Libro Crecimiento Exponencial
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro Crecimiento Exponencial |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 21:01 |
1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante
Crecimiento lineal y crecimiento exponencial: comparación inicial
Objetivos
- Distinguir entre una situación que cambia por suma o resta constante y una situación que cambia por multiplicación constante.
- Reconocer cuándo un modelo corresponde a crecimiento lineal y cuándo corresponde a crecimiento exponencial.
- Completar tablas de valores y escribir funciones simples asociadas a situaciones de cambio.
Idea inicial
Antes de estudiar el crecimiento exponencial, conviene compararlo con el crecimiento lineal.
La diferencia principal está en cómo cambia la cantidad en cada período:
- En el crecimiento lineal, se suma o se resta siempre la misma cantidad.
- En el crecimiento exponencial, se multiplica siempre por el mismo factor.
Comparación fundamental
| Tipo de cambio | Qué ocurre en cada período | Modelo general |
|---|---|---|
| Crecimiento lineal | Se suma una cantidad constante. | \(f(t)=a+ct\) |
| Decrecimiento lineal | Se resta una cantidad constante. | \(f(t)=a-ct\) |
| Crecimiento exponencial | Se multiplica por un factor constante mayor que 1. | \(f(t)=a\cdot b^t,\ b>1\) |
En estos modelos, \(a\) representa la cantidad inicial y \(t\) representa el tiempo o número de períodos.
Ejemplo 1: sumar una cantidad constante
Supongamos que una persona comienza con $50 y ahorra $10 cada mes.
| Tiempo (meses) | Cálculo | Cantidad ahorrada ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(50\) | 50 |
| 1 | \(50+10\) | 60 |
| 2 | \(50+10+10\) | 70 |
| 3 | \(50+10+10+10\) | 80 |
| 4 | \(50+10+10+10+10\) | 90 |
Como cada mes se suma siempre $10, el cambio es lineal.
La función que modela esta situación es:
\[ A(t)=50+10t \]
Ejemplo 2: multiplicar por un factor constante
Supongamos que una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(10\) | 10 |
| 1 | \(10\cdot 2\) | 20 |
| 2 | \(10\cdot 2\cdot 2\) | 40 |
| 3 | \(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) | 80 |
| 4 | \(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) | 160 |
Como cada hora la cantidad se multiplica por 2, el cambio es exponencial.
La función que modela esta situación es:
\[ P(t)=10\cdot 2^t \]
Cómo decidir si una situación es lineal o exponencial
Para reconocer el tipo de crecimiento, observa qué ocurre al pasar de un período al siguiente.
- Si la diferencia entre valores consecutivos es constante, el modelo es lineal.
- Si el cociente entre valores consecutivos es constante, el modelo es exponencial.
Ejemplo 3: comparar las dos formas de crecimiento
Comparemos dos cantidades que comienzan en 10.
| Tiempo | Sumar 10 cada vez | Multiplicar por 2 cada vez |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 10 |
| 1 | 20 | 20 |
| 2 | 30 | 40 |
| 3 | 40 | 80 |
| 4 | 50 | 160 |
En el primer caso, la cantidad aumenta siempre en 10. En el segundo caso, la cantidad se duplica en cada período.
Error común
No basta con decir que una cantidad “aumenta” para saber si el crecimiento es lineal o exponencial.
Lo importante es identificar si el aumento ocurre por suma constante o por multiplicación constante.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un estanque contiene 500 litros de agua y se llena a razón de 25 litros por minuto.
Completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es 500 litros y cada minuto se suman 25 litros.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Cantidad de agua (litros) |
|---|---|---|
| 0 | \(500\) | 500 |
| 1 | \(500+25\) | 525 |
| 2 | \(500+25\cdot 2\) | 550 |
| 3 | \(500+25\cdot 3\) | 575 |
Como se suma siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
La función es:
\[ A(t)=500+25t \]
Ejercicio 2
Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto.
Completa la tabla y escribe la función que modela la altura en función del tiempo.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La altura inicial es 800 metros y cada minuto disminuye 40 metros.
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Altura (metros) |
|---|---|---|
| 0 | \(800\) | 800 |
| 1 | \(800-40\) | 760 |
| 2 | \(800-40\cdot 2\) | 720 |
| 3 | \(800-40\cdot 3\) | 680 |
Como se resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
La función es:
\[ H(t)=800-40t \]
Ejercicio 3
Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La población inicial es 5 y cada año se multiplica por 3.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | \(5\) | 5 |
| 1 | \(5\cdot 3\) | 15 |
| 2 | \(5\cdot 3^2\) | 45 |
| 3 | \(5\cdot 3^3\) | 135 |
Como se multiplica siempre por el mismo factor, el modelo es exponencial.
