Capitulos 5.2 Inecuaciones
| Sitio: | PROFEARAUCO.CL |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulos 5.2 Inecuaciones |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | sábado, 6 de septiembre de 2025, 12:58 |
Tabla de contenidos
- 1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
- 2. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
- 3. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
- 4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
- 5. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
- 6. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
- 7. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
- 8. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
1. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Una inecuación es simplemente una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita. Si una ecuación es una declaración de igualdad (ej: \(x+2=5\)), una inecuación es una declaración de "desbalance" (ej: \(x+2 > 5\)). A diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.
Símbolos de Desigualdad y Conjunto Solución
Para hablar de desigualdades, usamos cuatro símbolos clave. El conjunto de todos los números que hacen que la inecuación sea verdadera se llama conjunto solución.
| Símbolo | Significado | Ejemplo | Intervalo Solución |
|---|---|---|---|
| \( > \) | Mayor que | \( x > 2 \) | \( (2, \infty) \) |
| \( < \) | Menor que | \( x < -1 \) | \( (-\infty, -1) \) |
| \( \geq \) | Mayor o igual que | \( x \geq 5 \) | \( [5, \infty) \) |
| \( \leq \) | Menor o igual que | \( x \leq 0 \) | \( (-\infty, 0] \) |
Recuerda siempre esta regla para los intervalos:
- Paréntesis : El número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( > \) y \( < \).
- Corchete [ ]: El número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( \geq \) y \( \leq \).
- El infinito (\( \infty \)) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda "alcanzar" o incluir.
Representación Gráfica en la Recta Numérica
Una forma muy visual de entender el conjunto solución es dibujándolo en la recta numérica. Usamos un círculo vacío (o un paréntesis) para un extremo no incluido y un círculo relleno (o un corchete) para un extremo incluido.
Ejemplo 1: \( x > 3 \)
Se marca el 3 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la derecha.
Ejemplo 2: \( x \leq -2 \)
Se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Identificando Símbolos de Desigualdad
1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?
\( > \)
2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?
\( \leq \)
3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5".
\( x > -5 \)
4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10".
\( y \leq 10 \)
5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?
">" significa "mayor que" (excluye el valor), mientras que "≥" significa "mayor o igual que" (incluye el valor).
Parte 2: Representando Conjuntos Solución
6. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).
Se dibuja la recta, se marca el 4 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.
7. Dibuja (o describe) en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).
Se dibuja la recta, se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la derecha.
8. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números mayores que -1.
\( (-1, \infty) \)
9. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución que muestra todos los números menores o iguales que 5.
\( (-\infty, 5] \)
10. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).
\( -3 \leq x < 2 \)
Parte 3: Escribiendo Desigualdades
11. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.
\( x > 5 \)
12. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.
\( x \leq -2 \)
13. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.
\( -4 \leq x < 3 \)
14. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores o iguales que 0.
\( x \geq 0 \)
15. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores que 8.
\( x < 8 \)
16. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).
\( x > \frac{1}{2} \)
17. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).
\( x \leq -\frac{3}{4} \)
18. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre 0.5 y 2.5, sin incluir los extremos.
\( 0.5 < x < 2.5 \)
19. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".
\( x > a \)
20. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".
\( x \leq b + 2 \)
2. Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
Una inecuación es simplemente una desigualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita. Si una ecuación es una declaración de igualdad (ej: \(x+2=5\)), una inecuación es una declaración de "desbalance" (ej: \(x+2 > 5\)). A diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones, las inecuaciones generalmente tienen infinitas soluciones.
Símbolos de Desigualdad y Conjunto Solución
Para hablar de desigualdades, usamos cuatro símbolos clave. El conjunto de todos los números que hacen que la inecuación sea verdadera se llama conjunto solución.
| Símbolo | Significado | Ejemplo | Intervalo Solución |
|---|---|---|---|
| \( > \) | Mayor que | \( x > 2 \) | \( (2, \infty) \) |
| \( < \) | Menor que | \( x < -1 \) | \( (-\infty, -1) \) |
| \( \geq \) | Mayor o igual que | \( x \geq 5 \) | \( [5, \infty) \) |
| \( \leq \) | Menor o igual que | \( x \leq 0 \) | \( (-\infty, 0] \) |
Recuerda siempre esta regla para los intervalos:
- Paréntesis : El número del extremo no se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( > \) y \( < \).
- Corchete [ ]: El número del extremo sí se incluye en la solución. Se usa con los símbolos \( \geq \) y \( \leq \).
- El infinito (\( \infty \)) siempre lleva paréntesis, porque no es un número que se pueda "alcanzar" o incluir.
Representación Gráfica en la Recta Numérica
Una forma muy visual de entender el conjunto solución es dibujándolo en la recta numérica. Usamos un círculo vacío (o un paréntesis) para un extremo no incluido y un círculo relleno (o un corchete) para un extremo incluido.
Ejemplo 1: \( x > 3 \)
Se marca el 3 con un círculo vacío y se sombrea toda la recta hacia la derecha.
Ejemplo 2: \( x \leq -2 \)
Se marca el -2 con un círculo relleno y se sombrea toda la recta hacia la izquierda.
Inecuaciones con Números Racionales: Introducción
¿Qué es una Inecuación?
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, que tienen un conjunto solución limitado (o vacío), las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones.
El Conjunto Solución y la Notación de Intervalos
El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de todos los valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. Se puede expresar usando la notación de intervalos o mediante una representación gráfica en la recta numérica.
