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Capitulos 5.2 Inecuaciones

Sitio: MATEMÁTICAS × Profe Arauco
Curso: Media 1
Libro: Capitulos 5.2 Inecuaciones
Imprimido por: Invitado
Día: jueves, 23 de julio de 2026, 20:02

Tabla de contenidos

1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con números racionales: introducción

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita.

Si una ecuación expresa una igualdad, como \(x+2=5\), una inecuación expresa una relación de desigualdad, como \(x+2>5\).

A diferencia de muchas ecuaciones, que suelen tener una o pocas soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.

Símbolos de desigualdad y conjunto solución

Conjunto solución

El conjunto de todos los números que hacen verdadera una inecuación se llama conjunto solución.

Símbolo Significado Ejemplo Intervalo solución
\(>\) Mayor que \(x>2\) \((2,\infty)\)
\(<\) Menor que \(x<-1\) \((-\infty,-1)\)
\(\geq\) Mayor o igual que \(x\geq 5\) \([5,\infty)\)
\(\leq\) Menor o igual que \(x\leq 0\) \((-\infty,0]\)

Paréntesis y corchetes

Recuerda estas reglas para escribir intervalos:

  • Paréntesis \(( \ )\): el número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con \(>\) y \(<\).
  • Corchetes \([ \ ]\): el número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con \(\geq\) y \(\leq\).
  • El infinito \(\infty\) siempre se escribe con paréntesis, porque no es un número que se pueda alcanzar o incluir.

Representación gráfica en la recta numérica

Cómo representar el conjunto solución

Una forma visual de entender el conjunto solución es representarlo en la recta numérica.

  • Un extremo abierto indica que el número no se incluye.
  • Un extremo cerrado indica que el número sí se incluye.
  • La parte sombreada representa todos los valores que pertenecen al conjunto solución.

Ejemplo 1: \(x>3\)

La inecuación \(x>3\) representa todos los números mayores que \(3\), sin incluir el \(3\).

En notación de intervalo:

\[ (3,\infty) \]
 

Ejemplo 2: \(x\leq -2\)

La inecuación \(x\leq -2\) representa todos los números menores o iguales que \(-2\).

En notación de intervalo:

\[ (-\infty,-2] \]
 

Ejercicios propuestos

Parte 1: identificando símbolos de desigualdad

Ejercicio 1

¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase “mayor que”?

Ejercicio 2

¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase “menor o igual que”?

Ejercicio 3

Escribe la desigualdad que representa la frase “\(x\) es mayor que \(-5\)”.

Ejercicio 4

Escribe la desigualdad que representa la frase “\(y\) es menor que o igual a \(10\)”.

Ejercicio 5

¿Cuál es la diferencia entre los símbolos \(>\) y \(\geq\)?

Parte 2: representando conjuntos solución

Ejercicio 6

Dibuja o describe en la recta numérica el conjunto solución de \(x<4\).

Ejercicio 7

Dibuja o describe en la recta numérica el conjunto solución de \(x\geq -2\).

Ejercicio 8

Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números mayores que \(-1\).

Ejercicio 9

Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números menores o iguales que \(5\).

Ejercicio 10

Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \([-3,2)\).

Parte 3: escribiendo desigualdades

Ejercicio 11

Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(5\).

Ejercicio 12

Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(-2\).

Ejercicio 13

Escribe la desigualdad que representa todos los números entre \(-4\) y \(3\), incluyendo el \(-4\) pero no el \(3\).

Ejercicio 14

Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que \(0\).

Ejercicio 15

Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que \(8\).

Ejercicio 16

Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(\frac{1}{2}\).

Ejercicio 17

Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(-\frac{3}{4}\).

Ejercicio 18

Escribe la desigualdad que representa todos los números entre \(0{,}5\) y \(2{,}5\), sin incluir los extremos.

Ejercicio 19

Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \(a\).

Ejercicio 20

Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \(b+2\).

2. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo inecuaciones: propiedades y métodos

Propiedades de las desigualdades

Para resolver inecuaciones usamos propiedades similares a las de las ecuaciones, pero con una diferencia importante cuando se multiplica o divide por números negativos.

