Descubriendo los Productos Notables: ¡Multiplicar se vuelve más fácil!

Los productos notables son una herramienta muy útil en álgebra que nos permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página, vamos a comenzar nuestro viaje explorando la base de todo: la propiedad distributiva.

Repaso de la Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.

Ejemplo (Concreto): Imagina que tienes 3 cajas, y cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas tienes en total, puedes calcularlo de dos maneras:

• Sumar las frutas de una caja (2 manzanas + 4 naranjas = 6 frutas) y luego multiplicar por el número de cajas (6 frutas/caja • 3 cajas = 18 frutas).
• O bien, calcular cuántas manzanas tienes (3 cajas • 2 manzanas/caja = 6 manzanas) y cuántas naranjas tienes (3 cajas • 4 naranjas/caja = 12 naranjas), y luego sumar ambas cantidades (6 manzanas + 12 naranjas = 18 frutas).

Ambos métodos te dan el mismo resultado, y esto es gracias a la propiedad distributiva.

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar la propiedad distributiva con rectángulos:

(Aquí iría una imagen de un rectángulo grande dividido en dos rectángulos más pequeños, representando la propiedad distributiva. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

Si un rectángulo tiene un lado que mide "a" y el otro lado mide "b + c", su área es a • (b + c). Este rectángulo grande se puede dividir en dos rectángulos más pequeños: uno con lados "a" y "b" (área a • b) y otro con lados "a" y "c" (área a • c). La suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños es igual al área del rectángulo grande: a • (b + c) = (a • b) + (a • c).

Ejemplo (Simbólico): La propiedad distributiva se expresa con la siguiente fórmula:

\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

Vamos a practicar con algunos ejercicios.

Ejercicios (Propiedad Distributiva)

Nivel 1: Ejercicios simples de la forma `a • (b + c)` con números enteros.

Ejercicio 1: \( 3 \cdot (4 + 5) \)
Ejercicio 2: \( 7 \cdot (2 + 8) \)
Ejercicio 3: \( 5 \cdot (9 + 1) \)
Ejercicio 4: \( 2 \cdot (6 + 3) \)

Nivel 2: Ejercicios de la forma `a • (b + c)` con números racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados).

Ejercicio 1: \( 2 \cdot (0.5 + 1.5) \)
Ejercicio 2: \( 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \)
Ejercicio 3: \( 3 \cdot (1\frac{1}{2} + 2) \)
Ejercicio 4: \( 0.8 \cdot (5 + 2.5) \)

Nivel 3: Ejercicios de la forma `a • (b + c)` - Aplicación de la propiedad distributiva

Ejercicio 1: \( 2 \cdot (3 + 4) \)
Ejercicio 2: \( 5 \cdot (1.2 + 2.8) \)
Ejercicio 3: \( \frac{1}{3} \cdot (6 + 9) \)
Ejercicio 4: \( 2\frac{1}{4} \cdot (4 + 8) \)
Ejercicio 5: \( 3 \cdot (x + 4) \)
Ejercicio 6: \( a \cdot (2 + 7) \)
Ejercicio 7: \( 0.5 \cdot (4a + 6) \)
Ejercicio 8: \( \frac{2}{3} \cdot (6x + 9y) \)
Ejercicio 9: \( 4 \cdot (2a + 3b) \)
Ejercicio 10: \( x \cdot (y + z) \)
Ejercicio 11: \( 1.2 \cdot (5m + 2.5n) \)
Ejercicio 12: \( 2 \cdot (x + y + 3) \)
Ejercicio 13: \( m \cdot (2 + n + p) \)
Ejercicio 14: \( \frac{1}{2} \cdot (4x + 6y + 8z) \)

Nivel 4: Factorización de expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( 6x + 9y \)
Ejercicio 2: \( 10ab + 15ac \)
Ejercicio 3: \( 4m + 12mn \)
Ejercicio 4: \( 7xy + 14xz \)
Ejercicio 5: \( 2a + 4b + 8c \)
Ejercicio 6: \( 5x + 10x^2 \)
Ejercicio 7: \( 18abc + 9ad \)
Ejercicio 8: \( \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y \)
Ejercicio 9: \( 2.5m + 5n \)
Ejercicio 10: \( 3ab + 6ac + 9ad \)
Ejercicio 11: \( 14x + 7y \)
Ejercicio 12: \( 8mn + 4m \)
Ejercicio 13: \( \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b \)
Ejercicio 14: \( 9x + 6xy + 3xz \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la propiedad distributiva.

