Capitulo 5.3 las funciones
| Sitio: | MATEMÁTICAS × Profe Arauco |
| Curso: | Media 1 |
| Libro: | Capitulo 5.3 las funciones |
| Imprimido por: | Invitado |
| Día: | jueves, 23 de julio de 2026, 20:03 |
1. Introducción al Concepto de Función
Introducción al Concepto de Función
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el concepto de función, distinguir dominio, codominio y rango, usar notación funcional y evaluar funciones en valores numéricos y algebraicos.
Idea clave
Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada un único valor de salida. Puede imaginarse como una máquina: entra un número, la función aplica una regla y sale un resultado.
Definición de función, dominio, codominio y rango
Definición
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.
Si \(A\) es el dominio y \(B\) es el conjunto de llegada o codominio, se escribe:
\[ f:A\rightarrow B \]
Esto se lee: “\(f\) es una función de \(A\) en \(B\)”.
Elementos principales
- Dominio: conjunto de todos los valores de entrada. Usualmente se representan con la variable \(x\).
- Codominio: conjunto donde se buscan los posibles valores de salida.
- Rango o recorrido: conjunto de valores que efectivamente se obtienen al aplicar la función a los elementos del dominio.
En algunos textos escolares se usa la palabra “rango” para referirse al conjunto de salidas efectivas de la función.
Diagrama sagital: una función
Consideremos la regla \(f(x)=x^2\) con dominio \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). Cada valor de entrada tiene una sola imagen.
Observa que dos entradas distintas pueden tener la misma salida. Por ejemplo, \(-2\) y \(2\) se relacionan con \(4\). Eso sí puede ocurrir en una función.
Cuándo una relación no es función
Una relación deja de ser función si al menos un elemento del dominio se relaciona con dos o más salidas distintas.
Diagrama sagital: no es función
En el siguiente diagrama, el elemento \(a\) tiene dos salidas distintas: \(1\) y \(2\). Por eso, esta relación no es función.
Notación de funciones
Notación funcional
Para indicar que un valor \(x\) del dominio se transforma en un valor \(y\), escribimos:
\[ y=f(x) \]
Esto se lee: “\(y\) es igual a \(f\) de \(x\)”.
Variable independiente y variable dependiente
- \(x\): variable independiente, porque se elige libremente dentro del dominio.
- \(y\) o \(f(x)\): variable dependiente, porque su valor depende del valor que tome \(x\).
Ejemplo visual: función lineal \(f(x)=2x+3\)
La función \(f(x)=2x+3\) transforma cada valor de \(x\) en un valor de salida. Por ejemplo:
| \(x\) | \(f(x)=2x+3\) | Punto en el plano |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(2(-2)+3=-1\) | \((-2,-1)\) |
| \(0\) | \(2(0)+3=3\) | \((0,3)\) |
| \(2\) | \(2(2)+3=7\) | \((2,7)\) |
Evaluación de funciones
¿Qué significa evaluar una función?
Evaluar una función significa calcular el valor de salida para un valor específico de entrada. Para hacerlo, se reemplaza la variable por el valor indicado.
Ejemplo 1: evaluar una función lineal
Sea la función:
\[ f(x)=2x+3 \]
Calculemos \(f(2)\). Reemplazamos \(x\) por \(2\):
\[ f(2)=2(2)+3 \]
\[ f(2)=4+3=7 \]
Por lo tanto:
\[ f(2)=7 \]
Esto significa que cuando la entrada es \(2\), la salida es \(7\).
Ejemplo 2: evaluar una función cuadrática
Sea la función:
\[ g(x)=x^2-1 \]
Calculemos \(g(-1)\). Reemplazamos \(x\) por \(-1\):
\[ g(-1)=(-1)^2-1 \]
\[ g(-1)=1-1=0 \]
Por lo tanto:
\[ g(-1)=0 \]
Error común
No confundas \(f(x)\) con una multiplicación. La expresión \(f(2)\) no significa \(f\cdot 2\); significa “el valor de la función \(f\) cuando \(x=2\)”.
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dada la función \(f(x)=x+5\), encuentra:
- \(f(0)\)
- \(f(3)\)
- \(f(-2)\)
Reemplazamos cada valor en la función \(f(x)=x+5\).
- \[ f(0)=0+5=5 \]
- \[ f(3)=3+5=8 \]
- \[ f(-2)=-2+5=3 \]
Respuestas: \(f(0)=5\), \(f(3)=8\) y \(f(-2)=3\).
Ejercicio 2
Si \(h(x)=4x-1\), calcula:
- \(h(1)\)
- \(h(-3)\)
Reemplazamos cada valor en \(h(x)=4x-1\).
- \[ h(1)=4(1)-1=3 \]
- \[ h(-3)=4(-3)-1=-12-1=-13 \]
Respuestas: \(h(1)=3\) y \(h(-3)=-13\).
Ejercicio 3
Dada la función \(f(x)=-2x+7\), calcula:
- \(f(1)\)
- \(f(-1)\)
- \(f(4)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=-2x+7\).
- \[ f(1)=-2(1)+7=5 \]
- \[ f(-1)=-2(-1)+7=2+7=9 \]
- \[ f(4)=-2(4)+7=-8+7=-1 \]
Respuestas: \(f(1)=5\), \(f(-1)=9\) y \(f(4)=-1\).
Ejercicio 4
Si \(g(x)=9-x\), halla:
- \(g(0)\)
- \(g(9)\)
- \(g(-5)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=9-x\).
- \[ g(0)=9-0=9 \]
- \[ g(9)=9-9=0 \]
- \[ g(-5)=9-(-5)=9+5=14 \]
Respuestas: \(g(0)=9\), \(g(9)=0\) y \(g(-5)=14\).
Nivel 2
Ejercicio 5
Sea \(f(x)=\frac{1}{2}x+2\). Determina:
- \(f(4)\)
- \(f(-6)\)
- \(f(0)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=\frac{1}{2}x+2\).
- \[ f(4)=\frac{1}{2}(4)+2=2+2=4 \]
- \[ f(-6)=\frac{1}{2}(-6)+2=-3+2=-1 \]
- \[ f(0)=\frac{1}{2}(0)+2=2 \]
Respuestas: \(f(4)=4\), \(f(-6)=-1\) y \(f(0)=2\).
Ejercicio 6
Dada \(g(x)=2x^2-3x+1\), halla:
- \(g(2)\)
- \(g(-1)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=2x^2-3x+1\).
- \[ g(2)=2(2)^2-3(2)+1=8-6+1=3 \]
- \[ g(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2+3+1=6 \]
Respuestas: \(g(2)=3\) y \(g(-1)=6\).
Ejercicio 7
Si \(h(x)=\frac{3}{4}x-5\), calcula:
- \(h(8)\)
- \(h(-4)\)
- \(h(0)\)
Reemplazamos cada valor en \(h(x)=\frac{3}{4}x-5\).
- \[ h(8)=\frac{3}{4}(8)-5=6-5=1 \]
- \[ h(-4)=\frac{3}{4}(-4)-5=-3-5=-8 \]
- \[ h(0)=\frac{3}{4}(0)-5=-5 \]
Respuestas: \(h(8)=1\), \(h(-4)=-8\) y \(h(0)=-5\).
Ejercicio 8
Dada \(f(x)=x^2+x-2\), determina:
- \(f(0)\)
- \(f(-2)\)
- \(f(3)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=x^2+x-2\).
- \[ f(0)=(0)^2+0-2=-2 \]
- \[ f(-2)=(-2)^2+(-2)-2=4-2-2=0 \]
- \[ f(3)=(3)^2+3-2=9+3-2=10 \]
Respuestas: \(f(0)=-2\), \(f(-2)=0\) y \(f(3)=10\).
Nivel 3
Ejercicio 9
Si \(f(x)=x^3-2x\), calcula:
- \(f(2)\)
- \(f(-2)\)
- \(f(a)\)
Reemplazamos cada valor en \(f(x)=x^3-2x\).
- \[ f(2)=(2)^3-2(2)=8-4=4 \]
- \[ f(-2)=(-2)^3-2(-2)=-8+4=-4 \]
- \[ f(a)=a^3-2a \]
Respuestas: \(f(2)=4\), \(f(-2)=-4\) y \(f(a)=a^3-2a\).