La función es:
\[ P(t)=5\cdot 3^t \]
Ejercicio 4
Indica si cada situación corresponde a crecimiento lineal o crecimiento exponencial. Justifica brevemente.
| Situación | Tipo de crecimiento |
|---|---|
| Un ahorro aumenta $20.000 cada mes. | |
| Una población se duplica cada hora. | |
| Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año. | |
| Una inversión se multiplica por \(1,05\) cada año. |
| Situación | Tipo de crecimiento | Justificación |
|---|---|---|
| Un ahorro aumenta $20.000 cada mes. | Lineal | Se suma siempre la misma cantidad. |
| Una población se duplica cada hora. | Exponencial | Se multiplica siempre por 2. |
| Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año. | Lineal | Se suma siempre la misma cantidad. |
| Una inversión se multiplica por \(1,05\) cada año. | Exponencial | Se multiplica siempre por el mismo factor. |
Ejercicio 5
Dos estudiantes comienzan con $10.000.
Camila suma $5.000 cada semana. Diego duplica su dinero cada semana.
Completa la tabla y responde: ¿quién tiene más dinero después de 4 semanas?
| Tiempo (semanas) | Camila: suma $5.000 | Diego: duplica |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
Camila tiene un crecimiento lineal, porque suma $5.000 cada semana.
Diego tiene un crecimiento exponencial, porque multiplica por 2 cada semana.
| Tiempo (semanas) | Camila: \(C(t)=10000+5000t\) | Diego: \(D(t)=10000\cdot 2^t\) |
|---|---|---|
| 0 | 10000 | 10000 |
| 1 | 15000 | 20000 |
| 2 | 20000 | 40000 |
| 3 | 25000 | 80000 |
| 4 | 30000 | 160000 |
Después de 4 semanas, Diego tiene más dinero.
Cierre
La clave para diferenciar ambos modelos es observar el tipo de cambio.
Si el cambio ocurre sumando o restando una cantidad fija, el modelo es lineal. Si el cambio ocurre multiplicando por un factor constante, el modelo es exponencial.
2. Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante
Objetivos
- Reconocer situaciones de crecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante.
- Construir tablas de valores para representar crecimiento exponencial.
- Escribir y evaluar funciones de la forma \(f(t)=a\cdot b^t\), con \(b>1\).
- Interpretar el factor de crecimiento en situaciones con porcentajes, duplicación o triplicación.
Idea central
El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.
A diferencia del crecimiento lineal, aquí no se suma siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un valor constante.
Modelo de crecimiento exponencial
Una función de crecimiento exponencial se puede escribir como:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
- \(a\): cantidad inicial.
- \(b\): factor de crecimiento.
- \(t\): tiempo o número de períodos.
Para que exista crecimiento exponencial, se cumple:
\[ b>1 \]
Cómo reconocer el factor de crecimiento
El factor de crecimiento indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.
| Situación | Factor de crecimiento | Ejemplo de modelo |
|---|---|---|
| Se duplica | \(2\) | \(f(t)=a\cdot 2^t\) |
| Se triplica | \(3\) | \(f(t)=a\cdot 3^t\) |
| Aumenta un \(10\%\) | \(1,10\) | \(f(t)=a\cdot 1,10^t\) |
| Aumenta un \(25\%\) | \(1,25\) | \(f(t)=a\cdot 1,25^t\) |
| Aumenta un \(50\%\) | \(1,50\) | \(f(t)=a\cdot 1,50^t\) |
Porcentajes y factor de crecimiento
Si una cantidad aumenta en una tasa \(r\), escrita en forma decimal, entonces el factor de crecimiento es:
\[ b=1+r \]
Por ejemplo, si una cantidad aumenta un \(20\%\), entonces:
\[ r=0,20 \]
Por lo tanto:
\[ b=1+0,20=1,20 \]
Ejemplo 1: población que se duplica
Una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(10\) | 10 |
| 1 | \(10\cdot 2\) | 20 |
| 2 | \(10\cdot 2^2\) | 40 |
| 3 | \(10\cdot 2^3\) | 80 |
| 4 | \(10\cdot 2^4\) | 160 |
La cantidad inicial es \(10\) y el factor de crecimiento es \(2\).
La función que modela esta situación es:
\[ P(t)=10\cdot 2^t \]
Ejemplo 2: inversión con interés compuesto anual
Una inversión inicial de $1000 aumenta un \(10\%\) anual.
Como aumenta un \(10\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,10=1,10 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(1000\) | 1000 |
| 1 | \(1000\cdot 1,10\) | 1100 |
| 2 | \(1000\cdot 1,10^2\) | 1210 |
| 3 | \(1000\cdot 1,10^3\) | 1331 |
| 4 | \(1000\cdot 1,10^4\) | 1464,1 |
La función que modela el valor de la inversión es:
\[ V(t)=1000\cdot 1,10^t \]
Ejemplo 3: aumento porcentual
Una población de insectos comienza con 500 individuos y aumenta un \(15\%\) mensual.
