Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:46 |
1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
🌍 En el crecimiento lineal, una cantidad aumenta en un valor fijo en cada período de tiempo. En el decrecimiento lineal, una cantidad disminuye en un valor fijo en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento y decrecimiento exponencial, donde se multiplica por un factor constante, en el crecimiento y decrecimiento lineal se suma o resta una cantidad constante.
Tablas para Visualizar el Crecimiento y Decrecimiento Lineal
Las tablas son una herramienta útil para observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Veamos ejemplos con tablas que incluyen una columna de cálculos.
Ejemplo 1: Crecimiento Lineal - Ahorro Mensual
Supongamos que empiezas con $50 y decides ahorrar $10 cada mes.
Tabla:
| Tiempo (meses) | Cálculo | Cantidad Ahorrada ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 50 |
| 1 | 50 + 10 | 60 |
| 2 | 60 + 10 = 50 + 10 + 10 | 70 |
| 3 | 70 + 10 = 50 + 10 + 10 + 10 | 80 |
| 4 | 80 + 10 = 50 + 10 + 10 + 10 + 10 | 90 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- La cantidad ahorrada (variable dependiente) aumenta en $10 en cada período, mostrando un crecimiento lineal.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, sumando el incremento constante a la cantidad anterior o a la cantidad inicial.
📐 Modelando la Función de Crecimiento Lineal:
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función lineal:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} + (Incremento \times Tiempo) $$
En este caso:
$$ Cantidad(t) = 50 + (10 \times t) $$
Donde `t` es el tiempo en meses.
Ejemplo 2: Decrecimiento Lineal - Descarga de una Batería
Imagina que la batería de tu celular tiene 100% de carga y se descarga un 5% cada hora.
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Carga de la Batería (%) |
|---|---|---|
| 0 | - | 100 |
| 1 | 100 - 5 | 95 |
| 2 | 95 - 5 = 100 - 5 - 5 | 90 |
| 3 | 90 - 5 = 100 - 5 - 5 - 5 | 85 |
| 4 | 85 - 5 = 100 - 5 - 5 - 5 - 5 | 80 |
Observaciones:
- El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
- La carga de la batería (variable dependiente) disminuye en un 5% en cada período, mostrando un decrecimiento lineal.
- La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la carga en cada paso, restando el decremento constante a la carga anterior o a la carga inicial.
📐 Modelando la Función de Decrecimiento Lineal:
La función que describe este decrecimiento es:
$$ Carga(t) = Carga_{inicial} - (Decremento \times Tiempo) $$
En este caso:
$$ Carga(t) = 100 - (5 \times t) $$
Donde `t` es el tiempo en horas.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un tanque de agua contiene 500 litros y se llena a razón de 25 litros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de Agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de Agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | - | 500 |
| 1 | 500 + 25 | 525 |
| 2 | 525 + 25 = 500 + 25 + 25 | 550 |
| 3 | 550 + 25 = 500 + 25 + 25 + 25 | 575 |
Función: $$ Cantidad(t) = 500 + (25 \times t) $$
Ejercicio 2
Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la altura del globo en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | - | 800 |
| 1 | 800 - 40 | 760 |
| 2 | 760 - 40 = 800 - 40 - 40 | 720 |
| 3 | 720 - 40 = 800 - 40 - 40 - 40 | 680 |
Función: $$ Altura(t) = 800 - (40 \times t) $$
Ejercicio 3
Un empleado gana un salario fijo de $1500 al mes y recibe un aumento de $50 cada mes.
a) Escribe la función que modela el salario del empleado en función del tiempo (en meses).
b) ¿Cuánto ganará el empleado después de 12 meses?
Solución:
a) $$ Salario(t) = 1500 + (50 \times t) $$
b) $$ Salario(12) = 1500 + (50 \times 12) = 1500 + 600 = 2100 $$
El empleado ganará $2100 después de 12 meses.
Ejercicio 4
Un tanque de agua contiene 2000 litros y se vacía a razón de 40 litros por minuto.
a) Escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo (en minutos).
b) ¿Cuántos litros de agua quedarán en el tanque después de 20 minutos?
c) ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse por completo?
