Capitulo 1 cierre: Combinando enteros, fracciones y decimales
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulo 1 cierre: Combinando enteros, fracciones y decimales |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 13:06 |
1. Operatoria Combinada
Guía de Ejercicios: Operatoria Combinada
¡Hola! Ya has trabajado bastante con números enteros, fracciones y decimales por separado. Ahora, vamos a dar el siguiente paso: combinarlos todos en un mismo ejercicio. Para resolverlos sin problemas, es fundamental ser muy ordenado y seguir siempre una regla de prioridad.
📐 PAPOMUDAS: El Orden Sagrado de las Operaciones
Para resolver cualquier ejercicio de operatoria combinada, debes seguir este orden de prioridad:
- PAréntesis: Resuelve primero todo lo que esté dentro de un paréntesis (desde el más interno al más externo).
- POtencias: Calcula todas las potencias y raíces.
- MUltiplicación y División: Realiza estas operaciones. Si hay varias seguidas, se resuelven de izquierda a derecha.
- Adición y Sustracción: Finalmente, realiza las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
⚠️ ¡Cuidado con estos errores comunes!
- Saltarse el orden: Muchos se apuran y suman antes de multiplicar. ¡Nunca lo hagas! Sigue siempre el PAPOMUDAS.
- Decimales vs. Fracciones: A veces es más fácil pasar todo a fracción para no tener errores de redondeo, especialmente con decimales periódicos.
💡 Una estrategia útil
Cuando te enfrentes a un ejercicio que mezcla fracciones y decimales, a menudo es más fácil y preciso convertir todos los números decimales a su forma fraccionaria. Así, trabajas solo con fracciones y evitas errores con los decimales infinitos.
Ejemplos Resueltos
🧪 Ejemplo A (Sin Paréntesis)
Resolver: \( 4 - 2,8 + \frac{2}{5} * 10 \)
\( \frac{2}{5} * 10 = \frac{20}{5} = 4 \)
Paso 2 (Sumas y Restas): Ahora, resolvemos de izquierda a derecha.
\( 4 - 2,8 + 4 \)
\( 1,2 + 4 = 5,2 \)
Sección 1: Ejercicios sin Paréntesis
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, respetando el orden de las operaciones.
- \( 5 - 2 \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \)
- \( \frac{3}{4} \cdot 2 - 1,5 : 0,5 \)
- \( -3 + 2,7 - \frac{1}{2} \cdot 4 \)
- \( 3 \cdot 0,\overline{3} + 5 \)
- \( 1,2 : 0,3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \)
- \( 0,6 \cdot 0,4 + 1,8 - \frac{5}{4} \)
- \( 4,5 + 1,1\overline{6} \cdot 3 \)
- \( \frac{7}{3} + 2,1 : 0,7 - 4 \)
- \( 2 \cdot (0,5)^2 - \frac{1}{4} \)
- \( 1,6 + 0,4^2 - \frac{3}{2} \cdot 0,2 \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 5 - 2 \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \\ &= 5 - 3 + 0,75 \\ &= 2 + 0,75 \\ &= 2,75 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot 2 - 1,5 : 0,5 \\ &= 1,5 - 3 \\ &= -1,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & -3 + 2,7 - \frac{1}{2} \cdot 4 \\ &= -3 + 2,7 - 2 \\ &= -0,3 - 2 \\ &= -2,3 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{3} = \frac{1}{3}\)
\(\boxed{ \begin{flalign*} & 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 \\ &= 1 + 5 \\ &= 6 \end{flalign*} }\) - \(\boxed{ \begin{flalign*} & 1,2 : 0,3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \\ &= 4 \cdot 2 + 2,5 \\ &= 8 + 2,5 \\ &= 10,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & 0,6 \cdot 0,4 + 1,8 - \frac{5}{4} \\ &= 0,24 + 1,8 - 1,25 \\ &= 2,04 - 1,25 \\ &= 0,79 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(1,1\overline{6} = \frac{105}{90} = \frac{7}{6}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & 4,5 + \frac{7}{6} \cdot 3 \\ &= 4,5 + \frac{7}{2} \\ &= 4,5 + 3,5 \\ &= 8 \end{flalign*}}\) - \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{7}{3} + 2,1 : 0,7 - 4 \\ &= \frac{7}{3} + 3 - 4 \\ &= \frac{7}{3} - 1 \\ &= \frac{4}{3} \end{flalign*} }\)
