1. Introducción al Concepto de Función

Introducción al Concepto de Función

Definición de Función, Dominio y Rango

Una función es una relación especial entre dos conjuntos, que llamaremos dominio y rango, donde a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del rango.

Aquí va una imagen que ilustre el concepto de función. Podría ser un diagrama de máquina que transforma elementos del dominio en elementos del rango, o una representación de conjuntos con flechas que muestre la correspondencia única.

Formalmente, si $A$ es el dominio y $B$ es el rango, una función $f$ de $A$ en $B$ se denota como:

\[ f: A \rightarrow B \]

Esto se lee "f es una función de A en B".

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (generalmente representados por la variable $x$).
Rango: Es el conjunto de todos los posibles valores de salida (generalmente representados por la variable $y$), que resultan de aplicar la función a los elementos del dominio.

Notación de Funciones

Las funciones generalmente se denotan con letras minúsculas, como $f$, $g$, $h$, etc. Para indicar que un elemento $x$ del dominio se relaciona con un elemento $y$ del rango mediante la función $f$, escribimos:

\[ y = f(x) \]

Esto se lee "y es igual a f de x". Aquí, $x$ es la variable independiente y $y$ es la variable dependiente, ya que su valor depende del valor que tome $x$.

Aquí va una imagen que muestre la notación de función, por ejemplo, una ecuación como y = f(x) resaltando las variables y la función.

Evaluación de Funciones

Evaluar una función significa encontrar el valor de la variable dependiente ($y$) para un valor específico de la variable independiente ($x$). Para hacer esto, simplemente sustituimos el valor dado de $x$ en la expresión que define la función.

Ejemplo 1:

Sea la función $f(x) = 2x + 3$. Para encontrar el valor de $f(2)$, sustituimos $x$ por $2$ en la expresión:

\[ f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \]

Por lo tanto, $f(2) = 7$. Esto significa que cuando $x$ es igual a $2$, el valor de la función es $7$.

Ejemplo 2:

Sea la función $g(x) = x^2 - 1$. Encuentra $g(-1)$.

\[ g(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \]

Así, $g(-1) = 0$.

Ejercicios

Nivel 1

Dada la función $f(x) = x + 5$, encuentra:

a) $f(0)$
b) $f(3)$
c) $f(-2)$

Si $h(x) = 4x - 1$, calcula:

a) $h(1)$
b) $h(-3)$

Dada la función $f(x) = -2x + 7$, calcula:

a) $f(1)$
b) $f(-1)$
c) $f(4)$

Si $g(x) = 9 - x$, halla:

a) $g(0)$
b) $g(9)$
c) $g(-5)$

Nivel 2

Sea $f(x) = \frac{1}{2}x + 2$, determina:

a) $f(4)$
b) $f(-6)$
c) $f(0)$

Dada $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$, halla:

a) $g(2)$
b) $g(-1)$

Si $h(x) = \frac{3}{4}x - 5$, calcula:

a) $h(8)$
b) $h(-4)$
c) $h(0)$

Dada $f(x) = x^2 + x - 2$, determina:

a) $f(0)$
b) $f(-2)$
c) $f(3)$

Nivel 3

Si $f(x) = x^3 - 2x$, calcula:

a) $f(2)$
b) $f(-2)$
c) $f(a)$

Dada la función $h(x) = \frac{x-1}{x+1}$, encuentra:

a) $h(3)$
b) $h(0)$
c) $h(2b)$

Si $g(x) = ax^2 + bx + c$, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes, calcula:

a) $g(0)$
b) $g(1)$
c) $g(-1)$

Dada $f(x) = \frac{1}{x-k}$, donde $k$ es una constante, halla:

a) $f(0)$
b) $f(2k)$
c) $f(k+1)$

2. Representación Gráfica de Funciones

Representación Gráfica de Funciones

El Plano Cartesiano

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes. La recta horizontal se llama eje x o eje de abscisas, y la recta vertical se llama eje y o eje de ordenadas. El punto donde se cruzan los ejes se llama origen y tiene coordenadas (0, 0).

Aquí va una imagen del plano cartesiano, con los ejes x e y, el origen, y los cuatro cuadrantes numerados.

Cada punto en el plano cartesiano se representa por un par ordenado de números $(x, y)$, donde $x$ es la coordenada horizontal e $y$ es la coordenada vertical.