La notación de intervalos utiliza paréntesis "" para indicar que un extremo del intervalo no está incluido (extremo abierto), y corchetes "[ ]" para indicar que sí está incluido (extremo cerrado).
- Ejemplo 1: \( x > 2 \) se representa como \( (2, \infty) \), que significa todos los números mayores que 2, sin incluir el 2.
- Ejemplo 2: \( x \leq -1 \) se representa como \( (-\infty, -1] \), que significa todos los números menores o iguales que -1, incluyendo el -1.
- Ejemplo 3: \( -3 < x \leq 5 \) se representa como \( (-3, 5] \), que significa todos los números mayores que -3 y menores o iguales que 5. El -3 no está incluido, pero el 5 sí.
Representación Gráfica
Podemos representar el conjunto solución de una inecuación en la recta numérica. Se utiliza un círculo vacío (o paréntesis) para indicar que un extremo no está incluido y un círculo relleno (o corchete) para indicar que sí está incluido.
Ejemplo A: \( x > 3 \)
Representa todos los números mayores que 3. El 3 no está incluido en la solución (círculo vacío).
Ejemplo B: \( x \leq -2 \)
Representa todos los números menores o iguales que -2. El -2 está incluido en la solución (círculo relleno).
Ejemplo C: \( 1 \leq x < 6 \)
Representa todos los números mayores o iguales que 1 y menores que 6. El 1 está incluido (círculo relleno), pero el 6 no (círculo vacío).
Ejercicios
¡Cuidado con los Símbolos!
Un error muy común es confundir "mayor que" (\( > \)) con "mayor o igual que" (\( \geq \)). Recuerda que la rayita del "igual" en \(\geq\) y \(\leq\) es la clave que nos indica si el número en el extremo del intervalo se incluye en la solución. ¡Prestar atención a este detalle es fundamental!
Identificando Símbolos de Desigualdad
1. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "mayor que"?
Respuesta: \( > \)
2. ¿Qué símbolo de desigualdad representa la frase "menor o igual que"?
Respuesta: \( \leq \)
3. Escribe la desigualdad que representa la frase "x es mayor que -5":
Respuesta: \( x > -5 \)
4. Escribe la desigualdad que representa la frase "y es menor que o igual a 10":
Respuesta: \( y \leq 10 \)
5. ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos ">" y "≥"?
Respuesta: ">" significa "mayor que" (excluye el valor), mientras que "≥" significa "mayor o igual que" (incluye el valor).
Representando Conjuntos Solución
6. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x < 4 \).
Respuesta:
7. Dibuja en la recta numérica el conjunto solución de \( x \geq -2 \).
Respuesta:
8. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:
Respuesta: \( (-1, \infty) \)
9. Escribe la notación de intervalo para el conjunto solución representado en la siguiente recta numérica:
Respuesta: \( (-\infty, 5] \)
10. Escribe la desigualdad que corresponde al intervalo \( [-3, 2) \).
Respuesta: \( -3 \leq x < 2 \)
Escribiendo Desigualdades
11. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que 5.
Respuesta: \( x > 5 \)
12. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que -2.
Respuesta: \( x \leq -2 \)
13. (Enteros) Escribe la desigualdad que representa todos los números entre -4 y 3, incluyendo el -4 pero no el 3.
Respuesta: \( -4 \leq x < 3 \)
14. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que \( \frac{1}{2} \).
Respuesta: \( x > \frac{1}{2} \)
15. (Racionales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que \( -\frac{3}{4} \).
Respuesta: \( x \leq -\frac{3}{4} \)
16. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números mayores que "a".
Respuesta: \( x > a \)
17. (Literales) Escribe la desigualdad que representa todos los números menores o iguales que "b + 2".
Respuesta: \( x \leq b + 2 \)
3. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
Resolver una inecuación es muy parecido a resolver una ecuación. El objetivo es el mismo: despejar la incógnita (la 'x') para encontrar los valores que hacen verdadera la desigualdad. Usamos las mismas operaciones (sumar, restar, multiplicar, dividir), pero con una regla especial que lo cambia todo.
La Regla de Oro de las Inecuaciones
Puedes sumar y restar cualquier número a ambos lados de la inecuación y nada cambia.
Puedes multiplicar o dividir por un número positivo a ambos lados y nada cambia.
PERO... si multiplicas o divides ambos lados por un número NEGATIVO, tienes la obligación de INVERTIR el sentido del símbolo de la desigualdad.
- \( > \) se transforma en \( < \)
- \( < \) se transforma en \( > \)
- \( \geq \) se transforma en \( \leq \)
- \( \leq \) se transforma en \( \geq \)
¡Olvidar esto es el error más común!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Inecuación simple
Resuelve: \( x + 4 > 9 \)
\( x > 9 - 4 \)
\( x > 5 \)
Solución: \( (5, \infty) \)
Ejemplo 2: División por un positivo
Resuelve: \( 3x \leq 12 \)
Dividimos por 3 (un número positivo), el signo se mantiene.
\( x \leq \frac{12}{3} \)
\( x \leq 4 \)
Solución: \( (-\infty, 4] \)
Ejemplo 3: División por un negativo (¡Aplicando la Regla de Oro!)
Resuelve: \( -2x < 8 \)
Dividimos por -2 (un número negativo), por lo tanto, invertimos el signo de \( < \) a \( > \).
