Libro Ecuaciones de primer grado
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Libro Ecuaciones de primer grado |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:04 |
1. ¡Bienvenidos al Mundo de las Ecuaciones!
¡Bienvenidos al Mundo de las Ecuaciones!
Idea clave: la balanza del saber
Imagina que una ecuación es como una balanza perfectamente equilibrada. El signo igual \(=\) es el punto de apoyo en el centro. Si quieres agregar o quitar peso de un lado, debes hacer exactamente lo mismo en el otro para que la balanza se mantenga en equilibrio. Ese es el secreto para resolver una ecuación.
¿Qué es una ecuación?
Definición
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas que contienen una o más incógnitas. El objetivo es descubrir qué valor o valores de esas incógnitas hacen que la igualdad sea cierta.
Por ejemplo:
- \(x + 5 = 8\)
- \(2y - 3 = 7\)
Aplicación en el mundo real
Una de las ecuaciones más famosas es el Teorema de Pitágoras:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Aunque contiene tres letras, se usa cuando se conocen algunos valores y se quiere encontrar otro. Es fundamental en áreas como la construcción, la arquitectura, el diseño de videojuegos y la navegación GPS. Las ecuaciones modelan y describen nuestro mundo.
Partes de una ecuación
Anatomía de una ecuación: \(3x + 2 = 11\)
Para entender bien una ecuación, debemos reconocer sus partes principales.
- Miembros: son las expresiones a cada lado del signo igual.
- Primer miembro: \(3x + 2\)
- Segundo miembro: \(11\)
- Incógnita: es el valor desconocido que buscamos. En este caso es \(x\).
- Coeficiente: es el número que multiplica a la incógnita. En este caso es \(3\).
- Términos constantes: son los números que no acompañan a la incógnita. En este caso son \(2\) y \(11\).
Ejercicios: Identificando las Partes
Instrucción
Identifica las partes de las siguientes ecuaciones. Observa con atención el signo igual, la incógnita, los coeficientes y los términos constantes.
Ejercicio 1
En la ecuación \(5y - 4 = 16\), identifica:
- El primer miembro.
- El segundo miembro.
- La incógnita.
- El coeficiente.
- La constante en el primer miembro.
La ecuación es:
\[ 5y - 4 = 16 \]
El signo igual separa los dos miembros de la ecuación.
- Primer miembro: \(5y - 4\).
- Segundo miembro: \(16\).
- Incógnita: \(y\), porque es el valor desconocido.
- Coeficiente: \(5\), porque multiplica a la incógnita \(y\).
- Constante en el primer miembro: \(-4\), porque no acompaña a la incógnita.
Ejercicio 2
En la ecuación \(\frac{1}{2}z + 9 = 12\), identifica:
- El primer miembro.
- El segundo miembro.
- La incógnita.
- El coeficiente.
- La constante en el primer miembro.
La ecuación es:
\[ \frac{1}{2}z + 9 = 12 \]
El signo igual divide la ecuación en dos miembros.
- Primer miembro: \(\frac{1}{2}z + 9\).
- Segundo miembro: \(12\).
- Incógnita: \(z\), porque es el valor desconocido.
- Coeficiente: \(\frac{1}{2}\), porque multiplica a la incógnita \(z\).
- Constante en el primer miembro: \(9\), porque no acompaña a la incógnita.
Ojo con los paréntesis
A veces, las ecuaciones incluyen paréntesis. Para identificar correctamente todas sus partes, puede ser útil expandir la expresión usando la propiedad distributiva.
Ejercicio 3
En la ecuación \(2(x + 3) = 10\), identifica:
- El primer miembro.
- El segundo miembro.
- La incógnita.
- Los coeficientes y constantes visibles.
La ecuación es:
\[ 2(x + 3) = 10 \]
Primero identificamos las partes visibles:
- Primer miembro: \(2(x + 3)\).
- Segundo miembro: \(10\).
- Incógnita: \(x\).
- Coeficientes visibles: \(2\), que multiplica al paréntesis, y \(1\), que multiplica de forma implícita a \(x\).
- Constantes visibles: \(3\), dentro del paréntesis, y \(10\), en el segundo miembro.
Si expandimos el primer miembro, obtenemos:
\[ 2(x + 3) = 2x + 6 \]
Entonces la ecuación también puede escribirse como:
\[ 2x + 6 = 10 \]
En esta forma desarrollada, el coeficiente de \(x\) es \(2\) y la constante del primer miembro es \(6\).
2. El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
El Poder de Despejar: Aislamos la Incógnita
Idea clave: las operaciones inversas
Para resolver una ecuación, nuestro objetivo es dejar la incógnita completamente sola en un lado del signo igual. Para lograrlo, aplicamos la operación inversa a lo que le esté afectando.
- Para anular una suma, usamos una resta.
- Para anular una resta, usamos una suma.
- Para anular una multiplicación, usamos una división.
- Para anular una división, usamos una multiplicación.
Cada operación tiene su operación inversa.
El Fundamento: Las Propiedades de la Igualdad
La regla del equilibrio
No podemos simplemente cambiar cosas en una ecuación. Debemos respetar las propiedades de la igualdad, que son las reglas del juego. La regla principal es: lo que haces en un lado de la ecuación, debes hacerlo también en el otro para mantener el equilibrio.
Reglas fundamentales: propiedades de la igualdad
Si tenemos una ecuación y un número \(c\), entonces:
- Propiedad de adición y sustracción: podemos sumar o restar \(c\) a ambos lados y la igualdad se mantiene.
- Propiedad de multiplicación y división: podemos multiplicar o dividir ambos lados por \(c\), siempre que \(c \neq 0\), y la igualdad se mantiene.
Ejemplo 1: Propiedad de adición y sustracción
Resuelve la ecuación:
\[ x - 7 = 5 \]
Para aislar \(x\), necesitamos anular el \(-7\). Usamos la operación inversa, que es sumar \(7\) a ambos lados:
\[ x - 7 + 7 = 5 + 7 \]
\[ x = 12 \]
Solución: \(x = 12\).
Ejemplo 2: Propiedad de multiplicación
Resuelve la ecuación:
\[ \frac{x}{4} = \frac{3}{2} \]
La incógnita \(x\) está siendo dividida por \(4\). Para anular esa división, multiplicamos ambos lados por \(4\):
\[ \frac{x}{4}\cdot 4 = \frac{3}{2}\cdot 4 \]
\[ x = \frac{12}{2} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejemplo 3: Propiedad de división con literales
Resuelve la ecuación para \(x\):
\[ ax = b \]
Consideramos que \(a \neq 0\), porque no se puede dividir por cero.
La incógnita \(x\) está siendo multiplicada por \(a\). Para despejarla, dividimos ambos lados por \(a\):
\[ \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \]
\[ x = \frac{b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejemplo 4: Ecuación lineal tipo \(ax + b = c\)
Resuelve la ecuación:
\[ 3x - 5 = 10 \]
Primero, anulamos la resta de \(5\) sumando \(5\) a ambos lados:
\[ 3x - 5 + 5 = 10 + 5 \]
\[ 3x = 15 \]
Ahora anulamos la multiplicación por \(3\) dividiendo ambos lados por \(3\):
\[ \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Estrategia para ecuaciones tipo \(ax + b = c\)
Cuando hay varias operaciones, seguimos un orden. Para despejar la incógnita en una ecuación como \(3x - 5 = 10\), conviene desarmar las operaciones en orden inverso a como se aplican.
- Primero, anula las sumas y restas. En este caso, anulamos el \(-5\) sumando \(5\).
- Segundo, anula las multiplicaciones y divisiones. Luego, anulamos la multiplicación por \(3\) dividiendo por \(3\).
La idea es despejar desde lo más lejano a la incógnita hacia lo más cercano a ella.
Ejercicios Propuestos
Nivel 1: Propiedad de Adición y Sustracción
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ x + 9 = 15 \]
Para despejar \(x\), restamos \(9\) a ambos lados:
\[ x + 9 - 9 = 15 - 9 \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ x - 12 = 8 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(12\) a ambos lados:
\[ x - 12 + 12 = 8 + 12 \]
\[ x = 20 \]
Solución: \(x = 20\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -7 + x = -3 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(7\) a ambos lados:
\[ -7 + x + 7 = -3 + 7 \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
Para despejar \(x\), sumamos \(\frac{2}{3}\) a ambos lados:
\[ x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \]
\[ x = \frac{3}{3} \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ x + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \]
Para despejar \(x\), restamos \(\frac{1}{4}\) a ambos lados:
\[ x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \]
Expresamos \(\frac{3}{2}\) con denominador \(4\):
\[ x = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \]
\[ x = \frac{5}{4} \]
Solución: \(x = \frac{5}{4}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ x - 2{,}5 = 1{,}8 \]
Para despejar \(x\), sumamos \(2{,}5\) a ambos lados:
\[ x - 2{,}5 + 2{,}5 = 1{,}8 + 2{,}5 \]
\[ x = 4{,}3 \]
Solución: \(x = 4{,}3\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ x + c = d \]
Para despejar \(x\), restamos \(c\) a ambos lados:
\[ x + c - c = d - c \]
\[ x = d - c \]
Solución: \(x = d - c\).