Representación de Puntos y Funciones

Representación de Puntos

Para representar un punto en el plano cartesiano, nos movemos desde el origen la cantidad de unidades indicadas por la coordenada $x$ (hacia la derecha si es positiva, hacia la izquierda si es negativa), y luego nos movemos la cantidad de unidades indicadas por la coordenada $y$ (hacia arriba si es positiva, hacia abajo si es negativa).

Ejemplo:

El punto (2, 3) se representa moviéndonos 2 unidades a la derecha del origen y luego 3 unidades hacia arriba. El punto (-1, -4) se representa moviéndonos 1 unidad a la izquierda del origen y luego 4 unidades hacia abajo.

Aquí va una imagen que muestre la representación de los puntos (2, 3) y (-1, -4) en el plano cartesiano.

Representación de Funciones

Para representar una función en el plano cartesiano, evaluamos la función para varios valores de $x$ y obtenemos los correspondientes valores de $y$. Cada par $(x, y)$ resultante se representa como un punto en el plano. Luego, unimos los puntos para obtener la gráfica de la función.

Ejemplo:

Consideremos la función $f(x) = x + 1$. Evaluamos la función para algunos valores de $x$:

$f(-2) = -2 + 1 = -1$. Punto: (-2, -1)
$f(-1) = -1 + 1 = 0$. Punto: (-1, 0)
$f(0) = 0 + 1 = 1$. Punto: (0, 1)
$f(1) = 1 + 1 = 2$. Punto: (1, 2)
$f(2) = 2 + 1 = 3$. Punto: (2, 3)

Aquí va una imagen que muestre la representación de los puntos calculados para la función f(x) = x + 1 y la recta que los une.

Identificación de Funciones a partir de Gráficas (Prueba de la Línea Vertical)

No toda curva en el plano cartesiano representa una función. Para que una gráfica represente una función, debe cumplir la prueba de la línea vertical:

Prueba de la línea vertical: Si cualquier línea vertical que tracemos en el plano cartesiano interseca la gráfica a lo sumo en un punto, entonces la gráfica representa una función. Si la línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función.

Aquí va una imagen que ilustre la prueba de la línea vertical, mostrando ejemplos de gráficas que sí son funciones y otras que no.

Introducción Intuitiva a la Pendiente

Al observar la gráfica de una función lineal, podemos notar que algunas líneas son más "inclinadas" que otras. Esta inclinación se conoce como pendiente. Intuitivamente, la pendiente nos dice qué tan rápido crece o decrece el valor de $y$ a medida que $x$ aumenta.

Una pendiente positiva indica que la función crece (la gráfica sube de izquierda a derecha).
Una pendiente negativa indica que la función decrece (la gráfica baja de izquierda a derecha).
Una pendiente mayor (en valor absoluto) indica una mayor inclinación.

Aquí va una imagen que muestre diferentes rectas con distintas pendientes (positivas, negativas y cero), para ilustrar la idea intuitiva de la pendiente.

Interpretación de Gráficas

Las gráficas de funciones nos permiten visualizar la relación entre las variables y extraer información importante, como:

Dominio y rango: Podemos estimar el dominio y el rango de una función observando la extensión de la gráfica en el eje x y el eje y, respectivamente.
Crecimiento y decrecimiento: Podemos identificar los intervalos donde la función crece o decrece observando si la gráfica sube o baja de izquierda a derecha.
Interceptos: Los puntos donde la gráfica interseca los ejes x e y se llaman interceptos y nos dan información sobre los valores de la función cuando $x=0$ o $y=0$.

Aquí va una imagen de una gráfica de una función, con el dominio, rango, intervalos de crecimiento/decrecimiento e interceptos señalados.

Ejercicios

Nivel 1

Representa los siguientes puntos en el plano cartesiano:

a) (3, 2)
b) (-2, 4)
c) (0, -3)
d) (-1, -1)
e) (4, 0)

Determina las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E en la siguiente gráfica:

Aquí va una imagen de un plano cartesiano con cinco puntos marcados como A, B, C, D y E.

Nivel 2

Dada la función $f(x) = 2x - 1$, completa la tabla y representa la función en el plano cartesiano:

$x$	$f(x)$
-2
-1
0
1
2

Determina si las siguientes gráficas representan una función o no, usando la prueba de la línea vertical:

\(x\)	\(f(x)\)
-2	-5
-1	-3
0	-1
1	1
2	3

Aquí va una imagen con tres o cuatro gráficas diferentes, algunas de las cuales representan funciones y otras no.

