1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante

Crecimiento lineal y crecimiento exponencial: comparación inicial

Objetivos

Distinguir entre una situación que cambia por suma o resta constante y una situación que cambia por multiplicación constante.
Reconocer cuándo un modelo corresponde a crecimiento lineal y cuándo corresponde a crecimiento exponencial.
Completar tablas de valores y escribir funciones simples asociadas a situaciones de cambio.

Idea inicial

Antes de estudiar el crecimiento exponencial, conviene compararlo con el crecimiento lineal.

La diferencia principal está en cómo cambia la cantidad en cada período:

En el crecimiento lineal, se suma o se resta siempre la misma cantidad.
En el crecimiento exponencial, se multiplica siempre por el mismo factor.

Comparación fundamental

Tipo de cambio	Qué ocurre en cada período	Modelo general
Crecimiento lineal	Se suma una cantidad constante.	$f(t)=a+ct$
Decrecimiento lineal	Se resta una cantidad constante.	$f(t)=a-ct$
Crecimiento exponencial	Se multiplica por un factor constante mayor que 1.	$f(t)=a\cdot b^t,\ b>1$

En estos modelos, $a$ representa la cantidad inicial y $t$ representa el tiempo o número de períodos.

Ejemplo 1: sumar una cantidad constante

Supongamos que una persona comienza con $50 y ahorra $10 cada mes.

Tiempo (meses)	Cálculo	Cantidad ahorrada ($)
0	$50$	50
1	$50+10$	60
2	$50+10+10$	70
3	$50+10+10+10$	80
4	$50+10+10+10+10$	90

Como cada mes se suma siempre $10, el cambio es lineal.

La función que modela esta situación es:

\[ A(t)=50+10t \]

Ejemplo 2: multiplicar por un factor constante

Supongamos que una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	$10$	10
1	$10\cdot 2$	20
2	$10\cdot 2\cdot 2$	40
3	$10\cdot 2\cdot 2\cdot 2$	80
4	$10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$	160

Como cada hora la cantidad se multiplica por 2, el cambio es exponencial.

La función que modela esta situación es:

\[ P(t)=10\cdot 2^t \]

Cómo decidir si una situación es lineal o exponencial

Para reconocer el tipo de crecimiento, observa qué ocurre al pasar de un período al siguiente.

Si la diferencia entre valores consecutivos es constante, el modelo es lineal.
Si el cociente entre valores consecutivos es constante, el modelo es exponencial.

Ejemplo 3: comparar las dos formas de crecimiento

Comparemos dos cantidades que comienzan en 10.

Tiempo	Sumar 10 cada vez	Multiplicar por 2 cada vez
0	10	10
1	20	20
2	30	40
3	40	80
4	50	160

En el primer caso, la cantidad aumenta siempre en 10. En el segundo caso, la cantidad se duplica en cada período.

Error común

No basta con decir que una cantidad “aumenta” para saber si el crecimiento es lineal o exponencial.

Lo importante es identificar si el aumento ocurre por suma constante o por multiplicación constante.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un estanque contiene 500 litros de agua y se llena a razón de 25 litros por minuto.

Completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en función del tiempo.

Tiempo (minutos)	Cálculo	Cantidad de agua (litros)
0
1
2
3

La cantidad inicial es 500 litros y cada minuto se suman 25 litros.

Tiempo (minutos)	Cálculo	Cantidad de agua (litros)
0	$500$	500
1	$500+25$	525
2	$500+25\cdot 2$	550
3	$500+25\cdot 3$	575

Como se suma siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.

La función es:

\[ A(t)=500+25t \]

Ejercicio 2

Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto.

Completa la tabla y escribe la función que modela la altura en función del tiempo.

Tiempo (minutos)	Cálculo	Altura (metros)
0
1
2
3

La altura inicial es 800 metros y cada minuto disminuye 40 metros.

Tiempo (minutos)	Cálculo	Altura (metros)
0	$800$	800
1	$800-40$	760
2	$800-40\cdot 2$	720
3	$800-40\cdot 3$	680

Como se resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.

La función es:

\[ H(t)=800-40t \]

Ejercicio 3

Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población.

Tiempo (años)	Cálculo	Población de conejos
0
1
2
3

La población inicial es 5 y cada año se multiplica por 3.

Tiempo (años)	Cálculo	Población de conejos
0	$5$	5
1	$5\cdot 3$	15
2	$5\cdot 3^2$	45
3	$5\cdot 3^3$	135

Como se multiplica siempre por el mismo factor, el modelo es exponencial.

La función es:

\[ P(t)=5\cdot 3^t \]

Ejercicio 4

Indica si cada situación corresponde a crecimiento lineal o crecimiento exponencial. Justifica brevemente.

Situación	Tipo de crecimiento
Un ahorro aumenta $20.000 cada mes.
Una población se duplica cada hora.
Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año.
Una inversión se multiplica por $1,05$ cada año.

Situación	Tipo de crecimiento	Justificación
Un ahorro aumenta $20.000 cada mes.	Lineal	Se suma siempre la misma cantidad.
Una población se duplica cada hora.	Exponencial	Se multiplica siempre por 2.
Un trabajador recibe $50.000 más de sueldo cada año.	Lineal	Se suma siempre la misma cantidad.
Una inversión se multiplica por $1,05$ cada año.	Exponencial	Se multiplica siempre por el mismo factor.

Ejercicio 5

Dos estudiantes comienzan con $10.000.

Camila suma $5.000 cada semana. Diego duplica su dinero cada semana.

Completa la tabla y responde: ¿quién tiene más dinero después de 4 semanas?

Tiempo (semanas)	Camila: suma $5.000	Diego: duplica
0
1
2
3
4

Camila tiene un crecimiento lineal, porque suma $5.000 cada semana.

Diego tiene un crecimiento exponencial, porque multiplica por 2 cada semana.

Tiempo (semanas)	Camila: $C(t)=10000+5000t$	Diego: $D(t)=10000\cdot 2^t$
0	10000	10000
1	15000	20000
2	20000	40000
3	25000	80000
4	30000	160000

Después de 4 semanas, Diego tiene más dinero.

Cierre

La clave para diferenciar ambos modelos es observar el tipo de cambio.

Si el cambio ocurre sumando o restando una cantidad fija, el modelo es lineal. Si el cambio ocurre multiplicando por un factor constante, el modelo es exponencial.

2. Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante

Objetivos

Reconocer situaciones de crecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante.
Construir tablas de valores para representar crecimiento exponencial.
Escribir y evaluar funciones de la forma $f(t)=a\cdot b^t$, con $b>1$.
Interpretar el factor de crecimiento en situaciones con porcentajes, duplicación o triplicación.

Idea central

El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.

A diferencia del crecimiento lineal, aquí no se suma siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un valor constante.

Modelo de crecimiento exponencial

Una función de crecimiento exponencial se puede escribir como:

\[ f(t)=a\cdot b^t \]

$a$: cantidad inicial.
$b$: factor de crecimiento.
$t$: tiempo o número de períodos.

Para que exista crecimiento exponencial, se cumple:

\[ b>1 \]

Cómo reconocer el factor de crecimiento

El factor de crecimiento indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.

Situación	Factor de crecimiento	Ejemplo de modelo
Se duplica	$2$	$f(t)=a\cdot 2^t$
Se triplica	$3$	$f(t)=a\cdot 3^t$
Aumenta un $10\%$	$1,10$	$f(t)=a\cdot 1,10^t$
Aumenta un $25\%$	$1,25$	$f(t)=a\cdot 1,25^t$
Aumenta un $50\%$	$1,50$	$f(t)=a\cdot 1,50^t$

Porcentajes y factor de crecimiento

Si una cantidad aumenta en una tasa $r$, escrita en forma decimal, entonces el factor de crecimiento es:

\[ b=1+r \]

Por ejemplo, si una cantidad aumenta un $20\%$, entonces:

\[ r=0,20 \]

Por lo tanto:

\[ b=1+0,20=1,20 \]

Ejemplo 1: población que se duplica

Una población de bacterias comienza con 10 bacterias y se duplica cada hora.

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	$10$	10
1	$10\cdot 2$	20
2	$10\cdot 2^2$	40
3	$10\cdot 2^3$	80
4	$10\cdot 2^4$	160

La cantidad inicial es $10$ y el factor de crecimiento es $2$.

La función que modela esta situación es:

\[ P(t)=10\cdot 2^t \]

Ejemplo 2: inversión con interés compuesto anual

Una inversión inicial de $1000 aumenta un $10\%$ anual.

Como aumenta un $10\%$, el factor de crecimiento es:

\[ b=1+0,10=1,10 \]

Tiempo (años)	Cálculo	Valor de la inversión ($)
0	$1000$	1000
1	$1000\cdot 1,10$	1100
2	$1000\cdot 1,10^2$	1210
3	$1000\cdot 1,10^3$	1331
4	$1000\cdot 1,10^4$	1464,1

La función que modela el valor de la inversión es:

\[ V(t)=1000\cdot 1,10^t \]

Ejemplo 3: aumento porcentual

Una población de insectos comienza con 500 individuos y aumenta un $15\%$ mensual.

Primero transformamos la tasa porcentual en factor:

\[ b=1+0,15=1,15 \]

Entonces, el modelo es:

\[ I(t)=500\cdot 1,15^t \]

Después de 4 meses:

\[ I(4)=500\cdot 1,15^4 \]

\[ I(4)=500\cdot 1,74900625=874,503125 \]

Por lo tanto, después de 4 meses habrá aproximadamente $875$ insectos.

Error común

Si una cantidad aumenta un $20\%$, no se multiplica por $20$.

