Idea clave: la conexión entre el cono y el cilindro
En la página anterior, vimos que se necesitan tres conos de arena para llenar un cilindro que tenga la misma base y altura. Esto no es una coincidencia. La matemática formaliza esta relación y nos da una herramienta poderosa para no tener que experimentar cada vez.
Deduciendo la fórmula del volumen del cono
Recordemos que el volumen de un cilindro se calcula con la fórmula:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h \]
Como nuestra experimentación sugirió, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro con la misma base y altura. Por lo tanto:
Fórmula del volumen del cono
La fórmula para calcular el volumen de un cono es:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
Donde:
- \(V_{\text{cono}}\) representa el volumen del cono.
- \(\pi\) es la constante matemática que vale aproximadamente \(3{,}14159\ldots\).
- \(r\) es el radio de la base circular del cono.
- \(h\) es la altura del cono, es decir, la distancia perpendicular desde el vértice a la base.
Una mirada más profunda a la fórmula
El término \(\pi r^2\) corresponde al área de la base circular del cono. Por eso, la fórmula también puede leerse como:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\cdot \text{área de la base}\cdot \text{altura} \]
Esta forma ayuda a entender de dónde viene la fórmula y no solo a memorizarla.
Ejemplos y ejercicios de práctica
Nivel 1 – Cálculo directo de volumen
Ejemplo 1
Calcula el volumen de un cono con radio \(r=5\text{ cm}\) y altura \(h=12\text{ cm}\).
Solución:
Usamos la fórmula del volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
Sustituimos \(r=5\text{ cm}\) y \(h=12\text{ cm}\):
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi(5)^2(12) \]
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi(25)(12)=100\pi\text{ cm}^3 \]
Aproximando \(\pi\) a \(3{,}14\):
\[ V_{\text{cono}}\approx 100\cdot 3{,}14=314\text{ cm}^3 \]
Respuesta: El volumen del cono es \(100\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(314\text{ cm}^3\).
Ejemplo 2
Un cono tiene una altura de \(8\text{ cm}\) y un volumen de \(96\pi\text{ cm}^3\). Calcula el radio de la base del cono.
Solución:
Partimos de la fórmula del volumen:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
Sustituimos \(V_{\text{cono}}=96\pi\text{ cm}^3\) y \(h=8\text{ cm}\):
\[ 96\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(8) \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 96=\frac{8}{3}r^2 \]
Despejamos \(r^2\):
\[ r^2=\frac{96\cdot 3}{8}=36 \]
Finalmente:
\[ r=\sqrt{36}=6\text{ cm} \]
Respuesta: El radio de la base del cono es \(6\text{ cm}\).
Nivel 1 – Ejercicio 1
Calcula el volumen de un cono con radio \(r=4\text{ cm}\) y altura \(h=9\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(4)^2(9)\\ &=\frac{1}{3}\pi(16)(9)\\ &=48\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 150{,}80\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(48\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(150{,}80\text{ cm}^3\).
Nivel 1 – Ejercicio 2
Calcula el volumen de un cono con radio \(r=6\text{ cm}\) y altura \(h=10\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(6)^2(10)\\ &=\frac{1}{3}\pi(36)(10)\\ &=120\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 376{,}99\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(120\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(376{,}99\text{ cm}^3\).
Nivel 1 – Ejercicio 3
Calcula el volumen de un cono con radio \(r=3\text{ cm}\) y altura \(h=7\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(3)^2(7)\\ &=\frac{1}{3}\pi(9)(7)\\ &=21\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 65{,}97\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(21\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(65{,}97\text{ cm}^3\).
Nivel 1 – Ejercicio 4
Calcula el volumen de un cono con radio \(r=2{,}5\text{ cm}\) y altura \(h=6\text{ cm}\).
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(2{,}5)^2(6)\\ &=\frac{1}{3}\pi(6{,}25)(6)\\ &=12{,}5\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 39{,}27\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(12{,}5\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(39{,}27\text{ cm}^3\).