Ejercicio 10
Dada la función \(h(x)=\frac{x-1}{x+1}\), encuentra:
- \(h(3)\)
- \(h(0)\)
- \(h(2b)\)
La expresión \(h(x)=\frac{x-1}{x+1}\) no está definida cuando \(x=-1\), porque el denominador sería cero.
- \[ h(3)=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
- \[ h(0)=\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1 \]
- \[ h(2b)=\frac{2b-1}{2b+1} \]
Respuestas: \(h(3)=\frac{1}{2}\), \(h(0)=-1\) y \(h(2b)=\frac{2b-1}{2b+1}\), siempre que \(2b+1\neq 0\).
Ejercicio 11
Si \(g(x)=ax^2+bx+c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, calcula:
- \(g(0)\)
- \(g(1)\)
- \(g(-1)\)
Reemplazamos cada valor en \(g(x)=ax^2+bx+c\).
- \[ g(0)=a(0)^2+b(0)+c=c \]
- \[ g(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c \]
- \[ g(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c \]
Respuestas: \(g(0)=c\), \(g(1)=a+b+c\) y \(g(-1)=a-b+c\).
Ejercicio 12
Dada \(f(x)=\frac{1}{x-k}\), donde \(k\) es una constante, halla:
- \(f(0)\)
- \(f(2k)\)
- \(f(k+1)\)
La función \(f(x)=\frac{1}{x-k}\) no está definida cuando \(x=k\), porque el denominador sería cero.
- \[ f(0)=\frac{1}{0-k}=-\frac{1}{k} \]
Esto requiere que \(k\neq 0\), porque si \(k=0\), entonces \(x=0\) anula el denominador.
- \[ f(2k)=\frac{1}{2k-k}=\frac{1}{k} \]
Esto también requiere que \(k\neq 0\).
- \[ f(k+1)=\frac{1}{k+1-k}=\frac{1}{1}=1 \]
Respuestas: \(f(0)=-\frac{1}{k}\), \(f(2k)=\frac{1}{k}\) y \(f(k+1)=1\), con las restricciones indicadas.
Ejercicio 13
Observa la relación representada por los pares ordenados:
\[ R=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} \]
Determina si \(R\) es función. Justifica.
Una relación es función si cada valor de entrada tiene una sola salida.
En \(R\), los valores de entrada son \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\). Cada uno aparece una sola vez y se relaciona con una única salida.
Respuesta: sí, \(R\) es función.
Ejercicio 14
Observa la relación:
\[ S=\{(1,3),(1,5),(2,7),(3,9)\} \]
Determina si \(S\) es función. Justifica.
El valor de entrada \(1\) se relaciona con dos salidas distintas: \(3\) y \(5\).
Esto rompe la condición principal de una función.
Respuesta: no, \(S\) no es función, porque un mismo elemento del dominio tiene dos imágenes distintas.
Cierre
Para reconocer y trabajar con funciones, recuerda tres ideas: cada entrada debe tener una sola salida, la notación \(f(x)\) indica evaluación de una regla, y el gráfico permite visualizar cómo cambian las salidas cuando cambian las entradas.
2. Representación Gráfica de Funciones
Representación Gráfica de Funciones
Objetivo de aprendizaje
- Representar puntos y funciones en el plano cartesiano, interpretar gráficas y reconocer cuándo una gráfica corresponde a una función.
El Plano Cartesiano
¿Qué es el plano cartesiano?
El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes.
- La recta horizontal se llama eje \(x\) o eje de abscisas.
- La recta vertical se llama eje \(y\) o eje de ordenadas.
- El punto donde se cruzan ambos ejes se llama origen y tiene coordenadas \((0,0)\).
Ejemplo: plano cartesiano y origen
En el plano cartesiano, cada punto se representa mediante un par ordenado \((x,y)\). La primera coordenada indica el desplazamiento horizontal y la segunda coordenada indica el desplazamiento vertical.
Par ordenado
Un punto del plano se escribe como:
\[ (x,y) \]
La coordenada \(x\) indica cuánto nos movemos horizontalmente y la coordenada \(y\) indica cuánto nos movemos verticalmente.
Representación de Puntos y Funciones
Representar puntos
Para representar un punto en el plano cartesiano, comenzamos en el origen \((0,0)\).
- Si \(x\) es positivo, nos movemos hacia la derecha; si es negativo, hacia la izquierda.
- Si \(y\) es positivo, nos movemos hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
Ejemplo: ubicar puntos
El punto \((2,3)\) se representa moviéndonos \(2\) unidades a la derecha y \(3\) hacia arriba.
El punto \((-1,-4)\) se representa moviéndonos \(1\) unidad a la izquierda y \(4\) hacia abajo.
Representar funciones
Para representar una función en el plano cartesiano, evaluamos la función en varios valores de \(x\). Cada resultado genera un par ordenado \((x,f(x))\). Luego, esos puntos se ubican en el plano y permiten visualizar la gráfica.
Ejemplo: gráfica de \(f(x)=x+1\)
Consideremos la función:
\[ f(x)=x+1 \]
Evaluamos algunos valores:
| \(x\) | \(f(x)=x+1\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-2+1=-1\) | \((-2,-1)\) |
| \(-1\) | \(-1+1=0\) | \((-1,0)\) |
| \(0\) | \(0+1=1\) | \((0,1)\) |
| \(1\) | \(1+1=2\) | \((1,2)\) |
| \(2\) | \(2+1=3\) | \((2,3)\) |
Identificación de Funciones a partir de Gráficas
Prueba de la línea vertical
Una gráfica representa una función si cualquier línea vertical que tracemos corta la gráfica a lo más en un punto.
Si una línea vertical corta la gráfica en dos o más puntos, entonces no representa una función.
Ejemplo: sí es función
La gráfica de \(f(x)=x^2-1\) sí representa una función, porque para cada valor de \(x\) existe un único valor de \(y\).
Ejemplo: no es función
La siguiente relación no representa una función, porque para \(x=1\) aparecen dos salidas distintas: \(y=2\) y \(y=-2\).
Como una misma entrada \(x=1\) tiene dos imágenes distintas, esta relación no cumple la definición de función.
Introducción Intuitiva a la Pendiente
¿Qué indica la pendiente?
En una función lineal, la pendiente indica qué tan inclinada está la recta y cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta.
- Una pendiente positiva indica que la función crece de izquierda a derecha.
- Una pendiente negativa indica que la función decrece de izquierda a derecha.
- Una pendiente igual a cero produce una recta horizontal.
- Mientras mayor sea el valor absoluto de la pendiente, mayor será la inclinación de la recta.
Ejemplo: rectas con distintas pendientes
Observa cómo cambia la inclinación según la pendiente:
Interpretación de Gráficas
Información que entrega una gráfica
Las gráficas de funciones permiten visualizar la relación entre variables y extraer información importante.
- Dominio: valores de \(x\) para los cuales la función está definida.
- Rango: valores de \(y\) que toma la función.
- Crecimiento: intervalos donde la gráfica sube de izquierda a derecha.
- Decrecimiento: intervalos donde la gráfica baja de izquierda a derecha.
- Interceptos: puntos donde la gráfica corta los ejes.
Ejemplo: interpretar una gráfica
Observemos la función:
\[ g(x)=-(x-1)^2+4 \]
- El punto más alto de la gráfica es \((1,4)\).
- La función crece hasta \(x=1\) y luego decrece.
- Los interceptos con el eje \(x\) son \((-1,0)\) y \((3,0)\).
- El intercepto con el eje \(y\) es \((0,3)\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Representa los siguientes puntos en el plano cartesiano:
- \((3,2)\)
- \((-2,4)\)
- \((0,-3)\)
- \((-1,-1)\)
- \((4,0)\)
Para representar cada punto, se usa la primera coordenada para desplazarse horizontalmente y la segunda para desplazarse verticalmente.
Respuesta: los puntos quedan ubicados según sus coordenadas en el plano cartesiano.
Ejercicio 2
Observa el gráfico y determina las coordenadas de los puntos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\).
