Libro Productos Notables
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro Productos Notables |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | domingo, 7 de junio de 2026, 17:17 |
Tabla de contenidos
- 1. Descubriendo los Productos Notables: multiplicar se vuelve más fácil
- 2. El Cuadrado de un Binomio: el caso de la suma
- 3. El Cuadrado de un Binomio: el caso de la resta
- 4. Suma por Diferencia: un producto notable especial
- 5. Práctica Integrada: Productos Notables
- 6. Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
- 7. Profundización opcional: Estrategias Avanzadas con Productos Notables
- 8. Profundización opcional: Completando el Cuadrado
- 9. diagrama
1. Descubriendo los Productos Notables: multiplicar se vuelve más fácil
Inicio
Los productos notables son herramientas útiles del álgebra que permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página comenzaremos desde una idea fundamental: la propiedad distributiva.
Repaso de la Propiedad Distributiva
¿Qué establece esta propiedad?
La propiedad distributiva establece que multiplicar un número por una suma es equivalente a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los resultados.
Ejemplo en contexto
Imagina que tienes 3 cajas. Cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas hay en total, puedes calcularlo de dos maneras:
- Primero sumar las frutas de una caja: \(2+4=6\), y luego multiplicar por las 3 cajas: \(3\cdot 6=18\).
- O calcular por separado las manzanas y las naranjas: \(3\cdot 2=6\) y \(3\cdot 4=12\), para luego sumar: \(6+12=18\).
Ambos métodos entregan el mismo resultado. Esa es la propiedad distributiva en acción.
Representación geométrica
También podemos visualizar esta propiedad con áreas. Si un rectángulo tiene un lado de medida \(a\) y el otro lado de medida \(b+c\), su área total es \(a(b+c)\).
Ese rectángulo puede dividirse en dos partes: una de área \(ab\) y otra de área \(ac\). Por eso, el área total también puede escribirse como \(ab+ac\).
Fórmula general
\[ a(b+c)=ab+ac \]
¿Por qué es tan importante si puedo sumar primero?
En una expresión numérica como \(5(10+4)\), es fácil sumar primero: \(5\cdot 14=70\).
Pero en una expresión algebraica como \(5(x+4)\), no se puede sumar \(x+4\), porque no son términos semejantes. En ese caso, la propiedad distributiva permite transformar la expresión:
\[ 5(x+4)=5x+20 \]
Por eso esta propiedad es fundamental para trabajar con expresiones algebraicas.
Ejercicios de propiedad distributiva
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \(5(10+4)\).
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 5(10+4)=(5\cdot 10)+(5\cdot 4) \]
Calculamos cada multiplicación:
\[ 50+20=70 \]
Comprobación:
\[ 5(10+4)=5\cdot 14=70 \]
Ambos caminos entregan el mismo resultado.
Nivel 1: ejercicios simples con números enteros
- \(3(4+5)\)
- \(7(2+8)\)
- \(5(9+1)\)
- \(2(6+3)\)
1. \[ 3(4+5)=(3\cdot 4)+(3\cdot 5)=12+15=27 \]
2. \[ 7(2+8)=(7\cdot 2)+(7\cdot 8)=14+56=70 \]
3. \[ 5(9+1)=(5\cdot 9)+(5\cdot 1)=45+5=50 \]
4. \[ 2(6+3)=(2\cdot 6)+(2\cdot 3)=12+6=18 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \(6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\).
Distribuimos el \(6\) en cada término del paréntesis:
\[ 6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) = 6\cdot\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{3} \]
Calculamos:
\[ \frac{6}{2}+\frac{6}{3}=3+2=5 \]
Nivel 2: números racionales
- \(2(0{,}5+1{,}5)\)
- \(4\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)\)
- \(3\left(1\frac{1}{2}+2\right)\)
- \(0{,}8(5+2{,}5)\)
1. \[ 2(0{,}5+1{,}5)=2\cdot 0{,}5+2\cdot 1{,}5=1+3=4 \]
2. \[ 4\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) = 4\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{3}{4} = 2+3=5 \]
3. \[ 3\left(1\frac{1}{2}+2\right) = 3\left(\frac{3}{2}+2\right) = 3\cdot\frac{3}{2}+3\cdot 2 = \frac{9}{2}+6 = 4{,}5+6=10{,}5 \]
4. \[ 0{,}8(5+2{,}5)=0{,}8\cdot 5+0{,}8\cdot 2{,}5=4+2=6 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \(4x(2y+3)\).
Multiplicamos el término exterior \(4x\) por cada término del paréntesis:
\[ 4x(2y+3)=4x\cdot 2y+4x\cdot 3 \]
Calculamos cada producto:
\[ 4x\cdot 2y=8xy \]
\[ 4x\cdot 3=12x \]
Por lo tanto:
\[ 4x(2y+3)=8xy+12x \]
No se puede reducir \(8xy+12x\), porque \(8xy\) y \(12x\) no son términos semejantes.
Nivel 3: mezclando números y letras
- \(2(3+4)\)
- \(5(1{,}2+2{,}8)\)
- \(\frac{1}{3}(6+9)\)
- \(2\frac{1}{4}(4+8)\)
- \(3(x+4)\)
- \(a(2+7)\)
- \(0{,}5(4a+6)\)
- \(\frac{2}{3}(6x+9y)\)
- \(4(2a+3b)\)
- \(x(y+z)\)
- \(1{,}2(5m+2{,}5n)\)
- \(2(x+y+3)\)
- \(m(2+n+p)\)
- \(\frac{1}{2}(4x+6y+8z)\)
1. \[ 2(3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=6+8=14 \]
2. \[ 5(1{,}2+2{,}8)=5\cdot 1{,}2+5\cdot 2{,}8=6+14=20 \]
3. \[ \frac{1}{3}(6+9)=\frac{1}{3}\cdot 6+\frac{1}{3}\cdot 9=2+3=5 \]
4. \[ 2\frac{1}{4}(4+8)=\frac{9}{4}\cdot 4+\frac{9}{4}\cdot 8=9+18=27 \]
5. \[ 3(x+4)=3x+12 \]
6. \[ a(2+7)=2a+7a=9a \]
7. \[ 0{,}5(4a+6)=0{,}5\cdot 4a+0{,}5\cdot 6=2a+3 \]
8. \[ \frac{2}{3}(6x+9y)=\frac{2}{3}\cdot 6x+\frac{2}{3}\cdot 9y=4x+6y \]
9. \[ 4(2a+3b)=8a+12b \]
10. \[ x(y+z)=xy+xz \]
11. \[ 1{,}2(5m+2{,}5n)=1{,}2\cdot 5m+1{,}2\cdot 2{,}5n=6m+3n \]
12. \[ 2(x+y+3)=2x+2y+6 \]
13. \[ m(2+n+p)=2m+mn+mp \]
14. \[ \frac{1}{2}(4x+6y+8z)=2x+3y+4z \]
Yendo al revés: La Factorización
Idea clave
La factorización es el proceso inverso a la propiedad distributiva. En lugar de multiplicar para expandir una expresión, buscamos un factor común para escribirla como un producto.
Por ejemplo, en \(3x+12\), el factor común es \(3\), ya que \(3x=3\cdot x\) y \(12=3\cdot 4\). Entonces:
\[ 3x+12=3(x+4) \]
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(12a^2b+18ab^2\).
Buscamos el máximo factor común:
- Entre \(12\) y \(18\), el mayor factor común es \(6\).
- Entre \(a^2\) y \(a\), se extrae \(a\), porque es la menor potencia común.
- Entre \(b\) y \(b^2\), se extrae \(b\), porque es la menor potencia común.
Entonces, el máximo factor común es \(6ab\).
Dividimos cada término por \(6ab\):
\[ \frac{12a^2b}{6ab}=2a \]
\[ \frac{18ab^2}{6ab}=3b \]
Por lo tanto:
\[ 12a^2b+18ab^2=6ab(2a+3b) \]
Nivel 4: factoriza las siguientes expresiones
- \(6x+9y\)
- \(10ab+15ac\)
- \(4m+12mn\)
- \(7xy+14xz\)
- \(2a+4b+8c\)
- \(5x+10x^2\)
- \(18abc+9ad\)
- \(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y\)
- \(2{,}5m+5n\)
- \(3ab+6ac+9ad\)
- \(14x+7y\)
- \(8mn+4m\)
- \(\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b\)
- \(9x+6xy+3xz\)
1. El factor común es \(3\): \[ 6x+9y=3(2x+3y) \]
2. El factor común es \(5a\): \[ 10ab+15ac=5a(2b+3c) \]
3. El factor común es \(4m\): \[ 4m+12mn=4m(1+3n) \]
4. El factor común es \(7x\): \[ 7xy+14xz=7x(y+2z) \]
5. El factor común es \(2\): \[ 2a+4b+8c=2(a+2b+4c) \]
6. El factor común es \(5x\): \[ 5x+10x^2=5x(1+2x) \]
7. El factor común es \(9a\): \[ 18abc+9ad=9a(2bc+d) \]
8. El factor común es \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}(x+3y) \]
9. El factor común es \(2{,}5\): \[ 2{,}5m+5n=2{,}5(m+2n) \]
10. El factor común es \(3a\): \[ 3ab+6ac+9ad=3a(b+2c+3d) \]
11. El factor común es \(7\): \[ 14x+7y=7(2x+y) \]
12. El factor común es \(4m\): \[ 8mn+4m=4m(2n+1) \]
13. El factor común es \(\frac{1}{4}\): \[ \frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b=\frac{1}{4}(3a+b) \]
14. El factor común es \(3x\): \[ 9x+6xy+3xz=3x(3+2y+z) \]
Cuidado con el \(1\) fantasma
Un error común al factorizar es olvidar el \(1\) cuando un término completo coincide con el factor común.
Por ejemplo, en \(8mn+4m\), el factor común es \(4m\). Al dividir \(8mn\) por \(4m\), obtenemos \(2n\). Pero al dividir \(4m\) por \(4m\), obtenemos \(1\), no \(0\).
Por eso:
\[ 8mn+4m=4m(2n+1) \]
Aplicaciones: problemas de la vida real
Ejemplo guiado: calculando una compra
Para una convivencia se compran 4 bebidas a $1.200 cada una y 4 paquetes de galletas a $800 cada uno. ¿Cuánto se gasta en total?
Método 1: calcular por separado.
\[ 4\cdot 1200+4\cdot 800=4800+3200=8000 \]
Método 2: usar la propiedad distributiva.
Como se compran 4 unidades de cada producto, se puede escribir:
\[ 4(1200+800)=4\cdot 2000=8000 \]
En ambos casos, el gasto total es $8.000.
Problema 1
Tres amigos van a un complejo deportivo. Cada uno debe pagar una entrada de $5.000 y arrendar un casillero por $1.500. ¿Cuál es el costo total para el grupo? Exprésalo usando la propiedad distributiva.
El costo por persona es:
\[ 5000+1500 \]
Como son 3 personas, el costo total es:
\[ 3(5000+1500) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 3(5000+1500)=3\cdot 5000+3\cdot 1500 \]
\[ 15000+4500=19500 \]
El costo total para el grupo es $19.500.
Problema 2
Un terreno rectangular se divide en dos secciones para plantar. La primera sección tiene largo \(10\) metros y la segunda tiene largo \(8\) metros. Ambas tienen el mismo ancho de \(x\) metros. Escribe una expresión simplificada para el área total del terreno.
El ancho común es \(x\), y los largos suman \(10+8\). Entonces:
\[ A=x(10+8) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ x(10+8)=10x+8x=18x \]
El área total del terreno es \(18x\) metros cuadrados.
Problema 3
Una tienda de ropa tiene una oferta de 20% de descuento en el total de la compra. Ana elige una polera de $12.000 y un pantalón de $25.000. ¿Cuánto pagará en total?
Pista: pagar con un 20% de descuento equivale a pagar el 80% del precio original.
Primero representamos el total sin descuento:
\[ 12000+25000=37000 \]
Como paga el 80%, multiplicamos por \(0{,}8\):
\[ 0{,}8(12000+25000) \]
Aplicando la propiedad distributiva:
\[ 0{,}8\cdot 12000+0{,}8\cdot 25000=9600+20000=29600 \]
Ana pagará $29.600.
