Capitulo 5.1 Ecuaciones
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulo 5.1 Ecuaciones |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:57 |
1. ¡Bienvenidos al Mundo de las Ecuaciones!
¡Bienvenidos al Mundo de las Ecuaciones!
💡 Idea Clave: La Balanza del Saber
Imagina que una ecuación es como una balanza perfectamente equilibrada. El signo igual (=) es el punto de apoyo en el centro. Si quieres agregar o quitar peso de un lado, debes hacer exactamente lo mismo en el otro para que la balanza se mantenga en equilibrio. ¡Ese es el secreto para resolver cualquier ecuación!
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas que contienen una o más incógnitas. El objetivo es descubrir qué valor o valores de esas incógnitas hacen que la igualdad sea cierta.
Por ejemplo:
- \( x + 5 = 8 \)
- \( 2y - 3 = 7 \)
🌍 Aplicación en el Mundo Real
Una de las ecuaciones más famosas es el Teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Aunque tiene tres incógnitas, es fundamental en áreas como la construcción, la arquitectura, el diseño de videojuegos y la navegación GPS. ¡Las ecuaciones modelan y describen nuestro mundo!
Partes de una ecuación
Para entender bien las ecuaciones, debemos conocer sus partes. Analicemos un ejemplo:
🤓 Anatomía de una Ecuación: \( 3x + 2 = 11 \)
- Miembros: Son las expresiones a cada lado del signo igual.
- Primer miembro: \( 3x + 2 \)
- Segundo miembro: \( 11 \)
- Incógnita: Es el valor desconocido que buscamos. Aquí es la \(x\).
- Coeficiente: Es el número que multiplica a la incógnita. Aquí es el 3.
- Términos constantes: Son los números que no acompañan a la incógnita. Aquí son el 2 y el 11.
Ejercicios: Identificando las Partes
¡Ahora a practicar! Identifica las partes de las siguientes ecuaciones.
1. En la ecuación \( 5y - 4 = 16 \), identifica:
- El primer miembro
- El segundo miembro
- La incógnita
- El coeficiente
- La constante en el primer miembro
Respuesta:
- Primer miembro: \( 5y - 4 \)
- Segundo miembro: \( 16 \)
- Incógnita: \( y \)
- Coeficiente: \( 5 \)
- Constante: \( -4 \)
2. En la ecuación \( \frac{1}{2}z + 9 = 12 \), identifica:
- El primer miembro
- El segundo miembro
- La incógnita
- El coeficiente
- La constante en el primer miembro
Respuesta:
- Primer miembro: \( \frac{1}{2}z + 9 \)
- Segundo miembro: \( 12 \)
- Incógnita: \( z \)
- Coeficiente: \( \frac{1}{2} \)
- Constante: \( 9 \)
⚠️ ¡Ojo con los Paréntesis!
A veces, las ecuaciones incluyen paréntesis. Para identificar correctamente todas sus partes, a menudo es útil expandir la expresión primero usando la propiedad distributiva. ¡Fíjate en el siguiente ejercicio!
3. En la ecuación \( 2(x + 3) = 10 \), identifica:
- El primer miembro
- El segundo miembro
- La incógnita
- Los coeficientes y constantes visibles
Respuesta:
- Primer miembro: \( 2(x + 3) \)
- Segundo miembro: \( 10 \)
- Incógnita: \( x \)
- Coeficientes: El 2 (que multiplica al paréntesis) y el 1 (implícito, que multiplica a la \(x\)).
- Constantes: El 3 (dentro del paréntesis) y el 10.
2. El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
💡 Idea Clave: Las Operaciones Inversas
Para resolver una ecuación, nuestro objetivo es dejar la incógnita (la letra) completamente sola en un lado del signo igual. Para lograrlo, aplicamos la operación inversa a lo que le esté afectando.
- Para anular una suma, usamos una resta.
- Para anular una multiplicación, usamos una división.
¡Y viceversa! Cada operación tiene su "antídoto" matemático.
El Fundamento: Las Propiedades de la Igualdad
No podemos simplemente cambiar cosas en una ecuación. Debemos respetar las propiedades de la igualdad, que son las reglas del juego. La regla de oro es: lo que haces en un lado de la ecuación, debes hacerlo también en el otro para mantener el equilibrio.
📐 Reglas Fundamentales (Propiedades de la Igualdad)
Si tenemos una ecuación y un número c:
- Propiedad de Adición/Sustracción: Podemos sumar o restar c a ambos lados y la igualdad se mantiene.
- Propiedad de Multiplicación/División: Podemos multiplicar o dividir ambos lados por c (siempre que c no sea cero) y la igualdad se mantiene.