Solución:
a) $$ Cantidad(t) = 2000 - (40 \times t) $$
b) $$ Cantidad(20) = 2000 - (40 \times 20) = 2000 - 800 = 1200 $$
Quedarán 1200 litros en el tanque después de 20 minutos.
c) Para encontrar el tiempo que tarda en vaciarse, igualamos la cantidad a 0:
$$ 0 = 2000 - (40 \times t) $$
$$ 40t = 2000 $$
$$ t = \frac{2000}{40} = 50 $$
El tanque tardará 50 minutos en vaciarse por completo.
Ejercicio 5
La temperatura en una ciudad es de 15°C a las 6:00 AM y aumenta 2°C cada hora.
a) Escribe la función que modela la temperatura en función del tiempo (en horas).
b) ¿Qué temperatura habrá a las 11:00 AM?
c) Si a las 6:00 AM la temperatura fuera de 20°C y disminuye 1°C cada hora, escribe la función que modela la temperatura.
Solución:
a) $$ Temperatura(t) = 15 + (2 \times t) $$
b) De 6:00 AM a 11:00 AM hay 5 horas:
$$ Temperatura(5) = 15 + (2 \times 5) = 15 + 10 = 25 $$
La temperatura será de 25°C a las 11:00 AM.
c) $$ Temperatura(t) = 20 - (1 \times t) $$
Ejercicio 6
Un ciclista recorre una ruta de 180 km. Inicia su recorrido a las 8:00 AM y avanza a una velocidad constante de 30 km/h.
a) Escribe la función que modela la distancia recorrida por el ciclista en función del tiempo (en horas).
b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido a las 12:00 PM?
c) Escribe la función que modela la distancia que le falta por recorrer en función del tiempo.
d) ¿A qué hora llegará a su destino?
Solución:
a) $$ Distancia(t) = 30 \times t $$
b) De 8:00 AM a 12:00 PM hay 4 horas:
$$ Distancia(4) = 30 \times 4 = 120 $$
Habrá recorrido 120 km a las 12:00 PM.
c) $$ DistanciaRestante(t) = 180 - (30 \times t) $$
d) Para encontrar la hora de llegada, igualamos la distancia recorrida a la distancia total:
$$ 180 = 30 \times t $$
$$ t = \frac{180}{30} = 6 $$
Tardará 6 horas en llegar a su destino. Si inició a las 8:00 AM, llegará a las 2:00 PM.
Ejercicio 7
⚠️ ¡Cuidado con las unidades! Recuerda expresar todas las medidas en la misma unidad antes de formular la ecuación.
Un árbol mide 5 metros de altura y crece 20 cm cada año.
a) Escribe la función que modela la altura del árbol en función del tiempo (en años).
b) ¿Qué altura tendrá el árbol después de 15 años?
Solución:
a) Primero, convertimos los centímetros a metros: 20 cm = 0.2 metros.
$$ Altura(t) = 5 + (0.2 \times t) $$
b) $$ Altura(15) = 5 + (0.2 \times 15) = 5 + 3 = 8 $$
El árbol tendrá una altura de 8 metros después de 15 años.
Ejercicio 8
Una empresa tiene 500 empleados y decide contratar 25 nuevos empleados cada mes.
a) Escribe la función que modela el número de empleados en función del tiempo (en meses).
b) ¿Cuántos empleados tendrá la empresa después de 1 año?
c) Si la empresa tiene un límite de 800 empleados, ¿en cuántos meses alcanzará ese límite?
Solución:
a) $$ Empleados(t) = 500 + (25 \times t) $$
b) 1 año equivale a 12 meses:
$$ Empleados(12) = 500 + (25 \times 12) = 500 + 300 = 800 $$
La empresa tendrá 800 empleados después de 1 año.
c) Igualamos la cantidad de empleados a 800:
$$ 800 = 500 + (25 \times t) $$
$$ 300 = 25 \times t $$
$$ t = \frac{300}{25} = 12 $$
La empresa alcanzará el límite de 800 empleados en 12 meses.