Leemos cada punto según su posición horizontal y vertical:
- \(A=(-4,2)\)
- \(B=(1,3)\)
- \(C=(3,-2)\)
- \(D=(0,-4)\)
- \(E=(-2,0)\)
Respuesta: las coordenadas son \(A=(-4,2)\), \(B=(1,3)\), \(C=(3,-2)\), \(D=(0,-4)\) y \(E=(-2,0)\).
Ejercicio 3
Indica en qué cuadrante se encuentra cada punto:
- \((2,5)\)
- \((-3,4)\)
- \((-1,-6)\)
- \((4,-2)\)
- \((0,3)\)
Recordemos:
- Cuadrante I: \(x>0\), \(y>0\).
- Cuadrante II: \(x<0\), \(y>0\).
- Cuadrante III: \(x<0\), \(y<0\).
- Cuadrante IV: \(x>0\), \(y<0\).
- \((2,5)\) está en el cuadrante I.
- \((-3,4)\) está en el cuadrante II.
- \((-1,-6)\) está en el cuadrante III.
- \((4,-2)\) está en el cuadrante IV.
- \((0,3)\) está sobre el eje \(y\), por lo tanto no pertenece a ningún cuadrante.
Nivel 2
Ejercicio 4
Dada la función \(f(x)=2x-1\), completa la tabla y representa la función en el plano cartesiano.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
Evaluamos \(f(x)=2x-1\) en cada valor de \(x\):
| \(x\) | \(f(x)=2x-1\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(2(-2)-1=-5\) | \((-2,-5)\) |
| \(-1\) | \(2(-1)-1=-3\) | \((-1,-3)\) |
| \(0\) | \(2(0)-1=-1\) | \((0,-1)\) |
| \(1\) | \(2(1)-1=1\) | \((1,1)\) |
| \(2\) | \(2(2)-1=3\) | \((2,3)\) |
Respuesta: los valores de \(f(x)\) son \(-5\), \(-3\), \(-1\), \(1\) y \(3\).
Ejercicio 5
Determina si cada relación representa una función. Justifica usando la idea de la línea vertical.
Relación A:
Relación B:
Relación A: sí representa una función, porque cada valor de \(x\) tiene una sola salida.
Relación B: no representa una función, porque el valor \(x=0\) aparece asociado a dos valores de salida distintos: \(3\) y \(-2\).
Respuesta: la relación A es función y la relación B no es función.
Ejercicio 6
Grafica la función \(h(x)=-x+3\) usando una tabla de valores para \(x=-1\), \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\).
Evaluamos \(h(x)=-x+3\):
| \(x\) | \(h(x)\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(-(-1)+3=4\) | \((-1,4)\) |
| \(0\) | \(-(0)+3=3\) | \((0,3)\) |
| \(1\) | \(-(1)+3=2\) | \((1,2)\) |
| \(2\) | \(-(2)+3=1\) | \((2,1)\) |
| \(3\) | \(-(3)+3=0\) | \((3,0)\) |
Respuesta: la gráfica es una recta decreciente que corta el eje \(y\) en \(3\).
Nivel 3
Ejercicio 7
Observa la gráfica de la función \(g(x)=-(x-1)^2+4\) y responde:
- ¿Cuál es el dominio de \(g(x)\)?
- ¿Cuál es el rango de \(g(x)\)?
- ¿En qué intervalo \(g(x)\) es creciente?
- ¿En qué intervalo \(g(x)\) es decreciente?
- ¿Cuáles son sus interceptos con los ejes?
- Como es una función cuadrática definida para todo número real, su dominio es \(\mathbb{R}\).
- La parábola abre hacia abajo y su valor máximo es \(4\), por lo tanto su rango es \(]-\infty,4]\).
- La función es creciente en \(]-\infty,1]\).
- La función es decreciente en \([1,\infty[\).
- Los interceptos con el eje \(x\) son \((-1,0)\) y \((3,0)\). El intercepto con el eje \(y\) es \((0,3)\).
Respuesta: dominio \(\mathbb{R}\), rango \(]-\infty,4]\), creciente hasta \(x=1\) y decreciente desde \(x=1\).
Ejercicio 8
Dadas las funciones:
- \(f(x)=3x-2\)
- \(g(x)=-5x+1\)
Indica cuál tiene mayor pendiente en valor absoluto.
La pendiente de una función lineal \(y=mx+b\) es el número \(m\).
Para \(f(x)=3x-2\), la pendiente es:
\[ m_f=3 \]
Para \(g(x)=-5x+1\), la pendiente es:
\[ m_g=-5 \]
Comparamos sus valores absolutos:
\[ |3|=3,\qquad |-5|=5 \]
Como \(5>3\), la función \(g(x)=-5x+1\) tiene mayor pendiente en valor absoluto.
Respuesta: \(g(x)=-5x+1\) tiene mayor inclinación.
Ejercicio 9
Una función lineal tiene pendiente positiva y pasa por los puntos \((0,1)\), \((1,3)\) y \((2,5)\). Determina su regla y grafícala.
Observamos cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta en \(1\):
\[ 1\rightarrow 3\rightarrow 5 \]
El valor de \(y\) aumenta de \(2\) en \(2\), por lo tanto la pendiente es \(2\).
Además, cuando \(x=0\), \(y=1\), así que el intercepto con el eje \(y\) es \(1\).
Entonces, la regla es:
\[ f(x)=2x+1 \]
Respuesta: la función es \(f(x)=2x+1\).
Cierre
Representar funciones en el plano cartesiano permite visualizar su comportamiento: dónde crecen, dónde decrecen, cuáles son sus interceptos y si realmente cumplen la condición de función.
3. Función Lineal
Función Lineal
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la función lineal de la forma \(y=mx\), interpretar su pendiente, graficarla en el plano cartesiano y resolver problemas asociados a proporcionalidad directa.
Definición y forma general
Función lineal
Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Su forma general es:
\[ y=mx \]
donde:
- \(x\) es la variable independiente.
- \(y\) es la variable dependiente.
- \(m\) es una constante llamada pendiente.
Función lineal y función afín
En este material trabajaremos principalmente funciones lineales de la forma \(y=mx\), es decir, rectas que pasan por el origen.
Cuando aparece una expresión de la forma \(y=mx+b\), con \(b\neq 0\), la recta no pasa por el origen y se llama función afín.
Ejemplo visual: funciones lineales
Las funciones \(y=2x\), \(y=-x\) y \(y=\frac{1}{2}x\) son lineales porque todas pasan por el origen \((0,0)\).
Pendiente \(m\) y su interpretación
¿Qué indica la pendiente?
La pendiente \(m\) indica la inclinación de la recta. También muestra cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta en una unidad.
- Si \(m>0\), la función es creciente.
- Si \(m<0\), la función es decreciente.
- Si \(m=0\), la función es constante. En el caso \(y=0x\), la gráfica es \(y=0\), que corresponde al eje \(x\).
- Mientras mayor sea \(|m|\), mayor será la inclinación de la recta.
Ejemplo visual: efecto de la pendiente
Compara las siguientes rectas. Todas son lineales, pero tienen distinta pendiente.
Cálculo de la pendiente con dos puntos
Si conocemos dos puntos de una recta, \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\), la pendiente se calcula con:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Esta fórmula representa el cambio vertical dividido por el cambio horizontal.
Gráfica de funciones lineales
Procedimiento para graficar \(y=mx\)
- Elegir algunos valores de \(x\).
- Calcular los valores de \(y\) usando la ecuación \(y=mx\).
- Formar pares ordenados \((x,y)\).
- Ubicar los puntos en el plano cartesiano.
- Trazar la recta que pasa por esos puntos.
Ejemplo: graficar \(y=2x\)
Para graficar la función:
\[ y=2x \]
elegimos algunos valores de \(x\) y calculamos \(y\):
| \(x\) | \(y=2x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(2(-1)=-2\) | \((-1,-2)\) |
| \(0\) | \(2(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(2(1)=2\) | \((1,2)\) |
Conclusión: la gráfica es una recta que pasa por el origen.
Determinación de la ecuación a partir de dos puntos
Condición importante
Si buscamos una función lineal de la forma \(y=mx\), la recta debe pasar por el origen. Por eso, no basta con calcular la pendiente: también debemos verificar que los puntos sean compatibles con una recta que pasa por \((0,0)\).
