right)^3=(-10)^3=-1000 \]

5. Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{3})^{-2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9 \]

6. Como \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:

   \[ (0{,}1\overline{6})^{-2}=\left(\frac{1}{6}\right)^{-2}=6^2=36 \]

7. \[ a^{-5}=\frac{1}{a^5},\qquad a\neq 0 \]

8. \[ (0{,}1b)^{-3}=\frac{1}{(0{,}1b)^3} =\frac{1}{0{,}001b^3} =\frac{1000}{b^3} \]

9. \[ (-0{,}2x)^{-2}=\frac{1}{(-0{,}2x)^2} =\frac{1}{0{,}04x^2} =\frac{25}{x^2} \]

10. \[ (-0{,}5y)^{-3}=\frac{1}{(-0{,}5y)^3} =\frac{1}{-0{,}125y^3} =-\frac{8}{y^3} \]

1. \[ (0{,}4)^2\cdot(0{,}6)^2=(0{,}4\cdot0{,}6)^2=(0{,}24)^2=0{,}0576 \]

2. \[ (1{,}2)^3\cdot(0{,}5)^3=(1{,}2\cdot0{,}5)^3=(0{,}6)^3=0{,}216 \]

3. \[ (2{,}5)^2\cdot(0{,}4)^2=(2{,}5\cdot0{,}4)^2=1^2=1 \]

4. \[ (-0{,}5)^3\cdot(0{,}8)^3=(-0{,}5\cdot0{,}8)^3=(-0{,}4)^3=-0{,}064 \]

5. \[ (-1{,}2)^2\cdot(-0{,}6)^2=\left((-1{,}2)(-0{,}6)\right)^2=(0{,}72)^2=0{,}5184 \]

6. Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\) y \(0{,}6=\frac{3}{5}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{3})^2\cdot(0{,}6)^2= \left(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\right)^2= \left(\frac{1}{5}\right)^2= \frac{1}{25}=0{,}04 \]

7. Como \(0{,}2\overline{7}=\frac{5}{18}\) y \(1{,}8=\frac{9}{5}\), entonces:

   \[ (0{,}2\overline{7})^4\cdot(1{,}8)^4= \left(\frac{5}{18}\cdot\frac{9}{5}\right)^4= \left(\frac{1}{2}\right)^4= \frac{1}{16} \]

8. \[ a^5\cdot b^5=(ab)^5 \]

9. \[ (0{,}5x)^2\cdot(0{,}2y)^2=(0{,}5x\cdot0{,}2y)^2=(0{,}1xy)^2=0{,}01x^2y^2 \]

10. \[ (-0{,}1m)^3\cdot(2n)^3=(-0{,}1m\cdot2n)^3=(-0{,}2mn)^3=-0{,}008m^3n^3 \]

1. \[ (0{,}9)^3\div(0{,}3)^3=\left(\frac{0{,}9}{0{,}3}\right)^3=3^3=27 \]

2. \[ (1{,}5)^4\div(0{,}5)^4=\left(\frac{1{,}5}{0{,}5}\right)^4=3^4=81 \]

3. \[ (-0{,}8)^4\div(0{,}4)^4=\left(\frac{-0{,}8}{0{,}4}\right)^4=(-2)^4=16 \]

4. \[ (-1{,}5)^3\div(-0{,}3)^3=\left(\frac{-1{,}5}{-0{,}3}\right)^3=5^3=125 \]

5. Como \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\) y \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{6})^2\div(0{,}\overline{3})^2= \left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)^2= 2^2=4 \]

6. Como \(0{,}2\overline{7}=\frac{5}{18}\) y \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:

   \[ (0{,}2\overline{7})^3\div(0{,}1\overline{6})^3= \left(\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{6}}\right)^3= \left(\frac{5}{3}\right)^3= \frac{125}{27} \]

7. \[ a^4\div b^4=\left(\frac{a}{b}\right)^4,\qquad b\neq 0 \]

8. \[ (0{,}6x)^3\div(0{,}2x)^3= \left(\frac{0{,}6x}{0{,}2x}\right)^3=3^3=27,\qquad x\neq 0 \]

9. \[ (-0{,}9m)^2\div(0{,}3n)^2= \left(\frac{-0{,}9m}{0{,}3n}\right)^2= \left(-\frac{3m}{n}\right)^2= \frac{9m^2}{n^2},\qquad n\neq 0 \]

