Crecimiento y Decrecimiento Lineal: La Suma y Resta Constante

En el crecimiento lineal, una cantidad aumenta en un valor fijo en cada período de tiempo. En el decrecimiento lineal, una cantidad disminuye en un valor fijo en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento y decrecimiento exponencial, donde se multiplica por un factor constante, en el crecimiento y decrecimiento lineal se suma o resta una cantidad constante.

Tablas para Visualizar el Crecimiento y Decrecimiento Lineal

Las tablas son una herramienta útil para observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Veamos ejemplos con tablas que incluyen una columna de cálculos.

Ejemplo 1: Crecimiento Lineal - Ahorro Mensual

Supongamos que empiezas con $50 y decides ahorrar $10 cada mes.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La cantidad ahorrada (variable dependiente) aumenta en $10 en cada período, mostrando un crecimiento lineal.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, sumando el incremento constante a la cantidad anterior o a la cantidad inicial.

Modelando la Función:

Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función lineal:

\[ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} + (Incremento \times Tiempo) \]

En este caso:

\[ Cantidad(t) = 50 + (10 \times t) \]

Donde `t` es el tiempo en meses.

Ejemplo 2: Decrecimiento Lineal - Descarga de una Batería

Imagina que la batería de tu celular tiene 100% de carga y se descarga un 5% cada hora.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La carga de la batería (variable dependiente) disminuye en un 5% en cada período, mostrando un decrecimiento lineal.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la carga en cada paso, restando el decremento constante a la carga anterior o a la carga inicial.

Modelando la Función:

La función que describe este decrecimiento es:

\[ Carga(t) = Carga_{inicial} - (Decremento \times Tiempo) \]

En este caso:

\[ Carga(t) = 100 - (5 \times t) \]

Donde `t` es el tiempo en horas.

Ejercicios con tabla:

1. Un tanque de agua contiene 500 litros y se llena a razón de 25 litros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo.

2. Un globo aerostático se encuentra a 800 metros de altura y desciende 40 metros por minuto. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la altura del globo en función del tiempo.

Ejercicios sin tabla:

1. Un empleado gana un salario fijo de $1500 al mes y recibe un aumento de $50 cada mes.

a) Escribe la función que modela el salario del empleado en función del tiempo (en meses).

b) ¿Cuánto ganará el empleado después de 12 meses?

2. Un tanque de agua contiene 2000 litros y se vacía a razón de 40 litros por minuto.

a) Escribe la función que modela la cantidad de agua en el tanque en función del tiempo (en minutos).

b) ¿Cuántos litros de agua quedarán en el tanque después de 20 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse por completo?

3. La temperatura en una ciudad es de 15°C a las 6:00 AM y aumenta 2°C cada hora.

a) Escribe la función que modela la temperatura en función del tiempo (en horas).

b) ¿Qué temperatura habrá a las 11:00 AM?

c) Si a las 6:00 AM la temperatura fuera de 20°C y disminuye 1°C cada hora, escribe la función que modela la temperatura.

4. Un ciclista recorre una ruta de 180 km. Inicia su recorrido a las 8:00 AM y avanza a una velocidad constante de 30 km/h.

a) Escribe la función que modela la distancia recorrida por el ciclista en función del tiempo (en horas).

b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido a las 12:00 PM?

c) Escribe la función que modela la distancia que le falta por recorrer en función del tiempo.

d) ¿A qué hora llegará a su destino?

5. Un árbol mide 5 metros de altura y crece 20 cm cada año.

a) Escribe la función que modela la altura del árbol en función del tiempo (en años). Recuerda expresar todas las medidas en metros

b) ¿Qué altura tendrá el árbol después de 15 años?

6. Una empresa tiene 500 empleados y decide contratar 25 nuevos empleados cada mes.

a) Escribe la función que modela el número de empleados en función del tiempo (en meses).

b) ¿Cuántos empleados tendrá la empresa después de 1 año?

c) Si la empresa tiene un límite de 800 empleados, ¿en cuántos meses alcanzará ese límite?

7. Un submarino se encuentra a 400 metros de profundidad y asciende a una velocidad de 8 metros por minuto.

a) Escribe la función que modela la profundidad del submarino en función del tiempo (en minutos). Considera la superficie del mar como profundidad 0, y valores negativos para profundidades bajo el nivel del mar.

b) ¿A qué profundidad se encontrará el submarino después de 25 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo tardará el submarino en llegar a la superficie?

8. Un paciente recibe un medicamento por vía intravenosa a una razón constante de 2 mg por minuto. Si la dosis inicial fue de 5 mg.

a) Escribe la función que modela la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente en función del tiempo (en minutos).

b) ¿Cuántos miligramos de medicamento habrá en el cuerpo del paciente después de 30 minutos?

9. Un alpinista se encuentra en la cima de una montaña a 2500 metros de altura y comienza a descender a una velocidad constante de 50 metros por hora.

a) Escribe la función que modela la altura a la que se encuentra el alpinista en función del tiempo (en horas).

b) ¿A qué altura se encontrará después de 8 horas de descenso?

c) Si el campamento base se encuentra a 500 metros de altura, ¿cuánto tiempo tardará el alpinista en llegar a él?