Ejercicio 8
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ x - m = n \]
Para despejar \(x\), sumamos \(m\) a ambos lados:
\[ x - m + m = n + m \]
\[ x = n + m \]
Solución: \(x = n + m\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(a\):
\[ a + 2p = 3q \]
Para despejar \(a\), restamos \(2p\) a ambos lados:
\[ a + 2p - 2p = 3q - 2p \]
\[ a = 3q - 2p \]
Solución: \(a = 3q - 2p\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(b\):
\[ -5r + b = s \]
Para despejar \(b\), sumamos \(5r\) a ambos lados:
\[ -5r + b + 5r = s + 5r \]
\[ b = s + 5r \]
Solución: \(b = s + 5r\).
Nivel 2: Propiedad de Multiplicación y División
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 5x = 30 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(5\):
\[ \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ -3x = 21 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(-3\):
\[ \frac{-3x}{-3} = \frac{21}{-3} \]
\[ x = -7 \]
Solución: \(x = -7\).
Ejercicio 3
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{5}x = 4 \]
La incógnita está multiplicada por \(\frac{2}{5}\). Multiplicamos ambos lados por su inverso, \(\frac{5}{2}\):
\[ \frac{5}{2}\cdot \frac{2}{5}x = \frac{5}{2}\cdot 4 \]
\[ x = \frac{20}{2} \]
\[ x = 10 \]
Solución: \(x = 10\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{x}{7} = \frac{2}{3} \]
Para despejar \(x\), multiplicamos ambos lados por \(7\):
\[ 7\cdot \frac{x}{7} = 7\cdot \frac{2}{3} \]
\[ x = \frac{14}{3} \]
Solución: \(x = \frac{14}{3}\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ 1{,}5x = 4{,}5 \]
Para despejar \(x\), dividimos ambos lados por \(1{,}5\):
\[ \frac{1{,}5x}{1{,}5} = \frac{4{,}5}{1{,}5} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 6
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ nx = m \]
Considera que \(n \neq 0\).
Como \(x\) está multiplicada por \(n\), dividimos ambos lados por \(n\):
\[ \frac{nx}{n} = \frac{m}{n} \]
\[ x = \frac{m}{n} \]
Solución: \(x = \frac{m}{n}\), con \(n \neq 0\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{2p} = q \]
Considera que \(p \neq 0\).
Para despejar \(y\), multiplicamos ambos lados por \(2p\):
\[ 2p\cdot \frac{y}{2p} = 2p\cdot q \]
\[ y = 2pq \]
Solución: \(y = 2pq\), con \(p \neq 0\).
Ejercicio 8
Combinado. Resuelve para \(a\):
\[ \frac{3a}{k} = 6m \]
Considera que \(k \neq 0\).
Primero multiplicamos ambos lados por \(k\):
\[ k\cdot \frac{3a}{k} = k\cdot 6m \]
\[ 3a = 6km \]
Luego dividimos ambos lados por \(3\):
\[ \frac{3a}{3} = \frac{6km}{3} \]
\[ a = 2km \]
Solución: \(a = 2km\), con \(k \neq 0\).
Nivel 3: Ecuaciones lineales tipo \(ax + b = c\)
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 2x + 7 = 13 \]
Primero restamos \(7\) a ambos lados:
\[ 2x + 7 - 7 = 13 - 7 \]
\[ 2x = 6 \]
Luego dividimos ambos lados por \(2\):
\[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 5x - 9 = 16 \]
Primero sumamos \(9\) a ambos lados:
\[ 5x - 9 + 9 = 16 + 9 \]
\[ 5x = 25 \]
Luego dividimos ambos lados por \(5\):
\[ \frac{5x}{5} = \frac{25}{5} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -3x + 4 = -8 \]
Primero restamos \(4\) a ambos lados:
\[ -3x + 4 - 4 = -8 - 4 \]
\[ -3x = -12 \]
Luego dividimos ambos lados por \(-3\):
\[ \frac{-3x}{-3} = \frac{-12}{-3} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 4
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x - 3 = 2 \]
Primero sumamos \(3\) a ambos lados:
\[ \frac{1}{2}x - 3 + 3 = 2 + 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 5 \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(2\):
\[ 2\cdot \frac{1}{2}x = 2\cdot 5 \]
\[ x = 10 \]
Solución: \(x = 10\).
Ejercicio 5
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{3}x + 1 = \frac{7}{3} \]
Primero restamos \(1\) a ambos lados:
\[ \frac{2}{3}x + 1 - 1 = \frac{7}{3} - 1 \]
Como \(1 = \frac{3}{3}\), resulta:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} \]
\[ \frac{2}{3}x = \frac{4}{3} \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(\frac{3}{2}\):
\[ \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x = \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 6
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ mx + n = p \]
Considera que \(m \neq 0\).
Primero restamos \(n\) a ambos lados:
\[ mx + n - n = p - n \]
\[ mx = p - n \]
Luego dividimos ambos lados por \(m\):
\[ x = \frac{p - n}{m} \]
Solución: \(x = \frac{p - n}{m}\), con \(m \neq 0\).
Ejercicio 7
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{k} - m = n \]
Considera que \(k \neq 0\).
Primero sumamos \(m\) a ambos lados:
\[ \frac{y}{k} - m + m = n + m \]
\[ \frac{y}{k} = n + m \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(k\):
\[ y = k(n + m) \]
Solución: \(y = k(n + m)\), con \(k \neq 0\).
Ejercicio 8
Combinado. Resuelve para \(z\):
\[ \frac{az}{2} + 3b = 4c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Primero restamos \(3b\) a ambos lados:
\[ \frac{az}{2} + 3b - 3b = 4c - 3b \]
\[ \frac{az}{2} = 4c - 3b \]
Luego multiplicamos ambos lados por \(2\):
\[ az = 2(4c - 3b) \]
Finalmente dividimos ambos lados por \(a\):
\[ z = \frac{2(4c - 3b)}{a} \]
También puede escribirse como:
\[ z = \frac{8c - 6b}{a} \]
Solución: \(z = \frac{2(4c - 3b)}{a}\), con \(a \neq 0\).
3. Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Dominando las Ecuaciones de Dos Pasos
Una forma más rápida: “pasar” términos
En la lección anterior usamos las propiedades de la igualdad, aplicando la misma operación en ambos lados. Ahora trabajaremos una forma más directa: “pasar” términos de un lado al otro de la igualdad usando la operación inversa.
Este procedimiento es un atajo útil, pero siempre se basa en la misma idea: mantener el equilibrio de la ecuación.
Importante: ¿por qué funciona este atajo?
“Pasar un término restando” es una forma abreviada de “restar el mismo término a ambos lados de la ecuación”. Del mismo modo, “pasar dividiendo” significa dividir ambos lados por el mismo número, siempre que ese número no sea cero.
Por eso, este método no es magia: es una aplicación rápida de las propiedades de la igualdad.
Resolviendo ecuaciones de la forma \(ax + b = c\)
Procedimiento en dos pasos
- Mover la constante: pasa el término que suma o resta al otro lado usando la operación inversa.
- Mover el coeficiente: pasa el número que multiplica o divide a la incógnita usando la operación inversa.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: ecuación con enteros
Resuelve la ecuación:
\[ 4x - 7 = 9 \]
El \(-7\) está restando, así que pasa al otro lado sumando:
\[ 4x = 9 + 7 \]
\[ 4x = 16 \]
El \(4\) está multiplicando a \(x\), así que pasa al otro lado dividiendo:
\[ x = \frac{16}{4} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejemplo 2: ecuación con racionales
Resuelve la ecuación:
\[ \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \]
Pasamos \(\frac{1}{2}\) restando:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\), entonces:
\[ \frac{2}{3}x = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \]
\[ \frac{2}{3}x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
El \(\frac{2}{3}\) está multiplicando a \(x\). Multiplicamos por su inverso, \(\frac{3}{2}\):
\[ x = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2} \]
\[ x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Solución: \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 3: ecuación con literales
Resuelve la ecuación para \(x\):
\[ mx + n = p \]
Consideramos que \(m \neq 0\).