Ejemplo 1: Propiedad de Adición y Sustracción (Enteros)
Resuelve la ecuación: \( x - 7 = 5 \)
Para aislar "x", necesitamos anular el "-7". Usamos la operación inversa, que es sumar 7 a ambos lados de la ecuación:
\( x - 7 + 7 = 5 + 7 \)
\( x = 12 \)
Solución: \( x = 12 \)
Ejemplo 2: Propiedad de Multiplicación (Racionales)
Resuelve la ecuación: \( \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \)
La incógnita "x" está siendo dividida por 4. Para anularlo, multiplicamos ambos lados por 4:
\( \frac{x}{4} \cdot 4 = \frac{3}{2} \cdot 4 \)
\( x = \frac{12}{2} \)
\( x = 6 \)
Solución: \( x = 6 \)
Ejemplo 3: Propiedad de División (Literales)
Resuelve la ecuación para "x": \( ax = b \) (considerando que \( a \neq 0 \))
La incógnita "x" está siendo multiplicada por "a". Para despejarla, dividimos ambos lados por "a":
\( \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \)
\( x = \frac{b}{a} \)
Solución: \( x = \frac{b}{a} \)
Ejemplo 4: Ecuación lineal tipo ax + b = c (Combinación de propiedades)
Resuelve la ecuación: \( 3x - 5 = 10 \)
Aquí aplicamos la estrategia en dos pasos. Primero, anulamos la resta:
\( 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \)
\( 3x = 15 \)
Ahora que la multiplicación es lo único que afecta a "x", la anulamos con una división:
\( \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \)
\( x = 5 \)
Solución: \( x = 5 \)
🤓 Estrategia para Ecuaciones tipo \(ax + b = c\)
Cuando hay varias operaciones, seguimos un orden. Para despejar la incógnita en \( 3x - 5 = 10 \), piensa en "desarmar" las operaciones en orden inverso a como se aplican:
- Primero, anula las sumas y restas. En este caso, anulamos el "-5" sumando 5.
- Segundo, anula las multiplicaciones y divisiones. Luego, anulamos la multiplicación por "3" dividiendo por 3.
Es como si la incógnita fuera la última en entrar a una fiesta y la primera en irse. Despejamos desde lo "más lejano" a lo "más cercano" a ella.
Ejercicios Propuestos
Nivel 1: Propiedad de Adición y Sustracción
1. (Enteros) Resuelve: \( x + 9 = 15 \)
\( x + 9 - 9 = 15 - 9 \)
\( x = 6 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( x - 12 = 8 \)
\( x - 12 + 12 = 8 + 12 \)
\( x = 20 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -7 + x = -3 \)
\( -7 + x + 7 = -3 + 7 \)
\( x = 4 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
\( x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)
\( x = \frac{3}{3} \)
\( x = 1 \)
5. (Racionales) Resuelve: \( x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \)
\( x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{5}{4} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( x - 2.5 = 1.8 \)
\( x - 2.5 + 2.5 = 1.8 + 2.5 \)
\( x = 4.3 \)
7. (Literales) Resuelve para "x": \( x + c = d \)
\( x + c - c = d - c \)
\( x = d - c \)
8. (Literales) Resuelve para "x": \( x - m = n \)
\( x - m + m = n + m \)
\( x = n + m \)
9. (Literales) Resuelve para "a": \( a + 2p = 3q \)
\( a + 2p - 2p = 3q - 2p \)
\( a = 3q - 2p \)
10. (Literales) Resuelve para "b": \( -5r + b = s \)
\( -5r + b + 5r = s + 5r \)
\( b = s + 5r \)
Nivel 2: Propiedad de Multiplicación y División
1. (Enteros) Resuelve: \( 5x = 30 \)
\( \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \)
\( x = 6 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( -3x = 21 \)
\( \frac{-3x}{-3} = \frac{21}{-3} \)
\( x = -7 \)
3. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{5}x = 4 \)
Multiplicamos por el inverso \( \frac{5}{2} \) en ambos lados:
\( \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}x = \frac{5}{2} \cdot 4 \)
\( x = \frac{20}{2} \)
\( x = 10 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \)
\( 7 \cdot \frac{x}{7} = 7 \cdot \frac{2}{3} \)
\( x = \frac{14}{3} \)
5. (Racionales) Resuelve: \( 1.5x = 4.5 \)
\( \frac{1.5x}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} \)
\( x = 3 \)
6. (Literales) Resuelve para "x": \( nx = m \) (si \(n \neq 0\))
\( \frac{nx}{n} = \frac{m}{n} \)
\( x = \frac{m}{n} \)
7. (Literales) Resuelve para "y": \( \frac{y}{2p} = q \) (si \(p \neq 0\))
\( 2p \cdot \frac{y}{2p} = 2p \cdot q \)
\( y = 2pq \)
8. (Combinado) Resuelve para "a": \( \frac{3a}{k} = 6m \) (si \(k \neq 0\))
\( k \cdot \frac{3a}{k} = k \cdot 6m \)
\( 3a = 6km \)
\( \frac{3a}{3} = \frac{6km}{3} \)
\( a = 2km \)
Nivel 3: Ecuaciones lineales tipo ax + b = c
1. (Enteros) Resuelve: \( 2x + 7 = 13 \)
\( 2x + 7 - 7 = 13 - 7 \)
\( 2x = 6 \)
\( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 5x - 9 = 16 \)
\( 5x - 9 + 9 = 16 + 9 \)
\( 5x = 25 \)
\( \frac{5x}{5} = \frac{25}{5} \)
\( x = 5 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -3x + 4 = -8 \)
\( -3x + 4 - 4 = -8 - 4 \)
\( -3x = -12 \)
\( \frac{-3x}{-3} = \frac{-12}{-3} \)
\( x = 4 \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x - 3 = 2 \)
\( \frac{1}{2}x - 3 + 3 = 2 + 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 \)
\( 2 \cdot \frac{1}{2}x = 2 \cdot 5 \)
\( x = 10 \)
5. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \)
\( \frac{2}{3}x + 1 - 1 = \frac{7}{3} - 1 \)
\( \frac{2}{3}x = \frac{4}{3} \)
\( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \)
\( x = 2 \)
6. (Literales) Resuelve para "x": \( mx + n = p \) (si \( m \neq 0 \))
\( mx + n - n = p - n \)
\( mx = p - n \)
\( x = \frac{p - n}{m} \)
7. (Literales) Resuelve para "y": \( \frac{y}{k} - m = n \) (si \( k \neq 0 \))
\( \frac{y}{k} - m + m = n + m \)
\( \frac{y}{k} = n + m \)
\( y = k(n + m) \)
8. (Combinado) Resuelve para "z": \( \frac{az}{2} + 3b = 4c \) (si \( a \neq 0 \))
\( \frac{az}{2} = 4c - 3b \)
\( az = 2(4c - 3b) \)
\( z = \frac{2(4c - 3b)}{a} \) o \( z = \frac{8c - 6b}{a} \)
3. Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
💡 Una Forma Más Rápida: "Pasar" Términos
En la lección anterior, usamos las propiedades de la igualdad, aplicando la misma operación en ambos lados. Ahora aprenderemos un método más directo que es un "atajo" de ese principio: "pasar" términos de un lado al otro de la igualdad invirtiendo su operación. ¡Es como un movimiento mágico que acelera nuestros cálculos!
