Libro Formas Racionales
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro Formas Racionales |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 21:01 |
1. Operatoria Combinada
Guía de ejercicios: operatoria combinada con números racionales
Contexto
Ya se trabajaron los números racionales en forma fraccionaria y decimal. En esta guía se combinan enteros, fracciones, decimales finitos y decimales periódicos en un mismo ejercicio, respetando el orden de las operaciones.
PAPOMUDAS: orden de las operaciones
Para resolver una operatoria combinada se debe respetar este orden:
- PAréntesis: primero se resuelve lo que está dentro de paréntesis, corchetes o llaves.
- POtencias: luego se calculan potencias y raíces.
- MUltiplicación y División: se resuelven de izquierda a derecha.
- Adición y Sustracción: se resuelven al final, también de izquierda a derecha.
Estrategia útil
Cuando un ejercicio mezcla fracciones con decimales periódicos, conviene transformar los decimales periódicos a fracción para evitar errores de aproximación.
Errores comunes
- No respetar la prioridad de multiplicaciones y divisiones antes de sumas y restas.
- Resolver de derecha a izquierda cuando hay divisiones y multiplicaciones seguidas.
- Usar aproximaciones decimales en números periódicos cuando se necesita un resultado exacto.
Ejemplos resueltos
Ejemplo A: sin paréntesis
Resolver:
\[4-2,8+\frac{2}{5}\cdot 10\]
Primero se resuelve la multiplicación:
\[\frac{2}{5}\cdot 10=\frac{20}{5}=4\]
Luego se resuelve de izquierda a derecha:
\[ \begin{aligned} 4-2,8+4&=1,2+4\\ &=5,2 \end{aligned} \]
Ejemplo B: con paréntesis
Resolver:
\[0,6\cdot (0,4+1,8)-\frac{5}{4}\]
Primero se resuelve el paréntesis:
\[0,4+1,8=2,2\]
Luego la multiplicación y finalmente la resta:
\[ \begin{aligned} 0,6\cdot (0,4+1,8)-\frac{5}{4} &=0,6\cdot 2,2-1,25\\ &=1,32-1,25\\ &=0,07 \end{aligned} \]
Ejemplo C: con paréntesis anidados y decimal periódico
Resolver:
\[\{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3}\]
Transformamos el decimal periódico:
\[0,\overline{5}=\frac{5}{9}\]
Luego resolvemos respetando el orden de los paréntesis:
\[ \begin{aligned} \{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3} &=\{(2-\frac{4}{5})\cdot [\frac{1}{4}+\frac{5}{9}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot [\frac{9+20}{36}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot \frac{29}{36}\}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}\cdot 3\\ &=\frac{29}{10}\\ &=2,9 \end{aligned} \]
Sección 1: ejercicios sin paréntesis
Ejercicio 1
Resuelve: \(5-2\cdot 1,5+\frac{3}{4}\)
\[ \begin{aligned} 5-2\cdot 1,5+\frac{3}{4} &=5-3+0,75\\ &=2+0,75\\ &=2,75 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,75\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot 2-1,5:0,5\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot 2-1,5:0,5 &=1,5-3\\ &=-1,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(-1,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(-3+2,7-\frac{1}{2}\cdot 4\)
\[ \begin{aligned} -3+2,7-\frac{1}{2}\cdot 4 &=-3+2,7-2\\ &=-0,3-2\\ &=-2,3 \end{aligned} \]
Resultado: \(-2,3\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(3\cdot 0,\overline{3}+5\)
Convertimos \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\).
\[ \begin{aligned} 3\cdot 0,\overline{3}+5 &=3\cdot \frac{1}{3}+5\\ &=1+5\\ &=6 \end{aligned} \]
Resultado: \(6\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(1,2:0,3\cdot 2+\frac{5}{2}\)
La división y la multiplicación se resuelven de izquierda a derecha.
\[ \begin{aligned} 1,2:0,3\cdot 2+\frac{5}{2} &=4\cdot 2+2,5\\ &=8+2,5\\ &=10,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(10,5\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(0,6\cdot 0,4+1,8-\frac{5}{4}\)
\[ \begin{aligned} 0,6\cdot 0,4+1,8-\frac{5}{4} &=0,24+1,8-1,25\\ &=2,04-1,25\\ &=0,79 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,79\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(4,5+1,1\overline{6}\cdot 3\)
Convertimos \(1,1\overline{6}=\frac{7}{6}\).
\[ \begin{aligned} 4,5+1,1\overline{6}\cdot 3 &=4,5+\frac{7}{6}\cdot 3\\ &=4,5+\frac{7}{2}\\ &=4,5+3,5\\ &=8 \end{aligned} \]
Resultado: \(8\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\frac{7}{3}+2,1:0,7-4\)
\[ \begin{aligned} \frac{7}{3}+2,1:0,7-4 &=\frac{7}{3}+3-4\\ &=\frac{7}{3}-1\\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{4}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4}\)
Primero se calcula la potencia.
\[ \begin{aligned} 2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4} &=2\cdot 0,25-0,25\\ &=0,5-0,25\\ &=0,25 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,25\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(1,6+0,4^2-\frac{3}{2}\cdot 0,2\)
\[ \begin{aligned} 1,6+0,4^2-\frac{3}{2}\cdot 0,2 &=1,6+0,16-0,3\\ &=1,76-0,3\\ &=1,46 \end{aligned} \]
Resultado: \(1,46\).