Nivel 3

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y responde:

Aquí va una imagen de la gráfica de una función g(x) (puede ser una función no lineal, por ejemplo, una parábola).

a) ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?
b) ¿Cuál es el rango de $g(x)$?
c) ¿En qué intervalos $g(x)$ es creciente?
d) ¿En qué intervalos $g(x)$ es decreciente?

Dadas las siguientes funciones, indica cuál tiene una pendiente mayor (en valor absoluto):

a) $f(x) = 3x - 2$
b) $g(x) = -5x + 1$

3. Función Lineal

Función Lineal

Definición y Forma General

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. La forma general de una función lineal es:

\[ y = mx \]

donde:

$x$ es la variable independiente.
$y$ es la variable dependiente.
$m$ es una constante llamada pendiente.

Aquí va una imagen que ilustre la forma general de la función lineal y = mx, con la variable independiente, la variable dependiente y la pendiente señaladas.

Pendiente (m) y su Interpretación

La pendiente ($m$) de una función lineal indica la inclinación de la recta que la representa. Nos dice cuánto cambia la variable dependiente ($y$) por cada unidad que cambia la variable independiente ($x$).

Si $m > 0$, la función es creciente (la recta sube de izquierda a derecha).
Si $m < 0$, la función es decreciente (la recta baja de izquierda a derecha).
Si $m = 0$, la función es constante (la recta es horizontal). En este caso particular la función sería $y=0$ y representa el eje x.
Cuanto mayor sea el valor absoluto de $m$, mayor será la inclinación de la recta.

Aquí va una imagen que muestre varias funciones lineales con diferentes pendientes (positivas, negativas y cero), para visualizar el efecto de m en la inclinación de la recta.

La pendiente se puede calcular a partir de dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ que pertenezcan a la recta, usando la siguiente fórmula:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Gráfica de Funciones Lineales

Para graficar una función lineal, podemos seguir estos pasos:

Elegir al menos dos valores de $x$ y calcular los correspondientes valores de $y$ usando la ecuación $y = mx$. Organizar estos valores en una tabla.
Representar los puntos $(x, y)$ obtenidos en el plano cartesiano.
Trazar una línea recta que pase por los puntos representados.

Ejemplo:

Graficar la función $y = 2x$.

Elegimos tres valores de $x$, por ejemplo, $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$, y calculamos los valores de y:

x	y = 2x
-1	-2
0	0
1	2

Representamos los puntos (-1, -2), (0, 0) y (1, 2) en el plano cartesiano.
Trazamos una línea recta que pase por estos tres puntos.

Aquí va una imagen que muestre el proceso de graficar la función y = 2x, incluyendo la tabla de valores, los puntos (-1, -2), (0, 0) y (1, 2) y la recta que pasa por ellos.

Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos

Si conocemos dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ que pertenecen a una recta, podemos determinar la ecuación de la función lineal que la representa. Para ello, seguimos estos pasos:

Calcular la pendiente $m$ usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Sustituir el valor de $m$ en la ecuación $y = mx$.
Sustituir uno de los puntos (por ejemplo, $(x_1, y_1)$) en la ecuación $y = mx$ y resolver para $y$.
- $y_1 = m x_1$

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).

Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Sustituimos $m = 2$ en la ecuación: $y = 2x$
Usamos el punto (1, 2) y la ecuación $y = 2x$:
- $2 = 2(1)$ (Verdadero)

Por lo tanto, la ecuación de la función lineal es $y = 2x$.

Situaciones Problemáticas Modelables con Función Lineal

Muchos problemas de la vida real se pueden modelar utilizando funciones lineales. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Un taxista cobra una tarifa base de \$500 por usar el taximetro. La variable $x$ representa el tiempo transcurrido en horas, mientras que la variable $y$ representa el costo del viaje en pesos. La relación entre el tiempo y el costo se puede expresar mediante la función lineal $y = 500x$.

a) ¿Cuánto costará un viaje de 2 horas?
Sustituimos $x = 2$ en la ecuación: $y = 500(2) = 1000$. El viaje costará \$1000.
b) Si un viaje costó \$2500, ¿cuántas horas duró?
Sustituimos $y = 2500$ en la ecuación: $2500 = 500x$. Resolviendo para $x$, obtenemos $x = 5$. El viaje duró 5 horas.