10. \[ (xy)^5\div(0{,}5x)^5= \left(\frac{xy}{0{,}5x}\right)^5= (2y)^5=32y^5,\qquad x\neq 0 \]

1. El exponente solo afecta al \(0{,}5\):

   \[ -0{,}5^2=-(0{,}5^2)=-0{,}25 \]

2. El exponente afecta a toda la base negativa:

   \[ (-0{,}5)^2=(-0{,}5)(-0{,}5)=0{,}25 \]

3. \[ -(0{,}1)^4=-(0{,}0001)=-0{,}0001 \]

4. El exponente es par:

   \[ (-0{,}1)^4=0{,}0001 \]

5. El exponente es impar:

   \[ (-0{,}1)^3=-0{,}001 \]

6. El exponente solo afecta al \(0{,}1\):

   \[ -0{,}1^3=-(0{,}1^3)=-0{,}001 \]

7. Primero resolvemos la potencia:

   \[ (-0{,}2)^3=-0{,}008 \]

   Luego aplicamos el signo negativo exterior:

   \[ -(-0{,}2)^3=-(-0{,}008)=0{,}008 \]

8. Primero resolvemos la potencia:

   \[ (-0{,}2x)^2=0{,}04x^2 \]

   Luego aplicamos el signo negativo exterior:

   \[ -(-0{,}2x)^2=-0{,}04x^2 \]

1. Como las potencias tienen la misma base, sumamos los exponentes:

   \[ (0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^{-3}\cdot(0{,}5)^4 = (0{,}5)^{2-3+4} = (0{,}5)^3 \]

   \[ (0{,}5)^3=0{,}125 \]

2. Primero aplicamos potencia de una potencia:

   \[ \left((1{,}2)^2\right)^3=(1{,}2)^{2\cdot 3}=(1{,}2)^6 \]

   Luego dividimos potencias de igual base:

   \[ (1{,}2)^6\div(1{,}2)^4=(1{,}2)^{6-4}=(1{,}2)^2=1{,}44 \]

3. Como todas las potencias tienen la misma base, operamos los exponentes:

   \[ (0{,}8)^{-2}\cdot(0{,}8)^5\div(0{,}8)^3 = (0{,}8)^{-2+5-3} = (0{,}8)^0 \]

   Como \(0{,}8\neq 0\), entonces:

   \[ (0{,}8)^0=1 \]

4. Las dos primeras potencias tienen el mismo exponente:

   \[ (0{,}3)^3\cdot(0{,}2)^3=(0{,}3\cdot0{,}2)^3=(0{,}06)^3 \]

   Además:

   \[ (0{,}6)^{-2}=\frac{1}{(0{,}6)^2} \]

   Entonces:

   \[ (0{,}06)^3\cdot\frac{1}{(0{,}6)^2} = 0{,}000216\cdot\frac{1}{0{,}36} = 0{,}0006 \]

5. Aplicamos potencia de una potencia:

   \[ \left((-0{,}4)^2\right)^3=(-0{,}4)^{2\cdot3}=(-0{,}4)^6 \]

   Luego dividimos potencias de igual base:

   \[ (-0{,}4)^6\div(-0{,}4)^5=(-0{,}4)^{6-5}=(-0{,}4)^1=-0{,}4 \]

6. Como las potencias tienen igual base, operamos los exponentes:

   \[ (2{,}5)^{-1}\cdot(2{,}5)^4\div(2{,}5)^2 = (2{,}5)^{-1+4-2} = (2{,}5)^1 \]

   \[ (2{,}5)^1=2{,}5 \]

7. Las dos primeras potencias tienen igual exponente:

   \[ (1{,}1)^3\cdot(0{,}9)^3=(1{,}1\cdot0{,}9)^3=(0{,}99)^3 \]

   Luego dividimos potencias de igual base:

   \[ (0{,}99)^3\div(0{,}99)^2=(0{,}99)^{3-2}=0{,}99 \]

1. Producto de potencias de igual base:

   \[ (0{,}6)^x\cdot(0{,}6)^3=(0{,}6)^{x+3} \]

   Entonces:

   \[ x+3=5 \]

   \[ x=2 \]

2. Cociente de potencias de igual base:

   \[ (1{,}2)^4\div(1{,}2)^x=(1{,}2)^{4-x} \]

   Entonces:

   \[ 4-x=2 \]

   \[ x=2 \]

3. Potencia de una potencia:

   \[ \left((0{,}3)^x\right)^2=(0{,}3)^{2x} \]