Primero transformamos la tasa porcentual en factor:
\[ b=1+0,15=1,15 \]
Entonces, el modelo es:
\[ I(t)=500\cdot 1,15^t \]
Después de 4 meses:
\[ I(4)=500\cdot 1,15^4 \]
\[ I(4)=500\cdot 1,74900625=874,503125 \]
Por lo tanto, después de 4 meses habrá aproximadamente \(875\) insectos.
Error común
Si una cantidad aumenta un \(20\%\), no se multiplica por \(20\).
Se multiplica por:
\[ 1+0,20=1,20 \]
Por eso, un aumento del \(20\%\) se representa con factor \(1,20\).
Cuando el intervalo de tiempo no es 1
A veces el crecimiento ocurre cada cierta cantidad de tiempo. En ese caso, el exponente debe contar cuántos períodos de crecimiento han ocurrido.
Por ejemplo, si una población aumenta un \(25\%\) cada 2 horas, entonces el factor es \(1,25\), pero el exponente no es \(t\), sino \(\frac{t}{2}\), porque cada período dura 2 horas.
El modelo sería:
\[ P(t)=a\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]
donde \(t\) se mide en horas.
Ejemplo 4: crecimiento cada 2 horas
Un cultivo de células comienza con 100 células y aumenta un \(25\%\) cada 2 horas.
El factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,25=1,25 \]
Como el crecimiento ocurre cada 2 horas, el modelo es:
\[ C(t)=100\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]
Después de 6 horas han ocurrido:
\[ \frac{6}{2}=3 \]
períodos de crecimiento.
Entonces:
\[ C(6)=100\cdot 1,25^3 \]
\[ C(6)=100\cdot 1,953125=195,3125 \]
Después de 6 horas habrá aproximadamente \(195\) células.
Ejercicios
Ejercicios con tabla
Ejercicio 1
Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es \(5\) y cada año se multiplica por \(3\).
| Tiempo (años) | Cálculo | Población de conejos |
|---|---|---|
| 0 | \(5\) | 5 |
| 1 | \(5\cdot 3\) | 15 |
| 2 | \(5\cdot 3^2\) | 45 |
| 3 | \(5\cdot 3^3\) | 135 |
La función es:
\[ P(t)=5\cdot 3^t \]
Ejercicio 2
Una inversión inicial de $2000 aumenta un \(6\%\) anual. Completa la tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión.
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Como la inversión aumenta un \(6\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,06=1,06 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor de la inversión ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(2000\) | 2000 |
| 1 | \(2000\cdot 1,06\) | 2120 |
| 2 | \(2000\cdot 1,06^2\) | 2247,2 |
| 3 | \(2000\cdot 1,06^3\) | 2382,032 |
La función es:
\[ V(t)=2000\cdot 1,06^t \]
Ejercicios sin tabla
Ejercicio 3
Una población de insectos crece a una tasa del \(15\%\) mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?
La cantidad inicial es \(500\).
Como aumenta un \(15\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,15=1,15 \]
El modelo es:
\[ I(t)=500\cdot 1,15^t \]
Después de 4 meses:
\[ I(4)=500\cdot 1,15^4 \]
\[ I(4)=500\cdot 1,74900625=874,503125 \]
Por lo tanto, después de 4 meses habrá aproximadamente \(875\) insectos.
Ejercicio 4
Una población de bacterias comienza con 1000 bacterias y se triplica cada 5 horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de 15 horas?
La cantidad inicial es \(1000\) y el factor de crecimiento es \(3\).
Como la población se triplica cada 5 horas, después de 15 horas han pasado:
\[ \frac{15}{5}=3 \]
períodos de crecimiento.
Entonces:
\[ B(15)=1000\cdot 3^3 \]
\[ B(15)=1000\cdot 27=27000 \]
Después de 15 horas habrá \(27000\) bacterias.
Ejercicio 5
Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del \(4\%\) anual. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?
La cantidad inicial es \(3000\).
Como aumenta un \(4\%\) anual, el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,04=1,04 \]
El modelo es:
\[ C(t)=3000\cdot 1,04^t \]
Después de 5 años:
\[ C(5)=3000\cdot 1,04^5 \]
\[ C(5)=3000\cdot 1,2166529024=3649,9587072 \]
Después de 5 años habrá aproximadamente $3650.
Ejercicio 6
El valor de una obra de arte es de $8000 y aumenta un \(7\%\) cada año. ¿Cuál será su valor estimado después de 6 años?