Ejemplo: función lineal que pasa por dos puntos
Encuentra la función lineal que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((3,6)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Probamos con la forma \(y=mx\):
\[ y=2x \]
Verificamos con \((1,2)\):
\[ 2=2(1) \]
Verificamos con \((3,6)\):
\[ 6=2(3) \]
Por lo tanto:
\[ y=2x \]
Cuando los puntos no forman una función lineal \(y=mx\)
Por ejemplo, los puntos \((2,5)\) y \((4,9)\) tienen pendiente \(2\), pero no pertenecen a la recta \(y=2x\), porque \(5\neq 2(2)\).
La recta que pasa por esos puntos es \(y=2x+1\), que es una función afín, no lineal en el sentido \(y=mx\).
Situaciones problemáticas modelables con función lineal
Proporcionalidad directa
Una función lineal \(y=mx\) modela situaciones de proporcionalidad directa. Esto significa que si \(x=0\), entonces \(y=0\).
Por ejemplo, si cada hora de servicio cuesta \(\$500\), el costo total puede modelarse como:
\[ y=500x \]
donde \(x\) representa la cantidad de horas e \(y\) el costo total.
Ejemplo 1: costo por hora
Un servicio cobra \(\$500\) por cada hora de uso. Si \(x\) representa el tiempo en horas e \(y\) el costo total en pesos, entonces:
\[ y=500x \]
a) ¿Cuánto costará un servicio de \(2\) horas?
\[ y=500(2)=1000 \]
Costará \(\$1000\).
b) Si un servicio costó \(\$2500\), ¿cuántas horas duró?
\[ 2500=500x \]
\[ x=5 \]
Duró \(5\) horas.
Ejemplo 2: costo de producción proporcional
El costo de producción de un artículo es de \(\$10\) por unidad. Si \(x\) es la cantidad de unidades producidas e \(y\) el costo total, entonces:
\[ y=10x \]
a) ¿Cuál es el costo de producir \(50\) unidades?
\[ y=10(50)=500 \]
El costo es \(\$500\).
b) Si el costo fue de \(\$1200\), ¿cuántas unidades se produjeron?
\[ 1200=10x \]
\[ x=120 \]
Se produjeron \(120\) unidades.
Cuidado con los costos fijos
Si una situación tiene un costo fijo, como “\(\$500\) de base más \(\$50\) por producto”, entonces el modelo es de la forma \(y=mx+b\). Esa expresión es una función afín, no una función lineal de la forma \(y=mx\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dadas las funciones lineales, completa las tablas y luego grafica.
a) \(y=4x\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
b) \(y=-3x\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
a) Para \(y=4x\):
| \(x\) | \(y=4x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(4(-2)=-8\) | \((-2,-8)\) |
| \(-1\) | \(4(-1)=-4\) | \((-1,-4)\) |
| \(0\) | \(4(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(4(1)=4\) | \((1,4)\) |
| \(2\) | \(4(2)=8\) | \((2,8)\) |
b) Para \(y=-3x\):
| \(x\) | \(y=-3x\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-3(-2)=6\) | \((-2,6)\) |
| \(-1\) | \(-3(-1)=3\) | \((-1,3)\) |
| \(0\) | \(-3(0)=0\) | \((0,0)\) |
| \(1\) | \(-3(1)=-3\) | \((1,-3)\) |
| \(2\) | \(-3(2)=-6\) | \((2,-6)\) |
Nivel 2
Ejercicio 2
Identifica la pendiente de las siguientes funciones lineales:
- \(y=3x\)
- \(y=-x\)
- \(y=\frac{1}{2}x\)
- \(y=-2x\)
- \(y=\frac{3}{4}x\)
- \(y=5x\)
En una función lineal de la forma \(y=mx\), la pendiente es el número que multiplica a \(x\).
- \(m=3\)
- \(m=-1\)
- \(m=\frac{1}{2}\)
- \(m=-2\)
- \(m=\frac{3}{4}\)
- \(m=5\)
Ejercicio 3
Grafica las siguientes funciones lineales usando una tabla de valores:
- \(y=x\)
- \(y=-2x\)
- \(y=3x\)
- \(y=\frac{1}{2}x\)
- \(y=-\frac{1}{3}x\)
- \(y=-x\)
Como todas son de la forma \(y=mx\), todas pasan por el origen. Además, se puede usar la pendiente para comparar su inclinación.
Respuesta: las rectas con pendiente positiva son crecientes y las rectas con pendiente negativa son decrecientes.
Ejercicio 4
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- La función \(y=-4x\) es creciente.
- La gráfica de \(y=x\) pasa por el origen.
- La pendiente de \(y=7x\) es \(7\).
- La función \(y=\frac{1}{5}x\) es decreciente.
- La gráfica de una función lineal \(y=mx\) siempre es una línea recta.
- La pendiente de \(y=x\) es igual a la pendiente de \(y=-x\).
- Falso. Es decreciente porque su pendiente es \(-4\).
- Verdadero. Si \(x=0\), entonces \(y=0\).
- Verdadero. En \(y=7x\), la pendiente es \(m=7\).
- Falso. Es creciente porque \(\frac{1}{5}>0\).
- Verdadero. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
- Falso. \(y=x\) tiene pendiente \(1\), mientras que \(y=-x\) tiene pendiente \(-1\). Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.
Nivel 3
Ejercicio 5
Determina si las siguientes funciones son crecientes, decrecientes o constantes:
- \(y=4x\)
- \(y=-3x\)
- \(y=0\)
- \(y=\frac{2}{3}x\)
- \(y=-x\)
- \(y=-6x\)
Observamos el signo de la pendiente \(m\).
- Creciente, porque \(m=4>0\).
- Decreciente, porque \(m=-3<0\).
- Constante, porque \(m=0\).
- Creciente, porque \(m=\frac{2}{3}>0\).
- Decreciente, porque \(m=-1<0\).
- Decreciente, porque \(m=-6<0\).
Ejercicio 6
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
- \((2,5)\) y \((4,9)\)
- \((-1,3)\) y \((2,-3)\)
- \((0,0)\) y \((3,6)\)
- \((1,-2)\) y \((3,-8)\)
- \((-2,4)\) y \((0,0)\)
- \((5,2)\) y \((7,6)\)
Usamos la fórmula:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- \[ m=\frac{9-5}{4-2}=\frac{4}{2}=2 \]
- \[ m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2 \]
- \[ m=\frac{6-0}{3-0}=\frac{6}{3}=2 \]
- \[ m=\frac{-8-(-2)}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3 \]
- \[ m=\frac{0-4}{0-(-2)}=\frac{-4}{2}=-2 \]
- \[ m=\frac{6-2}{7-5}=\frac{4}{2}=2 \]
Ejercicio 7
Identifica la pendiente y el punto de corte con el eje \(y\) para las siguientes funciones:
- \(y=6x\)
- \(y=-4x\)
- \(y=\frac{5}{2}x\)
- \(y=-x\)
- \(y=\frac{1}{3}x\)
- \(y=10x\)
Toda función lineal \(y=mx\) corta el eje \(y\) en \((0,0)\).
- Pendiente \(m=6\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=-4\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=\frac{5}{2}\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=-1\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=\frac{1}{3}\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
- Pendiente \(m=10\), corte con eje \(y\): \((0,0)\).
Ejercicio 8
Si \(f(x)=5x\), encuentra:
- \(f(3)\)
- \(f(-2)\)
- \[ f(3)=5(3)=15 \]
- \[ f(-2)=5(-2)=-10 \]
Respuestas: \(f(3)=15\) y \(f(-2)=-10\).
Ejercicio 9
Dada cada función, halla el valor de \(x\).
- Si \(g(x)=-2x\) y \(g(x)=4\).
- Si \(g(x)=-2x\) y \(g(x)=-6\).
- Si \(f(x)=7x\) y \(f(x)=14\).
- Si \(f(x)=7x\) y \(f(x)=-21\).
- Si \(h(x)=-\frac{1}{2}x\) y \(h(x)=4\).