Problema 1: Una tienda ofrece un descuento del 10% en todos sus productos. Si compras una camisa que cuesta $20 y un pantalón que cuesta $30, ¿cuánto pagas en total después del descuento? (Pista: Puedes calcular el precio total primero y luego aplicar el descuento, o calcular el descuento en cada artículo y luego sumar los precios con descuento.)

Problema 2: Juan quiere comprar 3 cuadernos que cuestan $2.50 cada uno y 3 lápices que cuestan $0.75 cada uno. ¿Cuánto dinero necesita Juan?

Problema 3: El largo de un rectángulo mide (2x + 3) unidades y el ancho mide 4 unidades. Escribe una expresión para el área del rectángulo y simplifícala usando la propiedad distributiva.

El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Suma

Ahora que hemos repasado la propiedad distributiva, estamos listos para explorar uno de los productos notables más importantes: el cuadrado de un binomio. En esta página, nos enfocaremos en el caso de la suma, es decir, expresiones de la forma \((a + b)^2\).

Desarrollo del Producto Notable (a + b)²

Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a + b)^2\) es lo mismo que \((a + b) \cdot (a + b)\). Podemos usar la propiedad distributiva para desarrollar esta expresión:

\( (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) \)

\( = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) \)

\( = (a \cdot a) + (a \cdot b) + (b \cdot a) + (b \cdot b) \)

\( = a^2 + ab + ba + b^2 \)

\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para el cuadrado de un binomio (suma) es:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Ejemplo (Concreto): Imagina que tienes un cuadrado de cartulina cuyo lado mide (2 + 3) cm. El área de este cuadrado es (2 + 3)² cm². Podemos dividir este cuadrado en cuatro secciones:

• Un cuadrado de lado 2 cm (área = 2² cm² = 4 cm²).
• Un cuadrado de lado 3 cm (área = 3² cm² = 9 cm²).
• Dos rectángulos con lados 2 cm y 3 cm (cada uno con área = 2 • 3 cm² = 6 cm²).

La suma de las áreas de estas cuatro secciones es 4 cm² + 9 cm² + 6 cm² + 6 cm² = 25 cm², que es lo mismo que (2 + 3)² = 5² = 25 cm².

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar el cuadrado de un binomio con un cuadrado:

(Aquí iría una imagen de un cuadrado dividido en cuatro secciones: un cuadrado de lado 'a', un cuadrado de lado 'b' y dos rectángulos de lados 'a' y 'b'. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

El área total del cuadrado es la suma de las áreas de las cuatro secciones: \(a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Suma)

Nivel 1: Expandir \((a + b)^2\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (2 + 3)^2 \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 + 6)^2 \)
Ejercicio 4: \( (7 + 2)^2 \)

Nivel 2: Expandir \((a + b)^2\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (0.5 + 1)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^2 \)
Ejercicio 3: \( (2 + 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (1.2 + 0.8)^2 \)

Nivel 3: Expandir \((a + b)^2\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (3 + a)^2 \)
Ejercicio 3: \( (m + n)^2 \)
Ejercicio 4: \( (2x + 1)^2 \)
Ejercicio 5: \( (4 + 3y)^2 \)
Ejercicio 6: \( (\frac{1}{2}a + 2)^2 \)
Ejercicio 7: \( (0.5x + 1.5)^2 \)
Ejercicio 8: \( (x + y)^2 \)
Ejercicio 9: \( (2a + 3b)^2 \)
Ejercicio 10: \( (m + \frac{1}{3})^2 \)
Ejercicio 11: \( (2.5 + x)^2 \)
Ejercicio 12: \( (3x + 4y)^2 \)
Ejercicio 13: \( (\frac{2}{5}m + \frac{3}{5}n)^2 \)
Ejercicio 14: \( (1 + 0.1x)^2 \)

Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto

Para factorizar una expresión de la forma \(a^2 + 2ab + b^2\), debemos identificar que es un trinomio cuadrado perfecto. Esto significa que el primer y tercer término son cuadrados perfectos, y el segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 + 6x + 9\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El tercer término, \(9\), es el cuadrado de \(3\).