La cantidad inicial es \(8000\).
Como aumenta un \(7\%\) anual, el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0,07=1,07 \]
El modelo es:
\[ V(t)=8000\cdot 1,07^t \]
Después de 6 años:
\[ V(6)=8000\cdot 1,07^6 \]
\[ V(6)=8000\cdot 1,500730351849=12005,842814792 \]
Después de 6 años, el valor estimado será aproximadamente $12006.
Ejercicios de identificación
Ejercicio 7
Indica el factor de crecimiento en cada caso.
| Situación | Factor de crecimiento |
|---|---|
| Una cantidad se duplica. | |
| Una cantidad se triplica. | |
| Una cantidad aumenta un \(8\%\). | |
| Una cantidad aumenta un \(30\%\). |
| Situación | Factor de crecimiento |
|---|---|
| Una cantidad se duplica. | \(2\) |
| Una cantidad se triplica. | \(3\) |
| Una cantidad aumenta un \(8\%\). | \(1+0,08=1,08\) |
| Una cantidad aumenta un \(30\%\). | \(1+0,30=1,30\) |
Ejercicio 8
Escribe una función exponencial para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora. | |
| Una inversión inicial de $5000 aumenta un \(12\%\) anual. | |
| Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora. | \(P(t)=40\cdot 2^t\) |
| Una inversión inicial de $5000 aumenta un \(12\%\) anual. | \(V(t)=5000\cdot 1,12^t\) |
| Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día. | \(C(t)=200\cdot 3^t\) |
Cierre
En el crecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor.
La forma general del modelo es:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
Cuando \(b>1\), la función representa crecimiento exponencial.
3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa
Decrecimiento exponencial: la disminución multiplicativa
Objetivos
- Reconocer situaciones de decrecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.
- Construir tablas de valores para representar decrecimiento exponencial.
- Escribir y evaluar funciones de la forma \(f(t)=a\cdot b^t\), con \(0<b<1\).
- Interpretar el factor de disminución en situaciones con porcentajes, vida media y depreciación.
Idea central
El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.
No se resta siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.
Modelo de decrecimiento exponencial
Una función de decrecimiento exponencial se puede escribir como:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
- \(a\): cantidad inicial.
- \(b\): factor de disminución.
- \(t\): tiempo o número de períodos.
Para que exista decrecimiento exponencial, se cumple:
\[ 0<b<1 \]
Cómo reconocer el factor de disminución
El factor de disminución indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.
| Situación | Factor de disminución | Ejemplo de modelo |
|---|---|---|
| Se reduce a la mitad | \(0,5\) | \(f(t)=a\cdot 0,5^t\) |
| Disminuye un \(10\%\) | \(0,90\) | \(f(t)=a\cdot 0,90^t\) |
| Disminuye un \(20\%\) | \(0,80\) | \(f(t)=a\cdot 0,80^t\) |
| Disminuye un \(25\%\) | \(0,75\) | \(f(t)=a\cdot 0,75^t\) |
| Disminuye un \(40\%\) | \(0,60\) | \(f(t)=a\cdot 0,60^t\) |
Porcentajes y factor de disminución
Si una cantidad disminuye en una tasa \(r\), escrita en forma decimal, entonces el factor de disminución es:
\[ b=1-r \]
Por ejemplo, si una cantidad disminuye un \(20\%\), entonces:
\[ r=0,20 \]
Por lo tanto:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
Ejemplo 1: sustancia radioactiva
Una sustancia radioactiva tiene inicialmente 64 gramos y se reduce a la mitad cada hora.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad (gramos) |
|---|---|---|
| 0 | \(64\) | 64 |
| 1 | \(64\cdot 0,5\) | 32 |
| 2 | \(64\cdot 0,5^2\) | 16 |
| 3 | \(64\cdot 0,5^3\) | 8 |
| 4 | \(64\cdot 0,5^4\) | 4 |
| 5 | \(64\cdot 0,5^5\) | 2 |
| 6 | \(64\cdot 0,5^6\) | 1 |
La cantidad inicial es \(64\) y el factor de disminución es \(0,5\).
La función que modela esta situación es:
\[ C(t)=64\cdot 0,5^t \]
Ejemplo 2: depreciación de un activo
Un automóvil tiene un valor inicial de $30.000 y se deprecia un \(20\%\) cada año.
Como disminuye un \(20\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
| Tiempo (años) | Cálculo | Valor del auto ($) |
|---|---|---|
| 0 | \(30000\) | 30000 |
| 1 | \(30000\cdot 0,80\) | 24000 |
| 2 | \(30000\cdot 0,80^2\) | 19200 |
| 3 | \(30000\cdot 0,80^3\) | 15360 |
| 4 | \(30000\cdot 0,80^4\) | 12288 |
La función que modela el valor del auto es:
\[ V(t)=30000\cdot 0,80^t \]
Ejemplo 3: disminución cada cierto intervalo de tiempo
Una taza de café tiene una temperatura inicial de \(90^\circ C\) y disminuye un \(15\%\) cada 5 minutos.