- Si \(h(x)=-\frac{1}{2}x\) y \(h(x)=-3\).
- Si \(f(x)=ax\) y \(f(x)=b\), con \(a\neq 0\).
- \[ -2x=4 \Rightarrow x=-2 \]
- \[ -2x=-6 \Rightarrow x=3 \]
- \[ 7x=14 \Rightarrow x=2 \]
- \[ 7x=-21 \Rightarrow x=-3 \]
- \[ -\frac{1}{2}x=4 \Rightarrow x=-8 \]
- \[ -\frac{1}{2}x=-3 \Rightarrow x=6 \]
- \[ ax=b \Rightarrow x=\frac{b}{a},\quad a\neq 0 \]
Nivel 4
Ejercicio 10
Determina si la recta que pasa por cada par de puntos corresponde a una función lineal de la forma \(y=mx\). Si corresponde, escribe su ecuación. Si no corresponde, indica que es una función afín.
- \((1,4)\) y \((3,10)\)
- \((-2,-1)\) y \((2,7)\)
- \((0,0)\) y \((5,-5)\)
- \((-3,6)\) y \((3,-6)\)
- \((1,2)\) y \((4,8)\)
- \((-2,-6)\) y \((0,0)\)
Para que sea función lineal de la forma \(y=mx\), la recta debe pasar por el origen.
-
\[ m=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3 \]
Con \(m=3\), la función lineal sería \(y=3x\), pero \((1,4)\) no cumple \(4=3(1)\). Entonces no es lineal de la forma \(y=mx\). La recta es afín: \(y=3x+1\).
-
\[ m=\frac{7-(-1)}{2-(-2)}=\frac{8}{4}=2 \]
Con \(m=2\), \(y=2x\), pero \((-2,-1)\) no cumple \(-1=2(-2)\). No es lineal de la forma \(y=mx\). La recta es afín: \(y=2x+3\).
-
\[ m=\frac{-5-0}{5-0}=-1 \]
Como uno de los puntos es \((0,0)\), sí corresponde a una función lineal:
\[ y=-x \]
-
\[ m=\frac{-6-6}{3-(-3)}=\frac{-12}{6}=-2 \]
La recta pasa por el origen, por lo tanto:
\[ y=-2x \]
-
\[ m=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Verificamos con \((1,2)\): \(2=2(1)\). Sí es lineal:
\[ y=2x \]
-
\[ m=\frac{0-(-6)}{0-(-2)}=\frac{6}{2}=3 \]
Como pasa por \((0,0)\), sí es lineal:
\[ y=3x \]
Ejercicio 11
Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(2)=6\) y \(f(4)=12\). Determina la función lineal.
Los datos corresponden a los puntos \((2,6)\) y \((4,12)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{12-6}{4-2}=\frac{6}{2}=3 \]
Probamos la función lineal:
\[ f(x)=3x \]
Verificamos:
\[ f(2)=3(2)=6 \]
\[ f(4)=3(4)=12 \]
Respuesta: \(f(x)=3x\).
Ejercicio 12
Una función lineal \(f(x)\) cumple que \(f(-1)=-5\) y \(f(4)=10\). Determina si existe una función lineal de la forma \(f(x)=mx\) que cumpla ambas condiciones.
Los datos corresponden a los puntos \((-1,-5)\) y \((4,10)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{10-(-5)}{4-(-1)}=\frac{15}{5}=3 \]
Si fuera lineal de la forma \(f(x)=3x\), entonces:
\[ f(-1)=3(-1)=-3 \]
Pero el dato indica que \(f(-1)=-5\). Por lo tanto, no existe una función lineal \(f(x)=mx\) que cumpla ambas condiciones.
La recta que sí pasa por esos puntos es una función afín:
\[ f(x)=3x-2 \]
Respuesta: no es función lineal de la forma \(f(x)=mx\); es función afín \(f(x)=3x-2\).
Ejercicio 13
Encuentra la ecuación de la función que tiene pendiente \(m=4\) y pasa por el punto \((2,5)\). Indica si es lineal o afín.
Una función lineal de pendiente \(4\) sería:
\[ y=4x \]
Pero el punto \((2,5)\) no pertenece a esa recta, porque:
\[ 5\neq 4(2) \]
Entonces usamos la forma afín:
\[ y=4x+b \]
Sustituimos el punto \((2,5)\):
\[ 5=4(2)+b \]
\[ 5=8+b \]
\[ b=-3 \]
Por lo tanto:
\[ y=4x-3 \]
Respuesta: la función es \(y=4x-3\), y es una función afín.
Ejercicio 14
Dada la función \(f(x)=ax\), donde \(a\) es una constante, se sabe que \(f(2)=8\). Encuentra el valor de \(a\) y escribe la ecuación de la función.
Sustituimos \(x=2\) y \(f(2)=8\):
\[ 8=a(2) \]
\[ a=4 \]
Entonces:
\[ f(x)=4x \]
Respuesta: \(a=4\) y \(f(x)=4x\).
Ejercicio 15
Si \(g(x)=kx\) es una función lineal y \(g(3)=-9\), ¿cuál es el valor de \(k\) y la ecuación de la función?
Sustituimos \(x=3\) y \(g(3)=-9\):
\[ -9=k(3) \]
\[ k=-3 \]
Entonces:
\[ g(x)=-3x \]
Respuesta: \(k=-3\) y \(g(x)=-3x\).
Ejercicio 16
Un vendedor recibe una comisión de \(\$50\) por cada producto vendido, sin sueldo base. Escribe la función lineal que representa el pago total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\).
Si por cada producto recibe \(\$50\), entonces el pago total es proporcional a la cantidad de productos vendidos:
\[ y=50x \]
Si vende \(0\) productos, recibe \(\$0\), por lo que la función pasa por el origen.
Respuesta: \(y=50x\).
Ejercicio 17
Un vendedor tiene un sueldo base de \(\$500\) más una comisión de \(\$50\) por cada producto vendido. Escribe la función que representa el sueldo total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\). Indica si es lineal o afín.
El sueldo total tiene dos partes:
- \(\$500\) fijos.
- \(\$50\) por cada producto vendido, es decir, \(50x\).
Entonces:
\[ y=50x+500 \]
Como no pasa por el origen, no es lineal de la forma \(y=mx\). Es una función afín.
Respuesta: \(y=50x+500\), función afín.
Ejercicio 18
El costo de alquilar un auto es de \(\$1000\) por día. Escribe la función lineal que representa el costo total \(y\) en función del número de días de alquiler \(x\).
Si cada día cuesta \(\$1000\), entonces el costo total es:
\[ y=1000x \]
Si \(x=0\), entonces \(y=0\), por lo que es una función lineal.
Respuesta: \(y=1000x\).
Cierre
La función lineal \(y=mx\) modela relaciones de proporcionalidad directa. Su gráfica siempre es una recta que pasa por el origen, y su pendiente permite interpretar si la función crece, decrece o se mantiene constante.
4. Función Afín
Función Afín
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la función afín de la forma \(y=mx+n\), interpretar su pendiente y coeficiente de posición, graficarla y resolver problemas modelados mediante funciones afines.
Definición y Forma General
Función afín
Una función afín es una función cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Su forma general es:
\[ y=mx+n \]
donde:
- \(x\) es la variable independiente.
- \(y\) es la variable dependiente.
- \(m\) es la pendiente de la recta.
- \(n\) es el coeficiente de posición o intercepto con el eje \(y\).
Diferencia con la función lineal
La función lineal tiene la forma \(y=mx\) y siempre pasa por el origen \((0,0)\).
La función afín tiene la forma \(y=mx+n\). Si \(n\neq 0\), la recta no pasa por el origen, sino que corta el eje \(y\) en \((0,n)\).
Ejemplo visual: función afín \(y=2x+1\)
En la función:
\[ y=2x+1 \]
- La pendiente es \(m=2\).
- El coeficiente de posición es \(n=1\).
- La recta corta al eje \(y\) en el punto \((0,1)\).
Pendiente \(m\) y Coeficiente de Posición \(n\)
Pendiente
La pendiente \(m\) indica la inclinación de la recta y cómo cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta.
- Si \(m>0\), la función es creciente.