Pasamos \(n\) restando:
\[ mx = p - n \]
Pasamos \(m\) dividiendo:
\[ x = \frac{p - n}{m} \]
Solución: \(x = \frac{p - n}{m}\), con \(m \neq 0\).
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ 3x + 8 = 23 \]
Pasamos \(8\) restando:
\[ 3x = 23 - 8 \]
\[ 3x = 15 \]
Pasamos \(3\) dividiendo:
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 6x - 5 = 19 \]
Pasamos \(-5\) sumando \(5\):
\[ 6x = 19 + 5 \]
\[ 6x = 24 \]
Pasamos \(6\) dividiendo:
\[ x = \frac{24}{6} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ -2x + 9 = 3 \]
Pasamos \(9\) restando:
\[ -2x = 3 - 9 \]
\[ -2x = -6 \]
Pasamos \(-2\) dividiendo:
\[ x = \frac{-6}{-2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 10x - 15 = 35 \]
Pasamos \(-15\) sumando \(15\):
\[ 10x = 35 + 15 \]
\[ 10x = 50 \]
Pasamos \(10\) dividiendo:
\[ x = \frac{50}{10} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ -7x - 6 = 8 \]
Pasamos \(-6\) sumando \(6\):
\[ -7x = 8 + 6 \]
\[ -7x = 14 \]
Pasamos \(-7\) dividiendo:
\[ x = \frac{14}{-7} \]
\[ x = -2 \]
Solución: \(x = -2\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 4x + 11 = -5 \]
Pasamos \(11\) restando:
\[ 4x = -5 - 11 \]
\[ 4x = -16 \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ x = \frac{-16}{4} \]
\[ x = -4 \]
Solución: \(x = -4\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 9x - 13 = 5 \]
Pasamos \(-13\) sumando \(13\):
\[ 9x = 5 + 13 \]
\[ 9x = 18 \]
Pasamos \(9\) dividiendo:
\[ x = \frac{18}{9} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ -5x + 12 = -3 \]
Pasamos \(12\) restando:
\[ -5x = -3 - 12 \]
\[ -5x = -15 \]
Pasamos \(-5\) dividiendo:
\[ x = \frac{-15}{-5} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 8x + 2 = 50 \]
Pasamos \(2\) restando:
\[ 8x = 50 - 2 \]
\[ 8x = 48 \]
Pasamos \(8\) dividiendo:
\[ x = \frac{48}{8} \]
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ -4x - 7 = 13 \]
Pasamos \(-7\) sumando \(7\):
\[ -4x = 13 + 7 \]
\[ -4x = 20 \]
Pasamos \(-4\) dividiendo:
\[ x = \frac{20}{-4} \]
\[ x = -5 \]
Solución: \(x = -5\).
Ecuaciones con Racionales
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 3 = 5 \]
Pasamos \(3\) restando:
\[ \frac{1}{2}x = 5 - 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 2 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 2\cdot 2 \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ \frac{2}{5}x - 1 = \frac{3}{5} \]
Pasamos \(-1\) sumando \(1\):
\[ \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + 1 \]
Como \(1 = \frac{5}{5}\), entonces:
\[ \frac{2}{5}x = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} \]
\[ \frac{2}{5}x = \frac{8}{5} \]
Multiplicamos por el inverso de \(\frac{2}{5}\), que es \(\frac{5}{2}\):
\[ x = \frac{8}{5}\cdot \frac{5}{2} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} \]
Pasamos \(\frac{1}{2}\) restando:
\[ \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{3}{4}x = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} \]
\[ \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \]
Multiplicamos por \(\frac{4}{3}\):
\[ x = \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3} \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 2{,}5x + 0{,}8 = 5{,}8 \]
Pasamos \(0{,}8\) restando:
\[ 2{,}5x = 5{,}8 - 0{,}8 \]
\[ 2{,}5x = 5 \]
Pasamos \(2{,}5\) dividiendo:
\[ x = \frac{5}{2{,}5} \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 0{,}75x - 2{,}1 = 0{,}9 \]
Pasamos \(-2{,}1\) sumando \(2{,}1\):
\[ 0{,}75x = 0{,}9 + 2{,}1 \]
\[ 0{,}75x = 3 \]
Pasamos \(0{,}75\) dividiendo:
\[ x = \frac{3}{0{,}75} \]
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = 1 \]
Pasamos \(-\frac{2}{3}\) sumando \(\frac{2}{3}\):
\[ \frac{1}{3}x = 1 + \frac{2}{3} \]
Como \(1 = \frac{3}{3}\), entonces:
\[ \frac{1}{3}x = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \]
\[ \frac{1}{3}x = \frac{5}{3} \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 4{,}2x + 6{,}5 = 19{,}1 \]
Pasamos \(6{,}5\) restando:
\[ 4{,}2x = 19{,}1 - 6{,}5 \]
\[ 4{,}2x = 12{,}6 \]
Pasamos \(4{,}2\) dividiendo:
\[ x = \frac{12{,}6}{4{,}2} \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \]
Pasamos \(\frac{1}{4}\) restando:
\[ \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \]
Como \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\), entonces:
\[ \frac{3}{8}x = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} \]
\[ \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \]
Multiplicamos por \(\frac{8}{3}\):
\[ x = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{3} \]
\[ x = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 0{,}6x - 3{,}2 = 1{,}6 \]
Pasamos \(-3{,}2\) sumando \(3{,}2\):
\[ 0{,}6x = 1{,}6 + 3{,}2 \]
\[ 0{,}6x = 4{,}8 \]
Pasamos \(0{,}6\) dividiendo:
\[ x = \frac{4{,}8}{0{,}6} \]
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \]
Pasamos \(-\frac{1}{3}\) sumando \(\frac{1}{3}\):
\[ \frac{5}{6}x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \]
Usamos denominador común \(6\):
\[ \frac{5}{6}x = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \]
\[ \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \]
Multiplicamos por \(\frac{6}{5}\):
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ecuaciones con Literales
Ejercicio 1
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(b\) restando:
\[ ax = c - b \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{c - b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{c - b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 2
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{x}{m} - n = p \]
Considera que \(m \neq 0\).
Pasamos \(-n\) sumando \(n\):
\[ \frac{x}{m} = p + n \]
Pasamos \(m\) multiplicando:
\[ x = m(p + n) \]
Solución: \(x = m(p + n)\), con \(m \neq 0\).
Ejercicio 3
Resuelve para \(y\):
\[ 2ay + 3b = 5c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(3b\) restando:
\[ 2ay = 5c - 3b \]
Pasamos \(2a\) dividiendo:
\[ y = \frac{5c - 3b}{2a} \]
Solución: \(y = \frac{5c - 3b}{2a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 4
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{pz}{q} - r = s \]
Considera que \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\).
Pasamos \(-r\) sumando \(r\):
\[ \frac{pz}{q} = s + r \]
Pasamos \(q\) multiplicando:
\[ pz = q(s + r) \]
Pasamos \(p\) dividiendo:
\[ z = \frac{q(s + r)}{p} \]
Solución: \(z = \frac{q(s + r)}{p}\), con \(p \neq 0\) y \(q \neq 0\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{ax}{b} + c = d \]
Considera que \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).
Pasamos \(c\) restando:
\[ \frac{ax}{b} = d - c \]
Pasamos \(b\) multiplicando:
\[ ax = b(d - c) \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{b(d - c)}{a} \]
Solución: \(x = \frac{b(d - c)}{a}\), con \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(m\):
\[ \frac{2m}{3} + n = 5n \]
Pasamos \(n\) restando:
\[ \frac{2m}{3} = 5n - n \]
\[ \frac{2m}{3} = 4n \]
Pasamos \(3\) multiplicando:
\[ 2m = 12n \]
Pasamos \(2\) dividiendo:
\[ m = 6n \]
Solución: \(m = 6n\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(p\):
\[ 4p - 2q = 6r \]
Pasamos \(-2q\) sumando \(2q\):
\[ 4p = 6r + 2q \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ p = \frac{6r + 2q}{4} \]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador por \(2\):
\[ p = \frac{3r + q}{2} \]
Solución: \(p = \frac{3r + q}{2}\).