\( x > \frac{8}{-2} \)
\( x > -4 \)
Solución: \( (-4, \infty) \)
Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos
Resuelve: \( -4x + 1 < 9 \)
1. Pasamos el 1 restando:
\( -4x < 9 - 1 \)
\( -4x < 8 \)
2. Dividimos por -4 e invertimos el signo:
\( x > \frac{8}{-4} \)
\( x > -2 \)
Solución: \( (-2, \infty) \)
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Inecuaciones de un paso
1. Resuelve: \( x - 3 \leq 2 \)
\( x \leq 5 \), o \( (-\infty, 5] \)
2. Resuelve: \( -5x \geq 15 \)
\( x \leq -3 \), o \( (-\infty, -3] \) (se invierte el signo al dividir por -5).
3. Resuelve: \( \frac{x}{2} > -4 \)
\( x > -8 \), o \( (-8, \infty) \)
4. Resuelve: \( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)
\( x \geq -12 \), o \( [-12, \infty) \) (se invierte el signo al multiplicar por -3).
5. Resuelve para x (considerando \( c < 0 \)): \( cx \leq d \)
\( x \geq \frac{d}{c} \) (se invierte el signo porque 'c' es negativo).
Parte 2: Inecuaciones de dos o más pasos
6. Resuelve: \( 2x + 3 < 9 \)
\( 2x < 6 \Rightarrow x < 3 \), o \( (-\infty, 3) \)
7. Resuelve: \( -3x + 4 \leq 16 \)
\( -3x \leq 12 \Rightarrow x \geq -4 \), o \( [-4, \infty) \)
8. Resuelve: \( -2x - 6 < 4 \)
\( -2x < 10 \Rightarrow x > -5 \), o \( (-5, \infty) \)
9. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - 1 > \frac{1}{3} \)
\( \frac{2}{3}x > \frac{4}{3} \Rightarrow x > 2 \), o \( (2, \infty) \)
10. Resuelve para x (considerando \( m < 0 \)): \( mx - n \geq p \)
\( mx \geq p + n \Rightarrow x \leq \frac{p + n}{m} \) (se invierte el signo porque 'm' es negativo).
4. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Las inecuaciones son perfectas para problemas donde la respuesta no es un valor exacto, sino un rango de posibilidades. Por ejemplo: "¿cuánto es lo máximo que puedo gastar?", "¿qué nota necesito como mínimo?", "¿cuántos productos debo vender para al menos tener ganancias?". Aquí no buscamos una igualdad, sino un límite.
El Mapa para Resolver Problemas con Inecuaciones
- Leer y Comprender: Lee el problema con calma, más de una vez si es necesario. Identifica los datos que te dan y, más importante, qué te están preguntando.
- Definir la Incógnita: Asigna una letra (generalmente 'x') a la cantidad desconocida que quieres encontrar. Escribe claramente qué representa cada una (ej: "x = cantidad de conejos").
- Plantear la Inecuación: Traduce las frases del problema al lenguaje algebraico. ¡Presta atención a las palabras clave!
- Resolver la Inecuación: Despeja la incógnita, recordando siempre la "Regla de Oro" si multiplicas o divides por un negativo.
- Interpretar y Responder: Da la respuesta en el contexto del problema. A veces la solución matemática (ej: \(x \leq 7.5\)) debe ajustarse al mundo real (ej: "puede comprar como máximo 7 cuadernos").
- "es mayor que", "supera a" → \( > \)
- "es menor que", "no alcanza a" → \( < \)
- "al menos", "como mínimo", "desde" → \( \geq \)
- "a lo más", "como máximo", "hasta" → \( \leq \)
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Incógnita: x = edad de Pedro.
2. Inecuaciones: \( x > 10 \) y \( 2x - 6 < 20 \)
3. Resolver: \( 2x < 26 \Rightarrow x < 13 \)
4. Interpretar: La edad debe ser mayor que 10 y menor que 13. Como las edades son números enteros, los únicos valores posibles son 11 y 12.
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: Problema de Compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Incógnita: x = cantidad de cuadernos.
2. Inecuación: El costo total (2x) debe ser menor o igual al dinero que tiene (15).
\( 2x \leq 15 \)
3. Resolver: \( x \leq \frac{15}{2} \Rightarrow x \leq 7.5 \)
4. Interpretar: Ana no puede comprar medio cuaderno. El número entero máximo que cumple la condición es 7.
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Paso Clave: Identificando la Incógnita
Practiquemos la habilidad de traducir una situación a una inecuación y entender qué significa cada parte.
1. Situación (Carga): Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se cargan 10 cajas de 40 kg cada una y varias cajas de 25 kg.
Inecuación: \( 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 \)
¿Qué representa 'x' y '25x'?
- x: la cantidad de cajas que pesan 25 kg.
- 25x: el peso total de las cajas de 25 kg.
2. Situación (Notas): Para aprobar, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene un 5 y un 7.
Inecuación: \( \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 \)
¿Qué representa 'x'?
- x: la nota que necesita en la tercera prueba.
3. Situación (Ganancias): Una empresa vende un producto a $5, con costo de producción de $3 y costos fijos de $2000. Quieren una ganancia de al menos $1000.
Inecuación: \( 5x - 3x - 2000 \geq 1000 \)
¿Qué representa 'x' y la expresión '5x - 3x - 2000'?
- x: la cantidad de unidades vendidas.
- 5x - 3x - 2000: la ganancia total (ingresos - costos variables - costos fijos).
Ejercicios de Resolución de Problemas
1. Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por km. Si tienes $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puedes recorrer?