🤓 Importante: ¿Por qué funciona este "atajo"?
Recuerda que "pasar un término restando" es, en realidad, una forma abreviada de "restar el mismo término a ambos lados de la ecuación". Este atajo es muy eficiente, pero es fundamental que entiendas que se basa en las propiedades de la igualdad que ya vimos. ¡No es magia, es matemática!
Resolviendo Ecuaciones de la Forma \( ax + b = c \)
📐 Procedimiento en Dos Pasos
- Mover la constante (el término solo): "Pasamos" el término que suma o resta (la 'b') al otro lado con la operación inversa.
- Mover el coeficiente (el término con la 'x'): "Pasamos" el número que multiplica o divide a la incógnita (la 'a') al otro lado con la operación inversa.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve la ecuación: \( 4x - 7 = 9 \)
1. El -7 está restando, así que pasa al otro lado sumando:
\( 4x = 9 + 7 \)
\( 4x = 16 \)
2. El 4 está multiplicando, así que pasa al otro lado dividiendo:
\( x = \frac{16}{4} \)
Solución: \( x = 4 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve la ecuación: \( \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \)
1. Pasamos el \( \frac{1}{2} \) restando:
\( \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
2. El \( \frac{2}{3} \) está multiplicando. Pasa dividiendo (o multiplicando por su inverso \( \frac{3}{2} \)):
\( x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6} \)
Solución: \( x = \frac{1}{2} \)
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve la ecuación para "x": \( mx + n = p \) (con \( m \neq 0 \))
1. Pasamos la "n" restando:
\( mx = p - n \)
2. Pasamos la "m" dividiendo:
Solución: \( x = \frac{p - n}{m} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
1. Resuelve: \( 3x + 8 = 23 \)
\( 3x = 23 - 8 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = \frac{15}{3} \rightarrow x = 5 \)
2. Resuelve: \( 6x - 5 = 19 \)
\( 6x = 19 + 5 \)
\( 6x = 24 \)
\( x = \frac{24}{6} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( -2x + 9 = 3 \)
\( -2x = 3 - 9 \)
\( -2x = -6 \)
\( x = \frac{-6}{-2} \rightarrow x = 3 \)
4. Resuelve: \( 10x - 15 = 35 \)
\( 10x = 35 + 15 \)
\( 10x = 50 \)
\( x = \frac{50}{10} \rightarrow x = 5 \)
5. Resuelve: \( -7x - 6 = 8 \)
\( -7x = 8 + 6 \)
\( -7x = 14 \)
\( x = \frac{14}{-7} \rightarrow x = -2 \)
6. Resuelve: \( 4x + 11 = -5 \)
\( 4x = -5 - 11 \)
\( 4x = -16 \)
\( x = \frac{-16}{4} \rightarrow x = -4 \)
7. Resuelve: \( 9x - 13 = 5 \)
\( 9x = 5 + 13 \)
\( 9x = 18 \)
\( x = \frac{18}{9} \rightarrow x = 2 \)
8. Resuelve: \( -5x + 12 = -3 \)
\( -5x = -3 - 12 \)
\( -5x = -15 \)
\( x = \frac{-15}{-5} \rightarrow x = 3 \)
9. Resuelve: \( 8x + 2 = 50 \)
\( 8x = 50 - 2 \)
\( 8x = 48 \)
\( x = \frac{48}{8} \rightarrow x = 6 \)
10. Resuelve: \( -4x - 7 = 13 \)
\( -4x = 13 + 7 \)
\( -4x = 20 \)
\( x = \frac{20}{-4} \rightarrow x = -5 \)
Ecuaciones con Racionales
1. Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)
\( \frac{1}{2}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{2}x = 2 \)
\( x = 2 \cdot 2 \rightarrow x = 4 \)
2. Resuelve: \( \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \)
\( \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \)
\( x = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} \rightarrow x = 4 \)
3. Resuelve: \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \)
\( x = 1 \)
4. Resuelve: \( 2.5x + 0.8 = 5.8 \)
\( 2.5x = 5.8 - 0.8 \)
\( 2.5x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2.5} \rightarrow x = 2 \)
5. Resuelve: \( 0.75x - 2.1 = 0.9 \)
\( 0.75x = 0.9 + 2.1 \)
\( 0.75x = 3 \)
\( x = \frac{3}{0.75} \rightarrow x= 4 \)
6. Resuelve: \( \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \)
\( \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \)
