1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, que tienen un conjunto solución limitado (o vacío), las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones.

Símbolos de Desigualdad

Los símbolos que se utilizan en las inecuaciones son:

$ > $ : mayor que
$ < $ : menor que
$ \geq $ : mayor o igual que
$ \leq $ : menor o igual que

Conjunto Solución

El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de todos los valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. Se puede expresar usando la notación de intervalos o mediante una representación gráfica en la recta numérica.

Notación de Intervalos

La notación de intervalos utiliza paréntesis "" para indicar que un extremo del intervalo no está incluido, y corchetes "[ ]" para indicar que sí está incluido.

Ejemplo 1: $ x > 2 $ se representa como $ (2, \infty) $, que significa todos los números mayores que 2, sin incluir el 2.
Ejemplo 2: $ x \leq -1 $ se representa como $ (-\infty, -1] $, que significa todos los números menores o iguales que -1, incluyendo el -1.
Ejemplo 3: $ -3 < x \leq 5 $ se representa como $ (-3, 5] $, que significa todos los números mayores que -3 y menores o iguales que 5. El -3 no está incluido, pero el 5 sí.

Representación Gráfica

Podemos representar el conjunto solución de una inecuación en la recta numérica. Se utiliza un círculo vacío (o paréntesis) para indicar que un extremo no está incluido y un círculo relleno (o corchete) para indicar que sí está incluido.

Ejemplos:

$ x > 3 $

Representa todos los números mayores que 3. El 3 no está incluido en la solución.
$ x \leq -2 $

Representa todos los números menores o iguales que -2. El -2 está incluido en la solución.
$ 1 \leq x < 6 $

Representa todos los números mayores o iguales que 1 y menores que 6. El 1 está incluido, pero el 6 no.

Ejercicios

Identificando Símbolos de Desigualdad

¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?

Respuesta: $ > $
¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?

Respuesta: $ \leq $
Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5":

Respuesta: $ x > -5 $
Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10":

Respuesta: $ y \leq 10 $
¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?

Respuesta: ">" significa "mayor que" (excluye el valor), mientras que "≥" significa "mayor o igual que" (incluye el valor).

Representando Conjuntos Solución

Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de $ x < 4 $.

Respuesta:
Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de $ x \geq -2 $.

Respuesta:
Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:

Respuesta: $ (-1, \infty) $
Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:

Respuesta: $ (-\infty, 5] $
Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo $ [-3, 2) $.

Respuesta: $ -3 \leq x < 2 $

Escribiendo Desigualdades (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

(Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.

Respuesta: $ x > 5 $
(Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.

Respuesta: $ x \leq -2 $
(Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.

Respuesta: $ -4 \leq x < 3 $
(Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que 0.

Respuesta: $ x \geq 0 $
(Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que 8.

Respuesta: $ x < 8 $
(Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que $ \frac{1}{2} $.

Respuesta: $ x > \frac{1}{2} $
(Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que $ -\frac{3}{4} $.

Respuesta: $ x \leq -\frac{3}{4} $
(Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre 0.5 y 2.5, sin incluir los extremos.

Respuesta: $ 0.5 < x < 2.5 $
(Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".

Respuesta: $ x > a $
(Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".

Respuesta: $ x \leq b + 2 $

2. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Propiedades de las Desigualdades

Para resolver inecuaciones, utilizamos propiedades similares a las de las ecuaciones, con una diferencia crucial en la multiplicación y división:

Propiedad de adición: Podemos sumar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
Propiedad de sustracción: Podemos restar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
Propiedad de multiplicación:
- Si multiplicamos ambos lados de una inecuación por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Si multiplicamos ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
Propiedad de división:
- Si dividimos ambos lados de una inecuación por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Si dividimos ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Método de "Pasar" Términos

Al igual que con las ecuaciones, podemos utilizar el método de "pasar" términos de un lado a otro de la inecuación, cambiando su operación (suma a resta, resta a suma, multiplicación a división y división a multiplicación). Sin embargo, debemos tener especial cuidado cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, ya que en ese caso debemos invertir el sentido de la desigualdad.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Inecuación de un paso (Suma/Resta)