- \(\boxed{ \begin{flalign*} & 2 \cdot (0,5)^2 - \frac{1}{4} \\ &= 2 \cdot 0,25 - 0,25 \\ &= 0,5 - 0,25 \\ &= 0,25 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{ \begin{flalign*} & 1,6 + 0,4^2 - \frac{3}{2} \cdot 0,2 \\ &= 1,6 + 0,16 - 0,3 \\ &= 1,76 - 0,3 \\ &= 1,46 \end{flalign*}} \)
Sección 2: Ejercicios con Paréntesis
🧪 Ejemplo B (Con Paréntesis)
Resolver: \( 0,6 \cdot (0,4 + 1,8) - \frac{5}{4} \)
Paso 1 (Paréntesis): \( 0,4 + 1,8 = 2,2 \)
Paso 2 (Multiplicación): \( 0,6 \cdot 2,2 = 1,32 \)
Paso 3 (Resta): \( 1,32 - 1,25 = 0,07 \)
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, resolviendo primero las operaciones dentro de los paréntesis.
- \( (5 - 2) \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \)
- \( 1,2 : (0,3 \cdot 2) + \frac{5}{2} \)
- \( \frac{3}{4} \cdot (2 - 1,5) : 0,5 \)
- \( -3 + (2,7 - \frac{1}{2}) \cdot 4 \)
- \( 4 - (2,8 + \frac{2}{5} \cdot 10) \)
- \( (0,5)^2 \cdot (4 - 3,8) \)
- \( (8 \cdot 0,\overline{6}) - 2 \)
- \( \frac{7}{3} + (2,1 : 0,7 - 4) \)
- \( 2,5 - (\frac{1}{3} + 0,8 - \frac{1}{5}) \)
- \( 10 - (0,8\overline{3} : \frac{1}{6}) \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & (5 - 2) \cdot 1,5 + \frac{3}{4} \\ &= 3 \cdot 1,5 + 0,75 \\ &= 4,5 + 0,75 \\ &= 5,25 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,2 : (0,3 \cdot 2) + \frac{5}{2} \\ &= 1,2 : 0,6 + 2,5 \\ &= 2 + 2,5 \\ &= 4,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot (2 - 1,5) : 0,5 \\ &= \frac{3}{4} \cdot 0,5 : 0,5 \\ &= 0,375 : 0,5 \\ &= 0,75 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & -3 + (2,7 - \frac{1}{2}) \cdot 4 \\ &= -3 + (2,7 - 0,5) \cdot 4 \\ &= -3 + 2,2 \cdot 4 \\ &= -3 + 8,8 \\ &= 5,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 4 - (2,8 + \frac{2}{5} \cdot 10) \\ &= 4 - (2,8 + 4) \\ &= 4 - 6,8 \\ &= -2,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & (0,5)^2 \cdot (4 - 3,8) \\ &= 0,25 \cdot 0,2 \\ &= 0,05 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{6} = \frac{2}{3}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & (8 \cdot \frac{2}{3}) - 2 \\ &= \frac{16}{3} - 2 \\ &= \frac{16 - 6}{3} \\ &= \frac{10}{3} \end{flalign*}} \) - \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{7}{3} + (2,1 : 0,7 - 4) \\ &= \frac{7}{3} + (3 - 4) \\ &= \frac{7}{3} - 1 \\ &= \frac{4}{3} \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 2,5 - (\frac{1}{3} + 0,8 - \frac{1}{5}) \\ &= 2,5 - (\frac{5+24-6}{15}) \\ &= \frac{5}{2} - \frac{23}{15} \\ &= \frac{75 - 46}{30} = \frac{29}{30} \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,8\overline{3} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & 10 - (\frac{5}{6} : \frac{1}{6}) \\ &= 10 - (\frac{5}{6} \cdot 6) \\ &= 10 - 5 \\ &= 5 \end{flalign*}} \)
Sección 3: Ejercicios con Paréntesis Anidados y de Distinto Tipo
🧪 Ejemplo C (Con Paréntesis Anidados y Números Periódicos)
Resolver: \( \{ (2 - 0,8) \cdot [ \frac{1}{4} + 0,\overline{5} ] \} : \frac{1}{3} \)
Paso 1: Convertir el número periódico a fracción.