El Gran Salto: de la distribución al primer producto notable
De la distributividad al cuadrado de un binomio
Ahora usemos la propiedad distributiva para desarrollar \((x+3)^2\).
Elevar al cuadrado significa multiplicar una expresión por sí misma:
\[ (x+3)^2=(x+3)(x+3) \]
Distribuimos cada término del primer paréntesis sobre el segundo:
\[ (x+3)(x+3)=x(x+3)+3(x+3) \]
Aplicamos la propiedad distributiva en cada parte:
\[ x(x+3)=x^2+3x \]
\[ 3(x+3)=3x+9 \]
Juntamos los resultados:
\[ x^2+3x+3x+9 \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ x^2+6x+9 \]
Por lo tanto:
\[ (x+3)^2=x^2+6x+9 \]
Primer producto notable
El patrón general del cuadrado de un binomio suma es:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.
2. El Cuadrado de un Binomio: el caso de la suma
Ahora que hemos repasado la propiedad distributiva, estamos listos para explorar uno de los productos notables más importantes: el cuadrado de un binomio. En esta página nos enfocaremos en el caso de la suma, es decir, expresiones de la forma \((a+b)^2\).
Desarrollo del Producto Notable \((a+b)^2\)
¿Qué significa elevar un binomio al cuadrado?
Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces:
\[ (a+b)^2=(a+b)(a+b) \]
Usando la propiedad distributiva:
\[ (a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b) \]
\[ =a^2+ab+ba+b^2 \]
Como \(ab\) y \(ba\) representan el mismo producto, se suman:
\[ a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2 \]
Fórmula del cuadrado de un binomio suma
El desarrollo de un cuadrado de binomio suma siempre sigue este patrón:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado.
Ejemplo visual
El área total de un cuadrado de lado \(a+b\) se puede dividir en cuatro partes: una de área \(a^2\), dos rectángulos de área \(ab\), y una de área \(b^2\). Por eso:
\[ (a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 \]
Ejercicios: cuadrado de un binomio suma
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \((4+2)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=4\) y \(b=2\).
Aplicamos:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
\[ (4+2)^2=4^2+2\cdot 4\cdot 2+2^2 \]
\[ =16+16+4=36 \]
Comprobación:
\[ (4+2)^2=6^2=36 \]
Nivel 1: expandir con valores enteros
- \((2+3)^2\)
- \((5+1)^2\)
- \((4+6)^2\)
- \((7+2)^2\)
1. \[ (2+3)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=4+12+9=25 \]
2. \[ (5+1)^2=5^2+2\cdot 5\cdot 1+1^2=25+10+1=36 \]
3. \[ (4+6)^2=4^2+2\cdot 4\cdot 6+6^2=16+48+36=100 \]
4. \[ (7+2)^2=7^2+2\cdot 7\cdot 2+2^2=49+28+4=81 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \((1{,}5+0{,}5)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=1{,}5\) y \(b=0{,}5\).
\[ (1{,}5+0{,}5)^2=(1{,}5)^2+2(1{,}5)(0{,}5)+(0{,}5)^2 \]
\[ =2{,}25+1{,}5+0{,}25=4 \]
Comprobación:
\[ (1{,}5+0{,}5)^2=2^2=4 \]
Nivel 2: expandir con valores racionales
- \((0{,}5+1)^2\)
- \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2\)
- \(\left(2+1\frac{1}{2}\right)^2\)
- \((1{,}2+0{,}8)^2\)
1. \[ (0{,}5+1)^2=(0{,}5)^2+2(0{,}5)(1)+1^2 \]
\[ =0{,}25+1+1=2{,}25 \]
2. \[ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2= \left(\frac{1}{2}\right)^2+ 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{4}\right)^2 \]
\[ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16} =\frac{4}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16} =\frac{9}{16} \]
3. Primero escribimos \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\):
\[ \left(2+\frac{3}{2}\right)^2= 2^2+2\cdot 2\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2 \]
\[ =4+6+\frac{9}{4} =10+\frac{9}{4} =\frac{49}{4}=12{,}25 \]
4. \[ (1{,}2+0{,}8)^2=(1{,}2)^2+2(1{,}2)(0{,}8)+(0{,}8)^2 \]
\[ =1{,}44+1{,}92+0{,}64=4 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \((3x+2y)^2\).
Identificamos \(a=3x\) y \(b=2y\).
Primer término al cuadrado:
\[ (3x)^2=9x^2 \]
Doble producto del primero por el segundo:
\[ 2(3x)(2y)=12xy \]
Segundo término al cuadrado:
\[ (2y)^2=4y^2 \]
Resultado:
\[ (3x+2y)^2=9x^2+12xy+4y^2 \]
Nivel 3: expandir con expresiones algebraicas
- \((x+2)^2\)
- \((3+a)^2\)
- \((m+n)^2\)
- \((2x+1)^2\)
- \((4+3y)^2\)
- \(\left(\frac{1}{2}a+2\right)^2\)
- \((0{,}5x+1{,}5)^2\)
- \((x+y)^2\)
- \((2a+3b)^2\)
- \(\left(m+\frac{1}{3}\right)^2\)
- \((2{,}5+x)^2\)
- \((3x+4y)^2\)
- \(\left(\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}n\right)^2\)
- \((1+0{,}1x)^2\)
1. \[ (x+2)^2=x^2+2(x)(2)+2^2=x^2+4x+4 \]
2. \[ (3+a)^2=3^2+2(3)(a)+a^2=9+6a+a^2 \]
3. \[ (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 \]
4. \[ (2x+1)^2=(2x)^2+2(2x)(1)+1^2=4x^2+4x+1 \]
5. \[ (4+3y)^2=4^2+2(4)(3y)+(3y)^2=16+24y+9y^2 \]
6. \[ \left(\frac{1}{2}a+2\right)^2= \left(\frac{1}{2}a\right)^2+2\left(\frac{1}{2}a\right)(2)+2^2 =\frac{1}{4}a^2+2a+4 \]
7. \[ (0{,}5x+1{,}5)^2=(0{,}5x)^2+2(0{,}5x)(1{,}5)+(1{,}5)^2 =0{,}25x^2+1{,}5x+2{,}25 \]
8. \[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]
9. \[ (2a+3b)^2=(2a)^2+2(2a)(3b)+(3b)^2=4a^2+12ab+9b^2 \]
10. \[ \left(m+\frac{1}{3}\right)^2=m^2+2m\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^2 =m^2+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9} \]
11. \[ (2{,}5+x)^2=(2{,}5)^2+2(2{,}5)(x)+x^2=6{,}25+5x+x^2 \]
12. \[ (3x+4y)^2=(3x)^2+2(3x)(4y)+(4y)^2=9x^2+24xy+16y^2 \]
13. \[ \left(\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}n\right)^2= \left(\frac{2}{5}m\right)^2+ 2\left(\frac{2}{5}m\right)\left(\frac{3}{5}n\right)+ \left(\frac{3}{5}n\right)^2 \]
\[ =\frac{4}{25}m^2+\frac{12}{25}mn+\frac{9}{25}n^2 \]
14. \[ (1+0{,}1x)^2=1^2+2(1)(0{,}1x)+(0{,}1x)^2 =1+0{,}2x+0{,}01x^2 \]
Ojo con los paréntesis
Un error común ocurre en ejercicios como \((2x+1)^2\). Al calcular el primer término al cuadrado, debes elevar al cuadrado todo el término.
- Incorrecto: \(2x^2\)
- Correcto: \((2x)^2=4x^2\)
Recuerda usar paréntesis para evitar este error.
Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto
Proceso inverso
Ahora haremos el proceso inverso. Si tenemos una expresión como \(a^2+2ab+b^2\), podemos contraerla a su forma original:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
A este proceso se le llama factorizar.
Procedimiento para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Para factorizar \(x^2+6x+9\), seguimos estos pasos:
- Identificar las raíces de los extremos: la raíz cuadrada de \(x^2\) es \(x\), y la raíz cuadrada de \(9\) es \(3\).
- Verificar el término del medio: calculamos \(2\cdot x\cdot 3=6x\). Coincide con el término del medio.
- Escribir el resultado: como se cumplen las condiciones, la factorización es: \[ x^2+6x+9=(x+3)^2 \]
La clave está en el término del medio
Si al comprobar el término del medio el resultado no coincide, entonces el trinomio no es un cuadrado perfecto y no se puede factorizar con esta regla.
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(4x^2+20x+25\).
Paso 1: identificar las raíces de los extremos.
- La raíz de \(4x^2\) es \(2x\).
- La raíz de \(25\) es \(5\).
Paso 2: verificar el término del medio.
\[ 2(2x)(5)=20x \]
Coincide con el término del medio.
Paso 3: escribir el resultado.
\[ 4x^2+20x+25=(2x+5)^2 \]
Nivel 4: factorizar trinomios cuadrados perfectos
- \(x^2+4x+4\)
- \(a^2+6a+9\)
- \(m^2+10m+25\)
- \(4x^2+4x+1\)
- \(9y^2+24y+16\)
- \(\frac{1}{4}a^2+2a+4\)
- \(0{,}25x^2+1{,}5x+2{,}25\)
- \(x^2+2xy+y^2\)
- \(4a^2+12ab+9b^2\)
- \(m^2+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}\)
- \(6{,}25+5x+x^2\)
- \(9x^2+24xy+16y^2\)
- \(\frac{4}{25}m^2+\frac{12}{25}mn+\frac{9}{25}n^2\)
- \(1+0{,}2x+0{,}01x^2\)
1. Raíces: \(x\) y \(2\). Como \(2(x)(2)=4x\), entonces: \[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
2. Raíces: \(a\) y \(3\). Como \(2(a)(3)=6a\), entonces: \[ a^2+6a+9=(a+3)^2 \]
3. Raíces: \(m\) y \(5\). Como \(2(m)(5)=10m\), entonces: \[ m^2+10m+25=(m+5)^2 \]
4. Raíces: \(2x\) y \(1\). Como \(2(2x)(1)=4x\), entonces: \[ 4x^2+4x+1=(2x+1)^2 \]
5. Raíces: \(3y\) y \(4\). Como \(2(3y)(4)=24y\), entonces: \[ 9y^2+24y+16=(3y+4)^2 \]
6. Raíces: \(\frac{1}{2}a\) y \(2\). Como \(2\left(\frac{1}{2}a\right)(2)=2a\), entonces: \[ \frac{1}{4}a^2+2a+4=\left(\frac{1}{2}a+2\right)^2 \]
7. Raíces: \(0{,}5x\) y \(1{,}5\). Como \(2(0{,}5x)(1{,}5)=1{,}5x\), entonces: \[ 0{,}25x^2+1{,}5x+2{,}25=(0{,}5x+1{,}5)^2 \]
8. Raíces: \(x\) e \(y\). Como \(2(x)(y)=2xy\), entonces: \[ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 \]
9. Raíces: \(2a\) y \(3b\). Como \(2(2a)(3b)=12ab\), entonces: \[ 4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2 \]
10. Raíces: \(m\) y \(\frac{1}{3}\). Como \(2m\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}m\), entonces: \[ m^2+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}=\left(m+\frac{1}{3}\right)^2 \]
11. Ordenando: \[ 6{,}25+5x+x^2=x^2+5x+6{,}25 \] Raíces: \(x\) y \(2{,}5\). Como \(2(x)(2{,}5)=5x\), entonces: \[ 6{,}25+5x+x^2=(x+2{,}5)^2 \]
12. Raíces: \(3x\) y \(4y\). Como \(2(3x)(4y)=24xy\), entonces: \[ 9x^2+24xy+16y^2=(3x+4y)^2 \]
13. Raíces: \(\frac{2}{5}m\) y \(\frac{3}{5}n\). Como \[ 2\left(\frac{2}{5}m\right)\left(\frac{3}{5}n\right)=\frac{12}{25}mn \] entonces: \[ \frac{4}{25}m^2+\frac{12}{25}mn+\frac{9}{25}n^2= \left(\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}n\right)^2 \]
14. Ordenando: \[ 1+0{,}2x+0{,}01x^2=0{,}01x^2+0{,}2x+1 \] Raíces: \(0{,}1x\) y \(1\). Como \(2(0{,}1x)(1)=0{,}2x\), entonces: \[ 1+0{,}2x+0{,}01x^2=(1+0{,}1x)^2 \]
Problemas de Aplicación
Ejemplo guiado: calculando un perímetro a partir del área
Una pequeña plaza cuadrada tiene un área de \(x^2+10x+25\) metros cuadrados. Si un jardinero quiere poner una cinta decorativa por todo el borde, ¿cuántos metros de cinta necesita?
