\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4\text{ cm})^{2}\,(9\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(16\text{ cm}^2)(9\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{144}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 48\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 150.80\text{ cm}^3 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6\text{ cm})^{2}\,(10\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(36\text{ cm}^2)(10\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{360}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 120\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 376.99\text{ cm}^3 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(3\text{ cm})^{2}\,(7\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(9\text{ cm}^2)(7\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{63}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 21\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 65.97\text{ cm}^3 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(2.5\text{ cm})^{2}\,(6\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6.25\text{ cm}^2)(6\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{37.5}{3}\,\pi\text{ cm}^3 \\[6pt] &= 12.5\pi\text{ cm}^3 \;\approx\; 39.27\text{ cm}^3 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 125\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(15) \\[6pt] \cancel{\pi}\,125 &= \cancel{\pi}\,\frac{15}{3}\,r^{2} \\[6pt] 125 &= 5\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= 25 \\[6pt] r &= \sqrt{25} \;=\; 5\text{ cm} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 36\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(9) \\[6pt] \cancel{\pi}\,36 &= \cancel{\pi}\,3\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= \frac{36}{3} = 12 \\[6pt] r &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \;\approx\; 3.46\text{ cm} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 100\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,(5)^{2}\,h \\[6pt] \cancel{\pi}\,100 &= \cancel{\pi}\,\frac{25}{3}\,h \\[6pt] h &= \frac{100 \times 3}{25} = 12\text{ cm} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] 48\pi &= \frac{1}{3}\,\pi\,r^{2}\,(4) \\[6pt] \cancel{\pi}\,48 &= \cancel{\pi}\,\frac{4}{3}\,r^{2} \\[6pt] r^{2} &= \frac{48 \times 3}{4} = 36 \\[6pt] r &= 6\text{ cm}\quad\Longrightarrow\quad d = 2r = 12\text{ cm} \end{aligned} \]

1. Hallar el radio a partir del área de la base

\[ A_{b} = \pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad r = 3\text{ cm} \]

2. Calcular el volumen

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(3)^{2}\,(8) \\[6pt] &= 24\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 75.40\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

Nota: encontrar el radio y usar la formula es un camino seguro, pero tambien pudiste darte cuenta que bastaba multiplicar el area de la base por la altura!

\[ h = 2r = 12\text{ cm} \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(6)^{2}\,(12) \\[6pt] &= 144\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 452.39\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

1. Hallar el radio y la altura

\[ A_{b} = \pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = 16 \quad\Longrightarrow\quad r = 4\text{ cm} \] El diámetro es \(d = 2r = 8\text{ cm}\) y la altura es \(h = \tfrac{1}{2}d = 4\text{ cm}\).

2. Calcular el volumen

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4)^{2}\,(4) \\[6pt] &= \frac{64\pi}{3}\text{ cm}^{3} \;\approx\; 67.02\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

1. Obtener la altura usando Pitágoras
\[ g^{2} = r^{2} + h^{2}\quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm} \]

2. Calcular el volumen
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4\text{ cm})^{2}\,(3\text{ cm}) \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(16)(3)\text{ cm}^{3} \\[6pt] &= 16\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 50.27\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

1. Obtener la altura con Pitágoras

\[ g^{2} = r^{2} + h^{2} \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm} \]

2. Calcular el volumen

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(4)^{2}\,(3) \\[6pt] &= 16\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 50.27\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

1. Obtener la altura con Pitágoras

\[ h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = 12\text{ cm} \]

2. Calcular el volumen

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\,\pi r^{2}h \\[6pt] &= \frac{1}{3}\,\pi\,(5)^{2}\,(12) \\[6pt] &= 100\pi\text{ cm}^{3} \;\approx\; 314.16\text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

\(A_T = \pi r(r+g) = \pi(3)(3+5) = 24\pi\) cm² \(\approx 75.40\) cm².

\(A_T = \pi r(r+g) = \pi(6)(6+10) = 96\pi\) cm² \(\approx 301.59\) cm².

1. Calcular generatriz: \(g = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.

2. Calcular área total: \(A_T = \pi(2)(2 + 2\sqrt{5}) = 4\pi(1+\sqrt{5})\) cm² \(\approx 40.71\) cm².

1. Calcular generatriz (triángulo pitagórico 5-12-13): \(g = 13\) cm.

2. Calcular área total: \(A_T = \pi(5)(5+13) = 90\pi\) cm² \(\approx 282.74\) cm².

\(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 7(10+7) = 119\pi\) cm² \(\approx 373.85\) cm².