  • Suma y resta: podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados sin cambiar el sentido de la desigualdad.
  • Multiplicación y división por un número positivo: el sentido de la desigualdad se mantiene.
  • Multiplicación y división por un número negativo: el sentido de la desigualdad se invierte.

La regla de oro al despejar

Si multiplicas o divides ambos lados de una inecuación por un número negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.

  • \(<\) se transforma en \(>\).
  • \(>\) se transforma en \(<\).
  • \(\leq\) se transforma en \(\geq\).
  • \(\geq\) se transforma en \(\leq\).

Este es uno de los errores más comunes al resolver inecuaciones.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: inecuación de un paso

Resuelve:

\[ x+4>9 \]

Restamos \(4\) en ambos lados:

\[ x>9-4 \] \[ x>5 \]

Solución en notación de intervalo:

\[ (5,\infty) \]
 

Ejemplo 2: inecuación con factor positivo

Resuelve:

\[ 3x\leq 12 \]

Dividimos por \(3\). Como \(3\) es positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene:

\[ x\leq \frac{12}{3} \] \[ x\leq 4 \]

Solución en notación de intervalo:

\[ (-\infty,4] \]
 

Ejemplo 3: inecuación con factor negativo

Resuelve:

\[ -2x<8 \]

Dividimos por \(-2\). Como \(-2\) es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:

\[ x>\frac{8}{-2} \] \[ x>-4 \]

Solución en notación de intervalo:

\[ (-4,\infty) \]
 

Ejemplo 4: inecuación de dos pasos

Resuelve:

\[ 2x-5\geq 3 \]

Sumamos \(5\) en ambos lados:

\[ 2x\geq 3+5 \] \[ 2x\geq 8 \]

Dividimos por \(2\). Como es positivo, el sentido se mantiene:

\[ x\geq \frac{8}{2} \] \[ x\geq 4 \]

Solución en notación de intervalo:

\[ [4,\infty) \]

Ejemplo 5: inecuación de dos pasos con cambio de sentido

Resuelve:

\[ -4x+1<9 \]

Restamos \(1\) en ambos lados:

\[ -4x<9-1 \] \[ -4x<8 \]

Dividimos por \(-4\). Como es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:

\[ x>\frac{8}{-4} \] \[ x>-2 \]

Solución en notación de intervalo:

\[ (-2,\infty) \]
 

Ejercicios

Inecuaciones de un paso

Ejercicio 1

Resuelve: \(x+7>10\)

Ejercicio 2

Resuelve: \(x-3\leq 2\)

Ejercicio 3

Resuelve: \(4x<20\)

Ejercicio 4

Resuelve: \(-5x\geq 15\)

Ejercicio 5

Resuelve: \(\frac{x}{2}>-4\)

Ejercicio 6

Resuelve: \(x+\frac{1}{2}<\frac{3}{2}\)

Ejercicio 7

Resuelve: \(2x\geq \frac{2}{3}\)

Ejercicio 8

Resuelve: \(-\frac{1}{3}x\leq 4\)

Ejercicio 9

Resuelve para \(x\): \(x+a>b\)

Ejercicio 10

Resuelve para \(x\): \(cx\leq d\), considerando que \(c<0\).

Inecuaciones de dos pasos

Ejercicio 11

Resuelve: \(2x+3<9\)

Ejercicio 12

Resuelve: \(-3x+4\leq 16\)

Ejercicio 13

Resuelve: \(-2x-6<4\)

Ejercicio 14

Resuelve: \(\frac{1}{2}x+3\leq 5\)

Ejercicio 15

Resuelve: \(-\frac{3}{4}x+2\leq \frac{1}{2}\)

Ejercicio 16

Resuelve para \(x\): \(ax+b0\).

Ejercicio 17

Resuelve para \(x\): \(mx-n\geq p\), considerando que \(m<0\).

3. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis

Inecuaciones avanzadas: incógnita en ambos lados y paréntesis

Subiendo el nivel

Ahora que ya resolvemos inecuaciones básicas, vamos a trabajar con casos que requieren más pasos algebraicos.

En esta sección resolveremos inecuaciones donde la incógnita aparece en ambos lados o donde hay paréntesis que deben eliminarse usando la propiedad distributiva.