Paso 1: entender el problema.
Nos dan el área y nos piden el perímetro. Para un cuadrado:
- \(\text{Área}=lado^2\)
- \(\text{Perímetro}=4\cdot lado\)
Paso 2: encontrar el lado.
Factorizamos el área:
\[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \]
Entonces, el lado mide \(x+5\) metros.
Paso 3: calcular el perímetro.
\[ P=4(x+5)=4x+20 \]
El jardinero necesita \(4x+20\) metros de cinta.
Problema 1
El área de un cuadrado es \(x^2+6x+9\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?
Factorizamos el área:
\[ x^2+6x+9=(x+3)^2 \]
Como el área de un cuadrado es \(lado^2\), entonces el lado corresponde a la base del cuadrado perfecto:
\[ lado=x+3 \]
La longitud del lado es \(x+3\) unidades.
Problema 2
Se quiere construir una piscina cuadrada rodeada por un borde de baldosas. El área total, piscina más borde, se puede expresar como \(4x^2+28x+49\) metros cuadrados. ¿Cuál es la expresión que representa la longitud del lado del área total?
Factorizamos el área total:
\[ 4x^2+28x+49=(2x+7)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ 2(2x)(7)=28x \]
Como el área total es un cuadrado perfecto, la longitud del lado del área total es:
\[ 2x+7 \]
El lado mide \(2x+7\) metros.
Problema 3
Un terreno cuadrado tiene un área de \(9x^2+30xy+25y^2\) metros cuadrados. Si se quiere cercar el terreno con una valla, ¿cuántos metros de valla se necesitan?
Primero factorizamos el área:
\[ 9x^2+30xy+25y^2=(3x+5y)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ 2(3x)(5y)=30xy \]
Entonces, el lado del terreno mide \(3x+5y\) metros.
El perímetro de un cuadrado es cuatro veces su lado:
\[ P=4(3x+5y) \]
\[ P=12x+20y \]
Se necesitan \(12x+20y\) metros de valla.
3. El Cuadrado de un Binomio: el caso de la resta
En la página anterior exploramos el cuadrado de un binomio cuando se trata de una suma, \((a+b)^2\). Ahora analizaremos el caso de la resta, es decir, expresiones de la forma \((a-b)^2\).
Desarrollo del Producto Notable \((a-b)^2\)
¿Qué significa elevar un binomio resta al cuadrado?
Al igual que con la suma, elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces:
\[ (a-b)^2=(a-b)(a-b) \]
Usando la propiedad distributiva:
\[ (a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b) \]
\[ =a^2-ab-ba+b^2 \]
Como \(ab\) y \(ba\) representan el mismo producto, se suman:
\[ a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2 \]
Fórmula del cuadrado de un binomio resta
El desarrollo de un cuadrado de binomio resta siempre sigue este patrón:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, menos el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado.
Ejemplo visual
Imagina un cuadrado grande de lado \(a\). Si se reduce su lado en una cantidad \(b\), el nuevo lado será \(a-b\).
El área del cuadrado nuevo será:
\[ (a-b)^2 \]
Al desarrollar esta expresión, se obtiene:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
El término \(+b^2\) aparece porque al restar dos franjas de área \(ab\), una pequeña región de área \(b^2\) se ha quitado dos veces y debe compensarse sumándola una vez.
Ejercicios: cuadrado de un binomio resta
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \((7-3)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=7\) y \(b=3\).
Aplicamos:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (7-3)^2=7^2-2\cdot 7\cdot 3+3^2 \]
\[ =49-42+9=16 \]
Comprobación:
\[ (7-3)^2=4^2=16 \]
Nivel 1: expandir con valores enteros
- \((5-2)^2\)
- \((8-3)^2\)
- \((4-1)^2\)
- \((9-5)^2\)
1. \[ (5-2)^2=5^2-2\cdot 5\cdot 2+2^2=25-20+4=9 \]
2. \[ (8-3)^2=8^2-2\cdot 8\cdot 3+3^2=64-48+9=25 \]
3. \[ (4-1)^2=4^2-2\cdot 4\cdot 1+1^2=16-8+1=9 \]
4. \[ (9-5)^2=9^2-2\cdot 9\cdot 5+5^2=81-90+25=16 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \((2{,}5-1)^2\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=2{,}5\) y \(b=1\).
\[ (2{,}5-1)^2=(2{,}5)^2-2(2{,}5)(1)+1^2 \]
\[ =6{,}25-5+1=2{,}25 \]
Comprobación:
\[ (2{,}5-1)^2=(1{,}5)^2=2{,}25 \]
Nivel 2: expandir con valores racionales
- \((1-0{,}5)^2\)
- \(\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)^2\)
- \(\left(3-1\frac{1}{2}\right)^2\)
- \((2{,}5-0{,}5)^2\)
1. \[ (1-0{,}5)^2=1^2-2(1)(0{,}5)+(0{,}5)^2 \]
\[ =1-1+0{,}25=0{,}25 \]
2. \[ \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)^2= \left(\frac{3}{4}\right)^2- 2\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ =\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4} =\frac{9}{16}-\frac{12}{16}+\frac{4}{16} =\frac{1}{16} \]
3. Primero escribimos \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\):
\[ \left(3-\frac{3}{2}\right)^2= 3^2-2\cdot 3\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2 \]
\[ =9-9+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
4. \[ (2{,}5-0{,}5)^2=(2{,}5)^2-2(2{,}5)(0{,}5)+(0{,}5)^2 \]
\[ =6{,}25-2{,}5+0{,}25=4 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \((4x-y)^2\).
Identificamos \(a=4x\) y \(b=y\).
Primer término al cuadrado:
\[ (4x)^2=16x^2 \]
Menos el doble producto del primero por el segundo:
\[ -2(4x)(y)=-8xy \]
Segundo término al cuadrado:
\[ y^2 \]
Resultado:
\[ (4x-y)^2=16x^2-8xy+y^2 \]
Nivel 3: expandir con expresiones algebraicas
- \((x-3)^2\)
- \((a-5)^2\)
- \((m-n)^2\)
- \((3x-2)^2\)
- \((5-2y)^2\)
- \(\left(2a-\frac{1}{2}\right)^2\)
- \((1{,}5-0{,}5x)^2\)
- \((x-y)^2\)
- \((4a-3b)^2\)
- \(\left(\frac{2}{3}-m\right)^2\)
- \((x-2{,}5)^2\)
- \((5x-2y)^2\)
- \(\left(\frac{1}{2}m-\frac{2}{3}n\right)^2\)
- \((0{,}2x-1)^2\)
1. \[ (x-3)^2=x^2-2(x)(3)+3^2=x^2-6x+9 \]
2. \[ (a-5)^2=a^2-2(a)(5)+5^2=a^2-10a+25 \]
3. \[ (m-n)^2=m^2-2mn+n^2 \]
4. \[ (3x-2)^2=(3x)^2-2(3x)(2)+2^2=9x^2-12x+4 \]
5. \[ (5-2y)^2=5^2-2(5)(2y)+(2y)^2=25-20y+4y^2 \]
6. \[ \left(2a-\frac{1}{2}\right)^2=(2a)^2-2(2a)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ =4a^2-2a+\frac{1}{4} \]
7. \[ (1{,}5-0{,}5x)^2=(1{,}5)^2-2(1{,}5)(0{,}5x)+(0{,}5x)^2 \]
\[ =2{,}25-1{,}5x+0{,}25x^2 \]
8. \[ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \]
9. \[ (4a-3b)^2=(4a)^2-2(4a)(3b)+(3b)^2=16a^2-24ab+9b^2 \]
10. \[ \left(\frac{2}{3}-m\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2-2\left(\frac{2}{3}\right)m+m^2 \]
\[ =\frac{4}{9}-\frac{4}{3}m+m^2 \]
11. \[ (x-2{,}5)^2=x^2-2(x)(2{,}5)+(2{,}5)^2=x^2-5x+6{,}25 \]
12. \[ (5x-2y)^2=(5x)^2-2(5x)(2y)+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2 \]
13. \[ \left(\frac{1}{2}m-\frac{2}{3}n\right)^2= \left(\frac{1}{2}m\right)^2- 2\left(\frac{1}{2}m\right)\left(\frac{2}{3}n\right)+ \left(\frac{2}{3}n\right)^2 \]
\[ =\frac{1}{4}m^2-\frac{2}{3}mn+\frac{4}{9}n^2 \]
14. \[ (0{,}2x-1)^2=(0{,}2x)^2-2(0{,}2x)(1)+1^2 \]
\[ =0{,}04x^2-0{,}4x+1 \]
Cuidado con los signos
En el cuadrado de una resta, el término del medio es negativo:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Pero el último término siempre queda positivo, porque proviene de multiplicar \((-b)(-b)\).
Error típico
No confundas el cuadrado de una resta con una diferencia de cuadrados:
\[ (a-b)^2\neq a^2-b^2 \]
Lo correcto es:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto con resta
Proceso inverso
Para factorizar una expresión de la forma \(a^2-2ab+b^2\), buscamos el binomio \((a-b)^2\) que la originó.
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
La pista está en el signo
Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, si el término del medio es negativo, entonces el binomio será una resta:
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \]
Si el término del medio es positivo, entonces el binomio será una suma.
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(9x^2-12x+4\).
Paso 1: identificar las raíces de los extremos.
- La raíz de \(9x^2\) es \(3x\).
- La raíz de \(4\) es \(2\).
Paso 2: verificar el término del medio.
\[ -2(3x)(2)=-12x \]
Coincide con el término del medio.
Paso 3: escribir el resultado.
Como el término del medio es negativo, la factorización es una resta:
\[ 9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \]
Nivel 4: factorizar trinomios cuadrados perfectos
- \(x^2-6x+9\)
- \(a^2-10a+25\)
- \(m^2-4m+4\)
- \(9x^2-6x+1\)
- \(4y^2-12y+9\)
- \(a^2-a+\frac{1}{4}\)
- \(4x^2-4x+1\)
- \(x^2-2xy+y^2\)
- \(16a^2-40ab+25b^2\)
- \(m^2-\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}\)
- \(x^2-5x+6{,}25\)
- \(4x^2-12xy+9y^2\)
- \(\frac{9}{4}m^2-3mn+n^2\)
- \(0{,}04x^2-0{,}4x+1\)
1. Raíces: \(x\) y \(3\). Como \(-2(x)(3)=-6x\), entonces: \[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
2. Raíces: \(a\) y \(5\). Como \(-2(a)(5)=-10a\), entonces: \[ a^2-10a+25=(a-5)^2 \]
3. Raíces: \(m\) y \(2\). Como \(-2(m)(2)=-4m\), entonces: \[ m^2-4m+4=(m-2)^2 \]
4. Raíces: \(3x\) y \(1\). Como \(-2(3x)(1)=-6x\), entonces: \[ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2 \]
5. Raíces: \(2y\) y \(3\). Como \(-2(2y)(3)=-12y\), entonces: \[ 4y^2-12y+9=(2y-3)^2 \]
6. Raíces: \(a\) y \(\frac{1}{2}\). Como \(-2a\left(\frac{1}{2}\right)=-a\), entonces: \[ a^2-a+\frac{1}{4}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2 \]
7. Raíces: \(2x\) y \(1\). Como \(-2(2x)(1)=-4x\), entonces: \[ 4x^2-4x+1=(2x-1)^2 \]
8. Raíces: \(x\) e \(y\). Como \(-2xy\) coincide con el término del medio, entonces: \[ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \]
9. Raíces: \(4a\) y \(5b\). Como \(-2(4a)(5b)=-40ab\), entonces: \[ 16a^2-40ab+25b^2=(4a-5b)^2 \]
10. Raíces: \(m\) y \(\frac{2}{3}\). Como \(-2m\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{3}m\), entonces: \[ m^2-\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\left(m-\frac{2}{3}\right)^2 \]
11. Raíces: \(x\) y \(2{,}5\). Como \(-2(x)(2{,}5)=-5x\), entonces: \[ x^2-5x+6{,}25=(x-2{,}5)^2 \]
12. Raíces: \(2x\) y \(3y\). Como \(-2(2x)(3y)=-12xy\), entonces: \[ 4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2 \]
13. Raíces: \(\frac{3}{2}m\) y \(n\). Como \[ -2\left(\frac{3}{2}m\right)n=-3mn \] entonces: \[ \frac{9}{4}m^2-3mn+n^2=\left(\frac{3}{2}m-n\right)^2 \]
14. Raíces: \(0{,}2x\) y \(1\). Como \(-2(0{,}2x)(1)=-0{,}4x\), entonces: \[ 0{,}04x^2-0{,}4x+1=(0{,}2x-1)^2 \]
Problemas de Aplicación
Ejemplo guiado: nivel 5
Un artista tiene un lienzo cuadrado cuya área se representa por la expresión \(x^2-18x+81\) cm². ¿Cuál es la longitud del lado del lienzo?