Para poder operar con precisión, primero transformamos el decimal periódico en su fracción equivalente.
\( 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \)
Paso 2: Resolver el ejercicio paso a paso.
Ahora reemplazamos la fracción en el ejercicio y aplicamos PAPOMUDAS.
Instrucciones: Resuelve los ejercicios respetando el orden de las operaciones y los distintos tipos de paréntesis: se resuelve desde el más interno , luego los [ ], y finalmente las { }.
- \( 1,2 : [0,3 \cdot (2 + \frac{5}{2})] \)
- \( [(5 - 2 \cdot 1,5) + \frac{3}{4}] - (0,5)^2 \)
- \( 2,5 + [ \frac{1}{2} - (3 \cdot 0,4 - 1) ] \)
- \( \frac{3}{4} \cdot [2 - (1,5 : 0,5 + 0,5)] \)
- \( -3 + \{2,7 - [(\frac{1}{2} \cdot 4) - 1,8]\} \)
- \( \{ 9 \cdot [ 0,\overline{1} + \frac{1}{3} ] \} - 1 \)
- \( 4 - \{2,8 + \frac{2}{5} \cdot [10 - 2,5]\} \)
- \( 1,6 + \{0,4^2 - [(\frac{3}{2} \cdot 0,2) - 0,1]\} \)
- \( (0,2\overline{7} \cdot \frac{9}{5}) + [ 3 : (1+0,5) ] \)
- \( \{ (2 - 0,8) \cdot [ \frac{1}{4} + 0,\overline{5} ] \} : \frac{1}{3} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,2 : [0,3 \cdot (2 + \frac{5}{2})] \\ &= 1,2 : [0,3 \cdot 4,5] \\ &= 1,2 : 1,35 \\ &= \frac{8}{9} \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & [(5 - 2 \cdot 1,5) + \frac{3}{4}] - (0,5)^2 \\ &= [2 + 0,75] - 0,25 \\ &= 2,75 - 0,25 \\ &= 2,5 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 2,5 + [ \frac{1}{2} - (1,2 - 1) ] \\ &= 2,5 + [ 0,5 - 0,2 ] \\ &= 2,5 + 0,3 \\ &= 2,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & \frac{3}{4} \cdot [2 - (3 + 0,5)] \\ &= \frac{3}{4} \cdot [2 - 3,5] \\ &= 0,75 \cdot (-1,5) \\ &= -1,125 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & -3 + \{2,7 - [2 - 1,8]\} \\ &= -3 + \{2,7 - 0,2\} \\ &= -3 + 2,5 \\ &= -0,5 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,\overline{1} = \frac{1}{9}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & \{ 9 \cdot [ \frac{1}{9} + \frac{1}{3} ] \} - 1 \\ &= \{ 9 \cdot [ \frac{1+3}{9} ] \} - 1 \\ &= \{ 9 \cdot \frac{4}{9} \} - 1 \\ &= 4 - 1 \\ &= 3 \end{flalign*}} \) - \( \boxed{\begin{flalign*} & 4 - \{2,8 + \frac{2}{5} \cdot [7,5]\} \\ &= 4 - \{2,8 + 3\} \\ &= 4 - 5,8 \\ &= -1,8 \end{flalign*}} \)
- \( \boxed{\begin{flalign*} & 1,6 + \{0,16 - [0,3 - 0,1]\} \\ &= 1,6 + \{0,16 - 0,2\} \\ &= 1,6 - 0,04 \\ &= 1,56 \end{flalign*}} \)
-
Convertimos \(0,2\overline{7} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & (\frac{5}{18} \cdot \frac{9}{5}) + [ 3 : 1,5 ] \\ &= \frac{1}{2} + 2 \\ &= 2,5 \end{flalign*}} \) -
Convertimos \(0,\overline{5} = \frac{5}{9}\)
\( \boxed{\begin{flalign*} & \{ 1,2 \cdot [ \frac{1}{4} + \frac{5}{9} ] \} : \frac{1}{3} \\ &= \{ \frac{6}{5} \cdot [ \frac{9+20}{36} ] \} : \frac{1}{3} \\ &= \{ \frac{6}{5} \cdot \frac{29}{36} \} : \frac{1}{3} \\ &= \frac{29}{30} : \frac{1}{3} \\ &= \frac{29}{30} \cdot 3 = \frac{29}{10} = 2,9 \end{flalign*}} \)
2. Ejercicios Combinados con Potencias: Enteros, Fracciones y Decimales
Para resolver estos ejercicios, es crucial dominar las siguientes propiedades:
- Producto de potencias de igual base: Se conserva la base y se suman los exponentes. \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- Cociente de potencias de igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes. \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
- Potencia de una potencia: Se conserva la base y se multiplican los exponentes. \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- Potencia de un producto: Se eleva cada factor al exponente. \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