Sección 2: ejercicios con paréntesis
Ejercicio 1
Resuelve: \((5-2)\cdot 1,5+\frac{3}{4}\)
\[ \begin{aligned} (5-2)\cdot 1,5+\frac{3}{4} &=3\cdot 1,5+0,75\\ &=4,5+0,75\\ &=5,25 \end{aligned} \]
Resultado: \(5,25\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(1,2:(0,3\cdot 2)+\frac{5}{2}\)
\[ \begin{aligned} 1,2:(0,3\cdot 2)+\frac{5}{2} &=1,2:0,6+2,5\\ &=2+2,5\\ &=4,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(4,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot (2-1,5):0,5\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot (2-1,5):0,5 &=\frac{3}{4}\cdot 0,5:0,5\\ &=0,375:0,5\\ &=0,75 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,75\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(-3+(2,7-\frac{1}{2})\cdot 4\)
\[ \begin{aligned} -3+(2,7-\frac{1}{2})\cdot 4 &=-3+(2,7-0,5)\cdot 4\\ &=-3+2,2\cdot 4\\ &=-3+8,8\\ &=5,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(5,8\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(4-(2,8+\frac{2}{5}\cdot 10)\)
Dentro del paréntesis también se respeta que la multiplicación va antes que la suma.
\[ \begin{aligned} 4-(2,8+\frac{2}{5}\cdot 10) &=4-(2,8+4)\\ &=4-6,8\\ &=-2,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(-2,8\).
Ejercicio 6
Resuelve: \((0,5)^2\cdot (4-3,8)\)
\[ \begin{aligned} (0,5)^2\cdot (4-3,8) &=0,25\cdot 0,2\\ &=0,05 \end{aligned} \]
Resultado: \(0,05\).
Ejercicio 7
Resuelve: \((8\cdot 0,\overline{6})-2\)
Convertimos \(0,\overline{6}=\frac{2}{3}\).
\[ \begin{aligned} (8\cdot 0,\overline{6})-2 &=8\cdot \frac{2}{3}-2\\ &=\frac{16}{3}-\frac{6}{3}\\ &=\frac{10}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{10}{3}\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\frac{7}{3}+(2,1:0,7-4)\)
\[ \begin{aligned} \frac{7}{3}+(2,1:0,7-4) &=\frac{7}{3}+(3-4)\\ &=\frac{7}{3}-1\\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{4}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(2,5-(\frac{1}{3}+0,8-\frac{1}{5})\)
Conviene transformar \(2,5=\frac{5}{2}\) y \(0,8=\frac{4}{5}\).
\[ \begin{aligned} 2,5-(\frac{1}{3}+0,8-\frac{1}{5}) &=\frac{5}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{5})\\ &=\frac{5}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{3}{5})\\ &=\frac{5}{2}-\frac{14}{15}\\ &=\frac{75}{30}-\frac{28}{30}\\ &=\frac{47}{30} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{47}{30}\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(10-(0,8\overline{3}:\frac{1}{6})\)
Convertimos \(0,8\overline{3}=\frac{5}{6}\).
\[ \begin{aligned} 10-(0,8\overline{3}:\frac{1}{6}) &=10-(\frac{5}{6}:\frac{1}{6})\\ &=10-(\frac{5}{6}\cdot 6)\\ &=10-5\\ &=5 \end{aligned} \]
Resultado: \(5\).
Sección 3: ejercicios con paréntesis anidados y de distinto tipo
Ejercicio 1
Resuelve: \(1,2:[0,3\cdot (2+\frac{5}{2})]\)
\[ \begin{aligned} 1,2:[0,3\cdot (2+\frac{5}{2})] &=1,2:[0,3\cdot 4,5]\\ &=1,2:1,35\\ &=\frac{120}{100}:\frac{135}{100}\\ &=\frac{120}{135}\\ &=\frac{8}{9} \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{8}{9}\).
Ejercicio 2
Resuelve: \([(5-2\cdot 1,5)+\frac{3}{4}]-(0,5)^2\)
\[ \begin{aligned} [(5-2\cdot 1,5)+\frac{3}{4}]-(0,5)^2 &=[(5-3)+0,75]-0,25\\ &=[2+0,75]-0,25\\ &=2,75-0,25\\ &=2,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,5\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(2,5+[\frac{1}{2}-(3\cdot 0,4-1)]\)
\[ \begin{aligned} 2,5+[\frac{1}{2}-(3\cdot 0,4-1)] &=2,5+[0,5-(1,2-1)]\\ &=2,5+[0,5-0,2]\\ &=2,5+0,3\\ &=2,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(2,8\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(\frac{3}{4}\cdot [2-(1,5:0,5+0,5)]\)
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}\cdot [2-(1,5:0,5+0,5)] &=\frac{3}{4}\cdot [2-(3+0,5)]\\ &=\frac{3}{4}\cdot [2-3,5]\\ &=\frac{3}{4}\cdot (-1,5)\\ &=-\frac{9}{8} \end{aligned} \]
Resultado: \(-\frac{9}{8}\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(-3+\{2,7-[(\frac{1}{2}\cdot 4)-1,8]\}\)
\[ \begin{aligned} -3+\{2,7-[(\frac{1}{2}\cdot 4)-1,8]\} &=-3+\{2,7-[2-1,8]\}\\ &=-3+\{2,7-0,2\}\\ &=-3+2,5\\ &=-0,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(-0,5\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(\{9\cdot [0,\overline{1}+\frac{1}{3}]\}-1\)
Convertimos \(0,\overline{1}=\frac{1}{9}\).
\[ \begin{aligned} \{9\cdot [0,\overline{1}+\frac{1}{3}]\}-1 &=\{9\cdot [\frac{1}{9}+\frac{1}{3}]\}-1\\ &=\{9\cdot [\frac{1}{9}+\frac{3}{9}]\}-1\\ &=9\cdot \frac{4}{9}-1\\ &=4-1\\ &=3 \end{aligned} \]
Resultado: \(3\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot [10-2,5]\}\)
\[ \begin{aligned} 4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot [10-2,5]\} &=4-\{2,8+\frac{2}{5}\cdot 7,5\}\\ &=4-\{2,8+3\}\\ &=4-5,8\\ &=-1,8 \end{aligned} \]
Resultado: \(-1,8\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(1,6+\{0,4^2-[(\frac{3}{2}\cdot 0,2)-0,1]\}\)
\[ \begin{aligned} 1,6+\{0,4^2-[(\frac{3}{2}\cdot 0,2)-0,1]\} &=1,6+\{0,16-[0,3-0,1]\}\\ &=1,6+\{0,16-0,2\}\\ &=1,6-0,04\\ &=1,56 \end{aligned} \]
Resultado: \(1,56\).