Se multiplica por:

\[ 1+0,20=1,20 \]

Por eso, un aumento del $20\%$ se representa con factor $1,20$.

Cuando el intervalo de tiempo no es 1

A veces el crecimiento ocurre cada cierta cantidad de tiempo. En ese caso, el exponente debe contar cuántos períodos de crecimiento han ocurrido.

Por ejemplo, si una población aumenta un $25\%$ cada 2 horas, entonces el factor es $1,25$, pero el exponente no es $t$, sino $\frac{t}{2}$, porque cada período dura 2 horas.

El modelo sería:

\[ P(t)=a\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]

donde $t$ se mide en horas.

Ejemplo 4: crecimiento cada 2 horas

Un cultivo de células comienza con 100 células y aumenta un $25\%$ cada 2 horas.

El factor de crecimiento es:

\[ b=1+0,25=1,25 \]

Como el crecimiento ocurre cada 2 horas, el modelo es:

\[ C(t)=100\cdot 1,25^{\frac{t}{2}} \]

Después de 6 horas han ocurrido:

\[ \frac{6}{2}=3 \]

períodos de crecimiento.

Entonces:

\[ C(6)=100\cdot 1,25^3 \]

\[ C(6)=100\cdot 1,953125=195,3125 \]

Después de 6 horas habrá aproximadamente $195$ células.

Ejercicios

Ejercicios con tabla

Ejercicio 1

Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.

Tiempo (años)	Cálculo	Población de conejos
0
1
2
3

La cantidad inicial es $5$ y cada año se multiplica por $3$.

Tiempo (años)	Cálculo	Población de conejos
0	$5$	5
1	$5\cdot 3$	15
2	$5\cdot 3^2$	45
3	$5\cdot 3^3$	135

La función es:

\[ P(t)=5\cdot 3^t \]

Ejercicio 2

Una inversión inicial de $2000 aumenta un $6\%$ anual. Completa la tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión.

Tiempo (años)	Cálculo	Valor de la inversión ($)
0
1
2
3

Como la inversión aumenta un $6\%$, el factor de crecimiento es:

\[ b=1+0,06=1,06 \]

Tiempo (años)	Cálculo	Valor de la inversión ($)
0	$2000$	2000
1	$2000\cdot 1,06$	2120
2	$2000\cdot 1,06^2$	2247,2
3	$2000\cdot 1,06^3$	2382,032

La función es:

\[ V(t)=2000\cdot 1,06^t \]

Ejercicios sin tabla

Ejercicio 3

Una población de insectos crece a una tasa del $15\%$ mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?

Ejercicio 4

Una población de bacterias comienza con 1000 bacterias y se triplica cada 5 horas. ¿Cuántas bacterias habrá después de 15 horas?

Ejercicio 5

Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del $4\%$ anual. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?

Ejercicio 6

El valor de una obra de arte es de $8000 y aumenta un $7\%$ cada año. ¿Cuál será su valor estimado después de 6 años?

Ejercicios de identificación

Ejercicio 7

Indica el factor de crecimiento en cada caso.

Situación	Factor de crecimiento
Una cantidad se duplica.
Una cantidad se triplica.
Una cantidad aumenta un $8\%$.
Una cantidad aumenta un $30\%$.

Situación	Factor de crecimiento
Una cantidad se duplica.	$2$
Una cantidad se triplica.	$3$
Una cantidad aumenta un $8\%$.	$1+0,08=1,08$
Una cantidad aumenta un $30\%$.	$1+0,30=1,30$

Ejercicio 8

Escribe una función exponencial para cada situación.

Situación	Función
Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora.
Una inversión inicial de $5000 aumenta un $12\%$ anual.
Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día.

Situación	Función
Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora.	$P(t)=40\cdot 2^t$
Una inversión inicial de $5000 aumenta un $12\%$ anual.	$V(t)=5000\cdot 1,12^t$
Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día.	$C(t)=200\cdot 3^t$

Cierre

En el crecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor.

La forma general del modelo es:

\[ f(t)=a\cdot b^t \]

Cuando $b>1$, la función representa crecimiento exponencial.

3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa

Decrecimiento exponencial: la disminución multiplicativa

Objetivos

Reconocer situaciones de decrecimiento exponencial como aquellas en que una cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.
Construir tablas de valores para representar decrecimiento exponencial.
Escribir y evaluar funciones de la forma $f(t)=a\cdot b^t$, con $0<b<1$.
Interpretar el factor de disminución en situaciones con porcentajes, vida media y depreciación.

Idea central

El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye multiplicándose por un mismo factor en cada período de tiempo.

No se resta siempre la misma cantidad. En cada paso, la cantidad se multiplica por un factor constante entre 0 y 1.

Modelo de decrecimiento exponencial

Una función de decrecimiento exponencial se puede escribir como:

\[ f(t)=a\cdot b^t \]

$a$: cantidad inicial.
$b$: factor de disminución.
$t$: tiempo o número de períodos.

Para que exista decrecimiento exponencial, se cumple:

\[ 0<b<1 \]

Cómo reconocer el factor de disminución

El factor de disminución indica por cuánto se multiplica la cantidad en cada período.

Situación	Factor de disminución	Ejemplo de modelo
Se reduce a la mitad	$0,5$	$f(t)=a\cdot 0,5^t$
Disminuye un $10\%$	$0,90$	$f(t)=a\cdot 0,90^t$
Disminuye un $20\%$	$0,80$	$f(t)=a\cdot 0,80^t$
Disminuye un $25\%$	$0,75$	$f(t)=a\cdot 0,75^t$
Disminuye un $40\%$	$0,60$	$f(t)=a\cdot 0,60^t$

Porcentajes y factor de disminución

Si una cantidad disminuye en una tasa $r$, escrita en forma decimal, entonces el factor de disminución es:

\[ b=1-r \]

Por ejemplo, si una cantidad disminuye un $20\%$, entonces:

\[ r=0,20 \]

Por lo tanto:

\[ b=1-0,20=0,80 \]

Ejemplo 1: sustancia radioactiva

Una sustancia radioactiva tiene inicialmente 64 gramos y se reduce a la mitad cada hora.

Tiempo (horas)	Cálculo	Cantidad (gramos)
0	$64$	64
1	$64\cdot 0,5$	32
2	$64\cdot 0,5^2$	16
3	$64\cdot 0,5^3$	8
4	$64\cdot 0,5^4$	4
5	$64\cdot 0,5^5$	2
6	$64\cdot 0,5^6$	1

La cantidad inicial es $64$ y el factor de disminución es $0,5$.

La función que modela esta situación es:

\[ C(t)=64\cdot 0,5^t \]

Ejemplo 2: depreciación de un activo

Un automóvil tiene un valor inicial de $30.000 y se deprecia un $20\%$ cada año.

Como disminuye un $20\%$, el factor de disminución es:

\[ b=1-0,20=0,80 \]

Tiempo (años)	Cálculo	Valor del auto ($)
0	$30000$	30000
1	$30000\cdot 0,80$	24000
2	$30000\cdot 0,80^2$	19200
3	$30000\cdot 0,80^3$	15360
4	$30000\cdot 0,80^4$	12288

La función que modela el valor del auto es:

\[ V(t)=30000\cdot 0,80^t \]

Ejemplo 3: disminución cada cierto intervalo de tiempo

Una taza de café tiene una temperatura inicial de $90^\circ C$ y disminuye un $15\%$ cada 5 minutos.

Como disminuye un $15\%$, el factor de disminución es:

\[ b=1-0,15=0,85 \]

Como la disminución ocurre cada 5 minutos, el exponente debe contar cuántos períodos de 5 minutos han ocurrido:

\[ T(t)=90\cdot 0,85^{\frac{t}{5}} \]

Tiempo (minutos)	Cálculo	Temperatura $(^\circ C)$
0	$90$	90
5	$90\cdot 0,85$	76,5
10	$90\cdot 0,85^2$	65,025
15	$90\cdot 0,85^3$	55,271
20	$90\cdot 0,85^4$	46,981

Error común

Si una cantidad disminuye un $20\%$, no se multiplica por $20$ ni por $0,20$.

Se multiplica por:

\[ 1-0,20=0,80 \]

El $0,20$ representa la parte que se pierde. El $0,80$ representa la parte que queda.

Vida media

La vida media es el tiempo que tarda una cantidad en reducirse a la mitad.

Si una sustancia tiene vida media de 8 horas, entonces cada 8 horas queda la mitad de la cantidad anterior.

En ese caso, el factor de disminución es $0,5$, pero el exponente debe considerar períodos de 8 horas:

\[ C(t)=a\cdot 0,5^{\frac{t}{8}} \]

Ejercicios

Ejercicios con tabla

Ejercicio 1

Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100.000 bacterias, completa la tabla y escribe la función que modela la población.

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0
1
2
3

La cantidad inicial es $100000$ y cada hora se multiplica por $0,5$.

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	$100000$	100000
1	$100000\cdot 0,5$	50000
2	$100000\cdot 0,5^2$	25000
3	$100000\cdot 0,5^3$	12500

La función es:

\[ P(t)=100000\cdot 0,5^t \]

Ejercicio 2

Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un $25\%$ cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento.

Tiempo (horas)	Cálculo	Cantidad de medicamento (mg)
0
4
8
12

Como el medicamento se reduce en un $25\%$, el factor de disminución es:

\[ b=1-0,25=0,75 \]

Tiempo (horas)	Cálculo	Cantidad de medicamento (mg)
0	$50$	50
4	$50\cdot 0,75$	37,5
8	$50\cdot 0,75^2$	28,125
12	$50\cdot 0,75^3$	21,094

Como la disminución ocurre cada 4 horas, si $t$ se mide en horas, la función es:

\[ M(t)=50\cdot 0,75^{\frac{t}{4}} \]

Ejercicios sin tabla

Ejercicio 3

La vida media de un isótopo radioactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?