Resuelve la inecuación: $ x + 4 > 9 $

"Pasamos" el 4 al lado derecho restando:

$ x > 9 - 4 $

$ x > 5 $

Solución: $ x > 5 $ o en notación de intervalos $ (5, \infty) $

Ejemplo 2: Inecuación de un paso (Multiplicación por positivo)

Resuelve la inecuación: $ 3x \leq 12 $

"Pasamos" el 3 al lado derecho dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):

$ x \leq \frac{12}{3} $

$ x \leq 4 $

Solución: $ x \leq 4 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 4] $

Ejemplo 3: Inecuación de un paso (Multiplicación por negativo)

Resuelve la inecuación: $ -2x < 8 $

"Pasamos" el -2 al lado derecho dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

$ x > \frac{8}{-2} $

$ x > -4 $

Solución: $ x > -4 $ o en notación de intervalos $ (-4, \infty) $

Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos

Resuelve la inecuación: $ 2x - 5 \geq 3 $

1. "Pasamos" el -5 al lado derecho sumando:

$ 2x \geq 3 + 5 $

$ 2x \geq 8 $

2. "Pasamos" el 2 dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):

$ x \geq \frac{8}{2} $

$ x \geq 4 $

Solución: $ x \geq 4 $ o en notación de intervalos $ [4, \infty) $

Ejemplo 5: Inecuación de dos pasos (con cambio de sentido)

Resuelve la inecuación: $ -4x + 1 < 9 $

1. "Pasamos" el 1 restando al lado derecho:

$ -4x < 9 - 1 $

$ -4x < 8 $

2. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

$ x > \frac{8}{-4} $

$ x > -2 $

Solución: $ x > -2 $ o en notación de intervalos $ (-2, \infty) $

Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

Inecuaciones de un paso

(Enteros) Resuelve la inecuación: $ x + 7 > 10 $

Respuesta:

$ x + 7 > 10 $

$ x > 10 - 7 $

$ x > 3 $

Solución: $ x > 3 $ o en notación de intervalos $ (3, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ x - 3 \leq 2 $

Respuesta:

$ x - 3 \leq 2 $

$ x \leq 2 + 3 $

$ x \leq 5 $

Solución: $ x \leq 5 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 5] $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 4x < 20 $

Respuesta:

$ 4x < 20 $

$ x < \frac{20}{4} $

$ x < 5 $

Solución: $ x < 5 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 5) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -5x \geq 15 $

Respuesta:

$ -5x \geq 15 $

$ x \leq \frac{15}{-5} $

$ x \leq -3 $

Solución: $ x \leq -3 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, -3] $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ \frac{x}{2} > -4 $

Respuesta:

$ \frac{x}{2} > -4 $

$ x > -4 \cdot 2 $

$ x > -8 $

Solución: $ x > -8 $ o en notación de intervalos $ (-8, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} $

Respuesta:

$ x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} $

$ x < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} $

$ x < \frac{2}{2} $

$ x < 1 $

Solución: $ x < 1 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 1) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ 2x \geq \frac{2}{3} $

Respuesta:

$ 2x \geq \frac{2}{3} $

$ x \geq \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} $

$ x \geq \frac{1}{3} $

Solución: $ x \geq \frac{1}{3} $ o en notación de intervalos $ [\frac{1}{3}, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ -\frac{1}{3}x \leq 4 $

Respuesta:

$ -\frac{1}{3}x \leq 4 $

$ x \geq 4 \cdot (-3) $

$ x \geq -12 $

Solución: $ x \geq -12 $ o en notación de intervalos $ [-12, \infty) $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ x + a > b $

Respuesta:

$ x + a > b $

$ x > b - a $

Solución: $ x > b - a $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ cx \leq d $ (considerar $ c < 0 $)

Respuesta:

$ cx \leq d $

$ x \geq \frac{d}{c} $

Solución: $ x \geq \frac{d}{c} $

Inecuaciones de dos pasos

(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 2x + 3 < 9 $

Respuesta:

$ 2x + 3 < 9 $

$ 2x < 9 - 3 $

$ 2x < 6 $

$ x < \frac{6}{2} $

$ x < 3 $

Solución: $ x < 3 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 3) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 5x - 2 \geq 8 $