Respuesta: Como máximo 16 kilómetros.
Planteo: \( 2 + 0.5x \leq 10 \). Al resolver, \( x \leq 16 \).
2. El perímetro de un cuadrado debe ser menor que 60 cm. ¿Qué valores puede tomar la longitud del lado del cuadrado?
Respuesta: El lado debe ser un valor positivo menor que 15 cm.
Planteo: \( 4x < 60 \). Al resolver, \( x < 15 \). Como el lado no puede ser cero o negativo, la solución es \( 0 < x < 15 \).
3. Para mantener su beca, un estudiante debe tener un promedio mayor o igual a 8.5 en 4 exámenes. Si en los tres primeros obtuvo 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota debe obtener como mínimo en el cuarto examen?
Respuesta: Debe obtener al menos un 9.0 en el cuarto examen.
Planteo: \( \frac{7.8 + 9.2 + 8.0 + x}{4} \geq 8.5 \). Al resolver, \( x \geq 9 \).
4. Un vendedor de teléfonos tiene un sueldo base de $500 y recibe una comisión de $20 por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
Respuesta: Debe vender al menos 35 teléfonos.
Planteo: \( 500 + 20x \geq 1200 \). Al resolver, \( x \geq 35 \).
5. Una compañía de telefonía ofrece dos planes. El plan A cuesta $15 fijos más $0.1 por minuto. El plan B cuesta $0.25 por minuto sin cargo fijo. ¿Cuántos minutos debe hablar un usuario para que el plan B sea más conveniente que el plan A?
Respuesta: Debe hablar menos de 100 minutos.
Planteo: Costo B < Costo A \( \Rightarrow 0.25x < 15 + 0.1x \). Al resolver, \( x < 100 \).
6. (Literales) Un rectángulo tiene un perímetro de "p" cm. Si el largo es "a" cm más que el ancho ("x"), ¿qué valores puede tomar el ancho si el perímetro es mayor a "b" unidades?
Respuesta: El ancho debe ser mayor que \( \frac{b - 2a}{4} \).
Planteo: Largo = x + a. Perímetro = 2x + 2(x+a). La inecuación es \( 4x + 2a > b \). Al resolver, \( x > \frac{b - 2a}{4} \).
5. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Ahora que dominamos las inecuaciones básicas, vamos a juntar todas las piezas. En esta sección, resolveremos inecuaciones que requieren más pasos algebraicos, como cuando la incógnita aparece en ambos lados o cuando hay paréntesis que eliminar. La lógica es la misma, ¡solo hay que ser más ordenados!
Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
El primer paso es siempre agrupar todos los términos con 'x' en un lado de la desigualdad y todos los términos numéricos (constantes) en el otro. Para esto, usamos las operaciones inversas que ya conocemos.
Ejemplo 1: Resuelve \( 5x - 3 > 2x + 6 \)
1. Agrupamos las 'x' a la izquierda y los números a la derecha:
\( 5x - 2x > 6 + 3 \)
2. Reducimos términos semejantes:
\( 3x > 9 \)
3. Despejamos 'x':
\( x > \frac{9}{3} \Rightarrow x > 3 \)
Solución: \( (3, \infty) \)
Inecuaciones con Paréntesis
Si hay paréntesis, la primera tarea es eliminarlos aplicando la propiedad distributiva. Una vez eliminados, la inecuación se resuelve como en el caso anterior.
Ejemplo 2: Resuelve \( 2(x + 4) \leq 5x - 1 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2x + 8 \leq 5x - 1 \)
2. Agrupamos términos:
\( 8 + 1 \leq 5x - 2x \)
3. Reducimos y despejamos:
\( 9 \leq 3x \Rightarrow 3 \leq x \)
Solución: \( [3, \infty) \)
- Eliminar paréntesis: Aplica la propiedad distributiva.
- Agrupar términos: Mueve todos los términos con la incógnita a un lado de la desigualdad y los términos constantes al otro.
- Reducir términos semejantes: Suma o resta los términos en cada lado.
- Despejar la incógnita: Divide por el coeficiente de la incógnita, recordando la Regla de Oro: si el número que pasa dividiendo (o multiplicando) es negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.
Ejercicios Propuestos
Parte 1: Incógnita en Ambos Lados
1. Resuelve: \( 6x - 5 > 4x + 3 \)
\( 2x > 8 \Rightarrow x > 4 \). Solución: \( (4, \infty) \)
2. Resuelve: \( -2x + 7 < 4x - 5 \)
\( 12 < 6x \Rightarrow 2 < x \). Solución: \( (2, \infty) \)
3. Resuelve: \( -4x - 1 \leq 2x + 11 \)
\( -12 \leq 6x \Rightarrow -2 \leq x \). Solución: \( [-2, \infty) \)
4. Resuelve: \( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
\( -\frac{4}{3} \leq \frac{1}{3}x \Rightarrow -4 \leq x \). Solución: \( [-4, \infty) \)
5. Resuelve para x (si \( m < p \)): \( mx - n < px + q \)
\( x(m-p) < q+n \). Como \(m-p\) es negativo, se invierte el signo: \( x > \frac{q+n}{m-p} \).