\(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 5(8+5) = 65\pi\) cm² \(\approx 204.20\) cm².

1. Generatriz: \(g = \sqrt{3^2+4^2} = 5\) cm.

2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 3(5+3) = 24\pi\) cm² \(\approx 75.40\) cm².

1. Generatriz: \(g = \sqrt{9^2+12^2} = 15\) cm.

2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 9(15+9) = 216\pi\) cm² \(\approx 678.58\) cm².

\(A_L = \pi r g = \pi(7)(15) = 105\pi\) cm² \(\approx 329.87\) cm².

1. Calcular radio (triángulo pitagórico 6-8-10): \(r = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) cm.

2. Calcular área total: \(A_T = \pi(6)(6+10) = 96\pi\) cm² \(\approx 301.59\) cm².

De \(A_L = \pi r g\), despejamos g: \(g = \frac{A_L}{\pi r} = \frac{20\pi}{4\pi} = 5\) cm.

De \(A_T = \pi r (r+g)\), despejamos g:
\(36\pi = \pi(3)(3+g) \implies 12 = 3+g \implies g = 9\) cm.

1. Calcular radio: de \(A_B = 25\pi\), obtenemos \(r=5\) cm.

2. Calcular área lateral: \(A_L = \pi r g = \pi(5)(13) = 65\pi\) cm².

¡Este es igual al ejercicio 6! Sirve para reforzar. Respuesta: \(96\pi\) cm².

1. Calcular radio: \(r = \frac{A_L}{\pi g} = \frac{60\pi}{12\pi} = 5\) cm.

2. Calcular área total: \(A_T = A_L + \pi r^2 = 60\pi + \pi(5^2) = 85\pi\) cm².

1. Encontrar la generatriz (g):
\(A_T = \pi r(r+g) \implies 90\pi = \pi(5)(5+g) \implies 18 = 5+g \implies g=13\) cm.

2. Calcular la altura con Pitágoras:
\(h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) cm.

1. Datos: \(r=5\) cm. Si \(d=g\), y \(d=2r\), entonces \(g = 2(5) = 10\) cm.

2. Calcular área total: \(A_T = \pi r(r+g) = \pi(5)(5+10) = 75\pi\) cm².

1. Calcular radio: de \(A_B = 36\pi\), obtenemos \(r=6\) cm.

2. Calcular generatriz: \(g=2r = 2(6) = 12\) cm.

3. Calcular área lateral: \(A_L = \pi r g = \pi(6)(12) = 72\pi\) cm².

\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 8 \cdot 12 = 96\pi\) cm² \(\approx 301.59\) cm².

1. Radio: \(r = \sqrt{15^2-12^2} = \sqrt{81} = 9\) cm.

2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 9(15+9) = 216\pi\) cm² \(\approx 678.58\) cm².

De \(A_L=\pi r g\), se despeja \(g = \frac{A_L}{\pi r} = \frac{35\pi}{5\pi} = 7\) cm.

De \(A_T = \pi r (g+r)\), se tiene \(150\pi = \pi \cdot 6(g+6) \implies 25 = g+6 \implies g=19\) cm.

1. Radio: De \(A_B=36\pi\), se tiene que \(r=6\) cm.

2. Área Lateral: \(A_L = \pi r g = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) cm².

1. Radio: \(r=\sqrt{13^2-12^2}=5\) cm.

2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 5(13+5) = 90\pi\) cm².

1. Radio: \(r = \frac{A_L}{\pi g} = \frac{135\pi}{15\pi} = 9\) cm.

2. Área Total: \(A_T = A_L + \pi r^2 = 135\pi + 81\pi = 216\pi\) cm².

Este requiere un sistema de ecuaciones: \(r(g+r)=384\) y \(g^2=16^2+r^2\). Resolviendo (se puede tantear con ternas pitagóricas que incluyan 16, como 12-16-20), se obtiene \(r=12\) cm y \(g=20\) cm.

1. Generatriz: \(g=d=2r=16\) cm.

2. Área Total: \(A_T = \pi \cdot 8(16+8) = 192\pi\) cm².

1. Radio: De \(A_B=49\pi\), se tiene \(r=7\) cm.

2. Generatriz: \(g=2r=14\) cm.

3. Área Lateral: \(A_L = \pi r g = \pi \cdot 7 \cdot 14 = 98\pi\) cm².

Desarrollo:

1. Definimos las variables: \(h_c\) = altura del cilindro, \(h_{cono}\) = altura del cono. El problema dice que \(h_{cono} = 2h_c\).