Ejercicio 9
Resuelve: \((0,2\overline{7}\cdot \frac{9}{5})+[3:(1+0,5)]\)
Convertimos \(0,2\overline{7}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\).
\[ \begin{aligned} (0,2\overline{7}\cdot \frac{9}{5})+[3:(1+0,5)] &=(\frac{5}{18}\cdot \frac{9}{5})+[3:1,5]\\ &=\frac{1}{2}+2\\ &=\frac{5}{2}\\ &=2,5 \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{5}{2}\).
Ejercicio 10
Resuelve: \(\{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3}\)
Convertimos \(0,\overline{5}=\frac{5}{9}\), \(0,8=\frac{4}{5}\) y \(2-0,8=\frac{6}{5}\).
\[ \begin{aligned} \{(2-0,8)\cdot [\frac{1}{4}+0,\overline{5}]\}:\frac{1}{3} &=\{\frac{6}{5}\cdot [\frac{1}{4}+\frac{5}{9}]\}:\frac{1}{3}\\ &=\{\frac{6}{5}\cdot \frac{29}{36}\}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}:\frac{1}{3}\\ &=\frac{29}{30}\cdot 3\\ &=\frac{29}{10}\\ &=2,9 \end{aligned} \]
Resultado: \(\frac{29}{10}\).
2. Fracciones y decimales: elegir una representación de trabajo
Objetivos
- Reconocer cuándo conviene trabajar un número racional como fracción o como decimal.
- Transformar decimales finitos y periódicos a fracción cuando sea necesario.
- Resolver operaciones simples que combinan forma entera, fraccionaria y decimal.
Idea central
Antes de resolver un ejercicio con racionales, no siempre conviene empezar calculando de inmediato. Muchas veces es mejor detenerse y decidir en qué forma trabajar: decimal o fraccionaria.
El objetivo no es transformar todo siempre, sino elegir una representación que permita resolver con mayor orden y exactitud.
Criterios para decidir
| Situación | Conviene | Ejemplo |
|---|---|---|
| Decimal finito combinado con fracción | Pasar el decimal a fracción | \(0,5+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\) |
| Decimal periódico | Pasarlo a fracción | \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\) |
| Solo decimales finitos en sumas o restas simples | Trabajar directamente en decimal | \(2,8+1,4-0,6\) |
| Operaciones combinadas con fracciones y decimales | Usar una forma común | \(2\cdot (0,25+\frac{1}{2})\) |
Error frecuente
No conviene aproximar decimales periódicos. Por ejemplo, \(0,\overline{3}\) no debe reemplazarse por \(0,33\) si se busca un resultado exacto.
Lo correcto es usar:
\[ 0,\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Ejemplos
Ejemplo 1: conviene usar fracciones
Resolver:
\[ 0,5+\frac{3}{4} \]
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), conviene transformar a fracción:
\[ 0,5+\frac{3}{4} = \frac{1}{2}+\frac{3}{4} = \frac{2}{4}+\frac{3}{4} = \frac{5}{4} \]
También se puede escribir como \(1,25\).
Ejemplo 2: se puede trabajar en decimal
Resolver:
\[ 2,8+1,4-0,6 \]
Como todos los números están en forma decimal finita y la operación es simple, se puede calcular directamente:
\[ 2,8+1,4-0,6=4,2-0,6=3,6 \]
Ejemplo 3: decimal periódico
Resolver:
\[ 0,\overline{3}+\frac{1}{6}+1 \]
Como aparece un decimal periódico, conviene transformarlo a fracción:
\[ 0,\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Entonces:
\[ 0,\overline{3}+\frac{1}{6}+1 = \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+1 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}+1 = \frac{3}{6}+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2} \]
Ejemplo 4: forma común antes de operar
Resolver:
\[ 2\cdot \left(0,25+\frac{1}{2}\right) \]
Como \(0,25=\frac{1}{4}\), trabajamos con fracciones:
\[ 2\cdot \left(0,25+\frac{1}{2}\right) = 2\cdot \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right) \]
\[ = 2\cdot \left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}\right) = 2\cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve: \(0,75+\frac{1}{4}\)
Conviene transformar \(0,75\) a fracción:
\[ 0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} \]
Entonces:
\[ 0,75+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}+\frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(2,4-\frac{3}{5}+1\)
Conviene transformar \(2,4\) a fracción:
\[ 2,4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5} \]
Entonces:
\[ 2,4-\frac{3}{5}+1 = \frac{12}{5}-\frac{3}{5}+1 = \frac{9}{5}+1 = \frac{9}{5}+\frac{5}{5} = \frac{14}{5} \]
Resultado: \(\frac{14}{5}\), equivalente a \(2,8\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(0,\overline{6}+\frac{1}{3}-1\)
Como aparece un decimal periódico, conviene usar fracciones:
\[ 0,\overline{6}=\frac{2}{3} \]
Entonces:
\[ 0,\overline{6}+\frac{1}{3}-1 = \frac{2}{3}+\frac{1}{3}-1 = 1-1 = 0 \]
Resultado: \(0\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(1,25\cdot \frac{4}{5}+2\)
Transformamos \(1,25\) a fracción:
\[ 1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \]
Entonces:
\[ 1,25\cdot \frac{4}{5}+2 = \frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}+2 = 1+2 = 3 \]
Resultado: \(3\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(\left(0,2+\frac{3}{10}\right)\cdot 5\)
Como \(0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), conviene usar fracciones con denominador común:
\[ 0,2+\frac{3}{10} = \frac{2}{10}+\frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Luego:
\[ \left(0,2+\frac{3}{10}\right)\cdot 5 = \frac{1}{2}\cdot 5 = \frac{5}{2} \]