Ejemplo 2:

El costo de producción de un artículo ($y$) en función del número de unidades producidas ($x$) se puede modelar con la función lineal $y = 10x$.

a) ¿Cuál es el costo de producir 50 unidades?
Sustituimos $x = 50$ en la ecuación: $y = 10(50) = 500$. El costo es de \$500.
b) Si el costo de producción fue de \$1200, ¿cuántas unidades se produjeron?
Sustituimos $y = 1200$ en la ecuación: $1200 = 10x$. Resolviendo para $x$, obtenemos $x = 120$. Se produjeron 120 unidades.

Ejercicios

Nivel 1

Dada la función lineal, completa la tabla y luego grafica:

a) $y = 4x$

x	y
-2
-1
0
1
2

b) $y = -3x$

x	y
-2
-1
0
1
2

x	y
-2	-8
-1	-4
0	0
1	4
2	8

x	y
-2	6
-1	3
0	0
1	-3
2	-6

Nivel 2

Identifica la pendiente de las siguientes funciones lineales:

a) $y = 3x$
b) $y = -x$
c) $y = \frac{1}{2}x$
d) $y = -2x$
e) $y = \frac{3}{4}x$
f) $y = 5x$

Grafica las siguientes funciones lineales (usa una tabla de valores):

a) $y = x$
b) $y = -2x$
c) $y = 3x$
d) $y = \frac{1}{2}x$
e) $y = -\frac{1}{3}x$
f) $y = -x$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) La función $y = -4x$ es creciente.
b) La gráfica de $y = x$ pasa por el origen.
c) La pendiente de $y = 7x$ es 7.
d) La función $y = \frac{1}{5}x$ es decreciente.
e) La gráfica de una función lineal siempre es una línea recta.
f) La pendiente de la función $y = x$ es igual a la pendiente de la función $y=-x$

Nivel 3

Determina si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes o constantes:

a) $y = 4x$
b) $y = -3x$
c) $y = 0$
d) $y = \frac{2}{3}x$
e) $y = -x$
f) $y = -6x$

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a) (2, 5) y (4, 9)
b) (-1, 3) y (2, -3)
c) (0, 0) y (3, 6)
d) (1, -2) y (3, -8)
e) (-2, 4) y (0, 0)
f) (5, 2) y (7, 6)

Identifica la pendiente y el punto de corte con el eje y (cuando x=0) para las siguientes funciones:

a) $y = 6x$
b) $y = -4x$
c) $y = \frac{5}{2}x$
d) $y = -x$
e) $y = \frac{1}{3}x$
f) $y = 10x$

Si $f(x) = 5x$, encuentra:

a) $f(3)$
b) $f(-2)$

Dada la función propuesta, halla el valor de x:

sea: $g(x) = -2x$
- a) $g(x) = 4$
- b) $g(x) = -6$
sea: $f(x) = 7x$,
- c) $f(x) = 14$
- d) $f(x) = -21$
sea: $h(x) = -\frac{1}{2}x$,
- e) $h(x) = 4$
- f) $h(x) = -3$
sea: $f(x) = ax$,
- g) $f(x) = b$

Nivel 4

Encuentra la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos:

a) (1, 4) y (3, 10)
b) (-2, -1) y (2, 7)
c) (0, 0) y (5, -5)
d) (-3, 6) y (3, -6)
e) (1, 2) y (4, 8)
f) (-2, -6) y (0, 0)

Una función lineal $f(x)$ cumple que $f(2) = 6$ y $f(4) = 12$. Determina la función lineal.

Una función lineal $f(x)$ cumple que $f(-1) = -5$ y $f(4) = 10$. Determina la función lineal.

Encuentra la ecuación de la función lineal que tiene pendiente $m = 4$ y pasa por el punto (2, 5).

Dada la función $f(x) = ax$, donde $a$ es una constante, se sabe que $f(2) = 8$. Encuentra el valor de $a$ y escribe la ecuación de la función.

Si $g(x) = kx$ es una función lineal y $g(3) = -9$, ¿cuál es el valor de $k$ y la ecuación de la función?

Un vendedor tiene un sueldo base de \$500 más una comisión de \$50 por cada producto vendido. Escribe la función lineal que representa el sueldo total en función del número de productos vendidos (x).

El costo de alquilar un auto es de \$1000 por día. Escribe la función lineal que representa el costo total en función del número de días de alquiler (x).