Ejercicio 9
Un submarino se encuentra a 400 metros de profundidad y asciende a una velocidad de 8 metros por minuto.
a) Escribe la función que modela la profundidad del submarino en función del tiempo (en minutos). Considera la superficie del mar como profundidad 0, y valores negativos para profundidades bajo el nivel del mar.
b) ¿A qué profundidad se encontrará el submarino después de 25 minutos?
c) ¿Cuánto tiempo tardará el submarino en llegar a la superficie?
Solución:
a) $$ Profundidad(t) = -400 + (8 \times t) $$
b) $$ Profundidad(25) = -400 + (8 \times 25) = -400 + 200 = -200 $$
El submarino se encontrará a -200 metros (200 metros de profundidad) después de 25 minutos.
c) Para llegar a la superficie, la profundidad debe ser 0:
$$ 0 = -400 + (8 \times t) $$
$$ 400 = 8 \times t $$
$$ t = \frac{400}{8} = 50 $$
El submarino tardará 50 minutos en llegar a la superficie.
Ejercicio 10
Un paciente recibe un medicamento por vía intravenosa a una razón constante de 2 mg por minuto. Si la dosis inicial fue de 5 mg.
a) Escribe la función que modela la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente en función del tiempo (en minutos).
b) ¿Cuántos miligramos de medicamento habrá en el cuerpo del paciente después de 30 minutos?
Solución:
a) $$ Cantidad(t) = 5 + (2 \times t) $$
b) $$ Cantidad(30) = 5 + (2 \times 30) = 5 + 60 = 65 $$
Habrá 65 miligramos de medicamento en el cuerpo del paciente después de 30 minutos.
Ejercicio 11
Un alpinista se encuentra en la cima de una montaña a 2500 metros de altura y comienza a descender a una velocidad constante de 50 metros por hora.
a) Escribe la función que modela la altura a la que se encuentra el alpinista en función del tiempo (en horas).
b) ¿A qué altura se encontrará después de 8 horas de descenso?
c) Si el campamento base se encuentra a 500 metros de altura, ¿cuánto tiempo tardará el alpinista en llegar a él?
Solución:
a) $$ Altura(t) = 2500 - (50 \times t) $$
b) $$ Altura(8) = 2500 - (50 \times 8) = 2500 - 400 = 2100 $$
El alpinista se encontrará a 2100 metros de altura después de 8 horas.
c) Igualamos la altura a 500 metros:
$$ 500 = 2500 - (50 \times t) $$
$$ 50t = 2000 $$
$$ t = \frac{2000}{50} = 40 $$
El alpinista tardará 40 horas en llegar al campamento base.
Ejercicio 12
💡 Tip: Piensa si el costo aumenta o disminuye con cada compra para determinar si debes sumar o restar el descuento.
Una tienda ofrece un descuento de $5 por cada compra realizada. Si un cliente realiza una compra inicial de $100.
a) Escribe la función que modela el costo total de las compras en función del número de compras realizadas.
b) ¿Cuál será el costo total después de 8 compras?
c) Si el cliente quiere que el costo total sea de $45, ¿cuántas compras debe realizar?
Solución:
a) $$ Costo(c) = 100 - (5 \times c) $$
b) $$ Costo(8) = 100 - (5 \times 8) = 100 - 40 = 60 $$
El costo total después de 8 compras será de $60.
c) Igualamos el costo total a $45:
$$ 45 = 100 - (5 \times c) $$
$$ 5c = 55 $$
$$ c = \frac{55}{5} = 11 $$
El cliente debe realizar 11 compras para que el costo total sea de $45.
2. Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante
Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante
🌍 El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento lineal, donde se suma una cantidad fija, en el crecimiento exponencial se multiplica por un valor mayor que 1 en cada período.
Tablas para Visualizar el Crecimiento Exponencial
Una forma efectiva de comprender el crecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.