\( \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \)
\( x = 5 \)
7. Resuelve: \( 4.2x + 6.5 = 19.1 \)
\( 4.2x = 19.1 - 6.5 \)
\( 4.2x = 12.6 \)
\( x = \frac{12.6}{4.2} \rightarrow x = 3 \)
8. Resuelve: \( \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
9. Resuelve: \( 0.6x - 3.2 = 1.6 \)
\( 0.6x = 1.6 + 3.2 \)
\( 0.6x = 4.8 \)
\( x = \frac{4.8}{0.6} \rightarrow x = 8 \)
10. Resuelve: \( \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
\( \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \)
\( x = 1 \)
Ecuaciones con Literales
1. Resuelve para "x": \( ax + b = c \)
\( ax = c - b \)
\( x = \frac{c - b}{a} \)
2. Resuelve para "x": \( \frac{x}{m} - n = p \)
\( \frac{x}{m} = p + n \)
\( x = m(p + n) \)
3. Resuelve para "y": \( 2ay + 3b = 5c \)
\( 2ay = 5c - 3b \)
\( y = \frac{5c - 3b}{2a} \)
4. Resuelve para "z": \( \frac{pz}{q} - r = s \)
\( \frac{pz}{q} = s + r \)
\( pz = q(s + r) \)
\( z = \frac{q(s + r)}{p} \)
5. Resuelve para "x": \( \frac{ax}{b} + c = d \)
\( \frac{ax}{b} = d - c \)
\( ax = b(d - c) \)
\( x = \frac{b(d - c)}{a} \)
6. Resuelve para "m": \( \frac{2m}{3} + n = 5n \)
\( \frac{2m}{3} = 5n - n \)
\( \frac{2m}{3} = 4n \)
\( 2m = 12n \)
\( m = 6n \)
7. Resuelve para "p": \( 4p - 2q = 6r \)
\( 4p = 6r + 2q \)
\( p = \frac{6r + 2q}{4} \)
\( p = \frac{3r + q}{2} \)
8. Resuelve para "x": \( ax - 5b = 3c \)
\( ax = 3c + 5b \)
\( x = \frac{3c + 5b}{a} \)
9. Resuelve para "y": \( \frac{y}{2} + a = 3a \)
\( \frac{y}{2} = 3a - a \)
\( \frac{y}{2} = 2a \)
\( y = 4a \)
10. Resuelve para "z": \( \frac{4z - a}{5} = 3b \)
\( 4z - a = 15b \)
\( 4z = 15b + a \)
\( z = \frac{15b + a}{4} \)
4. Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
¡Subimos el nivel! Ahora nos enfrentaremos a ecuaciones donde nuestra incógnita aparece en ambos lados de la igualdad. La estrategia es simple: ¡orden y limpieza!
📐 Estrategia Principal: Agrupar Términos
El objetivo es juntar todos los términos con la incógnita (ej. 5x, -2x) en un lado de la ecuación y todos los términos constantes (números solos) en el otro lado. Para esto, usamos el método de "pasar" términos con su operación inversa.
- Paso 1: Mueve todos los términos con incógnita a un solo lado.
- Paso 2: Mueve todos los términos constantes al lado opuesto.
- Paso 3: Simplifica y resuelve la ecuación de un paso que te queda.
💡 Un Tip para Evitar Errores
Al decidir a qué lado mover las incógnitas, fíjate en sus coeficientes. Si mueves el término con el coeficiente menor, el resultado de la resta será positivo. Por ejemplo, en \(7x - 5 = 3x + 11\), es más fácil mover el \(3x\) (que es menor) hacia el \(7x\) para obtener un \(4x\) positivo. ¡Esto ayuda a prevenir errores con los signos negativos!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Ecuación con Enteros
Resuelve: \( 5x - 6 = 2x + 9 \)
1. Agrupamos las 'x' a la izquierda y las constantes a la derecha:
\( 5x - 2x = 9 + 6 \)
2. Simplificamos ambos lados:
\( 3x = 15 \)
3. Despejamos 'x':
\( x = \frac{15}{3} \)
Solución: \( x = 5 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Racionales
Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{4}x + 3 \)
1. Agrupamos términos:
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 3 - 1 \)
2. Simplificamos (recordando que \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \)):
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
3. Despejamos 'x':
\( x = 2 \cdot 4 \)
Solución: \( x = 8 \)
⚠️ ¡Cuidado con las Ecuaciones Literales!
Cuando trabajamos con letras (ecuaciones literales), no podemos simplemente restar \(ax - cx\) y obtener un número. El paso clave es la factorización. Fíjate en el ejemplo siguiente cómo, después de agrupar, factorizamos por 'x' para poder despejarla.