Paso 1: entender el problema.
Nos dan el área de un cuadrado y nos piden la medida de su lado. Sabemos que:
\[ \text{Área}=lado^2 \]
Paso 2: factorizar el área.
\[ x^2-18x+81=(x-9)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(x)(9)=-18x \]
Paso 3: interpretar el resultado.
Como el área es \((x-9)^2\), el lado del lienzo mide:
\[ x-9 \]
La longitud del lado del lienzo es \(x-9\) cm.
Problema 1
El área de un cuadrado es \(x^2-14x+49\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?
Factorizamos el área:
\[ x^2-14x+49=(x-7)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(x)(7)=-14x \]
Como el área de un cuadrado es \(lado^2\), entonces:
\[ lado=x-7 \]
La longitud del lado es \(x-7\) unidades.
Problema 2
Un escenario cuadrado tiene un área de \(9x^2-12x+4\) metros cuadrados. Se quiere colocar una alfombra que cubra todo el escenario. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra en términos de \(x\)?
Factorizamos el área:
\[ 9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(3x)(2)=-12x \]
Como el escenario es cuadrado, sus lados miden \(3x-2\) metros.
Por lo tanto, la alfombra debe medir:
\[ (3x-2)\text{ metros por }(3x-2)\text{ metros} \]
Problema 3
Una zona cuadrada de un parque tiene un lado inicial de \(a\) metros. Por una remodelación, cada lado se reduce en \(3b\) metros. El área de la nueva zona cuadrada se expresa como \(a^2-6ab+9b^2\). ¿Cuál es la longitud del nuevo lado?
Factorizamos el área de la nueva zona cuadrada:
\[ a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2 \]
Verificación del término del medio:
\[ -2(a)(3b)=-6ab \]
Como el área de un cuadrado es \(lado^2\), el nuevo lado corresponde a la base del cuadrado perfecto:
\[ lado=a-3b \]
La longitud del nuevo lado es \(a-3b\) metros.
4. Suma por Diferencia: un producto notable especial
Hemos visto cómo desarrollar el cuadrado de un binomio, tanto para la suma como para la resta. Ahora exploraremos otro producto notable muy importante y útil: la suma por diferencia, que tiene la forma \((a+b)(a-b)\).
Desarrollo del Producto Notable \((a+b)(a-b)\)
¿Qué ocurre al multiplicar una suma por una diferencia?
Para desarrollar la expresión \((a+b)(a-b)\), aplicamos la propiedad distributiva.
\[ (a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b) \]
\[ =a^2-ab+ba-b^2 \]
Como \(-ab\) y \(+ba\) son términos semejantes con signos opuestos, se anulan entre sí:
\[ a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2 \]
Fórmula de la suma por diferencia
El resultado de multiplicar una suma por una diferencia es siempre la diferencia de los cuadrados de ambos términos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado.
Un truco para el cálculo mental
Esta propiedad permite calcular algunas multiplicaciones de manera más rápida.
Por ejemplo, para calcular \(28\cdot 32\), observamos que ambos números están a la misma distancia de \(30\):
\[ 28=30-2 \]
\[ 32=30+2 \]
Entonces:
\[ 28\cdot 32=(30-2)(30+2) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (30-2)(30+2)=30^2-2^2=900-4=896 \]
Ejercicios: suma por diferencia
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \((10+3)(10-3)\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=10\) y \(b=3\).
Aplicamos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (10+3)(10-3)=10^2-3^2 \]
\[ =100-9=91 \]
Comprobación:
\[ (10+3)(10-3)=13\cdot 7=91 \]
Nivel 1: expandir con valores enteros
- \((3+2)(3-2)\)
- \((5+1)(5-1)\)
- \((7+4)(7-4)\)
- \((6+3)(6-3)\)
1. \[ (3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5 \]
2. \[ (5+1)(5-1)=5^2-1^2=25-1=24 \]
3. \[ (7+4)(7-4)=7^2-4^2=49-16=33 \]
4. \[ (6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \((2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)\) usando la fórmula.
Identificamos \(a=2{,}5\) y \(b=0{,}5\).
\[ (2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)=(2{,}5)^2-(0{,}5)^2 \]
\[ =6{,}25-0{,}25=6 \]
Comprobación:
\[ (2{,}5+0{,}5)(2{,}5-0{,}5)=3\cdot 2=6 \]
Nivel 2: expandir con valores racionales
- \((1+0{,}5)(1-0{,}5)\)
- \(\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\)
- \(\left(2\frac{1}{2}+1\right)\left(2\frac{1}{2}-1\right)\)
- \((3{,}5-1{,}5)(3{,}5+1{,}5)\)
1. \[ (1+0{,}5)(1-0{,}5)=1^2-(0{,}5)^2=1-0{,}25=0{,}75 \]
2. \[ \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2 \]
\[ =\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2} \]
3. Primero escribimos \(2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\):
\[ \left(2\frac{1}{2}+1\right)\left(2\frac{1}{2}-1\right) = \left(\frac{5}{2}+1\right)\left(\frac{5}{2}-1\right) \]
Usando suma por diferencia con \(a=\frac{5}{2}\) y \(b=1\):
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^2-1^2 = \frac{25}{4}-1 = \frac{25}{4}-\frac{4}{4} = \frac{21}{4} \]
4. \[ (3{,}5-1{,}5)(3{,}5+1{,}5)=(3{,}5)^2-(1{,}5)^2 \]
\[ =12{,}25-2{,}25=10 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \((5x+2y)(5x-2y)\).
Identificamos \(a=5x\) y \(b=2y\).
Aplicamos la fórmula:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (5x+2y)(5x-2y)=(5x)^2-(2y)^2 \]
\[ =25x^2-4y^2 \]
Nivel 3: expandir con expresiones algebraicas
- \((x+2)(x-2)\)
- \((a-3)(a+3)\)
- \((m+n)(m-n)\)
- \((2x+1)(2x-1)\)
- \((5-3y)(5+3y)\)
- \(\left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right)\)
- \((1{,}5-0{,}5x)(1{,}5+0{,}5x)\)
- \((x+y)(x-y)\)
- \((3a-2b)(3a+2b)\)
- \(\left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right)\)
- \((2{,}5-x)(2{,}5+x)\)
- \((4x+3y)(4x-3y)\)
- \(\left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right)\left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right)\)
- \((0{,}1x+1)(0{,}1x-1)\)
1. \[ (x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4 \]
2. \[ (a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9 \]
3. \[ (m+n)(m-n)=m^2-n^2 \]
4. \[ (2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1 \]
5. \[ (5-3y)(5+3y)=5^2-(3y)^2=25-9y^2 \]
6. \[ \left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right) = \left(\frac{1}{2}a\right)^2-2^2 \]
\[ =\frac{1}{4}a^2-4 \]
7. \[ (1{,}5-0{,}5x)(1{,}5+0{,}5x)=(1{,}5)^2-(0{,}5x)^2 \]
\[ =2{,}25-0{,}25x^2 \]
8. \[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \]
9. \[ (3a-2b)(3a+2b)=(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2 \]
10. \[ \left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right) = m^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2 = m^2-\frac{1}{9} \]
11. \[ (2{,}5-x)(2{,}5+x)=(2{,}5)^2-x^2=6{,}25-x^2 \]
12. \[ (4x+3y)(4x-3y)=(4x)^2-(3y)^2=16x^2-9y^2 \]
13. \[ \left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right)\left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right) = \left(\frac{2}{5}m\right)^2-\left(\frac{1}{2}n\right)^2 \]
\[ =\frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2 \]
14. \[ (0{,}1x+1)(0{,}1x-1)=(0{,}1x)^2-1^2=0{,}01x^2-1 \]
Cuidado con los paréntesis
Al igual que en los otros productos notables, cuando elevas un término al cuadrado debes elevar todo el término.
Por ejemplo:
\[ (5x)^2=25x^2 \]
No es correcto escribir \(5x^2\), porque el coeficiente \(5\) también debe elevarse al cuadrado.
No confundir con el cuadrado de una resta
La suma por diferencia y el cuadrado de una resta son productos notables distintos:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Factorizando una Diferencia de Cuadrados
Proceso inverso
Este es uno de los casos de factorización más importantes. Si identificas una expresión con dos términos que son cuadrados perfectos y que se están restando, puedes factorizarla como una suma por diferencia.
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Procedimiento para factorizar una diferencia de cuadrados
Para factorizar \(a^2-b^2\), seguimos estos pasos:
- Verificar la forma: debe haber dos términos, ambos cuadrados perfectos, y deben estar restándose.
- Encontrar las raíces: la raíz cuadrada de \(a^2\) es \(a\), y la raíz cuadrada de \(b^2\) es \(b\).
- Escribir el resultado: las raíces se escriben como suma y como resta: \[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(36m^2-49n^2\).
Paso 1: verificar la forma.
La expresión tiene dos términos, se están restando y ambos son cuadrados perfectos.
Paso 2: encontrar las raíces.
- La raíz de \(36m^2\) es \(6m\).
- La raíz de \(49n^2\) es \(7n\).
Paso 3: escribir el resultado.
\[ 36m^2-49n^2=(6m+7n)(6m-7n) \]
Nivel 4: factorizar diferencias de cuadrados
- \(x^2-4\)
- \(a^2-25\)
- \(m^2-n^2\)
- \(4x^2-1\)
- \(16-9y^2\)
- \(\frac{1}{4}a^2-4\)
- \(2{,}25-0{,}25x^2\)
- \(x^2-y^2\)
- \(9a^2-4b^2\)
- \(m^2-\frac{1}{9}\)
- \(6{,}25-x^2\)
- \(16x^2-9y^2\)
- \(\frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2\)
- \(0{,}01x^2-1\)
1. Raíces: \(x\) y \(2\). Entonces: \[ x^2-4=(x+2)(x-2) \]
2. Raíces: \(a\) y \(5\). Entonces: \[ a^2-25=(a+5)(a-5) \]
3. Raíces: \(m\) y \(n\). Entonces: \[ m^2-n^2=(m+n)(m-n) \]
4. Raíces: \(2x\) y \(1\). Entonces: \[ 4x^2-1=(2x+1)(2x-1) \]
5. Raíces: \(4\) y \(3y\). Entonces: \[ 16-9y^2=(4+3y)(4-3y) \]
6. Raíces: \(\frac{1}{2}a\) y \(2\). Entonces: \[ \frac{1}{4}a^2-4=\left(\frac{1}{2}a+2\right)\left(\frac{1}{2}a-2\right) \]
7. Raíces: \(1{,}5\) y \(0{,}5x\). Entonces: \[ 2{,}25-0{,}25x^2=(1{,}5+0{,}5x)(1{,}5-0{,}5x) \]
8. Raíces: \(x\) e \(y\). Entonces: \[ x^2-y^2=(x+y)(x-y) \]
9. Raíces: \(3a\) y \(2b\). Entonces: \[ 9a^2-4b^2=(3a+2b)(3a-2b) \]
10. Raíces: \(m\) y \(\frac{1}{3}\). Entonces: \[ m^2-\frac{1}{9}=\left(m+\frac{1}{3}\right)\left(m-\frac{1}{3}\right) \]
11. Raíces: \(2{,}5\) y \(x\). Entonces: \[ 6{,}25-x^2=(2{,}5+x)(2{,}5-x) \]
12. Raíces: \(4x\) y \(3y\). Entonces: \[ 16x^2-9y^2=(4x+3y)(4x-3y) \]
13. Raíces: \(\frac{2}{5}m\) y \(\frac{1}{2}n\). Entonces: \[ \frac{4}{25}m^2-\frac{1}{4}n^2= \left(\frac{2}{5}m+\frac{1}{2}n\right) \left(\frac{2}{5}m-\frac{1}{2}n\right) \]
14. Raíces: \(0{,}1x\) y \(1\). Entonces: \[ 0{,}01x^2-1=(0{,}1x+1)(0{,}1x-1) \]
Problemas de Aplicación
Ejemplo guiado: nivel 5
Un jardín rectangular tiene un área de \(4x^2-25\) metros cuadrados. Encuentra expresiones para su largo y su ancho.