Ejemplo 1: Crecimiento de una Población de Bacterias
Supongamos que una población de bacterias se duplica cada hora. Si comenzamos con 10 bacterias:
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | - | 10 |
| 1 | 10 * 2 | 20 |
| 2 | 20 * 2 = 10 * 2 * 2 | 40 |
| 3 | 40 * 2 = 10 * 2 * 2 * 2 | 80 |
| 4 | 80 * 2 = 10 * 2 * 2 * 2 * 2 | 160 |
📐 Modelando la Función de Crecimiento Exponencial:
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:
$$ Población(t) = Población_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Población(t) = 10 \times (2)^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en horas. La base 2 representa el factor de crecimiento por cada unidad de tiempo.
Ejemplo 2: Interés Compuesto
Consideremos una inversión de $1000 que genera un interés compuesto del 10% anual.
Tabla:
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la Inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 1000 |
| 1 | 1000 * 1.1 | 1100 |
| 2 | 1100 * 1.1 = 1000 * 1.1 * 1.1 | 1210 |
| 3 | 1210 * 1.1 = 1000 * 1.1 * 1.1 * 1.1 | 1331 |
| 4 | 1331 * 1.1 = 1000 * (1.1)^4 | 1464.1 |
📐 Modelando la Función de Interés Compuesto:
La función que describe este crecimiento es:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Valor(t) = 1000 \times (1.1)^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en años. La base 1.1 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada año.
Ejemplo 3: Crecimiento de una Inversión con Interés Compuesto Trimestral
Consideremos una inversión de $500 que genera un interés compuesto del 8% anual, pero que se capitaliza trimestralmente (cada 3 meses).
Tabla:
| Tiempo (trimestres) | Cálculo | Valor de la Inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 500 |
| 1 | 500 * 1.02 | 510 |
| 2 | 510 * 1.02 = 500 * 1.02 * 1.02 | 520.2 |
| 3 | 520.2 * 1.02 = 500 * 1.02 * 1.02 * 1.02 | 530.604 |
| 4 | 530.604 * 1.02 = 500 * (1.02)^4 | 541.216 |
📐 Modelando la Función de Interés Compuesto con Capitalización:
La función que describe este crecimiento es:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + \frac{Tasa}{n})^{n \times Tiempo} $$
En este caso:
$$ Valor(t) = 500 \times (1 + \frac{0.08}{4})^{4 \times t} = 500 \times (1.02)^{4t} $$
Donde `t` es el tiempo en años y `n` es la cantidad de periodos de capitalización por año (en este caso, 4). La base 1.02 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada trimestre.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de Conejos |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de Conejos |
|---|---|---|
| 0 | - | 5 |
| 1 | 5 * 3 | 15 |
| 2 | 15 * 3 = 5 * (3)^2 | 45 |
| 3 | 45 * 3 = 5 * (3)^3 | 135 |
Función: $$ Población(t) = 5 \times (3)^{t} $$
Ejercicio 2
Una inversión de $2000 genera un interés compuesto del 6% anual. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión en función del tiempo.
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la Inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la Inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 2000 |
| 1 | 2000 * 1.06 | 2120 |
| 2 | 2120 * 1.06 = 2000 * (1.06)^2 | 2247.2 |
| 3 | 2247.2 * 1.06 = 2000 * (1.06)^3 | 2382.032 |
Función: $$ Valor(t) = 2000 \times (1.06)^{t} $$
Ejercicios sin tabla:
Ejercicio 3
Una población de insectos crece a una tasa del 15% mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?
Solución:
$$ Población(t) = Población_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Población(4) = 500 \times (1 + 0.15)^{4} = 500 \times (1.15)^{4} \approx 500 \times 1.749 = 874.5 $$
Habrá aproximadamente 875 insectos después de 4 meses.
Ejercicio 4
Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del 4% anual para depósitos a plazo fijo. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Cantidad(5) = 3000 \times (1 + 0.04)^{5} = 3000 \times (1.04)^{5} \approx 3000 \times 1.2167 = 3650 $$
Habrá aproximadamente $3650 en la cuenta después de 5 años.