Ejemplo 3: Ecuación con Literales
Resuelve para "x": \( ax + b = cx + d \)
1. Agrupamos:
\( ax - cx = d - b \)
2. Factorizamos por 'x' en el lado izquierdo:
\( x(a - c) = d - b \)
3. Ahora sí, "pasamos" el paréntesis completo (\(a-c\)) dividiendo:
Solución: \( x = \frac{d - b}{a - c} \)
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
1. Resuelve: \( 7x - 5 = 3x + 11 \)
\( 7x - 3x = 11 + 5 \)
\( 4x = 16 \)
\( x = 4 \)
2. Resuelve: \( 2x + 9 = 5x - 6 \)
\( 9 + 6 = 5x - 2x \)
\( 15 = 3x \)
\( x = 5 \)
3. Resuelve: \( 9x - 4 = 2x + 10 \)
\( 9x - 2x = 10 + 4 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = 2 \)
4. Resuelve: \( -4x + 7 = -x - 2 \)
\( 7 + 2 = -x + 4x \)
\( 9 = 3x \)
\( x = 3 \)
5. Resuelve: \( 6x + 1 = 15 - x \)
\( 6x + x = 15 - 1 \)
\( 7x = 14 \)
\( x = 2 \)
6. Resuelve: \( 3x - 8 = -2x + 7 \)
\( 3x + 2x = 7 + 8 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = 3 \)
7. Resuelve: \( -x + 5 = 8x - 13 \)
\( 5 + 13 = 8x + x \)
\( 18 = 9x \)
\( x = 2 \)
8. Resuelve: \( 10x + 3 = 4x + 21 \)
\( 10x - 4x = 21 - 3 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3 \)
9. Resuelve: \( -6x - 4 = -2x - 12 \)
\( -4 + 12 = -2x + 6x \)
\( 8 = 4x \)
\( x = 2 \)
10. Resuelve: \( 5x - 14 = -3x + 2 \)
\( 5x + 3x = 2 + 14 \)
\( 8x = 16 \)
\( x = 2 \)
Ecuaciones con Racionales
1. Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 5 - 3 \)
\( \frac{1}{4}x = 2 \)
\( x = 8 \)
2. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \)
\( \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = 2 + 1 \)
\( \frac{3}{6}x = 3 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \)
\( x = 6 \)
3. Resuelve: \( \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \)
\( \frac{3}{5}x - \frac{1}{10}x = 3 - 2 \)
\( \frac{5}{10}x = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \)
\( x = 2 \)
4. Resuelve: \( 0.8x - 1.5 = 0.2x + 0.3 \)
\( 0.8x - 0.2x = 0.3 + 1.5 \)
\( 0.6x = 1.8 \)
\( x = 3 \)
5. Resuelve: \( 1.2x + 0.4 = 0.5x + 2.5 \)
\( 1.2x - 0.5x = 2.5 - 0.4 \)
\( 0.7x = 2.1 \)
\( x = 3 \)
6. Resuelve: \( \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \)
\( \frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \)
\( \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \)
\( x = \frac{5}{3} \)
7. Resuelve: \( 2.4x + 1.6 = 1.2x + 4 \)
\( 2.4x - 1.2x = 4 - 1.6 \)
\( 1.2x = 2.4 \)
\( x = 2 \)
8. Resuelve: \( \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \)
\( \frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} \)
\( \frac{1}{9}x = \frac{5}{9} \)
\( x = 5 \)
9. Resuelve: \( 0.5x - 2.5 = 0.1x - 0.5 \)
\( 0.5x - 0.1x = -0.5 + 2.5 \)
\( 0.4x = 2 \)
\( x = 5 \)
10. Resuelve: \( \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \)
\( \frac{7}{10}x - \frac{6}{10}x = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \)
\( \frac{1}{10}x = \frac{3}{10} \)
\( x = 3 \)
Ecuaciones con Literales
1. Resuelve para "x": \( ax + b = cx + d \)
\( ax - cx = d - b \)
\( x(a - c) = d - b \)
\( x = \frac{d - b}{a - c} \)
2. Resuelve para "x": \( mx - n = px + q \)
\( mx - px = q + n \)
\( x(m - p) = q + n \)
\( x = \frac{q + n}{m - p} \)
3. Resuelve para "y": \( ay + b = cy - d \)
\( ay - cy = -d - b \)
\( y(a - c) = -d - b \)
\( y = \frac{-d - b}{a - c} \)
4. Resuelve para "z": \( \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \)
\( \frac{z}{m} - \frac{z}{p} = q - n \)
\( z(\frac{1}{m} - \frac{1}{p}) = q - n \)
\( z(\frac{p - m}{mp}) = q - n \)
\( z = \frac{mp(q - n)}{p - m} \)
5. Resuelve para "x": \( a(x + b) = c(x + d) \)
\( ax + ab = cx + cd \)
\( ax - cx = cd - ab \)
\( x(a - c) = cd - ab \)
\( x = \frac{cd - ab}{a - c} \)
6. Resuelve para "y": \( \frac{y - a}{m} = \frac{y + b}{n} \)
\( n(y - a) = m(y + b) \)
\( ny - na = my + mb \)
\( ny - my = mb + na \)
\( y(n - m) = mb + na \)
\( y = \frac{mb + na}{n - m} \)
7. Resuelve para "x": \( a - x = b - cx \)
\( cx - x = b - a \)
\( x(c - 1) = b - a \)
\( x = \frac{b - a}{c - 1} \)
8. Resuelve para "m": \( \frac{2m - 3}{5} = \frac{m + 1}{2} \)
\( 2(2m - 3) = 5(m + 1) \)
\( 4m - 6 = 5m + 5 \)
\( -6 - 5 = 5m - 4m \)
\( -11 = m \)
9. Resuelve para "x": \( \frac{ax - b}{c} = d \)
\( ax - b = cd \)
\( ax = cd + b \)
\( x = \frac{cd + b}{a} \)
10. Resuelve para "y": \( p(y - q) = r(s - y) \)
\( py - pq = rs - ry \)
\( py + ry = rs + pq \)
\( y(p + r) = rs + pq \)
\( y = \frac{rs + pq}{p + r} \)
5. Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ahora que dominamos los despejes, es hora de enfrentar un nuevo desafío: los paréntesis. La herramienta clave para eliminarlos es la propiedad distributiva.
📐 La Propiedad Distributiva
Esta propiedad nos dice cómo multiplicar un número por una suma o resta que está dentro de un paréntesis. El número de afuera "se distribuye", multiplicando a cada término de adentro:
- \( a(b + c) = ab + ac \)
- \( a(b - c) = ab - ac \)
⚠️ ¡Cuidado con el Signo Negativo!