Paso 1: entender el problema.
Nos dan el área y nos piden las dimensiones. Sabemos que:
\[ \text{Área}=\text{largo}\cdot\text{ancho} \]
Paso 2: factorizar el área.
\[ 4x^2-25=(2x)^2-5^2 \]
\[ 4x^2-25=(2x+5)(2x-5) \]
Paso 3: interpretar.
El largo y el ancho del jardín pueden representarse por:
\[ 2x+5 \]
y
\[ 2x-5 \]
Por lo tanto, sus dimensiones pueden ser \((2x+5)\) metros y \((2x-5)\) metros.
Problema 1
El área de un rectángulo se puede expresar como \(x^2-16\) unidades cuadradas. Si la longitud y el ancho del rectángulo son de la forma \((x+k)\) y \((x-k)\), ¿cuáles son las expresiones para sus dimensiones?
Factorizamos el área como diferencia de cuadrados:
\[ x^2-16=x^2-4^2 \]
\[ x^2-16=(x+4)(x-4) \]
Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo pueden ser:
\[ x+4 \]
y
\[ x-4 \]
En este caso, \(k=4\).
Problema 2: desafío
La diferencia entre el cuadrado de un número \(a\) y el cuadrado de otro número \(b\) es \(100\). Si la suma de ambos números, \(a+b\), es \(20\), ¿cuál es el valor de cada número?
Sabemos que:
\[ a^2-b^2=100 \]
Factorizamos usando diferencia de cuadrados:
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Entonces:
\[ (a+b)(a-b)=100 \]
El problema indica que \(a+b=20\). Reemplazamos:
\[ 20(a-b)=100 \]
Dividimos por \(20\):
\[ a-b=5 \]
Ahora tenemos el sistema:
\[ a+b=20 \]
\[ a-b=5 \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ 2a=25 \]
\[ a=12{,}5 \]
Reemplazamos en \(a+b=20\):
\[ 12{,}5+b=20 \]
\[ b=7{,}5 \]
Por lo tanto, los números son \(a=12{,}5\) y \(b=7{,}5\).
Problema 3
Se quiere diseñar una alfombra rectangular con un área que se puede expresar como \(9x^2-4y^2\) metros cuadrados. ¿Cuáles son las posibles expresiones para la longitud y el ancho de la alfombra en términos de \(x\) e \(y\)?
Factorizamos el área como diferencia de cuadrados:
\[ 9x^2-4y^2=(3x)^2-(2y)^2 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]
Entonces:
\[ 9x^2-4y^2=(3x+2y)(3x-2y) \]
Por lo tanto, las posibles dimensiones de la alfombra son:
\[ 3x+2y \]
y
\[ 3x-2y \]
metros.
5. Práctica Integrada: Productos Notables
Es hora de poner a prueba lo aprendido. En esta sección encontrarás ejercicios que combinan los productos notables estudiados. El desafío es doble: primero identificar qué caso aparece y luego resolverlo correctamente.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- Cuadrado de binomio suma: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Cuadrado de binomio resta: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Suma por diferencia: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- Trinomio cuadrado perfecto: \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- Diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Estrategia de trabajo
- Observa si debes expandir o factorizar.
- Identifica el patrón: cuadrado de suma, cuadrado de resta, suma por diferencia, trinomio cuadrado perfecto o diferencia de cuadrados.
- Aplica la fórmula correspondiente.
- Reduce términos semejantes si es necesario.
Nivel 1
Ejemplo guiado: identificar y resolver
Parte A: expandir \((3x-1)^2\)
Es un cuadrado de binomio resta, con \(a=3x\) y \(b=1\).
Aplicamos:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (3x-1)^2=(3x)^2-2(3x)(1)+1^2 \]
\[ =9x^2-6x+1 \]
Parte B: factorizar \(y^2-100\)
Es una diferencia de cuadrados, porque \(y^2\) y \(100\) son cuadrados perfectos y están restándose.
Las raíces son:
\[ \sqrt{y^2}=y \]
\[ \sqrt{100}=10 \]
Entonces:
\[ y^2-100=(y+10)(y-10) \]
Nivel 1: identifica el producto notable y resuelve
- \((x+3)^2\)
- \((2a-5)^2\)
- \((m+n)(m-n)\)
- \(9x^2-4\)
- \((3y+7)^2\)
- \((4p-q)^2\)
- \((t+9)(t-9)\)
- \(16-y^2\)
- \((0{,}5x+1)^2\)
- \((5-2y)^2\)
1. Cuadrado de binomio suma:
\[ (x+3)^2=x^2+2(x)(3)+3^2=x^2+6x+9 \]
2. Cuadrado de binomio resta:
\[ (2a-5)^2=(2a)^2-2(2a)(5)+5^2=4a^2-20a+25 \]
3. Suma por diferencia:
\[ (m+n)(m-n)=m^2-n^2 \]
4. Diferencia de cuadrados:
\[ 9x^2-4=(3x)^2-2^2=(3x+2)(3x-2) \]
5. Cuadrado de binomio suma:
\[ (3y+7)^2=(3y)^2+2(3y)(7)+7^2=9y^2+42y+49 \]
6. Cuadrado de binomio resta:
\[ (4p-q)^2=(4p)^2-2(4p)(q)+q^2=16p^2-8pq+q^2 \]
7. Suma por diferencia:
\[ (t+9)(t-9)=t^2-9^2=t^2-81 \]
8. Diferencia de cuadrados:
\[ 16-y^2=4^2-y^2=(4+y)(4-y) \]
9. Cuadrado de binomio suma:
\[ (0{,}5x+1)^2=(0{,}5x)^2+2(0{,}5x)(1)+1^2=0{,}25x^2+x+1 \]
10. Cuadrado de binomio resta:
\[ (5-2y)^2=5^2-2(5)(2y)+(2y)^2=25-20y+4y^2 \]
Nivel 2
Ejemplo guiado: sumar, restar y simplificar
Resolvamos:
\[ (x+5)(x-5)-(x+2)^2 \]
Paso 1: desarrollar cada producto notable.
\[ (x+5)(x-5)=x^2-25 \]
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4 \]
Paso 2: reemplazar en la expresión original.
\[ (x+5)(x-5)-(x+2)^2=(x^2-25)-(x^2+4x+4) \]
Paso 3: eliminar paréntesis y simplificar.
\[ x^2-25-x^2-4x-4 \]
\[ =-4x-29 \]
Nivel 2: suma, resta y simplifica
- \((x+2)^2+(x-2)^2\)
- \((a+b)^2-(a-b)^2\)
- \((3y-5)^2+(3y+5)^2\)
- \((2m+n)(2m-n)+(m+n)^2\)
- \((p+4)^2+(p-4)^2\)
- \((2q-1)^2-(2q+1)^2\)
- \((k+3)(k-3)+(k-3)^2\)
- \((5-y)^2+(5+y)^2\)
- \((x+1)(x-1)-(x-1)^2\)
- \((3a+2b)^2-(3a-2b)^2\)
1.
\[ (x+2)^2+(x-2)^2=(x^2+4x+4)+(x^2-4x+4)=2x^2+8 \]
2.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab \]
3.
\[ (3y-5)^2+(3y+5)^2=(9y^2-30y+25)+(9y^2+30y+25)=18y^2+50 \]
4.
\[ (2m+n)(2m-n)+(m+n)^2=(4m^2-n^2)+(m^2+2mn+n^2) \]
\[ =5m^2+2mn \]
5.
\[ (p+4)^2+(p-4)^2=(p^2+8p+16)+(p^2-8p+16)=2p^2+32 \]
6.
\[ (2q-1)^2-(2q+1)^2=(4q^2-4q+1)-(4q^2+4q+1) \]
\[ =-8q \]
7.
\[ (k+3)(k-3)+(k-3)^2=(k^2-9)+(k^2-6k+9)=2k^2-6k \]
8.
\[ (5-y)^2+(5+y)^2=(25-10y+y^2)+(25+10y+y^2)=2y^2+50 \]
9.
\[ (x+1)(x-1)-(x-1)^2=(x^2-1)-(x^2-2x+1)=2x-2 \]
10.
\[ (3a+2b)^2-(3a-2b)^2=(9a^2+12ab+4b^2)-(9a^2-12ab+4b^2) \]
\[ =24ab \]
Nivel 3
Ejemplo guiado: coeficientes fuera de los productos notables
Resolvamos:
\[ 2(a+3)^2-3(a+1)(a-1) \]
Paso 1: desarrollar los productos notables.
\[ (a+3)^2=a^2+6a+9 \]
\[ (a+1)(a-1)=a^2-1 \]
Paso 2: reemplazar.
\[ 2(a^2+6a+9)-3(a^2-1) \]
Paso 3: distribuir los coeficientes.
\[ 2a^2+12a+18-3a^2+3 \]
Paso 4: reducir términos semejantes.
\[ -a^2+12a+21 \]
Nivel 3: desarrolla y simplifica cada expresión
- \(3(x-2)^2-2(x+1)^2\)
- \(4(a+b)(a-b)-(a-b)^2\)
- \(5(2y-3)^2+(2y+3)(2y-3)\)
- \(2(x-y)^2-(x+y)^2\)
- \((x+4)(x-4)+2(x+4)^2\)
- \(3(a-2)^2-4(a+2)(a-2)\)
- \(4(2m+1)^2+(2m-1)^2-8m^2\)
- \(6(y-1)^2-3(y+1)^2\)
- \((p+q)^2-2(p-q)^2\)
- \(4(0{,}5x-1)^2+(0{,}5x+1)^2\)
1.
\[ 3(x-2)^2-2(x+1)^2=3(x^2-4x+4)-2(x^2+2x+1) \]
\[ =3x^2-12x+12-2x^2-4x-2=x^2-16x+10 \]
2.
\[ 4(a+b)(a-b)-(a-b)^2=4(a^2-b^2)-(a^2-2ab+b^2) \]
\[ =4a^2-4b^2-a^2+2ab-b^2=3a^2+2ab-5b^2 \]
3.
\[ 5(2y-3)^2+(2y+3)(2y-3)=5(4y^2-12y+9)+(4y^2-9) \]
\[ =20y^2-60y+45+4y^2-9=24y^2-60y+36 \]
4.
\[ 2(x-y)^2-(x+y)^2=2(x^2-2xy+y^2)-(x^2+2xy+y^2) \]
\[ =2x^2-4xy+2y^2-x^2-2xy-y^2=x^2-6xy+y^2 \]
5.
\[ (x+4)(x-4)+2(x+4)^2=(x^2-16)+2(x^2+8x+16) \]
\[ =x^2-16+2x^2+16x+32=3x^2+16x+16 \]
6.
\[ 3(a-2)^2-4(a+2)(a-2)=3(a^2-4a+4)-4(a^2-4) \]
\[ =3a^2-12a+12-4a^2+16=-a^2-12a+28 \]
7.
\[ 4(2m+1)^2+(2m-1)^2-8m^2 \]
\[ =4(4m^2+4m+1)+(4m^2-4m+1)-8m^2 \]
\[ =16m^2+16m+4+4m^2-4m+1-8m^2=12m^2+12m+5 \]
8.
\[ 6(y-1)^2-3(y+1)^2=6(y^2-2y+1)-3(y^2+2y+1) \]
\[ =6y^2-12y+6-3y^2-6y-3=3y^2-18y+3 \]
9.
\[ (p+q)^2-2(p-q)^2=(p^2+2pq+q^2)-2(p^2-2pq+q^2) \]
\[ =p^2+2pq+q^2-2p^2+4pq-2q^2=-p^2+6pq-q^2 \]
10.
\[ 4(0{,}5x-1)^2+(0{,}5x+1)^2 \]
\[ =4(0{,}25x^2-x+1)+(0{,}25x^2+x+1) \]
\[ =x^2-4x+4+0{,}25x^2+x+1=1{,}25x^2-3x+5 \]
Nivel 4
Ejemplo guiado: factor común y producto notable
Factoricemos:
\[ 3x^2-12 \]
Paso 1: buscar un factor común.
\[ 3x^2-12=3(x^2-4) \]
Paso 2: identificar el producto notable dentro del paréntesis.