- Potencia de un cociente: Se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)
- Exponente cero: Toda base no nula elevada a cero es 1. \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))
- Exponente negativo: Invierte la base para hacer el exponente positivo. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) y \((\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n\)
Cuando encuentres decimales en los ejercicios (como 0,5 o 1,5), a menudo es más fácil convertirlos a su fracción equivalente (\(\frac{1}{2}\) o \(\frac{3}{2}\)) antes de aplicar las propiedades de las potencias. Esto simplifica mucho los cálculos.
Sección 1: Ejercicios de Cálculo Directo
Presta mucha atención a la posición del signo negativo y los paréntesis. No es lo mismo \((-a)^n\) donde la base es negativa, que \(-a^n\), donde solo el resultado de la potencia es negativo.
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de las potencias para simplificar al máximo.
- \( (-0,1)^2 \)
- \( -(0,1)^2 \)
- \( (-\frac{1}{2})^4 \)
- \( -(\frac{1}{2})^4 \)
- \( -3(-\frac{1}{3})^2 \)
- \( -3[-(\frac{1}{3})^2] \)
- \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^{-1} \)
- \( (\frac{3}{5})^5 : (\frac{3}{5})^3 \)
- \( ((-2)^3)^2 \)
- \( (0,1)^5 : (0,1)^3 \cdot (0,1)^{-4} \)
- \( (0,5)^3 \cdot 2^3 \)
- \( (\frac{10}{3})^{-2} : (\frac{5}{3})^{-2} \)
- \( \frac{(\frac{2}{3})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5}{(\frac{2}{3})^2} \)
- \( \frac{(0,25)^2 \cdot 4^3}{4^0} \)
- \( ((-3)^2 \cdot (-3)^{-1})^2 \)
- \( \frac{5^3 \cdot 5^{-1}}{5^4 : 5^3} \)
- \( \frac{2^4 \cdot 3^4}{6^3} \)
- \( [ \frac{(\frac{1}{2})^{-2} \cdot (0,5)^3}{2^4} ]^{-1} \)
- Solución: \( (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \)
- Solución: \( -(0,1 \cdot 0,1) = -0,01 \)
- Solución: \( (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} \)
- Solución: \( -(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{1}{16} \)
- Solución: \( -3 \cdot (\frac{1}{9}) = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \)
- Solución: \( -3 \cdot [-\frac{1}{9}] = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
- Solución: \( (0,2)^{3-1} = (0,2)^2 = 0,04 \)
- Solución: \( (\frac{3}{5})^{5-3} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} \)
- Solución: \( (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6 = 64 \)
- Solución: \( (0,1)^{5-3-4} = (0,1)^{-2} = 100 \)
- Solución: \( (0,5 \cdot 2)^3 = 1^3 = 1 \)
- Solución: \( (\frac{10}{3} : \frac{5}{3})^{-2} = (\frac{10}{5})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \)
- Solución: \( \frac{(\frac{2}{3})^{-2+5}}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^2} = (\frac{2}{3})^{3-2} = \frac{2}{3} \)
- Solución: \( \frac{(\frac{1}{4})^2 \cdot 4^3}{1} = (4^{-1})^2 \cdot 4^3 = 4^{-2} \cdot 4^3 = 4^{-2+3} = 4 \)
- Solución: \( ((-3)^{2-1})^2 = ((-3)^1)^2 = (-3)^2 = 9 \)
- Solución: \( \frac{5^{3-1}}{5^{4-3}} = \frac{5^2}{5^1} = 5^{2-1} = 5 \)
- Solución: \( \frac{(2 \cdot 3)^4}{6^3} = \frac{6^4}{6^3} = 6^{4-3} = 6 \)
- Solución: \( [ \frac{2^2 \cdot (\frac{1}{2})^3}{2^4} ]^{-1} = [ \frac{2^2 \cdot 2^{-3}}{2^4} ]^{-1} = [ \frac{2^{-1}}{2^4} ]^{-1} = (2^{-5})^{-1} = 2^5 = 32 \)
Sección 2: Encontrando la Incógnita
Instrucciones: Despeja el valor de la incógnita (x) para que se cumpla cada igualdad, utilizando las propiedades de las potencias.