- Si \(m<0\), la función es decreciente.
- Si \(m=0\), la función es constante.
Coeficiente de posición
El coeficiente de posición \(n\) indica el punto donde la recta corta al eje \(y\). Cuando \(x=0\):
\[ y=m(0)+n=n \]
Por lo tanto, el intercepto con el eje \(y\) es:
\[ (0,n) \]
Ejemplo visual: efecto de \(m\) y \(n\)
Las siguientes funciones tienen diferentes pendientes y coeficientes de posición:
Función Constante
Caso \(m=0\)
Un caso especial de la función afín es la función constante. Se produce cuando la pendiente es cero:
\[ m=0 \]
Entonces la función queda:
\[ y=n \]
Su gráfica es una línea horizontal que corta al eje \(y\) en \((0,n)\).
Ejemplo visual: función constante
La función \(y=4\) es constante porque su pendiente es \(0\). Para cualquier valor de \(x\), el valor de \(y\) siempre es \(4\).
Gráfica de Funciones Afines
Procedimiento para graficar \(y=mx+n\)
- Identificar la pendiente \(m\) y el coeficiente de posición \(n\).
- Ubicar el punto \((0,n)\) en el plano cartesiano.
- Usar la pendiente para encontrar otro punto.
- Trazar la recta que pasa por los puntos encontrados.
Ejemplo: graficar \(y=2x+1\)
En la función:
\[ y=2x+1 \]
la pendiente es \(m=2\) y el coeficiente de posición es \(n=1\).
Primero ubicamos el punto \((0,1)\). Como la pendiente es \(2\), al avanzar \(1\) unidad en \(x\), subimos \(2\) unidades en \(y\). Así obtenemos el punto \((1,3)\).
Conclusión: la gráfica es una recta creciente que corta al eje \(y\) en \((0,1)\).
Determinación de la Ecuación a partir de Dos Puntos
Procedimiento
- Calcular la pendiente usando: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- Sustituir \(m\) en la ecuación \(y=mx+n\).
- Usar uno de los puntos para encontrar \(n\).
- Escribir la ecuación final.
Ejemplo: encontrar una función afín con dos puntos
Encuentra la función afín que pasa por los puntos \((2,5)\) y \((4,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-5}{4-2}=\frac{4}{2}=2 \]
Entonces la función tiene la forma:
\[ y=2x+n \]
Usamos el punto \((2,5)\):
\[ 5=2(2)+n \]
\[ 5=4+n \]
\[ n=1 \]
Por lo tanto:
\[ y=2x+1 \]
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Dadas las funciones afines, completa las tablas y luego grafica.
a) \(y=3x-2\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
b) \(y=-x+4\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
a) Para \(y=3x-2\):
| \(x\) | \(y=3x-2\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(3(-2)-2=-8\) | \((-2,-8)\) |
| \(-1\) | \(3(-1)-2=-5\) | \((-1,-5)\) |
| \(0\) | \(3(0)-2=-2\) | \((0,-2)\) |
| \(1\) | \(3(1)-2=1\) | \((1,1)\) |
| \(2\) | \(3(2)-2=4\) | \((2,4)\) |
b) Para \(y=-x+4\):
| \(x\) | \(y=-x+4\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-(-2)+4=6\) | \((-2,6)\) |
| \(-1\) | \(-(-1)+4=5\) | \((-1,5)\) |
| \(0\) | \(-(0)+4=4\) | \((0,4)\) |
| \(1\) | \(-(1)+4=3\) | \((1,3)\) |
| \(2\) | \(-(2)+4=2\) | \((2,2)\) |
Nivel 2
Ejercicio 2
Identifica la pendiente \(m\) y el coeficiente de posición \(n\) de las siguientes funciones afines:
- \(y=2x+5\)
- \(y=-x-3\)
- \(y=\frac{1}{2}x+1\)
- \(y=-3x+\frac{2}{5}\)
- \(y=4-x\)
- \(y=7\)
Comparamos cada expresión con la forma \(y=mx+n\).
- \(m=2\), \(n=5\).
- \(m=-1\), \(n=-3\).
- \(m=\frac{1}{2}\), \(n=1\).
- \(m=-3\), \(n=\frac{2}{5}\).
- \(y=4-x=-x+4\), por lo tanto \(m=-1\), \(n=4\).
- \(y=7=0x+7\), por lo tanto \(m=0\), \(n=7\).
Ejercicio 3
Grafica las siguientes funciones afines:
- \(y=x+2\)
- \(y=-2x+1\)
- \(y=\frac{1}{3}x-2\)
- \(y=5\)
Para cada función ubicamos el intercepto con el eje \(y\), es decir, \((0,n)\), y luego usamos la pendiente para trazar la recta.
Respuesta: las rectas quedan representadas según sus pendientes y coeficientes de posición.
Ejercicio 4
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- La función \(y=-4x+7\) es decreciente.
- La gráfica de \(y=2x-3\) pasa por el punto \((0,-3)\).
- La pendiente de \(y=9-x\) es \(9\).
- La función \(y=\frac{1}{2}x+5\) es creciente.
- La gráfica de una función constante es una línea vertical.
- Verdadero. Su pendiente es \(m=-4<0\), por eso es decreciente.
- Verdadero. Su coeficiente de posición es \(n=-3\), por lo tanto corta al eje \(y\) en \((0,-3)\).
- Falso. \(y=9-x=-x+9\), por lo tanto la pendiente es \(-1\).
- Verdadero. Su pendiente es \(\frac{1}{2}>0\), por eso es creciente.
- Falso. La gráfica de una función constante es una línea horizontal.
Nivel 3
Ejercicio 5
Calcula la pendiente y el coeficiente de posición de la recta que pasa por los puntos:
- \((1,3)\) y \((3,7)\)
- \((-2,5)\) y \((2,1)\)
- \((0,4)\) y \((2,0)\)
- \((3,-1)\) y \((6,-1)\)
-
\[ m=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Usamos \((1,3)\):
\[ 3=2(1)+n \Rightarrow n=1 \]
Función: \(y=2x+1\).
-
\[ m=\frac{1-5}{2-(-2)}=\frac{-4}{4}=-1 \]
Usamos \((-2,5)\):
\[ 5=-1(-2)+n \Rightarrow 5=2+n \Rightarrow n=3 \]
Función: \(y=-x+3\).
-
\[ m=\frac{0-4}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2 \]
Como pasa por \((0,4)\), entonces \(n=4\).
Función: \(y=-2x+4\).
-
\[ m=\frac{-1-(-1)}{6-3}=\frac{0}{3}=0 \]
Como la pendiente es cero, la función es constante:
\[ y=-1 \]
Entonces \(n=-1\).
Ejercicio 6
Determina la función afín que cumple con las siguientes condiciones:
- Tiene pendiente \(4\) y pasa por el punto \((1,6)\).
- Pasa por los puntos \((-1,2)\) y \((3,0)\).
- Corta al eje \(y\) en \(5\) y tiene pendiente \(-2\).
- Es paralela a \(y=3x-1\) y pasa por el punto \((0,2)\).
-
La función tiene forma \(y=4x+n\). Usamos \((1,6)\):
\[ 6=4(1)+n \Rightarrow n=2 \]
\[ y=4x+2 \]
-
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{0-2}{3-(-1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \]
Usamos \((-1,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}(-1)+n \]
\[ 2=\frac{1}{2}+n \Rightarrow n=\frac{3}{2} \]
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \]
-
Si corta al eje \(y\) en \(5\), entonces \(n=5\). Como la pendiente es \(-2\):
\[ y=-2x+5 \]
-
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Como \(y=3x-1\) tiene pendiente \(3\), la función buscada tiene forma:
\[ y=3x+n \]
Como pasa por \((0,2)\), entonces \(n=2\):
\[ y=3x+2 \]
Ejercicio 7
Dada la función, halla el valor de \(x\) para el cual:
- \(f(x)=2x+1\), con \(f(x)=7\).
- \(f(x)=2x+1\), con \(f(x)=0\).
- \(g(x)=-x+5\), con \(g(x)=2\).
- \(g(x)=-x+5\), con \(g(x)=-3\).
- \(h(x)=\frac{1}{2}x-3\), con \(h(x)=-1\).