Como disminuye un \(15\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,15=0,85 \]
Como la disminución ocurre cada 5 minutos, el exponente debe contar cuántos períodos de 5 minutos han ocurrido:
\[ T(t)=90\cdot 0,85^{\frac{t}{5}} \]
| Tiempo (minutos) | Cálculo | Temperatura \((^\circ C)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(90\) | 90 |
| 5 | \(90\cdot 0,85\) | 76,5 |
| 10 | \(90\cdot 0,85^2\) | 65,025 |
| 15 | \(90\cdot 0,85^3\) | 55,271 |
| 20 | \(90\cdot 0,85^4\) | 46,981 |
Error común
Si una cantidad disminuye un \(20\%\), no se multiplica por \(20\) ni por \(0,20\).
Se multiplica por:
\[ 1-0,20=0,80 \]
El \(0,20\) representa la parte que se pierde. El \(0,80\) representa la parte que queda.
Vida media
La vida media es el tiempo que tarda una cantidad en reducirse a la mitad.
Si una sustancia tiene vida media de 8 horas, entonces cada 8 horas queda la mitad de la cantidad anterior.
En ese caso, el factor de disminución es \(0,5\), pero el exponente debe considerar períodos de 8 horas:
\[ C(t)=a\cdot 0,5^{\frac{t}{8}} \]
Ejercicios
Ejercicios con tabla
Ejercicio 1
Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100.000 bacterias, completa la tabla y escribe la función que modela la población.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
La cantidad inicial es \(100000\) y cada hora se multiplica por \(0,5\).
| Tiempo (horas) | Cálculo | Población de bacterias |
|---|---|---|
| 0 | \(100000\) | 100000 |
| 1 | \(100000\cdot 0,5\) | 50000 |
| 2 | \(100000\cdot 0,5^2\) | 25000 |
| 3 | \(100000\cdot 0,5^3\) | 12500 |
La función es:
\[ P(t)=100000\cdot 0,5^t \]
Ejercicio 2
Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un \(25\%\) cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento.
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 8 | ||
| 12 |
Como el medicamento se reduce en un \(25\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,25=0,75 \]
| Tiempo (horas) | Cálculo | Cantidad de medicamento (mg) |
|---|---|---|
| 0 | \(50\) | 50 |
| 4 | \(50\cdot 0,75\) | 37,5 |
| 8 | \(50\cdot 0,75^2\) | 28,125 |
| 12 | \(50\cdot 0,75^3\) | 21,094 |
Como la disminución ocurre cada 4 horas, si \(t\) se mide en horas, la función es:
\[ M(t)=50\cdot 0,75^{\frac{t}{4}} \]
Ejercicios sin tabla
Ejercicio 3
La vida media de un isótopo radioactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?
Vida media significa que la cantidad se reduce a la mitad en cada período.
Como la vida media es de 8 horas, después de 24 horas han ocurrido:
\[ \frac{24}{8}=3 \]
períodos de vida media.
Entonces:
\[ C(24)=120\cdot 0,5^3 \]
\[ C(24)=120\cdot 0,125=15 \]
Después de 24 horas quedarán \(15\) gramos.
Ejercicio 4
Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del \(20\%\) cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?
Como el medicamento disminuye un \(20\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,20=0,80 \]
El modelo es:
\[ M(t)=10\cdot 0,80^t \]
Después de 5 horas:
\[ M(5)=10\cdot 0,80^5 \]
\[ M(5)=10\cdot 0,32768=3,2768 \]
Después de 5 horas quedarán aproximadamente \(3,28\) mg.
Ejercicio 5
Una población de aves disminuye un \(5\%\) cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?
Como la población disminuye un \(5\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,05=0,95 \]
El modelo es:
\[ P(t)=2000\cdot 0,95^t \]
Después de 7 años:
\[ P(7)=2000\cdot 0,95^7 \]
\[ P(7)=2000\cdot 0,6983372961=1396,6745922 \]
Después de 7 años habrá aproximadamente \(1397\) aves.
Ejercicio 6
Un activo se deprecia a una tasa del \(15\%\) anual. Si su valor inicial era de $50.000, ¿cuál será su valor después de 4 años?
Como el activo disminuye un \(15\%\), el factor de disminución es:
\[ b=1-0,15=0,85 \]
El modelo es:
\[ V(t)=50000\cdot 0,85^t \]
Después de 4 años:
\[ V(4)=50000\cdot 0,85^4 \]
\[ V(4)=50000\cdot 0,52200625=26100,3125 \]
Después de 4 años, su valor será aproximadamente $26.100.