Ejercicio 8
Resuelve para \(x\):
\[ ax - 5b = 3c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Pasamos \(-5b\) sumando \(5b\):
\[ ax = 3c + 5b \]
Pasamos \(a\) dividiendo:
\[ x = \frac{3c + 5b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{3c + 5b}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 9
Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y}{2} + a = 3a \]
Pasamos \(a\) restando:
\[ \frac{y}{2} = 3a - a \]
\[ \frac{y}{2} = 2a \]
Pasamos \(2\) multiplicando:
\[ y = 4a \]
Solución: \(y = 4a\).
Ejercicio 10
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{4z - a}{5} = 3b \]
Pasamos \(5\) multiplicando:
\[ 4z - a = 15b \]
Pasamos \(-a\) sumando \(a\):
\[ 4z = 15b + a \]
Pasamos \(4\) dividiendo:
\[ z = \frac{15b + a}{4} \]
Solución: \(z = \frac{15b + a}{4}\).
4. Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Subimos el nivel
Ahora resolveremos ecuaciones donde la incógnita aparece en ambos lados de la igualdad. La estrategia principal es trabajar con orden: reunir los términos con incógnita en un lado y los términos constantes en el otro.
Estrategia principal: agrupar términos
El objetivo es juntar todos los términos con incógnita, como \(5x\) o \(-2x\), en un lado de la ecuación, y todos los términos constantes, es decir, los números solos, en el otro lado.
- Paso 1: mueve todos los términos con incógnita a un solo lado.
- Paso 2: mueve todos los términos constantes al lado opuesto.
- Paso 3: simplifica y resuelve la ecuación que queda.
Un tip para evitar errores
Al decidir a qué lado mover las incógnitas, fíjate en sus coeficientes. Si mueves el término con el coeficiente menor hacia el lado donde está el coeficiente mayor, normalmente obtendrás un coeficiente positivo.
Por ejemplo, en \(7x - 5 = 3x + 11\), conviene mover el \(3x\) hacia el lado donde está \(7x\), porque:
\[ 7x - 3x = 4x \]
Esto ayuda a disminuir errores con signos negativos.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: ecuación con enteros
Resuelve:
\[ 5x - 6 = 2x + 9 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 5x - 2x = 9 + 6 \]
Simplificamos ambos lados:
\[ 3x = 15 \]
Despejamos \(x\):
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejemplo 2: ecuación con racionales
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{4}x + 3 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 3 - 1 \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 2 \]
\[ \frac{1}{4}x = 2 \]
Despejamos \(x\) multiplicando por \(4\):
\[ x = 2 \cdot 4 \]
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Cuidado con las ecuaciones literales
Cuando trabajamos con letras, no siempre se obtiene un número al agrupar términos. En ecuaciones como \(ax + b = cx + d\), el paso clave es factorizar la incógnita común.
Ejemplo 3: ecuación con literales
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = cx + d \]
Agrupamos los términos con \(x\) a un lado y las constantes al otro:
\[ ax - cx = d - b \]
Factorizamos por \(x\) en el lado izquierdo:
\[ x(a - c) = d - b \]
Despejamos dividiendo por \(a - c\), considerando que \(a - c \neq 0\):
\[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicios
Ecuaciones con Enteros
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ 7x - 5 = 3x + 11 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 7x - 3x = 11 + 5 \]
\[ 4x = 16 \]
Dividimos por \(4\):
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 2x + 9 = 5x - 6 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 9 + 6 = 5x - 2x \]
\[ 15 = 3x \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ 9x - 4 = 2x + 10 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 9x - 2x = 10 + 4 \]
\[ 7x = 14 \]
Dividimos por \(7\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ -4x + 7 = -x - 2 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 7 + 2 = -x + 4x \]
\[ 9 = 3x \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 6x + 1 = 15 - x \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 6x + x = 15 - 1 \]
\[ 7x = 14 \]
Dividimos por \(7\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 3x - 8 = -2x + 7 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 3x + 2x = 7 + 8 \]
\[ 5x = 15 \]
Dividimos por \(5\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ -x + 5 = 8x - 13 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ 5 + 13 = 8x + x \]
\[ 18 = 9x \]
Dividimos por \(9\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ 10x + 3 = 4x + 21 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 10x - 4x = 21 - 3 \]
\[ 6x = 18 \]
Dividimos por \(6\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ -6x - 4 = -2x - 12 \]
Movemos los términos con \(x\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ -4 + 12 = -2x + 6x \]
\[ 8 = 4x \]
Dividimos por \(4\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ 5x - 14 = -3x + 2 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a la izquierda y las constantes a la derecha:
\[ 5x + 3x = 2 + 14 \]
\[ 8x = 16 \]
Dividimos por \(8\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ecuaciones con Racionales
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ \frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{4}x + 5 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 5 - 3 \]
Como \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), entonces:
\[ \frac{2}{4}x - \frac{1}{4}x = 2 \]
\[ \frac{1}{4}x = 2 \]
Multiplicamos por \(4\):
\[ x = 8 \]
Solución: \(x = 8\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{1}{6}x + 2 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = 2 + 1 \]
Como \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), entonces:
\[ \frac{4}{6}x - \frac{1}{6}x = 3 \]
\[ \frac{3}{6}x = 3 \]
\[ \frac{1}{2}x = 3 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 6 \]
Solución: \(x = 6\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ \frac{3}{5}x + 2 = \frac{1}{10}x + 3 \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{3}{5}x - \frac{1}{10}x = 3 - 2 \]
Como \(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\), entonces:
\[ \frac{6}{10}x - \frac{1}{10}x = 1 \]
\[ \frac{5}{10}x = 1 \]
\[ \frac{1}{2}x = 1 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ 0{,}8x - 1{,}5 = 0{,}2x + 0{,}3 \]
Agrupamos términos:
\[ 0{,}8x - 0{,}2x = 0{,}3 + 1{,}5 \]
\[ 0{,}6x = 1{,}8 \]
Dividimos por \(0{,}6\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ 1{,}2x + 0{,}4 = 0{,}5x + 2{,}5 \]
Agrupamos términos:
\[ 1{,}2x - 0{,}5x = 2{,}5 - 0{,}4 \]
\[ 0{,}7x = 2{,}1 \]
Dividimos por \(0{,}7\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ \frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{5}{8}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \]
Usamos denominador común \(8\):
\[ \frac{5}{8}x - \frac{2}{8}x = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \]
\[ \frac{3}{8}x = \frac{5}{8} \]
Multiplicamos por \(\frac{8}{3}\):
\[ x = \frac{5}{8}\cdot \frac{8}{3} \]
\[ x = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 2{,}4x + 1{,}6 = 1{,}2x + 4 \]
Agrupamos términos:
\[ 2{,}4x - 1{,}2x = 4 - 1{,}6 \]
\[ 1{,}2x = 2{,}4 \]
Dividimos por \(1{,}2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ \frac{4}{9}x - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x = -\frac{1}{9} + \frac{2}{3} \]
Usamos denominador común \(9\):
\[ \frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x = -\frac{1}{9} + \frac{6}{9} \]
\[ \frac{1}{9}x = \frac{5}{9} \]
Multiplicamos por \(9\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 9
Resuelve:
\[ 0{,}5x - 2{,}5 = 0{,}1x - 0{,}5 \]
Agrupamos términos:
\[ 0{,}5x - 0{,}1x = -0{,}5 + 2{,}5 \]
\[ 0{,}4x = 2 \]
Dividimos por \(0{,}4\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 10
Resuelve:
\[ \frac{7}{10}x + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{2} \]
Agrupamos términos:
\[ \frac{7}{10}x - \frac{3}{5}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \]
Usamos denominador común \(10\):
\[ \frac{7}{10}x - \frac{6}{10}x = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \]
\[ \frac{1}{10}x = \frac{3}{10} \]
Multiplicamos por \(10\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ecuaciones con Literales
Ejercicio 1
Resuelve para \(x\):
\[ ax + b = cx + d \]
Considera que \(a \neq c\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ ax - cx = d - b \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - c) = d - b \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 2
Resuelve para \(x\):
\[ mx - n = px + q \]
Considera que \(m \neq p\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ mx - px = q + n \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(m - p) = q + n \]
Dividimos por \(m - p\):
\[ x = \frac{q + n}{m - p} \]
Solución: \(x = \frac{q + n}{m - p}\), con \(m \neq p\).
Ejercicio 3
Resuelve para \(y\):
\[ ay + b = cy - d \]
Considera que \(a \neq c\).
Agrupamos términos con \(y\):
\[ ay - cy = -d - b \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(a - c) = -d - b \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ y = \frac{-d - b}{a - c} \]
Solución: \(y = \frac{-d - b}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 4
Resuelve para \(z\):
\[ \frac{z}{m} + n = \frac{z}{p} + q \]
Considera que \(m \neq 0\), \(p \neq 0\) y \(p \neq m\).