Ejercicio 4

Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del $20\%$ cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?

Ejercicio 5

Una población de aves disminuye un $5\%$ cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?

Ejercicio 6

Un activo se deprecia a una tasa del $15\%$ anual. Si su valor inicial era de $50.000, ¿cuál será su valor después de 4 años?

Ejercicios de identificación

Ejercicio 7

Indica el factor de disminución en cada caso.

Situación	Factor de disminución
Una cantidad se reduce a la mitad.
Una cantidad disminuye un $8\%$.
Una cantidad disminuye un $30\%$.
Una cantidad conserva el $72\%$ de su valor en cada período.

Situación	Factor de disminución
Una cantidad se reduce a la mitad.	$0,5$
Una cantidad disminuye un $8\%$.	$1-0,08=0,92$
Una cantidad disminuye un $30\%$.	$1-0,30=0,70$
Una cantidad conserva el $72\%$ de su valor en cada período.	$0,72$

Ejercicio 8

Escribe una función exponencial para cada situación.

Situación	Función
Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora.
Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un $10\%$ de su valor cada año.
Una dosis inicial de 40 mg conserva el $60\%$ de su cantidad cada 3 horas.

Situación	Función
Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora.	$C(t)=80\cdot 0,5^t$
Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un $10\%$ de su valor cada año.	$V(t)=12000000\cdot 0,90^t$
Una dosis inicial de 40 mg conserva el $60\%$ de su cantidad cada 3 horas.	$M(t)=40\cdot 0,60^{\frac{t}{3}}$

Cierre

En el decrecimiento exponencial, la cantidad inicial se multiplica repetidamente por un mismo factor entre 0 y 1.

La forma general del modelo es:

\[ f(t)=a\cdot b^t \]

Cuando $0<b<1$, la función representa decrecimiento exponencial.

4. Síntesis final: crecimiento lineal, crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial

Objetivos

Comparar modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.
Identificar el tipo de cambio presente en una situación o tabla de valores.
Escribir funciones simples para modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento.
Resolver problemas integradores sin usar logaritmos, mediante tablas, sustitución directa o potencias reconocibles.

Idea de cierre

En esta unidad se trabajaron situaciones donde una cantidad cambia con el tiempo.

La clave para identificar el modelo es observar cómo cambia la cantidad en cada período:

Si se suma o resta siempre la misma cantidad, el modelo es lineal.
Si se multiplica siempre por un mismo factor mayor que 1, el modelo es exponencial creciente.
Si se multiplica siempre por un mismo factor entre 0 y 1, el modelo es exponencial decreciente.

Resumen de modelos

Tipo de modelo	Forma general	Condición principal	Interpretación
Crecimiento lineal	$f(t)=a+ct$	$c>0$	Se suma una cantidad fija.
Decrecimiento lineal	$f(t)=a-ct$	$c>0$	Se resta una cantidad fija.
Crecimiento exponencial	$f(t)=a\cdot b^t$	$b>1$	Se multiplica por un factor mayor que 1.
Decrecimiento exponencial	$f(t)=a\cdot b^t$	$0<b<1$	Se multiplica por un factor entre 0 y 1.

Procedimiento para resolver problemas

Identifica la cantidad inicial.
Determina si el cambio ocurre por suma, resta o multiplicación.
Escribe el modelo correspondiente.
Reemplaza el valor de $t$ cuando se pida calcular una cantidad.
Interpreta el resultado según el contexto del problema.

Ejemplo 1: reconocer modelos desde una tabla

Observa las siguientes tablas:

Tiempo	Tabla A	Tabla B	Tabla C
0	100	100	100
1	130	130	80
2	160	169	64
3	190	219,7	51,2

En la tabla A, los valores aumentan sumando $30$. Por lo tanto, es un crecimiento lineal.

En la tabla B, los valores se multiplican por $1{,}3$. Por lo tanto, es un crecimiento exponencial.

En la tabla C, los valores se multiplican por $0{,}8$. Por lo tanto, es un decrecimiento exponencial.

Ejemplo 2: escribir y evaluar un modelo exponencial

Una inversión inicial de $2000 aumenta un $12\%$ anual. ¿Cuál será su valor después de 3 años?

Como aumenta un $12\%$, el factor de crecimiento es:

\[ b=1+0{,}12=1{,}12 \]

El modelo es:

\[ V(t)=2000\cdot 1{,}12^t \]

Después de 3 años:

\[ V(3)=2000\cdot 1{,}12^3 \]

\[ V(3)=2000\cdot 1{,}404928=2809{,}856 \]

Después de 3 años, la inversión tendrá un valor aproximado de $2810.

Ejemplo 3: vida media

Una sustancia tiene 96 gramos inicialmente y se reduce a la mitad cada 6 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 18 horas?

Como se reduce a la mitad, el factor de disminución es $0{,}5$.

Después de 18 horas han ocurrido:

\[ \frac{18}{6}=3 \]

períodos de vida media.

Entonces:

\[ C(18)=96\cdot 0{,}5^3 \]

\[ C(18)=96\cdot 0{,}125=12 \]

Después de 18 horas quedarán $12$ gramos.

Errores comunes

Confundir aumentar un $20\%$ con multiplicar por $20$. Lo correcto es multiplicar por $1{,}20$.
Confundir disminuir un $20\%$ con multiplicar por $0{,}20$. Lo correcto es multiplicar por $0{,}80$.
Usar un modelo lineal cuando la situación indica duplicar, triplicar o conservar un porcentaje.
Olvidar que si el cambio ocurre cada cierto intervalo, el exponente debe contar cuántos períodos han pasado.

Ejercicios integradores

Ejercicio 1

Clasifica cada situación como crecimiento lineal, decrecimiento lineal, crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial.

Situación	Clasificación
Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes.
Una población de bacterias se duplica cada hora.
Un medicamento conserva el $70\%$ de su cantidad cada hora.
Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto.
Una inversión aumenta un $8\%$ anual.
Una máquina pierde el $12\%$ de su valor cada año.

Situación	Clasificación	Justificación
Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes.	Crecimiento lineal	Se suma una cantidad fija.
Una población de bacterias se duplica cada hora.	Crecimiento exponencial	Se multiplica por $2$.
Un medicamento conserva el $70\%$ de su cantidad cada hora.	Decrecimiento exponencial	Se multiplica por $0{,}70$.
Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto.	Decrecimiento lineal	Se resta una cantidad fija.
Una inversión aumenta un $8\%$ anual.	Crecimiento exponencial	Se multiplica por $1{,}08$.
Una máquina pierde el $12\%$ de su valor cada año.	Decrecimiento exponencial	Se multiplica por $0{,}88$.

Ejercicio 2

Identifica el tipo de modelo representado en cada tabla.

Tiempo	Tabla A	Tabla B	Tabla C
0	50	80	200
1	65	160	160
2	80	320	128
3	95	640	102,4

Ejercicio 3

Escribe una función para cada situación.

Situación	Función
Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes.
Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora.
Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un $15\%$ de su valor cada año.
Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas.

Situación	Función
Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes.	$A(t)=40000+6000t$
Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora.	$P(t)=120\cdot 2^t$
Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un $15\%$ de su valor cada año.	$V(t)=9000000\cdot 0{,}85^t$
Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas.	$C(t)=64\cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}$

Ejercicio 4

Una población de peces en una laguna aumenta un $10\%$ cada año. Si inicialmente hay 500 peces, ¿cuántos habrá aproximadamente después de 4 años?

Ejercicio 5

Una sustancia comienza con 160 gramos y se reduce a la mitad cada 5 horas. ¿Cuántos gramos quedarán después de 20 horas?

Ejercicio 6

Dos estudiantes tienen inicialmente $20.000.

Antonia suma $5.000 cada semana. Benjamín aumenta su dinero en un $25\%$ cada semana.

Completa la tabla y determina quién tiene más dinero después de 4 semanas.

Tiempo (semanas)	Antonia	Benjamín
0
1
2
3
4

Antonia tiene un modelo lineal:

\[ A(t)=20000+5000t \]

Benjamín tiene un modelo exponencial:

\[ B(t)=20000\cdot 1{,}25^t \]

Tiempo (semanas)	Antonia	Benjamín
0	20000	20000
1	25000	25000
2	30000	31250
3	35000	39062,5
4	40000	48828,125

Después de 4 semanas, Benjamín tiene más dinero.

Ejercicio 7

Un medicamento se elimina del cuerpo conservando el $80\%$ de su cantidad cada hora. Si inicialmente hay 50 mg, ¿cuánto medicamento quedará después de 3 horas?

Desafíos opcionales

Desafío 1

Una población inicial de 100 bacterias se duplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá 800 bacterias?

Desafío 2

Una sustancia tiene inicialmente 128 gramos y se reduce a la mitad cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán 16 gramos?