4. Función Afín

Función Afín

Definición y Forma General

Una función afín es una función cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Se diferencia de la función lineal en que la función afín puede tener un desplazamiento vertical respecto al origen. La forma general de una función afín es:

\[ y = mx + n \]

donde:

$x$ es la variable independiente.
$y$ es la variable dependiente.
$m$ es la pendiente de la recta.
$n$ es el coeficiente de posición o intercepto con el eje y.

Aquí va una imagen que ilustre la forma general de la función afín y = mx + n, con la variable independiente, la variable dependiente, la pendiente y el coeficiente de posición señalados.

Pendiente (m) y Coeficiente de Posición

La pendiente ($m$) en una función afín tiene el mismo significado que en una función lineal: indica la inclinación de la recta.

Si $m > 0$, la función es creciente.
Si $m < 0$, la función es decreciente.
Si $m = 0$, la función es constante (una línea horizontal).

El coeficiente de posición ($n$) indica el punto donde la recta corta al eje $y$. Es decir, cuando $x = 0$, el valor de $y$ es igual a $n$.

Aquí va una imagen que muestre varias funciones afines con diferentes valores de m y n, para visualizar el efecto de estos parámetros en la gráfica.

Función Constante

Un caso especial de la función afín es la función constante. Se produce cuando la pendiente es cero ($m = 0$). En este caso, la ecuación se reduce a:

\[ y = n \]

La gráfica de una función constante es una línea horizontal que corta al eje $y$ en el punto (0, $n$).

Aquí va una imagen que muestre la gráfica de una función constante, y = n.

Gráfica de Funciones Afines

Para graficar una función afín, podemos seguir estos pasos:

Identificar la pendiente ($m$) y el coeficiente de posición ($n$).
Ubicar el punto (0, $n$) en el plano cartesiano (el intercepto con el eje $y$).
A partir del punto (0, $n$), usar la pendiente para encontrar al menos otro punto. Recuerda que la pendiente indica el cambio en $y$ por cada unidad que cambia $x$.
Trazar una línea recta que pase por los puntos encontrados.

Ejemplo:

Graficar la función $y = 2x + 1$.

La pendiente es $m = 2$ y el coeficiente de posición es $n = 1$.
Ubicamos el punto (0, 1) en el plano cartesiano.
Como la pendiente es 2, por cada unidad que nos movemos a la derecha en el eje $x$, nos movemos 2 unidades hacia arriba en el eje $y$. Así, podemos encontrar otro punto, por ejemplo, (1, 3).
Trazamos una línea recta que pase por los puntos (0, 1) y (1, 3).

Aquí va una imagen que muestre el proceso de graficar la función y = 2x + 1, incluyendo los puntos (0, 1) y (1, 3) y la recta que pasa por ellos.

Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos

Si conocemos dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ que pertenecen a una recta, podemos determinar la ecuación de la función afín que la representa. Para ello, seguimos estos pasos:

Calcular la pendiente $m$ usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Sustituir el valor de $m$ en la ecuación $y = mx + n$.
Sustituir uno de los puntos (por ejemplo, $(x_1, y_1)$) en la ecuación $y = mx + n$ y resolver para $n$.
Escribir la ecuación de la función afín con los valores de $m$ y $n$ encontrados.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9).

Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Sustituimos $m = 2$ en la ecuación: $y = 2x + n$
Usamos el punto (2, 5) en la ecuación $y = 2x + n$: \[ 5 = 2(2) + n \Rightarrow 5 = 4 + n \Rightarrow n = 1 \]
La ecuación de la función afín es $y = 2x + 1$.

Ejercicios

Nivel 1

Dada la función afín, completa la tabla y luego grafica:

a) $y = 3x - 2$

x	y
-2
-1
0
1
2

b) $y = -x + 4$

x	y
-2
-1
0
1
2

x	y
-2	-8
-1	-5
0	-2
1	1
2	4

x	y
-2	6
-1	5
0	4
1	3
2	2

Nivel 2

Identifica la pendiente (m) y el coeficiente de posición de las siguientes funciones afines:

a) $y = 2x + 5$
b) $y = -x - 3$
c) $y = \frac{1}{2}x + 1$
d) $y = -3x + \frac{2}{5}$
e) $y = 4 - x$
f) $y = 7$

Grafica las siguientes funciones afines:

a) $y = x + 2$
b) $y = -2x + 1$
c) $y = \frac{1}{3}x - 2$
d) $y = 5$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) La función $y = -4x + 7$ es decreciente.
b) La gráfica de $y = 2x - 3$ pasa por el punto (0, -3).
c) La pendiente de $y = 9 - x$ es 9.
d) La función $y = \frac{1}{2}x + 5$ es creciente.
e) La gráfica de una función constante es una línea vertical.