Respuesta:

$ 5x - 2 \geq 8 $

$ 5x \geq 8 + 2 $

$ 5x \geq 10 $

$ x \geq \frac{10}{5} $

$ x \geq 2 $

Solución: $ x \geq 2 $ o en notación de intervalos $ [2, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -3x + 4 \leq 16 $

Respuesta:

$ -3x + 4 \leq 16 $

$ -3x \leq 16 - 4 $

$ -3x \leq 12 $

$ x \geq \frac{12}{-3} $

$ x \geq -4 $

Solución: $ x \geq -4 $ o en notación de intervalos $ [-4, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 4x + 7 > -5 $

Respuesta:

$ 4x + 7 > -5 $

$ 4x > -5 - 7 $

$ 4x > -12 $

$ x > \frac{-12}{4} $

$ x > -3 $

Solución: $ x > -3 $ o en notación de intervalos $ (-3, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -2x - 6 < 4$

Respuesta:

-2x - 6 < 4 \)

$ -2x < 4 + 6 $

$ -2x < 10 $

$ x > \frac{10}{-2} $

$ x > -5 $

Solución: $ x > -5 $ o en notación de intervalos $ (-5, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 $

Respuesta:

$ \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 $

$ \frac{1}{2}x \leq 5 - 3 $

$ \frac{1}{2}x \leq 2 $

$ x \leq 2 \cdot 2 $

$ x \leq 4 $

Solución: $ x \leq 4 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 4] $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} $

Respuesta:

$ \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} $

$ \frac{2}{3}x > \frac{1}{3} + 1 $

$ \frac{2}{3}x > \frac{4}{3} $

$ x > \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} $

$ x > 2 $

Solución: $ x > 2 $ o en notación de intervalos $ (2, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} $

Respuesta:

$ -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} $

$ -\frac{3}{4}x \leq \frac{1}{2} - 2 $

$ -\frac{3}{4}x \leq -\frac{3}{2} $

$ x \geq -\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) $

$ x \geq 2 $

Solución: $ x \geq 2 $ o en notación de intervalos $ [2, \infty) $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ ax + b < c $ (considerar $ a > 0 $)

Respuesta:

$ ax + b < c $

$ ax < c - b $

$ x < \frac{c - b}{a} $

Solución: $ x < \frac{c - b}{a} $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ mx - n \geq p $ (considerar $ m < 0 $)

Respuesta:

$ mx - n \geq p $

$ mx \geq p + n $

$ x \leq \frac{p + n}{m} $

Solución: $ x \leq \frac{p + n}{m} $

3. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis

Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis

Resolviendo Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados

Cuando la incógnita aparece en ambos lados de la inecuación, debemos agrupar los términos con la incógnita en un lado y los términos constantes en el otro, utilizando el método de "pasar" términos que ya conocemos. Recuerda que al multiplicar o dividir por un número negativo, debemos invertir el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 1:

Resuelve la inecuación: $ 5x - 3 > 2x + 6 $

1. "Pasamos" el $ 2x $ al lado izquierdo restando:

$ 5x - 2x - 3 > 6 $

$ 3x - 3 > 6 $

2. "Pasamos" el -3 al lado derecho sumando:

$ 3x > 6 + 3 $

$ 3x > 9 $

3. "Pasamos" el 3 dividiendo:

$ x > \frac{9}{3} $

$ x > 3 $

Solución: $ x > 3 $ o en notación de intervalos $ (3, \infty) $

Resolviendo Inecuaciones con Paréntesis

Si la inecuación contiene paréntesis, debemos aplicar la propiedad distributiva para eliminarlos antes de agrupar términos y resolver la inecuación.