Tiempo (horas)	Cantidad (gramos)
0	128
1	64
2	32
3	16

Mapa de contenidos

Mapa general de decisión

Para decidir qué modelo usar, observa el tipo de cambio:

Pregunta guía	Respuesta	Modelo
¿La cantidad cambia sumando siempre lo mismo?	Sí	Lineal: $f(t)=a+ct$
¿La cantidad cambia restando siempre lo mismo?	Sí	Lineal: $f(t)=a-ct$
¿La cantidad se multiplica por un factor mayor que 1?	Sí	Exponencial creciente: $f(t)=a\cdot b^t$
¿La cantidad se multiplica por un factor entre 0 y 1?	Sí	Exponencial decreciente: $f(t)=a\cdot b^t$

Mapa de factores

Situación	Factor	Tipo de modelo
Aumenta un $r\%$	$1+\frac{r}{100}$	Crecimiento exponencial
Disminuye un $r\%$	$1-\frac{r}{100}$	Decrecimiento exponencial
Se duplica	$2$	Crecimiento exponencial
Se triplica	$3$	Crecimiento exponencial
Se reduce a la mitad	$0{,}5$	Decrecimiento exponencial
Conserva el $p\%$	$\frac{p}{100}$	Decrecimiento exponencial si $0<p<100$

Síntesis final

El crecimiento exponencial no significa simplemente “crecer mucho”. Significa crecer multiplicando por un mismo factor en cada período.

Del mismo modo, el decrecimiento exponencial no significa simplemente “disminuir”. Significa disminuir multiplicando por un mismo factor entre 0 y 1.

Por eso, antes de escribir una fórmula, siempre conviene preguntarse: ¿estoy sumando, restando o multiplicando?

5. mapa contenidos

Tipos de crecimiento: lineal y exponencial

💡 Idea clave

Existen dos formas principales en que cambian las cantidades: sumando una cantidad fija (lineal) o multiplicando por un factor (exponencial).

📐 Comparación fundamental

Crecimiento lineal: suma constante

Crecimiento exponencial: multiplicación constante

Diagrama: tipos de crecimiento

Crecimiento lineal

🤓 Concepto

En el crecimiento lineal, la cantidad cambia sumando o restando siempre el mismo valor.

📐 Modelo

\[ f(t) = valor\ inicial + (cambio \cdot t) \]

Ejemplo: ahorro

Si comienzas con $50 y ahorras $10 cada mes:

\[ f(t) = 50 + 10t \]

🌍 Aplicaciones

Ahorro constante
Velocidad constante
Crecimiento uniforme

Crecimiento exponencial

🤓 Concepto

En el crecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un mismo factor en cada período.

📐 Modelo

\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]

6. prueba v1

Instrucciones generales

Marca una sola alternativa por pregunta.
Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
Usa calculadora básica cuando sea necesario.
Cuando un resultado no sea entero, aproxima según la alternativa más cercana.
Usa coma decimal en tus cálculos, por ejemplo $1{,}08$ o $0{,}85$.
No se requiere el uso de logaritmos. Los desafíos finales se pueden resolver con potencias reconocibles o por tabla.
No se usa $\pi$ en esta evaluación.

Una cuenta de ahorro comienza con $40000$ pesos y aumenta $6000$ pesos cada mes. ¿Qué tipo de modelo representa esta situación?

Decrecimiento lineal
Crecimiento exponencial
Crecimiento lineal
Decrecimiento exponencial

Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay $100$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $4$ horas?

$1600$
$800$
$400$
$3200$

Un automóvil se deprecia un $15\%$ de su valor cada año. Si inicialmente vale $25000$ pesos, ¿cuál será su valor aproximado después de $3$ años?

$11250$ pesos
$18750$ pesos
$21250$ pesos
$15353$ pesos

Una inversión inicial de $4000$ pesos aumenta un $5\%$ anual. ¿Cuál es la función que modela el valor de la inversión después de $t$ años?

$V(t)=4000+0{,}05t$
$V(t)=4000\cdot 1{,}05^t$
$V(t)=4000\cdot 0{,}05^t$
$V(t)=4000+1{,}05t$

¿Cuál de las siguientes situaciones representa un decrecimiento exponencial?

Un estanque se llena a razón de $10$ litros por minuto.
Una ciudad aumenta en $1000$ habitantes cada año.
Un material radioactivo se reduce a la mitad cada $5$ años.
Un trabajador recibe un aumento fijo de sueldo cada mes.

La función $C(t)=100-4t$ representa la cantidad de agua, en litros, en un tanque después de $t$ minutos. ¿Qué tipo de modelo representa?

Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial
Crecimiento lineal
Decrecimiento lineal

La vida media de un isótopo radioactivo es de $10$ años. Si actualmente hay $50$ gramos, ¿cuántos gramos habrá después de $30$ años?

$6{,}25$ gramos
$12{,}5$ gramos
$25$ gramos
$16{,}67$ gramos

La función $P(t)=200\cdot 1{,}08^t$ representa el crecimiento de una población de insectos, donde $t$ está en meses. ¿Cuál es la tasa de crecimiento mensual?

$108\%$
$8\%$
$1{,}08\%$
$200\%$

Un globo aerostático se encuentra a $1200$ metros de altura y desciende $60$ metros por minuto. ¿Cuál es la función que modela su altura después de $t$ minutos?

$H(t)=1200+60t$
$H(t)=1200\cdot 0{,}60^t$
$H(t)=1200-60t$
$H(t)=1200\cdot 1{,}60^t$

Una población de aves disminuye un $3\%$ anual. Si actualmente hay $3000$ aves, ¿cuál es la función que modela la población después de $t$ años?

$P(t)=3000\cdot 0{,}03^t$
$P(t)=3000\cdot 0{,}97^t$
$P(t)=3000-3t$
$P(t)=3000\cdot 1{,}03^t$

Un tanque contiene $1000$ litros de agua y se vacía a razón de $20$ litros por minuto. ¿Cuántos litros quedarán después de $15$ minutos?

$700$ litros
$800$ litros
$300$ litros
$666{,}67$ litros

¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial?

$f(x)=100-5x$
$f(x)=100\cdot 0{,}95^x$
$f(x)=100+5x$
$f(x)=100\cdot 1{,}05^x$

La función $V(t)=5000\cdot 0{,}85^t$ representa el valor de un auto después de $t$ años. ¿Qué representa la base $0{,}85$?

El valor inicial del auto.
La tasa de depreciación anual.
El factor por el que se multiplica el valor del auto cada año.
El valor del auto después de $5$ años.

Un cultivo de bacterias crece un $20\%$ cada hora. Si inicialmente hay $500$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $3$ horas?

$600$
$720$
$864$
$1000$

Un material radioactivo tiene una vida media de $15$ años. Si actualmente hay $40$ gramos, ¿cuál es la función que modela la cantidad de material después de $t$ años?

$C(t)=40\cdot 0{,}5^{15t}$
$C(t)=40\cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}$
$C(t)=40-15t$
$C(t)=40\cdot 15^{0{,}5t}$

Un árbol mide actualmente $3$ metros y crece $10$ centímetros cada año. ¿Cuánto medirá después de $5$ años?

$3{,}5$ metros
$4$ metros
$8$ metros
$3{,}05$ metros

¿Cuál es la diferencia principal entre crecimiento exponencial y crecimiento lineal?

El crecimiento exponencial siempre es más lento que el lineal.
En el crecimiento exponencial se suma una cantidad fija y en el lineal se multiplica.
No hay diferencia entre ambos modelos.
En el crecimiento exponencial se multiplica por un factor constante y en el lineal se suma una cantidad fija.

¿Cuál de las siguientes secuencias puede representar un crecimiento exponencial?

$5,\ 10,\ 15,\ 20$
$5,\ 10,\ 20,\ 40$
$5,\ 7,\ 9,\ 11$
$5,\ 4,\ 3,\ 2$

Una población de bacterias se triplica cada $2$ horas. Si actualmente hay $500$ bacterias, ¿cuál es la función que modela la población después de $t$ horas?

$P(t)=500\cdot 2^t$
$P(t)=500\cdot 3^t$
$P(t)=500\cdot 3^{\frac{t}{2}}$
$P(t)=500+3t$

Una población inicial de $100$ bacterias se duplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá $800$ bacterias?

$3$ horas
$4$ horas
$6$ horas
$8$ horas

Una sustancia tiene inicialmente $128$ gramos y se reduce a la mitad cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán $16$ gramos?

$1$ hora
$2$ horas
$4$ horas
$3$ horas

7. pauta v1

Pauta de evaluación: Crecimiento exponencial y comparación con crecimiento lineal

Datos generales de corrección

Curso: 1° medio.
Tiempo: 70 minutos.
Total de preguntas: 21.
Puntaje por pregunta: 2 puntos.
Puntaje total: 42 puntos.
Porcentaje de aprobación: 60%.
Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Criterio de corrección

Respuesta del estudiante	Puntaje
Marca la alternativa correcta.	2 puntos
Marca una alternativa incorrecta.	0 puntos
No responde.	0 puntos
Marca más de una alternativa.	0 puntos

Distribución de habilidades evaluadas

Habilidad	Preguntas
Reconocer modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.	1, 5, 6, 12, 17, 18
Interpretar factores de crecimiento y decrecimiento.	8, 10, 13, 15
Escribir funciones asociadas a situaciones de cambio.	4, 9, 10, 15, 19
Calcular valores a partir de modelos lineales o exponenciales.	2, 3, 7, 11, 14, 16
Resolver desafíos simples mediante potencias reconocibles o tabla.	20, 21