Ejercicios de identificación
Ejercicio 7
Indica el factor de disminución en cada caso.
| Situación | Factor de disminución |
|---|---|
| Una cantidad se reduce a la mitad. | |
| Una cantidad disminuye un \(8\%\). | |
| Una cantidad disminuye un \(30\%\). | |
| Una cantidad conserva el \(72\%\) de su valor en cada período. |
| Situación | Factor de disminución |
|---|---|
| Una cantidad se reduce a la mitad. | \(0,5\) |
| Una cantidad disminuye un \(8\%\). | \(1-0,08=0,92\) |
| Una cantidad disminuye un \(30\%\). | \(1-0,30=0,70\) |
| Una cantidad conserva el \(72\%\) de su valor en cada período. | \(0,72\) |
Ejercicio 8
Escribe una función exponencial para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora. | |
| Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año. | |
| Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora. | \(C(t)=80\cdot 0,5^t\) |
| Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año. | \(V(t)=12000000\cdot 0,90^t\) |
| Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas. | \(M(t)=40\cdot 0,60^{\frac{t}{3}}\) |
Cierre
En el decrecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor entre 0 y 1.
La forma general del modelo es:
\[ f(t)=a\cdot b^t \]
Cuando \(0<b<1\), la función representa decrecimiento exponencial.
4. Síntesis final: crecimiento lineal, crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial
Objetivos
- Comparar modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.
- Identificar el tipo de cambio presente en una situación o tabla de valores.
- Escribir funciones simples para modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento.
- Resolver problemas integradores sin usar logaritmos, mediante tablas, sustitución directa o potencias reconocibles.
Idea de cierre
En esta unidad se trabajaron situaciones donde una cantidad cambia con el tiempo.
La clave para identificar el modelo es observar cómo cambia la cantidad en cada período:
- Si se suma o resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
- Si se multiplica siempre por un mismo factor mayor que 1, el modelo es exponencial creciente.
- Si se multiplica siempre por un mismo factor entre 0 y 1, el modelo es exponencial decreciente.
Resumen de modelos
| Tipo de modelo | Forma general | Condición principal | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Crecimiento lineal | \(f(t)=a+ct\) | \(c>0\) | Se suma una cantidad fija. |
| Decrecimiento lineal | \(f(t)=a-ct\) | \(c>0\) | Se resta una cantidad fija. |
| Crecimiento exponencial | \(f(t)=a\cdot b^t\) | \(b>1\) | Se multiplica por un factor mayor que 1. |
| Decrecimiento exponencial | \(f(t)=a\cdot b^t\) | \(0<b<1\) | Se multiplica por un factor entre 0 y 1. |
Procedimiento para resolver problemas
- Identifica la cantidad inicial.
- Determina si el cambio ocurre por suma, resta o multiplicación.
- Escribe el modelo correspondiente.
- Reemplaza el valor de \(t\) cuando se pida calcular una cantidad.
- Interpreta el resultado según el contexto del problema.
Ejemplo 1: reconocer modelos desde una tabla
Observa las siguientes tablas:
| Tiempo | Tabla A | Tabla B | Tabla C |
|---|---|---|---|
| 0 | 100 | 100 | 100 |
| 1 | 130 | 130 | 80 |
| 2 | 160 | 169 | 64 |
| 3 | 190 | 219,7 | 51,2 |
En la tabla A, los valores aumentan sumando \(30\). Por lo tanto, es un crecimiento lineal.
En la tabla B, los valores se multiplican por \(1{,}3\). Por lo tanto, es un crecimiento exponencial.
En la tabla C, los valores se multiplican por \(0{,}8\). Por lo tanto, es un decrecimiento exponencial.
Ejemplo 2: escribir y evaluar un modelo exponencial
Una inversión inicial de $2000 aumenta un \(12\%\) anual. ¿Cuál será su valor después de 3 años?
Como aumenta un \(12\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0{,}12=1{,}12 \]
El modelo es:
\[ V(t)=2000\cdot 1{,}12^t \]
Después de 3 años:
\[ V(3)=2000\cdot 1{,}12^3 \]
\[ V(3)=2000\cdot 1{,}404928=2809{,}856 \]
Después de 3 años, la inversión tendrá un valor aproximado de $2810.
Ejemplo 3: vida media
Una sustancia tiene 96 gramos inicialmente y se reduce a la mitad cada 6 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 18 horas?
Como se reduce a la mitad, el factor de disminución es \(0{,}5\).
Después de 18 horas han ocurrido:
\[ \frac{18}{6}=3 \]
períodos de vida media.