Ejemplo 2:

Resuelve la inecuación: $ 2(x + 4) \leq 5x - 1 $

1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado izquierdo:

$ 2x + 8 \leq 5x - 1 $

2. Agrupamos términos con "x" en un lado y constantes en el otro:

$ 2x - 5x \leq -1 - 8 $

$ -3x \leq -9 $

3. "Pasamos" el -3 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

$ x \geq \frac{-9}{-3} $

$ x \geq 3 $

Solución: $ x \geq 3 $ o en notación de intervalos $ [3, \infty) $

Ejemplo 3: Inecuación con paréntesis y cambio de sentido

Resuelve la inecuación: $ -3(x - 2) < x + 10 $

1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado izquierdo:

$ -3x + 6 < x + 10 $

2. Agrupamos términos:

$ -3x - x < 10 - 6 $

$ -4x < 4 $

3. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad:

$ x > \frac{4}{-4} $

$ x > -1 $

Solución: $ x > -1 $ o en notación de intervalos $ (-1, \infty) $

Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados

(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 6x - 5 > 4x + 3 $

Respuesta:

$ 6x - 5 > 4x + 3 $

$ 6x - 4x > 3 + 5 $

$ 2x > 8 $

$ x > \frac{8}{2} $

$ x > 4 $

Solución: $ x > 4 $ o en notación de intervalos $ (4, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 3x + 2 \leq x + 8 $

Respuesta:

$ 3x + 2 \leq x + 8 $

$ 3x - x \leq 8 - 2 $

$ 2x \leq 6 $

$ x \leq \frac{6}{2} $

$ x \leq 3 $

Solución: $ x \leq 3 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 3] $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -2x + 7 < 4x - 5 $

Respuesta:

$ -2x + 7 < 4x - 5 $

$ -2x - 4x < -5 - 7 $

$ -6x < -12 $

$ x > \frac{-12}{-6} $

$ x > 2 $

Solución: $ x > 2 $ o en notación de intervalos $ (2, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ x - 9 \geq -3x + 3 $

Respuesta:

$ x - 9 \geq -3x + 3 $

$ x + 3x \geq 3 + 9 $

$ 4x \geq 12 $

$ x \geq \frac{12}{4} $

$ x \geq 3 $

Solución: $ x \geq 3 $ o en notación de intervalos $ [3, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -4x - 1 \leq 2x + 11 $

Respuesta:

$ -4x - 1 \leq 2x + 11 $

$ -4x - 2x \leq 11 + 1 $

$ -6x \leq 12 $

$ x \geq \frac{12}{-6} $

$ x \geq -2 $

Solución: $ x \geq -2 $ o en notación de intervalos $ [-2, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 $

Respuesta:

$ \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 $

$ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x > 3 - 2 $

$ \frac{1}{4}x > 1 $

$ x > 1 \cdot 4 $

$ x > 4 $

Solución: $ x > 4 $ o en notación de intervalos $ (4, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 $

Respuesta:

$ \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 $

$ \frac{2}{3}x - x \leq 1 + \frac{1}{3} $

$ -\frac{1}{3}x \leq \frac{4}{3} $

$ x \geq \frac{4}{3} \cdot (-3) $

$ x \geq -4 $

Solución: $ x \geq -4 $ o en notación de intervalos $ [-4, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ 1.5x + 0.5 < 0.5x + 2.5 $

Respuesta:

$ 1.5x + 0.5 < 0.5x + 2.5 $

$ 1.5x - 0.5x < 2.5 - 0.5 $

$ x < 2 $

Solución: $ x < 2 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 2) $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ ax + b \geq cx + d $ (considerar $ a > c $)

Respuesta:

$ ax + b \geq cx + d $

$ ax - cx \geq d - b $

$ (a - c)x \geq d - b $

$ x \geq \frac{d - b}{a - c} $

Solución: $ x \geq \frac{d - b}{a - c} $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ mx - n < px + q $ (considerar $ m < p $)

Respuesta:

$ mx - n < px + q $

$ mx - px < q + n $

$ (m - p)x < q + n $

$ x > \frac{q + n}{m - p} $

Solución: $ x > \frac{q + n}{m - p} $

Inecuaciones con Parentesis

(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 2(x + 3) > 8 $

Respuesta:

$ 2(x + 3) > 8 $

$ 2x + 6 > 8 $

$ 2x > 8 - 6 $

$ 2x > 2 $

$ x > \frac{2}{2} $

$ x > 1 $

Solución: $ x > 1 $ o en notación de intervalos $ (1, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 3(x - 2) \leq x + 4 $