Agrupamos términos con \(z\):
\[ \frac{z}{m} - \frac{z}{p} = q - n \]
Factorizamos por \(z\):
\[ z\left(\frac{1}{m} - \frac{1}{p}\right) = q - n \]
Restamos las fracciones:
\[ \frac{1}{m} - \frac{1}{p} = \frac{p - m}{mp} \]
Entonces:
\[ z\left(\frac{p - m}{mp}\right) = q - n \]
Dividimos por \(\frac{p - m}{mp}\), o equivalentemente multiplicamos por \(\frac{mp}{p - m}\):
\[ z = \frac{mp(q - n)}{p - m} \]
Solución: \(z = \frac{mp(q - n)}{p - m}\), con \(m \neq 0\), \(p \neq 0\) y \(p \neq m\).
Ejercicio 5
Resuelve para \(x\):
\[ a(x + b) = c(x + d) \]
Considera que \(a \neq c\).
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ ax + ab = cx + cd \]
Agrupamos términos con \(x\):
\[ ax - cx = cd - ab \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - c) = cd - ab \]
Dividimos por \(a - c\):
\[ x = \frac{cd - ab}{a - c} \]
Solución: \(x = \frac{cd - ab}{a - c}\), con \(a \neq c\).
Ejercicio 6
Resuelve para \(y\):
\[ \frac{y - a}{m} = \frac{y + b}{n} \]
Considera que \(m \neq 0\), \(n \neq 0\) y \(n \neq m\).
Multiplicamos en cruz:
\[ n(y - a) = m(y + b) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ ny - na = my + mb \]
Agrupamos términos con \(y\):
\[ ny - my = mb + na \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(n - m) = mb + na \]
Dividimos por \(n - m\):
\[ y = \frac{mb + na}{n - m} \]
Solución: \(y = \frac{mb + na}{n - m}\), con \(m \neq 0\), \(n \neq 0\) y \(n \neq m\).
Ejercicio 7
Resuelve para \(x\):
\[ a - x = b - cx \]
Considera que \(c \neq 1\).
Agrupamos términos con \(x\):
\[ cx - x = b - a \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(c - 1) = b - a \]
Dividimos por \(c - 1\):
\[ x = \frac{b - a}{c - 1} \]
Solución: \(x = \frac{b - a}{c - 1}\), con \(c \neq 1\).
Ejercicio 8
Resuelve para \(m\):
\[ \frac{2m - 3}{5} = \frac{m + 1}{2} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ 2(2m - 3) = 5(m + 1) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ 4m - 6 = 5m + 5 \]
Agrupamos los términos con \(m\) a la derecha y las constantes a la izquierda:
\[ -6 - 5 = 5m - 4m \]
\[ -11 = m \]
Por lo tanto:
\[ m = -11 \]
Solución: \(m = -11\).
Ejercicio 9
Resuelve para \(x\):
\[ \frac{ax - b}{c} = d \]
Considera que \(a \neq 0\) y \(c \neq 0\).
Multiplicamos ambos lados por \(c\):
\[ ax - b = cd \]
Pasamos \(-b\) sumando \(b\):
\[ ax = cd + b \]
Dividimos por \(a\):
\[ x = \frac{cd + b}{a} \]
Solución: \(x = \frac{cd + b}{a}\), con \(a \neq 0\) y \(c \neq 0\).
Ejercicio 10
Resuelve para \(y\):
\[ p(y - q) = r(s - y) \]
Considera que \(p + r \neq 0\).
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ py - pq = rs - ry \]
Agrupamos términos con \(y\):
\[ py + ry = rs + pq \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(p + r) = rs + pq \]
Dividimos por \(p + r\):
\[ y = \frac{rs + pq}{p + r} \]
Solución: \(y = \frac{rs + pq}{p + r}\), con \(p + r \neq 0\).
5. Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Ecuaciones Avanzadas: Propiedad Distributiva y Paréntesis
Nuevo desafío: los paréntesis
Ahora que ya trabajamos distintos tipos de despeje, enfrentaremos ecuaciones con paréntesis. La herramienta clave para eliminarlos es la propiedad distributiva.
La propiedad distributiva
Esta propiedad indica cómo multiplicar un número por una suma o resta que está dentro de un paréntesis. El número de afuera se distribuye, multiplicando a cada término de adentro:
- \(a(b + c) = ab + ac\)
- \(a(b - c) = ab - ac\)
Cuidado con el signo negativo
Un error común es olvidar distribuir el signo negativo. Recuerda que un signo \(-\) frente a un paréntesis equivale a multiplicar por \(-1\).
Por ejemplo:
\[ -(x + 5) = -1(x + 5) = -x - 5 \]
Debes cambiar el signo de todos los términos que están dentro del paréntesis.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: aplicando la propiedad distributiva
Resuelve la ecuación:
\[ 2(x + 3) = 10 \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 2\cdot x + 2\cdot 3 = 10 \]
\[ 2x + 6 = 10 \]
Ahora resolvemos la ecuación de dos pasos:
\[ 2x = 10 - 6 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejemplo 2: ecuación con paréntesis en ambos lados
Resuelve la ecuación:
\[ 3(x - 2) + 5 = 4x - 7 \]
Distribuimos y simplificamos el lado izquierdo:
\[ 3x - 6 + 5 = 4x - 7 \]
\[ 3x - 1 = 4x - 7 \]
Agrupamos términos:
\[ -1 + 7 = 4x - 3x \]
\[ 6 = x \]
Solución: \(x = 6\).
Paréntesis anidados: de adentro hacia afuera
Cuando una ecuación tiene paréntesis dentro de otros, como corchetes \([\,]\), conviene trabajar desde el paréntesis más interno hacia afuera.
Ejemplo 3: ecuación con paréntesis anidados
Resuelve la ecuación:
\[ 2[3(x - 1) + 2] = 16 \]
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[3x - 3 + 2] = 16 \]
Simplificamos dentro del corchete:
\[ 2[3x - 1] = 16 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 6x - 2 = 16 \]
Resolvemos:
\[ 6x = 18 \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicios
Nivel 1: Aplicando la Propiedad Distributiva
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 5(x + 2) = 25 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 5x + 10 = 25 \]
Pasamos \(10\) restando:
\[ 5x = 15 \]
Dividimos por \(5\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 3(x - 4) = 9 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 3x - 12 = 9 \]
Pasamos \(-12\) sumando \(12\):
\[ 3x = 21 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 7 \]
Solución: \(x = 7\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -2(x + 1) = 8 \]
Distribuimos el \(-2\):
\[ -2x - 2 = 8 \]
Pasamos \(-2\) sumando \(2\):
\[ -2x = 10 \]
Dividimos por \(-2\):
\[ x = -5 \]
Solución: \(x = -5\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 4(2x - 3) = 20 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 8x - 12 = 20 \]
Pasamos \(-12\) sumando \(12\):
\[ 8x = 32 \]
Dividimos por \(8\):
\[ x = 4 \]
Solución: \(x = 4\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ -3(3x + 1) = -18 \]
Distribuimos el \(-3\):
\[ -9x - 3 = -18 \]
Pasamos \(-3\) sumando \(3\):
\[ -9x = -15 \]
Dividimos por \(-9\):
\[ x = \frac{-15}{-9} = \frac{5}{3} \]
Solución: \(x = \frac{5}{3}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 2x - 1 = 5 \]
Pasamos \(-1\) sumando \(1\):
\[ 2x = 6 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}(4x + 6) = 7 \]
Aplicamos distributiva:
\[ 2x + 3 = 7 \]
Pasamos \(3\) restando:
\[ 2x = 4 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ -3\left(\frac{1}{3}x + 2\right) = -5 \]
Distribuimos el \(-3\):
\[ -x - 6 = -5 \]
Pasamos \(-6\) sumando \(6\):
\[ -x = 1 \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ x = -1 \]
Solución: \(x = -1\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ a(x + b) = c \]
Considera que \(a \neq 0\).