Nivel 3

Calcula la pendiente y el coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos:

a) (1, 3) y (3, 7)
b) (-2, 5) y (2, 1)
c) (0, 4) y (2, 0)
d) (3, -1) y (6, -1)

Determina la función afín que cumple con las siguientes condiciones:

a) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (1, 6)
b) Pasa por los puntos (-1, 2) y (3, 0)
c) Corta al eje y en 5 y tiene pendiente -2
d) Es paralela a $y = 3x - 1$ y pasa por el punto (0, 2)

Dada la función, halla el valor de x para el cual:

a) $f(x) = 2x + 1$, $f(x) = 7$
b) $f(x) = 2x + 1$, $f(x) = 0$
c) $g(x) = -x + 5$, $g(x) = 2$
d) $g(x) = -x + 5$, $g(x) = -3$
e) $h(x) = \frac{1}{2}x - 3$, $h(x) = -1$
f) $h(x) = \frac{1}{2}x - 3$, $h(x) = 0$
g) $f(x) = mx + n$, $f(x) = p$

Nivel 4

Encuentra la ecuación de la función afín que pasa por los puntos:

a) (0, 3) y (2, 7)
b) (-3, 1) y (3, -1)
c) (1, -2) y (4, 4)
d) (-2, 0) y (2, 8)

Una función afín $f(x)$ cumple que $f(1) = 5$ y $f(3) = 9$. Determina la función afín.

Una función afín $f(x)$ cumple que $f(-2) = 1$ y $f(2) = 7$. Determina la función afín.

Encuentra la ecuación de la función afín que tiene pendiente $m = -2$ y pasa por el punto (3, 1).

Dada la función $f(x) = 2x + b$, donde $b$ es una constante, se sabe que $f(3) = 5$. Encuentra el valor de $b$ y escribe la ecuación de la función.

Si $g(x) = mx - 1$ es una función afín y $g(2) = 3$, ¿cuál es el valor de $m$ y la ecuación de la función?

Un vendedor tiene un sueldo base de \$300 más una comisión de \$20 por cada producto vendido. Escribe la función afín que representa el sueldo total en función del número de productos vendidos (x).

El costo de alquilar un auto es de \$100 más \$50 por cada día de uso. Escribe la función afín que representa el costo total en función del número de días de alquiler (x).

Un estanque contiene 500 litros de agua. Se abre un grifo que vierte agua en el estanque a razón de 25 litros por minuto. Escribe la función afín que representa la cantidad de agua en el estanque en función del tiempo transcurrido en minutos (x).

Un técnico cobra \$50 por la visita más \$30 por cada hora de trabajo. Escribe la función afín que representa el costo total en función del número de horas trabajadas (x). ¿Cuánto cobrará por un trabajo de 4 horas?

5. Obtención de la Ecuación de una Recta

Obtención de la Ecuación de una Recta

En esta página, repasaremos los métodos para obtener la ecuación de una recta a partir de diferentes datos, como dos puntos, un punto y la pendiente, y la relación con rectas paralelas y perpendiculares. La ecuación de una recta se puede expresar en la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$ o en la forma pendiente-ordenada al origen $y = mx + n$.

A partir de dos puntos

Si conocemos dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ que pertenecen a una recta, podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:

Calcular la pendiente $m$ usando la fórmula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Sustituir la pendiente $m$ y uno de los puntos, por ejemplo $(x_1, y_1)$, en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 9).

Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]
Sustituimos $m = 2$ y el punto (1, 3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = 2(x - 1)\]
Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y - 3 = 2x - 2 \Rightarrow y = 2x + 1\]

La ecuación de la recta es $y = 2x + 1$.

A partir de un punto y la pendiente

Si conocemos un punto $(x_1, y_1)$ que pertenece a una recta y su pendiente $m$, podemos determinar su ecuación siguiendo estos pasos:

Sustituir la pendiente $m$ y el punto $(x_1, y_1)$ en la forma punto-pendiente: \[y - y_1 = m(x - x_1)\]
Simplificar la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, si se desea: \[y = mx + n\]

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -3$ y pasa por el punto (2, -1).