2. **Verificar el doble producto:** El segundo término, \(6x\), es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\).

3. **Factorizar:** Como la expresión cumple con las características de un trinomio cuadrado perfecto, podemos factorizarla como el cuadrado de un binomio: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 + 2ab + b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 4x + 4 \)
Ejercicio 2: \( a^2 + 6a + 9 \)
Ejercicio 3: \( m^2 + 10m + 25 \)
Ejercicio 4: \( 4x^2 + 4x + 1 \)
Ejercicio 5: \( 9y^2 + 24y + 16 \)
Ejercicio 6: \( \frac{1}{4}a^2 + 2a + 4 \)
Ejercicio 7: \( 0.25x^2 + 1.5x + 2.25 \)
Ejercicio 8: \( x^2 + 2xy + y^2 \)
Ejercicio 9: \( 4a^2 + 12ab + 9b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{1}{9} \)
Ejercicio 11: \( 6.25 + 5x + x^2 \)
Ejercicio 12: \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{4}{25}m^2 + \frac{12}{25}mn + \frac{9}{25}n^2 \)
Ejercicio 14: \( 1 + 0.2x + 0.01x^2 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren el cuadrado de un binomio (suma).

Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 + 6x + 9\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?

Problema 2: Se quiere construir una piscina cuadrada rodeada por un borde de baldosas. El área total (piscina más borde) se puede expresar como \(4x^2 + 28x + 49\) metros cuadrados. ¿Cuál es la expresión que representa la longitud del lado de la piscina?

Problema 3: Un terreno cuadrado tiene un área de \(9x^2 + 30xy + 25y^2\) metros cuadrados. Si se quiere cercar el terreno con una valla, ¿cuántos metros de valla se necesitan?

El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Resta

En la página anterior, exploramos el cuadrado de un binomio cuando se trata de una suma \((a + b)^2\). Ahora, vamos a analizar el caso de la resta, es decir, expresiones de la forma \((a - b)^2\).

Desarrollo del Producto Notable (a - b)²

Al igual que con la suma, elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a - b)^2\) es lo mismo que \((a - b) \cdot (a - b)\). Usando la propiedad distributiva, desarrollamos esta expresión:

\( (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) \)

\( = a \cdot (a - b) - b \cdot (a - b) \)

\( = (a \cdot a) - (a \cdot b) - (b \cdot a) + (b \cdot b) \)

\( = a^2 - ab - ba + b^2 \)

\( = a^2 - 2ab + b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para el cuadrado de un binomio (resta) es:

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar el cuadrado de un binomio (resta) con un cuadrado:

(Aquí iría una imagen de un cuadrado de lado 'a' al que se le quita un área de (a-b)^2, dejando dos rectangulos de area a•b y un cuadrado de area b^2. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

Imagina un cuadrado grande de lado 'a'. Para visualizar (a - b)², quitamos dos rectángulos de área a•b de los bordes del cuadrado y sumamos un cuadrado mas pequeño de lado b (ya que se quito dos veces). El área resultante es \(a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Resta)

Nivel 1: Expandir \((a - b)^2\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (5 - 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (8 - 3)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 - 1)^2 \)
Ejercicio 4: \( (9 - 5)^2 \)

Nivel 2: Expandir \((a - b)^2\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (1 - 0.5)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 3: \( (3 - 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (2.5 - 0.5)^2 \)

Nivel 3: Expandir \((a - b)^2\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x - 3)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a - 5)^2 \)
Ejercicio 3: \( (m - n)^2 \)
Ejercicio 4: \( (3x - 2)^2 \)
Ejercicio 5: \( (5 - 2y)^2 \)
Ejercicio 6: \( (2a - \frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 7: \( (1.5 - 0.5x)^2 \)
Ejercicio 8: \( (x - y)^2 \)
Ejercicio 9: \( (4a - 3b)^2 \)
Ejercicio 10: \( (\frac{2}{3} - m)^2 \)
Ejercicio 11: \( (x - 2.5)^2 \)
Ejercicio 12: \( (5x - 2y)^2 \)
Ejercicio 13: \( (\frac{1}{2}m - \frac{2}{3}n)^2 \)
Ejercicio 14: \( (0.2x - 1)^2 \)

Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto (Resta)

Para factorizar una expresión de la forma \(a^2 - 2ab + b^2\), debemos identificar que es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso, el segundo término es negativo. Los pasos son similares al caso de la suma:

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 - 8x + 16\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El tercer término, \(16\), es el cuadrado de \(4\).

2. **Verificar el doble producto:** El segundo término, \(-8x\), es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término, con un signo negativo: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), y luego le agregamos el signo negativo.

3. **Factorizar:** Como la expresión cumple con las características de un trinomio cuadrado perfecto (con el segundo término negativo), podemos factorizarla como el cuadrado de un binomio (resta): \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 - 2ab + b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 - 6x + 9 \)
Ejercicio 2: \( a^2 - 10a + 25 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - 4m + 4 \)
Ejercicio 4: \( 9x^2 - 6x + 1 \)
Ejercicio 5: \( 4y^2 - 12y + 9 \)
Ejercicio 6: \( a^2 - a + \frac{1}{4} \)
Ejercicio 7: \( 4x^2 - 4x + 1 \)
Ejercicio 8: \( x^2 - 2xy + y^2 \)
Ejercicio 9: \( 16a^2 - 40ab + 25b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 - \frac{4}{3}m + \frac{4}{9} \)
Ejercicio 11: \( x^2 - 5x + 6.25 \)
Ejercicio 12: \( 4x^2 - 12xy + 9y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{9}{4}m^2 - 3mn + n^2 \)
Ejercicio 14: \( 0.04x^2 - 0.4x + 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren el cuadrado de un binomio (resta).

Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 - 14x + 49\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?

Problema 2: Un মঞ্চ (escenario) cuadrado tiene un área de \(9x^2 - 12x + 4\) metros cuadrados. Se quiere colocar una alfombra que cubra todo el মঞ্চ. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra en términos de \(x\)?

Problema 3: Se tiene un terreno cuadrado de lado "y" metros. Se quiere construir una casa cuadrada en una esquina del terreno, dejando el resto como jardín. Si el área del jardín se puede expresar como \(y^2 - 8y + 16\) metros cuadrados, ¿cuál es la expresión que representa la longitud del lado de la casa?

Suma por Diferencia: Un Producto Notable Especial

Hemos visto cómo desarrollar el cuadrado de un binomio, tanto para la suma como para la resta. Ahora, vamos a explorar otro producto notable muy importante: la suma por diferencia, que tiene la forma \((a + b)(a - b)\).

Desarrollo del Producto Notable (a + b)(a - b)

Para desarrollar la expresión \((a + b)(a - b)\), aplicamos la propiedad distributiva de la siguiente manera:

\( (a + b)(a - b) = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) \)

\( = (a \cdot a) - (a \cdot b) + (b \cdot a) - (b \cdot b) \)

\( = a^2 - ab + ba - b^2 \)

\( = a^2 - b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para la suma por diferencia es:

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar la suma por diferencia con rectángulos:

(Aquí iría una imagen de un rectángulo de lados (a+b) y (a-b). Se divide el rectángulo de forma que se visualiza la resta de las areas, dando como resultado a² - b². Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

El area del rectangulo es (a+b)•(a-b) que es equivalente a la resta del area de un cuadrado de lado a con un cuadrado de lado b.