Entonces:
\[ C(18)=96\cdot 0{,}5^3 \]
\[ C(18)=96\cdot 0{,}125=12 \]
Después de 18 horas quedarán \(12\) gramos.
Errores comunes
- Confundir aumentar un \(20\%\) con multiplicar por \(20\). Lo correcto es multiplicar por \(1{,}20\).
- Confundir disminuir un \(20\%\) con multiplicar por \(0{,}20\). Lo correcto es multiplicar por \(0{,}80\).
- Usar un modelo lineal cuando la situación indica duplicar, triplicar o conservar un porcentaje.
- Olvidar que si el cambio ocurre cada cierto intervalo, el exponente debe contar cuántos períodos han pasado.
Ejercicios integradores
Ejercicio 1
Clasifica cada situación como crecimiento lineal, decrecimiento lineal, crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial.
| Situación | Clasificación |
|---|---|
| Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes. | |
| Una población de bacterias se duplica cada hora. | |
| Un medicamento conserva el \(70\%\) de su cantidad cada hora. | |
| Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto. | |
| Una inversión aumenta un \(8\%\) anual. | |
| Una máquina pierde el \(12\%\) de su valor cada año. |
| Situación | Clasificación | Justificación |
|---|---|---|
| Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes. | Crecimiento lineal | Se suma una cantidad fija. |
| Una población de bacterias se duplica cada hora. | Crecimiento exponencial | Se multiplica por \(2\). |
| Un medicamento conserva el \(70\%\) de su cantidad cada hora. | Decrecimiento exponencial | Se multiplica por \(0{,}70\). |
| Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto. | Decrecimiento lineal | Se resta una cantidad fija. |
| Una inversión aumenta un \(8\%\) anual. | Crecimiento exponencial | Se multiplica por \(1{,}08\). |
| Una máquina pierde el \(12\%\) de su valor cada año. | Decrecimiento exponencial | Se multiplica por \(0{,}88\). |
Ejercicio 2
Identifica el tipo de modelo representado en cada tabla.
| Tiempo | Tabla A | Tabla B | Tabla C |
|---|---|---|---|
| 0 | 50 | 80 | 200 |
| 1 | 65 | 160 | 160 |
| 2 | 80 | 320 | 128 |
| 3 | 95 | 640 | 102,4 |
Tabla A: los valores aumentan sumando \(15\):
\[ 50,\ 65,\ 80,\ 95 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento lineal.
Tabla B: los valores se multiplican por \(2\):
\[ 80,\ 160,\ 320,\ 640 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento exponencial.
Tabla C: los valores se multiplican por \(0{,}8\):
\[ 200,\ 160,\ 128,\ 102{,}4 \]
Por lo tanto, corresponde a un decrecimiento exponencial.
Ejercicio 3
Escribe una función para cada situación.
| Situación | Función |
|---|---|
| Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes. | |
| Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora. | |
| Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un \(15\%\) de su valor cada año. | |
| Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas. |
| Situación | Función |
|---|---|
| Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes. | \(A(t)=40000+6000t\) |
| Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora. | \(P(t)=120\cdot 2^t\) |
| Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un \(15\%\) de su valor cada año. | \(V(t)=9000000\cdot 0{,}85^t\) |
| Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas. | \(C(t)=64\cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) |
Ejercicio 4
Una población de peces en una laguna aumenta un \(10\%\) cada año. Si inicialmente hay 500 peces, ¿cuántos habrá aproximadamente después de 4 años?
Como la población aumenta un \(10\%\), el factor de crecimiento es:
\[ b=1+0{,}10=1{,}10 \]
El modelo es:
\[ P(t)=500\cdot 1{,}10^t \]
Después de 4 años:
\[ P(4)=500\cdot 1{,}10^4 \]
\[ P(4)=500\cdot 1{,}4641=732{,}05 \]
Después de 4 años habrá aproximadamente \(732\) peces.
Ejercicio 5
Una sustancia comienza con 160 gramos y se reduce a la mitad cada 5 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 20 horas?
La cantidad inicial es \(160\) gramos y el factor de disminución es \(0{,}5\).
Después de 20 horas han ocurrido:
\[ \frac{20}{5}=4 \]
períodos de reducción.
Entonces:
\[ C(20)=160\cdot 0{,}5^4 \]
\[ C(20)=160\cdot 0{,}0625=10 \]
Después de 20 horas quedarán \(10\) gramos.
Ejercicio 6
Dos estudiantes tienen inicialmente $20.000.
Antonia suma $5.000 cada semana. Benjamín aumenta su dinero en un \(25\%\) cada semana.