Clave de respuestas

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	C	Crecimiento lineal, porque aumenta una cantidad fija cada mes.
2	A	$100\cdot 2^4=1600$.
3	D	$25000\cdot 0{,}85^3=15353{,}125$, aproximadamente $15353$ pesos.
4	B	Aumentar $5\%$ equivale a multiplicar por $1{,}05$: $V(t)=4000\cdot 1{,}05^t$.
5	C	Reducirse a la mitad cada cierto tiempo es decrecimiento exponencial.
6	D	$C(t)=100-4t$ resta una cantidad fija, por lo tanto es decrecimiento lineal.
7	A	$50\cdot 0{,}5^{30/10}=50\cdot 0{,}5^3=6{,}25$.
8	B	Si el factor es $1{,}08$, la tasa es $0{,}08=8\%$.
9	C	La altura disminuye $60$ metros por minuto: $H(t)=1200-60t$.
10	B	Disminuir $3\%$ significa conservar $97\%$, por eso $P(t)=3000\cdot 0{,}97^t$.
11	A	$1000-20\cdot 15=700$ litros.
12	D	Un crecimiento exponencial tiene base mayor que $1$: $100\cdot 1{,}05^x$.
13	C	La base $0{,}85$ es el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	C	$500\cdot 1{,}20^3=500\cdot 1{,}728=864$.
15	B	Si la vida media es $15$ años, el modelo es $C(t)=40\cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}$.
16	A	$10$ cm $=0{,}1$ m, entonces $3+0{,}1\cdot 5=3{,}5$ m.
17	D	En el crecimiento exponencial se multiplica por un factor constante; en el lineal se suma una cantidad fija.
18	B	La secuencia $5,\ 10,\ 20,\ 40$ multiplica por $2$ en cada paso.
19	C	Triplicar cada $2$ horas se modela con $P(t)=500\cdot 3^{\frac{t}{2}}$.
20	A	$100\cdot 2^t=800$, entonces $2^t=8=2^3$. Por lo tanto, $t=3$.
21	D	$128$, $64$, $32$, $16$. Después de $3$ horas quedan $16$ gramos.

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) C, 6) D, 7) A, 8) B, 9) C, 10) B, 11) A, 12) D, 13) C, 14) C, 15) B, 16) A, 17) D, 18) B, 19) C, 20) A, 21) D.

Conteo de alternativas correctas

A: 5 respuestas correctas.
B: 5 respuestas correctas.
C: 6 respuestas correctas.
D: 5 respuestas correctas.

8. prueba v2

Instrucciones generales

Marca una sola alternativa por pregunta.
Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
Usa calculadora básica cuando sea necesario.
Cuando un resultado no sea entero, aproxima según la alternativa más cercana.
Usa coma decimal en tus cálculos, por ejemplo $1{,}12$ o $0{,}94$.
No se requiere el uso de logaritmos. Los desafíos finales se pueden resolver con potencias reconocibles o por tabla.
No se usa $\pi$ en esta evaluación.

Una planta mide $18$ cm y aumenta $4$ cm cada semana. ¿Qué tipo de modelo representa esta situación?

Decrecimiento lineal
Crecimiento lineal
Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial

Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay $80$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $3$ horas?

$240$
$320$
$480$
$640$

Una bicicleta eléctrica se deprecia un $10\%$ de su valor cada año. Si inicialmente vale $120000$ pesos, ¿cuál será su valor después de $2$ años?

$97200$ pesos
$108000$ pesos
$96000$ pesos
$72000$ pesos

Una inversión inicial de $6000$ pesos aumenta un $7\%$ anual. ¿Cuál es la función que modela el valor de la inversión después de $t$ años?

$V(t)=6000+7t$
$V(t)=6000\cdot 0{,}07^t$
$V(t)=6000\cdot 1{,}07^t$
$V(t)=6000-0{,}07t$

¿Cuál de las siguientes situaciones representa un decrecimiento exponencial?

Un estanque aumenta $15$ litros de agua por minuto.
Un medicamento conserva el $75\%$ de su cantidad cada hora.
Una persona ahorra $5000$ pesos cada semana.
Un ascensor sube $3$ pisos por minuto.

La función $M(t)=250+30t$ representa una cantidad después de $t$ períodos. ¿Qué tipo de modelo representa?

Crecimiento lineal
Decrecimiento lineal
Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial

La vida media de una sustancia es de $12$ horas. Si inicialmente hay $96$ gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de $36$ horas?

$48$ gramos
$24$ gramos
$18$ gramos
$12$ gramos

La función $P(t)=150\cdot 1{,}12^t$ representa el crecimiento de una población, donde $t$ está en meses. ¿Cuál es la tasa de crecimiento mensual?

$112\%$
$1{,}12\%$
$12\%$
$150\%$

Un globo aerostático está a $900$ metros de altura y desciende $45$ metros por minuto. ¿Cuál es la función que modela su altura después de $t$ minutos?

$H(t)=900-45t$
$H(t)=900+45t$
$H(t)=900\cdot 0{,}45^t$
$H(t)=900\cdot 1{,}45^t$

Una población de aves disminuye un $6\%$ anual. Si actualmente hay $5000$ aves, ¿cuál es la función que modela la población después de $t$ años?

$P(t)=5000\cdot 0{,}06^t$
$P(t)=5000-6t$
$P(t)=5000\cdot 1{,}06^t$
$P(t)=5000\cdot 0{,}94^t$

Un tanque contiene $750$ litros de agua y se vacía a razón de $25$ litros por minuto. ¿Cuántos litros quedarán después de $10$ minutos?

$250$ litros
$500$ litros
$725$ litros
$1000$ litros

¿Cuál de las siguientes funciones representa un decrecimiento exponencial?

$f(x)=200+8x$
$f(x)=200-8x$
$f(x)=200\cdot 0{,}8^x$
$f(x)=200\cdot 1{,}8^x$

La función $A(t)=3000\cdot 1{,}18^t$ representa el valor de una inversión después de $t$ años. ¿Qué representa la base $1{,}18$?

El factor por el que se multiplica el valor cada año.
El valor inicial de la inversión.
La cantidad fija que se suma cada año.
El tiempo total de la inversión.

Un cultivo de bacterias crece un $30\%$ cada hora. Si inicialmente hay $200$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $2$ horas?

$260$
$338$
$320$
$460$

Un medicamento conserva el $60\%$ de su cantidad cada $4$ horas. Si inicialmente hay $30$ mg, ¿cuál es la función que modela la cantidad después de $t$ horas?

$M(t)=30\cdot 0{,}60^t$
$M(t)=30\cdot 1{,}60^{\frac{t}{4}}$
$M(t)=30-0{,}60t$
$M(t)=30\cdot 0{,}60^{\frac{t}{4}}$

Un árbol mide actualmente $2{,}4$ metros y crece $8$ centímetros cada año. ¿Cuánto medirá después de $5$ años?

$2{,}45$ metros
$3{,}2$ metros
$2{,}8$ metros
$6{,}4$ metros

¿Cuál es la diferencia principal entre un modelo lineal y un modelo exponencial?

En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
En el modelo lineal se multiplica por un factor; en el exponencial se suma una cantidad fija.
Ambos modelos siempre aumentan de la misma manera.
El modelo exponencial nunca puede representar disminución.

¿Cuál de las siguientes secuencias puede representar un decrecimiento exponencial?

$80,\ 70,\ 60,\ 50$
$80,\ 85,\ 90,\ 95$
$80,\ 60,\ 40,\ 20$
$80,\ 40,\ 20,\ 10$

Una población de bacterias se triplica cada $3$ horas. Si inicialmente hay $50$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $9$ horas?

$450$
$1350$
$4050$
$150$

Una población inicial de $40$ bacterias se duplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá $320$ bacterias?

$2$ horas
$4$ horas
$3$ horas
$8$ horas

Una sustancia tiene inicialmente $243$ gramos y se reduce a la tercera parte cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán $9$ gramos?

$1$ hora
$2$ horas
$3$ horas
$4$ horas

9. pauta v2

Pauta de evaluación v2: Crecimiento exponencial y comparación con crecimiento lineal

Datos generales de corrección

Curso: 1° medio.
Tiempo: 70 minutos.
Total de preguntas: 21.
Puntaje por pregunta: 2 puntos.
Puntaje total: 42 puntos.
Porcentaje de aprobación: 60%.
Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Criterio de corrección

Respuesta del estudiante	Puntaje
Marca la alternativa correcta.	2 puntos
Marca una alternativa incorrecta.	0 puntos
No responde.	0 puntos
Marca más de una alternativa.	0 puntos

Distribución de habilidades evaluadas

Habilidad	Preguntas
Reconocer modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.	1, 5, 6, 12, 17, 18
Interpretar factores de crecimiento y decrecimiento.	8, 10, 13, 15
Escribir funciones asociadas a situaciones de cambio.	4, 9, 10, 15
Calcular valores a partir de modelos lineales o exponenciales.	2, 3, 7, 11, 14, 16, 19
Resolver desafíos simples mediante potencias reconocibles o tabla.	20, 21

Clave de respuestas

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	B	Crecimiento lineal, porque la planta aumenta $4$ cm cada semana.
2	D	$80\cdot 2^3=80\cdot 8=640$.
3	A	Depreciar $10\%$ equivale a multiplicar por $0{,}90$: $120000\cdot 0{,}90^2=97200$.
4	C	Aumentar $7\%$ equivale a multiplicar por $1{,}07$: $V(t)=6000\cdot 1{,}07^t$.
5	B	Conservar el $75\%$ cada hora significa multiplicar por $0{,}75$, por lo tanto es decrecimiento exponencial.
6	A	$M(t)=250+30t$ suma una cantidad fija, por lo tanto es crecimiento lineal.
7	D	En $36$ horas ocurren $3$ vidas medias: $96\cdot 0{,}5^3=12$.
8	C	Si el factor es $1{,}12$, entonces la tasa es $0{,}12=12\%$.
9	A	La altura disminuye $45$ metros por minuto: $H(t)=900-45t$.
10	D	Disminuir $6\%$ significa conservar $94\%$, por eso $P(t)=5000\cdot 0{,}94^t$.
11	B	$750-25\cdot 10=750-250=500$ litros.
12	C	Un decrecimiento exponencial tiene base entre $0$ y $1$: $f(x)=200\cdot 0{,}8^x$.
13	A	La base $1{,}18$ representa el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	B	Aumentar $30\%$ equivale a multiplicar por $1{,}30$: $200\cdot 1{,}30^2=338$.
15	D	Como conserva el $60\%$ cada $4$ horas, el modelo es $M(t)=30\cdot 0{,}60^{\frac{t}{4}}$.
16	C	$8$ cm equivalen a $0{,}08$ m. Entonces $2{,}4+0{,}08\cdot 5=2{,}8$ m.
17	A	En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
18	D	La secuencia $80,\ 40,\ 20,\ 10$ multiplica por $0{,}5$ en cada paso.
19	B	En $9$ horas ocurren $3$ períodos de $3$ horas: $50\cdot 3^3=1350$.
20	C	$40\cdot 2^t=320$, entonces $2^t=8=2^3$. Por lo tanto, $t=3$.
21	C	$243,\ 81,\ 27,\ 9$. Después de $3$ horas quedan $9$ gramos.