Ejercicios (Suma por Diferencia)

Nivel 1: Expandir \((a + b)(a - b)\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (3 + 2)(3 - 2) \)
Ejercicio 2: \( (5 + 1)(5 - 1) \)
Ejercicio 3: \( (7 + 4)(7 - 4) \)
Ejercicio 4: \( (6 + 3)(6 - 3) \)

Nivel 2: Expandir \((a + b)(a - b)\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (1 + 0.5)(1 - 0.5) \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) \)
Ejercicio 3: \( (2\frac{1}{2} + 1)(2\frac{1}{2} - 1) \)
Ejercicio 4: \( (3.5 - 1.5)(3.5 + 1.5) \)

Nivel 3: Expandir \((a + b)(a - b)\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)(x - 2) \)
Ejercicio 2: \( (a - 3)(a + 3) \)
Ejercicio 3: \( (m + n)(m - n) \)
Ejercicio 4: \( (2x + 1)(2x - 1) \)
Ejercicio 5: \( (5 - 3y)(5 + 3y) \)
Ejercicio 6: \( (\frac{1}{2}a + 2)(\frac{1}{2}a - 2) \)
Ejercicio 7: \( (1.5 - 0.5x)(1.5 + 0.5x) \)
Ejercicio 8: \( (x + y)(x - y) \)
Ejercicio 9: \( (3a - 2b)(3a + 2b) \)
Ejercicio 10: \( (m + \frac{1}{3})(m - \frac{1}{3}) \)
Ejercicio 11: \( (2.5 - x)(2.5 + x) \)
Ejercicio 12: \( (4x + 3y)(4x - 3y) \)
Ejercicio 13: \( (\frac{2}{5}m - \frac{1}{2}n)(\frac{2}{5}m + \frac{1}{2}n) \)
Ejercicio 14: \( (0.1x + 1)(0.1x - 1) \)

Factorizando una Diferencia de Cuadrados

Factorizar una diferencia de cuadrados significa expresar una expresión de la forma \(a^2 - b^2\) como el producto de la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de cada término. La fórmula que usamos es la inversa del producto notable que acabamos de ver:

\( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 - 9\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El segundo término, \(9\), es el cuadrado de \(3\).

2. **Aplicar la fórmula:** Usando la fórmula de diferencia de cuadrados, factorizamos la expresión como \((x + 3)(x - 3)\).

Por lo tanto, la factorización de \(x^2 - 9\) es \((x + 3)(x - 3)\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 - b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 - 4 \)
Ejercicio 2: \( a^2 - 25 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - n^2 \)
Ejercicio 4: \( 4x^2 - 1 \)
Ejercicio 5: \( 16 - 9y^2 \)
Ejercicio 6: \( \frac{1}{4}a^2 - 4 \)
Ejercicio 7: \( 2.25 - 0.25x^2 \)
Ejercicio 8: \( x^2 - y^2 \)
Ejercicio 9: \( 9a^2 - 4b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 - \frac{1}{9} \)
Ejercicio 11: \( 6.25 - x^2 \)
Ejercicio 12: \( 16x^2 - 9y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{4}{25}m^2 - \frac{1}{4}n^2 \)
Ejercicio 14: \( 0.01x^2 - 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la suma por diferencia.

Problema 1: El área de un rectángulo se puede expresar como \(x^2 - 16\) unidades cuadradas. Si la longitud y el ancho del rectángulo son de la forma \((x + a)\) y \((x - a)\), donde 'a' es un número entero, ¿cuáles son las expresiones para la longitud y el ancho del rectángulo?

Problema 2: Una tienda vende un artículo a un precio de \((2x + 5)\) dólares. Durante una oferta especial, el precio se reduce a \((2x - 5)\) dólares. Si la diferencia entre el cuadrado del precio original y el cuadrado del precio de oferta es de $100, ¿cuál es el valor de 'x'?

Problema 3: Se quiere diseñar una alfombra rectangular con un área que se puede expresar como \(9x^2 - 4y^2\) metros cuadrados. ¿Cuáles son las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra en términos de 'x' e 'y'?

Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas

Ahora que ya hemos estudiado los tres productos notables principales (cuadrado de un binomio - suma y resta, y suma por diferencia), vamos a aplicarlos en la resolución de problemas concretos. Estos problemas nos ayudarán a comprender mejor la utilidad de los productos notables en diferentes contextos.

Ejercicios

Nivel 1: Problemas de geometría que involucren el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, donde los lados son expresiones algebraicas simples (4 ejercicios).

Problema 1: Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide \((x + 5)\) unidades.

Problema 2: Un rectángulo tiene una base que mide \((2x - 3)\) unidades y una altura que mide \((2x + 3)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.