Nivel 2 – Cálculo de elementos del cono
Ejemplo adicional
Un cono tiene un volumen de \(V=12\pi\text{ cm}^3\) y el diámetro de su base es \(d=6\text{ cm}\). ¿Cuál es su altura?
Solución:
Primero hallamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm} \]
Ahora usamos la fórmula del volumen:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
Sustituimos los datos:
\[ 12\pi=\frac{1}{3}\pi(3)^2h \]
\[ 12\pi=3\pi h \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ h=\frac{12\pi}{3\pi}=4\text{ cm} \]
Respuesta: La altura del cono es \(4\text{ cm}\).
Nivel 2 – Ejercicio 5
Un cono tiene una altura de \(h=15\text{ cm}\) y un volumen de \(V=125\pi\text{ cm}^3\). Calcula el radio de la base.
\[ 125\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(15) \]
\[ 125\pi=5\pi r^2 \]
Dividimos por \(5\pi\):
\[ r^2=25 \]
\[ r=\sqrt{25}=5\text{ cm} \]
El radio de la base es \(5\text{ cm}\).
Nivel 2 – Ejercicio 6
Un cono tiene un volumen de \(V=36\pi\text{ cm}^3\) y una altura \(h=9\text{ cm}\). Encuentra el radio de la base.
\[ 36\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(9) \]
\[ 36\pi=3\pi r^2 \]
Dividimos por \(3\pi\):
\[ r^2=12 \]
\[ r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ cm}\approx 3{,}46\text{ cm} \]
El radio es \(2\sqrt{3}\text{ cm}\), aproximadamente \(3{,}46\text{ cm}\).
Nivel 2 – Ejercicio 7
Un cono tiene un volumen de \(V=100\pi\text{ cm}^3\) y un radio \(r=5\text{ cm}\). Encuentra su altura.
\[ 100\pi=\frac{1}{3}\pi(5)^2h \]
\[ 100\pi=\frac{25}{3}\pi h \]
Despejamos \(h\):
\[ h=\frac{100\pi\cdot 3}{25\pi}=12\text{ cm} \]
La altura es \(12\text{ cm}\).
Nivel 2 – Ejercicio 8
El volumen de un cono es \(V=48\pi\text{ cm}^3\) y su altura \(h=4\text{ cm}\). Calcula el diámetro de la base.
\[ 48\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(4) \]
\[ 48\pi=\frac{4}{3}\pi r^2 \]
Despejamos \(r^2\):
\[ r^2=\frac{48\cdot 3}{4}=36 \]
\[ r=6\text{ cm} \]
Como el diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r=12\text{ cm} \]
El diámetro de la base es \(12\text{ cm}\).
Nivel 3 – Más relaciones internas
Ejemplo adicional
El volumen de un cono es \(V=18\pi\text{ cm}^3\). Si se sabe que su altura es el doble de su radio, es decir, \(h=2r\), ¿cuáles son las medidas del radio y la altura?
Solución:
Sustituimos \(h=2r\) en la fórmula del volumen:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
\[ 18\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(2r) \]
\[ 18\pi=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Despejamos \(r^3\):
\[ r^3=\frac{18\pi\cdot 3}{2\pi}=27 \]
\[ r=\sqrt[3]{27}=3\text{ cm} \]
Luego:
\[ h=2r=2\cdot 3=6\text{ cm} \]
Respuesta: El radio del cono es \(3\text{ cm}\) y su altura es \(6\text{ cm}\).
Nivel 3 – Ejercicio 9
Un cono tiene una altura \(h=8\text{ cm}\) y su base tiene un área \(A_b=9\pi\text{ cm}^2\). Calcula su volumen.
Como \(A_b=\pi r^2\), también podemos usar directamente:
\[ V=\frac{1}{3}A_bh \]
Reemplazamos:
\[ V=\frac{1}{3}(9\pi)(8)=24\pi\text{ cm}^3 \]
\[ V\approx 75{,}40\text{ cm}^3 \]
El volumen es \(24\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(75{,}40\text{ cm}^3\).