Parte 2: Inecuaciones con Paréntesis
6. Resuelve: \( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
\( 3x-6 \leq x+4 \Rightarrow 2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5 \). Solución: \( (-\infty, 5] \)
7. Resuelve: \( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
\( -2x-2 > 3x-7 \Rightarrow 5 > 5x \Rightarrow 1 > x \). Solución: \( (-\infty, 1) \)
8. Resuelve: \( -3(x + 2) < -x - 8 \)
\( -3x-6 < -x-8 \Rightarrow 2 < 2x \Rightarrow 1 < x \). Solución: \( (1, \infty) \)
9. Resuelve: \( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
\( x-2 > x+3 \Rightarrow -2 > 3 \). Esto es Falso. Solución: No tiene solución (Conjunto Vacío \(\emptyset\)).
10. Resuelve para x (si \( m < 0 \)): \( m(x - n) \geq p \)
\( mx-mn \geq p \Rightarrow mx \geq p+mn \). Como 'm' es negativo, se invierte el signo: \( x \leq \frac{p+mn}{m} \).
6. Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
Resolviendo Inecuaciones: Propiedades y Métodos
Propiedades de las Desigualdades
Para resolver inecuaciones, utilizamos propiedades similares a las de las ecuaciones, pero con una diferencia crucial en la multiplicación y división:
- Suma y Resta: Podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados de una inecuación sin alterar el sentido de la desigualdad.
- Multiplicación y División por un número POSITIVO: Si multiplicamos o dividimos ambos lados por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene.
- Multiplicación y División por un número NEGATIVO: Si multiplicamos o dividimos ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte (por ejemplo, de \( < \) a \( > \)).
¡La Regla de Oro al Despejar!
Al igual que con las ecuaciones, podemos "pasar" términos de un lado a otro cambiando su operación. Sin embargo, ¡mucho cuidado! Si pasas un número negativo que está multiplicando o dividiendo al otro lado, DEBES invertir el sentido de la desigualdad. Este es el error más común, ¡no caigas en la trampa!
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Inecuación de un paso (Suma)
Resuelve la inecuación: \( x + 4 > 9 \)
"Pasamos" el 4 al lado derecho restando:
\( x > 9 - 4 \)
\( x > 5 \)
Solución: \( x > 5 \) o en notación de intervalos \( (5, \infty) \)
Ejemplo 2: Inecuación con factor positivo
Resuelve la inecuación: \( 3x \leq 12 \)
"Pasamos" el 3 al lado derecho dividiendo. Como es positivo, el sentido no cambia:
\( x \leq \frac{12}{3} \)
\( x \leq 4 \)
Solución: \( x \leq 4 \) o en notación de intervalos \( (-\infty, 4] \)
Ejemplo 3: Inecuación con factor negativo (¡Ojo aquí!)
Resuelve la inecuación: \( -2x < 8 \)
"Pasamos" el -2 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad de \( < \) a \( > \):
\( x > \frac{8}{-2} \)
\( x > -4 \)
Solución: \( x > -4 \) o en notación de intervalos \( (-4, \infty) \)
Ejemplo 4: Inecuación de dos pasos
Resuelve la inecuación: \( 2x - 5 \geq 3 \)
1. "Pasamos" el -5 al lado derecho sumando:
\( 2x \geq 3 + 5 \)
\( 2x \geq 8 \)
2. "Pasamos" el 2 dividiendo (como es positivo, no se cambia el sentido):
\( x \geq \frac{8}{2} \)
\( x \geq 4 \)
Solución: \( x \geq 4 \) o en notación de intervalos \( [4, \infty) \)
Ejemplo 5: Inecuación de dos pasos (con cambio de sentido)
Resuelve la inecuación: \( -4x + 1 < 9 \)
1. "Pasamos" el 1 restando al lado derecho:
\( -4x < 9 - 1 \)
\( -4x < 8 \)
2. "Pasamos" el -4 dividiendo. Como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad de \( < \) a \( > \):
\( x > \frac{8}{-4} \)
\( x > -2 \)
Solución: \( x > -2 \) o en notación de intervalos \( (-2, \infty) \)
Ejercicios
Inecuaciones de un paso
1. (Enteros) Resuelve: \( x + 7 > 10 \)
\( x > 10 - 7 \)
\( x > 3 \)
Solución: \( (3, \infty) \)
2. (Enteros) Resuelve: \( x - 3 \leq 2 \)
\( x \leq 2 + 3 \)
\( x \leq 5 \)
Solución: \( (-\infty, 5] \)
3. (Enteros) Resuelve: \( 4x < 20 \)
\( x < \frac{20}{4} \)
\( x < 5 \)
Solución: \( (-\infty, 5) \)
4. (Enteros) Resuelve: \( -5x \geq 15 \)
\( x \leq \frac{15}{-5} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \leq -3 \)
Solución: \( (-\infty, -3] \)
5. (Enteros) Resuelve: \( \frac{x}{2} > -4 \)
\( x > -4 \cdot 2 \)
\( x > -8 \)
Solución: \( (-8, \infty) \)
6. (Racionales) Resuelve: \( x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \)
\( x < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \)
\( x < \frac{2}{2} \)
\( x < 1 \)
Solución: \( (-\infty, 1) \)
7. (Racionales) Resuelve: \( 2x \geq \frac{2}{3} \)
\( x \geq \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \)
\( x \geq \frac{1}{3} \)
Solución: \( [\frac{1}{3}, \infty) \)
8. (Racionales) Resuelve: \( -\frac{1}{3}x \leq 4 \)
\( x \geq 4 \cdot (-3) \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \geq -12 \)
Solución: \( [-12, \infty) \)