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) A, 7) D, 8) C, 9) A, 10) D, 11) B, 12) C, 13) A, 14) B, 15) D, 16) C, 17) A, 18) D, 19) B, 20) C, 21) C.

Conteo de alternativas correctas

A: 5 respuestas correctas.
B: 5 respuestas correctas.
C: 6 respuestas correctas.
D: 5 respuestas correctas.

10. prueba v3

Instrucciones generales

Marca una sola alternativa por pregunta.
Cada pregunta tiene una única respuesta correcta.
Usa calculadora básica cuando sea necesario.
Cuando un resultado no sea entero, aproxima según la alternativa más cercana.
Usa coma decimal en tus cálculos, por ejemplo $1{,}15$ o $0{,}92$.
No se requiere el uso de logaritmos. Los desafíos finales se pueden resolver con potencias reconocibles o por tabla.
No se usa $\pi$ en esta evaluación.

Un animal aumenta $2$ kg de masa cada mes. ¿Qué tipo de modelo representa esta situación?

Decrecimiento exponencial
Crecimiento exponencial
Decrecimiento lineal
Crecimiento lineal

Una población de bacterias se triplica cada $2$ horas. Si inicialmente hay $60$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $4$ horas?

$180$
$540$
$1620$
$720$

Una máquina se deprecia un $8\%$ de su valor cada año. Si inicialmente vale $500000$ pesos, ¿cuál será su valor después de $2$ años?

$423200$ pesos
$460000$ pesos
$420000$ pesos
$400000$ pesos

Una inversión inicial de $9000$ pesos aumenta un $4\%$ anual. ¿Cuál es la función que modela el valor de la inversión después de $t$ años?

$V(t)=9000+4t$
$V(t)=9000\cdot 0{,}04^t$
$V(t)=9000\cdot 1{,}04^t$
$V(t)=9000-0{,}04t$

¿Cuál de las siguientes situaciones representa un decrecimiento exponencial?

Una persona ahorra $3000$ pesos cada semana.
Un tren avanza $80$ km cada hora.
Una población aumenta en $200$ habitantes cada año.
Un medicamento conserva el $65\%$ de su cantidad cada hora.

La función $N(t)=300\cdot 1{,}15^t$ representa una cantidad después de $t$ períodos. ¿Qué tipo de modelo representa?

Crecimiento exponencial
Crecimiento lineal
Decrecimiento lineal
Decrecimiento exponencial

La vida media de una sustancia es de $6$ horas. Si inicialmente hay $72$ gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de $18$ horas?

$36$ gramos
$18$ gramos
$9$ gramos
$12$ gramos

La función $V(t)=12000\cdot 0{,}82^t$ representa el valor de un objeto después de $t$ años. ¿Cuál es la tasa de disminución anual?

$82\%$
$18\%$
$0{,}82\%$
$12000\%$

Un globo aerostático está a $1500$ metros de altura y desciende $75$ metros por minuto. ¿Cuál es la función que modela su altura después de $t$ minutos?

$H(t)=1500+75t$
$H(t)=1500\cdot 0{,}75^t$
$H(t)=1500\cdot 1{,}75^t$
$H(t)=1500-75t$

Una población de aves disminuye un $4\%$ anual. Si actualmente hay $2800$ aves, ¿cuál es la función que modela la población después de $t$ años?

$P(t)=2800\cdot 0{,}96^t$
$P(t)=2800\cdot 1{,}04^t$
$P(t)=2800-4t$
$P(t)=2800\cdot 0{,}04^t$

Un tanque contiene $900$ litros de agua y se vacía a razón de $30$ litros por minuto. ¿Cuántos litros quedarán después de $12$ minutos?

$360$ litros
$600$ litros
$540$ litros
$870$ litros

¿Cuál de las siguientes funciones representa un crecimiento exponencial?

$f(x)=80+12x$
$f(x)=80\cdot 1{,}2^x$
$f(x)=80-12x$
$f(x)=80\cdot 0{,}8^x$

La función $A(t)=7500\cdot 1{,}25^t$ representa el valor de una inversión después de $t$ años. ¿Qué representa la base $1{,}25$?

El valor inicial de la inversión.
La cantidad fija que se suma cada año.
El tiempo total de la inversión.
El factor por el que se multiplica el valor cada año.

Un cultivo de bacterias crece un $25\%$ cada hora. Si inicialmente hay $320$ bacterias, ¿cuántas habrá después de $2$ horas?

$400$
$520$
$500$
$640$

Un medicamento conserva el $70\%$ de su cantidad cada $5$ horas. Si inicialmente hay $40$ mg, ¿cuál es la función que modela la cantidad después de $t$ horas?

$M(t)=40\cdot 0{,}70^{\frac{t}{5}}$
$M(t)=40\cdot 0{,}70^t$
$M(t)=40\cdot 1{,}70^{\frac{t}{5}}$
$M(t)=40-0{,}70t$

Un árbol mide actualmente $1{,}8$ metros y crece $12$ centímetros cada año. ¿Cuánto medirá después de $5$ años?

$1{,}92$ metros
$2{,}4$ metros
$6$ metros
$2{,}3$ metros

¿Cuál es la diferencia principal entre un modelo lineal y un modelo exponencial?

En el modelo lineal siempre se multiplica por $2$.
En el modelo exponencial siempre se suma una cantidad fija.
En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
No existe diferencia entre ambos modelos.

¿Cuál de las siguientes secuencias puede representar un decrecimiento exponencial?

$96,\ 86,\ 76,\ 66$
$96,\ 100,\ 104,\ 108$
$96,\ 72,\ 48,\ 24$
$96,\ 48,\ 24,\ 12$

Una población inicial de $30$ bacterias aumenta un $50\%$ cada semana. ¿Cuál es la función que modela la población después de $t$ semanas?

$P(t)=30+50t$
$P(t)=30\cdot 1{,}5^t$
$P(t)=30\cdot 0{,}5^t$
$P(t)=30\cdot 50^t$

Una población inicial de $75$ bacterias se triplica cada hora. ¿Después de cuántas horas habrá $2025$ bacterias?

$3$ horas
$2$ horas
$4$ horas
$5$ horas

Una sustancia tiene inicialmente $256$ gramos y se reduce a la cuarta parte cada hora. ¿Después de cuántas horas quedarán $4$ gramos?

$1$ hora
$2$ horas
$3$ horas
$4$ horas

11. pauta v3

Pauta de evaluación v3 equilibrada: Crecimiento exponencial y comparación con crecimiento lineal

Datos generales de corrección

Curso: 1° medio.
Tiempo: 70 minutos.
Total de preguntas: 21.
Puntaje por pregunta: 2 puntos.
Puntaje total: 42 puntos.
Porcentaje de aprobación: 60%.
Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Criterio de corrección

Respuesta del estudiante	Puntaje
Marca la alternativa correcta.	2 puntos
Marca una alternativa incorrecta.	0 puntos
No responde.	0 puntos
Marca más de una alternativa.	0 puntos

Distribución de habilidades evaluadas

Habilidad	Preguntas
Reconocer modelos lineales, exponenciales crecientes y exponenciales decrecientes.	1, 5, 6, 12, 17, 18
Interpretar factores de crecimiento y decrecimiento.	8, 10, 13, 15
Escribir funciones asociadas a situaciones de cambio.	4, 9, 10, 15, 19
Calcular valores a partir de modelos lineales o exponenciales.	2, 3, 7, 11, 14, 16
Resolver desafíos simples mediante potencias reconocibles o tabla.	20, 21

Clave de respuestas

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	D	Crecimiento lineal, porque aumenta una cantidad fija cada mes.
2	B	En $4$ horas ocurren $2$ períodos de $2$ horas: $60\cdot 3^2=540$.
3	A	Depreciar $8\%$ equivale a multiplicar por $0{,}92$: $500000\cdot 0{,}92^2=423200$.
4	C	Aumentar $4\%$ equivale a multiplicar por $1{,}04$: $V(t)=9000\cdot 1{,}04^t$.
5	D	Conservar el $65\%$ cada hora significa multiplicar por $0{,}65$, por lo tanto es decrecimiento exponencial.
6	A	Como la base es $1{,}15$, mayor que $1$, representa crecimiento exponencial.
7	C	En $18$ horas ocurren $3$ vidas medias: $72\cdot 0{,}5^3=9$.
8	B	Si el factor es $0{,}82$, conserva $82\%$ y disminuye $18\%$.
9	D	La altura disminuye $75$ metros por minuto: $H(t)=1500-75t$.
10	A	Disminuir $4\%$ significa conservar $96\%$, por eso $P(t)=2800\cdot 0{,}96^t$.
11	C	$900-30\cdot 12=900-360=540$ litros.
12	B	Un crecimiento exponencial tiene base mayor que $1$: $f(x)=80\cdot 1{,}2^x$.
13	D	La base $1{,}25$ representa el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	C	Aumentar $25\%$ equivale a multiplicar por $1{,}25$: $320\cdot 1{,}25^2=500$.
15	A	Como conserva el $70\%$ cada $5$ horas, el modelo es $M(t)=40\cdot 0{,}70^{\frac{t}{5}}$.
16	B	$12$ cm equivalen a $0{,}12$ m. Entonces $1{,}8+0{,}12\cdot 5=2{,}4$ m.
17	C	En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
18	D	La secuencia $96,\ 48,\ 24,\ 12$ multiplica por $0{,}5$ en cada paso.
19	B	Aumentar $50\%$ equivale a multiplicar por $1{,}5$: $P(t)=30\cdot 1{,}5^t$.
20	A	$75\cdot 3^t=2025$, entonces $3^t=27=3^3$. Por lo tanto, $t=3$.
21	C	$256,\ 64,\ 16,\ 4$. Después de $3$ horas quedan $4$ gramos.