Ejercicio 5
El valor de una obra de arte se incrementa en un 7% cada año. Si actualmente la obra vale $8,000, ¿cuál será su valor estimado dentro de 6 años?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Valor(6) = 8000 \times (1 + 0.07)^{6} = 8000 \times (1.07)^{6} \approx 8000 \times 1.5007 = 12005.6 $$
El valor estimado de la obra de arte será de aproximadamente $12,005.60 dentro de 6 años.
Ejercicio 6
⚠️ ¡Ojo con el intervalo de tiempo! La tasa de crecimiento es cada 2 horas, por lo que el exponente debe ajustarse para reflejar cuántos de estos intervalos ocurren en el tiempo total.
Un cultivo de células crece a una tasa del 25% cada 2 horas. Si inicialmente hay 100 células, ¿cuántas habrá después de 12 horas?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 + Tasa)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} $$
$$ Cantidad(12) = 100 \times (1 + 0.25)^{\frac{12}{2}} = 100 \times (1.25)^{6} \approx 100 \times 3.8147 = 381.47 $$
Habrá aproximadamente 381 células después de 12 horas.
Ejercicio 7
💡 Problema Inverso: Aquí conocemos el resultado y debemos "devolvernos" para encontrar la tasa. Esto implica despejar la tasa de la fórmula, usando raíces.
Una inversión de $5000 se duplica en valor en 10 años debido al interés compuesto. ¿Cuál es la tasa de interés anual?
Solución:
Conocemos el valor inicial ($5000), el valor final ($10000) y el tiempo (10 años).
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 10000 = 5000 \times (1 + Tasa)^{10} $$
$$ 2 = (1 + Tasa)^{10} $$
$$ \sqrt[10]{2} = 1 + Tasa $$
$$ 1.07177 \approx 1 + Tasa $$
$$ Tasa \approx 0.07177 $$
La tasa de interés anual es aproximadamente 7.18%.
Ejercicio 8
Una población de peces en un lago crece a una tasa constante. Si después de 5 años la población se ha multiplicado por 3.125, ¿cuál es la tasa de crecimiento anual?
Solución:
$$ Población(t) = Población_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 3.125 \times Población_{inicial} = Población_{inicial} \times (1 + Tasa)^{5} $$
$$ 3.125 = (1 + Tasa)^{5} $$
$$ \sqrt[5]{3.125} = 1 + Tasa $$
$$ 1.2574 \approx 1 + Tasa $$
$$ Tasa \approx 0.2574 $$
La tasa de crecimiento anual es aproximadamente 25.74%.
Ejercicio 9
Si una inversión de $4000 crece a $5324 en 3 años debido al interés compuesto, ¿cuál es la tasa de interés anual?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 5324 = 4000 \times (1 + Tasa)^{3} $$
$$ \frac{5324}{4000} = (1 + Tasa)^{3} $$
$$ 1.331 = (1 + Tasa)^{3} $$
$$ \sqrt[3]{1.331} = 1 + Tasa $$
$$ 1.1 = 1 + Tasa $$
$$ Tasa = 0.1 $$
La tasa de interés anual es del 10%.
Ejercicio 10
🤓 Un paso más allá: Este problema requiere igualar las bases para resolver la ecuación exponencial sin necesidad de logaritmos. ¡Un truco muy útil!
Una colonia de bacterias se triplica en tamaño cada 5 horas. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en alcanzar 27,000 bacterias?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} $$
$$ 27000 = 1000 \times (3)^{\frac{t}{5}} $$
$$ 27 = (3)^{\frac{t}{5}} $$
Sabemos que 27 es 3 al cubo ($$3^3 = 27$$).
$$ 3^3 = (3)^{\frac{t}{5}} $$
Igualando los exponentes:
$$ 3 = \frac{t}{5} $$
$$ t = 3 \times 5 = 15 $$
Tomará 15 horas para que la colonia alcance 27,000 bacterias.
Ejercicio 11
Una inversión con interés compuesto tiene una tasa anual del 8%. Si el valor de la inversión después de 5 años es de $5877.31, ¿cuál fue la inversión inicial?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 5877.31 = Valor_{inicial} \times (1 + 0.08)^{5} $$
$$ 5877.31 = Valor_{inicial} \times (1.08)^{5} $$
$$ 5877.31 \approx Valor_{inicial} \times 1.46933 $$
$$ Valor_{inicial} = \frac{5877.31}{1.46933} \approx 4000 $$
La inversión inicial fue de aproximadamente $4000.