9. (Literales) Resuelve para x: \( x + a > b \)
\( x > b - a \)
10. (Literales) Resuelve para x: \( cx \leq d \) (considerando que \( c < 0 \))
\( x \geq \frac{d}{c} \) (Se invierte el signo porque c es negativo)
Inecuaciones de dos pasos
11. (Enteros) Resuelve: \( 2x + 3 < 9 \)
\( 2x < 9 - 3 \)
\( 2x < 6 \)
\( x < 3 \)
Solución: \( (-\infty, 3) \)
12. (Enteros) Resuelve: \( -3x + 4 \leq 16 \)
\( -3x \leq 16 - 4 \)
\( -3x \leq 12 \)
\( x \geq \frac{12}{-3} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \geq -4 \)
Solución: \( [-4, \infty) \)
13. (Enteros) Resuelve: \( -2x - 6 < 4 \)
\( -2x < 4 + 6 \)
\( -2x < 10 \)
\( x > \frac{10}{-2} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x > -5 \)
Solución: \( (-5, \infty) \)
14. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 3 \leq 5 \)
\( \frac{1}{2}x \leq 5 - 3 \)
\( \frac{1}{2}x \leq 2 \)
\( x \leq 4 \)
Solución: \( (-\infty, 4] \)
15. (Racionales) Resuelve: \( -\frac{3}{4}x + 2 \leq \frac{1}{2} \)
\( -\frac{3}{4}x \leq \frac{1}{2} - 2 \)
\( -\frac{3}{4}x \leq -\frac{3}{2} \)
\( x \geq -\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \geq 2 \)
Solución: \( [2, \infty) \)
16. (Literales) Resuelve para x: \( ax + b < c \) (considerando que \( a > 0 \))
\( ax < c - b \)
\( x < \frac{c - b}{a} \)
17. (Literales) Resuelve para x: \( mx - n \geq p \) (considerando que \( m < 0 \))
\( mx \geq p + n \)
\( x \leq \frac{p + n}{m} \) (Se invierte el signo porque m es negativo)
7. Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Inecuaciones Avanzadas: Incógnita en Ambos Lados y Paréntesis
Estrategia Clave: Agrupar y Simplificar
Cuando la incógnita aparece en ambos lados, el primer paso es siempre agrupar. La recomendación es mover todos los términos con la incógnita (la 'x') a un lado de la desigualdad y todos los términos constantes (los números solos) al otro lado. Esto ordenará la inecuación y te dejará el camino libre para el despeje final.
Resolviendo Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
Ejemplo 1: Agrupando términos
Resuelve la inecuación: \( 5x - 3 > 2x + 6 \)
1. Agrupamos los términos con 'x' a la izquierda y las constantes a la derecha:
\( 5x - 2x > 6 + 3 \)
2. Simplificamos ambos lados:
\( 3x > 9 \)
3. Despejamos 'x'. Como el 3 es positivo, el signo no cambia:
\( x > \frac{9}{3} \)
\( x > 3 \)
Solución: \( x > 3 \) o en notación de intervalos \( (3, \infty) \)
Procedimiento: Inecuaciones con Paréntesis
- Eliminar Paréntesis: Aplica la propiedad distributiva para expandir las expresiones.
- Agrupar Términos: Mueve todos los términos con la incógnita a un lado y las constantes al otro.
- Simplificar: Reduce las expresiones en ambos lados.
- Despejar: Aísla la incógnita. ¡Recuerda invertir el signo de la desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo!
Resolviendo Inecuaciones con Paréntesis
Ejemplo 2: Propiedad distributiva
Resuelve la inecuación: \( 2(x + 4) \leq 5x - 1 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 2x + 8 \leq 5x - 1 \)
2. Agrupamos términos:
\( 2x - 5x \leq -1 - 8 \)
\( -3x \leq -9 \)
3. Despejamos 'x'. Como dividimos por -3 (negativo), invertimos el signo de \( \leq \) a \( \geq \):
\( x \geq \frac{-9}{-3} \)
\( x \geq 3 \)
Solución: \( x \geq 3 \) o en notación de intervalos \( [3, \infty) \)
Ejemplo 3: Un caso especial (sin solución)
Resuelve la inecuación: \( 2(3x - 1) < 6x - 5 \)
1. Aplicamos la propiedad distributiva:
\( 6x - 2 < 6x - 5 \)
2. Agrupamos los términos con 'x':
\( 6x - 6x < -5 + 2 \)
\( 0x < -3 \)
\( 0 < -3 \)
Llegamos a una afirmación que es falsa (0 no es menor que -3). Esto significa que no existe ningún valor de 'x' que haga verdadera la inecuación.
Solución: No tiene solución, o conjunto solución vacío \( \emptyset \).
Ejercicios
Inecuaciones con la Incógnita en Ambos Lados
1. (Enteros) Resuelve: \( 6x - 5 > 4x + 3 \)
\( 6x - 4x > 3 + 5 \)
\( 2x > 8 \)
\( x > 4 \)
Solución: \( (4, \infty) \)
2. (Enteros) Resuelve: \( 3x + 2 \leq x + 8 \)
\( 3x - x \leq 8 - 2 \)
\( 2x \leq 6 \)
\( x \leq 3 \)
Solución: \( (-\infty, 3] \)
3. (Enteros) Resuelve: \( -2x + 7 < 4x - 5 \)
\( -2x - 4x < -5 - 7 \)
\( -6x < -12 \)
\( x > \frac{-12}{-6} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x > 2 \)
Solución: \( (2, \infty) \)
4. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{2}x + 2 > \frac{1}{4}x + 3 \)
\( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x > 3 - 2 \)
\( \frac{1}{4}x > 1 \)
\( x > 4 \)
Solución: \( (4, \infty) \)
5. (Racionales) Resuelve: \( \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \leq x + 1 \)
\( \frac{2}{3}x - x \leq 1 + \frac{1}{3} \)
\( -\frac{1}{3}x \leq \frac{4}{3} \)
\( x \geq \frac{4}{3} \cdot (-3) \) (¡Se invierte el signo!)