Resultado: \(\frac{5}{2}\), equivalente a \(2,5\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(3-\left(0,\overline{3}+\frac{5}{6}\right)\)
Como \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\), trabajamos con fracciones:
\[ 3-\left(0,\overline{3}+\frac{5}{6}\right) = 3-\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{6}\right) \]
\[ \frac{1}{3}+\frac{5}{6} = \frac{2}{6}+\frac{5}{6} = \frac{7}{6} \]
Entonces:
\[ 3-\frac{7}{6} = \frac{18}{6}-\frac{7}{6} = \frac{11}{6} \]
Resultado: \(\frac{11}{6}\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(1,5:\frac{3}{4}+0,25\)
Transformamos los decimales a fracción:
\[ 1,5=\frac{3}{2} \qquad \text{y} \qquad 0,25=\frac{1}{4} \]
Entonces:
\[ 1,5:\frac{3}{4}+0,25 = \frac{3}{2}:\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \]
\[ \frac{3}{2}:\frac{3}{4} = \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3} = 2 \]
Luego:
\[ 2+\frac{1}{4} = \frac{8}{4}+\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \]
Resultado: \(\frac{9}{4}\), equivalente a \(2,25\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\left(\frac{2}{3}+0,1\overline{6}\right)\cdot 6\)
Como aparece un decimal periódico, lo transformamos a fracción:
\[ 0,1\overline{6}=\frac{1}{6} \]
Entonces:
\[ \left(\frac{2}{3}+0,1\overline{6}\right)\cdot 6 = \left(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\right)\cdot 6 \]
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{6} = \frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
Luego:
\[ \frac{5}{6}\cdot 6=5 \]
Resultado: \(5\).
Cierre
En los próximos ejercicios, cuando veas enteros, fracciones y decimales mezclados, primero decide si conviene trabajar en forma decimal o fraccionaria. Esa decisión puede hacer que el desarrollo sea más claro y exacto.
3. Ejercicios Combinados con Potencias: Enteros, Fracciones y Decimales
Propiedades fundamentales de las potencias
Para resolver estos ejercicios, es importante dominar las siguientes propiedades:
- Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes. \[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
- Cociente de potencias de igual base: se conserva la base y se restan los exponentes. \[a^m : a^n = a^{m-n}, \quad a\neq 0\]
- Potencia de una potencia: se conserva la base y se multiplican los exponentes. \[(a^m)^n = a^{m\cdot n}\]
- Potencia de un producto: se eleva cada factor al exponente. \[(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n\]
- Potencia de un cociente: se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\neq 0\]
- Exponente cero: toda base no nula elevada a cero es 1. \[a^0=1, \quad a\neq 0\]
- Exponente negativo: se invierte la base para escribir el exponente positivo. \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a\neq 0\]
Estrategia útil
Cuando aparezcan enteros, fracciones y decimales en un mismo ejercicio, conviene transformar todo a una forma común antes de aplicar las propiedades de potencias.
Por ejemplo:
\[0,5=\frac{1}{2}, \qquad 0,2=\frac{1}{5}, \qquad 0,25=\frac{1}{4}\]
Sección 1: ejercicios de cálculo directo
Cuidado con el signo negativo
No es lo mismo \((-a)^n\) que \(-a^n\).
- En \((-a)^n\), la base completa es negativa.
- En \(-a^n\), la potencia se calcula primero y luego se aplica el signo negativo.
Instrucciones
Resuelve los siguientes ejercicios. En cada uno se combinan al menos dos formas de representar números racionales: enteros, fracciones o decimales.
Ejercicio 1
Resuelve: \((-0,1)^2+\frac{1}{100}\)
\[ (-0,1)^2=0,01=\frac{1}{100} \]
Entonces:
\[ (-0,1)^2+\frac{1}{100} = \frac{1}{100}+\frac{1}{100} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} \]
Resultado: \(\frac{1}{50}\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4}\)
Primero se calcula la potencia:
\[ (0,5)^2=0,25=\frac{1}{4} \]
Luego:
\[ 2\cdot (0,5)^2-\frac{1}{4} = 2\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]
Resultado: \(\frac{1}{4}\).
Ejercicio 3
Resuelve: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4+(0,5)^4\)
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \qquad \text{y} \qquad (0,5)^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]
Entonces:
\[ \frac{1}{16}+\frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \]
Resultado: \(\frac{1}{8}\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(-\left(\frac{1}{2}\right)^4+(0,25)^2\)
Calculamos cada potencia:
\[ -\left(\frac{1}{2}\right)^4=-\frac{1}{16} \]
Además, \(0,25=\frac{1}{4}\), por lo tanto:
\[ (0,25)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16} \]
Entonces:
\[ -\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=0 \]
Resultado: \(0\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(-3\left(-\frac{1}{3}\right)^2+0,1\overline{6}\)
Primero:
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
Además:
\[ 0,1\overline{6}=\frac{1}{6} \]
Entonces:
\[ -3\left(-\frac{1}{3}\right)^2+0,1\overline{6} = -3\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{6} = -\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = -\frac{2}{6}+\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \]
Resultado: \(-\frac{1}{6}\).