- \( 3^x \cdot 3^2 = 3^5 \)
- \( (\frac{1}{2})^x : (\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^4 \)
- \( (0,7)^x \cdot (0,7)^{-2} = (0,7)^2 \)
- \( ((2,5)^2)^x = (2,5)^6 \)
- \( (\frac{5}{4})^x : (\frac{5}{4})^{-3} = (\frac{5}{4})^5\)
- \( (0,2)^2 \cdot (0,2)^x = (0,2)^{-1} \)
- \( (x)^2 \cdot (0,4)^2 = 1 \)
- \( x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3 \)
- \( x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
- \( x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \)
- \( 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \)
- \( x - (-3) = 5 \Rightarrow x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2 \)
- \( 2 + x = -1 \Rightarrow x = -3 \)
- \( (0,4x)^2 = 1 \Rightarrow 0,4x = \pm 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{0,4} \Rightarrow x = \pm 2,5 \)
En este último ejercicio, la ecuación es \( (0,4x)^2 = 1 \). Al sacar la raíz cuadrada en ambos lados para despejar, debemos recordar que tanto \(1^2\) como \((-1)^2\) dan como resultado 1. Por eso, \(0,4x\) puede ser igual a 1 o a -1, lo que nos da dos posibles soluciones para \(x\).
3. Problemas de operatoria combinada y enteros decimales , fracciones
Resolución de Problemas con Operatoria Combinada
¡Felicitaciones por llegar hasta aquí! Ya dominas las operaciones con distintos tipos de números y las propiedades de las potencias. Ahora, el verdadero desafío: usar esas herramientas para resolver problemas de la vida real. La clave del éxito no está solo en calcular bien, sino en ser ordenado y metódico.
Para no perderte en el enunciado, te recomiendo seguir siempre esta estructura. Te ayudará a organizar tus ideas y a llegar a la respuesta correcta de forma segura.
- Datos: Anota toda la información numérica que te entrega el problema. ¿Qué significa cada número? (Ej: Cantidad total, parte de algo, un descuento, etc.).
- Planteo: Traduce la pregunta del problema a una o varias operaciones matemáticas. Este es el paso más importante. ¿Qué debes calcular? (Ej: \(5000 \cdot (1 - 0,2)\)).
- Desarrollo: Resuelve las operaciones que planteaste, respetando siempre el orden de las operaciones (PAPOMUDAS).
- Solución: Escribe claramente el resultado numérico final de tu desarrollo.
- Respuesta: Formula una oración completa que responda a la pregunta original del problema, incluyendo las unidades correspondientes (pesos, metros, litros, etc.).
Ejemplo Guiado: Aplicando el Método de 5 Pasos
🧪 Problema de Ejemplo
Francisco tiene un sueldo mensual de $750.000. Este mes, gastó \(\frac{1}{5}\) de su sueldo en arriendo y el 20% de lo que le quedaba en alimentación. ¿Cuánto dinero le queda a Francisco al final?
1. Datos:
- Sueldo total: $750.000
- Gasto en arriendo: \(\frac{1}{5}\) del sueldo.