\( x \geq -4 \)
Solución: \( [-4, \infty) \)
6. (Literales) Resuelve para x: \( ax + b \geq cx + d \) (considera \( a > c \))
\( ax - cx \geq d - b \)
\( (a - c)x \geq d - b \)
Como \(a > c\), entonces \((a-c)\) es positivo. El signo no cambia.
\( x \geq \frac{d - b}{a - c} \)
7. (Literales) Resuelve para x: \( mx - n < px + q \) (considera \( m < p \))
\( mx - px < q + n \)
\( (m - p)x < q + n \)
Como \(m < p\), entonces \((m-p)\) es negativo. ¡El signo se invierte!
\( x > \frac{q + n}{m - p} \)
Inecuaciones con Paréntesis
8. (Enteros) Resuelve: \( 3(x - 2) \leq x + 4 \)
\( 3x - 6 \leq x + 4 \)
\( 3x - x \leq 4 + 6 \)
\( 2x \leq 10 \)
\( x \leq 5 \)
Solución: \( (-\infty, 5] \)
9. (Enteros) Resuelve: \( -2(x + 1) > 3x - 7 \)
\( -2x - 2 > 3x - 7 \)
\( -2x - 3x > -7 + 2 \)
\( -5x > -5 \)
\( x < \frac{-5}{-5} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x < 1 \)
Solución: \( (-\infty, 1) \)
10. (Enteros) Resuelve: \( -3(x + 2) < -x - 8 \)
\( -3x - 6 < -x - 8 \)
\( -3x + x < -8 + 6 \)
\( -2x < -2 \)
\( x > \frac{-2}{-2} \) (¡Se invierte el signo!)
\( x > 1 \)
Solución: \( (1, \infty) \)
11. (Racionales) Resuelve: \( 2(\frac{1}{2}x - 1) > x + 3 \)
\( x - 2 > x + 3 \)
\( x - x > 3 + 2 \)
\( 0 > 5 \)
La afirmación "0 es mayor que 5" es falsa.
Solución: No tiene solución (Conjunto vacío \( \emptyset \))
12. (Racionales) Resuelve: \( \frac{1}{3}(3x + 6) \leq 2x - 1 \)
\( x + 2 \leq 2x - 1 \)
\( x - 2x \leq -1 - 2 \)
\( -x \leq -3 \)
\( x \geq 3 \) (¡Se invierte el signo!)
Solución: \( [3, \infty) \)
13. (Literales) Resuelve para x: \( a(x + b) < c \) (considera \( a > 0 \))
\( ax + ab < c \)
\( ax < c - ab \)
\( x < \frac{c - ab}{a} \)
14. (Literales) Resuelve para x: \( m(x - n) \geq p \) (considera \( m < 0 \))
\( mx - mn \geq p \)
\( mx \geq p + mn \)
\( x \leq \frac{p + mn}{m} \) (¡Se invierte el signo!)
8. Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Resolviendo Problemas con Inecuaciones
Las inecuaciones son una herramienta muy útil para resolver problemas en los que no buscamos un valor exacto, sino un rango de valores posibles. Los pasos para resolver problemas con inecuaciones son similares a los que seguimos con las ecuaciones.
Pasos para Resolver Problemas con Inecuaciones
- Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado, identificar la información relevante y lo que se pide encontrar.
- Definir la incógnita: Elegir una letra (generalmente "x") para representar la cantidad desconocida. Es fundamental escribir claramente qué representa la incógnita en el contexto del problema.
- Plantear la inecuación: Traducir el enunciado a una inecuación matemática, prestando atención a palabras clave como "mayor que", "menor que", "al menos" o "como máximo".
- Resolver la inecuación: Utilizar los métodos aprendidos para despejar la incógnita.
- Interpretar la solución: Verificar si la solución tiene sentido en el contexto del problema (p. ej., una cantidad de objetos no puede ser una fracción) y responder a la pregunta planteada.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Problema de Edades
La edad de Pedro es mayor que 10 años, y sabemos que el doble de su edad, menos 6 años, es menor que 20. ¿Qué edades podría tener Pedro?
1. Definir la incógnita: Sea "x" la edad de Pedro.
2. Plantear la inecuación: Tenemos dos condiciones: \(x > 10\) y \(2x - 6 < 20\).
3. Resolver la inecuación principal:
\( 2x < 20 + 6 \)
\( 2x < 26 \)
\( x < 13 \)
4. Interpretar la solución: La edad de Pedro ("x") debe cumplir ambas condiciones: ser mayor que 10 y menor que 13. Los únicos números enteros que cumplen esto son 11 y 12.
Respuesta: Pedro podría tener 11 o 12 años.
Ejemplo 2: Problema de Compras
Ana quiere comprar varios cuadernos que cuestan $2 cada uno. Si tiene $15, ¿cuántos cuadernos como máximo puede comprar?