La lógica sigue siendo la misma: despejar la incógnita con orden y respetar la regla de invertir el signo cuando se multiplica o divide por un número negativo.

Inecuaciones con la incógnita en ambos lados

Idea principal

Cuando la incógnita aparece en ambos lados de la desigualdad, conviene agrupar todos los términos con \(x\) en un lado y todos los términos numéricos en el otro.

Ejemplo 1

Resuelve:

\[ 5x-3>2x+6 \]

Restamos \(2x\) en ambos lados:

\[ 5x-2x-3>6 \] \[ 3x-3>6 \]

Sumamos \(3\) en ambos lados:

\[ 3x>9 \]

Dividimos por \(3\), que es positivo:

\[ x>3 \]

En notación de intervalo:

\[ (3,\infty) \]
 

Inecuaciones con paréntesis

Idea principal

Si hay paréntesis, primero se eliminan aplicando la propiedad distributiva. Después, la inecuación se resuelve agrupando términos semejantes y despejando la incógnita.

Ejemplo 2

Resuelve:

\[ 2(x+4)\leq 5x-1 \]

Aplicamos la propiedad distributiva:

\[ 2x+8\leq 5x-1 \]

Restamos \(2x\) en ambos lados:

\[ 8\leq 3x-1 \]

Sumamos \(1\) en ambos lados:

\[ 9\leq 3x \]

Dividimos por \(3\), que es positivo:

\[ 3\leq x \]

Es decir:

\[ x\geq 3 \]

En notación de intervalo:

\[ [3,\infty) \]
 

Procedimiento general para resolver inecuaciones lineales

  1. Eliminar paréntesis: aplica la propiedad distributiva cuando corresponda.
  2. Agrupar términos: lleva los términos con incógnita a un lado y los términos constantes al otro.
  3. Reducir términos semejantes: suma o resta los términos en cada lado.
  4. Despejar la incógnita: divide por el coeficiente de la incógnita.
  5. Aplicar la regla de oro: si multiplicas o divides por un número negativo, invierte el sentido de la desigualdad.
  6. Escribir la solución: puede expresarse como desigualdad, intervalo o representación en la recta numérica.

Ejercicios propuestos

Parte 1: incógnita en ambos lados

Ejercicio 1

Resuelve: \(6x-5>4x+3\)

Ejercicio 2

Resuelve: \(-2x+7<4x-5\)

Ejercicio 3

Resuelve: \(-4x-1\leq 2x+11\)

Ejercicio 4

Resuelve: \(\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}\leq x+1\)

Ejercicio 5

Resuelve para \(x\), si \(m

Parte 2: inecuaciones con paréntesis

Ejercicio 6

Resuelve: \(3(x-2)\leq x+4\)

Ejercicio 7

Resuelve: \(-2(x+1)>3x-7\)

Ejercicio 8

Resuelve: \(-3(x+2)<-x-8\)

Ejercicio 9

Resuelve: \(2\left(\frac{1}{2}x-1\right)>x+3\)

Ejercicio 10

Resuelve para \(x\), si \(m<0\): \(m(x-n)\geq p\)

4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones

Resolviendo problemas con inecuaciones

¿Cuándo una respuesta no es un solo número?

Las inecuaciones son útiles para resolver problemas donde la respuesta no es un valor exacto, sino un rango de posibilidades.

Por ejemplo: “¿cuánto es lo máximo que puedo gastar?”, “¿qué nota necesito como mínimo?” o “¿cuántos productos debo vender para tener ganancias de al menos cierto monto?”.

En estos casos no buscamos una igualdad, sino un límite o condición.

El mapa para resolver problemas con inecuaciones

Pasos para resolver problemas de planteo

  1. Leer y comprender: identifica los datos y qué se está preguntando.
  2. Definir la incógnita: asigna una letra a la cantidad desconocida.
  3. Plantear la inecuación: traduce las condiciones del problema al lenguaje algebraico.
  4. Resolver la inecuación: despeja la incógnita, recordando invertir el signo si multiplicas o divides por un número negativo.
  5. Interpretar y responder: adapta la solución al contexto del problema.