- Gasto en alimentación: 20% del resto.
2. Planteo:
- Calcular el gasto en arriendo: \(750.000 \cdot \frac{1}{5}\)
- Calcular el dinero que queda después del arriendo (el resto): \(750.000 - (\text{gasto arriendo})\)
- Calcular el gasto en alimentación sobre ese resto: \((\text{resto}) \cdot 20\%\) (o lo que es lo mismo, \(\cdot 0,2\))
- Calcular el dinero final: \((\text{resto}) - (\text{gasto alimentación})\)
3. Desarrollo:
- Gasto arriendo: \(750.000 \cdot \frac{1}{5} = 150.000\)
- Resto después del arriendo: \(750.000 - 150.000 = 600.000\)
- Gasto alimentación: \(600.000 \cdot 0,2 = 120.000\)
- Dinero final: \(600.000 - 120.000 = 480.000\)
4. Solución:
\(480.000\)
5. Respuesta:
A Francisco le quedan $480.000 al final.
Problemas Propuestos
Para cada uno de los siguientes problemas, intenta seguir el método de 5 pasos en tu cuaderno. Luego, comprueba tu solución.
Problema 1: Para una receta de pastel se necesitan 2,5 tazas de harina. Si en tu despensa ya tienes \(\frac{3}{4}\) de taza, ¿cuánta harina te falta?
Datos: Necesario: 2,5 tazas, Tienes: \(\frac{3}{4}\) de taza.
Planteo: \(2,5 - \frac{3}{4}\)
Desarrollo: Convertimos 2,5 a fracción: \(\frac{5}{2}\). Restamos: \(\frac{5}{2} - \frac{3}{4} = \frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\). Convertimos a decimal para una respuesta más clara: \(\frac{7}{4} = 1,75\).
Solución: 1,75.
Respuesta: Falta 1,75 tazas de harina (o \(\frac{7}{4}\) de taza).
Problema 2: Un par de zapatillas cuesta $45.000. Si la tienda ofrece un 20% de descuento por pago en efectivo, ¿cuál es el precio final que se paga?
Datos: Precio original: $45.000, Descuento: 20%.
Planteo: \(45.000 - (45.000 \cdot 0,20)\).
Desarrollo: Descuento: \(45.000 \cdot 0,20 = 9.000\). Precio final: \(45.000 - 9.000 = 36.000\).
Solución: 36.000.
Respuesta: El precio final a pagar es de $36.000.
Problema 3: Ana tenía $20.000 en su billetera. Gastó \(\frac{1}{4}\) de ese dinero en un libro y luego gastó el 10% del monto original en un helado. ¿Cuánto dinero le queda?
Datos: Total: $20.000, Gasto libro: \(\frac{1}{4}\) del total, Gasto helado: 10% del total.
Planteo: \(20.000 - (20.000 \cdot \frac{1}{4}) - (20.000 \cdot 0,1)\)
Desarrollo: Gasto libro: \(20.000 \cdot \frac{1}{4} = 5.000\). Gasto helado: \(20.000 \cdot 0,1 = 2.000\). Total gastado: \(5.000 + 2.000 = 7.000\). Restante: \(20.000 - 7.000 = 13.000\).
Solución: 13.000.
Respuesta: A Ana le quedan $13.000.
Problema 4: Un terreno rectangular mide 12,5 metros de largo y \(\frac{18}{5}\) metros de ancho. Se quiere cercar el terreno con tres vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitarán?
Datos: Largo: 12,5 m, Ancho: \(\frac{18}{5}\) m, Vueltas de alambre: 3.
Planteo: \(3 \cdot [2 \cdot (\text{largo} + \text{ancho})]\)
Desarrollo: Ancho = \(\frac{18}{5} = 3,6\) m. Perímetro: \(2 \cdot (12,5 + 3,6) = 2 \cdot 16,1 = 32,2\) m. Alambre total: \(3 \cdot 32,2 = 96,6\) m.
Solución: 96,6.
Respuesta: Se necesitarán 96,6 metros de alambre.