Un error muy común es olvidar distribuir el signo negativo. Recuerda que un signo "-" frente a un paréntesis es como tener un "-1" multiplicando. Por ejemplo:
\( -(x + 5) = -1 \cdot x + (-1) \cdot 5 = -x - 5 \)
¡No olvides cambiar el signo de todos los términos de adentro!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
Resuelve la ecuación: \( 2(x + 3) = 10 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 10 \)
\( 2x + 6 = 10 \)
2. Ahora, es una ecuación de dos pasos que ya conocemos:
\( 2x = 10 - 6 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Ejemplo 2: Ecuación con Paréntesis en ambos lados
Resuelve la ecuación: \( 3(x - 2) + 5 = 4x - 7 \)
1. Distribuimos y simplificamos el lado izquierdo:
\( 3x - 6 + 5 = 4x - 7 \)
\( 3x - 1 = 4x - 7 \)
2. Agrupamos términos y resolvemos:
\( 7 - 1 = 4x - 3x \)
\( 6 = x \)
🤓 Paréntesis Anidados: De Adentro hacia Afuera
Cuando tienes paréntesis dentro de otros (como corchetes `[]`), la estrategia es trabajar como si pelaras una cebolla: resuelve siempre desde el paréntesis más interno hacia afuera.
Ejemplo 3: Ecuación con Paréntesis Anidados
Resuelve la ecuación: \( 2[3(x - 1) + 2] = 16 \)
1. Resolvemos el paréntesis interno `(x-1)`:
\( 2[3x - 3 + 2] = 16 \)
2. Simplificamos dentro del corchete:
\( 2[3x - 1] = 16 \)
3. Ahora distribuimos el 2 y resolvemos:
\( 6x - 2 = 16 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3 \)
Ejercicios
Nivel 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
1. (Enteros) Resuelve: \( 5(x + 2) = 25 \)
\( 5x + 10 = 25 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = 3 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3(x - 4) = 9 \)
\( 3x - 12 = 9 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = 7 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -2(x + 1) = 8 \)
\( -2x - 2 = 8 \)
\( -2x = 10 \)
\( x = -5 \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 4(2x - 3) = 20 \)
\( 8x - 12 = 20 \)
\( 8x = 32 \)
\( x = 4 \)
5. (Enteros) Resuelve: \( -3(3x + 1) = -18 \)
\( -9x - 3 = -18 \)
\( -9x = -15 \)
\( x = \frac{5}{3} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( 2(x - \frac{1}{2}) = 5 \)
\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
7. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \)
\( 2x + 3 = 7 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
8. (Racionales) Resuelve: \( -3(\frac{1}{3}x + 2) = -5 \)
\( -x - 6 = -5 \)
\( -x = 1 \)
\( x = -1 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( a(x + b) = c \)
\( ax + ab = c \)
\( ax = c - ab \)
\( x = \frac{c - ab}{a} \)
10. (Literales) Resuelve para "x": \( m(nx - p) = q \)
\( mnx - mp = q \)
\( mnx = q + mp \)
\( x = \frac{q + mp}{mn} \)
Nivel 2: Ecuaciones con Paréntesis Simples
1. (Enteros) Resuelve: \( 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 8 + 7 = 3x + 1 \)
\( 4x - 1 = 3x + 1 \)
\( x = 2 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \)
\( 2x + 2 + 3 = 4x - 4 + 9 \)
\( 2x + 5 = 4x + 5 \)
\( 0 = 2x \)
\( x = 0 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \)
\( 5x - 10 + 3x = 2x + 2 + 10 \)
\( 8x - 10 = 2x + 12 \)
\( 6x = 22 \)
\( x = \frac{11}{3} \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \)
\( 7x - 7 - 4 = -2x - 6 + 8 \)
\( 7x - 11 = -2x + 2 \)
\( 9x = 13 \)
\( x = \frac{13}{9} \)
5. (Enteros) Resuelve: \( -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \)
\( -6x - 4 - 5 = 3x - 12 + 10 \)
\( -6x - 9 = 3x - 2 \)
\( -7 = 9x \)
\( x = -\frac{7}{9} \)
6. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}(4x - 2) = 3(x + \frac{1}{3}) \)
\( 2x - 1 = 3x + 1 \)
\( -2 = x \)
7. (Racionales) Resuelve: \( 2(\frac{1}{4}x + 1) = 3(\frac{1}{2}x - 1) \)
\( \frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - 3 \)
\( 5 = x \)
8. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \)
\( 2x - 4 + 1 = x + 2 - 3 \)
\( 2x - 3 = x - 1 \)
\( x = 2 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( a(x - b) + c = d(x + 1) \)
\( ax - ab + c = dx + d \)
\( ax - dx = d + ab - c \)
\( x(a - d) = d + ab - c \)
\( x = \frac{d + ab - c}{a - d} \)
10. (Literales) Resuelve para "y": \( m(2y + n) - p = 2(y + q) \)
\( 2my + mn - p = 2y + 2q \)
\( 2my - 2y = 2q - mn + p \)
\( y(2m - 2) = 2q - mn + p \)
\( y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2} \)
Nivel 3: Ecuaciones con Paréntesis Anidados
1. (Enteros) Resuelve: \( 2[3(x + 1) - 4] = 10 \)
\( 2[3x + 3 - 4] = 10 \)
\( 2[3x - 1] = 10 \)
\( 6x - 2 = 10 \)
\( 6x = 12 \)
\( x = 2 \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3[2(x - 2) + 5] = 9x \)
\( 3[2x - 4 + 5] = 9x \)
\( 3[2x + 1] = 9x \)
\( 6x + 3 = 9x \)
\( 3 = 3x \)
\( x = 1 \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -[4(x + 2) - 3] = 5 \)
\( -[4x + 8 - 3] = 5 \)
\( -[4x + 5] = 5 \)
\( -4x - 5 = 5 \)