Resumen de claves correctas

1) D, 2) B, 3) A, 4) C, 5) D, 6) A, 7) C, 8) B, 9) D, 10) A, 11) C, 12) B, 13) D, 14) C, 15) A, 16) B, 17) C, 18) D, 19) B, 20) A, 21) C.

Conteo de alternativas correctas

A: 5 respuestas correctas.
B: 5 respuestas correctas.
C: 6 respuestas correctas.
D: 5 respuestas correctas.

Sitio:	MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso:	Media 1
Libro:	Libro Crecimiento Exponencial

Imprimido por:	Invitado
Día:	domingo, 7 de junio de 2026, 17:18

Situación	Factor de crecimiento	Ejemplo de modelo
Se duplica	\(2\)	\(f(t)=a\cdot 2^t\)
Se triplica	\(3\)	\(f(t)=a\cdot 3^t\)
Aumenta un \(10\%\)	\(1,10\)	\(f(t)=a\cdot 1,10^t\)
Aumenta un \(25\%\)	\(1,25\)	\(f(t)=a\cdot 1,25^t\)
Aumenta un \(50\%\)	\(1,50\)	\(f(t)=a\cdot 1,50^t\)

Situación	Factor de crecimiento
Una cantidad se duplica.	\(2\)
Una cantidad se triplica.	\(3\)
Una cantidad aumenta un \(8\%\).	\(1+0,08=1,08\)
Una cantidad aumenta un \(30\%\).	\(1+0,30=1,30\)

Situación	Factor de disminución	Ejemplo de modelo
Se reduce a la mitad	\(0,5\)	\(f(t)=a\cdot 0,5^t\)
Disminuye un \(10\%\)	\(0,90\)	\(f(t)=a\cdot 0,90^t\)
Disminuye un \(20\%\)	\(0,80\)	\(f(t)=a\cdot 0,80^t\)
Disminuye un \(25\%\)	\(0,75\)	\(f(t)=a\cdot 0,75^t\)
Disminuye un \(40\%\)	\(0,60\)	\(f(t)=a\cdot 0,60^t\)

Tipo de cambio	Qué ocurre en cada período	Modelo general
Crecimiento lineal	Se suma una cantidad constante.	\(f(t)=a+ct\)
Decrecimiento lineal	Se resta una cantidad constante.	\(f(t)=a-ct\)
Crecimiento exponencial	Se multiplica por un factor constante mayor que 1.	\(f(t)=a\cdot b^t,\ b>1\)

Tiempo (meses)	Cálculo	Cantidad ahorrada ($)
0	\(50\)	50
1	\(50+10\)	60
2	\(50+10+10\)	70
3	\(50+10+10+10\)	80
4	\(50+10+10+10+10\)	90

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	\(10\)	10
1	\(10\cdot 2\)	20
2	\(10\cdot 2\cdot 2\)	40
3	\(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\)	80
4	\(10\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\)	160

Tiempo (minutos)	Cálculo	Cantidad de agua (litros)
0	\(500\)	500
1	\(500+25\)	525
2	\(500+25\cdot 2\)	550
3	\(500+25\cdot 3\)	575

Tiempo (minutos)	Cálculo	Altura (metros)
0	\(800\)	800
1	\(800-40\)	760
2	\(800-40\cdot 2\)	720
3	\(800-40\cdot 3\)	680

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	\(10\)	10
1	\(10\cdot 2\)	20
2	\(10\cdot 2^2\)	40
3	\(10\cdot 2^3\)	80
4	\(10\cdot 2^4\)	160

Tiempo (años)	Cálculo	Valor de la inversión ($)
0	\(1000\)	1000
1	\(1000\cdot 1,10\)	1100
2	\(1000\cdot 1,10^2\)	1210
3	\(1000\cdot 1,10^3\)	1331
4	\(1000\cdot 1,10^4\)	1464,1

Tiempo (años)	Cálculo	Valor de la inversión ($)
0	\(2000\)	2000
1	\(2000\cdot 1,06\)	2120
2	\(2000\cdot 1,06^2\)	2247,2
3	\(2000\cdot 1,06^3\)	2382,032

Situación	Función
Una población inicial de 40 bacterias se duplica cada hora.	\(P(t)=40\cdot 2^t\)
Una inversión inicial de $5000 aumenta un \(12\%\) anual.	\(V(t)=5000\cdot 1,12^t\)
Una colonia inicial de 200 células se triplica cada día.	\(C(t)=200\cdot 3^t\)

Tiempo (horas)	Cálculo	Cantidad (gramos)
0	\(64\)	64
1	\(64\cdot 0,5\)	32
2	\(64\cdot 0,5^2\)	16
3	\(64\cdot 0,5^3\)	8
4	\(64\cdot 0,5^4\)	4
5	\(64\cdot 0,5^5\)	2
6	\(64\cdot 0,5^6\)	1

Tiempo (minutos)	Cálculo	Temperatura \((^\circ C)\)
0	\(90\)	90
5	\(90\cdot 0,85\)	76,5
10	\(90\cdot 0,85^2\)	65,025
15	\(90\cdot 0,85^3\)	55,271
20	\(90\cdot 0,85^4\)	46,981

Tiempo (años)	Cálculo	Valor del auto ($)
0	\(30000\)	30000
1	\(30000\cdot 0,80\)	24000
2	\(30000\cdot 0,80^2\)	19200
3	\(30000\cdot 0,80^3\)	15360
4	\(30000\cdot 0,80^4\)	12288

Tiempo (horas)	Cálculo	Población de bacterias
0	\(100000\)	100000
1	\(100000\cdot 0,5\)	50000
2	\(100000\cdot 0,5^2\)	25000
3	\(100000\cdot 0,5^3\)	12500

Tiempo (horas)	Cálculo	Cantidad de medicamento (mg)
0	\(50\)	50
4	\(50\cdot 0,75\)	37,5
8	\(50\cdot 0,75^2\)	28,125
12	\(50\cdot 0,75^3\)	21,094

Situación	Factor de disminución
Una cantidad se reduce a la mitad.
Una cantidad disminuye un \(8\%\).
Una cantidad disminuye un \(30\%\).
Una cantidad conserva el \(72\%\) de su valor en cada período.

Situación	Función
Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora.
Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año.
Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas.

Situación	Función
Una sustancia comienza con 80 gramos y se reduce a la mitad cada hora.	\(C(t)=80\cdot 0,5^t\)
Un auto cuesta inicialmente $12.000.000 y pierde un \(10\%\) de su valor cada año.	\(V(t)=12000000\cdot 0,90^t\)
Una dosis inicial de 40 mg conserva el \(60\%\) de su cantidad cada 3 horas.	\(M(t)=40\cdot 0,60^{\frac{t}{3}}\)

Tipo de modelo	Forma general	Condición principal	Interpretación
Crecimiento lineal	\(f(t)=a+ct\)	\(c>0\)	Se suma una cantidad fija.
Decrecimiento lineal	\(f(t)=a-ct\)	\(c>0\)	Se resta una cantidad fija.
Crecimiento exponencial	\(f(t)=a\cdot b^t\)	\(b>1\)	Se multiplica por un factor mayor que 1.
Decrecimiento exponencial	\(f(t)=a\cdot b^t\)	\(0<b<1\)	Se multiplica por un factor entre 0 y 1.

Situación	Clasificación
Una cuenta de ahorro aumenta $15.000 cada mes.
Una población de bacterias se duplica cada hora.
Un medicamento conserva el \(70\%\) de su cantidad cada hora.
Un estanque pierde 25 litros de agua cada minuto.
Una inversión aumenta un \(8\%\) anual.
Una máquina pierde el \(12\%\) de su valor cada año.