Ejercicio 12
🤓 Resolviendo en dos pasos: Primero, usamos la información del duplicado para encontrar la tasa de crecimiento. Luego, usamos esa tasa para resolver la pregunta principal. Este es un problema muy común en la vida real.
Una población de animales en una reserva natural crece a una tasa constante. Si la población se duplica en 7 años y actualmente hay 150 animales, ¿cuántos años tomará para que la población alcance los 1200 animales?
Solución:
Paso 1: Encontrar la tasa de crecimiento anual (r).
Sabemos que la población se duplica (P(t)/P₀ = 2) en 7 años.
$$ 2 = (1 + r)^{7} $$
$$ \sqrt[7]{2} = 1 + r $$
$$ 1.10409 \approx 1 + r \implies r \approx 0.10409 $$
La tasa de crecimiento es aproximadamente 10.41% anual.
Paso 2: Calcular el tiempo para alcanzar 1200 animales.
$$ 1200 = 150 \times (1.10409)^{t} $$
$$ \frac{1200}{150} = (1.10409)^{t} $$
$$ 8 = (1.10409)^{t} $$
Como $$8 = 2^3$$ y sabemos que la población se duplica ($$\times 2$$) cada 7 años, para que se multiplique por 8, se necesitarán 3 períodos de duplicación.
$$ Tiempo = 3 \times 7 \text{ años} = 21 \text{ años} $$
Tomará aproximadamente 21 años para que la población alcance los 1200 animales.
3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
🌍 El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del decrecimiento lineal, donde se resta una cantidad fija, en el decrecimiento exponencial se multiplica por un valor entre 0 y 1 en cada período.
Tablas para Visualizar el Decrecimiento Exponencial
Una forma efectiva de comprender el decrecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.
Ejemplo 1: Desintegración Radioactiva
Supongamos que tenemos 64 gramos de una sustancia radioactiva con una vida media de 1 hora. Esto significa que cada hora, la cantidad de sustancia se reduce a la mitad.
Tabla:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad (gramos) |
|---|---|---|
| 0 | - | 64 |
| 1 | 64 * 0.5 | 32 |
| 2 | 32 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 | 16 |
| 3 | 16 * 0.5 = 64 * 0.5 * 0.5 * 0.5 | 8 |
| 4 | 8 * 0.5 = 64 * (0.5)^4 | 4 |
| 5 | 4 * 0.5 = 64 * (0.5)^5 | 2 |
| 6 | 2 * 0.5 = 64 * (0.5)^6 | 1 |
📐 Modelando la Función de Decrecimiento (Factor Directo):
Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Cantidad(t) = 64 \times (0.5)^{t} \quad \text{o} \quad Cantidad(t) = 64 \times (\frac{1}{2})^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en horas. La base 0.5 representa el factor de disminución por cada unidad de tiempo.
💡 Idea Clave: Conectando con el Exponente Negativo
El factor \(0.5\) es lo mismo que la fracción \( \frac{1}{2} \). Recordando la propiedad del exponente negativo ($$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$), podemos ver que \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
Esto nos permite escribir la misma fórmula de una manera diferente, muy usada en ciencias:
$$ Cantidad(t) = 64 \times (2^{-1})^{t} = 64 \times 2^{-t} $$
Entonces, ¿qué significa el \(2\) en esta nueva fórmula? Representa el factor por el cual se divide la cantidad en cada período. El exponente negativo \(-t\) es la instrucción matemática que nos dice: "divide entre 2, \(t\) veces".
Ambas expresiones son idénticas y nos enseñan cómo un exponente negativo invierte el comportamiento de la base. Si la base original es mayor que 1 (como el \(2\)), el exponente negativo la convierte en una fracción (como \(1/2\)), causando decrecimiento.