\( -4x = 10 \)
\( x = -\frac{5}{2} \)
4. (Enteros) Resuelve: \( 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \)
\( 4[2x - 2 + 3x] = 28 \)
\( 4[5x - 2] = 28 \)
\( 20x - 8 = 28 \)
\( 20x = 36 \)
\( x = \frac{9}{5} \)
5. (Enteros) Resuelve: \( 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 15 - 4] = 12x + 22 \)
\( 2[10x + 11] = 12x + 22 \)
\( 20x + 22 = 12x + 22 \)
\( 8x = 0 \)
\( x = 0 \)
6. (Racionales) Resuelve: \( 2[\frac{1}{2}(x - 4) + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x - 2 + 3] = 4 \)
\( 2[\frac{1}{2}x + 1] = 4 \)
\( x + 2 = 4 \)
\( x = 2 \)
7. (Racionales) Resuelve: \( 3[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 3[\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}] = 5 \)
\( 2x + 1 = 5 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
8. (Racionales) Resuelve: \( -[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2] = -3 \)
\( -[x - 2 + 2] = -3 \)
\( -x = -3 \)
\( x = 3 \)
9. (Literales) Resuelve para "x": \( 2[a(x + b) - c] = d \)
\( 2[ax + ab - c] = d \)
\( 2ax + 2ab - 2c = d \)
\( 2ax = d - 2ab + 2c \)
\( x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a} \)
10. (Literales) Resuelve para "x": \( m[n(x - p) + q] = r \)
\( m[nx - np + q] = r \)
\( mnx - mnp + mq = r \)
\( mnx = r + mnp - mq \)
\( x = \frac{r + mnp - mq}{mn} \)
6. Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Las ecuaciones son una herramienta muy poderosa para resolver problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento. En esta página, aprenderemos a traducir enunciados verbales a ecuaciones matemáticas y a interpretar las soluciones en el contexto del problema.
📐 Pasos para Resolver Problemas con Ecuaciones
- Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
- Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita.
- Plantear la ecuación: Traducir el enunciado a una ecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos.
- Resolver la ecuación: Utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema y responder a la pregunta planteada con una frase completa.
💡 Idea Clave: El Arte de Traducir
El paso más crucial es el tercero: plantear la ecuación. Piensa en ello como si fueras un traductor del "español" al "lenguaje matemático". Frases como "el doble de" se convierten en "2x", "es igual a" se convierte en "=", y "la suma de" se convierte en "+". ¡La práctica hace al maestro en esta traducción!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La suma de las edades de Ana y su hermano es 28. Si Ana tiene 6 años más que su hermano, ¿qué edad tiene cada uno?
1. Incógnita: Sea \(x\) = edad del hermano.
2. Relaciones: Edad de Ana = \(x + 6\).
3. Ecuación: \( x + (x + 6) = 28 \)
4. Resolver:
\( 2x + 6 = 28 \)
\( 2x = 22 \)
\( x = 11 \)
5. Interpretar: El hermano tiene 11 años. Ana tiene \(11 + 6 = 17\) años.
Respuesta: El hermano de Ana tiene 11 años y Ana tiene 17 años.
Ejemplo 2: Problema de Dinero
Juan tiene $50 más que el doble de lo que tiene Pedro. Si entre los dos tienen $500, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
1. Incógnita: Sea \(x\) = dinero de Pedro.
2. Relaciones: Dinero de Juan = \(2x + 50\).
3. Ecuación: \( x + (2x + 50) = 500 \)
4. Resolver:
\( 3x + 50 = 500 \)
\( 3x = 450 \)
\( x = 150 \)
5. Interpretar: Pedro tiene $150. Juan tiene \(2(150) + 50 = 350\).
Respuesta: Pedro tiene $150 y Juan tiene $350.
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita
1. Situación: Un padre reparte $100 entre sus dos hijos. Al mayor le da $20 más que al menor.
Ecuación: \( x + (x + 20) = 100 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y la expresión "x + 20"?
- "x" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo menor.
- "x + 20" representa la cantidad de dinero que recibe el hijo mayor.
2. Situación: El precio de un pantalón es el doble del precio de una camisa. Por ambos, se pagan $45.
Ecuación: \( x + 2x = 45 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "2x"?
- "x" representa el precio de la camisa.
- "2x" representa el precio del pantalón.
3. Situación: Un tren viaja a velocidad constante. Después de 3 horas, ha recorrido 240 km.
Ecuación: \( 3x = 240 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "3x"?
- "x" representa la velocidad del tren en km/h.
- "3x" representa la distancia total recorrida en 3 horas.
4. Situación: El perímetro de un cuadrado es 36 cm.
Ecuación: \( 4x = 36 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"?
"x" representa la longitud de un lado del cuadrado en cm.
5. Situación: Una empresa tiene un costo fijo de $2000 y cada unidad cuesta $5. El costo total fue de $3500.
Ecuación: \( 5x + 2000 = 3500 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "5x"?
- "x" representa la cantidad de unidades producidas.