Problema 5: Un estanque de 400 litros de capacidad está lleno hasta sus \(\frac{3}{4}\) partes. Si se utilizan 0,25 del agua que contiene para regar, ¿cuántos litros de agua quedan en el estanque?
Datos: Capacidad: 400 L, Llenado: \(\frac{3}{4}\) de la capacidad, Se usa: 0,25 del agua contenida.
Planteo: \((\text{Capacidad} \cdot \text{Llenado}) \cdot (1 - \text{Uso})\)
Desarrollo: Agua contenida: \(400 \cdot \frac{3}{4} = 300\) litros. Agua usada: \(300 \cdot 0,25 = 75\) litros. Agua restante: \(300 - 75 = 225\) litros.
Solución: 225.
Respuesta: Quedan 225 litros de agua en el estanque.
Problema 6: Un ciclista debe recorrer un trayecto de 120 km. Durante la mañana recorre \(\frac{1}{3}\) del trayecto total. Por la tarde, recorre 0,5 de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
Datos: Total: 120 km, Mañana: \(\frac{1}{3}\) del total, Tarde: 0,5 del resto.
Planteo: 1. Calcular recorrido mañana. 2. Calcular el resto. 3. Calcular recorrido tarde. 4. Restar ambos recorridos al total.
Desarrollo: Mañana: \(120 \cdot \frac{1}{3} = 40\) km. Resto: \(120 - 40 = 80\) km. Tarde: \(80 \cdot 0,5 = 40\) km. Total recorrido: \(40 + 40 = 80\) km. Faltan: \(120 - 80 = 40\) km.
Solución: 40.
Respuesta: Le faltan 40 km por recorrer.
Problema 7: Un terreno rectangular mide 10,5 metros de largo y \(\frac{20}{3}\) metros de ancho. Si se quiere plantar césped en el 80% de su superficie, ¿cuántos metros cuadrados de césped se necesitan?
Datos: Largo: 10,5 m, Ancho: \(\frac{20}{3}\) m, Superficie con césped: 80%.
Planteo: \((\text{Largo} \cdot \text{Ancho}) \cdot 0,80\)
Desarrollo: Área total: \(10,5 \cdot \frac{20}{3} = \frac{21}{2} \cdot \frac{20}{3} = 70\) m². Césped: \(70 \cdot 0,80 = 56\) m².
Solución: 56.
Respuesta: Se necesitan 56 metros cuadrados de césped.
Problema 8: Una deuda de $240.000 se paga en tres cuotas. La primera es \(\frac{1}{3}\) del total. La segunda es el 75% de la primera cuota. ¿Cuánto se debe pagar en la tercera cuota?
Datos: Deuda: $240.000, 1ª cuota: \(\frac{1}{3}\) del total, 2ª cuota: 75% de la 1ª.
Planteo: \(\text{Deuda} - (\text{Cuota 1}) - (\text{Cuota 2})\)
Desarrollo: Cuota 1: \(240.000 \cdot \frac{1}{3} = 80.000\). Cuota 2: \(80.000 \cdot 0,75 = 60.000\). Total pagado: \(80.000 + 60.000 = 140.000\). Cuota 3: \(240.000 - 140.000 = 100.000\).
Solución: 100.000.
Respuesta: En la tercera cuota se deben pagar $100.000.
Problema 9: Una piscina cúbica tiene una arista de 2,5 metros. Si 1 metro cúbico (\(m^3\)) equivale a 1.000 litros, ¿cuántos litros de agua se necesitan para llenar la piscina?
Datos: Arista: 2,5 m, Equivalencia: 1 m³ = 1.000 L.
Planteo: \((\text{Arista})^3 \cdot 1.000\)
Desarrollo: Volumen: \((2,5)^3 = 15,625\) m³. Capacidad en litros: \(15,625 \cdot 1.000 = 15.625\) litros.
Solución: 15.625.
Respuesta: Se necesitan 15.625 litros de agua para llenar la piscina.
Problema 10: Javiera gana un sueldo de $900.000. Decide ahorrar \(0,1\overline{6}\) de su sueldo cada mes. ¿Cuánto dinero ahorra en un año?
Datos: Sueldo: $900.000, Ahorro mensual: \(0,1\overline{6}\), Tiempo: 1 año (12 meses).