Aplicamos distributiva:
\[ ax + ab = c \]
Pasamos \(ab\) restando:
\[ ax = c - ab \]
Dividimos por \(a\):
\[ x = \frac{c - ab}{a} \]
Solución: \(x = \frac{c - ab}{a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ m(nx - p) = q \]
Considera que \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Aplicamos distributiva:
\[ mnx - mp = q \]
Pasamos \(-mp\) sumando \(mp\):
\[ mnx = q + mp \]
Dividimos por \(mn\):
\[ x = \frac{q + mp}{mn} \]
Solución: \(x = \frac{q + mp}{mn}\), con \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Nivel 2: Ecuaciones con Paréntesis Simples
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 4(x - 2) + 7 = 3x + 1 \]
Distribuimos:
\[ 4x - 8 + 7 = 3x + 1 \]
Simplificamos:
\[ 4x - 1 = 3x + 1 \]
Agrupamos:
\[ 4x - 3x = 1 + 1 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 2(x + 1) + 3 = 4(x - 1) + 9 \]
Distribuimos:
\[ 2x + 2 + 3 = 4x - 4 + 9 \]
Simplificamos ambos lados:
\[ 2x + 5 = 4x + 5 \]
Agrupamos:
\[ 5 - 5 = 4x - 2x \]
\[ 0 = 2x \]
\[ x = 0 \]
Solución: \(x = 0\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ 5(x - 2) + 3x = 2(x + 1) + 10 \]
Distribuimos:
\[ 5x - 10 + 3x = 2x + 2 + 10 \]
Simplificamos:
\[ 8x - 10 = 2x + 12 \]
Agrupamos:
\[ 8x - 2x = 12 + 10 \]
\[ 6x = 22 \]
Dividimos por \(6\):
\[ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]
Solución: \(x = \frac{11}{3}\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 7(x - 1) - 4 = -2(x + 3) + 8 \]
Distribuimos:
\[ 7x - 7 - 4 = -2x - 6 + 8 \]
Simplificamos:
\[ 7x - 11 = -2x + 2 \]
Agrupamos:
\[ 7x + 2x = 2 + 11 \]
\[ 9x = 13 \]
\[ x = \frac{13}{9} \]
Solución: \(x = \frac{13}{9}\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ -2(3x + 2) - 5 = 3(x - 4) + 10 \]
Distribuimos:
\[ -6x - 4 - 5 = 3x - 12 + 10 \]
Simplificamos:
\[ -6x - 9 = 3x - 2 \]
Agrupamos:
\[ -9 + 2 = 3x + 6x \]
\[ -7 = 9x \]
\[ x = -\frac{7}{9} \]
Solución: \(x = -\frac{7}{9}\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{1}{2}(4x - 2) = 3\left(x + \frac{1}{3}\right) \]
Distribuimos ambos lados:
\[ 2x - 1 = 3x + 1 \]
Agrupamos:
\[ -1 - 1 = 3x - 2x \]
\[ -2 = x \]
Solución: \(x = -2\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left(\frac{1}{4}x + 1\right) = 3\left(\frac{1}{2}x - 1\right) \]
Distribuimos:
\[ \frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - 3 \]
Agrupamos:
\[ 2 + 3 = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x \]
\[ 5 = x \]
Solución: \(x = 5\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ \frac{2}{3}(3x - 6) + 1 = \frac{1}{2}(2x + 4) - 3 \]
Distribuimos:
\[ 2x - 4 + 1 = x + 2 - 3 \]
Simplificamos:
\[ 2x - 3 = x - 1 \]
Agrupamos:
\[ 2x - x = -1 + 3 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ a(x - b) + c = d(x + 1) \]
Considera que \(a \neq d\).
Distribuimos:
\[ ax - ab + c = dx + d \]
Agrupamos los términos con \(x\):
\[ ax - dx = d + ab - c \]
Factorizamos por \(x\):
\[ x(a - d) = d + ab - c \]
Dividimos por \(a - d\):
\[ x = \frac{d + ab - c}{a - d} \]
Solución: \(x = \frac{d + ab - c}{a - d}\), con \(a \neq d\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(y\):
\[ m(2y + n) - p = 2(y + q) \]
Considera que \(m \neq 1\).
Distribuimos:
\[ 2my + mn - p = 2y + 2q \]
Agrupamos los términos con \(y\):
\[ 2my - 2y = 2q - mn + p \]
Factorizamos por \(y\):
\[ y(2m - 2) = 2q - mn + p \]
Dividimos por \(2m - 2\):
\[ y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2} \]
Solución: \(y = \frac{2q - mn + p}{2m - 2}\), con \(m \neq 1\).
Nivel 3: Ecuaciones con Paréntesis Anidados
Ejercicio 1
Enteros. Resuelve:
\[ 2[3(x + 1) - 4] = 10 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[3x + 3 - 4] = 10 \]
Simplificamos:
\[ 2[3x - 1] = 10 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 6x - 2 = 10 \]
Resolvemos:
\[ 6x = 12 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 2
Enteros. Resuelve:
\[ 3[2(x - 2) + 5] = 9x \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 3[2x - 4 + 5] = 9x \]
Simplificamos:
\[ 3[2x + 1] = 9x \]
Distribuimos el \(3\):
\[ 6x + 3 = 9x \]
Agrupamos:
\[ 3 = 3x \]
\[ x = 1 \]
Solución: \(x = 1\).
Ejercicio 3
Enteros. Resuelve:
\[ -[4(x + 2) - 3] = 5 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ -[4x + 8 - 3] = 5 \]
Simplificamos:
\[ -[4x + 5] = 5 \]
Distribuimos el signo negativo:
\[ -4x - 5 = 5 \]
Resolvemos:
\[ -4x = 10 \]
\[ x = -\frac{5}{2} \]
Solución: \(x = -\frac{5}{2}\).
Ejercicio 4
Enteros. Resuelve:
\[ 4[2(x - 1) + 3x] = 28 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 4[2x - 2 + 3x] = 28 \]
Simplificamos:
\[ 4[5x - 2] = 28 \]
Distribuimos el \(4\):
\[ 20x - 8 = 28 \]
Resolvemos:
\[ 20x = 36 \]
\[ x = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} \]
Solución: \(x = \frac{9}{5}\).
Ejercicio 5
Enteros. Resuelve:
\[ 2[5(2x + 3) - 4] = 12x + 22 \]
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[10x + 15 - 4] = 12x + 22 \]
Simplificamos:
\[ 2[10x + 11] = 12x + 22 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 20x + 22 = 12x + 22 \]
Agrupamos:
\[ 20x - 12x = 22 - 22 \]
\[ 8x = 0 \]
\[ x = 0 \]
Solución: \(x = 0\).
Ejercicio 6
Racionales. Resuelve:
\[ 2\left[\frac{1}{2}(x - 4) + 3\right] = 4 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 2\left[\frac{1}{2}x - 2 + 3\right] = 4 \]
Simplificamos:
\[ 2\left[\frac{1}{2}x + 1\right] = 4 \]
Distribuimos el \(2\):
\[ x + 2 = 4 \]
Resolvemos:
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 7
Racionales. Resuelve:
\[ 3\left[\frac{2}{3}(x + 1) - \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Distribuimos dentro del corchete:
\[ 3\left[\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Simplificamos:
\[ 3\left[\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\right] = 5 \]
Distribuimos el \(3\):
\[ 2x + 1 = 5 \]
Resolvemos:
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Ejercicio 8
Racionales. Resuelve:
\[ -\left[\frac{1}{4}(4x - 8) + 2\right] = -3 \]
Simplificamos dentro del corchete:
\[ -[x - 2 + 2] = -3 \]
\[ -[x] = -3 \]
\[ -x = -3 \]
Multiplicamos por \(-1\):
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = 3\).
Ejercicio 9
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ 2[a(x + b) - c] = d \]
Considera que \(a \neq 0\).
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ 2[ax + ab - c] = d \]
Distribuimos el \(2\):
\[ 2ax + 2ab - 2c = d \]
Agrupamos:
\[ 2ax = d - 2ab + 2c \]
Dividimos por \(2a\):
\[ x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a} \]
Solución: \(x = \frac{d - 2ab + 2c}{2a}\), con \(a \neq 0\).
Ejercicio 10
Literales. Resuelve para \(x\):
\[ m[n(x - p) + q] = r \]
Considera que \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
Primero distribuimos dentro del corchete:
\[ m[nx - np + q] = r \]
Distribuimos el \(m\):
\[ mnx - mnp + mq = r \]
Agrupamos:
\[ mnx = r + mnp - mq \]
Dividimos por \(mn\):
\[ x = \frac{r + mnp - mq}{mn} \]
Solución: \(x = \frac{r + mnp - mq}{mn}\), con \(m \neq 0\) y \(n \neq 0\).
6. Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Resolviendo Problemas con Ecuaciones
Las ecuaciones como herramienta
Las ecuaciones permiten resolver problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento. En esta página aprenderemos a traducir enunciados verbales a ecuaciones matemáticas y a interpretar las soluciones en el contexto del problema.