Situación	Función
Un ahorro comienza con $40.000 y aumenta $6.000 cada mes.	\(A(t)=40000+6000t\)
Una población inicial de 120 bacterias se duplica cada hora.	\(P(t)=120\cdot 2^t\)
Un auto cuesta inicialmente $9.000.000 y pierde un \(15\%\) de su valor cada año.	\(V(t)=9000000\cdot 0{,}85^t\)
Una sustancia comienza con 64 gramos y se reduce a la mitad cada 4 horas.	\(C(t)=64\cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\)

Pregunta guía	Respuesta	Modelo
¿La cantidad cambia sumando siempre lo mismo?	Sí	Lineal: \(f(t)=a+ct\)
¿La cantidad cambia restando siempre lo mismo?	Sí	Lineal: \(f(t)=a-ct\)
¿La cantidad se multiplica por un factor mayor que 1?	Sí	Exponencial creciente: \(f(t)=a\cdot b^t\)
¿La cantidad se multiplica por un factor entre 0 y 1?	Sí	Exponencial decreciente: \(f(t)=a\cdot b^t\)

Libro Crecimiento Exponencial

Tabla de contenidos

1. Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante

Crecimiento lineal y crecimiento exponencial: comparación inicial

Objetivos

Idea inicial

Comparación fundamental

Ejemplo 1: sumar una cantidad constante

Ejemplo 2: multiplicar por un factor constante

Cómo decidir si una situación es lineal o exponencial

Ejemplo 3: comparar las dos formas de crecimiento

Error común

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Cierre

2. Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante

Objetivos

Idea central

Modelo de crecimiento exponencial

Cómo reconocer el factor de crecimiento

Porcentajes y factor de crecimiento

Ejemplo 1: población que se duplica

Ejemplo 2: inversión con interés compuesto anual

Ejemplo 3: aumento porcentual

Error común

Cuando el intervalo de tiempo no es 1

Ejemplo 4: crecimiento cada 2 horas

Ejercicios

Ejercicios con tabla

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicios sin tabla

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicios de identificación

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Cierre

3. Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa

Decrecimiento exponencial: la disminución multiplicativa

Objetivos

Idea central

Modelo de decrecimiento exponencial

Cómo reconocer el factor de disminución

Porcentajes y factor de disminución

Ejemplo 1: sustancia radioactiva

Ejemplo 2: depreciación de un activo

Ejemplo 3: disminución cada cierto intervalo de tiempo

Error común

Vida media

Ejercicios

Ejercicios con tabla

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicios sin tabla

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicios de identificación

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Cierre

4. Síntesis final: crecimiento lineal, crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial

Objetivos

Idea de cierre

Resumen de modelos

Procedimiento para resolver problemas

Ejemplo 1: reconocer modelos desde una tabla

Ejemplo 2: escribir y evaluar un modelo exponencial

Ejemplo 3: vida media

Errores comunes

Ejercicios integradores

Ejercicio 1

Situación	Factor	Tipo de modelo
Aumenta un \(r\%\)	\(1+\frac{r}{100}\)	Crecimiento exponencial
Disminuye un \(r\%\)	\(1-\frac{r}{100}\)	Decrecimiento exponencial
Se duplica	\(2\)	Crecimiento exponencial
Se triplica	\(3\)	Crecimiento exponencial
Se reduce a la mitad	\(0{,}5\)	Decrecimiento exponencial
Conserva el \(p\%\)	\(\frac{p}{100}\)	Decrecimiento exponencial si \(0<p<100\)

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	C	Crecimiento lineal, porque aumenta una cantidad fija cada mes.
2	A	\(100\cdot 2^4=1600\).
3	D	\(25000\cdot 0{,}85^3=15353{,}125\), aproximadamente \(15353\) pesos.
4	B	Aumentar \(5\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}05\): \(V(t)=4000\cdot 1{,}05^t\).
5	C	Reducirse a la mitad cada cierto tiempo es decrecimiento exponencial.
6	D	\(C(t)=100-4t\) resta una cantidad fija, por lo tanto es decrecimiento lineal.
7	A	\(50\cdot 0{,}5^{30/10}=50\cdot 0{,}5^3=6{,}25\).
8	B	Si el factor es \(1{,}08\), la tasa es \(0{,}08=8\%\).
9	C	La altura disminuye \(60\) metros por minuto: \(H(t)=1200-60t\).
10	B	Disminuir \(3\%\) significa conservar \(97\%\), por eso \(P(t)=3000\cdot 0{,}97^t\).
11	A	\(1000-20\cdot 15=700\) litros.
12	D	Un crecimiento exponencial tiene base mayor que \(1\): \(100\cdot 1{,}05^x\).
13	C	La base \(0{,}85\) es el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	C	\(500\cdot 1{,}20^3=500\cdot 1{,}728=864\).
15	B	Si la vida media es \(15\) años, el modelo es \(C(t)=40\cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\).
16	A	\(10\) cm \(=0{,}1\) m, entonces \(3+0{,}1\cdot 5=3{,}5\) m.
17	D	En el crecimiento exponencial se multiplica por un factor constante; en el lineal se suma una cantidad fija.
18	B	La secuencia \(5,\ 10,\ 20,\ 40\) multiplica por \(2\) en cada paso.
19	C	Triplicar cada \(2\) horas se modela con \(P(t)=500\cdot 3^{\frac{t}{2}}\).
20	A	\(100\cdot 2^t=800\), entonces \(2^t=8=2^3\). Por lo tanto, \(t=3\).
21	D	\(128\), \(64\), \(32\), \(16\). Después de \(3\) horas quedan \(16\) gramos.

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	B	Crecimiento lineal, porque la planta aumenta \(4\) cm cada semana.
2	D	\(80\cdot 2^3=80\cdot 8=640\).
3	A	Depreciar \(10\%\) equivale a multiplicar por \(0{,}90\): \(120000\cdot 0{,}90^2=97200\).
4	C	Aumentar \(7\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}07\): \(V(t)=6000\cdot 1{,}07^t\).
5	B	Conservar el \(75\%\) cada hora significa multiplicar por \(0{,}75\), por lo tanto es decrecimiento exponencial.
6	A	\(M(t)=250+30t\) suma una cantidad fija, por lo tanto es crecimiento lineal.
7	D	En \(36\) horas ocurren \(3\) vidas medias: \(96\cdot 0{,}5^3=12\).
8	C	Si el factor es \(1{,}12\), entonces la tasa es \(0{,}12=12\%\).
9	A	La altura disminuye \(45\) metros por minuto: \(H(t)=900-45t\).
10	D	Disminuir \(6\%\) significa conservar \(94\%\), por eso \(P(t)=5000\cdot 0{,}94^t\).
11	B	\(750-25\cdot 10=750-250=500\) litros.
12	C	Un decrecimiento exponencial tiene base entre \(0\) y \(1\): \(f(x)=200\cdot 0{,}8^x\).
13	A	La base \(1{,}18\) representa el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	B	Aumentar \(30\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}30\): \(200\cdot 1{,}30^2=338\).
15	D	Como conserva el \(60\%\) cada \(4\) horas, el modelo es \(M(t)=30\cdot 0{,}60^{\frac{t}{4}}\).
16	C	\(8\) cm equivalen a \(0{,}08\) m. Entonces \(2{,}4+0{,}08\cdot 5=2{,}8\) m.
17	A	En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
18	D	La secuencia \(80,\ 40,\ 20,\ 10\) multiplica por \(0{,}5\) en cada paso.
19	B	En \(9\) horas ocurren \(3\) períodos de \(3\) horas: \(50\cdot 3^3=1350\).
20	C	\(40\cdot 2^t=320\), entonces \(2^t=8=2^3\). Por lo tanto, \(t=3\).
21	C	\(243,\ 81,\ 27,\ 9\). Después de \(3\) horas quedan \(9\) gramos.

Pregunta	Alternativa correcta	Respuesta o justificación breve
1	D	Crecimiento lineal, porque aumenta una cantidad fija cada mes.
2	B	En \(4\) horas ocurren \(2\) períodos de \(2\) horas: \(60\cdot 3^2=540\).
3	A	Depreciar \(8\%\) equivale a multiplicar por \(0{,}92\): \(500000\cdot 0{,}92^2=423200\).
4	C	Aumentar \(4\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}04\): \(V(t)=9000\cdot 1{,}04^t\).
5	D	Conservar el \(65\%\) cada hora significa multiplicar por \(0{,}65\), por lo tanto es decrecimiento exponencial.
6	A	Como la base es \(1{,}15\), mayor que \(1\), representa crecimiento exponencial.
7	C	En \(18\) horas ocurren \(3\) vidas medias: \(72\cdot 0{,}5^3=9\).
8	B	Si el factor es \(0{,}82\), conserva \(82\%\) y disminuye \(18\%\).
9	D	La altura disminuye \(75\) metros por minuto: \(H(t)=1500-75t\).
10	A	Disminuir \(4\%\) significa conservar \(96\%\), por eso \(P(t)=2800\cdot 0{,}96^t\).
11	C	\(900-30\cdot 12=900-360=540\) litros.
12	B	Un crecimiento exponencial tiene base mayor que \(1\): \(f(x)=80\cdot 1{,}2^x\).
13	D	La base \(1{,}25\) representa el factor por el que se multiplica el valor cada año.
14	C	Aumentar \(25\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}25\): \(320\cdot 1{,}25^2=500\).
15	A	Como conserva el \(70\%\) cada \(5\) horas, el modelo es \(M(t)=40\cdot 0{,}70^{\frac{t}{5}}\).
16	B	\(12\) cm equivalen a \(0{,}12\) m. Entonces \(1{,}8+0{,}12\cdot 5=2{,}4\) m.
17	C	En el modelo lineal se suma o resta una cantidad fija; en el exponencial se multiplica por un factor constante.
18	D	La secuencia \(96,\ 48,\ 24,\ 12\) multiplica por \(0{,}5\) en cada paso.
19	B	Aumentar \(50\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}5\): \(P(t)=30\cdot 1{,}5^t\).
20	A	\(75\cdot 3^t=2025\), entonces \(3^t=27=3^3\). Por lo tanto, \(t=3\).
21	C	\(256,\ 64,\ 16,\ 4\). Después de \(3\) horas quedan \(4\) gramos.