Usamos:

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

Reemplazamos:

\[ A_T=\pi\cdot 7(10+7)=119\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 119\pi\approx 373{,}85\text{ cm}^2 \]

El área total es \(119\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(373{,}85\text{ cm}^2\).

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

\[ A_T=\pi\cdot 5(8+5)=65\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 65\pi\approx 204{,}20\text{ cm}^2 \]

El área total es \(65\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(204{,}20\text{ cm}^2\).

Primero encontramos la generatriz:

\[ g=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ cm} \]

Luego:

\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi\cdot 3(5+3)=24\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 24\pi\approx 75{,}40\text{ cm}^2 \]

El área total es \(24\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(75{,}40\text{ cm}^2\).

Primero encontramos la generatriz:

\[ g=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\text{ cm} \]

Luego:

\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi\cdot 9(15+9)=216\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 216\pi\approx 678{,}58\text{ cm}^2 \]

El área total es \(216\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(678{,}58\text{ cm}^2\).

Usamos la fórmula del área lateral:

\[ A_L=\pi r g \]

\[ A_L=\pi(7)(15)=105\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 105\pi\approx 329{,}87\text{ cm}^2 \]

El área lateral es \(105\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(329{,}87\text{ cm}^2\).

Primero calculamos el radio:

\[ r=\sqrt{g^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm} \]

Ahora calculamos el área total:

\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi(6)(10+6)=96\pi\text{ cm}^2 \]

\[ 96\pi\approx 301{,}59\text{ cm}^2 \]

El área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).

Partimos de:

\[ A_L=\pi r g \]

Despejamos \(g\):

\[ g=\frac{A_L}{\pi r} \]

Reemplazamos:

\[ g=\frac{20\pi}{\pi\cdot 4}=5\text{ cm} \]

La generatriz mide \(5\text{ cm}\).

Usamos:

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

Reemplazamos los datos:

\[ 36\pi=\pi(3)(g+3) \]

Dividimos por \(\pi\):

\[ 36=3(g+3) \]

\[ 12=g+3 \]

\[ g=9\text{ cm} \]

La generatriz mide \(9\text{ cm}\).

Primero encontramos el radio:

\[ A_B=\pi r^2 \]

\[ 25\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=25 \quad\Longrightarrow\quad r=5\text{ cm} \]

Ahora calculamos el área lateral:

\[ A_L=\pi r g=\pi(5)(13)=65\pi\text{ cm}^2 \]

El área lateral es \(65\pi\text{ cm}^2\).

Primero encontramos el radio usando \(A_L=\pi r g\):

\[ 60\pi=\pi r(12) \]

\[ r=\frac{60\pi}{12\pi}=5\text{ cm} \]

Ahora calculamos el área de la base:

\[ A_B=\pi r^2=\pi(5)^2=25\pi\text{ cm}^2 \]

Finalmente:

\[ A_T=A_L+A_B=60\pi+25\pi=85\pi\text{ cm}^2 \]

El área total es \(85\pi\text{ cm}^2\).

Primero encontramos la generatriz:

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

\[ 90\pi=\pi(5)(g+5) \]

Dividimos por \(5\pi\):

\[ 18=g+5 \]

\[ g=13\text{ cm} \]

Ahora usamos Pitágoras:

\[ h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ cm} \]

La altura del cono es \(12\text{ cm}\).

El diámetro es:

\[ d=2r=2(5)=10\text{ cm} \]

Como el diámetro es igual a la generatriz:

\[ g=10\text{ cm} \]

Calculamos el área total:

\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi(5)(10+5)=75\pi\text{ cm}^2 \]

El área total es \(75\pi\text{ cm}^2\).

Primero encontramos el radio:

\[ A_B=\pi r^2 \]

\[ 36\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=36 \quad\Longrightarrow\quad r=6\text{ cm} \]

La generatriz mide el doble del radio:

\[ g=2r=12\text{ cm} \]

Calculamos el área lateral:

\[ A_L=\pi r g=\pi(6)(12)=72\pi\text{ cm}^2 \]

El área lateral es \(72\pi\text{ cm}^2\).

Usamos las relaciones:

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

\[ g^2=r^2+h^2 \]

Como \(h=16\), buscamos una terna pitagórica con altura \(16\). La terna \(12-16-20\) cumple:

\[ 20^2=12^2+16^2 \]

Entonces \(r=12\text{ cm}\) y \(g=20\text{ cm}\). Verificamos el área total:

\[ A_T=\pi(12)(20+12)=384\pi\text{ cm}^2 \]

La generatriz mide \(20\text{ cm}\).