- \(h(x)=\frac{1}{2}x-3\), con \(h(x)=0\).
- \(f(x)=mx+n\), con \(f(x)=p\), considerando \(m\neq 0\).
- \[ 2x+1=7 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3 \]
- \[ 2x+1=0 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
- \[ -x+5=2 \Rightarrow -x=-3 \Rightarrow x=3 \]
- \[ -x+5=-3 \Rightarrow -x=-8 \Rightarrow x=8 \]
- \[ \frac{1}{2}x-3=-1 \Rightarrow \frac{1}{2}x=2 \Rightarrow x=4 \]
- \[ \frac{1}{2}x-3=0 \Rightarrow \frac{1}{2}x=3 \Rightarrow x=6 \]
- \[ mx+n=p \Rightarrow mx=p-n \Rightarrow x=\frac{p-n}{m},\quad m\neq 0 \]
Nivel 4
Ejercicio 8
Encuentra la ecuación de la función afín que pasa por los puntos:
- \((0,3)\) y \((2,7)\)
- \((-3,1)\) y \((3,-1)\)
- \((1,-2)\) y \((4,4)\)
- \((-2,0)\) y \((2,8)\)
-
\[ m=\frac{7-3}{2-0}=2 \]
Como pasa por \((0,3)\), \(n=3\):
\[ y=2x+3 \]
-
\[ m=\frac{-1-1}{3-(-3)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \]
Usamos \((-3,1)\):
\[ 1=-\frac{1}{3}(-3)+n \Rightarrow 1=1+n \Rightarrow n=0 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x \]
-
\[ m=\frac{4-(-2)}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Usamos \((1,-2)\):
\[ -2=2(1)+n \Rightarrow n=-4 \]
\[ y=2x-4 \]
-
\[ m=\frac{8-0}{2-(-2)}=\frac{8}{4}=2 \]
Usamos \((-2,0)\):
\[ 0=2(-2)+n \Rightarrow n=4 \]
\[ y=2x+4 \]
Ejercicio 9
Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(1)=5\) y \(f(3)=9\). Determina la función afín.
Los datos corresponden a los puntos \((1,5)\) y \((3,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-5}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
La función tiene forma:
\[ f(x)=2x+n \]
Usamos el punto \((1,5)\):
\[ 5=2(1)+n \]
\[ n=3 \]
Respuesta: \(f(x)=2x+3\).
Ejercicio 10
Una función afín \(f(x)\) cumple que \(f(-2)=1\) y \(f(2)=7\). Determina la función afín.
Los datos corresponden a los puntos \((-2,1)\) y \((2,7)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{7-1}{2-(-2)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
La función tiene forma:
\[ f(x)=\frac{3}{2}x+n \]
Usamos el punto \((-2,1)\):
\[ 1=\frac{3}{2}(-2)+n \]
\[ 1=-3+n \]
\[ n=4 \]
Respuesta: \(f(x)=\frac{3}{2}x+4\).
Ejercicio 11
Encuentra la ecuación de la función afín que tiene pendiente \(m=-2\) y pasa por el punto \((3,1)\).
Como la pendiente es \(-2\), la función tiene forma:
\[ y=-2x+n \]
Usamos el punto \((3,1)\):
\[ 1=-2(3)+n \]
\[ 1=-6+n \]
\[ n=7 \]
Respuesta: \(y=-2x+7\).
Ejercicio 12
Dada la función \(f(x)=2x+b\), donde \(b\) es una constante, se sabe que \(f(3)=5\). Encuentra el valor de \(b\) y escribe la ecuación de la función.
Sustituimos \(x=3\) y \(f(3)=5\):
\[ 5=2(3)+b \]
\[ 5=6+b \]
\[ b=-1 \]
Respuesta: \(f(x)=2x-1\).
Ejercicio 13
Si \(g(x)=mx-1\) es una función afín y \(g(2)=3\), ¿cuál es el valor de \(m\) y la ecuación de la función?
Sustituimos \(x=2\) y \(g(2)=3\):
\[ 3=m(2)-1 \]
\[ 4=2m \]
\[ m=2 \]
Respuesta: \(g(x)=2x-1\).
Ejercicio 14
Un vendedor tiene un sueldo base de \(\$300\) más una comisión de \(\$20\) por cada producto vendido. Escribe la función afín que representa el sueldo total \(y\) en función del número de productos vendidos \(x\).
El sueldo total tiene dos partes:
- Sueldo base: \(\$300\).
- Comisión: \(\$20\) por cada producto, es decir, \(20x\).
Entonces:
\[ y=20x+300 \]
Respuesta: \(y=20x+300\).
Ejercicio 15
El costo de alquilar un auto es de \(\$100\) más \(\$50\) por cada día de uso. Escribe la función afín que representa el costo total \(y\) en función del número de días de alquiler \(x\).
El costo fijo es \(\$100\), y por cada día se agregan \(\$50\).
Entonces:
\[ y=50x+100 \]
Respuesta: \(y=50x+100\).
Ejercicio 16
Un estanque contiene \(500\) litros de agua. Se abre un grifo que vierte agua en el estanque a razón de \(25\) litros por minuto. Escribe la función afín que representa la cantidad de agua en el estanque \(y\) en función del tiempo transcurrido \(x\), en minutos.
La cantidad inicial de agua es \(500\) litros. Cada minuto aumenta en \(25\) litros.
Entonces:
\[ y=25x+500 \]
Respuesta: \(y=25x+500\).
Ejercicio 17
Un técnico cobra \(\$50\) por la visita más \(\$30\) por cada hora de trabajo. Escribe la función afín que representa el costo total \(y\) en función del número de horas trabajadas \(x\). ¿Cuánto cobrará por un trabajo de \(4\) horas?
El costo fijo es \(\$50\), y por cada hora se agregan \(\$30\).
La función es:
\[ y=30x+50 \]
Para \(x=4\):
\[ y=30(4)+50 \]
\[ y=120+50=170 \]
Respuesta: la función es \(y=30x+50\), y por \(4\) horas cobrará \(\$170\).
Cierre
La función afín \(y=mx+n\) permite modelar situaciones con una parte variable y una parte fija. La pendiente \(m\) indica el cambio por unidad, mientras que \(n\) representa el valor inicial o intercepto con el eje \(y\).
5. Obtención de la Ecuación de una Recta
Obtención de la Ecuación de una Recta
Objetivo de aprendizaje
- Obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos, de un punto y una pendiente, y de condiciones de paralelismo o perpendicularidad.
Formas de escribir una recta
La ecuación de una recta se puede expresar de distintas maneras. En esta página usaremos principalmente dos formas:
- Forma punto-pendiente: \[ y-y_1=m(x-x_1) \]
- Forma pendiente-ordenada al origen: \[ y=mx+n \]
En ambas expresiones, \(m\) representa la pendiente de la recta y \(n\) representa el corte con el eje \(y\).
A partir de dos puntos
Procedimiento
Si conocemos dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) que pertenecen a una recta, podemos encontrar su ecuación así:
- Calcular la pendiente: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
- Sustituir la pendiente \(m\) y uno de los puntos en la forma punto-pendiente: \[ y-y_1=m(x-x_1) \]
- Simplificar hasta obtener la forma: \[ y=mx+n \]
Ejemplo: recta que pasa por dos puntos
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((1,3)\) y \((4,9)\).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]
Sustituimos \(m=2\) y el punto \((1,3)\) en la forma punto-pendiente:
\[ y-3=2(x-1) \]
Desarrollamos:
\[ y-3=2x-2 \]
Sumamos \(3\) a ambos lados:
\[ y=2x+1 \]
Solución: la ecuación de la recta es \(y=2x+1\).
A partir de un punto y la pendiente
Procedimiento
Si conocemos un punto \((x_1,y_1)\) de una recta y su pendiente \(m\), usamos directamente la forma punto-pendiente:
\[ y-y_1=m(x-x_1) \]
Luego simplificamos para obtener la forma \(y=mx+n\).
Ejemplo: recta con pendiente y un punto
Encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente \(m=-3\) y pasa por el punto \((2,-1)\).