Ejercicio 6
Resuelve: \(-3\left[-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]+0,\overline{6}\)
Primero:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
Además:
\[ 0,\overline{6}=\frac{2}{3} \]
Entonces:
\[ -3\left[-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]+0,\overline{6} = -3\left[-\frac{1}{9}\right]+\frac{2}{3} = \frac{3}{9}+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(25\cdot (0,2)^3\cdot (0,2)^{-1}\)
Las potencias de igual base se multiplican sumando exponentes:
\[ (0,2)^3\cdot (0,2)^{-1} = (0,2)^{3+(-1)} = (0,2)^2 \]
Como \(0,2=\frac{1}{5}\), entonces:
\[ 25\cdot (0,2)^2 = 25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 25\cdot \frac{1}{25} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 8
Resuelve: \(\left(\frac{3}{5}\right)^5:\left(\frac{3}{5}\right)^3+0,64\)
Primero se resuelve el cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^5:\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^{5-3} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]
Como \(0,64=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}\), entonces:
\[ \frac{9}{25}+0,64 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 9
Resuelve: \(\left((-2)^3\right)^2\cdot (0,5)^6\)
Primero:
\[ \left((-2)^3\right)^2=(-2)^{3\cdot 2}=(-2)^6=64 \]
Además, \(0,5=\frac{1}{2}\):
\[ (0,5)^6=\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64} \]
Entonces:
\[ 64\cdot \frac{1}{64}=1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 10
Resuelve: \((0,1)^5:(0,1)^3\cdot (0,1)^{-4}-99\)
Las multiplicaciones y divisiones se resuelven de izquierda a derecha. Como la base es la misma:
\[ (0,1)^5:(0,1)^3\cdot (0,1)^{-4} = (0,1)^{5-3+(-4)} = (0,1)^{-2} \]
Como \(0,1=\frac{1}{10}\):
\[ (0,1)^{-2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} = 10^2 = 100 \]
Entonces:
\[ 100-99=1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 11
Resuelve: \((0,5)^3\cdot 2^3+\frac{1}{4}\)
Como las potencias tienen el mismo exponente:
\[ (0,5)^3\cdot 2^3 = (0,5\cdot 2)^3 = 1^3 = 1 \]
Luego:
\[ 1+\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Resultado: \(\frac{5}{4}\).
Ejercicio 12
Resuelve: \(\left(\frac{10}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}+0,75\)
Como ambas potencias tienen el mismo exponente:
\[ \left(\frac{10}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}}\right)^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \]
Además, \(0,75=\frac{3}{4}\). Entonces:
\[ \frac{1}{4}+0,75 = \frac{1}{4}+\frac{3}{4} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 13
Resuelve: \(\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}+0,\overline{3}\)
Primero se simplifican las potencias de igual base:
\[ \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+5-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3} \]
Además, \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\). Entonces:
\[ \frac{2}{3}+0,\overline{3} = \frac{2}{3}+\frac{1}{3} = 1 \]
Resultado: \(1\).
Ejercicio 14
Resuelve: \(\frac{(0,25)^2\cdot 4^3}{4^0}-\frac{7}{2}\)
Como \(0,25=\frac{1}{4}=4^{-1}\):
\[ (0,25)^2=(4^{-1})^2=4^{-2} \]
Además, \(4^0=1\). Entonces:
\[ \frac{(0,25)^2\cdot 4^3}{4^0} = \frac{4^{-2}\cdot 4^3}{1} = 4^{-2+3} = 4 \]
Finalmente:
\[ 4-\frac{7}{2} = \frac{8}{2}-\frac{7}{2} = \frac{1}{2} \]
Resultado: \(\frac{1}{2}\).
Ejercicio 15
Resuelve: \(\left((-3)^2\cdot (-3)^{-1}\right)^2\cdot \frac{1}{9}+0,25\)
Dentro del paréntesis, las potencias tienen igual base:
\[ (-3)^2\cdot (-3)^{-1} = (-3)^{2+(-1)} = (-3)^1 = -3 \]
Luego:
\[ \left((-3)^2\cdot (-3)^{-1}\right)^2 = (-3)^2 = 9 \]
Entonces:
\[ 9\cdot \frac{1}{9}+0,25 = 1+0,25 = 1+\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Resultado: \(\frac{5}{4}\).
Ejercicio 16
Resuelve: \(\frac{5^3\cdot 5^{-1}}{5^4:5^3}-4,5\)
Primero se simplifica el numerador:
\[ 5^3\cdot 5^{-1}=5^{3+(-1)}=5^2 \]
Luego el denominador:
\[ 5^4:5^3=5^{4-3}=5 \]
Entonces:
\[ \frac{5^2}{5}=5 \]
Finalmente:
\[ 5-4,5=0,5 \]
Resultado: \(0,5\).
Ejercicio 17
Resuelve: \(\frac{2^4\cdot 3^4}{6^3}\cdot 0,5-\frac{1}{2}\)
Como \(2^4\cdot 3^4=(2\cdot 3)^4=6^4\):
\[ \frac{2^4\cdot 3^4}{6^3} = \frac{6^4}{6^3} = 6 \]
Luego:
\[ 6\cdot 0,5-\frac{1}{2} = 3-\frac{1}{2} = \frac{6}{2}-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Resultado: \(\frac{5}{2}\).
Ejercicio 18
Resuelve: \(\left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot (0,5)^3}{2^4}\right]^{-1}:16\)
Escribimos todo como potencia de base \(2\):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2 \qquad \text{y} \qquad (0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=2^{-3} \]
Entonces:
\[ \left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot (0,5)^3}{2^4}\right]^{-1} = \left[\frac{2^2\cdot 2^{-3}}{2^4}\right]^{-1} = \left[\frac{2^{-1}}{2^4}\right]^{-1} = \left[2^{-5}\right]^{-1} = 2^5 = 32 \]
Finalmente:
\[ 32:16=2 \]
Resultado: \(2\).
Sección 2: encontrando la incógnita
Instrucciones
Despeja el valor de la incógnita \(x\) para que se cumpla cada igualdad. En cada ejercicio se combinan distintas formas de escribir números racionales.