   Entonces:

   \[ 2x=6 \]

   \[ x=3 \]

4. Cociente de potencias de igual base:

   \[ (0{,}8)^5\div(0{,}8)^x=(0{,}8)^{5-x} \]

   Entonces:

   \[ 5-x=3 \]

   \[ x=2 \]

5. Producto de potencias de igual base:

   \[ (0{,}2)^x\cdot(0{,}2)^4=(0{,}2)^{x+4} \]

   Entonces:

   \[ x+4=2 \]

   \[ x=-2 \]

6. Cociente de potencias de igual base:

   \[ (1{,}4)^x\div(1{,}4)^{-2}=(1{,}4)^{x-(-2)}=(1{,}4)^{x+2} \]

   Entonces:

   \[ x+2=3 \]

   \[ x=1 \]

7. Producto de potencias de igual exponente:

   \[ (0{,}5)^x\cdot(0{,}2)^x=(0{,}5\cdot0{,}2)^x=(0{,}1)^x \]

   Entonces:

   \[ (0{,}1)^x=(0{,}1)^4 \]

   Por lo tanto:

   \[ x=4 \]

1. El área de un cuadrado se calcula como:

   \[ A=L^2 \]

   Si \(A=(0{,}7)^4\), entonces:

   \[ L=\sqrt{(0{,}7)^4} \]

   Como la raíz cuadrada y el exponente \(2\) se relacionan directamente:

   \[ L=(0{,}7)^2=0{,}49 \]

   El lado del cuadrado mide \(0{,}49\) metros.

2. El volumen de un cubo se calcula como:

   \[ V=a^3 \]

   Si \(V=(1{,}2)^6\), entonces la arista es:

   \[ a=\sqrt[3]{(1{,}2)^6} \]

   Como \(6\div3=2\), se obtiene:

   \[ a=(1{,}2)^2=1{,}44 \]

   La arista del cubo mide \(1{,}44\) metros.

3. Si el cultivo se duplica cada hora, después de \(4\) horas se multiplica por \(2^4\).

   La cantidad inicial es:

   \[ (0{,}2)^3=0{,}008 \]

   Entonces:

   \[ 0{,}008\cdot2^4=0{,}008\cdot16=0{,}128 \]

   Después de \(4\) horas habrá \(0{,}128\) millones de bacterias.

4. Partimos de la ecuación:

   \[ 100\cdot(0{,}5)^x=12{,}5 \]

   Dividimos ambos lados por \(100\):

   \[ (0{,}5)^x=0{,}125 \]

   Escribimos \(0{,}125\) como potencia de \(0{,}5\):

   \[ 0{,}125=(0{,}5)^3 \]

   Entonces:

   \[ (0{,}5)^x=(0{,}5)^3 \]

   Por lo tanto:

   \[ x=3 \]

   Han pasado \(3\) años.

1. \[ \frac{\left((0{,}3)^2\right)^3}{(0{,}3)^4} = \frac{(0{,}3)^6}{(0{,}3)^4} = (0{,}3)^2 = 0{,}09 \]

2. \[ (0{,}2)^4\cdot(0{,}2)^{-2} = (0{,}2)^{4+(-2)} = (0{,}2)^2 = 0{,}04 \]

3. \[ \left((0{,}5)^2\cdot4^2\right)^3 = \left((0{,}5\cdot4)^2\right)^3 = (2^2)^3 = 4^3 = 64 \]

4. \[ \left(\frac{(0{,}6)^4}{(0{,}3)^4}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{0{,}6}{0{,}3}\right)^4\right)^{-1} = (2^4)^{-1} = 16^{-1} = \frac{1}{16} \]

5. \[ \frac{\left((-0{,}1)^3\right)^5}{(-0{,}1)^{12}} = \frac{(-0{,}1)^{15}}{(-0{,}1)^{12}} = (-0{,}1)^3 = -0{,}001 \]

6. \[ \left((0{,}\overline{3})^5\cdot(0{,}\overline{3})^{-2}\right)^2 = \left((0{,}\overline{3})^3\right)^2 = (0{,}\overline{3})^6 \]

   Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:

   \[ (0{,}\overline{3})^6=\left(\frac{1}{3}\right)^6=\frac{1}{729} \]