Usamos la forma punto-pendiente:
\[ y-(-1)=-3(x-2) \]
Simplificamos:
\[ y+1=-3x+6 \]
Restamos \(1\) a ambos lados:
\[ y=-3x+5 \]
Solución: la ecuación de la recta es \(y=-3x+5\).
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
Si:
\[ y=m_1x+n_1 \]
y
\[ y=m_2x+n_2 \]
entonces son paralelas cuando:
\[ m_1=m_2 \]
Ejemplo: recta paralela a otra
Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a \(y=4x-3\) y pasa por el punto \((1,2)\).
La recta dada tiene pendiente \(m=4\). Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la recta buscada también tiene pendiente \(m=4\).
Usamos la forma punto-pendiente:
\[ y-2=4(x-1) \]
Desarrollamos:
\[ y-2=4x-4 \]
Sumamos \(2\):
\[ y=4x-2 \]
Solución: la recta buscada es \(y=4x-2\).
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).
Es decir:
\[ m_1\cdot m_2=-1 \]
Equivalentemente, si \(m_1\neq 0\), la pendiente perpendicular es:
\[ m_2=-\frac{1}{m_1} \]
Ejemplo: recta perpendicular a otra
Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a \(y=\frac{1}{2}x+5\) y pasa por el punto \((-2,3)\).
La pendiente de la recta dada es:
\[ m_1=\frac{1}{2} \]
La pendiente perpendicular es:
\[ m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2 \]
Usamos la forma punto-pendiente con el punto \((-2,3)\):
\[ y-3=-2(x-(-2)) \]
\[ y-3=-2(x+2) \]
\[ y-3=-2x-4 \]
\[ y=-2x-1 \]
Solución: la recta buscada es \(y=-2x-1\).
Cuidado con rectas verticales
Una recta vertical tiene forma \(x=a\). No se puede escribir como \(y=mx+n\), porque no representa una función de \(x\).
Ejercicios
Nivel 1
Ejercicio 1
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
- \((2,4)\) y \((5,10)\)
- \((-1,3)\) y \((2,0)\)
- \((0,-2)\) y \((4,2)\)
-
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{10-4}{5-2}=\frac{6}{3}=2 \]
Usamos el punto \((2,4)\):
\[ y-4=2(x-2) \]
\[ y-4=2x-4 \]
\[ y=2x \]
Respuesta: \(y=2x\).
-
\[ m=\frac{0-3}{2-(-1)}=\frac{-3}{3}=-1 \]
Usamos el punto \((2,0)\):
\[ y-0=-1(x-2) \]
\[ y=-x+2 \]
Respuesta: \(y=-x+2\).
-
\[ m=\frac{2-(-2)}{4-0}=\frac{4}{4}=1 \]
Usamos el punto \((0,-2)\):
\[ y-(-2)=1(x-0) \]
\[ y+2=x \]
\[ y=x-2 \]
Respuesta: \(y=x-2\).
Ejercicio 2
Encuentra la ecuación de la recta con la pendiente y el punto dados:
- \(m=3\), punto \((1,5)\)
- \(m=-2\), punto \((-2,4)\)
- \(m=\frac{1}{2}\), punto \((0,-3)\)
-
\[ y-5=3(x-1) \]
\[ y-5=3x-3 \]
\[ y=3x+2 \]
Respuesta: \(y=3x+2\).
-
\[ y-4=-2(x-(-2)) \]
\[ y-4=-2(x+2) \]
\[ y-4=-2x-4 \]
\[ y=-2x \]
Respuesta: \(y=-2x\).
-
\[ y-(-3)=\frac{1}{2}(x-0) \]
\[ y+3=\frac{1}{2}x \]
\[ y=\frac{1}{2}x-3 \]
Respuesta: \(y=\frac{1}{2}x-3\).
Nivel 2
Ejercicio 3
Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- Paralela a \(y=2x-5\), pasa por \((1,4)\)
- Paralela a \(y=-x+3\), pasa por \((-2,1)\)
- Paralela a \(y=\frac{1}{3}x+2\), pasa por \((0,-2)\)
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
-
La pendiente es \(m=2\). Usamos \((1,4)\):
\[ y-4=2(x-1) \]
\[ y=2x+2 \]
Respuesta: \(y=2x+2\).
-
La pendiente es \(m=-1\). Usamos \((-2,1)\):
\[ y-1=-1(x-(-2)) \]
\[ y-1=-1(x+2) \]
\[ y=-x-1 \]
Respuesta: \(y=-x-1\).
-
La pendiente es \(m=\frac{1}{3}\). Usamos \((0,-2)\):
\[ y-(-2)=\frac{1}{3}(x-0) \]
\[ y+2=\frac{1}{3}x \]
\[ y=\frac{1}{3}x-2 \]
Respuesta: \(y=\frac{1}{3}x-2\).
Ejercicio 4
Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto indicado:
- Perpendicular a \(y=3x+1\), pasa por \((3,2)\)
- Perpendicular a \(y=-\frac{1}{2}x-4\), pasa por \((-1,5)\)
- Perpendicular a \(y=-x+6\), pasa por \((0,0)\)
Las pendientes de rectas perpendiculares cumplen \(m_1\cdot m_2=-1\).
-
La pendiente de la recta dada es \(3\), por lo tanto la pendiente perpendicular es:
\[ m=-\frac{1}{3} \]
Usamos \((3,2)\):
\[ y-2=-\frac{1}{3}(x-3) \]
\[ y-2=-\frac{1}{3}x+1 \]
\[ y=-\frac{1}{3}x+3 \]
Respuesta: \(y=-\frac{1}{3}x+3\).
-
La pendiente de la recta dada es \(-\frac{1}{2}\), por lo tanto la pendiente perpendicular es \(2\).
Usamos \((-1,5)\):
\[ y-5=2(x-(-1)) \]
\[ y-5=2(x+1) \]
\[ y=2x+7 \]
Respuesta: \(y=2x+7\).
-
La pendiente de la recta dada es \(-1\), por lo tanto la pendiente perpendicular es \(1\).
Usamos \((0,0)\):
\[ y-0=1(x-0) \]
\[ y=x \]
Respuesta: \(y=x\).
Nivel 3
Ejercicio 5
Dadas las siguientes ecuaciones de rectas, determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:
- \(y=4x-3\) y \(y=4x+1\)
- \(y=-2x+5\) y \(y=\frac{1}{2}x-2\)
- \(y=x+3\) y \(y=-x-1\)
- \(y=3x\) y \(y=-\frac{1}{3}x+4\)
- Son paralelas, porque ambas tienen pendiente \(4\).
- Son perpendiculares, porque \((-2)\cdot \frac{1}{2}=-1\).
- Son perpendiculares, porque \(1\cdot (-1)=-1\).
- Son perpendiculares, porque \(3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1\).
Ejercicio 6
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \((2,-3)\) y es:
- Paralela al eje \(x\)
- Paralela al eje \(y\)
-
Una recta paralela al eje \(x\) es horizontal, por lo tanto mantiene constante el valor de \(y\).
Como pasa por \((2,-3)\), su ecuación es:
\[ y=-3 \]
-
Una recta paralela al eje \(y\) es vertical, por lo tanto mantiene constante el valor de \(x\).
Como pasa por \((2,-3)\), su ecuación es:
\[ x=2 \]
Esta recta no puede escribirse como \(y=mx+n\), porque no representa una función de \(x\).
Ejercicio 7
Determina el valor de \(k\) para que las rectas \(y=2x+5\) y \(y=kx-3\) sean:
- Paralelas
- Perpendiculares
-
Para que sean paralelas, deben tener la misma pendiente.
La pendiente de \(y=2x+5\) es \(2\), y la de \(y=kx-3\) es \(k\). Entonces:
\[ k=2 \]
-
Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser \(-1\):
\[ 2\cdot k=-1 \]
\[ k=-\frac{1}{2} \]
Respuesta: para que sean paralelas, \(k=2\); para que sean perpendiculares, \(k=-\frac{1}{2}\).
Cierre
Para obtener la ecuación de una recta, la pendiente es el dato central. Puede calcularse con dos puntos, usarse directamente si ya se conoce, o deducirse a partir de condiciones de paralelismo y perpendicularidad.