La expresión \(x^2-4\) es una diferencia de cuadrados, porque:
\[ x^2-4=x^2-2^2 \]
Paso 3: factorizar la diferencia de cuadrados.
\[ x^2-4=(x+2)(x-2) \]
Paso 4: mantener el factor común.
\[ 3x^2-12=3(x+2)(x-2) \]
Nivel 4: reconoce el tipo de factorización y factoriza
- \(x^2+12x+36\)
- \(4x^2-25\)
- \(9a^2-6ab+b^2\)
- \(16m^2-8m+1\)
- \(y^2-49\)
- \(25p^2+20p+4\)
- \(36z^2-64\)
- \(a^2-2a+1\)
- \(49k^2-36\)
- \(0{,}04x^2-0{,}08x+0{,}04\)
1. Trinomio cuadrado perfecto suma:
\[ x^2+12x+36=(x+6)^2 \]
2. Diferencia de cuadrados:
\[ 4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5) \]
3. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 9a^2-6ab+b^2=(3a)^2-2(3a)(b)+b^2=(3a-b)^2 \]
4. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 16m^2-8m+1=(4m)^2-2(4m)(1)+1^2=(4m-1)^2 \]
5. Diferencia de cuadrados:
\[ y^2-49=y^2-7^2=(y+7)(y-7) \]
6. Trinomio cuadrado perfecto suma:
\[ 25p^2+20p+4=(5p)^2+2(5p)(2)+2^2=(5p+2)^2 \]
7. Factor común y diferencia de cuadrados:
\[ 36z^2-64=4(9z^2-16) \]
\[ =4\left((3z)^2-4^2\right)=4(3z+4)(3z-4) \]
8. Trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ a^2-2a+1=a^2-2(a)(1)+1^2=(a-1)^2 \]
9. Diferencia de cuadrados:
\[ 49k^2-36=(7k)^2-6^2=(7k+6)(7k-6) \]
10. Factor común y trinomio cuadrado perfecto resta:
\[ 0{,}04x^2-0{,}08x+0{,}04=0{,}04(x^2-2x+1) \]
\[ =0{,}04(x-1)^2 \]
6. Aplicando los Productos Notables a Situaciones Concretas
Ahora que ya hemos estudiado y practicado los tres productos notables principales, vamos a aplicarlos en la resolución de problemas. Estas situaciones nos ayudarán a comprender su utilidad en distintos contextos, especialmente en geometría, cálculo de áreas y expresiones algebraicas asociadas a situaciones cotidianas.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- Cuadrado de binomio suma: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Cuadrado de binomio resta: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Suma por diferencia: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- Trinomio cuadrado perfecto: \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- Diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Estrategia para resolver problemas
- Leer y visualizar: identifica qué información entrega el problema y qué se pide calcular.
- Traducir al álgebra: escribe una expresión matemática que represente la situación.
- Identificar el producto notable: observa si aparece un cuadrado de binomio, una suma por diferencia o una diferencia de cuadrados.
- Resolver y simplificar: aplica la fórmula correspondiente y reduce términos semejantes.
Ejercicios
Nivel 1: problemas de geometría que involucren el cálculo de áreas
Ejemplo guiado: área de un cuadrado
Un jardín cuadrado tiene un lado que mide \((2x-1)\) metros. ¿Cuál es la expresión que representa su área?
1. Visualizar: imaginamos un cuadrado de lado \((2x-1)\).
2. Traducir al álgebra: el área de un cuadrado se calcula elevando el lado al cuadrado:
\[ A=(2x-1)^2 \]
3. Identificar: es un cuadrado de binomio resta, con \(a=2x\) y \(b=1\).
4. Resolver:
\[ (2x-1)^2=(2x)^2-2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2-4x+1 \]
El área del jardín es \(4x^2-4x+1\) metros cuadrados.
Problema 1
Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide \((x+5)\) unidades.
El área de un cuadrado es \(lado^2\). Entonces:
\[ A=(x+5)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio suma:
\[ (x+5)^2=x^2+2(x)(5)+5^2 \]
\[ =x^2+10x+25 \]
El área es \(x^2+10x+25\) unidades cuadradas.
Problema 2
Un rectángulo tiene una base que mide \((2x-3)\) unidades y una altura que mide \((2x+3)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
El área de un rectángulo es base por altura:
\[ A=(2x-3)(2x+3) \]
Esta expresión corresponde a una suma por diferencia:
\[ (2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2 \]
\[ =4x^2-9 \]
El área del rectángulo es \(4x^2-9\) unidades cuadradas.
Problema 3
Encuentra la expresión para el área de un cuadrado cuyo lado mide \((3x-2y)\) unidades.
El área de un cuadrado es:
\[ A=lado^2 \]
Entonces:
\[ A=(3x-2y)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio resta:
\[ (3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2 \]
\[ =9x^2-12xy+4y^2 \]
El área es \(9x^2-12xy+4y^2\) unidades cuadradas.
Problema 4
Un rectángulo tiene una base que mide \((x+4)\) unidades y una altura que mide \((x-4)\) unidades. Calcula el área del rectángulo.
El área del rectángulo es:
\[ A=(x+4)(x-4) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (x+4)(x-4)=x^2-4^2 \]
\[ =x^2-16 \]
El área del rectángulo es \(x^2-16\) unidades cuadradas.
Nivel 2: problemas que combinen el cálculo de áreas con la suma o resta de otras áreas
Ejemplo guiado: área restante
Un salón de eventos cuadrado tiene un lado de \((x+10)\) metros. En el centro se instala una pista de baile cuadrada de lado \((x-10)\) metros. ¿Qué área del salón queda disponible para las mesas?
1. Visualizar: hay un cuadrado grande y, dentro de él, un cuadrado más pequeño.
2. Traducir al álgebra:
\[ \text{Área disponible}=\text{Área del salón}-\text{Área de la pista} \]
\[ A=(x+10)^2-(x-10)^2 \]
3. Desarrollar cada producto notable:
\[ (x+10)^2=x^2+20x+100 \]
\[ (x-10)^2=x^2-20x+100 \]
4. Restar y simplificar:
\[ A=(x^2+20x+100)-(x^2-20x+100) \]
\[ =x^2+20x+100-x^2+20x-100 \]
\[ =40x \]
El área disponible para las mesas es \(40x\) metros cuadrados.
Problema 1
Se tiene un cuadrado de lado \((x+2)\) metros. En el centro se construye una fuente cuadrada de lado \(x\) metros. Calcula el área restante del cuadrado que no está ocupada por la fuente.
Área del cuadrado grande:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4 \]
Área de la fuente:
\[ x^2 \]
Área restante:
\[ (x^2+4x+4)-x^2=4x+4 \]
El área restante es \(4x+4\) metros cuadrados.
Problema 2
Se quiere pintar una pared rectangular de \((3x+1)\) metros de largo y \((3x-1)\) metros de ancho. En la pared hay una ventana cuadrada de lado \(x\) metros que no se pintará. Calcula el área de la pared que se pintará.
Área total de la pared:
\[ (3x+1)(3x-1) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (3x+1)(3x-1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1 \]
Área de la ventana:
\[ x^2 \]
Área que se pintará:
\[ (9x^2-1)-x^2=8x^2-1 \]
El área que se pintará es \(8x^2-1\) metros cuadrados.
Problema 3
Un marco de fotos cuadrado tiene un lado exterior que mide \((2x+3)\) cm. El marco tiene un ancho uniforme de \(2\) cm. Calcula el área visible de la foto, es decir, el área interior del marco.
Como el marco tiene \(2\) cm de ancho por cada lado, se deben restar \(2\) cm a la izquierda y \(2\) cm a la derecha:
\[ (2x+3)-2-2=2x-1 \]
Entonces, el lado interior mide \(2x-1\) cm.
El área visible de la foto es:
\[ (2x-1)^2 \]
Aplicamos cuadrado de binomio resta:
\[ (2x-1)^2=(2x)^2-2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2-4x+1 \]
El área visible es \(4x^2-4x+1\) cm².
Problema 4
Se tiene un terreno cuadrado de lado \((4x+5)\) metros. Se quiere construir una casa cuadrada en el centro, dejando un jardín alrededor. Si el lado de la casa mide \((2x+1)\) metros, ¿cuál es el área del jardín?
Área del terreno:
\[ (4x+5)^2=(4x)^2+2(4x)(5)+5^2 \]
\[ =16x^2+40x+25 \]
Área de la casa:
\[ (2x+1)^2=(2x)^2+2(2x)(1)+1^2 \]
\[ =4x^2+4x+1 \]
Área del jardín:
\[ (16x^2+40x+25)-(4x^2+4x+1) \]
\[ =12x^2+36x+24 \]
El área del jardín es \(12x^2+36x+24\) metros cuadrados.
Nivel 3: problemas de aplicación a situaciones cotidianas
Ejemplo guiado: ganancia por caja
Una artesana fabrica cajas de madera cuadradas. El costo de los materiales por caja es de \((x-2)^2\) pesos. El precio de venta de cada caja es de \((x+2)(x-2)\) pesos. ¿Qué expresión representa su ganancia por caja?
1. Traducir al álgebra:
\[ \text{Ganancia}=\text{Venta}-\text{Costo} \]
2. Desarrollar el precio de venta:
\[ (x+2)(x-2)=x^2-4 \]
3. Desarrollar el costo:
\[ (x-2)^2=x^2-4x+4 \]
4. Restar:
\[ (x^2-4)-(x^2-4x+4) \]
\[ =x^2-4-x^2+4x-4 \]
\[ =4x-8 \]
La ganancia por caja es \(4x-8\) pesos.
Problema 1
Una empresa produce baldosas cuadradas. El costo de producción de cada baldosa es \((x+3)^2\) pesos. Si la empresa vende cada baldosa a \((x+5)^2\) pesos, ¿cuál es la expresión que representa la ganancia por baldosa?
La ganancia es:
\[ (x+5)^2-(x+3)^2 \]
Podemos verla como una diferencia de cuadrados:
\[ (x+5)^2-(x+3)^2=[(x+5)+(x+3)][(x+5)-(x+3)] \]
\[ =(2x+8)(2) \]
\[ =4x+16 \]
La ganancia por baldosa es \(4x+16\) pesos.
Problema 2
Se quiere cubrir con pasto un jardín rectangular. El largo del jardín es \((x+7)\) metros y el ancho es \((x-7)\) metros. Si el costo del pasto es de $10.000 por metro cuadrado, ¿cuál es la expresión para el costo total?