7. Como \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:

   \[ \left((0{,}1\overline{6})^{-3}\cdot6^{-3}\right)^2 = \left(\left(\frac{1}{6}\right)^{-3}\cdot6^{-3}\right)^2 \]

   \[ = \left(6^3\cdot6^{-3}\right)^2 = (6^0)^2 = 1 \]

8. \[ \frac{(0{,}5x^2)^3}{(0{,}5x)^3} = \left(\frac{0{,}5x^2}{0{,}5x}\right)^3 = x^3,\qquad x\neq0 \]

9. \[ \left(\frac{(a^3b)^2}{ab^2}\right)^3 = \left(\frac{a^6b^2}{ab^2}\right)^3 = (a^5)^3 = a^{15} \]

10. Como \(0{,}2\cdot5=1\) y \(0{,}\overline{9}=1\), entonces:

    \[ \left(\frac{\left((0{,}2)^4\cdot5^4\right)^{-1}}{(0{,}\overline{9})^5}\right)^{-2} = \left(\frac{\left((0{,}2\cdot5)^4\right)^{-1}}{1^5}\right)^{-2} \]

    \[ = \left(\frac{(1^4)^{-1}}{1}\right)^{-2} = 1 \]

1. Primero sumamos exponentes en numerador y denominador:

   \[ \frac{(0{,}1)^4\cdot(0{,}1)^5}{(0{,}1)^2\cdot(0{,}1)^3} = \frac{(0{,}1)^9}{(0{,}1)^5} = (0{,}1)^{9-5} = (0{,}1)^4 = 0{,}0001 \]

2. \[ (0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^{-3} = (0{,}2)^{5+(-3)} = (0{,}2)^2 = 0{,}04 \]

3. \[ \frac{(0{,}5)^4}{(0{,}5)^7} = (0{,}5)^{4-7} = (0{,}5)^{-3} \]

   Con exponente positivo:

   \[ (0{,}5)^{-3} = \frac{1}{(0{,}5)^3} = \frac{1}{0{,}125} = 8 \]

4. \[ \frac{\left((0{,}7)^3\right)^2\cdot(0{,}7)^{-6}}{(-2{,}5)^0} = \frac{(0{,}7)^6\cdot(0{,}7)^{-6}}{1} = (0{,}7)^{6-6} = (0{,}7)^0 = 1 \]

5. El largo se obtiene dividiendo área por ancho:

   \[ \text{Largo} = \frac{(0{,}5)^8}{(0{,}5)^3} = (0{,}5)^{8-3} = (0{,}5)^5 = 0{,}03125 \]

   El largo mide \(0{,}03125\text{ cm}\).

6. Si \(a\) es la arista del cubo, entonces:

   \[ a^3=(0{,}2)^{12} \]

   Por lo tanto:

   \[ a=\sqrt[3]{(0{,}2)^{12}}=(0{,}2)^4=0{,}0016 \]

   La arista mide \(0{,}0016\text{ m}\).

7. \[ \frac{(ax)^m\cdot(ax)^n}{(ax)^p} = \frac{(ax)^{m+n}}{(ax)^p} = (ax)^{m+n-p} \]

   Esta simplificación requiere \(ax\neq0\).

8. \[ \frac{(0{,}\overline{6})^2}{(0{,}\overline{6})^4} = (0{,}\overline{6})^{2-4} = (0{,}\overline{6})^{-2} \]

   Como \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\), entonces:

   \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \]

9. Primero simplificamos el numerador:

   \[ (0{,}1a)^3\cdot(0{,}1a)^4=(0{,}1a)^7 \]

   Luego elevamos al cuadrado:

   \[ \left((0{,}1a)^7\right)^2=(0{,}1a)^{14} \]

   El denominador es:

   \[ \left((0{,}1a)^5\right)^2=(0{,}1a)^{10} \]

   Entonces:

   \[ \frac{(0{,}1a)^{14}}{(0{,}1a)^{10}} = (0{,}1a)^4 = 0{,}0001a^4 \]

10. El error está en restar los exponentes al revés. En un cociente de potencias de igual base se resta:

    \[ \text{exponente del numerador} - \text{exponente del denominador} \]

    Por lo tanto:

    \[ \frac{(-0{,}2)^3}{(-0{,}2)^5} = (-0{,}2)^{3-5} = (-0{,}2)^{-2} \]

    Ahora expresamos con exponente positivo:

    \[ (-0{,}2)^{-2} = \left(\frac{1}{-0{,}2}\right)^2 = (-5)^2 = 25 \]

    La respuesta correcta es \(25\).