10. Una tienda ofrece un descuento de $5 por cada compra realizada. Si un cliente realiza una compra inicial de $100.

a) Escribe la función que modela el costo total de las compras en función del número de compras realizadas.

b) ¿Cuál será el costo total después de 8 compras?

c) Si el cliente quiere que el costo total sea de $45, ¿cuántas compras debe realizar?

Crecimiento Exponencial: La Multiplicación Constante

El crecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad aumenta en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del crecimiento lineal, donde se suma una cantidad fija, en el crecimiento exponencial se multiplica por un valor mayor que 1 en cada período.

Tablas para Visualizar el Crecimiento Exponencial

Una forma efectiva de comprender el crecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.

Ejemplo 1: Crecimiento de una Población de Bacterias

Supongamos que una población de bacterias se duplica cada hora. Si comenzamos con 10 bacterias:

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La población de bacterias (variable dependiente) se multiplica por 2 en cada período, mostrando un crecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la población en cada paso, multiplicando la población anterior por 2 o la población inicial por la base (2) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:

\[ Población(t) = Población_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Población(t) = 10 \times (2)^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en horas. La base 2 representa el factor de crecimiento por cada unidad de tiempo.

Ejemplo 2: Interés Compuesto

Consideremos una inversión de $1000 que genera un interés compuesto del 10% anual.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• El valor de la inversión (variable dependiente) se multiplica por 1.1 (1 + 0.10) en cada período, mostrando un crecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 1.1 o el valor inicial por la base (1.1) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

La función que describe este crecimiento es:

\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + Tasa)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Valor(t) = 1000 \times (1.1)^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en años. La base 1.1 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada año.

Ejemplo 3: Crecimiento de una Inversión con Interés Compuesto Trimestral

Consideremos una inversión de $500 que genera un interés compuesto del 8% anual, pero que se capitaliza trimestralmente (cada 3 meses).

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1, representando trimestres.
• El valor de la inversión (variable dependiente) se multiplica por 1.02 (1 + 0.08/4) en cada período, mostrando un crecimiento exponencial. El interés anual se divide entre 4 porque hay 4 trimestres en un año.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 1.02 o el valor inicial por la base (1.02) elevada a la potencia que representa el número de trimestres.

Modelando la Función:

La función que describe este crecimiento es:

\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 + \frac{Tasa}{n})^{n \times Tiempo} \]

En este caso:

\[ Valor(t) = 500 \times (1 + \frac{0.08}{4})^{4 \times t} = 500 \times (1.02)^{4t} \]

Donde `t` es el tiempo en años y `n` es la cantidad de periodos de capitalización por año (en este caso, 4). La base 1.02 representa el factor por el que se multiplica el valor de la inversión cada trimestre.

Ejercicios con tabla:

1. Una población de conejos se triplica cada año. Si inicialmente hay 5 conejos, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.

2. Una inversión de 2000 genera un interés compuesto del 6% anual\. Completa la siguiente tabla y escribe la función que modela el valor de la inversión en función del tiempo\.

Ejercicios sin tabla:

1. Una población de insectos crece a una tasa del 15% mensual. Si inicialmente hay 500 insectos, ¿cuántos habrá después de 4 meses?

2. Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del 4% anual para depósitos a plazo fijo. Si se depositan $3000, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 5 años?

3. El valor de una obra de arte se incrementa en un 7% cada año. Si actualmente la obra vale $8,000, ¿cuál será su valor estimado dentro de 6 años?

4. Un cultivo de células crece a una tasa del 25% cada 2 horas. Si inicialmente hay 100 células, ¿cuántas habrá después de 12 horas?

5. Una inversión de $5000 se duplica en valor en 10 años debido al interés compuesto. ¿Cuál es la tasa de interés anual?

6. Una población de peces en un lago crece a una tasa constante. Si después de 5 años la población se ha multiplicado por 3.125, ¿cuál es la tasa de crecimiento anual?

7. Si una inversión de $4000 crece a $5324 en 3 años debido al interés compuesto, ¿cuál es la tasa de interés anual?

8. Una colonia de bacterias se triplica en tamaño cada 5 horas. Si inicialmente hay 1000 bacterias, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en alcanzar 27,000 bacterias?

9. Una inversión con interés compuesto tiene una tasa anual del 8%. Si el valor de la inversión después de 5 años es de $5877.31, ¿cuál fue la inversión inicial?

10. Una población de animales en una reserva natural crece a una tasa constante. Si la población se duplica en 7 años y actualmente hay 150 animales, ¿cuántos años tomará para que la población alcance los 1200 animales?

Decrecimiento Exponencial: La Disminución Multiplicativa

El decrecimiento exponencial ocurre cuando una cantidad disminuye en un factor constante en cada período de tiempo. A diferencia del decrecimiento lineal, donde se resta una cantidad fija, en el decrecimiento exponencial se multiplica por un valor entre 0 y 1 en cada período.