Respuesta:

$ 3(x - 2) \leq x + 4 $

$ 3x - 6 \leq x + 4 $

$ 3x - x \leq 4 + 6 $

$ 2x \leq 10 $

$ x \leq \frac{10}{2} $

$ x \leq 5 $

Solución: $ x \leq 5 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 5] $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -2(x + 1) > 3x - 7 $

Respuesta:

$ -2(x + 1) > 3x - 7 $

$ -2x - 2 > 3x - 7 $

$ -2x - 3x > -7 + 2 $

$ -5x > -5 $

$ x < \frac{-5}{-5} $

$ x < 1 $

Solución: $ x < 1 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 1) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ 4(2x -1) \geq 5x + 2 $

Respuesta:

$ 4(2x - 1) \geq 5x + 2 $

$ 8x - 4 \geq 5x + 2 $

$ 8x - 5x \geq 2 + 4 $

$ 3x \geq 6 $

$ x \geq \frac{6}{3} $

$ x \geq 2 $

Solución: $ x \geq 2 $ o en notación de intervalos $ [2, \infty) $
(Enteros) Resuelve la inecuación: $ -3(x + 2) < -x - 8 $

Respuesta:

$ -3(x + 2) < -x - 8 $

$ -3x - 6 < -x - 8 $

$ -3x + x < -8 + 6 $

$ -2x < -2 $

$ x > \frac{-2}{-2} $

$ x > 1 $

Solución: $ x > 1 $ o en notación de intervalos $ (1, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 $

Respuesta:

$ 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 $

$ x - 2 > x + 3 $

$ x - x > 3 + 2 $

$ 0 > 5 $

Solución: No tiene solución, ya que 0 nunca es mayor que 5
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 $

Respuesta:

$ \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 $

$ x + 2 \leq 2x - 1 $

$ x - 2x \leq -1 - 2 $

$ -x \leq -3 $

$ x \geq 3 $

Solución: $ x \geq 3 $ o en notación de intervalos $ [3, \infty) $
(Racionales) Resuelve la inecuación: $ -2(\frac{1}{4}x - 2) > \frac{1}{2}x + 1 $

Respuesta:

$ -2(\frac{1}{4}x - 2) > \frac{1}{2}x + 1 $

$ -\frac{1}{2}x + 4 > \frac{1}{2}x + 1 $

$ -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x > 1 - 4 $

$ -x > -3 $

$ x < 3 $

Solución: $ x < 3 $ o en notación de intervalos $ (-\infty, 3) $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ a(x + b) < c $ (considerar $ a > 0 $)

Respuesta:

$ a(x + b) < c $

$ ax + ab < c $

$ ax < c - ab $

$ x < \frac{c - ab}{a} $

Solución: $ x < \frac{c - ab}{a} $
(Literales) Resuelve la inecuación: $ m(x - n) \geq p $ (considerar $ m < 0 $)

Respuesta:

$ m(x - n) \geq p $

$ mx - mn \geq p $

$ mx \geq p + mn $

$ x \leq \frac{p + mn}{m} $

Solución: $ x \leq \frac{p + mn}{m} $

4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones

Resolviendo Problemas con Inecuaciones

Las inecuaciones son una herramienta muy útil para resolver problemas en los que no buscamos un valor exacto, sino un rango de valores posibles. Los pasos para resolver problemas con inecuaciones son similares a los que seguimos con las ecuaciones.

Pasos para Resolver Problemas con Inecuaciones

Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita en el contexto del problema.
Plantear la inecuación: Traducir el enunciado del problema a una inecuación matemática que relacione la incógnita con los datos conocidos. Prestar atención a las palabras clave que indican desigualdad (mayor que, menor que, al menos, como máximo, etc.).
Resolver la inecuación: Utilizar los métodos aprendidos en las páginas anteriores para despejar la incógnita. Recuerda invertir el sentido de la desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo.
Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema y responder a la pregunta planteada, teniendo en cuenta el conjunto solución de la inecuación.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Problema de Edades

La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?