Sustituimos $m = -3$ y el punto (2, -1) en la forma punto-pendiente: \[y - (-1) = -3(x - 2)\]
Simplificamos a la forma pendiente-ordenada al origen: \[y + 1 = -3x + 6 \Rightarrow y = -3x + 5\]

La ecuación de la recta es $y = -3x + 5$.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Es decir, si la ecuación de una recta es $y = m_1x + n_1$ y la ecuación de otra recta es $y = m_2x + n_2$, las rectas son paralelas si $m_1 = m_2$.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a $y = 4x - 3$ y pasa por el punto (1, 2).

Como la recta buscada es paralela a $y = 4x - 3$, su pendiente es $m = 4$.
Sustituimos $m = 4$ y el punto (1,2) en la forma punto-pendiente: \[y - 2 = 4(x-1)\]
Simplificamos: \[y - 2 = 4x - 4 \Rightarrow y = 4x -2\]

La ecuación de la recta es $y = 4x - 2$.

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Es decir, si la ecuación de una recta es $y = m_1x + n_1$ y la ecuación de otra recta es $y = m_2x + n_2$, las rectas son perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$, o equivalentemente, $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a $y = \frac{1}{2}x + 5$ y pasa por el punto (-2, 3).

La pendiente de la recta dada es $m_1 = \frac{1}{2}$. La pendiente de la recta perpendicular es $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.
Sustituimos $m = -2$ y el punto (-2,3) en la forma punto-pendiente: \[y - 3 = -2(x-(-2))\]
Simplificamos: \[y - 3 = -2x - 4 \Rightarrow y = -2x -1\]

La ecuación de la recta es $y = -2x - 1$.

Ejercicios

Nivel 1

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) (2, 4) y (5, 10)
b) (-1, 3) y (2, 0)
c) (0, -2) y (4, 2)

Encuentra la ecuación de la recta con la pendiente y el punto dados:

a) $m = 3$, punto (1, 5)
b) $m = -2$, punto (-2, 4)
c) $m = \frac{1}{2}$, punto (0, -3)

Nivel 2

Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado:

a) Paralela a $y = 2x - 5$, pasa por (1, 4)
b) Paralela a $y = -x + 3$, pasa por (-2, 1)
c) Paralela a $y = \frac{1}{3}x + 2$, pasa por (0, -2)

Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto indicado:

a) Perpendicular a $y = 3x + 1$, pasa por (3, 2)
b) Perpendicular a $y = -\frac{1}{2}x - 4$, pasa por (-1, 5)
c) Perpendicular a $y = -x + 6$, pasa por (0, 0)

Nivel 3

Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:

a) $y = 4x - 3$ y $y = 4x + 1$
b) $y = -2x + 5$ y $y = \frac{1}{2}x - 2$
c) $y = x + 3$ y $y = -x - 1$
d) $y = 3x$ y $y = -\frac{1}{3}x + 4$

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es:

a) Paralela al eje x
b) Paralela al eje y

Determina el valor de $k$ para que las rectas $y = 2x + 5$ y $y = kx - 3$ sean:

a) Paralelas
b) Perpendiculares

Sitio:	PROFEARAUCO.CL
Curso:	Media 1
Libro:	Capitulo 5.3 las funciones

Imprimido por:	Invitado
Día:	jueves, 3 de julio de 2025, 01:40

Capitulo 5.3 las funciones

Tabla de contenidos

1. Introducción al Concepto de Función

Introducción al Concepto de Función

Definición de Función, Dominio y Rango

Notación de Funciones

Evaluación de Funciones

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejercicios

Nivel 1

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 2

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 3

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

2. Representación Gráfica de Funciones

Representación Gráfica de Funciones

El Plano Cartesiano

Representación de Puntos y Funciones

Representación de Puntos

Ejemplo:

Representación de Funciones

Ejemplo:

Identificación de Funciones a partir de Gráficas (Prueba de la Línea Vertical)

Introducción Intuitiva a la Pendiente

Interpretación de Gráficas

Ejercicios

Nivel 1

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 2

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 3

Respuestas:

Respuestas:

3. Función Lineal

Función Lineal

Definición y Forma General

Pendiente (m) y su Interpretación

Gráfica de Funciones Lineales

Ejemplo:

Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos

Ejemplo:

Situaciones Problemáticas Modelables con Función Lineal

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejercicios

Nivel 1

Respuestas:

Nivel 2

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 3

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Nivel 4

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

Respuestas:

4. Función Afín