Tablas para Visualizar el Decrecimiento Exponencial

Una forma efectiva de comprender el decrecimiento exponencial es observar cómo cambia la variable dependiente a medida que la variable independiente aumenta linealmente. Usemos tablas para ilustrar esto, incluyendo una columna que muestre los cálculos realizados.

Ejemplo 1: Desintegración Radioactiva

Supongamos que tenemos 64 gramos de una sustancia radioactiva con una vida media de 1 hora. Esto significa que cada hora, la cantidad de sustancia se reduce a la mitad.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• La cantidad de sustancia (variable dependiente) se multiplica por 0.5 (o 1/2) en cada período, mostrando un decrecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la cantidad en cada paso, multiplicando la cantidad anterior por 0.5 o la cantidad inicial por la base (0.5) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

Podemos modelar este comportamiento con la siguiente función exponencial:

\[ Cantidad(t) = Cantidad_{inicial} \times (Factor)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Cantidad(t) = 64 \times (0.5)^{t} \]

o lo que es igual:

\[ Cantidad(t) = 64 \times (\frac{1}{2})^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en horas. La base 0.5 (o 1/2) representa el factor de disminución por cada unidad de tiempo.

Ejemplo 2: Depreciación de un Activo

Consideremos un automóvil que se deprecia un 20% de su valor cada año. Supongamos que el valor inicial del auto es de $30,000.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 1 en 1.
• El valor del auto (variable dependiente) se multiplica por 0.8 (1 - 0.20) en cada período, mostrando un decrecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene el valor en cada paso, multiplicando el valor anterior por 0.8 o el valor inicial por la base (0.8) elevada a la potencia que representa el tiempo.

Modelando la Función:

La función que describe este decrecimiento es:

\[ Valor(t) = Valor_{inicial} \times (1 - Tasa)^{Tiempo} \]

En este caso:

\[ Valor(t) = 30000 \times (0.8)^{t} \]

Donde `t` es el tiempo en años. La base 0.8 representa el factor por el que se multiplica el valor del auto cada año.

Ejemplo 3: Enfriamiento de un Líquido

Supongamos que una taza de café caliente se enfría a una tasa del 15% por cada 5 minutos.

Tabla:

Observaciones:

• El tiempo (variable independiente) aumenta linealmente de 5 en 5.
• La temperatura (variable dependiente) se multiplica aproximadamente por 0.85 (1 - 0.15) en cada período de 5 minutos, indicando un decrecimiento exponencial.
• La columna "Cálculo" muestra cómo se obtiene la temperatura en cada paso, multiplicando la temperatura anterior por 0.85 o la temperatura inicial por la base (0.85) elevada a la potencia que representa el tiempo dividido por el intervalo de tiempo (5 minutos).

Modelando la Función:

La función que modela este enfriamiento es:

\[ Temperatura(t) = Temperatura_{inicial} \times (1 - Tasa)^{\frac{Tiempo}{Intervalo}} \]

En este caso:

\[ Temperatura(t) = 90 \times (0.85)^{\frac{t}{5}} \]

Donde `t` es el tiempo en minutos. La base 0.85 representa el factor de disminución de la temperatura cada 5 minutos.

Ejercicios con tabla:

1. Una población de bacterias decrece a la mitad cada hora. Si inicialmente hay 100,000 bacterias, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la población en función del tiempo.

2. Un medicamento en el torrente sanguíneo se reduce en un 25% cada 4 horas. Si se administra una dosis de 50 mg, completa la siguiente tabla y escribe la función que modela la cantidad de medicamento en función del tiempo.

Ejercicios sin tabla:

1. La vida media de un isótopo radiactivo es de 8 horas. Si inicialmente hay 120 gramos del isótopo, ¿cuántos gramos quedarán después de 24 horas?

2. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 20% cada hora. Si se administra una dosis de 10 mg, ¿cuántos miligramos quedarán en el cuerpo después de 5 horas?

3. Una población de aves disminuye un 5% cada año. Si actualmente hay 2000 aves, ¿cuántas habrá aproximadamente después de 7 años?

4. Un activo se deprecia a una tasa del 15% anual. Si su valor inicial era de $50,000, ¿cuál será su valor después de 4 años?

5. Si después de 3 años, el valor de un activo es de $15,360 y se sabe que se deprecia exponencialmente a una tasa del 20% anual, ¿cuál era su valor inicial?

6. Una sustancia radioactiva se desintegra a la mitad cada 10 años. Si después de 50 años quedan 2 gramos de la sustancia, ¿cuántos gramos había inicialmente?

7. Una población de bacterias decrece exponencialmente. Si inicialmente había 50,000 bacterias y después de 3 horas quedan 6,250, ¿cuál es el factor de decrecimiento por hora?

8. Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa constante. Si después de 4 horas queda el 40.96% de la dosis inicial, ¿cuál es la tasa de eliminación por hora?

9. Un material radioactivo tiene una vida media de 20 minutos. Si inicialmente hay 80 gramos del material, ¿cuánto tiempo tardará en reducirse a 5 gramos?

10. La depreciación de un activo es del 10% anual. Si después de un cierto número de años el valor del activo se ha reducido a aproximadamente el 34.87% de su valor original, ¿cuántos años han pasado?