Problema 3: Encuentra la expresión para el área de un cuadrado cuyo lado mide \((3x - 2y)\) unidades.

Problema 4: Un rectángulo tiene una base que mide \((x + 4)\) unidades y una altura que mide \((x - 4)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.

Nivel 2: Problemas que combinen el cálculo de áreas con la suma o resta de otras áreas (4 ejercicios).

Problema 1: Se tiene un cuadrado de lado \((x + 2)\) metros. En el centro, se construye una fuente cuadrada de lado 'x' metros. Calcula el área restante del cuadrado que no está ocupada por la fuente.

Problema 2: Se quiere pintar una pared rectangular de \((3x + 1)\) metros de largo y \((3x - 1)\) metros de ancho. En la pared hay una ventana cuadrada de lado 'x' metros que no se pintará. Calcula el área de la pared que se pintará.

Problema 3: Un marco de fotos cuadrado tiene un lado exterior que mide \((2x + 3)\) cm. El marco tiene un ancho uniforme de 2 cm. Calcula el área visible de la foto (el área interior del marco).

Problema 4: Se tiene un terreno cuadrado de lado \((4x + 5)\) metros. Se quiere construir una casa cuadrada en el centro, dejando un jardín alrededor. Si el lado de la casa mide \((2x + 1)\) metros, ¿cuál es el área del jardín?

Nivel 3: Problemas de aplicación de productos notables a situaciones cotidianas (4 ejercicios).

Problema 1: Una empresa produce baldosas cuadradas. El costo de producción de cada baldosa depende de la longitud de su lado, 'x' cm, y se puede expresar como \((x + 3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada baldosa a \((x + 5)^2\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por cada baldosa vendida?

Problema 2: Se quiere cercar un jardín rectangular con una valla. El largo del jardín es \((x + 7)\) metros y el ancho es \((x - 7)\) metros. Si el costo de la valla es de $10 por metro, ¿cuál es el costo total de cercar el jardín?

Problema 3: Un capital de \((x + 100)\) pesos se invierte a un interés compuesto anual del 5%. ¿Cuál es la expresión que representa el monto total después de 2 años?

Problema 4: Se realiza una encuesta a \((x - 5)\) personas sobre su preferencia por un producto. Si la cantidad de personas que respondieron "sí" es \((x + 5)\) , ¿cuál es la expresión que representa a la cantidad de personas que respondio "no"?

Completando el Cuadrado: ¡Transformando Expresiones!

En las páginas anteriores, hemos trabajado con trinomios cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Ahora, vamos a aprender una técnica llamada "completar el cuadrado" que nos permite transformar expresiones que no son trinomios cuadrados perfectos en una forma que sí lo es. Esto es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas y simplificar expresiones algebraicas.

¿Cómo completar el cuadrado?

El objetivo de completar el cuadrado es convertir una expresión de la forma \(x^2 + bx\) o \(x^2 + bx + c\) en un trinomio cuadrado perfecto, que luego podemos factorizar como el cuadrado de un binomio.

Pasos para completar el cuadrado:

1. Identificar el coeficiente de 'x' (el valor 'b'): En la expresión \(x^2 + bx\), 'b' es el coeficiente que acompaña a la 'x'.
2. Dividir 'b' entre 2 y elevar al cuadrado: Calculamos \((b/2)^2\).
3. Sumar y restar \((b/2)^2\): Sumamos y restamos el valor obtenido en el paso anterior a la expresión original. Esto no altera el valor de la expresión, ya que estamos sumando y restando lo mismo.

Ejemplo: Completar el cuadrado en la expresión \(x^2 + 6x\).

1. El coeficiente de 'x' es 6 (b = 6).
2. Dividimos 6 entre 2 y elevamos al cuadrado: \((6/2)^2 = 3^2 = 9\).
3. Sumamos y restamos 9 a la expresión: \(x^2 + 6x + 9 - 9\).

Ahora, la expresión \(x^2 + 6x + 9\) es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar como \((x + 3)^2\). Por lo tanto, la expresión original se puede escribir como: \((x + 3)^2 - 9\).