1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar las posibles edades de Pedro, sabiendo que su edad es mayor que 10 y que el doble de su edad menos 6 es menor que 20.

2. Definir la incógnita:

Sea "x" la edad de Pedro.

3. Plantear la inecuación:

Sabemos que x > 10 (mayor que 10)

El doble de su edad menos 6 se expresa como 2x - 6. Y sabemos que esto es menor que 20. Entonces:

$ 2x - 6 < 20 $

4. Resolver la inecuación:

$ 2x < 20 + 6 $

$ 2x < 26 $

$ x < \frac{26}{2} $

$ x < 13 $

5. Interpretar la solución:

La edad de Pedro ("x") debe ser mayor que 10 (x>10) y menor que 13 (x<13). Por lo tanto, las posibles edades de Pedro son 11 y 12 años.

Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.

Ejemplo 2: Problema de Compras

Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?

1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar la cantidad máxima de cuadernos que Ana puede comprar con $15, sabiendo que cada uno cuesta $2.

2. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de cuadernos que puede comprar Ana.

3. Plantear la inecuación:

El costo total de los cuadernos es 2x. Como Ana tiene $15, el costo debe ser menor o igual a 15. Entonces:

$ 2x \leq 15 $

4. Resolver la inecuación:

$ x \leq \frac{15}{2} $

$ x \leq 7.5 $

5. Interpretar la solución:

Como "x" representa la cantidad de cuadernos, debe ser un número entero. El mayor número entero que es menor o igual a 7.5 es 7.

Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.

Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita en Inecuaciones

En esta sección, te presentaremos una situación, la inecuación que la modela, y te haremos preguntas para que identifiques y comprendas el significado de la incógnita y las expresiones relacionadas.

Ejercicios

Situación: Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se suben al camión 10 cajas que pesan 40 kg cada una y varias cajas que pesan 25 kg cada una.
Inecuación: $ 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 $
Preguntas:
- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "25x"?
- ¿Qué representa la expresión "10 * 40"?
Respuestas:
- "x" representa la cantidad de cajas que pesan 25 kg cada una.
- "25x" representa el peso total de las cajas que pesan 25 kg cada una.
- "10 * 40" representa el peso total de las 10 cajas que pesan 40 kg cada una.
Situación: Para aprobar un examen, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene las siguientes notas en las primeras dos pruebas: 5 y 7.
Inecuación: $ \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 $
Preguntas:
- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "(5 + 7 + x)/3"?
Respuestas:
- "x" representa la nota que debe obtener el estudiante en la tercera prueba.
- "(5 + 7 + x)/3" representa el promedio de las tres notas del estudiante.
Situación: El costo de producir cada unidad de un producto es de $3. La empresa vende cada unidad a $5, pero tiene costos fijos mensuales de $2000. La empresa quiere obtener una ganancia de al menos $1000 al mes.
Inecuación: $ 5x - 3x - 2000 \geq 1000 $
Preguntas:
- ¿Qué representa la letra "x" en este contexto?
- ¿Qué representa la expresión "5x"?
- ¿Qué representa la expresión "3x"?
- ¿Qué representa la expresión "5x-3x-2000"?
Respuestas:
- "x" representa la cantidad de unidades producidas y vendidas en un mes.
- "5x" representa los ingresos totales por la venta de "x" unidades.
- "3x" representa el costo variable total de producción de "x" unidades.
- "5x - 3x - 2000" representa la ganancia total de la empresa en un mes (ingresos menos costos variables y fijos).

Ejercicios de Resolución de Problemas

Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por cada kilómetro recorrido. Si un pasajero tiene $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puede recorrer?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de kilómetros que puede recorrer el pasajero.

2. Plantear la inecuación:

$ 2 + 0.5x \leq 10 $

3. Resolver la inecuación:

$ 0.5x \leq 10 - 2 $

$ 0.5x \leq 8 $

$ x \leq \frac{8}{0.5} $

$ x \leq 16 $

4. Interpretar la solución:

El pasajero puede recorrer como máximo 16 kilómetros.