Primero calculamos el área del jardín:
\[ A=(x+7)(x-7) \]
Aplicamos suma por diferencia:
\[ (x+7)(x-7)=x^2-7^2=x^2-49 \]
Como el costo es de $10.000 por metro cuadrado, multiplicamos:
\[ C=10000(x^2-49) \]
También se puede escribir como:
\[ C=10000x^2-490000 \]
El costo total es \(10000(x^2-49)\) pesos.
Problema 3
Un capital de \((x+100)\) pesos se invierte a un interés compuesto anual del \(10\%\). ¿Cuál es la expresión que representa el monto total después de 2 años?
Aumentar un \(10\%\) equivale a multiplicar por \(1{,}10\). Después de 2 años:
\[ M=(x+100)(1{,}10)^2 \]
Calculamos el cuadrado:
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
Entonces:
\[ M=(x+100)(1{,}21) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ M=1{,}21x+121 \]
El monto total después de 2 años es \(1{,}21x+121\) pesos.
Problema 4: análisis crítico
Un estudiante afirma que si el lado de un cuadrado mide \((x-4)\), entonces su área es \(x^2-16\). ¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Si el lado del cuadrado mide \((x-4)\), entonces su área es:
\[ A=(x-4)^2 \]
Aplicamos el cuadrado de binomio resta:
\[ (x-4)^2=x^2-2(x)(4)+4^2 \]
\[ =x^2-8x+16 \]
Por lo tanto:
\[ (x-4)^2\neq x^2-16 \]
El error fue confundir el cuadrado de una resta con una diferencia de cuadrados.
7. Profundización opcional: Estrategias Avanzadas con Productos Notables
En esta página opcional aplicaremos lo aprendido para resolver expresiones más complejas. La clave ya no es solo aplicar una fórmula, sino desarrollar una visión algebraica: reconocer patrones conocidos dentro de expresiones de varios pasos.
Recordatorio de fórmulas clave
Para expandir:
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Para factorizar:
- \(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)
- \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Desarrollando la visión algebraica
En ejercicios avanzados conviene tratar algunas expresiones como bloques. Por ejemplo, un binomio completo como \((x+5)\) puede funcionar como el término \(a\) de una fórmula más grande.
Antes de desarrollar todo, observa si la expresión completa tiene una estructura conocida.
Ejercicios
Nivel 1: desarrollo de expresiones algebraicas
Ejemplo guiado: desarrollo y simplificación
Resolvamos:
\[ (a+2)(a-2)-(a-3)^2 \]
1. Desarrollar cada producto notable por separado.
\[ (a+2)(a-2)=a^2-4 \]
\[ (a-3)^2=a^2-6a+9 \]
2. Reemplazar usando paréntesis.
\[ (a+2)(a-2)-(a-3)^2=(a^2-4)-(a^2-6a+9) \]
3. Eliminar paréntesis y simplificar.
\[ a^2-4-a^2+6a-9 \]
\[ =6a-13 \]
Nivel 1: desarrolla y simplifica
- \((x+2)^2+(x-2)^2\)
- \((a+3)(a-3)-(a+1)^2\)
- \(2(m+4)^2-3(m+1)(m-1)\)
- \((2x+y)^2-(2x-y)^2\)
1.
\[ (x+2)^2+(x-2)^2=(x^2+4x+4)+(x^2-4x+4) \]
\[ =2x^2+8 \]
2.
\[ (a+3)(a-3)-(a+1)^2=(a^2-9)-(a^2+2a+1) \]
\[ =a^2-9-a^2-2a-1=-2a-10 \]
3.
\[ 2(m+4)^2-3(m+1)(m-1)=2(m^2+8m+16)-3(m^2-1) \]
\[ =2m^2+16m+32-3m^2+3 \]
\[ =-m^2+16m+35 \]
4.
\[ (2x+y)^2-(2x-y)^2 \]
\[ =(4x^2+4xy+y^2)-(4x^2-4xy+y^2) \]
\[ =8xy \]
Nivel 2: factorización de expresiones compuestas
Ejemplo guiado: factorizar por etapas
Factoricemos:
\[ a^2+2ab+b^2-c^2 \]
1. Agrupar para reconocer un patrón.
\[ (a^2+2ab+b^2)-c^2 \]
2. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
Entonces:
\[ (a^2+2ab+b^2)-c^2=(a+b)^2-c^2 \]
3. Reconocer una diferencia de cuadrados.
\[ (a+b)^2-c^2 \]
El primer término es \(a+b\) y el segundo es \(c\).
4. Factorizar.
\[ (a+b)^2-c^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \]
\[ =(a+b+c)(a+b-c) \]
Nivel 2: factoriza cada expresión compuesta
- \(x^2+10x+25-y^2\)
- \(4a^2-12a+9-b^2\)
- \(m^2-n^2+2n-1\)
- \(9x^2-16y^2+8y-1\)
1.
\[ x^2+10x+25-y^2=(x+5)^2-y^2 \]
\[ =(x+5+y)(x+5-y) \]
2.
\[ 4a^2-12a+9-b^2=(2a-3)^2-b^2 \]
\[ =(2a-3+b)(2a-3-b) \]
3.
\[ m^2-n^2+2n-1=m^2-(n^2-2n+1) \]
\[ =m^2-(n-1)^2 \]
\[ =(m+n-1)(m-n+1) \]
4.
\[ 9x^2-16y^2+8y-1=9x^2-(16y^2-8y+1) \]
\[ =(3x)^2-(4y-1)^2 \]
\[ =(3x+4y-1)(3x-4y+1) \]
Nivel 3: dos caminos hacia la solución
Ejemplo guiado: método directo y visión algebraica
Resolvamos:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2 \]
Método 1: desarrollo directo.
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1 \]
\[ 2(x+1)(x-1)=2(x^2-1)=2x^2-2 \]
\[ (x-1)^2=x^2-2x+1 \]
Sumamos:
\[ x^2+2x+1+2x^2-2+x^2-2x+1=4x^2 \]
Método 2: visión algebraica.
La expresión tiene la forma:
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
donde \(A=x+1\) y \(B=x-1\). Entonces:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2=[(x+1)+(x-1)]^2 \]
\[ =(2x)^2=4x^2 \]
Comparar métodos
El método directo siempre es válido, pero puede ser más largo. La visión algebraica permite reconocer una estructura mayor y ahorrar pasos cuando el patrón es claro.
Nivel 3: desarrolla y simplifica
Para cada ejercicio, revisa el método directo y, cuando sea posible, una técnica más rápida usando visión algebraica.
- \((x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2\)
- \((a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2\)
- \(3(x-2)^2+2(x+1)(x-1)-(x+3)^2\)
- \((a+b+c)^2-(a+b-c)^2\)
- \((x+y+2)(x+y-2)-(x+y)^2\)
- \((2a-b)^2+2(2a-b)(a+b)+(a+b)^2\)
1.
Método directo:
\[ (x+1)^2+2(x+1)(x-1)+(x-1)^2 \]
\[ =(x^2+2x+1)+2(x^2-1)+(x^2-2x+1) \]
\[ =4x^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=x+1\) y \(B=x-1\):
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
\[ [(x+1)+(x-1)]^2=(2x)^2=4x^2 \]
2.
Método directo:
\[ (a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2 \]
\[ =(a^2+2ab+b^2)-2(a^2-b^2)+(a^2-2ab+b^2) \]
\[ =a^2+2ab+b^2-2a^2+2b^2+a^2-2ab+b^2=4b^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=a+b\) y \(B=a-b\):
\[ A^2-2AB+B^2=(A-B)^2 \]
\[ [(a+b)-(a-b)]^2=(2b)^2=4b^2 \]
3.
\[ 3(x-2)^2+2(x+1)(x-1)-(x+3)^2 \]
\[ =3(x^2-4x+4)+2(x^2-1)-(x^2+6x+9) \]
\[ =3x^2-12x+12+2x^2-2-x^2-6x-9 \]
\[ =4x^2-18x+1 \]
En este caso, no hay un atajo evidente que simplifique toda la expresión. El desarrollo directo es el camino más conveniente.
4.
Método directo:
\[ (a+b+c)^2-(a+b-c)^2 \]
\[ =(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) \]
\[ -(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc) \]
\[ =4ac+4bc=4c(a+b) \]
Visión algebraica:
Es una diferencia de cuadrados con \(A=a+b+c\) y \(B=a+b-c\):
\[ A^2-B^2=(A+B)(A-B) \]
\[ [(a+b+c)+(a+b-c)][(a+b+c)-(a+b-c)] \]
\[ =(2a+2b)(2c)=4c(a+b) \]
5.
Método directo:
\[ (x+y+2)(x+y-2)-(x+y)^2 \]
\[ =[(x+y)^2-2^2]-(x+y)^2 \]
\[ =(x+y)^2-4-(x+y)^2=-4 \]
Visión algebraica:
La expresión \((x+y+2)(x+y-2)\) es suma por diferencia, con \(A=x+y\) y \(B=2\):
\[ (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \]
\[ (x+y)^2-4-(x+y)^2=-4 \]
6.
Método directo:
\[ (2a-b)^2+2(2a-b)(a+b)+(a+b)^2 \]
\[ =(4a^2-4ab+b^2)+2(2a^2+ab-b^2)+(a^2+2ab+b^2) \]
\[ =4a^2-4ab+b^2+4a^2+2ab-2b^2+a^2+2ab+b^2 \]
\[ =9a^2 \]
Visión algebraica:
Con \(A=2a-b\) y \(B=a+b\):
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
\[ [(2a-b)+(a+b)]^2=(3a)^2=9a^2 \]
Nivel 4: simplificación de expresiones racionales
Ejemplo guiado: simplificación racional
Simplifiquemos:
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab} \]
1. Desarrollar el numerador.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) \]
2. Simplificar el numerador.
\[ a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab \]
3. Reemplazar y simplificar.
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}=\frac{4ab}{4ab}=1 \]
Esta simplificación es válida cuando \(ab\neq 0\), para que el denominador no sea cero.
Nivel 4: simplifica cada expresión racional
- \(\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{4x}\)
- \(\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}\)
- \(\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{2m}\)
- \(\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2}\)
1.
\[ (x+2)^2-(x-2)^2=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x \]
\[ \frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{4x}=\frac{8x}{4x}=2 \]
Válido para \(x\neq 0\).
2.
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab \]
\[ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4 \]
Válido para \(ab\neq 0\).
3.
\[ (2m+1)^2-(2m-1)^2=(4m^2+4m+1)-(4m^2-4m+1)=8m \]
\[ \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{2m}=\frac{8m}{2m}=4 \]
Válido para \(m\neq 0\).
4.
\[ (x+y)^2-(x-y)^2=4xy \]
\[ (x-y)^2-(x+y)^2=-4xy \]
Entonces:
\[ \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2-(x+y)^2}=\frac{4xy}{-4xy}=-1 \]
Válido cuando \(xy\neq 0\).
Problemas de Aplicación Avanzada
Ejemplo guiado: aumento de área
Un cuadrado tiene un lado de \((x+3)\) cm. Se construye un nuevo cuadrado aumentando el lado en \(2\) cm. ¿Cuál es la expresión que representa el aumento de área?
1. Área original.
\[ A_1=(x+3)^2=x^2+6x+9 \]
2. Nuevo lado.
\[ L_2=(x+3)+2=x+5 \]
3. Área nueva.
\[ A_2=(x+5)^2=x^2+10x+25 \]
4. Aumento de área.
\[ A_2-A_1=(x^2+10x+25)-(x^2+6x+9) \]
\[ =4x+16 \]
El área aumentó en \(4x+16\) cm².
Problema 1
Un terreno rectangular tiene un largo de \((x+5)\) metros y un ancho de \((x-5)\) metros. Si se aumenta el largo en \(3\) metros y se disminuye el ancho en \(3\) metros, ¿cuál es la diferencia entre el área original y el área nueva?
Área original:
\[ A_1=(x+5)(x-5)=x^2-25 \]
Nuevas dimensiones:
\[ \text{largo}=x+8 \]
\[ \text{ancho}=x-8 \]
Área nueva:
\[ A_2=(x+8)(x-8)=x^2-64 \]
Diferencia entre el área original y el área nueva:
\[ A_1-A_2=(x^2-25)-(x^2-64) \]
\[ =39 \]
La diferencia de área es \(39\) metros cuadrados.