Ejercicios (Completando el Cuadrado)

Nivel 1: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx\) (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 4x \)
Ejercicio 2: \( x^2 + 10x \)
Ejercicio 3: \( x^2 - 8x \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 3x \)

Nivel 2: Completar el cuadrado en expresiones de la forma \(x^2 + bx + c\) (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 8x + 10 \)
Ejercicio 2: \( x^2 - 6x + 5 \)
Ejercicio 3: \( x^2 + 5x + 2 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 2x - 3 \)

Nivel 3: Completar el cuadrado con coeficientes racionales (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 3x \)
Ejercicio 2: \( x^2 - \frac{1}{2}x \)
Ejercicio 3: \( x^2 + \frac{2}{3}x + 1 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 0.8x + 0.1 \)
Ejercicio 5: \( 2x^2 + 4x \)
Ejercicio 6: \( 3x^2 - 9x + 6\)
Ejercicio 7: \( \frac{1}{2}x^2 + x + 2 \)
Ejercicio 8: \( 0.2x^2 - x + 1 \)
Ejercicio 9: \( 4x^2 - 6x + 2\)
Ejercicio 10: \( \frac{2}{3}x^2 + 4x -1 \)
Ejercicio 11: \( x^2 + \frac{3}{5}x \)
Ejercicio 12: \( x^2 - 1.2x + 1 \)
Ejercicio 13: \( 5x^2 + 10x -5 \)
Ejercicio 14: \( 0.1x^2 - 0.6x + 0.9 \)

Nivel 4: Utilizar la técnica de completar el cuadrado para reescribir expresiones en la forma \((x + p)^2 + q\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 6x + 5 \)
Ejercicio 2: \( x^2 - 4x + 3 \)
Ejercicio 3: \( x^2 + 2x - 8 \)
Ejercicio 4: \( x^2 - 8x + 12 \)
Ejercicio 5: \( x^2 + x - 2 \)
Ejercicio 6: \( x^2 - 3x + 1 \)
Ejercicio 7: \( x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)
Ejercicio 8: \( x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \)
Ejercicio 9: \( 2x^2 + 8x + 6 \)
Ejercicio 10: \( 3x^2 - 6x + 1 \)
Ejercicio 11: \( \frac{1}{2}x^2 + 2x - 3 \)
Ejercicio 12: \( 0.1x^2 - x + 2 \)
Ejercicio 13: \( 4x^2 + 4x - 8\)
Ejercicio 14: \( \frac{2}{3}x^2 - 2x + 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren completar el cuadrado.

Problema 1: La altura 'h' (en metros) que alcanza un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo 't' (en segundos) está dada por la expresión: \(h(t) = -5t^2 + 20t + 10\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

Problema 2: Una empresa de tecnología ha encontrado que la ganancia 'G' (en miles de pesos) por la venta de 'x' unidades de un nuevo dispositivo se puede modelar con la expresión: \(G(x) = -2x^2 + 12x - 8\). ¿Cuántas unidades deben venderse para maximizar la ganancia?

Problema 3: El costo 'C' (en pesos) de producir 'x' unidades de un cierto artículo está dado por la expresión: \(C(x) = x^2 - 8x + 20\). ¿Cuál es el costo mínimo de producción?

Reducción y Desarrollo de Expresiones Algebraicas

En esta página, pondremos en práctica todo lo que hemos aprendido sobre productos notables para simplificar y expandir expresiones algebraicas más complejas. La clave está en reconocer las estructuras de los productos notables que ya conocemos: el cuadrado de un binomio (suma y resta) y la suma por diferencia.

Ejercicios

Nivel 1: Desarrollo de expresiones algebraicas utilizando los productos notables (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 2)^2 + (x - 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a + 3)(a - 3) - (a + 1)^2 \)
Ejercicio 3: \( 2(m + 4)^2 - 3(m + 1)(m - 1) \)
Ejercicio 4: \( (2x + y)^2 - (2x - y)^2 \)

Nivel 2: Factorización de expresiones algebraicas utilizando los productos notables (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 + 10x + 25 - y^2 \)
Ejercicio 2: \( 4a^2 - 12a + 9 - b^2 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - n^2 + 2n - 1 \)
Ejercicio 4: \( 9x^2 - 16y^2 + 8y - 1 \)