Ejercicio 1
Resuelve: \(3^x\cdot 3^2=3^5\cdot (0,5)^0\)
Como \((0,5)^0=1\), la igualdad queda:
\[ 3^x\cdot 3^2=3^5 \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ 3^{x+2}=3^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+2=5 \]
\[ x=3 \]
Resultado: \(x=3\).
Ejercicio 2
Resuelve: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x:(0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^4\)
Como \(0,5=\frac{1}{2}\), se tiene:
\[ (0,5)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Entonces:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x:\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
Aplicamos cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
Igualamos exponentes:
\[ x-3=4 \]
\[ x=7 \]
Resultado: \(x=7\).
Ejercicio 3
Resuelve: \((0,7)^x\cdot (0,7)^{-2}=\left(\frac{7}{10}\right)^2\)
Como \(0,7=\frac{7}{10}\), ambas bases representan el mismo número:
\[ (0,7)^x\cdot (0,7)^{-2}=(0,7)^2 \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ (0,7)^{x-2}=(0,7)^2 \]
Igualamos exponentes:
\[ x-2=2 \]
\[ x=4 \]
Resultado: \(x=4\).
Ejercicio 4
Resuelve: \(\left((2,5)^2\right)^x=\left(\frac{5}{2}\right)^6\)
Como \(2,5=\frac{5}{2}\), se puede escribir:
\[ \left((2,5)^2\right)^x = \left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)^x \]
Aplicamos potencia de una potencia:
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} = \left(\frac{5}{2}\right)^6 \]
Igualamos exponentes:
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Resultado: \(x=3\).
Ejercicio 5
Resuelve: \(\left(\frac{5}{4}\right)^x:(1,25)^{-3}=\left(\frac{5}{4}\right)^5\)
Como \(1,25=\frac{5}{4}\), se tiene:
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^x:\left(\frac{5}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
Aplicamos cociente de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^{x-(-3)} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
\[ \left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+3=5 \]
\[ x=2 \]
Resultado: \(x=2\).
Ejercicio 6
Resuelve: \((0,2)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x=(0,2)^{-1}\)
Como \(0,2=\frac{1}{5}\), escribimos todo con la misma base:
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \]
Aplicamos producto de potencias de igual base:
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{2+x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \]
Igualamos exponentes:
\[ 2+x=-1 \]
\[ x=-3 \]
Resultado: \(x=-3\).
Ejercicio 7
Resuelve: \(x^2\cdot (0,4)^2=\frac{1}{1}\)
Como \(\frac{1}{1}=1\), la igualdad queda:
\[ x^2\cdot (0,4)^2=1 \]
Usamos potencia de un producto:
\[ (0,4x)^2=1 \]
Para que un cuadrado sea igual a \(1\), la base puede ser \(1\) o \(-1\):
\[ 0,4x=\pm 1 \]
Despejamos \(x\):
\[ x=\pm \frac{1}{0,4} \]
Como \(0,4=\frac{2}{5}\):
\[ \frac{1}{0,4} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2,5 \]
Por lo tanto:
\[ x=\pm 2,5 \]
Resultado: \(x=2,5\) o \(x=-2,5\).
4. Resolución de problemas con operatoria combinada
Contexto
Ya se trabajaron las operaciones con números racionales en forma fraccionaria, decimal y entera. Ahora el foco es resolver problemas donde se combinen al menos dos de esas formas de representación en los datos.
El método de 5 pasos para resolver problemas
Para no perderte en el enunciado, conviene seguir esta estructura:
- Datos: anota la información numérica que entrega el problema.
- Planteo: traduce la pregunta a una o varias operaciones matemáticas.
- Desarrollo: resuelve las operaciones respetando el orden correspondiente.
- Solución: escribe claramente el resultado numérico final.
- Respuesta: responde con una oración completa, incluyendo las unidades.
Ejemplo guiado: aplicando el método de 5 pasos
Problema de ejemplo
Francisco tiene un sueldo mensual de $750.000. Este mes gastó \(\frac{1}{5}\) de su sueldo en arriendo y luego gastó \(0,2\) de lo que le quedaba en alimentación. ¿Cuánto dinero le queda a Francisco al final?
1. Datos:
- Sueldo total: $750.000.
- Gasto en arriendo: \(\frac{1}{5}\) del sueldo.
- Gasto en alimentación: \(0,2\) del dinero restante.
2. Planteo:
\[ 750.000-\left(750.000\cdot \frac{1}{5}\right)-\left[\left(750.000-750.000\cdot \frac{1}{5}\right)\cdot 0,2\right] \]
3. Desarrollo:
\[ 750.000\cdot \frac{1}{5}=150.000 \]
\[ 750.000-150.000=600.000 \]
\[ 600.000\cdot 0,2=120.000 \]
\[ 600.000-120.000=480.000 \]
4. Solución: \(480.000\).
5. Respuesta: A Francisco le quedan $480.000 al final.
Problemas propuestos
Aplica el método
En cada problema identifica primero qué datos aparecen como enteros, fracciones o decimales. Luego plantea y resuelve con orden.
Problema 1
Para una receta de pastel se necesitan \(2,5\) tazas de harina. Si en la despensa ya hay \(\frac{3}{4}\) de taza y luego se agregan \(1\) taza más, ¿cuánta harina falta para completar la receta?
Datos: se necesitan \(2,5\) tazas; hay \(\frac{3}{4}\) de taza; se agrega \(1\) taza.
Planteo:
\[ 2,5-\left(\frac{3}{4}+1\right) \]
Desarrollo:
Convertimos \(2,5=\frac{5}{2}\) y \(1=\frac{4}{4}\):
\[ \frac{3}{4}+1=\frac{3}{4}+\frac{4}{4}=\frac{7}{4} \]
\[ 2,5-\frac{7}{4} = \frac{5}{2}-\frac{7}{4} = \frac{10}{4}-\frac{7}{4} = \frac{3}{4} \]
Solución: \(\frac{3}{4}\).