Ejemplo 2: Depreciación de un Activo
Consideremos un automóvil que se deprecia un 20% de su valor cada año. Supongamos que el valor inicial del auto es de $30,000.
Tabla:
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor del Auto ($) |
|---|---|---|
| 0 | - | 30,000 |
| 1 | 30000 * 0.8 | 24,000 |
| 2 | 24000 * 0.8 = 30000 * (0.8)^2 | 19,200 |
| 3 | 19200 * 0.8 = 30000 * (0.8)^3 | 15,360 |
| 4 | 15360 * 0.8 = 30000 * (0.8)^4 | 12,288 |
📐 Modelando la Función de Decrecimiento (Tasa de Disminución):
La función que describe este decrecimiento es:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
En este caso:
$$ Valor(t) = 30000 \times (0.8)^{t} $$
Donde `t` es el tiempo en años. La base 0.8 (resultado de 1 - 0.20) representa el factor por el que se multiplica el valor del auto cada año.
Ejemplo 3: Enfriamiento de un Líquido
Supongamos que una taza de café caliente se enfría a una tasa del 15% por cada 5 minutos. Su temperatura inicial es de 90°C.
Tabla:
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Temperatura (°C) |
|---|---|---|
| 0 | - | 90 |
| 5 | 90 * 0.85 | 76.5 |
| 10 | 76.5 * 0.85 = 90 * (0.85)^2 | 65.025 |
| 15 | 65.025 * 0.85 = 90 * (0.85)^3 | 55.271 |
| 20 | 55.271 * 0.85 = 90 * (0.85)^4 | 46.980 |
📐 Modelando la Función (Intervalos de Tiempo):
La función que modela este enfriamiento es:
$$ Temperatura(t) = Temperatura_{inicial} \times (1 - Tasa)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} $$
En este caso:
$$ Temperatura(t) = 90 \times (0.85)^{\frac{t}{5}} $$
Donde `t` es el tiempo en minutos. El exponente `t/5` indica cuántos períodos de 5 minutos han transcurrido.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100,000 bacterias, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Solución:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de Bacterias |
|---|---|---|
| 0 | - | 100,000 |
| 1 | 100000 * 0.5 | 50,000 |
| 2 | 50000 * 0.5 = 100000 * (0.5)^2 | 25,000 |
| 3 | 25000 * 0.5 = 100000 * (0.5)^3 | 12,500 |
Función: $$ Población(t) = 100000 \times (0.5)^{t} $$
Ejercicio 2
Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un 25% cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento en función del tiempo.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de Medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 8 | ||
| 12 |
Solución:
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de Medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | - | 50 |
| 4 | 50 * 0.75 | 37.5 |
| 8 | 37.5 * 0.75 = 50 * (0.75)^2 | 28.125 |
| 12 | 28.125 * 0.75 = 50 * (0.75)^3 | 21.094 |
Función: $$ Cantidad(t) = 50 \times (0.75)^{\frac{t}{4}} $$
Ejercicios sin tabla:
Ejercicio 3
La vida media de un isótopo radiactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ Cantidad(24) = 120 \times (0.5)^{\frac{24}{8}} = 120 \times (0.5)^{3} = 120 \times 0.125 = 15 $$
Quedarán 15 gramos después de 24 horas.
Ejercicio 4
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 20% cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Cantidad(5) = 10 \times (1 - 0.20)^{5} = 10 \times (0.8)^{5} \approx 10 \times 0.32768 \approx 3.28 $$
Quedarán aproximadamente 3.28 mg después de 5 horas.
Ejercicio 5
Una población de aves disminuye un 5% cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?
Solución:
$$ Población(t) = Población_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Población(7) = 2000 \times (1 - 0.05)^{7} = 2000 \times (0.95)^{7} \approx 2000 \times 0.6983 \approx 1397 $$
Habrá aproximadamente 1397 aves después de 7 años.
Ejercicio 6
Un activo se deprecia a una tasa del 15% anual. Si su valor inicial era de $50,000, ¿cuál será su valor después de 4 años?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ Valor(4) = 50000 \times (1 - 0.15)^{4} = 50000 \times (0.85)^{4} \approx 50000 \times 0.522 \approx 26100 $$
El valor del activo será aproximadamente $26,100 después de 4 años.