Pasos para resolver problemas con ecuaciones
- Comprender el problema: leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y reconocer qué se pide encontrar.
- Definir la incógnita: elegir una letra, generalmente \(x\), para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa.
- Plantear la ecuación: traducir el enunciado a una ecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos.
- Resolver la ecuación: utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: verificar si la solución tiene sentido en el contexto y responder con una frase completa.
Idea clave: el arte de traducir
El paso más importante suele ser plantear la ecuación. Para hacerlo, piensa que estás traduciendo del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.
- “El doble de un número” se puede escribir como \(2x\).
- “La suma de dos cantidades” se puede representar con una adición.
- “Es igual a” se representa con el signo \(=\).
- “Cinco unidades más que un número” se puede escribir como \(x + 5\).
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: problema de edades
La suma de las edades de Ana y su hermano es \(28\). Si Ana tiene \(6\) años más que su hermano, ¿qué edad tiene cada uno?
Incógnita: sea \(x\) la edad del hermano.
Relación: como Ana tiene \(6\) años más que su hermano, su edad es \(x + 6\).
Ecuación:
\[ x + (x + 6) = 28 \]
Resolución:
\[ 2x + 6 = 28 \]
\[ 2x = 22 \]
\[ x = 11 \]
Interpretación: el hermano tiene \(11\) años. Ana tiene:
\[ 11 + 6 = 17 \]
Respuesta: el hermano de Ana tiene \(11\) años y Ana tiene \(17\) años.
Ejemplo 2: problema de dinero
Juan tiene \(\$50\) más que el doble de lo que tiene Pedro. Si entre los dos tienen \(\$500\), ¿cuánto dinero tiene cada uno?
Incógnita: sea \(x\) el dinero que tiene Pedro.
Relación: Juan tiene el doble de lo de Pedro más \(\$50\), es decir, \(2x + 50\).
Ecuación:
\[ x + (2x + 50) = 500 \]
Resolución:
\[ 3x + 50 = 500 \]
\[ 3x = 450 \]
\[ x = 150 \]
Interpretación: Pedro tiene \(\$150\). Juan tiene:
\[ 2(150) + 50 = 350 \]
Respuesta: Pedro tiene \(\$150\) y Juan tiene \(\$350\).
Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita
Ejercicio 1
Situación: un padre reparte \(\$100\) entre sus dos hijos. Al mayor le da \(\$20\) más que al menor.
Ecuación:
\[ x + (x + 20) = 100 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y la expresión \(x + 20\)?
Como al mayor le dan \(\$20\) más que al menor, conviene representar primero la cantidad menor.
- \(x\) representa la cantidad de dinero que recibe el hijo menor.
- \(x + 20\) representa la cantidad de dinero que recibe el hijo mayor.
Ejercicio 2
Situación: el precio de un pantalón es el doble del precio de una camisa. Por ambos se pagan \(\$45\).
Ecuación:
\[ x + 2x = 45 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(2x\)?
Como el pantalón cuesta el doble que la camisa, conviene representar primero el precio de la camisa.
- \(x\) representa el precio de la camisa.
- \(2x\) representa el precio del pantalón.
Ejercicio 3
Situación: un tren viaja a velocidad constante. Después de \(3\) horas ha recorrido \(240\) km.
Ecuación:
\[ 3x = 240 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(3x\)?
La distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo.
- \(x\) representa la velocidad del tren en km/h.
- \(3x\) representa la distancia total recorrida en \(3\) horas.
Ejercicio 4
Situación: el perímetro de un cuadrado es \(36\) cm.
Ecuación:
\[ 4x = 36 \]
Pregunta: ¿qué representa \(x\)?
Un cuadrado tiene cuatro lados iguales, por eso el perímetro se expresa como \(4x\).
Entonces, \(x\) representa la longitud de un lado del cuadrado, medida en centímetros.
Ejercicio 5
Situación: una empresa tiene un costo fijo de \(\$2000\) y cada unidad cuesta \(\$5\). El costo total fue de \(\$3500\).
Ecuación:
\[ 5x + 2000 = 3500 \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(5x\)?
El costo total se forma con un costo fijo más un costo que depende de la cantidad producida.
- \(x\) representa la cantidad de unidades producidas.
- \(5x\) representa el costo variable total de producir esas unidades.
Ejercicio 6
Situación: Ana regala \(15\) de sus monedas y le queda la tercera parte de lo que tenía.
Ecuación:
\[ x - 15 = \frac{1}{3}x \]
Preguntas: ¿qué representa \(x\)? ¿Y \(x - 15\)?
Como el enunciado habla de lo que tenía al inicio y de lo que le queda después de regalar monedas:
- \(x\) representa la cantidad original de monedas que tenía Ana.
- \(x - 15\) representa la cantidad de monedas que le quedan después de regalar \(15\).
Ejercicios de Resolución de Problemas
Ejercicio 1
Un número es \(5\) unidades mayor que otro. Si la suma de ambos es \(37\), ¿cuáles son los números?
Sea \(x\) el número menor.
Entonces, el número mayor es \(x + 5\).
Planteamos la ecuación:
\[ x + (x + 5) = 37 \]
\[ 2x + 5 = 37 \]
\[ 2x = 32 \]
\[ x = 16 \]
El número mayor es:
\[ 16 + 5 = 21 \]
Respuesta: los números son \(16\) y \(21\).
Ejercicio 2
El triple de un número menos \(8\) es igual a \(16\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
El triple del número es \(3x\), y al restarle \(8\) se obtiene \(16\):
\[ 3x - 8 = 16 \]
\[ 3x = 24 \]
\[ x = 8 \]
Respuesta: el número es \(8\).
Ejercicio 3
La edad de Juan es el doble de la de María. Si la suma de sus edades es \(45\), ¿qué edad tiene cada uno?
Sea \(x\) la edad de María.
Como Juan tiene el doble, su edad es \(2x\).
Planteamos:
\[ x + 2x = 45 \]
\[ 3x = 45 \]
\[ x = 15 \]
María tiene \(15\) años y Juan tiene:
\[ 2(15) = 30 \]
Respuesta: María tiene \(15\) años y Juan tiene \(30\) años.
Ejercicio 4
El largo de un rectángulo mide \(4\) cm más que el ancho. Si el perímetro es \(48\) cm, ¿cuáles son sus dimensiones?
Sea \(x\) el ancho del rectángulo.
Entonces, el largo es \(x + 4\).
El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados:
\[ 2x + 2(x + 4) = 48 \]
\[ 2x + 2x + 8 = 48 \]
\[ 4x + 8 = 48 \]
\[ 4x = 40 \]
\[ x = 10 \]
El ancho mide \(10\) cm y el largo mide:
\[ 10 + 4 = 14 \]
Respuesta: el ancho mide \(10\) cm y el largo mide \(14\) cm.
Ejercicio 5
Ana compró \(3\) cuadernos y \(2\) lápices por \(\$8\). Si cada lápiz cuesta \(\$1\), ¿cuánto cuesta cada cuaderno?
Sea \(x\) el costo de cada cuaderno.
Los \(3\) cuadernos cuestan \(3x\), y los \(2\) lápices cuestan \(2\cdot 1\).
Planteamos:
\[ 3x + 2(1) = 8 \]
\[ 3x + 2 = 8 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = 2 \]
Respuesta: cada cuaderno cuesta \(\$2\).
Ejercicio 6
Si a un número le resto \(15\) y luego lo multiplico por \(4\), obtengo \(20\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
Primero se resta \(15\), obteniendo \(x - 15\). Luego se multiplica por \(4\):
\[ 4(x - 15) = 20 \]
\[ 4x - 60 = 20 \]
\[ 4x = 80 \]
\[ x = 20 \]
Respuesta: el número es \(20\).
Ejercicio 7
La suma de tres números consecutivos es \(51\). ¿Cuáles son los números?
Sea \(x\) el primer número.
Los tres números consecutivos son:
\[ x,\quad x + 1,\quad x + 2 \]
Planteamos:
\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 51 \]
\[ 3x + 3 = 51 \]
\[ 3x = 48 \]
\[ x = 16 \]
Entonces los números son \(16\), \(17\) y \(18\).
Respuesta: los números son \(16\), \(17\) y \(18\).
Ejercicio 8
Un padre tiene \(35\) años y su hijo \(5\). ¿En cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Sea \(x\) la cantidad de años que deben transcurrir.