- "5x" representa el costo variable total.
6. Situación: Ana regala 15 de sus monedas y le queda la tercera parte de lo que tenía.
Ecuación: \( x - 15 = \frac{1}{3}x \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y "x-15"?
- "x" representa la cantidad original de monedas.
- "x - 15" representa la cantidad de monedas que le quedan.
Ejercicios de Resolución de Problemas
1. Un número es 5 unidades mayor que otro. Si la suma de ambos es 37, ¿cuáles son los números?
Sea "x" el menor. El mayor es "x+5".
\( x + (x+5) = 37 \)
\( 2x = 32 \Rightarrow x=16 \)
Respuesta: Los números son 16 y 21.
2. El triple de un número menos 8 es igual a 16. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 3x - 8 = 16 \)
\( 3x = 24 \Rightarrow x=8 \)
Respuesta: El número es 8.
3. La edad de Juan es el doble de la de María. Si la suma de sus edades es 45, ¿qué edad tiene cada uno?
Sea "x" la edad de María. Juan tiene "2x".
\( x + 2x = 45 \)
\( 3x = 45 \Rightarrow x=15 \)
Respuesta: María tiene 15 y Juan tiene 30 años.
4. El largo de un rectángulo mide 4 cm más que el ancho. Si el perímetro es 48 cm, ¿cuáles son las dimensiones?
Sea "x" el ancho. El largo es "x+4".
\( 2x + 2(x+4) = 48 \)
\( 4x + 8 = 48 \Rightarrow 4x=40 \Rightarrow x=10 \)
Respuesta: Ancho 10 cm, Largo 14 cm.
5. Ana compró 3 cuadernos y 2 lápices por $8. Si cada lápiz cuesta $1, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?
Sea "x" el costo del cuaderno.
\( 3x + 2(1) = 8 \)
\( 3x = 6 \Rightarrow x=2 \)
Respuesta: Cada cuaderno cuesta $2.
6. Si a un número le resto 15 y luego lo multiplico por 4, obtengo 20. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 4(x - 15) = 20 \)
\( 4x - 60 = 20 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x=20 \)
Respuesta: El número es 20.
7. La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son los números?
Sean los números "x", "x+1", "x+2".
\( x + (x+1) + (x+2) = 51 \)
\( 3x + 3 = 51 \Rightarrow 3x=48 \Rightarrow x=16 \)
Respuesta: Los números son 16, 17 y 18.
8. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿En cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Sea "x" los años a transcurrir.
Edades futuras: 35+x y 5+x.
\( 35+x = 3(5+x) \)
\( 35+x = 15+3x \Rightarrow 20=2x \Rightarrow x=10 \)
Respuesta: En 10 años.
9. Si al doble de un número se le resta su mitad, resulta 54. ¿Cuál es el número?
Sea "x" el número.
\( 2x - \frac{x}{2} = 54 \)
\( \frac{3x}{2} = 54 \Rightarrow 3x=108 \Rightarrow x=36 \)
Respuesta: El número es 36.
10. La base de un rectángulo es el doble de su altura. Su perímetro es 30 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Sea "x" la altura. La base es "2x".
\( 2x + 2(2x) = 30 \)
\( 6x = 30 \Rightarrow x=5 \)
Respuesta: Altura 5 cm, Base 10 cm.
11. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su diferencia sea 14.
Sea "x" el número menor. El mayor es "x+14".
\( x + (x+14) = 40 \)
\( 2x+14=40 \Rightarrow 2x=26 \Rightarrow x=13 \)
Respuesta: Los números son 13 y 27.
12. Un tren va de A a B (300 km) en 3h y otro de B a A en 2h. Si salen a la vez, ¿cuándo se encuentran?
Velocidad tren 1: 300/3 = 100 km/h. Velocidad tren 2: 300/2 = 150 km/h.
Sea "t" el tiempo de encuentro. La suma de distancias recorridas es 300.
\( 100t + 150t = 300 \)
\( 250t = 300 \Rightarrow t=1.2 \)
Respuesta: Se encuentran en 1.2 horas (1 hora y 12 minutos).
13. Dos grifos llenan un depósito en 1.2 h. Uno tarda 2h más que el otro por separado. ¿Tiempos individuales?
Sea "t" el tiempo del rápido. El lento es "t+2".
La suma de sus trabajos por hora es el trabajo conjunto por hora: \( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} = \frac{1}{1.2} \)
Resolviendo la ecuación cuadrática \( t^2 - 0.4t - 2.4 = 0 \), se obtiene \( t \approx 1.76 \).
Respuesta: Aprox. 1.76 h el rápido y 3.76 h el lento.
14. Halla los ángulos de un triángulo si B mide 40° más que C, y A mide 40° más que B.
Sea C=x. Entonces B=x+40 y A=x+80. La suma es 180°.
\( x + (x+40) + (x+80) = 180 \)
\( 3x+120=180 \Rightarrow 3x=60 \Rightarrow x=20 \)
Respuesta: Los ángulos son 20°, 60° y 100°.
15. (Literales) El largo de un rectángulo es 'l' y su ancho 'w'. Si el largo aumenta en 4 y el ancho disminuye en 2, el área no cambia. Expresa 'l' en función de 'w'.
Área original: \( lw \). Nueva área: \( (l+4)(w-2) \).
\( lw = (l+4)(w-2) \)
\( lw = lw - 2l + 4w - 8 \)
\( 0 = -2l + 4w - 8 \)
\( 2l = 4w - 8 \)
Respuesta: \( l = 2w - 4 \)