Respuesta: Como máximo puede recorrer 16 kilómetros.
El perímetro de un cuadrado debe ser menor que 60 cm. ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la longitud del lado del cuadrado.

2. Plantear la inecuación:

$ 4x < 60 $

3. Resolver la inecuación:

$ x < \frac{60}{4} $

$ x < 15 $

4. Interpretar la solución:

La longitud del lado del cuadrado debe ser menor que 15 cm.

Respuesta: El lado del cuadrado puede tomar cualquier valor positivo menor que 15 cm.
Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a 8.5 en sus 4 exámenes. Si en los tres primeros exámenes obtuvo 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen para mantener su beca?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la nota que debe obtener en el cuarto examen.

2. Plantear la inecuación:

$ \frac{7.8 + 9.2 + 8.0 + x}{4} \geq 8.5 $

3. Resolver la inecuación:

$ 25 + x \geq 34 $

$ x \geq 34 - 25 $

$ x \geq 9 $

4. Interpretar la solución:

El estudiante debe obtener una nota mayor o igual a 9 en el cuarto examen.

Respuesta: Debe obtener al menos un 9 en el cuarto examen.
Un vendedor de teléfonos móviles tiene un sueldo base de $500 y recibe una comisión de $20 por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de teléfonos que debe vender.

2. Plantear la inecuación:

$ 500 + 20x \geq 1200 $

3. Resolver la inecuación:

$ 20x \geq 1200 - 500 $

$ 20x \geq 700 $

$ x \geq \frac{700}{20} $

$ x \geq 35 $

4. Interpretar la solución:

El vendedor debe vender al menos 35 teléfonos.

Respuesta: Debe vender al menos 35 teléfonos.
Se sabe que para que una persona sea considerada obesa su IMC debe ser mayor o igual a 30. Si una persona tiene de masa corporal 90 kg, y su estatura es 1.80 m. ¿Sería considerada obesa? ¿Y si midiera 1.70?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

IMC = masa / estatura²

2. Calcular:

IMC= 90/(1.80²) = 27,78

IMC= 90/(1.70²) = 31,14

3. Interpretar la solución:

Con estatura de 1.80m, no sería considerada obesa ya que su IMC es menor a 30.

Con estatura de 1.70m, sería considerada obesa ya que su IMC es mayor a 30.

Respuesta: No sería considerada obesa con estatura de 1.80 m, pero sí con estatura de 1.70 m.
Una compañía celular ofrece dos planes. El plan A tiene un costo fijo de $15 más $0.1 por minuto de llamada. El plan B no tiene costo fijo, pero cobra $0.25 por minuto de llamada. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de minutos hablados.

2. Plantear la inecuación:

Para que el plan B sea más conveniente, su costo debe ser menor que el costo del plan A. Entonces:

Costo Plan B < Costo Plan A

$ 0.25x < 15 + 0.1x $

3. Resolver la inecuación:

$ 0.25x - 0.1x < 15 $

$ 0.15x < 15 $

$ x < \frac{15}{0.15} $

$ x < 100 $

4. Interpretar la solución:

El usuario debe hablar menos de 100 minutos para que el plan B sea más conveniente.

Respuesta: Debe hablar menos de 100 minutos.
Un estudiante necesita fotocopiar un apunte de 80 páginas. La fotocopiadora A cobra $5 por página. La fotocopiadora B cobra $3 por página, pero tiene un costo fijo de $100 por el uso de la máquina. ¿A partir de cuántas páginas fotocopiadas es más conveniente la fotocopiadora B?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de páginas a fotocopiar.

2. Plantear la inecuación:

Para que la fotocopiadora B sea más conveniente, su costo debe ser menor que el costo de la fotocopiadora A. Entonces:

Costo B < Costo A

$ 3x + 100 < 5x $

3. Resolver la inecuación:

$ 100 < 5x - 3x $

$ 100 < 2x $

$ \frac{100}{2} < x $

$ 50 < x $

4. Interpretar la solución:

Se deben fotocopiar más de 50 páginas para que la fotocopiadora B sea más conveniente.