Pistas para traducir lenguaje verbal a lenguaje matemático

  • “es mayor que”, “supera a” \(\rightarrow\) \(>\)
  • “es menor que”, “no alcanza a” \(\rightarrow\) \(<\)
  • “al menos”, “como mínimo”, “desde” \(\rightarrow\) \(\geq\)
  • “a lo más”, “como máximo”, “hasta” \(\rightarrow\) \(\leq\)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: problema de edades

La edad de Pedro es mayor que \(10\) años, y sabemos que el doble de su edad, menos \(6\) años, es menor que \(20\). ¿Qué edades podría tener Pedro?

1. Definimos la incógnita:

\[ x=\text{edad de Pedro} \]

2. Planteamos las condiciones:

La edad de Pedro es mayor que \(10\):

\[ x>10 \]

El doble de su edad, menos \(6\), es menor que \(20\):

\[ 2x-6<20 \]

3. Resolvemos la segunda inecuación:

\[ 2x<26 \] \[ x<13 \]

Entonces se deben cumplir ambas condiciones:

\[ 10

4. Interpretamos: como la edad se expresa en años enteros, los valores posibles son \(11\) y \(12\).

Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.

Ejemplo 2: problema de compras

Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan \(\$2\) cada uno. Si tiene \(\$15\), ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?

1. Definimos la incógnita:

\[ x=\text{cantidad de cuadernos} \]

2. Planteamos la inecuación:

El costo total es \(2x\), y no puede superar los \(\$15\):

\[ 2x\leq 15 \]

3. Resolvemos:

\[ x\leq \frac{15}{2} \] \[ x\leq 7{,}5 \]
 

4. Interpretamos: Ana no puede comprar medio cuaderno. El número entero máximo que cumple la condición es \(7\).

Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.

Paso clave: identificando la incógnita

Antes de resolver

Una parte fundamental de los problemas con inecuaciones es reconocer qué representa la incógnita y qué significa cada expresión algebraica dentro del contexto.

Ejercicio 1

Situación: un camión puede cargar como máximo \(1500\text{ kg}\). Se cargan \(10\) cajas de \(40\text{ kg}\) cada una y varias cajas de \(25\text{ kg}\).

Inecuación:

\[ 10\cdot 40+25x\leq 1500 \]

¿Qué representan \(x\) y \(25x\)?

Ejercicio 2

Situación: para aprobar, se necesita un promedio mayor o igual a \(6\). Un estudiante tiene un \(5\) y un \(7\).

Inecuación:

\[ \frac{5+7+x}{3}\geq 6 \]

¿Qué representa \(x\)?

Ejercicio 3

Situación: una empresa vende un producto a \(\$5\), con costo de producción de \(\$3\) por unidad y costos fijos de \(\$2000\). Quiere una ganancia de al menos \(\$1000\).

Inecuación:

\[ 5x-3x-2000\geq 1000 \]

¿Qué representan \(x\) y la expresión \(5x-3x-2000\)?

Ejercicios de resolución de problemas

Ejercicio 4

Un taxi cobra \(\$2\) por la bajada de bandera y \(\$0{,}5\) por kilómetro. Si tienes \(\$10\), ¿cuántos kilómetros como máximo puedes recorrer?

Ejercicio 5

El perímetro de un cuadrado debe ser menor que \(60\text{ cm}\). ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?

Ejercicio 6

Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a \(8{,}5\) en \(4\) exámenes. Si en los tres primeros obtuvo \(7{,}8\), \(9{,}2\) y \(8{,}0\), ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen?

Ejercicio 7

Un vendedor de teléfonos tiene un sueldo base de \(\$500\) y recibe una comisión de \(\$20\) por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos \(\$1200\) este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?

Ejercicio 8

Una compañía de telefonía ofrece dos planes. El plan A cuesta \(\$15\) fijos más \(\$0{,}1\) por minuto. El plan B cuesta \(\$0{,}25\) por minuto sin cargo fijo. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?

Ejercicio 9

Un rectángulo tiene ancho \(x\) cm y largo \(a\) cm más que el ancho. ¿Qué valores puede tomar el ancho si el perímetro debe ser mayor que \(b\) unidades?