Completa la tabla y determina quién tiene más dinero después de 4 semanas.
| Tiempo (semanas) | Antonia | Benjamín |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
Antonia tiene un modelo lineal:
\[ A(t)=20000+5000t \]
Benjamín tiene un modelo exponencial:
\[ B(t)=20000\cdot 1{,}25^t \]
| Tiempo (semanas) | Antonia | Benjamín |
|---|---|---|
| 0 | 20000 | 20000 |
| 1 | 25000 | 25000 |
| 2 | 30000 | 31250 |
| 3 | 35000 | 39062,5 |
| 4 | 40000 | 48828,125 |
Después de 4 semanas, Benjamín tiene más dinero.
Ejercicio 7
Un medicamento se elimina del cuerpo conservando el \(80\%\) de su cantidad cada hora. Si inicialmente hay 50 mg, ¿cuánto medicamento quedará después de 3 horas?
Conservar el \(80\%\) significa multiplicar por \(0{,}80\) en cada hora.
El modelo es:
\[ M(t)=50\cdot 0{,}80^t \]
Después de 3 horas:
\[ M(3)=50\cdot 0{,}80^3 \]
\[ M(3)=50\cdot 0{,}512=25{,}6 \]
Después de 3 horas quedarán \(25{,}6\) mg.
Desafíos opcionales
Desafío 1
Una población inicial de 100 bacterias se duplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá 800 bacterias?
El modelo es:
\[ P(t)=100\cdot 2^t \]
Buscamos cuándo \(P(t)=800\):
\[ 100\cdot 2^t=800 \]
Dividimos por \(100\):
\[ 2^t=8 \]
Como:
\[ 8=2^3 \]
entonces:
\[ t=3 \]
Después de 3 horas habrá 800 bacterias.
Desafío 2
Una sustancia tiene inicialmente 128 gramos y se reduce a la mitad cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán 16 gramos?
El modelo es:
\[ C(t)=128\cdot 0{,}5^t \]
Probamos por períodos de reducción:
| Tiempo (horas) | Cantidad (gramos) |
|---|---|
| 0 | 128 |
| 1 | 64 |
| 2 | 32 |
| 3 | 16 |
Después de 3 horas quedarán 16 gramos.
Mapa de contenidos
Mapa general de decisión
Para decidir qué modelo usar, observa el tipo de cambio:
| Pregunta guía | Respuesta | Modelo |
|---|---|---|
| ¿La cantidad cambia sumando siempre lo mismo? | Sí | Lineal: \(f(t)=a+ct\) |
| ¿La cantidad cambia restando siempre lo mismo? | Sí | Lineal: \(f(t)=a-ct\) |
| ¿La cantidad se multiplica por un factor mayor que 1? | Sí | Exponencial creciente: \(f(t)=a\cdot b^t\) |
| ¿La cantidad se multiplica por un factor entre 0 y 1? | Sí | Exponencial decreciente: \(f(t)=a\cdot b^t\) |
Mapa de factores
| Situación | Factor | Tipo de modelo |
|---|---|---|
| Aumenta un \(r\%\) | \(1+\frac{r}{100}\) | Crecimiento exponencial |
| Disminuye un \(r\%\) | \(1-\frac{r}{100}\) | Decrecimiento exponencial |
| Se duplica | \(2\) | Crecimiento exponencial |
| Se triplica | \(3\) | Crecimiento exponencial |
| Se reduce a la mitad | \(0{,}5\) | Decrecimiento exponencial |
| Conserva el \(p\%\) | \(\frac{p}{100}\) | Decrecimiento exponencial si \(0<p<100\) |
Síntesis final
El crecimiento exponencial no significa simplemente “crecer mucho”. Significa crecer multiplicando por un mismo factor en cada período.
Del mismo modo, el decrecimiento exponencial no significa simplemente “disminuir”. Significa disminuir multiplicando por un mismo factor entre 0 y 1.
Por eso, antes de escribir una fórmula, siempre conviene preguntarse: ¿estoy sumando, restando o multiplicando?
5. mapa contenidos
Tipos de crecimiento: lineal y exponencial
Existen dos formas principales en que cambian las cantidades: sumando una cantidad fija (lineal) o multiplicando por un factor (exponencial).
Crecimiento lineal: suma constante
Crecimiento exponencial: multiplicación constante
Diagrama: tipos de crecimiento
Crecimiento lineal
En el crecimiento lineal, la cantidad cambia sumando o restando siempre el mismo valor.
\[ f(t) = valor\ inicial + (cambio \cdot t) \]
Ejemplo: ahorro
Si comienzas con $50 y ahorras $10 cada mes:
\[ f(t) = 50 + 10t \]
- Ahorro constante
- Velocidad constante
- Crecimiento uniforme
Crecimiento exponencial
En el crecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un mismo factor en cada período.
\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]