Respuesta: A partir de 51 páginas.
Un producto se vende a $12 la unidad. El costo de producción de cada unidad es de $8 y la empresa tiene costos fijos mensuales de $4000. ¿Cuántas unidades debe vender la empresa para obtener una ganancia de al menos $2000?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" la cantidad de unidades que se deben vender.

2. Plantear la inecuación:

Ganancia = Ingresos - Costos

Ingresos = 12x

Costos = 8x + 4000

Queremos que la ganancia sea al menos $2000, entonces: $ 12x - (8x + 4000) \geq 2000 $

3. Resolver la inecuación:

$ 12x - 8x - 4000 \geq 2000 $

$ 4x \geq 2000 + 4000 $

$ 4x \geq 6000 $

$ x \geq \frac{6000}{4} $

$ x \geq 1500 $

4. Interpretar la solución:

La empresa debe vender al menos 1500 unidades.

Respuesta: Debe vender al menos 1500 unidades.
(Literales) Un rectángulo tiene un largo que es "a" unidades mayor que el ancho. Si el ancho mide "x" y el perímetro es mayor a "b" unidades, ¿qué valores puede tomar el ancho?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "x" el ancho del rectángulo.

Entonces, el largo es "x + a".

2. Plantear la inecuación:

El perímetro es 2 veces el largo más 2 veces el ancho: $ 2(x + a) + 2x > b $

3. Resolver la inecuación:

$ 2x + 2a + 2x > b $

$ 4x + 2a > b $

$ 4x > b - 2a $

$ x > \frac{b - 2a}{4} $

4. Interpretar la solución:

El ancho del rectángulo ("x") debe ser mayor que (b - 2a)/4.

Respuesta: El ancho puede tomar valores mayores que $\frac{b - 2a}{4}$.
(Literales) Un auto viaja a una velocidad constante de "v" km/h. Si debe recorrer una distancia mayor a "d" kilómetros en menos de "t" horas, ¿qué valores puede tomar la velocidad del auto?

Respuesta:

1. Definir la incógnita:

Sea "v" la velocidad del auto en km/h.

2. Plantear la inecuación:

Sabemos que distancia = velocidad * tiempo. Como la distancia es mayor a "d" y el tiempo es menor a "t", tenemos: $ v \cdot t > d $

$ v > \frac{d}{t} $

3. Interpretar la solución:

La velocidad del auto ("v") debe ser mayor que d/t.

Respuesta: La velocidad del auto puede tomar valores mayores que $\frac{d}{t}$ km/h.

Sitio:	PROFEARAUCO.CL
Curso:	Media 1
Libro:	Capitulos 5.2 Inecuaciones

Imprimido por:	Invitado
Día:	miércoles, 2 de julio de 2025, 07:33

Capitulos 5.2 Inecuaciones

Tabla de contenidos

1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

Inecuaciones con Números Racionales: Introducción

¿Qué es una Inecuación?

Símbolos de Desigualdad

Conjunto Solución

Notación de Intervalos

Representación Gráfica

Ejemplos:

Ejercicios

Identificando Símbolos de Desigualdad

Representando Conjuntos Solución

Escribiendo Desigualdades (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

2. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos

Propiedades de las Desigualdades

Método de "Pasar" Términos

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Inecuación de un paso (Suma/Resta)

Ejemplo 2: Inecuación de un paso (Multiplicación por positivo)

Ejemplo 3: Inecuación de un paso (Multiplicación por negativo)

Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos

Ejemplo 5: Inecuación de dos pasos (con cambio de sentido)

Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

Inecuaciones de un paso

Inecuaciones de dos pasos

3. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis

Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis

Resolviendo Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados

Ejemplo 1:

Resolviendo Inecuaciones con Paréntesis

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Inecuación con paréntesis y cambio de sentido

Ejercicios (5 con enteros, 3 con racionales, 2 con literales)

Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados

Inecuaciones con Parentesis

4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones

Resolviendo Problemas con Inecuaciones

Pasos para Resolver Problemas con Inecuaciones

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Problema de Edades

Ejemplo 2: Problema de Compras

Sección: Identificando y Entendiendo la Incógnita en Inecuaciones

Ejercicios

Ejercicios de Resolución de Problemas