Nivel 3: Ejercicios que combinen el desarrollo y la factorización, junto con la suma y resta de términos (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x + 1)^2 + 2(x + 1)(x - 1) + (x - 1)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2 \)
Ejercicio 3: \( 4(x + 2)^2 - 4(x + 2)(x - 2) + (x - 2)^2 \)
Ejercicio 4: \( (2m + n)^2 - 2(2m + n)(m - n) + (m - n)^2 \)
Ejercicio 5: \( (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 3) \)
Ejercicio 6: \( (2a - 1)^2 + (2a + 1)(2a - 1) \)
Ejercicio 7: \( (m + 2n)^2 - (m - 2n)(m + 2n) \)
Ejercicio 8: \( 3(x - 2)^2 + 2(x + 1)(x - 1) - (x + 3)^2\)
Ejercicio 9: \( (a+b+c)^2 - (a+b-c)^2\)
Ejercicio 10: \( (x-1)^2 + 2(x-1)(x+1) + (x+1)^2\)
Ejercicio 11: \( (x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)\)
Ejercicio 12: \( (a+b)^2 - (a^2 + b^2) \)
Ejercicio 13: \( 4(x + 3)^2 - 4(x^2 - 9) + (x - 3)^2\)
Ejercicio 14: \( (2m - n)^2 + 2(4m^2 - n^2) + (2m + n)^2\)

Nivel 4: Simplificación de expresiones complejas que involucren varios productos notables y operaciones combinadas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( \frac{(x + 2)^2 - (x - 2)^2}{4x} \)
Ejercicio 2: \( \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} \)
Ejercicio 3: \( \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{2m} \)
Ejercicio 4: \( \frac{(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2}{6xy} \)
Ejercicio 5: \( \frac{(x + 3)^2 - (x - 3)^2}{3x} + (x + 1)(x - 1) \)
Ejercicio 6: \( \frac{(2a - 1)^2 - (2a + 1)^2}{4a} - (a + 2)(a - 2) \)
Ejercicio 7: \( \frac{(m + 2n)^2 - (m - 2n)^2}{8mn} + (m + n)(m - n) \)
Ejercicio 8: \( \frac{(x + 1)^2 + 2(x + 1)(x - 1) + (x - 1)^2}{4x^2} \)
Ejercicio 9: \( \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2} \)
Ejercicio 10: \( \frac{2(x+3)^2 + 2(x-3)^2}{4} - x^2 \)
Ejercicio 11: \( \frac{(a+2b)^2 - (a-2b)^2}{4} + ab \)
Ejercicio 12: \( \frac{3(2m+n)^2 - 3(2m-n)^2}{4} - 3mn \)
Ejercicio 13: \( \frac{(x-1)^2 + 2(x-1)(x+1) + (x+1)^2}{(2x-1)^2 + 2(2x-1)(2x+1) + (2x+1)^2} \)
Ejercicio 14: \( \frac{(a+b+c)^2 - (a+b-c)^2}{(2a+b)^2 - (2a-b)^2} \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la simplificación de expresiones algebraicas (4 ejercicios).

Problema 1: Un terreno rectangular tiene un largo de \((x + 5)\) metros y un ancho de \((x - 5)\) metros. Si se aumenta el largo en 3 metros y se disminuye el ancho en 3 metros, ¿cuál es la diferencia entre el área original y el área nueva?

Problema 2: Se tiene un cuadrado de lado \((2x + 1)\) cm. Si se aumenta cada lado en 2 cm, ¿cuál es la expresión que representa el aumento en el área del cuadrado?

Problema 3: Una empresa produce marcos cuadrados para cuadros. El costo de producción de cada marco depende de la longitud de su lado exterior, 'x' cm, y se puede expresar como \(2(x + 3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada marco a un precio de \(3(x + 2)(x - 2)\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por cada marco vendido?

Problema 4: Se desea construir un depósito de agua de forma cúbica. El costo de construcción depende del área total de las paredes, el piso y la tapa. Si el lado del cubo es (x+1) metros, y el costo de construcción es de 10 pesos por metro cuadrado, ¿Cuál es la expresión que representa el costo total de la construcción?