Respuesta: Falta \(\frac{3}{4}\) de taza de harina.
Problema 2
Un par de zapatillas cuesta $45.000. Si la tienda ofrece un descuento de \(0,2\) del precio y además se usa un cupón de \(\frac{1}{10}\) del precio original, ¿cuál es el precio final?
Datos: precio original $45.000; descuento \(0,2\); cupón \(\frac{1}{10}\).
Planteo:
\[ 45.000-\left(45.000\cdot 0,2\right)-\left(45.000\cdot \frac{1}{10}\right) \]
Desarrollo:
\[ 45.000\cdot 0,2=9.000 \]
\[ 45.000\cdot \frac{1}{10}=4.500 \]
\[ 45.000-9.000-4.500=31.500 \]
Solución: \(31.500\).
Respuesta: El precio final es $31.500.
Problema 3
Ana tenía $20.000 en su billetera. Gastó \(\frac{1}{4}\) de ese dinero en un libro y luego gastó \(0,1\) del monto original en un helado. ¿Cuánto dinero le queda?
Datos: dinero inicial $20.000; gasto en libro \(\frac{1}{4}\); gasto en helado \(0,1\).
Planteo:
\[ 20.000-\left(20.000\cdot \frac{1}{4}\right)-\left(20.000\cdot 0,1\right) \]
Desarrollo:
\[ 20.000\cdot \frac{1}{4}=5.000 \]
\[ 20.000\cdot 0,1=2.000 \]
\[ 20.000-5.000-2.000=13.000 \]
Solución: \(13.000\).
Respuesta: A Ana le quedan $13.000.
Problema 4
Un terreno rectangular mide \(12,5\) metros de largo y \(\frac{18}{5}\) metros de ancho. Se quiere cercar el terreno con \(3\) vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitarán?
Datos: largo \(12,5\) m; ancho \(\frac{18}{5}\) m; \(3\) vueltas.
Planteo:
\[ 3\cdot 2\cdot \left(12,5+\frac{18}{5}\right) \]
Desarrollo:
Convertimos \(12,5=\frac{25}{2}\):
\[ \frac{25}{2}+\frac{18}{5} = \frac{125}{10}+\frac{36}{10} = \frac{161}{10} = 16,1 \]
\[ 2\cdot 16,1=32,2 \]
\[ 3\cdot 32,2=96,6 \]
Solución: \(96,6\).
Respuesta: Se necesitarán \(96,6\) metros de alambre.
Problema 5
Un estanque de \(400\) litros de capacidad está lleno hasta sus \(\frac{3}{4}\) partes. Si se utiliza \(0,25\) del agua que contiene para regar, ¿cuántos litros de agua quedan?
Datos: capacidad \(400\) L; llenado \(\frac{3}{4}\); uso \(0,25\) del agua contenida.
Planteo:
\[ \left(400\cdot \frac{3}{4}\right)-\left(400\cdot \frac{3}{4}\cdot 0,25\right) \]
Desarrollo:
\[ 400\cdot \frac{3}{4}=300 \]
\[ 300\cdot 0,25=75 \]
\[ 300-75=225 \]
Solución: \(225\).
Respuesta: Quedan \(225\) litros de agua en el estanque.
Problema 6
Un ciclista debe recorrer \(120\) km. Durante la mañana recorre \(\frac{1}{3}\) del trayecto total. Por la tarde recorre \(0,5\) de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
Datos: trayecto total \(120\) km; mañana \(\frac{1}{3}\); tarde \(0,5\) del resto.
Planteo:
\[ 120-\left(120\cdot \frac{1}{3}\right)-\left[\left(120-120\cdot \frac{1}{3}\right)\cdot 0,5\right] \]
Desarrollo:
\[ 120\cdot \frac{1}{3}=40 \]
\[ 120-40=80 \]
\[ 80\cdot 0,5=40 \]
\[ 120-40-40=40 \]
Solución: \(40\).
Respuesta: Le faltan \(40\) km por recorrer.
Problema 7
Un terreno rectangular mide \(10,5\) metros de largo y \(\frac{20}{3}\) metros de ancho. Si se quiere plantar césped en \(0,8\) de su superficie, ¿cuántos metros cuadrados de césped se necesitan?
Datos: largo \(10,5\) m; ancho \(\frac{20}{3}\) m; superficie con césped \(0,8\).
Planteo:
\[ 10,5\cdot \frac{20}{3}\cdot 0,8 \]
Desarrollo:
Convertimos \(10,5=\frac{21}{2}\) y \(0,8=\frac{4}{5}\):
\[ \frac{21}{2}\cdot \frac{20}{3}=70 \]
\[ 70\cdot \frac{4}{5}=56 \]
Solución: \(56\).
Respuesta: Se necesitan \(56\) metros cuadrados de césped.
Problema 8
Una deuda de $240.000 se paga en tres cuotas. La primera es \(\frac{1}{3}\) del total. La segunda es \(0,75\) de la primera cuota. ¿Cuánto se debe pagar en la tercera cuota?
Datos: deuda $240.000; primera cuota \(\frac{1}{3}\); segunda cuota \(0,75\) de la primera.
Planteo:
\[ 240.000-\left(240.000\cdot \frac{1}{3}\right)-\left(240.000\cdot \frac{1}{3}\cdot 0,75\right) \]
Desarrollo:
\[ 240.000\cdot \frac{1}{3}=80.000 \]
\[ 80.000\cdot 0,75=60.000 \]
\[ 240.000-80.000-60.000=100.000 \]
Solución: \(100.000\).
Respuesta: En la tercera cuota se deben pagar $100.000.
Problema 9
Una piscina con forma de prisma rectangular mide \(2,5\) m de largo, \(\frac{9}{5}\) m de ancho y \(2\) m de profundidad. Si \(1\) metro cúbico equivale a \(1.000\) litros, ¿cuántos litros de agua se necesitan para llenarla?