2. Datos del cilindro: \(V_{cilindro} = \pi r^2 h_c = 180 \text{ cm}^3\).

3. Fórmula del cono: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{cono}\). Sustituimos la altura: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 (2h_c) = \frac{2}{3}(\pi r^2 h_c)\).

4. Como ya sabemos que \(\pi r^2 h_c\) es 180, simplemente reemplazamos: \(V_{cono} = \frac{2}{3}(180) = 120\text{ cm}^3\).

Respuesta: El volumen del cono es de 120 cm³.

Desarrollo:

1. Volumen de la pirámide: \(V_{pirámide} = \frac{1}{3} \cdot (\text{lado}^2) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (6^2) \cdot 10 = 120\text{ cm}^3\).

2. Radio del cono: El diámetro de la base del cono es igual a la diagonal del cuadrado. Diagonal \(d = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}\) cm. Por lo tanto, el radio es \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) cm.

3. Volumen del cono: \(V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3\sqrt{2})^2 (10) = \frac{1}{3}\pi (18)(10) = 60\pi\text{ cm}^3\).

4. Diferencia: El volumen no ocupado es \(V_{cono} - V_{pirámide} = (60\pi - 120)\text{ cm}^3\).

Respuesta: El volumen sin ocupar es \(60\pi - 120\) cm³ (aprox. 68.5 cm³).

Desarrollo:

1. Altura del cono pequeño: Si el corte es a \(\frac{2}{3}h\) desde la base, la altura del cono pequeño (la punta) es \(h_{pequeño} = h - \frac{2}{3}h = \frac{1}{3}h\).

2. Razón de semejanza (k): La razón entre las alturas es \(k = \frac{h_{pequeño}}{h_{total}} = \frac{\frac{1}{3}h}{h} = \frac{1}{3}\).

3. Relación de volúmenes: La razón entre los volúmenes de figuras semejantes es el cubo de la razón de semejanza (\(k^3\)).

\(V_{pequeño} = k^3 \cdot V_{total} = (\frac{1}{3})^3 \cdot V = \frac{1}{27}V\).

Respuesta: El volumen del cono pequeño es \(\frac{1}{27}\) del volumen original.

Desarrollo:

1. Dimensiones del cono: Si la base es un círculo máximo, el radio del cono es igual al radio de la esfera (\(r=5\) cm). La altura del cono también será igual al radio de la esfera (\(h=5\) cm).

2. Calcular generatriz (g): \(g = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm.

3. Calcular área total: \(A_T = \pi r(g+r) = \pi \cdot 5(5\sqrt{2}+5) = 25\pi(\sqrt{2}+1)\text{ cm}^2\).

Respuesta: El área total es \(25\pi(1+\sqrt{2})\) cm².

Desarrollo:

1. Conversión de unidades: 1000 litros equivalen a 1 metro cúbico (1 m³).

2. Despejar la altura de la fórmula de volumen:
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \implies h = \frac{3V}{\pi r^2}\).

3. Sustituir valores: \(h = \frac{3 \cdot (1 \text{ m}^3)}{\pi \cdot (1 \text{ m})^2} = \frac{3}{\pi}\) metros.

Respuesta: La altura debe ser \(\frac{3}{\pi}\) metros, que es aproximadamente 0.95 metros.

Desarrollo:

1. Radio: El radio es la mitad del diámetro, \(r=3\) cm.

2. Calcular volumen: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3^2)(10) = 30\pi\text{ cm}^3\).

Respuesta: El vaso puede contener \(30\pi\) cm³ de agua (aprox. 94.25 cm³).

Desarrollo:

Para un gorro no se necesita base, por lo que calculamos solo el área lateral.

\(A_L = \pi r g = \pi \cdot 10 \cdot 20 = 200\pi\text{ cm}^2\).

Respuesta: Se necesitan \(200\pi\) cm² de cartulina por gorro (aprox. 628 cm²).

Desarrollo:

1. Radio: \(r = \frac{12}{2} = 6\) cm.

2. Volumen del embudo: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi(6^2)(15) = 180\pi\text{ cm}^3 \approx 565.5\text{ cm}^3\).

3. Tiempo de llenado: Dividimos el volumen por la tasa de llenado.
\(t = \frac{\text{Volumen}}{\text{Tasa}} = \frac{180\pi}{50} = 3.6\pi\) segundos.

Respuesta: Tardará \(3.6\pi\) segundos en llenarse (aprox. 11.31 segundos).