Nivel 3 – Ejercicio 10
Calcula el volumen de un cono si su altura es el doble de su radio y \(r=6\text{ cm}\).
Si la altura es el doble del radio:
\[ h=2r=2\cdot 6=12\text{ cm} \]
Calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(6)^2(12)\\ &=144\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 452{,}39\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(144\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(452{,}39\text{ cm}^3\).
Nivel 3 – Ejercicio 11
Un cono tiene una base de área \(A_b=16\pi\text{ cm}^2\) y una altura igual a la mitad del diámetro de la base. Encuentra su volumen.
Primero encontramos el radio desde el área de la base:
\[ A_b=\pi r^2 \]
\[ 16\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=16 \quad\Longrightarrow\quad r=4\text{ cm} \]
El diámetro es:
\[ d=2r=8\text{ cm} \]
La altura es la mitad del diámetro:
\[ h=\frac{1}{2}d=4\text{ cm} \]
Calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(4)^2(4)\\ &=\frac{64\pi}{3}\text{ cm}^3\\ &\approx 67{,}02\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(\frac{64\pi}{3}\text{ cm}^3\), aproximadamente \(67{,}02\text{ cm}^3\).
Nivel 4 – Usando la generatriz
Cuidado con la generatriz
En algunos problemas se entrega la generatriz \(g\) en lugar de la altura \(h\). Recuerda que la generatriz corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con el radio, la altura y la generatriz del cono. No la confundas con la altura.
Cuando conozcas \(g\) y \(r\), puedes usar:
\[ h=\sqrt{g^2-r^2} \]
Ejemplo adicional
Calcula el volumen de un cono que tiene una altura \(h=8\text{ cm}\) y una generatriz \(g=10\text{ cm}\).
Solución:
Como conocemos la altura y la generatriz, primero encontramos el radio usando el Teorema de Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \]
\[ r=\sqrt{g^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ cm} \]
Ahora calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(6)^2(8)\\ &=96\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 301{,}59\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
Respuesta: El volumen del cono es \(96\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^3\).
Nivel 4 – Ejercicio 12
Calcula el volumen de un cono cuyo radio es \(r=4\text{ cm}\) y cuya generatriz es \(g=5\text{ cm}\).
Primero encontramos la altura:
\[ h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ cm} \]
Luego calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(4)^2(3)\\ &=16\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 50{,}27\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(16\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(50{,}27\text{ cm}^3\).
Nivel 4 – Ejercicio 13
Un cono tiene un radio \(r=6\text{ cm}\) y una generatriz \(g=10\text{ cm}\). Calcula su volumen.
Encontramos la altura con Pitágoras:
\[ h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm} \]
Calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(6)^2(8)\\ &=96\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 301{,}59\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(96\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^3\).
Nivel 4 – Ejercicio 14
Un cono tiene una generatriz \(g=13\text{ cm}\) y un radio \(r=5\text{ cm}\). Determina su volumen.
Encontramos la altura:
\[ h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ cm} \]
Calculamos el volumen:
\[ \begin{aligned} V&=\frac{1}{3}\pi r^2h\\ &=\frac{1}{3}\pi(5)^2(12)\\ &=100\pi\text{ cm}^3\\ &\approx 314{,}16\text{ cm}^3 \end{aligned} \]
El volumen es \(100\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(314{,}16\text{ cm}^3\).
¿Dónde vemos conos en el mundo real?
La fórmula del volumen del cono no es solo para el colegio. Se usa en ingeniería, diseño y estimaciones cotidianas. Por ejemplo, para:
- calcular la cantidad de material en un montón de grava o arena;
- diseñar embudos y boquillas;
- estimar el volumen de estructuras con forma cónica;
- calcular cuánto helado cabe en un barquillo.