Datos: largo \(2,5\) m; ancho \(\frac{9}{5}\) m; profundidad \(2\) m; \(1\text{ m}^3=1.000\) L.
Planteo:
\[ 2,5\cdot \frac{9}{5}\cdot 2\cdot 1.000 \]
Desarrollo:
Convertimos \(2,5=\frac{5}{2}\):
\[ \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{5}\cdot 2=9 \]
\[ 9\cdot 1.000=9.000 \]
Solución: \(9.000\).
Respuesta: Se necesitan \(9.000\) litros de agua para llenar la piscina.
Problema 10
Javiera gana un sueldo mensual de $900.000. Decide ahorrar \(0,1\overline{6}\) de su sueldo cada mes durante \(\frac{1}{2}\) año. ¿Cuánto dinero ahorra en total?
Datos: sueldo $900.000; ahorro mensual \(0,1\overline{6}\); tiempo \(\frac{1}{2}\) año.
Planteo:
\[ 900.000\cdot 0,1\overline{6}\cdot 6 \]
Desarrollo:
Como \(\frac{1}{2}\) año son \(6\) meses y \(0,1\overline{6}=\frac{1}{6}\):
\[ 900.000\cdot \frac{1}{6}=150.000 \]
\[ 150.000\cdot 6=900.000 \]
Solución: \(900.000\).
Respuesta: Javiera ahorra $900.000 en medio año.
Problema 11
Un coche recorre \(120\) kilómetros en \(1,5\) horas. Luego aumenta su velocidad en \(\frac{1}{4}\) y recorre \(200\) kilómetros más. ¿Cuánto tiempo tardó en total el viaje?
Datos: primer tramo \(120\) km en \(1,5\) h; aumento de velocidad \(\frac{1}{4}\); segundo tramo \(200\) km.
Planteo:
Primero se calcula la velocidad inicial, luego la nueva velocidad y finalmente el tiempo total.
Desarrollo:
\[ \frac{120}{1,5}=80 \]
La velocidad inicial es \(80\) km/h.
\[ 80+\left(80\cdot \frac{1}{4}\right)=80+20=100 \]
La nueva velocidad es \(100\) km/h.
\[ \frac{200}{100}=2 \]
\[ 1,5+2=3,5 \]
Solución: \(3,5\).
Respuesta: El viaje tardó \(3,5\) horas en total.
Problema 12
Se mezclan \(1,5\) kg de nueces que cuestan $12.000 el kg, con \(\frac{5}{2}\) kg de almendras que cuestan $10.000 el kg. ¿Cuál es el precio promedio por kg de la mezcla?
Datos: nueces \(1,5\) kg a $12.000/kg; almendras \(\frac{5}{2}\) kg a $10.000/kg.
Planteo:
\[ \frac{1,5\cdot 12.000+\frac{5}{2}\cdot 10.000}{1,5+\frac{5}{2}} \]
Desarrollo:
\[ 1,5\cdot 12.000=18.000 \]
\[ \frac{5}{2}\cdot 10.000=25.000 \]
\[ 18.000+25.000=43.000 \]
\[ 1,5+\frac{5}{2}=1,5+2,5=4 \]
\[ \frac{43.000}{4}=10.750 \]
Solución: \(10.750\).
Respuesta: El precio promedio de la mezcla es $10.750 por kg.
Problema 13
Se invierten $200.000 en una cuenta. El primer año aumenta en \(0,05\) del capital y el segundo año aumenta en \(\frac{1}{20}\) del monto acumulado. ¿Cuánto dinero habrá al final del segundo año?
Datos: capital $200.000; aumento del primer año \(0,05\); aumento del segundo año \(\frac{1}{20}\).
Planteo:
\[ 200.000\cdot (1+0,05)\cdot \left(1+\frac{1}{20}\right) \]
Desarrollo:
Como \(0,05=\frac{1}{20}\), ambos aumentos son equivalentes:
\[ 200.000\cdot 1,05=210.000 \]
\[ 210.000\cdot \left(1+\frac{1}{20}\right) = 210.000\cdot \frac{21}{20} = 220.500 \]
Solución: \(220.500\).
Respuesta: Al final del segundo año habrá $220.500.
Problema 14
Tres amigos organizan una fiesta que cuesta $150.000. El primer amigo paga \(0,4\) del total. El segundo paga \(\frac{2}{3}\) de lo que queda por pagar. El tercer amigo paga el resto. ¿Cuánto dinero puso el tercer amigo?
Datos: costo total $150.000; primer amigo paga \(0,4\); segundo amigo paga \(\frac{2}{3}\) del resto.
Planteo:
\[ 150.000-\left(150.000\cdot 0,4\right)-\left[\left(150.000-150.000\cdot 0,4\right)\cdot \frac{2}{3}\right] \]
Desarrollo:
\[ 150.000\cdot 0,4=60.000 \]
\[ 150.000-60.000=90.000 \]
\[ 90.000\cdot \frac{2}{3}=60.000 \]
\[ 90.000-60.000=30.000 \]
Solución: \(30.000\).
Respuesta: El tercer amigo puso $30.000.
5. diagrama
Resolver ejercicios combinados no se trata solo de calcular, sino de seguir un orden lógico: el orden de las operaciones (PAPOMUDAS).
- Paréntesis
- Potencias
- Multiplicación y División
- Adición y Sustracción
Diagrama: estrategia para resolver operatoria combinada
Estrategia de resolución
Primero se identifican los tipos de números presentes. Luego, si hay decimales, es recomendable convertirlos a fracciones para trabajar con mayor precisión.
Después se aplica el orden de las operaciones (PAPOMUDAS) paso a paso.
Convertir todos los números a fracción puede simplificar mucho los cálculos y evitar errores con decimales periódicos.
Resolver sumas antes que multiplicaciones rompe el orden correcto y genera resultados incorrectos.