Planteo: \((\text{Sueldo} \cdot \text{Fracción de ahorro}) \cdot 12\)
Desarrollo: Convertimos el decimal periódico: \(0,1\overline{6} = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\). Ahorro mensual: \(900.000 \cdot \frac{1}{6} = 150.000\). Ahorro anual: \(150.000 \cdot 12 = 1.800.000\).
Solución: 1.800.000.
Respuesta: Javiera ahorra $1.800.000 en un año.
Problema 11: Un coche recorre 120 kilómetros en 1,5 horas. Luego, aumenta su velocidad en \(\frac{1}{4}\) y recorre 200 kilómetros más. ¿Cuánto tiempo tardó en total el viaje?
Datos: Tramo 1: 120 km en 1,5 h. Aumento vel: \(\frac{1}{4}\). Tramo 2: 200 km.
Planteo: \(\text{Tiempo Tramo 1} + \frac{\text{Distancia Tramo 2}}{\text{Velocidad Tramo 2}}\). Se necesita calcular la velocidad.
Desarrollo: Vel. inicial: \(\frac{120 \text{ km}}{1,5 \text{ h}} = 80\) km/h. Nueva vel.: \(80 + (80 \cdot \frac{1}{4}) = 80 + 20 = 100\) km/h. Tiempo Tramo 2: \(\frac{200 \text{ km}}{100 \text{ km/h}} = 2\) horas. Tiempo total: \(1,5 + 2 = 3,5\) horas.
Solución: 3,5.
Respuesta: El viaje tardó 3,5 horas en total.
Problema 12: Se mezclan 1,5 kg de nueces que cuestan $12.000 el kg, con \(\frac{5}{2}\) kg de almendras que cuestan $10.000 el kg. ¿Cuál es el precio promedio por kg de la mezcla resultante?
Datos: Nueces: 1,5 kg a $12.000/kg, Almendras: 2,5 kg a $10.000/kg.
Planteo: \(\frac{(\text{Costo total nueces}) + (\text{Costo total almendras})}{(\text{Kg totales})}\)
Desarrollo: Costo nueces: \(1,5 \cdot 12.000 = 18.000\). Costo almendras: \(2,5 \cdot 10.000 = 25.000\). Costo total: \(18.000 + 25.000 = 43.000\). Peso total: \(1,5 + 2,5 = 4\) kg. Precio promedio: \(\frac{43.000}{4} = 10.750\).
Solución: 10.750.
Respuesta: El precio promedio de la mezcla es de $10.750 por kg.
Problema 13: Inviertes $200.000 en una cuenta que te da un 5% de interés anual. Si dejas el dinero y sus intereses por 2 años (interés compuesto), ¿cuánto dinero tendrás al final del segundo año?
Datos: Capital inicial: $200.000, Tasa de interés: 5% anual (0,05), Tiempo: 2 años.
Planteo: \(\text{Capital} \cdot (1 + \text{interés})^2\)
Desarrollo: \(200.000 \cdot (1 + 0,05)^2 = 200.000 \cdot (1,05)^2 = 200.000 \cdot 1,1025 = 220.500\).
Solución: 220.500.
Respuesta: Al final del segundo año tendrás $220.500.
Problema 14: Tres amigos organizan una fiesta que tiene un costo total de $150.000. El primer amigo paga el 40% del total. El segundo paga \(\frac{2}{3}\) de lo que queda por pagar. El tercer amigo paga el resto. ¿Cuánto dinero puso el tercer amigo?
Datos: Costo total: $150.000, Amigo 1: 40% del total, Amigo 2: \(\frac{2}{3}\) del resto.
Planteo: Calcular lo que queda después del Amigo 1, y luego restarle lo que paga el Amigo 2.
Desarrollo: Aporte Amigo 1: \(150.000 \cdot 0,40 = 60.000\). Queda por pagar: \(150.000 - 60.000 = 90.000\). Aporte Amigo 2: \(90.000 \cdot \frac{2}{3} = 60.000\). Aporte Amigo 3: \(90.000 - 60.000 = 30.000\).
Solución: 30.000.
Respuesta: El tercer amigo puso $30.000.