Problema 2
Se tiene un cuadrado de lado \((2x+1)\) cm. Si se aumenta cada lado en \(2\) cm, ¿cuál es la expresión que representa el aumento en el área del cuadrado?
Área original:
\[ A_1=(2x+1)^2=4x^2+4x+1 \]
Nuevo lado:
\[ (2x+1)+2=2x+3 \]
Área nueva:
\[ A_2=(2x+3)^2=4x^2+12x+9 \]
Aumento de área:
\[ A_2-A_1=(4x^2+12x+9)-(4x^2+4x+1) \]
\[ =8x+8 \]
El aumento de área es \(8x+8\) cm².
Problema 3
Un depósito cúbico cerrado tiene una arista de \((x+1)\) metros. El costo de construcción es de $10.000 por metro cuadrado de superficie. ¿Cuál es la expresión que representa el costo total?
El área de una cara del cubo es:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1 \]
Como el cubo cerrado tiene \(6\) caras, su superficie total es:
\[ 6(x+1)^2=6(x^2+2x+1) \]
\[ =6x^2+12x+6 \]
El costo total se obtiene multiplicando por $10.000:
\[ 10000(6x^2+12x+6) \]
\[ =60000x^2+120000x+60000 \]
El costo total es \(60000x^2+120000x+60000\) pesos.
8. Profundización opcional: Completando el Cuadrado
En las páginas anteriores trabajamos con trinomios cuadrados perfectos, que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. En esta página opcional estudiaremos una técnica llamada completar el cuadrado, que permite transformar expresiones cuadráticas en una forma más útil para analizarlas.
Procedimiento para completar el cuadrado
Para transformar una expresión de la forma \(x^2+bx\), se siguen estos pasos:
- Identificar \(b\): es el coeficiente que acompaña a \(x\).
- Calcular el término que completa el cuadrado: \[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
- Sumar y restar ese término: así no se altera el valor de la expresión.
- Factorizar: los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto.
¿Para qué sirve completar el cuadrado?
Esta técnica permite escribir una expresión cuadrática en una forma que muestra con mayor claridad su comportamiento.
Por ejemplo, una expresión como:
\[ x^2+6x+5 \]
puede transformarse en:
\[ (x+3)^2-4 \]
Esta forma ayuda a estudiar valores mínimos, máximos y la estructura de la expresión.
Ejercicios: completando el cuadrado
Nivel 1: expresiones de la forma \(x^2+bx\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(x^2-2x\)
Completemos el cuadrado para:
\[ x^2-2x \]
1. Identificar \(b\).
En este caso, \(b=-2\).
2. Calcular el término que completa el cuadrado.
\[ \left(\frac{-2}{2}\right)^2=(-1)^2=1 \]
3. Sumar y restar ese término.
\[ x^2-2x=x^2-2x+1-1 \]
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Por lo tanto:
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1 \]
Nivel 1: completa el cuadrado
- \(x^2+4x\)
- \(x^2+10x\)
- \(x^2-8x\)
- \(x^2-3x\)
1. Para \(x^2+4x\), \(b=4\):
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2)^2-4 \]
2. Para \(x^2+10x\), \(b=10\):
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^2=25 \]
\[ x^2+10x=x^2+10x+25-25=(x+5)^2-25 \]
3. Para \(x^2-8x\), \(b=-8\):
\[ \left(\frac{-8}{2}\right)^2=16 \]
\[ x^2-8x=x^2-8x+16-16=(x-4)^2-16 \]
4. Para \(x^2-3x\), \(b=-3\):
\[ \left(\frac{-3}{2}\right)^2=\frac{9}{4} \]
\[ x^2-3x=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4} \]
\[ =\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4} \]
Nivel 2: expresiones de la forma \(x^2+bx+c\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(x^2+4x-5\)
Completemos el cuadrado para:
\[ x^2+4x-5 \]
1. Identificar \(b\).
En este caso, \(b=4\).
2. Calcular el término que completa el cuadrado.
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=2^2=4 \]
3. Sumar y restar \(4\).
\[ x^2+4x-5=x^2+4x+4-4-5 \]
4. Factorizar y simplificar.
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Entonces:
\[ x^2+4x-5=(x+2)^2-4-5 \]
\[ =(x+2)^2-9 \]
Nivel 2: completa el cuadrado
- \(x^2+8x+10\)
- \(x^2-6x+5\)
- \(x^2+5x+2\)
- \(x^2-2x-3\)
1.
\[ x^2+8x+10=x^2+8x+16-16+10 \]
\[ =(x+4)^2-6 \]
2.
\[ x^2-6x+5=x^2-6x+9-9+5 \]
\[ =(x-3)^2-4 \]
3.
\[ x^2+5x+2=x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+2 \]
\[ =\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{8}{4} \]
\[ =\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{17}{4} \]
4.
\[ x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3 \]
\[ =(x-1)^2-4 \]
Cuidado cuando el coeficiente de \(x^2\) no es \(1\)
Si la expresión comienza con \(ax^2\), con \(a\neq 1\), primero conviene factorizar el coeficiente principal en los términos que tienen \(x\).
Luego se completa el cuadrado dentro del paréntesis. Al sacar términos fuera del paréntesis, recuerda multiplicar por el coeficiente que quedó afuera.
Nivel 3: coeficiente principal distinto de \(1\)
Ejemplo guiado: completar el cuadrado en \(2x^2+12x+10\)
Completemos el cuadrado para:
\[ 2x^2+12x+10 \]
1. Factorizar el coeficiente principal en los términos con \(x\).
\[ 2x^2+12x+10=2(x^2+6x)+10 \]
2. Completar el cuadrado dentro del paréntesis.
Como \(b=6\), calculamos:
\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2=9 \]
Entonces:
\[ 2(x^2+6x)+10=2(x^2+6x+9-9)+10 \]
3. Separar el término sobrante.
\[ 2(x^2+6x+9)-18+10 \]
4. Factorizar y simplificar.
\[ 2(x+3)^2-8 \]
Nivel 3: completa el cuadrado
- \(2x^2+4x+5\)
- \(3x^2-9x+6\)
- \(-x^2-6x+2\)
- \(4x^2-8x-1\)
- \(\frac{1}{2}x^2+x+2\)
- \(-2x^2+10x-7\)
1.
\[ 2x^2+4x+5=2(x^2+2x)+5 \]
\[ =2(x^2+2x+1-1)+5 \]
\[ =2(x+1)^2-2+5=2(x+1)^2+3 \]
2.
\[ 3x^2-9x+6=3(x^2-3x)+6 \]
\[ =3\left(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+6 \]
\[ =3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{27}{4}+6 \]
\[ =3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{4} \]
3.
\[ -x^2-6x+2=-(x^2+6x)+2 \]
\[ =-\left(x^2+6x+9-9\right)+2 \]
\[ =-(x+3)^2+9+2=-(x+3)^2+11 \]
4.
\[ 4x^2-8x-1=4(x^2-2x)-1 \]
\[ =4(x^2-2x+1-1)-1 \]
\[ =4(x-1)^2-4-1=4(x-1)^2-5 \]
5.
\[ \frac{1}{2}x^2+x+2=\frac{1}{2}(x^2+2x)+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x^2+2x+1-1)+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x+1)^2-\frac{1}{2}+2 \]
\[ =\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2} \]
6.
\[ -2x^2+10x-7=-2(x^2-5x)-7 \]
\[ =-2\left(x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}\right)-7 \]
\[ =-2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{2}-7 \]
\[ =-2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{11}{2} \]
Problemas de Aplicación: máximos y mínimos
Ejemplo guiado: ingreso máximo
Los ingresos \(I\), en miles de pesos, de una tienda están dados por:
\[ I(x)=-x^2+10x+50 \]
donde \(x\) es el número de productos vendidos. Encuentra el número de productos que maximiza el ingreso y cuál es ese ingreso máximo.
1. Completar el cuadrado.
\[ I(x)=-(x^2-10x)+50 \]
\[ =-(x^2-10x+25-25)+50 \]
\[ =-[(x-5)^2-25]+50 \]
\[ =-(x-5)^2+25+50 \]
\[ I(x)=-(x-5)^2+75 \]
2. Interpretar.
La expresión \((x-5)^2\) siempre es mayor o igual que \(0\). Como aparece con signo negativo, el valor máximo ocurre cuando:
\[ (x-5)^2=0 \]
Esto ocurre cuando:
\[ x=5 \]
3. Concluir.
El ingreso máximo es \(75\) miles de pesos, es decir, $75.000.
Se deben vender \(5\) productos para obtener el ingreso máximo.
Problema 1
La altura \(h\), en metros, de un proyectil en función del tiempo \(t\), en segundos, está dada por \(h(t)=-5t^2+20t+10\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?
Completamos el cuadrado:
\[ h(t)=-5t^2+20t+10 \]
\[ =-5(t^2-4t)+10 \]
\[ =-5(t^2-4t+4-4)+10 \]
\[ =-5[(t-2)^2-4]+10 \]
\[ =-5(t-2)^2+20+10 \]
\[ h(t)=-5(t-2)^2+30 \]
El valor máximo ocurre cuando \((t-2)^2=0\), es decir, cuando \(t=2\).
La altura máxima es \(30\) metros y ocurre a los \(2\) segundos.
Problema 2
Una empresa determina que la ganancia \(G\), en miles de pesos, por vender \(x\) unidades está modelada por \(G(x)=-2x^2+12x-8\). ¿Cuántas unidades deben venderse para maximizar la ganancia y cuál es esa ganancia máxima?
Completamos el cuadrado:
\[ G(x)=-2x^2+12x-8 \]
\[ =-2(x^2-6x)-8 \]
\[ =-2(x^2-6x+9-9)-8 \]
\[ =-2[(x-3)^2-9]-8 \]
\[ =-2(x-3)^2+18-8 \]
\[ G(x)=-2(x-3)^2+10 \]
El máximo ocurre cuando \((x-3)^2=0\), es decir, cuando \(x=3\).
La ganancia máxima es \(10\) miles de pesos, es decir, $10.000.
Problema 3
El costo \(C\), en miles de pesos, de producir \(x\) artículos está dado por \(C(x)=x^2-8x+20\). ¿Cuántos artículos se deben producir para minimizar el costo y cuál es ese costo mínimo?
Completamos el cuadrado:
\[ C(x)=x^2-8x+20 \]
\[ =x^2-8x+16-16+20 \]
\[ =(x-4)^2+4 \]
La expresión \((x-4)^2\) siempre es mayor o igual que \(0\). Por eso, el mínimo ocurre cuando:
\[ (x-4)^2=0 \]
Esto ocurre cuando \(x=4\).
El costo mínimo es \(4\) miles de pesos, es decir, $4.000.
9. diagrama
Productos notables: reconocer y aplicar patrones algebraicos
Objetivo de aprendizaje
Reconocer, aplicar y factorizar productos notables, utilizando patrones algebraicos para simplificar expresiones.
Los productos notables permiten resolver multiplicaciones algebraicas rápidamente reconociendo patrones.
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]
Diagrama: ¿Qué producto notable es?
Cuadrado de un binomio (suma)
Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Ejemplo
\[(x + 3)^2\]
\[= x^2 + 2\cdot x \cdot 3 + 3^2\]
\[= x^2 + 6x + 9\]
Olvidar el término \(2ab\) es uno de los errores más frecuentes.
Cuadrado de un binomio (resta)
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Ejemplo
\[(x - 2)^2\]
\[= x^2 - 4x + 4\]
El término final siempre es positivo.
Suma por diferencia
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]
Ejemplo
\[(x + 5)(x - 5)\]
\[= x^2 - 25\]
Los términos del medio se eliminan automáticamente.
Ejercicios
Ejercicio 1
\[(x + 4)^2\]
\[x^2 + 8x + 16\]
Ejercicio 2
\[(x - 3)^2\]
\[x^2 - 6x + 9\]
Ejercicio 3
\[(x + 2)(x - 2)\]
\[x^2 - 4\]
El éxito en productos notables depende de reconocer patrones rápidamente. Mientras más practiques, más automático se vuelve.