Ejercicio 7
💡 Problema Inverso: Aquí conocemos el resultado y debemos "devolvernos" para encontrar el valor inicial. Esto implica despejar la cantidad inicial de la fórmula.
Si después de 3 años, el valor de un activo es de $15,360 y se sabe que se deprecia exponencialmente a una tasa del 20% anual, ¿cuál era su valor inicial?
Solución:
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times (1 - 0.20)^{3} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times (0.8)^{3} $$
$$ 15360 = Valor_{inicial} \times 0.512 $$
$$ Valor_{inicial} = \frac{15360}{0.512} = 30000 $$
El valor inicial del activo era de $30,000.
Ejercicio 8
Una sustancia radioactiva se desintegra a la mitad cada 10 años. Si después de 50 años quedan 2 gramos de la sustancia, ¿cuántos gramos había inicialmente?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{50}{10}} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{5} $$
$$ 2 = Cantidad_{inicial} \times 0.03125 $$
$$ Cantidad_{inicial} = \frac{2}{0.03125} = 64 $$
Había inicialmente 64 gramos de la sustancia.
Ejercicio 9
Una población de bacterias decrece exponencialmente. Si inicialmente había 50,000 bacterias y después de 3 horas quedan 6,250, ¿cuál es el factor de decrecimiento por hora?
Solución:
Aquí necesitamos encontrar el factor de decrecimiento (la base):
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} $$
$$ 6250 = 50000 \times (Factor)^{3} $$
$$ \frac{6250}{50000} = (Factor)^{3} $$
$$ 0.125 = (Factor)^{3} $$
$$ Factor = \sqrt[3]{0.125} = 0.5 $$
El factor de decrecimiento por hora es de 0.5.
Ejercicio 10
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa constante. Si después de 4 horas queda el 40.96% de la dosis inicial, ¿cuál es la tasa de eliminación por hora?
Solución:
Sabemos que el porcentaje restante es 40.96%, que en decimal es 0.4096.
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
Asumiendo una cantidad inicial de 1 (100%), tenemos:
$$ 0.4096 = 1 \times (1 - Tasa)^{4} $$
$$ \sqrt[4]{0.4096} = 1 - Tasa $$
$$ 0.8 = 1 - Tasa $$
$$ Tasa = 1 - 0.8 = 0.2 $$
La tasa de eliminación por hora es del 20%.
Ejercicio 11
🤓 Igualando bases: Este problema se puede resolver fácilmente si reconocemos la relación entre los números. ¡Es un buen truco para evitar los logaritmos cuando sea posible!
Un material radioactivo tiene una vida media de 20 minutos. Si inicialmente hay 80 gramos del material, ¿cuánto tiempo tardará en reducirse a 5 gramos?
Solución:
$$ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (0.5)^{\frac{Tiempo}{Vida\ Media}} $$
$$ 5 = 80 \times (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
$$ \frac{5}{80} = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
$$ 0.0625 = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
Reconocemos que $$0.0625 = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4 = (0.5)^4$$.
$$ (0.5)^{4} = (0.5)^{\frac{t}{20}} $$
Igualamos los exponentes: $$ 4 = \frac{t}{20} $$
$$ t = 4 \times 20 = 80 $$
Tomará 80 minutos para que el material se reduzca a 5 gramos.
Ejercicio 12
La depreciación de un activo es del 10% anual. Si después de un cierto número de años el valor del activo se ha reducido a aproximadamente el 34.87% de su valor original, ¿cuántos años han pasado?
Solución:
Sabemos que el valor actual es 0.3487 del original.
$$ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} $$
Asumiendo un valor inicial de 1:
$$ 0.3487 \approx 1 \times (1 - 0.10)^{t} $$
$$ 0.3487 \approx (0.9)^{t} $$
Probando valores, encontramos que $$ (0.9)^{10} \approx 0.3487 $$.
Por lo tanto, han pasado aproximadamente 10 años.