1. Definir la incógnita: Sea "x" la cantidad de cuadernos.
2. Plantear la inecuación: El costo total (2x) debe ser menor o igual al dinero que tiene: \(2x \leq 15\).
3. Resolver la inecuación:
\( x \leq \frac{15}{2} \)
\( x \leq 7.5 \)
4. Interpretar la solución: Como "x" representa cuadernos, debe ser un número entero. El mayor entero que es menor o igual a 7.5 es 7.
Respuesta: Ana puede comprar como máximo 7 cuadernos.
Ejercicios
Sección: Identificando la Incógnita
En los siguientes ejercicios, te ayudamos a traducir el lenguaje común al lenguaje matemático.
1. Situación: Un camión puede cargar como máximo 1500 kg. Se suben 10 cajas de 40 kg cada una y varias cajas de 25 kg cada una.
Inecuación: \( 10 \cdot 40 + 25x \leq 1500 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Y la expresión "25x"?
- "x" representa la cantidad de cajas que pesan 25 kg.
- "25x" representa el peso total de esas cajas de 25 kg.
2. Situación: Para aprobar un ramo, se necesita un promedio mayor o igual a 6. Un estudiante tiene un 5 y un 7.
Inecuación: \( \frac{5 + 7 + x}{3} \geq 6 \)
Preguntas: ¿Qué representa "x"? ¿Qué representa toda la fracción?
- "x" representa la nota que necesita en la tercera prueba.
- La fracción representa el promedio de las tres notas.
Sección: Resolución de Problemas
Matemáticas en la Vida Real
Los siguientes problemas muestran cómo las inecuaciones se aplican en situaciones cotidianas, desde calcular un presupuesto para un viaje en taxi hasta comparar planes de telefonía o entender indicadores de salud como el Índice de Masa Corporal (IMC). ¡Presta atención a cómo traducimos cada escenario a un modelo matemático!
3. Problema: Un taxi cobra $2 por la bajada de bandera y $0.5 por cada kilómetro. Si un pasajero tiene $10, ¿cuántos kilómetros como máximo puede recorrer?
Planteamiento: Sea "x" los km. El costo total debe ser menor o igual a 10: \( 2 + 0.5x \leq 10 \)
Resolución:
\( 0.5x \leq 8 \)
\( x \leq 16 \)
Respuesta: Puede recorrer como máximo 16 kilómetros.
4. Problema: Para mantener su beca, un estudiante necesita un promedio mayor o igual a 8.5 en 4 exámenes. Si ya tiene las notas 7.8, 9.2 y 8.0, ¿qué nota necesita como mínimo en el cuarto examen?
Planteamiento: Sea "x" la cuarta nota. El promedio debe ser mayor o igual a 8.5: \( \frac{7.8 + 9.2 + 8.0 + x}{4} \geq 8.5 \)
Resolución:
\( \frac{25 + x}{4} \geq 8.5 \)
\( 25 + x \geq 34 \)
\( x \geq 9 \)
Respuesta: Debe obtener al menos un 9 en el cuarto examen.
5. Problema: Un vendedor tiene un sueldo base de $500 y recibe $20 de comisión por cada teléfono vendido. Si quiere ganar al menos $1200 este mes, ¿cuántos teléfonos debe vender?
Planteamiento: Sea "x" el número de teléfonos. Su ganancia total debe ser mayor o igual a 1200: \( 500 + 20x \geq 1200 \)
Resolución:
\( 20x \geq 700 \)
\( x \geq 35 \)
Respuesta: Debe vender al menos 35 teléfonos.
6. Problema: Se considera que una persona tiene obesidad si su IMC es mayor o igual a 30. La fórmula es \(IMC = \frac{masa}{estatura^2}\). Si una persona pesa 90 kg, ¿a partir de qué estatura (hacia abajo) se consideraría obesa?
Planteamiento: Sea "h" la estatura. Buscamos cuándo el IMC es mayor o igual a 30: \( \frac{90}{h^2} \geq 30 \)
Resolución:
\( 90 \geq 30h^2 \)
\( 3 \geq h^2 \)
\( \sqrt{3} \geq h \)
\( 1.732 \geq h \)
Respuesta: Se consideraría obesa si su estatura es menor o igual a 1.73 metros, aproximadamente.
7. Problema: El Plan A de celular cuesta $15 fijos más $0.1 por minuto. El Plan B cuesta $0.25 por minuto. ¿Para cuántos minutos de llamada es más conveniente el Plan A?
Planteamiento: Sea "x" los minutos. El costo de A debe ser menor que el de B: \( 15 + 0.1x < 0.25x \)
Resolución:
\( 15 < 0.25x - 0.1x \)
\( 15 < 0.15x \)
\( 100 < x \)
Respuesta: El Plan A es más conveniente si habla más de 100 minutos.
8. Problema (Literal): Un rectángulo tiene un largo que es "a" unidades mayor que su ancho "x". Si el perímetro debe ser mayor que "b", ¿qué valores puede tomar el ancho?
Datos: Ancho = x, Largo = x + a
Planteamiento: El perímetro es \(2 \cdot (largo) + 2 \cdot (ancho)\). La inecuación es: \( 2(x+a) + 2x > b \)
Resolución:
\( 2x + 2a + 2x > b \)
\( 4x + 2a > b \)
\( 4x > b - 2a \)
\( x > \frac{b - 2a}{4} \)
Respuesta: El ancho "x" debe ser mayor que \( \frac{b - 2a}{4} \).