En \(x\) años, el padre tendrá \(35 + x\) años y el hijo tendrá \(5 + x\) años.
Queremos que la edad del padre sea el triple de la edad del hijo:
\[ 35 + x = 3(5 + x) \]
\[ 35 + x = 15 + 3x \]
\[ 20 = 2x \]
\[ x = 10 \]
Respuesta: en \(10\) años la edad del padre será el triple que la del hijo.
Ejercicio 9
Si al doble de un número se le resta su mitad, resulta \(54\). ¿Cuál es el número?
Sea \(x\) el número.
El doble del número es \(2x\), y su mitad es \(\frac{x}{2}\).
Planteamos:
\[ 2x - \frac{x}{2} = 54 \]
Usamos denominador común \(2\):
\[ \frac{4x}{2} - \frac{x}{2} = 54 \]
\[ \frac{3x}{2} = 54 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ 3x = 108 \]
\[ x = 36 \]
Respuesta: el número es \(36\).
Ejercicio 10
La base de un rectángulo es el doble de su altura. Su perímetro es \(30\) cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Sea \(x\) la altura del rectángulo.
Entonces, la base es \(2x\).
El perímetro es:
\[ 2(\text{base}) + 2(\text{altura}) \]
Planteamos:
\[ 2(2x) + 2x = 30 \]
\[ 4x + 2x = 30 \]
\[ 6x = 30 \]
\[ x = 5 \]
La altura mide \(5\) cm y la base mide:
\[ 2(5) = 10 \]
Respuesta: la altura mide \(5\) cm y la base mide \(10\) cm.
Ejercicio 11
Encuentra dos números cuya suma sea \(40\) y cuya diferencia sea \(14\).
Sea \(x\) el número menor.
Como la diferencia es \(14\), el número mayor es \(x + 14\).
La suma de ambos es \(40\):
\[ x + (x + 14) = 40 \]
\[ 2x + 14 = 40 \]
\[ 2x = 26 \]
\[ x = 13 \]
El número mayor es:
\[ 13 + 14 = 27 \]
Respuesta: los números son \(13\) y \(27\).
Ejercicio 12
Un tren va de A a B, separados por \(300\) km, en \(3\) horas. Otro tren va de B a A en \(2\) horas. Si salen al mismo tiempo, ¿cuándo se encuentran?
Calculamos la velocidad de cada tren.
Tren 1:
\[ \frac{300}{3} = 100\text{ km/h} \]
Tren 2:
\[ \frac{300}{2} = 150\text{ km/h} \]
Sea \(t\) el tiempo, en horas, hasta que se encuentran.
Entre ambos deben recorrer \(300\) km:
\[ 100t + 150t = 300 \]
\[ 250t = 300 \]
\[ t = \frac{300}{250} = 1{,}2 \]
Como \(0{,}2\) horas equivalen a \(12\) minutos, se encuentran en \(1\) hora y \(12\) minutos.
Respuesta: se encuentran después de \(1{,}2\) horas, es decir, \(1\) hora y \(12\) minutos.
Ejercicio 13
Un servicio técnico cobra \(\$8000\) por la visita y \(\$12000\) por cada hora de trabajo. Si la cuenta total fue de \(\$56000\), ¿cuántas horas trabajó?
Sea \(x\) la cantidad de horas trabajadas.
El costo total se compone de un costo fijo más el costo por hora:
\[ 8000 + 12000x = 56000 \]
Restamos \(8000\) a ambos lados:
\[ 12000x = 48000 \]
Dividimos por \(12000\):
\[ x = 4 \]
Respuesta: el servicio técnico trabajó \(4\) horas.
Ejercicio 14
Halla los ángulos de un triángulo si \(B\) mide \(40^\circ\) más que \(C\), y \(A\) mide \(40^\circ\) más que \(B\).
Sea \(x\) la medida del ángulo \(C\).
Entonces:
\[ C = x \]
\[ B = x + 40 \]
Como \(A\) mide \(40^\circ\) más que \(B\):
\[ A = x + 80 \]
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es \(180^\circ\):
\[ x + (x + 40) + (x + 80) = 180 \]
\[ 3x + 120 = 180 \]
\[ 3x = 60 \]
\[ x = 20 \]
Entonces:
\[ C = 20^\circ,\quad B = 60^\circ,\quad A = 100^\circ \]
Respuesta: los ángulos son \(20^\circ\), \(60^\circ\) y \(100^\circ\).
Ejercicio 15
Literales. El largo de un rectángulo es \(l\) y su ancho es \(w\). Si el largo aumenta en \(4\) y el ancho disminuye en \(2\), el área no cambia. Expresa \(l\) en función de \(w\).
El área original del rectángulo es:
\[ lw \]
Después del cambio, el largo es \(l + 4\) y el ancho es \(w - 2\), por lo tanto el área nueva es:
\[ (l + 4)(w - 2) \]
Como el área no cambia:
\[ lw = (l + 4)(w - 2) \]
Aplicamos propiedad distributiva:
\[ lw = lw - 2l + 4w - 8 \]
Restamos \(lw\) a ambos lados:
\[ 0 = -2l + 4w - 8 \]
Despejamos \(l\):
\[ 2l = 4w - 8 \]
\[ l = 2w - 4 \]
Respuesta: \(l = 2w - 4\).
7. diagrama
Ecuaciones: comprender, despejar y resolver
Objetivo de aprendizaje
- Comprender qué es una ecuación, identificar sus partes y aplicar procedimientos para resolver ecuaciones lineales en distintos niveles de complejidad.
Idea clave
Una ecuación es como una balanza: lo que haces en un lado, debes hacerlo en el otro para mantener el equilibrio.
Definición
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más incógnitas.
\[ x + 5 = 8 \]
Diagrama: cómo resolver ecuaciones
Partes de una ecuación
Anatomía
En una ecuación distinguimos:
- Miembros: lados de la igualdad.
- Incógnita: valor desconocido.
- Coeficiente: número que multiplica la incógnita.
- Constantes: números sin incógnita.
Por ejemplo, en \(3x + 2 = 11\), la incógnita es \(x\), el coeficiente es \(3\) y la constante del primer miembro es \(2\).
Propiedades de la igualdad
Reglas fundamentales
Si una igualdad es verdadera, se mantiene si:
- se suma o resta el mismo número en ambos lados;
- se multiplica o divide por el mismo número en ambos lados, siempre que ese número sea distinto de cero.
Operaciones inversas
Para despejar la incógnita usamos operaciones inversas:
- suma \(\leftrightarrow\) resta;
- multiplicación \(\leftrightarrow\) división.
Ecuaciones de la forma \(ax + b = c\)
Procedimiento
- Eliminar la constante usando la operación inversa.
- Eliminar el coeficiente usando la operación inversa.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ 3x - 5 = 10 \]
Sumamos \(5\) a ambos lados:
\[ 3x = 15 \]
Dividimos por \(3\):
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ecuaciones con dos pasos
Estrategia
Se resuelven aplicando primero suma o resta, y luego multiplicación o división, en orden inverso a como las operaciones afectan a la incógnita.
Ecuaciones con incógnita en ambos lados
Procedimiento
- Agrupar incógnitas en un lado.
- Agrupar constantes en el otro lado.
- Simplificar y resolver.
Ejemplo
Resolvamos:
\[ 5x - 6 = 2x + 9 \]
Agrupamos los términos con \(x\) a un lado y las constantes al otro:
\[ 5x - 2x = 9 + 6 \]
\[ 3x = 15 \]
\[ x = 5 \]
Solución: \(x = 5\).
Ecuaciones con paréntesis
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva permite eliminar paréntesis multiplicando el factor externo por cada término interno:
\[ a(b + c) = ab + ac \]
Error común
No olvides distribuir el signo negativo en todos los términos del paréntesis.
Por ejemplo:
\[ -(x + 4) = -x - 4 \]
Ejemplo
Resolvamos:
\[ 2(x + 3) = 10 \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 2x + 6 = 10 \]
Restamos \(6\):
\[ 2x = 4 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x = 2 \]
Solución: \(x = 2\).
Resolución de problemas
Pasos
- Comprender el problema.
- Definir la incógnita.
- Plantear la ecuación.
- Resolver la ecuación.
- Interpretar la solución en contexto.
Interpretación
Resolver una ecuación no es solo calcular. También implica traducir una situación al lenguaje matemático y luego interpretar la solución según el contexto del problema.
Cierre
Dominar ecuaciones significa dominar el equilibrio, el orden y el uso correcto de operaciones inversas. Es una de las herramientas más importantes de toda la matemática escolar.