Definimos \(h_c\) como la altura del cilindro. Entonces la altura del cono es:

\[ h_{\text{cono}}=2h_c \]

Como tienen la misma base circular, ambos comparten el mismo factor \(\pi r^2\).

El volumen del cilindro es:

\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h_c=180 \]

El volumen del cono es:

\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h_{\text{cono}} \]

Sustituimos \(h_{\text{cono}}=2h_c\):

\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2(2h_c)=\frac{2}{3}(\pi r^2h_c) \]

Como \(\pi r^2h_c=180\), se obtiene:

\[ V_{\text{cono}}=\frac{2}{3}\cdot 180=120 \]

El volumen del cono es \(120\text{ cm}^3\).

Primero calculamos el volumen de la pirámide:

\[ V_{\text{pirámide}}=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 10=120\text{ cm}^3 \]

La base cuadrada está inscrita en la base circular del cono. Por eso, la diagonal del cuadrado corresponde al diámetro del cono:

\[ d=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm} \]

Entonces el radio del cono es:

\[ r=\frac{d}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm} \]

La altura del cono es \(10\text{ cm}\), igual que la pirámide. Calculamos el volumen del cono:

\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]

\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi(3\sqrt{2})^2(10)=\frac{1}{3}\pi(18)(10)=60\pi\text{ cm}^3 \]

El volumen que queda sin ocupar es:

\[ V_{\text{cono}}-V_{\text{pirámide}}=60\pi-120 \]

El volumen sin ocupar es \((60\pi-120)\text{ cm}^3\), aproximadamente \(68{,}50\text{ cm}^3\).

Si el corte está a \(\frac{2}{3}h\) desde la base, entonces la altura del cono pequeño de la punta es:

\[ h_{\text{pequeño}}=h-\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}h \]

La razón de semejanza entre el cono pequeño y el cono original es:

\[ k=\frac{h_{\text{pequeño}}}{h}=\frac{1}{3} \]

Los volúmenes de cuerpos semejantes se relacionan con el cubo de la razón lineal:

\[ V_{\text{pequeño}}=k^3V \]

Entonces:

\[ V_{\text{pequeño}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3V=\frac{1}{27}V \]

El volumen del cono pequeño es \(\frac{1}{27}V\).

Si la base del cono es un círculo máximo de la esfera, entonces el radio de la base del cono es igual al radio de la esfera:

\[ r=5\text{ cm} \]

La altura del cono también corresponde al radio de la esfera:

\[ h=5\text{ cm} \]

Calculamos la generatriz:

\[ g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{ cm} \]

Ahora calculamos el área total:

\[ A_T=\pi r(g+r) \]

\[ A_T=\pi\cdot 5(5\sqrt{2}+5)=25\pi(\sqrt{2}+1)\text{ cm}^2 \]

El área total es \(25\pi(1+\sqrt{2})\text{ cm}^2\).

Primero convertimos unidades:

\[ 1000\text{ litros}=1\text{ m}^3 \]

Usamos la fórmula del volumen del cono:

\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]

Despejamos \(h\):

\[ h=\frac{3V}{\pi r^2} \]

Sustituimos \(V=1\text{ m}^3\) y \(r=1\text{ m}\):

\[ h=\frac{3\cdot 1}{\pi\cdot 1^2}=\frac{3}{\pi}\text{ m} \]

La altura debe ser \(\frac{3}{\pi}\text{ m}\), aproximadamente \(0{,}95\text{ m}\).

El radio es la mitad del diámetro:

\[ r=\frac{6}{2}=3\text{ cm} \]

Calculamos el volumen:

\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]

\[ V=\frac{1}{3}\pi(3)^2(10)=30\pi\text{ cm}^3 \]

El vaso puede contener \(30\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(94{,}25\text{ cm}^3\).

Un gorro cónico no necesita base, por lo tanto se calcula solo el área lateral:

\[ A_L=\pi rg \]

Sustituimos los datos:

\[ A_L=\pi\cdot 10\cdot 20=200\pi\text{ cm}^2 \]

Se necesitan \(200\pi\text{ cm}^2\) de cartulina por gorro, aproximadamente \(628{,}32\text{ cm}^2\).

Primero calculamos el radio:

\[ r=\frac{12}{2}=6\text{ cm} \]

Calculamos el volumen del embudo:

\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]

\[ V=\frac{1}{3}\pi(6)^2(15)=180\pi\text{ cm}^3 \]

Como se llena a razón de \(50\text{ cm}^3\) por segundo, el tiempo es:

\[ t=\frac{180\pi}{50}=3{,}6\pi\text{ s} \]

Tardará \(3{,}6\pi\) segundos, aproximadamente \(11{,}31\) segundos.